ความน่าจะเป็น2

ความน่าจะเป็น หรือ Probability

นางสาว ณัชชา รับสมบัติ ม.4/6 เลขที่20

ความน่าจะเป็น หรือ Probability

ความน่าจะเป็น คือการวัดหรือการประมาณความเป็นไปได้ว่า บางสิ่งบางอย่างจะเกิดขึ้นหรือถ้อยแถลงหนึ่ง
ๆ จะเป็นจริงมากเท่าใด ความน่าจะเป็นมีค่าตั้งแต่ 0 (โอกาส 0% หรือ จะไม่เกิดขึ้น) ไปจนถึง 100 (โอกาส 100%
หรือ จะเกิดขึ้น) [1] ระดับของความน่าจะเป็นที่สูงขึ้น คือความเป็นไปได้มากขึ้นที่เหตุการณ์นั้นจะเกิด หรือถ้า
มองจากเงื่อนเวลาของการสุ่มตัวอย่าง คือจำนวนครั้งมากขึ้นที่เหตุการณ์เช่นนั้นคาดหวังว่าจะเกิด

มโนทัศน์เหล่านี้มาจากการแปลงคณิตศาสตร์เชิงสัจพจน์ในทฤษฎีความน่าจะเป็น ซึ่งใช้กันอย่างแพร่หลาย
ในขอบเขตการศึกษาต่าง ๆ เช่น คณิตศาสตร์สถิติศาสตร์ การเงิน การพนัน วิทยาศาสตร์ ปัญญาประดิษฐ์/การ
เรียนรู้ของเครื่อง และปรัชญา เพื่อร่างข้อสรุปเกี่ยวกับความถี่ที่คาดหวังของเหตุการณ์ต่าง ๆ เป็นอาทิ ทฤษฎี
ความน่าจะเป็นก็ยังนำมาใช้เพื่ออธิบายกลไกรากฐานและความสม่ำเสมอของระบบซับซ้อน [2]

การทดลองสุ่ม ( Random Experiment )

การทดลองสุ่มคือการทดลองที่เราสามารถจะคาดคะเนผลลัพธ์ที่เกิดขึ้นได้ “โดยรวม” ซึ่งผลลัพธ์
โดยรวมนี้คือความน่าจะเป็น แต่ว่าไม่สามารถคาดคะเนผลลัพธ์ได้เฉพาะเจาะจงเป็นรายครั้ง ว่า
แต่ละครั้งที่เกิดการทดลอง จะเกิดผลลัพธ์อะไร เช่นเราทดลองทอยลูกเต๋า 6 หน้า และสามารถคาด
คะเนได้ว่าเมื่อทอยเป็นพันเป็นหมื่นครั้งแล้ว มีความน่าจะเป็นที่ลูกเต๋าจะขึ้นหน้า 1 เป็น 1/6 แต่ว่า
เราไม่สามารถที่จะทำนายได้เลยว่า การทอยลูกเต๋าครั้งต่อไป จะขึ้นเลขอะไร

เเซมเปิลสเปซ ( Sample Space )

คือ เซตที่มีสมาชิกเป็นผลลัพธ์ ที่เป็นไปได้ทั้งหมดของการทดลองสุ่ม เป็นขอบเขตที่
เราสนใจในการทดลองแต่ละครั้ง นิยมใช้สัญลักษณ์ S แทนแซมเปิลสเปซ มีความ
หมายว่า ในการทดลองหรือการกระทำใดๆก็ตาม ผลลัพธ์มีโอกาสที่จะเกิดขึ้นได้ จะ
ต้องเป็นสมาชิกของแซมเปิลสเปซ

เหตุการณ์ ( Event )

คือ เซตที่มีสมาชิกเป็นผลลัพธ์ ที่เป็นไปได้ทั้งหมดของการทดลองสุ่ม เป็นขอบเขตที่เราสนใจ
ในการทดลองแต่ละครั้ง นิยมใช้สัญลักษณ์ S แทนแซมเปิลสเปซ มีความหมายว่า ในการ
ทดลองหรือการกระทำใดๆก็ตาม ผลลัพธ์มีโอกาสที่จะเกิดขึ้นได้ จะต้องเป็นสมาชิกของ
แซมเปิลสเปซ

นิยามของความน่าจะเป็น

ถ้าการทดลองอย่างสุ่มหนึ่ง มีสมาชิกของ แซมเปิลสเปซ เป็นจำนวนเท่ากับ N
และจำนวนสมาชิกของเหตุการณ์ E ที่เราสนใจ มีค่าเท่ากับ n
โดยที่แต่ละสมาชิกของแซมเปิลสเปซนั้น มีโอกาสเกิดขึ้นได้เท่าๆกัน
ความน่าจะเป็นของ การเกิดเหตุการณ์ E เขียนแทนด้วย P(E) จะมีค่าเท่ากับ n/N หรือ P(E)

ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์

ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ คือ จำนวนที่แสดงให้ทราบว่าเหตุการณ์ใดเหตุการณ์หนึ่ง
มีโอกาสเกิดขึ้น มากหรือน้อยเพียงใด ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ใด ๆ เท่ากับ
อัตราส่วนของจำนวนเหตุการณ์ที่เราสนใจ (จะให้เกิดขึ้นหรือไม่เกิดขึ้นก็ได้) ต่อจำนวน
ผลลัพธ์ทั้งหมดที่อาจจะเกิดขึ้นได้ ซึ่งมีสูตรในการคิดคำนวณดังนี้

สูตรความน่าจะเป็นของเหตุการณ์

เมื่อผลทั้งหมดที่อาจจะเกิดขึ้นจากการทดลองสุ่มแต่ละตัวมีโอกาสเกิดขึ้นได้เท่าๆ กันกำหนดให้
E แทน เหตุการณ์ที่เราสนใจ

P(E) แทน ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์
n แทน จำนวนสมาชิกของเหตุการณ์
S แทน ผลลัพธ์ทั้งหมดที่อาจจะเกิดขึ้นได้
N แทน จำนวนสมาชิกของผลลัพธ์ทั้งหมดที่อาจจะเกิดขึ้นได้

For Example

1.จงหาปริภูมิตัวอย่างของเหตุการณ์เหล่านี้
1. เหตุการณ์ที่โยนเหรียญปกติ 1 เหรียญ 1 ครั้ง
S = { H,T } ; n(S) = 2
H = คือ เหตุการณ์ที่โยนเหรียญออกไปแล้วเหรียญออกหัวเป็นหัว
T = คือ เหตุการณ์ที่โยนเหรียญออกไปแล้วเหรียญออกหัวเป็นก้อย
2. เหตุการณ์ที่ทอดลูกเต๋า 1 ลูก 1 ครั้ง
S = {1 , 2, 3, 4, 5, 6} ; n(S) = 6
3. เหตุการณ์ที่โยนเหรียญปกติ 1 เหรียญพร้อมลูกเต๋า 1 ครั้ง
S = {(1,H),(2,H),(3,H),(4,H),(5,H),(6,H)
(1,T),(2,T),(3,T),(4,T),(5,T),(6,T)}
n(S) = 12

2.กล่องใบหนึ่งมีลูกบอลอยู่ 25 ลูก แต่ละลูกมีเลขกำกับตั้งแต่ 1 ถึง 25 จงหาเหตุการณ์ในการเลือกหยิบ
ลูกบอลขึ้นมาครั้งละหนึ่งลูก จำนวน 3 ครั้ง โดยหยิบออกมาแล้วไม่ใส่คืนเข้าไปในกล่อง
วิธีทำ การหยิบลูกบอลลูกแรกทำได้ 25 เหตุการณ์

การหยิบลูกที่สองทำได้ 24 เหตุการณ์
การหยิบลูกที่สามทำได้ 23 เหตุการณ์

ดังนั้นเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นได้ทั้งหมด = 25 × 24 × 23 = 13,800 เหตุการณ์
กรณีที่ 2 เหตุการณ์ใดๆ K เหตุการณ์ ซึ่งประกอบไปด้วยเหตุการณ์ย่อยหลายเหตุการณ์เป็นเหตุการณ์ที่
ไม่สามารถเกิดขึ้นพร้อมกันได้ หรือไม่ต่อเนื่องกัน แต่ละเหตุการณ์มีอยู่ n_i เหตุการณ์ วิธีการนับจุด
ตัวอย่างจะทำได้โดยการบวก (Additive) จะได้ n_(1 )+ n_(2 )+. . . n_k เหตุการณ์

3.ในการโยนเหรียญปกติ 3 เหรียญ 1 ครั้งให้ A เป็นเหตุการณ์ที่ขึ้นหัวอย่างน้อย 2 เหรียญ เห็นเหตุการณ์ที่ขึ้นก้อย 2
เหรียญ
ดังนั้น A = {(H,H,T),(H,T,H),(H,H,H),(T,H,H)}

