ลำดับและอนุกรม

เอกสารประกอบการเรยี น เร่ืองลาดับและอนกุ รม (Sequences and Series)
รายวิชาคณิตศาสตรเ์ พิม่ เตมิ ชั้นมัธยมศกึ ษาปีที่ 6

ลาดับ (Sequences)

ความหมายของลาดับ

บทนยิ าม 1 ลาดับ (sequence) คือ ฟังก์ชันที่มีโดเมนเป็นเซต 1, 2, 3, 4, ..., n  หรือมีโดเมนเป็น
เซตของจำนวนเตม็ บวก

ในกำรเขียนแสดงลำดับ จะเขียนเฉพำะสมำชิกของเรนจ์เรียงกัน กล่ำวคือ ถ้ำ a เป็นลำดับซึ่ง
a (1) = a1, a (2) = a2 , a (3) = a3 , ... , a (n) = an แลว้
เรียก a1 ว่ำ พจนท์ ่ี 1 ของลำดับ
เรยี ก a2 ว่ำ พจน์ที่ 2 ของลำดบั
เรียก a3 วำ่ พจนท์ ี่ 3 ของลำดับ

เรยี ก an ว่ำ พจน์ที่ n ของลำดับ หรือพจน์ทั่วไปของลำดับ

เรยี กลำดับท่มี โี ดเมนเป็นเซต  1, 2, 3, ..., n  วำ่ ลาดับจากดั (finite sequence) ถำ้ a เป็นลำดับจำกัด
เขยี นแสดงลำดบั ดว้ ย a1, a2, a3, ..., an

และเรียกลำดับที่มีโดเมนเป็นเซตของจำนวนเต็มบวกว่ำ ลาดับอนันต์ (infinite sequence) ถ้ำ a เป็น
ลำดบั อนนั ต์ เขยี นแทนลำดับดว้ ย a1, a2, a3, ..., an, ...

ตวั อยา่ งของลาดับ

1) 7, 14, 21, 28, 35, 42 เป็นลำดบั จำกัด
2) 1, 3, 5, 7, 9, ..., 99 เป็นลำดบั จำกดั
3) 6, 11, 16, 21, 26, ..., 5n +1, ... เปน็ ลำดับอนนั ต์
4) 4, 9, 16, 25, 36, ..., (n +1)2 , ... เป็นลำดบั อนันต์

1

เอกสารประกอบการเรียน เรือ่ งลาดบั และอนกุ รม (Sequences and Series)
รายวิชาคณิตศาสตร์เพมิ่ เตมิ ชนั้ มธั ยมศึกษาปีท่ี 6

การเขียนแสดงลาดับ
1) กำรเขยี นแสดงลำดับโดยเขียนแจกแจงพจน์ของลำดับ

2) กำรเขยี นแสดงลำดบั โดยเขียนพจนท์ ่ัวไปของลำดบั

3) กำรเขยี นแสดงลำดับโดยใชค้ วำมสัมพนั ธ์เวยี นเกิด

4) กำรเขียนแสดงลำดบั โดยกำรบอกเง่ือนไขของลำดบั หรือสมบตั ิของพจนข์ องลำดบั

2

เอกสารประกอบการเรยี น เรอ่ื งลาดับและอนกุ รม (Sequences and Series)
รายวิชาคณติ ศาสตรเ์ พมิ่ เติม ชั้นมัธยมศึกษาปที ี่ 6

ตวั อย่างที่ 1 จงหำส่ีพจนแ์ รกของลำดบั ที่ an = 3n − 2

ตวั อยา่ งท่ี 2 จงหำหกพจน์แรกของลำดับที่ an = n + (−1)n n

ตัวอย่างที่ 3 กำหนดลำดบั an ซ่ึง a1 = 2 และ an = an−1 + 3 เม่อื n  2 จงหำห้ำพจน์แรกของลำดับ

ตัวอยา่ งที่ 4 กำหนดลำดบั bn ซึ่ง b1 = 1 และ bn = nbn−1 เม่อื n  2 จงหำหกพจนแ์ รกของลำดบั

3

เอกสารประกอบการเรียน เรือ่ งลาดับและอนกุ รม (Sequences and Series)
รายวชิ าคณติ ศาสตร์เพมิ่ เติม ช้นั มัธยมศึกษาปที ่ี 6

ลาดบั เลขคณิต

บทนิยาม 2 ลาดับเลขคณิต (arithmetic sequence) คือ ลำดับซ่ึงมีผลต่ำงท่ีได้จำกกำรนำพจน์ที่
n +1 ลบดว้ ยพจน์ที่ n เปน็ คำ่ คงตวั ท่ีเท่ำกัน สำหรบั ทุกจำนวนเต็มบวก n และเรยี กค่ำคงตัวทเี่ ป็นผลต่ำงน้ี
วำ่ ผลตา่ งร่วม (common difference)

จำกบทนิยำม ลำดับ a1,a2,a3, ,an, เป็นลำดับเลขคณิต ก็ต่อเม่ือ มีค่ำคงตัว d ท่ี an+1 − an =d
สำหรบั ทุกจำนวนเตม็ บวก d

นอกจำกน้ียงั สำมำรถกำหนดลำดบั เลขคณติ a1, a2, a3, , an, ไดด้ ังนี้
จำก an+1 − an = d สำหรบั ทุกจำนวนเตม็ บวก n จะไดว้ ่ำ an+1 = an + d
ให้ a1 และ d เป็นค่ำคงตัว จะได้

a2 = a1 + d = (a1 + d ) + d = a1 + 2d
a3 = a2 + d = (a1 + 2d ) + d = a1 + 3d
a3 = a2 + d

an = an−1 + d = a1 + (n −1) d

ดังนั้น พจน์ท่ี n ของลำดับเลขคณิต คือ an = a1 + (n −1)d เม่ือ a1 เป็นพจน์แรก และ d เป็นผลต่ำง
รว่ มของลำดบั เลขคณิต

ตัวอย่างท่ี 5 จงเขียนส่ีพจน์ถดั ไปของลำดับเลขคณติ −1, 6, 13,

ตัวอยา่ งท่ี 6 ถ้ำลำดับเลขคณิตมี a1 = 22 และ a2 = 35 จงหำพจน์ท่ี 100 ของลำดับนี้

4

เอกสารประกอบการเรยี น เรื่องลาดับและอนุกรม (Sequences and Series)
รายวชิ าคณติ ศาสตรเ์ พิ่มเติม ช้นั มัธยมศึกษาปีที่ 6

ตวั อย่างที่ 7 จงหำพจน์ทั่วไปของลำดับเลขคณิต 6, 2, − 2, − 6,

ตัวอย่างท่ี 8 ถำ้ ลำดบั เลขคณิตมีพจน์ท่ี 5 คอื 3 และพจนท์ ่ี 10 คอื 13 จงหำพจนท์ ่ี 100

ตัวอยา่ งที่ 9 ถำ้ 6 และ 10 เป็นพจนส์ องพจนข์ องลำดับเลขคณิตท่ีมพี จนอ์ ีกหน่งึ พจน์อยูร่ ะหว่ำงพจน์ท้ัง
สองน้ี จงหำพจนท์ ี่อยูร่ ะหว่ำงพจน์ทั้งสองนี้

ตัวอย่างที่ 10 จงหำว่ำจำนวนนับท่ีมำกกว่ำ 7 แต่น้อยกว่ำ 1,610 ซ่ึงหำรด้วย 6 ลงตัว มีทั้งหมดก่ี
จำนวน

