E-BOOK MATEMATIKA DASAR

UNIVERSITAS ISLAM KALIMANTAN
MUHAMMAD ARSYAD AL BANJARI

BANJARMASIN

MATEMATIKA DASAR
Disusun oleh
Idrus

NPM : 2106020104
DOSEN

ADHI SURYA ST. M. T
NIDN:1126058001

1

KATA PENGANTAR

Puji syukur kepada Tuhan Yang Maha Esa atas karunia, hidayahnya dan nikmatnya penulis dapat
menyelesaikan E-Book dari “Matematika Dasar” dengan sebaik-baiknya. Penulisan E-Book ini bertujuan
untuk memenuhi salah satu tugas yang diberikan olen dosen pengampu mata kuliah Matematika Dasar,
Adhi Surya, S.T.,M.T.

E-Book ini ditulis dari hasil penyusunan data-data sekunder yang penulis peroleh dari Google yang
berkaitan dengan Matematika Dasar, serta informasi dari media yang berhubungan dengan Matematika,
tak lupa penyusun ucapkan terima kasih kepada pegajar mata kuliah Matematika Dasar atas bimbingan
dan arahan dalam penulisan E-Book ini. Juga kepada teman-teman mahasiswa yang telah mendukung
sehingga dapat diselesaikannya E-Book ini.

Demikian E-Book ini dibuat, semoga bermanfaat bagi penulis dan yang membacanya, sehingga
menambah wawasan dan pengetahuan mengenai Matematika Dasar

Selasa, 26 Oktober 2021

Muhammad Rifky

2

DAFTAR ISI

Contents

BAB I ............................................................................................................................................................ 5
SEJARAH MATEMATIKA ...................................................................................................................... 5

SEJARAH MATEMATIKA ............................................................................................................................. 5
PERKEMBANGAN MATEMATIKA ............................................................................................................... 5
KESIMPULAN.......................................................................................................................................... 11
BAB II......................................................................................................................................................... 12
SISTEM BILANGAN RIIL...................................................................................................................... 12
Sistem Bilangan Real ............................................................................................................................... 12
Dalam matematika, bilangan merupakan konsep yang digunakan dalam melakukan perhitungan,
pengukuran dan pencacahan........................................................................................................................ 12
1. Bilangan Kompleks ....................................................................................................................... 13
2. Bilangan Real................................................................................................................................. 13

4. Bilangan Irasional ..................................................................................................................... 13
7. Sistem Bilangan Real..................................................................................................................... 13

8. Aksioma Lapangan.................................................................................................................... 13
2. Aksioma Urutan ........................................................................................................................ 14
3. Aksioma Kelengkapan .............................................................................................................. 14
CONTOH SOAL:........................................................................................................................................ 14
Kesimpulan ................................................................................................................................................. 16
Aksioma Urutan .................................................................................................................................. 16
Aksioma Kelengkapan ........................................................................................................................ 16
BAB III ....................................................................................................................................................... 17
HIMPUNAN .............................................................................................................................................. 17
PENGERTIAN HIMPUNAN........................................................................................................................ 17
CARA MENYATAKAN HIMPUNAN............................................................................................................ 18
CARA PENULISAN HIMPUNAN................................................................................................................. 19
MACAM-MACAM HIMPUNAN................................................................................................................. 20
Contoh soal : .............................................................................................................................................. 23
BAB IV ....................................................................................................................................................... 26
RELASI dan FUNGSI............................................................................................................................... 26
PENGERTIAN RELASI DAN FUNGSI........................................................................................................... 26

3

CONTOH SOAL RELASI DAN FUNGSI1............................................................................................ 28
BAB V......................................................................................................................................................... 31
FUNGSI BENTUK PANGKAT AKAR .................................................................................................. 31

PENGERTIAN............................................................................................................................................ 31
1. BILANGAN BERPANGKAT BILANGAN BULAT ................................................................................... 31

2. PENGERTIAN PERPANGKATAN BILANGAN ..................................................................... 31
3. BILANGAN BERPANGKAT BILANGAN BULAT ................................................................ 31
5.BENTUK AKAR dan BILANGAN BERPANGKAT PECAHAN ...................................................................... 32
7.SIFAT OPERASI BILANGAN BERPANGKAT BILANGAN RASIONAL................................. 33
............................................................................................................................................................. 33
8. PENJUMLAHAN dan PENGURANGAN BENTUK AKAR........................................................ 33
CONTOH SOAL ....................................................................................................................................... 33
BAB VI ....................................................................................................................................................... 36
FUNGSI BENTUK LOGARITMA ......................................................................................................... 36
PENGERTIAN LOGARITMA....................................................................................................................... 36
1. SIFAT LOGARITMA ........................................................................................................................... 36
KALKULUS ................................................................................................................................................ 37
PERHITUNGAN NILAI LOGARITMA .......................................................................................................... 38
PERSAMAAN LOGARITMA ....................................................................................................................... 38
CONTOH SOAL ....................................................................................................................................... 41
BAB VII...................................................................................................................................................... 42
SISTEM PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN .......................................................................... 42
DAFTAR PUSTAKA ................................................................................................................................ 46

4

BAB I

SEJARAH MATEMATIKA

SEJARAH MATEMATIKA

Sebelum zaman modern dan penyebaran ilmu pengetahuan ke seluruh dunia, contoh-contoh tertulis
daripengembangan matematika telah mengalami kemilau hanya di beberapa tempat.Tulisan matematika
terkuno yang telah ditemukan adalah Plimpton322 (matematikaBabilonia sekitar 1900 SM), Lembaran
Matematika Rhind (MatematikaMesir sekitar 2000-1800 SM) dan Lembaran Matematika Moskwa
(matematika Mesir sekitar 1890 SM). Semua tulisan itu membahas teorema yang umumdikenal sebagai
teorema Pythagoras,yang tampaknya menjadi pengembangan matematika tertua dan paling tersebar
luassetelah aritmetika dasar dan geometri.

Sumbangan matematikawan Yunani memurnikan metode-metode (khususnya melalui pengenalan
penalaran deduktif dan kekakuan matematikadi dalam pembuktian matematika) dan perluasan pokok
bahasan matematika. Kata"matematika" itu sendiri diturunkan dari kata Yunani kuno, μάθημα(mathema),
yang berarti "mata pelajaran". Matematika Cina membuat sumbangan dini, termasuk notasiposisional.
Sistem bilangan Hindu-Arab dan aturanpenggunaan operasinya, digunakan hingga kini, mungkin
dikembangakan melaluikuliah pada milenium pertama Masehi di dalam matematika India dan telah
diteruskan ke Barat melalui matematika Islam. Matematika Islam, pada gilirannya, mengembangkan dan
memperluas pengetahuan matematika ke peradaban ini. Banyak naskah berbahasa Yunani dan Arab
tentang matematika kemudian diterjemahkan ke dalam bahasa Latin, yang mengarah pada pengembangan
matematika lebih jauh lagi di Zaman Pertengahan Eropa.

Dari zaman kuno melalui Zaman Pertengahan, ledakan kreativitas matematika seringkali diikuti oleh
abad-abadkemandekan. Bermula pada abad Renaisans Italia pada abad ke-16, pengembanganmatematika
baru, berinteraksi dengan penemuan ilmiah baru, dibuat pada pertumbuhan eksponensial yang berlanjut
hingga kini.

PERKEMBANGAN MATEMATIKA

1. Perkembangan Matematika Sesudah Renaissance

Ada dua macam pembagian mengikuti waktu atau periode perkembangan. Yang pertama, pembagian
waktu ke dalam tiga periode yakni, “dahulu”, “pertengahan”, dan “sekarang”. Pembagian ini berdasarkan
pertumbuhan matematika sendiri dan daya tahan hidup sesuai zamannya. Yang kedua, pembagian
menurut cara konvensional dalam tujuh skala waktu menurut penemuan naskah yang dapat dihimpun,
yakni Babilonia dan Mesir Kuno, kejayaan Yunani (600 SM – 300), masyarakat Timur dekat (sebagian
sebelumdan sebagian lagi sesudah (2)), Eropa dan masa Renaissance, abad ke-17, abad ke-18 dan 19, dan
abad ke-20. Pembagian ini mengikuti perkembangankebudayaan Eropa.

