ΓΕΩΜΕΤΡΊΑ Β ΓΥΜΝΑΣΊΟΥ

3.3 - 3.6 ÌÞêïò êýêëïõ - Åìâáäüí êõêëéêïý äßóêïõ - ÌÞêïò ôüîïõ - Åìâáäüí êõêëéêïý ôïìÝá 203

3.3 - 3.4 - 3.5 - 3.6 MÞêïò êýêëïõ - Åìâáäüí êõêëéêïý äßóêïõ -
ÌÞêïò ôüîïõ - Åìâáäüí êõêëéêïý ôïìÝá

Åñþôçóç 1 Ε  π  ρ2 Þ Ε  π   δ 2  π  δ2 ,
 2 4
Ôé ïíïìÜæïõìå ìÞêïò Þ ðåñßìåôñïò åíüò êýêëïõ; Ôé 
ðïóÜ åßíáé ôï ìÞêïò ôùí êýêëùí êáé ç äéÜìåôñüò ôïõò; 

üðïõ ä = 2ñ

ÁðÜíôçóç

ÌÞêïò Þ ðåñßìåôñïò êýêëïõ Êõêëéêü äáêôýëéï ïíïìÜæïõìå ôï ó÷Þ-
ïíïìÜæïõìå ôï ìÞêïò ôïõ åõèý- ìá ðïõ ðåñéêëåßåôáé ìåôáîý äýï ïìü-
ãñáììïõ ôìÞìáôïò ðïõ ðñïêýðôåé êåíôñùí êýêëùí äéáöïñåôéêÞò áêôß-
áí “êüøïõìå” õðïèåôéêÜ ôïí êý- íáò, (Ï,R) êáé (Ï,ñ) ìå R > ñ.
êëï óå Ýíá óçìåßï ôïõ êáé óôç óõ-
íÝ÷åéá ôïí “ôåíôþóïõìå”. Åñþôçóç 3
Ôï ìÞêïò ôùí êýêëùí êáé ç äéÜìåôñüò ôïõò åßíáé ðïóÜ áíÜ-
ëïãá. ÄçëáäÞ ãéá üëïõò ôïõò êýêëïõò ï ëüãïò - ôï Ðïéá ó÷Ýóç ìáò äßíåé ôï ìÞêïò S åíüò ôüîïõ AB åíüò
êýêëï (O,ñ); Ôé åßíáé ôï áêôßíéï Þ rad;
ðçëßêï μήκος κύκλου Þ ìå óýìâïëá Γ åßíáé ï ßäéïò êáé
διάμετρος δ

óõìâïëßæåôáé ìå ôï ãñÜììá ð, äçëáäÞ éó÷ýåé: ÁðÜíôçóç

Γ  π Þ Γ  π  δ  2πρ , Áí ç åðßêåíôñç ãùíßá åêöñÜæåôáé óå
δ
ìï ìïßñåò ôüôå ôï ìÞêïò ôïõ ôüîïõ S
üðïõ ä ç äéÜìåôñïò êáé ñ ç áêôßíá ôïõ êýêëïõ.
Ï áñéèìüò ð åßíáé Üññçôïò, äçëáäÞ áðåéñïøÞöéïò äåêáäé- èá åßíáé: π  ρ  μο
êüò ìç ðåñéïäéêüò áñéèìüò. Óôïõò õðïëïãéóìïýò ìáò èá 180ο
÷ñçóéìïðïéïýìå ôçí ñçôÞ ðñïóåããéóôéêÞ ôéìÞ ð = 3,14. S 

Åñþôçóç 2 Áí ç åðßêåíôñç ãùíßá åêöñÜæåôáé óå á áêôßíéá ôï ìÞêïò S èá
Må ôé éóïýôáé ôï åìâáäüí åíüò êõêëéêïý äßóêïõ; Ôé åßíáé:
ïíïìÜæïõìå êõêëéêü äáêôýëéï;
S  αρ
ÁðÜíôçóç
Ôï åìâáäüí åíüò êõêëéêïý äßóêïõ (Þ åìâáäüí êýêëïõ) áêôß- Áêôßíéï Þ rad óå êýêëï (Ï,ñ), ëÝãåôáé ôï ôüîï ðïõ Ý÷åé ìÞêïò
íáò ñ éóïýôáé ìå: ßóï ìå ôçí áêôßíá ñ êáé ÷ñçóéìïðïéåßôáé ãéá ôçí ìÝôñçóç ôùí
ôüîùí. ÄçëáäÞ ôüîï 1 rad Ý÷åé ìÞêïò ñ
¢ñá, áöïý ôï ìÞêïò êýêëïõ åßíáé à = 2ðñ, óå áêôßíéá ï
êýêëïò åßíáé 2ð rad, åíþ ôï çìéêýêëéï S åßíáé ð rad.

