เอกสารประกอบการเรียนการสอน 5
คณิตศาสตรพ์ ้นื ฐาน ค 32102 เทอม 2
บทที่ 1
หลักการนบั
MATH ครูผู้สอน
นายพรชัย ศริ ิรัตน์
นางสาวันซัลมา ปานากาเซง็
นางสาวนูรฮานัน คามิส
***กลุ่มสาระการเรยี นรู้คณิตศาสตร*์ **
โรงเรยี น คณะราษฎรบารุง จงั หวดั ยะลา
ค๓๒๑๐๒ คณติ ศาสตร์ ๔ บทที่ ๑ หลกั การนบั เบือ้ งต้น 1
บทที่ หลกั การนับเบอื้ งตน้
1.1 หลักการบวกและหลกั การคูณ
1.2 การเรียงสับเปลย่ี นเชิงเส้นของส่งิ ของท่ีแตกตา่ งกันทัง้ หมด
1.3 การจดั หมู่ของส่ิงของทแ่ี ตกต่างกนั ท้ังหมด
จดุ มงุ่ หมาย
1. ใชห้ ลักการนับเบือ้ งตน้ ในการแก้ปัญหา
2. ใชว้ ิธเี รยี งสบั เปล่ียนเชิงเส้นกรณที ีส่ ง่ิ ของแตกต่างกนั ทง้ั หมดในการแก้ปญั หา
3. ใช้วิธจี ัดหมู่กรณที ่ีสิ่งของแตกตา่ งกนั ท้งั หมดในการแกป้ ัญหา
บทนำ
พจิ ารณาหมายเลขทะเบียนรถยนต์นง่ั สว่ นบคุ คลในจงั หวัดยะลา ซงึ่ ประกอบด้วย พยญั ชนะไทยสองตวั
ตามด้วยจำนวนเตม็ บวกทไ่ี ม่เกนิ สห่ี ลัก ดงั ตวั อยา่ ง
ถา้ ต้องการทราบวา่ หมายเลขทะเบยี นรถยนตท์ ่ีมรี ปู แบบดังกล่าว จะมไี ด้ทงั้ หมดกี่หมายเลข จะมวี ิธีการนบั อย่างไร
ในการนบั จำนวนหมายเลขทะเบียนรถยนตข์ ้างต้น อาจไม่สะดวกทีจ่ ะนบั โดยตรงเหมอื นกบั การนับ
จำนวนส่งิ ของทม่ี ไี มม่ ากและไม่ซับซ้อน เชน่ การนับจำนวนนักเรียนในหอ้ ง จำนวนหนงั สือบนโต๊ะ หรอื จำนวน
เหรียญในกระเป๋าสตางค์ ดงั นั้น จำเป็นตอ้ งมีหลักการนบั ที่เหมาะสม เพ่อื ชว่ ยใหส้ ามารถนบั จำนวนส่ิงของต่าง ๆ
ไดส้ ะดวกขนึ้ โดยเฉพาะเมื่อสงิ่ ของท่ีนับมจี ำนวนมากและมอี งค์ประกอบทซ่ี ับซอ้ น
1.1 หลกั การบวกและหลักการคูณ
ในชีวิตประจำวนั เรามกั จะพบปัญหาเกี่ยวกบั การนบั จำนวนวธิ ีทั้งหมดของการทำงานหนง่ึ ๆ
เช่น การเดนิ ทางจากยะลาไปกรงุ เทพฯ การจัดชุดเสอ้ื ผา้ / การจดั ชุดอาหาร
การเลือกลงทะเบียนวิชาเรียน การจัดการแข่งขันกฬี า
การสรา้ งจำนวนคู่ / ค่ี การกำหนดหมายเลขทะเบียนรถยนต์ เปน็ ต้น
ช้นั มัธยมศกึ ษาปีท่ี ๕ โรงเรียนคณะราษฎรบำรงุ จังหวัดยะลา
ค๓๒๑๐๒ คณติ ศาสตร์ ๔ บทท่ี ๑ หลักการนบั เบ้ืองต้น 2
ในการหาคำตอบของปัญหาดงั กล่าว สามารถทำได้หลายรูปแบบ รูปแบบท่ีเปน็ พน้ื ฐานมากท่ีสุดคือ การ
เขียนแผนภาพต้นไม้ (Tree diagram) ซึ่งเป็นแผนภาพที่แสดงในการหาจำนวนที่เป็นไปได้ทั้งหมดของการ
ทำงาน แบง่ ไดเ้ ป็น 2 แบบ คือ
❖ แผนภาพต้นไมท้ ี่แตกกง่ิ ออกอยา่ งเปน็ ระเบียบ
❖ แผนภาพต้นไมท้ ี่แตกก่ิงออกอย่างไม่เป็นระเบยี บ
ตวั อย่างที่ 1 สายชลมกี างเกง 3 ตวั และเสอื้ 2 ตัวซงึ่ มีสีตา่ ง ๆ กนั ดงั นี้
กางเกง มีสีดำ สีขาว สเี ทา
เสื้อ สีฟ้า สีสม้
ถา้ สายชลต้องการแต่งตัวโดยใสก่ างเกงและเสื้อ สายชลจะมวี ธิ ีเลอื กแต่งตัวไดก้ ี่วธิ ี
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………◼
ช้นั มธั ยมศึกษาปที ่ี ๕ โรงเรยี นคณะราษฎรบำรุง จงั หวดั ยะลา
ค๓๒๑๐๒ คณติ ศาสตร์ ๔ บทที่ ๑ หลกั การนบั เบือ้ งต้น 3
ตวั อย่างที่ 2 สายนำ้ มกี างเกง 3 ตัว และเสือ้ 3 ตัวซ่งึ มสี ีตา่ ง ๆ กันดังน้ี
กางเกง มีสดี ำ สขี าว สีเทา
เสอื้ มีสีแดง สฟี ้า สสี ้ม
ถา้ สายน้ำต้องการแตง่ ตวั โดยใสก่ างเกงและเสือ้ สายนำ้ จะมวี ธิ เี ลอื กแต่งตัวได้กวี่ ธิ ี โดยมีเงือ่ นไขว่า ถา้ ใสก่ างเกงสี
ขาวจะไม่ใส่เสือ้ สแี ดง และถา้ ใส่กางเกงสดี ำ จะใสเ่ ฉพาะเส้อื สีส้ม
วิธที ำ จากข้อมลู ทีก่ ำหนดให้ สามารถเขยี นเป็นแผนภาพต้นไม้ได้ดงั นี้
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………◼
ตวั อยา่ งที่ 3 ในการเลน่ พนันครงั้ หนงึ่ เล่นไมเ่ กนิ 5 ครง้ั โจมเี งนิ 1 บาท เมื่อเริม่ เลน่ และจะเลกิ เลน่ เมื่อมี
กำไร 2 บาทหรือเงนิ หมด โจจะมวี ธิ เี ล่นไดก้ ี่วธิ ี (ถ้าชนะจะไดค้ ร้งั ละ 1 บาท และถา้ แพ้ก็จะเสียคร้ังละ 1 บาท
เช่นกัน)
วธิ ีทำ ช แทน โจเลน่ ชนะ พ แทน โจเล่นแพ้
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………◼
ตัวอยา่ งที่ 4 ในการแข่งขนั เทนนิสรอบคัดเลือก ผ้ทู ีจ่ ะเขา้ รอบตอ้ งชนะ 2 ใน 3 (ชนะ 2 เซต จาก 3 เซต) ถ้า
ในการแขง่ ขนั คร้งั นภ้ี ราดรได้แขง่ กับโมยา ผลการแขง่ ขนั ของภราดรทอ่ี าจจะเกิดขน้ึ ไดท้ ง้ั หมดมีกว่ี ิธี
วธิ ที ำ จากข้อมูลท่ีกำหนดให้ สามารถเขยี นเปน็ แผนภาพตน้ ไมไ้ ด้ดังน้ี
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………◼
ชน้ั มธั ยมศึกษาปีท่ี ๕ โรงเรยี นคณะราษฎรบำรุง จังหวดั ยะลา
ค๓๒๑๐๒ คณติ ศาสตร์ ๔ บทที่ ๑ หลกั การนับเบือ้ งตน้ 4
จากตวั อย่างทัง้ 4 ตวั อยา่ ง จะเห็นวา่ การใชแ้ ผนภาพต้นไม้ช่วยในการหาคำตอบทำได้โดยง่ายเม่ือจำนวน
วิธีที่จะนำมาเขียนแผนภาพต้นไม้มีจำนวนไม่มากนัก แต่สำหรับปัญหาที่มีจำนวนวิธีที่เกี่ยวข้องเป็นจำนวนมาก
การเขยี นแผนภาพตน้ ไม้อาจทำไดไ้ ม่สะดวก
ดงั น้นั เพอ่ื ให้การหาคำตอบทำได้ง่ายและสะดวกรวดเรว็ จะใชว้ ิธกี ารคำนวณโดยอาศยั หลักการนับ
เบ้ืองต้น ดงั รายละเอยี ดต่อไปนี้
หลกั การบวก
ในการนับจำนวนวธิ กี ารทำงาน จำนวนสง่ิ ของ หรอื จำนวนเหตกุ ารณ์ทจ่ี ะเกิดข้ึน โดยการแบง่ พิจารณา
เป็นกรณยี ่อย ๆ ซึ่งแตล่ ะกรณีน้นั ไม่สามารถทำงานพร้อมกนั ได้น้นั จำนวนวธิ ีท้งั หมดทเ่ี ป็นไปได้จะเท่ากบั ผลบวก
ของจำนวนวธิ ที ัง้ หมดในทกุ กรณี ดังตอ่ ไปนี้
ในการทำงานอยา่ งหน่ึง ถา้ สามารถแบ่งวิธที ำงานออกเป็น k กรณี (แบบ) โดยท่ี
กรณที ี่ 1 สามารถทำได้ n1 วิธี
กรณีท่ี 2 สามารถทำได้ n2 วธิ ี
กรณีที่ 3 สามารถทำได้ n3 วธิ ี
กรณที ่ี k สามารถทำได้ nk วิธี
ซ่งึ วธิ ีการทำงานในทงั้ k กรณีไม่ซ้ำซอ้ นกนั และการทำงานในแต่ละกรณที ำให้งานเสร็จสมบูรณแ์ ลว้
จำนวนวธิ ีทำงานท้ังหมด จะเทา่ กับ n1 + n2 + n3 + + nk วิธี
ตัวอยา่ งที่ 5 สมมติว่าเมอื งหน่ึงมถี นนและลำคลองอยู่หลายสาย และในการเดินทางจากตำบล ก ไปยังตำบล
ข ในเมอื งนี้ สามารถไปทางถนนได้ 4 เสน้ ทาง และสามารถไปทางลำคลองได้ 2 เส้นทาง ถา้ ตอ้ งการเดินทางจาก
ตำบล ก ไปยังตำบล ข โดยใช้เสน้ ทางตามถนนหรอื ตามลำคลองเพยี งอยา่ งใดอย่างหน่งึ แลว้ จะมีเส้นทางจาก
ตำบล ก ไปยงั ตำบล ข ทง้ั หมดก่ีเสน้ ทาง
วธิ ที ำ เนอื่ งจากเส้นทางตามถนนและเสน้ ทางตามลำคลองไมซ่ ้ำซ้อนกัน สามารถพิจารณาการเดนิ ทางจากตำบล
ก ไปยงั ตำบล ข ไดด้ งั น้ี
กรณที ่ี 1 ใช้เส้นทางตามถนน มีเส้นทาง.........เส้นทาง
กรณที ี่ 2 ใชเ้ สน้ ทางตามลำคลอง มีเส้นทาง.........เส้นทาง
จากหลักการบวก จึงได้วา่ มีเสน้ ทางจากตำบล ก ไปยงั ตำบล ข ทง้ั หมด....................เส้นทาง ◼
ชนั้ มธั ยมศึกษาปที ี่ ๕ โรงเรยี นคณะราษฎรบำรงุ จังหวดั ยะลา
ค๓๒๑๐๒ คณติ ศาสตร์ ๔ บทท่ี ๑ หลกั การนับเบือ้ งตน้ 5
ตัวอย่างท่ี 6 กมลนำกระเบอื้ งรปู สามเหล่ียมด้านเท่าทแ่ี ต่ละด้านยาว 1 หน่วย จำนวน 9 แผ่น มาจัดเรียงชดิ
กัน ดังรูป
จากการจัดเรียงกระเบ้อื งขา้ งต้น มรี ูปสามเหล่ยี มดา้ นเท่าท้ังหมดกรี่ ูป ◼
วิธีทำ รูปสามเหล่ียมท่เี กดิ จากการจัดเรยี งกระเบื้องดังรปู มี 3 ขนาด ได้แก่
ขนาดท่ี 1 รปู สามเหล่ยี มด้านเท่าทีแ่ ตล่ ะด้านยาว 1 หนว่ ย ม.ี ........รปู
ขนาดท่ี 2 รปู สามเหลย่ี มด้านเทา่ ทแี่ ต่ละด้านยาว 2 หนว่ ย ม.ี ........รปู
ขนาดท่ี 3 รูปสามเหลยี่ มด้านเทา่ ท่ีแต่ละด้านยาว 3 หนว่ ย มี.........รูป
จากหลกั การบวก จะไดว้ า่ มีรูปสามเหลีย่ มดา้ นเท่าทัง้ หมด.......................................................รปู
ตัวอยา่ งท่ี 7 จำนวนเตม็ บวกสองหลกั ท่ผี ลบวกของเลขโดดทงั้ สองหลักเปน็ จำนวนค่มู ีทั้งหมดกจ่ี ำนวน
วิธีทำ จำนวนเต็มบวกสองหลกั จะมีผลบวกของเลขโดดท้ังสองหลกั เปน็ จำนวนคู่ สามารถเกิดขนึ้ ได้ 2 กรณี ดังนี้
กรณที ี่ 1 เลขโดดทงั้ สองหลกั เปน็ จำนวนคู่
จากการแจงนับ ในกรณีนี้มีท้ังหมด .................. จำนวน
ไดแ้ ก่.................................................................................................................................
กรณที ี่ 2 เลขโดดท้งั สองหลกั เปน็ จำนวนคี่
จากการแจงนบั ในกรณนี ้มี ที ้ังหมด .................. จำนวน
ไดแ้ ก่.................................................................................................................................
จากหลักการบวก จงึ ได้ว่า จำนวนเต็มบวกที่มีเงอ่ื นไขตามทโ่ี จทยร์ ะบุ มีท้งั หมด.......................จำนวน ◼
ตวั อย่างที่ 8 หยิบไพ่ 1 ใบ จากไพท่ ้ังสำรับที่มี 52 ใบ จงหาจำนวนวธิ ีที่จะหยบิ ไดแ้ ตม้ คงิ ส์หรอื แจ๊ค
วธิ ที ำ เนอื่ งจากไพ่แตม้ คิงสแ์ ละไพ่แตม้ แจค๊ ไม่ซำ้ ซ้อนกนั สามารถพิจารณาการหยิบไพ่ 1 ใบ ได้ดงั นี้
กรณีที่ 1 …………………………………………………………………………………………………………....................
