ΓΕΩΜΕΤΡΊΑ Β ΓΥΜΝΑΣΊΟΙΥ

3.2 ÊáíïíéêÜ ðïëýãùíá 197

3.2 ÊáíïíéêÜ ðïëýãùíá

Åñþôçóç 1 Åñþôçóç 2

Ðüôå Ýíá ðïëýãùíï ëÝãåôáé êáíïíéêü; Ðïéá åßíáé ôá Ðïéåò ó÷Ýóåéò éó÷ýïõí ãéá ôá óôïé÷åßá åíüò êáíïíéêïý
óôïé÷åßá ôïõ; í-ãþíïõ (ðïëõãþíïõ ìå í ðëåõñÝò);

ÁðÜíôçóç ÁðÜíôçóç

¸íá ðïëýãùíï ëÝãåôáé êáíïíéêü, üôáí Ý÷åé üëåò ôéò ðëåõñÝò Ïé âáóéêüôåñåò ó÷Ýóåéò óå êáíïíéêü ðïëýãùíï ìå í ðëåõ-
ñÝò åßíáé:
ôïõ ßóåò êáé üëåò ôéò ãùíßåò ôïõ ßóåò. ÃíùóôÜ êáíïíéêÜ ðï-

ëýãùíá åßíáé ôï éóüðëåõñï ôñßãùíï, ôï ôåôñÜãùíï. i. ω  360ο ii. φ  ω  180ο
ν
Ôá óôïé÷åßá ôïõ êÜèå ðïëõãþíïõ åßíáé:

á. Ï ðåñéãåãñáììÝíïò êýêëïò.

Óå êÜèå êáíïíéêü ðïëýãùíï,

õðÜñ÷åé Ýíáò êýêëïò (Ï,ñ) ðïõ Åñþôçóç 3
Ðùò êáôáóêåõÜæïõìå Ýíá êáíïíéêü ðïëýãùíï;
ðåñíÜ áðü üëåò ôéò êïñõöÝò ôïõ.

Ôï ðïëýãùíï ëÝìå üôé åßíáé åã-

ãåãñáììÝíï óôïí êýêëï (Ï,ñ).

â. Ôï êÝíôñï. ÁðÜíôçóç

ÊÝíôñï Ï ôïõ ðïëõãþíïõ ïíï-

ìÜæïõìå ôï êÝíôñï ôïõ ðåñéãå- ω : ÊåíôñéêÞ ãùíßá Áêïëïõèïýìå ôá ðáñáêÜôù âÞìáôá:
ãñáììÝíïõ êýêëïõ. á. ÃñÜöïõìå êýêëï (Ï,ñ) êáé ó÷çìá-
φ : Ãùíßá ðïëõãþíïõ
ã. Ç áêôßíá ñ. ôßæïõìå ìéá åðßêåíôñç ãùíßá ΑΟΒ .

Áêôßíá ñ ôïõ ðïëõãþíïõ ïíïìÜ- ë = Á : ÐëåõñÜ ðïëõ-

æïõìå ôçí áêôßíá ôïõ ðåñéãåãñáì- ãþíïõ (Áõôü äåí åßíáé ãéá üëá ôá ðïëý-

ìÝíïõ êýêëïõ. á = ÏÊ : Áðüóôçìá ãùíá åöéêôü, ð.÷. Áí èÝëïõìå íá

ä. Ç êåíôñéêÞ ãù íßá ωˆ . êáôáóêåõÜóïõìå Ýíá êáíïíéêü åð-

ÊÜèå åðßêåíôñç ãùíßá ωˆ ðïõ ó÷çìáôßæåôáé áí åíþóïõìå ôÜãùíï ôïõ ïðïßïõ ç êåíôñéêÞ ãù-
ôï êÝíôñï ôïõ ðïëõãþíïõ ìå äýï äéáäï÷éêÝò êïñõöÝò ôïõ
ëÝãåôáé êåíôñéêÞ ãùíßá. íßá åßíáé: ÊáôáóêåõÞ