204 ÌÝñïò B - ÊåöÜëáéï 3

Åñþôçóç 4 Ε  π  ρ2  μο
Ðïéá åßíáé ç ó÷Ýóç ìåôáîý ìïéñþí êáé áêôéíßùí; 360ο

ÁðÜíôçóç Áí ç åðßêåíôñç ãùíßá åêöñÜæåôáé óå á áêôßíéá: Ε  1  α  ρ2
2

Ôá 2ð rad áíôéóôïé÷ïýí óå 360ï. Åðßóçò éó÷ýåé:

Ôï 1 rad èá áíôéóôïé÷åß óå: 360ο Þ 180ο (ìïßñåò) Ε π  ρ2  μο  πρρμ  1 πρμ  ρ  1Sρ ,
2π π 360ο 2 180ο 2 180ο 2

Óõíåðþò ôá á rad èá áíôéóôïé÷ïýí óå: üðïõ S ôï ìÞêïò ôïõ áíôßóôïé÷ïõ ôüîïõ. ¢ñá: Ε  1  S  ρ
2
μο  α 180ο Þ μ α
π 180 π

Ôï 1rad  57o 19' . Åñþôçóç 6
Ôé ëÝãåôáé êõêëéêü ôìÞìá êáé ðùò âñßóêïõìå ôï åìâáäüí ôïõ;

Åñþôçóç 5 ÁðÜíôçóç

Ôé ïíïìÜæïõìå êõêëéêü ôïìÝá; Ðïéåò ó÷Ýóåéò ìáò äßíïõí Êõêëéêü ôìÞìá åßíáé ôï ìÝñïò åíüò êõ-
ôï åìâáäüí ôïõ; êëéêïý äßóêïõ ðïõ ðåñéêëåßåôáé áðü
Ýíá ôüîï êáé ôçí áíôßóôïé÷ç ÷ïñäÞ ôïõ.
ÁðÜíôçóç Ôï åìâáäüí ôïõ êõêëéêïý ôìÞìáôïò ÁÓÂ
Êõêëéêüò ôïìÝáò ãùíßáò φ óå êýêëï åßíáé ßóï ìå ôç äéáöïñÜ ôïõ åìâáäïý
(Ï,ñ) ëÝãåôáé ôï êïéíü ìÝñïò ôïõ áíôß- ôïõ ôñéãþíïõ ÏÁ áðü ôï åìâáäüí ôïõ
óôïé÷ïõ êõêëéêïý äßóêïõ êáé ôçò åðß- êõêëéêïý ôïìÝá OAB , äçëáäÞ:
êåíôñçò ãùíßáò φ óôïí êýêëï. (Óôï
ó÷Þìá ôï ãñáììïóêéáóìÝíï ìÝñïò). Áí EΣ  ΕOAB  ΕΑΒΓ  π  ρ2  μο  1  ΑΒ  OK
ç åðßêåíôñç ãùíßá åêöñÜæåôáé óå ìï: 360ο 2

ÐÁÑÁÄÅÉÃÌÁÔÁ - ÅÖÁÑÌÏÃÅÓ

á. Íá âñåèåß ôï ìÞêïò êýêëïõ áêôßíáò ñ = 6cm. â. Åßíáé: Γ  2 π  ρ Þ ρ  Γ  43,96  7,03cm
â. Íá âñåèåß ç áêôßíá êýêëïõ ìå ìÞêïò Ã = 2 π 2 3,14

1 43,96cm. ã. Ôï åìâáäüí åßíáé: E  π  ρ2  π   δ 2  π  δ2 Þ
 2 4
ã. Íá âñåèåß ôï åìâáäüí êõêëéêïý äßóêïõ 
äéáìÝôñïõ ä = 2m. 

Ëýóç Ε  3,14  22  3,14 m2
4
á. Åßíáé: Γ  2 π  ρ  2 3,14  6  37,68cm

3.3 - 3.6 ÌÞêïò êýêëïõ - Åìâáäüí êõêëéêïý äßóêïõ - ÌÞêïò ôüîïõ - Åìâáäüí êõêëéêïý ôïìÝá 205

Íá âñåßôå ôï ìÝôñï Ýíïò ôüîïõ: i. Γ1  Γ2  25,12 Þ 2πρ1  2πρ2  25,12 Þ
i. Óå áêôßíéá, áí ôï ìÝôñï ôïõ óå ìïßñåò åßíáé 150o.
2πρ1  ρ2   25,12 Þ ρ1  ρ2  25,12 Þ ρ1  ρ2  4cm
2 ii. Óå ìïßñåò, áí ôï ìÝôñï ôïõ óå áêôßíéá åßíáé 2  3,14

π rad . ii. δ1  δ2  2ρ1  2ρ2  2ρ1  ρ2   2  4  8cm
3

Ëýóç

i. Åßíáé: α μο Þ α  μο  π  150ο  π Þ α  5π rad .
π  180ο 180ο 180ο 6

ii. Åßíáé: α  μο Þ μο  α 180ο  π 180ο Þ μο  60ο 5
π 180ο 3
Óôï ðáñáðÜíù ó÷Þìá íá õðïëïãßóåôå ôçí áê-
ππ ôßíá, ôçí äéÜìåôñï, ôï ìÞêïò êáé ôï åìâáäüí
ôïõ êýêëïõ.
Ïé ôñï÷ïß åíüò ðïäçëÜôïõ Ý÷ïõí äéÜìåôñï
Ëýóç
3 80 cm êáé Ýêáíáí 6.000 óôñïöÝò. Íá âñåßôå Ôï ôñßãùíï ÁÂÃ åßíáé ïñèïãþíéï ìå Γ  90ο (âáßíåé óå çìéêýêëéï)
¢ñá: ΑΒ2  ΑΓ2  ΓΒ2 Þ ΑΒ2  32  42  9  16  25 Þ
ðüóç áðüóôáóç äéÞíçóå ôï ðïäÞëáôï.
ΑΒ  25 Þ ΑΒ  5cm .
Ëýóç ¢ñá: ρ  5  2,5cm , ΑΒ  δ  5cm
¼ôáí ïé ôñï÷ïß ôïõ ðïäçëÜôïõ êÜíïõí ìéá ðëÞñç ðåñéóôñï-
öÞ, ôï ðïäÞëáôï äéáíýåé áðüóôáóç ßóç ìå ôï ìÞêïò ôïõò. 2
¢ñá ãéá ìéá ðëÞñç ðåñéóôñïöÞ Ý÷ïõìå áðüóôáóç: Ôï ìÞêïò ôïõ êýêëïõ èá åßíáé:

Γ  2 π  ρ  δ  π  80  3,14  251,2cm  2,512m Γ  2 π  ρ  2 3,14  2,5  15,7 cm
¢ñá ãéá 6.000 óôñïöÝò ôùí ôñï÷þí ôï ðïäÞëáôï äéÞíõóå Ôï åìâáäüí åßíáé: E  π  ρ2  3,14  2,52  19,625 cm2
áðüóôáóç ßóç ìå:

S  6.000  2,512  15072m  15,072Km

Ïé ðåñßìåôñïé äýï êýêëùí äéáöÝñïõí êáôÜ 6 Ôüîï 45ï óå êýêëï (Ï,ñ) Ý÷åé ìÞêïò 2c m.
Íá âñåèåß ç áêôßíá ôïõ êýêëïõ.
4 25,12 cm. Íá âñåßôå ôç äéáöïñÜ:

i. Ôùí áêôßíùí ôïõò ii. Ôùí äéáìÝôñù í ôïõò

Ëýóç Ëýóç
Ôï ìÞêïò S ôïõ ôüîïõ åßíáé:
Áí ïíïìÜóïõìå ñ1, ñ2 ôéò áêôßíåò ìå ñ1 > ñ2, ä1, ä2 ôéò äéáìÝ-
ôñïõò, Ã1, Ã2 ôéò ðåñéìÝôñïõò Ý÷ïõìå:

206 ÌÝñïò B - ÊåöÜëáéï 3

S  π  ρ  μο Þ π  ρ  μο  180ο  S Þ ρ  180ο  S  180ο  2 Ôï åìâáäüí ôïõ êõêëéêïý ôïìÝá ðïõ
180ο π  μο 3,14  45ο åßíáé åíôüò ôïõ ôñéãþíïõ x åßíáé:

Þ ρ  2,55 cm Ε2 π  ρ2  μο  3,14  7,792  60ο Þ
 360ο 360ο

Ç åããåãñáììÝíç ãù íßá BAΓ  30ο êáé ç ÷ïñ- Ε2  31,75cm .
¢ñá ôï åìâáäüí ôïõ ãñáììïóêéáóìÝíïõ ìÝñïõò åßíáé:
7 äÞ ÂÃ = 6cm. Íá õðïëïãéóôåß ôï åìâáäüí
Ε  Ε1  Ε2  35,055  31,75  3,305 cm
ôïõ êýêëïõ.
Íá ãñÜøåôå ôåôñÜãùíï ìå ðëåõñÜ 26cm êáé ìå
Ëýóç êÝíôñá ôéò êïñõöÝò ôïõ êáé áêôßíá 13cm íá ãñÜ-
Ãéá ôçí åðßêåíôñç ãùíßá BOΓ éó÷ýåé:BOΓ  2 BΑΓ  2  30ο  60ο øåôå ôåôáñôïêýêëéá ìÝóá óôï ôåôñÜãùíï. Íá âñå-
¢ñá ôï ôñßãùíï ÂÏà èá åßíáé éóüðëåõñï äéüôé: èåß ôï åìâáäüí ôïõ êáìðõëüãñáììïõ “óôáõñïý”.

ÏÂ = ÏÃ = ñ, ïðüôå Β  Γ . 9
ÁëëÜ Ο  Β  Γ  180ο Þ Ο  2Β  180ο
Þ 2Β  180ο  60ο  120ο Þ Β  Γ  60ο
Óõíåðþò ρ  6cm . Ôï åìâáäüí ôïõ êý-
êëïõ èá åßíáé:

E  π  ρ2  3,14  62  113,04cm

Óå éóüðëåõñï ôñßãùíï ÏÂà ìå ðëåõñÜ 9cm

8 íá ãñÜøåôå êýêëï ìå êÝíôñï ôçí êïñõöÞ Ï Ëýóç
êáé áêôßíá ôï ýøïò ôïõ ÏÌ. Íá âñåßôå ôï Ôï åìâáäüí ôùí 4 ôåôáñôïêõêëßùí éóïýôáé ìå ôï åìâáäüí
åíüò êýêëïõ ìå áêôßíá 13cm, äçëáäÞ åßíáé:
åìâáäüí ôïõ ãñáììïóêéáóìÝíïõ ôìÞìáôïò.
Ε1  π  ρ2  3,14 132  530,66 cm
Ëýóç Ôï åìâáäüí ôïõ ôåôñáãþíïõ åßíáé: Ε2  ΑΒ2  262 Þ

