การบวกจำนวนเต็ม

การบวกจานวนเต็ม

บทท่ี 1 จานวนเต็ม (Integer)

แผนผังของจำนวน จำนวนจรงิ
(Real Numbers)

จำนวนตรรกยะ จำนวนอตรรกยะ
(Rational Numbers) (Irrational
Numbers)

เศษสว่ น (Fraction) จำนวนเต็ม
และทศนยิ ม (Decimal) (Integer)

จำนวนเตม็ ลบ ศูนย์ จำนวนเตม็ บวก
(Negative Integer) (Zero) (Positive Integer)

จำนวนเต็ม (Integers)

จำนวนเต็ม ประกอบดว้ ย
จำนวนเตม็ บวก ไดแ้ ก่ 1, 2, 3, 4, …
ศนู ย์ 0
จำนวนเตม็ ลบ ไดแ้ ก่ -1, -2, -3, -4, …

เส้นจำนวน (Number Line) : เป็นแผนภำพแสดงลำดับของจำนวน ช่วยให้ทำควำม
เขำ้ ใจเกย่ี วกบั จำนวนได้ง่ำยขึ้น (ดเู ป็นรูปธรรม)

จำนวนเต็มลบ ศูนย์ จำนวนเตม็ บวก

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
จำนวนทอ่ี ย่ทู ำงขวำจะมำกกว่ำจำนวนที่อยู่ทำงซ้ำยเสมอ

จำนวนเต็มบวก (Positive Integers)

จำนวนทีเ่ รมิ่ จำก 1 และเพ่ิมขึน้ ทลี ะ 1 ไปเรือ่ ย ๆ ได้แก่ 1, 2, 3, 4, … เรียกวำ่
จำนวนนับ (Counting Numbers) หรอื จำนวนธรรมชำติ (Natural Numbers)

นักเรยี นพิจำรณำคำถำมต่อไปนี้
1. จำนวนเต็มบวกท่ีนอ้ ยกวำ่ 50 มีก่ีจำนวน ตอบ 49
2. จำนวนเต็มบวกทีม่ ำกกวำ่ 50 และนอ้ ยกว่ำ 100 มีกี่จำนวน ตอบ 49
3. จำนวนเตม็ บวกท่ีมำกทส่ี ดุ และน้อยกว่ำ 50 คอื จำนวนอะไร ตอบ 49
4. จำนวนเตม็ บวกที่นอ้ ยที่สุด และมำกกว่ำ 50 คอื จำนวนอะไร ตอบ 51

ศนู ย์ (zero)

ตวั อยำ่ งสถำนกำรณ์
“รสรนิ มีเงนิ 500 บำท ซ้อื ของใชส้ ว่ นตัวไป 300 บำท ซ้ือขนมให้น้อง 3 คน เปน็ เงนิ 200 บำท
รสรนิ เหลอื เงนิ ก่ีบำท”
นักเรยี นสำมำรถบอกจำนวนเงินท่เี หลอื ของรสรินเป็นจำนวนนบั ได้หรือไม่
นักเรยี นจะเห็นไดว้ ่ำ เรำไม่สำมำรถบอกไดว้ ำ่ เงนิ ทเี่ หลอื ของรสรนิ เป็นจำนวนเทำ่ ไหร่
เรำบอกไดแ้ ตเ่ พียงว่ำ รสรนิ ไม่มเี งนิ เหลอื อยเู่ ลย
เรำใช้ตัวเลข 0 แสดงถงึ ควำมไม่มี

ศูนยไ์ มไ่ ดแ้ สดงถึงควำมไม่มเี สมอไป เช่น ในวนั หน่งึ วัดอณุ หภูมิบนยอดดอยอินทนนทไ์ ด้ 0 องศำเซลเซยี ส
ไมไ่ ด้หมำยควำมวำ่ บนยอดดอยอินทนนท์ไมม่ ีอุณหภูมิ
แตห่ มำยถึง บนยอดดอยอินทนนท์ มีควำมเยน็ ในระดับท่ที ำให้นำ้ กลำยเป็นนำ้ แข็ง

จำนวนเต็มลบ (Negative Integers)

ตวั อยำ่ งสถำนกำรณ์
“วันนก้ี รงุ โซลมีอุณหภมู ิต่ำสดุ -5 องศำเซลเซียส และอณุ หภูมิสงู สดุ 12 องศำเซลเซียส”
จำกขำ่ วสำรในข้ำงต้นจะเห็นได้วำ่ ในบำงครง้ั จำเป็นต้องใช้จำนวนทีเ่ รยี กวำ่ จำนวนเต็มลบ
เพื่อบอกเรอื่ งรำวบำงอย่ำง

