โจทย์ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร

 การแก้โจทย์ปัญหาระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร 

การแก้โจทย์ปัญหาระบบสมการเชิงเส้ นสองตัวแปร

อ่านโจทย์ให้เข้าใจ

วเิ คราะห์สิ่งทโ่ี จทย์ถาม และส่ิงท่ีโจทย์กาหนดให้
กาหนดตัวแปรและสร้างระบบสมการ
แก้ระบบสมการเพ่ือหาคาตอบ

ตรวจสอบคาตอบกับเง่ือนไขในโจทย์

ฃ

ตวั อย่างโจทย์ปัญหา

ตวั อย่างท่ี 1 จานวนสองจานวนมผี ลต่างเท่ากบั 23 และมีผลบวกเท่ากบั 93 แล้วจงหาจานวน
สองจานวนดงั กล่าว

วธิ ีทา ให้เลขจานวนมากคือ x
และเลขจานวนน้อยคือ y
จานวนสองจานวนมีผลต่างเท่ากบั 23
ได้สมการคือ x – y = 23
จานวนสองจานวนมีผลบวกเท่ากบั 93
ได้สมการคือ x + y = 93

ให้ x – y = 23 ...(1)
...(2)
และ x + y = 93

(1) + (2) จะได้ 2x = 116

x = 58

แทนค่า x = 58 ใน (1) จะได้

y = 35

ดังน้นั เลขสองจานวนคือ 35 และ 58

ตวั อย่างที่ 2 จานวนจานวนหนึ่งเป็ นสามเท่าของจานวนอกี จานวนหน่งึ ผลต่างของจานวนท้งั สองนี้
เท่ากบั 10 จงหาจานวนสองจานวนนี้

วธิ ีทา ให้เลขจานวนหน่ึงคือ x
และเลขจานวนหนงึ่ คือ y
จานวนหน่ึงเป็ นสามเท่าของจานวนอกี จานวนหน่งึ
ได้สมการคือ x = 3y หรือ x – 3y = 0
ผลต่างของจานวนท้งั สองนี้เท่ากบั 10
ได้สมการคือ x – y = 10

ให้ x – 3y = 0 ...(1)
...(2)
และ x – y = 10 ...(3)

(2) × 3 จะได้ 3x – 3y = 30

(3) – (2) จะได้ 2x = 30

x = 15

แทนค่า x = 15 ใน (1) จะได้

15 – 3y = 0

15 = 3y

y=5

ดงั น้นั เลขสองจานวนคือ 5 และ 15

ตวั อย่างท่ี 3 จานวนจานวนหน่ึงมากกว่าครึ่งหนงึ่ ของอกี จานวนหนึ่งอยู่ 4 ผลต่างของจานวนท้ังสอง
เท่ากบั 2 จงหาจานวนท้งั สองนี้

วธิ ที า ให้เลขจานวนหนึ่งคือ x
และเลขจานวนหนง่ึ คือ y
จานวนจานวนหนึ่งมากกว่าครึ่งหนงึ่ ของอกี จานวนหน่ึงอยู่ 4
ได้สมการคือ x – y = 4 หรือ 2x – y = 8



ผลต่างของจานวนท้งั สองนี้เท่ากบั 2
ได้สมการคือ x – y = 2

ให้ 2x – y = 8 ...(1)
...(2)
และ x – y = 2

(1) – (2) จะได้ x=6

แทนค่า x = 6 ใน (2) จะได้

6–y = 2

y= 4

ดังน้นั เลขสองจานวนคือ 4 และ 6

ตัวอย่างท่ี 4 ในการทาโครงงานคณิตศาสตร์คร้ังหนงึ่ มีนกั เรียน 27 คน ครูแบ่งนกั เรียนออกเป็ น

2 กลุ่ม และจานวนนกั เรียนกล่มุ หน่ึงมากกว่าสองเท่าของจานวนนักเรียนอกี กล่มุ หน่ึง

