เรขาคณิตวิเคราะห์

2. ความสมั พนั ธท์ ีม่ กี ราฟเปน็ พาราโบลาทีม่ จี ดุ ยอดอยทู ่ ีจ่ ดุ O(0,0)

จุดโฟกสั อยทู ่ ีจ่ ดุ F(0{(,xc,)yแ)ล∈ะเสRน้ ไxดRเรคxต2ร=กิ ซ4ึม์ cีสyม}การเปน็ y = -c

แกน y เปน็ แกนพาราโบลาหรอื แกนสมมาตร
Latus rectum (เสน้ ทีล่ ากมาตง้ ฉากกบั แกนสมมาตรทีจ่ ดุ โฟกสั ) ยาว 4 c หนว่ ย

3. ความสมั พนั ธท์ ีม่ ีกราฟเปน็ พาราโบลาทีม่ จี ดุ ยอดอยทู ่ ีจ่ ดุ O(h, k)
จุดโฟกสั อยทู ่ ีจ่ ดุ F(h+c, k∈) แRละxเสRน้ ได(yเร−คkต)ร2ิก=ซึม์ 4สีycม(กx-ารhเ)ป}น็ x = h-c

y {(x, y)

x = h-c F(h+c, k) F (h+c, k)

O(h, k) O(h, k) x = h-c x

x

C>0 C<0

แกนพาราโบลาหรอื แกนสมมาตรอยบู ่ นเสน้ ตรง y = k

4. ความสมั พนั ธท์ ีม่ กี ราฟเปน็ พาราโบลาทีม่ จี ดุ ยอดอยทู ่ ีจ่ ดุ O(h, k)
จดุ โฟกสั อยทู ่ ีจ่ ดุ F(h, yk)+c∈) แRละxเสRน้ ได(xเร−คhต)ร2กิ =ซึม์4สีycม(yก-ารkเ)ป}น็ y = k-c

y {(x,

F(h, k+c) O(h, k) y = k-c

y = k-c O(h, k) F (h, k+c) x

x

C>0 C<0

แกนพาราโบลาหรอื แกนสมมาตรอยบู ่ นเสน้ ตรง x = h

ตวั อยา่ ง จงเขยี นสมการของพาราโบลา เมอ่ ไดเรคตริกซึค์ อื เสน้ ตรง
x = -2 และโฟกสั อยทู ่ ีจ่ ดุ (2, 0)พรอ้ มทีง้ เขยี นกราฟ

วิธที ีา วาดกราฟครา่ ว ๆ จะได ้ จุดยอดอยูท่ ี่ (0, 0)
จะไดว้ า่ สมการของพาราโบลา คือ
y2 = 4(2)x y

= 8x F(2, 0) x

x = -2

ตัวอยา่ ง จyง=เขีย-น34สมแกละารโขฟอกงสัพอายราทู ่ ีโจ่ บดุ ล(า0เ,ม34่อ)ไพดรเอ้ รมคทตีง้รเกิ ขซยี ึค์นอื กเรสาน้ ฟตรง
วิธีทีา วาดกราฟครา่ ว ๆ จะได ้ จดุ ยอดอยทู ่ ี่ (0, 0)
y
จะไดว้ า่ สมการขอxง2พาร=าโ4บ(43ล)าyคือ
= 3y F(0, 43) 3x
y=-
4

สรุปเกย่ วกับสมการพาราโบลา
1. y2= 4cx 3. (y−k)2= 4c(x-h)
จุดยอดอยทู ่ ีจ่ ดุ O(0,0) จุดยอดอยทู ่ ีจ่ ดุ O(h, k)
จุดโฟกสั อยทู ่ ีจ่ ดุ F(c, 0) จดุ โฟกสั อยทู ่ ีจ่ ดุ F(h+c, k)
เสน้ ไดเรคตรกิ ซึม์ สี มการเปน็ x = -c เสน้ ไดเรคตรกิ ซึม์ สี มการเปน็ x = h-c
แกนสมมาตร อยบู ่ นแกน x แกนสมมาตร อยูบ่ นเสน้ ตรง y = k

2. x2= 4cy 4.(x−h)2= 4c(y-k)}
จดุ ยอดอยทู ่ ีจ่ ดุ O(0,0) จุดยอดอยทู ่ ีจ่ ดุ O(h, k)
จุดโฟกสั อยทู ่ ีจ่ ดุ F(0, c) จุดโฟกสั อยทู ่ ีจ่ ดุ F(h, k+c)
เสน้ ไดเรคตรกิ ซึม์ สี มการเปน็ y = -c เสน้ ไดเรคตรกิ ซึม์ สี มการเปน็ y = k-c
แกนสมมาตร อยบู ่ นแกน y แกนสมมาตร อยบู ่ นเสน้ ตรง x = h

