บทที่ 3 ปริซึมและทรงกระบอก

3บทที่
เรอื่ ง ปรซิ ึมและทรงกระบอก
มัธยมศึกษาปีที่ 2

3.1 พน้ื ทผี่ วิ และปริมาตรของปรซิ มึ

ปริซึม เป็นรูปเรขาคณิตทมี่ ีฐานทง้ั สองเปน็ รูปหลายเหลยี่ มทเี่ ท่ากันทุกประการ ฐานท้งั สองอยู่บน
ระนาบท่ีขนานกัน และดา้ นข้างแต่ละดา้ นเปน็ รปู สี่เหลยี่ มดา้ นขนาน

หน้าตัด หรอื ฐาน

ด้านขา้ ง ส่วนสงู ดา้ นข้าง
หน้าตดั หรือ ฐาน

จงเขียนเคร่ืองหมาย หน้าข้อทเี่ ป็นปรซิ ึม

........ 1) ........ 4)

........ 2) ........ 5)

........ 3) ........ 6)

พ้นื ทผ่ี วิ ทัง้ หมดของวตั ถุ จะเรียกวา่ พน้ื ท่ผี ิว (surface area) ของวตั ถุ

พื้นที่ผวิ ขา้ ง = ความยาวรอบฐาน x ความสูง
พื้นทีผ่ ิวของปรซิ ึม พนื้ ท่ีของด้านข้าง + พื้นทฐ่ี านท้งั สอง

ตัวอยา่ ง จงหาพ้ืนที่ผวิ ของ หาพื้นทผี่ ิวข้าง
= (4+8+4+8) x 20
4 20 = (24) x 20
8 = 480

หาพน้ื ทีฐ่ าน ดงั น้ัน พ้นื ที่ผวิ ขา้ ง 480 ตารางหน่วย
= (4x8) + (4x8)
= 32 + 32 หาพ้ืนที่ผิวท้งั หมด
= 64 = 480 + 64
= 544
ดงั นั้น พื้นที่ฐาน 64 ตารางหน่วย
ดงั นัน้ พืน้ ทีผ่ ิวขา้ งทงั้ หมด 544 ตารางหนว่ ย

ตวั อยา่ ง จงหาพ้ืนท่ผี ิวของ หาพ้ืนที่ผิวท้งั หมด

20 หาพ้ืนท่ีผวิ ขา้ ง = 360+ 24
5 = (5 + 8 + 5) x 20 = 384

58 = (18) x 20 ดังนัน้ พนื้ ทผ่ี วิ ทัง้ หมด 384ตารางหนว่ ย
= 360
ดงั นน้ั พ้นื ทผี่ วิ ขา้ ง 360 ตารางหนว่ ย

หาพ้นื ทฐ่ี าน 52 = H2 + 42 1
25 = H2 + 16 =2× 2×8×3
5 H5 H2 = 9
44 = 24
H=3
ดงั นัน้ พ้ืนทฐ่ี าน 24 ตารางหนว่ ย

ตวั อยา่ ง จงหาพ้ืนที่ผิวของ หาพื้นท่ีผิวทั้งหมด
= 570 + 120
หาพ้ืนที่ผิวขา้ ง = 690
= (10 + 9 + 10 + 9 ) x 15
ดงั นน้ั พื้นทผ่ี วิ ท้งั หมด 690 ตารางหนว่ ย
6 9 15 = (38) x 15

10 = 570
ดงั นน้ั พื้นท่ผี วิ ข้าง 570 ตารางหนว่ ย

หาพ้นื ทีฐ่ าน
= 2 x [ (10) x 6]
= 2 x [ 60 ]
= 120

ดังนน้ั พ้ืนที่ฐาน 120 ตารางหน่วย

ตวั อยา่ ง จงหาพื้นทีผ่ ิวของ หาพื้นท่ฐี าน

จากทฤษฎีบทพธี าโกรัส 1
= 2 × 2 × 12 × 5
5 10 2 = 52 + 122
x 2 = 25 + 144 = 2 x [ 30 ]
2 = 169 = 60
12 = 13 ดงั น้นั พ้ืนท่ีฐาน 60 ตารางหนว่ ย

