Matematik_Tingkatan_2

KURIKULUM STANDARD SEKOLAH MENENGAH

MATEMATIK

TINGKATAN 2

Penulis
Bahariah binti Hj. Baharam
Baharizah binti Hj. Baharam
Nurul Jannah binti Ahmad
Nurazreen binti Mohd Tahir
Mohd Nazri bin Mohd Hanafiah

Editor
Mohan a/l Nanu
Muhammad Nur Syafiq bin Jamaluddin
Nafisah binti Yeop Mohamad Kassim
Pereka Bentuk
Mohamad Zairul bin Mohamad Kassim
Wan Nora Ashikin binti Abd Razak

Ilustrator
Ahmad Fitri bin Tajudin

2017

Bab 1 Pola dan Jujukan

BAB 1 KEMENTERIAN
PENDIDIKAN
MALAYSIA

NO. SIRI BUKU: 0062 PENGHARGAAN

KPM2017 ISBN 978-967-2031-05-5 Penerbitan buku teks ini melibatkan kerjasama
Cetakan Pertama 2017 banyak pihak. Sekalung penghargaan dan
© Kementerian Pendidikan Malaysia terima kasih ditujukan kepada semua pihak
yang terlibat:
Hak Cipta Terpelihara. Mana-mana bahan dalam • Jawatankuasa Penambahbaikan Pruf
buku ini tidak dibenarkan diterbitkan semula,
disimpan dalam cara yang boleh dipergunakan Muka Surat, Bahagian Buku Teks,
lagi, ataupun dipindahkan dalam sebarang bentuk Kementerian Pendidikan Malaysia.
atau cara, baik dengan cara elektronik, mekanik, • Jawatankuasa Penyemakan Pembetulan
penggambaran semula mahupun dengan cara Pruf Muka Surat, Bahagian Buku Teks,
perakaman tanpa kebenaran terlebih dahulu Kementerian Pendidikan Malaysia.
daripada Ketua Pengarah Pelajaran Malaysia, • Jawatankuasa Penyemakan Naskhah
Kementerian Pendidikan Malaysia. Perundingan Sedia Kamera, Bahagian Buku Teks,
tertakluk kepada perkiraan royalti atau honorarium. Kementerian Pendidikan Malaysia.
• Pegawai-pegawai Bahagian Buku Teks
Diterbitkan untuk Kementerian Pendidikan dan Bahagian Pembangunan Kurikulum,
Malaysia oleh: Kementerian Pendidikan Malaysia.
RIMBUNAN ILMU SDN. BHD. • Ahli panel penilaian dan
No. 92-G, 92-1 & 92-2, Blok 2, Wisma Salleh peningkatan mutu.
Saidin, Jalan Dwi Tasik, Dataran Dwi Tasik, • Bahagian Editorial dan Bahagian
Bandar Sri Permaisuri, 56000 Kuala Lumpur Produksi, terutamanya pereka bentuk
Tel: 03-91722888 Faks: 03-91734888 dan ilustrator.
Emel: [email protected] • Semua pihak yang terlibat secara
langsung atau tidak langsung dalam
Reka Letak dan Atur Huruf: menjayakan penerbitan buku ini.
RIMBUNAN ILMU SDN. BHD. (676602-W)
Muka taip teks: Times
Saiz taip teks: 11 poin

Dicetak oleh:
BHS BOOK PRINTING SDN. BHD. (95134-K)
Lot 4, Lorong CJ/1B, Kawasan Perindustrian
Cheras, 43200 Cheras,
Selangor Darul Ehsan,
Malaysia

ii

Bab 1 Pola dan Jujukan

BAB 1

Pendahuluan v Bab 5 Bulatan 74
Simbol dan Rumus vii
5.1 Sifat Bulatan 76
Bab 1 Pola dan Jujukan 1 5.2 Sifat Simetri Perentas 81
5.3 Lilitan dan Luas Bulatan 86
1.1 Pola 2
1.2 Jujukan 7
1.3 Pola dan Jujukan 10

Bab 6 Bentuk Geometri 98
Tiga Dimensi

Bab 2 Pemfaktoran dan Pecahan 6.1 Sifat Geometri Bentuk Tiga
Dimensi
Algebra 18 100

2.1 Kembangan 21 6.2 Bentangan Bentuk Tiga Dimensi 102
2.2 Pemfaktoran 27
2.3 Ungkapan Algebra dan Hukum 6.3 Luas Permukaan Bentuk Tiga 104
Operasi Asas Aritmetik 34 Dimensi

6.4 Isi Padu Bentuk Tiga Dimensi 110

Bab 3 Rumus Algebra 42 Bab 7 Koordinat 120

3.1 Rumus Algebra 44 7.1 Jarak dalam Sistem Koordinat
Bab 4 Poligon
Cartes 122

7.2 Titik Tengah dalam Sistem

54 Koordinat Cartes 132

7.3 Sistem Koordinat Cartes 140

4.1 Poligon Sekata 56
62
4.2 Sudut Pedalaman dan Sudut
Peluaran Poligon

iii

Bab 1 Pola dan Jujukan

BAB 1

Bab 8 Graf Fungsi 144 Bab 12 Sukatan Kecenderungan

8.1 Fungsi Memusat 244
8.2 Graf Fungsi
146

151 12.1 Sukatan Kecenderungan

Memusat 246

Bab 9 Laju dan Pecutan 168 Bab 13 Kebarangkalian Mudah 276

9.1 Laju 170 13.1 Kebarangkalian Eksperimen 278
9.2 Pecutan 179
13.2 Kebarangkalian Teori yang 280
Bab 10 Kecerunan Garis Lurus 188 Melibatkan Kesudahan Sama 287
Boleh Jadi 290
10.1 Kecerunan 190
13.3 Kebarangkalian Peristiwa
Pelengkap

13.4 Kebarangkalian Mudah

Bab 11 Transformasi Isometri 206 Jawapan 294
Glosari 308
Rujukan 311
Indeks 312

11.1 Transformasi 208
11.2 Translasi 212
11.3 Pantulan 218
11.4 Putaran 223
11.5 Translasi, Pantulan dan Putaran
sebagai Isometri 230
11.6 Simetri Putaran 234

iv

Bab 1 Pola dan Jujukan

BAB 1

Buku teks Matematik Tingkatan 2 ini ditulis berdasarkan Kurikulum Standard Sekolah Menengah
(KSSM). Buku ini terdiri daripada 13 bab yang disusun dan dirancang secara sistematik berdasarkan
Dokumen Standard Kurikulum dan Pentaksiran (DSKP) Matematik Tingkatan 2.

Pada permulaan bab, murid akan diperkenalkan kepada aktiviti kreatif untuk merangsang
pemikiran murid. Di samping itu juga, objektif pembelajaran dan rangkai kata turut disertakan
untuk memberikan gambaran ringkas tentang kandungan bab.

Buku ini mengandungi ciri-ciri istimewa berikut:

ANDA AKAN MEMPELAJARI Mengandungi standard pembelajaran yang akan
dipelajari dalam setiap bab.

RANGKAI KATA Daftar kata yang terkandung dalam setiap bab.

MASLAHAT BAB INI Sejarah ilmuan terdahulu atau asal usul perkataan
dalam mata pelajaran Matematik.
AKTIVITI KREATIF
Bidang pekerjaan yang berkaitan dengan bab ini
atau kegunaan ilmu bab ini.

Aktiviti induksi yang merangsang perbincangan dan
pemahaman dalam kalangan murid.

Membantu murid memahami konsep asas matematik
melalui aktiviti individu atau berkumpulan.

INGAT ! Mengimbas kembali kemahiran dan pengetahuan
yang pernah dipelajari.
PERHATIAN
Mendedahkan murid kepada pengetahuan tambahan
yang perlu diketahui serta fakta penting dalam bab ini.

Menarik perhatian murid kepada fakta tambahan
yang perlu diketahui, kesilapan yang dilakukan
murid dan mengelakkan kecuaian murid.

v

Bab 1 Pola dan Jujukan

BAB 1

QR CODE Mengutarakan soalan untuk merangsang pemikiran
kreatif dan kritis.
TAHUKAH ANDA ?
Soalan di akhir subtopik untuk menguji kefahaman
MENJANA KECEMERLANGAN murid.

INTI PATI BAB Quick Response Code ialah data seperti URL dalam
bentuk pola yang dapat diterjemahkan menggunakan
REFLEKSI DIRI aplikasi dalam peranti mudah alih pintar.

vi QR Code yang boleh diimbas dengan menggunakan
aplikasi imbasan QR Code pada telefon pintar.

Mendedahkan murid kepada pengetahuan tambahan
yang perlu diketahui.

Memberikan pengetahuan am yang dapat
memperkaya bahan teks yang berkaitan.

Latihan sumatif untuk pengukuhan dan pengayaan
di akhir setiap bab.

Soalan Kemahiran Berfikir Aras Tinggi (KBAT)
untuk menguji kemahiran murid.

Rangkuman seluruh bab secara ringkas yang telah
dipelajari.

Melihat kembali standard pembelajaran yang telah
dipelajari sama ada tercapai atau tidak.

Aktiviti luar bilik darjah untuk meningkatkan
kefahaman dan kreativiti murid di akhir bab.

Bab 1 Pola dan Jujukan

BAB 1

punca kuasa dua SIMBOL
punca kuasa tiga
= sama dengan ∠ sudut
≠ tidak sama dengan T sebutan ke-n
segi tiga ∑ hasil tambah keseluruhan
n bilangan sebutan ⩾ lebih besar daripada atau sama dengan
π pi ⩽ kurang daripada atau sama dengan
n(A) bilangan unsur peristiwa

RUMUS

Hasil tambah sudut pedalaman Jarak dua titik (x2 – x1)2 + (y2 – y1)2
poligon (n – 2) × 180°
�x1 + x2, y1 + y2�
Titik tengah 2 2
Teorem Pythagoras:

c2 a2 + b2 Laju Jarak
a c b2 c2 – a2 Masa

a2 c2 – b2 Laju purata Jumlah jarak
Masa
b
Lilitan 2πj Kecerunan, m Jarak mencancang
Jarak mengufuk
Luas bulatan πj 2 y2 – y1
x2 – x1
Luas sektor = θ m
πj 2 360°

Panjang lengkok = θ m – pintasan-y
2πj 360° pintasan-x

Luas permukaan silinder 2πj 2 + 2πjt Jumlah nilai data
Bilangan data
Luas permukaan kon πj 2 + πjs Min

Luas permukaan sfera 4πj 2 Kebarangkalian Bilangan kesudahan bagi peristiwa A
suatu peristiwa, A Jumlah bilangan kesudahan bagi ruang sampel,
Isi padu prisma luas keratan rentas × tinggi = S

Isi padu silinder πj 2t P(A) = n (A)
n(S )
Isi padu kon 1 πj 2t
3
4
Isi padu sfera 3 πj 3 Peristiwa pelengkap, P(A' ) = 1 – P(A)

Muat turun aplikasi percuma imbasan QR Code daripada Google Play, App Store
atau layaran lain ke peranti mudah alih pintar anda. Imbas QR Code atau layari
laman sesawang http://rimbunanilmu.my/mat_t2/msvii untuk memuat turun fail
video, GeoGebra, hamparan elektronik dan soalan latihan tambahan. Kemudian
simpan fail yang dimuat turun untuk kegunaan luar talian.
Nota: Murid boleh muat turun perisian GeoGebra yang percuma untuk membuka
fail yang berkenaan. http://www.geogebra.org/

vii

Bab 1 Pola dan Jujukan

BAB 1

ANDA AKAN MEMPELAJARI Bunga matahari ialah bunga yang unik

1.1 Pola dari segi pola biji benihnya. Biji benihnya
1.2 Jujukan tersusun secara spiral dan mengikut arah
1.3 Pola dan Jujukan tertentu. Jumlah biji benih pada spiral
itu boleh dibentuk melalui suatu nombor
yang dikenali sebagai Nombor Fibonacci.
Biji benih ini biasanya terdiri daripada dua
jenis spiral. Misalnya, 21 spiral mengikut
arah jam dan 34 spiral lawan arah jam.
Nombor 21 dan 34 adalah di antara nombor
dalam jujukan Fibonacci.