อยู่ 3 คน จงหาจานวนนักเรียนในแต่ละกล่มุ

วิธที า ให้นักเรียนกลุ่มหนง่ึ มี x คน

และอกี กลุ่มหน่งึ มนี กั เรียน y คน

ในการทาโครงงานคณิตศาสตร์คร้ังหน่ึงมนี ักเรียน 27 คน

ได้สมการคือ x + y = 27

จานวนนักเรียนกลุ่มหนง่ึ มากกว่าสองเท่าของจานวนนกั เรียนอกี กลุ่มหน่ึงอยู่ 3 คน

ได้สมการคือ x – 2y = 3

ให้ x + y = 27 ...(1)

และ x – 2y = 3 ...(2)

(1) – (2) จะได้ 3y = 24

y= 8

แทนค่า y = 8 ใน (1) จะได้

x + 8 = 27

x = 19

ดงั น้นั ครูแบ่งนักเรียนเป็ น 2 กล่มุ โดยกล่มุ หนึ่งมีนักเรียน 19 คน

และอกี กล่มุ หน่ึงมนี ักเรียน 8 คน

ตัวอย่างที่ 5 โรงภาพยนตร์แห่งหนึ่งมีทีน่ ่ังอยู่ 2 ราคา ที่น่งั ปกตริ าคา 120 บาท และท่ีนัง่ พเิ ศษ

ราคา 200 บาท หากรอบนมี้ ีผู้เข้าชม 150 คน และมีรายได้จากการจาหน้ายตว๋ั

ภาพยนตร์รวม 24,400 บาท จงหารจานวนคนท่ีซื้อท่นี ่งั แบบธรรมดาและแบบพเิ ศษ

วิธีทา ให้ ผู้ชมท่ีซื้อตวั แบบธรรมดามี x คน

และ ผ้ชู มทซ่ี ื้อตั๋วแบบพเิ ศษมี y คน

หากรอบนมี้ ีผ้เู ข้าชม 150 คน

เขียนสมการได้ดงั นี้ x + y = 150

มีรายได้จากการจาหน้ายต๋วั ภาพยนตร์รวม 24,400 บาท

เขียนสมการได้ดงั นี้ 120x + 200y = 24,400

ให้ x + y = 150 ...(1)
...(2)
120x + 200y = 24,400 ...(3)

(1) × 200 จะได้ 200x + 200y = 30,000

(3) – (2) จะได้ 80x = 5,600

x = 70

แทนค่า x = 70 ในสมการท่ี (1) จะได้

70 + y = 150

y = 80

ดงั น้ัน จานวนคนทซี่ ื้อท่ีนั่งแบบธรรมดามี 70 คน

และจานวนคนซื้อท่นี ่ังแบบพเิ ศษมี 80 คน

ตัวอย่างที่ 6 มะลซิ ื้อส้มโอผลเลก็ ราคาผลละ 30 บาท และผลใหญ่ราคา ผลละ 35 บาท คดิ เป็ นเงิน

950 บาท เม่ือนามารวมกนั และขายไปผลละ 40 บาท ได้เงิน 1,200 บาท จงหาว่ามะลิ

ซื้อส้มโอแต่ละขนาดอย่างละกผ่ี ล

วิธีทา ให้ มะลซิ ื้อส้มโอผลเลก็ x ผล

และ มะลซิ ื้อส้มโอผลใหญ่ y ผล

มะลซิ ื้อส้มโอผลเลก็ ราคาผลละ 30 บาท และผลใหญ่ราคา ผลละ 35 บาท คดิ เป็ นเงนิ

950 บาท

เขยี นสมการได้ดังนี้ 30x + 35y = 950

เม่ือนามารวมกันและขายไป ผลละ 40 บาท ได้เงิน 1,200 บาท

เขยี นสมการได้ดงั นี้ 40(x + y) = 1,200 หรือ 40x + 40y = 1200

ให้ 30x + 35y = 950 ...(1)

40x + 40y = 1200 ...(2)

(1) × 40 จะได้ 1200x + 1400y = 38000 ...(3)

