FUNGSI INVERS DAN FUNGSI KOMPOSISI

FUNGSI KOMPOSISI
DAN

FUNGSI INVERS

Oleh

EKA FITRI AGUSTIN, S.Pd
Guru Matematika

SMA Negeri 3 Sengah Temila

2

KEGUNAAN FUNGSI INVERS DALAM KEHIDUPAN SEHARI-HARI

 Bidang Ekonomi, contoh untuk menghitung dan memperkirakan
sesuatu seperti fungsi permintaan dan penawaran

 Bidang Kimia, contoh : untuk menentukan waktu peluruhan
unsur

 Bidang Geografi dan Sosiologi, contoh : untuk optimasi dalam
industri dan kepadatan penduduk

3

KEGUNAAN FUNGSI komposisi DALAM KEHIDUPAN SEHARI-HARI

 Bidang Olahraga, contoh untuk penyusunan pemain atau
formasi pemain dalam tim sepak bola.

 Bidang Kimia, contoh : untuk mengkomposisikan warna pada
mesin cetak sehingga dapat menghasilkan warna-warna berbeda,
untuk mendaur ulang logam, untuk lempeng emas menjadi
berbagai perhiasan

4

1
fungsi

definisi

Info : Domain dari suatu fungsi tidak boleh “jomblo” apalagi “selingkuh”   

6

Manakah relasi berikut ini yang merupakan fungsi?.

7

Jenis-jenis fungsi

✗ Fungsi Aljabar

Adalah fungsi yang mengandung bentuk aljabar. Contoh :
fungsi konstan, fungsi identitas, fungsi linier, fungsi
kuadrat, fungsi polinom, fungsi modulus, dan lain
sebagainya

✗ Fungsi Transeden

Adalah fungsi yang tidak mengandung bentuk aljabar.
Contoh : fungsi ekponen, fungsi logaritma, fungsi
trigonometri, dan sebagainya

8

Ditinjau dari simetrisitasnya, fungsi dapat dibagi menjadi :

 Fungsi Genap
Suatu fungsi dikatakan genap jika berlaku :
( )= (− ) untuk semua anggota , atau fungsi tersebut
simetris terhadap sumbu Y.

 Fungsi Ganjil
Suatu fungsi dikatakan ganjil jika berlaku :
(− )=− ( ) untuk semua anggota , atau fungsi tersebut
memenuhi sifat simetri putar terhadap titik asal O(0,0).

9

Sifat-sifat Fungsi

1. Fungsi f : A→B disebut Fungsi Surjektif jika setiap anggota himpunan
B merupakan pasangan dari anggota himpunan A, dengan himpunan
B sebagai range.

2. Fungsi f : A→B disebut Fungsi Injektif (Into) jika ada anggota
himpunan B yang tidak memiliki pasangan dari anggota himpunan A.

3. Fungsi f : A→B disebut Fungsi Bijektif jika setiap anggota himpunan
B mempunyai pasangan dari anggota himpunan A dan masing-
masing anggotanya hanya memiliki satu pasangan.

10

Operasi Dua Fungsi

− = −
+ = +
× = ×


=

11

Contoh 1 Contoh 2

Diberikan fungsi f memenuhi persamaan
3 (− )+ ( −3)= +3 untuk setiap bilangan riil
x. Berapakah nilai 8 (−3)?
Pembahasan:

12

Contoh 3

13

2
Fungsi invers

definisi

15

Sifat-sifat Fungsi Invers

✗ Suatu fungsi : → dikatakan memiliki invers −1: → jika dan hanya jika fungsi f merupakan

fungsi bijektif.

✗ Misalkan −1 adalah fungsi invers fungsi f. Untuk setiap x ∈ dan y ∈ , maka berlaku y = f(x) jika

dan hanya jika −1 = .