5

เอกสารประกอบการเรยี น เรอ่ื งลาดับและอนกุ รม (Sequences and Series)
รายวชิ าคณติ ศาสตรเ์ พม่ิ เตมิ ช้นั มธั ยมศกึ ษาปีที่ 6

ตัวอยา่ งที่ 11 นภำเร่ิมต้นทำงำนท่ีบรษิ ัทแหง่ หนึง่ ในปีแรก นภำได้รบั เงนิ เดอื นเดือนละ 15,000 บำท ถ้ำ
นภำไดร้ ับเงินเดือนเพ่มิ ขน้ึ ปลี ะ 300 บำท จงหำว่ำในอีก 10 ปขี ำ้ งหนำ้ นภำจะไดร้ ับเงินเดือนเดือนละเทำ่ ใด

ตวั อย่างที่ 12 กำหนดลำดบั เลขคณิต 1, 4, 7, 10, 13, จงพิจำรณำวำ่ 12,345 อยใู่ นลำดับนหี้ รือไม่

ลาดบั เรขาคณิต

บทนยิ าม 3 ลาดับเรขาคณิต (geometric sequence) คือ ลำดับซึ่งมีอัตรำส่วนของพจน์ที่ n +1 ต่อ
พจน์ท่ี n เป็นค่ำคงตัวที่เท่ำกัน สำหรับทุกจำนวนเต็มบวก n และเรียกค่ำคงตัวที่เป็นอัตรำส่วนน้ีว่ำ
อัตราสว่ นรว่ ม (common ratio)

จำกบทนิยำม ลำดับ a1, a2, a3, , an, เป็นลำดับเรขำคณิต ก็ต่อเม่ือ มีค่ำคงตัว r ที่ an+1 = r สำหรับ

an

ทกุ จำนวนเตม็ บวก n

สำมำรถกำหนดลำดบั เรขำคณติ a1,a2,a3, ,an, ไดด้ งั น้ี

6

เอกสารประกอบการเรียน เร่ืองลาดบั และอนุกรม (Sequences and Series)
รายวิชาคณติ ศาสตร์เพม่ิ เติม ชั้นมัธยมศกึ ษาปที ี่ 6

จำก an+1 =r สำหรับทกุ จำนวนเตม็ บวก n จะได้วำ่ an+1 = anr
an

ให้ a1 และ r เป็นค่ำคงตวั จะได้

a2 = a1r (a1r ) r = a1r 2
a3 = a2r = = a1r 3
a4 = a3r = ( )a1r2 r

( )an =
an−1r = a1r n−2 r = a1rn−1

ดังน้ี พจน์ที่ n ของลำดับเรขำคณิต คือ an = a1rn−1 เมื่อ a1 เป็นพจน์แรก และ r เป็นอัตรำส่วนร่วมของ
ลำดับเรขำคณติ

ตัวอยา่ งที่ 13 จงหำสพี่ จนแ์ รกของลำดับเรขำคณิตทม่ี ี 3 เป็นพจน์แรก และ 4 เป็นอัตรำสว่ นร่วม

4

ตวั อย่างที่ 14 จงหำพจน์ทวั่ ไปของลำดับเรขำคณิต 8, 16, 32, 64,
ตวั อยา่ งที่ 15 จงหำพจน์ที่ 7 ของลำดบั เรขำคณติ 4, 20, 100,

7

เอกสารประกอบการเรียน เร่ืองลาดบั และอนุกรม (Sequences and Series)
รายวชิ าคณิตศาสตร์เพ่มิ เติม ชน้ั มัธยมศกึ ษาปที ี่ 6

ตัวอยา่ งที่ 16 ถ้ำ 6 และ 24 เป็นพจน์สองพจน์ของลำดับเรขำคณิตท่ีมีพจน์อีกหนึ่งพจนอ์ ยู่ระหว่ำงพจน์
ทง้ั สองนี้ จงหำพจน์ทอี่ ย่รู ะหวำ่ งพจน์ท้งั สองนท้ี ี่เปน็ ไปได้ท้ังหมด

ตัวอย่างที่ 17 จงหำ a, b และ c ของลำดบั เรขำคณติ 8, a, b, c, 1 ,

2

ตัวอยา่ งท่ี 18 ในเมืองหน่ึงมีประชำกรอำศัยอยู่ 100,000 คน ถ้ำจำนวนประชำกรในเมืองนเี้ พ่ิมขึ้น 2%
ทุกปี ในอกี 10 ปขี ำ้ งหน้ำ จะมีจำนวนประชำกรในเมืองน้ปี ระมำณก่ีคน

8

เอกสารประกอบการเรียน เร่ืองลาดบั และอนกุ รม (Sequences and Series)
รายวชิ าคณิตศาสตรเ์ พิ่มเตมิ ช้ันมธั ยมศกึ ษาปที ่ี 6

ลาดบั ฮาร์มอนกิ

บทนิยาม 4 ลาดับฮาร์มอนิก (harmonic sequence) คือ ลำดับ an ซึ่งมีสมบัติว่ำ ลำดับของส่วน

กลบั bn = 1 เป็นลำดบั เลขคณติ
an

ตัวอยา่ งที่ 19 จงแสดงวำ่ ลำดับที่ an = 2 เป็นลำดบั ฮำร์มอนกิ
3n

ตวั อย่างที่ 20 กำหนด an เป็นลำดับฮำรม์ อนกิ ซึ่ง a2 = 1 และ a3 = 1 จงหำ a1
3 5

9

เอกสารประกอบการเรยี น เรอ่ื งลาดบั และอนกุ รม (Sequences and Series)
รายวชิ าคณติ ศาสตรเ์ พิ่มเติม ชั้นมธั ยมศกึ ษาปที ่ี 6

ลมิ ิตของลาดับอนนั ต์

ในหวั ข้อนี้จะกล่ำวถึงสมบัติบำงประกำรของลำดบั โดยจะพิจำรณำพจน์ท่ี n ของลำดบั เมอ่ื n มำก
ข้นึ โดยไมม่ ีท่สี ้ินสุด

1) พิจำรณำกรำฟของลำดับ เมอ่ื an = 1
2n

n 1 2 34 56 7 8
an

2) พิจำรณำกรำฟของลำดบั เม่ือ an = 2

n 1 2 34 56 7 8
an

10

เอกสารประกอบการเรียน เร่อื งลาดบั และอนุกรม (Sequences and Series)
รายวิชาคณิตศาสตร์เพิ่มเติม ช้ันมัธยมศึกษาปที ี่ 6

3) พจิ ำรณำกรำฟของลำดบั เมอื่ an = 1 + ( −1)n

n

n 1 2 34 56 7 8
an

4) พิจำรณำกรำฟของลำดับ เมือ่ an = 2n − 1

n 1 2 34 56 7 8
an

11

เอกสารประกอบการเรียน เรอื่ งลาดับและอนกุ รม (Sequences and Series)
รายวชิ าคณติ ศาสตรเ์ พมิ่ เติม ช้ันมธั ยมศึกษาปที ี่ 6

5) พิจำรณำกรำฟของลำดับ เมอื่ an = ( )−1 n+1

n 1 2 34 56 7 8
an

บทนยิ าม 5 ให้ a1,a2,a3, ,an, เป็นลำดับอนันต์ ถ้ำ n มำกขึ้นโดยไม่มีท่ีส้ินสุดแล้ว an เข้ำใกล้