RANGKAI KATA

• Pola nombor • Number pattern
• Nombor ganjil • Odd number
• Nombor genap • Even number
• Nombor Fibonacci • Fibonacci Number
• Segi Tiga Pascal • Pascal's Triangle
• Jujukan • Sequence
• Ungkapan algebra • Algebraic expression
• Sebutan • Term

viii

Bab 1 Pola dan Jujukan BAB 1

Nombor Fibonacci bermula daripada persoalan
seorang ahli matematik berbangsa Itali, iaitu
Leonardo of Pisa atau Fibonacci dalam bukunya
‘Liber Abaci’ tentang populasi arnab. Persoalan
yang dikemukakan adalah jika seekor arnab
betina dan arnab jantan ditempatkan di dalam
sebuah ruang, berapakah pasangan arnab dapat
dihasilkan dalam setahun? Jika setiap pasangan
arnab akan menghasilkan satu pasangan yang
baharu pada setiap bulan, maka penghasilan
populasi arnab ini menghasilkan jujukan seperti
yang berikut 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, … . Nombor ini
dikenali sebagai Nombor Fibonacci. Nombor
Fibonacci ini disusun dengan menambah
nombor sebelumnya. Contohnya, pasangan
arnab tadi ialah 1 + 1, maka populasi arnab
telah bertambah menjadi 2. Seterusnya, hasil
tambah dua nombor sebelumnya 1 dan 2, maka
populasi arnab telah bertambah menjadi 3,
begitu juga yang seterusnya.

Untuk maklumat lanjut:

http://rimbunanilmu.my/mat_t2/ms001

MASLAHAT BAB INI

Konsep pola dan jujukan boleh diaplikasi
dalam seni bina, rekaan fesyen, sains,
ilmu falak, kimia, fizik dan teknologi.
Konsep pola dan jujukan boleh diaplikasi
dalam seni bina, rekaan fesyen, sains,
ilmu falak, kimia, fizik dan teknologi. 1 1

BAB 1 Bab 1 Pola dan Jujukan

AKTIVITI KREATIF

Tujuan: Mengenal corak
Bahan: Kentang, bawang, batang sawi, kertas lukisan dan cat air
Langkah:
1. Sediakan sehelai kertas lukisan.
2. Dengan pengawasan guru, murid dikehendaki memotong kentang, bawang dan batang

sawi seperti gambar yang di bawah.


3. Gunakan bahan-bahan tersebut untuk mengecap pada kertas lukisan.
4. Selepas itu, keringkan cetakan.



5. Nyatakan corak yang diperoleh.

Daripada aktiviti di atas, murid dapat mengenal pelbagai jenis corak dari alam semula jadi. Corak
ini disusun sehingga menghasilkan suatu susunan yang lebih menarik.

1.1 Pola Mengenal dan
memerihalkan pola
1.1.1 Mengenal pola nombor pelbagai set nombor dan
objek dalam kehidupan
Tujuan: Mengenal corak sebenar, dan seterusnya
Bahan: Kain batik membuat rumusan
Langkah: tentang pola.
1. Perhatikan rajah di sebelah yang

menunjukkan corak pakaian tradisional
masyarakat di Malaysia.

Perbincangan:
(i) Apakah corak yang dapat dilihat?
(ii) Bagaimanakah susunan corak tersebut?

Daripada aktiviti di atas, dapat diketahui bahawa corak yang dilihat berbentuk poligon dan berulang.
2

Bab 1 Pola dan Jujukan

Tujuan: Mengenal pola BAB 1

Bahan: Pensel warna, pembaris, pensel dan kertas grid

Langkah:

1. Murid membentuk kumpulan.

2. Buka fail MS003 untuk memperoleh kertas grid yang telah disediakan.

3. Setiap kumpulan dikehendaki melukis corak seperti yang di QR CODE
bawah dan warnakannya.

4. Kemudian, lukiskan pula corak yang keempat, kelima dan Imbas QR Code atau
keenam. Seterusnya, warnakannya. layari http://rimbunanilmu.

my/mat_t2/ms003 untuk
memperoleh kertas grid.

5. Lengkapkan jadual di bawah.

Nombor corak 12345678

Bilangan segi empat 1 4 7

6. Bentangkan hasil dapatan anda.

Perbincangan:
(i) Nyatakan susunan corak yang dapat diperhatikan.
(ii) Hitung bilangan segi empat sama untuk corak yang ketujuh dan kelapan.

Daripada aktiviti di atas, bilangan segi empat sama yang dibentuk ialah 1, 4, 7, ... iaitu menambah 3
kepada nombor sebelumnya. Penambahan 3 ini dikenali sebagai pola.

Pola ialah aturan atau corak tertentu dalam senarai nombor atau objek.

CONTOH 1

Lukis corak seterusnya bagi gambar rajah di bawah dan nyatakan polanya.

(a) (b)

Penyelesaian: (b)
(a)

Pola: Menambah dua titik kepada Pola: Menambah satu segi tiga kepada
corak sebelumnya. corak sebelumnya.

3

Bab 1 Pola dan Jujukan

BAB 1 CONTOH 2

Nyatakan pola bagi set nombor berikut. (b) 17, 7, −3, −13, ...
(a) −10, −4, 2, 8, ... (d) 81, 27, 9, 3, ...
(c) 2, 6, 18, 54, ... (f) −2.3, −2.6, −2.9, −3.2, ...
(e) 1, 3 , 2, 5 , ...
(b) 17, 7, −3, −13, ...
22
Penyelesaian: −10 −10 −10

(a) −10, −4, 2, 8, ... Pola: Menolak 10 daripada
nombor sebelumnya.
+6 +6 +6
(d) 81, 27, 9, 3, ...
Pola: Menambah 6 kepada
nombor sebelumnya. ÷3 ÷3 ÷3

(c) 2, 6, 18, 54, ... Pola: Membahagi nombor
sebelumnya dengan 3.
×3 ×3 ×3
(f) −2.3, −2.6, −2.9, −3.2, ...
Pola: Mendarab nombor
sebelumnya dengan 3. −0.3 −0.3 −0.3

(e) 1, 3 , 2, 5 , ... Pola: Menolak 0.3 daripada
22 nombor sebelumnya.

+12 +21 +21 1 kepada
2
Pola: Menambah

nombor sebelumnya.

Nombor genap dan nombor ganjil Nombor genap: nombor
yang boleh dibahagi
CONTOH 3 tepat dengan 2 seperti

Diberi urutan nombor 7, 12, 17, 22, 27, ..., 67. Kenal pasti dan 2, 4, 6, 8, ...
nyatakan pola bagi urutan nombor
Nombor ganjil: nombor
(i) ganjil (ii) genap yang tidak boleh dibahagi
tepat dengan 2 seperti
1, 3, 5, 7, ...

Penyelesaian:

7, 12, 17, 22, 27, 32, 37, 42, 47, 52, 57, 62, 67

(i) Nombor ganjil: 7, 17, 27, 37, 47, 57 dan 67 (ii) Nombor genap: 12, 22, 32, 42, 52 dan 62

+10 +10 +10 +10

Nombor ganjil diperoleh dengan menambah Nombor genap diperoleh dengan
10 kepada nombor sebelumnya. menambah 10 kepada nombor
sebelumnya.
4

Bab 1 Pola dan Jujukan BAB 1

Segi Tiga Pascal
Gambar rajah di bawah menunjukkan sebuah Segi Tiga Pascal. Berpandukan segi tiga tersebut,
baris seterusnya diperoleh dengan menambah nombor-nombor pada baris sebelumnya.

1
11
1+ 2+ 1
1+ 3+ 3+ 1
1+4+ 6 + 4 + 1

Segi Tiga Pascal di atas bermula dengan nombor 1. Manakala
baris kedua ialah 1, 1. Semua baris Segi Tiga Pascal akan bermula
dan diakhiri dengan nombor 1. Nombor lain diperoleh dengan
menjumlahkan dua nombor pada baris sebelumnya.

Nombor 2 dalam baris ketiga diperoleh dengan menjumlahkan nombor 1 Segi Tiga Yang Hui
dan nombor 1 pada baris sebelumnya. Seterusnya nombor 3 pada baris
keempat diperoleh dengan menjumlahkan nombor 1 dan nombor 2 Masyarakat Cina mengenal
pada baris sebelumnya. Nombor 6 di baris kelima diperoleh dengan Segi Tiga Pascal dengan
menjumlahkan nombor 3 dan nombor 3 pada baris sebelumnya. nama Segi Tiga Yang Hui
dan digambarkan dengan
Cuba anda lengkapkan baris yang seterusnya. menggunakan angka joran
Daripada segi tiga di atas pelbagai urutan nombor dengan pola yang dilukiskan dengan
tertentu boleh didapati, antaranya: sistem angka tongkat.

Kaedah 1 1 Kaedah 2 1

11 11

121 121 1 × 1 1

1331 1331 11 × 11 121

14641 14641 111 × 111 12321

1111 × 1111 1234321

Urutan: 1, 2, 3, 4, ... Urutan: 1, 3, 6, ... 11111 × 11111 123454321
Pola: Menambah 1 Pola: Menambah 2, 3, 4, ...
Tentukan nilai dua sebutan
yang berikutnya.

Pola bagi suatu urutan nombor merupakan corak
yang mempunyai urutan yang tertib.

CONTOH 4 Penyelesaian: Nyatakan dua sebutan
nombor berikutnya.
Lengkapkan Segi Tiga Pascal di bawah. 1 (i) 3, 8, 15, 24, 35, ...
1 11 (ii) 7, 5, 8, 4, 9, 3, ...
1 21 (iii) 2, 4, 5, 10, 12, 24, 27, ...
11 1 331 (iv) 1, 4, 9, 18, 35, ...
1 21
1 331

1 464 1

1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1

5

Bab 1 Pola dan Jujukan

BAB 1 Nombor Fibonacci Bagaimanakah anda akan
Nombor Fibonacci merupakan suatu corak nombor yang berurutan. membentuk segi empat
Fibonacci seterusnya?
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, ...
32
0+1 1+1 1+2 2+3 3+5 11

Urutan ini bermula dengan 0, 1, 1 dan sebutan seterusnya diperoleh 8
dengan menambah dua sebutan sebelumnya. 5
Misalnya,

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, ...

0+1 1+1 1+2 2+3 3+5

CONTOH 5 QR CODE
Lengkapkan urutan nombor di bawah.
Imbas QR Code atau
(a) 0, 1, 1, , , , 8, 13, , ... layari http://rimbunanilmu.
(b) 1, 3, , , 11, ... my/mat_t2/ms006 untuk
melihat salah satu urutan
Fibonacci.

Penyelesaian:
(a) 0, 1, 1, 2 , 3 , 5 , 8, 13, 21 , ...
(b) 1, 3, 4 , 7 , 11, ...

Pola merupakan suatu corak tertentu dalam sesuatu nombor atau objek. Suatu pola dalam senarai
nombor ditentukan dengan menambah, menolak, mendarab atau membahagi nombor sebelumnya
manakala suatu pola dalam objek ditentukan dengan memerhati susunan objek sebelumnya.

