สถิติ 1O1

หน่วยท่ี 5

การวัดแนวโน้มเข้าส่สู ่วนกลาง

สาระการเรียนรู้

• สญั ลกั ษณแ์ สดงผลบวก
• คา่ เฉลย่ี เลขคณติ
• ฐานนิยม
• มธั ยฐาน

ค่ากลางของข้อมลู

ค่ากลางของขอ้ มลู คอื ตวั แทนของกลมุ่ ขอ้ มลู ทเ่ี ราสนใจ ค่ากลางของขอ้ มลู ที่ดคี วรจะสะท้อนใหเ้ ราเหน็
ภาพรวมของขอ้ มลู ไดช้ ดั เจน การวดั ค่ากลางของขอ้ มูลมหี ลายวธิ ดี งั นี้

ค่า•••เคคคฉา่่า่าลเเเี่ยฉฉฉลลล(Mย่ี่่ยยีี ฮเเeลราaขขรnาคม์ ค)ณอณนิติตกิ

ฐานนยิ ม (Mode)
มัธยฐาน (Median)
คา่ ก่งึ กลางพิสยั (Mid-range)

กอ่ นอนื่ มารจู ้ กั
สญั ลกั ษณแ์ สดงผลบวก

การใชส้ ญั ลกั ษณ์

การใช้สัญลักษณ์ " “
เปน็ อักษรกรกี
อ่านว่า ซิกมา (Sigma)
หรอื (Summation)
แทนสัญลักษณ์แสดงบวก

สมบตั ขิ อง ทคี่ วรทราบ เมอื่ X,Y เป็ น
ตวั แปร และ C,D เป็ นคา่ คงที่

n

1. c = cn
i=1

2. nn

cxi = c xi
i=1 i=1

3. nn

(cxi + d) = c xi + nd
i=1 i=1

n nn

(xi + yi ) = xi + yi
  4.
i=1 i=1 i=1
  5.
n nn

(xi − yi ) = xi − yi

i=1 i=1 i=1

5
ตวั อย่ำงท่ี 1 จงหำค่ำ
5

i =1

5

วิธที ำ  5 = 5(5)
i =1
= 25

4
ตัวอยำ่ งท่ี 2 กำหนดให้ x1=4,x2=3,x3=2,x4=1 จงหา  xi
i=2

วธิ ีทา 4 =x2 +x3 +x4

xi
i=2
=3+2+1

=6

4
ตัวอย่ำงที่ 3 กำหนดให้ x1=4,x2=-3,x3=2,x4=3 จงหา5xi
i=1

44

5xi =5 xi
 วธิ ีทา
i=1 i=1

=5( x1+x2 +x3 +x4 )

=5(4-3+2+3)

4 =5(6)

5xi =30

i=1

4 3
จงหา i
ตวั อยำ่ งท่ี 4 กำหนดให้ x1=4,x2=-1,x3=0,x4=3 x

4 i=2

วธิ ที า xi3 =x 3 +x 3 +x 3
2 3 4
i=2 =(-1)3 +(0)3 +(3)3

= ( -1) +0+27

=(-1)+27

4 =26

ดังนัน้  xi3
i=2

ตวั อยำ่ งที่ 5 จงเขียนใหอ้ ยู่ในรปู สญั ลักษณ์แสดงผลบวก

5.1 x12 +x22 +x 2 +...+x 2
3 5
5
x12 +x 2 +x 2 +...+x 2 2
วธิ ที า 2 3 5 = x i

5.2 x2y2 +x3y3 +...+x15y15 i=1

15

วิธีทา x2y2 +x3y3 +...+x15y15 = xiyi
i=2

มำลองทำกิจกรรมกนั

ให้นกั เรยี นทำ
- กจิ กรรมที่ 5.1 หนำ้ 107
- แบบฝกึ หัดที่ 5.1 หน้ำ 109

โดยสรปุ :

คา่ เฉลยี่

ค่าเฉล่ียของข้อมลู ชุดหน่ึง

ค่ามธั ยฐาน

ค่ากลางในขอ้ มลู ชุดหน่ึง

ฐานนิยม

จานวนที่พบบอ่ ยท่ีสุดในข้อมลู ชุดหน่ึง

คำ่ เฉลย่ี เลขคณิต
(Arithmetic mean)