ตัวอยา่ ง จงเขยี นสมการของพาราโบลา เม่อจดุ ยอดอยทู ่ ีจ่ ดุ (3, 1)
และโฟกสั อยทู ่ ีจ่ ุด (7, 1)
วิธที ีา จุดยอดอยูท่ ีจ่ ดุ O(h, k) = O(3, 1)

จดุ โฟกสั อยทู ่ ี่จดุ F(h+c, k) = F(7, 1)
ดงั น้น c = 4
((yy−−k1))22==
สมการพาราโบลา คอื y2− 4c(x-h)
y2− 2y 4(4)(x-3)

2y + 1 = 16x - 48
− 16x + 49 = 0

ตวั อยา่ ง จงเขียนสมการของพาราโบลา เมอ่ จดุ ยอดอยทู ่ ีจ่ ดุ (-2, 3)
และโฟกสั อยทู ่ ีจ่ ดุ (-2, -2)

วิธีทีา จดุ ยอดอยูท่ ี่จดุ O(h, k) = O(-2, 3)
จดุ โฟกสั อยทู ่ ี่จดุ F(h, k+c) = F(-2, -2)
ดังน้น c = -5

สมการพาราโบลา คอื (x − h)2= 4c(y-k)
(x− (−2))2= 4(-5)(y-3)

x2+ 4x + 4 = -20y + 60
x2+ 4x + 20y − 56 = 0

การหาแจลดุ ะยแอกดนสพมิกมัดาขตอรงจโาฟกกสมัสกสามรกพาารรไาโดบเรลคาตริกซึ์

ตวิธวั ีทอียา า่ งy2y=24=(52)0xx O(0, 0) ตวสโแจธิ ัวดุมฟกที อียกนกายอาสัสรดyาม่ไ2งมด=าเตร-yรค125ตx+รกิ =ซ1อึ45ย์ (x−ูบ่ Fน1=4(5O−xแ)(x01ก04=5,,น14005x))

จดุ ยอด
โฟกัส F(5, 0)
สแมกกนาสรมไมดาเตรรคตรอกิ ยซึูบ่์ นxแก=น-5x

ตวธิัวีทอียาา่ งx2=x232=y32=y 4(38)y ตวิธวั ีทอียาา่ xง2=7y-7+y =x24=(-047)y
จดุ ยอด O(0, 0)
จดุ ยอด O(0, 0) -747)
yF(=0,-3838) โฟกัส F(0, 4
โฟกัส สมการไดเรคตรกิ ซึ์ y=
สมการไดเรคตรกิ ซึ์
แกนสมมาตร อยบู ่ นแกน y
แกนสมมาตร อยูบ่ นแกน y

ตวั อยา่ ง (y−2)2= 20(x-3) ตัวอยา่ ง (x + 4)2= -16(y-2)
วธิ ีทีา (y−2)2= 4(5)(x-3) วิธที ีา (x + 4)2= 4(-4)(y-2)

ดงั นน้ C = 5 ดังน้น C = -4

จดุ ยอด (h, k) O(3, 2) จุดยอด (h, k) O(-4, 2)

โฟกัส (h+c, k) F(8, 2) โฟกัส (h, k+c) F(-4, -2)

สมการไดเรคตรกิ ซึ์x= h-c = -2 สมการไดเรคตริกซึ์ y= k-c = 6
แกนสมมาตร อยูบ่ นเสน้ ตรง y = 2 แกนสมมาตร อยูบ่ นเสน้ ตรง x = -4

ตวั อยา่ ง y2+ 8y − 24x − 8 = 0

วธิ ีทีา yจ2ดั +รปู 8yสม=ก2าร4ใxห+ม8่ จุดยอด (h, k) O(1, -4)
y2+ 8y + 16 = 24x + 8 +16
โฟกสั (h+c, k) F(7, -4)
(y+4)2= 24x + 24
(y+4)2= 24(x − 1) สมการไดเรคตริกซึ์ x= -5
(y+4)2= 4(6)(x − 1) (x = h-c)
แกนสมมาตร อยบู ่ นเสน้ ตรง y = -4
(y = k)

ตวั อยา่ ง x2+ 6x + 20y + 49 = 0

วธิ ที ีxา2จ+ัดร6ูปxส=ม−กา2ร0ใyหม−่ 49 9 จดุ ยอด (h, k) O(-3, -2)
โฟกัส (h, k+c) F(-3, -7)
x2+ 6x + 9 = −20y – 49 +
สมการไดเรคตริกซึ y= 3
(x+3)2= −20y − 40 (y = k-c) ์
(x+3)2= −20(y + 2)
(x+3)2= 4(−5)(y + 2) แกนสมมาตร อยบู ่ นเสน้ ตรง x = -3
(x = h)