5

Setiap periode, baik yang membagi menjadi 3 atau pun 7, memiliki ciri khas yang umum. Pada periode
“dahulu”, ciri khasnya adalah empiris, mendasarkan pada pengalaman (indera) hidup manusia.Periode
“pertengahan” mulai dengan analisis (Descartes, Newton, Leibniz, Galileo), sedangkan padaperiode
“sekarang” ciri khasnya adalah metode abstraksi dan generalisasi.Ternyata perkembangan matematika
dilihat dari kualitas dan kekuatannya jauhlebih penting daripada dilihat secara kuantitas. Ingatlah akan
definisimatematika yang mengatakan “matematika adalah cara berpikir dan bernalar”,lihat Modul 1.
Sedang kekuatannya, misalnya, lihatlah geometri Euclid disbanding dengan geometri non-euclid, yang
terakhir ini mampu menyelesaikan masalah lebihrumit (geometri non-euclid digunakan dalam
mengembangkan teori relativitasdalam ilmu fisika)

Masing-masing dari 7 periode terdapat peningkatan kematangan yang signifikan, namun juga
terdapat keterbatasannya. Pada periode Yunani, matematika masih bersifat empiris. Padaabad ke-17,
kekurangan itu diperbaiki dengan munculnya geometri analitik, proyektif, dan diferensial pada abad
berikutnya. Revitalisasi diperlukan agar pertumbuhan matematika makin berkembang dan dapat
digunakan dalam ilmu lainnya.Yang terakhir muncul geometri baru (non-euclid) dan menyingkirkan
geometrieuclid (lama).

Dalam periode terakhir, daerah jelajah matematika makin luas. Beberapa cabang menjadi terlepas dari
induknyadan menjadi otonom. Beberapa di antaranya diserap dalam wadah yang lebih besar, misalnya
analisis telah menggeneralisasi geometri. Pelarian dan penangkapan kembali ini mengilhami para
matematikawan untuk merangkum kembali seluruh matematika. Awal abad ke-20 dipercayai unifikasi
akan dicapai melalui logika matematis (Bertrand Russell). Ternyata harapan ini sia-sia dan terlepas.

Matematika mempunyai sejarah keterikatan satu dengan yang lain sejak jaman YunaniKuno.
Matematika di samping merupakan sumber dan inspirasi bagi para filsuf,metodenya juga banyak diadopsi
untuk mendeskripsikan pemikiran filsafat. Kitabahkan mengenal beberapa matematikawan yang sekaligus
sebagai sorang filsuf,misalnya Descartes, Leibniz, Bolzano, Dedekind, Frege, Brouwer, Hilbert,G¨odel,
and Weyl. Pada abad terakhir di mana logika yang merupakan kajian sekaligus pondasi matematika
menjadi bahan kajian penting baik oleh para matematikawan maupun oleh para filsuf. Logika matematika
mempunyai peranan hingga sampai erafilsafat kontemporer di mana banyak para filsuf kemudian
mempelajari logika. Logika matematika telah memberi inspirasi kepada pemikiran filsuf, kemudia para
filsuf juga berusaha mengembangkan pemikiran logika misalnya “logikamodal”, yang kemudian
dikembangkan lagi oleh para matematikawan dan bermanfaat bagi pengembangan program komputer dan
analisis bahasa.

1. Secara Geografis

1. Mesopotamia

- Menentukan system bilangan pertama kali

- Menemukan system berat dan ukur

- Tahun 2500 SM system desimal tidak lagi digunakan dan lidi diganti oleh notasi berbentukbaji

2. Babilonia
- Menggunakan sitem desimal dan π=3,125
- Penemu kalkulator pertama kali

6

- Mengenal geometri sebagai basis perhitungan astronomi
- Menggunakan pendekatan untuk akar kuadrat
- Geometrinya bersifat aljabaris
- Aritmatika tumbuh dan berkembang baik menjadi aljabar retoris yang berkembang
- Sudah mengenal teorema Pythagoras

3. Mesir Kuno
- Sudah mengenal rumus untuk menghitung luas dan isi
- Mengenal system bilangan dan symbol pada tahun 3100 SM
- Mengenal tripel Pythagoras
- Sitem angka bercorak aditif dan aritmatika
- Tahun 300 SM menggunakan system bilangan berbasis 10
4. Yunani Kuno
- Pythagoras membuktikan teorema Pythagoras secara matematis (terbaik)
- Pencetus awal konsep[ nol adalah Al Khwarizmi
- Archimedes mencetuskan nama parabola, yang artinya bagian sudut kanan kerucut
- Hipassus penemu bilangan irrasional
- Diophantus penemu aritmatika (pembahasan teori-teori bilangan yang isinyamerupakan
pengembangan aljabar yang dilakukan dengan membuat sebuah persamaan)
- Archimedes membuat geometri bidang datar
- Mengenal bilangan prima
5. India
- Brahmagyupta lahir pada 598-660 Ad
- Aryabtha (4018 SM) menemukan hubungan keliling sebuah lingkaran
- Memperkenalkan pemakaian nol dan desimal
- Brahmagyupta menemukan bilangan negatif
- Rumus a2+b2+c2 telah ada pada “Sulbasutra”
- Geometrinya sudah mengenal tripel Pythagoras,teorema Pythagoras,transformasidan segitiga pascal
6. China
- Mengenal sifat-sifat segitiga siku-siku tahun 3000 SM

7

- Mengembangkan angka negatif, bilangan desimal, system desimal, system biner,aljabar, geometri,
trigonometri dan kalkulus
- Telah menemukan metode untuk memecahkan beberapa jenis persamaan yaitupersamaan kuadrat,
kubikdan qualitik
- Aljabarnya menggunakan system horner untuk menyelesaikan persamaan kuadrat
2. Berdasarkan Tokoh
1. Thales (624-550 SM)

Dapat disebut matematikawan pertama yang merumuskan teorema atau proposisi,dimana tradisi ini
menjadi lebih jelas setelah dijabarkan oleh Euclid. Landasan matematika sebagai ilmuterapan rupanya
sudah diletakan oleh Thales sebelum muncul Pythagoras yang membuat bilangan.
2. Pythagoras (582-496 SM)

Pythagoras adalah orang yang pertama kali mencetuskan aksioma-aksioma,postulat-postulat yang
perlu dijabarkan ter lebih dahulu dalam mengembangkan geometri. Pythagoras bukan orang yang
menemukan suatu teorema Pythagoras namun dia berhasil membuat pembuktian matematis. 2 sebagai
bilangan irrasional.Ö Persaudaraan Pythagoras menemukan
3. Socrates (427-347 SM)

Ia merupakan seorang filosofi besar dari Yunani. Dia juga menjadi pencipta ajaran serba cita, karena
itu filosofinya dinamakan idealisme. Ajarannya lahir karenapergaulannya dengan kaum sofis. Plato
merupakan ahli piker pertama yangmenerima paham adanya alam bukan benda.

8

4. Ecluides (325-265 SM)

Euklides disebut sebagai “Bapak Geometri” karena menemuka teori bilangan dangeometri. Subyek-
subyek yang dibahas adalah bentuk-bentuk, teorema Pythagoras, persamaan dalam aljabar, lingkaran,
tangen,geometri ruang, teori proporsi dan lain-lain. Alat-alat temuan Eukluides antara lain mistar dan
jangka.
5. Archimedes (287-212 SM)

Dia mengaplikasikan prinsip fisika dan matematika. Dan juga menemukan perhitungan π (pi) dalam
menghitung luas lingkaran. Ia adalah ahli matematika terbesar sepanjang zaman dan di zaman kuno.
Tiga karya Archimedes membahas geometri bidang datar, yaitu pengukuran lingkaran, kuadratur dari
parabola dan spiral.
6. Appolonius (262-190 SM)

Konsepnya mengenai parabola, hiperbola, dan elips banyak memberi sumbangan bagiastronomi
modern. Ia merupakan seorang matematikawan tang ahli dalam geometri.Teorema Appolonius
menghubungkan beberapa unsur dalam segitiga.