กรณีท่ี 2 …………………………………………………………………………………………………………....................
ดงั นั้น จำนวนวธิ หี ยบิ ไพ่ 1 ใบได้แตม้ คงิ สห์ รือแจ๊ค เท่ากับ.................................วธิ ี ◼
ชนั้ มัธยมศกึ ษาปีที่ ๕ โรงเรยี นคณะราษฎรบำรุง จังหวดั ยะลา
ค๓๒๑๐๒ คณิตศาสตร์ ๔ บทที่ ๑ หลกั การนับเบอื้ งต้น 6
ตอ่ ไปลองพิจารณาปัญหาการเดินทางอกี ปญั หาหนง่ึ ดงั ตัวอย่างต่อไปน้ี
ตวั อยา่ งท่ี 9 สมมติว่าเปมิกาจะขับรถยนตจ์ ากกรุงเทพฯ กลบั ไปเย่ยี มบ้านท่ยี ะลา โดยระหวา่ งทางจะตอ้ งแวะ
เยี่ยมญาตทิ ี่ภเู ก็ตด้วย ถา้ เสน้ ทางจากกรุงเทพฯ ไปภูเกต็ มี 3 เส้นทาง และเสน้ ทางจากภูเกต็ ไปยะลา มี 4 เสน้ ทาง
แล้วเปมกิ าจะขบั รถยนต์จากกรงุ เทพฯ ไปยะลาได้ท้ังหมดกี่เสน้ ทาง
วิธที ำ จากข้อมลู ทกี่ ำหนดให้ สามารถเขยี นเปน็ แผนภาพแสดงแนวคิดไดด้ ังน้ี
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
โดยที่ ภ1 และ ภ2 แทนเสน้ ทางจากกรงุ เทพฯ ไปภเู ก็ต เสน้ ทางท่ี 1 และ 2 ตามลำดับ และ
ย1, ย2 และ ย3 แทนเสน้ ทางจากภูเก็ตไปยะลา เสน้ ทางท่ี 1, 2 และ 3 ตามลำดบั
จากแผนภาพตน้ ไม้ อาจพจิ ารณาได้วา่ การเดนิ ทางจากกรุงเทพฯ ไปยะลา ประกอบด้วยข้ันตอนยอ่ ย 2 ขนั้ ตอน
ได้แก่ ขั้นตอนที่ 1 เดินทางจากกรงุ เทพฯ ไปภูเก็ต ซงึ่ ทำได้ 2 วธิ ี และข้นั ตอนท่ี 2 เดนิ ทางจากภูเก็ตไปยะลา ซ่งึ
ทำได้ 3 วธิ ี โดยจะตอ้ งทำ 2 ข้นั ตอนต่อเน่อื งกนั และสำหรับแต่ละวิธีในขน้ั ตอนท่ี 1 จะสามารถเดินทางต่อไปใน
ขนั้ ตอนท่ี 2 ได้อีก 3 วิธี ดังนั้น จึงมีเสน้ ทางทเ่ี ป็นไปได้ทั้งหมด 2 x 3 = 6 เส้นทาง ◼
ในการแก้ปัญหาดังกลา่ ว ทำได้โดยการพจิ ารณาว่า การเดินทางในแต่ละเส้นทางประกอบดว้ ยข้ันตอนยอ่ ย
ๆ ซึ่งต้องทำต่อเนอื่ งกัน แลว้ นำจำนวนวิธีในขน้ั ตอนยอ่ ยมาคณู กัน หลักการนบั เชน่ น้ี เรียกว่า หลักการคูณ
(multiplication principle)
หลกั การคณู
ในการทำงานอย่างหนึ่ง ถ้าสามารถแบ่งข้ันตอนการทำงานออกเปน็ 2 ข้นั ตอน ซึ่งตอ้ งทำ
ตอ่ เนื่องกนั โดยท่ี
ขน้ั ตอนที่ 1 สามารถทำได้ n1 วิธี
ในแต่ละวธิ ีของขั้นตอนที่ 1 สามารถทำขั้นตอนที่ 2 ตอ่ ไปได้ n2 วิธี
แล้ว จะสามารถทำงานนไ้ี ดท้ ้งั หมด n1 n2 วิธี
ชน้ั มัธยมศึกษาปที ่ี ๕ โรงเรยี นคณะราษฎรบำรงุ จังหวดั ยะลา
ค๓๒๑๐๒ คณติ ศาสตร์ ๔ บทที่ ๑ หลักการนับเบื้องตน้ 7
ตัวอย่างท่ี 10 รา้ นอาหารแหง่ หนง่ึ มีขนม 3 อย่าง และเครือ่ งดื่ม 4 อย่าง ถ้าลกู ค้าตอ้ งการขนมหนึ่งอย่างและ
เครอื่ งดืม่ หน่งึ อยา่ ง เขาจะมวี ิธีเลอื กส่งั อาหารไดก้ วี่ ธิ ี
วิธีทำ สมมตใิ ห้ขนม 3 อยา่ ง ไดแ้ ก่ ข1, ข2 และ ข3 และเครอ่ื งด่มื 4 อยา่ ง ได้แก่ ค1, ค2, ค3 และ ค4
ในการเลือกสง่ั อาหารประกอบดว้ ย 2 ขั้นตอนท่ีต่อเน่ืองกนั คือ การเลือกขนมแล้วเลือกเครือ่ งดื่ม
โดยการเลอื กสัง่ ขนม สามารถทำได.้ .............................วิธี
และสำหรับแตล่ ะวธิ ใี นการเลือกสง่ั ขนม สามารถเลือกสง่ั เครือ่ งดมื่ ได.้ .........................วิธี
จากหลักการคูณ จงึ ไดว้ า่ ลูกคา้ สามารถเลอื กสั่งอาหารได้ท้งั หมด ...............................วิธี
ซ่งึ เขยี นแผนภาพแสดงการเลือกสัง่ อาหารไดด้ ังนี้
◼
ในตัวอย่างข้างต้น ได้พิจารณาขั้นตอนการเลือกขนมก่อนการเลือกเครื่องดื่ม อย่างไรก็ตาม เราอาจจะ
พจิ ารณาขัน้ ตอนการเลอื กเครอ่ื งด่มื ก่อนการเลอื กขนมก็ได้ เพียงแตต่ ้องพิจารณาให้ครบทุกข้ันตอนเท่านนั้
ในกรณีทว่ั ไป การทำงานอย่างหน่ึงอาจประกอบดว้ ยขัน้ ตอนย่อยมากกวา่ 2 ขั้นตอน ซงึ่ การนบั จำนวน
วธิ ีการทำงาน สามารถใชก้ รณีท่ัวไปของหลกั การคูณได้ ดงั นี้
ในการทำงานอย่างหน่ึง ถา้ สามารถแบง่ ขน้ั ตอนการทำงานออกเป็น k ขั้นตอน ซึ่งตอ้ งทำต่อเนื่องกนั
โดยท่ี
ขน้ั ตอนที่ 1 สามารถทำได้ n1 วธิ ี
ในแต่ละวิธีของขั้นตอนที่ 1 สามารถทำขน้ั ตอนท่ี 2 ตอ่ ไปได้ n2 วธิ ี
ในแต่ละวธิ ีของขัน้ ตอนที่ 1 และขัน้ ตอนที่ 2 สามารถทำขั้นตอนท่ี 3 ต่อไปได้ n3 วิธี
ในแต่ละวิธีของข้ันตอนท่ี 1 ถึงขั้นตอนที่ k −1 สามารถทำขน้ั ตอนที่ k ต่อไปได้ nk วธิ ี
แล้ว จะสามารถทำงานนี้ได้ท้ังหมด n1 n2 nk วิธี
ชั้นมธั ยมศึกษาปีท่ี ๕ โรงเรยี นคณะราษฎรบำรุง จังหวดั ยะลา
ค๓๒๑๐๒ คณิตศาสตร์ ๔ บทที่ ๑ หลกั การนับเบือ้ งตน้ 8
ตวั อยา่ งที่ 11 ในการจดั กระเชา้ ของขวญั ซง่ึ ประกอบไปดว้ ย ผลไม้ อาหารกระป๋อง และเคร่ืองดื่ม อย่างละ
ชนิด ถา้ มีผลไมอ้ ยู่ 3 ชนิด อาหารกระป๋อง 4 ชนิด และเคร่อื งดม่ื 3 ชนดิ จะมีวิธจี ดั กระเช้าได้กว่ี ธิ ี
วิธที ำ จากเง่ือนไขท่ีกำหนด การจดั กระเชา้ ของขวัญ มี 3 ขน้ั ตอน ดงั น้ี
ขน้ั ตอนท่ี 1 จัดผลไม้ เลอื กทำได้............วธิ ี
ขั้นตอนท่ี 2 จากแต่ละวธิ ีของข้นั ตอนที่ 1 สามารถทำขนั้ ตอนที่ 2 คือ จัดอาหารกระปอ๋ งได้................วธิ ี
ขน้ั ตอนที่ 3 จากแตล่ ะวธิ ีของขั้นตอนที่ 1 และ 2 สามารถทำขนั้ ตอนที่ 3 คอื จัดเครอื่ งดื่มได้..............วธิ ี
ดงั นนั้ จำนวนวิธีจดั กระเชา้ เท่ากับ............................................................วิธี ◼
ตวั อย่างที่ 12 นก 3 ตวั เกาะกิ่งไม้ 4 ก่ิง ใหเ้ ห็นไดก้ ี่แบบ
วิธีทำ การเลือกเกาะกิง่ ไมข้ องนก 3 ตวั มี 3 ขัน้ ตอน ดังนี้
ขน้ั ตอนที่ 1 …………………………………………………………………………………………………………………………..
ขั้นตอนที่ 2 …………………………………………………………………………………………………………………………..
ข้ันตอนท่ี 3 …………………………………………………………………………………………………………………………..
ดังน้ัน จำนวนวธิ ีท่ีนก 3 ตัว เกาะกิ่งไม้ 4 กงิ่ เท่ากบั .............................................วธิ ี ◼
ตวั อย่างที่ 13 นก 3 ตัว เกาะกง่ิ ไม้ 4 กิง่ ให้เหน็ ได้กีแ่ บบ ถา้ มีเง่ือนไขว่าก่ิงไม้ 1 กง่ิ มีนกเกาะไดแ้ ค่ตวั เดยี ว
วธิ ีทำ การเลือกเกาะก่ิงไม้ของนก 3 ตวั มี 3 ขั้นตอน ดังน้ี
ขนั้ ตอนที่ 1 …………………………………………………………………………………………………………………………..
ขั้นตอนท่ี 2 …………………………………………………………………………………………………………………………..
ขั้นตอนท่ี 3 …………………………………………………………………………………………………………………………..
