Matematik Tingkatan 3

RUKUN NEGARA

Bahawasanya Negara Kita Malaysia
mendukung cita-cita hendak;

Mencapai perpaduan yang lebih erat dalam kalangan
seluruh masyarakatnya;

Memelihara satu cara hidup demokrasi;

Mencipta satu masyarakat yang adil di mana kemakmuran negara
akan dapat dinikmati bersama secara adil dan saksama;

Menjamin satu cara yang liberal terhadap
tradisi-tradisi kebudayaannya yang kaya dan pelbagai corak;

Membina satu masyarakat progresif yang akan menggunakan
sains dan teknologi moden;

MAKA KAMI, rakyat Malaysia,
berikrar akan menumpukan

seluruh tenaga dan usaha kami untuk mencapai cita-cita tesebut
berdasarkan prinsip-prinsip yang berikut:

KEPERCAYAAN KEPADA TUHAN
KESETIAAN KEPADA RAJA DAN NEGARA

KELUHURAN DAN PERLEMBAGAAN
KEDAULATAN UNDANG-UNDANG
KESOPANAN DAN KESUSILAAN

(Sumber : Jabatan Penerangan, Kementerian Komunikasi dan Multimedia Malaysia)

KURIKULUM STANDARD SEKOLAH MENENGAH

MATEMATIK
TINGKATAN 3
Penulis
Chiu Kam Choon
Vincent De Selva A/L Santhanasamy
Punithah Krishnan
Raja Devi Raja Gopal

Editor
Premah A/P Rasamanie

Pereka Bentuk
Lim Fay Lee

Nur Syahidah Mohd Sharif

Ilustrator
Asparizal Mohamed Sudin
Mohammad Kamal B Ahmad

Pustaka Yakin Pelajar Sdn. Bhd. (10146 M)

2018

KEMENTERIAN
PENDIDIKAN
MALAYSIA

No. Siri Buku: FT083001 PENGHARGAAN

KPM2018 ISBN 978-967-490-042-7 Penerbitan buku teks ini melibatkan kerjasama
Cetakan Pertama 2018 banyak pihak. Sekalung penghargaan dan
© Kementerian Pendidikan Malaysia terima kasih ditujukan kepada semua pihak
yang terlibat:
Hak Cipta Terpelihara. Mana-mana bahan
dalam buku ini tidak dibenarkan diterbitkan • Jawatankuasa Penambahbaikan Pruf Muka
semula, disimpan dalam cara yang boleh Surat, Bahagian Buku Teks, Kementerian
dipergunakan lagi, ataupun dipindahkan dalam Pendidikan Malaysia.
sebarang bentuk atau cara, baik dengan cara
elektronik, mekanik, penggambaran semula • Jawatankuasa Penyemakan Pembetulan
mahupun dengan cara perakaman tanpa Pruf Muka Surat, Bahagian Buku Teks,
kebenaran terlebih dahulu daripada Ketua Kementerian Pendidikan Malaysia.
Pengarah Pelajaran Malaysia, Kementerian
Pendidikan Malaysia. Perundingan tertakluk • Jawatankuasa Penyemakan Naskhah Sedia
kepada perkiraan royalti atau honorarium. Kamera, Bahagian Buku Teks, Kementerian
Pendidikan Malaysia.
Diterbitkan untuk Kementerian Pendidikan
Malaysia oleh: • Pegawai-pegawai Bahagian Buku Teks
PUSTAKA YAKIN PELAJAR SDN. BHD. dan Bahagian Pembangunan Kurikulum,
Lot 4, Lorong CJ 1/1B, Kementerian Pendidikan Malaysia.
Kawasan Perindustrian Cheras,
43200 Cheras, Selangor Darul Ehsan, • Ahli panel penilaian dan peningkatan mutu.
Malaysia.
• Bahagian Editorial dan Bahagian Produksi,
Reka Letak dan Atur Huruf: terutamanya pereka bentuk dan ilustrator.
PUSTAKA YAKIN PELAJAR SDN. BHD.
Muka taip teks: Times New Roman • Semua pihak yang terlibat secara langsung
Saiz taip teks: 11 poin atau tidak langsung dalam menjayakan
penerbitan buku ini.
Dicetak oleh:
BHS BOOK PRINTING SDN. BHD. (95134-K)
Lot 4, Lorong CJ 1/1B, Kawasan Perindustrian
Cheras, 43200 Cheras, Selangor Darul Ehsan,
Malaysia.

ii

Kandungan

Pendahuluan v

Simbol dan Rumus vii

BAB Indeks 1
1.1 Tatatanda Indeks 2
1 1.2 Hukum Indeks 6



BAB Bentuk Piawai 30
2.1 Angka Bererti 32
2 2.2 Bentuk Piawai 37



3 BAB Matematik Pengguna: Simpanan dan Pelaburan, Kredit dan Hutang 50

3.1 Simpanan dan Pelaburan 52

3.2 Pengurusan Kredit dan Hutang 73

BAB Lukisan Berskala 86
4.1 Lukisan Berskala 88
4

BAB Nisbah Trigonometri 106
5
5.1 Sinus, Kosinus dan Tangen bagi Sudut Tirus dalam Segi Tiga

Bersudut Tegak 108

Saiz sebenar

iii

6 BAB Sudut dan Tangen bagi Bulatan 128
6.1 Sudut pada Lilitan dan Sudut Pusat yang Dicangkum
130
144
oleh Suatu Lengkok 150
160
6.2 Sisi Empat Kitaran
168
6.3 Tangen kepada Bulatan 170
182
6.4 Sudut dan Tangen bagi Bulatan
198
BAB Pelan dan Dongakan 200
7.1 Unjuran Ortogon 204
7 7.2 Pelan dan Dongakan
224
226

8 BAB Lokus dalam Dua Dimensi 252
8.1 Lokus 262
8.2 Lokus dalam Dua Dimensi 263
264

BAB Garis Lurus
9.1 Garis Lurus
9

Jawapan
Glosari
Senarai Rujukan
Indeks

Saiz sebenar

iv

Pendahuluan

Buku teks Matematik Tingkatan 3 ini ditulis berdasarkan Kurikulum Standard Sekolah
Menengah (KSSM). Buku ini terdiri daripada 9 bab yang disusun dan dirancang secara
sistematik berdasarkan Dokumen Standard Kurikulum dan Pentaksiran (DSKP) Matematik
Tingkatan 3.
Pada permulaan bab, murid akan diperkenalkan kepada bahan rangsangan yang berkaitan
dengan kehidupan harian untuk merangsang pemikiran murid tentang konsep sesuatu topik.
Di samping itu, Standard Kandungan dan daftar kata turut disertakan untuk memberikan
gambaran ringkas tentang kandungan bab.

Buku ini mengandungi ciri-ciri istimewa seperti berikut:

Apakah yang akan anda pelajari? Penerangan

Mengandungi standard kandungan yang akan
dipelajari dalam setiap bab.

Kenapa Belajar Bab Ini? Kegunaan ilmu bab ini termasuk bidang
pekerjaan yang berkaitan dengan bab ini.

Eksplorasi Zaman Sejarah ilmuan terdahulu atau asal usul
penerokaan bab ini dalam mata pelajaran Matematik.

GERBANG K A T A Daftar kata yang terkandung dalam setiap bab.

Cetusan Minda Membantu murid memahami konsep asas
matematik melalui aktiviti individu, berpasangan
Kendiri Berpasangan Berkumpulan atau kumpulan.
Belajar di Luar Bilik Darjah Memberi maklumat tambahan yang menambahkan
info berkaitan dengan bab yang dipelajari.
BULETIN

KUI Z Soalan untuk menguji sejauh mana kemampuan
murid dalam memahami kemahiran tertentu dalam
setiap bab.

PERINGATAN Menarik perhatian murid kepada fakta tambahan
TIP yang perlu diketahui, kesilapan yang sering
dilakukan murid dan mengelakkan kecuaian murid.
BIJAK MINDA Mendedahkan murid kepada pengetahuan tambahan
yang perlu diketahui.
Mengemukakan soalan yang merangsang minda

murid untuk berfikir secara kritis dan kreatif. Saiz sebenar

v

BIJAK Penerangan

SUDUT DISKUSI Mendedahkan murid terhadap penggunaan alat
IMBAS KEMBALI teknologi dalam pembelajaran matematik.
Membina kemahiran berkomunikasi secara
PINTAR JARI 1,234567.89 matematik.
7 8 9÷ Membantu murid untuk mengingat kembali perkara
4 5 6x yang telah dipelajari.
1 2 3- Memaparkan cara penggunaan kalkulator saintifik
AC 0 . + dalam pengiraan.
Membolehkan murid menjalankan tugasan dan
P ROJ E K membentangkan hasil semasa pembelajaran.
Menguji pemahaman murid terhadap konsep yang
UJI MINDA telah dipelajari.
Soalan Kemahiran Berfikir Aras Tinggi (KBAT)
Cabaran Dinamis untuk menguji kemahiran murid.
Memberi kepelbagaian soalan latihan yang
JELAJAH MATEMATIK berunsurkan KBAR, KBAT, TIMSS dan PISA.

PETA KONSEP QR Code yang boleh diimbas dengan menggunakan
IMBAS KENDIRI aplikasi dalam peranti mudah alih pintar.
Semak Jawapan
Merangkumi konsep penggunaan aplikasi digital,
S T EM kalkulator, hands on dan permainan yang bertujuan
untuk memberi aktiviti tambahan kepada murid
Saiz sebenar untuk mempertingkat pemahaman murid dengan
lebih berkesan.
vi
Rumusan keseluruhan bab yang telah dipelajari.

Melihat kembali standard pembelajaran yang telah
dipelajari sama ada tercapai atau tidak.

Menyemak jawapan dengan kaedah alternatif.

Aktiviti dengan elemen Science, Technology,
Engineering and Mathemathics.

Simbol dan Rumus

SIMBOL lebih besar daripada atau sama dengan
kurang daripada
√ punca kurang daripada atau sama dengan
π pi ∆ segi tiga
a : b nisbah a kepada b ∠ sudut
A × 10n bentuk piawai dengan keadaan ° darjah
1 A 10 dan n ialah integer ' minit
= sama dengan '' saat
≈ hampir sama dengan
≠ tidak sama dengan
lebih besar daripada

RUMUS

am × an = am + n t an θ = —ksion—sθθ–
am ÷ an = am – n Teorem Pythagoras:
(am)n = amn
a0 = 1 c2 = a2 + b2
a–n = —a1n c b b2 = c2 – a2
a—1n = n√ a
a—mn = (am)—n1 = (a—1n )m a a2 = c2 – b2

a—mn = n√ am = (n√ a )m Jarak dua titik = √(x2 – x1)2 + (y2 – y1)2

( ) Titik tengah =


I = Prt —x1—+2 —x2 , —y1 —+2 y—2
MV = P(1 + —nr )nt
A = P + Prt K ecerunan, m = —JaJ—raarka—km—mene—ncag—nucf—uank—g

s in θ = —si—si hb—iepr—oteten—ntau—nsg—an– hipotenus m —yx22—–– xy—11
sisi bertentangan
kos —sis—i hb—iepr—ostee—bneul—ash—an– =

θ =

tan θ = —ssiis—sii bb—eerr—steen—bteal—nagh—aann– θ m = – —p—int—asa—n-—y
sisi pintasan-x

bersebelahan

Muat turun aplikasi percuma imbasan QR Code ke peranti mudah alih pintar anda.
Imbas QR Code atau layari laman sesawang http://yakin-pelajar.com untuk memuat
turun fail cetusan minda. Kemudian simpan fail yang dimuat turun untuk kegunaan
luar talian.

Nota: Murid boleh muat turun perisian GeoGebra dan Geometer’s Sketchpad

http://yakin-pelajar.com (GSP) yang percuma untuk membuka fail yang berkenaan. Saiz sebenar

vii

1BAB Indeks

Apakah yang akan anda pelajari?

1.1 Tatatanda Indeks

1.2 Hukum Indeks

Kenapa Belajar Bab Ini?

• Penulisan suatu nombor dalam bentuk indeks
membolehkan nombor tersebut dinyatakan
dalam bentuk yang ringkas dan mudah difahami.
Pelbagai operasi matematik yang melibatkan
nombor dalam bentuk indeks dapat dijalankan
dengan menggunakan hukum-hukum indeks.
• Konsep indeks digunakan dalam bidang sains,
kejuruteraan, perakaunan, kewangan, astronomi,
perkomputeraan dan sebagainya.