å. Ç ãù íßá φˆ ôïõ ðïëõãþíïõ. ω  360ο  51ο 4285 ... êáíïíéêïý ðåíôáãþíïõ
7 ω  360ο  72ο
Ãùíßá φˆ ôïõ êáíïíéêïý ðïëõãþíïõ ïíïìÜæïõìå êáèåìéÜ 5
äåí ìðïñïýìå íá ôï êÜíïõìå)
áðü ôéò ßóåò ãùíßåò ðïõ ó÷çìáôßæåôáé áðü äýï äéáäï÷éêÝò
ðëåõñÝò ôïõ. â. Ìå âÜóç Ýíáí äéáâÞôç ðáßñíïõ-
ìå äéáäï÷éêÜ ßóá ôüîá üóï êáé ôï áñ÷éêü, äçëáäÞ ôï ΑΒ .

198 ÌÝñïò B - ÊåöÜëáéï 3

ã. Ðáßñíïõìå ôéò ÷ïñäÝò ôùí ðáñáðÜíù ôüîùí êáé ó÷çìáôß- Áí ð.÷. åßíáé ω  45ο ôüôå ω  360ο 8. Óõíåðþò
æåôáé Ýôóé ôï êáíïíéêü ðïëýãùíï. 45ο

á . Ï áñéèìüò í ôùí ðëåõñþí åíüò ôï ðïëýãùíï åßíáé êáíïíéêü ïêôÜãùíï.
í-ãþíïõ åßíáé ßäéïò ìå ôïí áñéè-
ìü ôùí êïñõöþí, ôùí ãùíéþí, ã. ¼ëá ôá êáíïíéêÜ ðïëýãùíá ìå Üñôéï áñéèìü ðëåõ-
ôùí áðïóôçìÜôùí êáé ôùí êåíôñé- ñþí (ôåôñÜãùíá, åîÜãùíá, ïêôÜãùíá..) Ý÷ïõí êÝíôñï
êþí ãùíéþí ôïõ. óõììåôñßáò ôï êÝíôñï ôïõò. Ôá êáíïíéêÜ ðïëýãùíá ìå
ðåñéôôü áñéèìü ðëåõñþí (éóüðëåõñï ôñßãùíï, ðåíôÜ-
â. Áðü ôç ó÷Ýóç ω  360ο Ý÷ïõìå ãùíï, åðôÜãùíï...) äåí Ý÷ïõí êÝíôñï óõììåôñßáò.
ν

ν  360ο . ¢ñá áí ãíùñßæïõìå ôçí êåíôñéêÞ ãùíßá åíüò
ω

ðïëõãþíïõ ìðïñïýìå íá âñïýìå ôïí áñéèìü ôùí ðëåõ-
ñþí ôïõ.

ÐÁÑÁÄÅÉÃÌÁÔÁ - ÅÖÁÑÌÏÃÅÓ

Íá õðïëïã ßóåôå ôçí êåí ôñéê Þ ã ù íßá ω êáé φ  180ο  ω Þ φ  180ο  40ο Þ φ  140ο
ii. Ïìïßùò ãéá ôï äåêáðåíôÜãùíï Ý÷ïõìå:
1 ôç ãù íßá φ :
ω  360ο  24ο êáé φ  180ο  24ο Þ φ  156ο
i. Åíüò êáíïíéêïý 9 - ãþíïõ. 15
ii. Åíüò êáíïíéêïý 15 - ãþíïõ.
Íá âñåßôå ðïéï êáíïíéêü ðïëýãùíï Ý÷åé êå-
Ëýóç
i. Ç êåíôñéêÞ ãùíßá ω ôïõ êáíïíéêïý åííéáãþíïõ åßíáé: íôñéêÞ ãùíßá:

ω  360ο  40ο 2 i. 36o ii. 20o
9
iii. 12o 1
Ãéá ôçí êåíôñéêÞ ãùíßá ω êáé ôç ãùíßá φ åíüò êáíïíéêïý iv. 6 ïñèÞò
ðïëõãþíïõ éó÷ýåé ç ó÷Ýóç: ω  φ  180ο Þ

3.2 ÊáíïíéêÜ ðïëýãùíá 199

Ëýóç Óå êýêëï áêôßíáò 6cm íá åããñÜøåôå êáíïíé-

Áðü ôç ó÷Ýóç: ω  360ο Ý÷ïõìå ν  360ο , ïðüôå: 4 êü 12-ãùíï.
νω
360ο Ëýóç
i. ν  36ο Þ ν  10 (Êáíïíéêü 10 - ãùíï) Ç êåíôñéêÞ ãùíßá åíüò êáíïíéêïý 12-ãùíïõ åßíáé:

ii. ν  360ο Þ ν  18 (Êáíïíéêü 18 - ãùíï) ω  360ο  30ο
20ο 12

iii. ν  360ο Þ ν  30 (Êáíïíéêü 30 - ãùíï) Óå êýêëï (Ï,6cm) êáôáóêåõÜæïõìå
12ο ôçí åðßêåíôñç ãùíßá, ΑΟΒ  30ο . Ç
÷ïñäÞ Á åßíáé ç ðëåõñÜ ôïõ 12-
iv. ω  1 ορθής  1 90ο Þ ω  15ο , ïðüôå Ý÷ïõìå: ãþíïõ, ïðüôå óôç óõíÝ÷åéá ÷ùñß-
66 æïõìå ôïí êýêëï óå 12 ôüîá ÷ïñäÞò
ìÞêïõò ßóïõ ìå ôçò ÷ïñäÞò ÁÂ.
ν  360ο Þ ν  24 (Êáíïíéêü 24 - ãùíï)
15ο

3 Íá åîåôÜóåôå áí õðÜñ÷åé êáíïíéêü ðïëýãùíï ìå
êåíôñéêÞ ãùíßá ω  38ο , Þ ìå ãùíßá φ  155ο .

Ëýóç
¸óôù üôé õðÜñ÷åé ê Üðïéï í-ãù íï ìå ω  38ο . Ôüôå:

ν  360ο  360ο  9,47 áäýíáôï áöïý ï í åßíáé öõóéêüò
ω 38ο

áñéèìüò. ¢ñá äåí õðÜñ÷åé ôÝôïéï ðïëýãùíï.

¸óôù ðÜëé, üôé õðÜñ÷åé êÜðïéï í-ãùíï ìå φ  155ο .

Éó÷ýåé: φ  ω  180ο ή ω  180ο  φ
ή ω  180ο  155ο ή ω  25ο

¢ñá: ν 360ο  360ο  14,4 áäýíáôï.
ω 25ο

¢ñá äåí õðÜñ÷åé ôÝôïéï ðïëýãùíï.

200 ÌÝñïò B - ÊåöÜëáéï 3

ÅÑÙÔÇÓÅÉÓ ÊÁÔÁÍÏÇÓÇÓ

1 Íá ÷áñáêôçñßóåôå êÜèå ìßá áðü ôéò ðáñáêÜôù ðñïôÜóåéò ùò ÓùóôÞ (Ó) Þ ËÜèïò (Ë).

á. Ç ãùíßá åíüò êáíïíéêïý í-ãþíéïõ åßíáé 180  360
ν

â. Ôï ïñèïãþíéï ðáñáëëçëüãñáììï åßíáé êáíïíéêü ðïëýãùíï
ã. Ç ãùíßá ôïõ êáíïíéêïý ðïëõãþíïõ êáé ç êåíôñéêÞ ãùíßá

ôïõ ßäéïõ êáíïíéêïý ðïëõãþíïõ åßíáé ðáñáðëçñùìáôéêÝò
ä. Ôï éóïóêåëÝò ôñßãùíï åßíáé êáíïíéêü ðïëýãùíï
å. ¸íá êáíïíéêü í-ãùíï Ý÷åé í ßóåò ãùíßåò