ดังนน้ั จำนวนวธิ ีที่นก 3 ตัว เกาะกงิ่ ไม้ 4 ก่งิ เทา่ กับ.............................................วิธี ◼
ตัวอย่างที่ 14 สรา้ งจำนวนทีม่ ีสามหลัก จากเลขโดด 0, 1, 2, 3, 4 โดยท่ีแต่ละหลักใชเ้ ลขโดดไมซ่ ้ำกนั จะสรา้ ง
ไดท้ ัง้ หมดก่จี ำนวน
วธิ ีทำ การสร้างจำนวนที่มีสามหลัก ทำได้โดยเลือกเลขโดดจากท่กี ำหนดให้ เขียนในหลักหนว่ ย หลักสิบ และ
หลกั ร้อย ดงั นี้
ขน้ั ตอนที่ 1 เลอื กเลขโดด 1 ตวั เปน็ หลกั ……………………………… ได้……………………วธิ ี
ขั้นตอนท่ี 2 เลือกเลขโดด 1 ตวั จากทเ่ี หลอื เปน็ หลัก……………………………… ได้……………………วิธี
ข้นั ตอนท่ี 3 เลือกเลขโดด 1 ตัว จากท่ีเหลือ เป็นหลัก……………………………… ได้……………………วธิ ี
ดงั นน้ั จำนวนสามหลักทีต่ ้องการ มีทั้งหมด............................................................จำนวน ◼
ช้ันมัธยมศึกษาปีท่ี ๕ โรงเรยี นคณะราษฎรบำรงุ จังหวัดยะลา
ค๓๒๑๐๒ คณติ ศาสตร์ ๔ บทที่ ๑ หลกั การนับเบ้อื งตน้ 9
ตวั อยา่ งที่ 15 มีจดหมายทแ่ี ตกต่างกนั 3 ฉบับ และมตี ู้จดหมายท่แี ตกต่างกนั 4 ตู้ จะมวี ิธีนำจดหมายไปใสใ่ นตไู้ ด้
ท้ังหมดกวี่ ิธี
วธิ ีทำ การนำจดหมาย 3 ฉบับ ไปใสใ่ นตู้จดหมาย 4 ตู้ ประกอบด้วย 3 ขัน้ ตอน ดงั น้ี
ขน้ั ตอนที่ 1 นำจดหมายฉบับที่ 1 ไปใส่ในตู้ใดตู้หน่งึ ทำได้...................................วธิ ี
ขั้นตอนท่ี 2 นำจดหมายฉบับที่ 2 ไปใส่ในตู้ใดตหู้ นึ่ง ทำได.้ ..................................วธิ ี
ข้นั ตอนที่ 3 นำจดหมายฉบับที่ 3 ไปใส่ในตู้ใดตหู้ นง่ึ ทำได้...................................วธิ ี
ดังนั้น จากหลักการคณู จงึ ได้วา่ จะนำจดหมายไปใสใ่ นตู้ไดท้ ั้งหมด ...............................................วิธี ◼
ตวั อย่างที่ 16 มตี ู้จดหมายทแี่ ตกตา่ งกัน 4 ตู้ และมสี ี 3 สี คอื สีเขยี ว สีเหลอื ง และสแี ดง ถ้าต้องการทาสี
ตูจ้ ดหมายตู้ละหนึง่ สี แลว้ จะทาสีตูจ้ ดหมายไดท้ ง้ั หมดกแี่ บบ
วธิ ที ำ การเลือกสสี ำหรบั ตู้จดหมาย 4 ตู้ ประกอบด้วย 4 ขนั้ ตอน ดังน้ี ◼
ข้นั ตอนที่ 1 เลือกสีสำหรับทาต้ทู ี่ 1 ได.้ ..................................วธิ ี
ขน้ั ตอนที่ 2 เลอื กสีสำหรบั ทาตู้ที่ 2 ได้...................................วิธี
ขน้ั ตอนท่ี 3 เลือกสีสำหรับทาต้ทู ่ี 3 ได้...................................วธิ ี
ขน้ั ตอนท่ี 4 เลือกสีสำหรับทาตู้ที่ 4 ได.้ ..................................วธิ ี
ดงั น้นั จากหลักการคูณ จะทาสีต้จู ดหมายไดท้ ั้งหมด ..............................................................แบบ
สังเกตว่า ในตวั อยา่ งที่ 15 ขั้นตอนการทำงานขึ้นอยกู่ ับจดหมายแต่ละฉบับวา่ จะถกู นำไปใสใ่ นตูใ้ ด แตต่ วั อย่างท่ี
16 ขน้ั ตอนการทำงานขึ้นอยกู่ ับต้จู ดหมายแต่ละตู้วา่ จะถูกทาด้วยสีใด
ตัวอย่างท่ี 17 สมมติวา่ หมายเลขทะเบยี นรถยนตน์ ั่งส่วนบุคคลในจงั หวัดยะลา ประกอบดว้ ยเลขโดด 1 ตัวทีไ่ ม่ใช่
0 ตามด้วยพยัญชนะไทย 2 ตัว และจำนวนเตม็ บวกที่ไมเ่ กินสหี่ ลัก 1 จำนวน โดยพยัญชนะท่นี ำมาใชก้ ำหนด
หมายเลขทะเบยี นรถยนต์ มเี พยี ง 35 ตัว (พยัญชนะทไี่ ม่นำมาใช้ มี 9 ตัว ไดแ้ ก่ ฃ ฅ ซ ฏ ฑ ป ฝ ฟ ห) จงหาว่า
หมายเลขทะเบยี นรถยนต์นั่งสว่ นบคุ คลในจังหวัดยะลา จะมไี ด้ไม่เกนิ ก่หี มายเลข
วิธีทำ ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………◼
ช้นั มัธยมศกึ ษาปที ่ี ๕ โรงเรียนคณะราษฎรบำรุง จงั หวดั ยะลา
ค๓๒๑๐๒ คณติ ศาสตร์ ๔ บทท่ี ๑ หลกั การนับเบื้องต้น 10
ตัวอย่างที่ 18 จงหาจำนวนวธิ ีในการแจกของ 4 ชิ้นที่แตกต่างกนั ใหเ้ ด็ก 3 คน โดยท่ีแต่ละคนจะไดร้ บั กี่ชนิ้ ก็ได้
แต่ตอ้ งแจกหมดทกุ ช้ิน
วิธที ำ ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………◼
ตัวอยา่ งท่ี 19 จงหาจำนวนวธิ ีในการจดั ตงั้ คณะกรรมการ 3 คน จากผู้ชาย 4 คน ผูห้ ญิง 3 คน และเด็ก 5 คน
โดยทีป่ ระธานเปน็ ชาย รองประธานเปน็ หญิง และกรรมการอกี คนเป็นเด็ก
วิธีทำ ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………◼
ตวั อย่างที่ 20 นกั เรียน 3 คน ตอ้ งการเข้าและออกห้องประชมุ หอ้ งหนงึ่ ซึ่งมีประตู 3 บาน โดยนกั เรยี นคนท่ี 1
เข้าและออกโดยใชป้ ระตูบานใดก็ได้ นักเรยี นคนที่ 2 เข้าและออกโดยไม่ใช้ประตูบานเดมิ และนักเรยี นคนที่ 3
เขา้ และออกโดยใชป้ ระตูบานเดียวกนั จงหาจำนวนวธิ ีท่นี ักเรยี นทงั้ สามคนจะเขา้ และออกหอ้ งประชุมน้ี
วิธีทำ จากเงื่อนไขทีก่ ำหนด สามารถหาจำนวนวธิ เี ขา้ และออกจากห้องประชมุ สำหรบั นกั เรยี นแตล่ ะคนได้ดังนี้
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
จากหลักการคูณ จะได้ว่า วิธีท่นี ักเรยี นทั้งสามคนเขา้ และออกห้องประชุมมที ั้งหมด ......................................วธิ ี ◼
ช้ันมัธยมศึกษาปที ี่ ๕ โรงเรียนคณะราษฎรบำรงุ จงั หวดั ยะลา
ค๓๒๑๐๒ คณิตศาสตร์ ๔ บทท่ี ๑ หลักการนบั เบือ้ งต้น 11
บทสรปุ
การแบ่งกรณี (ใชก้ ฎการบวก) นนั้ งานทหี่ าได้ในแตล่ ะกรณีจะต้อง “เสรจ็ ส้ิน” ลง แต่ละกรณีจะมีความ
สมบูรณพ์ อท่ีจะนบั เป็น 1 แบบ (วธิ )ี เราจะเรียงลำดบั กรณีอยา่ งไรกไ็ ด้ ไม่ตอ้ งกำหนดวา่ กรณนี ้ตี อ้ งทำตอ่ จากกรณี
นั้น เพราะแตล่ ะกรณจี ะมีความสมบูรณใ์ นตวั เอง ตัวเลขในแต่ละกรณีต้องเอามาบวกกนั
การแบ่งงานเปน็ k ขัน้ ตอนน้ัน ในแตล่ ะขนั้ ตอนงานจะ “ยงั ไม่เสร็จสิน้ ” ขน้ั ตอนทกุ ข้ันต้องถกู ทำจนครบ
เพ่อื ใหไ้ ดแ้ บบ (วิธ)ี ทีจ่ ะนบั 1 แบบ แตล่ ะขน้ั ตอนมีลำดบั ก่อนหลงั คือตอ้ งเริม่ จากขั้นท่ี 1 ตามด้วยขนั้ ท่ี 2, 3, …
จนถึงขั้นท่ี k งานจงึ จะสำเร็จเสร็จสิ้นลงดงั แผนภาพ ตวั เลขในแต่ละกรณีต้องเอามา คณู กนั
เรม่ิ ต้น สน้ิ สุด
ข้นั ที่ → 1 2 3 k
จำนวนวธิ ี → n1 n2 n3 nk
จากหลกั การคูณ สรปุ ไดว้ ่า จำนวนวิธที ่สี ามารถเลอื กทำไดท้ ้งั หมด หาไดจ้ ากการนำจำนวนวธิ ที ่ีจะเลือกทำไดใ้ นแต่
ละข้นั ตอนมาคูณกนั นั่นเอง แตอ่ ยา่ ลืมว่าจะใช้วธิ นี ไ้ี ดเ้ มื่อในแต่ละวิธที ี่เลือกกระทำได้ของแตล่ ะข้นั ตอนต้องเลือก
ทำในขนั้ ตอนถัดไปได้จำนวนวิธีเทา่ ๆ กัน
บางปญั หาต้องใชท้ ัง้ หลกั การบวกและหลกั การคณู ในการหาจำนวนวธิ ที ั้งหมด
โดยท่ัวไปในการทำโจทย์ เราอาจแบง่ งานเป็นข้นั ตอน แลว้ คำนวณหาจำนวนวธิ ีในแต่ละข้ันตอน ถา้ งานใน
ขนั้ ตอนย่อย ๆ เกดิ มีจำนวนวิธีไม่แน่นอน จึงค่อยแยกเปน็ กรณี โดยพจิ ารณาจากจำนวนวิธที ีไ่ มเ่ ท่ากันว่าทำไมจึง
ได้จำนวนวิธที ่ีแตกตา่ งกนั แลว้ นำประเดน็ ของเหตดุ ังกล่าวมาแยกเป็นกรณี หรือในบางคร้งั เราอาจต้องแบ่งงาน
เป็นกรณยี ่อย แล้วแบ่งขนั้ ตอนในแต่ละกรณอี กี ที เช่น
กรณที ่ี 1 ขน้ั ตอนท่ี 1 ขน้ั ตอนที่ 2 ข้ันตอนที่ 3
กรณที ่ี 2 ข้นั ตอนที่ 1 คูณกนั ข้นั ตอนที่ 3
กรณที ี่ 3 ขนั้ ตอนท่ี 1 ข้นั ตอนท่ี 3
ขั้นตอนที่ 2
คณู กัน
งานใหญ่ บวกกนั
ข้นั ตอนท่ี 2
คณู กนั
ชั้นมธั ยมศกึ ษาปที ี่ ๕ โรงเรียนคณะราษฎรบำรุง จังหวดั ยะลา
ค๓๒๑๐๒ คณติ ศาสตร์ ๔ บทที่ ๑ หลักการนับเบอ้ื งตน้ 12
ตวั อย่างท่ี 21 ห้างสรรพสินคา้ แหง่ หน่งึ ตอ้ งการจัดแสดง เส้ือ กระโปรง และกางเกง ของสตรี โดยใช้หนุ่ โชวห์ น้า
รา้ น ถา้ ห้างสรรพสินค้าดงั กลา่ ว มีเส้อื 12 แบบ กระโปรง 8 แบบ และกางเกง 6 แบบ โดยที่กระโปรงและกางเกง
จะไม่ใสพ่ รอ้ มกนั จะมีวิธีในการจัดชุดเสื้อผา้ สำหรบั หุน่ โชวไ์ ด้ท้ังหมดก่ีวธิ ีที่
วิธที ำ การจดั ชุดเสื้อผ้าสำหรบั หุ่นโชว์ ประกอบดว้ ย 2 ขั้นตอน ดงั น้ี
ขั้นตอนที่ 1 เลอื กเสื้อใสห่ ุ่นโชว์ ทำได้...................................วิธี
ขั้นตอนท่ี 2 เลือกกระโปรงหรอื กางเกงให้หุ่นโชว์ ซึง่ ตอ้ งเลือกอยา่ งใดอยา่ งหนึ่งเทา่ นน้ั โดยใช้
หลักการบวก ทำได้...................................วธิ ี
จากหลกั การคูณ จงึ ไดว้ ่า จะมีวธิ ีในการจัดชดุ เส้ือผา้ สำหรบั หุน่ โชว์ท้ังหมด ...............................................วิธี ◼
ตัวอยา่ งท่ี 22 จะสรา้ งเลขคู่ 3 หลัก จากเลขโดด 0, 1, 2, 3, 4 โดยทตี่ วั เลขแตล่ ะหลกั ไม่ซำ้ กนั ได้ท้ังหมดกว่ี ิธี
วธิ ที ำ ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………◼
ตะลยุ ขอ้ สอบ O-NET
ตัวอยา่ งที่ 23 ในการเขยี นตัวเลข 3 หลกั จากเลขโดด 1 ถึง 7 โดยทเ่ี ลขโดดในหลกั ทัง้ สามไมซ่ ำ้ กันเลย จะมีวธิ ี
เขียนตัวเลขเหลา่ นท้ี แี่ สดงจำนวนค่ีได้ก่วี ธิ ี (O-NET’49, 2-6)
วธิ ีทำ ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………◼
ตัวอย่างที่ 24 ต้องการจัดที่นั่งให้ผู้ใหญ่ 3 คนกับเด็ก 4 คน เดินทางด้วยรถยนต์ 7 ที่นั่ง (รวมที่นั่งคนขับแล้ว)
โดยคนขับต้องเปน็ ผใู้ หญ่ จะมีจำนวนวธิ กี ารจดั ไดก้ ี่วธิ ี (O-NET’54, 34)
วธิ ที ำ ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………◼
ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปีท่ี ๕ โรงเรยี นคณะราษฎรบำรงุ จังหวัดยะลา
ค๓๒๑๐๒ คณติ ศาสตร์ ๔ บทท่ี ๑ หลักการนับเบ้ืองตน้ 13
ตวั อย่างที่ 25 ถ้าการท่ีครอบครัวจะมลี กู ชายหรือลูกสาวมโี อกาสเท่า ๆ กนั แลว้ จำนวนสมาชิกของเหตกุ ารณท์ ี่
ครอบครวั ที่มลี กู 4 คน มีลกู คนที่สองเปน็ หญิง และลกู คนทสี่ เี่ ป็นชาย เทา่ กับเทา่ ใด (O-NET’59, 32)
ก. 4 ข. 6 ค. 8 ง. 10 จ. 16
วธิ ีทำ ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………◼
ตัวอย่างที่ 26 ถ้าโยนเหรียญเที่ยงตรงเหรียญหนงึ่ 4 คร้งั แล้วจำนวนสมาชกิ ของเหตุการณ์ที่เหรียญจะออกหวั 2
ครั้ง และกอ้ ย 2 ครง้ั เท่ากับเท่าใด (O-NET’60, 31)
ก. 2 ข. 3 ค. 4 ง. 5 จ. 6
วิธีทำ ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………◼
ตัวอย่างที่ 27 ข้อสอบชดุ หน่งึ มี 2 ตอน ตอนท่ี 1 มี 5 ข้อ ให้เลอื กตอบว่าจรงิ หรือเทจ็
ตอนท่ี 2 มี 5 ข้อ เปน็ ขอ้ สอบแบบ 4 ตวั เลือก
ถ้าต้องตอบข้อสอบชุดนี้ทกุ ข้อ โดยไม่เว้นแลว้ จะมีวิธีตอบข้อสอบชุดนี้ไดต้ ่าง ๆ กันทั้งหมดเท่ากับขอ้ ใดต่อไปนี้
(O-NET’49, 16)
1. 52⨯54 วธิ ี 2. 25⨯54 วธิ ี 3. 25⨯45 วธิ ี 4. 52⨯45 วิธี
วธิ ีทำ ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………◼
ตวั อยา่ งที่ 28 ในการคัดเลอื กคณะกรรมการหมบู่ ้าน ซง่ึ ประกอบด้วยประธานฝ่ายชาย 1 คน ประธานฝ่ายหญิง
1 คน กรรมการฝ่ายชาย 1 คน และกรรมการฝา่ ยหญงิ 1 คน จากผู้สมคั รชาย 4 คนและหญิง 8 คน มีวิธกี ารเลอื ก
คณะกรรมการไดก้ ่ีวธิ ี (O-NET’52, 37)
1. 168 วธิ ี 2. 324 วธิ ี 3. 672 วิธี 4. 1,344 วิธี
วิธที ำ ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………◼
ชน้ั มัธยมศึกษาปีที่ ๕ โรงเรยี นคณะราษฎรบำรุง จังหวัดยะลา
ค๓๒๑๐๒ คณติ ศาสตร์ ๔ บทที่ ๑ หลกั การนบั เบ้ืองตน้ 14
ตัวอยา่ งท่ี 29 มาลีตอ้ งการเดินทางจากเมือง A ไปยงั เมือง C โดยตอ้ งเดนิ ทางผ่านไปยงั เมือง B กอ่ น จากเมือง
