Karakteristik Fungsi Kuadrat

BAHAN AJAR

KARAKTERISTIK FUNGSI KUADRAT

CAPAIAN PEMBELAJARAN
Di akhir fase E, peserta didik dapat menyelesaikan masalah yang
berkaitan dengan sistem persamaan linear tiga variable dan sistem
pertidaksamaan linear dua variable. Mereka dapat menyelesaikan
masalah yang berkaitan dengan persamaan dan fungsi kuadrat
(termasuk akar imajiner), dan persamaan eksponensial (berbasis
sama) dan fungsi eksponen

TUJUAN PEMBELAJARAN
• Peserta didik dapat mengidentifikasi karakteristik fungsi
kuadrat
• Perserta didik dapat menyelesaikan permasalahan kontekstual
yang berkaitan dengan fungsi kuadrat.

© Putu Winda Marhayani Wijaya

AYO MENGAMATI

Pernahkah kamu bermain bola
basket? Saat bermain bola
basket, tentunya kamu akan
berusaha memasukkan bola ke
dalam ring. Tujuannya untuk
memperoleh skor. Ketika
melempar bola ke dalam ring,
gerakan bola akan membentuk
kurva yang menyerupai parabola. Dalam matematika, gerakan tersebut
membentuk fungsi kuadrat. Agar mengetahuinya, cermatihan bahan ajar ini
dengan seksama. Dengan demikian kamu dapat megaplikasikan ilmu yang
diperoleh dalam kehidupan sehari-hari.

AYO MENANYA

Dapatkah kamu menyebutkan benda-benda berbentuk melengkung lainnya?
Bagaimanakah bentuk rumus matematika fungsi kuadrat?

AYO MENGGALI INFORMASI

BENTUK UMUM FUNGSI KUADRAT
Fungsi kuadrat adalah fungsi yang disusun oleh persamaan kuadrat berbentuk
umum :

( ) = 2 + + , a ≠ 0

© Putu Winda Marhayani Wijaya

atau dalam bentuk koordinat kartesius

y = ax² + bx + c

atau dalam bentuk relasi fungsi

f : x → ax² + bx + c

Grafik fungsi kuadrat berbentuk non-linear dalam koordinat kartesius yaitu
berupa parabola. Garis non-linear adalah istilah untuk garis tidak lurus dalam
ilmu matematika. Fungsi kuadrat dalam bahasa inggris disebut
dengan “Quadratic Function“. Konsep fungsi kuadrat menggunakan konsep
yang sama dengan konsep persamaan kuadrat yang dipelajari sebelumnya.

Berikut contoh dan bukan contoh fungsi kuadrat.

Contoh fungsi kuadrat: Bukan fungsi kuadrat:

• f(x) = x2 • f(x) = x
• f(x) = -x2 • y = -2x
• y = x2 – 2x • f(x) = x – 2
• y = -x2 – 7x + 8
• y=x+8

KARAKTERISTIK FUNGSI KUADRAT
Berikut beberapa sifat-sifat grafik fungsi kuadrat berdasarkan bentuk
umumnya.
1. Hubungan nilai a terhadap fungsi kuadrat
Bentuk parabola fungsi kuadrat ditentukan nilai koefisien a dalam bentuk
umum f(x) = ax² + bx + c, yaitu
• a > 0 kurva parabola membuka ke atas (a positif)
• a < 0 kurva parabola membuka ke bawah (a negatif)

© Putu Winda Marhayani Wijaya

Berikut ilustrasinya,

2. Hubungan nilai b terhadap fungsi kuadrat
Nilai b merupakan koefisien x yang menentukan posisi tiik puncak grfaik fungsi
kuadrat dalma koordinat kartesius. Posisi puncak ini disebut juga sebagai
sumbu simetri karena membagi grafik menjadi dua bagian yang simetri.
Sifat grafik fungsi kuadrat f(x) = ax² + bx + c berdasarkan nilai b yaitu

• Jika b = 0, maka titik puncak berada di sumbu y (sumbu simetrinya sama
dengan sumbu y )

• Jika a dan b bertanda sama (positif dan positif atau negative dan
negative), maka titik puncak berada di sebelah kiri sumbu y

• ika a dan b bertanda beda(positif dan negative), maka titik puncak berada
di sebelah kanan sumbu y

Berikut ilustrasinya,

© Putu Winda Marhayani Wijaya

3. Hubungan nilai c terhadap fungsi kuadrat
Titik potong grafik fungsi kuadrat ditentukan oleh nilai konstanta c, pada
bentuk umum fungsi kuadrat ax² + bx + c. Nilai konstanta c merupakan titik
potong sumbu y dari kurva yang dibentuk fungsi kuadrat, yaitu titik (0, c).

