- 13 -
O Adunarea numerelor naturale, propriet[\i.
Activit[\i preg[titoare
1. #ntr-o tab[r[ de matematic[ vor merge 67 de b[ie\i ]i 53 de fete. C`\i copii vor
merge @n tab[r[?
2. Un autoturism a parcurs 228 de kilometri pe
traseul Craiova-Bucure]ti ]i 225 de kilometri pe
traseul Bucure]ti-Constan\a. C`\i kilometri a parcurs
@n total autoturismul?
No\iuni teoretice
Adunarea.
Prin opera\ia de adunare, asociem unei perechi de numere naturale, de exemplu
numerelor naturale 125 ]i 428 num[rul natural 135 428, pe care @l scriem 563.
135 428 este suma neefectuat[, 135 ]i 428 sunt termenii adun[rii, iar 563 este
suma efectuat[.
Scriem: 135 428 563.
Suma a dou[ numere naturale a ]i b se noteaz[ cu a b.
a se nume]te primul termen al sumei, iar b al doilea termen.
Propriet[\ile adun[rii numerelor naturale.
comutativitatea: a b b a, oricare ar fi numerele naturale a ]i b.
Suma a dou[ numere naturale nu depinde de ordinea termenilor!
Exemplu: 340 532 532 340.
- 14 -
asociativitatea: a b c (a b) c a (b c), oricare ar fi numerele
naturale a, b ]i c.
C`nd adun[m trei termeni, @nt`i adun[m doi dintre ei, apoi suma lor o
adun[m cu al treilea termen.
Aceast[ proprietate poate u]ura calculele.
Exemplu: 274 537 163 274 (537 163) 274 700 974.
element neutru: a 0 0 a a, oricare ar fi num[rul natural a.
Suma dintre orice num[r natural ]i 0 este chiar acel num[r natural.
Num[rul 0 este element neutru pentru adunare.
Propriet[\ile definite mai sus r[m`n valabile pentru mai multe numere naturale.
Suma numerelor naturale nu se schimb[ dac[:
se modific[ ordinea termenilor;
se introduc paranteze (se grupeaz[ termenii);
se elimin[ parantezele;
se @nlocuiesc termenii cu sume neefectuate care sunt egale cu ei;
se adaug[ sau se elimin[ termeni nuli (egali cu zero).
Exerci\ii rezolvate.
1. a) Ar[ta\i c[ 1 2 3 n n (n 1) : 2, pentru orice num[r natural
50.
nenul n.
b) Calcula\i 1 2 3
Solu\ie.
a) Not[m S 1 2 3 (n 1) n. Folosind propriet[\ile adun[rii nu-
merelor naturale S se poate scrie ]i S n (n 1) 2 1. Adun`nd membru cu
membru cele dou[ egalit[\i avem: 2S (1 n) 2 (n 1) (n 1) 2
(n 1) de unde ob\inem 2S (n 1) (n 1) (n 1) . Rezult[ 2S n (n 1)
de n ori (n 1)
deci S n (n 1) : 2.
Comentariu: Formula ob\inut[ se nume]te ]i formula Gauss.
b) Pentru n 50, folosind rezultatul de la a) ob\inem: 1 2 3 50
50 51 : 2 1275.
- 15 -
2. Determina\i numerele de forma ab, scrise @n baza 10, ]tiind c[ sunt cu 54
mai mari dec`t r[sturnatele lor.
Solu\ie.
Din enun\ avem: ab ba 54, a, b 0 sau echivalent 10a b 10b
a 54 de unde g[sim c[ 9a 9b 54 adic[ a b 6.
Dac[ b 1, rezult[ a 7, deci ab 71.
Dac[ b 2, rezult[ a 8 deci ab 82.
Dac[ b 3, rezult[ a 9 deci ab 93.