✗ Misalkan f sebuah fungsi bijektif dengan daerah asal dan daerah hasil , sedangkan I(x) = x

merupakan fungsi identitas. Fungsi −1 merupakan fungsi invers dari fungsi f jika dan hanya jika
−1 = = untuk setiap x ∈ , dan
−1 = = untuk setiap x ∈

✗ Jika f sebuah fungsi bijektif dan −1 merupakan fungsi invers f, maka fungsi invers dari −1 adalah

fungsi f itu sendiri, dan dapat disimbolkan dengan −1 −1 = .

✗ Jika f dan g fungsi bijektif, maka berlaku −1 = −1 −1 .

16

Contoh 4

Diketahui fungsi : → dengan = 5 + 7. Tentukan fungsi inversnya!
Penyelesaian :
Karena = , maka = 5 + 7

y − 7 = 5

x = −7

5

−1 = −7

5

−1 = 1 − 7

5

17

Contoh 5

Invers dari fungsi = 3 −2 , ≠ 8 adalah −1 = ….
5 +8 5

Penyelesaian :

Karena = , maka = 3 −2

5 +8

3 − 2 = 5 − 8

3 − 2 = 5 − 8

3 − 5 = −8 + 2

3 − 5 = 2 + 8

= 2+8

3−5

−1 = 2+8

3−5

18

Contoh 6

Diketahui = 9 +4 , ≠ 5 dan fungsi invers dari adalah −1 . Nilai −1 −2 = ….
6 −5 6

Penyelesaian :

Karena = , maka = 9 +4 −1 = − 4+5

6 −5 − −9+6

9 + 4 = 6 − 5 −1 = 5 +4
9 + 4 = 6 − 5
6 −9

9 − 6 = −4 − 5 −1 −2 = 5. −2 +4
9 − 6 = −4 − 5 6 −2 −9

= −4−5 −1 −2 = −10+4

9−6 −12−9

−1 = −4−5 −1 −2 = −6 = 6 = 3
9−6
−21 21 7

19

EVALUASI 1

HIGH VALUE 2

1. 2.
Diketahui fungsi : → dengan Diketahui fungsi g: → dengan
= 7 − 5. Tentukan −1 ! = 3 2−2. Tentukan −1 !

LOW VALUE 1 HIGH VALUE 1

3. 4.
Diketahui fungsi : → dengan Diketahui fungsi g: → dengan
= 3 2 + 2. Tentukan −1 −1 ! = 23 +−14. Tentukan −1 2 !

LOW VALUE 2

20

Refleksi pembelajaran 1

1 2 3

Apa saja hal-hal yang Apa saja sikap atau perilaku Apa saja sikap atau perilaku
membantu Kamu selama positif yang Kamu miliki yang perlu Kamu hindari
selama belajar Fungsi selama belajar Fungsi
belajar Fungsi Invers? Invers? Invers?.

4 5 6

Apa saja hal-hal menarik Apa saja hal-hal kurang Cara belajar seperti apa yang
yang Kamu alami selama menarik yang Kamu alami kamu inginkan untuk

belajar Fungsi Invers? selama belajar Fungsi pembelajaran Matematika
Invers? Wajib berikutnya?

21

Petunjuk pengerjaan evaluasi dan Refleksi pembelajaran 1

 Kerjakanlah Evaluasi dan Refleksi Pembelajaran pada
selembar atau dua lembar kertas.

 Tulislah nama dan kelasmu pada kertas tersebut.
 Kumpulkan tugas Evaluasi 1 dan Refleksi Pembelajaran

1 pada tanggal yang telah ditetapkan oleh guru
pengampu mata pelajaran Matematika wajib.

22

3
Komposisi Fungsi

definisi

24

Sifat-sifat komposisi Fungsi

25

Syarat dan aturan fungsi yang dapat dikomposisikan

26

Contoh 7 Contoh 8

Jika = 2 + 4 dan = 2 + 2 + 5, Jika = 2 3 dan = + 3,
tentukan ! tentukan !
Penyelesaian : Penyelesaian :

= =

= 2 + 2 + 5 = 2 3
= 2 2 + 2 + 5 + 4 = 2 3 + 3
= 2 2 + 4 + 10 + 4
= 2 2 + 4 + 14

27

Contoh 9

Jika = 3 − 4 dan = 2 3 + 2, tentukan −2 !