(2) × 30 จะได้ 1200x + 1200y = 36000 ...(4)

(3) – (4) จะได้ 200y = 2000

y = 10

แทนค่า y = 10 ในสมการท่ี (1) จะได้

30x + 35(10) = 950

30x = 950 – 350

30x = 600

x = 20

ดังน้ัน มะลซิ ื้อส้มโอผลเลก็ 20 ผล และส้มโอผลใหญ่ 10 ผล

ตัวอย่างท่ี 7 ดินสอ 3 แท่งกบั ปากกา 5 ด้ามมรี าคารวมกัน 81 บาท ดินสอ 3 แท่งกับปากกา

7 ด้าม มรี าคารวมกนั 105 บาท จงหาว่าราคาดินสอแท่งละเท่าใดและราคาปากกา

ด้ามละเท่าใด

วิธีทา ให้ดินสอราคาแท่งละ x บาท

และปากการาคาด้ามละ y บาท

ดนิ สอ 3 แท่งกับปากกา 5 ด้ามมีราคารวมกนั 81 บาท

ได้สมการคือ 3x + 5y = 81

ดินสอ 3 แท่งกบั ปากกา 7 ด้ามมรี าคารวมกนั 105 บาท

ได้สมการคือ 3 x + 7y = 105

ให้ 3x + 5y = 81 ...(1)

และ 3x + 7y = 105 ...(2)

(2) + (1) จะได้ 2y = 24

y = 12

แทนค่า y = 12 ใน (1) จะได้

3x + 5(12) = 81

3x = 81 – 60

3x = 21

x=7

ดงั น้นั ดนิ สอราคาแท่งละ 7 บาท และปากการาคาด้ามละ 12 บาท

ตัวอย่างที่ 8 ถ้าผลบวกของมมุ ภายในสองมุมของรูปส่ีเหลยี่ มรูปหน่ึงเป็ น 137 องศา และผลต่าง

ของมมุ สองมมุ นีเ้ ป็ น 73 องศา จงหามุมภายในท้ังสามของรูปสามเหลย่ี ม

วิธีทา ให้ มุมภายในมุมหน่ึงคือ x

และ มมุ ภายในอกี มมุ หน่ึงคือ y

ผลบวกของมุมภายในสองมมุ ของรูปส่ีเหลยี่ มรูปหนงึ่ เป็ น 137 องศา

เขียนสมการได้ดังนี้ x + y = 137

และผลต่างของมมุ สองมมุ นีเ้ ป็ น 73 องศา

เขียนสมการได้ดังนี้ x – y = 73

ให้ x + y = 137 ...(1)

x – y = 73 ...(2)

(1) + (2) 2x = 210

x = 105

แทนค่า x = 105 ในสมการที่ (1) จะได้

105 + y = 137

y = 137 – 105

y = 32

ดังน้ัน ขนาดของมุมภายในแต่ละมมุ ของรูปสามเหลย่ี มรูปนคี้ ือ

105 องศา 32 องศา และ 43 องศา

ตัวอย่างที่ 9 ตก๊ิ สะสมเหรียญชนิด 10 บาท และ 1 บาท รวมได้ 200 เหรียญ คดิ เป็ นเงินรวมกนั