Áðü ôï ïñèïãþíéï ôñßãùíï ÌÂÏ Ý÷ïõìå: ΟΒ2  ΟΜ2  ΒΜ2 Þ Ε2  676 cm
ΟΜ2  ΟΒ2  ΒΜ2 Þ ΟΜ2  92  4,52  81 20,25  60,75 ¢ñá ôï åìâáäüí ôïõ êáìðõëüãñáììïõ “óôáõñïý” èá åß-

Þ ΟΜ  60,75 Þ ΟΜ  7,79cm . íáé: Ε  Ε1  Ε2  676  530,66 Þ Ε  145,34 cm

Ôï åìâáäüí ôïõ ôñéãþíïõ åßíáé ÏÂÃ åßíáé:

Ε1  1ΒΓ  ΟΜ  1  9  7,79  35, 055 cm
2 2

3.3 - 3.6 ÌÞêïò êýêëïõ - Åìâáäüí êõêëéêïý äßóêïõ - ÌÞêïò ôüîïõ - Åìâáäüí êõêëéêïý ôïìÝá 207

10 Ëýóç
Ôï ôñßãùíï ÁÂÏ åßíáé éóïóêåëÝò Üñá: A  B  70o , üðïôå
ÌÝóá óå Ýíá ÷ùñÜöé ìå ó÷Þìá ôåôñáãþíïõ,
õðÜñ÷åé Ýíáò áõôüìáôïò ðåñéóôñåöüìåíïò ìç- O  180o  70o  70o   40o .
÷áíéóìüò ðïôßóìáôïò óôï êÝíôñï ôïõ. Ï ìç÷á-
íéóìüò Ý÷åé ôç äõíáôüôçôá íá ðïôßæåé óå êõêëé- Åðßóçò óôï ïñèïãþíéï ôñßãùíï ÏÁÄ éó÷ýåé: ημΑ  ΟΔ Þ
êÞ ðåñéï÷Þ, áêôßíáò 13,6m. Ôï ÷ù ñÜöé Ý÷åé ΟΑ
ðëåõñÜ 20 3 m . Íá âñåßôå ôï åìâáäüí ôïõ
÷ùñáöéïý ðïõ äåí ðïôßæåôáé. ΟΔ  ΟΑ  ημΑ  12 0,94 Þ ΟΔ  11,28cm

Ëýóç ¼ìïéá συνΑ  ΑΔ Þ ΑΔ  ΟΑ  συνΑ  12  0,342 Þ
Ôï åìâáäüí ôïõ ôåôñáãþíïõ ÁÂÃÄ åßíáé: ΟΑ

 Ε1  ΑΒ2  20 3 m 2  1200m2 ΑΔ  4,104 cm

Ôï åìâáäüí ôïõ êõêëéêïý äßóêïõ (Ï,ñ) åßíáé: Ïðüôå AB  2 AΔ Þ ΑΒ  8,208cm .
Ε2  π  ρ2  3,14 13,62  580,77m2 Ôï åìâáäüí ôïõ êõêëéêïý ôïìÝá ÏÁàèá åßíáé:
¢ñá ôï åìâáäüí ôïõ ÷ùñáöéïý ðïõ äåí ðïôßæåôáé åßíáé:
Ε  Ε1  Ε2  1200  580,77  619,23m2 Ε1  π  ρ2  μο  3,14 122  40ο Þ Ε1  50,24 cm2
360ο 360ο

Ôï åìâáäüí ôïõ ôñéãþíïõ ÏÁÂ èá åßíáé:

Ε2  1 ΑΒ  ΟΔ  18,208 11,28  46, 29 cm2
2 2

¢ñá ôï æçôïýìåíï åìâáäüí èá åßíáé:

Ε  Ε1  Ε2  50,24  46,29  3,94 cm2

12

11 Íá õðïëïãßóåôå ôçí ðåñßìåôñï ôïõ ðáñáðÜ-
íïõ ó÷Þìáôïò.

Óôï ðáñáðÜíù ó÷Þìá Ý÷ïõìå ñ = 12cm êáé Ëýóç
A  70o . Íá âñåèåß ôï åìâáäüí ôïõ ãñáììï- Ãéá íá âñïýìå ôçí ðåñßìåôñï Ô ôïõ ó÷Þìáôïò ðñÝðåé íá õðï-
óêéáóìÝíïõ ôìÞìáôïò. ëïãßóïõìå ôï Üèñïéóìá ôùí ìçêþí ôùí ôüîùí ΒΓ , ΓΑ ,

208 ÌÝñïò B - ÊåöÜëáéï 3

ΑΔ êáé ôùí ôìçìÜôùí ÄÅ êáé ÅÂ. Ïìïßùò SΒΓ  π  ΓΒ 180ο  π  ΓΒ  3,14  9  14,13 cm
ÊáèÝíá áðü ôá ðáñáðÜíù ôüîá åßíáé 90ï, Üñá Ý÷åé ìÞêïò : 2 2 2
180ο
π  ρ μο 3,14  4  90ο
S  180ο  180ο  6,28 cm π  AΒ 180ο

¢ñá: Τ  3  6,28  3  2  23,84 cm Åßíáé: SAΒ  2  π  AΒ  3,14  12  18,84 cm
180ο 2 2

¢ñá: SAΓ  SΒΓ  SAΒ  37,68 cm
ii. Ãéá íá âñïýìå ôï åìâáäüí ôïõ ãñáììïóêéáóìÝíïõ ó÷Þìá-

ôïò èá ðñÝðåé áðü ôï åìâáäüí ôïõ çìéêõêëßïõ ìå äéÜìåôñï
ôï ôìÞìá Á íá áöáéñÝóïõìå ôï åìâáäüí ôïõ çìéêõêëßïõ
ìå äéÜìåôñï Âà êáé ìåôÜ íá ðñïóèÝóïõìå ôï åìâáäüí ôïõ

çìéêõêëßïõ ìå äéÜìåôñï ôï ôìÞìá ÁÃ.

