ppt สรุปวงรีแก้

สรุป ภาคตัดกรวย (วงรี)

สิง่ ทีค่ วรรู้

a คอื ระยะหา่ งระหวา่ งจดุ ศนู ยก์ ลางกบั จดุ ยอด

b คือ ระยะหา่ งระหวา่ งจดุ ศนู ยก์ ลางกบั จดุ ปลายแกนโท

c คือ ระยะหา่ งระหวา่ งจดุ ศนู ยก์ ลางกบั จดุ โฟกสั

จำ!!! จุดศูนย์กลำงอย่รู ะหว่ำง จุดยอดทัง้ สอง หรือระหว่ำงจุดโฟกัสทัง้ สอง หรือ

ระหว่ำงจดุ ปลายแกนโททัง้ สอง

จา!!! จุดศูนย์กลำง จุดโฟกัส และจุดยอดอยู่บนแกนเอกเสมอ

สตู รพนื้ ฐานทตี่ ้องได้ ประโยคเดด็

(น + ล) = น + 2นล + ล - เจอประโยคทบี่ อกวา่ ผลบวกคา่ คงตวั
(น − ล) = น - 2นล + ล
ใหร้ ู้ไว้ จะมีคา่ เท่ากับ 2a

- ผลบวกของระยะจากจุดใดๆบนวงรีไปยงั จุด

F F’..................... และ .................... ใหร้ ู้ไวจ้ ะมี

ค่าเท่ากบั 2a

F, F’คอื จดุ โฟกสั

(x+3)2 = x2 + 2(x)(3) + 32 = x2 + 6x + 9
(x−4)2 = x2 - 2(x)(4) + 42 = x2 - 8x + 16

วงรีทีม่ จี ดุ ศนู ยก์ ลางอยทู่ จ่ี ดุ กาเนดิ (0, 0)

กรณีแกนเอกอยบู่ นแกน X กรณแี กนเอกอยบู่ นแกน Y

Y Y

P B(0, b) M A(0, a)

A’(−a, 0) F’(−c, 0) F(c, 0) A(a, 0)X P F(0, c) Q
C(0, 0)
B’(−b, 0) C(0, 0) B(b, 0) X
Q B’(0, −b) N M
F’(0, −c)

N

เมอ่ื 1. C(0, 0) คือ จุดศูนย์กลำง 2. A และ A’คือ จดุ ยอด A’(0, −a)

3. B และ B’ คือจดุ ปลำยแกนโท 4. F และ F’ คือจดุ โฟกสั

5. PQ และ MN คือ ความยาวลาตสั เรกตมั

Ex 1 จงหาสมการวงรจี ากส่ิงทกี่ าหนดใหต้ อ่ ไปนี้
จดุ ยอดอยูท่ ี่ (0, -10) และ (0, 10) และจดุ โฟกสั อยทู่ ี่
(0, -6) และ (0, 6)

A(0, 10) นาส่งิ ท่ีโจทยใ์ ห้ มา A(0, 10)
F(0, 6) พลอตจดุ F(0, 6)

C(0, 0) จุดโฟกัสกับจุดยอดอยู่ C(0, 0)
บนแกน Y ดังนั้น แกน F’(0, -6)
F’(0, -6) เอกคอื แกน Y ไดว้ งรี A’(0, -10)
A’(0, -10) แนวตงั้