9

7. Diophantus (250-200 SM)

Ia merupakan “Bapak Aljabar” bagi Babilonia yang mengembangkan konsep-konsepaljabar Babilonia.
Seorang matematikawan Yunani yang bermukim di Iskandaria.Karya besar Diophantus berupa buku
aritmatika, buku karangan pertama tentangsystem aljabar. Bagian yang terpelihara dari aritmatika
Diophantus berisipemecahan kira-kira 130 soal yang menghasilkan persamaan-persamaan
tingkatpertama.
8. Leonardo Da Vinci (Italia, 1452-1519 M)

Sejak kecil Leonardo Da Vinci telah menunjukkan kemampuan khusus dalam bidang matematika,
lukisan musik, dan daerah lainnya. Secara khusus ia mencintai lukisan dan studi seni. Sebagai seorang
pelukis dan pematung, ia menghasilkan sebuah karya, salah satunya yang terkenal karena lukisan
Monalisa. Sebagai arsitek terkemuka ia juga meninggalkan banyak karya-karya besar dan
monumental. Leonardo Da Vinci juga mempelajari geometri dan menggunakan metode membuat
subjek lukisan jatuh di atas segitiga imajiner. Metode ini disebut komposisi piramida. Untuk melukis
gambar ruang pada kanvas datar ia menggunakan semua metode garis horizontal paralel terlihat
menuju titik tertentu. Metode ini dikenal dengan nama perspektif.
8. Blaise Pascal (Prancis 1.623-1.662 M)

10

Blaise Pascal adalah seorang ahli matematika, fisika, teologi serta penyair. Pascal menjadi sangat
tertarik pada matematika, khususnya geometri ketika dia 6 atau 7 tahun. Ketika itu ayahnya
menyingkirkan buku matematika karena ia percaya bahwa anak-anak tidak harus belajar bahwa dalam
sebuah buku yang sulit. Namun Pascal masih mempelajarinya secara sembunyi-sembunyi. Pada usia
12 tahun tanpa memperoleh bantuan orang lain, ia menemukan bahwa jumlah semua sudut dalam
sebuah segitiga selalu 180. Dia menunjukkan kepada ayahnya dan menjelaskan dengan jelas. Ayahnya
begitu terpana sampai akhirnya diperbolehkan anaknya terus belajar matematika dengan impunitas.
Dalam 19 tahun Pascal telah menemukan mesin hitung yang menggunakan roda gigi. Dalam fisika, ia
menemukan prinsip tekanan dalam cairan maka prinsip ini diabadikan dirinya.

KESIMPULAN

Masing-masing dari 7 periodeterdapat peningkatan kematangan yang signifikan, namun juga
terdapatketerbatasannya. Padaabad ke-17, kekurangan itu diperbaiki dengan munculnya geometri
analitik,proyektif, dan diferensial pada abad berikutnya. Revitalisasi diperlukan agar pertumbuhan
matematika makin berkembang dan dapat digunakan dalam ilmu lainnya.

Matematika adalah alat yang dapat membantu memecahkan berbagai permasalahan (dalam
pemerintahan,industri, sains). Sejarah matematika adalah penyelidikan terhadap asalmula penemuan di
dalam matematika dansedikit perluasannya, penyelidikan terhadap metode dan notasi matematika dimasa
silam. Dalam perjalanan sejarahnya, matematika berperan membangunperadaban manusia sepanjang
masa.

11

BAB II
SISTEM BILANGAN RIIL

Sistem Bilangan Real

Dalam matematika, bilangan merupakan konsep yang digunakan dalam melakukan perhitungan,
pengukuran dan pencacahan.

Himpunan bilangan terbesar adalah bilangan kompleks, yang memuat di dalamnya himpunan bilangan
real. Dalam himpunan bilangan real memuat himpunan bilangan lain, yaitu himpunan bilangan
irasional dan bilangan rasional. Dalam himpunan bilangan rasional memuat himpunan bilangan bulat,
dan bilangan asli.

Dalam menyatakan himpunan bilangan, biasanya digunakan simbol. Namun tidak semua literatur
menggunakan simbol yang sama. Simbol yang biasanya digunakan untuk menyatakan himpunan
bilangan adalah sebagai berikut:

 Himpunan bilangan asli dinotasikan dengan N
 Himpunan bilangan bulat dinotasikan dengan Z
 Himpunan bilangan rasional dinotasikan dengan Q
 Himpunan bilangan irasional dinotasikan dengan I
 Himpunan bilangan real dinotasikan dengan R
 Himpunan bilangan kompleks dinotasikan dengan C

12

1. Bilangan Kompleks

Bilangan kompleks bukan objek kajian dalam kalkulus, jadi tidak akan dibahas secara mendalam di
sini. Bilangan kompleks merupakan bilangan yang terbentuk dari bilangan real dan imajiner
(seperti √-1)dan biasanya dinyatakan dengan notasi z serta dituliskan sebagai z=a+ib.

2. Bilangan Real

Nama bilangan real mulai diberikan setelah dipelajarinya bilangan imajiner. Bilangan real dibagi
menjadi dua bagian, yaitu bilangan rasional dan irasional

3. Bilangan Rasional

Bilangan rasional adalah bilangan yang dapat dituliskan dalam bentuk ab dengan b≠0.

4. Bilangan Irasional

Bilangan irasional adalah bilangan yang tidak dapat dituliskan dalam bentuk ab seperti
bilangan √2, e, π dan lain sebagainya.

5. Bilangan Bulat

Dalam himpunan bilangan rasional terdapat himpunan bilangan bulat, seperti contoh berikut:

…,−4,−3,−2,−1,0,1,2,3,4,...

6. Bilangan Asli

Dalam himpunan bilangan bulat terdapat himpunan bilangan asli, seperti contoh berikut:

1,2,3,4,5,...

7. Sistem Bilangan Real

Sistem bilangan real adalah himpunan yang dilengkapi dengan operasi biner + (penjumlahan)
dan ⋅ (perkalian) yang memenuhi aksioma berikut:

8. Aksioma Lapangan

Pada aksioma lapangan mengatur berbagai sifat aljabar bilangan real, yaitu operasi penjumlahan dan
perkalian bilangan real yang memenuhi sifat-sifat berikut:

1. Aksioma Lapangan
Pada aksioma lapangan mengatur berbagai sifat aljabar bilangan real, yaitu operasi penjumlahan
dan perkalian bilangan real yang memenuhi sifat-sifat berikut:
1. Sifat komutatif, a + b = b + a dan a⋅b = b⋅a

13

2. Sifat asosiatif, a + (b + c) = (a + b) + c = a + b + c dan a⋅(b⋅c) = (a⋅b)⋅c = a⋅b⋅c

3. Sifat distributif, a⋅(b + c) = a⋅b + a⋅c, untuk setiap a,b,c di R

4. Identitas, untuk setiap a di R terdapat 0 di R memenuhi a + 0 = 0 + a = a, dan

terdapat 1 di R sehingga 1⋅a = a⋅1 = a

5. Invers, untuk setiap a di R terdapat −a di R sehingga a + (−a) = (−a) + a = 0, dan untuk setiap a,
1 1 = 1a⋅a = 1
"kecuali a = 0", di R terdapat a di R sehingga a⋅ a

2. Aksioma Urutan

Mengatur bilangan positif, negatif, relasi lebih kecil, relasi lebih besar, persamaan, pertidaksamaan
dan ketaksamaan. Bilangan real memenuhi sifat berikut:

1. Trikotomi, Jika x dan y merupakan bilangan real, maka tepat satu diantara berikut ini yang
berlaku: x>y, x=y, atau x<y

2. Ketransitifan, Jika x<y dan y<z maka x<z
3. Penjumlahan, x<y jika dan hanya jika x+z<y+z
4. Perkalian, Misalkan z>0, maka x<y jika dan hanya jika xz<yz, dan untuk z<0, maka x<y jika

dan hanya jika xz>yz.

3. Aksioma Kelengkapan

Mengatur sifat korespondensi satu-kesatu antara bilangan real dan garis lurus. Sifat kelengkapan ini
menyatakan bahwa setiap himpunan bagian tak kosong dari R yang terbatas di atas mempunyai
batas atas terkecil (supremum), dan setiap himpunan bagian tak kosong dari R yang terbatas di
bawah mempunyai batas bawah terbesar (infrimum).

1. 1 + 3 2 = ….. CONTOH SOAL:
5 7
14
Penyelesaian :

1 + 3 2 = 1 + (3 7)+2
5 7 5 7

= 1 + 23
5 7

= (1 7) + (23 5)
5 7

= 7+115
35

= 122 = 3 17
35 35

2. Sebuah toko baju ada memberikan diskon sebesar 25% untuk semua produk. Jika kita berbelanja

senilai Rp.800.000,00 berapa kita harus membayar ?

