แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง ระบบสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว

1

แบบฝึ กทกั ษะคณติ ศาสตร์
เร่ือง การแก้ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร

ช้ันมัธยมศึกษาปี ที่ 3

ช่ือ..........................................ช้นั ...............เลขที่..........

สอนโดย
นางอุมาพร พมิ พ์ภักดี
ครูชานาญการพเิ ศษ

โรงเรียนบ้านไผ่ อาเภอบ้านไผ่ จังหวัดขอนแก่น
สานักงานเขตพื้นที่การศึกษามธั ยมศึกษาเขต 25

2

คานา

แบบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์ เร่ือง การแกร้ ะบบสมการเชิงเส้นสองตวั แปร สาหรับนักเรียน
ช้นั มธั ยมศกึ ษาปี ที่ 3 ตามหลกั สูตรแกนกลางการศกึ ษาข้นั พ้ืนฐานพุทธศกั ราช 2551 กลมุ่ สาระการ
เรียนรู้คณิตศาสตร์ ใชป้ ระกอบการจดั กิจกรรมการเรียนรู้โดยใช้ควบคู่ กบั แผนการจดั การเรียนรู้ให้
ผูเ้ รียนไดศ้ ึกษาทาความเขา้ ใจ และฝึ กฝนจนเกิดทกั ษะการเรียนรู้เกี่ยวกับการแกร้ ะบบสมการเชิง
เส้นสองตวั แปรมากยงิ่ ข้นึ แบบฝึ กทกั ษะคณิตศาสตร์ เรื่อง การแกร้ ะบบสมการเชิงเส้นสองตวั แปร
มที ้งั หมด 3 แบบฝึกทกั ษะไดแ้ ก่

แบบฝึกทกั ษะที่ 1 เรื่อง การแกร้ ะบบสมการเชิงเสน้ สองตวั แปรโดยการใชก้ ราฟ
แบบฝึกทกั ษะที่ 2 เร่ือง การแกร้ ะบบสมการเชิงเสน้ สองตวั แปรโดยการแทนค่า
แบบฝึกทกั ษะท่ี 3 เรื่อง การแกร้ ะบบสมการเชิงเสน้ สองตวั แปรโดยการกาจดั ตวั แปร
แบบทกั ษะน้ีไดน้ าเสนอเน้ือหาสาระตามมาจรฐานที่กาหนดไวใ้ นหลกั สูตรโดยมุ่งหวงั จะ
เป็นแรงกระตุน้ ให้ผเู้ รียนประสบผลสาเร็จในการเรียนรู้ และมีผลสมั ฤทธ์ิทางการเรียนสูงข้นึ
ผูจ้ ัดทาหวงั เป็ นอย่างย่ิงว่า แบบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์ เรื่อง การแกร้ ะบบสมการเชิงเส้น
สองตวั แปร จะเป็นเครื่องมือที่ใชพ้ ฒั นาผเู้ รียนให้มผี ลการเรียนทีก่ า้ วหนา้ ยงิ่ ๆข้ึนไป

นางอมุ าพร พมิ พภ์ กั ดี
ครูชานาญการพิเศษ

3

จดุ ประสงคก์ ารเรียนรู้
เรื่อง การแกร้ ะบบสมการเชิงเส้นสองตวั แปร

แบบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์ ที่ 1
เรื่อง การแกร้ ะบบสมการเชิงเสน้ สองตวั แปรโดยการใชก้ ราฟ
นกั เรียนสามารถหาคาตอบของระบบสมการเชิงเสน้ สองตวั แปรโดยการใชก้ ราฟไดอ้ ยา่ งถกู ตอ้ ง

แบบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์ ที่ 2
เร่ือง การแกร้ ะบบสมการเชิงเสน้ สองตวั แปรโดยการแทนค่า
นกั เรียนสามารถหาคาตอบของระบบสมการเชิงเส้นสองตวั แปรโดยการแทนคา่ ไดอ้ ยา่ งถกู ตอ้ ง

แบบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์ ท่ี 3
เรื่อง การแกร้ ะบบสมการเชิงเสน้ สองตวั แปรโดยการกาจดั ตวั แปร
นกั เรียนสามารถหาคาตอบของระบบสมการเชิงเสน้ สองตวั แปรโดยการกาจดั ตวั แปรไดอ้ ยา่ งถูกตอ้ ง

