ตัวหารร่วมมาก

เร่อื ง ตวั หารรว่ มที่มากท่สี ดุ
(ห.ร.ม.)

ชนั้ ประถมศึกษาปที ่ี 6

เรื่อง ตัวหารร่วมท่ีมากทสี่ ดุ (ห.ร.ม.) ชั้นประถมศึกษาปีที่ 6

เสนอ
ศาสตราจารย์ ดร.พรหมมา วหิ คไพบูลย์

จัดทำโดย
นางสาวชดุ าภา นม่ิ เซียน รหัส 6310121204023
ปี 3 หมู่ 1 สาขาคณติ ศาสตร์ คณะวิทยาลยั การฝึกหดั ครู

หนังสอื อเิ ลก็ ทรอนิกสเ์ ลม่ นีเ้ ปน็ สว่ นหน่งึ ของรายวชิ าเทคโนโลยดี จิ ทิ ัลเพื่อการจัดการเรียนรู้
คณติ ศาสตร์

ภาคเรียนท่ี 1 ปีการศึกษา 2565
มหาวทิ ยาลัยราชภฏั พระนคร

คำนำ

หนงั สอื อิเล็กทรอนิกส์ (E-Book) เลม่ นี้จดั ทำขึ้นเพื่อประกอบการเรยี นการสอนในรายวชิ าคณติ ศาสตร์
เรือ่ ง ตัวหารร่วมทมี่ ากทสี่ ดุ (ห.ร.ม.) ผูจ้ ดั ทำไดร้ วบรวมข้อมลู แหล่งเรยี นรใู้ นโรงเรียนและแหล่งเรียนรู้
อิเลก็ ทรอนกิ ส์ เพ่อื ให้นักเรียนได้มคี วามรู้ ความเขา้ ใจในเนื้อหามากยิง่ ขน้ึ นำเสนอในรปู แบบท่ีน่าสนใจ

ผูจ้ ัดทำหวงั เปน็ อยา่ งยิ่งว่าจะเปน็ ประโยชน์แกน่ ักเรยี น และผสู้ นใจไม่มากกน็ ้อย

ผจู้ ดั ทำ
นางสาวชดุ าภา นิ่มเซียน

สารบญั 5
5
ตวั หารร่วมท่ีมากท่ีสดุ (ห.ร.ม.) 7
การหา ห.ร.ม. โดยการหาตัวหารร่วม 8
การหา ห.ร.ม. โดยการแยกตวั ประกอบ 10
การหา ห.ร.ม. โดยการหาร
แบบฝกึ หดั

ตัวหารร่วมทม่ี ากทสี่ ุด (ห.ร.ม.)

ตัวหารร่วมทมี่ ากทสี่ ุด (ห.ร.ม.) ของจำนวนนับตั้งแต่สองจำนวนขึน้ ไปนนั้ เปน็ การหาตัวหารร่วมหรือ
ตวั ประกอบร่วมที่มีคา่ มากที่สุดของจำนวนนับเหล่าน้นั ในหนงั สอื เลม่ นไ้ี ด้รวบรวมวิธี การหา ห.ร.ม. ไว้ท้งั หมด
3 วธิ ี

1. การหา ห.ร.ม. โดยการหาตวั หารรว่ ม

พจิ ารณาสถานการณ์ต่อไปน้ี

ชมุ นุมรกั การอา่ น มนี ักเรยี นช้ันป.5 จำนวน 16 คนและนกั เรียนชัน้ ป.6 จำนวน 20 คน ครตู ้องการแบง่
นกั เรียนเปน็ กลมุ่ กลมุ่ ละเท่าๆกนั โดยไม่มีการคละชัน้ ครูจะสามารถแบง่ นักเรียนใหแ้ ต่ละกลมุ่ มีสมาชกิ มาก
ที่สดุ กลุ่มละก่ีคน

แบง่ นักเรียนชนั้ ป.5 จำนวน 16 คน เป็นกล่มุ กลมุ่ ละเท่า ๆ กนั ไดด้ ังน้ี
แบบท่ี 1 แบ่งกลุ่มละ 1 คน ได้ 16 ÷ 1 = 16 กลมุ่
แบบที่ 2 แบ่งกลุ่มละ 2 คน ได้ 16 ÷ 2 = 8 กล่มุ
แบบที่ 3 แบง่ กลุ่มละ 4 คน ได้ 16 ÷ 4 = 4 กลุ่ม
แบบท่ี 4 แบง่ กลุ่มละ 8 คน ได้ 16 ÷ 8 = 2 กลุม่
แบบที่ 5 แบ่งกลุ่มละ 16 คน ได้ 16 ÷ 16 = 1 กล่มุ