Óôï ðáñáðÜíù ó÷Þìá õðÜñ÷ïõí 3 çìéêýêëéá π   AB 2  180ο π   AB 2 3,14   12 2
 2  2  2
13 äéáìÝôñùí ÁÃ, ÃÂ, ÂÁ êáé åßíáé Á = 12cm. EAB        56,52cm2
  
1
Åðßóçò ôá ôìÞìáôá Áà êáé àÝ÷ïõí ëüãï 3 . 360ο 2 2
i. Íá âñåßôå ôï Üèñïéóìá ôùí ôüîùí
π   BΓ 2 180ο π   BΓ 2 3,14   9 2
S AΓ , SBΓ , S AB .  2  2  2
ii. Íá âñåßôå ôï åìâáäüí ôïõ ãñáììïóêéá- EBΓ        31,79cm2
  
óìÝíïõ ó÷Þìáôïò.
360ο 2 2

π   ΑΓ 2 180ο π   ΑΓ 2 3,14   3 2
 2  2  2
EΑΓ        3,53cm2
  

360ο 2 2

Ëýóç ¢ñá: Ε  EAB  EΑΓ  EBΓ  28,26 cm2

i. Éó÷ýåé: AΓ  1 Þ ΓΒ  3ΑΓ . ÁëëÜ ΑΓ  ΓΒ  ΑΒ Þ
ΓΒ 3

ΑΓ  3ΑΓ  ΑΒ Þ 4ΑΓ  ΑΒ Þ ΑΓ  12  3cm 14
4
Äßíåôáé ôï ïñèïãþíéï êáé éóïóêåëÝò ôñßãùíï
Ïðüôå BΓ  ΑΒ  ΑΓ  12  3  9cm
Ôï ìÞêïò ôïõ ôüîïõ AΓ åßíáé:  ÁÂÃ A  90o ,ΑΒ  ΑΓ  9 cm

π  ρ μο π  AΓ 180ο  π  AΓ 3,14  3  4,71m ÃñÜöïõìå êýêëï ìå êÝíôñï ôï óçìåßï Á êáé
180ο 2 2 2
SAΓ   180ο 

3.3 - 3.6 ÌÞêïò êýêëïõ - Åìâáäüí êõêëéêïý äßóêïõ - ÌÞêïò ôüîïõ - Åìâáäüí êõêëéêïý ôïìÝá 209

áêôßíá 9cm êáé ôïí êýêëï ìå äéÜìåôñï ôçí äüí ôïõ ôåôáñôïêõêëßïõ ìå êÝíôñï ôï Á êáé áêôßíá ôï ÁÂ
ðëåõñÜ ÂÃ. Íá óõãêñßíåôå ôá åìâáäÜ ôïõ áöáéñÝóïõìå ôï åìâáäüí ôïõ ôñéãþíïõ ÁÂÃ.
ãñáììïóêéáóìÝíïõ ôìÞìáôïò (ôï ôìÞìá áõôü
ëÝãåôáé ìçíßóêïò) êáé ôï ôñßãùíï ÁÂÃ. π  ρ2 π   ΒΓ 2 π   12,73 2  127,21  63,605cm2
2 2  2  2
Ëýóç EBΓ   
Ôï åìâáäüí ôïõ ôñéãþíïõ ÁÂÃ åßíáé: 2 2

E  1  AB  AΓ  1  9  9  40,5cm2 Ôï åìâáäüí ôïõ ôåôáñôïêõêëßïõ åßíáé:
22
Ετετ.  π ΑΒ2  90ο  3,14  92  90ο  63,585cm2
Åðßóçò áðü ôï Ðõèáãüñåéï Èåþñçìá: 360ο 360ο
BΓ2  ΑΓ2  ΑΒ2  81 81  162
¢ñá Ε1  Ετετ.  Ε   23,085 cm2
¢ñá ΒΓ  162 Þ ΒΓ  12,73cm . ΑΒΓ
Ôï åìâáäüí ôïõ ìçíßóêïõ èá âñåèåß áí áðü ôï åìâáäüí ôïõ
çìéêõêëßïõ ìå äéÜìåôñï ôï Âà áöáéñÝóïõìå ôï ôìÞìá ôïõ Ïðüôå ôï åìâáäüí ôïõ ìçíßóêïõ èá åßíáé:
åìâáäïý E1 . Ôï åìâáäüí E1 èá ôï âñïýìå áí áðü ôï åìâá-
Εμην.  ΕΒΓ  Ε1  63,605  23,085  40,5
Ðáñáôçñïýìå üôé ôï åìâáäüí ôïõ ìçíßóêïõ åßíáé ßóï ìå ôï
åìâáäüí ôïõ ôñéãþíïõ.

ÅÑÙÔÇÓÅÉÓ ÊÁÔÁÍÏÇÓÇÓ

1 Íá óõìðëçñþóåôå ôïí ðáñáêÜôù ðßíáêá.