4

คาชี้แจงการใช้แบบฝึ กทกั ษะคณติ ศาสตร์

แบบฝึ กทกั ษะคณิตศาสตร์ เรื่อง การแก้ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร
ช้ันมัธยมศึกษาปี ท่ี 3

ประกอบดว้ ย
1. คาช้ีแจงสาหรบั นกั เรียน
2. ใบความรู้

2.1 ใบความรู้ที่ 1 เรื่อง การแกร้ ะบบสมการเชิงเส้นสองตวั แปรโดยการใชก้ ราฟ
2.2 ใบความรู้ที่ 2 เร่ือง การแกร้ ะบบสมการเชิงเส้นสองตวั แปรโดยการแทนค่า
2.3 ใบความรู้ที่3 เรื่อง การแกร้ ะบบสมการเชิงเส้นสองตวั แปรโดยการกาจดั ตวั แปร
3. แบบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์
3.1 แบบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์ ที่ 1เร่ือง การแกร้ ะบบสมการเชิงเส้นสองตวั แปรโดยการใชก้ ราฟ
3.2 แบบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์ ที่ 2 เรื่อง การแกร้ ะบบสมการเชิงเสน้ สองตวั แปรโดยการแทนค่า
3.3 แบบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์ ที่ 3 เร่ือง การแกร้ ะบบสมการเชิงเส้นสองตวั แปรโดยการกาจดั ตวั แปร
4. เฉลยแบบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์

5

คาแนะนาการใชส้ าหรับนกั เรียน

1. กอ่ นทาแบบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์ นกั เรียนควรอ่านใบความรู้ใหเ้ ขา้ ใจอยา่ งดีกอ่ นลงมอื ทา
แบบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์ในแตล่ ะชุด

2. การทาแบบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์แต่ละชุด จะมกี ารเฉลยคาตอบในภาคผนวก นกั เรียนอยา่
ดคู าตอบกอ่ นตอบคาถาม เพราะจะไม่ช่วยใหน้ กั เรียนเกิดการฝึกฝนและเรียนรู้ในเน้ือหา

3. ถา้ มีขอ้ สงสัยใดๆ ใหส้ อบถามจากเพือ่ นที่รู้ หรือปรึกษาหารือในกลุม่ ถา้ ยงั ไมไ่ ดร้ บั
คาตอบเป็นท่ีพอใจให้ปรึกษาครูผูส้ อน

4. เมื่อศกึ ษาใบความรู้และทาแบบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์ครบแลว้ ให้นกั เรียนทาแบบทดสอบ
โดยการไมเ่ ปิ ดดูเน้ือหาที่ผา่ นมาขณะทาแบบทดสอบ

5. การทาแบบทดสอบวดั ผลสมั ฤทธ์ิ ตดั สินการผ่านโดยนกั เรียนตอ้ งไดค้ ะแนนร้อยละ 70
ของคะแนนเต็ม

6

การแก้ระบบสมการเชิงเส้นสองตวั แปรโดยการใช้กราฟ

จุดประสงค์การเรียนรู้
นกั เรียนสามารถหาคาตอบของระบบสมการเชิงเสน้ สองตวั แปร

โดยการเขยี นกราฟได้

7

ใบความรู้ท่ี 1

การแกร้ ะบบสมการเชิงเสน้ สองตวั แปรโดยใชก้ ราฟ

การหาคาตอบของระบบสมการโดยใชก้ ราฟ ให้เขียนกราฟของสมการท้งั สองในระบบ
พกิ ดั ฉากเดียวกนั คาตอบขอ้ ระบบสมการคอื พกิ ดั ของจดุ ตดั ทเี่ กิดจากกราฟของสมการท้งั สอง

ตัวอย่างท่ี 1 จงหาคาตอบของระบบสมการทก่ี าหนดให้ต่อไปน้ีโดยใชก้ ราฟ

x + y = 8 ---------------- ( 1 )

x − y = 2 ---------------- ( 2 )