A ไปเมือง B มาลีสามารถเลือกเดินทางโดยรถยนต์ รถไฟ หรือเครื่องบินได้ แต่จากเมือง B ไปเมือง C สามารถ
เดินทางไปทางเรือ รถยนตร์ ถไฟ หรือเครือ่ งบนิ ข้อใดต่อไปน้คี อื จำนวนวิธีในการเดนิ ทางจากเมือง A ไปยังเมอื ง C
ทจี่ ะต้องเดนิ ทางโดยรถไฟเป็นจำนวน 1 ครัง้ (O-NET’52)
1. 5 วธิ ี 2. 6 วิธี 3. 8 วิธี 4. 9 วธิ ี
วิธีทำ ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………◼
ตัวอย่างท่ี 30 ครอบครัวหนึ่งมีพี่น้อง 6 คน เป็นชาย 2 คน หญิง 4 คน จำนวนวิธีที่จะจัดให้คนทั้งหกยืนเรียง
กนั เพอิ่ ถ่ายรูป โดยใหช้ ายสองคนยืนอยู่รมิ สองขา้ งเสมอเทา่ กับข้อใดตอ่ ไปน้ี (O-NET’51, 17)
1. 12 วิธี 2. 24 วธิ ี 3. 36 วธิ ี 4. 48 วิธี
วธิ ีทำ ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………◼
ตัวอย่างท่ี 31 ครอบครวั หนงึ่ มพี ่อ แม่ และลกู 2 คน ไปเท่ยี วสวนสนกุ แห่งหน่ึง ถ้าจัดคนทัง้ สถี่ ่ายรูปกับรูปป้ันโด
ราเอมอน โดยยืนเรยี งกันใหโ้ ดราเอมอนอยตู่ รงกลาง และลูกทงั้ สองคนไม่ยืนตดิ กนั จะมจี ำนวนวธิ จี ัดไดก้ ีว่ ธิ ี
(O-NET’57, 26) 3. 12 4. 16 5. 18
1. 8 2. 10
วิธที ำ ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………◼
ตัวอย่างท่ี 32 ต้องการสรา้ งจำนวนนบั ทน่ี ้อยกว่า 150 จากเลขโดด 1, 2, 3, 4 และ 5 โดยท่ีเลขโดดในแตล่ ะ
หลกั ไมซ่ ้ำกนั จะสร้างได้ทัง้ หมดกี่จำนวน (O-NET’64, 29)
วธิ ีทำ ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………◼
ช้นั มัธยมศึกษาปที ่ี ๕ โรงเรยี นคณะราษฎรบำรุง จังหวดั ยะลา
ค๓๒๑๐๒ คณิตศาสตร์ ๔ บทที่ ๑ หลกั การนับเบอ้ื งต้น 15
หลักการลบ วิธนี ับแบบตรงขา้ ม
สำหรบั ปญั หาทต่ี ้องแบ่งเปน็ กรณนี ั้น บางครัง้ อาจแบ่งได้หลายกรณี ซงึ่ ทำให้เสยี เวลาในการคิด ดังน้ัน เราอาจ
พิจารณางานที่อยู่ตรงข้ามกบั งานทโี่ จทยต์ อ้ งการ ถา้ งานทอ่ี ยู่ตรงขา้ มน้นั หาได้ง่ายกว่า โดยอาศัยความรู้เรื่องเซต ดังนี้
n(E) = n(U ) − n(E) E
E
U
น่นั คอื
จำนวนวธิ ีทตี่ อ้ งการ = จำนวนวธิ ีทงั้ หมด - จำนวนวธิ ที ไี่ มต่ อ้ งการ
หมายเหตุ วิธนี น้ี ยิ มใชเ้ มื่อมีคำว่า “อยา่ งน้อย” หรือ “อย่างมาก” อยู่ในสงิ่ ท่โี จทยถ์ าม
ตวั อยา่ งท่ี 33 โยนเหรียญ 3 ครั้ง จงหาจำนวนวธิ ที ี่ได้ก้อยอยา่ งนอ้ ย 1 ครง้ั
วธิ ที ำ ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………◼
ตวั อย่างท่ี 34 นก 6 ตวั เลือกเกาะบนกงิ่ ไม้ซ่งึ มี 2 ก่งิ จงหาจำนวนวธิ ที ่ที ้ังสองก่ิงมนี กมาเกาะ
วธิ ที ำ ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………◼
ตวั อย่างท่ี 35 ถ้าทอดลูกเตา๋ สองลูกพรอ้ มกนั จงหาจำนวนวธิ ที ผี่ ลบวกของแต้มบนหน้าลกู เต๋าท้งั สองจะ
มากกวา่ 4
วิธีทำ ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………◼
ชน้ั มัธยมศึกษาปีที่ ๕ โรงเรยี นคณะราษฎรบำรุง จังหวัดยะลา
ค๓๒๑๐๒ คณติ ศาสตร์ ๔ บทท่ี ๑ หลักการนบั เบ้ืองตน้ 16
ตวั อยา่ งท่ี 36 จะนำจดหมายไป 4 ฉบบั ไปใส่ตู้ไปรษณีย์ 5 ตู้ ได้ทัง้ หมดกว่ี ธิ ี ถ้ากำหนดเงือ่ นไข ดังน้ี
1. ไมม่ ีเงือ่ นไขเพิ่มเตมิ
วิธีทำ ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………◼
2. ตู้ไปรษณียแ์ ต่ละตจู้ ะใส่จดหมายได้ไมเ่ กนิ 1 ฉบับ
วธิ ีทำ ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………◼
3. มจี ดหมายอย่างนอ้ ย 2 ฉบบั ท้งิ ในตูเ้ ดยี วกัน
วธิ ที ำ ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………◼
4. อาจจะมีการใสซ่ ้ำตู้กัน แต่จะใส่ตู้เดยี วกนั ท้งั 4 ฉบับไม่ได้
วิธีทำ ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………◼
ตัวอยา่ งที่ 37 ในการสรา้ งเลขสามหลกั จากเลขโดด 0, 1, 2, 3, 4 และ 5 โดยที่แต่ละหลักไม่ซำ้ กนั จะสรา้ งได้
ทั้งหมดกจ่ี ำนวน เม่ือ
1. ไม่มีเงื่อนไขเพมิ่ เติม
วิธที ำ ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………◼
2. เป็นจำนวนคู่
วธิ ีทำ ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………◼
ช้นั มัธยมศึกษาปที ่ี ๕ โรงเรียนคณะราษฎรบำรงุ จังหวัดยะลา
ค๓๒๑๐๒ คณิตศาสตร์ ๔ บทท่ี ๑ หลกั การนบั เบ้ืองตน้ 17
3. เปน็ จำนวนทห่ี ารด้วย 5 ลงตวั
วธิ ที ำ ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………◼
4. เป็นจำนวนค่ี
วิธีทำ ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………◼
5. เป็นจำนวนทม่ี คี า่ มากกว่า 400
วิธีทำ ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………◼
6. เปน็ จำนวนท่มี ีคา่ มากกว่า 250
วธิ ที ำ ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………◼
7. เปน็ จำนวนทหี่ ารดว้ ย 5 ไม่ลงตวั
วิธที ำ ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………◼
8. เป็นจำนวนทีห่ ารด้วย 2 ไม่ลงตัว
วธิ ที ำ ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………◼
ตัวอย่างที่ 36 ตนู้ ริ ภยั มรี ะบบล็อกทเี่ ป็นรหัสประกอบด้วยเลขโดด 0 – 9 จำนวน 3 หลกั จำนวนรหสั ท้ังหมดที่มี
บางหลักซ้ำกนั คือเทา่ ใด (O-NET’53, 39)
วธิ ีทำ ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………◼
ช้นั มธั ยมศกึ ษาปที ่ี ๕ โรงเรยี นคณะราษฎรบำรุง จงั หวดั ยะลา
ค๓๒๑๐๒ คณิตศาสตร์ ๔ บทที่ ๑ หลกั การนบั เบอื้ งตน้ 18
แบบฝกึ หัด 1.1
1. เมนูของร้านอาหารแห่งหน่งึ มีอาหารไทย 12 อยา่ ง อาหารจีน 8 อยา่ ง และอาหารญ่ปี ุน่ 5 อยา่ ง ถา้ ตอ้ งการ
เลอื กสั่งอาหาร 1 อยา่ ง จะมวี ธิ ีเลอื กส่งั อาหารได้กีว่ ธิ ี
วิธที ำ ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………◼
2. กมลนำกระเบอื้ งรปู สามเหล่ียมดา้ นเท่าทีแ่ ต่ละดา้ นยาว 1 หน่วย จำนวน 16 แผ่น มาจัดเรียงชิดกนั ดังรูป
จากการจัดเรยี งกระเบื้องข้างตน้ มีรูปสามเหล่ียมดา้ นเทา่ ทั้งหมดก่รี ูป
วธิ ที ำ ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………◼
3. สมคิดนำกระเบ้ืองรูปส่เี หล่ยี มจัตุรัสท่ีแต่ละด้านยาว 1 หน่วย จำนวน 9 แผน่ มาจัดเรยี งชิดกัน ดงั รูป
จากการจัดเรยี งกระเบือ้ งขา้ งตน้ มีรปู สี่เหลีย่ มจัตุรัสทั้งหมดกีร่ ูป
วธิ ที ำ ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………◼
ช้ันมธั ยมศกึ ษาปีท่ี ๕ โรงเรยี นคณะราษฎรบำรงุ จงั หวดั ยะลา
ค๓๒๑๐๒ คณติ ศาสตร์ ๔ บทที่ ๑ หลักการนบั เบื้องต้น 19
4. จากเมือง ก ไปเมือง ข มเี สน้ ทางการเดนิ ทางได้ 2 วธิ ี คอื รถไฟ และเคร่อื งบนิ
จากเมือง ข ไปเมอื ง ค มีเส้นทางการเดินทางได้ 2 วธิ ี คือ ทางรถยนต์ และเรือ
จากเมือง ค ไปเมือง ง มเี สน้ ทางการเดินทางได้ 3 วธิ ี คอื ทางเรือ รถไฟ และเครื่องบนิ
ถา้ พงศกรจะเดินทางจากเมอื ง ก ไปเมอื ง ง โดยผา่ นเมอื ง ข และ ค พงศกรจะมีวธิ เี ลอื กเดินทางได้กี่วธิ ี
วธิ ีทำ ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………◼
5. ห้างสรรพสินค้าแหง่ หนึ่งมปี ระตซู ่ึงเขา้ ออกได้ 10 ประตู ถา้ มะลติ อ้ งการเข้าและออกหา้ งสรรพสนิ คา้ แหง่ นี้
โดยไม่ใชป้ ระตูซ้ำกัน มะลจิ ะสามารถเลอื กประตูเขา้ ออกได้กี่วธิ ี
วธิ ที ำ ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………◼
6. รหัสหนงั สือของหอ้ งสมุดแห่งหน่ึงประกอบดว้ ย ตวั อักษรภาษาองั กฤษ 2 ตวั เลขโดด 3 ตัวท่ไี มเ่ ป็นศนู ยพ์ ร้อม
กัน ตวั อักษรภาษาองั กฤษ 1 ตวั และเลขโดด 2 ตัวที่ไมเ่ ปน็ ศูนยพ์ รอ้ มกนั เชน่ QA 005 B 01 จงหาจำนวนรหัสท่ี
เป็นไปได้ท้งั หมด
วิธที ำ ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………◼
7. จะมีวิธีตอบข้อสอบแบบ 5 ตัวเลอื ก จำนวน 4 ขอ้ ไดก้ ่วี ิธี
วิธที ำ ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………◼
8. มีผลไม้อยู่ 4 ชนดิ ไดแ้ ก่ มะละกอ ทุเรียน สับปะรด และส้มโอ ชนดิ ละ 1 ผล และมีตะกร้าทแ่ี ตกตา่ งกนั อยู่ 6
ใบ หากต้องการนำผลไม้ทั้งหมดใส่ตะกรา้ จงหา
1) จำนวนวธิ ีในการนำผลไมใ้ ส่ตะกร้าโดยไมม่ ีเงือ่ นไข
2) จำนวนวิธีในการนำผลไมใ้ ส่ตะกรา้ โดยที่ตะกร้าแต่ละใบมผี ลไม้ไม่เกิน 1 ผล
วิธีทำ ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………◼
ช้ันมัธยมศกึ ษาปีท่ี ๕ โรงเรยี นคณะราษฎรบำรงุ จังหวดั ยะลา
ค๓๒๑๐๒ คณติ ศาสตร์ ๔ บทที่ ๑ หลกั การนบั เบือ้ งตน้ 20
9. พาลนิ โดรม (palindrome) หมายถงึ คำทสี่ ามารถเขียนตัวอักษรเรียงย้อนกลับจากหลังไปหน้า หรือจากขวาไป
ซา้ ย แล้วยังคงอา่ นออกเสยี งได้เหมือนเดมิ เช่น NOON, RADAR, REDDER จงหาวา่ พาลินโดรมทีป่ ระกอบด้วย
ตวั อักษรภาษาอังกฤษ 4 ตวั โดยที่จะมีความหมายหรือไมก่ ไ็ ด้ มที งั้ หมดก่คี ำ
วธิ ที ำ ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………◼
10. ลกู เต๋าแต่ละลกู ประกอบดว้ ยหน้า 6 หนา้ โดยมีแต้ม 1, 2, 3, 4, 5 และ 6 ปรากฏอยูแ่ ตม้ ละหน่งึ หน้า
ถ้าทอดลูกเต๋าหนง่ึ ลกู สองครั้ง จงหา
1) จำนวนวิธที ี่แตม้ ทไ่ี ด้จากการทอดลูกเต๋าท้งั สองคร้งั เท่ากนั
2) จำนวนวิธีทแี่ ตม้ ทไ่ี ด้จากการทอดลูกเต๋าทงั้ สองครง้ั ต่างกัน
3) จำนวนวธิ ีทีผ่ ลรวมของแต้มทไ่ี ด้จากการทอดลูกเต๋าทงั้ สองนอ้ ยกว่า 10
วิธีทำ ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………◼
11. จงหาวา่
1) จำนวนเตม็ บวกทม่ี ี 3 หลกั มที ั้งหมดกี่จำนวน
2) จำนวนเตม็ บวกท่มี ี 3 หลัก ทเี่ ลขโดดในหลักแรกและหลักสุดทา้ ยไมซ่ ำ้ กนั มที ้งั หมดกจี่ ำนวน
3) จำนวนเตม็ บวกท่มี ี 3 หลัก ที่เลขโดดในหลักแรกและหลักสดุ ท้ายรวมกนั ได้ 10 มที ั้งหมดกี่จำนวน
วิธีทำ ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………◼
12. ในการสร้างเลข 4 หลกั จากเลข 2, 4, 5, 6, 7, 8 จะสรา้ งเลขสีห่ ลกั ทมี่ ีการใชเ้ ลขซำ้ กนั อย่างนอ้ ย 2 หลักได้
กี่จำนวน
วิธที ำ ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………◼
ชน้ั มัธยมศึกษาปีท่ี ๕ โรงเรียนคณะราษฎรบำรุง จังหวัดยะลา
ค๓๒๑๐๒ คณติ ศาสตร์ ๔ บทท่ี ๑ หลกั การนับเบอื้ งตน้ 21
1.2 การเรยี งสบั เปลย่ี นเชงิ เสน้ ของสิ่งของที่แตกตา่ งกนั ท้ังหมด
วิธีเรียงสบั เปลี่ยน (Permutation) เปน็ วธิ ีการเรียงสิง่ ของจำนวนหนึง่ โดยถือเอาอนั ดับเปน็ สิ่งสำคัญ ซึ่ง
แบง่ ออกเป็น 2 วธิ ี คอื วธิ ีเรียงสบั เปลี่ยนเชงิ เสน้ และวิธเี รียงสบั เปล่ียนเชิงวงกลม สำหรับวิชาคณติ ศาสตร์พ้ืนฐาน
นี้ เราจะศกึ ษาเฉพาะการเรียงสบั เปลย่ี นเชิงเสน้ ของส่งิ ของที่แตกต่างกนั ทงั้ หมดเท่านนั้
วิธีเรียงสับเปลี่ยนเชิงเส้น (Linear Permutation) เป็นการจัดเรียงสิ่งของในแนวเส้นตรงหรือเส้นโค้ง
โดยทปี่ ลายท้งั สองขา้ งของเสน้ โคง้ ไมบ่ รรจบกัน
วิธีเรยี งสบั เปลย่ี นเชงิ เสน้ ของส่ิงของท่ีแตกต่างกนั ท้งั หมด
สมมตวิ า่ ไอซ์ มิว และวิน ยนื เป็นแถวหนา้ กระดานเพอ่ื ถา่ ยรูปดว้ ยกันทัง้ สามคน จะสามารถแจกแจงวิธี
ยืนเรียงกันไดท้ ้ังหมด 6 วิธี คอื
วธิ ีท่ี 1 ไอซ์ มิว วิน วิธที ี่ 2 ........ ........ ........