TasikKenyiryangterletakdidaerahHuluTerengganu,
Terengganu, merupakan tasik buatan manusia yang
terbesar diAsia Tenggara. Tasik Kenyir terkenal sebagai
satu destinasi pelancongan dunia kerana keindahan alam
semula jadi yang unik. Tasik Kenyir juga merupakan
kawasan tadahan air yang penting. Empangan Kenyir
yang dibina pada tahun 1985, membekalkan air
kepada Stesen Jana Kuasa Sultan Mahmud.Anggaran
keluasan kawasan tadahan air di empangan utama
ialah 2 600 km² dengan isi padu takungan sebanyak
13 600 juta meter padu. Pada musim tengkujuh, isi padu
tadahan air akan meningkat secara mendadak. Apakah
tindakan yang harus diambil dalam situasi sebegini?

Eksplorasi Zaman

Tatatanda indeks merupakan elemen penting dalam
perkembangan dunia matematik dan pengaturcaraan
komputer. Penggunaan tatatanda bagi indeks integer
positif telah diperkenalkan oleh Rene Descartes,
seorang tokoh matematik berbangsa Perancis (1637).
Sir Issac Newton, seorang lagi tokoh matematik
berbangsa Inggeris telah memperkembangkan lagi
bidang penggunaan tatatanda indeks serta
memperkenalkan indeks negatif dan indeks pecahan.

http://yakin-pelajar.com/Eksplorasi%20Zaman/Bab%201/

GERBANG K A T A

• asas • base
• faktor • factor
• indeks • index
• indeks pecahan • fractional index
• kuasa • power
• punca kuasa • root
• tatatanda indeks • index notation

Saiz sebenar

1

1.1 Tatatanda Indeks

BAB 1 Apakah itu pendaraban berulang dalam bentuk indeks? STANDARD
PEMBELAJARAN
Perkembangan bidang teknologi bukan sahaja memudahkan kebanyakan
Mewakilkan pendaraban
tugas harian kita, malah turut menjimatkan kos perbelanjaan dalam berulang dalam bentuk indeks

pelbagai bidang. Misalnya, penggunaan kad memori di dalam kamera dan menghuraikan maksudnya.

digital membolehkan pengguna menyimpan gambar dalam bilangan

yang banyak serta memadam atau mengubah suai gambar yang kurang

sesuai sebelum dicetak. SUDUT DISKUSI

Bincang nilai kapasiti
pemacu pena yang
anda tahu.

BULETIN

Penguraian nuklear bagi
uranium U–320 adalah
mengikut pola 30, 31, 32,…

Pada peringkat awal, kad memori dikeluarkan dengan kapasiti 4MB. Nilai kapasiti ini ditambah
mengikut peredaran zaman dan kehendak pengguna. Tahukah anda, nilai kapasiti kad memori
dihitung dalam satu bentuk khas iaitu 2n?

Di Tingkatan 1, anda telah mempelajari bahawa 43 = 4 × 4 × 4. Nombor 43 ditulis dalam tatatanda
indeks iaitu 4 ialah asas dan 3 ialah indeks atau eksponen. Nombor ini dibaca sebagai ‘4 kuasa 3’.

Maka, nombor dalam tatatanda indeks atau bentuk indeks boleh ditulis sebagai;

an Indeks
Asas

Anda sedia tahu bahawa 42 = 4 × 4 dan 43 = 4 × 4 × 4. Misalnya;

4 × 4 = 4 2 Nilai indeks ialah 2

Berulang dua kali Nilai indeks sama dengan bilangan kali 4 didarab secara berulang.

4 × 4 × 4 = 4 3 Nilai indeks ialah 3
Berulang tiga kali Nilai indeks sama dengan bilangan kali 4 didarab secara berulang.

Contoh 1

Tulis pendaraban berulang berikut dalam bentuk indeks an. PERINGATAN

(a) 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5 (b) 0.3 × 0.3 × 0.3 × 0.3 25 ≠ 2 × 5 43 ≠ 4 × 3
an ≠ a × n
Saiz se (bc)e (n–a2r) × (–2) × (– 2) (d) —41 × —41 × —41 × —14 × —41

(e) m × m × m × m × m × m × m (f) n × n × n × n × n × n × n × n

2

Bab 1 Indeks

Penyelesaian:

(a) 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5 = 56 (b) 0.3 × 0.3 × 0.3 × 0.3 = (0.3)4 BAB 1

berulang enam kali berulang empat kali

( )( c) (–2) × ( –2) × (–2) = (–2)3 (d) —14 × —41 × —41 × —41 × —41 = —41 5
berulang tiga kali
berulang lima kali

(e) m × m × m × m × m × m × m = m7 (f) n × n × n × n × n × n × n × n = n8

berulang tujuh kali berulang lapan kali

Daripada penyelesaian Contoh 1, didapati bahawa nilai indeks dalam suatu bentuk indeks adalah
sama dengan bilangan kali asas didarab secara berulang. Secara generalisasi,

an = a × a × a × … × a ; a ≠ 0
n faktor

UJI MINDA 1.1a

1. Lengkapkan jadual di bawah dengan asas atau indeks bagi nombor atau sebutan algebra yang
diberi.

53 (– 4)7 Asas Indeks
5 7
( ) —21 10 ( )m6 – —37 4 —12
n 6
n0 (0.2)9 9
x 4
( )x20 2 —31 2 8 2

8

2. Nyatakan pendaraban berulang berikut dalam bentuk indeks an.

(a) 6 × 6 × 6 × 6 × 6 × 6 (b) 0.5 × 0.5 × 0.5 × 0.5 × 0.5 × 0.5 × 0.5

(c) —12 × —12 × —12 × —12 (d) (–m) × (–m) × (–m) × (–m) × (–m)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( e) 1 — 23 × 1—23 × 1—23 ( f) – 1n– × – 1n– × – –1n × – 1n– × – –1n × – 1n–

3. Tukarkan nombor atau sebutan algebra dalam bentuk indeks kepada pendaraban berulang.

( ) ( ) (a) ( –3)3 (b) (2.5 )4 (c) —23 5 ( d) – 2 —14 3

( ) (e) k 6 (f) (–p) 7 (g) —m1 8 (h) (3n)5

Saiz sebenar

3

BAB 1 B agaimanakah anda boleh menukar suatu nombor kepada STANDARD
nombor dalam bentuk indeks? PEMBELAJARAN

Suatu nombor boleh ditulis dalam bentuk indeks jika suatu asas yang Menukar suatu nombor
sesuai dipilih. Anda boleh menggunakan kaedah pembahagian berulang kepada nombor
atau kaedah pendaraban berulang untuk menukar suatu nombor kepada dalam bentuk indeks
nombor dalam bentuk indeks. dan sebaliknya.

Contoh 2 IMBAS KEMBALI

Tuliskan 64 dalam bentuk indeks dengan menggunakan asas 2, asas 4 4 × 4 × 4 = 43
dan asas 8.

Penyelesaian:

Kaedah Pembahagian Berulang

(a) Asas 2 (b) Asas 4 (c) Asas 8
• 64 dibahagi secara • 64 dibahagi secara • 64 dibahagi secara
berulang dengan 2. berulang dengan 4. berulang dengan 8.

2 ) 64 n=3 4 ) 64 n=2 8 ) 64
2 ) 32 4 ) 16 8 ) 8
2 ) 16 4 ) 4
n=6 2 ) 8 1 1
2 ) 4
2 ) 2 Maka, 64 = 82
1
Maka, 64 = 43

Pembahagian
diteruskan sehingga
mendapat nilai 1.

Maka, 64 = 26

Kaedah Pendaraban Berulang

(a) Asas 2 (b) Asas 4 (c) Asas 8
2×2×2×2×2×2 4×4×4 8 × 8 = 64
4 16
8 64 Maka, 64 = 82
16
32 Maka, 64 = 43 SUDUT DISKUSI
64
Antara kaedah
Maka, 64 = 26 pembahagian berulang
dengan kaedah pendaraban
Saiz sebenar berulang, kaedah manakah
yang lebih mudah untuk
4 menukar suatu nombor
kepada nombor dalam
bentuk indeks? Bincangkan.

Bab 1 Indeks

Contoh 3

PT eunliyseklaens—a3i3a1—2n2:5 – dalam bentuk indeks dengan menggunakan asas —52 . BAB 1

Kaedah Pembahagian Berulang Kaedah Pendaraban Berulang
—25 × —25 × —25 × —25 × —52
n=5 2 ) 32 n=5 5 ) 3 125
2 ) 16 5 ) 625 —245–
2 ) 8 5 ) 125
2 ) 4 5 ) 25 —182–5
2 ) 2 5 ) 5 6—1265–
1 1 —331—225–

( )Maka, — 331—22 5– = —52 5 ( )Maka, — 331—22 5– = —25 5

UJI MINDA 1.1b

1. Tuliskan setiap nombor berikut dalam bentuk indeks dengan menggunakan asas yang
dinyatakan dalam kurungan.

[ ] (a) 8 1 [asas 3] (b) 15 625 [as as 5] (c) —1624–5 asas —45

[ ( )] (d) 0 .00032 [ a sas 0.2 ] ( e) – 16 38 4 [asa s ( – 4)] ( f) —116 asas – —41

Bagaimanakah anda boleh menentukan nilai bagi nombor dalam bentuk indeks, an ?

Nilai an boleh ditentukan dengan kaedah pendaraban berulang atau dengan menggunakan kalkulator
saintifik.

Contoh 4

Hitung nilai bagi nombor dalam bentuk indeks yang diberi. KUI Z
(m)4 = 16
(a) 25 (b) (0.6)3
Apakah nilai-nilai yang
2 × 2 × 2 × 2 × 2 0.6 × 0.6 × 0.6 mungkin bagi m?

4 × 2 0.36 × 0.6 Saiz sebenar

8 × 2 0.216

16 × 2 0.63 = 0.216

32

Maka, 25 = 32 Maka, 0.63 = 0.216

5

BAB 1 Contoh 5 PINTAR JARI 1,234567.89 3 = PERINGATAN
7 8 9÷
(a) 54 = 625 4 5 6x Asas bernilai negatif dan
(b) (–7)3 = –343 1 2 3- pecahan mesti ditekan
AC 0 . + bersama tanda kurung
( )( c) —23 4= —1861– semasa menggunakan
5 ^ 4 = kalkulator untuk menentukan
nilai nombor tersebut.
( (–) 7 ) ^

( 2 ab/c 3 ) ^ 4 =

( ) (d) 1—35 2= —6254– ( 1 ab/c 3 ab/c 5 ) ^ 2 = SUDUT DISKUSI
( (–) 0 . 5 ) ^ 6 =
(e) (– 0.5)6 = 0.015625 Hitung soalan (c), (d)
dan (e) contoh 5 tanpa
UJI MINDA 1.1c menggunakan tanda
kurung. Adakah jawapan
sama? Bincangkan.

1. Hitung nilai bagi setiap nombor dalam bentuk indeks di bawah.

(a) 94 (b) (– 4)5 (c) (2.5)3 (d) (– 3.2)3
( ) ( ) ( ) ( ) ( e ) —38 5 ( f) – —16 4 ( g ) 1 —23 2 (h ) – 2 —13 3

1.2 Hukum Indeks

Apakah kaitan antara pendaraban nombor dalam STANDARD
bentuk indeks yang mempunyai asas yang sama dengan PEMBELAJARAN
pendaraban berulang?
Menghubung kait
Cetusan Minda 1 pendaraban nombor
Berpasangan dalam bentuk indeks yang
mempunyai asas yang
Tujuan: Mengenal pasti hubungan antara pendaraban nombor dalam sama dengan pendaraban
bentuk indeks yang mempunyai asas yang sama dengan berulang, dan seterusnya
pendaraban berulang. membuat generalisasi.

Langkah:

1. Teliti contoh (a) dan lengkapkan contoh (b) dan (c).

2. Bincang bersama rakan anda dan nyatakan tiga contoh lain.

3. Tampal tiga contoh tersebut di sudut matematik supaya kumpulan lain dapat memberi ulasan.

Pendaraban nombor Pendaraban berulang
dalam bentuk indeks

(a) 23 × 24 3 faktor 4 faktor 7 faktor (keseluruhan)

(2 × 2 × 2) × (2 × 2 × 2 × 2) = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 27

23 × 24 = 2 7 7=3+4
23 × 24 = 2 3 + 4

(b) 32 × 33 2 faktor 3 faktor 5 faktor (keseluruhan)

Saiz sebenar (3 × 3) × (3 × 3 × 3) = 3 × 3 × 3 × 3 × 3 = 35

32 × 33 = 3

32 × 33 = 3

6

Bab 1 Indeks

Pendaraban nombor Pendaraban berulang
dalam bentuk indeks

(c) 54 × 52 4 faktor 2 faktor 6 faktor (keseluruhan) BAB 1

(5 × 5 × 5 × 5) × (5 × 5) = 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5 = 56
54 × 52 = 5
54 × 52 = 5

Perbincangan:

Apakah kesimpulan anda berkaitan hubungan antara pendaraban nombor dalam bentuk indeks
dengan pendaraban berulang?