กาหนดค่า x = 0, y = 0 และคา่ x อีก 1 ค่า ในแตล่ ะสมการดงั น้ี

วธิ ีทา ข้นั ที่1 สมการ x + y = 8 สมการ x − y = 2

y = 8 − x หรือ หรือ y = x − 2

x0 1 x0 3

y0 y0

หาค่า x หรือ y เติมในช่องวา่ งให้สอดคลอ้ งกบั สมการ

y =8− x y= x−2

x081 x023
y807 y -2 0 1

8

ข้นั ที่ 2นาคู่อนั ดบั (x, y) ไปลงจดุ ในระบบพกิ ดั ฉาก

Y

8 (0,8)
(1,7)

6

4

A(5,3)

2

-4 -2 (3,1) 6 (8,0) X
(2,02) 4 8

-2 (0,-2)

ลากเส้นตรงผา่ นจุดเหล่าน้นั กราฟเส้นตรงท้งั สองสน้ ตดั กนั ท่จี ดุ A(5,3)

ดงั น้นั คาตอบของระบบสมการคือ (5,3) ตอบ

9

ตัวอย่างที่ 2 จงหาคาตอบของระบบสมการท่กี าหนดให้ตอ่ ไปน้ีโดยใชก้ ราฟ
2x + y = 3 ---------------- ( 1 )
4x + 2y = 6 ---------------- ( 2 )

วธิ ที า คอู่ นั ดบั (x, y) ที่สอดคลอ้ งกบั สมการ 2x + y = 3 หรือ y = 3 − 2x ไดแ้ ก่

x 0 1 1.5
y310

และคอู่ นั ดบั ทีส่ อดคลอ้ งกบั สมการ 4x + 2y = 6 หรือ y = 6 − 4x ไดแ้ ก่

2

x 0 1 1.5
y310

เขียนคอู่ นั ดบั ในระบบพิกดั ฉากเดียวกนั และลากเสน้ ตรงผ่านจุดเหลา่ น้นั ไดด้ งั น้ี

Y

8

6

4
(0,3)

2 (1,1)

-4 -2 (1.5,0) 6 8X
24

-2 (1),(2)

จากสมการ ( 2 นา )2 หารตลอด จะได้ 2x + y = 3 เป็นสมการเดียวกนั กบั สมการ (1 )

ทาให้ไดก้ ราฟ 2 เสน้ ทบั กนั สนิท

ดงั น้นั คาตอของระบบสมการน้ีมมี ากมายหลายคาตอบ

อยู่ในรูปคู่อนั ดบั (x, y) คอื (x,3 − 2x) ตอบ

10

ตัวอย่างที่ 3 จงหาคาตอบของระบบสมการทีก่ าหนดให้ต่อไปน้ีโดยใชก้ ราฟ
x − 3y = 6 ---------------- ( 1 )
x − 3y = 9 ---------------- ( 2 )

วิธที า คอู่ นั ดบั (x, y) ทีส่ อดคลอ้ งกบั สมการ x − 3y = 6 หรือ y = x − 6 ไดแ้ ก่

3

x036
y -2 -1 0

และคอู่ นั ดบั ทส่ี อดคลอ้ งกบั สมการ x − 3y = 9 หรือ y = x − 9 ไดแ้ ก่

3

x039
y -3 -2 0
เขยี นคูอ่ นั ดบั ในระบบพิกดั ฉากเดียวกนั และลากเส้นตรงผา่ นจุดเหล่าน้นั ไดด้ งั น้ี

Y

8

6

4

2

-2 2 4 (6,0) 8 (9,0) X
6

-2 (0,-2) (3,-1)
(3,-2)

(0,-3)