วิธีที่ 3 ........ ........ ........ วธิ ีท่ี 4 ........ ........ ........
วธิ ีท่ี 5 ........ ........ ........ วิธที ่ี 6 ........ ........ ........
นอกจากการแจกแจงวธิ ียนื ท้งั หมดโดยตรงแล้ว ยงั สามารถหาจำนวนวิธกี ารยืนเป็นแถวหน้ากระดานเพ่ือ
ถ่ายรปู ของท้ังสามคนได้โดยพจิ ารณาตำแหนง่ การยืนและใช้หลักการคณู ดังนี้
เน่อื งจากตำแหน่งในการยืนมี 3 ตำแหนง่ การจัดแถวเพอ่ื ถ่ายรปู จงึ ประกอบด้วย 3 ขนั้ ตอน ดงั นี้
ขนั้ ตอนที่ 1 ตำแหนง่ ที่ 1 เลือกคนมายืนได้ 3 วธิ ี จาก ไอซ์ มิว และวิน
ขน้ั ตอนท่ี 2 ตำแหน่งที่ 2 เลอื กคนมายืนได้ 2 วธิ ี จากคน 2 คนทเี่ หลอื
ขั้นตอนที่ 3 ตำแหนง่ ที่ 3 เลอื กคนมายนื ได้ 1 วธิ ี จากคนสดุ ท้าย
จากหลกั การคูณ จงึ ไดว้ า่ มวี ธิ จี ัดแถวเพ่อื ถา่ ยรูปทั้งหมด 3 21 = 6 วิธี
การจัดแถวเพอื่ ถา่ ยรปู ข้างต้นเปน็ ตัวอยา่ งของการเรยี งสับเปลีย่ นเชงิ เสน้ ซึง่ เปน็ การนำสง่ิ ของมาจดั เรียง
ในแนวเสน้ ตรง โดยไมน่ ำสงิ่ ของทใ่ี ชจ้ ัดเรยี งไปแล้วในตำแหน่งหนึ่งมาจดั เรยี งในตำแหนง่ อืน่ อีก และการเรียง
สบั เปล่ยี นทม่ี ีสงิ่ ของเรียงลำดบั แตกต่างกนั จะถอื วา่ เป็นการเรยี งสับเปลีย่ นทีไ่ มเ่ หมือนกัน
แฟกทอเรียล (Factorial)
จำนวนวิธีการเรียงสับเปล่ียนเชงิ เส้น มักอยู่ในรปู ผลคูณของจำนวนเต็มบวกทเ่ี รยี งติดต่อกันต้งั แต่ 1 ถงึ
จำนวนเตม็ บวก n เช่น 9 8 7 6 5 4 3 21 หรือ 1 2 3 4 5 6 7 8 9
ชั้นมัธยมศกึ ษาปที ี่ ๕ โรงเรยี นคณะราษฎรบำรุง จงั หวัดยะลา
ค๓๒๑๐๒ คณิตศาสตร์ ๔ บทท่ี ๑ หลกั การนับเบือ้ งตน้ 22
เพือ่ ความสะดวกรวดเรว็ ในการเขียนผลคูณดังกลา่ ว นักคณิตศาสตร์จงึ ใชส้ ัญลักษณ์บางอยา่ งแทนผลคูณ
ดงั กล่าวทเ่ี รียกว่า แฟกทอเรียล ดงั บทนยิ ามต่อไปน้ี
บทนยิ าม ให้ n เปน็ จำนวนเต็มบวก แฟกทอเรยี ล n ซึง่ เขียนแทนดว้ ยสัญลักษณ์ n!
อา่ นว่า แฟกทอเรยี ลเอ็น หรือ เอ็นแฟกทอเรยี ล หมายถึง ผลคูณของจำนวนเตม็ บวก ต้ังแต่ 1 ถึง n
น่ันคอื
n! = 1 2 3 ... (n −1) n
หรือ n! = n (n −1) ... 3 2 1
เมือ่ n เป็นจำนวนเต็มบวก
ตวั อย่างเช่น 1! = 1
2! = 21=2
หมายเหตุ 3! = 321=6
ขอ้ สงั เกต 4! = 4 3 21 = 24
5! = 5 4 3 21 = 120
6! = 6 5 4 3 21 = 720
7! = 76 5 4 3 21 = 5,040
8! = 8 76 5 4 3 21 = 40,320
กำหนดให้ 0! = 1
จากตวั อย่างการหาแฟกทอเรยี ลทก่ี ลา่ วมาขา้ งตน้ จะพบข้อสังเกตทนี่ า่ สนใจคอื
2! = 21!
3! = 32!
4! = 43! = 432!
5! = 54! = 543! = 5432!
6! = 65! = 654! = 6543! = 65432!
ในกรณีทว่ั ไป จะได้
ทฤษฎีบท ถา้ n เปน็ จำนวนเต็มบวกใด ๆ แลว้ n! = n (n −1)!
ชนั้ มัธยมศกึ ษาปที ี่ ๕ โรงเรียนคณะราษฎรบำรุง จังหวดั ยะลา
ค๓๒๑๐๒ คณติ ศาสตร์ ๔ บทที่ ๑ หลักการนบั เบอื้ งต้น 23
โดยอาศัยทฤษฎบี ท เราสามารถนำมาใชค้ ำนวณการหาผลหารของจำนวนทอี่ ย่ใู นรปู แฟกทอเรยี ลได้
สะดวกและรวดเรว็ ดังตัวอยา่ งต่อไปน้ี
ตัวอย่างท่ี 37 จงหาผลหารในข้อต่อไปน้ี
1) 7! = 76 5! = 42 2) 6! = …………………..……………….………………..…
5! 5! 3!
3) 10! = …………………………………………..……….………… 4) 12! = ……….……………….…………………………..
3!7! 6!6!
5) 8! = ………………………………………………….………….. 6) 12! = 121110 9! = 55
3!5! 4!9! 4321 9!
7) 3!+ 5! = …………………………………………..…………………………………………………………………….…………….….……..
(3 !) 2
8) 5!7! = ……….…………………………………………………………………………………………………………………………………
8!3!4!
9) (n!)2 = ……………………….………….………………………………………………………………………………………..
(n + 1)!(n −1)!
10) 4(5!) − 5(4!) =……….……………….………………………………………………………………………………………………………
ในทางตรงข้าม ถ้ากำหนดจำนวนในรปู แบบการคูณที่เหมาะสมและไม่มีสญั ลกั ษณ์แฟกทอเรียล เรา
อาจจะเขยี นผลคณู ดังกลา่ วในรปู ของแฟกทอเรียลได้ดงั ตัวอยา่ งต่อไปนี้
ตวั อย่างท่ี 38 จงเขยี นผลคูณในข้อต่อไปนใ้ี ห้อยู่ในรูปของแฟกทอเรียล
1) 10 9 8 7 = 10 9 8 7 6 ! = 10 !
6 ! 6!
2) 25 24 23 ... 10 = ……………………………………………………..……………………………………….
3) n(n −1)(n − 2)(n − 3)(n − 4) = …………………………………………..………………………………………..
4) n(n + 1)(n + 2)(n + 3) = ……………………………………………….…..…………………………………………..
5) 4850494746 = ………………………………………………….…………………………………………….
ในหัวข้อต่อไปนี้ จะหาจำนวนวิธีเรียงสับเปลี่ยนเชิงเส้นของสิ่งของที่แตกต่างกันทั้งหมด โดยอาศัย
หลกั การคณู และเขยี นจำนวนวธิ ที ี่ได้ในรูปแฟกทอเรียล
ชน้ั มัธยมศกึ ษาปที ี่ ๕ โรงเรยี นคณะราษฎรบำรุง จงั หวดั ยะลา
ค๓๒๑๐๒ คณิตศาสตร์ ๔ บทที่ ๑ หลกั การนับเบ้ืองตน้ 24
ถา้ ต้องการนำส่งิ ของที่แตกตา่ งกนั n ส่งิ มาเรยี งสับเปล่ียนเชิงเสน้ สามารถหาจำนวนวธิ ีเรียงสบั เปล่ียน
ท้งั หมดไดโ้ ดยใช้หลักการคูณ ดงั นี้
ตำแหน่งท่ี 1 ตำแหนง่ ที่ 2 ตำแหนง่ ที่ n
พิจารณาตำแหนง่ ของสงิ่ ของจากซ้ายสดุ ไปขวาสุด
ขัน้ ตอนที่ 1 ตำแหน่งท่ี 1 มีวิธีเลือกสงิ่ ของมาวางได้ n วิธี
ขั้นตอนท่ี 2 ตำแหนง่ ที่ 2 แต่ละวิธีทวี่ างสิ่งของในตำแหนง่ ท่ี 1 มวี ธิ ีเลอื กสิง่ ของมาวางใน
ตำแหน่งที่ 2 ได้ n – 1 วธิ ี
ขัน้ ตอนที่ n ตำแหนง่ ท่ี n แตล่ ะวิธีที่วางสิง่ ของในตำแหน่งท่ี 1 ถงึ ตำแหน่งที่ n – 1 มวี ิธีเลือก
สิ่งของมาวางในตำแหน่งท่ี n ได้ 1 วิธี
ดงั นน้ั จำนวนวธิ ีในการนำสงิ่ ของท่ีแตกต่างกนั ท้ังหมด n ส่งิ มาเรยี งสบั เปล่ยี นเชงิ เส้น เทา่ กับ
n (n −1) (n − 2) 21 = n! วธิ ี
ตัวอยา่ งท่ี 39 นกั เรยี นจำนวน 5 คน เข้าควิ ซอื้ บัตรชมดนตรี จะมวี ธิ เี ขา้ คิวซอ้ื บัตรไดก้ ่วี ิธี ◼
วธิ ีทำ นกั เรยี น 5 คน สามารถเรยี งสับเปล่ยี นเชิงเส้น ได้
5! = 5 4 3 2 1 = 120 วธิ ี
ในบางกรณี การเรยี งสบั เปล่ียนเชงิ เสน้ อาจเปน็ การนำสิ่งของท่ีแตกต่างกันมาจดั เรยี งตามตำแหนง่ ต่าง ๆ
โดยมีจำนวนของตำแหนง่ น้อยกว่าจำนวนของส่งิ ของ เชน่ ถา้ มีเลขโดด 1, 2, 3, 4, 5, 6 ตอ้ งการนำมาจดั เรียงเปน็
จำนวนสองหลัก โดยท่แี ตล่ ะหลกั มเี ลขโดดไมซ่ ้ำกัน จะมจี ำนวนทแ่ี ตกต่างกันได้ท้ังหมดก่ีจำนวน
ปญั หาดงั กล่าวสามารถแกไ้ ด้โดยใชห้ ลักการคูณ ดังนี้
ขัน้ ตอนที่ 1 หลักสิบ เลอื กเลขโดดได้ 6 วิธี จากเลขโดด 1, 2, 3, 4, 5, 6
ข้ันตอนที่ 2 หลักหนว่ ย เลอื กเลขโดดได้ 5 วธิ ี จากเลขโดดทเ่ี หลอื 5 ตัว
ดงั นน้ั จำนวนสองหลักที่ตอ้ งการ มีทง้ั หมด 6 5 = 30 จำนวน
ในกรณีท่ัวไป ถา้ มสี ่ิงของที่แตกตา่ งกันอยู่ n สิง่ และต้องการนำสิ่งของ r สิง่ จาก n สงิ่ มาเรียงสับเปล่ียน
เชงิ เส้น โดยท่ี 0 r n จะทำได้ดงั นี้
ชน้ั มธั ยมศึกษาปีท่ี ๕ โรงเรียนคณะราษฎรบำรุง จังหวัดยะลา
ค๓๒๑๐๒ คณติ ศาสตร์ ๔ บทที่ ๑ หลักการนบั เบอ้ื งตน้ 25
ตำแหนง่ ที่ 1 ตำแหนง่ ที่ 2 ตำแหน่งที่ 3 ตำแหน่งท่ี r
พจิ ารณาตำแหน่งของสิ่งของจากตำแหนง่ ที่ 1 ถงึ ตำแหนง่ ท่ี r
ขน้ั ตอนที่ 1 ตำแหนง่ ที่ 1 มวี ิธเี ลือกสง่ิ ของมาวางได้ n วิธี
ขน้ั ตอนท่ี 2 ตำแหน่งที่ 2 แต่ละวิธีทวี่ างส่งิ ของในตำแหนง่ ที่ 1 มีวธิ ีเลือกสิ่งของมาวางใน
ตำแหนง่ ท่ี 2 ได้ n – 1 วธิ ี
ขน้ั ตอนที่ 3 ตำแหน่งท่ี 3 แต่ละวธิ ที ี่วางสง่ิ ของในตำแหน่งท่ี 1 และตำแหนง่ ที่ 2
มวี ิธีเลอื กสิง่ ของมาวางในตำแหนง่ ท่ี 3 ได้ n – 2 วธิ ี
ขั้นตอนท่ี r ตำแหน่งท่ี r แตล่ ะวิธีทวี่ างสิ่งของในตำแหน่งท่ี 1 ถงึ ตำแหน่งที่ r – 1
มีวธิ ีเลอื กสง่ิ ของมาวางในตำแหนง่ ท่ี r ได้ n – r + 1 วธิ ี
ดงั นนั้ จำนวนวิธีในการนำสง่ิ ของ r สงิ่ จากสิง่ ของทแี่ ตกต่างกนั n สิ่ง มาเรียงสบั เปลย่ี นเชงิ เส้น เท่ากบั
n(n −1) (n − 2) (n −r +1) วธิ ี
ให้ Pn, r แทน จำนวนวธิ ีในการนำสงิ่ ของ r สิ่งจากสงิ่ ของท่แี ตกตา่ งกนั n สิง่ มาเรยี งสับเปล่ยี นเชิงเส้น
(บางตำราใช้ nPr หรอื P(n, r) ) จะไดว้ า่
Pn, r = n (n − 1) (n − 2) (n − r + 1)
= n (n − 1) (n − 2) (n − r + 1) (n − r ) !
