ลิมิตของฟังก์ชัน

Limit

ลิมิตของฟังก์ชัน

จัดทำโดย
นางสาวนฤภร ชาวประทุม

ชั้น ม.6/7 เลขที่ 29
เสนอ

คุณครูศุภลักษณ์ สุวรรณ

สมุดเล่มนี้เป็นส่วนหนึ่งของของรายวิชา คณิตศาสตร์
ภาคเรียนที่ 1 ปีการศึกษา 2565
โรงเรียนสุราษฎร์พิทยา



คำนำ

หนังสือเล่มเล็กนี้ที่จัดทำขึ้น เพื่อให้การศึกษาหลักการ
ทฤษฎีต่างๆเกี่ยวกับลิมิตของฟังก็ชันได้เป็นอย่างดี และเมื่อ
อ่านหนังสือเล่มเล็กเล่มนี้สามารถเข้าใจเกี่ยวกับลิมิตได้อย่าง
ถูกต้อง

หนังสือเล่มเล็กเล่มนี้ให้ข้อมูลเกี่ยวกับแนวคิดและ
ทฤษฎีเกี่ยวกับความหมายของลิมิตการหาฟังก์ชันบทนิยาม
ทฤษฎีบทเกี่ยวกับฟังก์ชัน และวิธีการหาลิมิตของฟังก็ชัน

ผู้จัดทำได้หวังเป็นอย่างยิ่งว่าหนังสือเล่มเล็กเล่มนี้จะ
เป็นประโยชน์ต่อผู้เรียน ผู้สอนสำหรับนำไปใช้ในการเรียนรู้
และศึกษาด้วยตนเอง ขอขอบคุณเจ้าของข้อมูลเว็บไซต์ที่มี
ส่วนช่วยในการจัดทำสมุดเล่มเล็กเล่มนี้มา
ณ โอกาสนี้

ลิมิตของฟังก์ชั น

สำหรับฟังก์ชัน : ใด ๆ ที่มีโดเมนและเรนจ์เป็นสับเซต
ของเซตของจำนวนจริง ถ้าค่าของ f(x) เข้าใกล้จำนวนจริง L
เมื่อ x เข้าใกล้ a เรียก L ว่า ลิมิตของ f ที่ a

เขียนแทนด้วย Ixi→ma f(x) = L ถ้าไม่มีจำนวนจริง L ซึ่ง f(x)

เข้าใกล้ L เมื่อ x เข้าใกล้ a แล้ว f ไม่มีลิมิตที่ a จะเขียนว่า

lxi→ma f(x) หาค่าไม่ได้ f(x) เมื่อ x เข้าใกล้ a จะพิจารณา
ในการหาลิมิตของ

ค่าของ f(x) ว่าเข้าใกล้จำนวนจริงค่าใดขณะที่ x เข้าใกล้ a

แต่ x ≠ a แสดงว่าไม่พิจารณาค่าของ f(x) ที่ x = a ดังนั้น

ฟังก์ชัน f อาจจะนิยามหรือไม่นิยามที่ x = a ก็ได้ แต่ฟังก์ชัน

f จะต้องนิยามที่แต่ละจุดที่ใกล้ a

บทนิยาม

ลิมิตซ้าย (left-hand limits)
กำหนดฟังก์ชัน f(x) และ a เป็นจำนวนจริง กล่าวว่า ลิมิตของ
f(x) เมื่อ x เข้าใกล้ a ทางซ้ายมือก็ต่อเมื่อมีจำนวนจริง L ที่
ทำให้ค่าของ f(x) เข้าใกล้ L ในขณะที่ x เข้าใกล้ a ทางซ้ายมือ
เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์

ลิมิตขวา (right-hand limits)
กำหนดฟังก์ชัน f(x) และ a เป็นจำนวนจริง กล่าวว่า ลิมิตของ
f(x) เมื่อ x เข้าใกล้ a ทางขวามือก็ต่อเมื่อมีจำนวนจริง L ที่
ทำให้ค่าของ f(x) เข้าใกล้ L ในขณะที่ x เข้าใกล้ a ทางขวามือ
เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์

ยกตัวอย่างการหาลิมิตของฟังก์ชัน

ลิมิตของฟังก์ชันจากกราฟ

ลิมิตของฟังก์ชันแยกช่วง

ยกตัวอย่างการหาลิมิตของฟังก์ชัน

วิธีการหาค่าลิมิตของ
ฟังก์ชัน

การหาลิมิตของฟังก์ชันที่อยู่ในรูป0/0
การหาลิมิตของฟังก์ชันที่อยู่ในรูป0/0 จะต้องหาวิธีมา
ช่วยคิดเพื่อทำการกำจัด 0/0 ซึ่งจะมีอยู่ด้วยกัน 3 แบบ
ดังนี้คือ
1. แยกตัวประกอบ
2. การคูณด้วยเทอมที่เป็นสังยุค
3. การใช้กฎโลปิตาล