Hasil daripada Cetusan Minda 1, didapati bahawa; SUDUT DISKUSI

23 × 24 = 23 + 4 Diberi,
32 × 33 = 32 + 3 am × an = bm × bn.
54 × 52 = 54 + 2
Adakah a = b? Bincangkan.

Secara generalisasi, am × an = a m + n

Contoh 6

Ringkaskan setiap yang berikut.
(a) 72 × 7 3 (b) (0.2 )2 × (0.2 )4 × (0.2) 5 (c ) 2k2 × 4 k3 (d) 3m4 × —1 m5 × 12m
6

Penyelesaian:

(a) 72 × 73 (b) (0.2)2 × (0.2)4 × (0.2)5 PERINGATAN

= 72 + 3 = (0.2)2 + 4 + 5 a = a1
= 75 = (0.2)11

( c) 2 k2 × 4k3 (d) 3m4 × —61 m5 × 12m
= (2 × 4)(k2 × k3)
= (3 × —16 × 12) (m4 × m5 × m1)
Operasi
= 8k2 + 3 untuk pekali. = 6m4 + 5 + 1 BIJAK MINDA

= 8k5 = 6m10 Jika ma × mb = m8,

UJI MINDA 1.2a dengan keadaan a > 0
dan b > 0, apakah

nilai-nilai yang mungkin

1. Permudahkan setiap yang berikut. bagi a dan b?

(a) 32 × 3 × 34 (b) (– 0.4)4 × (– 0.4)3 × (– 0.4)

—47 —74 3 × —74 5 (d) – 1—52 2 × – 1—25 3 × 1—52
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (c) × – 5



( e) 4m2 × —21 m3 × ( – 3)m4 (f) n6 × —245 n2 × —45 n3 × n

( g) – x4 × —25 x × 1—2 x2 (h) – —1 y5 × (– 6)y3 × —1 y4 Saiz sebenar
4 5 2 3

7

BAB 1 B agaimanakah anda boleh permudahkan nombor atau sebutan TIP
algebra dalam bentuk indeks yang mempunyai asas yang
berlainan? Kumpulkan nombor
atau sebutan algebra
Contoh 7 dengan asas yang sama
terlebih dahulu. Kemudian,
Ringkaskan setiap yang berikut. tambahkan indeks bagi
asas yang sama.

(a) m3 × n2 × m4 × n5 (b) (0.3)2 × (0.2)2 × 0.3 × (0.2)5 × (0.3)3

( c) p2 × m3 × p4 × n3 × m4 × n2 (d) –m4 × 2n5 × 3m × —14 n2

Penyelesaian:

(a) m3 × n2 × m4 × n5 (b) (0.3)2 × (0.2)2 × 0.3 × (0.2)5 × (0.3)3

= m3 × m4 × n2 × n5 aKsuams ypaunlkg asnama. = (0.3)2 × (0.3)1 × (0.3)3 × (0.2)2 × (0.2)5
= m3 + 4 × n2 + 5 = (0.3)(2 + 1 + 3) × (0.2)(2 + 5)

= m7 × n7 Tambahkan indeks = (0.3)6 × (0.2)7
bagi asas yang sama.
= m7n7

( c) p2 × m3 × p4 × n3 × m4 × n2 (d) –m4 × 2n5 × 3m × —41 n2
= m3 × m4 × n3 × n2 × p2 × p4 = ( –1 × 2 × 3 × —41 ) m4 × m1 × n5 × n2
= m3 + 4 × n3 + 2 × p2 + 4
= – —32 m4 + 1 n5 + 2 PERINGATAN
= m7 n5 p6

= – —23 m5 n7 –an ≠ (–a)n
Contoh:
–32 ≠ (–3)2
UJI MINDA 1.2b –9 ≠ 9

1. Nyatakan dalam bentuk indeks paling ringkas.

(a) 54 × 93 × 5 × 92 (b) (0.4)2 × (1.2)3 × (0.4) × (1.2)5 × (1.2)

( c) 1 2x5 × y3 × —12 x × —23 y4 (d) –2k5 × p6 × —14 p5 × 3k

Apakah kaitan antara pembahagian nombor dalam bentuk STANDARD
indeks yang mempunyai asas yang sama dengan pendaraban PEMBELAJARAN
berulang?
Menghubung kait
Cetusan Minda 2 Berpasangan pembahagian nombor
dalam bentuk indeks
Tujuan: Mengenal pasti hubungan antara pembahagian nombor yang mempunyai asas
dalam bentuk indeks yang mempunyai asas yang sama yang sama dengan
dengan pendaraban berulang. pendaraban berulang,
dan seterusnya
Langkah: membuat generalisasi.

Saiz seb21e.. naTBreelriititicgoanctoohnt(oah) dan lengkapkan contoh (b) dan (c).
lain dan bentangkan hasil dapatan anda.

8

Bab 1 Indeks

Pembahagian nombor Pendaraban berulang
dalam bentuk indeks
BAB 1
(a) 45 ÷ 42 5 faktor

— 4425 = —4 ×—4—×4—×4 ×—4 4––×–4– =4×4 ×4= 43

3 faktor (Baki)

2 faktor

45 ÷ 42 = 4 3 3=5–2

45 ÷ 42 = 4 5–2

(b) 26 ÷ 22 6 faktor

— 2226 = —2 ×—2—×—22 ×—× 22––×–2–—× 2– = 2 ×2× 2×2 = 24

4 faktor (Baki)

2 faktor

26 ÷ 22 = 2
26 ÷ 22 = 2

(c) (–3)5 ÷ (–3)3 5 faktor

(( —––33—))35 = ( —–3—) ×—((–—–33)—) ××–((––––33–))—××(–(–––33–))— ×—(––3–) = (–3) × (–3) = (–3)2

2 faktor (Baki)

3 faktor

(–3)5 ÷ (–3)3 = (–3)
(–3)5 ÷ (–3)3 = (–3)

Perbincangan:

Apakah perkaitan antara pembahagian nombor dalam bentuk indeks dengan pendaraban
berulang?

Hasil daripada Cetusan Minda 2, didapati bahawa; BIJAK MINDA

45 ÷ 42 = 45 – 2 Diberi ma – b = m7 dan
26 ÷ 22 = 26 – 2 0 < a < 10. Jika a > b,
(–3)5 ÷ (–3)3 = (–3)5 – 3 nyatakan nilai-nilai yang
mungkin bagi a dan b.

Secara generalisasi, am ÷ an = am – n

Contoh 8

Ringkaskan setiap yang berikut.

(a) 54 ÷ 52 (b) (–3)4 ÷ (–3)2 ÷ (–3) (c) m4n3 ÷ m2n
(d) 25x2y3 ÷ 5xy (e) 12m10 ÷ 4m5 ÷ m2 (f) –16p8 ÷ 2p5 ÷ 4p2
Penyelesaian:

(a) 54 ÷ 52 (b) (–3)4 ÷ (–3)2 ÷ (–3) (c) m4n3 ÷ m2n

= 54 – 2 = (–3)4 ÷ (–3)2 ÷ (–3)1 = m4n3 ÷ m2n1

= 52 = (–3)4 – 2 – 1 = m4 – 2 n3 – 1

= (–3)1 = m2 n2 Saiz sebenar

= –3

9

(d) 25x2y3 ÷ 5xy (e) 12m10 ÷ 4m5 ÷ m2 (f) –16p8 ÷ 2p5 ÷ 4p2

BAB 1 ==== 255—255xx51yxxy22 22y – 3 1O÷py5e3 rx –a 1s1yi1un t u k pe k a li. ==== 333—14mm(2 m 35(1 m–0–215 0 ) ÷÷ mm 52÷ m 2) ==== ––– —–2188 —6pp–4838(–(÷p5p8÷43÷p÷42ppp522))÷ 4p2

= –2p3 – 2

= –2p1

= –2p

UJI MINDA 1.2c

1. Permudahkan setiap yang berikut. (c) —mm84—nn6
(a) 45 ÷ 44 (b) 710 ÷ 76 ÷ 72 (f) –25h4 ÷ 5h2 ÷ h

(d) —297x—x34y–y2–5 (e ) m 7 ÷ m2 ÷ m4
2. Salin dan lengkapkan setiap persamaan di bawah.

(a) 8 ÷ 84 ÷ 83 = 8 (b) m4n ÷ m n5 = m2n

( c) — m1—0 n—m4 ×7—nm —— n2= m 5n ( d) —27—x3y—6x×2—yx3—y – = 3x y5

3 . Jika —224x—×× —33y2 = 6, tentukan nilai x + y.


A pakah kaitan antara nombor dalam bentuk indeks yang STANDARD
dikuasakan dengan pendaraban berulang? PEMBELAJARAN

Cetusan Minda 3 Berpasangan Menghubung kait
nombor dalam bentuk
Tujuan: Mengenal pasti hubungan antara nombor dalam bentuk indeks yang dikuasakan
indeks yang dikuasakan dengan pendaraban berulang. dengan pendaraban
berulang, dan seterusnya
Langkah: membuat generalisasi.

1. Teliti contoh (a) dan lengkapkan contoh (b) dan (c).

2. Nyatakan tiga contoh lain dan bentangkan hasil dapatan anda.

Bentuk indeks Pendaraban berulang dalam bentuk indeks Kesimpulan
yang dikuasakan

(a) (32)4 4 faktor (32)4 = 32(4)
= 38
Saiz sebenar 32 × 32 × 32 × 32

= 32 + 2 + 2 + 2 2 ditambah 4 kali

4 kali

= 32(4)

10

Bab 1 Indeks

Bentuk indeks Pendaraban berulang dalam bentuk indeks Kesimpulan
yang dikuasakan
(b) (54)3 3 faktor (54)3 = 5 BAB 1
= 5
(c) (43)6 54 × 54 × 54 4 ditambah 3 kali
= 54 + 4 + 4 (43)6 = 4
= 4
3 kali

= 54(3)

6 faktor

43 × 43 × 43 × 43 × 43 × 43

= 43 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 3 ditambah 6 kali

6 kali

= 43(6)

Perbincangan:

Apakah kesimpulan anda tentang bentuk indeks yang dikuasakan dengan pendaraban berulang
dalam bentuk indeks?

Kesimpulan daripada Cetusan Minda 3, boleh disemak dengan kaedah berikut.

Contoh (a) Contoh (b) Contoh (c)

(32)4 = 32 × 32 × 32 × 32 (54)3 = 54 × 54 × 54 (43)6 = 43 × 43 × 43 × 43 × 43 × 43
= 32 + 2 + 2 + 2 = 54 + 4 + 4 = 43 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3
= 38 = 512 = 418

32(4) = 32 × 4 54(3) = 54 × 3 43(6) = 43 × 6
= 38 = 512 = 418

Daripada bahagian kesimpulan Cetusan Minda 3, kita dapati bahawa; BIJAK MINDA

Diberi,
(32)4 = 32(4) mrt = 312
(54)3 = 54(3)
(43)6 = 43(6) Apakah nilai-nilai yang
mungkin bagi m, r dan t
Secara generalisasi, (am)n = amn jika r > t ?

Contoh 9

1. Permudahkan setiap yang berikut.

(a) (34)2 (b) (h3)10 (c) ((–y)6)3
(c) (32)6 = (272)4
2. Tentukan sama ada persamaan berikut benar atau palsu.

(a) (42)3 = (43)2 (b) (23)4 = (22)6 Saiz sebenar

11

Penyelesaian:

BAB 1 1. (a) (34)2 (b) (h3)10 (c) ((–y)6)3
= (–y)6(3)
= 34(2) = h3(10) = (–y)18
= 38 = h30

2. (a) (42)3 = (43)2 (b) (23)4 = (22)6 (c) (32)6 = (272)4

kiri kanan kiri kanan kiri kanan

Kiri: Kiri: Kiri:

(42)3 = 42(3) = 46 (23)4 = 23(4) = 212 (32)6 = 32(6) = 312

Kanan: Sama Kanan: Sama Kanan:

(43)2 = 43(2) = 46 (22)6 = 22(6) = 212 (272)4 = (33(2))4 Tidak

sama
Maka, (42)3= (43)2 Maka, (23)4 = (22)6 = 36(4)
adalah benar. adalah benar. = 324
Maka, (32)6 = (272)4
adalah palsu.

UJI MINDA 1.2d

1. Gunakan hukum indeks untuk meringkaskan setiap pernyataan berikut.

(a) (125)2 (b) (310)2 (c) (72)3 (d) ((– 4)3)7

(e) (k8)3 (f) (g2)13 (g) ((–m)4)3 (h) ((–c)7)3

2. Tentukan sama ada persamaan berikut benar atau palsu.

(a) (24)5 = (22)10 (b) (33)7 = (272)4 (c) (52)5 = (1252)3 (d) – (72)4 = (– 492)3

B agaimanakah anda menggunakan hukum indeks untuk operasi pendaraban dan
pembahagian?