JOM CUBA 1.1

1. Lakar corak seterusnya bagi gambar di bawah.
(a)

(b)
6

Bab 1 Pola dan Jujukan

2. Nyatakan pola bagi urutan berikut. BAB 1

(a) 5, 12, 19, 26, ... (b) −1, −4 , −7, −10, ...
(d) 144, 72, 36, 18, ...
(c) −4 , 0, 4, 8, ...
(e) 1 1 1 (f) 11.2, −33.6, 100.8, −302.4, ...
2 , 4 , 0 , − 4 , ...

3. Bagi urutan nombor 28, 37, 46, 55, ... , 145, kenal pasti dan nyatakan pola nombor bagi nombor

(i) ganjil (ii) genap

4. Lengkapkan urutan Nombor Fibonacci berikut.

1, , 2, , , , , ...

5. Lengkapkan rajah di bawah. 16
88

4 44 4

8

1.2 Jujukan
1.2.1 Jujukan

Tujuan: Mengenal pasti pola dalam urutan nombor dan corak Menerangkan maksud jujukan.
Bahan: Lembaran kerja
Langkah: QR CODE
1. Buka fail MS007 yang telah disediakan.
2. Lengkapkan jadual berikut dengan melukis corak seterusnya. Imbas QR Code atau
layari http://rimbunanilmu.
my/mat_t2/ms007 untuk
mendapatkan lembaran
kerja.

Perbincangan:
(i) Nyatakan pola yang anda dapati daripada aktiviti 1, 2 dan 3.

(ii) Senaraikan urutan nombor dalam aktiviti 1, 2 dan 3.

7

BAB 1 Bab 1 Pola dan Jujukan

Daripada aktiviti sebelumnya, susunan corak seterusnya boleh ditentukan dengan mengikut corak
sebelumnya. Suatu susunan nombor atau objek yang mengikut pola ini disebut sebagai jujukan.

Jujukan ialah suatu set nombor atau objek yang disusun mengikut suatu pola.

1.2.2 Pola suatu jujukan

CONTOH 6 Mengenal pasti dan
memerihalkan pola suatu
Tentukan sama ada urutan nombor berikut suatu jujukan atau bukan. jujukan, dan seterusnya
melengkapkan dan
(a) –10, –6, –2, 2, 6, ... (b) 4, 5, –7, 10, –14, ... melanjutkan jujukan
tersebut.
Penyelesaian:

(a) –10, –6, –2, 2, 6, ... (b) 4, 5, –7, 10, –14, ...

+4 +4 +4 +4 +1 –12 +17 –24

Pola: Menambah 4 Pola: Tiada
Maka, urutan nombor ini Maka, urutan nombor ini
ialah jujukan. bukan jujukan.

Jujukan nombor Ahli astronomi
menggunakan pola untuk
CONTOH 7 meramal laluan komet.
Lengkapkan jujukan nombor berikut.
(a) 7, 13, , 25, , , ... (b) 88, , 64, 52, , , ...

( c) , 0.3, , 0.027, 0.0081, , ... (d) , , 1 , 4 , , ...
Penyelesaian: 36

(a) 7, 13, 19 , 25, 31 , ... (b) 88, 76 , 64, 52, 40 , 28 , ...

+6 +6 +6 +6 −12 −12 −12 −12 −12

(c) 1 , 0.3, 0.09 , 0.027, 0.0081, 0.00243 , ... (d) − 1 , 0 , 1,4, 1 , ...
3 36

×0.3 ×0.3 ×0.3 ×0.3 ×0.3 1 1 1 1
3 3 3 3
+ + + +

8

Bab 1 Pola dan Jujukan

CONTOH 8 Nombor segi tiga ialah BAB 1
Lengkapkan jujukan berikut berdasarkan pola yang diberikan. nombor yang dibentuk
(a) Menolak 4 daripada nombor sebelumnya. dengan pola titik segi tiga.
96, , , , , , ... 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, ...

(b) Mendarab nombor sebelumnya dengan 3. 1
7, , , , , , ...
3

(c) Mengurangkan 8 daripada nombor sebelumnya.

21.3, , , , , , ... 6
10
(d) Membahagi nombor sebelumnya dengan 5. 15

400, , , , , , ...

Penyelesaian:

(a) 92, 88, 84, 80, 76, ...
(b) 21, 63, 189, 567, 1 701, ...
(c) 13.3, 5.3, −2.7, −10.7, −18.7, ...
(d) 80, 16, 3.2, 0.64, 0.128, ...

JOM CUBA 1.2

1. Tentukan sama ada urutan nombor berikut ialah suatu jujukan atau bukan.

(a) 3, 18, 33, 48, ... (b) 100, 116, 132, 148, ...

(c) 1.0, −1 .7, −2 .4, 3.1, ... (d) −15, 30, 60, −120, ...
(f) −0 .32, −0 .16, −0 .8, −0 .4, ...
(e) 1 , 1 1 , 2 1 , 3 1 , ...
4 2 2 3

2. Lengkapkan jujukan nombor di bawah.

(a) 34, 28, , 16, , , ... (b) , , 32, 16, , 4, ...

(c) 0.07, , 1.12 , , 17.92, ... (d) 1 1, 1, , , , ...
10

(e) 0.2, 2.4, 28.8, , , ... (f) , −80, −16, , , ...

(g) , 2 , 7 , , , ... (h) −8.1, , −4 .1, −2.1, , ...
3 12

9

BAB 1 Bab 1 Pola dan Jujukan

3. Lengkapkan jujukan nombor berikut berdasarkan pola yang dinyatakan.
(a) Menambah 7 kepada nombor sebelumnya.

42, , , , , , ...
(b) Membahagi nombor sebelumnya dengan 2.

96, , , , , , ...

1.3 Pola dan Jujukan

1.3.1 Pola suatu jujukan menggunakan nombor, Membuat generalisasi
perkataan dan ungkapan algebra tentang pola suatu
jujukan menggunakan
CONTOH 9 nombor, perkataan dan
ungkapan algebra.
Nyatakan pola bagi jujukan nombor 1, 9, 17, 25, 33, ... menggunakan
nombor, perkataan dan ungkapan algebra.

Penyelesaian:

(i) Nombor Seorang juruhias dalaman
1, 9, 17, 25, 33, ... ingin menyusun jubin
pada dinding seperti corak
+8 +8 +8 +8 di bawah.

Maka, pola ialah +8.

(ii) Perkataan Apakah corak seterusnya?
1, 9, 17, 25, 33, ...

+8 +8 +8 +8 Ungkapan Algebra
ialah ungkapan yang
Maka, pola bagi jujukan di atas adalah menambah 8 kepada menggabungkan
nombor sebelumnya. nombor, pemboleh ubah
atau simbol matematik
(iii) Ungkapan Algebra lain dengan operasi.

1, 9, 17, 25, 33, ... Contoh:
2ab + 3c, 5a + 2b − 3c
+8 +8 +8 +8

1 = 1 + 8 (0)
9 = 1 + 8 (1)
17 = 1 + 8 (2)
25 = 1 + 8 (3)
33 = 1 + 8 (4)

Maka, pola bagi jujukan nombor tersebut boleh ditulis sebagai 1 + 8n dengan keadaan
n = 0, 1, 2, 3, 4, ... .

10

Bab 1 Pola dan Jujukan

1.3.2 Sebutan bagi suatu jujukan BAB 1

Sebutan sesuatu jujukan dikenali sebagai sebutan ke-n dan ditulis Menentukan sebutan
sebagai Tn iaitu T ialah sebutan manakala n ialah kedudukan sebutan. tertentu bagi suatu jujukan.

Misalnya, Tn = sebutan ke-n
4, 8, 12, 16, ...

Daripada jujukan di atas, Permaisuri lebah bertelur
T1 = 4, di dalam sarangnya.
T2 = 8, Sarang lebah mempunyai
T3 = 12, pola yang tersendiri, iaitu
T4 = 16, ... berbentuk heksagon.

CONTOH 10 22 + (2 + 2 + 1) = 32
32 + (3 + 3 + 1) = 42
Nyatakan sebutan kelima bagi jujukan nombor berikut. 42 + (4 + 4 + 1) = 52
52 + (5 + 5 + 1) = 62
2, 10, 18, ... (i) Nyatakan dua sebutan
seterusnya.
Penyelesaian: (ii) Nyatakan sebutan ke-n.

Langkah 1: Tentukan pola jujukan nombor tersebut. Apakah pola untuk jujukan
2, 10, 18, ... berikut?
(i) 1, 4, 9, 18, 35
+8 +8 (ii) 23, 45, 89, 177
(iii) 5, 7, 12, 19, 31
Pola nombor: Menambah 8 kepada nombor sebelumnya. (iv) 0, 4, 2, 6, 4, 8
(v) 4, 7, 15, 29, 59, 117
Langkah 2: Senaraikan semua sebutan hingga sebutan kelima
1(1) 3(2) 5(5) A C E
seperti di bawah.
2(1) 4(3) 6(8) B D
T1 = 2 T4 = 26 Nyatakan pasangan
nombor yang sesuai dalam
T2 = 10 T5 = 34 kedudukan A, B, C, D, E.

T3 = 18 11

Maka, sebutan kelima ialah 34.

CONTOH 11

Diberi jujukan nombor 65, 60, 55, 50, ... . Tentukan nombor 40
ialah sebutan yang keberapa dalam jujukan itu.

Penyelesaian: Langkah 2:

Langkah 1: T1 = 65 T4 = 50
65, 60, 55, 50, ... T2 = 60 T5 = 45
T3 = 55 T6 = 40
–5 –5 –5
Pola: Menolak 5 daripada Maka, 40 ialah sebutan ke-6.
nombor sebelumnya.

BAB 1 Bab 1 Pola dan Jujukan

1.3.3 Penyelesaian masalah

CONTOH 12 Menyelesaikan masalah
yang melibatkan jujukan.

Mesin Pemberi Makanan Ikan Automatik Spesifikasi

• Saiz bekas: Sederhana
• Makanan kering dan pelet boleh digunakan
• Pemasa disediakan untuk mengatur jadual pemberian

makanan
• Menggunakan sistem terbaharu untuk mengelakkan

makanan daripada menjadi lembap atau tersumbat
di dalam bekas penyimpanan
• Boleh dikendalikan secara automatik atau manual
• Paparan skrin digital

Gambar di atas ialah mesin pemberi makanan ikan secara automatik dan spesifikasinya. Eng Wei
menetapkan pemberian makanan ikannya 4 kali sehari. Pemberian makanan yang pertama pada
pukul 7:35 pagi. Pada pukul berapakah ikan itu diberi makanan untuk kali yang ketiga?

Memahami Merancang strategi Melaksanakan strategi Membuat
masalah kesimpulan
1 hari = 24 jam Pola: 6 jam
Waktu T1 = 7:35 pagi Maka, ikan diberi
memberikan 1 kali = 24 T2 = 7:35 pagi + 6 jam makanan kali
makanan 4 = 1:35 petang ketiga pada pukul
kepada ikan 7:35 petang.
pada kali ketiga. = 6 jam T3 = 1:35 petang + 6 jam
= 7:35 petang

JOM CUBA 1.3

1. Tentukan pola jujukan nombor menggunakan perkataan.

(a) 4, 12, 36, 108, 324, ... (b) 256, 128, 64, 32, 16, ...

2. Tentukan pola jujukan nombor di bawah menggunakan ungkapan algebra.

(a) 2, 4, 8, 16, ... (b) 5, 8, 11, 14, ...
(c) 3, 6, 9, 12, ... (d) 3, 1, –1, –3, ...