หาพน้ื ท่ีผิวข้าง หาพ้นื ทผ่ี วิ ทัง้ หมด
= (5 + 12 + 13 ) x 10 = 300 + 60
= 360
= (30) x 10
= 300 ดงั นนั้ พ้นื ทผ่ี ิวทั้งหมด 360 ตารางหนว่ ย
ดงั นั้น พืน้ ที่ผวิ ข้าง 300 ตารางหนว่ ย

ตัวอยา่ ง จงหาพืน้ ทผ่ี วิ ของ x2 = 82 + 152 หาพ้ืนทฐ่ี าน

15 x2 = 64 + 225 1
15 2 x2 = 289 = 2 × 2 × 2 + 10 × 15
x = 17
8x = 2 x [ 90 ]
10 = 180
ดังนน้ั พื้นที่ฐาน 180 ตารางหน่วย
10
หาพ้นื ทผี่ ิวท้ังหมด
หาพืน้ ที่ผวิ ข้าง
= 440 + 180
=(2+17+10+15)x10 = 620
= 440 ดังนนั้ พนื้ ทผ่ี ิวท้ังหมด 620 ตารางหน่วย
ดงั น้ัน พืน้ ท่ผี วิ ขา้ ง 440 ตารางหน่วย

ตวั อย่าง จงหาพื้นที่ผิวของ หาพน้ื ท่ีฐาน 


1
10 หาพน้ื ทผี่ วิ ข้าง พ้ืนที่  = 2 × 24 × 5 = 60

13 13 พ้ืนท่ี  = 10 × 24 = 240

35 =(13+13+10+24+10)x35
24 = 2450 รวมพน้ื ทีฐ่ าน = 2 × (240 + 60) = 600
ดงั นั้น พ้ืนที่ผิวข้าง 2450 ตารางหน่วย
หาพ้ืนทีผ่ วิ ทั้งหมด
X 13 132 = x2 + 122
12 169 = x2 + 144 = 2450 + 600
= 3050
x2 = 25 ดงั นนั้ พื้นทีผ่ วิ ทัง้ หมด 3050 ตารางหนว่ ย
= 5

ตัวอยา่ ง จงหาพ้ืนท่ผี วิ ของ หาพน้ื ทีฐ่ าน

6 7
10
8 10 พ้นื ที่  = 7 × 8 = 56
พนื้ ท่ี  = 10 × 2 = 20
2

17 2 20 รวมพืน้ ที่ฐาน = 2 × (56 + 20) = 152

หาพน้ื ท่ีผวิ ข้าง หาพน้ื ที่ผวิ ทงั้ หมด
= (2+10+6+7+8+17) x 20
= 1000 + 152
= (50) x 20 = 1152
= 1000
ดงั นนั้ พ้นื ทผี่ ิวขา้ ง 1000 ตารางหนว่ ย ดงั น้นั พ้นื ท่ีผวิ ทง้ั หมด 1152 ตารางหน่วย

ตัวอยา่ ง จงหาพนื้ ท่ีผวิ ของ หาพน้ื ท่ีฐาน

x2 = 352 + 122  พื้นที่  = 1 × 12 × 35
x2 = 1225 + 144  2
10 35 x
35 50 12 x2 = 1369 = 210
45 x = 37
พนื้ ท่ี  = 10 × 47 = 470
47 รวมพื้นที่ฐาน = 2 × (210 + 470)