ไดก้ ราฟเสน้ ตรง 2 เสน้ ขนานกนั ตอบ
ดงั น้นั ระบบสมการน้ีไม่มคี าตอบ

11

แบบฝึกทกั ษะที่ 1
เรื่อง การแกร้ ะบบสมการเชิงเส้นสองตวั แปรโดยใชก้ ราฟ

จงหาคาตอบของระบบสมการทีก่ าหนดใหใ้ นแต่ละขอ้ ตอ่ ไปน้ีโดยใชก้ ราฟ
1. x + y = 6

x − y = −4

……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………

Y

x

12

2. x + y = 5

x−y=5

……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………

Y

x

13

3. x − y = −5

x−y=5

……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………

Y

x

14

4. y = −x

x−y=6

……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………

Y

x

15

5. x + y = 1

x−y=5

……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………

Y

x

16

การแกร้ ะบบสมการเชิงเส้นสองตวั แปรโดยการแทนคา่

จดุ ประสงค์การเรียนรู้
นกั เรียนสามารถหาคาตอบของระบบสมการเชิงเสน้ สองตวั แปร

โดยการแทนคา่ ได้

17

ใบความรูท้ ี่ 2
เร่ือง การแกร้ ะบบสมการเชิงเส้นสองตวั แปรโดยการแทนค่า

วิธีการ

1. เขยี นตวั แปรหน่ึงในรูปของตวั แปรอกี ตวั หน่ึง เช่น เขียน x ในรูปของ y หรือเขียน y ใน
รูปของ x สมการใดสมการหน่ึงตามสะดวก

2. ถา้ เขยี นตวั แปรหน่ึงในรูปของตวั แปรอีกตวั แปรหน่ึงจากสมการ 1 ใหน้ าผลท่ไี ดไ้ ปแทนที่
ตวั แปรน้นั ในสมการท่ี 2 แต่ถา้ เขียนตวั แปรหน่ึงในรูปของตวั แปรอกี ตวั แปรหน่ึงจาก
สมการ 2 ใหน้ าผลทไ่ี ดไ้ ปแทนค่าในสมการ 1

3. แกส้ มการในขอ้ 2 จะไดค้ า่ ตวั แปรของตวั ท่ีหน่ึง
4. นาค่าตวั แปรของตวั ทหี่ น่ึงท่หี าไดไ้ ปแทนคา่ สมการในขอ้ 1 จะไดค้ ่าของตวั แปรตวั ทีส่ อง

นน่ั คือค่าของตวั แปรท้งั สองเป็นคาตอบของระบบสมการ
ตัวอย่างที่ 1จงแกร้ ะบบสมการต่อไปน้ี x + y = 5

x−y =3

วธิ ที า โดยการแทนคา่ x + y = 5 -------------(1)

x − y = 3 -------------(2)

จาก )1) จะได้ y = 5 − x -------------(3)

แทนค่า y = 5 − x ใน )2)

จะได้ x − (5 − x) = 3

x−5+ x = 3

2x −5 = 3

2x = 8

x=4

แทนคา่ x = 4 ใน (3) จะได้ y = 5 − 4

y =1

ตรวจคาตอบ แทนคา่ x = 4 และ y = 1 ใน )1( จะได้ 4 +1 = 5 ซ่ึงเป็ นจริง
แทนคา่ x = 4 และ y = 1 ใน )2( จะได้ 4 -1 = 3 ซ่ึงเป็ นจริง

ดงั น้นั คาตอบของระบบสมการ คือ )4,1)

18

ตัวอย่างที่ 2จงแกร้ ะบบสมการตอ่ ไปน้ี 3x − y = 17

วธิ ที า โดยการแทนคา่ x+2y = 8
3x − y = 17 -------------(1)

x + 2 y = 8 -------------(2)

จากสมการ (1) 3x − y = 17

เขยี น y ในรูปของ x จะได้ − y = 17 − 3x

หรือ y = 3x −17 -------------(3)

นาค่า y ท่ไี ดจ้ ากสมการแทนคา่ ในสมการ )2) x + 2y = 8

จะได้ x + 2(3x −17) = 8

สมการน้ีเป็นสมการตวั แปรเดียว แกส้ มการน้ีจะหาคา่ x ได้

7x = 42 x + 6x − 34 = 8 ระบบสมการเชิงเสน้ สองตวั
x + 6x = 8 + 34 แปรประกอบดว้ ยสอง
แทนค่า x ดว้ ย 6 ในสมการ )3) สมการ การตรวจคาตอบ
จะได้ x=6 ตอ้ งตรวจท้งั สองสมการ
y = 3x −17
y = 3(6) −17

y = 18 −17
y =1

ตรวจสอบคาตอบ นะครบั

โดยการแทนคา่ x = 6 และ y = 1 ในสมการ )1( และ )2)

พิจารณา 3x − y = 17 พิจารณา x + 2y = 8

แทนคา่ x = 6 และ y = 1 แทนคา่ x = 6 และ y = 1

จะไดส้ มการ 3(6) −1 = 17 จะไดส้ มการ 6 + 2(1) = 8

ซ่ึงเป็ นจริ ง ซ่ึงเป็ นจริ ง

ดงั น้นั คาตอบของระบบสมการ คอื )6,1)