เทคนคิ การจา หา a จาก A’(0, -10) ห่างกบั C(0,0) และ
สมการวงรีส่งิ ทส่ี าคัญมาก คือ ค่า a > b หา c จาก F’(0, 6) หา่ งกับ C(0, 0) ก็ได้ ให้
- ถ้าตัวสว่ นมาก เปน็ ตวั ส่วนของ x2 เลอื กจดุ ใดจดุ หนง่ึ
เพราะ จุดศนู ย์กลางห่างกับจดุ ยอดของวงรีเป็น
จะไดแ้ กนเอกคือ แกน X ระยะทาง a หน่วย และจดุ ศนู ยก์ ลางหา่ งกบั จุด
โฟกสั ของวงรีเป็นระยะทาง c หน่วย
- ถา้ ตัวสว่ นมาก เปน็ ตวั ส่วนของ y2 จะ
ไดแ้ กนเอกคอื แกน Y วิธีทา จากโจทย์จะได้ A(0, 10) หา่ งกับ C(0, 0) อยู่
10 หน่วย ดังนนั้ a = 10
มีคาถามมาถามจา้ นกั เรยี น
คาถาม 1 จดุ ยอดและจุดโฟกสั อย่บู นแกนอะไร ? และ F(0, 6) ห่างกบั C(0, 0) อยู่ 6 หน่วย
เฉลย แกน Y ดงั นน้ั แกนเอกคอื แกน Y และได้ ดังน้ัน c = 6
วงรีแนวตง้ั หา b2 จาก a2 = b2 + c2
คาถาม 2 เมือ่ รวู้ ่าแกนเอกคือแกน Y รปู สมการ
วงรคี า่ a2 เปน็ ตวั ส่วนของอะไร ? เฉลย y2 รูป 100 = b2 + 36
b2 = 64
2 x2
สมการคือ a2 + b2 = 1 y2 a2
คาถาม 3 โจทยใ์ ห้จดุ ยอดมาจะทาให้รู้คา่ อะไร ? สมการวงรี คอื a2 + b2 = 1
เฉลย คา่ a และโจทย์ให้จุดโฟกสั มาจะทาให้รู้ค่า
อะไร ? เฉลย คา่ c y2 x2
คาถาม 4 หาค่า b2 จากไหน ? 100 + 64 = 1
เฉลย a2 = b2 + c2
64y2 + 100x2 = 6,400
100x2 + 64y2 – 6,400 = 0

25x2 + 16y2 – 1,600 = 0
ดงั นัน้ สมการวงรี คอื 25x2 + 16y2 – 1,600 = 0

Ex 2 จากสมการวงรี จงหาแกนเอก จุดศูนยก์ ลาง จดุ ยอด จดุ โฟกสั
จุดปลายแกนโท และความยาวลาตสั เรกตมั

ทาให้ดา้ นขวาเทา่ กับ 1 4x2 + 9 y2 = 36 จะได้ a = 3, b = 2
อยา่ ลมื คา่ a > b
วิธที า นา 36 มาหารตลอด ได้ หา c จาก a2 = b2 + c2

4x2 9y2 36 9 = 4 + c2
36 + 36 = 36 c2 = 5
x2 y2
9 + 4 =1 c= 5
x2 y2
32 + 22 = 1

1. แกนเอก คือ แกน X ไดว้ งรีแนวนอน เพราะตวั สว่ นทมี่ คี ่ามาก เปน็ ตัวสว่ นของ x2
2. จดุ ศูนย์กลาง คือ C(0, 0)
3. จุดยอด คอื A(3, 0) และ A’(-3, 0) เดินไปทางซา้ ยและขวา อยา่ งละ a = 3 หน่วย

4. จดุ โฟกสั คอื F( 5, 0) และ F’(- 5, 0) เดินไปทางซา้ ยและขวา อย่างละ
c = 5 หนว่ ย

5. จดุ ปลายแกนโท B(0, 2) และ B’(0, -2) เดินขึ้นบน ลงล่างอยา่ งละ b = 2 หน่วย
2b2 2(4) 8

6. ความยาวลาตสั เรกตัม คอื a = 3 = 3 หน่วย

วงรที ีม่ จี ดุ ศนู ยก์ ลางอยทู่ ่ีจดุ กาเนดิ (h, k)

กรณีแกนเอกขนานแกน X กรณแี กนเอกขนานแกน Y
วงรแี นวตง้ั
วงรแี นวนอน
(y − k)2 (x − h)2
(x − h)2 ;’ − k)2 a2 + b2 = 1