920 บาท อยากทราบว่าติก๊ มเี หรียญแต่ละชนิดรวมกนั อย่างละกเี่ หรียญ

วิธีทา ให้ ตก๊ิ สะสมเหรียญ 10 บาท x เหรียญ

และ ต๊ิกสะสมเหรียญ 1 บาท y เหรียญ

ตก๊ิ สะสมเหรียญชนิด 10 บาท และ 1 บาท รวมได้ 200 เหรียญ

เขียนสมการได้ดังนี้ x + y = 200

คิดเป็ นเงนิ รวมกนั 920 บาท

เขยี นสมการได้ดังนี้ 10x + y = 920

ให้ x + y = 200 ...(1)
...(2)
10x + y = 920

(2) – (1) จะได้ 9x = 720

x = 80

แทนค่า x = 80 ในสมการที่ (1) จะได้

80 + y = 200

y = 200 – 80

y = 120

ดงั น้นั ติก๊ สะสมเหรียญ 10 บาทจานวน 80 เหรียญ

และเหรียญ 1 บาท จานวน 120 เหรียญ

ตัวอย่างท่ี 10 ด้านของรูปส่ีเหลย่ี มจัตรุ ัสรูปหนงึ่ ยาวกว่าด้านยาวของรูปสามเหลี่ยมด้านเท่ารูปหนง่ึ

อยู่ 4 เซนตเิ มตร ถ้าความยาวรอบรูปของรูปสี่เหลยี่ มจัตรุ ัสยาวกว่าความยาว

รอบรูปของสามเหลยี่ มด้านเท่าอยู่ 24 เซนติเมตร จงหาความยาวรอบรูปของแต่ละรูป

วิธที า ให้ รูปส่ีเหลี่ยมจตั ุรัสมีความยาวด้านละ x หน่วย

และ รูปสามเหลยี่ มด้านเท่ามคี วามยาวด้านละ y หน่วย

ด้านของรูปส่ีเหลย่ี มจัตรุ ัสรูปหน่งึ ยาวกว่าด้านยาวของรูปสามเหลย่ี มด้านเท่ารูปหน่ึง

อยู่ 4 เซนตเิ มตร

เขยี นสมการได้ดังนี้ x–y = 4

ถ้าความยาวรอบรูปของรูปส่ีเหลยี่ มจัตุรัสยาวกว่าความยาวของรูปของรูปสามเหลย่ี ม

ด้านเท่าอยู่ 24 เซนตเิ มตร

เขยี นสมการได้ดงั นี้ 4x – 3y = 24

ให้ x – y = 4 ...(1)
...(2)
และ 4x – 3y = 24 ...(3)

(1) × 3 จะได้ 3x – 3y = 12 หน่วย
หน่วย
(2) – (3) จะได้ x = 12

แทนค่า x = 12 ในสมการท่ี (1) จะได้

12 – y = 4

12 = 4 + y

y =8

ดงั น้นั รูปส่ีเหลีย่ มจัตรุ ัสมคี วามยาวด้านละ 12

รูปสามเหลย่ี มด้านเท่ามีความยาวด้านละ 8

ตวั อย่างท่ี 11 ฉันนาเงนิ 48 บาทไปตลาด พบว่า ถ้าซื้อมะม่วง 5 ผล และสับปะรด 7 ผล จะขาดเงนิ

ไป 2 บาทแต่ถ้าซื้อมะม่วง 7 ผล และสับปะรด 5 ผล จะเหลือเงนิ 2 บาท สับปะรดราคา

แพงกว่ามะม่วงเท่าใด

วิธที า ให้ มะม่วงราคาผลละ x บาท

และ สับปะรดราคาผลละ y บาท

ฉันนาเงิน 48 บาทไปตลาด พบว่า ถ้าซื้อมะม่วง 5 ผล และสับปะรด 7 ผล จะขาดเงิน

ไป 2 บาท

เขียนสมการได้ดังนี้ 5x + 7y = 50

ถ้าซื้อมะม่วง 7 ผล และสับปะรด 5 ผล จะเหลือเงิน 2 บาท

เขียนสมการได้ดังนี้ 7x + 5y = 46

ให้ 5x + 7y = 50 ...(1)
...(2)
และ 7x + 5y = 46 ...(3)
...(4)
(1) × 5 จะได้ 25x + 35y = 250

(2) × 7 จะได้ 49x + 35y = 322

(4) – (3) จะได้ 24x = 72

x =3

แทนค่า x = 3 ในสมการท่ี (1) จะได้

5(3) + 7y = 50

15 + 7y = 50

7y = 35

y =5

ดังน้นั มะม่วงราคาผลละ 3 บาท

และสับปะรดราคาผลละ 5 บาท