19

ตวั อยา่ งท่ี 3จงแกร้ ะบบสมการตอ่ ไปนี้ 2x − y = −4

วธิ ที า โดยการแทนคา่ 4x = 7 + 2y -------------(1)
2x − y = −4 -------------(2)

4x = 7 + 2y -------------(3)

จากสมการ (1) เขยี น y ในรูปของ x จะได้

y = 2x + 4

นาค่า y ท่ีไดจ้ ากสมการ (3) แทนคา่ ในสมการ (2)

4x = 7 + 2y

จะได้ 4x = 7 + 2(2x + 4)

4x = 7 + 4x +8

4x − 4x = 7 +8

0 = 15

เป็นสมการทเ่ี ป็นเท็จ แสดงว่าไม่สามารถหาคา่ x และค่า y ที่ทาใหส้ มการทงั้ สองสมการในระบบสมการเป็น
จรงิ ไดด้ งั นนั้ ระบบสมการไมม่ ีคาตอบ

คาตอบของระบบสมการเชงิ เสน้ สองตวั แปร อาจมคี าตอบดงั นคี้ ่ะ
มคี าตอบเดียว
มีหลายคาตอบ
ไมม่ ีคาตอบของสมการเลย

ไมม่ คี าตอบเลยกไ็ ด้

20

แบบฝึกทกั ษะที่ 2
เร่ือง การแกร้ ะบบสมการเชิงเสน้ สองตวั แปรโดยการแทนคา่

จงแกร้ ะบบสมการในแต่ละขอ้ โดยการตอ่ ป้ี โดยการแทนค่า พร้อมตรวจคาตอบ
1) x + y = 5

x− y =5

………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………

21

2) 2x + y = 5

x − y = 10

………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………....

22

3) x + y = 5

x − 2y =8

………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………

23

4) x + y = 4

2x + 2y = 8

………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………

24

5) 2x − y = 3

4x − 2y = 8

………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………

25

การแก้ระบบสมการเชิงเส้นสองตวั แปรโดยการกาจดั ตัวแปร

จดุ ประสงค์การเรียนรู้
นกั เรียนสามารถหาคาตอบของระบบสมการเชิงเสน้ สองตวั แปร

โดยการกาจดั ตวั แปรได้

26

ใบความรู้ท่ี 2
การแกร้ ะบบสมการเชิงเสน้ สองตวั แปรโดยการกาจดั ตวั แปร

การแกส้ มการโดยการกาจดั ตวั แปรทาไดโ้ ดยใช้สมบตั ิการคูณ เพอ่ื ทาใหส้ มั ประสิทธ์ิตวั แปรตวั หน่ึงเป็น
จานวนตรงขา้ มกนั แลว้ ใชส้ มบตั ิการบวกเพื่อทาใหไ้ ดส้ มการเชิงเส้นตวั แปรเดียว

➢ สมบตั ิการบวก
ถา้ a , b , c และ d เป็นจานวนจริงใดๆโดย a=b และ c= d แลว้ a+c =b+d

➢ สมบตั กิ ารคณู
ถา้ a , b และ c เป็นจานวนจริงใดๆ และ a = b แลว้ ac = bc
กาหนดระบบสมการเชิงเส้นสองตวั แปร
ax + by = c -------------(1)
dx + ey = f -------------(2)

วธิ ีแกส้ มการโดยการกาจดั ตวั แปร มีวธิ ีทาดงั น้ี
1. ทาสมั ประสิทธ์ิของตวั แปรทต่ี อ้ งการกาจดั ให้เป็นจานวนตรงขา้ มกนั โดยใชส้ มบตั ิการคณู
2. ใชส้ มบตั กิ ารบวกกาจดั ตวั แปรทม่ี ีสัมประสิทธ์ิตรงขา้ มกนั ในขอ้ 1.เม่อื กาจดั ตวั แปรตวั หน่ึงออกแลว้
สมการที่ไดจ้ ะเป็นสมการเชิงเสน้ ทมี่ ีตวั แปรเดียว
3. หาคาตอบของสมการเชิงเส้นตวั แปรเดียวในขอ้ 2. จะเป็นคา่ ของตวั แปรตวั หน่ึง
4. หาค่าของตวั แปรอกี ตวั หน่ึง โดยนาคา่ ของตวั แปรในขอ้ 2. แทนคา่ ในสมการ )1( หรือ สมการ )2(

