ZÀvÀĨsÀÄðdUÀ¼ÀÄ 141
EzÀÄ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðdzÀ E£ÉÆßAzÀÄ UÀÄt®PÀët. EzÀ£ÀÄß F PɼÀPÀAqÀAvÉ ¤gÀƦ¸À§ºÀÄzÀÄ.
¥ÀæªÉÄÃAiÀÄ 8.2 : MAzÀÄ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðdzÀ°è C©üªÀÄÄR ¨ÁºÀÄUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀÄ.
¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðdzÀ MAzÀÄ PÀtðªÀÅ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðdªÀ£ÀÄß JgÀqÀÄ ¸ÀªÀð¸ÀªÀÄ
wæ¨sÀÄdUÀ¼À£ÁßV C¢üð¸ÀÄvÀÛzÉ JAzÀÄ ¤ÃªÀÅ FUÁUÀ¯Éà ¸Á¢ü¹¢ÝÃgÀ. D wæ¨sÀÄdUÀ¼À C£ÀÄgÀÆ¥À ¨sÁUÀUÀ¼ÀÄ
Not to be republished
CAzÀgÉ C£ÀÄgÀÆ¥À¨ÁºÀÄUÀ¼À£ÀÄß PÀÄjvÀAvÉ ¤ÃªÉãÀÄ ºÉüÀÄ«j? CªÀÅUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀĪÁVªÉ.
DzÀÄzÀjAzÀ, AB = DC ªÀÄvÀÄÛ AD = BC
FUÀ F ¥sÀ°vÁA±ÀzÀ «¯ÉÆêÀĪÉãÀÄ? ¥ÀæªÉÄÃAiÀÄzÀ°ègÀĪÀ ºÉýPÉAiÀÄ£ÀÄß CzÀgÀ «¯ÉÆêÀÄzÀ°è
¸Á¢ü¸ÀÄvÉÛÃªÉ ªÀÄvÀÄÛ ¥ÀæªÉÄÃAiÀÄzÀ°è ¸Á¢ü¹gÀĪÀÅzÀÄ CzÀgÀ «¯ÉÆêÀÄzÀ°è ºÉýPÉAiÀiÁVgÀÄvÀÛzÉ JA§ÄzÀÄ
©KTBS
¤ªÀÄUÉ ªÉÆzÀ¯Éà w½¢zÉ. »ÃUÁV ¥ÀæªÉÄÃAiÀÄ 8.2 £ÀÄß F PɼÀPÀAqÀAvÉ ¤gÀƦ¸À§ºÀÄzÀÄ.
MAzÀÄ ZÀvÀĨsÀÄðdªÀÅ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðdªÁzÀgÉ, CzÀgÀ ¥ÀæwAiÉÆAzÀÄ eÉÆvÉ C©üªÀÄÄR
¨ÁºÀÄUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀĪÁVgÀÄvÀÛzÉ, DzÀÄzÀjAzÀ EzÀgÀ «¯ÉÆêÀĪÀÅ:
¥ÀæªÉÄÃAiÀÄ 8.3 : MAzÀÄ ZÀvÀĨsÀÄðdzÀ ¥ÀæwAiÉÆAzÀÄ eÉÆvÉ C©üªÀÄÄR ¨ÁºÀÄUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀĪÁzÀgÉ CzÀÄ
¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðdªÁUÀÄvÀÛzÉ.
KPÉAzÀÄ ¤ÃªÀÅ PÁgÀt ¤ÃqÀÄ«gÁ?
ZÀvÀĨsÀÄðd ABCD AiÀÄ°è AB = CD ªÀÄvÀÄÛ AD = BC DVgÀ° (avÀæ 8.9 UÀªÀĤ¹). PÀtð AC
J¼É¬Äj.
¸ÀàµÀÖªÁV, ∆ ABC ≅ ∆ CDA (KPÉ?)
DzÀÄzÀjAzÀ, ∠ BAC = ∠ DCA
ªÀÄvÀÄÛ ∠ BCA = ∠ DAC (KPÉ?)
ABCD MAzÀÄ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðd JAzÀÄ FUÀ
¤ÃªÀÅ ºÉüÀ§ºÀÄzÉÃ? KPÉ?
¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðdzÀ°è ¥ÀæwAiÉÆAzÀÄ eÉÆvÉ
C©üªÀÄÄR ¨ÁºÀÄUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀÄ ªÀÄvÀÄÛ «¯ÉÆêÀĪÁV ZÀvÀĨsÀÄðdzÀ°è ¥ÀæwAiÉÆAzÀÄ eÉÆvÉ C©üªÀÄÄR
¨ÁºÀÄUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀÄ«zÀÝgÉ CzÀÄ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðd. EzÉà ¥sÀ°vÁA±ÀªÀ£ÀÄß C©üªÀÄÄR PÉÆãÀUÀ¼À
eÉÆÃrUÉ C£Àé¬Ä¸À§ºÀÄzÉÃ? MAzÀÄ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðd gÀa¹. CzÀgÀ PÉÆãÀUÀ¼À£ÀÄß C¼ÀvÉ ªÀiÁr.
¤ÃªÀÅ K£À£ÀÄß UÀªÀĤ¸ÀÄ«j?
¥ÀæwAiÉÆAzÀÄ eÉÆvÉ C©üªÀÄÄRPÉÆãÀUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀÄ.
E£ÀÆß ºÉZÀÄÑ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðdUÀ¼À£ÀÄß vÉUÉzÀÄPÉÆAqÀÄ F ZÀlĪÀnPÉAiÀÄ£ÀÄß ¥ÀÄ£ÁgÁªÀwð¹.
F PɼÀPÀAqÀAvÉ £ÁªÀÅ ¥sÀ°vÁA±À ¥ÀqÉAiÀÄÄvÉÛêÉ.
¥ÀæªÉÄÃAiÀÄ 8.4 : MAzÀÄ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðdzÀ°è, C©üªÀÄÄR PÉÆãÀUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀÄ.
FUÀ EzÀgÀ «¯ÉÆêÀĪÀÇ ¸ÀºÀ ¸ÀjAiÉÄÃ? ºËzÀÄ. MAzÀÄ ZÀvÀĨsÀÄðdzÀ PÉÆãÀUÀ¼À ªÉÆvÀÛzÀ
UÀÄt®PÀët ªÀÄvÀÄÛ MAzÀÄ bÉÃzÀPÀªÀÅ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ gÉÃSÉUÀ¼À£ÀÄß bÉâ¹zÁUÀ §gÀĪÀ ¥sÀ°vÁA±ÀUÀ¼À£ÀÄß §¼À¹
EzÀgÀ «¯ÉÆêÀĪÀÇ ¸ÀºÀ ¸Àj JAzÀÄ £ÁªÀÅ PÁtÄvÉÛêÉ. DzÀÄzÀjAzÀ £ÀªÀÄUÉ F PɼÀPÀAqÀ ¥ÀæªÉÄÃAiÀÄ«zÉ.
142 UÀtÂvÀ
0
¥ÀæªÉÄÃAiÀÄ 8.5 : MAzÀÄ ZÀvÀĨsÀÄðdzÀ°è ¥ÀæwAiÉÆAzÀÄ eÉÆvÉ C©üªÀÄÄR PÉÆ£ÀUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀÄ«zÁÝUÀ CzÀÄ ABCD MAzÀÄ DAiÀÄvÀªÁVzÀÄÝ ∠A= 90 DVgÀ°.
¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðdªÁUÀÄvÀÛzÉ. 0
∠B = ∠C = ∠D = 90 JAzÀÄ £ÁªÀÅ vÉÆÃj¸À¨ÉÃPÀÄ.
¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðdzÀ E£ÀÆß MAzÀÄ UÀÄt®PÀët«zÉ. CzÀ£Éßà £ÁªÀÅ FUÀ CzsÀåAiÀÄ£À ªÀiÁqÉÆÃt.
ABCD ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðd gÀa¹. JgÀqÀÆ PÀtðUÀ¼ÀÄ `O' ©AzÀÄ«£À°è bÉâ¸ÀĪÀAvÉ PÀtðUÀ¼À£ÀÄß AD || BC ªÀÄvÀÄÛ AB AiÀÄÄ bÉÃzÀPÀ (avÀæ 8.12 UÀªÀĤ¹)
0
Not to be republished
J¼É¬Äj (avÀæ 8.10 UÀªÀĤ¹). DzÀÄzÀjAzÀÀ ∠A + ∠B = 180 (bÉÃzÀPÀzÀ MAzÉà ¥Á±ÀéðzÀ°ègÀĪÀ CAvÀgï PÉÆãÀUÀ¼À ªÉÆvÀÛ)
OA, OB, OC ªÀÄvÀÄÛ OD AiÀÄ£ÀÄß C¼ÀvÉ ªÀiÁrj. DzÀgÉ ∠A = 90 0
¤ÃªÀÅ K£À£ÀÄß UÀªÀĤ¸ÀÄ«j? DzÀÄzÀjAzÀÀÀ, ∠B = 180 – ∠A = 180 - 90 = 90 0
0
0
0
OA = OC ªÀÄvÀÄÛ OB = OD DVgÀĪÀÅzÀ£ÀÄß UÀªÀĤ¸ÀÄ«j.
FUÀ ∠C = ∠A ªÀÄvÀÄÛ ∠D =∠B [¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðdzÀ C©üªÀÄÄR PÉÆãÀUÀ¼ÀÄ]
©KTBS
CxÀªÁ JgÀqÀÆ PÀtðUÀ½UÉ 'O' ªÀÄzsÀå©AzÀÄ DVzÉ.
DzÀÄzÀjAzÀ ∠C = 90 ªÀÄvÀÄÛ ∠D = 90 0
0
E£ÀÆß ºÉZÀÄÑ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðdUÀ¼À£ÀÄß vÉUÉzÀÄPÉÆAqÀÄ F ZÀlĪÀnPÉAiÀÄ£ÀÄß ¥ÀÄ£ÀgÁªÀwð¹.
¥ÀæwAiÉÆAzÀÄ ¨ÁjAiÀÄÆ PÀtðUÀ¼À ªÀÄzsÀå©AzÀÄ 'O' DVgÀĪÀÅzÀ£ÀÄß PÁtÄ«j. DzÀÄzÀjAzÀ DAiÀÄvÀzÀ ¥ÀæwPÉÆãÀªÀÅ ®A§PÉÆãÀªÁVzÉ.
DzÀÄzÀjAzÀ £ÀªÀÄUÉ F PɼÀPÀAqÀ ¥ÀæªÉÄÃAiÀÄ«zÉ. GzÁºÀgÀuÉ 2 : ªÀeÁæPÀÈwAiÀÄ PÀtðUÀ¼ÀÄ ¥ÀgÀ¸ÀàgÀ ®A§ªÁVgÀÄvÀÛªÉ JAzÀÄ vÉÆÃj¹.
¥ÀæªÉÄÃAiÀÄ 8.6 : ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðd PÀtðUÀ¼ÀÄ ¥ÀgÀ¸ÀàgÀ
ABCD ªÀeÁæPÀÈwAiÀÄ£ÀÄß ¥ÀjUÀt¹ (avÀæ 8.13 UÀªÀĤ¹).
C¢üð¸ÀÄvÀÛªÉ.
AB = BC = CD = DA JAzÀÄ ¤ªÀÄUÉ w½¢zÉ. (KPÉ?)
MAzÀÄ ZÀvÀĨsÀÄðdzÀ°è PÀtðUÀ¼ÀÄ ¥ÀgÀ¸ÀàgÀ bÉâ¹zÀgÉ
K£ÁUÀĪÀÅzÀÄ? CzÀÄ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðdªÁUÀĪÀÅzÉÃ? FUÀ ∆ AOD ªÀÄvÀÄÛ ∆ COD UÀ¼À°è
ªÁ¸ÀÛªÀªÁV EzÀÄ ¸ÀvÀå.
OA = OC (¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðdzÀ PÀtðUÀ¼ÀÄ ¥ÀgÀ¸ÀàgÀ C¢üð¸ÀÄvÀÛªÉ.)
F ¥sÀ°vÁA±ÀªÀÅ ¥ÀæªÉÄÃAiÀÄ 8.6 gÀ «¯ÉÆêÀÄ. CzÀÄ
OD = OD (¸ÁªÀiÁ£Àå ¨ÁºÀÄ)
PɼÀPÀAqÀAwzÉ.
¥ÀæªÉÄÃAiÀÄ 8.7 : MAzÀÄ ZÀvÀĨsÀÄðdzÀ°è PÀtðUÀ¼ÀÄ ¥ÀgÀ¸ÀàgÀ AD = CD
C¢üð¹zÀgÉ CzÀÄ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðdªÁVgÀÄvÀÛzÉ. DzÀÄzÀjAzÀ ∆ AOD ≅ ∆ COD (¨Á ¨Á ¨Á ¸ÀªÀð¸ÀªÀÄvÉ
F ¥sÀ°vÁA±ÀPÉÌ PɼÀPÀAqÀ PÁgÀtUÀ¼À£ÀÄß ¤ÃªÀÅ ¤AiÀĪÀÄ)
¤ÃqÀ§ºÀÄzÀÄ. ∠AOD = ∠COD (¸À.wæ.C.¨sÁ)
avÀæ 8.11 gÀ°è OA = OC ªÀÄvÀÄÛ OB = OD
0
DzÀgÉ ∠AOD + ∠COD = 180 (¸ÀgÀ¼ÀAiÀÄÄUÀä)
zÀvÀÛªÁVgÀĪÀÅzÀ£ÀÄß UÀªÀĤ¹.
DzÀÄzÀjAzÀ, 2 ∠AOD = 180 0
DzÀÄzÀjAzÀ, ∆ AOB ≅ ∆ COD (KPÉ?)
∠AOD = 90 0
∠ABO = ∠CDO (KPÉ?)
EzÀjAzÀ AB || CD JAzÀÄ DUÀÄvÀÛzÉ. DzÀÄzÀjAzÀ ªÀeÁæPÀÈwAiÀÄ PÀtðUÀ¼ÀÄ ¥ÀgÀ¸ÀàgÀ ®A§ªÁVgÀÄvÀÛªÉÉ.
EzÉà jÃwAiÀiÁV BC || AD GzÁºÀgÀuÉ 3 : MAzÀÄ ¸ÀªÀÄ¢é¨ÁºÀÄ wæ¨sÀÄd ABC AiÀÄ°è AB = AC DVzÉ. ¨ÁºÀåPÉÆãÀ PAC AiÀÄ£ÀÄß
DzÀÄzÀjAzÀ ABCD MAzÀÄ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðd. AD ¢é¨sÁV¸ÀÄvÀÛzÉ ªÀÄvÀÄÛ CD || AB (avÀæ 8.14 UÀªÀĤ¹).
FUÀ PÉ®ªÀÅ GzÁºÀgÀuÉUÀ¼À£ÀÄß vÉUÉzÀÄPÉƼÉÆîÃt. (i) ∠ DAC = ∠ BCA ªÀÄvÀÄÛ (ii) ABCD MAzÀÄ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðd JAzÀÄ vÉÆÃj¹.
GzÁºÀgÀuÉ 1 : DAiÀÄvÀzÀ ¥ÀæwAiÉÆAzÀÄ PÉÆãÀªÀÇ MAzÀÄ ®A§PÉÆãÀ ¥ÀjºÁgÀ : ∆ ABC ¸ÀªÀÄ¢é¨ÁºÀÄ wæ¨sÀÄd.
JAzÀÄ vÉÆÃj¹.
DzÀjAzÀ, AB = AC (zÀvÀÛ)
¥ÀjºÁgÀ : DAiÀÄvÀ JAzÀgÉãÀÄ JA§ÄzÀ£ÀÄß ¸Àäj¹PÉƼÉÆîÃt.
DAiÀÄvÀªÀÅ, MAzÀÄ PÉÆãÀªÀÅ ®A§PÉÆãÀ DVgÀĪÀ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ DzÀÄzÀjAzÀ ∠ ABC = ∠ ACB (¸ÀªÀĨÁºÀÄUÀ½UÉ C©üªÀÄÄRªÁVgÀĪÀ PÉÆãÀUÀ¼ÀÄ)
ZÀvÀĨsÀÄðd.
ZÀvÀĨsÀÄðdUÀ¼ÀÄ 143
0
ABCD MAzÀÄ DAiÀÄvÀªÁVzÀÄÝ ∠A= 90 DVgÀ°.
0
∠B = ∠C = ∠D = 90 JAzÀÄ £ÁªÀÅ vÉÆÃj¸À¨ÉÃPÀÄ.
AD || BC ªÀÄvÀÄÛ AB AiÀÄÄ bÉÃzÀPÀ (avÀæ 8.12 UÀªÀĤ¹)
0
DzÀÄzÀjAzÀÀ ∠A + ∠B = 180 (bÉÃzÀPÀzÀ MAzÉà ¥Á±ÀéðzÀ°ègÀĪÀ CAvÀgï PÉÆãÀUÀ¼À ªÉÆvÀÛ)
Not to be republished
DzÀgÉ ∠A = 90 0
DzÀÄzÀjAzÀÀÀ, ∠B = 180 – ∠A = 180 - 90 = 90 0
0
0
0
FUÀ ∠C = ∠A ªÀÄvÀÄÛ ∠D =∠B [¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðdzÀ C©üªÀÄÄR PÉÆãÀUÀ¼ÀÄ]
©KTBS
DzÀÄzÀjAzÀ ∠C = 90 ªÀÄvÀÄÛ ∠D = 90 0
0
DzÀÄzÀjAzÀ DAiÀÄvÀzÀ ¥ÀæwPÉÆãÀªÀÅ ®A§PÉÆãÀªÁVzÉ.
GzÁºÀgÀuÉ 2 : ªÀeÁæPÀÈwAiÀÄ PÀtðUÀ¼ÀÄ ¥ÀgÀ¸ÀàgÀ ®A§ªÁVgÀÄvÀÛªÉ JAzÀÄ vÉÆÃj¹.
ABCD ªÀeÁæPÀÈwAiÀÄ£ÀÄß ¥ÀjUÀt¹ (avÀæ 8.13 UÀªÀĤ¹).
AB = BC = CD = DA JAzÀÄ ¤ªÀÄUÉ w½¢zÉ. (KPÉ?)
FUÀ ∆ AOD ªÀÄvÀÄÛ ∆ COD UÀ¼À°è
OA = OC (¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðdzÀ PÀtðUÀ¼ÀÄ ¥ÀgÀ¸ÀàgÀ C¢üð¸ÀÄvÀÛªÉ.)
OD = OD (¸ÁªÀiÁ£Àå ¨ÁºÀÄ)
AD = CD
DzÀÄzÀjAzÀ ∆ AOD ≅ ∆ COD (¨Á ¨Á ¨Á ¸ÀªÀð¸ÀªÀÄvÉ
¤AiÀĪÀÄ)
∠AOD = ∠COD (¸À.wæ.C.¨sÁ)
0
DzÀgÉ ∠AOD + ∠COD = 180 (¸ÀgÀ¼ÀAiÀÄÄUÀä)
DzÀÄzÀjAzÀ, 2 ∠AOD = 180 0
∠AOD = 90 0
DzÀÄzÀjAzÀ ªÀeÁæPÀÈwAiÀÄ PÀtðUÀ¼ÀÄ ¥ÀgÀ¸ÀàgÀ ®A§ªÁVgÀÄvÀÛªÉÉ.
GzÁºÀgÀuÉ 3 : MAzÀÄ ¸ÀªÀÄ¢é¨ÁºÀÄ wæ¨sÀÄd ABC AiÀÄ°è AB = AC DVzÉ. ¨ÁºÀåPÉÆãÀ PAC AiÀÄ£ÀÄß
AD ¢é¨sÁV¸ÀÄvÀÛzÉ ªÀÄvÀÄÛ CD || AB (avÀæ 8.14 UÀªÀĤ¹).
(i) ∠ DAC = ∠ BCA ªÀÄvÀÄÛ (ii) ABCD MAzÀÄ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðd JAzÀÄ vÉÆÃj¹.
¥ÀjºÁgÀ : ∆ ABC ¸ÀªÀÄ¢é¨ÁºÀÄ wæ¨sÀÄd.
DzÀjAzÀ, AB = AC (zÀvÀÛ)
DzÀÄzÀjAzÀ ∠ ABC = ∠ ACB (¸ÀªÀĨÁºÀÄUÀ½UÉ C©üªÀÄÄRªÁVgÀĪÀ PÉÆãÀUÀ¼ÀÄ)
144 UÀtÂvÀ
ºÁUÀÆ ∠ PAC = ∠ ABC + ∠ ACB (wæ¨sÀÄdzÀ ¨ÁºÀåPÉÆãÀ)
CxÀªÁ ∠ PAC = 2 ∠ ACB ........................ (1)
FUÀ ∠ PAC AiÀÄ£ÀÄß AD ¢é¨sÁV¸ÀÄvÀÛzÉ.
Not to be republished
DzÀÄzÀjAzÀ ∠ PAC = 2 ∠ DAC ........ (2)
DUÀ 2 ∠DAC = 2 ∠ACB ((1) ªÀÄvÀÄÛ (2) jAzÀ)
CxÀªÁ ∠DAC =∠ACB
©KTBS
(ii) FUÀ ¸ÀªÀÄPÉÆãÀUÀ¼À eÉÆÃrAiÀÄÄ MAzÀÄ eÉÆvÉ
¥ÀAiÀiÁðAiÀÄ PÉÆãÀUÀ¼ÁUÀÄvÀÛªÉ. E°è BC ªÀÄvÀÄÛ AD ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ
gÉÃSÉUÀ¼À£ÀÄß AC bÉÃzÀPÀªÀÅ bÉâ¸ÀÄwÛzÉ.
DzÀÄzÀjAzÀ BC || AD
ºÁUÀÆ BA || CD (zÀvÀÛ)
FUÀ ABCD ZÀvÀĨsÀÄðdzÀ JgÀqÀÆ eÉÆvÉ C©üªÀÄÄR ¨ÁºÀÄUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀªÁVªÉ.
DzÀÄzÀjAzÀ ABCD MAzÀÄ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðd.