แบง่ นักเรยี นช้ัน ป.6 จำนวน 20 คน เป็นกลุม่ กลุม่ ละเท่า ๆ กนั ไดด้ งั น้ี
แบบท่ี 1 แบ่งกลุ่มละ 1 คน ได้ 20 ÷ 1 = 20 กลุ่ม
แบบท่ี 2 แบ่งกลุ่มละ 2 คน ได้ 20 ÷ 2 = 10 กลมุ่
แบบท่ี 3 แบง่ กลุ่มละ 4 คน ได้ 20 ÷ 4 = 5 กลุม่
แบบท่ี 4 แบง่ กลุ่มละ 5 คน ได้ 20 ÷ 5 = 4 กลมุ่
แบบที่ 5 แบ่งกลุ่มละ 10 คน ได้ 20 ÷ 10 = 2 กลมุ่
แบบที่ 6 แบง่ กลุ่มละ 20 คน ได้ 20 ÷ 20 = 1 กลุ่ม

พบว่า จำนวนนับท่ีหาร 16 ได้ลงตัว ไดแ้ ก่ 1, 2, 4, 8 และ 16
จำนวนนบั ทห่ี าร 20 ไดล้ งตวั ไดแ้ ก่ 1, 2, 4, 5, 10 และ 20
จำนวนนับทห่ี ารทงั้ 16 และ 20 ไดล้ งตวั ได้แก่ 1, 2 และ 4

ซงึ่ 4 เป็นจำนวนนับทมี่ ากทีส่ ุดท่หี ารทัง้ 16 และ 20 ได้ลงตวั

ดงั นัน้ ครูสามารถแบ่งนักเรียนชัน้ ป.5 และ ป.6 เปน็ กล่มุ กลมุ่ ละเทา่ ๆ กนั
โดยไมม่ ีการคละชน้ั ไดม้ ากทสี่ ุดกลุม่ ละ 4 คน

เม่อื พิจารณาการแบ่งนักเรียนเป็นกล่มุ ขา้ งต้น
จะไดว้ ่า ตวั ประกอบของ 16 ไดแ้ ก่ 1, 2, 4, 8 และ 16

ตัวประกอบของ 20 ได้แก่ 1, 2, 4, 5, 10 และ 20
กลา่ วได้วา่ 1, 2, และ 4 เป็นตวั ประกอบร่วม หรือ ตัวหารรว่ มของ 16 และ 20
และ ตัวประกอบร่วมที่มากท่ีสดุ ของ 16 และ 20 คอื 4
เรยี ก 4 ว่าตวั หารร่วมท่ีมากที่สดุ ของ 16 และ 20

• จำนวนนบั ทีห่ ารจำนวนนบั ตัง้ แต่ 2 จำนวนขนึ้ ไปได้ลงตัว ตวั ประกอบรว่ ม หรือ ตัวหารร่วม
ของจำนวนนบั เหลา่ นัน้

• 1 เป็นตัวประกอบรว่ ม หรือ ตัวหารร่วมของจำนวนนบั ทุกจำนวน
• ตัวหารร่วมที่มากที่สดุ ใช้อักษรยอ่ ห.ร.ม.
• ห.ร.ม. ของจำนวนนับตงั้ แต่ 2 จำนวนขึ้นไป หมายถงึ จำนวนนบั ท่ีมากท่สี ดุ ทหี่ ารจำนวนนับ

เหล่าน้ันได้ลงตัว

ตัวอยา่ ง หา ห.ร.ม. ของ 8, 10 และ 26
วธิ ีทำ จำนวนนบั ท่หี าร 8 ไดล้ งตัว ได้แก่ 1, 2, 4 และ 8

จำนวนนบั ที่หาร 10 ไดล้ งตวั ได้แก่ 1, 2, 5 และ 10
จำนวนนับทห่ี าร 26 ได้ลงตัว ได้แก่ 1, 2, 13 และ 26
ตัวหารรว่ มของ 8, 10 และ 26 ไดแ้ ก่ 1 และ 2
ตัวหารรว่ มท่มี ากทีส่ ดุ ของ 8, 10 และ 26 คือ 2
ดังน้นั ห.ร.ม. ของ 8, 10 และ 26 คือ 2
ตอบ 2