หรอื เท่ำกับจำนวนจริง L เพียงจำนวนเดยี วเท่ำน้ัน จะเขียน lim an = L (อ่ำนวำ่ ลมิ ติ ของลำดับ an เม่อื n

n→

มำกขน้ึ โดยไม่มีทสี่ ิ้นสดุ เท่ำกบั L ) และจะเรยี ก L ว่ำ ลิมติ ของลาดบั (limit of a sequence) และกล่ำว

ว่ำลำดับนี้มีลิมิตเท่ำกับ L เรียกลำดับอนันต์ที่มีลิมิตว่ำ ลาดับลู่เข้า (convergent sequence) และเรียก

ลำดบั อนนั ตท์ ี่ไมใ่ ช่ลำดับลู่เขำ้ ว่ำ ลาดบั ลอู่ อก (divergent sequence)

ตัวอย่างที่ 21 จงหำลิมิตของลำดับ เมอ่ื

1) an = 1 2) an = n3
n2

12

เอกสารประกอบการเรียน เร่อื งลาดับและอนุกรม (Sequences and Series)
รายวชิ าคณติ ศาสตร์เพ่มิ เตมิ ชนั้ มัธยมศึกษาปที ี่ 6

ทฤษฎีบท 1 ให้ r เปน็ จำนวนจริงบวก จะได้วำ่ lim 1 =0 และ lim nr ไม่มคี ่ำ
nr
n→ n→

ตัวอยา่ งท่ี 22 จงหำลมิ ิตของลำดับ เม่อื

1) an =  − 1 n
 2 

2) an =  − 5 n
 4 

13

เอกสารประกอบการเรียน เรื่องลาดบั และอนกุ รม (Sequences and Series)
รายวิชาคณิตศาสตร์เพิ่มเติม ชัน้ มธั ยมศกึ ษาปีที่ 6

3) an = 2n

4) an =1+  1 n
 2 

14

เอกสารประกอบการเรียน เรือ่ งลาดบั และอนุกรม (Sequences and Series)
รายวิชาคณิตศาสตร์เพ่ิมเตมิ ช้นั มธั ยมศกึ ษาปที ่ี 6

ทฤษฎบี ท 2 ให้ r เป็นจำนวนจริง จะไดว้ ่ำ
ถ้ำ r  1 แล้ว lim rn = 0

n→

ถำ้ r 0 แล้ว lim rn ไมม่ ีค่ำ
n→

ทฤษฎีบท 3 ให้ an,bn,tn เป็นลำดับของจำนวนจริง A, B เปน็ จำนวนจรงิ และ c เปน็ คำ่ คงตัวใด ๆ โดย

ท่ี lim an = A และ lim bn = B จะไดว้ ำ่

n→ n→

1. ถ้ำ tn = c ทกุ จำนวนเต็มบวก n แล้ว lim tn = lim c = c

n→ n→

2. lim can = c lim an = cA
n→
n→

3. ( )lim

n→
an + bn = lim an + lim bn = A + B

n→ n→

4. ( )lim

n→
an − bn = lim an − lim bn = A− B

n→ n→

5. ( )lim an  bn = lim an  lim bn = A B

n→ n→ n→

6. ถ้ำ bn  0 ทกุ จำนวนเต็มบวก n และ B  0 แลว้ lim  an  = lim an = A
 bn  B
n→   n→

lim bn

n→

ตัวอย่างที่ 23 จงหำลิมิตของลำดับ เมอ่ื an = 5

ตัวอยา่ งท่ี 24 จงหำลมิ ติ ของลำดับ เมอื่ an = 5
n

15

เอกสารประกอบการเรยี น เรอ่ื งลาดับและอนุกรม (Sequences and Series)
รายวิชาคณติ ศาสตรเ์ พิ่มเติม ช้ันมัธยมศึกษาปที ี่ 6

ตัวอยา่ งท่ี 25 จงหำลิมติ ของลำดับ เมอ่ื an = 4 − 3n + n2
2n3 − 3n2 + 5

ตวั อยา่ งที่ 26 จงแสดงวำ่ ลำดับทม่ี พี จน์ท่ัวไปในแต่ละขอ้ ต่อไปนีเ้ ป็นลำดับลู่เขำ้

1) an = 3 + 2n
n

2) bn = 3n3 − n
5n3 +17

ทฤษฎีบท 4 ให้ a1,a2,a3, ,an, เปน็ ลำดบั ซงึ่ an  0 สำหรับทกุ จำนวนเตม็ บวก n

ถำ้ lim 1 =0 แลว้ ลำดับ a1, a2 , a3, , an , จะลูอ่ อก
an→

n

16

เอกสารประกอบการเรียน เรอื่ งลาดบั และอนกุ รม (Sequences and Series)
รายวิชาคณติ ศาสตรเ์ พ่มิ เตมิ ชัน้ มัธยมศึกษาปีที่ 6

ตวั อย่างที่ 27 จงตรวจสอบวำ่ ลำดบั เมื่อ an = n2 เป็นลำดบั ลเู่ ข้ำหรือลู่ออก
n +1

ตวั อย่างที่ 28 จงหำลิมติ ของลำดบั เมอ่ื an = n2 − n3
n +1 n2 − 3

ทฤษฎีบท 5 ให้ an เป็นลำดับของจำนวนจริงที่มำกกว่ำหรือเท่ำกับศูนย์ L เป็นจำนวนจริง และ m
เปน็ จำนวนเต็มทม่ี ำกกว่ำหรอื เทำ่ กับสอง จะไดว้ ่ำ

ถ้ำ lim an = L แลว้ lim m an = m lim an = mL

n→ n→ n→

17

เอกสารประกอบการเรียน เร่ืองลาดับและอนกุ รม (Sequences and Series)
รายวชิ าคณิตศาสตร์เพิ่มเตมิ ชัน้ มัธยมศกึ ษาปีที่ 6

ตวั อยา่ งท่ี 29 จงหำลมิ ติ ของลำดับ เมอื่ an = 4n −1
n +1

อนกุ รม

ถ้ำ a1, a2, a3, , an เปน็ ลำดับจำกดั ท่ีมี n พจน์ จะเรยี กกำรเขยี นแสดงกำรบวกของพจน์ทุกพจน์
ของลำดับในรปู a1 + a2 + a3 + + an วำ่ อนุกรมจากัด (finite series)
เรยี ก a1 ว่ำ พจน์ที่ 1 ของอนกุ รม
เรยี ก a2 วำ่ พจน์ที่ 2 ของอนุกรม

เรยี ก an วำ่ พจน์ที่ n ของอนกุ รม

ตัวอย่างของอนกุ รมจากัด

1) 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 เป็นอนกุ รมจำกัดท่ีได้จำกลำดับจำกัด 1, 1 , 1 , 1 , 1 , 1

23456 23456

2) 2 + 4 + 6 + + 2n เปน็ อนกุ รมจำกัดทไ่ี ดจ้ ำกลำดบั จำกดั 2, 4, 6, , 2n

3) 1 + 1 + 1 + + 1 เปน็ อนุกรมจำกดั ทไ่ี ดจ้ ำกลำดับจำกดั 1 , 1 , 1 , 1
3 9 27 3n , 3n
3 9 27

18

เอกสารประกอบการเรียน เรื่องลาดบั และอนกุ รม (Sequences and Series)
รายวิชาคณติ ศาสตรเ์ พิม่ เติม ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปีท่ี 6