(am × bn)q
= (am)q × (bn)q (ambn)q = amq bnq
= amq × bnq

(am ÷ bn)q ( ) —abmn– q = — abmnq–q
= (am)q ÷ (bn)q
= amq ÷ bnq

Contoh 10

1. Permudahkan setiap yang berikut.

(a) (73 × 54)3 (b) (24 × 53 × 112)5 (c) (p2q3r)4 (d) (5m4n3)2

( ) ( )Saiz se be n(ea) r — 3225 4 (f ) —23xy–73 4 ( g) —(36m—m2n—3n3) –3 (h ) —(2x—3y3—46)4x—1×0y—(132—xy2—)3

12

Bab 1 Indeks

Penyelesaian: IMBAS KEMBALI BAB 1
(a) (73 × 54)3 (b) (24 × 53 × 112)5
= 73(3) × 54(3) = 24(5) × 53(5) × 112(5) am × an = am + n
= 79 × 512 = 220 × 515 × 1110 am ÷ an = am – n
(am)n = amn

(c) (p2q3r)4 (d) (5m4n3)2 KUI Z
= p2(4) q3(4)r1(4) = 52m4(2)n3(2)
= p8q12r4 = 25m8n6 mm = 256.
Berapakah nilai m?

( ) ( ) ( e) —3225 4 (f) —23yx–73 4 SUDUT DISKUSI

= —23 25((–44)) = —2344y–x7–3((–4 4)) Mengapakah 1n = 1
= —23 28–0 = —8116–xy–21– 28 bagi semua nilai n?
(g) —(36m— m2n—3n3) –3 (h ) —(2x—3y3—46)4x—1×0—y(132—xy2—)3 Bincangkan.

= —3 36m— m2(—33n)n1— 3(3 ) = —24 x—3(4—)y4—3(46)—x×10—3y31x—21(—3)y–2(–3)–

= 2—67mm—36n—n19 = —16—x12—3y616—x1×0—y2172—x3—y6

( ) = —92 m6 – 3 n9 – 1 = —16—3×6—27– x12 + 3 – 10y16 + 6 – 12

= —9 m3 n8 = 12x5 y10
2

UJI MINDA 1.2e

1. Ringkaskan setiap yang berikut.

(a) (2 × 34)2 (b) (113 × 95)3 (c) (133 ÷ 76)2 (d) (53 × 34)5

( ) ( ) (e) ( m3n4 p2) 5 (f) (2 w 2 x 3)4 ( g ) —–b3—4a 5– 6 (h ) —32ba–45– 3
2. Permudahkan setiap yang berikut.

( ) (a) —11—13 1×–2 4—2 2 (b ) —33—×64—( 62—)3 ( ) (c) —4623– 3 ÷ —6432– ( d) —((–(—–4)4—6))62—××—((––—55)22—)3

( e) —x2—yx6y—×2 —x3 (f) —(h(h—3kk2)—2) 4 (g) —((mm—52nn—37))2–3 ( h ) —((bb—22dd43—))23
3. Permudahkan setiap yang berikut.

( a) —(2m—2n1—42)m—3 7×n—1(23— m—n4)–2 (b) —(5x—y41—)52 x—×4y6—6x 1—0y (c) 2—(4dd—53ee—65) ×—× ((—36dd—e3e2–)43)–2 Saiz sebenar

13

B agaimanakah anda menentusahkan a0 = 1 dan a–n = a—1n ; a ≠ 0? STANDARD
PEMBELAJARAN
Menentusahkan a0 = 1
BAB 1 Cetusan Minda 4 dan a–n = –a1–n ; a ≠ 0.
Berkumpulan

Tujuan: Menentukan nilai bagi nombor atau sebutan algebra yang
mempunyai indeks sifar.

Langkah:
1. Teliti dan lengkapkan jadual di bawah.
2. Bincang dalam kumpulan berkaitan hasil dapatan anda.

Pembahagian dalam Penyelesaian Kesimpulan
bentuk indeks daripada
Hukum indeks Pendaraban berulang
penyelesaian

(a) 23 ÷ 23 23 – 3 = 20 —22 ×—× 22—××–22– = 1 20 = 1

(d) m5 ÷ m5 m5 – 5 = m0 —mm—×× —mm —×× mm—××—mm—××–mm–– = 1 m0 = 1

(c) 54 ÷ 54

(d) (–7)2 ÷ (–7)2

(e) n6 ÷ n6

Perbincangan:
1. Adakah dapatan kumpulan anda sama dengan kumpulan lain?
2. Apakah kesimpulan anda berkaitan indeks sifar?

Hasil daripada Cetusan Minda 4, didapati bahawa;
20 = 1
m0 = 1

Iaitu suatu nombor atau sebutan algebra yang mempunyai indeks sifar akan memberi nilai 1.

Secara generalisasi, a0 = 1 ; a ≠ 0

Ba gaimanakah anda menentusahkan a–n = –a–1n– ?

Cetusan Minda 5 Berkumpulan

T uju an : M enentusahkan a–n = —a1n .

Langkah:

Saiz seb1e. naTerliti dan lengkapkan jadual di sebelah.

14

Bab 1 Indeks

Pembahagian Penyelesaian Kesimpulan
dalam bentuk Pendaraban berulang daripada
indeks Hukum indeks BAB 1
penyelesaian
(a) 23 ÷ 25 23 – 5 = 2–2 —2 —× 22—××—22—×× 22––×––2 = –2–×1––2 = –21–2 2 –2 = 2–1–2
(b) m2 ÷ m5 m2 – 5 = m–3 –m––×—m—×m—m×—×m—m —× m— = —m —× m–1–×––m– = –m1–3 m –3 = –m–13–
(c) 32 ÷ 36

(d) (– 4)3 ÷ (– 4)7

(e) p4 ÷ p8

Perbincangan:
1. Adakah dapatan anda sama dengan kumpulan lain?
2. Apakah kesimpulan anda?

Hasil daripada Cetusan Minda 5, didapati bahawa; Imbas QR Code atau layari

http://youto.be/or-mJ85J2i8

2– 2 = 2—12 untuk menonton video
m – 3 = m—13
yang memerihal kaedah
a –n = –a1–n ; a ≠ 0
alternatif untuk a–1 = —a1n .
menentusahkan

Secara generalisasi, BULETIN
Contoh 11
Indeks negatif ialah suatu
1. Nyatakan setiap sebutan berikut dalam bentuk indeks positif. nombor atau sebutan
algebra yang mempunyai
(a) a –2 (b) x – 4 (c ) –8–1–5– indeks bernilai negatif.
(d) y–1––9 – (e) 2 m –3 (f) —53 n –8
TIP
( ) ( ) ( g) –23– –10 (h ) –xy– –7
♦ a –n = –a1–n

( ) ( )♦ ♦ a –nba – – n == –a–1––ba––n n

2. Nyatakan setiap sebutan berikut dalam bentuk indeks negatif. PERINGATAN
2a –n ≠ 2—1an–
(a) 3—14 (b) m—15 (c) 75

( ) ( ) (d ) n20 (e) –54– 8 (f) –mn– 15 BIJAK MINDA

3. Permudahkan setiap yang berikut. ( ) – —4 –6 = x y
(a) 3 2 × 34 ÷ 38 ( b) (—2(24—)82×—×3(—63)52—) 3 ( c) —(4x—(y22—x)23y—×)5x—5y
9

Berapakah nilai xSdaaniz sebenar
nilai y?

15

BAB 1 Penyelesaian:
1. ( a ) a –2 = a–12– ( b) x – 4 = –x1–4 (c) –8–1––5 = 85 (d ) –y–1–– 9 = y9

(e ) 2m–3 = –10 –7 –yx– 7

( ) ( ) ( ) ( ) = =
m­—23 (f ) —35 n– 8 = —53n– 8 ( g) –23– –32– 10 (h ) –xy–

2. ( a) 3— 14 = 3– 4 ( b) —m15 = m–5 (c) 75 = 7—1– 5 (d) n20 = n—–12– 0

( e) –4– 8=

( ) ( ) ( ) ( ) 5
–54– –8 (f ) –mn– 15= –mn– –15

3 . ( a ) 3= == 2—333×1 –2 22+3 44 –÷ 8 38 ( b) —(==2 2(—4—222)82818—–6—×××1×6—(3—33×3165–15)—)32 2315 – 1 2 ( c) == —( 41——x4—(6y22x2—x2—x)2 325y2y—x4—×+)15×55—xy—– 5x5y15—5y1y4 + 1 –T 5IP yy10 == y1
= 2–8 × 33 32

= —2383 = — 21 x–8 y0
= —21x–8

UJI MINDA 1.2f

1. Nyatakan setiap sebutan berikut dalam bentuk indeks positif.

(a) 5–3 (b) 8– 4 (c) x– 8 (d) y–16 (e) —a1– –4

( ) ( f) —201–– –2 (g ) 3n– 4 (h ) – 5n– 6 ( i) —72 m–5 ( j) – —38 m– 4



( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ­ ( k) —25 –12 (l) – —37 –14 (m ) —yx –10 (n ) —32yx– – 4 (o ) —21x –5

2. Nyatakan setiap sebutan berikut dalam bentuk indeks negatif.

(a) —514 (b) —813 (c) m—17 (d) —n19 (e) 102

( ) ( ) (f) (– 4)3 ( g) m12 (h ) n16 (i ) — 47 9 (j ) —yx 10

3. Permudahkan setiap yang berikut.

( a) — (42(—)436—×)2 4–5 ( b ) —((22—3××—3342–))5–3 ( c) —(23—)(–52—2×)5–(5–4–)2

( d) — 3 m—2n9—4m×—3n(m5— n—3)––2 ( e ) —(2m—2n—2()9—–m3 —×3n()—32 m–n–2–)–4 ( f) (—2m—–2—(n4)m—5 2×—n(43)—2m–4n–)–2

Saiz sebenar

16

Bab 1 Indeks

Bagaimanakah anda menentu dan menyatakan hubungan STANDARD
antara indeks pecahan dengan punca kuasa dan kuasa? PEMBELAJARAN

Hubungan antara n√a dengan a—n1 Menentu dan menyatakan BAB 1
hubungan antara indeks
Di Tingkatan 1, anda telah belajar tentang kuasa dua dan punca kuasa dua pecahan dengan punca
serta kuasa tiga dan punca kuasa tiga. Tentukan nilai x bagi kuasa dan kuasa.

(a) x2 = 9 (b) x3 = 64 TIP
Penyelesaian:
♦ 9 = 32 ♦ 64 = 43

(a) x2 = 9 Punca kuasa dua (b) x3 = 64
digunakan untuk
Punca kuasa tiga
√x2 = √32 penghapusan kuas a dua. 3√x3 = 3√43 digunakan untuk
penghapusan kuasa tiga.
x = 3 x = 4

Tahukah anda, nilai bagi x dalam contoh (a) dan (b) di atas boleh ditentukan dengan indeks yang
dikuasakan dengan nilai salingannya?

(a) x2 = 9 Salingan bagi 2 (b) x3 = 64 BULETIN
x2(—12 )= 9— 21 ialah —21 . x3(—31 )= 64(—31 )
Salingan bagi —a1 merupakan salingan
x1 = 32 (—21 ) x1 = 43(—13 ) untuk a.
3 ialah —13 .
x = 3 x = 4 BIJAK MINDA

Daripada dua kaedah penyelesaian bagi menentukan nilai x pada Apakah penyelesaian
contoh di atas didapati bahawa; untuk √– 4 ? Bincangkan.

2√x = x–21
3√x = x–31

Secara generalisasi, n√a = a–1n ; a ≠ 0

Contoh 12
1. Tukarkan setiap sebutan berikut kepada bentuk a—1n .

(a) 2√36 (b) 3√–27 (c) 5√m (d) 7√n

2. Tukarkan setiap sebutan berikut kepada bentuk n√a . (d) n1—12
(a) 125— 51 (b) 256— 81 (c) (–1 000)— 31

3. Hitung nilai setiap sebutan berikut.

(a) 5√–32 (b) 6√729 (c) 512— 13 (d) (–243)—51

Penyelesaian: (b) 3√–27 = (–27)— 13 (c) 5√m = m— 51 (d) 7√n = n—71
(b) 2568–1 = 8√256
1. (a) 2√36 = 36— 12 (c) (–1 000)—31 = 3√(–1 000) (d) n1—12 = 12√n Saiz sebenar
2. (a) 125—51 = 5√125



17

BAB 1 3. (a) 5√–32 = (–32)— 51 (b) 6√729 = 729—16 (c) 512 –13 = 83(–31) (d) (–243)—51 = (–3)5( —15 )

= (–2)5 (—15 ) = 36 (—61 ) = 81 = (–3)1
= 8 = –3
= (–2)1 = 31
TIP
= –2 =3
Anda boleh
UJI MINDA 1.2g menggunakan
kalkulator saintifik untuk
1. Tukarkan setiap sebutan berikut kepada bentuk a–n1 . menyemak jawapan.