Jawab :

Diskon = 25% x Rp.800.000,00

= 25 x Rp.800.000,00
100

= Rp.200.000,00

Jadi kita harus membayar sebesar :
Rp.800.000,00 – Rp.200.000,00 = Rp.600.000,00

3. Sebuah koperasi sekolah membeli 5 lusin buku seharga Rp.150,000,00 jika harga jual sebuah buku Rp.

2,800,00, maka persentase keuntungan yang diperoleh koperasi tersebut adalah ?

Jawab :

Harga Jual = Rp. 2.800.00 x 12 ( 5 lusin)

= Rp. 2,800,00 x 60

= Rp. 168,000,00
Untung = Harga jual – Harga beli
=Rp.168,000,00 – Rp.150,000,00

= Rp. 18.000,00

Persentase Keuntungan = x 100%


= ..11580,,000000,,0000 x 100%

= 12 %

4. Sebuah TV dibeli dengan harga Rp. 2.000.000,00, dan di jual dengan harga Rp. 2.400.000,00.
Hitunglah persentase keuntungan dari harga pembelian dan dari harga penjualan!

Jawab:
Laba = Rp. 2.400.000,00 – Rp. 2.000.000,00 = Rp. 400.000,00

Persentase keuntungan (laba) dari harga beli:

Persentase keuntungan (laba) dari harga penjualan:
15

5. Beras dibeli dengan harga Rp.168.000,00 per-50kg, kemudian dijual harga Rp.2.100,00 tiap ½ kg.
Persentase keuntungan dari harga pembelian adalah…
a)10%
b)15%
c)23%
d.30%
e. 35%
Jawaban: c 25%
Cara menghitung Untung = harga jual – harga beli
= Rp.210.000,00 – Rp.168.000,00
= Rp. 42.000,00
% Untung = U
H.B
= Rp. 42.000,00 x 100% = 25%
Rp. 168.000,00

Kesimpulan

Sistem bilangan real adalah himpunan yang dilengkapi dengan operasi biner + (penjumlahan)
dan ⋅ (perkalian) yang memenuhi aksioma berikut:
Aksioma Lapangan
Aksioma Urutan
Aksioma Kelengkapan

16

BAB III
HIMPUNAN

PENGERTIAN HIMPUNAN

Himpunan didefinisikan sebagai kumpulan dari objek tertentu yang memiliki definisi yang jelas dan
dianggap sebagai satu kesatuan.
Coba perhatikan contoh berikut ini.
 Himpunan hewan berkaki dua
 Himpunan bilangan asli
 Himpunan lukisan yang bagus
 Himpunan orang yang pintar
Bisakah kalian membedakan yang merupakan himpunan dan yang bukan himpunan?

Buat yang masih bingung, begini alasannya…. Pada contoh 1 hewan berkaki dua, kita akan memiliki
pendapat yang sama tentang hewan-hewan apa saja yang berkaki dua, misalnya ayam, bebek, dan
burung. Semua setuju kan kalau hewan-hewan tersebut berkaki dua? Pasti setuju kan. Nah, hewan
berkaki dua memiliki definisi yang jelas sehingga merupakan suatu himpunan. Untuk contoh 2
bilangan asli juga memiliki definisi yang jelas sehingga merupakan suatu himpunan. Pada contoh 2
lukisan yang bagus dan contoh 4 orang yang pintar, keduanya tidak memiliki definisi yang jelas. Kata
bagus dan pintar memiliki definisi yang berbeda untuk setiap orang, misalnya aku menganggap lukisan
A bagus tapi kamu belum tentu mengganggap lukisan A bagus juga kan? Oleh karena itu, lukisan yang
bagus dan orang yang pintar bukan suatu himpunan. Nah, sekarang udah tau kan perbedaan himpunan
dan bukan himpunan. Sekarang kita lanjut dengan mempelajari bagaimana cara menyatakan suatu
himpunan.

17

CARA MENYATAKAN HIMPUNAN

Secara umum, himpunan disimbolkan dengan huruf kapital dan jika anggota himpunan tersebut berupa
huruf maka anggotanya dituliskan dengan huruf kecil. Terdapat beberapa cara penulisan himpunan,
yaitu

1. Dengan kata-kata

yaitu dengan menyebutkan semua syarat ataupun sifat dari anggota himpunan tersebut di dalam

kurung kurawal.

Contoh:A merupakan bilangan prima antara 10 dan 40 Ditulis menjadi A = {bilangan asli

antara 10 dan 40}

2. Dengan notasi pembentuk himpunan
yaitu dengan menyebutkan semua sifat dari anggota himpunan tersebut, dengan anggotanya
dinyatakan dalam suatu variabel dan dituliskan di dalam kurung kurawal.
Contoh: A merupakan bilangan prima antara 10 dan 40 Ditulis menjadi A= {x |10 < x <
40, x ϵ bilangan prima}

3. Dengan mendaftarkan anggota-anggotanya
yaitu dengan menuliskan semua anggota dari himpunan tersebut di dalam kurung kurawal dan
tiap anggotanya dibatasi dengan tanda koma.
Contoh: A merupakan bilangan prima antara 10 dan 40 Ditulis menjadi A={11, 13, 17, 19,
23, 29, 31, 33, 37}

18

CARA PENULISAN HIMPUNAN

1. Cara tabulasi
Cara ini sering disebut juga dengan cara pendaftaran (roster method) atau enumerasi, yaitu
cara menyatakan suatu himpunan dengan menuliskan anggotanya satu per satu.
1) Untuk membedakan anggota yang satu dengan yang lainnya digunakan tanda koma (,).
2) Jika banyaknya anggota himpunan itu cukup banyak atau tak hingga, untuk menyingkat tulisan
biasanya digunakan tanda titik tiga (…) yang berarti seterusnya.
Cara tabulasi biasa digunakan jika anggota dari himpunan itu bisa ditunjukan atau persatu
(diskrit).

Misal :
(1) A = {0, 1, 2, 3, 4, ...}
(2) B = {0, 1, 4, 9, 16, ..., 100}
(3) C = {merah, jingga, kuning, hijau, biru}

2. Cara Perincian
Cara ini dikenal dengan : “rule method”, metode aturan, metode pembentuk himpunan
Dalam menggunakan metode deskripsi ini, anggota dari suatu himpunan TIDAK disebutkan
satu per satu, TETAPI penyajian anggota himpunannya dilakukan dengan mendefinisikan suatu
aturan / rumusan yang merupakan batasan bagi anggota-anggota himpunan.
Contoh :
A = adalah himpunan bilangan cacah yang lebih dari 1 dan kurang dari 8.
Jika disajikan dengan cara tabulasi yaitu :
A = { 2,3,4,5,6,7 }
Sedangkan jika disajikan dengan menggunakan metode deskripsi yaitu :
B = { x I 1 < x < 8, x bilangan cacah }

3. Simbol-simbol Baku

Terdapat sejumlah simbol baku yang menyatakan suatu himpunan, yang biasanya disajikan
dengan menggunakan huruf kapital dan dicetak tebal.
Berikut adalah contoh-contoh himpunan yang dinyatakan dengan simbol baku, yang sering kita
dijumpai, yaitu :

N = himpunan bilangan asli = {1, 2, 3, ...}
P = himpunan bilangan bulat positif = {1, 2, 3, ...}
Z = himpunan bilangan bulat {...,-2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}
Q = himpunan bilangan rasional
R = himpunan bilangan riil
C = himpunan bilangan kompleks

4. Diagram Venn

19

Dalam Diagram Venn, himpunan semesta S digambarkan dengan persegi panjang, sedangkan
untuk himpunan lainnya digambarkan dengan lengkungan tertutup sederhana, dan
anggotanya digambarkan dengan noktah.
S = { 0,1,2,3,4,6,7,8,9,10}
A = { 0,1,2,3,4 }
B = { 6,7,8 }

MACAM-MACAM HIMPUNAN

1. Himpunan Semesta
Himpunan Semesta didefinisikan sebagai himpunan yang memuat semua anggota ataupun objek
himpunan yang dibicarakan. Himpunan semesta disimbolkan dengan S. Sebagai contoh, misalkan
A = { 3, 5, 7, 9} maka kita bisa menuliskan himpunan semesta yang mungkin adalah S = {bilangan
ganjil} atau S = {bilangan asli} atau S = {Bilangan Cacah} atau S = {bilangan real}. Tetapi kita
tidak menuliskannya sebagai S = {bilangan prima} karena ada angka 9 yang bukan termasuk
bilangan prima.