กำรเปรียบเทียบจำนวนเต็ม

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
2 อยทู่ ำงขวำของ -3 แสดงวำ่ 2 มคี ่ำมำกกว่ำ -3 ใช้สัญลกั ษณ์ 2 > -3
-5 อยทู่ ำงซำ้ ยของ -3 แสดงว่ำ -5 มคี ่ำนอ้ ยกว่ำ -3 ใชส้ ัญลกั ษณ์ -5 < -3

บนเสน้ จำนวน จำนวนเตม็ ทีอ่ ยทู่ ำงขวำมคี ่ำมำกกว่ำจำนวนเต็มที่อยูท่ ำงซำ้ ยเสมอ

ลองไปทดสอบกันดีกว่ำ

1. ในกำรทดลองแชไ่ อศกรมี ในต้เู ยน็ 5 ตู้ ท่ีอณุ หภูมิตำ่ งกัน ดงั น้ี

ตเู้ ย็นตทู้ ่ี 12345
-17 -23 -20 -15 -25
อุณหภูมิ (o C )

(กำหนดใหอ้ ณุ หภูมิ -18 องศำเซลเซยี ส สำมำรถทำให้ไอศกรมี แข็งตวั ได้)

จำกตำรำงใชต้ อบคำถำมต่อไปน้ี
1) ต้เู ยน็ ตูใ้ ดทไ่ี อศกรมี ยงั แขง็ ตวั อยไู่ ด้ ตอบ_ต_ูท้ _ี่ _2_, 3__แ_ละ__5_
2) ตู้เย็นตู้ใดที่ไอศกรมี จะละลำย ตอบ__ต_้ทู_ี่_1_แ_ล_ะ_4__
3) ตู้เย็นตูท้ ่ี 3 และต้ทู ่ี 5 มีอณุ หภูมแิ ตกต่ำงกนั กอี่ งศำ ตอบ____5_อ_ง_ศ_ำ___

4) เรยี งลำดับตู้เยน็ ทมี่ คี วำมเย็นน้อยที่สุดไปยงั ต้เู ย็นที่มีควำมเยน็ มำกท่ีสุด
ตอบ____ต_ู้ท_ี่ 4_,_1_, _3,_2__แล_ะ_5______________________________

2. จำกแผนภำพแสดงอุณหภมู ขิ อง 5 ประเทศ ในทวปี เอเชยี ณ เวลำหนงึ่ ดังน้ี

จำกแผนภำพใช้ตอบคำถำมตอ่ ไปน้ี
1) ประเทศใดมอี ำกำศหนำวมำกที่สดุ ตอบ__ป_ระ_เท_ศ_ญ__ป่ี _ุ่น__
2) ประเทศใดมอี ำกำศรอ้ นมำกทีส่ ุด ตอบ__ป_ร_ะเ_ท_ศ_ไท_ย___
3) อุณหภมู สิ งู สุด/ตำ่ สุด ของประเทศใดมคี วำมแตกตำ่ งกันมำกท่สี ดุ ตอบ__ป_ร_ะเ_ท_ศ_ญ_ป่ี _นุ่ __
4) อณุ หภูมติ ่ำสุดของกรงุ เทพฯ และโตเกียวต่ำงกันก่อี งศำ ตอบ_3_3_อ_ง_ศ_ำเ_ซ_ล_เซ_ีย_ส

กำรบวกจำนวนเต็ม จำกกำรพจิ ำรณำค่ำ
สมั บูรณข์ องจำนวนเต็ม
คา่ สมั บรู ณ์ (Absolute value) ของจานวนเต็ม โดยใช้เส้นจำนวน จะได้ว่ำ
พิจำรณำเสน้ จำนวน ค่ำสัมบูรณ์ของ 4 เท่ำกบั 4
ค่ำสมั บูรณ์ของ -4 เทำ่ กับ 4

0 1 2 34 5 ทำให้ไดว้ ่ำ
เม่อื a แทนจำนวนเตม็ ใด ๆ ค่ำสมั บรู ณ์ของ a คอื
4 อยู่ห่ำงจำก 0 เปน็ ระยะ 4 หน่วย ระยะห่ำงจำก 0 ถึง a
ดังนน้ั ถำ้ a เป็นจำนวนเต็มบวก
-5 -4 -3 -2 -1 0
a = a และ -a = a
-4 อยูห่ ำ่ งจำก 0 เปน็ ระยะ 4 หนว่ ย

ตัวอย่ำง
คณุ สมบตั ขิ องค่ำสมั บูรณ์

x 0
x = -x
x = a กต็ อ่ เม่ือ x = a หรือ x = -a
x > a ก็ต่อเมอ่ื x > a หรือ x < -a