PROBLEME PROPUSE
1. Calcula\i: b) 253 424; c) 763 1829;
a) 53 46; e) 12 34 56 78; f) 2017 20018 200019.
d) 7503 441 19
2. Grupa\i numerele de mai jos @n perechi a c[ror sum[ este 100:
14; 66; 40; 60; 11; 75; 64; 34; 100; 89; 86; 0; 25; 36.
3. Completa\i desenul din Figura...... folosind procedeul indicat @n figur[.
Fig.
a+b
ab 5
123 4
4. Calcula\i, grup`nd convenabil termenii:
a) 507 486 493 114; b) 2051 447 153 19;
c) 11253 182 267 118; d) 1503 225 700 77 565.
e) 23431 5462 1169 2238.
- 16 -
5. Tabelul de mai jos prezint[ distan\ele dintre Bucure]ti ]i c`teva ora]e europene.
Bucure]ti Budapesta 836 km
Bucure]ti Paris 2313 km
Bucure]ti Berlin 1701 km
Bucure]ti Viena 1071 km
Bucure]ti Madrid 3347 km
Bucure]ti 3900 km
Lisabona
a) Care este distan\a dintre Bucure]ti ]i Paris?
b) Care este cel mai @ndep[rtat ora] fa\[ de
Bucure]ti (dintre ora]ele prezentate @n tabel)?
c) C`te ora]e, dintre cele prezentate mai sus, 7 667.
sunt la cel mult 2000 de kilometri fa\[ de Bucure]ti?
6. Calcula\i a b dac[: a) a 563, b 7 503; b) a 12 637, b
7. Completa\i p[tratul magic din Figura ......., ]tiind c[ 12 21 Fig.
13
suma numerelor de pe fiecare linie ]i de pe fiecare
17
coloan[ este 40.
8. Dac[ x 1 001, y 999, z 559, calcula\i: x y, z x, y z, x y z.
9. Afla\i num[rul natural x, ]tiind c[: a) x 11 99;
d) x (651 438) 2 401;
b) 123 x 765; c) x 101 199;
10. Fie suma S 16 17 18 49 50 51.
a) C`\i termeni are suma?
b) Calcula\i 16 51, 17 50, 33 34. Ce observa\i?
c) Calcula\i S.
11. Folosind metoda propus[ la exerci\iul anterior, calcula\i urm[toarele sume:
a) S1 16 18 20 30; b) S2 16 19 22 37.
12. Determina\i suma a ]apte numere naturale consecutive pare, ]tiind c[ num[rul
din mijloc este 486.
13. Determina\i suma a nou[ numere naturale consecutive impare, ]tiind c[ num[-
rul din mijloc este 487.
14. #nlocui\i stelu\ele cu cifre: 7 9 8023; c) 6 4 29 501.
a) 153 2 4 8 5; b) 1 3
- 17 -
15. }tiind c[ m n p 8, calcula\i mnp npm pmn.
16. Determina\i suma dintre cel mai mare ]i cel mai mic num[r natural abcd cu pro-
prietatea abc d 1000.
17. Determina\i suma dintre cel mai mare num[r natural impar format din 4 cifre
distincte ]i cel mai mic num[r natural format din 3 cifre distincte.
18. Afla\i num[rul abc, ]tiind c[ cba ca cb 495.
19. a) Calcula\i: 1 2 3 2017 2018.
b) Suma mai multor numere naturale distincte este 2 037 172. S[ se arate c[ cel
pu\in unul este mai mare dec`t 2018.
20. a) Calcula\i suma 1 2 9;
b) Dac[ se completeaz[ cercule\ele din Figura ....... utiliz`nd toate numerele
naturale de la 1 la 9, determina\i numerele plasate @n v`rfurile fiec[rui triunghi,
]tiind c[ suma numerelor de pe fiecare latur[ a primului triunghi este 17,
respectiv suma numerelor de pe fiecare latur[ a celui de-al doilea este 20;
1 4 Fig.
b) 6
a) 8
37 2
c) Completa\i cercule\ele.