2 Ná áíôéóôïé÷ßóåôå ôéò ãùíßåò ðÝíôå êáíïíéêþí ðïëõãþíùí ôçò óôÞëçò Á ìå ôéò êåíôñéêÝò ãùíßåò ôïõò ôçò óôÞëçò Â.

ÓôÞëç Á ÓôÞëç Â

120 • • 18
60 • • 90
90 • • 120
• 36
144 • • 60
162 •

3 Óå Ýíá êáíïíéêü äùäåêÜãùíï ôï Üèñïéóìá ôùí ãùíéþí ôïõ åßíáé

Á. 180ï Â. 1180ï Ã. 1800ï Ä. 360ï

3.2 ÊáíïíéêÜ ðïëýãùíá 201

ÐÑÏÔÅÉÍÏÌÅÍÅÓ ÁÓÊÇÓÅÉÓ

1 Íá óõìðëçñùèïýí ïé ðáñáêÜôù ðßíáêåò: ii.

i.

2 Íá ÷áñáêôçñßóåôå ìå ôçí Ýíäåéîç Óùóôü (Ó) Þ ËÜèïò (Ë) ôéò ðáñáêÜôù ðñïôÜóåéò:

i. Ç ãùíßá åíüò ðïëõãþíïõ åßíáé ðÜíôïôå ìåãáëýôåñç áðü ôçí êåíôñéêÞ ãùíßá ôïõ.
ii. ÕðÜñ÷åé êáíïíéêü ðïëýãùíï ìå êåíôñéêÞ ãùíßá 22ï.
iii. Ôï éóïóêåëÝò ôñáðÝæéï åßíáé êáíïíéêü ðïëýãùíï.
v. Ìüíï óôï ôåôñÜãùíï ç êåíôñéêÞ ãùíßá êáé ç ãùíßá ôïõ ðïëõãþíïõ áõôïý åßíáé ßóåò.

3 Íá âñåßôå ôçí êåíôñéêÞ ãùíßá: â. Ôåôñáãþíïõ ã. 8 - ãþíïõ ä. 72-ãþíïõ

á. Éóüðëåõñïõ ôñéãþíïõ

4 Íá âñåßôå ðïéï êáíïíéêü ðïëýãùíï Ý÷åé êåíôñéêÞ ãùíßá:

á. 2,5ï â. 14,4ï ã. 22,5ï ä. 5ï å. 18ï

5 Íá âñåßôå ôç ãùíßá ôïõ êáíïíéêïý ðïëõãþíïõ ìå:

á. í = 10 â. í = 18 ã. í = 8 ä. í = 30

202 ÌÝñïò B - ÊåöÜëáéï 3

6 Íá åîåôÜóåôå áí õðÜñ÷åé êáíïíéêü ðïëýãùíï ìå: á. ω  28ο â. ω  44ο ã. ω  40ο

7 Íá åîåôÜóåôå áí õðÜñ÷åé êáíïíéêü ðïëýãùíï ìå: á. φ  170ο â. φ  146ο ã. φ  156ο

8 Íá âñåßôå ôçí êåíôñéêÞ ãùíßá, êáé ôçí ãùíßá ôïõ:

á. êáíïíéêïý 16-ãþíïõ åããåãñáììÝíï óå êýêëï áêôßíáò ñ = 12 cm.
â. êáíïíéêïý 25-ãþíïõ åããåãñáììÝíï óå êýêëï äéáìÝôñïõ ä = 8 cm.

9 Íá áðïäåßîåôå üôé ï áñéèìüò ôùí äéáãùíßùí åíüò êáíïíéêïý í-ãþíïõ åßíáé: ν ν  3
2

10 Íá áðïäåßîåôå üôé ôï Üèñïéóìá ôùí ãùíéþí åíüò êáíïíéêïý í-ãþíïõ åßíáé: 2ν  4  90ο