ตัวอยำ่ ง
คุณสมบตั ขิ องคำ่ สมั บรู ณ์

x < a ก็ต่อเม่อื -a < x < a
xy = x y
x = x เมื่อ y  0
yy
x - y  x+y  x + y

การบวกจานวนเตม็ บวก ตัวอยา่ ง จงหำผลบวก 4+2
ดว้ ยจานวนเตม็ บวก วธิ ที ำ เริ่มต้นท่ี 0 แล้วนับไปทำงขวำถึง 4

และเมือ่ บวกด้วย 2 ใหน้ บั ต่อไปไปทำงขวำอกี 2
หนว่ ย ซึ่งจะไปส้ินสุดที่ 6 ดงั นี้

-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8

ดงั นัน้ 4+2 = 6
ตอบ 6

ตัวอย่ำง ขณะท่ีนักข่ำวคนหนึ่งบังคบั โดรนขน้ึ ไปใน
แนวด่ิงสูงจำกพน้ื ดิน 5 เมตร เพ่ือบันทกึ ภำพ
เหตกุ ำรณท์ ำงอำกำศ เขำพบว่ำภำพท่ีบนั ทึกได้ยงั เห็น
เหตุกำรณ์ไม่สมบูรณ์ เขำจึงบังคับโดรนข้นึ ไปในแนวดิง่
อกี 7 เมตร อยำกทรำบว่ำขณะน้โี ดรนอยสู่ ูงจำก
พ้นื ดนิ เทำ่ ไร
วธิ ีทำ จำกโจทย์ นักข่ำวบังคบั โดรนขึน้ ไปในแนวดง่ิ

สงู จำกพน้ื ดนิ 5 เมตรและบงั คบั โดรนขึ้นไปใน
แนวด่งิ อกี 7 เมตร

จะไดว้ ่ำ โดรนอยู่สูงจำกพน้ื ดิน 5 + 7 = 12 เมตร

ตอบ 12 เมตร

การบวกจานวนเตม็ ลบ ตวั อยา่ ง จงหำผลบวก (-4)+(-2)
ดว้ ยจานวนเต็มลบ วธิ ที ำ เร่มิ ตน้ ท่ี 0 แล้วนบั ไปทำงซ้ำยถงึ -4

และเมอ่ื บวกด้วย -2 ให้นับต่อไปไปทำงซำ้ ยอีก 2
หน่วย ซ่ึงจะไปสน้ิ สุดที่ -6 ดังน้ี

-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2

ดงั นน้ั (-4)+(-2) = -6
ตอบ -6

ตัวอยา่ ง เตำ่ ตวั หน่งึ ว่ำยน้ำอยู่ที่ระดบั -50 เมตร จำกระดบั น้ำทะเล และปลำขวำนตัว
หน่ึงว่ำยน้ำอยูท่ ่รี ะดับ -240 เมตร จำกระดับของเตำ่ จงหำวำ่ ปลำขวำนตวั นี้อยทู่ ่รี ะดับเท่ำไร
จำกระดับน้ำทะเล

วิธที ำ ให้ระดับน้ำทะเลเปน็ 0 เมตร
จำกโจทย์ เต่ำอยู่ท่รี ะดับ -50 เมตร จำกระดบั นำ้ ทะเล
และปลำขวำนอยู่ท่รี ะดบั -240 เมตร จำกระดับของเต่ำ
จะไดว้ ่ำ ปลำขวำนอยู่ที่ระดบั (-50) + (-240) = -290 เมตร จำกระดบั นำ้ ทะเล

ตอบ -290 เมตร จำกระดบั น้ำทะเล

การบวกจานวนเต็มบวก ตัวอย่าง จงหำผลบวก 4+(-6)
กับจานวนเตม็ ลบ วธิ ที ำ เร่ิมตน้ ท่ี 0 แลว้ นับไปทำงขวำถึง 4

และเม่ือบวกด้วย -6 ให้นับต่อไปไปทำงซ้ำย 6
หนว่ ย ซ่งึ จะไปสน้ิ สุดที่ -2 ดังน้ี

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

ดังนน้ั 4+(-6) =-2
ตอบ -2

การบวกจานวนเต็มบวก ตวั อยา่ ง จงหำผลบวก (-5) +9
กับจานวนเตม็ ลบ วธิ ีทำ เริ่มตน้ ที่ 0 แล้วนบั ไปทำงซ้ำยถงึ -5

และเมอื่ บวกด้วย 9 ใหน้ ับตอ่ ไปไปทำงขวำ 9
หน่วย ซึง่ จะไปสน้ิ สดุ ท่ี 4 ดังนี้

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

ดงั นนั้ (-5)+9 = 4
ตอบ 4

การบวกจานวนเต็มบวก ตวั อย่าง จงหำผลบวก (-6)+6
กบั จานวนเต็มลบ วิธีทำ เริ่มตน้ ที่ 0 แลว้ นับไปทำงซำ้ ยถึง -6

และเมือ่ บวกดว้ ย 6 ให้นบั ตอ่ ไปไปทำงขวำ 6
หน่วย ซึง่ จะไปสิ้นสดุ ที่ 0 ดังนี้

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

ดงั นนั้ (-6)+6 = 0
ตอบ 0

ตัวอย่ำง ขณะทีอ่ มุ๋ กำลงั นัง่ ดูรำยกำรโทรทศั น์ก็ไดย้ ินข่ำวพยำกรณ์อำกำศที่ประกำศ
เก่ียวกบั สภำพอำกำศทีม่ คี วำมแปรปรวนมำก ดังนี้

“สภำพอำกำศในชว่ งนีอ้ ยู่ในสภำวะทม่ี ีกำรเปลีย่ นแปลงอย่ำงฉบั พลนั สำหรบั วันนี้ วดั
อุณหภมู เิ ฉลี่ยในเมืองได้ -7 องศำเซลเซียส และคำดวำ่ ในวนั พร่งุ น้ีอุณหภูมิเฉลยี่ จะสูงขนึ้ 9 องศำ
เซลเซยี ส จงึ ขอใหท้ กุ ท่ำนยงั คงสวมใส่เส้ือผ้ำทหี่ นำกว่ำปกติ และทำใหร้ ำ่ งกำยอบอุ่นอยู่เสมอ”

จงหำว่ำในวันพรงุ่ นอ้ี ุณหภูมิเฉล่ยี ของเมอื งนีจ้ ะเป็นเทำ่ ไร

วธิ ีทำ เนือ่ งจำกอณุ หภมู ิเฉลี่ยของวันน้ีเปน็ -7 องศำเซลเซียส และคำดวำ่ ในพรุ่งนี้
อุณหภมู ิเฉลีย่ จะสูงข้นึ 9 องศำเซลเซยี ส

จะไดว้ ่ำ อณุ หภูมเิ ฉลี่ยของวนั พรงุ่ น้ี คอื -7 + 9 = 2 องศำเซลเซียส
ตอบ 2 องศำเซลเซียส

การบวกจานวนเต็มใดๆ ตวั อย่าง จงหำผลบวก (-6)+0
กบั ศูนย์ วธิ ที ำ เร่ิมต้นที่ 0 แลว้ นบั ไปทำงซ้ำยถึง -6

และเมื่อบวกดว้ ย 0 หมำยถงึ ไมต่ ้องนับต่อ
ซึ่งจะไปสน้ิ สุดที่ -6 ดังนี้

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

ดงั นนั้ (-6)+6 = 0
ตอบ 0

เสรมิ ควำมรู้ ครอู ยำกสอน กรณที ่จี ำนวนเต็มบวก
มีคำ่ สัมบูรณ์มำกกวำ่
กำรบวกจำนวนเต็ม 1. 33 + (-20) = 13
โดยพจิ ำรณำค่ำสมั บรู ณ์ 2. (-10) + 88 = 78 ผลลพั ธ์เป็นบวก

3. 32 + (-63) = -31 กรณที ่ีจำนวนเตม็ ลบ
4. (-139) + 130 = -9 มีค่ำสมั บูรณม์ ำกกว่ำ

ผลลพั ธ์เปน็ ลบ

เสรมิ ควำมรู้ ครอู ยำกสอน

กำรบวกจำนวนเต็ม
โดยพจิ ำรณำคำ่ สมั บรู ณ์

1. 360 + (-360) = 0 2. 33 + (-33) = 0

กรณีที่จำนวนเต็มทง้ั สองมคี ำ่ สมั บรู ณ์เทำ่ กัน
ผลลัพธเ์ ปน็ ศูนย์

ตวั อย่ำงสมบตั ิ

1. สมบตั ิปดิ ของกำรบวก ของจำนวนเต็ม

ถำ้ a และ b เปน็ จำนวนเตม็ ใด ๆ แล้ว a + b เปน็ จำนวนเต็ม

2. สมบัตกิ ำรสลบั ที่ของกำรบวก
ถำ้ a และ b เปน็ จำนวนเต็มใด ๆ แลว้ a + b = b + a

3. สมบัติกำรเปลีย่ นหม่ขู องกำรบวก
ถ้ำ a, b และ c เป็นจำนวนเต็มใด ๆ แลว้ (a + b) + c = a + (b + c)

4. เอกลกั ษณ์กำรบวก

มจี ำนวนเต็มเพียงจำนวนเดยี ว คือ 0 ซึ่งสำหรับจำนวนเต็ม

a ใด ๆ a + 0 = a = 0 + a เรยี ก 0 วำ่ เอกลกั ษณ์กำรบวก

THANK YOU...