21. Afla\i cifrele a ]i b, ]tiind c[ abba 6237 baab.
22. Suma a cinci numere naturale consecutive este un num[r natural de forma
1a84a. Afla\i aceste numere.
23. O mam[ are acum 30 de ani. La na]terea celor trei copii ai s[i avea 21, 27,
respectiv 28 de ani. C`nd mama va avea 40 de ani, ce v`rst[ vor avea copiii ]i
care va fi suma v`rstelor lor?
- 18 -
O Sc[derea numerelor naturale.
Activit[\i preg[titoare
1. Acum Maria are 12 ani, iar sora sa Irina are 14 ani.
a) Peste c`\i ani Maria va avea 31 de ani?
b) Peste c`\i ani cele dou[ surori vor avea @mpreun[ 34 de ani?
2. Tata are 250 de lei. #i d[ lui Andrei 120 de lei, iar restul @i d[ lui Bogdan. C`\i
lei prime]te Bogdan?
No\iuni teoretice
Fie adunarea 43 21 64. 21 este num[r natural care trebuie ad[ugat la 43
pentru a ob\ine num[rul natural 64. Spunem c[ 21 este diferen\a dintre 64 ]i 43.
Diferen\a a dou[ numere naturale a ]i b se noteaz[ cu a b.
Num[rul a se nume]te desc[zut, iar b se nume]te sc[z[tor.
Observa\ia 1: Dac[ a b putem efectua sc[derea. Dac[ a b nu putem efectua
sc[derea a b cu numere naturale. De exemplu, 34 45 nu se poate efectua cu numere
naturale deoarece 34 45.
Observa\ia 2: Dac[ adun[m sau sc[dem un acela]i num[r natural la cei doi
termeni ai unei diferen\e, rezultatul nu se modific[:
a b (a c) (b c), a b (a c) (b c).
Exerci\ii rezolvate.
1. Desc[zutul este 57, iar diferen\a a dou[ numere este 14. C`t este sc[z[torul?
Solu\ie.
Not[m cu S sc[z[torul ]i ob\inem: 57 S 14, deci S 57 14, adic[ S 43.
2. Determina\i cel mai mare num[r de forma abc, ]tiind c[ a b 2 ]i c b 1
Solu\ie.
- 19 -
Cum cifra b este cea mai mare cifr[ a num[rului, alegem b 9, de unde
a 7 ]i c 8. Ob\inem a 9 2 7 ]i c 9 1 8, deci abc 798.
PROBLEME PROPUSE
1. Calcula\i:
a) 77 46; b) 1253 1024; c) 10000 9876; d) 7567 341 5619.
2. Dac[ a 171, b 99, c 54, calcula\i: a b, a b c, a (b c), a b c.
3. Maria are 9 ani, iar cei doi fra\i gemeni ai ei au c`te 13 ani. C`\i ani vor avea
@mpreun[ cei trei copii c`nd Maria va avea 18 ani?
4. Suma a dou[ numere este 470, iar unul dintre numere este 225. Afla\i diferen\a
numerelor.
5. Determina\i num[rul natural x, ]tiind c[:
a) x 21 89; b) 123 x 65; c) x 101 199 99;
f) 2345 (2 x) 456.
d) x (51 38) 491; e) 1987 (x 14) 251;
6. #nlocui\i stelu\ele cu cifre: 7 157 88.
7. Calcula\i suma tuturor numerelor de forma abab, ]tiind c[ ab ba a 3b.
8. a) C`te numere de forma abba exist[?
b) Calcula\i diferen\a dintre cel mai mare ]i cel mai mic num[r de forma abba.
9. Afla\i num[rul xyz dac[: a) 2xyz 2018 5 000; b) xyz1 318 2 789.
10. Investiga\i @n ce mod putem plasa paranteze, astfel @nc`t s[ fie adev[rate urm[-
toarele egalit[\i:
a) 29 9 3 23; b) 49 9 8 32;
c) 47 7 7 47; d) 60 5 5 50.