2 Ôï ìÞêïò åíüò çìéêõêëßïõ áêôßíáò ñ åßíáé:

Á. 4ðñ Â. 2ðñ πρ Ä. πρ
Ã. 2

210 ÌÝñïò B - ÊåöÜëáéï 3

3 Ìå ìéá êëùóôÞ ìÞêïõò 18cm êáôáóêåõÜæïõìå Ýíáí êýêëï áêôßíáò:

Á. 18 cm Â. 9 cm Ã. 36 cm Ä. 8 cm
π π π π

4 Íá óõìðëçñþóåôå ôïí ðßíáêá:

5 Íá áíôéóôïé÷ßóåôå ôá ìÞêç êáé ôá ôüîá ìï ôçò óôÞëçò Á ìå ôéò áêôßíåò ôçò óôÞëçò Â.

ÓôÞëç Á ÓôÞëç Â

3ð cm, ìï = 180ï • • 2cm
4ð cm, ìï = 360ï • • 18cm
5ð cm, ìï = 90ï • • 3cm
6ð cm, ìï = 60ï • • 10cm

6 Íá óõìðëçñþóåôå ôïí ðßíáêá:

7 Ï ëüãïò ôùí åìâáäþí ôùí êýêëùí (0,3ñ) ðñïò (0,ñ) åßíáé

Á. 3 Â. 9 Ã. 9ñ Ä. 3ñ

3.3 - 3.6 ÌÞêïò êýêëïõ - Åìâáäüí êõêëéêïý äßóêïõ - ÌÞêïò ôüîïõ - Åìâáäüí êõêëéêïý ôïìÝá 211

8 Íá ÷áñáêôçñßóåôå êÜèå ìßá áðü ôéò ðáñáêÜôù ðñïôÜóåéò ùò ÓùóôÞ (Ó) Þ ËÜèïò (Ë).

á. Áí äéðëáóéÜóïõìå ôçí áêôßíá åíüò êýêëïõ ôüôå äéðëáóéÜæåôáé êáé ôï ìÞêïò ôïõ êýêëïõ
â. Áí ôñéðëáóéÜóïõìå ôçí áêôßíá åíüò êýêëïõ ôüôå ôñéðëáóéÜæåôáé êáé ôï åìâáäüí

ôïõ áíôßóôïé÷ïõ êõêëéêïý äßóêïõ
ã. Áí äéðëáóéÜóïõìå ôï ìÝôñï åíüò ôüîïõ ôïõ êýêëïõ (0,ñ) äéðëáóéÜæåôáé êáé ôï ìÞêïò

áõôïý óôïí ßäéï êýêëïõ
ä. Ôá åìâáäÜ äýï êõêëéêþí ôïìÝùí ôïõ áíôéóôïé÷ïýí óå ßóåò ÷ïñäÝò åíüò êýêëïõ åßíáé ßóá

9 Íá óõìðëçñþóåôå ôá êåíÜ ôïõ ðáñáêÜôù ðßíáêá

10 Íá áíôéóôïé÷ßóåôå ôá åããåãñáììÝíá óå êýêëï áêôßíáò ñ êáíïíéêÜ ðïëýãùíá ôçò óôÞëçò Á ìå ôá åìâáäÜ ôùí êõêëé-

êþí ôïìÝùí ðïõ áíôéóôïé÷ïýí óå ìéá ðëåõñÜ ôùí êáíïíéêþí ðïëõãþíùí ôçò óôÞëçò Â.

212 ÌÝñïò B - ÊåöÜëáéï 3

ÓôÞëç Á • ÓôÞëç Â
Êáíïíéêü ðåíôÜãùíï
• π  ρ2
Êáíïíéêü ïêôÜãùíï • 8

Êáíïíéêü äåêÜãùíï • π  2
• 10
Êáíïíéêü äåêáðåíôÜãùíï •
π  ρ2
• 15

π  ρ2
•5

ÐÑÏÔÅÉÍÏÌÅÍÅÓ ÁÓÊÇÓÅÉÓ

1 Íá óõìðëçñþóåôå êáèÝíáí áðü ôïõò ðáñáêÜôù ôýðïõò:

i. S  π .... .... ii. S  α  .... iii. Ε  1 ....  ρ2 iv. Ε  π  ....  μο v. Ε  1 .... ρ
180ο 2 360ο 2

2 Íá óõìðëçñþóåôå ôïí ðßíáêá:

3.3 - 3.6 ÌÞêïò êýêëïõ - Åìâáäüí êõêëéêïý äßóêïõ - ÌÞêïò ôüîïõ - Åìâáäüí êõêëéêïý ôïìÝá 213

3 Íá áíôéóôïé÷ßóåôå êÜèå óôïé÷åßï ôçò óôÞëçò Á ìå ôï êáôÜëëçëï óôïé÷åßï ôçò óôÞëçò Â.