B = {(T,H,T),(H,T,T),(T,T,H)}

∩A U B = {(H,H,T),(H,T,H),(H,H,H),(T,H,H),(T,H,T),(H,T,T),(T,T,H)}

A B=Ø
การนับจำนวนจุดตัวอย่าง
การนับจำนวนจุดตัวอย่าง คือ การนับจำนวนสมาชิกทั้งหมดในปริภูมิตัวอย่าง หรือเหตุการณ์ที่สนใจ โดยการนับจำนวนจุด
ตัวอย่างนั้น มีกรณีที่เกิดขึ้นดังนี้
กรณีที่ 1 เหตุการณ์ใดๆ K เหตุการณ์ ซึ่งประกอบไปด้วยเหตุการณ์ย่อยหลายเหตุการณ์เป็นเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นพร้อมกัน
หรือต่อเนื่องกันก็ได้ แต่ละเหตุการณ์มีอยู่ n_i เหตุการณ์ วิธีการนับจุดตัวอย่างจะทำได้โดยการคูณ (Multiplicative) จะได้
n_(1 ). n_(2 ). . . . n_k เหตุการณ์

แบบฝึกหัด

1.ในลิ้นชักมีถุงเท้าอยู่4คู่เป็นถุงเท้าสีดำ2คู่และสีขาว2คู่ ถ้าทำการทดลองสุ่มโดย
หยิบถุงเท้ามา2คู่ ให้หาความน่าจะเป็นที่จะได้ถุงเท้าทั้งสองคู่เป็นสีเดียวกัน
เฉลย มีถุงเท้าสีดำ2คู่ ให้เป็น ด1,ด2
มีถุงเท้าสีขาว2คู่ ให้เป็น ข1,ข2
S={(ด1ด2),(ด1ข1),(ด1ข2),(ด2ข1),(ด2ข2),(ข1ข2),}
n(S)=6
n(E)=2 นั้นก็คือ{(ด1ด2),(ข1ข2)}
เพราะฉะนั้น ความน่าจะเป็นที่จะได้ถุงเท้าทั้งสองคู่เป็นสีเดียวกันเท่ากับ2/6หรือ1/3

2.ในการจัดงานของบริษัทแห่งหนึ่ง ได้แจบัตรแก่ผู้ร่วมงาน 100 ใบซึ่งมีเลขตั้งแต่ 00 ถึง 99 กำกับ
อยู่ สุ่มหยิบต้นขั้วของบัตรขึ้นมา 1 ใบ เพื่อมอบรางวัลแก่ผู้เข้าชมงาน ผู้ที่มีบัตรซึ่งมีหมายเลขที่
ตรงกับต้นขั้วจะได้รับรางวัลที่ 1 ส่วนผู้ที่มีหมายเลขซึ่งมีหลักหน่วยตรงกันกับต้นขั้วหรือหลัก
สิบตรงกับต้นขั้วเพียงหลักเดียวจะได้รับรางวัลที่ 2 ถ้าสมชายได้รับแจกบัตรมา 1 ใบความน่าจะ
เป็นที่สมชายจะได้รับรางวัลคือข้อใดต่อไปนี้

เฉลย ให้ E แทนเหตุการณ์ที่สมชายจะได้รับรางวัล ดังนั้นเราจะได้ n(E) = 19 ทั้งนี้วิธีที่จะได้รางวัลที่
หนึ่งมี 1 วิธี วิธีที่หลักสิบตรงกับต้นขั้วมี 9 วิธี และวิธีที่หลักหน่วยตรงกับต้นขั้วมี 9 วิธี
ดังนั้นเราจะได้ P(E) = n(E)/n(s) = 19/100

ผลการสอบวิชาคณิตศาสตร์และวิชาเคมีของนักเรียนกลุ่มหนึ่ง ปรากฏว่า 1/3 ของนักเรียนทั้งหมดผ่าน
คณิตศาสตร์ และ 8/15 ของนักเรียนทั้งหมดผ่านวิชาเคมี ถ้าความน่าจะเป็นของนักเรียนคนหนึ่งในกลุ่มนี้ที่จะ
สอบผ่านอย่างมากหนึ่งวิชาเป็น 4/5 แล้ว ความน่าจะเป็นที่เขาจะสอบผ่านอย่างน้อยหนึ่งวิชา เท่ากับข้อใดต่อ
ไปนี้
ให้ M แทนเหตุการณ์ที่นักเรียนสอบวิชาคณิตศาสตร์ผ่าน และ C แทนเหตุการณ์ที่นักเรียนสอบวิชาเคมีผ่าน

เฉลย จากโจทย์จะได้

∩P(M) = 1/3, P(C) = 8/15, P[(M C)’ ] = 4/5
∩ ∩จากเงื่อนไขที่ 3 เราจะได้

P(M C) = 1 – [(M C)’ ] = 1 – 4/5 = 1/5

∩ดังนั้นเราจะได้ความน่าจะเป็นที่นักเรียนคนนี้จะสอบผ่านอย่างน้อยหนึ่งวิชาคือ

P(M U C) = P(M) + P(C) – P(M C) = 1/3 + 8/15 -1/5 = 10/15 = 2/3