= n! (n − r ) !
(n − r)!
ในกรณที ่ี r = n คือมสี ง่ิ ของ n ชน้ิ นำมาเรียงสับเปล่ียนท้งั หมด จะกระทำได้
Pn, n = n! = n! = n! วธิ ี
(n − n)! 0!
บทสรปุ
1. จำนวนวิธเี รยี งสบั เปลี่ยนแบบเชิงเสน้ ของสิ่งของท่ีแตกตา่ งกนั ท้ังหมด n ส่ิง เทา่ กับ n! วิธี
2. ถ้ามีส่ิงของท่ีแตกตา่ งกัน n สง่ิ ตอ้ งการนำมาจัดเรียงแบบเชงิ เส้น จำนวน r สงิ่ (r n)
จำนวนวิธีเรยี งสับเปลี่ยนเทา่ กับ P(n, r)= n Pr = Pn, r = n! วิธี
(n − r)!
ชั้นมธั ยมศึกษาปที ี่ ๕ โรงเรียนคณะราษฎรบำรงุ จงั หวัดยะลา
ค๓๒๑๐๒ คณิตศาสตร์ ๔ บทที่ ๑ หลักการนบั เบื้องต้น 26
เชน่ ตวั อกั ษร a, b, c, d, e นำมาเรยี งสบั เปลี่ยนคราวละ 1 ตวั จะทำได้............................................................วิธี
ตัวอกั ษร a, b, c, d, e นำมาเรยี งสบั เปลีย่ นคราวละ 3 ตวั จะทำได.้ ...........................................................วธิ ี
ตวั อักษร a, b, c, d, e นำมาเรียงสับเปล่ียนคราวละ 5 ตวั จะทำได้............................................................วธิ ี
ตัวอย่างที่ 40 ร้านค้าแห่งหนึ่งมกี ระเป๋ารุ่นใหมท่ ีแ่ ตกต่างกันทั้งหมด 8 แบบ ต้องการนำกระเป๋า 3 แบบ มาจัด
แสดงหนา้ ร้าน โดยวางเรียงกันในแนวเส้นตรง จะจดั ได้ทง้ั หมดกว่ี ิธี
วิธที ำ จากสตู ร Pn, r = (n n!
− r)!
ในทีน่ ้ี n = 8 และ r = 3
จะได้ P8, 3 = (8 8! = 8! = 8765! = 876 = 336
− 3)! 5! 5!
◼
ดงั น้ัน จะจัดเรียงกระเป๋า 3 แบบ จากกระเป๋า 8 แบบ ได้ท้งั หมด 336 วิธี
ตัวอย่างที่ 41 มีหนังสือคณิตศาสตร์ 3 เล่มต่างกัน หนังสือเคมี 2 เล่มต่างกัน และหนังสือฟิสิกส์ 4 เล่มต่างกัน
จะมีวิธีนำหนงั สอื ทง้ั หมดมาจดั วางบนช้นั หนงั สอื ได้ก่วี ิธี
วิธที ำ ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………◼
ตัวอย่างที่ 42 รหัสบัตรเอทีเอ็มประกอบด้วยเลขโดด 0, 1, 2, 3, …, 9 จำนวน 4 ตัว เช่น 1234 1111 4770
จงหาจำนวนรหสั บัตรเอทีเอม็ ทงั้ หมดทเ่ี ป็นไปได้ ถา้
1) ไม่มีเงอื่ นไขเพิ่มเตมิ
2) หา้ มใช้เลขโดดซำ้ กนั
วิธที ำ ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………◼
Note
(1) เราอาจจะหาจำนวนวธิ เี รยี งสับเปลี่ยนจากกฎการนับได้ อกี วธิ หี น่ึง
(2) เทคนคิ การจัดเรียงให้ สิ่งของบางสิ่งอย่ตู ิดกันเสมอ ให้มองรวมส่ิงท่ีตอ้ งการให้อย่ตู ิดกนั เป็นส่ิงของหน่ึงส่ิง
เมอ่ื เรยี งสับเปลี่ยนทั้งหมดแลว้ ให้ คูณวธิ เี รียงสับเปลี่ยนในกลุ่มด้วย (มดั แล้วมองเปน็ หน่ึง)
(3) เทคนคิ การจดั เรยี งท่ีให้ส่ิงของบางส่ิงไม่ใหอ้ ยูต่ ิดกนั เลย ให้จัดเรียงสิ่งของอื่นก่อนแลว้ นําส่ิงของที่เหลือที่ไม่
ต้องการใหต้ ิดกันไปแทรกระหวา่ งส่ิงท่ีจดั ไว้ แล้ว (จดั อย่างอ่ืนแล้วแทรก)
ชนั้ มัธยมศกึ ษาปีท่ี ๕ โรงเรียนคณะราษฎรบำรงุ จังหวดั ยะลา
ค๓๒๑๐๒ คณติ ศาสตร์ ๔ บทท่ี ๑ หลกั การนบั เบ้อื งต้น 27
ตัวอย่างที่ 43 นำธงชาติของประเทศที่เข้าร่วมแข่งขันกีฬานานาชาติจำนวน 9 ประเทศมาประดับริมทางเข้า
สนามกีฬาได้กี่วิธี ถา้
ก. ไมม่ ีเงื่อนไขเพ่มิ เตมิ
ข. ธงชาตขิ องประเทศเจ้าภาพต้องอย่หู วั แถว
ค. ธงชาตขิ องประเทศเจ้าภาพอยู่ติดกบั ประเทศ A เสมอ
วิธีทำ ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………◼
ตวั อย่างที่ 44 โค้ชและนักวอลเลยบ์ อลจำนวน 6 คน ยืนเข้าแถวในแนวตรงเพอ่ื ถ่ายภาพไดก้ ว่ี ธิ ี ถา้
ก. โค้ชอยหู่ ัวแถวเสมอ
ข. โคช้ อย่ทู า้ ยแถวเสมอ
ค. โคช้ อยู่ตรงกลางเสมอ
ง. สมชายเป็นนักวอลเลยบ์ อลในทมี และต้องการยนื ติดกับโค้ชเสมอ
จ. ประมุขเปน็ นักวอลเลย์บอลในทมี และไมต่ ้องการยนื ตดิ กับโคช้
วธิ ีทำ ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………◼
ตัวอย่างที่ 45 จดั เด็กชาย 3 คน และเด็กหญงิ 2 คน นั่งเป็นแถวตรงได้กว่ี ธิ ี ถา้
ก. ไมม่ เี งื่อนไขเพิม่ เตมิ
ข. เดก็ ชายนง่ั ตดิ กนั และเด็กหญงิ น่ังตดิ กัน
ค. เด็กชายนงั่ สลับกับเดก็ หญิง
ง. วมิ ลและชาญชยั เปน็ เดก็ ในกลมุ่ ที่ไมต่ ้องการนง่ั ตดิ กัน
วิธที ำ ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………◼
ช้ันมัธยมศกึ ษาปที ี่ ๕ โรงเรียนคณะราษฎรบำรงุ จังหวัดยะลา
ค๓๒๑๐๒ คณติ ศาสตร์ ๔ บทที่ ๑ หลกั การนบั เบอ้ื งต้น 28
ตวั อย่างที่ 46 จดั ตัวอกั ษรจากคำว่า “number” โดยไมจ่ ำเป็นตอ้ งมีความหมายได้กี่วธิ ี ถ้า
ก. ไมม่ เี งื่อนไขเพม่ิ เติม
ข. ให้สระอยู่แยกกัน
ค. สระอยตู่ ิดกัน
ง. สระอย่รู มิ ท้งั สองข้าง
วธิ ที ำ ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………◼
ตัวอยา่ งท่ี 47 สร้างจำนวนเตม็ 5 หลกั ไดก้ ี่จำนวน ถา้
ก. จำนวนทส่ี รา้ งเป็นจำนวนคี่
ข. จำนวนทสี่ ร้างเป็นจำนวนคู่
ค. จำนวนทีส่ ร้างมีตัวเลขแต่ละหลกั ไม่ซำ้ กนั
วธิ ีทำ ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………◼
ตวั อยา่ งท่ี 48 มีตำราคณิตศาสตร์ 6 เลม่ ท่แี ตกต่างกัน ฟสิ กิ ส์ 5 เล่มทแี่ ตกต่างกนั ภาษาไทย 2 เล่มแตกต่างกัน
ต้องการจัดหนงั สือไวบ้ นห้งิ หนงั สอื จะจัดได้ก่ีวิธีถา้
ก. วิชาเดียวกนั อยูต่ ดิ กัน
ข. วชิ าคณิตศาสตร์อยู่ติดกัน
ค. ภาษาไทยอยูต่ ดิ กันและอย่รู ิมสดุ
ง. วิชาคณิตศาสตร์ห้ามอยู่ติดกนั
จ. วิชาภาษาไทยห้ามอยู่ติดกัน
วธิ ที ำ ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………◼
ช้นั มัธยมศกึ ษาปที ี่ ๕ โรงเรยี นคณะราษฎรบำรุง จังหวัดยะลา
ค๓๒๑๐๒ คณติ ศาสตร์ ๔ บทท่ี ๑ หลกั การนับเบ้อื งต้น 29
ตวั อย่างท่ี 49 ชาย 12 คน หญงิ 12 คน ยนื เรยี งแถวได้กี่วธิ ี ถา้
ก. ไมม่ เี ง่ือนไขเพ่ิมเตมิ
ข. ชายกับหญิงยืนสลับกนั คนตอ่ คน
ค. ชายกบั หญิงยืนสลับกันทุก 2 คน
ง. ชายกบั หญิงยืนสลับกนั ทุก 4 คน
วิธีทำ ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………◼
Note ........................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................
แบบฝกึ หัด 1.2
1. จงหาค่าของ
1) P8, 4 =…………………………………………………………………………………………………………………………………
2) P10, 2 =…………………………………………………………………………………………………………………………………
3) P5, 5 =…………………………………………………………………………………………………………………………………
4) P7, 0 =…………………………………………………………………………………………………………………………………
2. ในหอ้ งเรียนม.6 แหง่ หนึง่ มีการเลอื กประธาน รองประธาน และเหรัญญิก ถ้ามีคนสมัคร 10 คน จะมวี ธิ เี ลือกได้
ก่วี ธิ ี
วธิ ีทำ ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………◼
3. ต้องการสรา้ งจำนวน 3 หลัก จากเลขโดด 2, 3, 5 และ 9 โดยทแ่ี ต่ละหลกั มเี ลขโดดไม่ซ้ำกนั จะสร้างจำนวนท่ี
แตกต่างกันไดท้ ้ังหมดกจ่ี ำนวน
วธิ ที ำ ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………◼
ช้ันมธั ยมศึกษาปที ่ี ๕ โรงเรียนคณะราษฎรบำรงุ จงั หวัดยะลา
ค๓๒๑๐๒ คณิตศาสตร์ ๔ บทท่ี ๑ หลกั การนับเบื้องตน้ 30
4. ที่ป้ายรถประจำทางแหง่ หน่งึ มีเกา้ อี้ 5 ตวั วางเรยี งกนั เป็นแถวยาว ถ้าคน 9 คน มารอรถท่ีปา้ ยน้ี จงหาจำนวน
วธิ ีการนัง่ เก้าอ้ี โดยที่เกา้ อแี้ ตล่ ะตัวจะมคี นนั่งหน่งึ คน
วธิ ีทำ ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………◼
5. นำรปู ภาพท่ีแตกต่างกัน 5 รปู มาจัดแสดงโดยเรียงต่อกันในแนวเสน้ ตรง จะมวี ธิ จี ดั เรียงรปู ภาพได้ท้ังหมดกวี่ ิธี
วธิ ีทำ ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………◼
6. ในการบรรจคุ นเขา้ ทำงานในตำแหนง่ ต่าง ๆ 5 ตำแหน่ง เป็นตำแหน่งสำหรบั บรรจุหญิง 3 คน และตำแหนง่
สำหรับบรรจชุ าย 2 คน ถา้ มีผู้สมคั รเปน็ ชาย 8 คน เป็นหญงิ 5 คน จะมวี ธิ ีบรรจุคนเขา้ ทำงานได้กวี่ ธิ ี
วิธที ำ ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………◼
7. มีนกั เรียนชาย 8 คน และนักเรียนหญงิ 8 คน ถา้ นำมายืนเข้าแถวเปน็ แนวตรงจะจัดไดก้ ่วี ธิ ี ถ้า
ก. ไมม่ เี งอ่ื นไขเพ่ิมเตมิ
ข. ชายหญิงยนื สลับกัน
ค. ชายหญิงยืนสลับกนั ทลี ะ 2 คน
วธิ ีทำ ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………◼
8. ถา้ ต้องการสรา้ งคำทป่ี ระกอบด้วยตวั อักษร 4 ตวั ซ่งึ ไม่ซำ้ กนั โดยเลอื กตัวอักษรจากคำวา่ documents จะ
สรา้ งคำได้ท้ังหมดกคี่ ำ โดยคำที่สร้างไมจ่ ำเป็นต้องมีความหมาย และ
ก. ไม่มเี งอ่ื นไข
ข. คำทส่ี ร้างต้องขึน้ ด้วยพยัญชนะและลงท้ายด้วยสระ
ค. ตวั อักษรในคำนั้นต้องมสี ระอย่างนอ้ ย 1 ตวั
วธิ ีทำ ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………◼
9. ในการจัดใหพ้ ่อแม่และลูกสาว 3 คน กับลูกชาย 2 คน นง่ั เรียงแถวถา่ ยรปู จำนวนวธิ ที จ่ี ัดให้พอ่ แมน่ ่ังกลาง ลูก
สาวท้งั หมดอยูข่ ้างหนึ่ง และลกู ชายทั้งหมดอยอู่ กี ข้างหนึง่ เป็นเทา่ ใด (Ent2)
วิธีทำ ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………◼
ชน้ั มัธยมศึกษาปที ่ี ๕ โรงเรยี นคณะราษฎรบำรงุ จังหวัดยะลา
ค๓๒๑๐๒ คณิตศาสตร์ ๔ บทที่ ๑ หลักการนับเบอื้ งต้น 31
1.3 การจดั หมู่ของสงิ่ ของที่แตกต่างกันท้งั หมด
สมมติว่านกั เรียนกลุม่ หนึง่ ประกอบดว้ ยสมาชกิ ทั้งหมด 4 คน ได้แก่ A, B, C และ D ถา้ ต้องการเลือก
ตัวแทนกล่มุ 2 คน ออกไปเลน่ เกมหน้าช้ันโดยไมส่ นใจลำดับในการเลอื ก จะทำได้ก่วี ิธี
เพ่อื ท่ีจะตอบคำถามดังกลา่ ว ก่อนอื่นจะพิจารณาจำนวนวธิ ใี นการนำคน 2 คน จาก 4 คนน้ี มาเรียง
สบั เปล่ยี นเชิงเส้น ซ่งึ ทำได้ P4, 2 = 4! = 43 = 12 วธิ ี ดงั นี้
2!