(a) 3√125 (b) 7√2 187 (c) 5√–1 024 (d) 10√n

2. Tukarkan setiap sebutan berikut kepada bentuk n√a. (d) n–11–5

(a) 4—21 (b) 32—15 (c) (–729)—13 (d) (–32 768)—15

3. Hitung nilai setiap sebutan berikut. (c) 262 144—61
(a) 3√343 (b) 5√–7 776

Apakah hubungan antara a—mn dengan (am)—n1 , (a—n1 )m, n√am dan (n√a)m?

Anda telah pelajari bahawa;

amn = (am)n dan n√a1 = a—1n

Daripada dua hukum di atas, kita boleh menukarkan a—mn kepada (am)—1n , (a—n1 )m, n√am dan (n√a)m.
Hitung nilai setiap yang berikut. Lengkapkan jadual seperti contoh (a).

a—mn (am)—n1 (a—n1 )m n√am (n√a)m
(3√64)2
(a) 64—23 (=64420)—9136(—13 ) (64—13 )2 3√642 = 42
= 163(—13 ) = 43(—31 )(2) = 3√4 096 = 16
= 42 = 16

= 16 = 16

(b) 16—34

(c) 243—25

Adakah jawapan anda untuk contoh (b) dan (c) sama dengan menggunakan kaedah yang berlainan?
Bincangkan.

Daripada aktiviti di atas, didapati bahawa;

a—mn = (am)—1n = (a—­n1 )m

Saiz sebenar a—mn = n√am = (n√a)m

18

Bab 1 Indeks

Contoh 13

1. Tukarkan setiap sebutan berikut kepada bentuk (am)–n1 dan (a–n1)m. BAB 1

(a) 81­—23 (b) 27—23 (c) h—35

2. Tukarkan setiap sebutan berikut kepada bentuk n√am dan (n√a)m.

(a) 343—32 (b) 4 096—65 (c) m—52

Penyelesaian:

1. (a) 81­—23 = (813)—12 (b) 27—32 = (272)—31 (c) h—53 = (h3)—51
h—35 = (h—51 )3
81—­ 23 = (81—12 )3 27—32 = (27—13 )2

2. (a) 343—32 = 3√3432 (b) 4 096—56 = 6√4 0965 (c) m—25 = 5√m2

343—32 = (3√343)2 4 096—56 = (6√ 4 096)5 m—25 = (5√m)2

UJI MINDA 1.2h

1. Lengkapkan jadual di bawah.

a—mn 729—56 121—32 w—37 ( ) ( )x—25—1861 —34 —hk —23

(am)—n1

(a—1n )m

n√ am

(n√ a )m

Contoh 14

1. Hitung nilai setiap sebutan berikut. (b) 16—54
(a) 9—25

Penyelesaian:

1. (a) 9—25 (b) 16—45

Ka edah 1 9—25 = (√9)5 = (3)5 = 243 Kae dah 1 16—54 = (4√16)5 = 25 = 32

K aed ah 2 9—25 = √95 = √59 049 = 243 Kaedah 2 16—54 = 4√165 = 4√1 048 576 = 32

Saiz sebenar

19

UJI MINDA 1.2i

BAB 1 1. Hitung nilai setiap yang berikut. (c) 128—27 (d) 256—83
(a) 27—23 (b) 32—25 (g) 1 296—34 (h) 49—23
(e) 64—34 (f) 1 024—25 (k) 2 197—23
(i) 2 401—41 (j) 121—23 (l) 10 000—43

2. Lengkapkan rajah berikut dengan nilai yang betul.

(a) �√ 6 561 � (b) 25�—3
5� 125�
27�—3 3�
243�—4 81 9� 125 625�—4
81� 3 125�—3

�√15 625�

Bagaimanakah anda melaksanakan operasi yang STANDARD
melibatkan hukum indeks? PEMBELAJARAN

Hukum Indeks Melaksanakan operasi yang
melibatkan hukum indeks.
am × an = am + n a0 = 1 a–n1– = n√a
am ÷ an = am – n a–n = —a1n a–mn– = am(—1n ) = (a—1n )m
(am)n = amn a–mn– = n√am = (n√a)m

Contoh 15

1. Permudahkan setiap yang berikut. ( c) ( —2h—)(28—×—31—(h1)6—–2h8—)—14–
(a) (—–3—x1)—03 8×—x4(2—yx33 —y––4–)2– ( b) —√m—(mn—–—341 —√×n(—3m)——n61 3)–—31–

Penyelesaian:

( a) —(–3—1x0)—38×x—4(y2—3x 3—y––4–)2– ( b) —√m—n—(—34m—×–1(—√mnn—33))—61–—31– ( c) (— 2h—)(28—×—31—(h1)6—–2h8—)—14–
—m—21—mn——–431×(—–61 )mn———2313 (—n–61 )3(–—31–)
= (— –3—)3x—31×—082—x24x—3y(32– )y—– 4–(2–) = = —22h—82—13×—(–12—)6h—(—41–h2)—8(—41–)


= —–2—71x0—38×x—44yx—36y—–8 = —m — 12— mn—–—34— 61—×nm——41 —31— n–1 = 2—2h—223 (×—–13) 2(—–42(—)—14 h)h(–—82()—14–)

( ) = —–21—70×8—4 x3 + 6 – 4 y – 8 – 3 == mm—121 n+—32—13 –(– –16)n —34 + 1 – —41 = 2—2h2—2– 2×—h2–—21h– 2
= mn—23
= –1 x5 y–11 = 22 + 1 – (–2) h2 + 2 – (–2)

Saiz se be n ar = – —yx15–1 = 25 h6
= 32 h6

20

Bab 1 Indeks

Contoh 16

1. Hitung nilai setiap yang berikut. ( b) —1(62——643 ×—×38—41)—–—21 — 41– (c) (—24—3—54—×—5——23 )–2 BAB 1
(a) ——49——12 ×—1—25—– —13—– 4√81 × √254
4√2 401 × 5√3 125
(c) (—24—3—54—×—5—32—)2
Penyelesaian: 4√81 × √254
= —248—31——1454—(2×—) ×2–55–—42—–32–(–2)–
(a) ——49——21 ×—1—25—– ——13 ( b) —16(—2—346—×× 83—14)–——21—14 – = —343(——415()——85×) ×—525–(—342–)
4√2 401 × 5√3 125
= —3318—×× 5—534
= —(77—24(—)21——41) ××—5(—53(5–)———1351 )– = —224—6(3—(—3421—))××—3344—2(–(—21—–14) –) = 38 – 1 × 53 – 4
= 37 × 5–1
= —7711—××—55–11– = —2233—××—33–2–1 = —357
= —2 1—87–

= 71–1 × 5–1 –1 = 23 – 3 × 3–1 – 2 5
= 43 7 —52
= 70 × 5–2 = 20 × 3–3
= 1 × —313
= 1 × —512 = —217
= —1
25

UJI MINDA 1.2j

1. Permudahkan setiap yang berikut.
(a) —3√—c2d(—c3–e—3d×—2ce—)13—2d 2—e—32– ( b) —(m—n(2m)—36×n—3()√——32m —n)–4 ( c) —√2—5√x33—y6zx—25y×—z48—x2z–

2. Hitung nilai setiap yang berikut.
(a) — √479—–×4—×121—11 4 (b) —((15—2–35×—×37—62)9——13 ××—644√—)1–6–—13 – (c) —4√2—5(26—6××—√3—742×—95×2—)3—23√—12—5

(d ) (—6 94—√)5—31—1×2—×(8—31√)——3434×—3 (×—14√–16–24–11– )–—14– (e) —(24—×—3166—)——3412 —××2—3√7—8—13 ×–—√8–1 (f) —64——23 ×—34√—21×—254√—×62—(25—× ——15 )––3

3. Diberi bahawa m = 2 dan n = –3. Hitung nilai bagi 64—m3 × 512(– —n1 ) ÷ 81—2nm . Saiz sebenar
4. Diberi bahawa a = —12 dan b = —23 . Hitung nilai bagi 144a ÷ 64b × 256—ba .

21

B agaimanakah anda boleh menyelesaikan masalah yang STANDARD
melibatkan hukum indeks? PEMBELAJARAN

BAB 1 Menyelesaikan masalah yang
melibatkan hukum indeks.

Contoh 17 IMBAS KEMBALI
Hitung nilai bagi √3 × 12—32 ÷ 6 tanpa menggunakan kalkulator.
Faktor perdana sepunya
6 dan 12 ialah 2 dan 3.

Memahami masalah Merancang strategi Melaksanakan strategi
Menghitung nilai bagi
nombor dalam bentuk Tukar setiap asas kepada √3 × 12—32 ÷ 6
indeks yang diberi dalam faktor perdana dan hitung = 3—12 × (2 × 2 × 3)—23 ÷ (2 × 3)
asas yang berlainan. nilai dengan mengaplikasi = 3—21 × 2—32 × 2—23 × 3—23 ÷ (21 × 31)
hukum indeks. = 3—21 + —23 – 1 × 2—23 + —23 – 1
Membuat kesimpulan = 31 × 22
√3 × 12—23 ÷ 6 = 12 = 12

Contoh 18 PERINGATAN
Hitung nilai x bagi persamaan 3x × 9x + 5 ÷ 34 = 1.
♦ J ika am = an
Memahami masalah Merancang strategi maka, m = n
♦ J ika am = bm
Menghitung nilai Soalan ini merupakan satu maka, a = b
bagi pemboleh ubah persamaan. Maka, nilai di kiri
x yang merupakan persamaan akan sama dengan Semak Jawapan
sebahagian daripada nilai di kanan persamaan.
indeks. Tukarkan semua sebutan Anda boleh semak
kepada bentuk indeks dengan jawapan dengan
asas 3. menggantikan nilai x ke
dalam persamaan asal.
3x × 9x + 5 ÷ 34 = 1

Kiri Kanan

Gantikan x = –2
pada bahagian kiri
persamaan

Melaksanakan strategi Membuat kesimpulan 3–2 × 9–2 + 5 ÷ 34

3x × 9x + 5 ÷ 34 = 1 3x + 6 = 0 Jika 3x × 9x + 5 ÷ 34 = 1, = 3–2 × 93 ÷ 34
maka, x = –2
3x × 32(x + 5) ÷ 34 = 30 3x = – 6 = 3–2 × 32(3) ÷ 34

3x + 2(x + 5) – 4 = 30 x = —–36– = 3–2 + 6 – 4
3x + 2x + 10 – 4 = 30
x = –2 = 30 Nilai yang
Saiz sebe nar 33x + 6 = 30 = 1 sama dengan
mam== an bahagian kanan
n persamaan.

22

Bab 1 Indeks

Contoh 19 Semak Jawapan
Hitung nilai-nilai x yang mungkin bagi persamaan 3x2 × 32x = 315.
Gantikan nilai-nilai x ke BAB 1
Memahami Merancang Melaksanakan strategi dalam persamaan asal.
masalah strategi 3x2 × 32x = 315
3x2 × 32x = 315 Jika am = an,
Menghitung Semua asas 3x2 + 2x = 315 maka, m = n. Kiri Kanan
nilai x yang yang terlibat
merupakan dalam Gantikan x = 3
sebahagian persamaan
daripada adalah sama. x2 + 2x = 15 Selesaikan Kiri: Kanan:
indeks. persamaan
kuadratik 3(3)2 × 32(3) 315
x2 + 2x – 15 = 0 dengan kaedah
= 39 × 36

(x – 3)(x + 5) = 0 pemfaktoran. = 39 + 6

x – 3 = 0 atau x + 5 = 0 = 315 Sama

x = 0 + 3 x = 0 – 5 Gantikan x = –5

Membuat kesimpulan x = 3 x = –5 Kiri: Kanan:

Nilai-nilai x yang mungkin 3(–5)2 × 32(–5) 315
bagi persamaan 3x2 × 32x= 315
ialah 3 dan –5. = 325 × 3–10

= 325 + (–10)

= 315 Sama

Contoh 20 IMBAS KEMBALI

Selesaikan persamaan serentak berikut. Persamaan linear
serentak dalam dua
2 5m × 5n = 58 dan 2m × —21n = 2 pemboleh ubah boleh
Penyelesaian: diselesaikan dengan
25m × 5n = 58 2m × —21n = 2 kaedah peggantian atau
52(m) × 5n = 58 kaedah penghapusan.