• c > 0 kurva parabola memotong sumbu Y positif
• c = 0 kurva parabola memotong sumbu Y di titik pusat
• c < 0 kurva parabola memotong sumbu Y negatif
Berikut ilustrasinya.

4. Hubungan nilai D (Diskriminan) terhadap fungsi kuadrat
Nilai diskriminan fungsi kuadrat f(x) = ax² + bx + c adalah D = b² – 4ac. Nilai
diskriminan suatu fungsi kuadrat dapat digunakan sebagai parameter
karakteristik grafik berdasarkan titik potongnya di sumbu x. Karakteristik grafik
fungsi kuadrat berdasarkan nilai determinannya (D) sebagai berikut.

• D > 0; berarti grafik fungsi kuadrat mempunyai dua akar real berbeda
(grafik memotong sumbu x di dua titik yang berbeda).

• D = 0; berarti grafik fungsi kuadrat mempunyai dua akar real kembar
(grafik memotong sumbu x pada satu titik dan merupakan sebuah titik
puncak).

© Putu Winda Marhayani Wijaya

• D < 0; berarti grafik fungsi kuadrat mempunyai akar imaginer (grafik tidak
memotong sumbu x). Terdapat 2 jenis karakteristik grafik kuadrat saat
nilai D < 0, yaitu:
1. Definit positif saat a > 0 dan D < 0 adalah karakteristik grafik
kuadrat saat posisinya berada di atas sumbu x.
2. Definit negatif saat a < 0 dan D < 0 adalah karakteristik grafik
kuadrat saat posisinya berada di bawah sumbu x.

Berikut ilustrasi grafik fungsi kuadrat berdasarkan nilai diskriminannya.

5. Titik Puncak Grafik Fungsi Kuadrat
Titik puncak grafik parabola dari fungsi kuadrat dapat dihitung dari bentuk
umumnya f(x) = ax² + bx + c. Titik puncak kurva parabola juga disebut titik
ekstrim. Berikut rumus untuk mencari titik puncak grafik fungsi kuadrat, yaitu
hitung titik ekstrim di sumbu x, lalu hitung nilai fungsinya untuk mendapat
titik ekstrim sumbu y.

© Putu Winda Marhayani Wijaya

Contoh Diketahui sebuah fungsi kuadrat f(x) = 3x² + 6x + 2, tentukan titik
puncak dari grafiknya!
Solusi

Sehingga titik puncak grafik tersebut berada pada titik (-1, -1), berikut
ilustrasinya.

F(x) =3x2 + 6x + 2

© Putu Winda Marhayani Wijaya

AYO MENALAR

Selisih Panjang dan lebar tempat pensil yang berbentuk balok adalah 11 cm.
Tinggi tempat pensil tersebut 3 cm. Tentukan fungsi dalam x yang menyatakan
volume tempat pensil! Apakah fungsi tersebut berbentuk fungsi kuadrat?
Jelaskan alasannya!

AYO BERBAGI
Paparkan hasil dari kegiatan menalar yang kamu peroleh kepada teman
sebangku atau sekelasmu.

AYO BERLATIH

Agar lebih memahami materi diatas, cobalah menjawab pertanyaan berikut
1. Sea membuat maket rumah dari papan PVC. Salah satu sisi atap maket
rumah berbentuk trapesium. Selisih antara sisi-sisi sejajar pada sisi atap
maket tersebut 4 cm. Adapun tingginya 6 cm. Tentukanlah fungsi dalam
x yang menyatakan luas dan keliling sisi atap maket tersebut!
Identifikasilah fungsi yang berbentuk fungsi kuadrat
2. Diketahui gerakan air mancur berbentuk fungsi ( ) = − 2 + 4 .
Berapakah jarak tertinggi air mancur tersebut dari permukaan tanah.

© Putu Winda Marhayani Wijaya