Åðßêåíôñåò ãùíßåò óå ìï ÌÞêïò ôüîïõ S óå êýêëï (Ï,ñ)

1 30ï πρ
á4

2 45ï πρ
â6

3 60ï πρ
ã2

4 90ï πρ
5 180ï ä3
å πρ

4 Íá ÷áñáêôçñßóåôå ìå ôçí Ýíäåéîç Óùóôü (Ó) Þ ËÜèïò (Ë) êáèåìßá áðü ôéò ðáñáêÜôù ðñïôÜóåéò:

i. Ç äéÜìåôñïò åíüò êýêëïõ ìå ìÞêïò 56,77 cm åßíáé 18,07cm.
ii. Ôï åìâáäüí åíüò êýêëïõ áêôßíáò ñ = 6cm åßíáé 113,04 cm2.

iii. Óå êýêëï (Ï,ñ) éó÷ýåé: ρ  Ε
π

iv. Óå êýêëï (Ï,ñ) éó÷ýåé: δ  2Ε .
ρ

v. Ôï åìâáäüí çìéêõêëßïõ óå êýêëï (Ï,ñ) éóïýôáé ìå: π  ρ2 .
2

5 Ç äéÜìåôñïò ôçò Ãçò åßíáé 12800Êm. Íá âñåßôå ôï ìÞêïò ôïõ Éóçìåñéíïý ôçò Ãçò.

6 H áêôßíá åíüò êõêëéêïý äßóêïõ åßíáé 10cm íá õðïëïãßóåôå ôï åìâáäüí ôïõ.

214 ÌÝñïò B - ÊåöÜëáéï 3

7 Íá âñåèåß ôï åìâáäüí ôïõ ôåôñáãþíïõ ôïõ åããåãñáììÝíïõ óå êýêëï ìå áêôßíá 6cm êáé ôï åìâáäüí ôïõ êáèåíüò

áðü ôá 4 ìÝñç ôïõ êýêëïõ ðïõ âñßóêïíôáé åêôüò ôïõ êýêëïõ.

8 Óå Ýíáí êýêëï ìå äéÜìåôñï Á íá öÝñåôå ôéò ÷ïñäÝò ÃÁ êáé ÃÂ. Áí ΑΓ  9cm êáé ΒΓ  12cm íá õðïëïãßóåôå ôçí

ðåñßìåôñï ôïõ êýêëïõ.

9 Äýï ßóïé êýêëïé ìå áêôßíá 12 cm ôÝìíïíôáé. Áí ç áðüóôáóç ôùí êÝíôñùí ôïõò åßíáé 12 2cm , íá âñåèåß ôï

åìâáäüí ôïõ êïéíïý ìÝñïõò ôïõò.

10 Íá õðïëïãßóåôå ôá åìâáäÜ ôùí ãñáììïóêéáóìÝ-

íùí êáìðõëüãñáììùí ó÷çìÜôùí óôá ðáñáêÜôù
ó÷Þìáôá.

11 Ïé ðåñßìåôñïé äýï êýêëùí Ý÷ïõí ëüãï 4 : 5. Íá âñåßôå ôï ëüãï:

á. Ôùí áêôßíùí ôïõò â. Ôùí äéáìÝôñùí ôïõò ã. Ôùí åìâáäþí ôïõò

12 Íá õðïëïãßóåôå ôï åìâáäüí åíüò êõêëéêïý äáêôõëßïõ ðïõ ðåñéêëåßåôáé ìåôáîý äýï ïìüêåíôñùí êýêëùí ìå áêôß-

íåò ñ = 12 cm êáé R = 18 cm.

3.3 - 3.6 ÌÞêïò êýêëïõ - Åìâáäüí êõêëéêïý äßóêïõ - ÌÞêïò ôüîïõ - Åìâáäüí êõêëéêïý ôïìÝá 215

13 Ïé ôñï÷ïß åíüò ðïäçëÜôïõ Ýêáíáí 1000 óôñïöÝò. Áí ç äéÜìåôñüò ôïõò åßíáé 80cm, íá âñåßôå ðüóï äéÜóôçìá

äéÞíõóáí.

14 Ôï åìâáäüí åíüò êõêëéêïý ôïìÝá åßíáé 37,68cm2. Áí ç áêôßíá ôïõ êýêëïõ åßíáé 6cm, íá âñåèåß ðüóåò ìïßñåò åßíáé

ï ôïìÝáò.

15 Óå Ýíáí êýêëï áêôßíáò ñ = 5cm íá ðåñéãñÜøåôå Ýíá êáíïíéêü åîÜãùíï. Íá õðïëïãßóåôå ôï åìâáäüí êáé ôçí

ðåñßìåôñü ôïõ.

16 Óå ðïéá ðåñßðôùóç ôï åìâáäüí åíüò êõêëéêïý äßóêïõ êáé ôï ìÞêïò ôïõ êýêëïõ åêöñÜæïíôáé ìå ôïí ßäéï áñéèìü

17 Óå ìéá åõèåßá å ðáßñíïõìå ôá äéáäï÷éêÜ óçìåßá Á, Â, Ã, Ä. ÊáôáóêåõÜæïõìå ôïõò êýêëïõò ìå äéáìÝôñïõò ôá ÁÂ, ÂÃ,

ÃÄ, ÁÄ. Íá äåßîåôå üôé ôï ìÞêïò ôïõ êýêëïõ ìå äéÜìåôñï ÁÄ åßíáé ßóï ìå ôï Üèñïéóìá ôùí ìçêþí ôùí Üëëùí
ôñéþí êýêëùí.

1 8 Óå Ýíáí êýêëï (0,5cm) åããñÜöïõìå Ýíá êáíïíéêü åîÜãùíï üðùò óôï äéðëáíü ó÷Þìá.