ให้ Sn แทนผลบวก n พจน์แรกของอนกุ รม น่นั คอื

S1 = a1

S2 = a1 + a2

S3 = a1 + a2 + a3

Sn = a1 + a2 + a3 + + an

อนุกรมเลขคณติ

อนุกรมที่ไดจ้ ำกลำดบั เลขคณิต เรียกว่ำ อนกุ รมเลขคณติ (arithmetic series)

ให้ a1, a2, a3, , an เป็นลำดบั เลขคณติ ซ่งึ มี d เปน็ ผลตำ่ งรว่ ม

ดังนั้น Sn = a1 + a2 + a3 + + an−2 + an−1 + an

= a1 + (a1 + d ) + (a1 + 2d ) + + (an + (n −1) d ) (1)
(2)
หรืออำจเขยี น Sn ใหมไ่ ดเ้ ป็น
19
Sn = an + an−1 + an−2 + + a3 + a2 + a1

= an + (an − d ) + (an − 2d ) + + (an − (n −1) d )

จำก (1) และ (2) จะได้

2Sn = (a1 + an ) + (a1 + an ) + (a1 + an ) + + (a1 + an )

n terms

2Sn = n (a1 + an )

Sn = n ( a1 + an )
2

ดังนน้ั ผลบวก n พจน์แรกของอนุกรมเลขคณิต a1 + a2 + a3 + + an คอื n ( a1 + an )
2

เอกสารประกอบการเรยี น เร่ืองลาดับและอนุกรม (Sequences and Series)
รายวชิ าคณติ ศาสตร์เพิ่มเตมิ ชัน้ มัธยมศกึ ษาปีท่ี 6

ให้ a1, a2, a3, , an เปน็ ลำดบั เลขคณิต ซง่ึ มี d เปน็ ผลต่ำงรว่ ม
ผลบวก n พจนแ์ รกของอนุกรมเลขคณติ คอื

Sn = n ( a1 + an ) หรอื Sn = n ( 2a1 + (n −1) d )
2 2

ตัวอยา่ งท่ี 30 จงหำผลบวก 7 พจน์แรกของอนุกรมที่ไดจ้ ำกลำดับเลขคณิต 7, 15, 23,

ตวั อย่างท่ี 31 จงหำผลบวกของอนุกรมเลขคณิต 7 + 10 + 13 + +157

ตวั อย่างที่ 32 จงหำผลบวกของจำนวนคตู่ งั้ แต่ 18 ถงึ 482

20

เอกสารประกอบการเรียน เรื่องลาดับและอนกุ รม (Sequences and Series)
รายวชิ าคณติ ศาสตร์เพิม่ เติม ชั้นมธั ยมศึกษาปที ่ี 6

ตัวอยา่ งท่ี 33 หอประชุมของโรงเรยี นแหง่ หนึง่ มีเกำ้ อจี้ ดั ไวแ้ ถวแรก 12 ตัว แถวที่สอง 14 ตัว แถวที่สำม
16 ตัว เชน่ น้ีไปเรอ่ื ย ๆ ถำ้ จัดเกำ้ อไี้ วใ้ นหอประชุมทัง้ หมด 15 แถว จะมเี ก้ำอใี้ นหอประชมุ นี้ทงั้ หมดกี่ตัว

อนุกรมเรขาคณิต

อนุกรมทีไ่ ด้จำกลำดับเรขำคณติ เรียกวำ่ อนกุ รมเรขาคณิต (geometric series)

ให้ a1, a1r, a1r2, , a1rn−1 เปน็ ลำดบั เรขำคณิต ซ่งึ มี r เปน็ อตั รำส่วนร่วม

ดงั นนั้ Sn = a1 + a1r + a1r2 + a1r3 + + a1rn−1 (1)
(2)
และ rSn = a1r + a1r2 + a1r3 + + a1rn−1 + a1rn

จำก (1) และ (2) จะได้

rSn − Sn = a1rn − a1
=
Sn (r −1) ( )a1 rn − 1
( )a1 rn − 1 เมือ่ r  1
Sn =
r −1
หรือ Sn =
( )a1 1 − rn เมอ่ื r  1
1− r

21

เอกสารประกอบการเรียน เรอ่ื งลาดบั และอนุกรม (Sequences and Series)
รายวิชาคณติ ศาสตร์เพ่มิ เติม ชนั้ มัธยมศกึ ษาปีที่ 6

ให้ a1, a2, a3, , an เป็นลำดบั เรขำคณติ ซึ่งมี r เป็นอัตรำส่วนร่วม
ผลบวก n พจนแ์ รกของอนุกรมเรขำคณติ คอื

Sn = ( )a1 1− rn เมอื่ r 1

1− r

ตวั อยา่ งท่ี 34 จงหำผลบวก 8 พจนแ์ รกของอนกุ รมทไี่ ดจ้ ำกลำดับเรขำคณิต 1, 2, 4, 8,

ตัวอย่างท่ี 35 จงหำผลบวก 10 พจน์แรกของอนกุ รมทีไ่ ด้จำกลำดบั เรขำคณิต 1 , 1 , 1 , 1 ,

2 6 18 54

ตัวอย่างท่ี 36 จงหำผลบวกของอนกุ รมท่ีได้จำกลำดบั เรขำคณิต 1, 1 , 1 , 1 , , 1

2 4 8 256
22

เอกสารประกอบการเรียน เรื่องลาดับและอนุกรม (Sequences and Series)
รายวิชาคณติ ศาสตรเ์ พิ่มเตมิ ช้ันมัธยมศึกษาปที ี่ 6

ตวั อย่างที่ 37 กำนดำตั้งใจจะออมเงินเพ่ือซ้อื อุปกรณ์กีฬำ โดยวันแรกจะออมเงิน 20 บำท วันที่สอง 40
บำท วนั ทีส่ ำม 80 บำท เช่นน้ไี ปเรอื่ ย ๆ เม่ือครบ 7 วนั กำนดำจะมีเงินออมท้ังหมดเทำ่ ใด

ตัวอยา่ งท่ี 38 วรรัตน์เป็นแพทย์หญิงบรรจุใหม่ที่โรงพยำบำลแห่งหน่งึ ในชนบทซ่ึงเป็นบ้ำนเกิดของเธอ ใน
ควำมเป็นจรงิ แล้ววรรตั นส์ ำมำรถเลือกท่ีจะบรรจุท่ีโรงพยำบำลใหญ่ในกรุงเทพฯ ได้เพรำะมผี ลกำรเรยี นดีเด่น
แต่เธอเลือกทจ่ี ะกลบั มำพัฒนำบ้ำนเกิดตำมอุดมกำรณ์ของเธอ และดแู ลบิดำมำรดำอยำ่ งใกล้ชิด โดยวรรตั น์จะ
ใหเ้ งนิ บิดำมำรดำไว้ใชจ้ ำ่ ยส่วนตัวเดอื นละ 2,000 บำท และจะเพมิ่ เงินให้ร้อยละ 5 ต่อปี จงหำวำ่

1) ในปีที่ 7 วรรตั น์จะใหบ้ ดิ ำมำรดำเดือนละเท่ำใด
2) เม่อื เวลำผำ่ นไป 15 ปี วรรตั นใ์ ห้เงนิ บิดำมำรดำรวมแลว้ เป็นเงนิ เทำ่ ใด

23

เอกสารประกอบการเรียน เรอ่ื งลาดับและอนุกรม (Sequences and Series)
รายวชิ าคณิตศาสตร์เพิ่มเตมิ ช้นั มธั ยมศกึ ษาปที ี่ 6