Semak Jawapan

52m + n = 58 2m × 2–n = 21 Gantikan m = 3 dan n = 2
ke dalam persamaan
2m + n = 8 1 2m + (–n) = 21 serentak yang asal.
m – n = 1 2
25m × 5n = 58
Persamaan 1 dan 2 boleh diselesaikan melalui kaedah penggantian.
Daripada 1 : Kiri Kanan
2m + n = 8
Kiri: Kanan:
n = 8 – 2m 3 25m × 5n
= 52(m) × 5n 58
= 52(3) × 52
= 56 + 2
= 58 Sama
Gantikan 3 ke dalam 2 Gantikan m = 3 ke dalam 1
m – n = 1 2m × —21n = 2
m – (8 – 2m) = 1 2m + n = 8 Anda juga
m – 8 + 2m = 1 2(3) + n = 8 boleh gantikan Kiri Kanan
m + 2m = 1 + 8 6 + n = 8 m = 3 ke dalam
3m = 9 persamaan 2 Kiri: Kanan:
m = —93 n = 8 – 6 atau 3 .
n = 2 == 2 m 22×33 ××—21 n2—21–2 2 2
= 23 + (–2)
Maka, m = 3 dan n = 2. = 21 Saiz sebenar
= 2
m = 3 Sama

23

Contoh 21

BAB 1 Persamaan

saya ialah
3(9x) = 27y.

Saya dapat persamaan
16(4x) = 16 y.

Nilai pemboleh ubah x dan
y boleh ditentukan jika anda
dapat menyelesaikan kedua-dua
persamaan tersebut.

Chong dan Navin menjalankan dua uji kaji untuk menentukan hubungan antara pemboleh ubah
x dan y. Persamaan yang diperoleh oleh Chong ialah 16(4x) = 16 y, sementara Navin mendapat
3(9x) = 27y sebagai dapatan uji kaji yang dijalankan. Hitung nilai x dan nilai y yang dapat memuaskan

kedua-dua uji kaji yang telah dijalankan oleh Chong dan Navin.

Penyelesaian:

16(4x) = 16y 1 3(9x) = 27y 2 Anda juga boleh
42(4x) = 42(y) 3(32x) = 33(y) gantikan y = 3
42 + x = 42y 31 + 2x = 33y dalam persamaan 2
atau 3 .
2 + x = 2y 1 + 2x = 3y

Persamaan 1 dan 2 boleh diselesaikan dengan Gantikan y = 3 dalam persamaan 1

kaedah penghapusan. Darabkan persamaan 1 1 : 2 + x = 2y
2 + x = 2(3)
dengan 2 untuk x = 6 – 2
1 × 2 : 4 + 2x = 4y 3 menyamakan nilai pekali x = 4
pemboleh ubah x.
2 : 1 + 2x = 3y Maka, x = 4, y = 3

3 – 2 :

3 + 0 = y

y = 3

Cabaran Dinamis

Uji Diri

1. Nyatakan sama ada operasi yang melibatkan hukum indeks berikut benar atau palsu. Jika
palsu, nyatakan jawapan yang betul.

(a) a5 = a × a × a × a × a (b) 52 = 10 (c) 30 = 0
(f) 2a– 4 = —21a–4
(d) (2x3)5 = 2x15 (e) m0n0 = 1 (i) (5m—41 )– 4 = 6—m25–

Saiz se ben(ga) r32—52 = (2√32)5 ( ) ( )(h) —mn–4 —mn 4

=

24

Bab 1 Indeks

2. Salin dan lengkapkan rajah di bawah dengan nilai yang sesuai.

5□ × 55 53(□) BAB 1

( ) —51□ 3 512 ÷ 5□

5—1□ 59 (√25)□

— 56 —5×25–□– ( ) —15 □
(5□)—23
(□√125)□

3. Salin dan lengkapkan rajah di bawah.

Operasi yang 20 as –3—1– 4 as ( ) —53 –2 as 72 × 5–3 as (5–1 × √25)3
melibatkan
hukum indeks
Nilai

Mahir Diri

1. Ringkaskan setiap yang berikut. (c) √xy × 3√xy2 × 6√xy5
(a) (m n4)3 ÷ m 4n5 (b) 3x × —1 y4 × (xy)3
6 (c) (256)—83 × 2–3
(f) (125)—32 × (25)– —32 ÷ (625)– —14
2. Hitung nilai setiap yang berikut.
(c) axa8 = 1
(a) 64—31 × 5–3 (b) 7–1 × 125—23 (f) 2x = —12610–x
(i) 25x ÷ 125 = —51x
(d) 24 × 16– —43 (e) √49 × 3–2 ÷ (√81)–1
Saiz sebenar
3. Hitung nilai x bagi setiap persamaan berikut.
25
(a) 26 ÷ 2x = 8 (b) 3– 4 × 81 = 3x

(d) 4 × 8x + 1 = 22x (e) (ax)2 × a5 = a3x


(g) 3 6 ÷ 3x = 8 1(x – 1) (h) (m2)x × m(x + 1) = m–2

Masteri Kendiri

BAB 1 1. Hitung nilai setiap yang berikut tanpa menggunakan kalkulator.

(a) 4—31 × 50—32 × 10—53 (b) 5—52 × 20—32 ÷ 10–2 (c) 60—21 × 125—23 ÷ √15

2. Hitung nilai x bagi setiap persamaan berikut.

( a) 6 4x­—21 = 27x– — 25 (b) 3x—32 = —27 x– —34 (c) 25x– —23 – —5 x—13 = 0
4 3

3. Hitung nilai-nilai x yang mungkin bagi setiap persamaan berikut.

(a) ax2 ÷ a5x = a6 (b) 2x2 × 26x = 27 (c) 5x2 ÷ 53x = 625

4. Selesaikan persamaan serentak berikut. (b) 4(4x) = 8y + 2 dan 9x × 27y = 1
(a) 81(x + 1) × 9x = 35 dan 82x × 4(22y) = 128

5. Dalam satu eksperimen yang dijalankan oleh Susan,
didapati suhu sejenis logam meningkat daripada 25˚C
kepada T˚C mengikut persamaan T = 25(1.2)m apabila

logam tersebut dipanaskan selama m saat. Hitung beza

suhu di antara saat kelima dengan saat keenam, dalam

darjah Celsius terdekat.

6. Encik Azmi membeli sebuah kereta buatan tempatan

dengan harga RM55 000. Selepas 6 tahun Encik Azmi

ingin menjual kereta tersebut. Berdasarkan penerangan RM55 000

pihak pembeli kereta terpakai, harga kereta Encik Azmi

( )akan dihitung dengan formula RM55 000 —98 n Dalam

.

situasi ini, n ialah bilangan tahun yang dihitung selepas

sebuah kereta dibeli. Berapakah nilai pasaran kereta Encik

Azmi? Nyatakan jawapan anda dalam RM yang terdekat.

7. Puan Kiran Kaur menyimpan RM50 000 pada 1 Mac
2019 di sebuah bank tempatan dengan faedah 3.5%
setahun. Selepas t tahun, jumlah simpanan Puan Kiran
Kaur dalam RM ialah 50 000 (1.035)t. Hitung jumlah
simpanan pada 1 Mac 2025, jika Puan Kiran Kaur tidak
pernah mengeluarkan wang simpanannya.

Saiz sebenar

26

Bab 1 Indeks

P ROJ E K

Bahan: Kertas A4, gunting, pembaris panjang, pensel. BAB 1

Arahan: (a) Lakukan projek ini dalam kumpulan kecil.
(b) Gunting kertas A4 untuk menghasilkan kertas berbentuk segi empat sama.

(Sebesar yang mungkin)
Langkah:

1. Lukis paksi simetri (menegak dan mengufuk sahaja) seperti Rajah 1.

2. Hitung bilangan segi empat sama yang terbentuk. Tuliskan jawapan anda di dalam
ruangan yang disediakan pada Lembaran A.

3. Lukis paksi simetri menegak dan mengufuk bagi setiap segi empat sama seperti Rajah 2.

4. Hitung bilangan segi empat sama yang terbentuk. Tuliskan jawapan anda di dalam
Lembaran A.

5. Ulangi langkah 3 dan langkah 4 sebanyak yang mungkin. 8

11

2 7
2 6

3

Rajah 1 45
Rajah 2

6. Bandingkan dapatan anda dengan kumpulan lain. Imbas QR Code atau
7. Apakah yang anda boleh nyatakan tentang pola pada ruangan layari http://yakin-pelajar.
‘bentuk indeks’ dari Lembaran A? com/Bab%201/lemba-
8. Bincang pola yang anda kenal pasti. ran%20A/Bab%201%20
lembaran%20A.pdf
Lembaran A untuk memuat turun
Lembaran A.

Bilangan paksi Bentuk indeks Bilangan segi Bentuk indeks
simetri empat sama 20
– 22
0 21 1
2 4 Saiz sebenar
8 16

27

BAB 1 an Indeks PETA KONSEP 54 = 5 × 5 × 5 × 5
Asas m × m × m × m × m = m5
Indeks
an = a × a × a × … × a

n faktor

Pendaraban Pembahagian Kuasa
am × an = am + n am ÷ an = am – n (am)n = amn (am × an)p = amp × anp
(34)2= 38 (3a4)3 = 27a12
23 × 25 = 23 + 5 36 ÷ 34 = 36 – 4

Indeks pecahan Indeks negatif Indeks sifar
a 5 ––n3 == ­——a5113n ; a ≠ 0 a0 = 1 ; a ≠ 0
a—­ n1 = n√a 8–31 = 3√8 20 = 1
a—mn = (am)—n1 = (a—1n )m 8–32 = (82)–31 = (8–13)2 m0 = 1
a—mn = n√am = (n√a)m 8–32 = 3√82 = (3√8)2

IMBAS KENDIRI

Pada akhir bab ini, saya dapat:

1. Mewakilkan pendaraban berulang dalam bentuk indeks dan menghuraikan maksudnya.

2. Menukar suatu nombor kepada nombor dalam bentuk indeks dan sebaliknya.

3. M enghubung kait pendaraban nombor dalam bentuk indeks yang mempunyai asas yang
sama dengan pendaraban berulang, dan seterusnya membuat generalisasi.

4. Menghubung kait pembahagian nombor dalam bentuk indeks yang mempunyai asas yang
sama dengan pendaraban berulang, dan seterusnya membuat generalisasi.

5. M enghubung kait nombor dalam bentuk indeks yang dikuasakan dengan pendaraban
berulang, dan seterusnya membuat generalisasi.

6. Menentusahkan a0 = 1 dan a–n = —a1n ; a ≠ 0.

7. Menentu dan menyatakan hubungan antara indeks pecahan dengan punca kuasa dan kuasa.

8. Melaksanakan operasi yang melibatkan hukum indeks.

9. Menyelesaikan masalah yang melibatkan hukum indeks.

Saiz sebenar

28

Bab 1 Indeks

JELAJAH MATEMATIK

Adakah anda masih ingat tentang Segi Tiga Pascal yang dipelajari dalam bab Pola dan Jujukan BAB 1
di Tingkatan 2?

Segi Tiga Pascal yang dicipta oleh Blaise Pascal, seorang ahli matematik Perancis mempunyai
banyak keunikan. Mari kita jelajah dua keunikan yang terdapat dalam Segi Tiga Pascal.

Aktiviti 1 Hasil Bentuk
tambah indeks
1
11 1 20
121 2 21
4 22

1331

14641

1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1

1 7 21 35 35 21 7 1
1 8 28 56 70 56 28 8 1

1 9 36 84 126 126 84 36 9 1
1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1

Arahan: Lembaran 1 Lembaran 1(a)

1. Lakukan aktiviti ini secara berpasangan.

2. Bina satu Segi Tiga Pascal seperti di Lembaran 1.

3. Hitung hasil tambah nombor-nombor pada setiap baris. Tuliskan hasil tambah tersebut

dalam tatatanda indeks dengan asas 2.

4. Lengkapkan Lembaran 1(a). Bincang dengan rakan anda tentang pola jawapan yang wujud.

5. Kemukakan ulasan anda. TIP

Aktiviti 2 Nilai 115 = 161 051
11n 1 1 5 10 10 5 1
110 11
111 121 1 +1 1—+11
112 11
113 1 331 161051
114
115 121
116 1331
117 14641
118 1 5 10 10 5 1
119 1 6 15 20 15 6 1
1110 1 7 21 35 35 21 7 1
1 8 28 56 70 56 28 8 1
1 9 36 84 126 126 84 36 9 1
1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1

Lembaran 2(a) Lembaran 2

Arahan:

1. Lakukan aktiviti ini dalam kumpulan kecil.

2. Bina satu Segi Tiga Pascal seperti di Lembaran 2.

3. Perhatikan nombor pada setiap baris. Ia merupakan nilai indeks asas 11.

4. Lengkapkan lembaran 2(a) dengan nilai indeks asas 11 tanpa menggunakan kalkulator.
Saiz sebenar
5. Bentang hasil dapatan kumpulan anda.

6. Adakah jawapan anda sama dengan kumpulan lain?

29

2BAB Bentuk Piawai

Apakah yang akan anda pelajari?