(y
a2 + b2 = 1

เทคนคิ ควรจา สงิ่ ท่หี า้ มผลาดเดด็ ขาด

แกนเอก - จุดยอด เดนิ ไป a หน่วย จากจุดศนู ยก์ ลาง
จะมีจดุ ยอด และจุดโฟกัสเสมอ - จดุ ปลายแกนโท เดินไป b หน่วย
จากจุดศูนยก์ ลาง
แกนโท
จะมีจดุ ปลายแกนโท - จุดโฟกสั เดินไป c หนว่ ย จากจดุ ศนู ย์กลาง

วงรแี นวนอน วงรีแนวตง้ั

แกนเอกขนานแกน X คอื y = …… แกนเอกขนานแกน Y คอื x = ……
แกนโทจะขนานแกน Y คือ x = ……. แกนโทจะขนานแกน X คอื y = …….
จุดยอด จุดโฟกสั เดนิ ไปทางซา้ ยและขวา จุดยอด จดุ โฟกสั เดนิ ขนึ้ บนและลงลา่ ง

(พิกดั Y เหมือนเดมิ ) (พิกัด x เหมอื นเดมิ )
จุดปลายแกนโท เดินขนึ้ บน ลงลา่ ง จดุ ปลายแกนโท เดนิ ไปซา้ ย ขวา

(พกิ ัด X เหมอื นเดมิ ) (พิกัด Y เหมอื นเดมิ )

ตวั อยา่ งเช่น C(2, 5)

ครตู ง้ั โจทย์วา่ แกนเอกขนานแกน Y จะไดว้ งรี
แนวต้ัง มจี ดุ ศูนย์กลางอยทู่ ่ี C(2, 5) , a = 5
b = 4 และ c = 3 จงหา
จดุ ยอด จุดโฟกัส และจดุ ปลายแกนโท

A(2, 10)

C(2, 5) หาจดุ ยอด ดทู คี่ ่า a = 5

A’(2, 0) ตอ้ งเดนิ ข้ึนบน ลงล่างจากจุดศูนย์กลาง C(2, 5)
F(2, 8) อย่างละ 5 หน่วย
- เดนิ ข้นึ บน 5 หน่วย ได้ A(2, 10)
C(2, 5) - เดินลง 5 หนว่ ย ได้ A’ (2, 0)

F’(2, 2) หาจดุ โฟกัส ดทู ่คี ่า c = 3

ต้องเดนิ ข้นึ บน ลงล่างจากจุดศนู ย์กลาง C(2, 5)
อย่างละ 3 หน่วย
- เดนิ ขึ้นบน 5 หน่วย ได้ F(2, 8)
- เดนิ ลง 5 หน่วย ได้ F’ (2, 2)

B’(-2, 5) C(2, 5) B(6, 5) หาจดุ ปลายแกนโท ดทู ่คี ่า b = 4

ต้องเดนิ ทางซา้ ย ขวาจากจดุ ศูนย์กลาง C(2, 5)
อย่างละ 4 หน่วย
- เดินทางขวา 4 หนว่ ย ได้ B(6, 5)
- เดนิ ทางซ้าย 4 หนว่ ย ได้ B’ (-2, 5)

A(2, 10)
F(2, 8)

B’(-2, 5) C(2, 5) B(6, 5)

F’(2, 2)
A’(2, 0)

ขอขอบคณุ ครไู ก่

สนบั สนนุ โดย

“อยากสงู ตอ้ งเขยง่ อยากเก่งตอ้ งขยนั ”
สรปุ วงรีน้ี จดั ทาขนึ้ เพ่ือเปน็ แนวทางในการเรยี น ไม่ใช่วา่ อา่ นแลว้

จะสามารถทาได้ ถา้ ไมฝ่ ึกทาโจทย์ การท่จี ะทาได้นัน่
ขนึ้ อยกู่ บั ความพยายามและความเอาใจใส่ของแตล่ ะบคุ คล

ว่ามมี ากหรือนอ้ ยเพียงใด
ขอใหต้ งั้ ใจและขอใหน้ กั เรยี นทกุ คนของครโู ชคดี