3. Hitung sebutan ketujuh dan kesebelas bagi jujukan nombor di bawah.

(a) –3, 5, 13, ... (b) 4, 5 1 , 7, ... (c) –3.7, –4.3, –4.9, ...
2

12

Bab 1 Pola dan Jujukan BAB 1

4. Jadual di bawah menunjukkan jadual perjalanan lima buah bas dari Kuala Lumpur ke Pulau Pinang.

Bas Masa bertolak
A 8:00 pagi
B 8:30 pagi
C 9:00 pagi
D
E

Berdasarkan jadual di atas, jawab soalan yang berikut.
(a) Hitung selang masa bertolak antara dua buah bas.
(b) Pada pukul berapakah bas E akan bertolak?
(c) Pada pukul berapakah bas E akan sampai di Pulau Pinang jika perjalanan mengambil

masa selama 5 jam?

MENJANA KECEMERLANGAN

1. Padankan istilah berikut dengan pernyataan yang betul.

Segi Tiga Pascal Nombor yang tidak boleh dibahagi
tepat dengan 2.

Nombor ganjil Urutan ini bermula dengan 0, 1, 1
dan sebutan seterusnya diperoleh
Nombor Fibonacci dengan menambah dua sebutan
sebelumnya.
Nombor genap
Nombor yang boleh dibahagi tepat
dengan 2.

Aturan geometri pada pekali
binomial dalam sebuah segi tiga.

2. Nyatakan pola bagi jujukan nombor yang diberikan.

(a) 7, 13, 19, 25, ... (b) 54, 50, 46, 42, ...

(c) –13, –39, –117, –351, ... (d) 1 296, 216, 36, 6, ...

3. Lengkapkan jadual di bawah.

Jujukan Nombor Perkataan Ungkapan Algebra

(a) 2, 4, 6, 8, ...

(b) 100, 50, 25, 12.5, ...

13

Bab 1 Pola dan Jujukan

BAB 1 4. Lengkapkan urutan nombor berikut.



(a) 1, 3, 5, , 9, , ...



(b) , , −20, −10, −5, ...

(c) 268, , , 169, 136, , ...

(d) 1 , , 1 , , 1 , ...
236

5. Empat sebutan pertama bagi suatu jujukan ialah 9, x, –5 , – 1 2, ...
(a) Hitung nilai x.
(b) Nyatakan pola jujukan itu menggunakan

(i) nombor
(ii) perkataan
(iii) ungkapan algebra

6. Lengkapkan Nombor Fibonacci di bawah.

0, 1, 1, , , , ...

7. Gambar rajah di bawah menunjukkan lima aras pertama untuk Segi Tiga Pascal. Lengkapkan
Segi Tiga Pascal tersebut. Nyatakan bagaimana Segi Tiga Pascal itu dibentuk.

1
11
11
11
11

8. Empat sebutan pertama bagi suatu jujukan ialah 11, x, –5 , –13, ...
(a) Hitung nilai x.
(b) Nyatakan sebutan ke-10, T10.


14

Bab 1 Pola dan Jujukan

9. Nina menyusun butang baju seperti di bawah. BAB 1

(a) Nyatakan pola bagi bilangan butang baju.
(b) Nyatakan urutan bilangan butang baju.
(c) Lukiskan susunan butang baju untuk sebutan keempat.
(d) Hitung nilai T6.

10. Encik Hamid ingin melakukan penanaman semula pokok kelapa sawit. Jarak bagi setiap pokok
kelapa sawit ialah 9 m dan jarak tanaman tersebut berbentuk segi tiga sama sisi. Encik Hamid telah
melakar satu peta tanamannya seperti rajah di bawah.

9m


Jika Encik Hamid menanam 18 batang pokok kelapa sawit, berapakah luas tanah beliau?

11. Raiyan telah pergi ke klinik untuk berjumpa dengan doktor kerana demam selesema yang
berlanjutan melebihi tiga hari. Doktor telah memberikan tiga jenis ubat, iaitu ubat demam,
antibiotik dan ubat selesema. Bantu Raiyan untuk membuat jadual pemakanan ubat jika dia
bermula makan ubat pada pukul 8:30 pagi.
Ubat 1 2 3

Demam
Antibiotik
Selesema

Ubat demam = 2 biji 3 kali sehari
Antibiotik = 1 biji 2 kali sehari
Ubat selesema = 1 biji 1 kali sehari


15

BAB 1 Bab 1 Pola dan Jujukan INTI PATI BAB

Pola Jujukan

Pola ialah suatu aturan atau corak tertentu dalam Jujukan ialah suatu susunan
senarai nombor atau objek. nombor atau objek yang
mengikut pola tertentu.
Pola bagi pelbagai set nombor
(i) Nombor genap dan nombor ganjil
4, 9, 14, 19, ...

+5 +5 +5 Pola dan Jujukan

nombor genap: 4, 14, 24, ...

+10 +10

nombor ganjil: 9, 19, 29, ...

+10 +10 Pola sesuatu jujukan merupakan corak yang
mempunyai urutan yang tertib.
(ii) Segi Tiga Pascal

1

11

1 21
1 331

14 6 41

(iii) Nombor Fibonacci Pola Suatu Jujukan
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, ...

Nombor Ungkapan Algebra Sebutan bagi Suatu Jujukan
3, 6, 9, 12, 15, ... 3, 6, 9, 12, 15, ...
ditulis sebagai 3n‚ − 9 , −11, −13, −15, −17, ...
+3 +3 +3 +3 n = 1, 2, 3, ... T1 T2 T3 T4 T5

Pola: Penambahan 3 Sebutan pertama, T1 = −9
Sebutan kedua, T2 = −11
Perkataan Sebutan ketiga, T3 = −13
4, 7, 10, 13, 16, ... Sebutan keempat, T4 = −15
Jujukan bermula dengan nombor 4 dan Sebutan kelima, T5 = −17
menambah 3 kepada nombor sebelumnya.

16

Bab 1 Pola dan Jujukan

REFLEKSI DIRI BAB 1

Pada akhir bab ini, saya dapat:

1. Mengenal dan memerihalkan pola pelbagai set nombor dan objek dalam
kehidupan sebenar.

2. Menerangkan maksud jujukan.

3. Mengenal pasti dan memerihalkan pola suatu jujukan.

4. Melengkapkan dan melanjutkan jujukan.
5. Membuat generalisasi tentang pola suatu jujukan menggunakan nombor,

perkataan dan ungkapan algebra.
6. Menentukan sebutan tertentu bagi suatu jujukan.

7. Menyelesaikan masalah yang melibatkan jujukan.

Tajuk: Blok futuristik
Bahan: Cawan kertas, botol mineral, gam, pembaris dan gunting

Setiap kumpulan dikehendaki menyediakan satu blok bangunan yang bercirikan masa
hadapan (futuristik) menggunakan cawan kertas dan botol mineral.

Warnakan hasil binaan dan namakan blok tersebut.

Bentangkan hasil binaan setiap kumpulan.

17

Bab 2 Pemfaktoran dan Pecahan Algebra

BAB 2

ANDA AKAN MEMPELAJARI Umumnya algebra merupakan cabang

2.1 Kembangan matematik yang digunakan bagi menerangkan
2.2 Pemfaktoran perhubungan antara beberapa kuantiti unit,
2.3 Ungkapan Algebra dan Hukum Operasi contohnya jarak dengan laju, berat dengan
tinggi dan lain-lain. Melalui perhubungan
Asas Aritmetik ini, murid boleh mempelajari kemahiran
menyelesaikan masalah dalam pelbagai
situasi.

RANGKAI KATA

• Kembangan • Expansion

• Ungkapan algebra • Algebraic expression

• Faktor • Factor

• Faktor Sepunya Terbesar • Highest Common

(FSTB) Factor (HCF)

• Pecahan algebra • Algebraic fraction

• Kuasa dua sempurna • Perfect square

• Pendaraban silang • Cross multiplication

• Pengangka • Numerator

• Penyebut • Denominator

• Sebutan terendah • Lowest term

• Gandaan Sepunya • Lowest Common
Terkecil (GSTK)
Multiple (LCM)

18

Bab 2 Pemfaktoran dan Pecahan Algebra BAB 2

Menurut buku berjudul ‘al-Jabr w'al-Muqabala’
yang ditulis oleh seorang ahli matematik
berbangsa Arab, Muhammad Ibn Musa al-
Khwarizmi, perkataan algebra berasal daripada
‘al-Jabr’. Beliau juga digelar sebagai ‘Bapa
Algebra’ atas sumbangan beliau dalam bidang
algebra.

Untuk maklumat lanjut:

http://rimbunanilmu.my/mat_t2/ms019

MASLAHAT BAB INI
Algebra banyak digunakan dalam perbandingan
harga, proses jual beli, ukuran, perubahan nilai
dan sebagainya.
Algebra juga digunakan dalam bidang seperti
bidang kimia, fizik, forensik dan lain-lain.

19

BAB 2 Bab 2 Pemfaktoran dan Pecahan Algebra

AKTIVITI KREATIF

Tujuan: Mengira luas menggunakan kaedah jubin algebra
Bahan: Kertas berwarna hijau dan biru
Langkah:
1. Potong kertas berwarna biru menjadi segi empat sama berukuran 6 cm panjang dan

6 cm lebar.
2. Potong kertas berwarna hijau mengikut ukuran saiz 6 cm panjang dan 2 cm lebar.
3. Hitung luas kertas biru dan kertas hijau dengan kaedah 1 dan kaedah 2.

Kaedah 1: Luas kertas biru + luas kertas hijau

6 cm 2 cm

6 cm + 6 cm




Kaedah 2: Panjang × (lebar biru + lebar hijau)

(6 cm + 2 cm)

6 cm Jubin algebra adalah
manipulatif matematik
yang membolehkan murid
untuk lebih memahami
cara pemikiran algebra
dan konsep algebra.

4. Adakah terdapat persamaan jawapan pada kedua-dua kaedah? Bincangkan.
5. Berdasarkan rajah di bawah, hitung luas segi empat ABCD.

A x cm 3 cm B QR CODE
x cm
Imbas QR Code atau
layari http://rimbunanilmu.
my/mat_t2/ms020 untuk
menonton video jenis-jenis
jubin algebra.

D C
20

Bab 2 Pemfaktoran dan Pecahan Algebra

2.1 Kembangan Menerangkan maksud BAB 2
kembangan dua
2.1.1 Kembangan ungkapan algebra ungkapan algebra.

Kembangan ungkapan algebra bermaksud hasil pendaraban satu atau
dua ungkapan dalam kurungan.

2.1.2 Kembangan dua ungkapan algebra Ungkapan algebra
ialah ungkapan yang
menggabungkan nombor,
pemboleh ubah atau simbol
matematik lain dengan
operasi. Misalnya, 2a + 5.

Tujuan: Menentukan luas segi empat ABEF Melaksanakan kembangan
Bahan: Lembaran kerja dua ungkapan algebra.
Langkah:
1. Hitung luas ABEF dengan menggunakan dua kaedah di bawah.

A 5x cm C
3 cm B

F E 3 cm D Panjang EF boleh
diperoleh dengan menulis
ungkapan berikut.

EF = (5x − 3) cm

Kaedah 1 : Kaedah 2:

Luas ABEF Luas ABEF

= Luas ACDF – Luas BCDE = panjang × lebar

=– = EF × AF
= cm2 = ×

= cm2

Perbincangan:

Adakah jawapan bagi kaedah 2 sama seperti kaedah 1? Terangkan.

Apabila melakukan kembangan ungkapan algebra, setiap sebutan dalam tanda kurungan mesti
didarabkan dengan sebutan di luar kurungan.