อนุกรมอนันต์
ถำ้ a1, a2, a3, , an, เปน็ ลำดบั อนนั ต์ จะเรียกกำรเขียนแสดงกำรบวกในรูป

a1 + a2 + a3 + + an + ว่ำ อนุกรมอนนั ต์ (infinite series)
เรยี ก a1 ว่ำ พจนท์ ่ี 1 ของอนุกรม
เรยี ก a2 ว่ำ พจนท์ ่ี 2 ของอนกุ รม

เรยี ก an วำ่ พจน์ที่ n ของอนกุ รม
ตัวอย่างของอนุกรมอนนั ต์

1) 1 + 1 + 1 + + 1 + เปน็ อนุกรมอนันต์ท่ไี ดจ้ ำกลำดับอนนั ต์
35 2n −1 เปน็ อนุกรมอนันตท์ ไ่ี ด้จำกลำดับอนันต์
เป็นอนุกรมอนนั ตท์ ไี่ ดจ้ ำกลำดับอนันต์
1, 1 , 1 , , 1 ,
3 5 2n −1

2) 4 + 8 + 12 + + 4n +

4, 8, 12, , 4n,

3) 1 + 1 + 1 + + 1 +
248 2n

111 1
,,, , 2n ,
248

24

เอกสารประกอบการเรียน เร่อื งลาดบั และอนุกรม (Sequences and Series)
รายวชิ าคณิตศาสตร์เพมิ่ เตมิ ชนั้ มัธยมศึกษาปที ่ี 6

บทนิยาม 6 กำหนดให้ a1 + a2 + a3 + + an + เปน็ อนุกรมอนนั ต์
ให้ S1
= a1
S2 = a1 + a2
S3 = a1 + a2 + a3

Sn = a1 + a2 + a3 + + an

เรียก Sn ว่ำ ผลบวกย่อย (partial sum) n พจน์แรกของอนุกรม เม่ือ n เป็นจำนวนเต็มบวก เรียกลำดับ
อนนั ต์ S1, S2, S3, , Sn, วำ่ ลาดับของผลบวกยอ่ ยของอนุกรม (sequence of partial sums)

บทนยิ าม 7 กำหนดอนุกรมอนันต์ a1 + a2 + a3 + an +

ให้ S1, S2, S3, , Sn, เป็นลำดบั ของผลบวกย่อยของอนุกรมนี้

ถ้ำลำดบั Sn เป็นลำดับล่เู ข้ำ โดย lim Sn = S เม่อื S เปน็ จำนวนจรงิ แลว้ จะกล่ำววำ่ อนกุ รม

n→

a1 + a2 + a3 + + an + เป็น อนุกรมลูเ่ ขา้ (convergent series) และเรียก S ว่ำผลบวกของ

อนุกรม

ถำ้ ลำดับ Sn เปน็ ลำดับลอู่ อก จะกลำ่ วว่ำอนุกรม a1 + a2 + a3 + + an + เป็น อนุกรมลู่
ออก (divergent series)

จำกบทนิยำมข้ำงตน้ กำรแสดงว่ำอนุกรมอนนั ตใ์ ดจะเป็นอนกุ รมลเู่ ขำ้ หรืออนุกรมลู่ออกทำได้ดงั น้ี

1) พจิ ำรณำลำดับของผลบวกย่อยของอนกุ รม และหำสตู รทว่ั ไปของผลบวกย่อย n พจนแ์ รก (Sn )
ของอนกุ รม

2) พจิ ำรณำลิมิตของ Sn ถำ้ lim Sn = S เม่อื S เป็นจำนวนจริง แล้วอนกุ รมนน้ั เปน็ อนุกรมลูเ่ ขำ้

n→

และมีผลบวกเทำ่ กับ S แต่ถ้ำ lim S n ไมม่ ีคำ่ แล้วอนกุ รมน้นั เปน็ อนกุ รมลอู่ อก

n→

25

เอกสารประกอบการเรยี น เรอื่ งลาดับและอนุกรม (Sequences and Series)
รายวชิ าคณติ ศาสตรเ์ พม่ิ เติม ชนั้ มัธยมศกึ ษาปที ี่ 6

ตวั อยา่ งท่ี 39 จงพจิ ำรณำวำ่ อนุกรม 1 + 3 + 5 + + (2n −1) + เป็นอนุกรมลเู่ ขำ้ หรอื อนุกรมลู่
ออก ถ้ำเปน็ อนกุ รมล่เู ขำ้ จงหำผลบวกของอนุกรม

ตัวอยา่ งท่ี 40 จงพิจำรณำว่ำอนกุ รม 3 + 3 + 3 + + 3 + เปน็ อนกุ รมลู่เข้ำหรือ
10 100 1, 000 10n

อนุกรมลูอ่ อก ถ้ำเปน็ อนุกรมลู่เข้ำ จงหำผลบวกของอนุกรม

26

เอกสารประกอบการเรียน เร่ืองลาดับและอนกุ รม (Sequences and Series)
รายวิชาคณติ ศาสตรเ์ พ่มิ เตมิ ช้ันมธั ยมศกึ ษาปที ่ี 6

ตัวอย่างที่ 41
จงหำผลบวกยอ่ ยสิบพจน์แรกของอนุกรม 13 + 232 + 333 + 434 + + n3n +

ตัวอย่างที่ 42

จงหำผลบวกย่อยยี่สบิ พจนแ์ รกของอนกุ รม1 1 + 2 1 + 3 1 + 4 1 + + n 1 +
3 9 27 81 3n

27

เอกสารประกอบการเรยี น เรื่องลาดบั และอนุกรม (Sequences and Series)
รายวชิ าคณติ ศาสตร์เพิ่มเตมิ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6

ตัวอย่างที่ 43 จงพจิ ำรณำว่ำอนุกรม 1 + 1 + 1 + + 1 + เปน็ อนกุ รมลเู่ ขำ้ หรือ

12 23 34 n (n +1)

อนกุ รมลอู่ อก ถ้ำเป็นอนกุ รมลูเ่ ข้ำ จงหำผลบวกของอนุกรม

ตัวอย่างที่ 44

จงพิจำรณำว่ำอนกุ รม 1 + 1 + 1 + 1 + + 1 + เปน็ อนกุ รมลู่
2+ 1 3+ 2 4+ 3 n + n+1

เขำ้ หรืออนกุ รมล่อู อก ถำ้ เป็นอนุกรมลู่เขำ้ จงหำผลบวกของอนกุ รม

28

เอกสารประกอบการเรียน เรอื่ งลาดับและอนกุ รม (Sequences and Series)
รายวชิ าคณิตศาสตรเ์ พิม่ เตมิ ชน้ั มัธยมศกึ ษาปที ่ี 6

ทฤษฎีบท 6 กำหนดให้อนุกรมเรขำคณิตมี a1 เปน็ พจนแ์ รก และ r เป้นอัตรำส่วนร่วม

ถำ้ r  1 แลว้ อนกุ รมนเ้ี ปน็ อนุกรมลู่เข้ำและผลบวกของอนุกรมเทำ่ กบั a1

1− r

ถ้ำ r  1 แลว้ อนุกรมนีเ้ ป็นอนกุ รมลอู่ อก

ตวั อย่างที่ 45 จงพจิ ำรณำว่ำอนกุ รม 1 − 2 + 4 − 8 + +  − 2 n−1 + เป็นอนุกรมลู่เข้ำหรอื
 3 
3 9 27