Penyelesaian :

= −2 = 11 − 8 3

= 2 3 + 2 = 11 − 8 −2 3

= 3 − 4 2 3 + 2 = 11 − 8 −8

= 3 − 8 3 + 8 = 11 + 64

= 11 − 8 3 = 75

28

Contoh 10

Diketahui = 2 − 4 dan = 5 − . Tentukan nilai x jika = 5 !

Penyelesaian :

= 5 2 − 10 + 16 = 0

= 5 − 2 − 8 = 0

5 − = 5 = 2 = 8
5 − 2 − 4 = 5

25 − 10 + 2 − 4 − 5 = 0

2 − 10 + 16 = 0

29

Menentukan Fungsi atau jika Diketahui Fungsi Komposisi dari atau

Jika fungsi dan fungsi komposisi atau
diketahui maka fungsi dapat ditentukan.

Demikian juga jika fungsi dan fungsi komposisi
atau diketahui maka fungsi dapat ditentukan.

30

Contoh 11

Jika diketahui fungsi komposisi = 10 − 5 dan = 2 − 5, tentukan !
Penyelesaian :

= 10 − 5
= 10 − 5
2g − 5 = 10 − 5

2 = 10 − 5 + 5
2 = 10

= 10

2

= 5

31

Contoh 12

Jika diketahui fungsi komposisi = 30 2 − 15 dan = 10 2 − 3, tentukan !

Penyelesaian :

= 30 2 − 15 maka: 2
= 30
= 30 2 − 15 +3 − 15

10

10 2 − 3 = 30 2 − 15 = 30 +3 − 15

Misalkan: = 10 2 − 3 10

+ 3 = 10 2 = 30 +90 − 15
10

+3 = 2 = 3 + 9 − 15
10

= 3 − 6

+3 = Jadi, = 3 − 6

10

32

Contoh 13

Jika diketahui fungsi komposisi = 9 − 6 dan = 2 2 + 7, tentukan !

Penyelesaian :

= 9 − 6 = 9 − 6 −7
2
= 9 − 6
2 2 + 7 = 9 − 6 =9−6 2 −7
Misalkan: = 2 2 + 7 4

− 7 = 2 2 = 9 − 6 2 − 7

4

= 9 − 3 2 − 7

2

−7 = 2 = 92 −3 2 −7
2 2 2

= 18−3 2 −7
2
1
−7 = = 2 18 − 3 2 − 7

2 Jadi, = 1 18 − 3 2 − 7
2
maka:

33

EVALUASI 2

HIGH VALUE 2

1. 2.
Jika = 3 + 4 dan = 2 + ,
Jika = 1 dan = − 1,
tentukan !

tentukan 1 !

LOW VALUE 1 3. 4. HIGH VALUE 1
Jika diketahui fungsi komposisi
= 12 2 + 32 + 26 dan Jika diketahui fungsi komposisi
= 2 + 3, tentukan ! = −9 2 − 6 dan
= − 2 + 1, tentukan g 0 !

LOW VALUE 2

34

Refleksi pembelajaran 2

1 2 3

Apa saja hal-hal yang Apa saja sikap atau perilaku Apa saja sikap atau perilaku
membantu Kamu selama positif yang Kamu miliki yang perlu Kamu hindari
belajar Fungsi Komposisi? selama belajar Fungsi selama belajar Fungsi
Komposisi? Komposisi?

4 5 6

Apa saja hal-hal menarik Apa saja hal-hal kurang Cara belajar seperti apa yang
yang Kamu alami selama menarik yang Kamu alami kamu inginkan untuk
belajar Fungsi Komposisi?
selama belajar Fungsi pembelajaran Matematika
Komposisi? Wajib berikutnya?