หาพ้ืนที่ผวิ ข้าง = 1360

=(47+10+35+37+45)x50 หาพน้ื ท่ผี ิวท้ังหมด

= 8700 = 8700+1360
ดงั น้ัน พนื้ ทผ่ี วิ ขา้ ง 8700 ตารางหนว่ ย = 10060

ดงั นนั้ พืน้ ทผ่ี ิวทั้งหมด 10060 ตารางหนว่ ย

ตัวอยา่ ง จงหาพืน้ ทีผ่ ิวของ หาพ้นื ท่ฐี าน

25 5   พื้นท่ี  = 15 × 5
15
= 75
5 10
20 พืน้ ที่  = 20 × 25 = 500

หาพื้นที่ผวิ ขา้ ง รวมพื้นท่ีฐาน = 2 × (500 − 75)
=(20+10+15+5+15+10+20+25)x5
= 600 = 850
ดังน้นั พนื้ ทผ่ี ิวขา้ ง 600 ตารางหน่วย
หาพ้นื ที่ผิวทง้ั หมด

= 600+850
= 1450
ดงั นัน้ พ้นื ที่ผิวทั้งหมด 1450 ตารางหน่วย

ตวั อยา่ ง จงหาพื้นท่ีผิวของ หาพน้ื ท่ีฐาน

9 x 4 x2 = 42 + 32 1
43 x2 = 16 + 9 = 2 × (9 + 12) × 4
x2 = 25 = 42

20 12 x=5 รวมพน้ื ท่ฐี าน = 2 × 42

หาพน้ื ท่ผี วิ ข้าง = 84
=(12+4+9+5)x20
= 600 หาพืน้ ทผี่ ิวท้ังหมด
= 600+84
ดังน้นั พ้ืนท่ีผวิ ขา้ ง 600 ตารางหน่วย = 684

ดังนนั้ พื้นที่ผวิ ทั้งหมด 684 ตารางหนว่ ย

ปรมิ าตรของปริซมึ

ปริมาตรของปรซิ มึ = พ้นื ที่ฐาน x ความสงู

ตวั อยา่ ง จงหาปรมิ าตรของ หาพ้นื ท่ฐี าน

4 1
3 = 2 × (8 + 4) × 3
= 18
15 8
พื้นท่ฐี าน = 18 ตารางหนว่ ย
x 3 x2 = 42 + 32
x2 = 16 + 9 หาปริมาตร
4 x2 = 25 = 18 x 15
= 270
x=5
ดังนน้ั ปริมาตร 270 ลกู บาศกรห์ น่วย

ตัวอยา่ ง จงหาปริมาตรของ หาพ้นื ทฐ่ี าน
=6x7
7 10 = 42
6
ดังน้นั พ้ืนที่ฐาน 42 ตารางหน่วย

หาปรมิ าตร
= 42 x 110
= 420

ดังนน้ั ปริมาตร 420 ลกู บาศกรห์ นว่ ย

ตวั อย่าง จงหาปรมิ าตรของ

7 19 หาพื้นท่ีฐาน
13
= 7 x 13
= 91
ดังนั้น พ้นื ที่ฐาน 91 ตารางหนว่ ย

หาปรมิ าตร
= 91 x 19
= 1729

ดงั นน้ั ปริมาตร 1729 ลกู บาศกรห์ นว่ ย

ตวั อย่าง จงหาปรมิ าตรของ หาพื้นท่ฐี าน

8 10 1
x = 2 × 15 × 8

15 = 60

จากทฤษฎีบทพีธาโกรัส ดงั นั้น พน้ื ที่ฐาน 60 ตารางหนว่ ย

2 = 82 + 152 หาปรมิ าตร
2 = 64 + 225 = 60 x 10
2 = 289 = 600
= 17
ดงั นัน้ ปริมาตร 600 ลกู บาศกรห์ นว่ ย

ตวั อยา่ ง จงหาปริมาตรของ หาพืน้ ท่ีฐาน

15 2 1
= 2 × 2 + 10 × 15
10
= 90
7 ดังน้ัน พน้ื ท่ีฐาน 90 ตารางหนว่ ย

15 หาปริมาตร
x2 = 82 + 152 = 90 x 7
= 630
8 x x2 = 64 + 225
x2 = 289 ดังนน้ั ปริมาตร 630 ลกู บาศกรห์ นว่ ย

x = 17

ตัวอยา่ ง จงหาปรมิ าตรของ 1
=2×8×3
14
5 = 12

58 ดงั นน้ั พืน้ ทฐ่ี าน 12 ตารางหนว่ ย

หาพ้ืนท่ีฐาน 52 = H2 + 42 หาปรมิ าตร
25 = H2 + 16 = 12 x 14
5 H5 H2 = 9 = 168
44
H=3 ดังน้ัน ปรมิ าตร 168 ลูกบาศกร์หนว่ ย