อนุกรมลอู่ อก ถำ้ เป็นอนกุ รมล่เู ข้ำ จงหำผลบวกของอนุกรม

ตวั อย่างที่ 46 จงพิจำรณำวำ่ อนุกรม 2 + 8 + 32 + 128 + + 22n−1 + เปน็ อนกุ รมลู่เข้ำหรอื
3 9 27 81 3n

อนุกรมลู่ออก ถำ้ เปน็ อนุกรมลู่เข้ำ จงหำผลบวกของงอนกุ รม

29

เอกสารประกอบการเรยี น เร่ืองลาดบั และอนุกรม (Sequences and Series)
รายวิชาคณติ ศาสตร์เพ่มิ เติม ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปที ่ี 6

ตัวอย่างท่ี 47 ถำ้ ปล่อยลกู บอลจำกควำมสูง 6 เมตร แลว้ ลูกบอลกระดอนขึ้นมำ 75% ของควำมสงู เดิม
ในแตล่ ะครั้ง จงหำระยะเคล่ือนที่ทง้ั หมดในแนวต้ังของลูกบอล

ตวั อยา่ งที่ 48 จงเขยี นทศนิยมซำ้ 5.427 ใหอ้ ยใู่ นรูปเศษส่วน

30

เอกสารประกอบการเรียน เร่ืองลาดับและอนุกรม (Sequences and Series)
รายวชิ าคณิตศาสตรเ์ พิม่ เติม ชน้ั มธั ยมศึกษาปที ่ี 6

สัญลกั ษณ์แสดงการบวก

เพื่อควำมสะดวกในกำรเขียนอนุกรมจะใช้ตัวอักษรกรีกตัวพิมพ์ใหญ่  (อ่ำนว่ำ ซิกมำ) เป็น

สัญลักษณ์แสดงกำรบวก กล่ำวคือ จะเขียนแทนอนุกรมจำกัด a1 + a2 + a3 + + an ด้วยสัญลักษณ์

n (อ่ำนว่ำ ซัมเมชัน ai เมอื่ i เท่ำกบั 1 ถงึ n)

 ai
i =1

และเขียนแทนอนุกรมอนันต์ a1 + a2 + a3 + + an + ด้วยสัญลักษณ์  (อ่ำนว่ำ ซัมเมชัน ai
เมอื่ i เทำ่ กบั 1 ถงึ )
 ai
i =1

เรียกตัวแปร i ท่ีปรำกฏในสัญลักษณ์ n หรือ  ว่ำ ดัชนี (index) ซึ่งอำจจะใช้ตัวแปรอ่ืนแทน i

 ai  ai
i=1 i=1

ได้

1) 5 = 12 + 22 + 32 + 42 + 52
=
i2 =
i =1 =
=
2) 4 (21−1) + (2 2 −1) + (23 −1) + (2 4 −1)

(2k −1)
k =1

3)  1 1+ 1 + 1 + 1 + + 1 +
2 22 23 24 2n
2k

k =1

4)  (1+ 3) + (2 + 3) + (3 + 3) + + (n + 3) +

(i + 3)
i =1

5)  13 + 23 + 33 + + n3 +

i3
i =1

นอกจำกนี้ กำรใช้สัญลักษณ์  แทนกำรบวก อำจเขียนได้หลำยรูปแบบ เช่น 4 และ

(i −1)i
i =1

3 ต่ำงก็แทนอนุกรม 0 + 2 + 6 + 12 เช่นเดียวกัน จะเห็นว่ำดัชนีไม่จำเป็นต้องเริ่มจำก 1 เสมอ

i (i +1)
i=0

ไป

ตัวอย่างท่ี 49 จงแสดงวำ่ 10 = 30

3
i =1

31

เอกสารประกอบการเรียน เรอ่ื งลาดบั และอนุกรม (Sequences and Series)
รายวชิ าคณติ ศาสตร์เพ่ิมเตมิ ช้นั มัธยมศึกษาปีที่ 6

ตัวอยา่ งที่ 50 จงหำ (4 − i +1)
 i2
i =1

ตัวอย่างที่ 51 ให้ x เปน็ จำนวนจริงใด ๆ

จงเขยี น 2x + 4x2 + 6x3 + 8x4 + 10x5 โดยใชส้ ัญลกั ษณ์ 

ตัวอยา่ งท่ี 52 จงหำ 5

i2
i =1

ตวั อย่างท่ี 53 จงแสดงว่ำ 10 = 10

 2i2 2 i 2
i=1 i=1

ตวั อย่างท่ี 54 จงแสดงว่ำ 10 = 10 + 10

(i + 3) i 3
i=1 i=1 i=1

32

เอกสารประกอบการเรยี น เร่ืองลาดบั และอนุกรม (Sequences and Series)
รายวชิ าคณติ ศาสตร์เพิม่ เตมิ ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปีที่ 6

ทฤษฎีบท 7 ให้ n เป็นจำนวนเต็มบวกใด ๆ จะได้วำ่

1. n = nc เม่อื c เป็นค่ำคงตัว

c
i =1

2. n = n เมือ่ c เป็นค่ำคงตัว

 cai c ai
i=1 i=1

n nn

(ai + bi ) = ai + bi
  3.
i=1 i=1 i=1

n nn

(ai − bi ) = ai − bi
  4.
i=1 i=1 i=1

ทฤษฎีบท 8 ให้ n เปน็ จำนวนเตม็ บวกใด ๆ จะได้วำ่

1. n = n (n +1)

i
i=1 2

2. n = n (n +1)(2n +1)

i2
i=1 6

3. n =  n (n +1) 2
 
i3  2 

i =1

ตวั อย่างท่ี 55 ถ้ำ 1 + 2 + 3 + 4 + + n = 153 จงหำ n

ตัวอยา่ งที่ 56 จงแสดงว่ำผลบวกของจำนวนคบ่ี วก n ตวั แรกเทำ่ กับ n2

33

เอกสารประกอบการเรยี น เร่ืองลาดับและอนุกรม (Sequences and Series)
รายวชิ าคณิตศาสตร์เพ่มิ เติม ชั้นมธั ยมศึกษาปีที่ 6

ตัวอย่างที่ 57 จงหำผลบวก 20 พจนแ์ รกของอนกุ รม n

(2i + 5)2
i =1

ตัวอย่างที่ 58 จงหำผลบวกของอนกุ รม 12 + 34 + 56 + + (2n −1)2n

34

เอกสารประกอบการเรยี น เรื่องลาดบั และอนกุ รม (Sequences and Series)
รายวชิ าคณติ ศาสตรเ์ พ่ิมเตมิ ชนั้ มัธยมศกึ ษาปที ี่ 6

ตัวอย่างท่ี 59 จงหำผลบวกของอนกุ รม (n −i +1)
 i3
i =1

ตัวอยา่ งท่ี 60 จงหำผลบวก 20 พจน์แรกของอนกุ รม n ( 4i − 4 4i + 1)

 3)(

i =1

35

เอกสารประกอบการเรยี น เรอื่ งลาดับและอนุกรม (Sequences and Series)
รายวิชาคณติ ศาสตรเ์ พิ่มเตมิ ชนั้ มัธยมศึกษาปที ่ี 6

การประยุกตข์ องลาดับและอนุกรม

ดอกเบย้ี ทบต้น
ตวั อย่างที่ 61 ฝำกเงิน 10,000 บำท กับธนำคำรซึ่งให้อัตรำดอกเบ้ีย 3% ต่อปี โดยคิดดอกเบ้ียแบบทบ
ตน้ ทุกปี จงหำ