2. การหา ห.ร.ม. โดยการแยกตวั ประกอบ

หลักการในการหา ห.ร.ม. ของจำนวนนบั ตั้งแตส่ องจำนวนขน้ึ ไป โดยการแยกตวั ประกอบ สามารถทำ
ไดโ้ ดย

• แยกตวั ประกอบทงั้ หมดของจำนวนนบั ทต่ี อ้ งการหา ห.ร.ม. แตล่ ะจำนวน
• พิจารณาตวั ประกอบเฉพาะใดบา้ งทซ่ี ้ำกันทกุ จำนวนนบั
• ห.ร.ม. กค็ ือผลคูณของตวั ประกอบเฉพาะดังกล่าวนนั่ เอง

พิจารณาการหา ห.ร.ม. ของ 27 และ 45 สงั เกตไดว้ า่
27 = 3 x 3 x 3 ห.ร.ม. ของ 27 และ 45
45 = 3 x 3 x 5 จะไม่มากกว่า 27

พบว่า 3 x 3 เป็นตวั หารร่วมที่มากทสี่ ดุ ของ 27 และ 45

ดงั น้นั ห.ร.ม. ของ 27 และ 45 คือ 3 x 3 = 9

พจิ ารณาการหา ห.ร.ม. ของ 24, 36 และ 60

24 = 2 x 2 x 2 x 3 สงั เกตได้วา่

36 = 2 x 2 x 3 x 3 ห.ร.ม. ของ 24, 36 และ 60

60 = 2 x 2 x 3 x 5 จะไม่มากกวา่ 24

พบว่า 2 x 2 x 3 เป็นตัวหารร่วมทีม่ ากท่สี ดุ ของ 24, 36 และ 60

ดงั นน้ั ห.ร.ม. ของ 24, 36 และ 60 คือ 2 x 2 x 3 = 12

ตัวอยา่ ง หา ห.ร.ม. ของ 9, 21 และ 30
วิธีทำ 9 = 3 x 3

21 = 3 x 7
30 = 2 x 3 x 5
ดงั นั้น ห.ร.ม. ของ 9, 21 และ 30 คือ 3
ตอบ 3

3. การหา ห.ร.ม. โดยการหาร

หลกั การในการหา ห.ร.ม. โดยการหาร
• หาจำนวนเฉพาะทีห่ ารทุกจำนวนได้ลงตวั
• หาจำนวนเฉพาะที่หารผลลัพธท์ ุกตัวได้ลงตัว ดำเนินการเชน่ นไ้ี ปเรือ่ ย ๆ จนไม่มีจำนวนเฉพาะใดหาร

ผลลพั ธ์ทกุ ตวั ได้ลงตัว
• ห.ร.ม. คือ ผลคูณของจำนวนเฉพาะทนี่ ำไปหารในแตล่ ะข้ันตอน

พิจารณาการหา ห.ร.ม. ของ 48 และ 72 ดงั นี้
ข้ันที่ 1 หาตัวหารรว่ มของ 48 และ 72 เชน่ 2 แล้วนำมาหารท้งั สองจำนวน

จะได้ 2 ) 48 72
24 36

ขั้นท่ี 2 หาตวั หารร่วมของ 24 และ 36 เช่น 6 แล้วนำมาหารท้งั สองจำนวน
จะได้ 2 ) 48 72
6 ) 24 36
46

ขน้ั ท่ี 3 หาตวั หารรว่ มของ 4 และ 6 เชน่ 2 แล้วนำมาหารทั้งสองจำนวน
จะได้ 2 ) 48 72
6 ) 24 36
2) 4 6 2 3
พบว่า ตวั หารร่วมของ 2 และ 3 คอื 1 จึงส้ินสุดการหาร

ดังนนั้ ตัวหารร่วมท่ีมากทส่ี ดุ ของ 48 และ 72 หาได้โดยนำตวั หารรว่ มทุกจำนวนคณู กนั
จะได้ 2 x 6 x 2 = 24

แสดงวา่ ห.ร.ม. ของ 48 และ 72 คือ 24
สังเกต
เมอ่ื นำ 24 ไปหาร 48 และ 72 จะได้ผลหารเปน็ 2 และ 3 ตามลำดบั
ซงึ่ จะเหน็ วา่ ตวั หารรว่ มของ 2 และ 3 มเี พยี งจำนวนเดียวคอื 1
แสดงว่า 24 เปน็ ห.ร.ม. ของ 48 และ 72

