PERSAMAAN KUADRAT KELAS 9

PERSAMAAN KUADRAT
KELAS 9 SMP

Kelompok 7 :
1. Elshaday Cahya Trima (202020039)
2. Fransisca Isa Narela (202020009)
3. Wiwik Setyaningsih (202020028)

E-MODUL PERSAMAAN KUADRAT KELAS 9 SMP

PETA KONSEP

DEFINISI CIRI-CIRI JENIS-JENIS
PERSAMAAN PERSAMAAN PERSAMAAN

KUADRAT KUADRAT KUADRAT

PERSAMAAN
KUADRAT

AKAR PERSAMAAN DISKRIMINAN APLIKASI PERSAMAAN
KUADRAT KUADRAT

E-MODUL PERSAMAAN KUADRAT KELAS 9 SMP

PERSAMAAN KUADRAT

DEFINISI PERSAMAAN KUADRAT

Persamaan kuadrat adalah persamaan yang variabelnya memiliki pangkat tertinggisama
dengan dua. Bentuk umum dari suatu persamaan kuadrat adalah seperti yang di bawah ini:

2 + + = 0
= koefisien 2, di mana ≠ 0
= koefisien
= variabel
= konstanta

Persamaan kuadrat jika digambarkan dalam bentuk koordinat kartesian (x,y) maka akan
membentuk grafik parabolik. Oleh karena itu persamaan kuadrat juga sering disebut sebagai
persamaan parabola.

E-MODUL PERSAMAAN KUADRAT KELAS 9 SMP

CIRI-CIRI PERSAMAAN KUADRAT

Sebuah persamaan yang pangkat tertinggi peubahnya adalah 2
dan pangkat terendahnya adalah 0
Koefisien variabelnya adalah bilangan real
Koefisien variable berpangkat 2 tidak sama dengan nol
Koefisien variable berpangkat 1 atau 0 dapat bernilai 0

Bentuk Persamaan Persamaan Alasan Nilai
Kuadrat = 1, = 6, = 8
(PK) / = 1, = 0, = 8
Bukan
–
2 + 6 + 8 = 0 Sesuai
PK dengan

bentuk umum

2 + 8 = 0 Memiliki
PK pangkat

tertinggi 2

3 + 6 = 0 Bukan PK Pangkat
tertinggi
bukan 2

E-MODUL PERSAMAAN KUADRAT KELAS 9 SMP

JENIS PERSAMAAN KUADRAT

Empat jenis persamaan kuadrat, yaitu:

1. Persamaan kuadrat biasa, ialah persamaan kuadrat dengan = 1
Contohnya 2 + 6 + 8 = 0

2. Persamaan kuadrat murni, yaitu persamaan kuadrat dengan b = 0
Contohnya 2 + 8 = 0

3. Persamaan kuadrat tak lengkap, yaitu persamaan kuadrat dengan c = 0
Contohnya 2 + 7 = 0

4. Persamaan kuadrat rasional, ialah suatu persamaan kuadrat yang memiliki nilai
koefisien serta nilai konstanta berupa bilangan rasional.
Contohnya 3 2 + 6 + 3 = 0

CARA MENENTUKAN AKAR PERSAMAAN KUADRAT

Akar persamaan kuadrat dari + + = adalah nilai

Ada beberapa cara yang bisa digunakan untuk mencari akar pada persamaan kuadrat,
yaitu sebagai berikut.

(1) Pemfaktoran (faktorisasi)

Faktorisasi adalah penjumlahan suku aljabar menjadi bentuk perkalian faktornya.

Melakukan faktorisasi persamaan kuadrat, artinya membuat perkalian dua buah

persamaan linear.

2 + + = 0

b = hasil penjumlahan antara suku ke-1 dan ke-2
c = hasil perkalian antara suku ke-1 dan ke-2

Metode ini digunakan dengan cara mengubah bentuk persamaan kuadrat 2 + +
= 0 menjadi ( + )( + ) = 0 . Metode ini mudah digunakan jika akar –

akarnya merupakan bilangan rasional.