CONTOH 1 (b) 3r (r – 2s) (+) × (+) +
Kembangkan setiap ungkapan berikut. (+) × (–) –
(a) 6(3 + 4w) (d) − 2y (9y – 3z + 6x) (–) × (+) –
3 (–) × (–) +
(c) −5b(a + 3)
21

Bab 2 Pemfaktoran dan Pecahan Algebra

Penyelesaian:

BAB 2 (a) 6(3 + 4w) (b) 3r(r – 2s)
= (6 × 3) + (6 × 4w) = (3r × r) + �3r × (−2s)�
= 18 + 24w = 3r 2 − 6rs

(c) −5b (a + 3) (d) − 2y (9y – 3z + 6x)
= (−5b × a) + (−5b × 3) 3
= −5ab − 15b
=�−123y × 93y� + �−123y × (– 13z)� + �−123y × 62x�

= −6y 2 + 2yz – 4xy



Tujuan: Melaksanakan kembangan dua ungkapan algebra
Bahan: Lembaran kerja
Langkah:
1. Aktiviti berikut dijalankan secara berpasangan.

2. Murid pertama menghitung luas segi empat sama RSTU dengan menggunakan kaedah 1.

3. Murid kedua menghitung luas segi empat sama RSTU dengan menggunakan kaedah 2.

R a b
S

a AB

b CD

UT

Luas segi empat sama RSTU boleh dihitung dengan
Kaedah 1 a b

a b aa bb
Db D
a A + bb C
a A aB B

Luas segi empat sama RSTU = Luas A + Luas B + Luas C + Luas D
= ( × ) + ( × ) + ( × ) + ( × )
= + + +
= + +

22

Bab 2 Pemfaktoran dan Pecahan Algebra

Kaedah 2 ab
Asingkan segi empat sama kepada dua bahagian seperti berikut.
BAB 2
Luas segi empat RSTU = Luas A dan B + Luas C dan D

= ( )(a + b) + ( )(a + b) aA B
= ++ +

= + + ab

Perbincangan: b CD
Adakah jawapan bagi kedua-dua kaedah terdapat persamaan?

Apabila melakukan kembangan dua ungkapan algebra dalam dua tanda kurungan, setiap sebutan
dalam tanda kurungan pertama mesti didarabkan dengan setiap sebutan dalam tanda kurungan
kedua. Misalnya,

(a + 2)(a + 1)

= a(a + 1) + 2(a + 1) (a + b)(a + b) = (a + b) 2
= a 2 + a + 2a + 2
(a – b)(a – b) = (a – b) 2
= a 2 + 3a + 2 (a + b)(a – b) = (a × a) + �a ×(–b)� + (b × a) + �b × (–b)�
Sebutan serupa = a 2 – ab + ba – b 2
boleh diselesaikan
= a2 – b2

CONTOH 2 PERHATIAN

Kembangkan setiap ungkapan berikut. (a + b)(a – b) = a 2 – b 2
(a + b)(a + b)≠a 2 + b 2
(a) (y + 1)(y – 3) (b) (4 + 3r)(2 + r) (a – b)(a – b) ≠ a 2 – b 2

(c) (3r + 4s)(r – 2s) (d) (3p + 2) 2 Kaedah alternatif
(i) Pendaraban silang
Penyelesaian: (×) a (×+)2 2a (+)

(a) (y + 1)(y – 3) (b) (4 + 3r)(2 + r) a +1 a
a2 +2 3a
= y(y – 3) + 1(y – 3) = 8 + 4r + 6r + 3r 2 Maka, a 2 + 3a + 2
= y 2 – 3y + y – 3 = 8 + 10r + 3r 2 (ii) Bentuk lazim
= y 2 – 2y – 3 = 3r 2 + 10r + 8
a +2
× a+1

a +2
(+) a 2 + 2a

a 2 + 3a + 2

23

Bab 2 Pemfaktoran dan Pecahan Algebra

(c) (3r + 4s)(r – 2s)

= 3r( r – 2s) + 4s(r – 2s) Hubungan antara pendaraban
= (3r × r) + �3r × (– 2s)� + (4s × r) + �4s × (–2s)� ungkapan Binomial secara
= 3r 2 – 6rs + 4sr – 8s 2 berulang dengan Segi Tiga
Sebutan serupa Pascal.
BAB 2
= 3r 2 – 2rs – 8s 2 boleh diselesaikan 1 (a + b) 0
1a + 1b (a + b) 1
(d) (3p + 2) 2 Sebutan serupa 1a2 + 2 ab + 1b2 (a + b) 2
= (3p + 2)(3p + 2) sr = rs 1a3 + 3 a2b +3ab2 + 1b3 (a + b) 3
= 9p 2 + 6p + 6p + 4 1a4 + 4 a3b + 6 a2b2 + 4 ab3 + 1b4 (a + b) 4
Sebutan serupa
= 9p 2 + 12p + 4 boleh diselesaikan Nyatakan dua sebutan
seterusnya.
Sebutan algebra disusun
daripada kuasa tertinggi QR CODE
kepada kuasa terendah.
Imbas QR Code atau layari
2.1.3 Gabungan operasi termasuk kembangan http://rimbunanilmu.my/mat_
t2/ms024a untuk menonton
Penyelesaian gabungan operasi bagi ungkapan algebra video kaedah pendaraban
mahupun sebutan algebra mestilah mematuhi hukum 'BODMAS'. silang.

Tujuan: Menulis hubungan algebra berdasarkan jubin algebra Mempermudah ungkapan
Bahan: Perisian geometri dinamik algebra yang melibatkan
Langkah: gabungan operasi termasuk
kembangan.

QR CODE

Imbas QR Code atau
layari http://rimbunanilmu.
my/mat_t2/ms024b untuk
membina poligon.

1. Buka fail MS024B untuk memperoleh paparan yang menunjukkan
heksagon sekata berwarna kuning serta bentuk lain yang
berwarna merah, biru dan hijau.

2. Pilih gabungan bentuk berwarna merah, biru atau hijau untuk
dimasukkan ke dalam heksagon sekata berwarna kuning tersebut.

3. Tuliskan hubungan algebra yang diperoleh.
4. Pilih gabungan bentuk yang lain untuk dimasukkan ke dalam trapezium hijau.

Perbincangan:
Bandingkan hasil dapatan anda dengan kumpulan lain.

24

Bab 2 Pemfaktoran dan Pecahan Algebra

CONTOH 3

Permudah. (b) (r – 3t) 2 + 4rt B = Brackets BAB 2
(a) (3w – 2)(4w – 1) – 10w O = Order
(c) (x + y)(x – y) + x(x – 2y) D = Division
M = Multiplication
Penyelesaian: A = Addition
S = Subtraction
(a) (3w – 2)(4w – 1) – 10w = 3w (4w – 1) – 2 (4w – 1) – 10w Untuk maklumat lanjut:
Imbas QR Code di bawah
= 12w 2 – 3w – 8w + 2 – 10w atau layari
http://rimbunanilmu.my/
= 12w 2 – 3w – 8w – 10w + 2 mat_t2/ms025

= 12w 2 – 21w + 2 Hukum Kalis Agihan
digunakan apabila
(b) (r – 3t) 2 + 4rt = (r – 3t)(r – 3t) + 4rt melakukan kembangan.

= r 2 – 3rt – 3rt + 9t 2 + 4rt a × (b + c) = a × b + a × c
a × (b − c) = a × b − a × c
= r 2 + 9t 2 – 3rt – 3rt + 4rt

= r 2 + 9t 2 – 2rt

(c) (x + y)(x – y) + x(x – 2y) = x 2 – xy + xy – y 2 + x 2 – 2xy
= x 2 + x 2 – y 2 – xy + xy – 2xy

= 2x 2 – y 2 – 2xy

2.1.4 Penyelesaian masalah

CONTOH 4 Menyelesaikan masalah
yang melibatkan kembangan
Puan Maria mempunyai sebidang permaidani yang panjangnya dua ungkapan algebra.
(3r − 2) meter dan lebarnya ialah (r + 1) meter. Hitung luas
permaidani Puan Maria. (3r – 2) m

Penyelesaian:

Luas = panjang × lebar (r + 1) m
= (3r – 2)(r + 1)
= 3r 2 + 3r – 2r – 2

= 3r 2 + r – 2

Maka, luas permaidani ialah (3r 2 + r – 2) meter persegi.

CONTOH 5

Ramesh menerima wang saku sebanyak RM50 untuk (y – 8) hari. Setiap hari dia membelanjakan
sebanyak RM(x − 3) untuk secawan kopi dan RM(x + 4) untuk mi rebus. Hitung baki wang Ramesh.

25

Bab 2 Pemfaktoran dan Pecahan Algebra

Penyelesaian:

BAB 2 Memahami Merancang strategi Melaksanakan strategi Membuat
masalah kesimpulan
Tentukan jumlah Menghitung baki
Kenal pasti perbelanjaan dalam perbelanjaan dengan
jumlah harga masa (y − 8) hari dengan proses kembangan.
kopi dan mi kaedah kembangan.
rebus. Wang saku − Jumlah Baki wang saku.
Hari × Harga perbelanjaan RM(58 − 2xy − y + 16x)
(x − 3) + (x + 4) = (y − 8)(2x + 1)
= 2x + 1 = 2xy + y − 16x − 8 = 50 − (2xy + y − 16x − 8)
= 50 − 2xy − y + 16x + 8
= 58 −2xy − y + 16x

JOM CUBA 2.1

1. Berdasarkan jubin algebra berikut, tulis luas kawasan berlorek dalam bentuk pendaraban dua

ungkapan algebra.

(a) a 1 1 (b) 4x

a
4x

1 33

2. Kembangkan ungkapan algebra berikut.

(a) 3(x + 2) (b) 4(8x − 3) (c) 2(a + 5)
(d) p(6p − 8) (f) −2(pr − 2pq)
(e) − r (2s − 8) (i) 8g(2 + gh)
8

(g) 3(5bc − 6) (h) 7(2ef + 3e)

3. Kembangkan ungkapan algebra berikut.

(a) ­(a + 1)(a + 2) (b) (x − 5)(x + 4) (c) (2 + m)(5 − m)

(d) (3p − 2)(4p − 1) (e) (3r − 2)(4r − 1) (f) (2r + s)(4r − 3s)
(h) (r − 3s) 2 (i) (4e − 3) 2
(g) (2d − 1 b)(3d − 1 b)
2 2

4. Permudah ungkapan berikut. (b) 3(4m − 5mn) − 2(8m + mn)
(a) (5b + 3) + 4(3b − a) (d) (x + y)(x − y) + 2x(x + 2y)
(c) (h − j)2 − 2h(3h − 3j)


26

Bab 2 Pemfaktoran dan Pecahan Algebra

5. Hitung luas rajah berikut dengan menggunakan ungkapan algebra.

(a) (b)

y–1 BAB 2

2p – 3 3y – 2

(c) (d) w +�3

2x – 3 2w

5x + 2 �

4w – 2

6. Hadila berumur 2 tahun lebih muda daripada Kai Yee. Umur bapa Kai Yee ialah kuasa dua umur
Hadila. Jika Kai Yee berumur p tahun, hitung jumlah umur mereka bertiga. Ungkapkan jawapan
anda dalam bentuk ungkapan algebra.

7. Sebuah permukaan meja berbentuk segi empat tepat mempunyai panjang (5x − 2) meter dan
lebar (x + 2) meter. Encik Phillip ingin meletakkan cermin kaca di atas meja tersebut. Lebar
meja yang tidak ditutupi dengan cermin ialah (x − 3) meter. Ungkapkan luas permukaan meja
yang tidak ditutupi dengan cermin kaca tersebut.