พิจารณาการหา ห.ร.ม. ของ 80, 96 และ 112 ดังนี้
ขน้ั ที่ 1 หาตวั หารรว่ มของ 80, 96 และ 112 เช่น 2 แล้วนำมาหารทัง้ สามจำนวน

จะได้ 2 ) 80 96 112
40 48 56

ขนั้ ท่ี 2 หาตัวหารร่วมของ 40, 48 และ 56 เชน่ 4 แล้วนำมาหารทง้ั สามจำนวน
จะได้ 2 ) 80 96 112
4 ) 40 48 56
10 12 14

ขน้ั ท่ี 3 หาตวั หารรว่ มของ 10 และ 12 และ 14 เช่น 2 แล้วนำมาหารท้งั สามจำนวน
จะได้ 2 ) 80 96 112
4 ) 40 48 56
2 ) 10 12 14
567
พบวา่ ตัวหารรว่ มของ 5, 6 และ 7 คือ 1 จึงสนิ้ สดุ การหาร

ดงั นั้น ตวั หารร่วมทมี่ ากทส่ี ุดของ 80, 96 และ 112 หาได้โดยนำตวั หารรว่ มทกุ จำนวนคูณกนั
จะได้ 2 x 4 x 2 = 16

แสดงว่า ห.ร.ม. ของ 80, 96 และ 112 คือ 16
สงั เกต
เม่อื นำ 16 ไปหาร 80, 96 และ 112 จะได้ผลหารเป็น 5, 6 และ 7 ตามลำดบั
ซง่ึ จะเห็นว่า ตัวหารรว่ มของ 5, 6 และ 7 มเี พียงจำนวนเดยี วคอื 1
แสดงว่า 16 เปน็ ห.ร.ม. ของ 80, 96 และ 112

ตวั อย่าง หา ห.ร.ม. ของ 15, 45 และ 90
วธิ ีทำ 3 ) 15 45 90

5 ) 5 15 30
1 36

ดังนน้ั ห.ร.ม. ของ 15, 45 และ 90 คือ 3 x 5 = 15
ตอบ 15

แบบฝกึ หดั

กิจกรรมท่ี 1

คำช้แี จง หา ห.ร.ม. ของจำนวนตอ่ ไปน้ี โดยการตง้ั หาร (10 คะแนน)

1. 18 36 2. 84 98
วธิ ที ำ ……………………………………………………… วธิ ที ำ …………………………………………………………..

……………………………………………………… …………………………………………………………..
……………………………………………………… …………………………………………………………..
……………………………………………………… …………………………………………………………..
……………………………………………………… …………………………………………………………..
……………………………………………………… …………………………………………………………..
ตอบ ……………………………………………………… ตอบ …………………………………………………………..

3. 60 120 135 4. 50 100
วิธที ำ ……………………………………………………… วธิ ที ำ …………………………………………………………..

……………………………………………………… …………………………………………………………..
……………………………………………………… …………………………………………………………..
……………………………………………………… …………………………………………………………..
……………………………………………………… …………………………………………………………..
……………………………………………………… ……………………………………………………………

ตอบ ……………………………………………………….. ตอบ ……………………………………………………………..

5. 104 117 143
วธิ ที ำ ……………………………………………………….

……………………………………………………….
……………………………………………………….
……………………………………………………….
……………………………………………………….
……………………………………………………….
ตอบ …………………………………………………………

กิจกรรมที่ 2

คำชี้แจง ให้นกั เรียนจบั คู่ข้อความต่อไปน้ี ให้สมบูรณ์และถกู ต้องทีส่ ดุ (10 คะแนน)

ห.ร.ม. ของ 20 และ 55 1

ห.ร.ม. ของ 32 และ 56 7

ห.ร.ม. ของ 12, 36 และ 48 8

ห.ร.ม. ของ 42, 65 และ 165 223

ห.ร.ม. ของ 72, 108 และ 198 15

ห.ร.ม. ของ 10, 20 และ 30 18

ห.ร.ม. ของ 12, 16 และ 32 6

ห.ร.ม. ของ 12, 18 และ 24 5

ห.ร.ม. ของ 14, 28 และ 35 10

ห.ร.ม. ของ 15, 45 และ 60 4

จัดทำโดย
นางสาวชดุ าภา นม่ิ เซยี น รหัส 023 ปี 3 หมู่ 1
สาขาคณติ ศาสตร์ คณะวทิ ยาลัยการฝกึ หดั ครู