Contoh:

Selesaikan persamaan kuadrat berikut dengan cara faktorisasi 5 2 + 13 + 6 = 0

Jawab:
5 2 + 13 + 6 = 0
5 2 + 10 + 3 + 6 = 0
5 ( + 2) + 3( + 2) = 0
(5 + 3)( + 2) = 0

E-MODUL PERSAMAAN KUADRAT KELAS 9 SMP

(5 + 3) = 0 atau ( + 2) = 0

5 = −3 atau = −2

= − 3 atau = −2
5
3
Jadi himpunan penyelesaian HP = (− 5 − 2)

(2) Melengkapkan Kuadrat Sempurna
Bentuk 2 + + = 0 bisa dijabarkan menjadi ( + )2 = .

Metode melengkapkan kuadrat sempurna akan mudah digunakan jika
koefisien dibuat agar bernilai 1. Persamaan kuadrat dalam bentuk 2 + + =
0 diubah bentuk menjadi persamaan ( + )2 = , dengan dan adalah konstanta

serta adalah variabel.

Contoh:

Lengkapi kuadrat sempurna dari 2 + 6 + 5 = 0 .
Jawab: 2 + 6 + 5 = 0

2 + 6 = −5

Tambahkan satu angka di ruas kiri dan kanan agar menjadi kuadrat sempurna.
Penambahan angka ini diambil dari separuh angka koefisien dari atau separuhnya 6 yang
dikuadratkan, yakni 32=9. Tambahkan angka 9 di ruas kiri dan kanan, sehingga

persamaannya menjadi:

2 + 6 + 9 = −5 + 9
( + 3)2 = 4

( + 3) = √4
( + 3) = ±2

• + 3 = 2
= 2 − 3
= −1

• + 3 = −2
= −2 − 3
= −5

Jadi himpunan penyelesaian HP = (−1, −5)

(3) Rumus Kuadratik (Rumus abc)

Metode rumus ABC ini bisa digunakan jika pemfaktoran dan melengkapkan kuadrat
sempurna tidak bisa dilakukan. Nilai dari akar – akar persamaan kuadrat 2 + + =

0 didapatkan dari rumus abc berikut:

1,2 = − ± √ 2 − 4

2

Sehingga, akar-akarnya adalah

E-MODUL PERSAMAAN KUADRAT KELAS 9 SMP

1 = − + √ 2 − 4

2

2 = − − √ 2 − 4

2

Contoh:
Kerjakan soal berikut menggunakan rumus abc dari persamaan 2 + 4 − 12 = 0 .
Jawab: 2 + 4 − 12 = 0

1,2 = − ± √ 2 − 4

2

1,2 = −4 ± √42 − 4.1(−12)

2.1

1,2 = −4 ± √16 − 4(−12)

2

1,2 = −4 ± √16 + 48

2

1,2 = −4 ± √64

2

−4 ± 8
1,2 = 2

• 1 = −4+8
2

4
1 = 2 = 2

• 2 = −4−8
2

−12
2 = 2 = −6

Jadi himpunan penyelesaian HP = (2, −6)

E-MODUL PERSAMAAN KUADRAT KELAS 9 SMP

DISKRIMINAN DAN AKAR PERSAMAAN KUADRAT

Diskriminan (D) adalah hubungan antarkoefisien yang menentukan besar dan jenis akar persamaan
kuadrat.
Diskriminan adalah suatu nilai pada persamaan kuadrat yang membedakan banyaknya akar
persamaan itu sendiri.
Diskriminan juga memiliki arti hubungan antara koefisien dalam persamaan kuadrat untuk
mencari akar persamaan dan ciri – ciri lainnya.
Diskriminan dirumuskan dengan 2 4 dari sebuah persamaan kuadrat 2 + + = 0

Jenis akar persamaan kuadrat ternyata bergantung pada nilai dari determinannya (D). Berikut ini
penjelasannya.

1. Jika nilai D > 0, maka suatu persamaan kuadrat akan memiliki dua akar real yang tidak
sama besar (x1 ≠ x2).

2. Jika nilai D = 0, maka suatu persamaan kuadrat akan memiliki dua akar real dan kembar.
3. Jika nilai D < 0, maka suatu persamaan kuadrat tidak memiliki akar real (akarnya

imajiner).