ตัวอยา่ ง จงหาปริมาตรของ หาปรมิ าตร

6 = 76 x 16
10 = 1216
ดังนัน้ ปรมิ าตร 1216 ลูกบาศกร์หนว่ ย

17 2 16

หาพนื้ ทีฐ่ าน

7 พน้ื ท่ี  = 7 × 8 = 56
10
8
 2 พนื้ ที่  = 10 × 2 = 20

พนื้ ท่ฐี าน = 56 + 20 = 76

ตวั อย่าง จงหาปริมาตรของ หาพ้นื ทฐ่ี าน 


1
พนื้ ที่  = 2 × 24 × 5 = 60

13 13 10 พ้นื ที่  = 10 × 24 = 240
24 27
รวมพนื้ ท่ีฐาน = 240 + 60 = 300

X 13 132 = x2 + 122 หาปริมาตร
12 169 = x2 + 144
= 300 x 27
x2 = 25 = 5100
= 5 ดังน้ัน ปริมาตร 5100 ลกู บาศกร์หนว่ ย

ตวั อยา่ ง จงหาปริมาตรของ หาพน้ื ทฐ่ี าน

  พน้ื ที่  = 15 × 5

= 75

พ้ืนท่ี  = 20 × 25 = 500

25 5 พ้นื ทฐี่ าน = 500 − 75
15 หาปรมิ าตร = 425

5 10
20
= 425 x 5
= 2125
ดังนั้น ปรมิ าตร 2125 ลูกบาศกร์หนว่ ย

ตวั อย่าง จงหาปรมิ าตรของ หาพน้ื ทฐี่ าน 1
2
 พนื้ ที่  = × 12 × 35

= 210

35 10 พ้นื ท่ี  = 10 × 47 = 470
45 30 รวมพ้ืนทีฐ่ าน = 210 + 470

47 = 680

หาปรมิ าตร

= 680 x 30
= 20400
ดังน้ัน ปรมิ าตร 20400 ลกู บาศกรห์ น่วย

3.2 พน้ื ที่ผิวและปริมาตรของทรงกระบอก

ทรงกระบอก เปน็ รูปเรขาคณิตสามมิตทิ ี่มฐี านสองฐานเป็นวงกลมท่เี ท่ากนั ทุกประการและอยู่บนระนาบท่ี

ขนานกนั
หน้าตดั หรือ ฐาน

สว่ นสูง

หนา้ ตัด หรอื ฐาน

พ้นื ทผี่ ิวของทรงกระบอก r

h h

พนื้ ท่ผี ิวของทรงกระบอกจะเท่ากับพน้ื ทขี่ องรปู คลขี่ องทรงกระบอก
พ้ืนท่ผี ิวของทรงกระบอก = พน้ื ท่หี น้าตดั ทั้งสอง + พ้นื ที่ผิวด้านขา้ ง

= [2 x (พื้นท่ีวงกลม)] + พน้ื ทร่ี ูปสี่เหลยี่ มมมุ ฉาก

= 2πr2 + 2πrh

ตัวอยา่ ง จงหาพื้นท่ผี วิ ขา้ งของทรงกระบอกตอ่ ไปนี้ กาหนด 22
≈7

14 พนื้ ที่ผวิ ขา้ งของทรงกระบอก = 2πrh

18 22
= 2 7 14 18
= 1584
ดังน้นั พนื้ ท่ีผวิ ข้างของทรงกระบอกรปู นเ้ี ท่ากบั 1584 ตารางหนว่ ย