วตxิธวั2ีท+อี(ยxา2xx2า+((่(+x2ง1x2+1)+x)+212421()x2)12x22)=22==+==+411161(46y66x4−(yxyy)(−−2y4−−−1−+151451661265464y1))y++โจส((แ24yxดุ2ฟมก1ย1ก=ก=นอาัสสkh=รดม=-)ไ(chม(ด0h),า0เ,ต(รkนา+คkรอ4)ยcตมา)หูบร่ารกินทีง้ ซสเอึสงข์าน้้งขอตงสOรมyFกง(า(=ร-)-x-2211=,,51-61961566291))

วงรี

วงรี คือ เซึตของจดุ ทีกุ จดุ บนระนาบ ซึ่งผลบวกของระยะหา่ ง
โจาดกยจคดุ า่ใคดงตๆวั มใานกเกซึวตา่ นระไ้ ยปะยหงั า่จงดุ รคะงหทีวส่า่ งอจงดุจดคุ งมทคี ีท่า่ีคง้ งสตอวั ง

จดุ คงที่ เรยี กวา่ “โฟกัสของวงร”ี

1. ความสมั พนั ธท์ ีม่ ีกราฟเปน็ วงรที ีผ่ ลบวกของระยะจากจดุ P(x, y) ใด ๆ
บนวงรมี ายงั จดุ โฟกสั F(-c, 0) และ Fx(c2, 0) byเ22ทีา่ =กบั 1}2a
a2
{(x, y) ∈ R xR +

1. จุดศนู ยก์ ลางอยทู ่ ี่ (0, 0)
2. แA,ก(-นaเ,อ0ก)อยแทูล่ ีะแ่ กAน(a,x0)
3. หนว่ ย เปน็ จดุ ยอดของวงรี เราเรยี ก A,A วา่
แกนเอก ยาว 2a B(0, b)
4. B,(0, -b) และ เปน็ จดุ ปลายแกนโทีของวงรี
เราเรยี ก B,B วา่ แกนโที ยเปาน็ว โ2ฟbกหสั นขอว่ ยงวงรี
5. F,(-c, 0) และ F(c, 0) และ
F,F ยาว 2c หนว่ ย
6. aLa>tusbr>ect0umแลขอะงaวง>รยี าcว>2ba20 และ b2= a2 - c2
7.

2. ความสมั พนั ธท์ ีม่ กี ราฟเปน็ วงรที ีผ่ ลบวกของระยะจากจดุ P(x, y) ใด ๆ
บนวงรมี ายงั จดุ โฟกสั F(0, -c) และ Fy(02, c) bxเ22ทีา่ =กบั 1}2a
a2
{(x, y) ∈ R xR +

1. จุดศนู ยก์ ลางอยทู ่ ี่ (0, 0)
2. แA,ก(0น,เอ-กa)อยแทูล่ ีะแ่ กAน(0,y
3. a) เปน็ จดุ ยอดของวงรี เราเรยี ก A,A วา่
แกนเอก ยาว 2a หนว่ ย
4. B,(-b, 0) และ B(b, 0) เปน็ จดุ ปลายแกนโทีของวงรี
5เร.าFเ,ร(ยี0,ก-Bc,)Bแวลา่ะแFก(0น,โcที) ยเปาน็ว โ2ฟbกหสั นขอว่ ยงวงรี และ
F,F ยาว 2c หนว่ ย
6. aLa>tusbr>ect0umแลขอะงaวง>รยี าcว>2ba20 และ b2= a2 - c2
7.

3. ความสมั พนั ธท์ ีม่ ีกราฟเปน็ วงรที ีม่ จี ดุ ศนู ยก์ ลางอยทู ่ ีจ่ ดุ O(h, k) และแกนเอกอยบู ่ น
เสน้ ตรง y = k
(x−h)2 (y−k)2
{(x, y) ∈ R x R a2 + b2 = 1}

1. จุดยอดอยทู ่ ีจ่ ดุ A,(h-a, k) และ A(h+a, k)
2. เปน็ จดุ ปลายแกนโทีอยทู ่ ี่ B,(h, k-b) และ
B(h, k+b)
3. จดุ โฟกัสอยทู ่ ีจ่ ดุ F,(h-c, k) และ
F(h+c, k)
4b2. =a > b > 0 และ a > c >0 และ
a2 - c2 2b2
a
5. Latus rectum ของวงรยี าว

4. ความสมั พนั ธท์ ีม่ ีกราฟเปน็ วงรที ีม่ จี ดุ ศนู ยก์ ลางอยทู ่ ีจ่ ดุ O(h, k) และแกนเอกอยบู ่ น
เสน้ ตรง x = h
(y−k)2 (x−h) 2
{(x, y) ∈ R x R a2 + b2 = 1}

1. จดุ ยอดอยทู ่ ีจ่ ดุ A,(h, k-a) และ A(h, k+a)
2. เปน็ จดุ ปลายแกนโทีอยทู ่ ี่ B,(h-b, k) และ
B(h+b, k)
3. จุดโฟกัสอยทู ่ ีจ่ ดุ F,(h, k-c) และ
F(h, k+c)
4b2. =a > b > 0 และ a > c >0 และ
a2 - c2 2b2
a
5. Latus rectum ของวงรยี าว