E-MODUL PERSAMAAN KUADRAT KELAS 9 SMP

Hubungan diskriminan dengan sifat akar – akar persamaan kuadrat adalah sebagai berikut:

1. Kedua akar real positif
Syarat:
≥ 0
1 + 2 > 0
1 . 2 > 0

2. Kedua akar real negatif
Syarat:
≥ 0
1 + 2 < 0
1 . 2 > 0

3. Kedua akar real berlawanan
Syarat:
> 0
1 + 2 = 0
1 . 2 < 0

4. Akar saling berkebalikan
Syarat:
> 0
1 . 2 = 1

5. Akar tidak real
Syarat:
< 0

E-MODUL PERSAMAAN KUADRAT KELAS 9 SMP

JUMLAH DAN SELISIH AKAR PERSAMAAN KUADRAT

Jika 1 dan 2 merupakan akar – akar persamaan kuadrat 2 + + = 0, maka berlaku:
1. Jumlah akar – akar persamaan kuadrat

1 + 2 = −

Contoh:
Diketahui dan merupakan akar persamaan dari 2 − 2 + 3 = 0, maka
tentukan nilai ( + )!
Jawab:
= 1, = −2, = 3
+ = −



+ = − (−2)

1

2
+ = 1 = 2
Jadi, jumlah akar persamaan dari 2 − 2 + 3 = 0 adalah 2.

2. Hasil kali akar – akar persamaan kuadrat


1 . 2 =
Contoh:
Diketahui dan merupakan akar persamaan dari 2 − 2 + 3 = 0, maka
tentukan nilai ( . )!
Jawab:

= 1, = −2, = 3

. =



. = 3 = 3

1

Jadi, hasil kali akar persamaan dari 2 − 2 + 3 = 0 adalah 3

E-MODUL PERSAMAAN KUADRAT KELAS 9 SMP

3. Selisih akar – akar persamaan kuadrat
√

1 − 2 =

Contoh
Diketahui dan merupakan akar persamaan dari 2 − 4 + 3 = 0, maka tentukan nilai
dari selisih dari kedua akar persamaan tersebut!
= 1, = −4, = 3

− = √


− = √ 2 − 4



− = √(−4)2 − 4(1)(3)

1

− = √16 − 12

− = √4

− = ±2

Karena selisih bernilai selalu positif, maka dapat disimpulkan selisih dari dan adalah 2.

E-MODUL PERSAMAAN KUADRAT

PENYELESAIAN SOAL CERITA

Untuk menyelesaikan soal cerita yang berbentuk persamaan kuadrat, kita harus cermat
dalam menganalisa maksud yang terkandung dalam cerita tersebut, karena sebuah kalimat
terkadang memiliki beberapa arti yang berlawanan.

Berikut ini adalah langkah-langkah menyelesaikan persoalan matematika yang berbentuk
persamaan kuadrat.
1 Misalkan bilangan-bilangan dalam soal cerita dengan variabel tertentu, misal x atau y.
2 Ubah kalimat dalam soal cerita menjadi persamaan matematika
3 Tentukan akar dari persamaan yang terbentuk dari langkah 2.

Contoh
Selisih tiga kali kuadrat suatu bilangan dengan tiga belas kali bilangan itu sama dengan negatif 4.
Maka tentukanlah bilangan tersebut.
Jawab :

Langkah pertama yang diperlukan adalah kita harus mampu menjelaskan bahwa
karakteristik masalah dalam soal mempunyai model matematika berbentuk persamaan kuadrat.
Setelah kita mampu menjelaskan bahwa karakteristik masalahnya berkaitan dengan model
matematika yang berbentuk persamaan kuadrat, maka gunakan tiga langkah di atas.
1. Misalkan bilangan itu adalah x.
2. Berdasarkan ketentuan pada soal, kita peroleh hubungan sebagai berikut.