ตัวอยา่ ง จงหาพ้ืนที่ผิวข้างของทรงกระบอกตอ่ ไปนี้ กาหนด ≈ 3.14

2 พ้นื ทผ่ี ิวข้างของทรงกระบอก = 2πrh

10 = 2 3.14 2 (10)

= 125.6

ดังนนั้ พื้นท่ีผวิ ข้างของทรงกระบอกรปู นเี้ ท่ากับ 125.6 ตารางหน่วย

ตัวอยา่ ง จงหาพ้นื ท่ีผิวของทรงกระบอกตอ่ ไปน้ี กาหนด 22
≈ 7

14 พนื้ ทผ่ี ิวของทรงกระบอก = 2πr2 + 2πrh

20 22 14 2 + 2 22 14 20
=2 7 7

= 1232 + 1760

= 2992

ดงั น้ัน พน้ื ที่ผวิ ของทรงกระบอกรูปนเี้ ทา่ กับ 2992 ตารางหนว่ ย

ตัวอยา่ ง จงหาพ้นื ท่ีผวิ ของทรงกระบอกต่อไปนี้ กาหนด ≈ 3.14

2 พ้นื ท่ผี วิ ของทรงกระบอก = 2πr2 + 2πrh
5
= 2(3.14) 2 2 + 2 3.14 2 5
= 25.12 + 62.8

= 87.92

ดงั น้ัน พ้ืนท่ผี วิ ของทรงกระบอกรูปน้ีเทา่ กบั 87.92 ตารางหน่วย

ตัวอย่าง จงหาพื้นท่ีผิวของทรงกระบอกต่อไปน้ี กาหนด 22
≈ 7

จากรูปรศั มขี องทรงกระบอก = 7 หน่วย

14 พื้นทผี่ วิ ของทรงกระบอก = 2πr2 + 2πrh
10
22 7 2+2 22 7 10
=2 7 7

= 308 + 440

= 748

ดังน้ัน พืน้ ที่ผิวของทรงกระบอกรปู นีเ้ ท่ากบั 748 ตารางหนว่ ย

ตัวอย่าง จงหาพื้นท่ผี ิวของทรงกระบอกตอ่ ไปนี้ กาหนด ≈ 3.14

2 จากรูปรัศมีของทรงกระบอก = 1 หนว่ ย
10 พ้นื ทีผ่ ิวของทรงกระบอก = 2πr2 + 2πrh

= 2(3.14) 1 2 + 2 3.14 1 4

= 6.28 + 25.12

= 31.4

ดังนนั้ พ้นื ทีผ่ ิวของทรงกระบอกรปู นี้เทา่ กับ 31.4 ตารางหน่วย

ตัวอย่าง กระป๋องซอสมะเขือเทศทรงกระบอกสูง 0.2 เมตร รัศมียาว 0.05 เมตร ถ้าในแต่ละวันผลิต
ซอสมะเขือเทศได้วันละ 1000 กระป๋อง จงหาว่าในแต่ละวนั จะตอ้ งใช้กระดาษในการทาฉลาก
วนั ละเทา่ ไร ≈ 3.14

พื้นที่ผิวของกระปอ๋ งสาหรับทาฉลาก = 2πrh

= 2 × 3.14 × 0.05 × 0.2
= 0.0628

ดังน้นั ในหนง่ึ วันจะใช้กระดาษ = 1000 × 0.0628 = 62.8 ตารางเมตร

ตวั อย่าง กระป๋องซอสมะเขือเทศทรงกระบอกสูง 5 เซนติเมตร เส้นผ่านศูนย์กลางยาว 14 เซนติเมตร

ถ้าในแต่ละวันผลิตซอสมะเขือเทศได้วันละ 100 กระป๋อง จงหาว่าในแต่ละวันจะต้องใช้

กระดาษในการทาฉลากวันละเท่าไร ถ้ามีเงื่อนไขวา่ ฉลากจะต้องมีส่วนที่ซ้อนทับกันสาหรับทา