27

ตวั อย่างที่ 1จงแกร้ ะบบสมการต่อไปน้ี 2x − 3y = 7

3x + 2y = 4 พจิ ารณาสมการ )3(และ
สมการ )4( จะเหน็ วา่ เราใช้
วธิ ที า โดยการกาจดั ตวั แปร สมบตั กิ ารคูณทา
สมั ประสิทธ์ิของตวั แปร y
2x − 3y = 7 -------------(1) ใหเ้ ป็นจานวนตรงขา้ ม
สงั เกตดว้ ยนะคะวา่ 6 เป็น
3x + 2y = 4 -------------(2) ค.ร.น. ของ 2 แล 3 ซ่ึงเป็นคา่
สมั บูรณข์ องสัมประสิทธ์ิ
เลือกกาจดั ตวั แปร y ตอ้ งทาสัมประสิทธ์ิของตวั แปร y ให้เป็น ของ y ในสมการ)3( และ
สมการ)4(
จานวนตรงขา้ ม โดยใชส้ มบตั กิ ารคณู ดงั น้ี

)1( x 2 ; 4x − 6y = 14 -------------(3)

)2( x 3 ; 9x + 6y =12 -------------(4(

ใชส้ มบตั กิ ารบวก

)3( + (4) ; (4x − 6 y) + (9x + 6 y) = 14 + 12

13x = 26

x = 26
13

x=2 2x −3y = 7

แทนค่า x ดว้ ย 2 ในสมการ )1(

จะได้ 2(2) − 3y = 7

4−3y = 7

−3y = 7−4

− 3y = 3
y= 3

−3
y = −1

ตรวจสอบคาตอบ

โดยการแทนค่า x = 2 และ y = −1 ในสมการ )1( และ )2)

พจิ ารณา 2x − 3y = 7 พิจารณา 3x + 2y = 4

แทนคา่ x = 2 และ y = −1 แทนคา่ x = 2 และ y = −1

จะไดส้ มการ 2(2) − 3(−1) = 7 จะไดส้ มการ 3(2) + 2(−1) = 4

ซ่ึงเป็ นจริ ง ซ่ึงเป็ นจริ ง

ดงั น้นั คาตอบของระบบสมการคือ )2,-1)

28

ตวั อย่างที่ 2จงแกร้ ะบบสมการตอ่ ไปน้ี 3 x − 3 y = 15

24 4

วิธีทา โดยการกาจดั ตวั แปร 4 x− 5 y =3
33

3 x − 3 y = 15 -------------(1)
24 4

4 x− 5 y =3 -------------(2(
33

เพ่อื ทาใหส้ ัมประสิทธ์ิของ x และ y เป็นจานวนเตม็

จึงนา ค.ร.น. ของ 2 , 4 คอื 4 คูณท้งั สองขา้ งสมการ )1) และ นา 3 คณู ท้งั สองขา้ งของสมการ )2(

x 4 ; 6x − 3y = 15 -------------(3)

x 3 ; 4x − 5y = 9 -------------(4)

เลอื กกาจดั ตวั แปร y ตอ้ งทาสมั ประสิทธ์ิของตวั แปร y ให้เป็นจานวนตรงขา้ ม

โดยใชส้ มบตั กิ ารคณู ดงั น้ี

x 5; 30 x −15 y = 75 -------------(5)

x (-3) ; −12x +15 y = −27 -------------(6)

(1) + (6) ; 18x = 48 ตรวจสอบคาตอบ

8 x = 48 โดยการแทนคา่ x = 8 y=1 ในสมการ )1( และ
18 3
3 และ
x=8
3 )2)

แทนค่า x ดว้ ย 3 ในสมการ (3) พจิ ารณา 3 x − 3 y = 15 -------------)1(
2 4 4
6x − 3y = 15
6 8  − 3y = 15 แทนค่า x = 8 และ y=1
3 3 3