AB …… …… …… …… ……
BA …… …… …… …… ……
สังเกตว่า AB และ BA ประกอบด้วยสมาชกิ ชดุ เดียวกัน ดงั นน้ั ถ้าเลอื กคนทั้งสองออกมาโดยไมส่ นใจ
ลำดับ การเรียงสับเปลยี่ นทง้ั 2 วธิ ีนี้ ถอื เป็นวิธเี ดียวกนั จำนวนวธิ เี รยี งสบั เปลย่ี นของสมาชกิ 2 คนใด ๆ ทำได้
2! = 2 วธิ ี
ดังนั้น วธิ กี ารเลอื กตวั แทนกลุ่ม 2 คน ออกมาโดยไมส่ นใจลำดับ จงึ เท่ากบั P4, 2 = 12 = 6 วิธี
2! 2
ในทำนองเดียวกนั ถา้ ต้องการเลือกตัวแทนกลุ่ม 3 คน จาก 4 คนน้ี ออกไปเลน่ เกมหนา้ ชน้ั โดยไม่สนใจ
ลำดับในการเลอื ก จะทำได้ก่ีวิธี
เราจะพิจารณาจำนวนวธิ ีในการนำคน 3 คน จาก 4 คนนี้ มาเรียงสบั เปลยี่ นเชิงเส้น ซงึ่ ทำได้
P4, 3 = 4! = 4 3 2 = 24 วธิ ี ซ่งึ สามารถแจงแจงสมาชกิ ดงั นี้
1!
ABC ACB BAC BCA CAB CBA
ABD ….… ….… ….… ….… ….…
ACD ….… ….… .…… ….… ….…
BCD ….… ….… ….… ….… ….…
สังเกตได้ว่า ABC, ACB, BAC, BCA, CAB และ CBA ประกอบดว้ ยสมาชิกชุดเดยี วกัน ดังนัน้ ถ้าเลือกคน
ทงั้ สามออกมาโดยไม่สนใจลำดับ การเรยี งสบั เปล่ียนทงั้ 6 วธิ ีนี้ ถือเปน็ วธิ ีเดียวกัน จำนวนวิธเี รยี งสับเปล่ียนของ
สมาชกิ 3 คนใด ๆ ทำได้ 3! = 6 วิธี
ดังนนั้ วิธกี ารเลือกตวั แทนกลุม่ 3 คน ออกมาโดยไมส่ นใจลำดับ จงึ เท่ากับ P4, 3 = 24 = 4 วธิ ี
3! 6
ปญั หาข้างตน้ เป็นตัวอย่างของการจัดหมู่ (Combinations) ซง่ึ เป็นวธิ ีการเลือกส่งิ ของมาจัดเปน็ หมู่ ๆ
หรอื เป็นกลุ่ม โดยไมค่ ำนึงถึงลำดบั ในการเลือก
ช้นั มัธยมศึกษาปที ่ี ๕ โรงเรียนคณะราษฎรบำรุง จังหวดั ยะลา
ค๓๒๑๐๒ คณติ ศาสตร์ ๔ บทที่ ๑ หลกั การนบั เบื้องตน้ 32
ในกรณที ัว่ ไป จำนวนวิธใี นการเลือกส่ิงของ r สง่ิ จากส่งิ ของทแี่ ตกตา่ งกัน n สิ่ง จะเทา่ กบั
Pn, r = n! วธิ ี
r! (n − r)!r!
ให้ Cn, r แทน จำนวนวิธีเลือกส่ิงของ r สิง่ จากสิ่งของทีแ่ ตกตา่ งกนั n สง่ิ ซงึ่ คอื จำนวนวิธจี ดั หมู่ของสิง่ ของที่
แตกต่างกัน n สิ่ง โดยเลือกคราวละ r ส่ิง (r < n) จะได้ขอ้ สรปุ ดงั ต่อไปน้ี
ถ้ามสี ิง่ ของทแี่ ตกต่างกนั n สิง่ นำมาจดั หมู่คราวละ r สิง่ (r < n) จะจัดหมู่ได้ Cn, r = (n n! วิธี
− r)!r !
บางตำราใช้สญั ลกั ษณ์ nCr หรอื C (n, r) หรือ n
r
เนอ่ื งจาก
Cn, r = n! = n! = n! = Cn, n−r
(n − r)!r! r !(n − r)! (n − (n − r))!(n − r)!
ดงั นัน้ จำนวนวิธจี ัดหมู่ของสงิ่ ของทแ่ี ตกต่างกัน n สิง่ โดยเลือกคราวละ r สงิ่ จะเท่ากับ จำนวนวธิ จี ัดหมู่ของ
ส่งิ ของทแี่ ตกตา่ งกัน n ส่ิง โดยเลือกคราวละ n – r สิง่
ขอ้ สงั เกต
1. n n 2. n n
0 = 1, n = 1 1 = n, n −1 = n
ตวั อย่าง 50 มีนักเรียน 10 คน จงหาจำนวนวิธจี ัดหม่ตู ามเง่อื นไขตอ่ ไปนี้
(1) จดั คราวละ 10 คน ทำได้………………………………………..…………………………………………………………วิธี
(2) จดั คราวละ 3 คน ทำได้………………………………………..…………………………………………………………วิธี
(3) จัดคราวละ 5 คน ทำได้………………………………………..…………………………………………………………วิธี
ตัวอยา่ งท่ี 51 ในงานเลยี้ งแห่งหนึ่งมีคน 30 คน ถ้าคนสองคนใด ๆ จบั มือทกั ทายกันหนึง่ ครั้ง จงหาว่าจะมกี าร
จบั มอื ทง้ั หมดกค่ี รั้ง
วิธที ำ ในการจบั มือแต่ละครั้งจะเลือกคน 2 คน จาก 30 คน แต่คนสองคนใด ๆ จะจับมือกนั หนึ่งครัง้
ดังน้ัน จะมีการจับมอื กนั ทง้ั หมด ...................................................................................................วิธี ◼
ช้ันมธั ยมศกึ ษาปีที่ ๕ โรงเรยี นคณะราษฎรบำรงุ จังหวัดยะลา
ค๓๒๑๐๒ คณิตศาสตร์ ๔ บทท่ี ๑ หลักการนับเบอ้ื งต้น 33
ตัวอยา่ งที่ 52 ในการแขง่ ขนั บาสเกตบอลครั้งหน่ึง มที มี บาสเกตบอลสมัครเข้าแขง่ ขนั 8 ทีม ซึ่งทุกทมี ต้องพบกัน
หมด คณะกรรมการจดั การแขง่ ขนั จะจดั การแขง่ ขันไดท้ ั้งหมดกค่ี รง้ั
วิธีทำ เนื่องจากการแขง่ ขนั แต่ละครัง้ จะต้องเลือกทีมบาสเกตบอลมา 2 ทมี จาก 10 ทมี
ดงั นัน้ จะต้องจัดการแขง่ ขันทัง้ หมด...........................................................................................วิธี ◼
ตวั อยา่ งที่ 53 นกั เรียนชั้นมัธยมศึกษาปที ่ี 5 หอ้ งหนึ่งมี 20 คน ถา้ ตอ้ งการเลอื กนกั เรยี น 4 คน มาเป็นกรรมการ
ห้อง โดยมคี นหนึง่ ใน 4 คนน้เี ป็นหวั หน้าห้อง จะมวี ธิ เี ลอื กท้งั หมดก่วี ิธี
วิธที ำ การเลอื กคณะกรรมการและหวั หนา้ ห้อง สามารถทำไดด้ งั นี้
วธิ ีท่ี 1 ขน้ั ตอนท่ี 1 เลือกนักเรยี น 4 คนมาเปน็ กรรมการ ทำได.้ ..................................................วธิ ี
ข้นั ตอนที่ 2 เลอื กนักเรียน 1 คน จากกรรมการ 4 คน มาเป็นหวั หนา้ หอ้ ง
ทำได้..............................................................................................................วิธี
จากหลักการคูณ จึงได้วา่ มวี ธิ เี ลอื กคณะกรรมการและหวั หน้าหอ้ งทง้ั หมด...................................
....................................................................................................................................................วธิ ี
วิธที ี่ 2 ขน้ั ตอนท่ี 1 เลอื กนกั เรยี น 1 คน มาเป็นหวั หนา้ หอ้ ง ทำได.้ ...............................................วิธี
ข้นั ตอนที่ 2 เลือกนกั เรียน 3 คน จากนกั เรยี น 20 คนท่ีเหลือ มาเป็นคณะกรรมการ
ทำได้...............................................................................................................วิธี
จากหลกั การคูณ จึงได้ว่า มีวิธีเลอื กคณะกรรมการและหัวหน้าหอ้ งทงั้ หมด...................................
.......................................................................................................................................วธิ ี ◼
ตวั อย่าง 54 ชายคนหนึง่ มีเพ่อื น 6 คน เขาจะเชิญเพ่ือนมารบั ประทานอาหารท่ีบ้านได้กว่ี ิธี ถา้ สามารถเชญิ คร้ัง
ละกี่คนก็ได้
วิธีทำ ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………◼
ตวั อยา่ ง 55 บนเสน้ รอบวงของวงกลมวงหน่งึ มีจดุ 7 จดุ ตอ้ งการสร้างรปู เหลยี่ มบรรจุในวงกลม โดยมจี ุดมุมเป็น
จุดเหลา่ น้ี จงหาจำนวนรปู เหล่ียมทงั้ หมด
วธิ ีทำ ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………◼
ชั้นมธั ยมศกึ ษาปที ี่ ๕ โรงเรียนคณะราษฎรบำรงุ จังหวดั ยะลา
ค๓๒๑๐๒ คณิตศาสตร์ ๔ บทท่ี ๑ หลกั การนับเบ้อื งตน้ 34
ตวั อย่าง 56 มีหนงั สอื ท่ีแตกต่างกนั จำนวน 10 เล่ม ในจำนวนนเ้ี ป็นหนงั สือคณิตศาสตร์ 2 เล่ม หนังสอื เคมี 3
เล่ม และเปน็ หนงั สือฟสิ ิกส์ 5 เล่ม จงหาจำนวนวิธีเลอื กหนังสือ 4 เลม่ โดยที่
(1) ได้หนงั สอื ฟสิ ิกส์ 2 เล่ม
วิธีทำ ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………◼
(2) ไดห้ นงั สอื ฟิสกิ สอ์ ย่างนอ้ ย 1 เลม่
วธิ ีทำ ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………◼
(3) ไดห้ นงั สอื 2 วิชา ๆ ละเท่า ๆ กัน
วธิ ีทำ ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………◼
ตัวอย่าง 57 ถา้ ต้องการเลอื กคณะกรรมการ 4 คน จากหญงิ 4 คน และชาย 6 คน จะได้กี่วิธี เมอ่ื
(1) ใน 4 คนนนั้ มีชายและหญิงจำนวนเท่ากัน
วธิ ีทำ ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………◼
(2) ใน 4 คนนนั้ ท้ังชายและหญิง
วิธีทำ ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………◼
(3) ใน 4 คนนน้ั มีหญิงอยา่ งนอ้ ย 1 คน
วิธที ำ ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………◼
(4) ใน 4 คนน้ันมชี ายอย่างนอ้ ย 1 คน
วธิ ที ำ ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………◼
ชั้นมธั ยมศึกษาปีท่ี ๕ โรงเรยี นคณะราษฎรบำรงุ จงั หวัดยะลา
ค๓๒๑๐๒ คณิตศาสตร์ ๔ บทท่ี ๑ หลกั การนับเบอ้ื งตน้ 35
ตัวอย่าง 58 จากรูป เส้นในแนวนอนอยู่ห่างกัน 1 หน่วย และเส้นในแนวเสน้ แนวต้ังอยู่หา่ งกัน 1 หน่วย การตัด
กันของเส้นท้ังสองชดุ จงหา
(1) จำนวนของรูปส่ีเหล่ียมมุมฉากทง้ั หมด
วธิ ีทำ ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………◼
(2) จำนวนของรูปสี่เหล่ียมจตั ุรัสท้ังหมด
วธิ ที ำ ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………◼
(3) จำนวนของรปู สี่เหลี่ยมผืนผ้าท้ังหมด
วธิ ที ำ ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………◼
ตัวอย่าง 59 มีหนังสือที่แตกต่างกันจำนวน 10 เล่ม ในจำนวนน้ีเป็นหนังสือคณิตศาสตร์ 3 เล่ม เป็นหนังสือ
วิทยาศาสตร์ 3 เลม่ และเปน็ หนังสือสงั คมอกี 4 เล่ม นักเรียนคนหน่ึงตอ้ งการนำหนังสือไปอ่านจำนวน 4 เล่ม จง
หาจำนวนวธิ เี ลือกหนังสอื เมอ่ื
(1) ไม่ได้หนังสอื คณติ ศาสตร์
วธิ ีทำ ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………◼
(2) ได้หนังสอื วทิ ยาศาสตร์ด้วยเสมอ
วิธที ำ ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………◼
(3) ได้หนงั สือครบท้ังสามวชิ า
วิธที ำ ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………◼
ชั้นมธั ยมศึกษาปีที่ ๕ โรงเรยี นคณะราษฎรบำรุง จงั หวัดยะลา
ค๓๒๑๐๒ คณติ ศาสตร์ ๔ บทท่ี ๑ หลักการนบั เบ้ืองต้น 36
แบบฝึกหดั 1.3
1. จงหาจำนวนวิธเี ลอื กตวั แทนนักเรยี น 5 คน จากนกั เรยี นกลุ่มหน่ึงซง่ึ มี 8 คน
วธิ ที ำ ……………………………………………………………………………………………………………………………………………….◼
2. ขอ้ สอบอัตนัยชดุ หนึ่งมี 6 ขอ้ ถ้าคำสัง่ ระบวุ า่ ให้เลอื กทำเพยี ง 4 ข้อ จงหาจำนวนวธิ ใี นการเลอื กทำขอ้ สอบ
วิธที ำ ……………………………………………………………………………………………………………………………………………….◼