กาว 0.5 เซนตเิ มตร 22
≈ 7

พ้ืนทผ่ี ิวของกระป๋องสาหรบั ทาฉลาก = 2πrh

22
= 2 × 7 × 7 + 0.5 × 5

= 222.5

ดงั นน้ั ในหน่งึ วนั จะใชก้ ระดาษ = 100 × 222.5 = 22250 ตารางเซนตเิ มตร

ตวั อยา่ ง สุดชายตอ้ งการทาสีพนื้ ผิวของท่อปูนทงั้ หมด จงหาพืน้ ท่ผี ิวทีถ่ ูกทาสีทงั้ หมด 22
≈ 7
7 ซม.
พนื้ ทผ่ี ิวดา้ นนอก พนื้ ที่ผวิ หน้าตดั
14 ซม.
จะได้ พน้ื ที่ผิว = 2 ℎ จะได้ พืน้ ท่ีผวิ = 2

20 ซม. 22 22 7 2 − 3.5 2
= 2 × 7 × 7 × 20 =7×

= 880 = 115.5

ดังน้นั พน้ื ท่ีด้านนอก = 880 ตารางเซนติเมตร ดงั นนั้ พืน้ ทผี่ วิ หน้าตัดทั้งสองด้าน = 2 × 115.5
= 231 ตารางเซนติเมตร
พน้ื ทผี่ วิ ด้านใน
พืน้ ท่ผี ิวที่ตอ้ งทาสที ัง้ หมด
จะได้ พ้ืนที่ผวิ = 2 ℎ
พ้นื ท่ผี วิ ทตี่ ้องทาสที ้ังหมด = 880 + 440 + 231
22 = 1551 ตารางเซนตเิ มตร
= 2 × 7 × 3.5 × 20
= 440

ดังนน้ั พน้ื ทด่ี ้านใน = 440 ตารางเซนตเิ มตร

ปรมิ าตรของทรงกระบอก

r

h ปรมิ าตรของทรงกระบอก = พ้ืนท่ฐี าน x สูง

= πr2h

ตวั อยา่ ง ถา้ นากระปอ๋ งถวั่ ทห่ี มดแลว้ มาใส่น้าจนเต็มจะต้องใช้น้าปรมิ าตรเท่าใด

7 ซม. ปรมิ าตรของทรงกระบอก = πr2ℎ

15 ซม. ปริมาตรของทรงกระบอก 22 7 2 × 15
=7×

22
= 7 × 49 × 15

= 2310

ดังน้นั จะต้องใสน่ ้าเท่า 2310 ลกู บาศกร์เซนติเมตร

ตวั อยา่ ง ถ้าตอ้ งการเติมนา้ ในบอ่ น้าพุ ท่ีสูง 21 เซนติเมตร รศั มี 70 เซนติเมตร โดย
ใสน่ า้ ใหม้ คี วามสูงเป็น 2 ใน 3 ของความสูงของบอ่ อยากทราบวา่ จะตอ้ ง
ใช้น้าทั้งหมดกี่ลกู บาศกร์เซนตเิ มตร

ปรมิ าตรของทรงกระบอก = πr2ℎ

ปริมาตรของทรงกระบอก 22 70 2 × 2 × 21
=7× 3

= 215600

ดงั น้นั จะตอ้ งใส่นา้ เท่ากบั 215600 ลกู บาศกร์เซนติเมตร

ตวั อยา่ ง แทง๊ กน์ ้าปัจจบุ ันมนี า้ อยู่ 1570 ลูกบาศกเ์ มตร ถา้ ต้องการเติมนา้ ให้เต็ม
จะต้องเตมิ อกี 2198 ลูกบาศกเ์ มตร โดยแท๊งก์มีรัศมี 10 เมตร อยากทราบ
วา่ แทง๊ ใบนี้สูงเทา่ ใด

ปริมาตรของทรงกระบอก = πr2ℎ

ปรมิ าตรของแท๊งก์ = 1570 + 2198

= 3768
3768 = 3.14 × 102 × ℎ

ℎ = 12

ดงั น้นั แทง๊ กน์ ้านสี้ ูง 12 เมตร