8. Hitungkan panjang LM dalam sebutan y.
K

7y – 3

4y – 1

ML

2.2 Pemfaktoran

2.2.1 Konsep faktor dan pemfaktoran Menghubungkaitkan
pendaraban ungkapan
Pemfaktoran ialah proses mengenal pasti faktor sebutan dan ungkapan algebra dengan konsep
algebra dan apabila didarabkan akan menghasilkan ungkapan asal. faktor dan pemfaktoran,
Pemfaktoran merupakan proses songsangan kepada kembangan. dan seterusnya
menyenaraikan faktor
Misalnya, faktor bagi 3p bagi hasil darab ungkapan
algebra tersebut.
1 × 3p 3 × p

Maka, faktor bagi 3p ialah 1, 3, p dan 3p.

27

Bab 2 Pemfaktoran dan Pecahan Algebra

Faktor, Faktor Sepunya dan Faktor Sepunya
Terbesar (FSTB) bagi hasil darab ungkapan algebra

BAB 2 Faktor sepunya ialah faktor bagi sebutan algebra yang membahagi Pemfaktoran ialah
dengan tepat dua atau lebih sebutan lain. Faktor Sepunya Terbesar songsangan kepada
(FSTB) ialah faktor yang terbesar antara semua faktor sepunya. kembangan.

Perhatikan ungkapan, 4x + 2 = 2(2x + 1) Kembangan

2 ialah faktor sepunya bagi 4x dan 2. a(a + b) = a 2 + ab

Pemfaktoran

CONTOH 6

Senaraikan semua faktor sepunya bagi setiap sebutan berikut.

(a) 6h, 4gh (b) 9c2d, 3d2e, 6def

Penyelesaian: (b) 9c2d, 3d2e dan 6def
(a) 6h = 1 × 6h 9c2d = 1 × 3 × 3 × c × c × d
3d2e = 1 × 3 × d × d × e
2 × 3h 6def = 1 × 2 × 3 × d × e × f

3 × 2h Faktor sepunya bagi 9c 2d, 3d 2e dan 6 d ef
ialah 1, 3, d dan 3d. 3d ialah faktor sepunya
h × 6 kerana boleh membahagi semua sebutan di
4gh = 1 × 4gh atas dengan tepat.

4 × gh PERHATIAN
2 × 2gh
2g × 2h
g × 4h
h × 4g

Maka, faktor sepunya bagi 6h dan '1' ialah faktor bagi
4gh ialah 1, 2, h dan 2h. semua sebutan algebra.

2.2.2 Pemfaktoran ungkapan algebra Memfaktorkan ungkapan
algebra dengan
Menggunakan FSTB pelbagai kaedah.

Ungkapan algebra boleh difaktorkan dengan mencari Faktor
Sepunya Terbesar (FSTB).

Misalnya, 8x
12x 2
4x ialah FSTB

Faktor bagi 16

Maka, ungkapan algebra bagi 8x + 12x 2 boleh ditulis sebagai hasil 16 ÷ 1 = 16 16 ÷ 8 = 2
darab dua faktor seperti, 16 ÷ 2 = 8 16 ÷ 16 = 1
16 ÷ 4 = 4
4x(2 + 3x)
Ini dinamakan pemfaktoran. Maka, faktor bagi 16 ialah 1,
2, 4, 8 dan 16.

28

Bab 2 Pemfaktoran dan Pecahan Algebra

CONTOH 7

1. Tentukan Faktor Sepunya Terbesar (FSTB) bagi setiap sebutan 4 8x , 12x 2
x 2x , 3x 2
(a) 6h , 4gh (b) 9c 2d , 3d 2e , 6def
2 , 3x
2. Faktorkan setiap ungkapan berikut. FSTB = 4x BAB 2
FSTB boleh ditentukan
(a) 3x + 15 (b) 7m + 21m 2 dengan kaedah
pembahagian berulang.
Penyelesaian: Semak jawapan anda
dengan kaedah kembangan.
1. (a) 2 6h , 4gh FSTB = 2h (b) 3 9c 2d , 3d 2e , 6def
h 3h , 2gh d 3c 2d , d 2e , 2def 4x (2 + 3x)
3c 2 , de , 2ef = 8x + 12x 2
3 , 2g FSTB = 3d
Nombor kuasa dua sempurna.
Penyelesaian: FSTB = 3 (b) 7 7m + 21m 2 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64,
2. (a) 3 3x + 15 Maka, 3(x + 5) 81, 100, 121, 144, ...
m m + 3m 2
x+5 1 + 3m

FSTB = 7m
Maka, 7m(1 + 3m)

Menggunakan beza antara dua sebutan kuasa dua sempurna

x 2 – y 2 ialah sebutan beza kuasa dua. x 2 – y 2 boleh difaktorkan Semak semula dengan
dengan beza kuasa dua sempurna. Kaedah ini hanya boleh
digunakan jika kedua-dua sebutan algebra tersebut ialah kuasa kaedah kembangan
dua sempurna. (x + 2)(x −2)
= x(x − 2) + 2(x − 2)
Perhatikan, = x 2 − 2x + 2x − 4
= x2 − 4
x2 – 4 = x2 – 22
= (x + 2)(x – 2)

CONTOH 8 (b) 9m 2 – 100 Nombor Beza kuasa
(d) 5k 2 – 80 ganjil dua
Faktorkan setiap ungkapan berikut.
(a) b 2 – 1 (b) 9m 2 – 100 1 12 − 02
(c) 3y 2 – 147 = (3m) 2 – 10 2 3 22 − 12
= (3m + 10)(3m − 10) 5 32 − 22
Penyelesaian: 7 42 − 32
9 52 − 42
(a) b 2 – 1 11 62 − 52
= b 2 – 12 13 72 − 62
= (b + 1)(b – 1)

29

Bab 2 Pemfaktoran dan Pecahan Algebra

(c) 3y 2 – 147 FSTB 3 dan 147 (d) 5k 2 – 80 FSTB 5 dan 80
= 3(y 2 – 49) ialah 3 = 5(k 2 – 16) ialah 5
= 3(y 2 – 72) = 5(k 2 − 42)
BAB 2 = 3(y + 7)(y – 7) = 5(k + 4)(k − 4)

Suatu ungkapan algebra seperti x2 + 2xy + y2 boleh difaktorkan Identiti Pemfaktoran
sebagai (x + y)(x + y). (a) (x + y)2
= (x + y)(x + y)
Menggunakan pendaraban silang = x 2 + 2xy + y 2

Bagi ungkapan algebra berbentuk ax2 + bx + c dengan a≠0 dan a, (b) (x – y) 2
b, c ialah suatu integer boleh difaktorkan dengan kaedah pendaraban = (x – y)(x – y)
silang. = x 2 – 2xy + y 2

Perhatikan contoh di bawah berserta penerangannya untuk pemfaktoran (c) x 2 – y 2
ungkapan algebra x2 + 6x + 8. = (x + y)(x − y)
Langkah 1: Bandingkan pekali
QR CODE
1x2 + 6x + 8
Imbas QR Code atau layari
a x2 + b x + c http://rimbunanilmu.my/
mat_t2/ms030 di bawah
Maka, a = 1, b = 6 dan c = 8 untuk menonton video
tentang kaedah pemfaktoran
menggunakan jubin algebra.

Langkah 2: Faktor bagi 8 ialah 1, 2, 4 dan 8. 2 dan 4 dipilih kerana
menepati c , iaitu 2 × 4 = 8.

Langkah 3: 2 dan 4 dipilih kerana menepati b , iaitu 2 + 4 = 6.

Langkah 4: Lakukan darab silang seperti di bawah. Hasil Hasil Darab
Tambah c

b

x +2 2x 1 + 8 =9 1× 8 =8
−1 + (−8) = −9 −1 × (−8) = 8
(×) (×) (+) 2 ++4 =46= 6 2 ××4 =48 = 8
−2 + (−4) = −6 −2 × (−4) = 8
x +4 4x
x2 +8 6x

cb Pemfaktoran dan pembahagian
Langkah 5: Faktor x2 + 6x + 8 ialah (x + 2)(x + 4). x+4

x + 2 x2 + 6x + 8
(−) x2 + 2x
4x + 8
(−) 4x + 8
0

30

Bab 2 Pemfaktoran dan Pecahan Algebra

CONTOH 9

Faktorkan setiap ungkapan berikut. (b) m2 − 2m − 8
(a) x2 − 6x + 9

Penyelesaian: BAB 2

(a) x2 − 6x + 9 Pendaraban (b) m2 − 2m − 8
faktor 9:
−3 + (−3) = −6 Pendaraban
(−1) × (−9) faktor 8:
(−3) × (−3) 1 × (−8)
−2 × 4
x −3 −3x 2 × (−4) 2 + (− 4) = −2
(×) (×) (+) 2m
−3 −3x m 2
x
x2 +9 −6x (×) (×) (+)

m −4 −4m

m2 −8 −2m

Maka, x2 – 6x + 9 = (x – 3)(x – 3). Maka, m2 − 2m − 8 = (m + 2)(m − 4).

CONTOH 10 QR CODE

Faktorkan ungkapan berikut. Pendaraban faktor 6: Imbas QR Code atau
2m2 + 7m + 6 1×6 layari http://rimbunanilmu.
2×3 my/mat_t2/ms031 untuk
Penyelesaian: menonton video tentang
pemfaktoran menggunakan
Cubaan pertama: Cubaan kedua: kaedah pendaraban silang.

2m 1 1m 2m 3 3m
(×) (×) (+) (×) (×) (+)

m 6 12m m 2 4m
2m2 +6 13m 2m2 +6 7m

Maka, 2m2 + 7m + 6 = (2m + 3)(m + 2). Semak jawapan dengan
kaedah kembangan

CONTOH 11 Penyelesaian bagi
−2y 2 − 9y + 5 boleh juga
Faktorkan ungkapan berikut. (b) –3x2 – 8x – 5 ditulis (−2y + 1 )(y + 5).
(a) –2y2 – 9y + 5
Bincangkan.

Penyelesaian:

(a) 2y −1 +y (b) 3x 5 −5x
(×) (×) (+)
(×) (×) (+)
−y −5 −10y −x −1 −3x
−2y2 −3x2 −5 −8x
+5 −9y

Maka, –2y2 – 9y + 5 = (2y – 1)(–y – 5). Maka, –3x2 – 8x – 5 = (3x + 5)(–x – 1).

31

Bab 2 Pemfaktoran dan Pecahan Algebra

Menggunakan faktor sepunya dalam empat sebutan algebra

ab + ac + bd + cd = (ab + ac) + (bd + cd) Pemfaktoran boleh
dilakukan seperti berikut.
= a(b + c) + d(b + c) Hukum Kalis Agihan 2x2 + 7x + 3
= 2x2 + 6x + x + 3
= (b + c)(a + d)

BAB 2 CONTOH 12 = 2x(x + 3) + (x + 3)
= 2x(x + 3) + 1(x + 3)
= (2x + 1)(x + 3)
Faktorkan setiap ungkapan berikut.

(a) pq + qr + ps + rs (b) 2px + 6qy – 4py – 3qx

Penyelesaian: Gabungkan sebutan

(a) pq + qr + ps + rs yang ada faktor (b) 2px – 4py – 3qx + 6qy
= (pq + qr) + (ps + rs) sepunya di dalam = (2px – 4py) – (3qx – 6qy)
= q(p + r) + s(p + r) = 2p(x – 2y) – 3q(x – 2y)
satu kurungan

= (q + s)(p + r) Faktor sepunya = (x – 2y)(2p – 3q)

2.2.3 Penyelesaian masalah

CONTOH 13 Menyelesaikan masalah yang
melibatkan pemfaktoran.