2.1 Angka Bererti

2.2 Bentuk Piawai

Kenapa Belajar Bab Ini?
• Dalam maklumat saintifik, nombor yang sangat
besar atau sangat kecil nilainya sering digunakan.
Misalnya, dalam astronomi, jarak di antara dua
bintang biasanya berjuta-juta kilometer manakala
dalam kajian jirim, jarak di antara atom amat kecil.
• Penulisan nombor dalam bentuk piawai
digunakan secara meluas dalam bidang kajian
saintifik, kejuruteraan, astronomi dan sebagainya.

Jarak di angkasa lepas, misalnya jarak di antara
dua bintang di cakerawala, diukur dengan unit
tahun cahaya. Tahun cahaya ialah jarak yang dilalui
cahaya dalam satu tahun. Satu tahun cahaya
adalah sama dengan 9 500 000 000 000 km
iaitu 9.5 juta kilometer. Unit kecil seperti nano
meter digunakan untuk jarak yang menghampiri
9.5 juta kilometer. Tahukah anda, 1 nano meter
bersamaan dengan 0.000 000 001 meter?

Saiz sebenar

30

Eksplorasi Zaman
Orang Yunani pada zaman purba menggunakan
satu sistem berasaskan myriad iaitu sepuluh
ribu. Satu myriad sama dengan seratus ribu.
Archimedes (287 SM – 212 SM) membentuk
satu sistem nombor besar sehingga 108 × 1016.

http://yakin-pelajar.com/Eksplorasi%20Zaman/Bab%202/

GERBANG K A T A

• anggaran • estimation
• angka bererti • significant figure
• bentuk piawai • standard form
• kejituan • accuracy
• nombor tunggal • single number
• pembundaran • round off
• penghampiran • approximation

Saiz sebenar

31

2.1 Angka Bererti

BAB 2 Apakah maksud angka bererti dan bagaimanakah anda STANDARD
boleh menentukan bilangan angka bererti suatu nombor? PEMBELAJARAN

Dalam kehidupan seharian, kita menggunakan ukuran dalam pelbagai Menerangkan maksud
situasi. Jenis-jenis ukuran yang sering digunakan adalah seperti panjang, angka bererti dan
jarak, jisim, suhu, luas, kelajuan dan sebagainya. seterusnya menentukan
bilangan angka bererti
suatu nombor.

Anggaran suatu ukuran boleh dibuat dengan

384 400 km menggunakan penghampiran. Misalnya jarak di antara bumi

dengan bulan ialah 384 400 km. Nilai jarak ini merupakan

Bulan satu anggaran yang dihitung dengan menggunakan kaedah
Bumi tertentu dan diberi dalam bentuk penghampiran.

Darjah penghampiran suatu ukuran kepada nilai sebenar menunjukkan tahap ketepatan atau
kejituan ukuran tersebut. Kemahiran membuat anggaran dan penghampiran boleh membantu anda
dalam pelbagai situasi harian.

Cetusan Minda 1 Berpasangan

Tujuan: Mengenal pasti kepentingan membuat anggaran dan penghampiran dalam kehidupan

seharian.

Langkah:

1. Baca dan fahami situasi-situasi berikut.

Situasi 1 50%DISKAUN
Hashim tertarik dengan sehelai kemeja yang dijual dengan diskaun 50%

di sebuah pasar raya. Harga asal kemeja itu ialah RM47.90. Hashim
menganggarkan harga kemeja tersebut selepas diskaun dan membawanya ke
kaunter bayaran. Juruwang memberitahu harga kemeja itu ialah RM28.70.
Hashim memberitahu juruwang tersebut bahawa anggaran harga kemeja
itu adalah tidak melebihi RM25. Adakah pernyataan Hashim benar?

Situasi 2
Puan Tan ingin membeli 30 meter kain yang berharga RM5.85 semeter untuk menjahit

langsir. Beliau membuat anggaran jumlah harga kain itu dan menyediakan RM180.
Adakah jumlah wang yang disediakan oleh Puan Tan mencukupi?

Perbincangan:

1. Dalam kedua-dua situasi di atas, bagaimanakah Hashim dan Puan Tan dapat membuat
anggaran jumlah bayaran?

2. Bincang dengan rakan anda tentang kepentingan membuat anggaran dan penghampiran.
3. Nyatakan dua situasi lain yang memerlukan anda membuat anggaran dan penghampiran.

Hasil daripada Cetusan Minda 1, didapati bahawa;

Saiz seb en Pmaerenmghbuamatpainragngarsaunatduenngialani kepada angka bererti tertentu membolehkan kita
tepat.

32

Bab 2 Bentuk Piawai

Anda telah memahami kepentingan membuat anggaran bagi tujuan mendapatkan nilai yang
hampir kepada nilai tepat. Angka bererti digunakan untuk mendapatkan nilai penghampiran tersebut.

Angka bererti suatu integer atau perpuluhan merujuk kepada digit-digit dalam nombor
tersebut yang dinyatakan tepat kepada suatu darjah ketepatan yang dikehendaki. Bilangan
angka bererti dihitung bermula daripada suatu digit bukan sifar.

Cetusan Minda 2 Berpasangan BAB 2

Tujuan: Mengenal pasti kesan kedudukan digit sifar dalam integer dan perpuluhan.

Langkah:
1. Perhatikan kad-kad integer di bawah.

3 210 3 201 3 021 0 321

Kad 1 Kad 2 Kad 3 Kad 4

Adakah kedudukan digit sifar memberi kesan kepada nilai digit 3?

2. Perhatikan kad-kad perpuluhan di bawah.

3.210 3.201 3.021 0.321

Kad 5 Kad 6 Kad 7 Kad 8

Adakah kedudukan digit sifar memberi kesan kepada nilai digit 3?

3. Perhatikan kad-kad perpuluhan di bawah.

3.210 3.2100 3.21000 3.210000

Kad 9 Kad 10 Kad 11 Kad 12

Adakah bilangan digit sifar memberi kesan kepada nilai digit 2?

4. Bincang bersama rakan anda, tentang kesan kedudukan digit sifar kepada nilai digit bagi
digit 3 pada kad 1 hingga kad 8 dan kesan penambahan digit sifar terhadap nilai digit bagi
digit 2 pada kad 9 hingga kad 12.

5. Bentangkan hasil dapatan anda. Bandingkan hasil dapatan anda dengan kumpulan lain.

Perbincangan:
Apakah kesimpulan anda tentang kedudukan digit sifar dalam suatu integer atau perpuluhan?

Hasil daripada Cetusan Minda 2, didapati bahawa; IMBAS KEMBALI

(a) Kad 1, Kad 2, Kad 3, Kad 5, Kad 6 dan Kad 7 Bagi digit 9 dalam
● K edudukan digit sifar yang terletak di antara atau di bahagian nombor 5 9 2 7;
♦ Nilai tempat – ratus
akhir nombor, mengekalkan nilai tempat digit 3. ♦ Nilai digit – 900
(b) Kad 4 dan Kad 8
● K edudukan digit sifar sebagai digit pertama telah mengubah Saiz sebenar

nilai tempat digit 3.
(c) K ad 9, Kad 10, Kad 11 dan Kad 12
● K edudukan digit sifar di bahagian akhir perpuluhan tidak

mengubah nilai tempat digit 2.

33

BAB 2 Secara generalisasi, TIP

● Semua digit bukan sifar ialah angka bererti. ♦ Sifar yang berada di
● Digit sifar antara digit bukan sifar ialah angka bererti. antara digit-digit bukan
● D igit sifar di bahagian akhir suatu integer ialah angka bererti sifar ialah angka bererti.

mengikut tahap kejituan yang dikehendaki. Misalnya,
● Digit sifar di bahagian akhir suatu perpuluhan ialah angka bererti (a) 60 007
(5 angka bererti).
kerana menentukan tahap kejituan perpuluhan tersebut. (b) 50.0042
● Digit sifar sebelum digit bukan sifar yang pertama bukan angka bererti. (6 angka bererti).

Bagaimanakah anda menentukan bilangan angka bererti? ♦ Bagi suatu perpuluhan,
semua digit sebelum
Perpuluhan
digit bukan sifar bukan
Bukan angka bererti: Angka bererti: angka bererti.

Hanya digunakan untuk Digit sifar di antara atau di Misalnya,
(a) 0.007
menentukan nilai tempat bahagian akhir perpuluhan (1 angka bererti).
(b) 0.005020
bagi digit 5. ialah angka bererti. (4 angka bererti).

0 . 0 0 5 014 0 0

Integer Angka bererti: ♦ B agi suatu nombor bulat,
Semua digit bukan sifar ialah angka bererti. sifar yang berada di hujung
nombor itu tidak dianggap
803 000 sebagai angka bererti
melainkan dinyatakan.
Angka bererti. Angka bererti mengikut tahap Misalnya,
kejituan yang dikehendaki.
(a) 8 750 = 8 800
Contoh 1 (Dibundarkan kepada
2 angka bererti).
Tentukan bilangan angka bererti bagi nombor-nombor berikut. (b) 8 750 = 9 000
(Dibundarkan kepada
(a) 2 763 (b) 5 008 (c) 7 409 (d) 15 000 1 angka bererti).
(e) 0.7803 (f) 0.0809 (g) 12.051 (h) 1.2700
Penyelesaian:

(a) 2 763 [4 a.b.]

(b) 5 008 [4 a.b.] Digit sifar antara digit bukan sifar ialah angka bererti.
(c) 7 409 [4 a.b.] Digit sifar antara digit bukan sifar ialah angka bererti.
(d) (i) 15 000 [2 a.b.] Jika tahap kejituan ialah ribu terhampir.
(ii) 15 000 [3 a.b.] Jika tahap kejituan ialah ratus terhampir.
(iii) 15 000 [4 a.b.] Jika tahap kejituan ialah puluh terhampir.
(iv) 15 000 [5 a.b.] Jika tahap kejituan ialah sa terhampir.
(e) 0.7803 [4 a.b.]
(f) 0.0809 [3 a.b.] Digit sifar sebelum digit bukan sifar yang pertama ialah bukan
(g) 12.051 [5 a.b.] angka bererti.
(h) 1.2700 [5 a.b.]
Semua digit sifar selepas digit bukan sifar di akhir perpuluhan
ialah angka bererti.

UJI MINDA 2.1a TIP

1. Nyatakan bilangan angka bererti bagi nombor-nombor berikut. Angka bererti boleh
ditulis sebagai a.b.
Saiz se be(naa) r2 600 (b) 30 004 (c) 4 000 600
(d) 0.5003
(e) 0.080 (f) 9.0070 (g) 0.002000 (h) 30.0002

34

Bab 2 Bentuk Piawai

Bagaimanakah anda boleh membundarkan suatu nombor STANDARD
kepada bilangan angka bererti yang tertentu? PEMBELAJARAN

Masihkah anda ingat bagaimana untuk membundarkan suatu nombor Membundarkan suatu
kepada nilai tempat tertentu? Konsep dan kaedah yang sama digunakan nombor kepada bilangan
untuk membundarkan suatu nombor kepada bilangan angka bererti angka bererti yang tertentu.
yang tertentu.

Contoh 2 BAB 2

Bundarkan setiap nombor yang berikut kepada 2 angka bererti. TIP

(a) 63 479 (b) 2 476 (c) 6 953 Bagi integer, titik
Penyelesaian: perpuluhan terletak di
belakang digit terakhir.
(a)
4 < 5, maka digit 3 tidak berubah.
12

63 479
}} 4, 7 dan 9 terletak sebelum titik perpuluhan. Maka, gantikan 4, 7

Digit yang ingin dibundarkan. dan 9 dengan sifar.}}

Maka, 63 479 = 63 000 (2 a.b.) IMBAS KEMBALI

(b) 7 > 5, maka tambah 1 kepada 4. Bundarkan 38 279 kepada
(a) ratus terhampir.
12 7 dan 6 terletak sebelum titik perpuluhan. (b) ribu terhampir.

2 476 Penyelesaian:

Oleh itu, gantikan 7 dan 6 dengan sifar. (a) 38 279
Digit yang ingin dibundarkan. +1 (7 > 5)
= 38 300
Maka, 2 476 = 2 500 (2 a.b.) (b) 38 279

}(c) 5 = 5, maka tambah 1 kepada 9. (tiada perubahan)
= 38 000
} 12
TIP
6 953
5 dan 3 terletak sebelum titik perpuluhan. Bagi integer, digit bukan
sifar yang pertama ialah
Digit yang ingin dibundarkan. Oleh itu, gantikan 5 dan 3 dengan sifar. angka bererti.

Maka, 6 953 = 7 000 (2 a.b.)

Contoh 3} KUI Z
Bundarkan 68.79 kepada
(a) 3 angka bererti Mengapakah digit-digit
Penyelesaian: selepas digit yang
(a)
(b) 1 angka bererti dibundarkan bagi
12 3
suatu perpuluhan
6 8. 79 harus digugurkan?