2. Himpunan Kosong
Himpunan kosong didefinisikan sebagai himpunan yang tidak memiliki anggota. Himpunan kosong
disimbolkan dengan Ø atau { }. Sebagai contoh, misalkan B adalah himpunan bilangan ganjil yang
habis dibagi dua. Karena tidak ada bilangan ganjil yang habis dibagi dua, maka B tidak memiliki
anggota sehingga merupakan himpunan kosong. Ditulis menjadi B = { } atau B = Ø.

3. Himpunan Bagian
Himpunan A merupakan himpunan bagian B, jika setiap anggota A juga anggota B dan
dinotasikan A ⊂ B atau B ⊃ A.
Contoh soal:

20

P = {1, 2, 3}
Q = {1, 2, 3, 4, 5}
Maka P ⊂ Q atau Q ⊃ P

Jika ada anggota A yang bukan anggota B, maka A bukan himpunan bagian dari B dan dinotasikan
dengan A ⊄ B.

Contoh Soal:

Q = {1, 2, 3, 4, 5}

R = {4, 5, 6}Maka R ⊄ Q

4. Operasi Himpunan
1. irisan
Irisan dari dua himpunan A dan B adalah himpunan yang anggota-anggotanya ada di himpunan
A dan ada di himpunan B. Irisan antara dua buah himpunan dinotasikan oleh tanda ‘∩’
Contoh Soal:
A = {a, b, c, d, e}
B = {b, c, e, g, k}
Maka A ∩ B = {b, c}
2. Gabungan
Gabungan dari dua himpunan A dan B adalah himpunan yang anggota-anggotanya merupakan
gabungan dari anggota himpunan A dan himpunan B. Gabungan antara dua buah himpunan
dinotasikan oleh tanda ‘∪‘.
Contoh Soal:
A = {a, b, c, d, e}
B = {b, c, e, g, k}
Maka A ∪ B = {a, b, c, d, e, g, k}
3. Selisih
A selisih B adalah himpunan dari anggota A yang tidak memuat anggota B. Selisih antara dua
buah himpunan dinotasikan oleh tanda ‘– ‘.
Contoh Soal:
A = {a, b, c, d, e}

21

B = {b, c, e, g, k}
Maka A – B = {a, d}
4. Komplemen
Komplemen dari suatu himpunan adalah unsur-unsur yang ada pada himpunan universal
(semesta pembicaraan) kecuali anggota himpunan tersebut. Komplemen dari A
dinotasikan (dibaca A komplemen).
Contoh Soal:
A = {1, 3, 5, 7, 9}
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
Maka = {2, 4, 6, 8, 10}

22

Contoh soal :

1. Diketahui :

A = { x | 4 ≤ x ≤ 8, x ⋲ bilangan asli }.
B = { x | 6 ≤ x ≤ 10, x ⋲ bilangan cacah }. Maka tentukanlah anggota dari A ∪ B ?

Pembahasan :

A = { 4, 5, 6, 7, 8}
B = {6, 7, 8, 9, 10}
A ∪ B merupakan himpunan yang anggotanya adalah gabungan semua anggota A dan semua
anggota B, maka:
A ∪ B = { 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
Jadi, anggota dari himpunan A ∪ B adalah { 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}.

2. Diketahui :
P = { x | 5 < x < 25, x ⋲ bilangan prima }.
Q = { x | 4 < x < 14, x ⋲ bilangan ganjil }.
Maka tentukanlah anggota dari A ∩ B ?
Pembahasan :
P = {7, 11, 13, 17, 19, 23}
Q = {5, 7, 9, 11, 13}
A ∩ B merupakan himpunan yang anggotanya merupakan anggota P sekaligus merupakan
anggota Q, maka:.
A ∩ B = {7, 11, 13}
Jadi, anggota dari himpunan A ∩ B adalah {7, 11, 13}.

3. Diketahui suatu RW terdiri dari 30 orang mengadakan lomba perayaan 17 Agustus. Ada 14
orang yang mengikuti lomba panjat pinang, lalu ada juga 12 orang yang mengikuti lomba tarik
tambang, dan sisa nya ada 7 orang yang tidak mengikuti kompetisi apapun. Berapa banyak
orang yang mengikuti kedua lomba tersebut

Pembahasan :

Misal x adalah banyaknya warga RW yang mengikuti kedua lomba, maka himpunan tersebut
bisa digambarkan sebagai berikut:

23

Karena jumlah dari semua warga adalah = 30 orang, maka :
30 = x + (14 – x) + (12 – x) + 7
30 = 33 – x
x = 33 – 30
x=3
Jadi, banyaknya warga yang mengikuti kedua lomba adalah 3 orang.

4. Suatu kelas terdiri dari 40 orang siswa, dan diantaranya ada 15 orang siswa yang menyukai
pelajaran matematika, lalu ada 13 orang siswa yang menyukai pelajaran bahasa inggris dan
yang 7 orang siswa yang menyukai keduanya.
Berapa banyak siswa yang tidak menyukai pelajaran matematika maupun bahasa inggris ?
Pembahasan :
Misal :
x = banyak siswa yang tidak menyukai kedua pelajaran.
Maka:
Banyak siswa yang hanya menyukai matematika adalah 15 – 7 = 8 orang siswa.
Banyak siswa yang hanya menyukai bahasa inggris adalah 13 – 7 = 6 orang siswa.

Banyak anak yang tidak menyukai kedua pelajaran ialah :
24

40 = 8 + 7 + 6 + x
40 = 21 + x
x = 40 – 21
x = 19
Jadi, banyak siswa yang tidak menyukai pelajaran matematika maupun bahasa inggris adalah
19 orang.

25

BAB IV

RELASI dan FUNGSI

PENGERTIAN RELASI DAN FUNGSI

1. Relasi
Relasi dalam matematika adalah aturan yang menghubungkan antara anggota satu himpunan
dengan anggota himpunan lainnya.

Relasi juga dapat diartikan sebagai hubungan antara dua himpunan. Perhatikan himpunan A dan B
berikut ini.

A = {Rupiah, Rupee, Baht, Ringgit}

B = {Indonesia, India, Thailand, Malaysia}

Dapatkah Anda melihat relasi atau hubungan antara himpunan A dan B? Anggota himpunan A
terdiri atas nama-nama mata uang dan anggota himpunan B terdiri atas nama-nama negara. Jika
Anda cermati maka Anda akan menemukan relasi antara anggota himpunan A dan B adalah sebagai
berikut:

 Rupiah merupakan mata uang Indonesia
 Rupee merupakan mata uang negara india
 Bath merupakan matauang Negara thailand
 Ringgit merupaan mata uang Negara malaysia

Contoh lain relasi antara dua himpunan dapat Anda lihat dari dua pasang himpunan berikut ini.

 C = {Jakarta, London, Cairo, Beijing}
 D = {Indonesia, Inggris, Mesir, China}
 E= {Indonesia, Brazil, Nigeria, Swiss}
 F= {asia, amerika , afrika, eropa}

2. Fungsi
fungsi adalah relasi khusus yang memetakan setiap anggota himpunan A ke tempat satu ke anggota
himpunan B.. Dapat diartikan juga bahwa setiap fungsi pasti merupakan relasi, tetapi tidak semua
relasi merupakan fungsi
Setiap anggota himpunan A dipasangkan ke anggota di himpunan B dan tidak boleh lebih maupun
kurang. Nah, ciri dari fungsi adalah seluruh anggota himpunan A harus memiliki satu pasangan
masing-masing ke anggota B. Dengan ciri ini, maka fungsi dapat dikatakan sebagai relasi. contoh
fungsi yang bisa dikerjakan, yaitu fungsi menggunakan tabel dan fungsi pasangan himpunan
berurutan.

26

YouTube/Mathsyairozi
Contoh soal relasi dan fungsi

Kalau teman-teman mendapatkan soal fungsi seperti ini, maka kita cukup melihat anggota di
himpunan A saja dan abaikan di bagian B.