Luas sebuah padang bola sepak berbentuk segi empat tepat ialah (4x2 + 16x) meter persegi. Padang
itu telah ditenggelami air seperti dalam rajah di bawah. Jika lebar padang itu ialah 4x meter dan dua
kawasan yang ditenggelami air ialah segi tiga bersudut tegak yang sama saiz, berapakah luas kawasan
yang tidak ditenggelami air?

Penyelesaian: kawasan yang
ditenggelami air

4x

Memahami masalah Tentukan tapak Merancang strategi
segi tiga bersudut
Kenal pasti panjang tegak Luas dua segi tiga bersudut tegak
padang 1
Tapak segi tiga
luas bersudut tegak Luas = 2 × � 2 × tapak × tinggi�
Panjang =
= 4x ÷ 2 1
lebar = 2 × � × 2x × (x + 4)�
= 2x
4x2 + 16x 2
=
= 2x2 + 8x
4x
14x(x + 4) Melaksanakan strategi
= 14x Luas kawasan yang tidak ditenggelami air
= (x + 4) = Luas padang – luas dua segi tiga bersudut
tegak
Membuat kesimpulan = 4x2 +16x – (2x2 + 8x)
= 4x2 – 2x2 + 16x – 8x
Luas kawasan yang tidak ditenggelami air = 2x2 + 8x
= (2x2 + 8x) m2

32

Bab 2 Pemfaktoran dan Pecahan Algebra

JOM CUBA 2.2

1. Senaraikan faktor sepunya dan FSTB bagi setiap sebutan berikut.

(a) 8y, 12y (b) 2b, 3b (c) 3w, 5w2 BAB 2
(f) 4a 2b, 8b 2c, 6bcd
(d) 10m2, 15mk (e) 5bc, 2c2, 3cd

2. Faktorkan ungkapan algebra berikut.

(a) 5e + 10 (b) 2ab − 8a2 (c) 3abc + 6a 2b
(f) 2x2 – 4xy + 6wx
(d) 4x – 12x2 (e) ef + f 2 + fg

3. Faktorkan ungkapan algebra berikut.

(a) b2 – 81 (b) a2 – b2 (c) x2 – 1
(f) 4(x – 1)2 – 9
(d) 16y2 – 49 (e) (m + 3)2 – 16

4. Faktorkan ungkapan algebra berikut.

(a) x2 + 9x + 14 (b) x2 + 7x – 18 (c) x2 – 5x – 24
(f) k2 – 8k + 16
(d) m2 + 11m – 26 (e) y2 – 2y – 15 (i) 2m2 + 4m – 16
(l) 5p2 + 6p – 8
(g) 2m2 – 11m – 6 (h) 9f 2 – 12f + 4 (o) – 6 x 2 – x + 15

(j) 2x2 – 5x – 7 (k) 12y2 + 8y – 15

(m) –5m2 – 6m + 8 (n) –3p2 + 8p − 4

5. Faktorkan ungkapan algebra berikut. (b) x2 + xy + 6x + 6y
(a) pq – qr – pw + rw (d) ah + aj – bh – bj
(c) 3ab – 9ad + bc – 3cd (f) 9xy – 3xz + 12py – 4pz
(e) jm – jn + ym – yn

6.

(y + 2) m 2m

3m

(2y − 1) m

Lantai di sebuah bilik berbentuk segi empat tepat dan sebidang permaidani berukuran 3 meter
panjang dan 2 meter lebar dibentangkan di dalam sebuah bilik.
(a) Hitung luas lantai yang tidak ditutupi permaidani.
(b) Felisa ingin menutupi keseluruhan lantai bilik dengan permaidani yang sama saiz.
Nyatakan berapa bidang permaidani yang perlu dibeli sekiranya nilai y = 2.

33

Bab 2 Pemfaktoran dan Pecahan Algebra

2.3 Ungkapan Algebra dan Hukum Operasi Asas Aritmetik

Anda telah mempelajari kembangan, pemfaktoran dan penyelesaian masalah. Cuba selesaikan
gabungan operasi berikut yang melibatkan kembangan dan pemfaktoran.

BAB 2 2.3.1 Penambahan dan penolakan
ungkapan algebra
Melaksanakan penambahan
CONTOH 14 dan penolakan ungkapan
algebra yang melibatkan
Permudah. kembangan dan pemfaktoran.
(a) 2x2 – 2(4x + 5)
(b) 4w (w – 2) – 5
Penyelesaian:

(a) 2x2 – 2(4x + 5) = 2x2 – 8x – 10 (b) 4w (w – 2) – 5 = 4w2 – 8w – 5

= 2(x2 − 4x − 5) = (2w – 5)(2w + 1)

= 2(x – 5)(x + 1)

Menambah atau menolak pecahan algebra dengan penyebut yang sama

CONTOH 15

Permudah setiap yang berikut. Sebelum menyelesaikan

(a) 4a + 3a (b) y − 3y (c) x+2 − x−5 pecahan, langkah pertama
5 5 2x 2x 5w 5w
ialah menyamakan

Penyelesaian: penyebut.
3 2 5
(a) 7 + 7 = 7

(a) 4a + 3a (b) y − 3y (c) x+2 − x−5 (b) 3y + 8y = 11y
5 5 2x 2x 5w 5w 5 5 5

= 7a y − 3y x + 2 − (x − 5) (c) 7x − x
5 2x 5w 5 10
= =
7x ×2 x
1 2y x+2−x+5 = 5 ×2 − 10
2x 5w
− y = −y = − = = 14x − x
x x 10 10
1 y 7
x 5w
Tanda negatif tidak boleh =– = = 13x
berada di bahagian 10

penyebut (d) 4 − x
xy2 y
(−) × (−) = +

= 4 − x × xy
xy2 y × xy

= 4 − x2y
xy2 xy2

= 4 − x2y
xy2

34

Bab 2 Pemfaktoran dan Pecahan Algebra

Menambah atau menolak pecahan algebra yang penyebutnya tidak sama

Salah satu daripada penyebutnya ialah gandaan bagi penyebut yang lain

CONTOH 16 BAB 2

Permudah setiap ungkapan berikut.
3 1 4 2r
(a) 4y − 2y (b) rs – s

Penyelesaian: 1 ×2 1 2 – 1
2 ×2 4 4
( a) 43y – 21y ××22 == 4314y–y2 Speanmyae kbaun tnya (b) =r4s4 – 2r × r – =
s × r
= 1
− 2r2 4
rs

Penyebut pecahan tersebut tidak mempunyai faktor sepunya

CONTOH 17

Permudah setiap ungkapan berikut. 3 1 3 ×3 1 ×4
4 3 4 ×3 3 ×4
(a) 5x − 3x 2a b – = –
3 2 3 2c
(b) + = 9 – 4
12 12
Penyelesaian:
= 5
5x ×2 3x × 3 12
(a) 3 ×2 − 2 ×3 2a b
(b) 3 + 2c

= 10x – 9x = 2a × 2c + b ×3
6 3 × 2c 2c ×3
= x
6 = 4ac + 3b
6c

Penyebut pecahan mempunyai faktor sepunya

CONTOH 18 Gandaan Sepunya
Terkecil (GSTK)

Permudah setiap ungkapan berikut.

(a) 1 + 4 (b) m – 5m
4p 6p 4r 14rs

Penyelesaian:

(a) 1 + 4 = 1 ×3 + 4 ×2 (b) m – 5m = m × 7s – 5m × 2
4p 6p 4p ×3 6p ×2 4r 14rs 4r × 7s 14rs × 2

= 3 + 8 2p 4p , 6p 2r 4 r , 14rs = 7ms – 10m
12p 12p 28rs
2 ,3 2 , 7s
11
= 12p GSTK = 2p × 2 × 3 GSTK = 2r × 2 × 7s
= 12p = 28rs

35

Bab 2 Pemfaktoran dan Pecahan Algebra

2.3.2 Pendaraban dan pembahagian ungkapan
algebra

BAB 2 Untuk mendarab dan membahagi ungkapan algebra, anda perlu Melaksanakan pendaraban
memfaktorkan ungkapan tersebut, kemudian memansuhkannya dan pembahagian
sekiranya terdapat faktor sepunya pada pengangka dan penyebutnya. ungkapan algebra yang
Misalnya, melibatkan kembangan
dan pemfaktoran.

(2p + 4) ÷ (p2 − 4) boleh ditulis sebagai 2p +4 .
p2 –4

2p + 4 = 2(p + 2) Faktorkan pengangka 1m = 1
p2 – 4 p2 – 22 1mn n

= 2(p +1 2) 2) Permudah ungkapan atau 2s2 = 2(1s)(s)
(p + 2)(p – sebutan yang sama jika ada 8sp 8(s)(p)

1 1
s
= 2 = 4p
–
p 2

Proses ini memerlukan kemahiran pemfaktoran yang telah anda pelajari.

CONTOH 19 a2 + 2ab + b2 = (a + b)2
a2 − 2ab + b2 = (a − b)2
Permudah. a2 − b2 = (a + b)(a − b)

(a) a2 – 1 × b2 (b) (h + k)2 × 6k – 3h a+1=1+a
2ab 1+a 2k – h h2 – k2 a − b = −(b − a)
(p − q)2 = (q − p)2
(c) 5a ÷ 2ab (d) a2 – b ÷ (a – b)2
a + 2b 3a + 6b 10a – 5b 8a – 4b

Penyelesaian:

(a) a2 – 1 × b2 (b) (h + k)2 × 6k – 3h Faktorkan
2ab + 2k – h h2 – k2
(1 a) 1 1 1
x x x
(a +1 1)(a – 1) 1b(b) (h +1 k)(h + k) 3(2k1– h) ÷ Salingan
2ab 1 (1 + a)1 2k – h 1 (h + k)(h – k)
= × = × = 1 × x1 adalah x ÷ 1
= 1x 1 dan tukarkan
b(a – 1) 3(h + k) 1 operasi ÷
2a Permudah ungkap an = = 1 kepada ×
h–k Permudah ungkapan
yang sama yang sama

(c) a 5a ÷ 2ab (d) a2 – b2 ÷ (a – b)2
+ 2b 3a + 6b 10a – 5b 8a – 4b

5a 1 3(a +12b) (a + b)(a – b) 1 4(2a – b) 1
= + 2b) × 2ab = 5(2a – b) 1 × (a – b)(a – b) 3 ÷ 5
(a 1 1 4 4

= 15 1 = 4(a + b) Permudah ungkapan = 3 × 41
Permudah ungkapan 5(a – b) yang sama 4 1 5
2b yang sama

= 3
5

36

Bab 2 Pemfaktoran dan Pecahan Algebra

2.3.3 Gabungan operasi ungkapan algebra

CONTOH 20 Melaksanakan gabungan
operasi ungkapan
Selesaikan gabungan operasi berikut. algebra yang melibatkan BAB 2
kembangan dan pemfaktoran.
(a) 2 (15a + 25b) + a (b) 9k 2 – 12k + 4
5b b (3k + 2)(3k – 2) PERHATIAN

(c) 12m – 18m2 × n (d) a–b ÷ (a – b)2 Pemfaktoran dua, tiga dan
4n2 – 16n m 3a + b 6a + 2b empat sebutan:

Penyelesaian: Dua sebutan

(a) 52b(15a + 25b) + a (b) 9k 2 – 12k + 4 a2 − b2 = (a + b)(a − b)
b (3k + 2)(3k – 2) Contoh:
2 1 x2 − 16 = (x + 4)(x − 4)
=1 5b × + 5b) + a = (3k 1– 2)(3k – 2)
5(3a b (3k + 2)(3k – 2) Tiga sebutan