3 2 − 13 = −4
3 Kemudian kita tentukan akar-akar persamaan kuadrat tersebut dengan menggunakan
metode pemfaktoran sebagai berikut.

3 2 − 13 = −4
3 2 − 13 + 4 = 0

(3 − 1)( − 4) = 0

3 − 1 = 0 − 4 = 0
1

= 3 = 4

Jadi, himpunan penyelesaian HP = (1 4)

3

E-MODUL PERSAMAAN KUADRAT KELAS 9 SMP

APLIKASI PERSAMAAN KUADRAT

Gerak suatu objek yang dilempar ke atas merupakan salah satu penerapan dari persamaan
kuadrat dalam kehidupan sehari-hari. Gerak objek tersebut dapat dirumuskan dengan
rumus h = –5t2 + vt + k, dengan h adalah ketinggian objek tersebut dalam meter, t adalah
waktu dalam detik, dan v adalah kecepatan awal dalam meter per sekon. Konstanta
k merepresentasikan ketinggian awal dari objek dari permukaan tanah.
Kurva bola yang ditendang dalam permainan sepakbola yaitu bentuk yang dihasilkan oleh
bola ketika ditendang oleh pemain. Umumnya, bola yang ditendang akan melambung ke
atas, dan kemudian ketinggiannya akan menurun. Jika digambarkan, tendangan bola
tersebut akan membentuk kurva atau parabola.
Contoh lain penerapan persamaan kuadrat dalam kehidupan nyata yang masih berkaitan
dengan olahraga, tepatnya olahraga baseball. Ketika bola dilempar pitcher sebagai tanda
dimulainya pertandingan, bisa diamati jika lemparan bola tersebut juga akan membentuk
kurva. Di samping itu, bentuk gerakan bola ketika dipukul oleh batter juga sama-sama
membentuk kurva, di mana bola akan melambung sejauh mungkin di dalam arena
lapangan.
Sama halnya dengan gerakan bola saat ditendang maupun dilempar, anak panah juga tidak
bergerak lurus begitu saja begitu ditembakkan atau dilepaskan dari busurnya. Sebab, anak
panah yang ditembakkan dari busur juga akan bergerak membentuk kurva terlebihdahulu,
sebelum akhirnya mendarat pada target yang telah ditentukan.

E-MODUL PERSAMAAN KUADRAT KELAS 9 SMP

Contoh Penyelesaian Penerapan Persamaan Kuadrat

Seorang anak berdiri di atas tebing yang memiliki ketinggian 5 m dari permukaan tanah, melempar
bola ke atas dengan kecepatan awal 20 m/s (anggap bola dilepaskan ketika berada 1 m di atas
permukaan tebing di mana anak tersebut berdiri). Tentukan (a) tinggi bola setelah 3 detik, dan (b)
waktu yang dibutuhkan agar bola tersebut sampai di permukaan tanah.

Pembahasan Dengan menggunakan informasi yang diberikan soal, kita memperoleh ℎ = −5 2 +

20 + 6 . Untuk menentukan tinggi bola setelah 3 detik, substitusikan = 3 ke dalam persamaan

tersebut.

ℎ = −5 2 + 20 + 6
ℎ = −5(3)2 + 20(3) + 6
ℎ = −5.9 + 60 + 6
ℎ = −45 + 60 + 6
ℎ = 21

Apabila bola sampai di permukaan tanah, maka ketinggian bola tersebut adalah 0 meter. Sehingga

dengan mensubstitusi h = 0 diperoleh,

ℎ = −5 2 + 20 + 6
0 = −5 2 + 20 + 6

− ± √ 2 − 4
= 2

−20 ± √202 − 4(−5)(6)
= 2(−5)

= −20 ± √400 + 120
−10

= −20 ± √520
−10

≈ 4,28 atau ≈ −0,28

E-MODUL PERSAMAAN KUADRAT KELAS 9 SMP

SOAL-SOAL LATIHAN DAN PENYELESAIAN

1. Berapakah akar persamaan kuadrat dari x2 + 9x + 18 = 0?
Pembahasan:
Ingat bahwa konstanta 18 bisa dibentuk oleh hasil perkalian antara 6 dan 3. Hal itu karena
penjumlahan antara 6 dan 3 menghasilkan 9 (nilai b). Dengan demikian, berlaku:
2 + 9 + 18 = 0
2 + 6 + 3 + 18 = 0
( + 6) + 3( + 6) = 0
( + 3)( + 6) = 0
( + 3) = 0 atau ( + 6) = 0
= −3 atau = −6
Jadi, akar persamaan kuadrat 2 + 9 + 18 = 0 adalah -6 atau -3.