11. Urm[toarele exerci\ii pot fi rezolvate @n cel pu\in dou[ moduri. Investiga\i care
dintre moduri este mai simplu ]i rezolva\i:
a) (2 4 6 98) (1 3 5 97);
b) (7 10 13 301) (4 7 298).
- 20 -
12. #n p[tratul din Figura ......, completa\i c[su\ele 23 19 2 1 Fig.
9 16
goale, astfel @nc`t suma numerelor scrise pe
linii, coloane ]i diagonale s[ fie egal[ cu 65. 5 15 13 21
10 12 22
O #nmul\irea numerelor 67 3
naturale, propriet[\i.
Activit[\i preg[titoare
1. a) #n suma 15 15 15 15 sunt 4 termeni egali cu 15. Scriem sub form[ de
produs 4 15 (de 4 ori 15). Scrie\i sub form[ de produs sumele:
47 47 47 47 47; 101 101 101 101 101 101.
b) Scrie\i fiecare din produsele de mai jos sub forma unei sume de termeni
egali: 5 23; 2 2017; 3 76.
2. #ntr-o libr[rie s-au adus 5 manuale de limba ]i literatura
rom`n[ care cost[ 17 lei bucata ]i 6 manuale de matematic[ care
cost[ 14 lei bucata. C`t cost[ @n total manualele aduse la
libr[rie?
No\iuni teoretice
#nmul\irea.
La opera\ia de @nmul\ire s-a ajuns prin adunarea mai multor termeni egali.
Exemplu: 17 17 17 17 4 17 68.
Numerele care se @nmul\esc se numesc factorii produsului, iar rezultatul se
nume]te produs.
#n exemplul de mai sus 17 17 17 17 4 17 68. Numerele 4 ]i 17 sunt fac-
torii produsului sau ai @nmul\irii, iar 68 este produsul efectuat.
- 21 -
Produsul a dou[ numere a ]i b se noteaz[ a b sau a b.
a este primul factor al produsului, b este al doilea factor.
#nmul\irea reprezint[ adunarea repetat[ a aceluia]i
num[r natural.
RE|INE!
Exemple: a a a 3 a;
7 7 7 7 4 7.
Observa\ie: Dac[ nu apar confuzii convenim ca produsul a b s[ fie scris ]i ab.
#nmul\irea cu 10, 100, 1 000, ...
Pentru a @nmul\ii un num[r natural cu 10, 100, 1 000, ... este suficient s[ scriem
un zero, dou[ zerouri, trei zerouri, ... la dreapta sa.
Exemple: 21 10 210; 176 100 17 600; 456 1 000 456 000.
Propriet[\ile @nmul\irii numerelor naturale.
Ca ]i @n cazul opera\iei de adunare, @nmul\irea este comutativ[, asociativ[ ]i are
un element neutru. #n plus @nmul\irea este distributiv[ fa\[ de adunare ]i sc[dere.
Aceste propriet[\i ale @nmul\irii se definesc astfel:
comutativitatea: a b b a, oricare ar fi numerele naturale a ]i b
Produsul a dou[ numere nu depinde de ordinea factorilor.
Exemplu: 23 8 8 23 184.
asociativitatea: a b c (a b) c a (b c), oricare ar fi numerele
naturale a, b ]i c.
C`nd @nmul\im trei numere, @nt`i @nmul\im dou[ dintre ele, apoi
@nmul\im produsul lor cu al treilea num[r.
Exemplu: 12 25 36 (12 25) 36 12 (25 36).
- 22 -
element neutru: a 1 1 a a, oricare ar fi num[rul natural a.
Orice num[r natural @nmul\it cu 1 r[m`ne neschimbat.
Spunem c[ 1 este element neutru la @nmul\ire.