GzÁºÀgÀuÉ : 4 JgÀqÀÄ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ gÉÃSÉUÀ¼ÁzÀ l ªÀÄvÀÄÛ m £ÀÄß bÉÃzÀPÀ p bÉâ¸ÀÄwÛzÉ. (avÀæ 8.15
UÀªÀĤ¹).
FUÀ M¼ÀPÉÆãÀUÀ¼À PÉÆãÁzsÀðPÀUÀ½AzÀ GAmÁzÀ ZÀvÀĨsÀÄðdªÀÅ MAzÀÄ DAiÀÄvÀ JAzÀÄ vÉÆÃj¹.
¥ÀjºÁgÀ : PS || QR ¤ÃrzÉ ªÀÄvÀÄÛ bÉÃzÀPÀ p ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ gÉÃSÉUÀ¼À£ÀÄß PÀæªÀĪÁV A ªÀÄvÀÄÛ C ©AzÀÄ«£À°è
bÉâ¸ÀÄwÛzÉ.
∠ PAC ªÀÄvÀÄÛ ∠ ACQ UÀ¼À PÉÆãÁzsÀðPÀUÀ¼ÀÄ B £À°è bÉâ¸ÀÄwÛªÉ.
∠ ACR ªÀÄvÀÄÛ ∠ SAC UÀ¼À PÉÆãÁzsÀðPÀUÀ¼ÀÄ D £À°è bÉâ¸ÀÄwÛªÉ.
ABCD ZÀvÀĨsÀÄðdªÀÅ MAzÀÄ DAiÀÄvÀ JAzÀÄ vÉÆÃj¸À¨ÉÃPÁVzÉ.
FUÀ ∠ PAC = ∠ ACR (¥ÀAiÀiÁðAiÀÄ PÉÆãÀUÀ¼ÀÄ
l || m ªÀÄvÀÄÛ p bÉÃzÀPÀ)
1 1
DzÀÄzÀjAzÀ ∠ PAC = ∠ ACR
2 2
CAzÀgÉ ∠ BAC = ∠ ACD
EªÀÅ MAzÀÄ eÉÆvÉ ¥ÀAiÀiÁðAiÀÄ PÉÆãÀUÀ¼ÀÄ. E°è AB
ªÀÄvÀÄÛ DC gÉÃSÉUÀ¼ÀÄ ªÀÄvÀÄÛ AC bÉÃzÀPÀ. ºÁUÀÆ F JgÀqÀÆ
PÉÆãÀUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀĪÁVªÉÉ.
ZÀvÀĨsÀÄðdUÀ¼ÀÄ 145
DzÀÄzÀjAzÀ AB || DC
CzÉà jÃw BC || AD (∠ ACB ªÀÄvÀÄÛ ∠ CAD UÀ¼À£ÀÄß ¥ÀjUÀt¹zÁUÀ)
DzÀÄzÀjAzÀ ABCD ZÀvÀĨsÀÄðdªÀÅ MAzÀÄ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðd.
Not to be republished
ºÁUÀÆ ∠ PAC + ∠ CAS = 180 0 (¸ÀgÀ¼ÀAiÀÄÄUÀä)
1 1 1
DzÀÄzÀjAzÀ, ∠ PAC + ∠ CAS = ×180 = 90 0
0
2 2 2
©KTBS
CxÀªÁ ∠ BAC +∠ CAD = 90 0
CxÀªÁ ∠ BAD = 90 0
0
DzÀÄzÀjAzÀ ABCD AiÀÄÄ MAzÀÄ PÉÆãÀ 90 EgÀĪÀ MAzÀÄ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðd.
DzÀÄzÀjAzÀ, ABCD MAzÀÄ DAiÀÄvÀ.
GzÁºÀgÀuÉ : 5 MAzÀÄ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðdzÀ PÉÆãÁzsÀðPÀUÀ¼ÀÄ MAzÀÄ DAiÀÄvÀªÀ£ÀÄß GAlĪÀiÁqÀÄvÀÛªÉ
JAzÀÄ vÉÆÃj¹.
¥ÀjºÁgÀ : ABCD ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðdzÀ°è ∠A ªÀÄvÀÄÛ ∠ B , ∠ B ªÀÄvÀÄÛ ∠ C, ∠ C ªÀÄvÀÄÛ ∠ D,
∠ D ªÀÄvÀÄÛ ∠ A UÀ¼À PÉÆãÁzsÀðPÀUÀ¼ÀÄ PÀæªÀĪÁV P, Q, R, ªÀÄvÀÄÛ S ©AzÀÄUÀ¼À°è bÉâ¸ÀÄwÛªÉÉ (avÀæ 8.16
UÀªÀĤ¹).
∆ ASD AiÀÄ°è ¤ÃªÀÅ K£À£ÀÄß UÀªÀĤ¸ÀÄ«j?
∠D AiÀÄ£ÀÄß DS C¢üð¸ÀÄvÀÛzÉ ªÀÄvÀÄÛ ∠ A AiÀÄ£ÀÄß
AS C¢üð¸ÀÄvÀÛzÉ.
DzÀÄzÀjAzÀ,
1 1
∠ DAS + ∠ ADS = ∠A + ∠D
2 2
1
= (∠ A + ∠D)
2
1
= ×180 (∠ A ªÀÄvÀÄÛ ∠ D UÀ¼ÀÄ bÉÃzÀPÀzÀ MAzÉà ¥Á±ÀéðzÀ°ègÀĪÀ CAvÀgï
0
2
PÉÆãÀUÀ¼ÀÄ)
= 90 0
0
ºÁUÀÆ ∠DAS + ∠ADS + ∠DSA =180 (wæ¨sÀÄdzÀ PÉÆãÀUÀ¼À ªÉÆvÀÛzÀ UÀÄt®PÀët)
CxÀªÁ 90 +∠DSA = 180
0
0
CxÀªÁ ∠DSA = 90 0
DzÀÄzÀjAzÀ ∠PSR = 90 0 (∠DSA ªÀÄvÀÄÛ ∠PSR ±ÀÈAUÁ©üªÀÄÄR PÉÆãÀUÀ¼ÀÄ)
0
0
CzÉà jÃwAiÀiÁV ∠APB = 90 CxÀªÁ ∠SPQ = 90 JAzÀÄ vÉÆÃj¸À§ºÀÄzÀÄ. (∠DSA UÉ
vÉÆÃj¹gÀĪÀ jÃwAiÀÄ°è)
146 UÀtÂvÀ
ºÁUÉAiÉÄà ∠ PQR = 90 ªÀÄvÀÄÛ ∠ SRQ = 90 0
0
DzÀÄzÀjAzÀ PQRS MAzÀÄ ZÀvÀĨsÀÄðd. EzÀgÀ°è J¯Áè PÉÆãÀUÀ¼ÀÄ ®A§PÉÆãÀUÀ¼ÁVªÉ.
EzÀ£ÀÄß DAiÀÄvÀ JAzÀÄ £ÁªÀÅ wêÀiÁð¤¸À§ºÀÄzÉÃ? CzÀ£ÀÄß ¥ÀjÃQë¸ÉÆÃt.
0
0
∠PSR = ∠ PQR = 90 ªÀÄvÀÄÛ ∠ SPQ = ∠SRQ = 90 JAzÀÄ £ÁªÀÅ vÉÆÃj¹zÉÝêÉ. DzÀÄzÀjAzÀ
Not to be republished
JgÀqÀÆ eÉÆvÉ C©üªÀÄÄR PÉÆãÀUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀÄ.
DzÀÄzÀjAzÀ PQRS MAzÀÄ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðd. EzÀgÀ°è MAzÀÄ PÉÆãÀ (J¯Áè PÉÆãÀªÀÇ)
0
90 DVzÉ. DzÀÄzÀjAzÀ PQRS MAzÀÄ DAiÀÄvÀ.
©KTBS
8.5 MAzÀÄ ZÀvÀĨsÀÄðdªÀÅ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðdªÁUÀ®Ä ¨ÉÃPÁVgÀĪÀ ªÀÄvÉÆÛAzÀÄ ¤§AzsÀ£É
¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðdzÀ C£ÉÃPÀ UÀÄt®PÀëtUÀ¼À£ÀÄß ¤ÃªÀÅ F CzsÁåAiÀÄzÀ°è CzsÀåAiÀÄ£À ªÀiÁrgÀÄ«j.
MAzÀÄ ZÀvÀĨsÀÄðdzÀ°è CªÀÅUÀ¼À°è£À AiÀiÁªÀÅzÁzÀgÀÆ MAzÀÄ UÀÄt®PÀëtªÀÅ ¸ÀjºÉÆA¢zÀ°è CzÀÄ
¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðdªÁUÀĪÀÅzÀÄ JA§ÄzÀ£ÀÆß ¸ÀºÀ ¤ÃªÀÅ ¥ÀjÃQë¹¢ÝÃj.
MAzÀÄ ZÀvÀĨsÀÄðdªÀÅ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðdªÁUÀ¨ÉÃPÁzÀgÉ ¨ÉÃPÁVgÀĪÀ ªÀÄvÉÆÛAzÀÄ PÀ¤µÀÖ
¤§AzsÀ£ÉAiÀÄ£ÀÄß FUÀ £ÁªÀÅ CzsÀåAiÀÄ£À ªÀiÁqÉÆÃt. EzÀ£ÀÄß MAzÀÄ ¥ÀæªÉÄÃAiÀÄzÀAvÉ ¤gÀƦ¹zÉ. CzÀÄ
F PɼÀPÀAqÀÀAwzÉ.
¥ÀæªÉÄÃAiÀÄ 8.8 : ZÀvÀĨsÀÄðdzÀ MAzÀÄ eÉÆvÉ C©üªÀÄÄR ¨ÁºÀÄUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀÄ ªÀÄvÀÄÛ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀªÁVzÀÝgÉ,
CzÀÄ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðdªÁUÀÄvÀÛzÉ.
avÀæ 8.17 £ÀÄß UÀªÀĤ¹. AB = CD ªÀÄvÀÄÛ AB || CD DVzÉ.
PÀtð AC J¼ÉAiÉÆÃt. ¨Á PÉÆà ¨Á ¸ÀªÀð¸ÀªÀÄvÉ ¤AiÀĪÀÄ §¼À¹
∆ ABC ≅ ∆ CDA JAzÀÄ ¤ÃªÀÅ vÉÆÃj¸À§ºÀÄzÀÄ.
DzÀÄzÀjAzÀ BC || AD (KPÉ?)
¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðdzÀ F UÀÄt®PÀëtªÀ£ÀÄß C£Àé¬Ä¸À®Ä
MAzÀÄ GzÁºÀgÀuÉAiÀÄ£ÀÄß vÉUÉzÀÄPÉƼÉÆîÃt.
GzÁºÀgÀuÉ 6 : ABCD MAzÀÄ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðd. AB ªÀÄvÀÄÛ CD C©üªÀÄÄR ¨ÁºÀÄUÀ¼À
ªÀÄzsÀå©AzÀÄUÀ¼ÀÄ PÀæªÀĪÁV P ªÀÄvÀÄÛ Q DVªÉ (avÀæ 8.18 UÀªÀĤ¹). AQ ªÀÅ DP AiÀÄ£ÀÄß S ©AzÀÄ«£À°è
ªÀÄvÀÄÛ BQ ªÀÅ CP AiÀÄ£ÀÄß R ©AzÀÄ«£À°è bÉâ¹zÁUÀ,
(i) APCQ MAzÀÄ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðd
(ii) DPBQ MAzÀÄ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðd
(iii) PSQR MAzÀÄ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðd JAzÀÄ vÉÆÃj¹.
¥ÀjºÁgÀ : (i) ZÀvÀĨsÀÄðd APCQ £À°è
AP || QC (AB || CD DzÀÝjAzÀ) ............... (1)
1
1
AP=AB, CQ=CD (zÀvÀÛ)
2 2
ZÀvÀĨsÀÄðdUÀ¼ÀÄ 147
ºÁUÀÆ AB = CD (KPÉ?)
DzÀÄzÀjAzÀ AP = QC ............... (2)
DzÀÄzÀjAzÀ APCQ MAzÀÄ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðd
Not to be republished
((1) ªÀÄvÀÄÛ (2) jAzÀ ºÁUÀÆ ¥ÀæªÉÄÃAiÀÄ 8.8 jAzÀ)
(ii) CzÉà jÃwAiÀiÁV DPBQ ZÀvÀĨsÀÄðdªÀÇ MAzÀÄ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðd.
KPÉAzÀgÉ DQ || PB ªÀÄvÀÄÛ DQ = PB
©KTBS
(iii) ZÀvÀĨsÀÄðd PSQR £À°è
SP || QR (DP AiÀÄ MAzÀÄ ¨sÁUÀ SP ªÀÄvÀÄÛ QB AiÀÄ MAzÀÄ ¨sÁUÀ QR DVzÉ.)
CzÉÃ jÃw SQ || PR
DzÀÄzÀjAzÀ PSQR MAzÀÄ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄd.
C¨sÁå¸À 8.1
1. MAzÀÄ ZÀvÀĨsÀÄðdzÀ PÉÆãÀUÀ¼ÀÄ 3 : 5 : 9 : 13 C£ÀÄ¥ÁvÀzÀ°èªÉ. ZÀvÀĨsÀÄðdzÀ J¯Áè PÉÆãÀUÀ¼À£ÀÄß
PÀAqÀÄ»r¬Äj.
2. MAzÀÄ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðdzÀ PÀtðUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀÄ«zÁÝUÀ CzÀÄ DAiÀÄvÀªÁUÀÄvÀÛzÉ JAzÀÄ vÉÆÃj¹.
3. MAzÀÄ ZÀvÀĨsÀÄðdzÀ PÀtðUÀ¼ÀÄ ¥ÀgÀ¸ÀàgÀ ®A§ªÁV C¢üð¹zÀgÉ CzÀÄ ªÀeÁæPÀÈwAiÀiÁUÀÄvÀÛzÉ
JAzÀÄ vÉÆÃj¹.
4. MAzÀÄ ªÀUÀðzÀ PÀtðUÀ¼ÀÄ ¥ÀgÀ¸ÀàgÀ ¸ÀªÀÄ ªÀÄvÀÄÛ ®A§ªÁV C¢üð¸ÀÄvÀÛªÉ JAzÀÄ vÉÆÃj¹.
5. MAzÀÄ ZÀvÀĨsÀÄðdzÀ PÀtðUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀÄ ªÀÄvÀÄÛ ¥ÀgÀ¸ÀàgÀ ®A§ªÁV C¢üð¹zÀgÉ CzÀÄ ªÀUÀðªÁUÀĪÀÅzÀÄ
JAzÀÄ vÉÆÃj¹.
6. ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðd ABCD AiÀÄ PÀtð AC AiÀÄÄ ∠ A AiÀÄ£ÀÄß ¢é¨sÁV¸ÀÄvÀÛzÉ (avÀæ 8.19
UÀªÀĤ¹).
(i) CzÀÄ ∠ C AiÀÄ£ÀÆß ¸ÀºÀ ¢é¨sÁV¸ÀÄvÀÛzÉ
(ii) ABCD MAzÀÄ ªÀeÁæPÀÈw JAzÀÄ vÉÆÃj¹.
7. ABCD MAzÀÄ ªÀeÁæPÀÈw. AC PÀtðªÀÅ ∠A ªÀÄvÀÄÛ ∠C
AiÀÄ£ÀÄß ¢é¨sÁV¸ÀÄvÀÛzÉ ªÀÄvÀÄÛ BD PÀtðªÀÅ ∠B ªÀÄvÀÄÛ ∠D
AiÀÄ£ÀÄß ¢é¨sÁV¸ÀÄvÀÛzÉ JAzÀÄ vÉÆÃj¹.
8. ABCD MAzÀÄ DAiÀÄvÀ. AC PÀtðªÀÅ ∠A ªÀÄvÀÄÛ ∠C
AiÀÄ£ÀÄß ¢é¨sÁV¸ÀÄvÀÛzÉ.
(i) ABCD MAzÀÄ ªÀUÀð.
(ii) BD PÀtðªÀÅ ∠B ªÀÄvÀÄÛ ∠D AiÀÄ£ÀÄß ¢é¨sÁV¸ÀÄvÀÛzÉ JAzÀÄ vÉÆÃj¹.
9. ABCD ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðdzÀ°è DP = BQ DUÀĪÀAvÉ PÀtð BD AiÀÄ ªÉÄÃ¯É P ªÀÄvÀÄÛ Q
JgÀqÀÄ ©AzÀÄUÀ¼À£ÀÄß vÉUÉzÀÄPÉÆArzÉ (avÀæ 8.20 UÀªÀĤ¹).
148 UÀtÂvÀ
(i) ∆ APD ≅ ∆ CQB
(ii) AP = CQ
(iii) ∆ AQB ≅ ∆ CPD
(iv) AQ = CP
(v) APCQ MAzÀÄ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðd
JAzÀÄ vÉÆÃj¹.
10. ABCD MAzÀÄ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðd. AP
©KTBS
ªÀÄvÀÄÛ CQ UÀ¼ÀÄ A ªÀÄvÀÄÛ C ±ÀÈAUÀUÀ½AzÀ
BD PÀtðPÉÌ J¼ÉzÀ ®A§UÀ¼ÁVªÉ.
(i) ∆ APB ≅ ∆ CQD
(ii) AP = CQ MAzÀÄ JAzÀÄ vÉÆÃj¹
11. ∆ ABC ªÀÄvÀÄÛ ∆ DEF UÀ¼À°è AB = DE, AB ||DE,
BC = EF ªÀÄvÀÄÛ BC || EF DVzÉ. A, B ªÀÄvÀÄÛ C
±ÀÈAUÀUÀ¼À£ÀÄß PÀæªÀĪÁV D, E ªÀÄvÀÄÛ F ±ÀÈAUÀUÀ½UÉ
¸ÉÃj¹zÉ (avÀæ 8.22 UÀªÀĤ¹).
(i) ZÀvÀĨsÀÄðd ABED MAzÀÄ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðd
Not to be republished
(ii) ZÀvÀĨsÀÄðd BEFC MAzÀÄ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðd
(iii) AD || CF ªÀÄvÀÄÛ AD = CF
(iv) ZÀvÀĨsÀÄðd ACFD MAzÀÄ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðd
(v) AC = DF
(vi) ∆ ABC ≅ ∆ DEF JAzÀÄ vÉÆÃj¹.
12. ABCD vÁæ¦dåzÀ°è AB||CD ªÀÄvÀÄÛ AD = BC DVzÉ (avÀæ 8.23 UÀªÀĤ¹).
(i) ∠A = ∠B
(ii) ∠C = ∠D
(iii) ∆ ABC ≅ ∆ BAD
(iv) PÀtð AC = PÀtð BD JAzÀÄ vÉÆÃj¹.
[¸ÀĽªÀÅ : AB gÉÃSÉAiÀÄ£ÀÄß ªÀÈ¢Þ¹. C ªÀÄÆ®PÀ
DA UÉ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀªÁV MAzÀÄ gÉÃSÉAiÀÄ£ÀÄß J¼É¬Äj.
EzÀÄ gÉÃSÉ AB ¬ÄAzÀ ªÀÈ¢Þ¹zÀ gÉÃSÉAiÀÄ£ÀÄß E £À°è
bÉâ¸ÀÄvÀÛzÉ]
ZÀvÀĨsÀÄðdUÀ¼ÀÄ 149
8.6 ªÀÄzsÀå©AzÀÄ ¥ÀæªÉÄÃAiÀÄ
wæ¨sÀÄd ªÀÄvÀÄÛ ZÀvÀĨsÀÄðdUÀ½UÉ ¸ÀA§A¢ü¹zÀAvÉ C£ÉÃPÀ UÀÄt®PÀëtUÀ¼À£ÀÄß ¤ÃªÀÅ CzsÀåAiÀÄ£À
ªÀiÁrgÀÄ«j. wæ¨sÀÄdzÀ ¨ÁºÀÄUÀ¼À ªÀÄzsÀå©AzÀÄUÀ½UÉ ¸ÀA§A¢ü¹zÀAvÉ EgÀĪÀ E£ÉÆßAzÀÄ ¥sÀ°vÁA±ÀªÀ£ÀÄß
FUÀ CzsÀåAiÀÄ£À ªÀiÁqÉÆÃt. F PɼÀV£À ZÀlĪÀnPÉAiÀÄ£ÀÄß ªÀiÁr.
Not to be republished
ABC wæ¨sÀÄd gÀa¹. E ªÀÄvÀÄÛ F ªÀÄzsÀå©AzÀÄUÀ¼À£ÀÄß PÀæªÀĪÁV AB ªÀÄvÀÄÛ AC ªÉÄÃ¯É UÀÄwð¹. E
ªÀÄvÀÄÛ F £ÀÄß ¸ÉÃj¹ (avÀæ 8.24 UÀªÀĤ¹).
EF ªÀÄvÀÄÛ BC AiÀÄ£ÀÄß C¼É¬Äj. ∠ AEF ªÀÄvÀÄÛ ∠ ABC
AiÀÄ£ÀÆß ¸ÀºÀ C¼É¬Äj.
©KTBS
¤ÃªÀÅ K£À£ÀÄß UÀªÀĤ¸ÀÄ«j?
1
EF = BC ªÀÄvÀÄÛ ∠ AEF = ∠ABC DVgÀĪÀÅzÀ£ÀÄß
2
UÀªÀĤ¸ÀÄ«j.
DzÀÄzÀjAzÀ EF || BC
E£ÀÆß ºÉZÀÄÑ wæ¨sÀÄdUÀ¼À£ÀÄß vÉUÉzÀÄPÉÆAqÀÄ F ZÀlĪÀnPÉAiÀÄ£ÀÄß ¥ÀÄ£ÀgÁªÀwð¹. EzÀjAzÀ F
PɼÀV£À ¥ÀæªÉÄÃAiÀÄzÀ ºÉýPÉAiÀÄAvÉ ¤ÃªÀÅ wêÀiÁð¤¸ÀÄ«j.
¥ÀæªÉÄÃAiÀÄ 8.9 : MAzÀÄ wæ¨sÀÄdzÀ AiÀiÁªÀÅzÉà JgÀqÀÄ ¨ÁºÀÄUÀ¼À ªÀÄzsÀå©AzÀÄUÀ¼À£ÀÄß ¸ÉÃj¸ÀĪÀ
gÉÃSÁRAqÀªÀÅ ªÀÄÆgÀ£ÉAiÀÄ ¨ÁºÀÄ«UÉ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀªÁVgÀÄvÀÛzÉ.
F PɼÀUÉ ¤ÃrgÀĪÀ ¸ÀĽªÀ£ÀÄß §¼À¹PÉÆAqÀÄ F ¥ÀæªÉÄÃAiÀĪÀ£ÀÄß ¤ÃªÀÅ ¸Á¢ü¸À§ºÀÄzÀÄ.
avÀæ 8.25 UÀªÀĤ¹. AB ªÀÄvÀÄÛ AC UÀ¼À ªÀÄzsÀå©AzÀÄUÀ¼ÀÄ
PÀæªÀĪÁV E ªÀÄvÀÄÛ F DVzÉ ªÀÄvÀÄÛ CD || BA
∆ AEF ≅ ∆ CDF (PÉÆà ¨Á PÉÆà ¤AiÀĪÀÄ)
DzÀÄzÀjAzÀ, EF = DF ªÀÄvÀÄÛ BE = AE = DC (KPÉ?)
DzÀÄzÀjAzÀ, BCDE MAzÀÄ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðd (KPÉ?)
EzÀjAzÀ EF || BC
1 1
F ¥ÀæPÀgÀtzÀ°è EF = ED= BC. JA§ÄzÀ£ÀÆß UÀªÀĤ¹.
2 2
¥ÀæªÉÄÃAiÀÄ 8.9 gÀ «¯ÉÆêÀĪÀ£ÀÄß ¤ÃªÀÅ ¤gÀƦ¸ÀÄ«gÁ? «¯ÉÆêÀĪÀÅ ¸ÀjAiÉÄÃ?
F ªÉÄð£À ¥ÀæªÉÄÃAiÀÄzÀ «¯ÉÆêÀĪÀÇ ¸ÀºÀ ¸Àj. EzÀ£ÀÄß F jÃwAiÀiÁV ¤gÀƦ¸À§ºÀÄzÀÄ.
150 UÀtÂvÀ
¥ÀæªÉÄÃAiÀÄ 8.10 : MAzÀÄ wæ¨sÀÄdzÀ MAzÀÄ ¨ÁºÀÄ«£À ªÀÄzsÀå
©AzÀÄ«£À ªÀÄÆ®PÀ J¼ÉzÀ gÉÃSÉAiÀÄÄ ªÀÄvÉÆÛAzÀÄ ¨ÁºÀÄ«UÉ
¸ÀªÀiÁAvÀgÀªÁVzÀÄÝ ªÀÄÆgÀ£ÉAiÀÄ ¨ÁºÀĪÀ£ÀÄß C¢üð¸ÀÄvÀÛzÉ.
avÀæ 8.26 gÀ°è AB AiÀÄ ªÀÄzsÀå©AzÀÄ E DVgÀĪÀÅzÀ£ÀÄß
8.28 £ÉÆÃr). Not to be republished
UÀªÀĤ¹. l gÉÃSÉAiÀÄÄ E ©AzÀÄ«£À ªÀÄÆ®PÀ ºÁzÀÄ ºÉÆÃUÀÄwÛzÀÄÝ
BC UÉ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀªÁVzÉ ªÀÄvÀÄÛ CM || BA .
∆ AEF ªÀÄvÀÄÛ ∆ CDF UÀ¼À ¸ÀªÀð¸ÀªÀÄvÉAiÀÄ£ÀÄß §¼À¹
©KTBS
AF = CF JAzÀÄ ¸Á¢ü¹.
GzÁºÀgÀuÉ : 7
∆ ABC AiÀÄ°è AB, BC ªÀÄvÀÄÛ CA UÀ¼À
ªÀÄzsÀå©AzÀÄUÀ¼ÀÄ PÀæªÀĪÁV D, E ªÀÄvÀÄÛ F DVzÉ (avÀæ
8.27 UÀªÀĤ¹). D, E ªÀÄvÀÄÛ F £ÀÄß ¸ÉÃj¹, ∆ ABC AiÀÄÄ
£Á®ÄÌ ¸ÀªÀð¸ÀªÀÄ wæ¨sÀÄdUÀ¼ÁV «¨sÁUÀªÁUÀÄvÀÛzÉ JAzÀÄ
vÉÆÃj¹.
¥ÀjºÁgÀ : ∆ ABC AiÀÄ ¨ÁºÀÄUÀ¼ÁzÀ AB ªÀÄvÀÄÛ BC
AiÀÄ ªÀÄzsÀå©AzÀÄUÀ¼ÀÄ D ªÀÄvÀÄÛ E DVzÉ. ¥ÀæªÉÄÃAiÀÄ 8.9
jAzÀ DE || AC
CzÉà jÃwAiÀiÁV DF || BC ªÀÄvÀÄÛ EF || AB.
DzÀÄzÀjAzÀ ADEF, BDFE ªÀÄvÀÄÛ DFCE UÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðdUÀ¼ÀÄ.
FUÀ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðd BDFE AiÀÄ PÀtð DE DVzÉ.
DzÀÄzÀjAzÀ ∆ BDE ≅ ∆ FED
CzÉÃ jÃwAiÀiÁV ∆ DAF ≅ ∆ FED
ªÀÄvÀÄÛ ∆ EFC ≅ ∆ FED
DzÀÄzÀjAzÀ J¯Áè £Á®ÄÌ wæ¨sÀÄdUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀð¸ÀªÀĪÁVzÉ.
GzÁºÀgÀuÉ : 8 : l, m ªÀÄvÀÄÛ n ªÀÄÆgÀÄ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ gÉÃSÉUÀ¼À£ÀÄß
p ªÀÄvÀÄÛ q bÉÃzÀPÀUÀ¼ÀÄ bÉâ¸ÀÄwÛªÉ. p ªÉÄÃ¯É l, m ªÀÄvÀÄÛ n
UÀ¼ÀÄ AB ªÀÄvÀÄÛ BC ¸ÀªÀÄbÉÃzÀPÀUÀ¼À£ÀÄß GAlĪÀiÁrªÉ (avÀæ
l, m ªÀÄvÀÄÛ n UÀ¼ÀÄ q ªÉÄïÉAiÀÄÆ ¸ÀºÀ ¸ÀªÀÄbÉÃzÀPÀUÀ¼À£ÀÄß
GAlĪÀiÁqÀÄvÀÛªÉ JAzÀÄ vÉÆÃj¹.
ZÀvÀĨsÀÄðdUÀ¼ÀÄ 151
¥ÀjºÁgÀ : AB = BC ¤ÃrzÉ ªÀÄvÀÄÛ £ÁªÀÅ DE = EF JAzÀÄ ¸Á¢ü¸À¨ÉÃPÁVzÉ.
m gÉÃSÉAiÀÄ£ÀÄß G ©AzÀÄ«£À°è bÉâ¸ÀĪÀAvÉ A ªÀÄvÀÄÛ F £ÀÄß ¸ÉÃj¸ÉÆÃt. vÁæ¦då ACFD AiÀÄÄ
JgÀqÀÄ wæ¨sÀÄdUÀ¼ÁV «¨sÁV¸À®àqÀÄvÀÛzÉ. CªÀÅ AiÀiÁªÀŪÉAzÀgÉ ∆ ACF ªÀÄvÀÄÛ ∆ AFD
∆ ACF £À°è AC AiÀÄ ªÀÄzsÀå©AzÀÄ B DVzÉ. (AB = BC)
ªÀÄvÀÄÛ BG || CF (m || n DVgÀĪÀÅzÀjAzÀ)
DzÀÄzÀjAzÀ, AF £À ªÀÄzsÀå©AzÀÄ G DVzÉ. (¥ÀæªÉÄÃAiÀÄ 8.10 AiÀÄ£ÀÄß §¼À¹zÉ)
FUÀ ∆ AFD AiÀÄ°è AF £À ªÀÄzsÀå©AzÀÄ G JAzÀÄ CzÉà jÃwAiÀiÁV vÉÆÃj¸À§ºÀÄzÁVzÉ.
©KTBS
GE||AD ªÀÄvÀÄÛ ¥ÀæªÉÄÃAiÀÄ 8.10 ¬ÄAzÀ DF £À ªÀÄzsÀå©AzÀÄ E DVzÉ.
CAzÀgÉ DE = EF
E£ÉÆßAzÀÄ jÃwAiÀÄ°è ºÉüÀĪÀÅzÁzÀgÉ l, m ªÀÄvÀÄÛ n gÉÃSÉUÀ¼ÀÄ q gÉÃSÉAiÀÄÄ ªÉÄïÉAiÀÄÆ ¸ÀºÀ
¸ÀªÀÄbÉÃzÀPÀUÀ¼À£ÀÄß GAlĪÀiÁqÀÄvÀÛªÉ.
C¨sÁå¸À 8.2
1. ABCD MAzÀÄ ZÀvÀĨsÀÄðd. AB, BC, CD ªÀÄvÀÄÛ DA
¨ÁºÀÄUÀ¼À ªÀÄzsÀå©AzÀÄUÀ¼ÀÄ PÀæªÀĪÁV P, Q, R ªÀÄvÀÄÛ S DVªÉ
(avÀæ 8.29 UÀªÀĤ¹). AC PÀtð DzÀgÉ,
1
(i) SR || AC ªÀÄvÀÄÛ SR = AC
Not to be republished
2
(ii) PQ = SR
(iii) PQRS MAzÀÄ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðd JAzÀÄ vÉÆÃj¹.
2. ABCD MAzÀÄ ªÀeÁæPÀÈw. AB, BC, CD ªÀÄvÀÄÛ DA ¨ÁºÀÄUÀ¼À
ªÀÄzsÀå©AzÀÄUÀ¼ÀÄ PÀæªÀĪÁV P, Q, R ªÀÄvÀÄÛ S DVªÉ. PQRS MAzÀÄ DAiÀÄvÀ JAzÀÄ vÉÆÃj¹.
3. ABCD MAzÀÄ DAiÀÄvÀ. AB, BC, CD ªÀÄvÀÄÛ DA ¨ÁºÀÄUÀ¼À ªÀÄzsÀå©AzÀÄUÀ¼ÀÄ PÀæªÀĪÁV P, Q,
R ªÀÄvÀÄÛ S DVªÉ. PQRS MAzÀÄ ªÀeÁæPÀÈw JAzÀÄ vÉÆÃj¹.
4. ABCD MAzÀÄ vÁæ¦då. AB || DC, BD PÀtð ªÀÄvÀÄÛ
AD AiÀÄ ªÀÄzsÀå©AzÀÄ E DVzÉ. E ªÀÄÆ®PÀ AB UÉ
¸ÀªÀiÁAvÀgÀªÁV MAzÀÄ gÉÃSÉAiÀÄ£ÀÄß J¼É¬Äj. CzÀÄ BC
AiÀÄ£ÀÄß F ©AzÀÄ«£À°è bÉâ¸ÀÄvÀÛzÉ (avÀæ 8.30 UÀªÀĤ¹).
BC AiÀÄ ªÀÄzsÀå©AzÀÄ F JAzÀÄ vÉÆÃj¹
152 UÀtÂvÀ
5. ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðd ABCD AiÀÄ°è AB ªÀÄvÀÄÛ CD
¨ÁºÀÄUÀ¼À ªÀÄzsÀå©AzÀÄUÀ¼ÀÄ PÀæªÀĪÁV E ªÀÄvÀÄÛ F DVzÉ
(avÀæ 8.31 UÀªÀĤ¹). AF ªÀÄvÀÄÛ EC gÉÃSÁRAqÀUÀ¼ÀÄ
BD PÀtðªÀ£ÀÄß wæ¨sÁV¸ÀÄvÀÛªÉ JAzÀÄ vÉÆÃj¹.
Not to be republished
6. MAzÀÄ ZÀvÀĨsÀÄðdzÀ C©üªÀÄÄR ¨ÁºÀÄUÀ¼À
ªÀÄzsÀå©AzÀÄUÀ¼À£ÀÄß ¸ÉÃj¸ÀĪÀ gÉÃSÁRAqÀUÀ¼ÀÄ ¥ÀgÀ¸ÀàgÀ
C¢üð¸ÀÄvÀÛªÉ JAzÀÄ vÉÆÃj¹.
©KTBS
7. ABC AiÀÄÄ ∠C ®A§PÉÆãÀªÀ£ÀÄß ºÉÆA¢gÀĪÀ MAzÀÄ
®A§PÉÆãÀ wæ¨sÀÄdªÁVzÉ. «PÀtð AB AiÀÄ ªÀÄzsÀå©AzÀÄ
M ªÀÄÆ®PÀ BC UÉ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀªÁV J¼ÉzÀ MAzÀÄ gÉÃSÉAiÀÄÄ AC AiÀÄ£ÀÄß D ©AzÀÄ«£À°è
bÉâ¸ÀÄwÛzÉ.
(i) AC AiÀÄ ªÀÄzsÀå©AzÀÄ D
(ii) MD ⊥ AC
1
(iii) CM = MA = AB JAzÀÄ vÉÆÃj¹
2
8.7. ¸ÁgÁA±À
F CzsÁåAiÀÄzÀ°è, F PɼÀV£À CA±ÀUÀ¼À£ÀÄß ¤ÃªÀÅ CzsÀåAiÀÄ£À ªÀiÁrgÀÄ«j.
1. MAzÀÄ ZÀvÀĨsÀÄðdzÀ J¯Áè M¼ÀPÉÆãÀUÀ¼À ªÉÆvÀÛ 360 0
2. ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðdzÀ MAzÀÄ PÀtðªÀÅ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðdªÀ£ÀÄß JgÀqÀÄ ¸ÀªÀð¸ÀªÀÄ
wæ¨sÀÄdUÀ¼ÁV «¨sÁV¸ÀÄvÀÛzÉ.
3. MAzÀÄ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðdzÀ°è,
(i) C©üªÀÄÄR ¨ÁºÀÄUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀÄ.
(ii) C©üªÀÄÄR PÉÆãÀUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀÄ.
(iii) PÀtðUÀ¼ÀÄ ¥ÀgÀ¸ÀàgÀ C¢üð¸ÀÄvÀÛªÉ.
4. MAzÀÄ ZÀvÀĨsÀÄðdªÀÅ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðdªÁUÀ¨ÉÃPÁzÀgÉ,
(i) C©üªÀÄÄR ¨ÁºÀÄUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀÄ CxÀªÁ
(ii) C©üªÀÄÄR PÉÆãÀUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀÄ CxÀªÁ
(iii) PÀtðUÀ¼ÀÄ ¥ÀgÀ¸ÀàgÀ C¢üð¸ÀÄvÀÛªÉ CxÀªÁ
(iv) MAzÀÄ eÉÆvÉ C©üªÀÄÄR ¨ÁºÀÄUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀÄ ªÀÄvÀÄÛ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ DVgÀ¨ÉÃPÀÄ.
ZÀvÀĨsÀÄðdUÀ¼ÀÄ 153
5. CAiÀÄvÀzÀ°è PÀtðUÀ¼ÀÄ ¥ÀgÀ¸ÀàgÀ ¸ÀªÀĪÁVzÀÄÝ C¢üð¸ÀÄvÀÛªÉ ªÀÄvÀÄÛ EzÀgÀ «¥ÀAiÀÄð ºÉýPÉAiÀÄÆ
¸ÀvÀå.
6. ªÀeÁæPÀÈwAiÀÄ°è PÀtðUÀ¼ÀÄ ¥ÀgÀ¸ÀàgÀ ®A§ªÁV C¢üð¸ÀÄvÀÛªÉ ªÀÄvÀÄÛ EzÀgÀ «¥ÀAiÀÄð ºÉýPÉAiÀÄÆ
¸ÀvÀå.
Not to be republished
7. ªÀUÀðzÀ°è PÀtðUÀ¼ÀÄ ¥ÀgÀ¸ÀàgÀ ¸ÀªÀĪÁVzÀÄÝ ®A§ªÁV C¢üð¸ÀÄvÀÛªÉ ªÀÄvÀÄÛ EzÀgÀ «¥ÀAiÀÄð
ºÉýPÉAiÀÄÆ ¸ÀvÀå.
8. wæ¨sÀÄdzÀ AiÀiÁªÀÅzÉà JgÀqÀÄ ¨ÁºÀÄUÀ¼À ªÀÄzsÀå©AzÀÄUÀ¼À£ÀÄß ¸ÉÃj¸ÀĪÀ gÉÃSÁRAqÀªÀÅ ªÀÄÆgÀ£ÉAiÀÄ
©KTBS
¨ÁºÀÄ«UÉ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀªÁVgÀĪÀÅzÀÄ ªÀÄvÀÄÛ ªÀÄÆgÀ£ÉAiÀÄ ¨ÁºÀÄ«£À CzsÀðzÀ¶ÖgÀĪÀÅzÀÄ.
9. MAzÀÄ wæ¨sÀÄdzÀ MAzÀÄ ¨ÁºÀÄ«£À ªÀÄzsÀå ©AzÀÄ«£À ªÀÄÆ®PÀ J¼ÉzÀ gÉÃSÉAiÀÄÄ ªÀÄvÉÆÛAzÀÄ
¨ÁºÀÄ«UÉ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀªÁVzÀÄÝ ªÀÄÆgÀ£ÉAiÀÄ ¨ÁºÀĪÀ£ÀÄß C¢üð¸ÀÄvÀÛzÉ.
10. MAzÀÄ ZÀvÀĨsÀÄðdzÀ ¨ÁºÀÄUÀ¼À ªÀÄzsÀå©AzÀÄUÀ¼À£ÀÄß C£ÀÄPÀæªÀĪÁV ¸ÉÃj¹zÁUÀ GAmÁzÀ
ZÀvÀĨsÀÄðdªÀÅ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðdªÁVgÀÄvÀÛzÉ
154 UÀtÂvÀ
Not to be republished
CzsÁåAiÀÄ - 9
©KTBS
¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðdUÀ¼ÀÄ ªÀÄvÀÄÛ wæ¨sÀÄdUÀ¼À «¹ÛÃtðUÀ¼ÀÄ
9.1 ¦ÃpPÉ
¨sÀÆ«ÄAiÀÄ ¥Àj«ÄwAiÀÄ£ÀÄß «¨sÁV¹, ¸ÀÆPÀÛªÁzÀ ¨sÁUÀUÀ¼À£ÁßV «AUÀr¸ÀĪÀ ¸ÀAzÀ¨sÀðzÀ°è, CzÀ£ÀÄß
C¼ÀvÉ ªÀiÁqÀĪÀÅzÀgÀ ªÀÄÄSÁAvÀgÀ gÉÃSÁUÀtÂvÀzÀ CzsÀåAiÀÄ£À DgÀA¨sÀªÁ¬ÄvÀÄ JAzÀÄ ¤ÃªÀÅ 5£ÉAiÀÄ
CzsÁåAiÀÄzÀ°è PÀ°wgÀÄ«j. GzÁ : §Ä¢üAiÀiÁ JA§ gÉÊvÀ ªÀÄ»¼ÉAiÉƧâgÀÄ wæPÉÆãÁPÁgÀzÀ d«ÄãÀ£ÀÄß
ºÉÆA¢zÀÝgÀÄ. CzÀ£ÀÄß DPÉAiÀÄÄ vÀ£Àß E§âgÀÄ ºÉtÄÚ ªÀÄPÀ̼ÀÄ ºÁUÀÆ M§â ªÀÄUÀ¤UÉ ¸ÀªÀÄ£ÁV ºÀAZÀ®Ä
¤zsÀðj¹zÀgÀÄ. D d«Ää£À ¤dªÁzÀ «¹ÛÃtðªÀ£ÀÄß ¯ÉPÀÌ ºÁPÀzÉ, DPÉAiÀÄÄ D wæ¨sÀÄeÁPÁgÀzÀ d«Ää£À
MAzÀÄ §¢AiÀÄ£ÀÄß ¸ÀªÀÄ£ÁzÀ ªÀÄÆgÀÄ ¨sÁUÀUÀ¼ÁV «AUÀr¹zÁUÀ zÉÆgÀQzÀ JgÀqÀÄ ©AzÀÄUÀ¼À£ÀÄß CzÀgÀ
C©üªÀÄÄR ±ÀÈAUÀPÉÌ ¸ÉÃj¹zÀ¼ÀÄ. F jÃwAiÀiÁV DPÉAiÀÄÄ d«ÄãÀ£ÀÄß ªÀÄÆgÀÄ ¨sÁUÀUÀ¼ÁV «AUÀr¹,
MAzÉÆAzÀÄ ¨sÁUÀªÀ£ÀÄß vÀ£Àß ªÀÄPÀ̽UÉ PÉÆlÖ¼ÀÄ. DPɬÄAzÀ »ÃUÉ zÉÆgÀQzÀ ªÀÄÆgÀÆ ¨sÁUÀUÀ¼ÀÄ ¤dªÁV
¸ÀªÀÄ£ÁzÀ «¹ÛÃtðUÀ¼À£ÀÄß ºÉÆA¢ªÉ JAzÀÄ ¤ÃªÀÅ ¨sÁ«¸ÀÄ«gÁ ? F jÃwAiÀÄ ¥Àæ±ÉßUÀ¼ÀÄ ªÀÄvÀÄÛ EzÀPÉÌ
¸ÀA§A¢ü¹zÀ EvÀgÀ ¸ÀªÀĸÉåUÀ¼À£ÀÄß GvÀÛj¸À®Ä ¤ÃªÀÅ »A¢£À vÀgÀUÀwUÀ¼À°è PÀ°wgÀĪÀ ¸ÀªÀÄvÀ¯ÁPÀÈwUÀ¼À
«¹ÛÃtðUÀ¼À §UÉÎ ¥ÀÄ£ÀgÁªÀ¯ÉÆÃPÀ£À ªÀiÁqÀ¨ÉÃPÁUÀÄvÀÛzÉ.