ค่ำเฉลยี่ เลขคณิต คือ ตัวแทนของกล่มุ
ข้อมลู ที่เราสนใจ ค่ากลางของข้อมลู ท่ี
ดคี วรจะสะท้อนให้เราเหน็ ภาพรวม
ของข้อมลู ไดช้ ดั เจน

เด็กผูช้ าย

สูตรการหาค่าเฉลย่ี

ค่ำเฉลยี่ เลขคณิต x

ขอ้ มูลท่ไี ม่ไดแ้ จกแจง ถว่ งนา้ หนัก คา่ เฉลยี่ รวม ขอ้ มูลทีแ่ จกแจงความถ่ี
ความถี่
k k n
n  wixi
x= i=1  ni x i  fixi
 xi k xรวม = i=1
k x= i=1
x= i=1  wi ni N
N i=1
i=1

คำ่ เฉลี่ยเลขคณิต
(Arithmetic mean)

กรณขี อ้ มลู ไมแ่ จกแจงควำมถ่ี

ตวั อย่ำงที่ 6 6
 xi
จงหำอำยุเฉล่ยี ของนกั เรยี น วิธีทำ จำก x= i=1
จำนวน 6 คน ปรำกฏผลดงั นี้
18, 17, 16, 20, 18, และ 19 ปี N
18+17+16+20+18+19
x= 108 6
x=
x=186

ดังนน้ั อำยุเฉลี่ยของนกั เรียน 6 คน เทำ่ กบั 18 ปี

คำ่ เฉลีย่ เลขคณิต
(Arithmetic mean)

กรณีข้อมูลแจกแจงควำมถ่ี

ตัวอย่ำงท่ี 7 ตำรำงแสดงอำยขุ องนกั เรียน จำนวน 30 คนดงั น้ี
จงหำค่ำเฉล่ยี ของคะแนนสอบของนกั เรียนกลุม่ น้ี

อายุ 11 12 13 14 15
3
จานวนนกั เรยี น 7 1x2i 5 3

5
 fixi
อำยุ xi จำนวนนกั เรียน fi fi x i x= i=1
สูตร N
11 3 33
12 7
13 12 84 = 388
14 5 30
15 3 156

N=30 70 = 12.93 ปี
ดงั นัน้ อายุเฉลยี่ ของนักเรียนกล่มุ นี้ คอื 12.93 ปี
45

k fixi = 388


i=

ตัวอย่ำงท่ี 8 ตำรำงคะแนนสอบวิชำภำษำอังกฤษ ของนักเรยี นชัน้ ปวช.1 ดังตำรำงดำ้ น

จงหำค่ำเฉลี่ยของคะแนนสอบของนักเรียนกลุม่ น้ี n

คะแนน จำนวนนกั เรียน fi xi fi x i  fixi

25-35 1 30 30 x= i=1
246 N
36-46 6 41
=1791/30

47-57 3 52 156 =59.70

58-68 12 63 756 ดงั นัน้ คะแนนสอบเฉลีย่ ของชน้ั
69-79 7 74 518 ปวช. วชิ าภาษาอังกฤษ
80-90 1 85 85 คอื 59.70 คะแนน

N=30 k fi x i = 1791


i=

แบบฝกึ หดั ท่ี 1

ฐำนนิยม (Mode)

ฐำนนิยม (Mode) เปน็ ค่าของขอ้ มลู ท่มี คี วามถ่สี ูงสดุ

หรอื มจี านวนซ้ากนั มากที่สดุ
สญั ลกั ษณแ์ ทน ฐานนยิ ม คอื Mo

วธิ ีกำรหำฐำนนิยม ในตัวอยา่ งน้ี จะเปน็ :

กรณขี ้อมลู ไมไ่ ด้แจกแจงความถี่ 176, 178, 178, 189

เรียงลาดับตัวเลขท้ังหมดจากน้อยไปมาก สังเกตงา่ ย ๆ ว่าฐานนิยมก็คือ
หมายเลขท่ีปรากฏบอ่ ยท่ีสุดจะเรยี กว่า ฐานนิยม 178