2. Tentukan jenis akar persamaan kuadrat x2 + 16x + 64 = 0!
Pembahasan:
x2 + 16x + 64 = 0
a = 1;b = 16;c = 64
D = (16)2 – 4 . 1 . (-64)
= 256 – 256
=0
Oleh karena nilai D = 0, maka persamaan x2 + 16x + 64 = 0 memiliki dua akar yang kembar
(sama) dan real.

3. Tentukan akar persamaan 2x2 – 8x + 7 = 0 menggunakan rumus abc!
Pembahasan:

E-MODUL PERSAMAAN KUADRAT KELAS 9 SMP

Diketahui: a = 2, b = -8, dan c = 7

Substitusikan nilai a, b, dan c ke persamaan abc.

− ± √ 2 − 4
= 2

−(−8) ± √(−8)2 − 4(2)(7)
= 2(2)

8 ± √64 − 56
= 4

= 8 ± √16
4

8±4
= 4

8 + 4 12
1 = 4 = 4 = 3

8−4 4
2 = 4 = 4 = 1

Jadi, HP dari akar persamaan 2x2 – 8x + 7 = 0 adalah {1 3}

4. Akar-akar persamaan kuadrat 2 + − 4 = 0 adalah dan . Jika 2 − 2 + 2 = 8 ,
maka nilai adalah …
Pembahasan
• + = − = − = −

1

• . = = −4 = −4

1

• 2 − 2 + 2 = 8
2 + 2 + 2 − 2 − 2 = 8
( + )2 − 4 = 8
(− )2 − 4(−4) = 8
− 2 + 16 = 8
2 − 8 + 16 = 0
( − 4)( − 4) = 0
− 4 = 0
= 4

Jadi, diperoleh nilai = 4.

5. Diketahui persamaan kuadrat 2 + ( − 3) + 9 = 0. Nilai yang menyebabkan persamaan
tersebut mempunyai akar-akar kembar adalah ...

E-MODUL PERSAMAAN KUADRAT KELAS 9 SMP

Pembehasan:
Syarat diperolehnya akar kembar dalam persamaan kuadrat adalah Diskriminannya harus
bernilai 0. Sehingga,
= 0
2 − 4 = 0
( − 3)2 − 4(1)(9) = 0
2 − 6 + 9 − 36 = 0
2 − 6 − 27 = 0
2 + 3 − 9 − 27 = 0
( + 3) − 9( + 3) = 0
( − 9)( + 3) = 0
= 9 atau = −3
Jadi, nilai yang membuat persamaan kuadrat itu memiliki akar kembar adalah = 9 atau
= −3

E-MODUL PERSAMAAN KUADRAT KELAS 9 SMP

DAFTAR PUSTAKA

https://saintif.com/persamaan-kuadrat/ https://www.guruspensaka.com/2020/10/penerapan-
fungsi-kuadrat-matematika.html https://www.ruangguru.com/blog/menyelesaikan-
persamaan-kuadrat https://www.quipper.com/id/blog/mapel/matematika/persamaan-
kuadrat-matematika- kelas-9/
https://mamikos.com/info/cara-menentukan-persamaan-kuadrat-pljr/
https://nanaramadhani.wordpress.com/2017/03/23/persamaan-kuadrat-dalam-kehidupan-
sehari-hari/
https://www.quipper.com/id/blog/mapel/matematika/persamaan-kuadrat-matematika-kelas-
9/#Contoh_Soal_1

E-MODUL PERSAMAAN KUADRAT KELAS 9 SMP

E-MODUL PERSAMAAN KUADRAT KELAS 9 SMP