MAzÀÄ ¸ÀgÀ¼À DªÀÈvÀ DPÀÈw¬ÄAzÀ
CªÀj¸À®àlÖ ¸ÀªÀÄvÀ®zÀ ¨sÁUÀPÉÌ DPÀÈwAiÀÄ
¸ÀªÀÄvÀ¯ÁPÀÈw ¥ÀæzÉñÀ J£ÀÄßvÉÛêÉ. JA§ÄzÀ£ÀÄß
¤ÃªÀÅ ¸Àäj¹PÉƼÀÀÄzÀÄ. F ¸ÀªÀÄvÀ¯ÁPÀÈwAiÀÄ
¥ÀæzÉñÀzÀ ¥ÀjªÀiÁt CxÀªÁ C¼ÀvÉAiÉÄà CzÀgÀ
«¹ÛÃtðªÁVzÉ. F ¥ÀjªÀiÁt CxÀªÁ
C¼ÀvÉAiÀÄ£ÀÄß £ÁªÀÅ ¸ÁATåPÀ gÀÆ¥ÀzÀ°è
¸ÀÆa¸ÀÄvÉÛêÉ. (PÉ®ªÀÅ ªÀÄÆ®ªÀiÁ£ÀUÀ¼ÉÆA¢UÉ)
2
2
GzÁ 5cm , 8m , 3 ºÉPÉÖÃgïUÀ¼ÀÄ EvÁå¢.
DPÀÈwAiÀÄ «¹ÛÃtðªÀÅ MAzÀÄ ¸ÀASÉåAiÀiÁVzÀÄÝ (PÉ®ªÀÅ ªÀÄÆ®ªÀiÁ£ÀUÀ¼ÉÆA¢UÉ), EzÀÄ DPÀÈwAiÀÄÄ
DªÀj¸À®àlÖ ¸ÀªÀÄvÀ®zÀ ¨sÁUÀPÉÌ ¸ÀA§A¢ü¹zÉ JAzÀÄ £ÁªÀÅ ºÉüÀ§ºÀÄzÀÄ.
CzsÁåAiÀÄ 7 ºÁUÀÆ »A¢£À vÀgÀUÀwUÀ¼À°è ¸ÀªÀð¸ÀªÀÄ DPÀÈwUÀ¼À ¥ÀjPÀ®à£ÉAiÀÄ ¥ÀjZÀAiÀÄ
ºÉÆA¢zÉÝêÉ. MAzÉà DPÁgÀ ªÀÄvÀÄÛ UÁvÀæUÀ¼À£ÀÄß ºÉÆA¢gÀĪÀ JgÀqÀÄ DPÀÈwUÀ¼À£ÀÄß ¸ÀªÀð¸ÀªÀÄ DPÀÈwUÀ¼ÀÄ
J£ÀÄßvÉÛêÉ. E£ÉÆßAzÀÄ jÃwAiÀÄ°è ºÉüÀĪÀÅzÁzÀgÉ avÀæ 9.1 gÀ°è vÉÆÃj¹gÀĪÀ DPÀÈw A ªÀÄvÀÄÛ B
UÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀð¸ÀªÀĪÁzÀgÉ, CgÉ ¥ÁgÀzÀ±ÀðPÀ ºÁ¼ÉAiÀÄ (tracing paper) ¸ÀºÁAiÀÄ¢AzÀ CªÀÅUÀ¼À£ÀÄß
MAzÀÄ DPÀÈwAiÀÄÄ E£ÉÆßAzÀÄ DPÀÈwAiÀÄ£ÀÄß ¸ÀjAiÀiÁV DªÀj¸ÀĪÀAvÉ, MAzÀgÀ ªÉÄÃ¯É E£ÉÆßAzÀ£ÀÄß
¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðUÀ¼ÀÄ ªÀÄvÀÄÛ wæ¨sÀÄdUÀ¼À «¹ÛÃtðUÀ¼ÀÄ 155
ºÉÆA¢PÉ DUÀĪÀAvÉ awæ¸À§ºÀÄzÀÄ. DzÀÝjAzÀ A ªÀÄvÀÄÛ B DPÀÈwUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀð¸ÀªÀĪÁzÀgÉ, CªÀÅUÀ¼À
«¹ÛÃtð ¸ÀªÀĪÁVgÀ¯ÉèÉÃPÀÄ. DzÀgÉ F ºÉýPÉAiÀÄ «¯ÉÆêÀĪÀÅ ¸ÀvÀåªÀ®è. E£ÉÆßAzÀÄ jÃwAiÀÄ°è
ºÉüÀĪÀÅzÁzÀgÉ ¸ÀªÀiÁ£À «¹ÛÃtð ºÉÆA¢gÀĪÀ JgÀqÀÄ DPÀÈwUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀð¸ÀªÀĪÁVgÀ¨ÉÃPÁV®è.
2
GzÁ : avÀæ 9.2 gÀ°è DAiÀÄvÀ ABCD ªÀÄvÀÄÛ EFGH UÀ¼ÀÄ MAzÉà «¹ÛÃtð (9 × 4cm ªÀÄvÀÄÛ
2
6× 6cm ) ºÉÆA¢zÀÝgÀÆ PÀÆqÁ CªÀÅUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀð¸ÀªÀĪÀ®è JA§ÄzÀÄ ¸ÀàµÀÖ (AiÀiÁPÉ ?)
Not to be republished
©KTBS
avÀæ 9.2
FUÀ PɼÀUÉ PÉÆnÖgÀĪÀ 9.3 avÀæªÀ£ÀÄß UÀªÀĤ¸ÉÆÃt
avÀæ 9.3
DPÀÈw T ¬ÄAzÀ DªÀj¸À®àlÖ ¸ÀªÀÄvÀ¯ÁPÀÈw ¨sÁUÀªÀÅ, DPÀÈw P ªÀÄvÀÄÛ DPÀÈw Q UÀ½AzÀ DªÀj¸À®àlÖ
¸ÀªÀÄvÀ¯ÁPÀÈw ¨sÁUÀUÀ½AzÀ GAmÁVªÉ JAzÀÄ £ÁªÀÅ UÀªÀĤ¸À§ºÀÄzÀÄ.
DPÀÈw T AiÀÄ «¹ÛÃtð = DPÀÈw P AiÀÄ «¹ÛÃtð + DPÀÈw Q £À «¹ÛÃtð JAzÀÄ £ÁªÀÅ ªÉÄð£À
avÀæ¢AzÀ ¸ÀÄ®¨sÀªÁV UÀªÀĤ¸À§ºÀÄzÀÄ.
DPÀÈw A AiÀÄ «¹ÛÃtðªÀ£ÀÄß «(A) DPÀÈw B AiÀÄ «¹ÛÃtðªÀ£ÀÄß «(B) JAzÀÆ DPÀÈw T AiÀÄ
«¹ÛÃtðªÀ£ÀÄß «(T) EvÁå¢AiÀiÁV ¸ÀÆa¸À§ºÀÄzÀÄ. DPÀÈwAiÀÄ «¹ÛÃtðªÀÅ MAzÀÄ ¸ÀASÉåAiÀiÁVzÀÄÝ (PÉ®ªÀÅ
ªÀÄÆ®ªÀiÁ£À«gÀĪÀ) EzÀÄ DPÀÈwAiÀÄÄ DªÀj¸ÀàlÖ ¸ÀªÀÄvÀ®zÀ ¨sÁUÀPÉÌ ¸ÀA§A¢ü¹zÀÄÝ F PɼÀV£À JgÀqÀÄ UÀÄtUÀ¼À£ÀÄß
ºÉÆA¢zÉ.
1. A ªÀÄvÀÄÛ B UÀ¼ÀÄ JgÀqÀÄ ¸ÀªÀð¸ÀªÀÄ DPÀÈwUÀ¼ÁzÀgÉ «(A)=«(B) ªÀÄvÀÄÛ
2. DPÀÈw T AiÀÄ ¸ÀªÀÄvÀ¯ÁPÀÈw ¥ÀæzÉñÀªÀÅ MAzÀgÀ ªÉÄïÉÆAzÀÄ E®èzÀAvÉ EgÀĪÀ DPÀÈw P ªÀÄvÀÄÛ DPÀÈw
Q £À ¸ÀªÀÄvÀ¯ÁPÀÈw ¥ÀæzÉñÀUÀ½AzÀÀ ªÀiÁqÀ®àlÖgÉ «(T)=«(P)+«(Q)
»A¢£À vÀgÀUÀwUÀ¼À°è ¤ÃªÀÅ DAiÀÄvÀ, ªÀUÀð, ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðd, wæ¨sÀÄd ªÀÄÄAvÁzÀ DPÀÈwUÀ¼À
«¹ÛÃtðªÀ£ÀÄß PÀAqÀÄ»rAiÀÄĪÀ ¸ÀÆvÀæUÀ¼À §UÉÎ w½¢gÀÄ«j. ¥Àæ¸ÀÄÛvÀ CzsÁåAiÀÄzÀ°è MAzÉà ¥ÁzÀ ºÁUÀÆ
MAzÉà eÉÆvÉ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ gÉÃSÉUÀ¼À £ÀqÀÄªÉ EgÀĪÀ, JgÀqÀÄ eÁå«ÄwÃAiÀÄ DPÀÈwUÀ¼À «¹ÛÃtðUÀ¼À
£ÀqÀÄ«£À ¸ÀA§AzsÀUÀ¼À£ÀÄß C¨sÁå¸À ªÀiÁqÀĪÀ ªÀÄÄSÁAvÀgÀ, F ¸ÀÆvÀæUÀ¼À eÁÕ£ÀªÀ£ÀÄß MUÀÆÎr¸ÀĪÀ ¥ÀæAiÀÄvÀß
ªÀiÁqÉÆÃt. F CzsÀåAiÀÄ£ÀªÀÅ "wæPÉÆãÀUÀ¼À ¸ÀªÀð¸ÀªÀÄvÉ" AiÀÄ PÉ®ªÀÅ ¥sÀ°vÁA±ÀUÀ¼À£ÀÄß CxÉÊð¹PÉƼÀî®Ä
PÀÆqÁ ¸ÀºÀPÁjAiÀiÁVzÉ.
156 UÀtÂvÀ
9.2 : MAzÉà ¥ÁzÀ ºÁUÀÆ MAzÉà eÉÆvÉ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ gÉÃSÉUÀ¼À £ÀqÀÄªÉ EgÀĪÀ DPÀÈwUÀ¼ÀÄ
F avÀæUÀ¼À£ÀÄß UÀªÀĤ¹
Not to be republished
©KTBS
avÀæ 9.4
avÀæ 9.4 (i) gÀ°è vÁæ¦då ABCD ªÀÄvÀÄÛ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðd EFCD UÀ¼ÀÄ MAzÉà ¸ÁªÀiÁ£Àå
¨ÁºÀÄ DC AiÀÄ£ÀÄß ºÉÆA¢zÉ. vÁæ¦då ABCD ªÀÄvÀÄÛ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðd EFCD UÀ¼ÀÄ MAzÉÃ
¥ÁzÀ DC AiÀÄ ªÉÄðªÉ JAzÀÄ £ÁªÀÅ ºÉüÀÄvÉÛêÉ. ºÁUÉAiÉÄà avÀæ 9.4(ii) gÀ°è PQRS ªÀÄvÀÄÛ MNRS
¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðdUÀ¼ÀÄ MAzÉà ¥ÁzÀ SR £À ªÉÄðzÉ. avÀæ 9.4(iii) gÀ°è wæ¨sÀÄd ABC ªÀÄvÀÄÛ
wæ¨sÀÄd DBC UÀ¼ÀÄ MAzÉà ¥ÁzÀ BC AiÀÄ ªÉÄðzÉ. avÀæ 9.4(iv) gÀ°è ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðd ABCD
ªÀÄvÀÄÛ wæ¨sÀÄd PDC UÀ¼ÀÄ MAzÉà ¥ÁzÀ DC AiÀÄ ªÉÄ°zÉ.
F PɼÀV£À avÀæUÀ¼À£ÀÄß UÀªÀĤ¹
avÀæ 9.5
avÀæ 9.5(i) gÀ°è vÁæ¦då ABCD ªÀÄvÀÄÛ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðd EFCD UÀ¼ÀÄ MAzÉà ¥ÁzÀ DC
AiÀÄ ªÉÄðgÀĪÀÅzÀÄ ¸ÀàµÀÖªÁVzÉ. A ªÀÄvÀÄÛ B ±ÀÈAUÀUÀ¼ÀÄ (ABCD vÁæ¦då) ºÁUÀÆ E ªÀÄvÀÄÛ F ±ÀÈAUÀUÀ¼ÀÄ
(EFCD ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðd) DC ¥ÁzÀPÉÌ C©üªÀÄÄRªÁVzÀÄÝ AF gÉÃSÉAiÀÄ ªÉÄðªÉ. ªÀÄvÀÄÛ DC
¥ÁzÀPÉÌ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀªÁVzÉ.
vÁæ¦då ABCD ªÀÄvÀÄÛ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðd EFCD UÀ¼ÀÄ MAzÉà ¥ÁzÀ DC AiÀÄ ªÉÄðzÀÄÝ
MAzÉà ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ gÉÃSÉ AF ªÀÄvÀÄÛ DC UÀ¼À £ÀqÀÄªÉ EªÉ. JAzÀÄ £ÁªÀÅ ºÉüÀÄvÉÛêÉ. ºÁUÉAiÉÄÃ
¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðd PQRS ªÀÄvÀÄÛ MNRS UÀ¼ÀÄ MAzÉà ¥ÁzÀ SR ªÉÄðzÀÄÝ MAzÉà ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ
gÉÃSÉUÀ¼ÁzÀ PN ªÀÄvÀÄÛ SR UÀ¼À £ÀqÀÄªÉ EªÉ. [avÀæ 9.5 (ii)] £ÉÆÃr. PQRS £À P ªÀÄvÀÄÛ Q ±ÀÈAUÀUÀ¼ÀÄ
MNRS £À M ªÀÄvÀÄÛ N ±ÀÈAUÀUÀ¼ÀÄ PN gÉÃSÉAiÀÄ ªÉÄðªÉ. CzÉà jÃw wæ¨sÀÄd ABC ªÀÄvÀÄÛ DBC
wæ¨sÀÄdUÀ¼ÀÄ MAzÉà ¥ÁzÀ BC AiÀÄ ªÉÄðzÀÄÝ MAzÉà eÉÆvÉ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ gÉÃSÉUÀ¼ÁzÀ AD ªÀÄvÀÄÛ BC
UÀ¼À £ÀqÀÄªÉ EªÉ. [avÀæ 9.5(iii) UÀªÀĤ¹] ªÀÄvÀÄÛ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðd ABCD ºÁUÀÆ wæ¨sÀÄd PCD
UÀ¼ÀÄ MAzÉà ¥ÁzÀ DC AiÀÄ ªÉÄðzÀÄÝ MAzÉà ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ gÉÃSÉUÀ¼ÁzÀ AP ªÀÄvÀÄÛ DC UÀ¼À £ÀqÀĪÉ
EªÉ.(avÀæ 9.5(iv) UÀªÀĤ¹).
CzÀÝjAzÀ JgÀqÀÄ DPÀÈwUÀ¼ÀÄ MAzÉà ¥ÁzÀ ªÀÄvÀÄÛ MAzÉà eÉÆvÉ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ gÉÃSÉUÀ¼À £ÀqÀÄªÉ EªÉ
JAzÀÄ ºÉüÀ¨ÉÃPÁzÀgÉ CªÀÅUÀ¼ÀÄ MAzÉà ¥ÁzÀzÀ ªÉÄðzÀÄÝ D ¥ÁzÀPÉÌ C©üªÀÄÄRªÁVgÀĪÀ ±ÀÈAUÀUÀ¼ÀÄ ¥ÁzÀPÉÌ
¸ÀªÀiÁAvÀgÀªÁVgÀĪÀ gÉÃSÉAiÀÄ ªÉÄðgÀ¨ÉÃPÁUÀÄvÀÛzÉ.
¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðUÀ¼ÀÄ ªÀÄvÀÄÛ wæ¨sÀÄdUÀ¼À «¹ÛÃtðUÀ¼ÀÄ 157
EzÀgÀ ¥ÀæPÁgÀ ∆PQR ªÀÄvÀÄÛ ∆DQR (avÀæ 9.6(i)) EªÀÅUÀ¼ÀÄ MAzÉà eÉÆvÉ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ gÉÃSÉ
l ªÀÄvÀÄÛ QR UÀ¼À £ÀqÀÄªÉ EzÉ JAzÀÄ ºÉüÀ®Ä ¸ÁzÀå«®è.
ZÀvÀĨsÀÄðd PQRS UÀ¼ÀÄ MAzÉà ¥ÁzÀzÀ ªÉÄð®è.republished
avÀæ 9.6
©KTBS
ºÁUÉAiÉÄà avÀæ 9.6(ii) gÀ°è ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðd EFGH ªÀÄvÀÄÛ MNGH UÀ¼ÀÄ EF||GH
gÉÃSÉUÀ¼À £ÀqÀÄªÉ EªÉ JAzÁUÀ°Ã, avÀæ 9.6(iii) gÀ°è ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðd ABCD ªÀÄvÀÄÛ EFCD
UÀ¼ÀÄ AB ªÀÄvÀÄÛ DC ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ gÉÃSÉUÀ¼À £ÀqÀÄªÉ EªÉ JAzÁUÀ°Ã ºÉüÀ®Ä ¸ÁzsÀå«®è. (CªÀÅUÀ¼ÀÄ
MAzÉà ¥ÁzÀ DC ºÁUÀÆ AD||BC
gÉÃSÉUÀ¼À £ÀqÀÄªÉ EzÀÝgÀÆ PÀÆqÁ)
JgÀqÀÄ ¸ÀªÀiÁ£ÁAvÀgÀ gÉÃSÉUÀ¼À°è
MAzÀÄ ¸ÁªÀiÁ£Àå ¥ÁzÀªÀ£ÀÄß
ºÉÆA¢gÀĪÀ gÉÃSÉAiÀiÁVgÀ¨ÉÃPÀÄ
JA§ÄzÀ£ÀÄß ¸ÀàµÀÖªÁV UÀªÀĤ¸À¨ÉÃPÀÄ.
avÀæ 9.7(1)gÀ°è wæ¨sÀÄd ABC
ªÀÄvÀÄÛ wæ¨sÀÄd DBE UÀ¼ÀÄ MAzÉÃ
¥ÁzÀzÀ ªÉÄð®èªÉA§ÄzÀ£ÀÄß UÀªÀĤ¹.
Not to be
avÀæ 9.7
ºÁUÉAiÉÄà avÀæ 9.7 (ii)
gÀ°è wæ¨sÀÄd ABC ªÀÄvÀÄÛ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ
C¨sÁå¸À 9.1
1. F PɼÀV£À avÀæUÀ¼À°è MAzÉà ¥ÁzÀ ªÀÄvÀÄÛ MAzÉà eÉÆvÉ ¸ÀªÀiÁ£ÁAvÀgÀ gÉÃSÉUÀ¼À £ÀqÀĪÉ
EgÀĪÀ DPÀÈwUÀ¼ÀÄ AiÀiÁªÀŪÀÅ? CAvÀºÀ ¸ÀAzÀ¨sÀðUÀ¼À°è ¸ÁªÀiÁ£Àå¥ÁzÀ ªÀÄvÀÄÛ JgÀqÀÄ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ
¸ÀgÀ¼ÀgÉÃSÉUÀ¼À£ÀÄß ºÉ¸Àj¹.
avÀæ 9.8
158 UÀtÂvÀ
9.3 MAzÉà ¥ÁzÀ ªÀÄvÀÄÛ MAzÉà eÉÆvÉ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ gÉÃSÉUÀ¼À £ÀqÀÄªÉ EgÀĪÀ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ
ZÀvÀĨsÀÄðdUÀ¼ÀÄ:
FUÀ MAzÉà ¥ÁzÀ ºÁUÀÆ MAzÉà eÉÆvÉ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ gÉÃSÉUÀ¼À £ÀqÀÄªÉ EgÀĪÀ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðdUÀ¼À
«¹ÛÃtðUÀ¼À £ÀqÀÄ«£À ¸ÀA§AzsÀUÀ¼ÉãÀÄ? JA§ÄªÀÅzÀ£ÀÄß w½AiÀÄĪÀ ¥ÀæAiÀÄvÀß ªÀiÁqÉÆÃt. CzÀPÁÌV F
Not to be republished
PɼÀV£À ZÀlĪÀnPÉAiÀÄ£ÀÄß ªÀiÁqÉÆÃt.
ZÀlĪÀnPÉ 1 : MAzÀÄ UÁæ¥sï (D¯ÉÃR) ºÁ¼ÉAiÀÄ£ÀÄß vÉUÉzÀÄPÉÆAqÀÄ avÀæ 9.9gÀ°è vÉÆÃj¹gÀĪÀAvÉ
ABCD ªÀÄvÀÄÛ PQCD JA§ JgÀqÀÄ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðdUÀ¼À£ÀÄß gÀa¹¸ÉÆÃt.
©KTBS
avÀæ 9.9
ªÉÄð£À JgÀqÀÄ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðdUÀ¼ÀÄ MAzÉà ¥ÁzÀ DC AiÀÄ ªÉÄðzÀÄÝ PB ªÀÄvÀÄÛ
DC ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ gÉÃSÉUÀ¼À £ÀqÀÄªÉ EªÉ. KPÀªÀiÁ£À «¹ÛÃtðzÀ ZËPÀUÀ¼À ¸ÀASÉåUÀ¼À£ÀÄß Jt¹PÉÆAqÀÄ
¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðdUÀ¼À «¹ÛÃtðUÀ¼À£ÀÄß ¯ÉPÁÌZÁgÀ ªÀiÁqÀĪÀ «zsÁ£ÀªÀ£ÀÄß ¸Àäj¹PÉƼÀÀÄzÀÄ.