Digit yang ingin dibundarkan. 9 > 5, maka tambah 1 kepada 7.

Maka, 68.79 = 68.8 (3 a.b.) Digit 9 terletak selepas titik perpuluhan. Maka, 9 digugurkan.

Saiz sebenar

35

(b) 8 > 5, maka tambah 1 kepada 6.

1 Digit 8 terletak sebelum titik perpuluhan. Maka, 8
digantikan dengan sifar. 7 dan 9 digugurkan.
6 8. 79

Digit yang ingin dibundarkan.
}}
Maka, 68.79 = 70 (1 a.b.)
}
BAB 2 Contoh 4 KUI Z

Bundarkan 0.008025 kepada (b) 2 angka bererti Bundarkan 10.09 kepada
(a) 3 angka bererti 1 angka bererti dan
Penyelesaian: 2 angka bererti.

(a) 1 2 3 5 = 5 maka, tambah 1 kepada 2.
0.00 8 0 2 5
Digit 5 digugurkan kerana digit tersebut terletak selepas
Digit yang ingin dibundarkan. titik perpuluhan.

Maka, 0.008025 = 0.00803 (3 a.b.)

(b) 2 < 5 maka, digit 0 tidak berubah.

12 Digit 2 dan 5 digugurkan kerana digit tersebut terletak
selepas titik perpuluhan.
0.00 8 0 2 5

Digit yang ingin dibundarkan.
Maka, 0.008025 = 0.0080 (2 a.b.)

UJI MINDA 2.1b

1. Lengkapkan jadual berikut dengan membundarkan setiap nombor berikut betul kepada angka
bererti yang diberi.

Nombor 3 angka bererti 2 angka bererti 1 angka bererti
(a) 47 193
(b) 5 261
(c) 305.72
(d) 20.68
(e) 8.595
(f) 5.9
(g) 0.6937
(h) 0.09184
(i) 0.005709

2. Hitung setiap operasi berikut. Nyatakan jawapan betul kepada angka bererti yang dinyatakan

dalam kurungan.

(a) 2.57 × 4.5 + 0.45 [4] (b) 8.59 ÷ 2.1 – 1.26 [3]

(c) 14.23 – 2.6 × 1.2 [3] (d) 15.74 + 20.3 ÷ 2.5 [2]

Saiz se be(nea) r7.63 × 0.5 ÷ 4.2 + 5.7 [3] (f) 10.25 ÷ 0.75 – 4.2 × 0.2 [2]
(h) 4.94 + 5 .76 ÷ 0.26 × 1.4 [3]
(g) 15.62 – 1.72 × 0.2 + 6.3 [1]

36

Bab 2 Bentuk Piawai

2.2 Bentuk Piawai

Bagaimanakah anda boleh mengenal dan menulis nombor STANDARD
dalam bentuk piawai? PEMBELAJARAN

Mengenal dan menulis

Pelbagai bidang sains seperti astronomi, biologi, fizik dan kejuruteraan nombor dalam bentuk piawai.

sering menggunakan nombor bernilai terlalu besar atau terlalu kecil dalam kajian mereka. BAB 2

Nombor-nombor tersebut ditulis dalam bentuk piawai untuk memudahkan cara penulisan.

Bentuk piawai ialah cara menulis suatu nombor tunggal dalam bentuk
A × 10n

dengan keadaan 1 ≤ A < 10 dan n ialah integer.

Misalnya, keluasan negara Malaysia ialah 330 803 000 000 m2. Nilai ini boleh ditulis sebagai
3.308 × 1011 m2 atau 3.30803 × 1011 m2 atau mengikut bilangan angka bererti yang dikehendaki.

Bagaimanakah anda menukar nombor tunggal kepada bentuk piawai?

Apabila suatu nombor tunggal ditukar kepada bentuk piawai; IMBAS KEMBALI

• Nombor bernilai lebih daripada 1 akan memberi indeks positif. ♦ a n, n ialah indeks positif.
• Nombor bernilai kurang daripada 1 akan memberi indeks negatif. ♦ a –n, –n ialah indeks negatif.

Contoh 5

Tuliskan nombor tunggal berikut dalam bentuk piawai.

(a) 28 (b) 280 (c) 2 805.3

Penyelesaian:

(a) 28 = 2.8 × 10 (b) 280 = 2.80 × 100 (c) 2 805.3 = 2.8053 × 1 000
Titik perpuluhan = 2.8 × 102 = 2.8053 × 103

Nilai tempat selepas digit bukan
ialah puluh sifar yang pertama. Nilai tempat ialah ratus Nilai tempat ialah ribu



Contoh 6 IMBAS KEMBALI

Tuliskan perpuluhan berikut dalam bentuk piawai. ­­—a1n– = a–n

(a) 0.325 (b) 0.00325 (c) 0.03025 (d) 0.003005

Penyelesaian:

( a) 0. 325 = 3.25 × —110 (b) 0 . 00325 = 3.25 × —1 0–10—0 SUDUT DISKUSI
= 3.25 ×
= 3.25 × —110–3 Adakah 5.1 × 100 suatu
= 3.25 × 10–1 10–3 nombor dalam bentuk
piawai? Bincangkan.
N i lai tempat ialah per sepuluh

Nilai tempat ialah per seribu Saiz sebenar

37

(c) 0.0 302 5 = 3.025 × —101–0 (d) 0 . 003005 = 3.005 × —1 0–10—0
= 3.025 = 3.005 ×
= 3.025 × —110–2 = 3.005 × —110–3
× 10–2 10–3

Ni lai tempat ialah per seratus Nilai tempat ialah per seribu

BAB 2 Bagaimanakah anda menukar nombor dalam bentuk piawai kepada nombor tunggal?

Apabila suatu nombor dalam bentuk piawai ditukar kepada nombor tunggal;
• Nombor itu bernilai sama atau lebih daripada 10 jika indeksnya positif.
• Nombor itu bernilai kurang daripada 1 jika indeksnya negatif.

Contoh 7 IMBAS KEMBALI

Tuliskan 4.17 × 105 sebagai nombor tunggal. 105 = 10 x 10 x 10 x 10 x 10
Penyelesaian:
4.17 × 105 = 4.17 × 100 000 1 0 –5 = 1–10–5–
= 417 000

Contoh 8

Tuliskan 8.063 × 10−5 sebagai nombor tunggal. BULETIN

Penyelesaian: 1 tera = 1 000 000 000 000
1 nano = 0.000 000 001
8 .063 × 10 −5 = 8.063 × ——1—–
100 000


= 0.00008063

Contoh 9 BIJAK MINDA

Tentukan 3 050 terabait dalam bait. Nyatakan jawapan dalam bentuk piawai. Berapakah nilai 1 tera
Penyelesaian: dalam nano?

3 050 terabait = 3 050 × 1012 bait

= (3.05 × 103) × 1012 bait

= (3.05 × 103 + 12) bait Gunakan hukum indeks am × an = am + n

= 3.05 × 1015 bait

Contoh 10

Tentukan 0.0057 nanometer dalam meter. Nyatakan jawapan dalam bentuk piawai.
Penyelesaian:

0.0057 nanometer = 0.0057 × 10−9 meter. Gunakan hukum indeks am × an = am + n
= (5.7 × 10−3) × 10−9 meter
= (5.7 × 10−3 + (−9) ) meter
= (5.7 × 10−3 −9 ) meter

Saiz sebenar = 5.7 × 10 −12 meter

38

Bab 2 Bentuk Piawai

Cetusan Minda 3 Berpasangan

Tujuan: Menulis sistem metrik bagi ukuran dalam bentuk piawai.
Langkah:

1. Lengkapkan jadual di bawah dengan menulis nombor tunggal bagi nilai ukuran sistem
metrik dalam bentuk piawai.

Awalan Simbol Nilai Bentuk piawai BAB 2
eksa 1 × 1018
peta E Nombor tunggal
tera P 1 000 000 000 000 000 000 1 × 100
giga T 1 × 10–1
mega G 1 000 000 000 000 000
kilo M 1 000 000 000 000
hekto k 1 000 000 000
deka h 1 000 000
– da 1 000
desi – 100
centi d 10
mili c 1
mikro m 0.1
nano µ 0.01
piko n 0.001
femto p 0.000 001
atto f 0.000 000 001
a 0.000 000 000 001

0.000 000 000 000 001
0.000 000 000 000 000 001

Perbincangan:

Suatu nombor yang terlalu besar atau terlalu kecil nilainya boleh ditulis dalam bentuk nombor
tunggal atau dalam bentuk piawai. Bentuk manakah yang anda akan pilih untuk suatu operasi
pengiraan? Nyatakan alasan anda.

Hasil daripada Cetusan Minda 3, didapati bahawa;

Bentuk piawai memudahkan penulisan nombor yang bernilai besar dan nombor yang
bernilai kecil dalam bentuk yang ringkas dan mudah difahami.

UJI MINDA 2.2a TIP

1. Tuliskan nombor tunggal berikut dalam bentuk piawai. Gunakan data
daripada Cetusan
(a) 35 (b) 481 (c) 5 075 (d) 97.25 Minda 3 untuk
menyelesaikan
(e) 3 124.3 (f) 0.9 (g) 0.23 (h) 0.0375 soalan 3.

2. Tukarkan nombor dalam bentuk piawai kepada nombor tunggal.
(a) 2.5 × 100 (b) 3.75 × 101 (c) 4.23 × 102
(d) 5.07 × 103 (e) 9.1 × 104 (f) 6.2 × 10–1
(g) 7.29 × 10–2 (h) 1.034 × 10–3 (i) 8.504 × 10– 4

3. Tukarkan ukuran dalam sistem metrik berikut kepada unit yang diberikan dalam kurungan.

Nyatakan jawapan anda dalam bentuk piawai.

(a) 1 050 kilometer [meter] (b) 216 gigabait [bait]

(c) 0.75 teraliter [liter] (d) 95 mikrometer [meter] Saiz sebenar

(e) 123 nanometer [meter] (f) 0.089 femtometer [meter]

39

B agaimanakah operasi asas aritmetik yang melibatkan STANDARD
nombor dalam bentuk piawai boleh dilaksanakan? PEMBELAJARAN

Operasi Tambah dan Tolak Melaksanakan operasi
asas aritmetik yang
Contoh 11 melibatkan nombor
dalam bentuk piawai.

Hitung nilai setiap operasi berikut. Nyatakan jawapan dalam bentuk piawai.

BAB 2 (a) 2.73 × 103 + 5.92 × 103 (b) 4.27 × 105 + 9.35 × 105

(c) 7.02 × 104 + 2.17 × 105 (d) 9.45 × 106 – 3.24 × 105

Penyelesaian:

(a) 2.73 × 103 + 5.92 × 103 (b) 4.27 × 105 + 9.35 × 105 IMBAS KEMBALI
= (2.73 + 5.92) × 103 = (4.27 + 9.35) × 105
= 8.65 × 103 = 13.62 × 105 ♦ 5an + 7an
= (1.362 × 10) × 105 = (5 + 7)an
Faktorkan 103 = 1.362 × 101 × 105 = 12an
= 1.362 × 101 + 5 ♦ 5 × 10n + 7 × 10n
= 1.362 × 106 = (5 + 7)10n
= 12(10n)

(c) Kaedah 1 Kaedah 2 TIP

7.02 × 104 + 2.17 × 105 7.02 × 104 + 2.17 × 105 Bagi operasi tambah dan
tolak, tukarkan indeks
= 7.02 × 104 + 2.17 × 101 × 104 = 7.02 × 10–1 × 105 + 2.17 × 105 bernilai kecil kepada
= 7.02 × 104 + 21.7 × 104 = 0.702 × 105 + 2.17 × 105 indeks bernilai besar
= (7.02 + 21.7) × 104 seperti kaedah 2
= (0.702 + 2.17) × 105 contoh (c) dan contoh (d).
= 28.72 × 104
= 2.872 × 105 BIJAK MINDA
= 2.872 × 101 × 104
Hitung nilai operasi
= 2.872 × 101 + 4 105 ditukarkan kepada berikut tanpa
= 2.872 × 105 101 × 104 untuk menggunakan kalkulator.
♦ 2.4 × 103 + 1.3 × 105
memudahkan pengiraan. ♦ 8.5 × 104 – 1.2 × 102

(d) Kaedah 1 Kaedah 2

9.45 × 106 – 3.24 × 105 9.45 × 106 – 3.24 × 105
= 9.45 × 106 – 3.24 × 10–1 × 106
= 9.45 × 101 × 105 – 3.24 × 105 = 9.45 × 106 – 0.324 × 106
= 94.5 × 105 – 3.24 × 105 = (9.45 – 0.324) × 106
= 9.126 × 106
= (94.5 – 3.24) × 105

= 91.26 × 105

= 9.126 × 101 × 105

= 9.126 × 101 + 5

= 9.126 × 106

Saiz sebenar

40