Íá õðïëïãßóåôå:
á) Ôï ìÞêïò ôïõ ôüîïõ ΕΔ
â) Ôï ìÞêïò ôïõ êýêëïõ
ã) Ôï åìâáäüí ôïõ êõêëéêïý äßóêïõ
ä) Ôï åìâáäüí ôïõ êõêëéêïý ôïìÝá ôçò ãùíßáò ΕΟΔ

216 ÌÝñïò B - ÊåöÜëáéï 3

19 Óå êýêëï (Ê, 6cm) Ýíá ôüîï AB Ý÷åé ìÞêïò 3ð cm. Íá âñåßôå:

á) ôï ìÝôñï ôïõ ôüîïõ óå ìïßñåò
â) ôï åìâáäüí ôïõ êõêëéêïý ôïìÝá ôçò ãùíßáò ΑΚΒ .

20 Íá âñåßôå ôï ìÝôñï ôïõ ôüîïõ óå áêôßíéá áí ôï ìÝôñï ôïõ óå ìïßñåò åßíáé 75ï.

21 Ôï ìÞêïò åíüò êýêëïõ 40ð. Íá âñåßôå ôï åìâáäüí ôïõ áíôßóôïé÷ïõ êõêëéêïý äßóêïõ.

22 Íá âñåßôå ôï åìâáäüí ôïõ êõêëéêïý äáêôõëßïõ ôïõ äéðëáíïý ó÷Þìáôïò üðïõ

ÏÁ = 6m êáé ÏÂ = 8 m.

23 Íá âñåßôå ôï ìÞêïò ôïõ ôüîïõ ðïõ áíôéóôïé÷åß óôçí ðëåõñÜ éóüðëåõñïõ ôñéãþíïõ åããåãñáììÝíïõ óå êýêëï

áêôßíáò 8cm.

3.3 - 3.6 ÌÞêïò êýêëïõ - Åìâáäüí êõêëéêïý äßóêïõ - ÌÞêïò ôüîïõ - Åìâáäüí êõêëéêïý ôïìÝá 217

ÊÑÉÔÇÑÉÏ ÁÎÉÏËÏÃÇÓÇÓ

ÈÅÌÁ 1

á. To ìÞêïò åíüò êýêëïõ êáé ç äéÜìåôñüò ôïõ ôé ðïóÜ åßíáé; Åßíáé äõíáôüí ï ëüãïò ôçò ðåñéìÝôñïõ åíüò êýêëïõ ðñïò

ôç äéÜìåôñü ôïõ íá åßíá ßóïò ìå 3;

â. Áí äéðëáóéÜóïõìå ôçí áêôßíá åíüò êýêëïõ, ðùò èá ìåôáâëçèïýí:

i. Ôï ìÞêïò ôïõ êýêëïõ. ii. Ôï åìâáäüí ôïõ êýêëïõ.

ã. Ôé åßíáé ï áñéèìüò ð; Ñçôüò Þ Üññçôïò;

Ôé åßíáé êõêëéêüò ôïìÝáò, êõêëéêüò äáêôýëéïò êáé êõêëéêü ôìÞìá;

ÈÅÌÁ 2
á. ÃñÜøôå üëïõò ôïõò ôýðïõò ðïõ éó÷ýïõí ãéá ôï ìÞêïò êýêëïõ, ìÞêïò ôüîïõ, åìâáäüí êõêëéêïý äßóêïõ, åìâáäüí
êõêëéêïý ôïìÝá êáé ëýóôå ôïõò ùò ðñïò üëá ôá ìåãÝèç.
â. Ôé åßíáé ôá áêôßíéá; Ðïéá ó÷Ýóç óõíäÝåé ôéò ìïßñåò ìå ôá áêôßíéá åíüò ôüîïõ;
Ðïéï åßíáé ôï ìÞêïò ôüîïõ á rad óå êýêëï áêôßíáò ñ;
Ðüóá rad åßíáé Ýíáò êýêëïò, Ýíá çìéêýêëéï, Ýíá ôåôáñôçìüñéï; Ðüóåò ìïßñåò åßíáé 1 rad;

ÈÅÌÁ 3

Íá âñåßôå ôï åìâáäüí ôïõ êõêëéêïý äßóêïõ ðïõ åßíáé ðåñéããåãñáììÝíïò óå êáíïíéêü åîÜãùíï ðëåõñÜò 6m.

ÈÅÌÁ 4
Íá õðïëïãßóåôå ôï åìâáäüí åíüò êõêëéêïý äáêôõëßïõ ðïõ ðåñéêëåßåôáé ìåôáîý äýï ïìüêåíôñùí êýêëùí ìå áêôßíåò
ñ = 12 m êáé Ê = 15 m.

ÈÅÌÁ 5

ÌÝóá óå Ýíá ÷ùñÜöé ó÷Þìáôïò ôåôñáãþíïõ êáôáóêåõÜóôçêå ôï ìåãáëýôåñï äõíáôü êõêëéêü áëþíé, ìå áêôßíá 100cm.
Íá âñåßôå:

á. Ôï ìÞêïò ôçò ðëåõñÜò ôïõ ôåôñáãùíéêïý ÷ùñáöéïý.
â. Ôçí áîßá ôïõ ÷ùñáöéïý, áí êÜèå ôåôñáãùíéêü ìÝôñï êïóôßæåé 10 €.
ã. Ôï åìâáäüí ôïõ ÷ùñáöéïý ðïõ åßíáé Ýîù áðü ôï áëþíé.