F «zsÁ£ÀzÀ°è KPÀªÀiÁ£À «¹ÛÃtðzÀ ¥ÀÆtðZËPÀUÀ¼À£ÀÄß ¯ÉPÁÌZÁgÀ ªÀiÁqÀĪÁUÀ, CzsÀðQÌAvÀ
ºÉZÀÄÑ ¨sÁUÀ«gÀĪÀ ZËPÀUÀ¼À£ÀÄß MAzÀÄ ¥ÀÆtðZËPÀªÉAzÀÄ ¥ÀjUÀt¹ ¯ÉPÁÌZÁgÀ ªÀiÁqÀ¨ÉÃPÀÄ. DzÀ-
gÉ CzsÀðQÌAvÀ PÀrªÉÄ ¨sÁUÀ«gÀĪÀ ZËPÀÀªÀ£ÀÄß ©lÄÖ©qÀ¨ÉÃPÀÄ. JgÀqÀÆ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðdUÀ¼À
2
«¹ÛÃtUÀ¼ÀÄ 15cm (¸Àj¸ÀĪÀiÁgÁV) JAzÀÄ ¤ªÀÄUÉ w½AiÀÄÄvÀÛzÉ. E£ÀÄß ºÉZÀÄÑ eÉÆvÉ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ
*
ZÀvÀĨsÀÄðdUÀ¼À£ÀÄß UÁæ¥sï ºÁ¼ÉAiÀÄ ªÉÄÃ¯É ©r¹ F ZÀlĪÀnPÉAiÀÄ£ÀÄß ¥ÀÄ£ÀgÁªÀw𹠤êÉãÀ£ÀÄß
UÀªÀĤ¸ÀÄ«j? JgÀqÀÆ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðdUÀ¼À «¹ÛÃtðUÀ¼ÀÄ ¥ÀgÀ¸ÀàgÀ ¸ÀªÀĪÁVªÉAiÉÄ? CxÀªÁ ¨ÉÃgÉ
¨ÉÃgÉAiÀiÁVªÉAiÉÄ? CªÀÅUÀ¼ÀÄ RArvÀªÁV ¸ÀªÀĪÁVªÉ. DzÀÝjAzÀ MAzÉà ¥ÁzÀ ªÀÄvÀÄÛ MAzÉà ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ
gÉÃSÉUÀ¼À £ÀqÀÄªÉ EgÀĪÀ JgÀqÀÄ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðdUÀ¼À «¹ÛÃtðUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀÄ JA§ wêÀiÁð£ÀPÉÌ ¤ÃªÀÅ
§gÀ§ºÀÄzÀÄ. ºÁVzÀÝgÀÆ EzÀÄ §gÉà vÁ¼É£ÉÆÃqÀĪÀ «zsÁ£À JA§ÄªÀÅzÀ£ÀÄß £É£À¦lÄÖPÉƽî.
ZÀlĪÀnPÉ 2: MAzÀÄ gÀlÄÖ CxÀªÁ zÀ¥Àà PÁUÀzÀzÀ
ºÁ¼ÉAiÀÄ ªÉÄÃ¯É ABCD ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðdªÀ£ÀÄß
gÀa¹. FUÀ, avÀæ 9.10gÀ°è vÉÆÃj¹gÀĪÀAvÉ DE JA§
gÉÃSÁRAqÀªÀ£ÀÄß gÀa¹.
avÀæ 9.10
* F ZÀlĪÀnPÉAiÀÄ£ÀÄß fAiÉÆèÉÆÃqïð G¥ÀAiÉÆÃV¹ PÀÆqÁ ªÀiÁqÀ§ºÀÄzÀÄ.
¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðUÀ¼ÀÄ ªÀÄvÀÄÛ wæ¨sÀÄdUÀ¼À «¹ÛÃtðUÀ¼ÀÄ 159
£ÀAvÀgÀ ∆ ADE UÉ ¸ÀªÀð¸ÀªÀĪÁVgÀĪÀAvÉ
1
1
1
∆ A D E £ÀÄß mÉæùAUï ¥ÉÃ¥Àgï£À ¸ÀºÁAiÀÄ¢AzÀ ¥ÀævÉåÃPÀ
1
1
ºÁ¼ÉAiÀÄ ªÉÄÃ¯É PÀvÀÛj¹ ªÀÄvÀÄÛ A D EzÀÄ BC AiÀÄ ªÉÄïÉ
LPÀåªÁUÀĪÀAvÉ avÀæ 9.11 gÀ°è vÉÆÃj¹gÀĪÀAvÉ eÉÆÃr¹.
1
ABCD ªÀÄvÀÄÛ EE CD ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðUÀ¼ÀÄ
Not to be republished
1
MAzÉà ¥ÁzÀ CD ªÀÄvÀÄÛ AE ªÀÄvÀÄÛ DC ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ
gÉÃSÉUÀ¼À £ÀqÀÄªÉ EªÉ JA§ÄzÀ£ÀÄß UÀªÀĤ¹. EªÀÅUÀ¼À
«¹ÛÃtðUÀ¼À §UÉÎ ¤ÃªÉãÀÄ ºÉüÀÄ«j? avÀæ 9.11
1
∆ ADE ≅ ∆ A D E 1
1
©KTBS
1
1
1
DzÀÝjAzÀ « (ADE) = « (A D E ) (« = «¹ÛÃtð)
ªÀÄvÀÄÛ « (ABCD) = « (ADE) + « (EBCD)
1
1
1
= « (A D E ) + « (EBCD)
1
= « (EE CD).
DzÀÝjAzÀ JgÀqÀÄ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðdUÀ¼ÀÄ ¥ÀgÀ¸ÀàgÀ ¸ÀªÀÄ.
EAvÀºÀ JgÀqÀÄ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðdUÀ¼À £ÀqÀÄ«£À ¸ÀA§AzsÀªÀ£ÀÄß £Á«ÃUÀ ¸Á¢ü¸À®Ä
¥ÀæAiÀÄw߸ÉÆÃt.
¥ÀæªÉÄÃAiÀÄ: 9.1: MAzÉà ¥ÁzÀzÀ ªÉÄÃ¯É ªÀÄvÀÄÛ MAzÉà eÉÆvÉ
¸ÀªÀiÁAvÀgÀ gÉÃSÉUÀ¼À £ÀqÀÄªÉ EgÀĪÀ JgÀqÀÄ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ
ZÀvÀĨsÀÄðdUÀ¼À «¹ÛÃtðUÀ¼ÀÄ ¥ÀgÀ¸ÀàgÀ ¸ÀªÀĪÁVgÀÄvÀÛªÉ.
¸ÁzsÀ£É : ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðd ABCD ªÀÄvÀÄÛ
¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðd EFCD UÀ¼ÀÄ MAzÉà ¥ÁzÀ
DC AiÀÄ ªÉÄðzÀÄÝ MAzÉà eÉÆvÉ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ gÉÃSÉUÀ¼ÁzÀ
AF ªÀÄvÀÄÛ DC UÀ¼À £ÀqÀÄªÉ EªÉ. (avÀæ 9.12 UÀªÀĤ¹) avÀæ 9.12
£ÁªÀÅ ¸Á¢ü¸À¨ÉÃPÁzÀÄzÀÄ « (ABCD ) = « (EFCD)
∆ ADE ªÀÄvÀÄÛ ∆ BCF UÀ¼À°è
∠DAE = ∠CBF (C£ÀÄgÀÆ¥À PÉÆãÀUÀ¼ÀÄ, AD || BC ªÀÄvÀÄÛ AF bÉÃzÀPÀgÉÃSÉ) ............ (1)
∠AED = ∠BFC (C£ÀÄgÀÆ¥À PÉÆãÀUÀ¼ÀÄ. ED || FC ªÀÄvÀÄÛ AF bÉÃzÀPÀgÉÃSÉ) ............ (2)
DzÀÝjAzÀ, ∠ADE = ∠BCF ( wæ¨sÀÄdzÀ PÉÆãÀUÀ¼À ªÉÆvÀÛzÀ UÀÄt®PÀët) ............ (3)
ºÁUÉAiÉÄÃ, AD = BC. (ABCD ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðdzÀ C©üªÀÄÄR ¨ÁºÀÄUÀ¼ÀÄ) ............ (4)
DzÀÝjAzÀ, ∆ADE ≅ ∆BCF(ASA ¹zÁÞAvÀzÀ ¥ÀæPÁgÀ 1 ªÀÄvÀÄÛ 3 ªÀÄvÀÄÛ 4jAzÀ)
DzÀÝjAzÀ, « (ADE) = «(BCF) (¸ÀªÀð¸ÀªÀÄ DPÀÈwUÀ¼À «¹ÛÃtðUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀÄ) ............ (5)
FUÀ, « (ABCD) = «(ADE) + « (EDCB)
= «(BCF) + « (EDCB) [5 jAzÀ]
= «(EFCD)
DzÀÝjAzÀ ABCD ªÀÄvÀÄÛ EFCD ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðdUÀ¼À «¹ÛÃtðUÀ¼ÀÄ ¥ÀgÀ¸ÀàgÀ ¸ÀªÀÄ.
160 UÀtÂvÀ
ªÉÄð£À ¥ÀæªÉÄÃAiÀÄzÀ G¥ÀAiÉÆÃUÀªÀ£ÀÄß PÉ®ªÀÅ GzÁºÀgÀuÉUÀ¼À ªÀÄÆ®PÀ ¸ÀàµÀà¥Àr¸ÉÆÃt.
GzÁºÀgÀuÉ 1 : avÀæ 9.13gÀ°è ABCD MAzÀÄ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ
ZÀvÀĨsÀÄðd ªÀÄvÀÄÛ EFCD MAzÀÄ DAiÀÄvÀ.
ºÁUÉAiÉÄÃ, AL ⊥ DC
Not to be republished
(i) « (ABCD) = « (EFCD)
(ii) « (ABCD) = DC × AL JAzÀÄ ¸Á¢ü¹.
¥ÀjºÁgÀ: (i) DAiÀÄvÀªÀÇ PÀÆqÁ MAzÀÄ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ avÀæ 9.13
©KTBS
ZÀvÀĨsÀÄðdªÁVzÉ.
DzÀÝjAzÀ « (ABCD) = « (EFCD) (¥ÀæªÉÄÃAiÀÄ 9.1)
(ii) ªÉÄð£À ¥sÀ°vÁA±À¢AzÀ, « (ABCD) = DC × FC (DAiÀÄvÀzÀ «¹ÛÃtð = GzÀÝ × CUÀ®)
............ (1)
AL ⊥ DC DVzÉ. DzÀÝjAzÀ AFCL PÀÆqÁ DAiÀÄvÀªÁVzÉ. »ÃUÉ AL = FC
............ (2)
DzÀÝjAzÀ, « (ABCD) = DC × AL (1 ªÀÄvÀÄÛ 2 jAzÀ)
ªÉÄð£À (ii) £Éà ¥sÀ°vÁA±À¢AzÀ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðdzÀ «¹ÛtðªÀÅ CzÀgÀ AiÀiÁªÀÅzÁzÀgÉÆAzÀÄ
¨ÁºÀÄ ªÀÄvÀÄÛ CzÀPÉÌ C£ÀÄgÀÆ¥ÀªÁzÀ JvÀÛgÀUÀ¼À UÀÄt®§ÞªÁVgÀÄvÀÛzÉ JA§ÄªÀÅzÀ£ÀÄß ¤ÃªÀÅ UÀªÀĤ¹¢ÝÃgÁ?
¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðdzÀ «¹ÛÃtð PÀAqÀÄ»rAiÀÄĪÀ F ¸ÀÆvÀæªÀ£ÀÄß 7£Éà vÀgÀUÀwAiÀÄ°è PÀ°wgÀĪÀÅzÀÄ
¤ªÀÄUÉ £É£À¦zÉAiÉÄÃ? F ¸ÀÆvÀæzÀ DzsÁgÀ¢AzÀ ¥ÀæªÉÄÃAiÀÄ 9.1 £ÀÄß »ÃUÉ §gÉAiÀħºÀÄzÀÄ. MAzÉà ¥ÁzÀ
CxÀªÁ ¸ÀªÀÄ¥ÁzÀUÀ¼À£ÀÄß ºÉÆA¢gÀĪÀ ªÀÄvÀÄÛ MAzÉà eÉÆvÉ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ gÉÃSÉUÀ¼À £ÀqÀÄªÉ EgÀĪÀ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ
ZÀvÀĨsÀÄðdUÀ¼À «¹ÛÃtðUÀ¼ÀÄ ¥ÀgÀ¸ÀàgÀ ¸ÀªÀĪÁVgÀÄvÀÛªÉ.
ªÉÄð£À ºÉýPÉAiÀÄ «¯ÉÆêÀĪÀ£ÀÄß ¤ÃªÀÅ §gÉAiÀħºÀÄzÉ? CzÀÄ »ÃVzÉ "¸ÀªÀÄ£ÁzÀ «¹ÛÃtð
ºÉÆA¢gÀĪÀ ªÀÄvÀÄÛ MAzÉà ¥ÁzÀzÀ CxÀªÁ ¸ÀªÀÄ¥ÁzÀUÀ¼À ªÉÄðgÀĪÀ JgÀqÀÄ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðdUÀ¼ÀÄ
MAzÉà eÉÆvÉ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ gÉÃSÉUÀ¼À £ÀqÀÄªÉ EªÉ. F «¯ÉÆêÀÄ ºÉýPÉ ¸ÀjAiÉÄÃ? ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ
ZÀvÀĨsÀÄðdzÀ «¹ÛÃtðzÀ ¸ÀÆvÀæ¢AzÀ «¯ÉÆêÀÄ ºÉýPÉAiÀÄ£ÀÄß ¸Á¢ü¹.
GzÁºÀgÀuÉ 2: MAzÀÄ wæPÉÆãÀ ªÀÄvÀÄÛ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĪÀÄÄðRUÀ¼ÀÄ MAzÉà ¥ÁzÀzÀ ªÉÄðzÀÄÝ, MAzÉÃ
eÉÆvÉ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ gÉÃSÉUÀ¼À £ÀqÀÄªÉ EzÀÝgÉ wæPÉÆãÀzÀ «¹ÛÃtðªÀÅ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĪÀÄÄðRzÀ «¹ÛÃtðzÀ
CzsÀðzÀµÀÄÖ EgÀÄvÀÛzÉ JAzÀÄ ¸Á¢ü¹.
¥ÀjºÁgÀ: ∆ ABP ªÀÄvÀÄÛ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðd
ABCD UÀ¼ÀÄ MAzÉà ¥ÁzÀ AB AiÀÄ ªÉÄðzÀÄÝ AB ªÀÄvÀÄÛ PC
¸ÀªÀiÁAvÀgÀ gÉÃSÉUÀ¼À £ÀqÀÄªÉ EªÉ JA¢lÄÖPÉƼÉÆîÃt. (avÀæ
9.14 UÀªÀĤ¹)
¤ÃªÀÅ ¸Á¢ü¸À¨ÉÃPÁVgÀĪÀÅzÀÄ,
1
« (PAB) = « (ABCD) avÀæ 9.14
2
ABQP JA§ E£ÉÆßAzÀÄ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðdªÀ£ÀÄß
¥ÀqÉAiÀÄ®Ä BQ II AP gÀa¸À¨ÉÃPÀÄ.
FUÀ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðd ABQP ªÀÄvÀÄÛ ABCD UÀ¼ÀÄ MAzÉà ¥ÁzÀ ABAiÀÄ ªÉÄðzÀÄÝ AB
ªÀÄvÀÄÛ PC ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ gÉÃSÉUÀ¼À £ÀqÀÄªÉ EªÉ.
¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðUÀ¼ÀÄ ªÀÄvÀÄÛ wæ¨sÀÄdUÀ¼À «¹ÛÃtðUÀ¼ÀÄ 161
DzÀÝjAzÀ: « (ABQP)= « (ABCD) (¥ÀæªÉÄÃAiÀÄ 9.1gÀ ¥ÀæPÁgÀ) ............... (1)
DzÀgÉ ∆PAB ≅ ∆ BQP (PB PÀtðªÀÅ ABQP ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðdªÀ£ÀÄß JgÀqÀÄ ¸ÀªÀð¸ÀªÀÄ
wæ¨sÀÄdUÀ¼ÁV «AUÀr¸ÀÄvÀÛzÉ).
Not to be republished
ºÁUÁV, « (PAB) = « (BQP) ............... (2)
1
DzÀÝjAzÀ « (PAB) = « (ABQP) - [2 jAzÀ] ............... (3)
2
1
EzÀjAzÀ « (PAB) = (ABCD) (1 ªÀÄvÀÄÛ 3 jAzÀ)
2
©KTBS
C¨sÁå¸À 9.2
1. avÀæ 9.15 gÀ°è ABCD MAzÀÄ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðd
AE ⊥ DC ªÀÄvÀÄÛ CF ⊥ AD DVzÉ. AB = 16cm
AE = 8cm, CF = 10cm DzÀgÉ AD AiÀÄ£ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj.
2. E,F,G ªÀÄvÀÄÛ H UÀ¼ÀÄ PÀæªÀĪÁV ABCD ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ
ZÀvÀĨsÀÄðdzÀ ¨ÁºÀÄUÀ¼À ªÀÄzsÀå©AzÀÄUÀ¼ÁzÀgÉ,
1 avÀæ 9.15
« (EFGH) = « (ABCD) JAzÀÄ ¸Á¢ü¹.
2
3. P ªÀÄvÀÄÛ Q UÀ¼ÀÄ PÀæªÀĪÁV ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ABCD
ZÀvÀĨsÀÄðdzÀ DC ªÀÄvÀÄÛ AD ¨ÁºÀÄUÀ¼À
ªÉÄð£À AiÀiÁªÀÅzÁzÀgÀÆ JgÀqÀÄ ©AzÀÄUÀ¼ÀÄ.
«(APB) = « (BQC) . JAzÀÄ vÉÆÃj¹.
4. avÀæ 9.16 gÀ°è P AiÀÄÄ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðdzÀ
M¼ÀV£À AiÀiÁªÀÅzÁzÀgÉÆAzÀÄ ©AzÀÄ DzÀgÉ, avÀæ 9.16
1
(i) « (ABP) = « (PCD) = « (ABCD)
2
(ii) « (APD) + « (PBC) = « (APB) + « (PCD) JAzÀÄ ¸Á¢ü¹.
[¸ÀļÀĺÀÄ: PAiÀÄ ªÀÄÄSÁAvÀgÀ AB UÉ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀªÁV MAzÀÄ ¸ÀgÀ¼ÀgÉÃSÉAiÀÄ£ÀÄß J¼É¬Äj]
5. avÀæ 9.17 gÀ°è PQRS ªÀÄvÀÄÛ ABRS UÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ
ZÀvÀĨsÀÄðdUÀ¼ÀÄ. X JA§ÄªÀÅzÀÄ BR ªÉÄð£À
AiÀiÁªÀÅzÉà MAzÀÄ ©AzÀÄ DzÀgÉ,
(i) « (PQRS) = « (ABRS)UÀ¼ÀÄ
1 avÀæ 9.17
(ii) « (AXS) = « (PQRS) JAzÀÄ ¸Á¢ü¹.
2
162 UÀtÂvÀ
6. PÀȶPÀ¼ÉƧâ¼À ºÉÆ®ªÀÅ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðd PQRS £À DPÀÈwAiÀÄ°èzÉ. DPÉAiÀÄÄ RS ¨ÁºÀÄ«£À
ªÉÄÃ¯É A ©AzÀĪÀ£ÀÄß UÀÄwð¹ CzÀ£ÀÄß P ªÀÄvÀÄÛ Q ±ÀÈAUÀUÀ½UÉ ¸ÉÃj¹zÀ¼ÀÄ. ºÉÆ®ªÀÅ JµÀÄÖ
¨sÁUÀUÀ¼ÁV «AUÀqÀuÉAiÀiÁ¬ÄvÀÄ? F ¨sÁUÀUÀ¼À DPÁgÀ AiÀiÁªÀÅzÀÄ? D PÀȶPÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀÄ£ÁzÀ
¨sÁUÀUÀ¼À°è UÉÆâü ªÀÄvÀÄÛ PÁ¼ÀÄUÀ¼À£ÀÄß ¥ÀævÉåÃPÀªÁV ©vÀÛ®Ä EaѹzÀgÉ CzÀ£ÀÄß DPÉAiÀÄÄ ºÉÃUÉ
ªÀiÁqÀ§ºÀÄzÀÄ?
Not to be republished
9.4 MAzÉà ¥ÁzÀ ªÀÄvÀÄÛ MAzÉà eÉÆvÉ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ gÉÃSÉUÀ¼À £ÀqÀÄªÉ EgÀĪÀ wæ¨sÀÄdUÀ¼ÀÄ.
avÀæ 9.18 £ÀÄß UÀªÀĤ¹ EzÀgÀ°è wæ¨sÀÄd ABC ªÀÄvÀÄÛ wæ¨sÀÄd
PBC UÀ¼ÀÄ MAzÉà ¥ÁzÀ BC AiÀÄ ªÉÄðzÀÄÝ BC ªÀÄvÀÄÛ AP
©KTBS
¸ÀªÀiÁAvÀgÀ gÉÃSÉUÀ¼À £ÀqÀÄªÉ EªÉ. F wæ¨sÀÄdUÀ¼À «¹ÛÃtðUÀ¼ÀÄ
ºÉÃVgÀ§ºÀÄzÀÄ? F ¥Àæ±ÉßUÉ GvÀÛj¸À®Ä, MAzÉà ¥ÁzÀ ªÀÄvÀÄÛ MAzÉÃ
eÉÆvÉ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ gÉÃSÉUÀ¼À £ÀqÀÄªÉ EgÀĪÀAvÉ MAzÀÄ UÁæ¥sï
ºÁ¼ÉAiÀÄ°è ºÀ®ªÀÅ eÉÆvÉ wæPÉÆãÀUÀ¼À£ÀÄß gÀa¹ CzÀgÀ M¼ÀUÉ §gÀĪÀ
ªÀUÀðUÀ¼À£ÀÄß Jt¹ «¹ÛÃtð PÀAqÀÄ»rAiÀÄĪÀ ZÀlĪÀnPÉAiÀÄ£ÀÄß
ªÀiÁqÀ¨ÉÃPÁUÀÄvÀÛzÉ. ¥ÀæwAiÉÆAzÀÄ ¸ÀAzÀ¨sÀðzÀ°è JgÀqÀÆ wæ¨sÀÄdUÀ¼À avÀæ 9.18
«¹ÛÃtðUÀ¼ÀÄ ¥ÀgÀ¸ÀàgÀ ¸ÀªÀÄ (¸Àj¸ÀĪÀiÁgÁV) JAzÀÄ ¤ÃªÀÅ
UÀªÀĤ¸À§ºÀÄzÀÄ. F ZÀlĪÀnPÉAiÀÄ£ÀÄß fAiÉÆèÉÆÃqïð G¥ÀAiÉÆÃV¹PÉÆAqÀÄ PÀÆqÁ ªÀiÁqÀ§ºÀÄzÀÄ.