เน่ืองจากเปน็ ตัวเลขเดียว
ท่ีเกิดข้ึนสองคร้ัง

ตวั อย่ำงท่ี 9 จงหาฐานนยิ มของข้อมูลตอ่ ไปน้ี

1. 3 , 3 , 6 , 8 , 9 , 9 , 9 , 8 , 8 , 8
ตอบ ฐำนนิยม คอื 8
2. 2 , 3 , 5 , 5 , 5 , 9 , 9 , 8 , 8 , 8
ตอบ ฐำนนยิ ม คือ 5 และ 8
3. 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9
ตอบ ไม่มฐี ำนนิยม

วธิ หี าฐานนิยม:

กรณขี อ้ มลู แจกแจงความถ่ี

วธิ หี ำฐำนนยิ ม (Mode)

กรณีขอ้ มลู แจกแจงควำมถ่ี

ข้นั ตอนกำรหำค่ำฐำนนิยม

1. เลือกช้นั ของข้อมลู ที่มีควำมถีส่ ูงท่สี ุด

2. คำนวณหำโดยใชส้ ูตร

สูตร Mo =L0 +I d1  L0 คือ ขอบลา่ งของชัน้ ทม่ี ีความถ่สี ูงทีส่ ุด (ชั้นฐานนยิ มอย)ู่
 d1 +d2  I คอื ความกวา้ งอันตรภาคช้นั
 d1 คอื ผลตา่ งระหวา่ งความถ่ขี องชัน้ ฐานนิยมกบั ชน้ั ท่ีมีขอ้ มูลต่ากวา่

d2 คือ ผลต่างระหวา่ งความถขี่ องชัน้ ฐานนยิ มกับชั้นทีม่ ีข้อมลู สงู กวา่

ตวั อย่ำงที่ 9 จงหำฐำนนยิ มของคะแนนสอบยอ่ ยวชิ ำภำษำอังกฤษซง่ึ มีคะแนนเต็ม 10 จำนวน 30 คน

คะแนน 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
ความถี่ 1 0 2 3 2 5 3 2 6 5 1

ดงั นนั้ ฐำนนิยมของคะแนนสอบยอ่ ยวชิ ำภำษำองั กฤษ คือ 8 คะแนน

ตวั อย่ำงท่ี 10 ตำรำงแสดงจำนวนวันหยดุ ของนกั เรยี นจำนวน 29 คน ดังน้ี  d1 
 d1 +d2 
จงหำฐำนนิยมของวนั หยดุ ของนกั เรยี นกลมุ่ น้ี สูตร Mo =L0 +I  

จำนวน จำนวนนกั เรียน L0 = 9+8 = 17 =8.5
วนั หยุด 2 2
I=3 Mo=8.5+3  9 
9+5 
0-2 1 d1= 12-3 =9
3-5 6 d2 = 12-7 =5 Mo=8.5+3  9 
6-8 3  14 
=8.5+3(0.64)
9-11 12 ฐานนิยม =8.5+1.92
Mo=10.42
12-14 7

ดงั นัน้ ฐำนนยิ มของจำนวนวนั หยดุ ของนักเรยี น คอื 10.42 วนั

มธั ยฐาน (Median)

มธั ยฐำน(Median) คือ ค่าทมี่ ตี าแหนง่ อย่ตู รงกลางของ

ข้อมลู

Meสัญลกั ษณแ์ ทน มัธยฐำน คือ

กำรหำค่ำมัธยฐำน

หมายเหตุ: กรณีขอ้ มลู ไมไ่ ด้แจกแจงความถ่ี

ขั้นตอนกำรหำคำ่ มัธยฐำน

1. เรยี งลำดบั ขอ้ มูลจำกนอ้ ยไปหำมำก

2. หำตำแหน่งของมัธยฐำน N+1 เมือ่ N แทนจำนวนข้อมูลทัง้ หมด
2
N+1
3. พจิ ำรณำตำแหน่ง มัธยฐำน คอื ค่ำของข้อมลู ในตำแหนง่ ที่ 2

ตัวอย่ำงท่ี 11 จากข้อมูลต่อไปน้ี 5,3,8,4,7,3,9 จงหามัธยฐาน

วิธีทำ 3 3 4 5 7 8 9 ตัวอยา่ งท่ี 11 จงหามธั ยฐานของค่าใช้จ่ายของ
นักเรยี น 6 คนดังน้ี 122, 120, 125, 240, 210, และ
ตาแหนง่ มธั ยฐาน คือ N+1 = 7+1 = 8 =4 200 บาท
2 2 2
วธิ ที ำ 120 122 125 200 210 240

