Résumé Maths - Bac Sc exp 21-22

Section Sc exp

∑Résumé des cours
∫ Prof : Habib Haj Salem

MATHÉMATIQUES (C exp)

e iπ+ 1 = 05

4

3 (Cln)

7

26

5

1 2 e ≃3 2.71 4

1
0

−1

−2 −1
−3
z

−2

−3

Lycée pilote Médenine y

x

Année Scolaire 2021­2022

Limites et continuité

Limite d’une fonction Limites de fonctions trigonométriques
Théorème

• Si une fonction f admet une limite alors cette limite est unique. sin x tan x
lim = 1 lim = 1
x→0 x x→0 x
• Soit f une fonction définie et positive sur un intervalle I : 1 − cos x 1
1 − cos x lim =
* Si lim f = ℓ alors lim f (x) = ℓ (x0 fini ou infini) lim = 0 x2 2
x→0 x x→0
x0 x→x0 Soit a ∈ R

* Si lim f = +∞ alors lim f (x) = +∞ (x0 fini ou infini)

x0 n→x0 sin ax tan(a x )
lim = a,
x→0 x lim = a
x→0 x
1 − cos ax 1 − cos ax a2
lim = 0 lim =
x→0 x x2 2
x→0

Opérations sur les limites

x0 désigne un nombre réel ou +∞ ou −∞ ; ℓ et ℓ désignent des réels.

lim f (x) ℓ ℓ = 0 0 ∞ 0 +∞ −∞ +∞ ℓ = 0 ℓ=0

x→x0

lim g (x) ℓ 0 0 0 ∞ +∞ −∞ −∞ +∞ −∞

x→x0

lim ( f (x) + g (x)) ℓ+ℓ ℓ 0 ∞ ∞ +∞ −∞ F.I +∞ −∞

x→x0

lim f (x).g (x) ℓ.ℓ 0 0 F.I F.I +∞ +∞ −∞ ±∞ (signe ℓ) ±∞ (signe ℓ)

x→x0

f (x) ℓ (ℓ = 0) ∞ F.I ∞ 0 F.I F.I F.I 0 0
lim ℓ
x→x0 g (x)

lim f (x) lim | f (x)| lim f (x)

x→x0 x→x0 x→x0

ℓ |ℓ| |ℓ|
+∞ +∞ +∞
−∞ +∞ n’existe pas

Limite et ordre

f est une fonction, x0 désigne un nombre réel ou +∞ ou −∞ ; ℓ et ℓ désignent des réels et I désigne un intervalle ouvert de centre
x0 si x0 ∈ R si non intervalle de type ]a, +∞[ ou ] − ∞, b[.

Théorème 1 Théorème 2
®
f est positive sur I alors ℓ ≥ 0 ß g (x) ≤ f (x) sur un voisinage de x0 ∈R alors ℓ ≤ ℓ
Si lim f (x) = ℓ, ℓ ∈ R et lim g (x) = ℓ
Si lim f (x) = ℓ
x→∞ x→∞
x→x0

Théorème 3 Théorème 4

® ®
g (x) ≤ f (x) ≤ h(x), sur un voisinage de x0 | f (x) − ℓ| ≤ g (x) sur un voisinage de x0
Si lim g (x) = lim h(x) = ℓ alors alors
Si lim g (x) = 0
x→x0 x→x0
x→x0
lim f (x) = ℓ
x→x0 lim f (x) = ℓ.

x→xo

Théorème 5 ®
g (x) ≤ f (x) sur I
®
f (x) ≤ g (x) sur I S’il existe une fonction g vérifiant : lim g (x) = +∞

S’il existe une fonction g vérifiant : lim g (x) = −∞ x→x0

x→x0 alors lim f (x) = +∞

alors lim f (x) = −∞ x→x0

x→x0

1

Limite d’une fonction monotone Branches infinies
Théorème
Asymptotes
Soit f une fonction définie sur un in-
tervalle de type [a,b[ (fini ou infini). Limite Interprétation
La droite D : x = a est asymptote à C
• Si f est croissante et majorée lim f = ±∞ ou lim f = ±∞
alors elle admet une limite finie La droite D : y = b est asymptote à C
en b . a a± La droite D : y = ax + b est asymptote à C

• Si f est croissante et non ma- lim f = b ou lim f = b, b ∈ R
jorée alors f tend vers +∞ en
b. +∞ −∞

• Si f est décroissante et minorée lim( f (x) − (ax + b)) = 0
alors elle admet une limite finie
en b . ±∞

• Si f est décroissante et non mi- Etude d’une branche infinie
norée alors f tend vers −∞ en b
. Dans le cas où lim f (x) = ±∞.
x→+∞
Cf
Soit f une fonction telle que lim f (x) = ±∞ et sa courbe représentative
Ä →− →− ä
x→+∞

dans un repère O, i , j .

Dans ce qui suit le procédé quil faut suivre pour déterminer la branche infinie au

voisinage de +∞.

∗ Si lim f (x) = ±∞ , alors la courbe Cf admet une branche infinie de direction
x Ä →− ä
x→+∞

Limite d’une fonction composée asymptotique celle de O, j au voisinage de +∞.
Théorème 1
∗ Si lim f (x) = 0 , alors la courbe C f admet une branche infinie de direction
x→+∞ x Ä →−i ä voisinage de +∞.
x0 , b et λ désigne des réels ou +∞ asymptotique celle de O, au

ou −∞.

lim f (x) = b ∗ Si lim f (x) = a avec (a = 0), alors deux cas peuvent se présenter :
x→x0
Si x→+∞ x
lim g (x) = λ
x→b
Si lim f (x) − ax = b avec (b ∈ R) alors la droite déquation y = ax + b
alors lim g ◦ f(x) = λ
x→+∞
x→x0
est une asymptote à la courbe Cf au voisinage de +∞.

Corollaire Si lim f (x)− ax = ±∞ alors la courbe Cf admet une direction asymp-

® x→+∞
lim f (x) = b, (b ∈ I R)
totique celle de la droite déquation y = ax au voisinage de +∞.
Si x→x0
g est continue en b alors

lim g ◦ f(x) = g (b)

x→x0

Théorème 2

• Soit f une fonction définie sur un intervalle de type ]a,+∞[.

lim f (x) existe, signifie que lim f 11
existe et dans ce cas, on a : lim f (x) = lim f
x→+∞ x→0+ x x→+∞ x→0+ x

• Soit f une fonction définie sur un intervalle de type ] − ∞, a[.

11
lim f (x) existe, signifie que lim f existe et dans ce cas, on a: lim f (x) = lim f
x→−∞ x→0− x x→−∞ x→0− x

2

Continuité Théorème 2 : (Théorème des valeurs intermédiaires)
Continuité d’une fonction composée
Soit f une fonction continue sur un intervalle I et a et b deux
Si f est continue en xo et g est continue en f (x0) alors réels de I .
Pour tout réel λ compris entre f (a) et f (b) il existe au moins
g ◦f est continue en x0. un réel x0 ∈ [a, b] tel que f (x0) = λ.
 f est continue sur un intervalle I Si de plus f est strictement monotone alors x0 est unique.

Si  g est continue sur un intervalle J corollaire
pour tout x de I on a : f (x) ∈ J
Soit f une fonction continue sur un intervalle fermé borné [a,b]
alors g ◦ f est continue sur I . telle que f (a). f (b) < 0. Il existe au moins un réel x0 ∈]a, b[ tel
que f (x0) = 0.
Théorème 1

L’image d’un intervalle par une fonction continue est un
intervalle.

Théorème 3 Théorème 4

Toute fonction continue et ne s’annule pas sur un intervalle I L’image d’un intervalle fermé borné [a,b] par une fonc-
alors elle garde un signe contant sur I . tion continue est un intervalle fermé borné [m, M]

Image d’un intervalle par une fonction monotone
Théorème

L’image d’un intervalle I par une fonction continue et monotone sur I est un intervalle de même nature.

Intervalle I Si f est croissante sur I Si f est décroissante sur I
I = [a,b]
I = [a,b[ f (I ) = [ f (a), f (b)] f (I ) = [ f (b), f (a)]

I = [a, +∞[ f (I ) = [ f (a), lim f (x)[ f (I ) =] lim f (x), f (a)]

I =]a, b[ x →b − x →b −

f (I ) = [ f (a), lim f (x)[ f (I ) =] lim f (x), f (a)]

x→+∞ x→+∞

f (I ) =] lim f (x), lim f (x)[ f (I ) =] lim f (x), lim f (x)[
x→a+ x →b − x →b − x→a+

3

Suites réelles

Suites arithmétiques, suites géométriques Suites géométriques
Suites arithmétiques

Soit (un) est une suite arithmétique de raison r Soit (un) est une suite géométrique de raison q.
• Pour tout n ∈ N on a : un+1 = q.un.

• Pour tout n ∈ N, un+1 − un = r . • Pour tous entiers naturels n et m on a : un = qn−mum.

• Pour tous entiers naturels n et m on a : • En particulier : un = qn.u0 = qn−1.u1.
un = um + (n − m)r .

• En particulier : un = u0 + nr = u1 + (n − 1)r . • Si q = 1, n 1 − q (n−p+1) .
uk = up
1−q
k=p
n up + un
• k=p uk = (n − p + 1) 2 . 
 +∞ si q > 1

• lim qn =  0 si − 1 < q < 1
n existe si q ≤ −1
n→+∞ pas

Suite majorée - suite minorée - suite bornée
• Une suite u est dite majorée s’il existante M telle que : ∀n ∈ N,un ≤ M.
• Une suite u est dite minorée s’il existante m telle que : ∀n ∈ N,un ≥ M.
• Une suite u est dite bornée s’il existe deux constantes m et M telles que : ∀n ∈ I N ,m ≤ un ≤ M.

Suite monotone Suites
Définition
Soit u une suite réelle : Soit un = f (n) où f est une fonction définie sur
I = [0, +∞[. Si f est monotone sur I alors la
• u est croissante si et seulement si pour tout n, un+1 ≥ un. suite u a le même sens de variation que f .
• u est décroissante si et seulement si pour tout n, un+1 ≤ un.
• u est constante si et seulement si pour tout n, un+1 = un.

Suites récurrentes
Soit u une suite réelle définie par un+1 = f (un) où f est une fonction définie sur un intervalle I à valeurs dans I .

• Si ∀x ∈ I , f (x) ≥ x alors la suite u est croissante.
• Si ∀x ∈ I , f (x) ≤ x alors la suite u est décroissante.

Suite convergente Théorème
Définition Toute suite convergente est bornée.
Une suite réelle est dite convergente si elle admet une limite finie.

Théorème

Théorème Soit u une suite réelle et ℓ un réel ( ℓ peut être infinie ).

• Toute suite (un) croissante et majorée converge lim un = ℓ ⇔ lim u2n = lim u2n+1 = ℓ
vers un réel a et ∀n, un ≤ a.
n→+∞ n→+∞ n→+∞
• Toute suite (un) décroissante et minorée converge
vers un réel b et ∀n, un ≥ b. Théorème

Soit un = f (n) où f est une fonction.

Si lim f (x) = a (a fini ou infini) Alors lim un = a.

x→+∞ n→+∞

4

Suite du type : vn = f (un)

Théorème Théorème

  f est définie sur un intervalle I
 f est continue sur un intervalle ouvert I  un une suite d’élément de I (un ∈ I )

Si  un une suite d’élément de I (un ∈ I ) Si
un converge vers a (a ∈ I )
 lim un = ℓ , ℓ fini ou infini

Alors lim f (un ) = f (a) n→+∞

n→+∞ lim f (x) = b
x→ℓ

Alors lim f (un ) = b

n→+∞

Limites et ordre Théorème 2
Théorème 1
On cßonwsidn è≤reunle≤s suites (un), (vn ) et (wn).
Soit (un) une suite réelle qui converge vers a. Si vn à partir d’un certain rang

• Si un ≥ 0 ou un > 0, a partir d’un certain rang alors a ≥ 0. lim wn = lim v n = ℓ, ℓ∈R

• Si un ≤ 0 ou un < 0, a partir d’un certain rang alors a ≤ 0. n→+∞ n→+∞

• Si m ≤ un ≤ M ou m < un < M, à partir d’un certain rang alors Alors lim un = ℓ.
m ≤ a ≤ M.
n→+∞

Théorème 3 Théorème 4

Soißt deux suites (un) et (vn ) Soißt deux suites (un) et (vn )
Si partir d’un certain Si d’un
un ≤ vn à −∞ rang Alors lim un = −∞. |un| ≤ vn à partir certain rang Alors
ß certain rang
Si lim vn = partir d’un n→+∞ lim v n = 0
+∞
n→+∞ n→+∞

un ≤ vn à Alors lim vn = +∞. lim un = 0.

lim un = n→+∞ n→+∞

n→+∞

Suites récurrentes
Théorème

Soit (un) une suite réelle vérifiant un+1 = f (un) où f est une fonction.
Si (un) est convergente vers un réel a et si f est continue en a alors f (a) = a .

5

Définition Dérivabilité

Soit f une fonction définie sur un inter- Approximation affine et tangente

valle ouvert I de R et a ∈ I . * Si f est dérivable en a alors:
• Le réel f (a) + f (a)h est une approximation affine de f (a + h).
On dit que f est dérivable en a f (a + h) =∼ f (a) + h f (a).

s’il existe un réel, noté f (a) tel que • La courbe représentative de f admet au point A(a, f (a)) une tangente
T d’équation y = f (a)(x − a) + f (a).
f (x) − f (a)
lim = f (a). * Si la courbe représentative de f admet au point A(a, f (a)) une tangente
x→a x − a T = (AB) non parallèle a˙ l’axe des ordonnées.
f (a + h) − f (a) Alors f est dérivable en a et f (a) = yB − yA .
Ou lim = f (a). Le réel
h→0 h xB − xA

f (a) s’appelle le nombre dérivé de f en

a.

Remarque Définition

Soit f une fonction dérivable sur Soit f une fonction définie sur un inter-
un intervalle ouvert I de R ;a et b
deux réels de I . valle I de R et a ∈ I .
On désigne par Ta et Tb les
tangentes à la courbe (C ) de f • On dit que f est dérivable à droite
respectivement aux A(a, f (a)) et
B (b, f (b)). en a s’il existe un reel, noté fd (a)
f (x) − f (a)
• Ta et Tb sont parallèles si et tel que lim = fd (a).
seulement si f (a) = f (b). x−a
x→a+
• Ta et Tb sont perpendic-
ulaires si et seulement si • On dit que f est dérivable a gauche
f (a) × f (b) = −1.
en a s’il existe un réel, noté fg (a)
• Ta = Tb si et seulement si f (x) − f (a)
f (a) = f (b) et A ∈ Tb.
tel que xl→ima− x − a = fg (a).

Théorème

Soit f une fonction définie sur un inter-
valle I de R et a ∈ I .
f est dérivable en a si et seulement si f
est dérivable à gauche et à droite en a et
fg (a) = fd (a).

Dérivées de fonctions usuelles Dérivées de fonctions usuelles

Fonction f Dérivée f Fonction f Dérivée f
1
f (x) = ax + b f (x) = a f (x) = −a
f (x) = xn f (x) = nxn−1 f (x) =
f (x) = na(ax + b)n−1 ax +b 2( ax + b)3
f (x) = (ax + b)n 1 nx 1 1
1 1 f (x) = n x f (x) = =
f (x) = − x2 n x n n xn−1
f (x) = f (x) = sin(ax + b)
x n f (x) = cos(ax + b) f (x) = a cos(ax + b)
1 f (x) = − xn−1
f (x) = tan(ax + b) f (x) = −a sin(ax + b)
f (x) = xn a 1 a
1 f (x) = − (ax + b)2
f (x) = f (x) = cos2(ax + b)
f (x) = ad −bc cos x − cos x
ax +b f (x) = (c x +a d )2 1
ax +b f (x) = f (x) = (sin x)2
f (x) = sin x
f (x) = 2 ax +b sin x
cx +d 1 f (x) = (cos x)2
− 1 + tan2 x
f (x) = ax + b f (x) =
tan x f (x) = tan2 x

6

Opérations sur les fonctions dérivables Retenons
Soient f et g deux fonctions dérivables sur un intervalle I .

Retenons

Soient f et g deux fonctions dérivables sur un Fonction Fonction dérivée
intervalle I . λf λf
g◦f
Fonction Fonction dérivée f ×g ◦f
f +g f (sin x) (cos x). f (sin x)
f ×g f +g f (cos x) (− sin x). f (cos x)
fn
1 f g+fg 1 11
g n f f n−1 f −x2 .f x
f
g −g x 1

f g2 ln x x
f g−fg u (x)
nf ln |u(x)|
g2 u(x)
g (x) = f (ax + b) f f (x) = ex f (x) = ex
f (x) = u (x)eu(x)
2f f (x) = eu(x)
g (x) = u (x) f (u(x))
1f ·n f 1 f u(x)

nf = n n f n−1 g (x) = f (t )d t

a

g (x) = a.f (ax + b)

Dérivée de la fonction composée Théorème
Théorème
Soit f : I −→ R une fonction dérivable en a ∈ I . Alors f est continue
Soit f une fonction définie sur un intervalle I en a.
contenant a et g une fonction définie sur un in-
tervalle J contenant f (a). Dérivées successives

• Si f est dérivable en a et g est dérivable Soit f une fonction dérivable sur intervalle I . La fonction f est la
dérivée première de f .
en f (a) alors g ◦ f est dérivable en a et Si f est dérivable sur I , sa fonction dérivée notée f ou f (2) est la
dérivée seconde de f .
(g ◦ f ) (a) = f (a) × g ( f (a)) Si f (n−1), (n ≥ 2) est dérivable sur I , sa fonction dérivée est la fonction
dérivée n-ième de f , ou dérivée d’ordre n de f on la note f (n).

 f est dérivable sur I

• Si  g est dérivable sur J
∀x ∈ I f (x) ∈ J

Alors g ◦ f est dérivable sur I et

∀x ∈ I (g ◦ f ) (x) = f (x) × g ( f (x))

Dérivée et extremum local Théorème
Définition
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I
Soit f une fonction définie sur un intervalle I et a un réel de I : contenant a :

• On dit que f admet un maximum local en a, s’il existe un 1. Si f admet un extremum local en a alors
intervalle ouvert J contenant a et inclus dans I tel que : pour f (a) = 0
tout x ∈ J on a : f (x) ≤ f (a).
2. Si f s’annule en changeant de signe en a
• On dit que f admet un minimum local en a, s’il existe un inter- alors f admet un extremum local en a.
valle ouvert J contenant a et inclus dans I tel que : pour tout
x ∈ J on a : f (x) ≥ f (a).

• On dit que f admet un extremum local en a. Si f admet un
maximum ou un minimum local en a.

7

Accroissements finis Interprétation graphique
Théorème de Rôlle
Soit f une fonction définie sur [a,b], a < b. Si Si les conditions du théorème de Rôlle sont justifiées
pour une fonction f sur un intervalle [a,b] alors la
• f est continue sur [a, b] courbe de f admet au moins une tangente horizontale.
• f est dérivable sur ]a, b[
• f (a) = f (b)
Alors il existe au moins un réel c ∈]a, b[ tel que f (c) = 0.

Théorème (Égalité des accroissements finis) Interprétation graphique
Soit f une fonction définie sur [a,b], a < b. Si
Si les conditions du (T.A.F) sont justifiées
• f est continue sur [a, b] pour une fonction f sur un intervalle [a,b]
• f est dérivable sur ]a, b[ alors la courbe de f admet au moins une
Alors il existe au moins un réel c ∈]a, b[ tel que f (c) = f (b) − f (a) . tangente parallèle à la droite (AB) tel que
A(a, f (a)) et B (b, f (b)).
b−a

Théorème (Inégalité des accroissements finis) corollaire

Soit f une fonction définie sur [a,b], a < b. Si Soit f une fonction définie sur un intervalle I . Si
• f est continue sur [a, b] • f est dérivable sur I
• f est dérivable sur ]a, b[
• il existe deux réels m et M tels que • il existe un réel k > 0 tel que ∀x ∈ I , f (x) ≤ k
∀x ∈]a, b[, m ≤ f (x) ≤ M
• a et b sont deux réels de I
Alors : m(b − a) ≤ f (b) − f (a) ≤ M (b − a). Alors : | f (b) − f (a)| ≤ k|b − a|.

Accroissements finis et suites récurrentes Théorème (Signe de la dérivée et sens de variation)
On considère une suite (un) vérifiant la relation de récurrence
un+1 = f (un) où f est une fonction dérivable sur un intervalle Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I .
I . Si • Si la fonction dérivée f est nulle, alors la fonction
est constante sur I .
• il existe un réel k > 0 tel que ∀x ∈ I , f (x) ≤ k
• il existe un réel α de I tel que f (α) = α • Si la fonction dérivée est strictement positive (sauf
• ∀n, un ∈ I en quelques points isolés de I où elle s’annule),
Alors : ∀n, |un+1 − α| ≤ k |un − α| alors la fonction f est strictement croissante sur
I.

• Si la fonction dérivée est strictement négative
(sauf en quelques points isolés de I où elle
s’annule), alors la fonction f est strictement
décroissante sur I .

Alors : m(b − a) ≤ f (b) − f (a) ≤ M (b − a).

Théorème
Soit f une fonction continue sur [a,b] et dérivable sur ]a,b[.

• Si ∀x ∈]a, b[, f (x) = 0 alors la fonction f est constante sur [a, b].
• Si ∀x ∈]a, b[, f (x) ≥ 0 alors la fonction f est croissante sur [a, b].
• Si ∀x ∈]a, b[, f (x) > 0 alors la fonction f est strictement croissante sur [a, b].
• Si ∀x ∈]a, b[, f (x) ≤ 0 alors la fonction f est décroissante sur [a, b].
• Si ∀x ∈]a, b[, f (x) < 0 alors la fonction f est strictement décroissante sur [a, b].

8

Fonctions réciproques

Définition Théorème Courbe d’une bijection réciproque

Soit f une fonction définie sur Si f est strictement monotone sur I alors Les courbes, dans un repère
un intervalle I , si pour tout y de f réalise une bijection de I sur f (I ) . orthonormé, d’une bijection f
f (I ), il existe une unique réel x et de sa réciproque f −1 sont
de I tel que f (x) = y alors f est • On note f −1 la fonction réciproque symétriques par rapport à la
une bijection de I sur f (I ). de f droite y = x.

• f −1 est définie sur f (I )

• ∀y ∈ I et tout x de f (I ) :
f −1(x) = y ⇔ f (y) = x

Théorème

Si f est continue et strictement monotone sur un intervalle I alors f réalise une bijection de I sur l’intervalle J = f (I ).
La bijection réciproque f −1 est continue et a le même sens de variation que f sur J = f (I ).

Théorème

Soit f est une fonction strictement monotone sur un inter- Points méthode

valle I . Soit f une bijection d’un intervalle I sur J = f (I ).
* Si f est dérivable en a ∈ I et f (a) = 0 Alors f −1 est * Si on te demande d’étudier la dérivabilité de f −1 en
dérivable en b = f (a) et f −1 (b) = 1 . b La première chose à faire c’est : chercher a = f −1(b)
puis étudier la dérivabilité de f en a.
f (a) * Si on te demande d’étudier la dérivabilité de f −1 sur un
intervalle K La première chose à faire c’est : déterminer
* Si f est dérivable sur I et pour tout x de I ; f (x) = 0, L = f −1(K ) puis étudier la dérivabilité de f sur L.

alors f −1 est dérivable sur f (I ) et pour tout x de f (I ) on

a : f −1 (x) = 1

f f −1(x)

Propriétés Propriétés

Soit n un entier supérieur ou égal à 2. x et y sont Soit n un entier supérieur ou égal à 2. x et y sont des réels
des réels positifs.
positifs.
• xn = y ⇔ x = n y. • n x y = ( n x)( n y).
• ( n x)n = x, n xn = |x| = x.
… nx
• La fonction x → n x est continue et strictement x
croissante sur [0, +∞[. • y > 0, n = .
y ny
• lim n x = +∞.
»
x→+∞ • n m x = mn x.

• n xm = nx m, mn xm = n x , n x = 1 x >0

xn

Théorème

• La fonction x → n x est dérivable sur ]0, +∞[ et ∀x > 0, ( n x) =1 nx 1
n x = .
n n x n −1

1f n f
f) = .
• Si f est dérivable et strictement positive sur I alors n f est dérivable sur I et ( n nf

9

Primitives

Définition Théorème

Soit f et F deux fonctions définies sur un intervalle Toute fonction continue sur un intervalle I admet au moins une
I. primitive sur cet intervalle.
On dit que F est une primitive sur I de f si F est Deux primitives d’une même fonction sur un intervalle I dif-
dérivable sur I et pour tout x de I . F (x) = f (x) fèrent d’une constante. (F = G + ct e).
Si f est continue sur un intervalle I et a ∈ I alors ∀b ∈ R il
existe une unique primitive F de f telle que F (a) = b.

Retenons

Fonction f Primitive F
f (x) = (x + b)n, n ≥ 1
f (x) = (ax + b)n, n ≥ 1 et a = 0 F (x) = 1 (x + b)n+1
n+1
1 F (x) = 1 (ax + b)n+1 Retenons
f (x) = xn ,n ≥ 2
a(n + 1)
1 −1 1 Fonction f Primitive F
f (x) = (ax + b)n , n ≥ 2 F (x) = n − 1 xn−1 1 1
1 −1 1
1 F (x) = a · n − 1 · (ax + b)n−1 f (x) = cos2(ax + b) F (x) = tan(ax + b)
f (x) = u ·un, n ≥ 1 a
F (x) = 2 x 1 un+1
x u
1 2 un ,n ≥ 2 n+1
f (x) = F (x) = ax + b −1 1
ax +b u n − 1 un−1
f (x) = x a
2 u 2u
f (x) = ax + b F (x) = x x
f (x) = 3 x 3 uu 2
2 uu
f (x) = 3 ax + b F (x) = (ax + b) ax + b u nu
f (x) = n x 3a n3 u n u
F (x) = 3 x 3 x u n+1
f (x) = n ax + b 4 nu
F (x) = 3 (ax + b) 3 ax + b u v +uv nu
f (x) = sin(ax + b), a = 0 4a u v−v u n−1 n u
F (x) = n xnx v2
f (x) = cos(ax + b), a = 0 u · v ◦u uv
F (x) = n n+1 u
(ax + b) n ax + b
(n + 1)a v
−1 v ◦u
F (x) = cos(ax + b)

a1
F (x) = sin(ax + b)

a

10

Intégrales

Définition et conséquences Conséquences

Définition Soit f une fonction continue sur un intervalle I . a et b
deux réels de I .
Soit f une fonction continue sur un intervalle I et F une
primitive de f sur I . a et b deux réels de I . ab
On appelle : intégrale de f entre a et b le réel noté :
• f (x)d x = 0 et ct e d x = (b − a) × ct e
b
aa
f (x)d x = F (b) − F (a).
ab
a
• f (x)d x = − f (x)d x.

ba

Propriétés

Soit f et g deux fonctions continues sur un intervalle I . a , b et c trois réels de I .

Propriétés algébriques Intégrales et inégalités

a≤b ™ b
∀x ∈ I , f (x) ≥ 0
1. Relation de Chasles 1. Si Alors : f (x)d x ≥ 0

c bc a

f (x)d x = f (x)d x + f (x)d x 2. Si f est positive sur [a, b], (a < b) et ne s’annule

aab b

2. Pour tous réels α et β qu’en un nombre fini de réel , alors f (x)d x > 0.

b bb a

α f (x) + βg (x)d x = α f (x)d x + β g (x)d x a≤b ™ b
∀x ∈ I , f (x) ≤ g (x)
a aa 3. Si Alors : f (x)d x ≤

3. Intégrations par parties a

bb b

u (x)v(x)d x = [u(x)v(x)]ba − u(x)v (x)d x g (x)d x.

aa a

u et v sont des fonctions dérivables et leurs fonc-

tions dérivées sont continues. 4. Si f est continue sur [a,b] alors :

bb

f (x)d x ≤ | f (x)|d x.

aa

Valeur moyenne et inégalité de la moyenne

Définition Théorème (inégalité de la moyenne) Corollaire

Soit f une fonction continue sur un Soit f une fonction continue sur [a,b], Soit f une fonction continue sur [a,b].
(a < b). Soit m et M deux réels. Il existe c ∈ [a, b] tel que f = f (c).
intervalle [a, b], (a < b). On appelle Si pour tout x de [a, b]
m ≤ f (x) ≤ M alors m ≤ f ≤ M
valeur moyenne de f sur [a,b] le

réel f = 1b f (x)d x.

b−a a

Fonction définie à l’aide d’une intégrale Conséquences
Théorème
Soit f une fonction définie sur un intervalle I et a ∈ I .
Soit f une fonction définie sur un intervalle I et a ∈ I .
x x

Alors la fonction F définie sur I par : F (x) = f (t )d t est Alors la fonction F définie sur I par : F (x) = f (t )d t

la primitive de f qui s’annule en a. a a

est dérivable sur I et ∀x ∈ I , F (x) = f (x).

Théorème

Soit u une fonction définie sur un intervalle I et f une fonction définie sur un intervalle J. Si
u est dérivable sur I 
f est continue surJ  Alors la fonction F : x → u(x)
∀x ∈ I , u(x) ∈ J
a∈J f (t )d t est dérivable sur I et F (x) = u (x) · f (u(x))

a

11

Théorème Théorème

Soit f une fonction continue sur un intervalle I centré en Soit f une fonction continue sur R ,périodique de période
0 et a ∈ I .
T. a+T T
a Pour tout réel a,
f (x)d x = f (x)d x
• Si f est impaire alors f (x)d x = 0.
a0
−a
aa Définition

• Si f est paire alors f (x)d x = 2 f (x)d x. Le plan est muni d’un repère orthogonal.Soit f une fonc-
tion continue sur [a,b],(a < b). L’aire (en ua) de la partie
−a 0 du plan limitée par la courbe de f , l’axe des abscisses

Calcul d’aire b
Définition
et les droites x = a et x = b est le réel | f (x)|d x
Le plan est muni d’un repère orthogonal.
Soit f une fonction continue et positive sur [a,b],(a < b). a
L’aire (en ua) de la partie du plan limitée par la courbe
de f , l’axe des abscisses et les droites x = a et x = b Cf

b b

est le réel f (x)d x | f (x)|d x

a a

Cf b

b a

f (x)d x

a

ab

Interprétation de la valeur moyenne

Le plan est muni d’un repère orthogonal.
Soit f une fonction continue et positive sur [a,b], (a < b).
L’aire de la surface du plan limitée par la courbe de f , les droites x = a, x = b et y = 0 est égale à celle du rectangle de côtés
(b − a) et f .

Définition

Le plan est muni d’un repère orthogonal.Soit f et g deux
fonctions continues sur [a,b],(a < b). L’aire (en ua) de la
partie du plan limitée par la courbe de f , celle de g et

b

les droites x = a et x = b est le réel | f (x) − g (x)|d x

a

Calcul de volume

Définition

L’espace est muni d’un repère orthonormé Ä →− →−ȷ , →−k ä.
O, ı,

Soit f une fonction continue et positive sur [a,b]. Le volume V du solide de révolution engendré par la rotation de la courbe
Ä →− →− ä Ä →− ä
de f dans le plan O, i , j autour de l’axe O, i est le réel V = π b

f 2(x)d x

a

12

Fonction logarithme népérien

Définition Conséquences

On appelle fonction logarithme népérien notée ln , la ♣ La fonction ln est définie, continue et dérivable sur
fonction primitive sur ]0,+∞[ qui s’annule en 1 de la 1

1 ]0, +∞[, ln 1 = 0 et ln x = .
fonction : t → x
x1
t
♣ Pour tout réel x > 0, ln x = d t .
Limites remarquables 1t

♣ La fonction ln est strictement croissante sur ]0, +∞[.

♠ lim ln(x) = +∞, lim ln(x) = −∞. ♣ Soit a et b deux réels strictement positifs.

x→+∞ x →0+

♠ lim ln(x) = 0, lim x ln(x) = 0. • ln a = ln b ⇔ a = b
• ln a > ln b ⇔ a > b
x→+∞ x x →0+ • ln a < ln b ⇔ a < b
• ln a > 0 ⇔ a > 1
♠ lim ln(x) = [ln (1)] = 1. • ln a < 0 ⇔ 0 < a < 1

x→1 x − 1

♠ lim ln(1 + x) = 1.

x→0 x

♠ Pour tous entiers naturels non nuls n et m, on a : ♣ La fonction ln est une application bijective de ]0, +∞[
lnn (x) sur R.
lim xm lnn(x) = 0
lim xm = 0, ♣ Il existe un unique réel strictement positif noté e tel
x →0+ que ln(e) = 1.
x→+∞

Propriétés algébriques ♣ • ∀n ∈ N, ln en = n.

1. Pour tous réels a et b strictement positifs on a : • ∀p ∈ N∗, ∀n ∈ N\{0, 1}, ln n ep p
=.
n

• ln(ab) = ln(a) + ln(b) • ln x = a ⇔ x = ea.

• ln 1 = − ln a
Åa ã
b
• ln = ln b − ln a
a Théorème

2. Soit a un réel strictement positif. Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I et telle
que u(x) > 0, pour tout x dans I . Alors la fonction
• Pour tout entier n, ln an = n ln a
• Pour tout entier n ≥ 2 , ln( n a) = 1 ln a u (x)
F : x −→ ln(u(x)) est dérivable sur I et f (x) =
n
u(x)
3. Pour tÅouns réeãls strictement positifs a1, a2, . . . , an on
Théorème
n
Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I et telle
a : ln ak = ln (ak ). que u(x) = 0, pour tout x dans I . Alors la fonction
F : x −→ ln |u(x)| est dérivable sur I et f (x) = u (x)
k=1 k=1
u(x)

13

Courbe representative

4 Corollaire

3 Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I et telle

2 y = ln(x) que u(x) = 0, pour tout x dans I . Alors la fonction

f :x→ u (x) admet pour primitive sur I la fonction

u(x)
1 F : x → ln |u(x)| + k où k = ct e.

0
0
−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 e3 4 5

−1 Théorème

−2 La fonction F : x → x ln x −x est une primitive de la fonction
ln : x → ln x sur ]0, +∞[.
−3

14

Fonction exponentielle

Fonction exponentielle base : e Propriétés algébriques
Définition
1. Pour tous réels a et b oneaa :
On appelle fonction exponentielle la fonction réciproque e a+b = eae b, e−a 1 , eb = e a−b
de la fonction logarithme Népérien notée :
e : x −→ exp(x) = ex = ea

Conséquences 2. Soit a un réel .

♦ Pour tout réel x et pour tout réel y > 0, ♥ Pour tout entier n, ea n = ena.
ex = y ⇔ x = ln y.
♥ Pour tout entier n ≥ 2, n ea = e a .
♦ Pour tout réel x, ex > 0. n
♦ Pour tout réel x, ln ex = x.
♥ ea = e a , 3 ea = e a
♦ Pour tout réel strictement positif x, elnx = x. 2 3

♦ La fonction exp est continue et strictement croissante 3. Pour tous réels a1, a2, . . . , an on a :
sur R. n
eak = e .n ak
♦ Soit a et b deux réels
• ea = eb ⇔ a = b. k =1
• ea > eb ⇔ a > b.
• ea < eb ⇔ a < b. k =1
• ea > 1 ⇔ a > 0.
• ea < 1 ⇔ a < 0. Limites remarquables

Théorème ♠ lim ex = +∞, lim e−x = 0.
La fonction exponentielle f : x → ex est dérivable sur R et
∀x ∈ R, f (x) = ex = ex x→+∞ x→−∞

ex lim xex = 0.
♠ lim = +∞,
x→−∞
x→+∞ x

♠ lim ex −1 = 1.

x→0 x

♠ Pour tous entiers naturels non nuls n et m,
enx
lim = +∞, lim xm enx = 0
xm
x→+∞ x→−∞

Courbe representative

Théorème 4y = exp(x)

Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I . La fonc- 3
tion F : x → eu(x) est dérivable sur I
et F (x) = u (x)eu(x). e
2 y = ln(x)
Corollaire
1
Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I . Les prim-
itives sur I de la fonction x → u (x)eu(x) sont les fonctions 0
x → eu(x) + cte.
−5 −4 −3 −2 −1 0 0 1 2 e 3 4 5

−1

−2

−3

15

Fonction exponentielle base : a Propriétés
Définition
Soit un réel a > 0, Pour tout réel x , on pose ax = ex lna Pour tous réels strictement positifs a et b et pour tous

Définition réels c et d on a:
Soit un réel a > 0, On appelle fonction exponentielle ♥ ac+d = ac × ad .
base a la fonction x → ax
♥ ac d = acd .
Théorème
Soit un réel a > 0. La fonction x → ax est dérivable sur R ♥ a c −d = ac .
et pour tout x , ax = (ln a)ax ad

♥ ac × bc = (ab)c .

ac a c
♥ bc = b .

Limites

Soit un réel a > 0

Si a > 1 alors lim ax = +∞ et lim ax = 0
x→+∞ x→−∞
Si 0 < a < 1 alors lim ax = 0 et lim ax = −∞
x→+∞ x→−∞

Fonctions puissances Limites
Définition
Soit r un nombre rationnel.
Soit r un nombre rationnel n appartenant pas à Z.
On appelle fonction puissance r la fonction définie sur ♣ Si r > 0 alors lim xr = +∞ et lim xr = 0.
]0, +∞[ par x → xr = er ln x . x→+∞ x →0+

Dérivée ♣ Si r < 0 alors lim xr = 0 et lim xr = +∞.
x→+∞ x →0+
Soit r un nombre rationnel. La fonction définie sur
]0, +∞[ par x → xr est dérivable sur ]0, +∞[ Primitive
et xr = r xr −1.
Soit r un nombre rationnel different de 1. Les primitives
sur ]0, +∞ de la fonction x → xr sont :
F (x) = 1 xr +1

r +1

Croissances comparées
Théorème

Soit r un nombre rationnel strictement positif.

lim ln x = 0, lim xr ln x = 0, lim ex = +∞

x→+∞ xr x →0+ x →+∞ x r

16

Nombres complexes

Rappel est rapporté à un repère orthonormé direct Ä →−u , →−v ä.
Le plan O,

Produits remarquables Retenons

a et b deux nombres complexes 1. a et b deux réels ,
a + i b = a − i b et |a + i b| = a2 + b2.
(a + i b)(c + i d ) = ac − bd + i (ad + bc)
(a + i b)2 = a2 − b2 + 2i ab 2. Soit z un nombre complexe.
(a − i b)2 = a2 − b2 − 2i ab
(a + i b)(a − i b) = a2 + b2 • z + z = 2 Re(z)
(1 + i )2 = 2i , (1 − i )2 = −2i et (1 + i )(1 − i ) = 2 • z − z = 2i Im(z)
• z∈R⇔z=z
Retenons • z ∈ iR ⇔ z = −z
3. z = a + i b, (a, b) ∈ R2, z · z = a2 + b2
1. Soit z un nombre complexe
M (z) ⇔ M (Re(z), Im(z)) .

2. z−A→B = zB − z A Retenons

3. I = A∗B ⇔ zI = zA + zB 1. a et b des réels, |a + i b| = a2 + b2
2
2. z at z des nombres complexes.

Retenons ♣ zz = |z| z 11
z = 0, =
Soit z un nombre complexe non nul et M(z) un point
• arg(z) ≡ (→−u ,O−−M→)[2π] z |z|

zz zn = |z|n
♣ z = 0, =

z |z|

• arg(z) ≡ − arg(z)[2π] ♣ |z| = |z|, |z|2 = zz

• arg(−z) ≡ π + arg(z)[2π] 1
♣ |z| = 1 ⇔ zz = 1 ⇔ z =

z

Si θ est un argument de z alors : 3. ∀θ ∈ R et ∀n ∈ Z ,
(cos θ + i sin θ)n = cos nθ + i sin nθ
Re(z) et Im(z)
cos θ = sin θ =
|z| |z|
4. ÄLe p→−ula,n→−v äes. t rapporté à un repère orthonormé
O,

♠ OM = |z| , M d’ affixe z
♠ AB = |zB − zA|

Arguments (1) Arguments (2)

arg zz ≡ arg(z) + arg z [2π] (→−u , −A→B ) ≡ arg (zB − zA) [2π]

Åã Åã
z (O−−→A,O−−→B ) ≡ arg zB [2π]
arg ≡ arg z − arg(z)[2π]
z zA

arg zn ≡ n · arg(z)[2π], n ∈ Z Åã
−→ −→ zC − zA
(AB, AC ) ≡ arg [2π]
z ∈ R∗+ ⇔ arg(z) ≡ 0[2π] zB − zA
z ∈ R∗− ⇔ arg(z) ≡ π[2π]
Soit w et w deux vecteurs non nuls.
Å −→ã Å ã
→−w , w z−→
z ∈ R ⇔ z = 0 ou arg(z) = kπ, k ∈ Z • ≡ arg [2π]
w

π z→−w
z ∈ i R+ ⇔ arg(z) ≡ 2 [2π]
z ∈ i R ⇔ z = 0 ou arg(z) = π + kπ • →−w et −→ sont orthogonaux ⇐⇒ z→−w ∈iR
w
2 z−→
w

• →−w et −→ sont colinéaires ⇐⇒ z→−w ∈R
w
z−→
w

17

Relations entre forme algébrique et forme trigonométrique

r= a2 + b2; cos θ = a et sin θ = b
rr
Forme algébrique Forme trigonométrique
z = a + i b, (a, b) ∈ R2
⇐⇒ z = r (cos θ + i sin θ), r > 0

a = r cos θ et b = r sin θ

Forme exponentielle Exemples
Définition
ei0 = 1; ei π = i ; e −i π = −i
Pour tout réel α , on pose eiα = cos α + i sin α et on lit 2 2
exponentielle i α

eiπ = −1; e i π = 1 +i 3 e −i π = 31
3 , 3 −i

Propriétés 22 22

∀θ ∈ R, eiθ = 1 et arg eiθ ≡ θ[2π] Définition

ei θ = e−i θ, −ei θ = ei (θ+π), ieiθ = ei θ+ π Soit z un nombre complexe de moduler (r > 0) et d’argument
2 θ . On écrit z = r.eiθ, Cette écriture s’appelle forme expo-
nentielle de z.
∀θ ∈ R, ∀k ∈ Z : ei (θ+2kπ) = ei θ

∀θ, θ ∈ R, ∀n ∈ Z, on a : eiθ · eiθ = ei(θ+θ ) Formules d’EULER

1 = e−i θ; eiθ = ei (θ−θ ); eiθ n = einθ ∀α ∈ R : cos α = ei α + e−i α et sin α = ei α − e−i α
eiθ eiθ
2 2i

Formules utiles

Åã Åã
θ θ θ θ−π
∀θ ∈ R, 1 + eiθ = 2 cos ei 2 et 1 − eiθ = 2 sin ei 2
et
Å 2ã 2Å ã
α−β α+β α−β α+β
∀α, β ∈ R, eiα + eiβ = 2 cos ei 2 eiα − eiβ = 2i sin ei 2

2 2

Equation : zn = a, n ≥ 1, a ∈ C∗

Théorème et Définition Conséquences

♣ Pour tout entier naturel non nul n, l’équation: zn = 1 LÄe p→−ula,n→−v äe.st muni d’un repère orthonormé direct
O,
admet dans C n solutions distinctes définies par :

zk = ei 2k π , k ∈ {0, 1, 2, . . . , n − 1} Lorsque n ≥ 3, les points images des racines nièmes de
n

♣ Les solutions de l’équation: zn = 1 sont appelées racines l’unité sont les sommets d’un polygone régulier inscrit
nièmes de l’unité.
dans le cercle trigonométrique.

Théorème et Définition Conséquences

Soit a un nombre complexe non nul d’argument θ et n un ÄLe p→−ula,n→−v äe.st muni d’un repère orthonormé direct
entier naturel non nul, l’équation: zn = a admet dans C, n O,
solutions distinctes définies par :
Lorsque n ≥ 3, les points images des racines nièmes de
θ+2k π
a sont les sommets d’un polygone régulier inscrit dans
zk = n |a|e n , k ∈ {0, 1, 2, . . . .n − 1}.
Les solutions de l’équation: zn = a sont appelées les le cercle de centre O et de rayon n |a|
racines nièmes de a.

18

Equation : az2 + bz + c = 0, a ∈ C∗ Conséquences
Racine carrée
Soit ∆ un nombre complexe non nul et δ une racine
• Tout nombre complexe non nul admet deux racines car- carrée de ∆.
rées opposées
Si ∆ = −2 Alors δ = ±i 2.
• Soit ∆ un nombre complexe non nul.
Si ∆ = b, b ∈ I R− Alors δ = ±i |b|
1. z = x+iy où x et desréexls2 est une racine carré de
− y2 = Re(∆) Si ∆ = 2i Alors δ = ±(1 + i ).

∆ si et seulement si  x2 + y2 = |∆| Si ∆ = −2i Alors δ = ±(1 − i )
2x y = Im(∆) …

Ä arg(∆) ä 55
2 Si ∆ = 5i = (2i ) Alors δ = ± (1 + i )
2. Les racines carrées de ∆ sont ± |∆|e i .
22
Théorème et Définition …

Soit a,b et c des nombres complexes tels que a = 0. 55
Si ∆ = −5i = (−2i ) Alors δ = ± (1 − i )
L’équation az2 + bz + c = 0, admet dans C, deux solutions
22
−b − δ −b + δ
définies par: z1 = 2a et zi = 2a où δ est une Conséquences
racine carrée de ∆ = b2 − 4ac
Si z1 et z2 sont les solutions de l’équation
ATTENTION az2 + bz + c = 0, a = 0
Si ∆ ∉ R+ éviter d’écrire δ = ∆ Alors az2 + bz + c = a (z − zi ) (z − zz )

bc
z1 + z2 = − a , z1z2 = a

Exemples d’équations de degré supérieur ou égal à 3

Théorème

Soit a1, a2, . . . , an des nombres complexes tels que an = 0 et n ≥ 2.
Soit P (z) = an zn + an·1zn−1 + . . . + a1z1 + a0
Si z0 est un zéro de P (z) alors P (z) = (z − z0) g (z) où g (z) est un polynôme de degré n − 1.

Remarques

Symétrie orthogonale d’axe Ä →− ä Symétrie centrale de centre O
O, u

L’application du plan dans lui qui aˆ tout point M d’affixe L’application du plan dans lui même qui à tout point M
nzaalessdo’caixeeleÄOpo, i→−untäM. d’affixe z est la symétrie orthogo- d’affixe z associe le point M d’affixe −z est la symétrie
centrale de centre O.

Symétrie orthogonale d’axe Ä →−v ä
O,

L’application du plan dans lui qui aˆ tout point M d’affixe

z associe le ÄpOoi,n→−tv Mä. d’affixe −z est la symétrie orthog-
onale d’axe

19

Probabilités

Probabilité discrête Probabilité conditionnelle

Rappel sur les probabilités et variables aléa- Probabilité conditionnelle de l’évènement B sachant que l’évènement
toires A est réalisé :

p( ) = 0 , 0 ≤ p(A) ≤ 1 , p(Ω) = 1 P(A ∩B)
p(A) = 1− p(A) P A(B ) = P (B /A) = P (A) avec P (A) = 0.
p(A ∪ B ) = p(A) + p(B ) − p(A ∩ B )
card(A ∩ B )
n Cas d’équiprobabilité sur Ω : PA(B) = p(A/B) = card(A)
Probabilités composées :
Espérance : E (X ) = xi P (X = xi ) P (A ∩ B ) = P (A) × P A(B ) = P (B ) × PB (A).
Probabilités totales avec {A1, A2, . . . , An} formant une partition de Ω :
i =1 P (B ) = P (A1 ∩ B ) + P (A2 ∩ B ) + · · · + P (An ∩ B )
P (B ) = P (A1) P A1 (B ) + P (A2) P A2 (B ) + · · · + P (An ) P An (B )
Variance :

n

V (X ) = (xi − E (X ))2 P (X = xi )

i =1

Écart-type : σ(X ) = V (X )

Indépendance de deux événements
A et B indépendants ⇐⇒ P (A ∩ B ) = P (A) × P (B ) ⇐⇒ P A(B ) = P (B ) ⇐⇒ PB (A) = P (A)
A et B indépendants ⇐⇒ A et B indépendants ⇐⇒ A et B indépendants ⇐⇒ A et B indépendants

Arbre de probabilité

probabiliés simples Probabilité conditionnelle probabiliés composées probabilités totales

P (S/A) S P (A ∩ S) = P (A) × P (S/A) P (S) = P (A ∩ S) + P (B ∩ S) + P (C ∩ S)

A P (S) = P (A ∩ S) + P (B ∩ S) + P (C ∩ S)

P(A) P (S/A) S¯ P (A ∩ S¯) = P (A) × P (S/A)
P (B )
P (S/B ) S P (B ∩ S) = P (B ) × P (S/B )
P(C )
B

P (S/B ) S¯ P (B ∩ S¯) = P (B ) × P (S/B )

P (S/C ) S P (C ∩ S) = P (C ) × P (S/C )

C

P (S/C ) S¯ P (C ∩ S¯) = P (C ) × P (S/C )

Formule de Bayes :

Soit (E , P(E), p) un espace probabilisé fini. Soient B1, B2,. .. , Bn des événements formant une partition de l’univers E
p(Bk ∩ A)
tels que p(Bi ) = 0, i ∈ 1, 2, . . . , n et A un événement tel que p(A) = 0. p A(Bk ) = p(A)

Cas particulier : Soit (E ,P(E), p) un espace probabilisé fini. Soient A et B deux événements tels que p(B) = 0, p(B) = 1

et p(A) = 0. p A(B ) = p(B ).pB (A) .

p(B ).pB (A) + p(B ).pB (A)

Définition

Soit (E ,P(E), p) un espace probabilisé fini. On appelle aléa
numérique ou variable aléatoire tout application X : E −→ R.
Notation : L’événement {a ∈ E , X (a) = xi } est noté {X = xi } .
L’ensemble X (E) désigne l’ensemble des valeurs prises par
X.

20

Définition

Soit (E ,P(E), p) un espace probabilisé fini et X une
variable aléatoire. On appelle loi de probabilité de X
ou distribution de X , l’application PX : X (E) −→ [0, 1]
xi −→ p(X = xi )
Conséquences :
Soit (E , PP (E), p) un espace probabilité fini. Si X
est une v.a sur E telle que X (E ) = {x1, x2, . . . , x} alors

n

p(X = xi ) = 1.

i =1

Fonction de répartition Définition

Soit (E ,P(E), p) un espace probabilisé fini et X une Soit E un ensemble fini, les parties B1, B2, . . . , Bn forment
v.a sur E. On appelle fonction de répartition de X , une partition de E lorsqu’ils sont deux à deux disjoints
l’application définie de R dans [0,1] par et leur réunion est E.
F : x −→ p(X ≤ x).
Loi binomiale
Schéma de Bernoulli
Expérience qui n’a que deux issues possibles : ń succès ż Répétition de n épreuves de Bernoulli identiques et in-
de probabilité, p et ń échec ż de probabilité 1p.
Notation : B(p) dépendantes. X est égale au nombre de succès.
P (X = 1) = p et P (X = 0) = 1 − p
E(X ) = p Notation: B(n; p) ; q = 1 − p
V (X ) = p(1 − p)
σ(X ) = p(1 − p) P(X = k) = C k × pk × qn−k ; k ∈ {0, 1, . . . , n}
n

E(X ) = np

V (X ) = npq

σ(X ) = npq

21

Statistiques

Définition : Distributions marginales

Soit (X , Y ) une série statistique double sur un échantillon de taille n et soit xi , yi 1≤i≤n les valeurs numériques prises
respectivement par les variables X et Y .

La distribution marginale de la variable X est la distribution des valeurs (xi )1≤i≤n prises par la variable X .
La distribution marginale de la variable Y est la distribution des valeurs yi 1≤i≤n prises par la variable Y .

Définition

Soit X une série statistique sur un échantillon de taille n .
Si X ,V (X ) et σX désignent respectivement la moyenne, la variance et l’écart type de la série,alors :

= 1n (X ) = 1n xi − X 2, σX = V (X )
X ni xi , V ni
n n
i =1 i =1

où les valeurs x1, x2,. .., xn désignent les valeurs distinctes prises par la variable X si elle est discrète ou les centres
des classes si la variable X est continue. L’entier ni désigne l’effectif de la valeur xi .

Définition

Soit (X ,Y ) une série statistique double sur un échantillon de taille n .
On appelle covariance de (X ,Y ) le réel, noté cov(X ,Y ) défini par :

,Y = 1n − Y
cov(X ) xi yi X
n
i =1

Où xi , yi est la valeur observée pour l’individu i si X et Y sont discrets, ou le centre de la classe s il’une des variables
est continue.

Définition

Soit (X ,Y ) une série statistique double de taille n .
Soit nij le nombre de fois qu’apparaît le couple xi , yi alors :

)= 1q p −XY
cov(X , Y ni j xi yi
n
j =1 i =1

Définition : Nuage de points

Soit (X , Y ) une série statistique double de valeurs xi , yi 1≤i≤n .
L’ensemble des points Mi de coordonnées xi , yi dans un repère orthogonal est appelé nuage de points représentant
la série statistique.
Le point moyen du nuage est le point dont les coordonnées sont les moyennes x et Y .

Principe de la méthode de Mayer

Soit un nuage de points représentant une série statistique double (X ,Y ) et G son point moyen.
On scinde le nuage de points (X ,Y ) en deux parties contentent à peu prés le même nombre de points.
On considère alors les points moyens G1 et G2 des deux nuages obtenus.
La droite (G1G2) définit un ajustement affine du nuage de points représentant la série statistique double (X ,Y ).
La droite (G1G2) est appelée droite de Mayer et passe par le point moyen G du nuage global.

22

Théorème

Soit (X ,Y ) une série statistique double sur un échantillon de taille n et telle que σX = 0.
n
Soit axi + b − yi 2 est minimale pour le couple (a0, b0)
xi , yi 1≤i≤n les valeurs observées de la série. Alors la somme
i =1
cov(X , Y ) cov(X , Y )
tel que : a0 = σ2X et b0 = Y − σ2X X .

Définition

Soit (X ,Y ) une série statistique double. On appelle coefficient de corrélation linéaire le réel noté : rX Y défini par
cov(X , Y )

rX Y = σX σY
.

Propriétés

Soit (X , Y ) une série statistique double. Alors −1 ≤ rX Y ≤ 1.
Le coefficient de corrélation linéaire est invariant par le changement d’unité ou d’origine.

Interprétation du coefficient de corrélation linéaire
3

Les statisticiens conviennent que lorsque |rX Y | > 2 , l’ajustement affine est justifié et les prédictions faites au moyen
de cet ajustement sont raisonnables.

Théorème et Définition

Lors d’un ajustement affine de Y en X par la méthode des moindres carrés,
La droite D obtenue passe par le point moyen du nuage et a pour équation :

D : y = ax +b où cov(X , Y ) et b =Y −aX
a=
V (X )

Cette droite s’appelle la droite de régression de Y en X .

La droite D de régression de X en Y obtenue par la méthode des moindres carrées, lors d’un ajustement affine, passe par
le point moyen du nuage et a pour équation :

D : y = a y + b où a = cov(X , Y ) et b = X − aY

V (Y )

Cette droite s’appelle la droite de régression de X en Y .

Remarque
On suppose ici que les points du nuage ne sont pas tous alignés sur une même droite verticale, ni sur une droite horizontale.
On a donc σ(X ) = 0 et σ(Y ) = 0.

Les deux droites de régression D et D passent par le point moyen G(X ,Y ) .
Les deux coefficients a et a sont de même signe.
Le coefficient de corrélation linéaire r vérifie r 2 = aa

corollaire
Les droites des moindres carrés de Y en X et de X en Y passent par le point moyen G du nuage associe a la série (X ,Y ).

23

Branches infinies

lim f (x) =

x→∞

∞ a∈R

0 lim f (x) = la droite y = a est
x→∞ x une asymptote horizontale
La courbe de f admet au voisinage
de ∞ une branche parabolique a ∈ R∗ `a la courbe de f au
−→ lim f (x) − ax = voisinage de ∞
de direction celle de O, i
x→∞ ∞

La courbe de f admet au voisinage
de ∞ une branche parabolique
−→
de direction celle de O, j

b∈R ∞

La droite y = ax + b est une La courbe de f admet au voisinage de ∞
asymptote oblique a` la courbe de f une branche parabolique

au voisinage de ∞ de direction celle de y = ax

Retenons 1

lim f (x) = +∞ ou lim f (x) = −∞ 
x→a+ x→a+ 

lim f (x) = +∞ ou lim f (x) = −∞ La droite D : x = a est une asymptote verticale `a Cf



x→a− x→a−

Retenons 2 La droite ∆ : x = ax + b est une asymptote oblique `a Cf

lim (f (x) − (ax + b)) = 0

x→+∞

lim (f (x) − (ax + b)) = 0

x→−∞

1