1) เงนิ รวมเมื่อฝำกเงนิ ครบ 1 ปี
2) เงินรวมเม่อื ฝำกเงินครบ 2 ปี

ทฤษฎบี ท 9 ถ้ำเร่ิมฝำกเงินด้วยเงินต้น P บำท ได้รับอัตรำดอกเบี้ย i% ต่อปี โดยคิดดอกเบ้ียแบบทบ
ตน้ ทกุ ปี (ปีละครง้ั ) แล้วเม่อื สิน้ ปีที่ n จะได้ เงนิ รวม P (1+ r)n บำท เมื่อ r = i

100

ตวั อยา่ งที่ 62 ฝำกเงิน 50,000 บำท กับสถำบันกำรเงินท่ีให้อัตรำดอกเบี้ย 6% ต่อปี โดยคิดดอกเบี้ย
แบบทบตน้ ทุกสำมเดือน เม่ือเวลำผำ่ นไป 5 ปี จะมีเงินรวมเทำ่ ใด โดยทไี่ ม่มีกำรฝำกและถอนเงนิ ในระหวำ่ งน้ี

36

เอกสารประกอบการเรียน เรอ่ื งลาดับและอนุกรม (Sequences and Series)
รายวิชาคณิตศาสตรเ์ พ่มิ เติม ชั้นมัธยมศึกษาปีท่ี 6

ทฤษฎีบท 10 ถ้ำเร่ิมฝำกเงินด้วยเงินต้น P บำท ได้รับอัตรำดอกเบ้ีย i% ต่อปี โดยคิดดอกเบ้ียแบบทบ

ตน้ ปีละ k ครั้ง แลว้ เม่อื ฝำกเงินครบ n ปี จะได้ เงนิ รวม P 1 + r kn บำท เมื่อ r = i
k  100

ตวั อยา่ งที่ 63 ฝำกเงิน 10,000 บำท กับธนำคำรแห่งหน่ึงท่ีให้อัตรำดอกเบี้ย 3% ต่อปี โดยคิดดอกเบ้ีย
แบบทบตน้ ปีละคร้ัง จงหำเงนิ รวมเม่อื ฝำกเงินครบ 10 ปี โดยทไี่ มม่ กี ำรฝำกและถอนเงินในระหว่ำงนี้

ตัวอย่างท่ี 64 ฝำกเงิน 10,000 บำท กับสถำบันกำรเงินแห่งหน่ึงที่ให้อัตรำดอกเบ้ีย 3% ต่อปี โดยคิด
ดอกเบี้ยแบบทบต้นทุก 6 เดือน จงหำเงินรวมเมื่อฝำกเงินครบ 10 ปี โดยที่ไม่มีกำรฝำกและถอนเงินใน
ระหวำ่ งนี้

ตวั อยา่ งที่ 65 ฝำกเงนิ 10,000 บำท กบั ธนำคำรแห่งหนึง่ โดยธนำคำรคดิ ดอกเบี้ยแบบทบต้นทุก 3 เดือน
เมื่อสิ้นปีที่ 3 ธนำคำรแจ้งวำ่ มเี งนิ ในบัญชีประมำณ 10,938 บำท จงหำอตั รำดอกเบ้ียตอ่ ปีทธี่ นำคำรกำหนด

37

เอกสารประกอบการเรยี น เรอ่ื งลาดับและอนกุ รม (Sequences and Series)
รายวิชาคณิตศาสตร์เพิม่ เตมิ ชน้ั มัธยมศกึ ษาปีที่ 6

มลู คา่ ปัจจบุ นั และมูลคา่ อนาคต

สมมติว่ำเริ่มฝำกเงินด้วยเงินต้น 1,000 บำท อัตรำดอกเบ้ีย 5% ต่อปี โดยคิดดอกเบ้ียแบบทบต้นปีละคร้ัง
เมอื่ ฝำกครบ 2 ปี จะไดเ้ งนิ รวม 1,000(1+ 0.05)2 หรือ 1,102.5 บำท ซึง่ อำจกล่ำวไดว้ ำ่ เงนิ 1,102.5 บำท
เปน็ มูลค่ำอนำคต สว่ นเงิน 1,000 บำท เป็นมูลคำ่ ปจั จุบนั

ถ้ำลงทุน P บำท ได้รับอัตรำดอกเบ้ีย i% ต่อปี โดยคิดดอกเบี้ยแบบทบต้นปีละ k คร้ัง เป็นเวลำ n ปี

กำหนดให้ r = i แลว้ เมื่อครบ n ปี เงนิ รวมทไ่ี ด้ คอื

100

S = P 1 + r kn
k 

เรียก S วำ่ มลู คำ่ อนำคตของเงนิ ตน้ P

ในทำงกลบั กัน จะเรยี ก P ว่ำ มลู คำ่ ปัจจุบนั ของเงินรวม S

ดงั น้นั มูลค่ำปัจจบุ นั P ของเงินรวม S คอื

P = S 1+ r −kn
k 

ตัวอย่างที่ 66 สำยชลต้องกำรฝำกเงินกับธนำคำรแห่งหน่ึงซ่ึงกำหนดอัตรำดอกเบี้ย 5% ต่อปี โดยคิด
ดอกเบ้ยี แบบทบตน้ ทุกเดือน ถ้ำสำยชลต้องกำรให้มีเงินในบัญชีประมำณ 10,000 บำท เมอื่ ส้ินสุดปีที่ 3 เขำ
ตอ้ งฝำกเงินต้นไวอ้ ยำ่ งนอ้ ยเท่ำใด

38

เอกสารประกอบการเรยี น เร่ืองลาดบั และอนุกรม (Sequences and Series)
รายวชิ าคณติ ศาสตรเ์ พ่ิมเติม ชน้ั มัธยมศึกษาปที ่ี 6

ตวั อยา่ งท่ี 67 ดำรงได้รับมรดกเป็นเงิน 94,349.42 บำท จำกคุณพ่อซ่ึงฝำกเงนิ จำนวนหนง่ึ ไว้กับธนำคำร
เม่ือ 15 ปีที่แล้ว โดยไม่มีกำรฝำกและถอนเงินในระหว่ำงนี้ ถ้ำธนำคำรคงอัตรำดอกเบ้ีย 2% ต่อปี และคิด
ดอกเบย้ี แบบทบต้นทกุ 6 เดือน จงหำเงินต้นทคี่ ณุ พอ่ ของดำรงฝำกไว้เมือ่ 15 ปีกอ่ น

ตัวอย่างที่ 68 วำรีกู้เงินจำกณัชชำ โดยมีกำหนดชำระหน้ีท้ังหมดในอีก 2 ปีข้ำงหน้ำ เป็นเงิน 46,656
บำท ถ้ำณัชชำกำหนดอัตรำดอกเบี้ย 8% ต่อปี โดยคิดดอกเบี้ยแบบทบต้นทุกปี จงหำจำนวนเงินท่ีวำรีกู้
จำกณชั ชำ

ตวั อย่างที่ 69 ปยุตกู้เงินจำกวำยุจำนวน 2 ยอด โดยยอดแรกต้องชำระ 29,291.48 บำท ในอีก 2 ปี
ขำ้ งหน้ำ สว่ นอีกยอดหน่ึงต้องชำระ 14,859.47 บำท ในอีก 5 ปีขำ้ งหน้ำ ถำ้ วำยกุ ำหนดอัตรำดอกเบย้ี 8%
ตอ่ ปี โดยคิดดอกเบย้ี แบบทบต้นทกุ 3 เดอื น จงหำจำนวนเงินทั้งหมดทป่ี ยตุ กจู้ ำกวำยุ