ดังน้นั มธั ยฐำน คอื 5 ตาแหนง่ มัธยฐาน คอื N+1 = 6+1= 7 =3.5
2 2
2

นัน่ คือ ตาแหนง่ ทมี่ ัธยฐานอยู่กง่ึ กลางระหว่างตาแหน่งที่ 3
และ4

ดงั นัน้ มธั ยฐำนของค่ำใช้จำ่ ยของนักเรียน

คอื 125+200 =162.5 บำท

2

กำรหำค่ำมัธยฐำน

หมายเหตุ: กรณีขอ้ มลู แจกแจงความถ่ี

กำรคำนวณหำคำ่ มัธยฐำนสำมำรถคำนวณได้โดยใชส้ ูตร

 N - fL  เมอ่ื L0 แทน ขอบลา่ งทมี่ คี า่ มัธยฐานอยู่ เรยี กว่า “ช้นั มธั ยฐาน”
 2  I แทน ความกวา้ งอันตรภาคชั้น
มธั ยฐำน (Me) =L0 +I  fm  fm แทน ความถ่ขี องข้อมูลในชั้นมัธยฐาน

  fLแทน ความถี่สะสมของช้นั ทต่ี า่ กวา่ ชัน้ มัธยฐาน


N แทน จานวนขอ้ มูลทัง้ หมดหรือความถีท่ งั้ หมด

กำรหำค่ำมธั ยฐำน

หมายเหตุ: กรณีขอ้ มลู แจกแจงความถี่

ข้นั ตอนกำรหำคำ่ มัธยฐำน

1. หำควำมถี่สะสมของขอ้ มูล
2. หำตำแหน่งของมธั ยฐำนอยู่ คือ N

2
3. หำชนั้ ที่มมี ัธยฐำนพจิ ำรณำจำกตำแหน่งมธั ยฐำนในข้อ 2 เทียบกับคำ่ ควำมถี่สะสม โดยค่ำตำแหน่งน้นั

จะตอ้ งไมเ่ กนิ ค่ำควำมถี่สะสมในชน้ั ใดชนั้ หน่งึ แสดงวำ่ ชน้ั น่นั คอื ช้นั มัธยฐำน

4. หำคำ่ L0 , I, fm , fL , N แล้วแทนคำ่ ลงในสูตรมัธยฐำน

ตัวอย่ำงท่ี 12ตำรำงคะแนนสอบวิชำภำษำอังกฤษ ของนกั เรยี นช้ัน ปวช.1 ดังนี้

จงหำมัธยฐำนของคะแนนสอบของนกั เรียนกลมุ่ น้ี * หาตาแหนง่ คือ 15

คะแนน จำนวนนกั เรยี น ควำมถ่ีสะสม LI 0==4161+247 = 93 =46.5
2
25-35 1 1
36-46 6 7  fL= 7
47-57 12 19 มัธยฐาน
58-68 3 fm= 12  N 
69-79 7 22 +I 2 
80-90 1 29 สูตร - fL
30 
Me =L0 fm 




ตัวอยำ่ งที่ 12ตำรำงคะแนนสอบวชิ ำภำษำองั กฤษ ของนักเรยี นช้นั ปวช.1 ดงั น้ี
จงหำมัธยฐำนของคะแนนสอบของนกั เรียนกลุม่ นี้

สตู ร  N - fL  Me=46.5+7.37
 2 
Me =L0 +I  Me=53.87
 fm 
ดงั นัน้ มัธยฐำนของคะแนนสอบวิชำ
 ภำษำองั กฤษ คอื 53.87 คะแนน


Me=46.5+11 15-7 
12 

=46.5+11 8 
12 

=46.5+11(0.67)

นี่เป็ นวธิ จี าง่ายๆ --

คา่ เฉลยี่ คา่ มธั ยฐาน ฐานนิยมจะปรากฏ
คอื คา่ เฉลยี่ จะอยตู่ รงกลาง ใหเ้ ห็นมากทสี่ ดุ

พรงุ่ นี้ เราจะนาแนวคดิ เหลา่ นี้
ไปใชก้ บั ปัญหาทซี่ บั ซอ้ นมากขนึ้

ขอบคณุ