การคูณเมทริกซ์

กาํ หนดให้ A = aij m×n และ k ∈ R ( R แทน จาํ นวนจริง)
จะไดว้ า่ kA = k aij m×n = kaij m×n

ใหน้ าํ ค่า k คูณสมาชิกทุกตวั ในเมทริกซ์

คุณสมบตั กิ ารคูณเมทริกซ์ดวั ยจาํ นวนจริง

กาํ หนดให้ A B เป็ นเมทริกซ์ ขนาด mxn และ k,l ∈ R จะได้
) kA จะมีมิติเป็ น m x n
) (kl) A = k (lA) = l(kA)
) k( A + B) = kA + kB
) (k + l) A = kA + lA
) 1⋅ A = A
) (−1) A = − A

ตวั อยา่ งที 6.1 กาํ หนดให้ A = 1 8 จงหาค่า 1 A
2 4
4

วธิ ีคิด 1A = 1 1 8
4 4 2 4  2×2

1× 1 8 × 1 
 4 4 
= 
2 1 1 
× 4 4 × 4 

2×2

1 2
 
=  4 ตอบ
ตอบ
1 12×2
 2

ตวั อยา่ งที 6.2 กาํ หนดให้ A = −1 3 จงหาค่า (−2)A
 2 4

วธิ ีคิด (−2) A = (−2) −1 3
 2 4  2×2

= (−1) × (−2) 3× (−2)
 2(−2) 4 × (−2)2×2

= 2 −6
−4 −8 2×2

ตวั อยา่ งที 6.3 กาํ หนดให้ A = −1 2 จงหาค่า (2 × 4)A
 3 4

วธิ ีคิด (2 × 4) A = 8 A = 8 −1 2
 3 4  2×2

= 8×1 8× 2
8 × 3 8 × 42×2

= 8 16 
24 32  2×2

หรือ (2 × 4) A = 2( 4 A) = 2 4 1 2  (จากคุณสมบตั ิ )
3 4 ตอบ
2×2

= 2 44××13 4 × 2 2×2 
4 × 4

= 2 4 6
12 16  2×2

=  4×2 8×2 
12 × 2 16 × 22×2

= 8 16 
24 32  2×2

ตวั อยา่ งที 6.4 กาํ หนดให้ A = 1 −2 0 3 จงหาค่า − 1 A
0 −1 1 0  2×4
2

วธิ ีคิด (− 1)A = − 1 1 −2 0 3
2 2 0 −1 1 0  2×4

1. − 1  −2. − 1  0. − 1  3. − 1  
2 2 2 2
=
0. 1  −1. 1  1. 1   1 
− 2 − 2 − 2 0. − 2

2×4

− 1 1 0 − 3 
 2 2 
= 
..0 1 −1 02×4
2 2

ตอบ

นิยาม กาํ หนดให้ A = aij m×n และ B = bij n×p แลว้

A ⋅ B = aij m×n ⋅ bij n× p = cij m× p

โดยที cij = aij ⋅ bij + ai2b2 j + ... + ain ⋅ bnj

แผนภาพอธิบายนิยาม

aa1211 a12 ⋯ a1n  b11 b12 b1 p  c11 c12 c1 p 
⋮ a22 ⋯ a2n   
⋮  b21 b22 b2 p  = c21 c22 c2 p 
A ⋅ B = ⋅ ⋮ ⋮  ⋮ 
⋯⋮  ⋮  ⋮ ⋮ 

am1 am2 ⋯ amn m×n bn1 bn2 bnp n× p cm1 cm2 cmp m× p

C1p = a11 ⋅ b1p + a12 ⋅ b2 p + ... + a1n ⋅ bnp
C12 = a11 ⋅ b12 + a12 ⋅ b22 + ... + a1n ⋅ bn2
C11 = a11 ⋅ b11 + a12 ⋅ b21 + ... + a1n ⋅ bn1

จากภาพการคูณเมทริกซ์ดัวยเมทริกซ์

) มิติของาคอลมั น์ (n) ของเมทริกซ์ เท่ากบั มติ ิของแถว (n) ของเมทริกซ์หลงั
) คาํ ตอบของเมทริกซ์ จะมีมติ ิเป็ น m × p (ส่วนมิตทิ เี หลอื จากข้อ )
) สมาชิกแต่ละค่าหาได้จากผลบวกของแถวเมทริกซ์แรกคูณกบั คอลมั น์เมทริกซ์สอง
(ทาํ จนครบจํานวนสมาชิกของคาํ ตอบ)