35

Petunjuk pengerjaan evaluasi dan Refleksi pembelajaran 2

 Kerjakanlah Evaluasi dan Refleksi Pembelajaran pada
selembar atau dua lembar kertas.

 Tulislah nama dan kelasmu pada kertas tersebut.
 Kumpulkan tugas Evaluasi 2 dan Refleksi Pembelajaran

2 pada tanggal yang telah ditetapkan oleh guru
pengampu mata pelajaran Matematika wajib.

36

4 Invers dari
Komposisi Fungsi

definisi

38

Contoh 14

Diketahui fungsi komposisi = 3 2 − 6 dan = 3 − 19, tentukan −1
dan −1 !

Penyelesaian : = 3 − 19
= 3 2 − 6

= 3 2 − 6 = 3 − 19

y + 6 = 3 2 y + 19 = 3x

2 = +6 = +19

3 3

= +6 −1 = +19
3
3

−1 = +6

3

39

−1 = −1 −1 −1 = −1 −1
= −1 −1
= −1 −1
= −1 +6
3 = −1 +19

3

= +319+6

3

= +36+19 = +319+6 3
3
3
3

= +19+18

9

= +37

9

= 1 + 37

3

40

Contoh 15

Diketahui fungsi komposisi = 2 dan = − 8, tentukan −1 −1 dan
4−
−1 2 + 1 ! 2

Penyelesaian : = 2

4− = − 8

= 2 = − 8
y+8=x
4−

2 = 4 − = + 8

2 = 4 − −1 = + 8

= 4 − 2

= 4 −2


−1 = 4 −2


41

−1 = −1 −1 −1 = −1 −1
= −1 −1 = −1 −1
= −1 + 8
= −1 4 −2
= 4 +8 −2

−1 − 1 = 4 −21 −2 + 8 +8
−21
2 = 4 +32−2

= −2−2 + 8 +8
−12
= 4 +30
= −4 − 2 + 8
+8
1
−1 2 + 1 = 4 2 +1 +30
= 8+8
2 +1+8
= 4. 2 + 8
= 8 +4+30

2 +9

=2 2+8

42

EVALUASI 3

HIGH VALUE 2

LOW VALUE 1 1. 2. HIGH VALUE 1

Diketahui fungsi komposisi Diketahui fungsi komposisi
= 4 2 + 1 dan = − 9, = 4 2 + 1 dan =
tentukan −1 !
− 9, tentukan −1 !

3. 4.

Diketahui fungsi komposisi Diketahui fungsi komposisi

= 1 dan = − 3 , tentukan = 1 dan = − 3,
5+ 5+

−1 −1 ! tentukan −1 − 1 !

LOW VALUE 2

43

Refleksi pembelajaran 3

1 2 3

Apa saja hal-hal yang Apa saja sikap atau perilaku Apa saja sikap atau perilaku
membantu Kamu selama positif yang Kamu miliki yang perlu Kamu hindari

belajar Invers Fungsi selama belajar Invers Fungsi selama belajar Invers Fungsi
Komposisi? Komposisi? Komposisi?

4 5 6

Apa saja hal-hal menarik Apa saja hal-hal kurang Cara belajar seperti apa yang
yang Kamu alami selama menarik yang Kamu alami kamu inginkan untuk
selama belajar Invers Fungsi
belajar Invers Fungsi pembelajaran Matematika
Komposisi? Komposisi? Wajib berikutnya?

44

Petunjuk pengerjaan evaluasi dan Refleksi pembelajaran 3

 Kerjakanlah Evaluasi dan Refleksi Pembelajaran pada
selembar atau dua lembar kertas.

 Tulislah nama dan kelasmu pada kertas tersebut.
 Kumpulkan tugas Evaluasi 3 dan Refleksi Pembelajaran

3 pada tanggal yang telah ditetapkan oleh guru
pengampu mata pelajaran Matematika wajib.

45

TERIMA KASIH

Ada pertanyaan?
Kamu dapat menghubungi:
✗ Ibu Eka di wa pribadi

46