39

เอกสารประกอบการเรียน เร่อื งลาดบั และอนกุ รม (Sequences and Series)
รายวิชาคณิตศาสตรเ์ พิ่มเติม ชน้ั มธั ยมศึกษาปที ี่ 6

ตัวอย่างที่ 70 ทุกวันที่ 1 มกรำคม น้ำหวำนจะฝำกเงิน 1,000 บำท เข้ำบัญชีธนำคำรที่ให้ดอกเบี้ย 8%
ตอ่ ปี โดยคิดดอกเบี้ยแบบทบต้นทุกปี นำ้ หวำนจะไดเ้ งินรวมเท่ำใด

1) เมอ่ื สิ้นปที ี่ 3
2) เมอื่ สน้ิ ปที ่ี 10

ค่างวด
ในชีวิตประจำวัน นักเรียนคงได้พบเห็นกำรรับหรือกำรจ่ำยเงินเป็นงวด ๆ เช่นกำรฝำกเงินในธนำคำรเป็น
ประจำทุกเดือน กำรซ้ือของแบบผ่อนส่ง กำรจ่ำยค่ำเช่ำบ้ำนรำยเดือน กำรจ่ำยเบี้ยประกันรำยปี กำรรับ
เงินเดอื นทกุ เดอื น ซึ่งจะเรยี กกำรรบั หรอื กำรจ่ำยเงนิ ลกั ษณะนวี้ ำ่ กำรรบั หรือจำ่ ยคำ่ งวด
กำรรบั หรือจำ่ ยคำ่ งวด มลี ักษณะ 3 ประกำร ดังนี้

1) รับหรือจำ่ ยเท่ำกนั ทุกงวด
2) รับหรอื จำ่ ยตดิ ตอ่ กันทุกงวด
3) รับหรือจำ่ ยตอนต้นงวดหรือสิน้ งวด

40

เอกสารประกอบการเรียน เรอ่ื งลาดบั และอนุกรม (Sequences and Series)
รายวิชาคณติ ศาสตร์เพมิ่ เติม ชนั้ มัธยมศกึ ษาปที ี่ 6

การหาเงนิ รวมของค่างวดทงั้ หมด

เมื่อมีกำรรับหรือจ่ำยค่ำงวดติดต่อกันเป็นระยะเวลำหนึ่ง โดยกำหนดอัตรำดอกเบ้ียคงที่ตลอดระยะเวลำ
ดังกล่ำว เมื่อสิ้นสุดระยะเวลำท่ีกำหนด เงินรวมของค่ำงวดทั้งหมดจะเท่ำกับผลบวกของมูลค่ำอนำคตของค่ำ
งวดแตล่ ะงวด กำรคำนวณหำเงินรวมทง้ั หมดจะแบ่งเปน็ 2 กรณี คอื คำ่ งวดทีร่ บั หรือจ่ำยตอนต้นงวด และค่ำ
งวดทีร่ ับหรือจำ่ ยตอนสิน้ งวด

คา่ งวดที่รับหรอื จา่ ยตอนตน้ งวด

พจิ ำรณำกำรรบั หรือจ่ำยเงินแต่ละงวด โดยทีแ่ ตล่ ะงวดเปน็ เงิน R บำท ซึ่งเริม่ รับหรือจำ่ ยเงินตอนต้นงวดรวม
ท้ังหมด n งวด และอตั รำดอกเบ้ียตอ่ งวดเป็น i%

ให้ r = i

100

จะได้ เงินรวมเม่ือส้ินงวดที่ n คือ R(1+ r) + R(1+ r)2 + + R(1+ r)n ซ่ึงเป็นอนุกรมเรขำคณิตที่มี
n พจน์ โดยพจนแ์ รก คือ R(1+ r) และอัตรำส่วนรว่ ม คอื 1+ r

( ) ( )ดงั น้นั เงนิ รวมเมอื่ ส้ินงวดท่ี n คอื
R (1+ r ) (1+ r )n −1 ซงึ่ เท่ำกับ R (1+ r ) (1+ r )n −1
(1+ r) − 1
r

คา่ งวดทีร่ บั หรือจ่ายตอนสิ้นงวด

พจิ ำรณำกำรรับหรือจ่ำยเงินแตล่ ะงวด โดยทีแ่ ต่ละงวดเป็นเงิน R บำท ซ่ึงเร่ิมรับหรอื จ่ำยเงินตอนสิ้นงวด รวม
ท้งั หมด n งวด และอตั รำดอกเบี้ยตอ่ งวดเป็น i%

ให้ r = i

100

41

เอกสารประกอบการเรยี น เรื่องลาดับและอนุกรม (Sequences and Series)
รายวชิ าคณติ ศาสตร์เพม่ิ เติม ชัน้ มัธยมศึกษาปที ี่ 6

จะได้ เงนิ รวมเมอ่ื สิ้นงวดที่ n คอื R + R (1+ r) + R (1+ r)2 + + R (1+ )r n−1

ซ่ึงเป็นอนกุ รมเรขำคณติ ที่มี n พจน์ โดยพจนแ์ รก คือ R และอตั รำสว่ นรว่ ม คือ 1+ r

( ) ( )ดังน้นั เงนิ รวมเม่ือส้ินงวดท่ี
คอื R (1+ r )n −1 หรือ R (1+ r )n −1
(1+ r ) −1
n r

ตัวอยา่ งท่ี 71 เพ็ญฝำกเงนิ 100 บำท เขำ้ บัญชธี นำคำรทุกตน้ เดอื น ได้รับอตั รำดอกเบย้ี 6% ต่อปี โดยคิด
ดอกเบย้ี แบบทบต้นทุกเดือน เมือ่ สน้ิ ปีที่ 2 เพญ็ จะได้เงินรวมเท่ำใด

ตัวอยา่ งท่ี 72 สำยฟ้ำฝำกเงนิ 100 บำท เขำ้ บญั ชีธนำคำรทกุ สน้ิ เดือน ไดร้ ับอตั รำดอกเบยี้ 6% ต่อปี โดย
คดิ ดอกเบ้ียแบบทบตน้ ทุกเดอื น เม่ือส้ินปที ี่ 2 สำยฟำ้ จะไดร้ ับเงินเดอื นเทำ่ ใด

42

เอกสารประกอบการเรียน เรอื่ งลาดับและอนกุ รม (Sequences and Series)
รายวชิ าคณติ ศาสตรเ์ พมิ่ เตมิ ชน้ั มัธยมศึกษาปที ่ี 6

ตัวอย่างท่ี 73 น้ำทิพย์ซ้ือเครอ่ื งซักผ้ำรำคำ 20,000 บำท โดยตกลงจ่ำยเงนิ ดำวน์ 5,000 บำท และผ่อน
ชำระส่วนท่ีเหลือเป็นจำนวนเงินเท่ำกันทุกเดือน เป็นเวลำ 6 เดือน โดยผ่อนชำระทุกสิ้นเดือน ถ้ำอัตรำ
ดอกเบี้ย 12% ตอ่ ปี โดยคิดดอกเบ้ียแบบทบต้นทกุ เดือนแล้ว น้ำทพิ ยจ์ ะต้องผอ่ นชำระเดอื นละเทำ่ ใด

43