Exemplu: 4567 1 4567.
distributivitatea fa\[ de adunare ]i sc[dere:
a (b c) a b a c, oricare ar fi numerele naturale a, b, c.
a (b c) a b a c,oricare ar fi numerele naturale a, b, c.
Exemple: 16 (43 26) 16 43 16 26; 134 (75 56) 134 75 134 56.
Observa\ia 1: a 0 0 a 0, oricare ar fi num[rul natural a.
Observa\ia 2: Pentru orice num[r natural nenul k dac[ a b, ob\inem a k b k.
- 23 -
Propriet[\ile @nmul\irii numerelor naturale pot fi extinse la orice num[r de fac-
tori din produs astfel:
Produsul mai multor numere naturale nu se schimb[ dac[:
se modific[ ordinea factorilor;
se introduc parantezele (se grupeaz[ factorii);
se elimin[ parantezele;
se @nlocuiesc factorii cu produse neefectuate care sunt egale cu ei;
se adaug[ sau se elimin[ factori egali cu 1.
Exerci\ii rezolvate.
1. #ntr-o cutie sunt 4 sertare cu bomboane, fiecare sertar
av`nd 24 de bomboane. C`te bomboane sunt @n 100 de cutii?
Solu\ie.
#ntr-o cutie avem 4 24 96 de bomboane.
#n 100 de cutii avem 96 100 9600 de bomboane.
2. Calcula\i c`t mai u]or posibil:
a) 2 4 7 25 50; b) 250 15 4 8; c) 257 99;
Solu\ie.
a) (2 50) (4 25) 7 100 100 7 70000;
b) (250 4) (15 8) 1000 120 120000;
c) 257 (100 1) 25700 257 25443.
PROBLEME PROPUSE
1. #ntr-o cutie sunt 8 creioane colorate. C`te creioane colorate sunt @n 9 cutii?
2. Patru echipe de fotbal au c`te 11 juc[tori fiecare. C`\i juc[tori sunt @n total?
3. Bunicul a plantat @n livad[ 6 r`nduri cu c`te 4 vi]ini ]i 12 r`nduri cu c`te 6 meri.
C`\i pomi a plantat @n total bunicul?
- 24 -
4. Cinci elevi au fiecare c`te 4 caiete ]i c`te 7 c[r\i. C`te caiete ]i c`te c[r\i au
copiii @n total?
5. #ntr-un parc, pe 3 r`nduri sunt c`te 5 b[nci ]i pe fiecare banc[
sunt c`te dou[ locuri. C`te persoane se pot a]eza pe b[ncile
din parc?
6. Calcula\i: a) 21 10; b) 202 100; c) 256 1000; d) 8729 11;
e) 404 64; f) 267 75; g) 270 139; h) 125 800.
7. Calcula\i, folosind propriet[\ile @nmul\irii:
a) 25 4 137; b) 4 16 50; c) 24 5 4 25; d) 872 198 345 0.
8. Calcula\i: b) 72 15 55 10; c) 67 13 23 14 222;
a) 24 10 25 100;
d) 12 13 14 15 15 16; e) 215 16 321 5; f) 22 33 11 11.
9. Determina\i, @n fiecare caz, perechile de numere naturale (x, y), ]tiind c[:
a) x y 91; b) 17 x y 85; c)(5 x) (5 y) 125.
10. Pune\i @n c[su\e cifrele potrivite pentru a 15
1
reconstitui @nmul\irea din Figura .......:
3 14
7 Fig.
11. a) Scrie\i num[rul 12 ca un produs de:
i) dou[ numere naturale; ii) trei numere naturale;
iii) patru numere naturale; iv) dou[sprezece numere naturale.
b) Produsul a 12 numere naturale este 12. Afla\i numerele pentru care suma lor
are cea mai mic[ valoare posibil[.
12. Pentru o lun[ de var[, o familie cump[r[ 5 baxuri de ap[ plat[, fiecare bax con-
\in`nd 6 sticle a c`te 2 litri fiecare. }tiind c[ un litru de ap[ plat[ cost[ 2 lei,
calcula\i c`t a costat toat[ apa cump[rat[.