= 2(3a + 5b) + a 1 Faktor dalam dua kurungan
b b ( )( )
= 3k – 2
6a + 10b a 3k + 2 Contoh:
= b + b x2 − 4x − 21
= (x − 7)(x + 3)
= 7a + 10b
b Empat sebutan

(c) 12m – 18m2 × n (d) a–b ÷ (a – b)2 6xy + 2y + 9x +3
4n2 – 16n m 3a + b 6a + 2b Contoh:
(6xy + 2y) + (9x + 3)
= 3 6m1(2 – 3m) × n1 = a–b × 6a + 2b = 2y(3x + 1) + 3(3x + 1)
2 4n(n – 4) m1 3a + b (a – b)2 = (2y + 3)(3x + 1)
2(3a +1
1 (a 1– b) (a – b)(a b)
3(2 – 3m) = (3a + b) × – b)
= 2(n – 4) 1
1 2
a–b
=

JOM CUBA 2.3

1. Permudah setiap yang berikut.

(a) 4(b − 1)2 − 9 (b) (m + 3)2 − 16 (c) (p − 5)2 − 49

(d) 7x(x − 1) − 3 (e) (2c − 1)2 + 2(4 + c)

2. Permudah setiap yang berikut.

(a) 35y + 3y (b) 3m + 2n – m – 5n (c) 24rr +– 33ss – 3r – 43ss
5 m – 2n m – 2n 2r +

3. Permudah setiap yang berikut.

(a) 5p – 2 (b) 2s – 4s (c) x 3+ y – 4(x3z+ y)
p2 3 9

4. Permudah setiap yang berikut. 1 (c) r 2– 2 + 34s
6s
(a) 34u + 5v (b) – 2
3 5t

37

Bab 2 Pemfaktoran dan Pecahan Algebra

5. Permudah setiap yang berikut.
(a) m9 n (b) 3m3n + 6mn 2 (c) d42g + 53dg
+ 12

6. Permudah. (c) mm2 +– n (d) 42kk2––11
(a) x2xy– x (b) 6a1+2 15 n2 (e) 2cc2 –+ 9
BAB 2 6

7. Permudah. 3 (b) k h– 2 × h y+ 3
(a) a 2– +
3 × 3 a

(c) (m3m– n) × 2mn (d) 2r × s – 4
(n – 2m) s–2 r + 5

8. Permudah. 2(x + 2) (b) rs2–r2s2 × 52rr –– 54sr2
(a) xm+ m2(x – a)
2 ×

(c) x x × x2 + 5x + 6 (d) 5ee+–22ff × 43ef 22––109eeff
+ 5x2
2

9. Permudah.
(a) 2a5a+ 3 ÷ 3b
a+b (b) n 4– 3 ÷ 3n8a– 9

(c) x26+y2xy ÷ 18xy (d) egf –+12e ÷ gfg+–2g
x+y

10. Selesaikan gabungan operasi berikut.
(a) xx22 + x xy – y2 (b) 4pp22 ––11 × p4qp –+ 2q
– y 2 × x+y

(c) prq2 – pr ÷ q2 – rr2 (d) s4tt2+–tu1 ÷ 4ts2 2+–4ut2+ 1
– 1 r2 +

MENJANA KECEMERLANGAN

1. Kembangkan setiap ungkapan berikut.

(a) 12 (6a + 12b) (b) (n + 2)(n – 5) (c) (a + 2b)2

(d) (4x – y)2 (e) �2v – 31w ��3v + 2 � (f) (h – k)2 – 4h(2k – 3h)
3w

2. Faktorkan setiap ungkapan berikut.

(a) 12m – 18m2 (b) y 2 – 81 (c) 4ab – 8a2 b

(d) x2 – 16y2 (e) (s – 3)2 – 1 (f) x2 + 4x + 3
(g) x2 + 2x – 15
(h) x2 + 6x + 8 (i) 6cd – 2ce – 3bd + be

3. Permudah setiap ungkapan berikut.
(a) a 4+v 2 a–b (b) 53aeb – 54dc (c) f 42g – 53fg
+ 2v

38

Bab 2 Pemfaktoran dan Pecahan Algebra

(d) n +2 + n (e) 85yxz + y12–x1z (f) 4rsy + 218–yrz
m2 mp

4. Nenek mempunyai sekeping coklat berukuran (k2 – 16) cm panjang dan dia ingin membahagikannya BAB 2
kepada cucunya seramai (k – 4) orang. Berapakah ukuran panjang coklat yang akan diterima
oleh setiap cucunya?

5. Gurdip dan Jumrang ialah pekerja sambilan di sebuah kedai runcit. Gurdip mendapat bayaran
gaji RM3 per jam lebih murah daripada dua kali gaji Jumrang. Katakan gaji Jumrang ialah
RMx per jam, hitung jumlah gaji bagi (x + 2) jam gaji Gurdip dan (2x + 3) jam gaji Jumrang.
Tulis dalam bentuk ungkapan algebra.

6. Luas sebidang tanah untuk membuat parkir kereta di sebuah pasar raya ialah 25(x2 – 8x + 16)
meter persegi.
(i) Jika luas seunit tapak parkir kereta ialah (x – 4)2 meter persegi, berapa buahkah kereta
yang dapat diparkirkan di tempat tersebut?
(ii) 4 unit tapak parkir telah ditempah oleh pemilik pasar raya tersebut. Berapakah unit tapak
parkir yang tinggal?

7. Khairul ingin menampal dindingnya dengan kertas hiasan dinding. Dindingnya berukuran
(x + 5) meter panjang dan (3x − 2) meter lebar.

(i) Berapakah luas kawasan dinding yang akan ditampal dengan kertas hiasan dinding
sekiranya ukuran pintu ialah (x – 1) meter panjang dan x meter lebar?

(ii) Sekiranya harga kertas hiasan dinding tersebut ialah RM8x per meter persegi,
berapakah jumlah wang yang perlu dibayar oleh Khairul?

8. Swee Lee sepatutnya dapat menyiapkan (28 + 16x) bilangan soalan matematik dalam masa 4 jam.
(i) Berapakah bilangan soalan yang dapat disiapkan dalam masa 30 minit?
(ii) Sekiranya Swee Lee hanya dapat menyiapkan (14 + 8x) bilangan soalan tersebut, berapa

lamakah masa yang diambilnya?

9. Azimah membuat seloyang kuih lapis berbentuk segi empat tepat berukuran (3x + 2) cm panjang
dan (x + 2) cm lebar. Dia memotong kuih lapis tersebut kepada 6 bahagian panjang dan
3 bahagian lebar. Hitung luas sepotong kuih lapis tersebut dalam bentuk ungkapan algebra.

10. Encik Hanapi ingin mendirikan sebuah banglo satu tingkat di sebidang tanah berukuran x meter
lebar dan y meter panjang. Dia perlu menyediakan 2 meter rizab jalan untuk jirannya.

(i) Berapakah luas tanah Encik Hanapi yang asal? Rumah
(ii) Berapakah perbezaan luas tanah yang asal dengan jiran

luas tanah selepas ditolak rizab jalan? x
(iii) Sekiranya harga tanah ialah RM18 per meter persegi,

berapakah harga keseluruhan tanah Encik Hanapi?

2
y

39

BAB 2 Bab 2 Pemfaktoran dan Pecahan Algebra

INTI PATI BAB
Pemfaktoran dan Pecahan Algebra

Kembangan Pemfaktoran
Pendaraban suatu ungkapan dengan suatu Proses menulis suatu ungkapan algebra
sebutan lain atau ungkapan algebra yang lain. sebagai hasil darab dua atau lebih sebutan
atau ungkapan algebra.
• a(x + y) = ax + ay Pemfaktoran ialah songsangan kepada
• (a + b)(x + y) = ax + ay + bx + by kembangan.
• b(c + d) = bc + bd
• (b + c)(d + e) = bd + be + cd + ce • 2a – a 2 = a(2 – a)
• (b + c) 2 = b 2 + 2bc + c 2
• (b − c) 2 = b 2 − 2bc + c 2 • a 2 + 4a + 3 = (a + 1)(a + 3)
• (b + c)(b − c) = b2 − c 2
• a 2 – 7a + 10 = (a – 5)(a – 2)

• a 2 – 36 = (a2 – 6 2) = (a – 6)(a + 6)

• ab + ac + bd + cd = (b + c)(a + d)

• a 2 − 2ab + b 2 = (a − b) 2

Penambahan dan Penolakan Pendaraban dan Pembahagian
Sebelum menambah atau menolak dua Laksanakan pemfaktoran kepada ungkapan
pecahan algebra, semak penyebutnya dahulu. jika perlu, sebelum pembahagian atau
Jika penyebutnya tidak sama, anda perlulah pendaraban dilakukan.
samakannya.

• a + b = a + b
4 4 4
+1 y)(x −1y)
• 1 + 1 = b+a m+n ÷ (m + n)2 = m – n × (x + n)(m + n)
a b ab x–y x2 – y2 x y (m +
1
1 1 ×b 1 ×2 1
1 ab 2a × b ab × 2 x+y
• 2a – = – =
m+n

= b–2
2ab

40

Bab 2 Pemfaktoran dan Pecahan Algebra BAB 2

REFLEKSI DIRI

Pada akhir bab ini, saya dapat:

1. Menerangkan maksud kembangan dua ungkapan algebra.

2. Melaksanakan kembangan dua ungkapan algebra.

3. Mempermudah ungkapan algebra yang melibatkan gabungan operasi
termasuk kembangan.

4. Menyelesaikan masalah yang melibatkan kembangan dua ungkapan algebra.
5. Menghubungkaitkan pendaraban ungkapan algebra dengan konsep faktor

dan pemfaktoran, dan seterusnya menyenaraikan faktor bagi hasil darab
ungkapan algebra tersebut.
6. Memfaktorkan ungkapan algebra dengan pelbagai kaedah.

7. Menyelesaikan masalah yang melibatkan pemfaktoran.

8. Melaksanakan penambahan dan penolakan ungkapan algebra yang
melibatkan kembangan dan pemfaktoran.

9. Melaksanakan pendaraban dan pembahagian ungkapan algebra yang
melibatkan kembangan dan pemfaktoran.

10. Melaksanakan gabungan operasi ungkapan algebra yang melibatkan
melibatkan kembangan dan pemfaktoran.

Tajuk: Berapakah sukatan sebaldi air ini?
Bahan: Sebaldi air (dilabel z), beberapa botol mineral kecil (dilabel x), beberapa botol

mineral besar (dilabel y) dan corong

Setiap kumpulan diberi beberapa botol mineral yang kosong (berbeza saiz) dan corong. Murid
diminta menuangkan air tersebut ke dalam botol kosong. Tulis hubungan algebra tentang
sukatan air tersebut. Bentangkan hasil jawapan setiap kumpulan. Adakah sukatan setiap
kumpulan sama? Dapatkah anda menentukan isi padu air?

z xx x yyy

41

Bab 3 Rumus Algebra

BAB 3 Sebuah kedai borong menjual pakaian

ANDA AKAN MEMPELAJARI dengan harga RMy. Pada musim perayaan,
3.1 Rumus Algebra kedai borong tersebut memberikan diskaun
kepada jumlah pembelian pakaian seperti
yang berikut.

Sebagai seorang pengatur cara komputer,
anda diminta untuk membangunkan
satu atur cara yang mengandungi rumus
pengiraan harga jualan pakaian tersebut.

RANGKAI KATA

• Rumus algebra • Algebraic formula
• Pemboleh ubah • Variable
• Pekali • Coefficient
• Perkara rumus • Subject of formula

42