¥ÀÄ£ÀB JgÀqÀÄ wæ¨sÀÄdUÀ¼À «¹ÛÃtðUÀ¼ÀÄ ¥ÀgÀ¸ÀàgÀ ¸ÀªÀĪÁVgÀĪÀÅzÀ£ÀÄß (¸Àj¸ÀĪÀiÁgÁV) ¤ÃªÀÅ
UÀªÀĤ¸À§ºÀÄzÀÄ.
ªÉÄð£À ¥Àæ±ÉßUÉ vÁQðPÀ GvÀÛgÀ ¥ÀqÉAiÀĨÉÃPÁzÀgÉ ¤ÃªÀÅ »ÃUÉ ªÀÄÄAzÀĪÀj¸À§ºÀÄzÀÄ.
avÀæ 9.18 gÀ°è D ªÀÄvÀÄÛ RUÀ¼ÀÄ AP gÉÃSÉAiÀÄ
ªÉÄðgÀĪÀAvÉ CD || BA ªÀÄvÀÄÛ CR || BP gÀa¸À¨ÉÃPÀÄ.
(avÀæ. 9.19 £ÀÄß UÀªÀĤ¹)
EzÀjAzÀ ¹UÀĪÀ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðdUÀ¼ÁzÀ PBCR
ªÀÄvÀÄÛ ABCD UÀ¼ÀÄ MAzÉà ¥ÁzÀ BCAiÀÄ ªÉÄðzÀÄÝ MAzÉÃ
eÉÆvÉ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ gÉÃSÉUÀ¼ÁzÀ BC ªÀÄvÀÄÛ ARUÀ¼À £ÀqÀÄªÉ avÀæ 9.19
EªÉ.
DzÀÝjAzÀ: « (ABCD) = « (PBCR) (AiÀiÁPÉ?).
FUÀ ∆ ABC ≅ ∆ CDA ªÀÄvÀÄÛ ∆ PBC ≅ ∆ CRP (AiÀiÁPÉ?)
1 1
ºÁUÉAiÉÄà « (ABC) = « (ABCD) ªÀÄvÀÄÛ « (PBC) = « (PBCR) (AiÀiÁPÉ?)
2 2
DzÀÝjAzÀ « (ABC) = « (PBC)
»ÃUÉ ¤ÃªÀÅ F PɼÀV£À ¥ÀæªÉÄÃAiÀÄPÉÌ §gÀÄwÛÃj.
¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðUÀ¼ÀÄ ªÀÄvÀÄÛ wæ¨sÀÄdUÀ¼À «¹ÛÃtðUÀ¼ÀÄ 163
¥ÀæªÉÄÃAiÀÄ 9.2 MAzÉà ¥ÁzÀ (¸ÀªÀĪÁzÀ)zÀ ªÉÄðgÀĪÀ ºÁUÀÆ
MAzÉà eÉÆvÉ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ gÉÃSÉUÀ¼À £ÀqÀÄªÉ EgÀĪÀ wæPÉÆãÀUÀ¼À
«¹ÛÃtðUÀ¼ÀÄ ¥ÀgÀ¸ÀàgÀ ¸ÀªÀĪÁVgÀÄvÀÛªÉ.
(avÀæ 9.20 UÀªÀĤ¹) FUÀ ABCD MAzÀÄ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ
(avÀæ 9,21 £ÀÄß UÀªÀĤ¹)to be republished
ZÀvÀĨsÀÄðdªÁVgÀ° AC CzÀgÀ MAzÀÄ PÀtð AN ⊥ DC
DVgÀ°.
avÀæªÀ£ÀÄß UÀªÀĤ¹ ∆ ADC ≅ ∆ CBA (AiÀiÁPÉ?)
avÀæ 9.20
DUÀ « (ADC) = « (CBA) (AiÀiÁPÉ?)
©KTBS
1
DzÀÝjAzÀ « (ADC) = « (ABCD)
2
1
= (DC × AN) (AiÀiÁPÉ?)
2
1
DUÀ « (ADC) = × ¥ÁzÀ DC × C£ÀÄgÀÆ¥À JvÀÛgÀ AN.
2
CxÀªÁ wæ¨sÀÄdzÀ «¹ÛçÃtðªÀÅ CzÀgÀ ¥ÁzÀ (AiÀiÁªÀÅzÁzÀgÉÆAzÀÄ ¨ÁºÀÄ) ªÀÄvÀÄÛ CzÀPÉÌ C£ÀÄgÀÆ¥ÀªÁzÀ
JvÀÛgÀUÀ¼À UÀÄt®§ÝzÀ CzsÀðzÀ¶ÖgÀÄvÀÛzÉ. wæPÉÆãÀzÀ «¹ÛÃtð PÀAqÀÄ»rAiÀÄĪÀ F ¸ÀÆvÀæªÀ£ÀÄß ¤ÃªÀÅ
7£Éà vÀgÀUÀwAiÀÄ°è PÀ°wgÀĪÀÅzÀÄ £É£É¦zÉAiÉÄÃ? MAzÉà ¥ÁzÀ CxÀªÁ ¸ÀªÀĪÁzÀ ¥ÁzÀUÀ¼À£ÀÄß ºÉÆA¢zÀÄÝ
«¹ÛÃtðUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀĪÁVgÀĪÀ JgÀqÀÄ wæ¨sÀÄdUÀ¼À C£ÀÄgÀÆ¥À JvÀÛgÀUÀ¼ÀÄ ¥ÀgÀ¸ÀàgÀ ¸ÀªÀÄ£ÁVgÀÄvÀÛªÉ JA§ÄªÀÅzÀ£ÀÄß
F ¸ÀÆvÀæ¢AzÀ ¤ÃªÀÅ w½AiÀħºÀÄzÀÄ.
JgÀqÀÄ wæ¨sÀÄdUÀ¼À C£ÀÄgÀÆ¥À JvÀÛgÀUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀÄ£ÁUÀ¨ÉÃPÁzÀgÉ D wæ¨sÀÄdUÀ¼ÀÄ MAzÉà eÉÆvÉ
¸ÀªÀiÁAvÀgÀ gÉÃSÉUÀ¼À £ÀqÀÄªÉ EgÀ¯ÉèÉÃPÀÄ. EzÀjAzÀ ¤ÃªÀÅ ¥ÀæªÉÄÃAiÀÄ 9.2 gÀ «¯ÉÆêÀÄPÉÌ §gÀ§ºÀÄzÀÄ.
¥ÀæªÉÄÃAiÀÄ 9.3: MAzÉà ¥ÁzÀ (¸ÀªÀÄ£ÁzÀ ¥ÁzÀ) ºÉÆA¢gÀĪÀ JgÀqÀÄ wæ¨sÀÄdUÀ¼À «¹ÛÃtðUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀÄ£ÁzÀgÉ
D JgÀqÀÄ wæ¨sÀÄdUÀ¼ÀÄ MAzÉà eÉÆvÉ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ gÉÃSÉUÀ¼À £ÀqÀÄªÉ EgÀÄvÀÛªÉ.
ªÉÄð£À ¥sÀ°vÁA±ÀzÀ G¥ÀAiÉÆÃUÀªÀ£ÀÄß ¸ÁzÀȱÀå¥Àr¸À®Ä FUÀ PÉ®ªÀÅ GºÁºÀgÀuÉUÀ¼À£ÀÄß w½zÀÄPÉƼÉÆîÃt.
GzÁºÀgÀuÉ 3: wæ¨sÀÄdzÀ ªÀÄzsÀågÉÃSÉAiÀÄÄ wæ¨sÀÄdªÀ£ÀÄß JgÀqÀÄ ¸ÀªÀÄ£ÁzÀ «¹ÛÃtð«gÀĪÀ JgÀqÀÄ
wæ¨sÀÄdUÀ¼ÁV «AUÀr¸ÀÄvÀÛzÉ JAzÀÄ ¸Á¢ü¹.
Not
¥ÀjºÁgÀ: ABC MAzÀÄ wæ¨sÀÄdªÁVgÀ°. AD AiÀÄÄ CzÀgÀ AiÀiÁªÀÅzÁzÀgÉÆAzÀÄ ªÀÄzsÀågÉÃSÉAiÀiÁVgÀ°.
¤ÃªÀÅ ¸Á¢ü¸À¨ÉÃPÁVgÀĪÀÅzÀÄ,
« (ABD) = « (ACD)
«¹ÛÃtðªÀ£ÀÄß PÀAqÀÄ»rAiÀÄĪÀ ¸ÀÆvÀæªÀÅ JvÀÛgÀªÀ£ÀÄß
M¼ÀUÉÆArgÀĪÀ PÁgÀt, AN ⊥ BC AiÀÄ£ÀÄß gÀa¸ÉÆÃt.
1
FUÀ « (ABD) = × ¥ÁzÀ × ∆ ABD AiÀÄ JvÀÛgÀ
2 avÀæ 9.21
1
= × BD × AN
2
1
= × CD × AN (BD = CD DVgÀĪÀÅzÀjAzÀ)
2
164 UÀtÂvÀ
1
= × ¥ÁzÀ × ∆ ACD AiÀÄ JvÀÛgÀ
2
= « (ACD)
GzÁºÀgÀuÉ 4 : avÀæ 9.22 gÀ°è ABCD MAzÀÄ ZÀvÀĨsÀÄðd
Not to be republished
BE || AC ªÀÄvÀÄÛ BE AiÀÄÄ DC AiÀÄ ªÀÈ¢Þ¹zÀ ¨sÁUÀªÀ£ÀÄß
E £À°è ¸ÀA¢ü¸ÀÄvÀÛzÉ. ∆ ADE AiÀÄ «¹ÛÃtðªÀÅ ABCD
ZÀvÀĨsÀÄðdzÀ «¹ÛÃtðPÉÌ ¸ÀªÀÄ JAzÀÄ ¸Á¢¹.
¥ÀjºÁgÀ : avÀæªÀ£ÀÄß JZÀÑgÀ¢AzÀ UÀªÀĤ¹.
©KTBS
∆ ABC ªÀÄvÀÄÛ ∆ EAC UÀ¼ÀÄ MAzÉà ¥ÁzÀ AC ªÉÄðzÀÄÝ
avÀæ 9.22
AC ªÀÄvÀÄÛ BE JA§ MAzÉà eÉÆvÉ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ gÉÃSÉUÀ¼À
£ÀqÀÄªÉ EzÉ.
DzÀÝjAzÀ «(BAC) = «(EAC) (¥ÀæªÉÄÃAiÀÄ 9.2 gÀ ¥ÀæPÁgÀ)
DzÀPÁgÀt : «(BAC) + «(ADC) = «(EAC) + «(ADC) (¸ÀªÀiÁ£À «¹ÛÃtðUÀ¼À£ÀÄß JgÀqÀÆ
§¢UÀ½UÉ ¸ÉÃj¹zÁUÀ)
CxÀªÁ «(ABCD) = «(ADE)
C¨sÁå¸À 9.3
(1) avÀæ 9.23 gÀ°è ∆ ABC AiÀÄ AD ªÀÄzsÀågÉÃSÉAiÀÄ ªÉÄð£À
MAzÀÄ ©AzÀÄ E DzÀgÉ « (ABE) = « (ACE) JAzÀÄ
¸Á¢ü¹.
(2) ∆ ABC AiÀÄ°è AD ªÀÄzsÀågÉÃSÉAiÀÄ ªÉÄð£À ©AzÀÄ E
1
DzÀgÉ «(BED) = «(ABC) JAzÀÄ ¸Á¢ü¹.
4
(3) ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðdzÀ PÀtðUÀ¼ÀÄ CzÀ£ÀÄß ¸ÀªÀiÁ£À avÀæ 9.23
«¹ÛÃtðzÀ £Á®ÄÌ wæ¨sÀÄdUÀ¼ÁV «AUÀr¸ÀÄvÀÛªÉ JAzÀÄ
¸Á¢ü¹
(4) avÀæ 9.24gÀ°è ∆ABC ªÀÄvÀÄÛ ∆ABD UÀ¼ÀÄ MAzÉÃ
¥ÁzÀ ABAiÀÄ ªÉÄðªÉ. CD gÉÃSÁRAqÀªÀ£ÀÄß
AB AiÀÄÄ O £À°è C¢üð¹zÀgÉ «(ABC) = « (ABD)
JAzÀÄ ¸Á¢ü¹.
avÀæ 9.24
¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðUÀ¼ÀÄ ªÀÄvÀÄÛ wæ¨sÀÄdUÀ¼À «¹ÛÃtðUÀ¼ÀÄ 165
(5) D,E ªÀÄvÀÄÛ F UÀ¼ÀÄ PÀæªÀĪÁV ∆ ABC AiÀÄ ¨ÁºÀÄUÀ¼ÁzÀ BC,
CA ªÀÄvÀÄÛ AB UÀ¼À ªÀÄzsÀå©AzÀÄUÀ¼ÁzÀgÉ,
(i) BDEF MAzÀÄ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðd.
1
(ii) «(DEF) = «(ABC)
Not to be republished
4
1
(iii) «(BDEF) = «(ABC) JAzÀÄ ¸Á¢ü¹.
2
(6) avÀæ 9.25 gÀ°è ABCD ZÀvÀĨsÀÄðdzÀ PÀtðUÀ¼ÁzÀ avÀæ 9.25
AC ªÀÄvÀÄÛ BD UÀ¼ÀÄ OB = OD DUÀĪÀAvÉ O £À°è
©KTBS
¥ÀgÀ¸ÀàgÀ PÀvÀÛj¸ÀÄvÀÛªÉ. AB = CD DzÀgÉ
(i) « (DOC) = « (AOB)
(ii) « (DCB) = « (ACB)
(iii) DA || CB CxÀªÁ ABCD MAzÀÄ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðd JAzÀÄ ¸Á¢ü¹.
[¸ÀļÀĺÀÄ D ªÀÄvÀÄÛ B UÀ½AzÀ AC UÉ ®A§UÀ¼À£ÀÄß gÀa¹]
(7) ∆ ABC AiÀÄ AB ªÀÄvÀÄÛ AC ¨ÁºÀÄUÀ¼À ªÀÄzsÀå©AzÀÄUÀ¼ÀÄ PÀæªÀĪÁV D ªÀÄvÀÄÛ E DVªÉ.
«(DBC) = «(EBC) DzÀgÉ DE || BC JAzÀÄ ¸Á¢ü¹.
(8) XYAiÀÄÄ ∆ABC AiÀÄ BC ¨ÁºÀÄUÉ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ªÁVgÀĪÀ MAzÀÄ gÉÃSÉAiÀiÁVzÉ.
BE || AC ªÀÄvÀÄÛ CF || AB UÀ¼ÀÄ XY AiÀÄ£ÀÄß PÀæªÀĪÁV E ªÀÄvÀÄÛ F UÀ¼À°è ¸ÀA¢¹zÀgÉ
« (ABE) = « (ACF) JAzÀÄ ¸Á¢ü¹.
(9) ABCD ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðdzÀ AB ¨ÁºÀĪÀ£ÀÄß
AiÀiÁªÀÅzÉà MAzÀÄ ©AzÀÄ P ªÀgÉUÉ ªÀȢݸÀ¯ÁVzÉ.
A ªÀÄÆ®PÀ CP UÉ J¼ÉzÀ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀªÁzÀ
¸ÀgÀ¼ÀgÉÃSÉAiÀÄÄ CB ¬ÄAzÀ ªÀȢݹzÀ gÉÃSÉAiÀÄ£ÀÄß
Q £À°è ¸ÀA¢¹zÉ. ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðd
PBQR £ÀÄß ¥ÀÆtðUÉƽ¹zÉ. (avÀæ 9.26 UÀªÀĤ¹)
« (ABCD ) = « (PBQR) JAzÀÄ ¸Á¢ü¹.
[¸ÀļÀĺÀÄ : AC ªÀÄvÀÄÛ PQ UÀ¼À£ÀÄß ¸ÉÃj¹. DUÀ
avÀæ 9.26
« (ACQ) ªÀÄvÀÄÛ « (APQ) UÀ¼À£ÀÄß ºÉÆð¹]
(10) ABCD vÁæ¦dåzÀ°è AB || DC. AC ªÀÄvÀÄÛ BD
PÀtðUÀ¼ÀÄ O ©AzÀÄ«£À°è ¥ÀgÀ¸ÀàgÀ PÀvÀÛj¸ÀÄvÀÛªÉ.
«(AOD) = «(BOC) JAzÀÄ ¸Á¢ü¹
(11) avÀæ 9.27 gÀ°è ABCDE MAzÀÄ ¥ÀAZÀ¨sÀÄeÁPÀÈw B
¤AzÀ AC UÉ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀªÁV J¼ÉzÀ ¸ÀgÀ¼ÀgÉÃSÉAiÀÄÄ
DC AiÀÄ ªÀȢݹzÀ ¨sÁUÀªÀ£ÀÄß F £À°è ¸ÀA¢¹zÉ
(i) « (ACB) = « (ACF)
(ii) « (AEDF) = « (ABCDE) JAzÀÄ ¸Á¢ü¹. avÀæ 9.27
166 UÀtÂvÀ
(12) ºÀ½îAiÉÆAzÀgÀ°è EvïªÁj JA§ÄªÀjUÉ ¸ÉÃjzÀ d«ÄãÀÄ ZÀvÀĨsÀÄðeÁPÁgÀzÀ°èzÉ. D Hj£À
UÁæªÀÄ ¥ÀAZÁ¬ÄwAiÀÄÄ MAzÀÄ DgÉÆÃUÀå PÉÃAzÀæªÀ£ÀÄß PÀlÖ®Ä EvïªÁjAiÀĪÀgÀ d«Ää£À
ªÀÄƯÉAiÉÆAzÀgÀ ¸Àé®à ¨sÁUÀªÀ£ÀÄß vÉUÉzÀÄPÉƼÀî®Ä wêÀiÁð¤¹vÀÄ. EvïªÁjAiÀÄÄ vÀ£Àß d«Ää£À
¨sÁUÀPÉÌ §zÀ¯ÁV CµÉÖà zÉÆqÀØzÁzÀ ¥ÀPÀÌzÀ°ègÀĪÀ ºÁUÀÆ CzÀ£ÀÄß CªÀgÀ d«ÄäUÉ ¸ÉÃj¹zÁUÀ
wæPÉÆãÁPÁgÀ gÀZÀ£ÉAiÀiÁUÀĪÀAwgÀĪÀ eÁUÀªÀ£ÀÄß PÉÆqÀ¨ÉÃPÉA§ ±Àwð£À ªÉÄÃgÉUÉ M¦àPÉÆAqÀgÀÄ.
Not to be republished
ºÁUÁzÀgÉ F M¥ÀàAzÀªÀ£ÀÄß ºÉÃUÉ ¸ÁPÁgÀUÉƽ¸À§ºÀÄzÉA§ÄªÀÅzÀ£ÀÄß «ªÀj¹.
(13) ABCD vÁæ¦dåzÀ°è AB || DC. AC UÉ
¸ÀªÀiÁAvÀgÀªÁVgÀĪÀ gÉÃSÁRAqÀªÀÅ AB
AiÀÄ£ÀÄß X £À°è ºÁUÀÆ BC AiÀÄ£ÀÄß Y £À°è
©KTBS
PÀvÀÛj¹zÉ. DzÀgÉ «(ADX) = «(ACY)
JAzÀÄ ¸Á¢ü¹.
[¸ÀļÀĺÀÄ CX £ÀÄß ¸ÉÃj¹]
(14) avÀæ 9.28 gÀ°è AP||BQ||CR CzÀgÉ
« (AQC) = « (PBR) JAzÀÄ ¸Á¢ü¹. avÀæ 9.28
(15) ∆AOD AiÀÄ «¹ÛÃtðªÀÅ ∆BOC AiÀÄ
«¹ÛÃtðPÉÌ ¸ÀªÀÄ£ÁVgÀĪÀAvÉ ABCD
ZÀvÀĨsÀÄðdzÀ PÀtðUÀ¼ÀÄ ¥ÀgÀ¸ÀàgÀ O £À°è
PÀvÀÛj¸ÀÄvÀÛªÉ. ABCD MAzÀÄ vÁæ¦då JAzÀÄ
¸Á¢ü¹.
(16) avÀæ 9.29 gÀ°è «(DRC) = «(DPC) ªÀÄvÀÄÛ
«(BDP) = «(ARC) DzÀgÉ ABCD ªÀÄvÀÄÛ
DCPR ZÀvÀĨsÀÄðdUÀ¼ÀÄ vÁæ¦dåUÀ¼ÀÄ JAzÀÄ avÀæ 9.29
¸Á¢ü¹.
C¨sÁå¸À 9.4 (LaÑPÀ)
(1) ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðd ABCD ªÀÄvÀÄÛ ABEF DAiÀÄvÀUÀ¼ÀÄ AB ¥ÁzÀzÀ ªÉÄðzÀÄÝ «¹ÛÃtðUÀ¼ÀÄ
¸ÀªÀÄ£ÁVªÉ. DzÀgÉ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðdzÀ ¸ÀÄvÀÛ¼ÀvÉAiÀÄÄ DAiÀÄvÀzÀ ¸ÀÄvÀÛ¼ÀvÉVAvÀ ºÉZÁÑVgÀÄvÀÛzÉ
JAzÀÄ ¸Á¢ü¹.
(2) avÀæ 9.30 gÀ°è BD=DE=EC. DUÀĪÀAvÉ BC
AiÀÄ ªÉÄÃ¯É D ªÀÄvÀÄÛ E ©AzÀÄUÀ½ªÉ. DzÀgÉ
«(ABD)=«(ADE) = «(AEC) JAzÀÄ
¸Á¢ü¹.