16 − 3y = 15 จะไดส้ มการ 3  8  − 3  1  = 15 เป็นจริง
− 3y = 15 −16
− 3y = −1 23 43 4
y = −1
−3 พิจารณา 3 x − 3 y = 15 ------------(2(
y=1 2 4 4
3
แทนค่า x = 8 และ y=1
ดงั น้นั คาตอบของระบบสมการคือ  8 , 1  3 3

3 3 จะไดส้ มการ 4  8  − 5  1  = 3 เป็นจริง

33 33

29

ตัวอย่างท่ี 3จงแกร้ ะบบสมการต่อไปน้ี 0.2x + 0.3y = 0.5

0.7x + 0.4 y = −0.2

วิธที า โดยการกาจดั ตวั แปร

0.2x + 0.3y = 0.5 -------------(1)

0.7x + 0.4 y = −0.2 -------------(2)

เพื่อทาใหส้ ัมประสทิ ธิข์ อง x และ y ซ่งึ เป็นทศนิยมหน่ึงตาแหนง่ เป็นจานวนเตม็ จงึ นา 10 คณู กบั สมการ(1) และ สมการ

(2)

x 10 ; 2x + 3y = 5 -------------(3)

x 10 ; 7x + 4 y = −2 -------------(4)

ในระบบสมการนจี้ ะกาจดั ตวั แปร x ตอ้ งทาสมั ประสทิ ธิ์ของตวั แปรx ใหเ้ ป็นจานวนตรงขา้ ม

x 7; 14 x + 21y = 35 -------------(5)

x (-2); −14 x − 8 y = 4 -------------(6)

+ (6) ; 13 y = 39

y = 39 หรือ y = 3
13

แทนค่า y ดว้ ย 3 ในสมการ (3)

2x + 3y = 5

จะได้ 2x + 3(3) = 5

2x + 9 = 5 หรอื x = −2
2x = 5−9
2x = −4
x= −4

2

ตรวจสอบคาตอบโดยการแทนค่า x = −2 และ y = 3 ในสมการ )1( และ )2)

พจิ ารณา 0.2x + 0.3y = 0.5 พิจารณา 0.7x + 0.4 y = −0.2

แทนค่า x = −2 และ y = 3 แทนคา่ x = −2 และ y = 3

จะได้ 0.2(−2) + 0.3(3) = 0.5 จะได้ 0.7(−2) + 0.4(3) = −0.2

ซ่ึงเป็ นจริ ง ซ่ึงเป็ นจริ ง

ดงั น้นั คาตอบของระบบสมการคอื )-2,-3)

30

ตัวอย่างท่ี 4 จงแกร้ ะบบสมการตอ่ ไปน้ี 2x + 3y = 6
6x + 9 y = 18

วธิ ีทา โดยการกาจดั ตวั แปร
2x + 3y = 6 -------------(1)
6x + 9y = 18 -------------(2)

พิจารณาสมการ )1( จะพบว่า เมื่อนา 3 ไปคูณท้งั สองขา้ งของสมการ )1(
จะไดผ้ ลลพั ธ์เป็นสมการ )2( แสดงวา่ เส้นตรงสองเสน้ น้ีเป็นเส้นตรงเดียวกนั
ดงั น้นั ระบบสมการน้ีมีคาตอบมากมายไมจ่ ากดั ไดแ้ ก่ จดุ ทุกจดุ บนเส้นตรง 2x + 3y = 6

2x + 3y = 6 จะได้ 3y = 6 − 2x หรือ y = 6 − 2x กลา่ วไดว้ า่

3

ระบบสมการน้ีมคี าตอบมากมายไม่จากดั ในรูป  x, 6 − 2x 

 3

31

แบบฝึ กทักษะท่ี 3
เรื่อง การแกร้ ะบบสมการเชงิ เส้นสองตวั แปรโดยการกาจัดตัวแปร

จงแกร้ ะบบสมการในแต่ละขอ้ ต่อไปนโี้ ดยการกาจดั ตวั แปร พรอ้ มตรวจคาตอบ
1.) 4x + 6 y = 5

x −3y = 2

………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………….......................

32

2.( 9x + 8y = 9

3x + 4y = 2

…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………

33

3.( 6x + 3 y = 19
73

3x + 3 y = 4
73

…………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………

34

4.( 7x − 3y = −9

14 x − 6 y = 10

…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………

35

5) 0.2x + 0.3y = 0.1

0.8x +1.2 y = 0.4

…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………