3. โรงเรยี นแหง่ หนงึ่ มีนกั วอลเลยบ์ อลรุ่นเดยี วกนั อยู่ 20 คน จงหาจำนวนวธิ ีที่โรงเรยี นแหง่ น้ีจะจัดนัก
วอลเลยบ์ อลลงแขง่ ขัน โดยท่ีแต่ละครั้งตอ้ งใชน้ ักวอลเลยบ์ อล 6 คน
วิธีทำ ……………………………………………………………………………………………………………………………………………….◼
4. ถา้ ตอ้ งการเลือกกรรมการนักเรียน 9 คน ซงึ่ ประกอบด้วยนกั เรยี นชาย 5 คน และนกั เรยี นหญงิ 4 คน จาก
ผูส้ มคั รที่เปน็ นักเรยี นชาย 20 คน และนกั เรียนหญิง 15 คน จงหาจำนวนวธิ ีการเลอื กกรรมการนกั เรยี นชดุ นี้
วธิ ีทำ ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………◼
5. ในตะกร้าใบหนึง่ มเี งาะ 8 ผล สม้ 4 ผล และมังคดุ 2 ผล ถ้าผลไม้ชนิดเดยี วกนั แตกตา่ งกัน จงหาจำนวนวธิ ใี น
การเลอื กหยิบผลไม้ 4 ผล จากตะกรา้ โดยที่
1) ไม่มีเง่ือนไขเพิม่ เตมิ
2) หยิบไดเ้ งาะท้ัง 4 ผล
3) ไมไ่ ด้ส้มเลย
วธิ ีทำ ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………◼
6. กล่องใบหนงึ่ มลี กู บอลที่แตกต่างกัน 11 ลูก เป็นลูกบอลสแี ดง 5 ลกู สขี าว 3 ลูก และสีนำ้ เงิน 3 ลกู ถา้
ต้องการหยบิ ลกู บอลพรอ้ มกัน 3 ลกู จากกล่องใบนี้ จงหาจำนวนวิธกี ารหยิบลกู บอล โดยทไ่ี ด้ลูกบอลครบทกุ สี
วิธที ำ ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………◼
7. มหี นังสอื คณติ ศาสตร์ 10 เล่ม หนังสือฟสิ กิ ส์ 8 เลม่ นกั เรยี นคนหน่ึงตอ้ งการยืมหนังสือคณิตศาสตร์ 6 เลม่
หนงั สอื ฟิสกิ ส์ 3 เล่ม จะมีวธิ ียืมไดก้ ี่วิธี
วธิ ที ำ ……………………………………………………………………………………………………………………………………………….◼
ชน้ั มัธยมศึกษาปที ่ี ๕ โรงเรียนคณะราษฎรบำรุง จงั หวดั ยะลา
ค๓๒๑๐๒ คณติ ศาสตร์ ๔ บทท่ี ๑ หลักการนบั เบอ้ื งต้น 37
8. ไพส่ ำรบั หน่งึ มจี ำนวนไพ่ทง้ั หมด 52 ใบ หยบิ ไพ่ 2 ใบ จากสำรับ โดยหยบิ ไพ่ทีละใบและไม่ใส่คืนกอ่ นหยิบใบ
ท่ีสอง จงหา
1) จำนวนวธิ ีทห่ี ยิบไพ่ใบแรกไดไ้ พ่สีแดงและใบทีส่ องไดไ้ พ่สดี ำ
2) จำนวนวิธีทห่ี ยบิ ไดไ้ พ่ K ทงั้ สองใบ
3) จำนวนวิธที ห่ี ยบิ ได้ไพ่ 2 โพดำท้ังสองใบ
วิธีทำ ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………◼
แบบฝกึ หัดท้ายบท
1. สมคิดนำกระเบื้องรูปสี่เหลยี่ มจัตุรสั ที่แต่ละดา้ นยาว 1 หน่วย จำนวน 9 แผน่ มาจัดเรียงชดิ กนั ดงั รูป
จากการจัดเรียงกระเบอ้ื งข้างต้น มีรูปส่ีเหลี่ยมผืนผ้าท้ังหมดก่รี ูป
วธิ ีทำ ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………◼
2. ระหว่างท่าขา้ มสองฝ่ังแม่น้ำ มเี รือยนตข์ า้ มฟากอยู่ 3 ลำ จงหาจำนวนวธิ ีท้ังหมดท่ผี ูโ้ ดยสารคนหนง่ึ จะข้ามฟาก
โดยท่ีเท่ยี วไปและเทยี่ วกลบั ลงเรอื ไม่ซ้ำลำกนั
วธิ ที ำ ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………◼
3. สนามกฬี าแห่งหนงึ่ กำหนดหมายเลขท่นี ง่ั โดยระบุโซน แถวในโซน และตำแหนง่ ท่นี ัง่ ในแถว โดยใช้ตวั เลข 1 ถงึ
20 เพอ่ื ระบโุ ซน ใช้ตัวอกั ษร A ถึง Z เพื่อระบุแถวในโซน และใชต้ ัวเลข 1 ถึง 30 เพอื่ ระบตุ ำแหนง่ ท่นี ง่ั ในแถว
จงหาจำนวนทน่ี ั่งท้ังหมดในสนามกฬี าแห่งน้ี
วธิ ีทำ ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………◼
ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปีท่ี ๕ โรงเรยี นคณะราษฎรบำรงุ จงั หวัดยะลา
ค๓๒๑๐๒ คณติ ศาสตร์ ๔ บทท่ี ๑ หลักการนบั เบื้องต้น 38
4. จงหาจำนวนวิธีสรา้ งคำที่ไมค่ ำนงึ ถงึ ความหมาย ซง่ึ ประกอบด้วยตวั อกั ษรภาษาองั กฤษ 5 ตัว โดยที่ตวั อักษร 2
ตัวทตี่ ิดกนั ต้องแตกตา่ งกัน
วธิ ที ำ ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………◼
5. บริษัทแห่งหน่งึ กำหนดใหม้ รี หสั ประจำตวั พนกั งาน ซึ่งประกอบด้วยตวั อักษรภาษาอังกฤษ 1 ตัว และเลขโดด
3 ตวั ท่ีไม่เป็นศนู ย์พรอ้ มกนั เชน่ A – 001 จงหาวา่ รหัสประจำตวั ของพนักงานในบริษทั นจ้ี ะมไี ดท้ ง้ั หมดก่รี หสั
ถ้า
1) รหสั ประจำตวั พนกั งานมีเลขโดดทซ่ี ำ้ กนั ได้
2) รหสั ประจำตวั พนักงานต้องไมม่ ีเลขโดดที่ซ้ำกนั
วธิ ีทำ ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………◼
6. สมมติว่าหมายเลขทะเบยี นรถยนตน์ ง่ั สว่ นบุคคลในกรงุ เทพมหานคร ประกอบด้วยเลขโดด 1 ตัวท่ไี ม่ใช่ 0 ตาม
ด้วยพยญั ชนะไทย 2 ตัว และจำนวนเตม็ บวกทีไ่ ม่เกิน 4 หลกั 1 จำนวน โดยพยญั ชนะทีน่ ำมาใชก้ ำหนดหมายเลข
ทะเบียนรถยนต์ มีเพยี ง 35 ตัว (พยญั ชนะทไี่ ม่นำมาใช้ มี 9 ตวั ได้แก่ ฃ ฅ ซ ฏ ฑ ป ฝ ฟ ห และมหี มวดหมายเลข
ทะเบยี นท่ีไม่ใชท้ ั้งหมด 4 หมวด ไดแ้ ก่ งง จน ศพ ตด) จงหาวา่ หมายเลขทะเบียนรถยนตน์ ง่ั ส่วนบคุ คลใน
กรุงเทพมหานคร จะมไี ดส้ ูงสุดก่หี มายเลข
วธิ ที ำ ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………◼
7. สรา้ งจำนวนสามหลกั ทมี่ ากกวา่ 300 จากเลขโดด 0, 1, 2, 3, 4 และ 5 โดยเลขโดดในแต่ละหลักไม่ซำ้ กัน ได้
ท้งั หมดกจี่ ำนวน
วธิ ที ำ ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………◼
8. ขอ้ สอบประเภทให้เลือกตอบว่าจริงหรือเทจ็ ชุดหนง่ึ มี 10 ขอ้ จงหาจำนวนวธิ ที ่ีนักเรียนคนหนงึ่ จะทำขอ้ สอบ
ชุดน้ี โดยจะต้องตอบคำถามครบทกุ ขอ้
วธิ ที ำ ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………◼
ชน้ั มัธยมศึกษาปที ่ี ๕ โรงเรียนคณะราษฎรบำรุง จงั หวัดยะลา
ค๓๒๑๐๒ คณติ ศาสตร์ ๔ บทที่ ๑ หลักการนับเบื้องต้น 39
9. ในการทอดลูกเต๋าหนง่ึ ลูกสองคร้ัง จงหา
1) จำนวนวธิ ีทผ่ี ลรวมของแตม้ เท่ากบั เจด็
2) จำนวนวธิ ีทีผ่ ลรวมของแต้มไม่เท่ากบั เจ็ด
วิธที ำ ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………◼
10. มีหนงั สอื ที่แตกต่างกนั 6 เลม่ ตอ้ งการนำหนังสอื มา 4 เลม่ เพอ่ื จัดเรียงเป็นแถวบนชั้นวางหนงั สือชน้ั หนึ่ง จง
หาจำนวนวิธที ง้ั หมดในการจดั เรยี งหนงั สอื
วิธที ำ ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………◼
11. ถา้ ตอ้ งการเลือกคณะกรรมการชดุ หน่ึงจากผู้สมคั ร 50 คน ซ่ึงประกอบด้วยนายกสมาคม อปุ นายกสมาคม
เลขานกุ าร และเหรญั ญกิ ตำแหน่งละ 1 คน โดยท่กี รรมการคนเดยี วกันจะทำหน้าท่มี ากกว่า 1 ตำแหน่งไมไ่ ด้ จะ
มวี ธิ เี ลือกคณะกรรมการชุดน้ไี ดท้ งั้ หมดกว่ี ธิ ี
วิธีทำ ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………◼
12. กำหนดจดุ 10 จดุ บนเส้นรอบวงของวงกลมวงหนงึ่ ถา้ ตอ้ งการลากสว่ นของเส้นตรงที่มี 2 จดุ จากจุด 10
จดุ น้ีเปน็ จุดปลาย จะไดส้ ว่ นของเสน้ ตรงท้งั หมดกเี่ สน้
วธิ ีทำ ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………◼
13. ถ้าต้องการจัดคน 5 คน ยืนเป็นแถวเพอ่ื ถา่ ยรปู โดยแต่ละครง้ั ท่ีถ่ายรูปจะมีคนอย่างนอ้ ย 3 คน จงหาวา่ จะมี
ภาพที่แตกตา่ งกันได้ทั้งหมดกีภ่ าพ
วธิ ีทำ ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………◼
14. ในทีท่ ำงานแห่งหนง่ึ มีตำแหนง่ งานที่ตา่ งกันว่างอยู่ 5 ตำแหนง่ โดยทเี่ ป็นตำแหน่งงานสำหรับผชู้ าย 3
ตำแหนง่ และตำแหน่งงานสำหรับผู้หญิง 2 ตำแหน่ง มผี ู้มาสมคั รเข้าทำงานเป็นผู้ชาย 6 คน และผู้หญิง 5 คน จะ
มวี ธิ ีจดั คนที่มาสมัครเข้าทำงานไดท้ ้งั หมดก่ีวิธี
วิธที ำ ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………◼
ช้นั มัธยมศึกษาปีท่ี ๕ โรงเรียนคณะราษฎรบำรงุ จังหวัดยะลา
ค๓๒๑๐๒ คณติ ศาสตร์ ๔ บทที่ ๑ หลักการนับเบื้องตน้ 40
15. ชมรมหมากรกุ มสี มาชกิ เป็นชาย 6 คน และหญิง 4 คน จงหาจำนวนวิธใี นการจบั คู่เลน่ หมากรุก โดยท่ี
1) ไมม่ ีเง่อื นไขใด ๆ
2) เพศตรงข้ามกนั หา้ มจับคู่กัน
วธิ ีทำ ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………◼
16. ถา้ ต้องการเลอื กคณะกรรมการชุดหนง่ึ ซ่งึ ประกอบด้วยนักเรยี นชาย 2 คน นกั เรยี นหญิง 2 คน และครู 1 คน
จากนักเรียนชาย 20 คน นักเรยี นหญงิ 25 คน และครู 7 คน จงหาจำนวนวธิ ใี นการเลือกคณะกรรมการชุดนี้
วิธีทำ ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………◼
17. ถ้าต้องการเลือกคณะกรรมการชดุ หน่งึ จำนวน 3 คน จากคน 9 คน ซึ่งเป็นผู้ชาย 4 คน และผู้หญิง 5 คน โดย
ตอ้ งมีผู้ชายอยา่ งนอ้ ย 2 คน จงหาจำนวนวิธีในการเลอื กคณะกรรมการชดุ น้ี
วิธีทำ ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………◼
18. ในการคัดเลือกกรรมการ 3 คน จากสมาชกิ สโมสร 20 คน ซ่ึงมีสมชายเปน็ สมาชิกสโมสรแห่งน้ี จะมีวิธี
คดั เลอื กไดก้ วี่ ิธี โดยท่ี
1) สมชายตอ้ งได้รับการคดั เลือกใหเ้ ปน็ กรรมการ
2) ใน 20 คน มี 2 คนเป็นสามภี รรยากนั จะไดร้ ับเลือกเป็นกรรมการทัง้ สองคนไม่ได้
วิธที ำ ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………◼
19. กล่องใบหนึ่งมลี ูกบอลทแ่ี ตกต่างกัน 11 ลกู เป็นลกู บอลสีแดง 5 ลูก สขี าว 3 ลกู และสนี ้ำเงนิ 3 ลกู ถา้
ตอ้ งการหยิบลูกบอลพรอ้ มกนั 3 ลกู จากกล่องใบน้ี จงหาจำนวนวธิ ีการหยบิ โดยท่ี
1) ได้ลกู บอลครบทุกสี
2) ได้ลกู บอลสีแดงอยา่ งน้อย 1 ลูก
3) ไดล้ ูกบอลสนี ำ้ เงนิ อย่างน้อย 1 ลกู และไม่มีลูกบอลสีขาว
วธิ ที ำ ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………◼
ชน้ั มัธยมศกึ ษาปที ่ี ๕ โรงเรยี นคณะราษฎรบำรงุ จังหวัดยะลา
The words you are searching are inside this book. To get more targeted content, please make full-text search by clicking here.
หลักการนับเบื้องต้น
Discover the best professional documents and content resources in AnyFlip Document Base.
Search
เอกสารประกอบการเรียนการสอน
- 1 - 41
Pages: