PRINSIP INDUKSI MATEMATIKA

Prinsip Induksi
Matematika

PETA KONSEP

Pembuktian Pembuktian Pembuktian
Pernyataan Pernyataan Pernyataan
Matematis Berupa Matematis Matematis
Ketidaksamaan Keterbagian
Barisan

Perlu kita ingat bahwa yang
namanya belajar akan menjadi

maksimal apabila kita
menguasai konsepnya. Nah

salah satu cara melatih
pemahaman konsep suatu

materi adalah dengan
membuktikan rumus.

Kenapa? Singkatnya sih,
dengan membuktikan rumus,
kita dituntut untuk memahami

beberapa konsep sekaligus.

Nah kali ini kita akan belajar
memahami salah satu cara
membuktikan rumus, yaitu
dengan induksi matematika.

Satu hal lagi yang harus kamu tahu, bahwa
induksi matematika itu hanya bisa digunakan
untuk setiap model matematika berupa
persamaan atau pertidaksamaan yang variabel
acaknya merupakan bilangan asli. Ingat ya,
Bilangan Asli. Artinya, kamu tidak bisa
menggunakan Induksi Matematika pada model
matematika baik berupa persamaan atau
pertidaksamaan yang variabel acaknya BUKAN
bilangan asli.

Apa sih induksi matematika itu?

Seperti yang sudah disinggung di atas, induksi
matematika merupakan salah satu cara pembuktian
rumus atau pernyataan matematika, atau lebih tepatnya
metode pembuktian terhadap suatu pernyataan apakah
pernyataan tersebut berlaku untuk setiap kasus.

Supaya kebayang, sebaiknya kita langsung ke
contoh kasus. Kasus yang seperti apa sih yang bisa
diselesaikan dengan Induksi Matematika?

Cermati ilustrasi berikut ini!

Ilustrasi

Misalkan kita akan menjumlahkan 200 bilangan asli yang
pertama berikut :
1 + 2 + 3 + ... + 99 + 200 = ...
Untuk mempermudah perhitungan, perhatikan pola
berikut

Cermati

Cermati

Tapi sebagai matematikawan yang baik,
kita harus curiga, tahu dari mana

bahwa rumus di atas itu benar? Tahu
dari mana bahwa rumus tersebut

berlaku untuk seluruh nilai n bilangan
asli? Atau sederhananya

Bagimana membuktikannya?



Itulah sebabnya kita perlu
membuktikannya dengan

menggunakan

“Induksi Matematika”

Konsep Induksi Matematika

Dengan menggunakan Induksi Matematika, kita bisa membuktikan
rumus S(n) tadi tanpa perlu menghitung satu per satu.
Caranya simple banget. Kita hanya butuh melakukan dua langkah
berikut ini:
1. Tunjukkan bahwa rumus S(n) benar untuk n = 1 atau S(1) benar.
2. Tunjukkan bahwa jika rumus S(n) benar untuk n = k, maka rumus

S(n) juga benar untuk n = k + 1.
S(k) benar ⇨ S(k + 1) juga benar

Mengapa dua langkah
tersebut bisa
membuktikan

S(n) benar untuk

SEMUA

nilai n bilangan asli?

Efek Domino

Kamu pasti tau atau pernah
maen domino kan? Yah, bahasa
gaulnya gaple.
Apa hubungan antara domino
atau gaple ini dengan induksi
matematika?
Coba kita lihat kedua langkah
tersebut satu per satu ya.
Mulai dari langkah pertama.

LANGKAH 1

Buktikan bahwa S(n) benar untuk n=1.

Langkah pertama ini gampang banget. Tinggal kita
masukkan nilai n = 1 ke persamaan, kemudian kita

hitung deretnya.

Kesimpulannya : S(1) benar [S(n) benar untuk n=1].

LANGKAH 2, buktikan bahwa

jika S(n) benar untuk n=k,
maka Sn juga benar untuk n=k+1.

Untuk bagian ini, teknik membuktikannya adalah dengan
membuktikan bahwa persamaan di bawah ini benar.

Kalau persamaan itu benar, sama saja dengan membuktikan
bahwa jika S(k) benar, maka S(k+1) juga benar.

Jika kita masukkan n=k dan n=k+1 pada rumus S(n ), maka kita

akan mendapatkan:

Nilai n Nilai S(n)
n=k

n=k+1

Ingat hukum distributif penjumlahan

Ternyata hasilnya sama peris dengan S(k+1) yang kita hitung pada tabel di
atas. Berarti kita dapat simpulkan bahwa persamaan berikut ini:

Karena S(n) terbukti benar pada

langkah 1 dan juga terbukti
benar pada langkah 2, maka

kita bisa simpulkan

bahwa rumus S(n) benar untuk
semua n bilangan asli!

contoh

Pembuktian Pernyataan
Matematis Berupa Barisan

Buktikan bahwa

011 + 3 + 5 + ...+ 2n – 1 = n2

untuk jumlah n bilangan ganjil
pertama n2!

Bukti

Langkah 1
Untuk n = 1
2(1) – 1 = 12 ↔ 1 = 1 (benar)
Jadi, rumus benar untuk n = 1

Langkah 2
Andaikan benar untuk n = k sehingga :
1 + 3 + 5 + ...+ 2k – 1 = k2

Bukti

Akan dibuktikan benar untuk n = k + 1
1 + 3 + 5 + ...+ 2k – 1 + 2(k + 1) – 1 = (k + 1)2
Sekarang sederhanakan persamaan sisi kiri dengan mengingat bahwa
k2 = 1 + 3 + 5 + ...+ 2k – 1 sesuai dengan pengadaian awal

[1 + 3 + 5 + ...+ 2k – 1 ]+ 2(k + 1) – 1 = k 2 + 2(k + 1) – 1
Kemudian padankan bentuk sederhana tadi dengan sebelah kanan
k 2 + 2(k + 1) – 1 = (k + 1)2
k 2 + 2k + 1 = (k + 1)2 ⇔ (k + 1)2 = (k + 1)2 ---> terbukti benar

Kesimpulan

Jadi, 1 + 3 + 5 + ...+ 2n – 1 = n2 benar
untuk jumlah n bilangan ganjil pertama

adalah n2 karena memenuhi kedua
langkah pembuktian

02

Bukti

Bukti

Kesimpulan

03

Buktikan bahwa
3+7+11+...+(4n – 1)=2n2+n
berlaku untuk semua n bilangan
asli.

Bukti

Langkah 1
Untuk n = 1
4(1) – 1 = 2(1)2 + 1 ↔ 3 = 3 ( benar)
Jadi, rumus benar untuk n = 1

Langkah 2
Andaikan benar untuk n = k sehingga :
3+7+11+...+(4k – 1) = 2k2 + k

Bukti

Akan dibuktikan benar untuk n = k + 1
3+7+11+...+(4k – 1)+(4(k+1) – 1) = 2(k+1)2 + (k+1)
Ruas kiri :

3+7+11+...+(4k – 1)+(4(k+1) – 1)=(2k2 + k)+(4k+3)

2k2 + k =2k2 + k+4k+3

n

=2k2 + 5k+3

=2(k2 + 2k+1)+k+1

=2(k+1)2 + k+1 = ruas kanan (terbukti)

Kesimpulan

Jadi, 3+7+11+...+(4n – 1)=2n2+n benar
untuk jumlah n bilangan asli pertama
adalah 2n2+n karena memenuhi kedua
langkah pembuktian

contoh

Pembuktian Pernyataan
Matematis Ketidaksamaan

Ketidaksamaan

Mari kita mencoba Target

Penyelesaian Penjelasan

Kita dapat mulai dari ruas kiri Mengapa 4k dapat berubah menjadi 2k ?

pertidaksamaan Berdasarkan sifat 3, kita diperbolehkan
menambahkan kedua ruas suatu
4(k + 1) = 4k + 1
pertaksamaan dengan bilangan yang sama,
4(k + 1) < 2k + 4 (karena 4k < 2k) karena tidak akan merubah nilai kebenaran

4(k + 1) < 2k + 2k (karena 4 < 4k < 2k) pertaksamaan tersebut. Karena 4k <
2k benar, akibatnya 4k + 4 < 2k + 4 juga
4(k + 1) = 2(2k)
benar.
4(k + 1) = 2k + 1
Darimana kita tahu, 4 harus diubah
Berdasarkan sifat transitif kita simpulkan menjadi 2k ?
4(k + 1) = 2k + 1
Perhatikan target. Hasil sementara kita adalah
2k + 4 sedangkan target kita adalah 2k + 2k.
Untuk k ≥ 5, maka 4 < 4k dan 4k <
2k adalah benar, sehingga 4 < 2k juga
benar (sifat transitif). Akibatnya 2k + 4 <
2k + 2k  benar (sifat 3).

contoh

Pembuktian Pernyataan
Matematis Keterbagian

Pembuktian Keterbaigan

Peryataan “a habis dibagi b” bersinonim dengan :
Ø a kelipatan b
Ø b faktor dari a
Ø b membagi a

Jika p habis dibagi a dan q habis dibagi a, maka (p + q) juga habis
dibagi a.
Sebagai contoh, 4 habis dibagi 2 dan 6 habis dibagi 2, maka (4+6)
juga habis dibagi 2

01 Untuk n = 1
111 – 6 = 11 – 6 = 5 habis dibagi
Dengan induksi oleh 5
matematika, buktikan
bahwa 11n – 6 habis Jadi, rumus benar untuk n = 1
dibagi 5 berlaku untuk
semua n bilangan asli Andaikan benar untuk n = k,
maka diproleh :
11k – 6 habis dibagi oleh 5

Dengan demikian, untuk m
bilangan asli berlaku :

11k – 6 = 5m atau 11k = 5m + 6

Untuk n = k + 1 Sehingga untuk P(k + 1)
Maka P(k + 1) = 11k + 1 – 6 akan terbukti benar.
dibuktikan habis dibagi 5.
P(k + 1) = 11k + 1 – 6 Dari pembuktian n = 1,
n = k, dan n = k + 1,
= 11k 111 – 6
= 11 × 11k – 6 maka terbukti secara benar
= 11 × (5m + 6) – 6 bahwa
= (55m + 66) – 6
= 55m – 60 11k – 6 habis dibagi 5.
= 5 × (11m – 12)
(menunjukkan bilangan kelipatan 5
atau habis dibagi 5)

02 Untuk n = 1
Maka P(1) = 4.0071 – 1
Tunjukkan bahwa 4.007n – 1
habis dibagi 2.003 untuk = 4.007 – 1
setiap nilai n bilangan asli. = 4.006
Gunakan pembuktian dengan (habis dibagi 2.003)
induksi matematika.
Untuk n = k
Maka P(k) = 4.007k – 1 
diasumsikan habis dibagi 2.003.
Dengan demikian untuk m bilangan
asli berlaku:
4.007k – 1  = 2.003m  
atau 4.007k = 2.003m + 1

Untuk n = k + 1 Sehingga untuk P(k + 1) terbukti benar.
Maka P(k + 1) = 4.007k+1 – 1 akan
dibuktikan habis dibagi 2.003. Dari pembuktian n = 1, n = k,
P(k + 1) = 4.007k+1 – 1 dan n = k + 1, maka terbukti secara benar
bahwa 4.007n – 1 habis dibagi 2.003.
= 4.007k × 4.007 – 1
= (2.003m + 1)× 4.007 – 1
= (2.003m × 4.007 + 4.007) – 1
= (2.003m × 4.007 + 4.006
= (2.003 × 4.007m + 2.003 × 2)
= 2.003 × (4.007m + 2)
(menunjukkan bilangan kelipatan 2003
atau habis dibagi 2.003)

Tunjukkan bahwa xn – 1 habis dibagi x - 1 untuk setiap nilai n bilangan asli. 03
Gunakan pembuktian dengan induksi matematika.

Misalkan P(n) = xn – 1 habis Untuk n = k
dibagi x - 1. Ingat bahwa :
x2 – 1 = (x – 1)(x + 1)
Untuk n = 1 x3 – 1 = (x – 1)(x2 + x + 1)
Maka P(1) = x1 – 1 = x – 1 x4 – 1 = (x – 1)(x3 + x2 + x + 1)
(habis dibagi x – 1)
Maka P(k) = xk – 1 diasumsikan habis dibagi (x – 1).
Dengan demikian untuk m bilangan asli berlaku :
xk – 1 = m(x – 1) maka xk = m(x – 1) + 1
atau xk = mx – m + 1 ...... (1)

Untuk n = k + 1
Maka P(k + 1) = xk+1 – 1  akan dibuktikan habis dibagi x - 1.
P(k + 1) = xk+1 – 1 
             = xk · x  – 1
             = (mx – m + 1) × x – 1 
             = mx2 – mx + x – 1 
             =  mx(x – 1) + (x – 1) 
             =  (mx + 1)(x – 1)
             =  (x – 1)(mx + 1)  (menunjukkan bentuk ini dapat dibagi x - 1)
Sehingga untuk P(k + 1) terbukti benar dapat dibagi (x – 1).
Dari pembuktian n = 1, n = k, dan n = k + 1, maka terbukti secara
benar bahwa  xn – 1  habis dibagi x - 1.

Tunjukkan bahwa xn – yn habis dibagi x - y untuk setiap nilai n bilangan asli. Gunakan

pembuktian dengan induksi matematika. 04

Misalkan P(n) = xn – yn habis dibagi x - y.

Untuk n = 1

Maka P(1) = x1 – y1 = x – y (habis dibagi x – y)

Untuk n = k
Ingat bahwa: x2 – y2 = (x – y)(x + y)

x3 – y3 = (x – y)(x2 + xy + y2)
x4 – y4 = (x – y)(x3 + x2y + xy2 + y3)

Maka P(k) = xk – yk diasumsikan habis dibagi (x – y).

Dengan demikian untuk m bilangan asli berlaku :
xk – yk = m(x – y) maka xk = m(x – y) + yk dan yk = xk – m(x – y)

Untuk n = k + 1 Perhatikan bahwa :
Maka P(k + 1) = xk+1 – yk+1  akan dibuktikan m(x – y)(x + y) habis dibagi (x – 1) dan
habis dibagi x - y. xy(xk-1  – yk-1) habis dibagi (x – 1).
P(k + 1) = xk+1 – yk+1 
             = x · xk  – y · yk Dengan demikian
             = x · (m(x – y) + yk)  – y · (xk – m(x – y) m(x – y)(x + y) - xy(xk-1  – yk-1) 
             = x · (mx – my + yk)  – y · (xk – mx + my) habis dibagi (x – 1).
             = mx2 – mxy + xyk  – yxk + mxy – my2 Jadi, P(k + 1) = xk+1 – yk+1 habis dibagi (x – 1)
             =  mx2 – my2 + xyk  – yxk terbukti benar.
             =  m(x2 – y2) + xy(yk-1  – xk-1)
             =  m(x – y)(x + y) - xy(xk-1  – yk-1) Dari pembuktian n = 1, n = k, dan n = k + 1,
maka terbukti secara benar bahwa  xn –
yn habis dibagi x - y untuk setiap nilai n
bilangan asli.

Tunjukkan bahwa P(n) Misalkan P(n) = n(n + 1)(n + 5)
= n(n + 1)(n + 5) Untuk n = 1
Maka P(1) = 1(1+1)(1+5)
merupakan kelipatan
3 untuk n bilangan =1x2x6
asli. Gunakan = 12
(12 merupakan kelipatan 3)
pembuktian dengan
induksi matematika. Untuk n = k
Maka P(k) = k(k + 1)(k + 5)
diasumsikan kelipatan 3.

Untuk n = k + 1 Perhatikan bahwa :
Maka P(k + 1) = (k+1)((k+1) + 1)((k +1) + 5) akan k(k + 1)(k + 5) habis dibagi 3 dan
dibuktikan kelipatan 3. 3(k + 1)(k + 4) habis dibagi 3.
P(k + 1) = (k+1)((k+1) + 1)((k +1) + 5)
Dengan demikian P(k + 1) habis dibagi 3.
= (k + 1)(k + 2)(k + 6) (benar)
= (k2 + 3k + 2)(k + 6)
= k3 + 3k2 + 2k + 6k2 + 18k + 12 Dari pembuktian n = 1, n = k, dan n = k + 1,
= k3 + 9k2 + 20k + 12 maka terbukti secara benar bahwa
= (k3 + 6k2 + 5k) + (3k2 + 15k + 12) P(n) = n(n + 1)(n + 5) habis dibagi 3 untuk setiap
= k(k2 + 6k + 5) + 3(k2 + 5k + 4) nilai n bilangan asli.
= k(k + 1)(k + 5) + 3(k + 1)(k + 4)

Mari kita berlatih!
Dengan induksi matematika, buktikan kebenaran rumus berikut berlaku untuk
semua n bilangan asli!

6 + 12 + 24 + ... + 3 . 2n
= 6(2n – 1)