ตวั อยา่ ง จงเขียนสมการวงรี เม่อ 1โ0ฟหกนัสอว่ ยยทู ่ ีจ่ ดุ (-4, 0) และ (4, 0)
ผลบวกคา่ คงตวั เทีา่ กบั

วิธีทีา โฟกสั อยทู ่ ีจ่ ดุ (-4, 0) และ (4, 0) จะได ้ c = 4

ผลบวกคา่ คงตวั เทีา่ กบั 10 หนว่ ย จะได ้ a= 5

∵ b2= a2 - c2= 25 - 16 = 9 y

x2 y2 (0, 3)
25 9
∴ สมการวงรี + =1 (5, 0)
x(-5, 0)
(-4, 0) (4, 0)

(0, -3)

ตัวอยา่ ง จงเขยี นสมการวงรี เม่อ 2โ0ฟหกัสนอว่ ยยทู ่ ีจ่ ดุ (0, -8) และ (0, 8)
ผลบวกคา่ คงตวั เทีา่ กบั

วิธีทีา โฟกสั อยทู ่ ีจ่ ดุ (0, -8) และ (0, 8) จะได ้ c = 8

ผลบวกคา่ คงตวั เทีา่ กับ 20 หนว่ ย จะได ้ a= 10

∵ b2= a2 - c2= 100 - 64 = 36 y
(0, 10)
y2 x2
∴ สมการวงรี 100 + 36 = 1 x(0, 8)

(-6, 0) (0, -8)(6, 0)

(0, -10)

ตวั อยา่ ง จงเขยี นสมการวงรี ซึง่ ผลบวกของระยะจากจดุ P(x, y)ใด ๆ บนวงรไี ปยงั จดุ

(-3, 2) และ (3, 2) เทีา่ กบั 10 หนว่ ย
วธิ ีทีา PF, + PF
F,F = 2a = 6 จะได ้ a = 5
∵ b2= a2 = 2c - 9 จะได ้ c = 3
- c2= 25 16
=
(−32+3 , 2+22) = (0, 2)
จุดศนู ยก์ ลางอยทู ่ ี่จดุ
(x−0)2 (y−2)2
∴ สมการวงรี 25x2 + (y−126)2 = 1 16x2+ 25(y2- 4y + 4) = 400
25 + = 16x2+ 25y2 - 100y + 100 = 400
16 1 16x2+ 25y2 - 100y - 300 = 0

ตวั อยา่ ง จงเขยี นสมการวงรี ซึง่ ผลบวกของระยะจากจดุ P(x, y)ใด ๆ บนวงรไี ปยงั จดุ

วธิ ีทีา (-2, 3) และ (-2, -5)2เaทีา่ กบั 10 หนจะว่ ไยด ้ a = 5
PF, + PF = 9 จะได ้ c = 4
F,F = 2c = 8
∵ b2= a2 - c2= 25 - 16 =
จุดศนู ยก์ ลางอยทู ่ ีจ่ ดุ ((−2)+2 (−2) , 3+(2−5)) = (-2, -1)
(x+2)2 (y+1)2
∴ สมการวงรี + 25 = 1
9(y92+
25(x2+4x+4)+ 2y + 1) = 225
25x22+51x020+x 9+y210+010+09xy+2
+18y +9 = 225
18y - 116 = 0

ตวั อยา่ ง จงเขยี นสมการวงรี ซึ่งมจี ดุ ศนู ยก์ ลางอยทู ่ ีจ่ ดุ (2, 3)

วิธที ีา โฟกัสจดุ หนง่ อยทู ่ ีจ่ ดุ (6, 3) และจดุ ยอดจดุ หนง่ อยทู ่ ี่ (7, 3)

จุดศนู ยก์ ลางอยูท่ ี่จดุ (h, k) = (2, 3)

โฟกสั จุดหนง่ อยทู ่ ี่จุด (h+c, k) = (6, 3)
h + c = 6 ดังนน้ c=4

จุดยอดจุดหนง่ อยทู ่ ี่ (h+a, k) = (7, 3)

h + a = 7 ดังน้น a=5
∵ b2= a2 - c2= 25 - 16 = 9

∴ สมการวงรี (x−2)2 + (y−3)2 =1
25 9

ตัวอยา่ ง จงเขยี นสมการวงรี ซึง่ มจี ดุ ยอดอยทู ่ ีจ่ ดุ (-10, 2) และ (10, 2)

วิธีทีา โฟกสั อยทู ่ ีจ่ ดุ (-8, 2) และ (8, 2)
A,A
F,F a2 = 2a = 20 จะได ้ a = 10
∵ b2= = 2c = 16 จะได ้ c = 8
- c2= 100 - 64 36
=
จุดศนู ยก์ ลางอยูท่ ีจ่ ดุ ((−102)+10 , 2+22) = (0, 2)
(x1−1x000200)2+ +(y(−y3−363)362)2=
∴ สมการวงรี = 1
1