F CzsÁåAiÀÄzÀ ¦ÃpPÉAiÀÄ°è PÉüÀ¯ÁzÀ,
§Ä¢üAiÀiÁ vÀ£Àß d«ÄãÀ£ÀÄß ¸ÀªÀiÁ£À «¹ÛÃtðzÀ
ªÀÄÆgÀÄ ¨sÁUÀUÀ¼ÁV «AUÀr¹gÀĪÀ¼ÉÃ? JA§
¥Àæ±ÉßUÉ FUÀ ¤ÃªÀÅ GvÀÛj¸À§°ègÁ? avÀæ 9.30
* ¥ÀjÃPÁë zÀȶ֬ÄAzÀ F C¨sÁå¸À¬Ä®è
¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðUÀ¼ÀÄ ªÀÄvÀÄÛ wæ¨sÀÄdUÀ¼À «¹ÛÃtðUÀ¼ÀÄ 167
[UÀªÀĤ¹ : BD = DE = EC JAzÀÄ vÉUÉzÀÄPÉƼÀÄîªÀÅzÀjAzÀ ∆ ABC AiÀÄÄ ¸ÀªÀÄ«¹ÛÃtð«gÀĪÀ
∆ ABD, ∆ ADE ªÀÄvÀÄÛ ∆AEC UÀ¼ÁV «¨sÁUÀªÁUÀÄvÀÛzÉ. ºÁUÉAiÉÄà BC AiÀÄ£ÀÄß n
¸ÀªÀĨsÁUÀUÀ¼ÁV «¨sÁV¸ÀĪÀ ©AzÀÄUÀ¼À£ÀÄß CzÀgÀ C©üªÀÄÄR ±ÀÈAUÀPÉÌ ¸ÉÃj¸ÀĪÀÅzÀjAzÀ ∆ ABC
AiÀÄÄ ¸ÀªÀÄ«¹ÛÃtð ºÉÆA¢gÀĪÀ n wæ¨sÀÄdUÀ¼ÁV «¨sÁV¸À®àqÀÄvÀÛzÉ]
Not to be republished
(3) avÀæ 9.31 gÀ°è ABCD, DCFE ªÀÄvÀÄÛ ABEF UÀ¼ÀÄ
¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðdUÀ¼ÀÄ DzÀgÉ « (ADE) = « (BCF)
JAzÀÄ ¸Á¢ü¹.
©KTBS
avÀæ 9.31
(4) avÀæ 9.32 gÀ°è ABCD MAzÀÄ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðd.
AD = CQ DUÀĪÀAvÉ BC AiÀÄ£ÀÄß Q ªÀgÉUÉ ªÀȢݹzÉ.
AQ gÉÃSÁRAqÀªÀÅ DC AiÀÄ£ÀÄß P £À°è PÀvÀÛj¹zÀgÉ
« (BPC) = « (DPQ) JAzÀÄ ¸Á¢ü¹
(¸ÀļÀĺÀÄ : AC AiÀÄ£ÀÄß ¸ÉÃj¹)
avÀæ 9.32
(5) avÀæ 9.33 gÀ°è ABC ªÀÄvÀÄÛ BDE UÀ¼ÀÄ JgÀqÀÄ
¸ÀªÀĨÁºÀÄ wæ¨sÀÄdUÀ¼ÀÄ. D AiÀÄÄ BC AiÀÄ ªÀÄzsÀå©AzÀÄ DVzÉ. AE AiÀÄÄ BC AiÀÄ£ÀÄß F £À°è
PÀvÀÛj¹zÀgÉ,
1
(i) « (BDE) = « (ABC)
4
1
(ii) « (BDE) = « (BAE)
2
(iii) « (ABC) = 2 « (BEC)
(iv) « (BFE) = « (AFD)
(v) « (BFE) = 2 « (FED)
1
(vi) «(FED) = «(AFC) JAzÀÄ ¸Á¢ü¹.
8
[¸ÀļÀĺÀÄ : EC ªÀÄvÀÄÛ AD UÀ¼À£ÀÄß ¸ÉÃj¹ avÀæ 9.33
BE || AC ªÀÄvÀÄÛ DE || AB EvÁå¢UÀ¼À£ÀÄß
¸Á¢ü¹]
168 UÀtÂvÀ
(6) ABCD ZÀvÀĨsÀÄðdzÀ PÀtðUÀ¼ÁzÀ AC ªÀÄvÀÄÛ BD UÀ¼ÀÄ ¥ÀgÀ¸ÀàgÀ P £À°è PÀvÀÛj¸ÀÄvÀÛªÉ.
« (APB) × « (CPD) = « (APD) × « (BPC) JAzÀÄ ¸Á¢ü¹.
[¸ÀļÀĺÀÄ : A ªÀÄvÀÄÛ C UÀ½AzÀ PÀæªÀĪÁV BD UÉ ®A§UÀ¼À£ÀÄß gÀa¹.]
Not to be republished
(7) ∆ ABC AiÀÄ°è P ªÀÄvÀÄÛ Q UÀÀ¼ÀÄ PÀæªÀĪÁV AB ªÀÄvÀÄÛ AC UÀ¼À ªÀÄzsÀå©AzÀÄUÀ¼ÀÄ. R JA§ÄzÀÄ
AP AiÀÄ ªÀÄzsÀå©AzÀÄ. DzÀgÉ
1 3
(i) «(PRQ) = «(ARC) (ii) «(RQC) = «(ABC)
2 8
©KTBS
(iii) «(PBQ) = «(ARC) JAzÀÄ ¸Á¢ü¹.
(8) avÀæ 9.34 gÀ°è ABC AiÀÄÄ A AiÀÄ°è ®A§PÉÆãÀ ºÉÆA¢gÀĪÀ ®A§PÉÆãÀ wæ¨sÀÄdªÁVzÉ.
BCED, ACFG ªÀÄvÀÄÛ ABMN UÀ¼ÀÄ PÀæªÀĪÁV BC, CA, AB ¨ÁºÀÄUÀ¼À ªÉÄÃ¯É gÀa¹gÀĪÀ
ªÀUÀðUÀ¼ÁVªÉ. gÉÃSÁRAqÀ AX ⊥ DE AiÀÄÄ BC AiÀÄ£ÀÄß Y £À°è ¸ÀA¢ü¹zÉ.
avÀæ 9.34
(i) ∆ MBC ≅ ∆ ABD (ii) «(BYXD)=2«(MBC)
(iii) «(BYXD) =« (ABMN) (iv) ∆ FCB ≅ ∆ ACE
(v) «(CYXE) = 2 « (FCB) (vi) « (CYXE) = « (ACFG)
(vii) «(BCED) = « (ABMN) + « (ACFG) JAzÀÄ ¸Á¢ü¹
¸ÀÆZÀ£É : (vii) £Éà ¥sÀ°vÁA±ÀªÀÅ ¥Àæ¹zÀݪÁzÀ ¥ÉÊxÁUÉÆgÀ¸ï£À ¥ÀæªÉÄÃAiÀĪÁVzÉ. 10£Éà vÀgÀUÀwAiÀÄ°è
¤ÃªÀÅ EzÀgÀ ¸ÀgÀ¼ÀªÁzÀ ¸ÁzsÀ£ÉAiÀÄ£ÀÄß PÀ°AiÀÄÄ«j.
¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðUÀ¼ÀÄ ªÀÄvÀÄÛ wæ¨sÀÄdUÀ¼À «¹ÛÃtðUÀ¼ÀÄ 169
9.5 ¸ÁgÁA±À
F CzsÁåAiÀÄzÀ°è ¤ÃªÀÅ F PɼÀV£À CA±ÀUÀ¼À£ÀÄß PÀ°wgÀÄ«j.
(1) DPÀÈwAiÀÄ «¹ÛÃtðªÀÅ PÉ®ªÀÅ ªÀÄÆ®ªÀiÁ£ÀUÀ¼À£ÀÄß ºÉÆA¢gÀĪÀ MAzÀÄ ¸ÀASÉåAiÀiÁVzÀÄÝ EzÀÄ
Not to be republished
DPÀÈwAiÀÄÄ DªÀj¸À®àlÖ ¸ÀªÀÄvÀ®zÀ ¨sÁUÀPÉÌ ¸ÀA§A¢ü¹zÉ.
(2) JgÀqÀÄ ¸ÀªÀð¸ÀªÀÄ DPÀÈwUÀ¼À «¹ÛÃtðUÀ¼ÀÄ ¥ÀgÀ¸ÀàgÀ ¸ÀªÀÄ DzÀgÉ EzÀgÀ «¯ÉÆêÀÄ ¤dªÁVgÀ
¨ÉÃPÁV®è.
(3) DPÀÈwAiÀÄÄ T AiÀÄ ¸ÀªÀÄvÀ¯ÁPÀÈw ¥ÀæzÉñÀªÀÅ MAzÀgÀ ªÉÄïÉÆAzÀÄ E®èzÀAvÉ EgÀĪÀ DPÀÈw P ªÀÄvÀÄÛ
©KTBS
DPÀÈw Q £À ¸ÀªÀÄvÀ¯ÁPÀÈw ¥ÀæzÉñÀUÀ½AzÀ ªÀiÁqÀ®àlÖgÉ «(T) = «(P) + «(Q),
«(X) = DPÀÈw X£À «¹ÛÃtð JA§ÄªÀÅzÀ£ÀÄß ¸ÀÆa¸ÀÄvÀÛzÉ.
(4) JgÀqÀÄ DPÀÈwUÀ¼À MAzÉà ¥ÁzÀ ªÀÄvÀÄÛ MAzÉà eÉÆvÉ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ gÉÃSÉUÀ¼À £ÀqÀÄªÉ EªÉ JAzÀÄ
ºÉüÁ¨ÉÃPÁzÀgÉ, CªÀÅUÀ½UÉ MAzÀÄ ¸ÁªÀiÁ£Àå ¥ÁzÀ(¨ÁºÀÄ)«zÀÄÝ F ¥ÁzÀPÉÌ C©üªÀÄÄRªÁVgÀĪÀ
±ÀÈAUÀUÀ¼ÀÄ ¥ÁzÀPÉÌ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀªÁVgÀĪÀ gÉÃSÉAiÀÄ ªÉÄðgÀÄvÀÛªÉ.
(5) MAzÉà ¥ÁzÀ (¸ÀªÀĪÁzÀ ¥ÁzÀ) zÀ ªÉÄðgÀĪÀ ºÁUÀÆ MAzÉà eÉÆvÉ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ gÉÃSÉUÀ¼À
£ÀqÀÄªÉ EgÀĪÀ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðdUÀ¼À «¹ÛÃtðUÀ¼ÀÄ ¥ÀgÀ¸ÀàgÀ ¸ÀªÀĪÁVgÀÄvÀÛªÉ.
(6) ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðdzÀ «¹ÛÃtðªÀÅ CzÀgÀ ¥ÁzÀ ªÀÄvÀÄÛ CzÀPÉÌ C£ÀÄgÀÆ¥ÀªÁzÀ JvÀÛgÀUÀ¼À
UÀÄt®§ÞPÉÌ ¸ÀªÀÄ£ÁVgÀÄvÀÛzÉ.
(7) MAzÉà ¥ÁzÀ (¸ÀªÀÄ£ÁzÀ ¥ÁzÀ) zÀ ªÉÄðzÀÄÝ ¸ÀªÀÄ£ÁzÀ «¹ÛÃtðUÀ¼À£ÀÄß ºÉÆA¢gÀĪÀ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ
ZÀvÀĨsÀÄðdUÀ¼ÀÄ MAzÉà eÉÆvÉ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ gÉÃSÉUÀ¼À £ÀqÀÄªÉ EªÉ.
(8) MAzÀÄ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðd ºÁUÀÆ MAzÀÄ wæ¨sÀÄdUÀ¼ÀÄ MAzÉà ¥ÁzÀ ªÀÄvÀÄÛ MAzÉà eÉÆvÉ
¸ÀªÀiÁAvÀgÀ gÉÃSÉUÀ¼À £ÀqÀÄªÉ EzÀÝgÉ wæPÉÆãÀzÀ «¹ÛÃtðªÀÅ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðdzÀ «¹ÛÃtðzÀ
CzsÀðzÀ¶ÖgÀÄvÀÛzÉ.
(9) MAzÉà ¥ÁzÀ (¸ÀªÀÄ£ÁzÀ ¥ÁzÀ) ªÀÄvÀÄÛ MAzÉà ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ gÉÃSÉUÀ¼À £ÀqÀÄªÉ EgÀĪÀ JgÀqÀÄ
wæ¨sÀÄdUÀ¼À «¹ÛÃtðUÀ¼ÀÄ ¥ÀgÀ¸ÀàgÀ ¸ÀªÀÄ.
(10) wæPÉÆãÀzÀ «¹ÛÃtðªÀÅ CzÀgÀ ¥ÁzÀ ªÀÄvÀÄÛ D ¥ÁzÀPÉÌ C£ÀÄgÀÆ¥ÀªÁzÀ JvÀÛgÀUÀ¼À UÀÄt®§ÞzÀ
CzsÀðzÀ¶ÖgÀÄvÀÛzÉ.
(11) MAzÉà ¥ÁzÀ (¸ÀªÀÄ£ÁzÀ ¥ÁzÀ) zÀ ªÉÄðzÀÄÝ ¸ÀªÀÄ «¹ÛÃtð ºÉÆA¢gÀĪÀ wæ¨sÀÄdUÀ¼ÀÄ MAzÉÃ
eÉÆvÉ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ gÉÃSÉUÀ¼À £ÀqÀÄªÉ EgÀÄvÀÛªÉ.
(12) wæ¨sÀÄdzÀ ªÀÄzsÀågÉÃSÉAiÀÄÄ D wæ¨sÀÄdªÀ£ÀÄß ¸ÀªÀÄ£ÁzÀ «¹ÛÃtð EgÀĪÀ JgÀqÀÄ wæ¨sÀÄdUÀ¼ÁV
«AUÀr¸ÀÄvÀÛzÉ.
170 UÀtÂvÀ
Not to be republished
CzsÁåAiÀÄ -10
©KTBS
ªÀÈvÀÛUÀ¼ÀÄ
10.1 ¦ÃpPÉ
ªÁºÀ£ÀUÀ¼À ZÀPÀæUÀ¼ÀÄ, §¼ÉUÀ¼ÀÄ, UÀrAiÀiÁgÀzÀ qÀAiÀįïUÀ¼ÀÄ, 50 ¥ÉʸÉ, 1gÀÆ 5gÀÆ ªÀÄÄAvÁzÀ £ÁtåUÀ¼ÀÄ,
Qð UÉÆAZÀ®ÄUÀ¼ÀÄ, CAVAiÀÄ §l£ïUÀ¼ÀÄ ªÀÄÄAvÁzÀ ºÀ®ªÁgÀÄ zÀÄAqÀVgÀĪÀ ªÀ¸ÀÄÛUÀ¼À£ÀÄß ¤ÃªÀÅ ¤vÀå
fêÀ£ÀzÀ°è £ÉÆÃrgÀÄwÛÃj. (avÀæ 10.1 UÀªÀĤ¹) UÀrAiÀiÁgÀzÀ°è ¸ÉPÉAqïUÀ¼À£ÀÄß vÉÆÃj¸ÀĪÀ ªÀÄļÀÄî
UÀrAiÀiÁgÀzÀ qÀAiÀÄ°£À ¸ÀÄvÀÛ®Æ ªÉÃUÀªÁV ZÀ°¸ÀĪÀÅzÀ£ÀÄß ªÀÄvÀÄÛ CzÀgÀ vÀÄ¢AiÀÄÄ zÀÄAqÀVgÀĪÀ ¥ÀxÀzÀ°è
ZÀ°¸ÀĪÀÅzÀ£ÀÄß ¤ÃªÀÅ £ÉÆÃrgÀ§ºÀÄzÀÄ. ¸ÉPÉAqï£À ªÀÄĽî£À vÀÄ¢AiÀÄÄ ZÀ°¹zÀ zÁjAiÉÄà ªÀÈvÀÛªÁVzÉ.
F CzsÁåAiÀÄzÀ°è ¤ÃªÀÅ ªÀÈvÀÛUÀ¼À §UÉÎ, CzÀPÉÌ ¸ÀA§A¢ü¹zÀ PÉ®ªÀÅ ¥ÀzÀUÀ¼À£ÀÄß, ºÁUÀÆ ªÀÈvÀÛzÀ PÉ®ªÀÅ
UÀÄt®PÀëtUÀ¼À£ÀÆß PÀ°AiÀÄ°wÛÃj.
ªÀÈvÀÛUÀ¼ÀÄ 171
10.2 : ªÀÈvÀÛUÀ¼ÀÄ ªÀÄvÀÄÛ CzÀPÉÌ ¸ÀA§A¢ü¹zÀ ¥ÀzÀUÀ¼ÀÄ: MAzÀÄ CªÀ¯ÉÆÃPÀ£À
MAzÀÄ PÉʪÁgÀ vÉUÉzÀÄPÉÆAqÀÄ CzÀPÉÌ MAzÀÄ ¥É¤ì¯ï C£ÀÄß
eÉÆÃr¹. CzÀgÀ ZÀÆ¥ÁzÀ vÀÄ¢AiÀÄ£ÀÄß ºÁ¼ÉAiÀÄ ªÉÄð£À
MAzÀÄ ©AzÀÄ«£À°è Er. PÉʪÁgÀzÀ E£ÉÆßAzÀÄ ¨sÀÄdªÀ£ÀÄß ¸Àé®à
Not to be republished
J¼ÉzÀÄ «¸ÀÛj¹. ZÀÆ¥ÁzÀ vÀÄ¢AiÀÄ£ÀÄß ¥ÉÃ¥Àgï ºÁ¼ÉAiÀÄ CzÉÃ
©AzÀÄ«£À°è ElÄÖPÉÆAqÀÄ PÉʪÁgÀzÀ E£ÉÆßAzÀÄ ¨ÁºÀĪÀ£ÀÄß
CzÀgÀ ¸ÀÄvÀÛ®Æ MAzÀÄ ¸ÀÄvÀÄÛ wgÀÄV¹. FUÀ PÁUÀzÀzÀ ºÁ¼ÉAiÀÄ
ªÉÄÃ¯É ¥É¤ì¯ï¤AzÀ UÀÄgÀÄw¸À®àlÖ DªÀÈvÀ DPÀÈw AiÀiÁªÀÅzÀÄ?
¤ÃªÀÅ w½zÀAvÉ EzÉÆAzÀÄ ªÀÈvÀÛªÁVzÉ. (avÀæ 10.2 UÀªÀĤ¹).
©KTBS
ªÀÈvÀÛªÀ£ÀÄß ¤ÃªÀÅ ºÉÃUÉ ¥ÀqÉ¢j? ¤ÃªÀÅ MAzÀÄ ©AzÀĪÀ£ÀÄß
¹ÜgÀªÁVlÄÖPÉÆAqÀÄ. (avÀæ 10.2 gÀ°ègÀĪÀ A ©AzÀÄ) A ¤AzÀ ¸ÀªÀiÁ£À
zÀÆgÀzÀ°ègÀĪÀ J®è ©AzÀÄUÀ¼À£ÀÄß ¥É¤ì¯ï£À vÀÄ¢¬ÄAzÀ ¥ÀgÀ¸ÀàgÀ ¸ÉÃj¹j.
EzÀÄ £ÀªÀÄUÉ PɼÀV£À ¤gÀÆ¥ÀuÉAiÀÄ£ÀÄß PÉÆqÀÄvÀÛzÉ.
MAzÀÄ ¸ÀªÀÄvÀ®zÀ ªÉÄðgÀĪÀ MAzÀÄ ¹ÜgÀ ©AzÀÄ«¤AzÀ
¸ÀªÀiÁ£À zÀÆgÀzÀ°ègÀĪÀ J®è ©AzÀÄUÀ¼À UÀtªÉà ªÀÈvÀÛ.
¹ÜgÀ ©AzÀĪÀ£ÀÄß ªÀÈvÀÛzÀ PÉÃAzÀæªÉAzÀÆ ªÀÄvÀÄÛ ¹ÜgÀ
zÀÆgÀªÀ£ÀÄß ªÀÈvÀÛzÀ wædåªÉAzÀÆ PÀgÉAiÀÄÄvÁÛgÉ. avÀæ 10.3 gÀ°è O
ªÀÈvÀÛPÉÃAzÀæ ªÀÄvÀÄÛ OP AiÀÄÄ ªÀÈvÀÛzÀ wædåªÁVzÉ.
UÀªÀĤ¹: ªÀÈvÀÛzÀ ªÉÄðgÀĪÀ AiÀiÁªÀÅzÉà ©AzÀĪÀ£ÀÄß PÉÃAzÀæPÉÌ
¸ÉÃj¸ÀĪÀ gÉÃSÁRAqÀªÉà ªÀÈvÀÛzÀ wædåªÁVzÉ JA§ÄzÀ£ÀÄß
UÀªÀĤ¹. `wædå' ªÀ£ÀÄß JgÀqÀÄ CxÀðUÀ¼À°è ºÉüÀ§ºÀÄzÀÄ. MAzÀÄ
gÉÃSÁRAqÀ JA§ CxÀðzÀ°è, E£ÉÆßAzÀÄ CzÀgÀ GzÀÝ JA§
CxÀðzÀ°è,
6£ÉAiÀÄ vÀgÀUÀwAiÀÄ°è ¤ÃªÀÅ F PɼÀV£À PÉ®ªÀÅ ¥ÀjPÀ®à£ÉUÀ¼À ¥ÀjZÀAiÀÄ ºÉÆA¢gÀÄ«j. CªÀÅUÀ¼À£ÀÄß
£Á«ÃUÀ ¸Àäj¹PÉƼÉÆîÃt.
ªÀÈvÀÛªÀÅ vÁ¤gÀĪÀ ¸ÀªÀÄvÀ®ªÀ£ÀÄß ªÀÄÆgÀÄ ¨sÁUÀUÀ¼ÁV «¨sÁV¸ÀÄvÀÛzÉ.
CªÀÅUÀ¼ÉAzÀgÉ,
(1) ªÀÈvÀÛzÀ M¼À¨sÁUÀ CxÀªÁ ªÀÈvÀÛzÀ DAvÀjPÀ ¨sÁUÀ
(2) ªÀÈvÀÛ ªÀÄvÀÄÛ
(3) ªÀÈvÀÛzÀ ºÉÆgÀ¨sÁUÀ CxÀªÁ §»gï ¨sÁUÀ. (avÀæ 10.4 UÀªÀĤ¹). ªÀÈvÀÛ ªÀÄvÀÄÛ CzÀgÀ M¼À¨sÁUÀUÀ¼ÀÄ
MlÄÖ ¸ÉÃj ªÀÈvÁÛPÁgÀzÀ ¥ÀæzÉñÀªÀ£ÀÄß GAlĪÀiÁqÀÄvÀÛªÉ.