Ciri dari fungsi tadi adalah bahwa setiap anggota himpunan A memiliki satu pasangan masing-
masing.

Nah, dari soal ini, dapat diketahui bahwa yang termasuk fungsi adalah soal pertama, kedua, dan
keempat, karena pada soal itu, setiap anggota himpunan A memiliki satu pasangan masing-masing.

Fungsi terbagi menjadi beberapa macam

a. Fungsi konstan ( fungsi tetap )
disebut fungsi konstan apabila pada setiap anggota domain fungsi selalu berlaku selalu
berlaku f(x) = C, dimana C merupakan bilangan yang konstan

b. Fungsi linier
Fungsi linier merupakan fungsi f(x) = ax + b, dimana a ≠ 0, a dan b termasuk bilangan
konstan. Grafik linier berbentuk garis lurus

c. Fungsi kuadrat
Fungsi kuadrat merupakan fungsi f(x) = ax² + bx + c, dimana a ≠ 0 dan a, b, dan c adalah
bilangan konstan. Grafik kuadrat berbentuk parabola.

27

d. Fungsi identitas
Fungsi identitas merupakan fungsi dimana berlaku f(x) =
x atau setiap anggota domain / daerah asal dari fungsi dipetakan
pada dirinya sendiri. Grafik fungsi identitas merupakan garis
lurus yang melalui titik asal dan semua titik melalui ordinat
yang sama. Fungsi identitas ditentukan f(x) = x.

e. Fungsi tangga bertingkat
Fungsi tangga merupakan fungsi f(x) yang berbentuk interval sejajar.

f. Fungsi modulus ( fungsi mutlak )
Fungsi modulus (mutlak) adalah fungsi yang memetakan setiap bilangan real pada daerah asal
suatu fungsi menjadi nilai mutlak.

g. Fungsi ganjil dan fungsi genap
Suatu fungsi f(x) disebut fungsi ganjil jika berlaku f(-x) = -f(x) dan disebut fungsi genap jika
berlaku f(-x) = f(x). Jika fungsi f(-x) ≠ -f(x) dan f(-x) ≠ f(x) maka bukan termasuk fungsi ganjil
dan fungsi genap.

CONTOH SOAL RELASI DAN FUNGSI1

1. A adalah himpunan bilangan prima yang kurang dari 10. Sementara diketahui B = {p, q, r}.
Tentukan banyaknya fungsi yang mungkin dibentuk dari himpunan A ke himpunan B
Pembahasan :
A = {2, 3, 5, 7} sehingga banyak anggota A → n(A) = 4
B = {p, q, r} sehingga banyak anggota himpunan B → n(B) = 3
banyaknya fungsi yang mungkin dibentuk dari himpunan A ke himpunan B
= 3⁴= 3 x 3 x 3 x 3 = 81
2. Diketahui suatu himpunan A = {0, 1, 2, 5}; B = {1,
2, 3, 4, 6}, maka relasi dari himpunan A dengan himpunan
B bisa di sajikan ke dalam diagram panan, diagram cartesius,
himpunan pasangan berurutan, dan rumusnya bisa dilihat pada
gambar dibawah ini.
a. Diagram panah

28

b. Himpunan pasangan berurutan
R = {(0, 1), (1, 2), (2, 3), (5, 6)}

c. Rumus
f(x) = x + 1, dimana x ∊ {0, 1, 2, 5} dan f(x) ∊ {1, 2, 3, 4, 6}

3. Diketahui f(x) = -2x + 7 dan f(k) = 17, nilai k adalah …
Pembahasan:
f(k) = 17
-2k+7= 17
-2k=17-7
-2k=10
k=10÷ -2
K= -5
4. Jika f(x) = 3x + 2 dan f(a) = -10, nilai a adalah ....
Jawaban
f(x) = 3x + 2
f(a) = 3a + 2
f(a) = -10
3a + 2 = -10
3a = -10 - 2
3a = -12
a = −123
a = -4
5. Jika f(x) = ax + b, f(3) = 5 dan f(7) = 13, maka f(10) = .....
Jawaban
f(x) = ax + b
f(3) = 5 dapat ditulis menjadi 3a + b = 5
f(7) = 13 dapat ditulis menjadi 7a + b = 13
3a + b = 5
7a + b = 13 - (dikurangkan dengan metode bersusun)
-4a + 0 = -8
-4a = -8

a = −8−4
a=2
Kemudian, kita substitusikan a = 2 ke salah satu persamaan, dalam hal ini menggunakan
persamaan 3a + b = 5
3a + b = 5
3(2) + b = 5
6+b=5
b = 5-6
b = -1

f(x) = ax + b
f(x) = 2x + (-1)
f(x) = 2x - 1

29

f(10) = 2(10) - 1
f(10) = 20 - 1
f(10) = 19
6. Jika A = {faktor dari 2} dan B = {huruf vokal}, banyaknya pemetaan dari A ke B adalah ....
Jawaban
A = {faktor dari 2} atau A = {1, 2} dengan demikian n(A) = 2
B = {huruf vokal} atau B = {a, e, i, o, u} dengan demikian n(B) = 5
Banyak pemetaan dari A ke B = n(B)n(A) = 52 = 25
7. Diketahui himpunan :
A = {1, 2, 3, 4} dan B = {a, b, c, d}.
Banyaknya korespondensi satu-satu yang mungkin dari A ke B adalah ....
Jawaban
n(A) = 4
n(B) = 4
dengan demikian n = n(A) = n(B) = 4 (syarat korespondensi satu-satu terpenuhi n(A) = n(B)
Banyak korespondensi satu-satu = n! = 4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24
8. Diketahui f : x → -5x + 2. Nilai untuk x = 4 adalah ....
Jawaban
f : x → -5x + 2
f(x) = -5x + 2

f(4) = -5(4) + 2
f(4) = -20 + 2
f(4) = -18
9. Diketahui fungsi h(x) = 3x + 6. Jika h(a) = 9, maka nilai a = ....
Jawaban
h(x) = 3x + 6
h(a) = 3a + 6

h(a) = 9
3a + 6 = 9
3a = 9-6
3a = 3
a = 3/3
a=1
10. Ditentukan f(x) = x + 2, dengan daerah asal {x | -2 ≤ x < 3, x bilangan bulat}. Daerah hasil
fungsi tersebut adalah
Jawaban
f(x) = x + 2
Daerah asal/domain = {x | -2 ≤ x < 3, x bilangan bulat}
Daerah asal/domain= {-2, -1, 0, 1, 2}

f(x) = x + 2
f(-2) = -2 + 2 = 0
f(-1) = -1 + 2 = 1
f(0) = 0 + 2 = 2
f(1) = 1 + 2 = 3
f(2) = 2 + 2 = 4
Jadi, daerah hasil/range fungsi = {0, 1, 2, 3, 4}

30

BAB V

FUNGSI BENTUK PANGKAT AKAR

PENGERTIAN

Bentuk pangkat dan akar merupakan materi dasar dalam pembelajara aljabar. Untuk lebih
menguasainya, kamu bisa menyimak pembahasannya di sini. Kami juga telah menyiapkan soal latihan
agar kamu dapat mempraktikkan materi yang telah diterima.

Dalam Pembelajaran aljabar kamu tentunya harus mempersiapkan diri kamu dengan materi-materi
dasar, seperti pengenalan bentuk pangkat & akar. Dalam aljabar, pembelajaran mengenai bentuk
pangkat & akar ini cukup penting kamu pahami mengingat banyaknya contoh soal persamaan dan
fungsi yang akan menggunakan pangkat dan akar di dalamnya

Secara mendasar, ketika kamu melihat sebuah angka yang diletakkan di atas sebuah bilangan
seperti pada 4², maka angka 2 itu merupakan pangkat dari 4. Jadi, pangkat bisa dikatakan sebagai salah
satu cara penulisan sederhana dari perkalian, misalnya 4 x 4 x 4 bisa dituliskan menjadi 4³.

1. BILANGAN BERPANGKAT BILANGAN BULAT
Materi untuk bilangan berpangkat dan bentuk akar yang pertama adalah mengenai bilangan berpangkat
untuk bilangan bulat. Apakah maksudnya? Dan bagaimana cara menyelesaikan soalnya?