การหาจดุ ศนู ยก์ ลาง จุดโฟกัส และจุดยอดของสมการวงรี
cตว2ธิ วั=ที อีaยา2า่ -งabb222===x222152655+- y2
16 = 1 ตวั อยา่ ง x2 + y2 = 1
36 100
จะได ้ a = 5 วิธที ีา a2 = 100 จะได ้ a = 10
b2
จะได ้ b = 4 = 36 จะได ้ b = 6

16 = 9 จะได ้ c=3 c2= a2 - b2= 100 - 36 = 64 จะได ้ c=8

จดุ ศนู ยก์ ลางอยทู ่ ี่ (0, 0) จดุ ศนู ยก์ ลางอยทู ่ ี่ (0, 0)
จดุ โฟกสั อยทู ่ ี่ (-3, 0) และ (3, 0) จดุ โฟกสั อยทู ่ ี่ (0, -8) และ (0, 8)
จดุ ยอดอยทู ่ ี่ (-5, 0) และ (5, 0) จดุ ยอดอยทู ่ ี่ (0, -10) และ (0, 10)

ตัวอยา่ ง 4x2+ 9y2 = 36 ตัวอยา่ ง 16x2+ 9y2-144 = 0
วิธที ีา นา +36y42หา=รที1ง้ สองขา้ ง วธิ ีทีา ab-22bนx922==า=91+11646y41-62ห9จจ=า=ะะรไไ1ท7ีดดง้ จ้้สabะอไ==งดข้ 34cา้=ง
x2 9 จะได ้ a = 3
c2= a2 9 4 จะได ้ b = 2 c2= a2
a2 = 9 - 4 = 5 จะได ้ c=
-bb22==
5 7

จุดศูนยก์ ลางอยทู ่ ี่ (0, 0) จดุ ศนู ยก์ ลางอยูท่ ี่ (0, 0)
จดุ โฟกสั อยทู ่ ี(่ - 5, 0) และ ( 5, 0) จดุ โฟกสั อยทู ่ ี(่ 0, - 7) และ (0, 7)
จุดยอดอยทู ่ ี่ (-3, 0) และ (3, 0) จดุ ยอดอยทู ่ ี่ (0, -4) และ (0, 4)

ตัวอยา่ ง (x+2)2 + (y+3)2 =1 ตัวอยา่ ง 25(x−3)2+ 9(y−1)2-225 = 0
25 9 ab-22b(นx2==า−=99223252)525-ห+9จจาะะ(=รyไไท−21ีดด6้ง51้้ ส)baจ2อะ==ไง=ดข53า้ ้ c1ง=
วธิ ีทีา a2 = วิธที ีา 4
-bb22== 25 - จะได ้ a = 5 ้ c=4
c2= a2 9 จะได ้ b = 3 c2= a2
25 9 = 16 จะได

จดุ ศูนยก์ ลางอยทู ่ ี่ (-2, -3)
จุดโฟกสั อยทู ่ ี่ (-6, -3) และ (2, -3)
จุดยอดอยูท่ ี่ (-7, -3) และ (3, -3) จุดศนู ยก์ ลางอยูท่ ี่ (3, 1)
จดุ โฟกสั อยทู ่ ี(่ 3, -3) และ (3, 5)
จดุ ยอดอยูท่ ี่ (3, -4) และ (3, 6)

ตัวอยา่ ง 25x2+ 16y2+ 50x + 64y - 311 = 0
วิธที ีา (25x2+ 50x) + (16y2+ 64y) = 311
25(x2+ 2x) + 16(y2+ 4y) = 311
25(x2+ 2x + 1) + 16(y2+ 4y + 4) = 311 + 25 + 64
25(x(x++116)12)2++1(6y(y+2+252)2)2
ba22 = 25 = 400 -5) (-1, -2)
c2= = 16 จะได ้ a = 5 -7) และ (-1, 1)
a2 - จะได ้ b = 4 =1 และ (-1, 3)
b2= 25 - 16 = 9 จะได ้ c= 3 จุดศนู ยก์ ลางอยูท่ ี่
จดุ โฟกสั อยทู ่ ี่(-1,
จดุ ยอดอยูท่ ี่ (-1,

ไฮเพอรโ์ บลา

ชั้นมัธยมศกึ ษาปีที่ 4

ไฮเพอรโ์ บลา

ไฮเพอรโ์ บลา คือ รเซะึยตขะอทีงาจงุดจทาีกุกจจุดดุ ใบดนรๆะในนาบเซึซตึน่งผไ้ ลปตยา่ังงจขดุ อคงงที่
สองจดุ มคี า่ คงตวั ซึง่ มากกวา่ ศนู ย ์
แตน่ อ้ ยกวา่ ระยะหา่ งระหวา่ งจดุ คงที่ทีง้ สอง