13. Numerele naturale a, b ]i c @ndeplinesc condi\iile a b c 72 ]i a 3b 2c 50.
a) Ar[ta\i c[ 3a 5b 194.
b) Determina\i a, b, c, ]tiind c[ b are cea mai mare valoare posibil[.
(Olimpiada de matematic[, etapa local[, Mehedin\i, 2011)
- 25 -
14. Produsul a 100 de numere naturale este 20. Determina\i cea mai mic[ sum[ a
acestor numere.
(Olimpiada de matematic[, etapa local[, Satu-Mare, 2011)
15. S[ se afle x, y N, astfel @nc`t (x 2)(y 4) 72, ]tiind c[ suma x y este
minim[.
16. Demonstra\i egalitatea: 2018 (1 2 2018) 1 2 2019 1.
1 2 (1 2) 3 (1 2 3)
17. Afla\i num[rul din v`rful piramidei din Figura ......, dac[ regula de completare
este cea indicat[.
Fig.
x.y
xy
15 18 11 9 7 0
18. Afla\i trei numere naturale, ]tiind c[ primul este dublul celui de-al doilea, al
doilea este triplul celui de-al treilea, iar suma lor este 810.
19. }tiind c[ a 2b 5 ]i 7x 3a 6b 57, determina\i num[rul x.
20. Afla\i cu c`te zerouri se termin[ num[rul A 1 2 3 4 5 25.
21. Pentru a @nmul\i u]or un num[r cu 9 se @nmul\e]te acesta cu 10 ]i apoi se scade
num[rul din produsul efectuat.
Exemplu: 57 9 57 (10 1) 570 57 513.
Efectua\i c`t mai repede posibil:
a) 15 9; b) 24 9; c) 47 9; d) 89 9; e) 91 9; f) 99 9.
22. a) G[si\i un procedeu asem[n[tor cu cel propus la problema precedent[ pentru
@nmul\irea unui num[r natural cu 99.
b) Efectua\i c`t mai repede posibil:
i) 15 99; ii) 24 99; iii) 47 99;
iv) 89 99; v) 91 99; vi) 99 99.
- 26 -
O Factor comun.
Activit[\i preg[titoare
1. Ce observa\i compar`nd rezultatele: 9).
a) 7 13 7 17 ]i 7 (13 17); b) 23 49 23 9 ]i 23 (49
2. Calcula\i, utiliz`nd propriet[\ile @nmul\irii:
a) a c b c, dac[ a b 28 ]i c 5;
b) x z y z, dac[ z 7 ]i x y 26;
c) a, dac[ a b a c 50 ]i b c 2.
No\iuni teoretice
Pentru orice trei numere naturale a, b, c au loc egalit[\ile:
a b a c a (b c)
a b a c a (b c)
#n ambele cazuri spunem c[ am scos factorul comun din expresia
din membrul st`ng.
Exerci\ii rezolvate.
1. a) Calcula\i, folosind factorul comun: 2017 2017 43 2017 34.
b) }tiind c[ a b 56 ]i c 4, calcula\i ac bc 3a 3b 100c.
Solu\ie.
a) Primul termen al sumei se scrie 2017 1, iar factorul comun este 2017.
Avem: 2017 2017 43 2017 34 2017 (1 43 34) 2017 10 20 170.
b) ac bc 3a 3b 100c c(a b) 3(a b) 100c 4 56 3 56
100 3 224 168 300 692.
2. }tiind c[ x y 12 ]i z t 15,calcula\i x z x t y z y t.
Solu\ie.
#n expresia xz xt yz yt @ntre primii doi termeni scoatem factor comun pe
x, iar @ntre ultimii doi termeni scoatem factor comun pe y. Avem astfel egalit[\ile:
xz xt yz yt x (z t) y (z t) x 15 y 15 15 (x y) 15 12 180.