โจทย์ ลิมิตของฟังก์ชันที่ใช้วิธีแยกตัวประกอบ
การหาลิมิตของฟังก์ชันที่อยู่ในรูป0/0 ใช้วิธีแยกตัวประกอบ
ข้อที่ 1

วิธีการหาค่าลิมิตของ
ฟังก์ชัน

โจทย์ ลิมิตของฟังก์ชันที่ใช้วิธีการคูณด้วยเทอมที่เป็นสังยุค
การหาลิมิตของฟังก์ชันที่อยู่ในรูป0/0 ใช้วิธีการคูณด้วย
เทอมที่เป็นสังยุค
ข้อที่ 2

วิธีการหาค่าลิมิตของฟังก์ชัน

โจทย์ ลิมิตของฟังก์ชันที่ใช้วิธีการใช้กฎโลปิตาล
การหาลิมิตของฟังก์ชันที่อยู่ในรูป0/0 ใช้กฎโลปิตาล

ตัวอย่างที่ 1 ตัวอย่างที่ 2

การมีลิมิตของฟังก์ชันแบบต่าง ๆ

ลิมิตของฟังก์ชันในรูปทั่วไป
สำหรับฟังก์ชันในรูปทั่วไป การพิจารณาว่าฟังก์ชันนั้นมีลิมิต
หรือไม่นั้นไม่ยากเลย แค่ดูว่าลิมิตของทางซ้ายและขวาเท่ากัน
หรือไม่ ยกตัวอย่างเช่นข้อนี้

โจทย์ต้องการหาลิมิตของฟังก์ชัน x2 + 3x + 5x + 3 เมื่อ x
เข้าใกล้ 2 วิธีทำก็คือแยกพิจารณาลิมิตของฟังก์ชันทั้งฝั่งซ้ายและ
ขวา จากนั้นจึงแทนค่า x ลงไปในฟังก์ชัน จากคำตอบที่ได้จะเห็นว่าลิ
มิตของฟังก์ชัน2 x + 3x + 5x + 3 เมื่อ x เข้าใกล้ 2 มีค่าเท่ากันทั้ง
ทางซ้ายและขวา

จึงสรุปได้ว่า ลิมิตของฟังก์ชัน x2 + 3x + 5x + 3 เมื่อ x เข้า
ใกล้ 2 มีค่าเท่ากับ 3

การมีลิมิตของฟังก์ชัน
แบบต่าง ๆ

ลิมิตของฟังก์ชันที่มีค่าสัมบูรณ์

จากโจทย์จะเห็นว่า A ของเราคือ x-1 เมื่อแบ่งพิจารณาลิมิต
ทั้งสองฝั่งก็จะพบว่าลิมิตของฟังก์ชัน x-1x-1 เมื่อ x เข้าใกล้ 1
ทางซ้ายไม่เท่ากับทางขวา
จึงสรุปได้ว่าลิมิตของฟังก์ชัน x-1x-1 เมื่อ x เข้าใกล้ 1 ไม่มีค่า

สรุป

สรุปการมีลิมิตของฟังก์ชันอีกครั้งได้ว่า...
1.ลิมิตของฟังก์ชันเมื่อ x เข้าใกล้ a ทางซ้าย มีค่าเท่ากับลิมิต
ของฟังก์ชันเมื่อ x เข้าใกล้ a ทางขวา เราถือว่าฟังก์ชันนั้น
มีลิมิต
2.ลิมิตของฟังก์ชันเมื่อ x เข้าใกล้ a ทางซ้าย มีค่าเท่ากับลิมิต
ของฟังก์ชันเมื่อ x เข้าใกล้ a ทางขวา แต่ค่าของ f(a) เมื่อ
x เท่ากับ a ไม่เท่ากับลิมิตทางซ้ายและขวาของฟังก์ชัน เราก็
ยังถือว่าฟังก์ชันนั้น มีลิมิต อยู่
3.ค่าของ f(a) เมื่อ x เท่ากับ a เท่ากับลิมิตทางใดทางหนึ่ง
(ซ้ายหรือขวาก้ได้) แต่ค่าของลิมิตของฟังก์ชันเมื่อ x เข้าใกล้
a ทางซ้าย ไม่เท่ากับค่าของลิมิตของฟังก์ชันเมื่อ x เข้าใกล้
a ทางขวา เราจะถือว่าฟังก์ชันนั้น ไม่มีลิมิต



Thank
you

PRESENTED BY: NARUPORN CHAOPATUM
NO.29 CLASS M.6/7