จดุ คงที่ เรยี กวา่ “โฟกัสของไฮเพอรโ์ บลา”

{บ1(.xนค,ไวฮylา,มเ)พส∈อมั รพโ์Rนั บธxลท์ ีาม่RมYกี ายรxaางั 22ฟจเดุ -ปโน็ ฟbyไ22กฮัสlเ=พFอ1,}(ร-โ์ cบ3เ412,.ร.ล..า0จแาBAเุด)รท,,ก((ศยีี-0นแมู่นกa,ต,ลยผี -าAก0ะbม์ล,)A)ลขตาFวแแวงาา(่ลลางอ่งcแะะอยข,กยทูอAB่ ีน0ทู(่(่งีa0ต()แ่ ร0,,าก,ะมเ0bนทย0ข))ีว)ะเาเx่าปปจกงน็น็าบัยจกจาุดดุ จว2ยปดุ aอ2ลaดาPยขห(อแxนงก,ไว่นยฮyสเ)งพั ยใอคุรดขโ์ อบๆงลา
B(0, b) แ6แ578ไ....ฮลลเเcLFะะพรa,มF(ีย>tอ,-สีFuกcรมs,โย์ aกlบ0าrาแ>วe)ลรcลาเแ2tปเะc0uรลน็ าlะmห,แเรyวFนลขยีา(่อะวc=่เกยงส,b±วน้0B2งอ),=รabBะcxยีเซป2วาึ-มินาว็่ โโaแ2ท2ฟbaกีด2กนสั ส(ขaงั อsยyงคุmไpฮยtเาพoวtอe2ร)bโ์ บหลนาว่ ย

X

F,(-c, 0) A,(-a, 0) A(a, 0) F(c, 0)
B,(0, -b)

{บ2(.xน,คไวฮyาเ)มพส∈อlมั,Bรพ,โ(์R-นั บbF,ธxล(ท00์า,ี)Rมม่ cF)Yากี ,(ย0รAayB,A(งัา0(22,-bฟ(จ,c0,)lดุaเ,-0ป)โ-)aน็ฟbx)2ไ2กฮัส=เพF1อX,}(ร0โ์,บ3แ6แ57เ84ไ12.ร-......ฮ.ลลลาcจเเcLแFะะBAเาพรดุa),รมF,,ก(ทยี>((tศอ,ยี0สี0-Fีนuแกรูน,กbม่ม,ตsโย์ลยa-ก-lผีา,บAาrcก0aะาม์แ>ว,eล)ลร)Aล)ขcลาเตแ2าFวแแtปเะวงาc0uรลา(ลลา่น็งอ่0าlะงmแะะห,อยแเ,ขกรyยวFนทูลAขB่อยีีาน(ทู่cอะ(ว่(0=่่เี0กงbตย()งสแ่,0b,,ร±าวนก้Bc,2มเงa0ะอ)น,=ทร0ba)ข)Bยะีxยีเว)เาcซเyป่ะาวาปึป2กงมินาวจ็่น็น-็ โาบัโยแ2จจaกทฟbaาุดดุกี2ดว2จก2ยปนดุสัaอ2ลส(ขaaดางั อsยPขยyหงอ(แคุmไxนงกpฮ,ไยว่นtเยฮาพyoสเวt)องพั eย2รอใ)bโค์ุรดบขโ์หอลบนงๆาลว่าย

3. ความสมั พนั ธท์ ีม่ ีกราฟเปน็ ไฮเพอรโ์ บลาทีม่ จี ดุ ศนู ยก์ ลางอยทู ่ ีจ่ ดุ O,(h, k)
แกนตามขวางอยบู ่ นเสน้ ตรง y = k
(x−h)2 - (y−k)2 = 1}
{(x, y) ∈ R x R a2 b2

Y 1BFเ4235.ร,....(Fจียhจจcจุด,กดุยดุดุ โ>kศายปAฟ+วนู อล,bกAย2aดา)สั ยcกอ์วเ>อลแยาร่หยแายีกทู ่นทูงี่ก0กนีจ่อวจ่่นดุสยยแุดBตงั ทูล,A่ยาีBFะ,่มค,ุ(((hวขhอhb-าว,่-2ยaาck=แทู,ง่,ี)cกจ่k2ยkนดุ))-าสแวแBaงั ล2,ล2ย(ะhะaคุ ,AFหยk((h-นhา+b+วว่ a)cย2,,แbkkล))หะ นว่ ย

l, l

B(h, k+b)

A,(h-a, k) O,(h, k) A(h+a, k)
F,(h-c, k) B,(h, k-b) F(h+c, k)

X

6. เรยี ก l และ l, yว-า่ kเส=น้ อ±ะซabึมิ(xโ−ทhี)ด (asymptote)
และมสี มการเปน็

4. ความสมั พนั ธท์ ีม่ กี ราฟเปน็ ไฮเพอรโ์ บลาทีม่ จี ดุ ศนู ยก์ ลางอยทู ่ ีจ่ ดุ O,(h, k)
แกนตามขวางอยบู ่ นเสน้ ตรง x = h
(y−k)2 - (x−h)2 = 1}
{(x, y) ∈ R x R a2 b2

Y l 24B51Fเ3.ร,...(.Fจียhจจcจุด+กุดยดุดุ โb>ศายป,Aฟวนู อล,kกAย2aดา)สั ยcกอ์วเ>อลแยาร่หยแายีกทู ่นทูงี่ก0กนีจ่อวจ่่นดุสยยแุดBตงั ทูล,A่ยาีBFะ,่มค,ุ(((hวขhhอb,าว,่,2ยาkk=แทkูง่-ี)c-กจ่a2cยนดุ))-าสแวแBaงั ล2,ล2ย(ะhะaคุ -AFหbย((,hนhา,k,วว่ )kยk2++แbacล))หะ นว่ ย

F(h, k+c)
l, A(h, k+a)

B,(h-b, k) O,(h, k) B(h+b, k)

X

A,(h, k-a)

F,(h, k-c) 6. เรียก l และ l, yว-า่ kเส=น้ อ±ะซabึมิ(xโ−ทhี)ด (asymptote)
และมสี มการเปน็

5. ไฮเพอรโ์ บลามมุ ฉาก คือ ไฮเพอรโ์ บลาทีม่ สี มการอยใู ่ นรปู

xy = k เมอ่ k เปน็ คา่ คงที่

- ถา้ k > 0 กราฟของไฮเพอรโ์ บลาจะอยใู ่ นควอดรนั ตท์ ี่ 1 และ 3
- ถา้ k < 2 และ 4
0yกราฟของไฮเพอรโ์ บลาจะอยใู ่ นควyอดรนั ตท์ ี่

k>0 k<0

x x

ตวั อยา่ ง บจงนหไาฮสเมพกอารรโ์ ขบอลงาไไฮปเพยองั รจโุด์ บ(ล-5า,ซึ0่ง)ผแลลตะา่ ง(ข5อ,ง0ร)ะยเทะีจา่ กากบั จดุ6ใหดนๆว่ ย
PF, - PF =
วธิ ที ีา F,F = 2a = 6 จะได ้ a = 3
∵ b2= c2- a2 2c = 10 จะได ้ c = 5
= 25 - 9 = 16

จุดศนู ยก์ ลางอยทู ่ ี่จดุ (0, 0)
สมการไฮเพอรโ์ บลาคอื x2 y2
∴ 9 - 16 = 1

16x2−9y2= 144
16x2−9y2 - 144 = 0

ตวั อยา่ ง จงหาสมการของไฮเพอรโ์ บลา ทีม่ จี ดุ ยอดอยทู ่ ีจ่ ดุ (0, 4) และ
(0, -4) และโฟกสั อยทู ่ ีจ่ ุด (0, -6) และ (0, 6)
A(0, 4) และ A, (0, -4) ∴ A,A = 2a = 8
วธิ ีทีา F(0, 6) และF,(0, -6) ∴ F,F = 2c = 12 จะได ้ a = 4
∵ b2= c2- a2 = 36 - 16 = 20 จะได ้ c = 6

จุดศนู ยก์ ลางอยทู ่ ี่จดุ (0, 0)
y2 x2
∴ สมการไฮเพอรโ์ บลาคือ 16 - 20 =1

20y2− 16x2= 320
20y2− 16x2- 320 = 0

ตัวอยา่ ง จงหาสมการของไฮเพอรโ์ บลาทีม่ จี ุดโฟกสั อยทู ่ ีจ่ ดุ (- 29, 0)
และ ( 29, 0) และจดุ ปลายแกนสงั ยคุ อยทู ่ ีจ่ ดุ (0, -2) และ (0, 2)
วิธที ีา F( 29, 0) และF,(- 29, 0) ∴ F,F = 2c = 2
29 จจะะไไดด ้ ้ c = 2 29
B(0, 2) และ B, (0, -2) ∴ B,B = 2b = 4 b =
∵ a2= c2- b2 = 29 - 4 = 25 ∴ a = 5

จุดศูนยก์ ลางอยทู ่ ีจ่ ดุ (0, 0) y2
x2 4
∴ สมการไฮเพอรโ์ บลาคอื 25 - =1

4x2− 25y2= 100
4x2− 25y2- 100 = 0

ตวั อยา่ ง จงหาสมการของไฮเพอรโ์ บลา ซึ่งผลตา่ งของระยะจากจดุ ใด ๆ
PFบ,น-ไPฮFเพอรโ=์ บลาไ2ปaย=งั จ8ุด (-3, 3) และ (7, 3) เทีา่ กบั 8 หนว่ ย
วิธีทีา
F,F = 2c = 10 จะได ้ a = 4
∵ b2= c2- a2 = 25 - 16 = 9 จะได ้ c = 5

∴ สมการไฮจเุดพศอนู รยโ์9กบ์(xลล2าาง−คออื ย4ทู ่ ีxจ่ +ดุ 4()(−−(x3−211)662+()(y722)−-, 3(+2y63−y)93+=)29(2)=,=13)144
9x2− 36x + 36 − 16y2 + 96y - 144 = 144
9x2− 36x − 16y2 + 96y -252 = 0

ตัวอยา่ ง จจดุ งยหอาดสจมดุ กหารนขง่ อองยไทูฮ่ ีเ่จพุดอ(ร5โ์ ,บ2ล)าแทีลม่ ะจี โุดฟศกนู สั ยจก์ุดลหานงอง่ ยอทูย่ ีทูจ่่ ีดุ จ่ ดุ (1,(62,)2)

วิธที ีา จดุ ศนู ยก์ ลางอยทู ่ ีจ่ ดุ (h, k) = (1, 2)
โฟกสั จดุ หนง่ อยทู ่ ีจ่ ดุ (h+c, k) = (6, 2)

h + c = 6 ดังนน้ c=5

จดุ ยอดจดุ หนง่ อยทู ่ ี่ (h+a, k) = (5, 2)

h + a = 5 ดังนน้ a=4
∵ b2=c2- a2 = 25 - 16 = 9
(x−1)2 (y−2)2
∴ สมการไฮเพอรโ์ บลาคอื 16 - 9 = 1

ตวั อยา่ ง จโงฟหกาสัสจมุดกหารนขง่ อองยไทู ฮ่ ีเจ่ พุดอ(ร-โ์4บ, ล6า)ทีแ่มลจี ะุดจศดุ นูยยอกด์ ลอายงบู ่อนยแทู ่ ีกจ่ นดุ (-4, 2)
x

วิธที ีา จดุ ศนู ยก์ ลางอยทู ่ ีจ่ ดุ (h, k) = (-4, 2)
(-4, 6)
โฟกสั จดุ หนง่ อยทู ่ ีจ่ ดุ (h, k+c) = 4
k + c = 6 ดังนน้ c =

จุดยอดจดุ หนง่ อยแู ่ กน x ที่ (h, 0) = (-4, 0)
h + a = 0 ดังนน้ a=2
∵ b2=c2- a2 = 16 - 4 = 12
− 2)2 2
∴ สมการไฮเพอรโ์ บลาคอื (y 4 - (x + 4) = 1
12

การหาจดุ ศนู ยก์ ลาง จุดจโาฟกกสมสั กจาดุ รยไอฮเดพแอรลโ์ะบสมลาการของเสน้ asymptote

ตวั อยา่ ง x2 - y2 =1 ตวcธิ2วั ีท=อียaา2า่ ง+bab2292y===2797y−72+ 7x2= 63
25 16 - x92จะไ=ด1้ a =
วธิ ที ีา a2 = จะได ้a = 5 จดุ ศนู ยก์ ลางอยทู ่ ี่
c2= a2 +bb22== 25 ้b = 4 7
16 จะได 41 จะได ้ b = 3 4
16 = 41 จะได ้ c= c=
25 + 9= 16 จะได ้

จุดศนู ยก์ ลางอยทู ่ ี่ (0, 0) (0, 0)
จดุ โฟกสั อยทู ่ ี่ (- 41, 0) และ ( 41, 0)
จดุ ยอดอยทู ่ ี่ (-5, 0) และ (5, 0) จดุ โฟกสั อยทู ่ ี่ (0, -4) และ (0, 4)
สมการของเสน้ จุดยอดอยทู ่ ี่ (0, - 7 ) และ (0, 7 )
asymptote คอื y =± 45x สมการของเสน้ asymptote คือ y = ± 7x

ตวั อยา่ ง 16y2 − 20x2 - 80x + 32y + 256 = 0
วิธที ีา (161y62(y+23+22yy) )−− (2200x(x22++840xx))
= -256
= -256
16(y2+ 2y + 1) − 20 (x2+ 4x + 4) = -256 + 16 - 80
16(y+1)2 −20(x+2)2 = -320
ab22 == 2160 จจะะไไดด ้้ ab ==(x+41622)02 - (y2+01)2 = 1c2= a2 + b2= 16 + 20 = 36 จะได ้ c= 6
จดุ ศนู ยก์ ลางอยทู ่ ี่ (-2, -1)

จดุ โฟกสั อยทู ่ ี(่ -8, -1) และ (4, -1)
จุดยอดอยทู ่ ี่ (-6, -1) และ (2, -1)
20
สมการของเสน้ asymptote คือ y+1 = ± 4 (x+2)

y+1 = ± 5 (x+2)
2