2. PENGERTIAN PERPANGKATAN BILANGAN
Perpangkatan adalah operasi matematika untuk perkalian berulang suatu bilangan sebanyak
pangkatnya. Pangkat suatu bilangan adalah angka yang ditulis lebih kecil dan terdapat agak ke atas.
Berdasarkan semantik penulisan huruf disebut dengan superscript, contoh: 2², 3², 4³, dan lainnya.
Bilangan berpangkat dapat diperoleh dari perkalian berulang dengan faktor-faktor yang sama.

3. BILANGAN BERPANGKAT BILANGAN BULAT
Bilangan bulat terdiri dari bilangan bulat yang memiliki nilai positif, bilangan bulat dengan nilai
negating, dan nol. Maka dapat disumpulkan bahwa bilangan berpangkat bilangan bulat adalah
bilangan-bilangan yang berpangkat positif, negatif, dan nol.

1. Bilangan Berpangkat 0
Untuk bilangan bulat dengan pangkat 0, hasilnya adalah 1. Jadi, bilangan bulat apapun itu baik itu
nilainya negatif atau positif, jika dipangkatkan dengan 0 maka hasilnya adalah 1, tapi ini tidak
berlaku untuk bilangan bulat 0.

Untuk membuktikan n0 = 1, kita dapat menggunakan sifat operasi perpangkatan yang nomor (2),
yakni pembagian bilangan berpangkat:
na : nb = na-b atau jika dibalik
na-b = na : nb.
Jika n ≠ 0 dan a=b, maka:
na-b = na : nb
na-a = na : na ; karena a-a = 0 dan na : na = 1, maka

31

n0 = 1 (terbukti)
2. Bilangan Berpangkat Bulat Positif

Beberapa sifat dari bilangan berpangkat bulat positif, diantaranya adalah sebagai berikut ini:

 amx an = am+n
 am : an = am-n , untuk m>n dan b ≠ 0
 (am)n = amn
 (ab)m = am bm
 (a/b)m = am/bm , untuk b ≠ 0
3. Bilangan Berpangkat Bulat Negatif
Untuk sifat bilangan berpangkat bulat negatif adalah:
Jika a∈R, a ≠ 0, dan n merupakan bilangan bulat negatif, maka:
a-n = 1/an atau an = 1/ a-n

5.BENTUK AKAR dan BILANGAN BERPANGKAT PECAHAN
Sekarang akan dibahas untuk bentuk akar dan bagaimana jika bilangan bulat namun memiliki pangkat
yang berbentuk pecahan? Apakah soal tersebut bisa diselesaikan? Apakah sama caranya dengan
perpangkatan bilangan bulat dan pangkat bilangan bulat biasa?
1. Penarikan Akar Pangkat
Akar pangkat dua merupakan kebalikan dari pangkat dua. Akar pangkat dua (akar kuadrat)
dilambangkan dengan tanda √ .
2. Bilangan Berpangkat Bilangan Rasional
Pangkat rasional adalah bentuk pangkat pecahan. Rasio adalah perbandingan. Jadi, pangkatnya itu
berupa pecahan.
Pangkat rasional mempunyai nilai sama dengan bentuk akar
Berikut ini adalah aturan perpangkatan

6. SIFAT OPERASI BILANGAN BERPANGKAT BILANGAN RASIONAL

32

Untuk a dan b bilangan real, b≠0 dan m,n adalah bilangan rasional berlaku:
7.SIFAT OPERASI BILANGAN BERPANGKAT BILANGAN RASIONAL

Untuk a dan b bilangan real, b≠0 dan m,n adalah bilangan rasional berlaku:

8. PENJUMLAHAN dan PENGURANGAN BENTUK AKAR

CONTOH SOAL

1.

33

2.

3.

4.

KESI
MPUL
ANNY
A

34

Bilangan berpangkat adalah bilangan yang berfungsi untuk menyederhanakan penulisan dan penyebutan
suatu bilangan yang memiliki faktor-faktor atau angka-angka perkalian yang sama. ... Kalau bilangan
negatif dipangkat dengan bilangan genap, maka hasilnya adalah bilangan positif.jadi bilangan berpangkat
yaitu definisi bilangan berpangkat bulat positif dikembangkan untuk bilangan berpangkat lainnya.

35

BAB VI
FUNGSI BENTUK LOGARITMA

PENGERTIAN LOGARITMA

Anda mungkin sudah pernah mendengar istilah logaritma, setidaknya sekali ketika di sekolah saat
pelajaran matematika. Logaritma sendiri adalah kebalikan dari eksponen atau pemangkatan.
Rumus logaritma yaitu:
ac = b → ª log b = c
Keterangan:
a = basis
b = bilangan dilogaritma
c = hasil logaritma
Logaritma sering digunakan ketika ingin memecahkan persamaan yang pangkatnya tidak diketahui.
Turunannya mudah dicari, dan oleh karena itu, logaritma juga sering digunakan sebagai solusi dari
integral.

1. SIFAT LOGARITMA

Berikut adalah sifat logaritma:

ª log a = 1

ª log 1 = 0

ª log aⁿ = n

ª log bⁿ = n • ª log b

36

ª log b • c = ª log b + ª log c
ª log b/c = ª log b – ª log c
ªˆⁿ log b m = m/n • ª log b
ª log b = 1 ÷ b log a
ª log b • b log c • c log d = ª log d
ª log b = c log b ÷ c log a

KALKULUS

Turunan fungsi logaritma bisa dilihat di bawah ini:

Dalam turunan fungsi logaritma tersebut, ln adalah logaritma natural, yaitu logaritma yang berbasis e.

Oleh karenanya, jika b = e, maka rumus di atas dapat disederhanakan menjadi,
Integral fungsi logaritma adalah,

37

Integral logaritma berbasis e adalah,

PERHITUNGAN NILAI LOGARITMA

Nilai logaritma dengan basis b dapat dihitung dengan menggunakan rumus berikut,

Sedangkan untuk logaritma berbasis e dan berbasis 2, terdapat prosedur-prosedur umum, yang hanya
perlu menggunakan penjumlahan, pengurangan, pengkalian, dan pembagian.

PERSAMAAN LOGARITMA

Persamaan logaritma adalah persamaan di mana pengubahnya ada pada bilangan pokok atau
numerusnya.
Contoh : (i) log (3x – 1) = log (x – 15) , (ii) (x-1)log 16 = 2, dll.
Macam-macam bentuk persamaan logaritma :
1. alog f(x) = alog p f(x)log a = g(x)log a
2. alog f(x) = alog g(x) f(x)log g(x) = f(x)log h(x)
3.alog f(x) = blog f(x) A.(a log x)2 + B(alogx)+C=0
4. f(x)log g(x) = p untuk A ¹ 0

38

Bentuk persamaan logaritma pada umumnya masih belum sederhana. Oleh karena itu, untuk membuat
persamaan logaritma menjadi lebih sederhana, perlu memperhatikan sifat-sifat logaritma berikut :

Dalam menyelesaikan persamaan logaritma, kita perlu menyamakan bilangan pokok logaritmanya
terlebih dulu. Nilai penyelesaian yang diperoleh perlu diuji dengan dengan cara mensubstitusikan ke
persamaan semula. Nilai penyelesaian yang menjadi anggota himpunan penyelesaian (HP) adalah
yang mengakibatkan:
1. numerus pada persamaan semula bernilai
2. bilangan pokok logaritma pada persamaan semula bernilai positif dan tidak sama dengan 1 (satu).

Fungsi Logaritma adalah fungsi invers (kebalikan) dari fungsi eksponen. Jadi, jika fungsi eksponen
dinyatakan dengan f(x) = ax, a > 0, a ≠ 1, maka invers dari f(x0 ditulis dengan f-1(x) = alog x atau
f(x) = alog x, a > 0, a ≠ 1.
Secara umum bila y = ax, maka x = alog y.