ตวั อยา่ งที 6.5 กาํ หนดให้ A = [2 ]4 1×2 และ B = 1 2 จงหา A ⋅ B
4 2  2×2

1 2
4 22×2
วธิ ีคิด [ ] [ ]=A ⋅ B = 2 4 1×2 ⋅
c11 c12 1×2

c12 = (2 × 2) + (4 × 2) = 4 + 8 = 12

จะได้ A ⋅ B = [18 ]12 1×2 c11 = (2 ×1) + (4 × 4) = 2 + 16 = 18

ตอบ

ตวั อยา่ งที 6.6 กาํ หนดให้ A = 3 2 B = 1 4 5 จงหา AB และ BA
6 4 2 3 2

วธิ ีคิด ) หาค่า A⋅ B = 3 2 ⋅ 1 4 =5 cc1211 c12 c13 
6 4  2×2 2 3 c22 c23 
2  2×3 2×3

c23 = (6 × 5) + (4 × 2) = 30 + 8 = 38
c22 = (6 × 4) + (4 × 3) = 24 + 12 = 36
c21 = (6 ×1) + (4 × 2) = 6 + 8 = 14

c11 = (3×1) + (2 × 2) = 3 + 4 = 7
c12 = (3× 4) + (2 × 3) = 12 + 6 = 18
c13 = (3× 5) + (2 × 2) = 15 + 4 = 19

A ⋅ B = 7 18 19 
14 36 38 2×3

) หาค่า B ⋅ A = 1 4 5 ⋅ 3 2
2 3 2  2×3 6 42×2

∴ หาค่าไม่ไดเ้ พราะมิติของคอลมั น์ ไม่เท่ากนั มิติของแถวนนั 3 ≠ 2

ตอบ

คุณสมบัติการคูณเมทริกซ์ด้วยเมทริกซ์

กาํ หนดให้ A = aij m×n และ B = bij n×p จะไดว้ า่
) มีสมบตั ิปิ ดการคูณ

) AB ≠ BA (ไม่การสลบั ที)

) ( AB)C = A(BC) (มีการจดั หม่)ู

) AI = IA = A (มีเอกลกั ษณ์)

) AO = OA = O (มีอินเวอรส)

) A(B + C) = AB + AC (มีการแจกแจง)

ตวั อยา่ งที 6.7 กาํ หนดให้ A = 3 2 I = 1 0 จงหา AI และ IA
−1 0  2×2 0 1  2×2

วธิ ีคิด หาค่า AI = 3 2 ⋅ 1 0 = 3 2 = A
−1 0  2×2 0 12×2 −1 1  2×2

หาค่า IA = 1 0 ⋅ 3 2 = cc1211 c12 
0 1  2×2 −1 02×2 c22 
2×2

c22 = (0 × 2) + (1× 0) = 0

c21 = (0 × 3) + (1× −1) = −1

c11 = (1× 3) + (0 × −1) = 3

c12 = (1× 2) + (0 × 0) = 2

= 3 2 =A ตอบ
−1 0

ตวั อยา่ งที 6.8 กาํ หนดให้ 1 3
จงหาค่า A = 2 −1
4 
0

B = 1 0 −1 0
2 1 3 4

A⋅B

วธิ ีคิด 1 3  1 0 −1 0 = c□11 c12 c13 c14 
A ⋅ B = 2 −1 ⋅ 2 1 3 4  2×4 □ □ □ 

0 4 3×2 □ □ □ □
 
 □ □ □ □ 3×4

c14 = (1× 0) + (3 × 4) = 0 + 12 = 12

c13 = (1× −1) + (3 × 3) = −1 + 9 = 8

c12 = (1× 0) + (3 ×1) = 0 + 3 = 3

c11 = (1×1) + (3 × 2) = 1 + 6 = 7

…… ค่าอืนๆ หาเหมือนกนั …….
……………………………………

7 3 8 12  ตอบ
= 0 −1 −5 −4

8 4 12 16 3×4