39

 Bila f(x) = alog x, dengan a > 1, x > 0 , x e R, maka f(x) dikatakan fungsi
 Bila f(x) = alog x, dengan 0 < a < 1, x > 0 , x e R, maka f(x) dikatakan fungsi naik.
Grafik fungsi logaritma selalu melalui titik (1,0) dan selalu berada di sebelah kanan sumbu Y. Untuk
lebih jelasnya, Anda bisa memperhatikan gambar di bawah ini:

Dari grafik fungsi logaritma di atas, dapat terlihat bahwa:
Untuk a > 1
 Bila alog f(x) ³ alog g(x), maka f(x) ³ g(x), dengan syarat f(x) dan g(x) >
 Bila alog f(x) £ alog g(x), maka f(x) £ g(x), dengan syarat f(x) dan g(x) >

40

CONTOH SOAL

Berapa nilai dari 2log 4 + 2log 12 – 2log 6 = ?
Pembahasan :
Untuk menjawab soal seperti di atas, Anda perlu mengingat sifat logaritma
alog(b.c) = alog b + alog c, dan
alog = alog b – alog c
jadi, untuk menyelesaikannya, kita akan menggunakan kedua sifat logaritma tersebut, sehingga
perhitungannya menjadi :
2log 4 + 2log 12 – 2log 6 = 2log
= 2log 8
Kemudian, untuk penyelesaian akhir, kita perlu mengingat sifat berikutnya, yaitu :
alog = n . alog b
→8=
sehingga, penyelesaian akhirnya akan menjadi :
2log 8 = 2log
= 3 . 2log 2 → jangan lupa dengan yang ini : alog a = 1
=3.1
=3

41

BAB VII
SISTEM PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN

1. PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN LINEAR
1. Persamaan Linier
Suatu persamaan yang setiap sukunya mengandung konstanta dengan variabelnya
berderajat satu ( tunggal ) dan persamaan ini, dapat digambarkan dalam sebuah grafik
dalam sistem koordinat kartesius .
Suatu persamaan akan tetap bernilai benar atau EKUIVALENT (< = >), apabila ruas kiri
dan ruas kanan ditambah atau dikurangi dengan bilangan yang sama.
Bentuk umum persamaan linier:
y = mx + b
Contoh bentuk persamaan linier:
y = -x + 5
y = -05x + 2
2. Metode Penyelesaian Persamaan Linier
Ada beberapa metode yang dapat digunakan dalam menyelesaikan sebuah permasalahan
persamaan linier , metode – metode tersebut adalah :
1. Metode Substitusi
Metode atau cara menyelesaikan persamaan linier dengan mengganti salah satu peubah
dari suatu persamaan dengan peubah yang diperoleh dari persamaan linier yang lainnya.
2. Metode Eliminasi
Metode penyelesaian sistem persamaan linir dengan cara mengeliminasi atau
menghilangkan salah satu peubah, dengan menambahkan atau mengurangkan dengan
menyamakan koefisien yang akan dihilangkan tanpa memperhatikan nilai positif atau
negatif .

42

Apabila peubah yang akan dihilangkan bertanda sama, maka untuk mengeliminasi
menggunakan sistem operasi pengurangan. Dan sebaliknya, apabila peubah yang akan
dihilangkan bertanda berbeda, maka untuk mengaliminasi menggunakan operasi
penjumlahan.

3. Metode Campuran (eliminasi dan substitusi)

Mencari himpunan penyelesaian menggunakan dua metode boleh gunakan eliminasi
terlebih dahulu setelah diketahui salah satu nilai peubah, baik itu x atau y maka
selanjutnya masukkan ke dalam metode substitusi atau sebaliknya.

4. Metode Grafik

Menggambarkan dua persamaan pada grafik kartesius, dan himpunan penyelesaiannya
dihasilkan dari titik potong dari kedua garis tersebut. Yang perlu diperhatikan, yaitu
ketika menggambar titik sumbu kartesiusnya harus sama dan konsisten.

2. PERTIDAKSAMAAN LINEAR

1. Menemukan Konsep Pertidaksamaan Linear
Misal a, b adalah bilangan real, dengan a ≠ 0. Pertidaksamaan Linear Satu Variabel
(PtLSV) adalah kalimat terbuka yang memiliki sebuah variabel yang dinyatakan dengan
bentuk ax + b < 0 atau ax + b ≤ 0 atau ax + b ≥ 0.

2. Sifat-sifat Pertidaksamaan

Jika kedua ruas pertidaksamaan ditambah atau dikurang dengan sebuah bilangan, maka
tanda pertidaksamaan tetap.

Jika kedua ruas pertidaksamaan dikali atau dibagi dengan sebuah bilangan positif, maka
tanda pertidaksamaan tetap.

Jika kedua ruas pertidaksamaan dikali atau dibagi dengan sebuah bilangan negatif, maka
tanda pertidaksamaan harus diubah (< menjadi >, ≤ menjadi ≥, dan sebaliknya).

Contoh:
3x + 6 ≥ 2x – 5
5q – 1 < 0

x dan q disebut variabel

43

3. Menyelesaikan Pertidaksamaan Linear Satu Variabel (PLSV)

1. Menambah atau mengurangi kedua ruas (kanan kiri) dengan bilangan yang sama.

Contoh:
Carilah penyelesaian x + 6 ≥ 8 jawab:
x+6–6≥8–6
x≥2

2. Mengalikan atau membagi kedua ruas (kanan kiri) dengan bilangan yang, jika
dikalikan atau dibagi bilangan negatif, maka tanda pertidaksamaannya dibalik.

Contoh:
Carilah penyelesaian 2x – 4 < 10 jawab:
2x – 4 + 4 < 10 + 4

2x < 14

x<7
Pertidaksamaan adalah kalimat terbuka yang menggunakan lambang <, >, ≥, dan ≤.

Contoh bentuk pertidaksamaan: y + 7 < 7 dan 2y + 1 > y + 4

3. Menentukan Himpunan Penyelesaian Pertidaksamaan Linier Satu Variabel

Sifat-sifat pertidaksamaan adalah:

1. Jika pada suatu pertidaksamaan kedua ruasnya ditambah atau dikurang dengan
bilangan yang sama, maka akan diperoleh pertidaksamaan baru yang ekuivalen dengan
pertidaksamaan semula.

2. Jika pada suatu pertidaksamaan dikalikan dengan bilangan positif, maka akan diperoleh
pertidaksamaan baru yang ekuivalen dengan pertidaksamaan semula.

3. Jika pada suatu pertidaksamaan dikalikan dengan bilangan negatif, maka akan
diperoleh pertidaksamaan baru yang ekuivalen dengan pertidaksamaan semula bila arah
dari tanda ketidaksamaan dibalik.

44

4. Jika pertidaksamaannya mengandung pecahan, cara menyelesaikannya adalah
mengalikan kedua ruasnya dengan KPK penyebut-penyebutnya, sehingga penyebutnya
hilang.

45

DAFTAR PUSTAKA

http://ku-mathitung.blogspot.com/p/sejarah-matematika.html
https://www.academia.edu/7379142/Makalah_Sejarah_Matematika
https://id.wikipedia.org/wiki/Matematika
https://www.kalkulus.id/2021/05/sitem-bilangan-real.html
https://www.pinterpandai.com/bilangan-real-soal-dan-jawaban/
https://www.zenius.net/blog/pengertian-himpunan-beserta-cara-menyatakan-dan-jenis-
jenisnya
https://gurubelajarku.com/contoh-soal-himpunan/
https://passinggrade.co.id/relasi-dan-fungsi/
https://bobo.grid.id/read/082294936/rangkuman-dan-soal-relasi-dan-fungsi-materi-belajar-dari-
rumah-melalui-tvri-untuk-smp?page=all
http://www.sainsseru.com/2018/02/relasi-dan-fungsi-rumus-dan-contoh.html
https://www.madematika.net/2020/08/latihan-soal-dan-pembahasan-relasi-dan.html?m=1
http://matematika123.com/contoh-soal-relasi-dan-fungsi/ (23 September 2021)
http://www.sainsseru.com/2018/02/relasi-dan-fungsi-rumus-dan-contoh.html?m=1
https://idschool.net/contoh-soal-relasi-dan-fungsi-matematika-smp-1/
https://www.wardayacollege.com/matematika/aljabar/bentuk-pangkat-akar/
https://www.haimatematika.com/2018/11/bilangan-berpangkat-dan-bentuk-akar.html
https://smpislampapb.sch.id/matematika-smp/bilangan-berpangkat-dan-bentuk-akar/
https://www.merdeka.com/sumut/memahami-fungsi-logaritma-beserta-rumus-sifat-dan-
persamaannya-kln.html?page=5

46