¤ÃªÀÅ ªÀÈvÀÛzÀ ªÉÄÃ¯É P ªÀÄvÀÄÛ Q JA§ JgÀqÀÄ ©AzÀÄUÀ¼À£ÀÄß vÉUÉzÀÄPÉÆAqÀgÉ PQ gÉÃSÁRAqÀªÀ£ÀÄß
ªÀÈvÀÛzÀ eÁå J£ÀÄßvÁÛgÉ. (avÀæ 10.5 UÀªÀĤ¹). ªÀÈvÀÛPÉÃAzÀæzÀ ªÀÄÆ®PÀ ºÁzÀÄ ºÉÆÃUÀĪÀ eÁåªÀ£ÀÄß ªÀÈvÀÛzÀ
ªÁå¸À J£ÀÄßvÁÛgÉ. wædåzÀAvÉ ªÁå¸ÀªÀ£ÀÄß PÀÆqÁ gÉÃSÁRAqÀªÁV ªÀÄvÀÄÛ CzÀgÀ GzÀݪÁV JA§ JgÀqÀÄ
CxÀðUÀ¼À°è §¼À¸À§ºÀÄzÀÄ. ªÀÈvÀÛzÀ ªÁå¸ÀQÌAvÀ GzÀݪÁzÀ eÁåªÀ£ÀÄß ¤ÃªÀÅ PÁtÄ«gÁ? E®è, ªÁå¸ÀªÀÅ
ªÀÈvÀÛzÀ CvÀåAvÀ zÉÆqÀØ eÁå ºÁUÀÆ J¯Áè ªÁå¸ÀUÀ¼ÀÆ ¸ÀªÀĪÁzÀ C¼ÀvÉAiÀÄ£ÀÄß ºÉÆA¢gÀÄvÀÛzÉ ªÀÄvÀÄÛ CzÀÄ
wædåzÀ C¼ÀvÉAiÀÄ JgÀqÀgÀ¶ÖgÀÄvÀÛzÉ JAzÀÄ ¤ÃªÀÅ UÀªÀĤ¸À§ºÀÄzÀÄ. avÀæ 10.5gÀ°è AOB AiÀÄÄ ªÀÈvÀÛzÀ
ªÁå¸ÀªÁVzÉ. MAzÀÄ ªÀÈvÀÛPÉÌ JµÀÄÖ ªÁå¸ÀUÀ½ªÉ?
172 UÀtÂvÀ
MAzÀÄ ªÀÈvÀÛªÀ£ÀÄß J¼ÉzÀÄ CzÀgÀ°è JµÀÄÖ ªÁå¸ÀUÀ¼À£ÀÄß J¼ÉAiÀħºÀÄzÀÄ
JA§ÄzÀ£ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj.
AiÀiÁªÀÅzÉà JgÀqÀÄ ©AzÀÄUÀ¼À £ÀqÀÄ«£À ªÀÈvÀÛzÀ MAzÀÄ ¨sÁUÀªÉÃ
PÀA¸À. avÀæ 10.6gÀ°è P ªÀÄvÀÄÛ Q ©AzÀÄUÀ¼À £ÀqÀÄ«£À ªÀÈvÀÛzÀ ¨sÁUÀªÀ£ÀÄß
Not to be republished
UÀªÀĤ¹. C°è JgÀqÀÄ ¨sÁUÀUÀ½zÀÄÝ, MAzÀÄ zÉÆqÀØ ¨sÁUÀ ªÀÄvÉÆÛAzÀÄ
aPĄ̀sÁUÀ JA§ÄªÀÅzÀ£ÀÄß ¤ÃªÀÅ UÀªÀĤ¸À§ºÀÄzÀÄ. (avÀæ 10.7gÀ°è UÀªÀĤ¹).
zÉÆqÀØ ¨sÁUÀªÀ£ÀÄß C¢üPÀ PÀA¸À PQ JAzÀÆ aPÀÌ ¨sÁUÀªÀ£ÀÄß ®WÀÄPÀA¸À PQ
ªÉAzÀÆ PÀgÉAiÀÄÄvÁÛgÉ. ®WÀÄPÀA¸À PQ ªÀ£ÀÄß PQ JAzÀÄ ¸ÀÆa¸ÀÄvÁÛgÉ.
C¢üPÀ PÀA¸À PQ ªÀ£ÀÄß PRQ JAzÀÆ ¸ÀÆa¸ÀÄvÁÛgÉ. E°è R JA§ÄªÀÅzÀÄ
©KTBS
P ªÀÄvÀÄÛ Q ©AzÀÄUÀ¼À £ÀqÀÄ«£À PÀA¸ÀzÀ ªÉÄðgÀĪÀ MAzÀÄ ©AzÀÄ.
¸ÀàµÀÖªÁV ºÉüÀzÀ ºÉÆgÀvÀÄ PÀA¸À PQ CxÀªÁ PQ ®WÀÄPÀA¸ÀªÀ£ÀÄß
¸ÀÆa¸ÀÄvÀÛzÉ. P ªÀÄvÀÄÛ Q UÀ¼ÀÄ ªÁå¸ÀzÀ CAvÀå©AzÀÄUÀ¼ÁzÁUÀ, JgÀqÀÆ
PÀA¸ÀUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀÄ£ÁVzÀÄÝ ¥ÀæwAiÉÆAzÀ£ÀÄß CzsÀðªÀÈvÀÛ J£ÀÄßvÁÛgÉ.
ªÀÈvÀÛzÀ ¥ÀÆtð GzÀݪÀ£ÀÄß CzÀgÀ ¥Àj¢ü J£ÀÄßvÁÛgÉ. eÁå ªÀÄvÀÄÛ
PÀA¸ÀUÀ½AzÀ DªÀÈvÀªÁzÀ ¥ÀæzÉñÀPÉÌ ªÀÈvÀÛRAqÀ J£ÀÄßvÁÛgÉ. JgÀqÀÄ jÃwAiÀÄ
ªÀÈvÀÛRAqÀUÀ½ªÉ JA§ÄzÀ£ÀÄß ¤ÃªÀÅ UÀªÀĤ¹§ºÀÄzÀÄ. CªÀÅUÀ¼ÀÄ C¢üPÀ
ªÀÈvÀÛRAqÀ ªÀÄvÀÄÛ ®WÀĪÀÈvÀÛ RAqÀ (avÀæ 10.8£ÀÄß UÀªÀĤ¹) ªÀÈvÀÛPÉÃAzÀæªÀ£ÀÄß
PÀA¸ÀzÀ CAvÀå©AzÀÄUÀ½UÉ ¸ÉÃj¸ÀĪÀ JgÀqÀÄ wædå ªÀÄvÀÄÛ PÀA¸ÀUÀ½AzÀ
DªÀj¸À®àlÖ ¨sÁUÀªÉà wæeÁåAvÀgÀ RAqÀ. ªÀÈvÀÛ RAqÀzÀAvÉAiÉÄà ®WÀÄPÀA¸ÀPÉÌ
C£ÀÄUÀÄtªÁV ®WÀÄwÛeÁåAvÀgÀRAqÀ C¢üPÀ PÀA¸ÀPÉÌ C£ÀÄUÀÄtªÁV C¢üPÀ
wæeÁåAvÀgÀRAqÀ«zÉ. avÀæ 10.9gÀ°è OPQ ¥ÀæzÉñÀªÀÅ ®WÀÄ wæeÁåAvÀgÀ
RAqÀ ªÀÄvÀÄÛ ªÀÈvÀÛzÀ G½zÀ ¥ÀæzÉñÀªÀÅ C¢üPÀ wæeÁåAvÀgÀRAqÀ. JgÀqÀÄ
PÀA¸ÀUÀ¼ÀÄ ¥ÀgÀ¸ÀàgÀ ¸ÀªÀĪÁzÁUÀ ¥Àæw¨sÁUÀªÀÇ CzsÀð ªÀÈvÀÛªÁVgÀÄvÀÛzÉ. DUÀ
JgÀqÀÆ ªÀÈvÀÛRAqÀUÀ¼ÀÄ ªÀÄvÀÄÛ JgÀqÀÆ wæeÁåAvÀgÀ RAqÀUÀ¼ÀÄ MAzÉÃ
DVgÀÄvÀÛªÉ ªÀÄvÀÄÛ ¥ÀæwAiÉÆAzÀ£ÀÄß CzsÀðªÀÈvÁÛPÁgÀzÀ ¥ÀæzÉñÀ J£ÀÄßvÁÛgÉ.
C¢üPÀ wæeÁåAvÀgÀ RAqÀ
ªÀÈvÀÛUÀ¼ÀÄ 173
C¨sÁå¸À 10.1
1. ©lÖ ¸ÀܼÀUÀ¼À£ÀÄß ¸ÀÆPÀÛ GvÀÛgÀUÀ½AzÀ vÀÄA©j.
(i) ªÀÈvÀÛPÉÃAzÀæªÀÅ ªÀÈvÀÛzÀ _______ ¨sÁUÀzÀ°èzÉ (ºÉÆgÀ/M¼À).
(ii) ªÀÈvÀÛPÉÃAzÀæ¢AzÀ MAzÀÄ ©AzÀÄ«VgÀĪÀ zÀÆgÀªÀÅ ªÀÈvÀÛzÀ wædåQÌAvÀ ºÉZÁÑVzÀÝgÉ D ©AzÀÄ
ªÀÈvÀÛzÀ __________ ¨sÁUÀzÀ°èzÉ (ºÉÆgÀ/M¼À).
(iii) ªÀÈvÀÛzÀ CvÀåAvÀ zÉÆqÀØ eÁåªÀÅ ªÀÈvÀÛzÀ ________ DVzÉ.
(iv) MAzÀÄ PÀA¸ÀzÀ vÀÄ¢UÀ¼ÀÄ ªÁå¸ÀzÀ CAvÀå©AzÀÄUÀ¼ÁzÀgÉ D PÀA¸ÀªÀÅ __________ .
©KTBS
(v) ªÀÈvÀÛRAqÀªÀÅ ªÀÈvÀÛzÀ PÀA¸À ªÀÄvÀÄÛ _________ UÀ¼À £ÀqÀÄ«£À ¥ÀæzÉñÀ.
(vi) ªÀÈvÀÛªÀÅ CzÀÄ EgÀĪÀ ¸ÀªÀÄvÀ®ªÀ£ÀÄß __________ ¨sÁUÀUÀ¼ÁV «AUÀr¸ÀÄvÀÛzÉ.
2. ¸ÀjAiÉÆà vÀ¥ÉÆàà PÁgÀt ¸À»vÀ w½¹.
1 ªÀÈvÀÛPÉÃAzÀæªÀ£ÀÄß ªÀÈvÀÛzÀ ªÉÄð£À AiÀiÁªÀÅzÉà ©AzÀÄ«UÉ ¸ÉÃj¸ÀĪÀ gÉÃSÁRAqÀªÉà ªÀÈvÀÛzÀ
wædå.
2 MAzÀÄ ªÀÈvÀÛPÉÌ ¥Àj«ÄvÀ ¸ÀASÉåAiÀÄ ¸ÀªÀÄ£ÁzÀ eÁåUÀ½ªÉ.
3 MAzÀÄ ªÀÈvÀÛªÀ£ÀÄß ¸ÀªÀĪÁzÀ 3 ¨sÁUÀUÀ¼ÁV «AUÀr¹zÀgÉ, ¥Àæw ¨sÁUÀªÀÅ C¢üPÀ PÀA¸ÀªÁVgÀÄvÀÛzÉ.
4 wædåzÀ JgÀqÀgÀµÀÄÖ GzÀÝ«gÀĪÀ eÁåªÉà ªÀÈvÀÛzÀ ªÁå¸ÀªÁVgÀÄvÀÛªÉ.
5 wæeÁåAvÀgÀ RAqÀªÀÅ eÁå ªÀÄvÀÄÛ CzÀPÉÌ C£ÀÄgÀÆ¥ÀªÁVgÀĪÀ PÀA¸ÀUÀ¼À £ÀqÀÄ«£À
Not to be republished
¥ÀæzÉñÀªÁVgÀÄvÀÛzÉ.
6 ªÀÈvÀÛªÀÅ ¸ÀªÀÄvÀ¯ÁPÀÈw DVzÉ.
10.3 ªÀÈvÀÛzÀ ªÉÄð£À MAzÀÄ ©AzÀÄ«£À°è eÁå¢AzÀ GAmÁzÀ PÉÆãÀ
MAzÀÄ gÉÃSÁRAqÀ PQ ªÀÄvÀÄÛ CzÀgÀ ªÉÄð®èzÀ MAzÀÄ ©AzÀÄ R £ÀÄß vÉUÉzÀÄPÉƽî. PR ªÀÄvÀÄÛ QR
UÀ¼À£ÀÄß ¸ÉÃj¹. (avÀæ 10. UÀªÀĤ¹).
PRQ PÉÆãÀªÀ£ÀÄß PQ gÉÃSÁRAqÀ¢AzÀ R ©AzÀÄ«£À°è GAmÁzÀ PÉÆãÀ J£ÀÄßvÁÛgÉ. avÀæ
10.11gÀ°è POQ , PRQ ªÀÄvÀÄÛ PSQ UÀ¼À£ÀÄß K£ÉAzÀÄ PÀgÉAiÀÄÄvÁÛgÉ? POQ EzÀÄ PQ eÁå¢AzÁV
`O' PÉÃAzÀæzÀ°è GAmÁzÀ PÉÆãÀªÁVzÉ. PRQ ªÀÄvÀÄÛ PSQ UÀ¼ÀÄ PÀæªÀĪÁV PQ eÁå¢AzÁV R ªÀÄvÀÄÛ
S ©AzÀÄUÀ¼À°è C¢üPÀPÀA¸À ªÀÄvÀÄÛ ®WÀÄPÀA¸ÀUÀ¼À°è K¥ÀðlÖ PÉÆãÀUÀ¼ÁVªÉ.
174 UÀtÂvÀ
eÁåzÀ GzÀÝ ªÀÄvÀÄÛ CzÀjAzÁV PÉÃAzÀæzÀ°è GAmÁUÀĪÀ PÉÆãÀUÀ¼À
£ÀqÀÄ«£À ¸ÀA§AzsÀUÀ¼À£ÀÄß £Á«ÃUÀ ¥ÀjÃQë¸ÉÆÃt. ªÀÈvÀÛzÀ°è ¨ÉÃgÉ ¨ÉÃgÉ
eÁåUÀ¼À£ÀÄß gÀa¹ CªÀÅUÀ½AzÁV ªÀÈvÀÛPÉÃAzÀæzÀ°è GAmÁUÀĪÀ PÉÆãÀUÀ¼À£ÀÄß
C¼ÉzÁUÀ eÁåzÀ C¼ÀvÉAiÀÄÄ ºÉZÁÑzÀAvÉ PÉÃAzÀæzÀ°è GAmÁUÀĪÀ PÉÆãÀzÀ
C¼ÀvÉ PÀÆqÁ ºÉZÁÑUÀÄvÀÛzÉ JA§ÄªÀÅzÀ£ÀÄß ¤ÃªÀÅ UÀªÀĤ¸À§ºÀÄzÀÄ. DzÀgÉ
Not to be republished
ªÀÈvÀÛzÀ JgÀqÀÄ ¸ÀªÀÄ£ÁzÀ eÁåUÀ¼À£ÀÄß vÉUÉzÀÄPÉÆAqÁUÀ K£ÁUÀ§ºÀÄzÀÄ?
DUÀ PÉÃAzÀæzÀ°è GAmÁUÀĪÀ PÉÆãÀUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀĪÁVªÉAiÉÄà CxÀªÁ
E®èªÉÃ?
JgÀqÀÄ CxÀªÁ ºÉZÀÄÑ ¸ÀªÀÄeÁåUÀ¼À£ÀÄß MAzÀÄ ªÀÈvÀÛPÉÌ gÀa¹ CzÀgÀ
©KTBS
PÉÃAzÀæzÀ°è K¥ÀðqÀĪÀ PÉÆãÀUÀ¼À£ÀÄß C¼É¬Äj. (avÀæ 10.12 UÀªÀĤ¹).
PÉÃAzÀæzÀ°è D eÁåUÀ½AzÁV K¥ÀðqÀĪÀ PÉÆãÀUÀ¼À C¼ÀvÉUÀ¼ÀÄ ¥ÀgÀ¸ÀàgÀ ¸ÀªÀÄ£ÁVgÀÄvÀÛªÉ JAzÀÄ ¤ÃªÀÅ
w½AiÀħºÀÄzÀÄ. FUÀ EzÀPÉÌ MAzÀÄ ¸ÁzsÀ£ÉAiÀÄ£ÀÄß ¤ÃqÉÆÃt.
¥ÀæªÉÄÃAiÀÄ 10.1: ªÀÈvÀÛzÀ°è ¸ÀªÀÄ£ÁzÀ eÁåUÀ¼ÀÄ PÉÃAzÀæzÀ°è ¸ÀªÀÄ£ÁzÀ PÉÆãÀUÀ¼À£ÀÄß GAlĪÀiÁqÀÄvÀÛªÉ.
¸ÁzsÀ£É : AB ªÀÄvÀÄÛ CD UÀ¼ÀÄ O PÉÃAzÀæ«gÀĪÀ ªÀÈvÀÛzÀ°è JgÀqÀÄ ¸ÀªÀÄ£ÁzÀ
eÁåUÀ¼ÀÄ (avÀæ 10.13 UÀªÀĤ¹)
¤ÃªÀÅ ¸Á¢ü¸À¨ÉÃPÁzÀÄzÀÄ. AOB= COD
∆ AOB ªÀÄvÀÄÛ ∆ COD UÀ¼À°è
OA = OC (MAzÉà ªÀÈvÀÛzÀ wædåUÀ¼ÀÄ)
OB = OD (MAzÉà ªÀÈvÀÛzÀ wædåUÀ¼ÀÄ)
AB = CD (zÀvÀÛ)
DzÀÝjAzÀ ∆ AOB ≅ ∆ COD (¨Á ¨Á ¨Á ¹zÁÞAvÀ)
EzÀjAzÀ AOB= COD JAzÀÄ ºÉüÀ§ºÀÄzÀÄ.
(¸ÀªÀð¸ÀªÀÄ wæ¨sÀÄdUÀ¼À C£ÀÄgÀÆ¥À ¨sÁUÀUÀ¼ÀÄ)
UÀªÀĤ¹: £ÀªÀÄä C£ÀÄPÀÆ®PÁÌV "¸ÀªÀð¸ÀªÀÄ wæ¨sÀÄdUÀ¼À C£ÀÄgÀÆ¥À ¨sÁUÀUÀ¼ÀÄ" JA§ÄzÀ£ÀÄß §gÉAiÀÄ®Ä
¸À.wæ.C.¨sÁ. (CPCT) JA§ ¸ÀAQë¥ÀÛ gÀÆ¥ÀªÀ£ÀÄß G¥ÀAiÉÆÃV¸ÀÄvÉÛêÉ.
FUÀ JgÀqÀÄ eÁåUÀ¼ÀÄ PÉÃAzÀæzÀ°è ¸ÀªÀÄ£ÁzÀ PÉÆãÀUÀ¼À£ÀÄß
GAlĪÀiÁrzÀgÉ, D eÁåUÀ¼ÀÄ ºÉÃVgÀÄvÀÛªÉ JAzÀÄ ¤ÃªÀÅ
ºÉüÀÄwÛÃj? CªÀÅUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀÄ£ÁVªÉAiÉÄÃ? E®èªÉÃ? CzÀ£ÀÄß F
PɼÀV£À ZÀlĪÀnPɬÄAzÀ ¥ÀjÃQë¸ÉÆÃt.
MAzÀÄ mÉæùAUï ¥ÉÃ¥Àgï vÉUÉzÀÄPÉÆAqÀÄ CzÀgÀ°è MAzÀÄ
ªÀÈvÀÛªÀ£ÀÄß J¼É¬Äj. D ªÀÈvÀÛªÀ£ÀÄß PÀvÀÛj¹, r¸ïÌ (Disk) £À DPÁgÀzÀ
ºÁ¼ÉAiÀÄ£ÀÄß ¥ÀqɬÄj. CzÀgÀ PÉÃAzÀæ A ªÀÄvÀÄÛ B UÀ¼ÀÄ ªÀÈvÀÛzÀ ªÉÄð£À
©AzÀÄUÀ¼ÁVgÀĪÀAvÉ `O' ©AzÀÄ«£À°è AOB AiÀÄ£ÀÄß gÀa¹. O
PÉÃAzÀæzÀ°è AOB UÉ ¸ÀªÀÄ£ÁVgÀĪÀAvÉ E£ÉÆßAzÀÄ POQ ªÀ£ÀÄß
gÀa¹. AB ªÀÄvÀÄÛ PQ UÀ¼À GzÀÝPÀÆÌ F ªÀÈvÁÛPÁgÀzÀ ºÁ¼ÉAiÀÄ£ÀÄß
ªÀÈvÀÛUÀ¼ÀÄ 175
PÀvÀÛj¹. (avÀæ 10.14 UÀªÀĤ¹) ¤ÃªÀÅ ACB ªÀÄvÀÄÛ PRQ ªÀÈvÀÛRAqÀUÀ¼À£ÀÄß ¥ÀqÉAiÀÄÄ«j. EªÀÅUÀ¼À£ÀÄß
MAzÀgÀ ªÉÄïÉÆAzÀÄ ElÖgÉ ¤ÃªÉãÀÄ UÀªÀĤ¸ÀÄ«j? CªÀÅUÀ¼ÀÄ ¥ÀgÀ¸ÀàgÀ ¸ÀªÀÄ£ÁV ºÉÆA¢PÉƼÀÄîvÀÛªÉ.
CAzÀgÉ CªÀÅUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀð¸ÀªÀÄ. DzÀÝjAzÀ AB = PQ ¤ÃªÀÅ F ¤¢ðµÀÖ ¥ÀæPÀgÀtzÀ°è EzÀ£ÀÄß UÀªÀĤ¹zÀgÀÆ
PÀÆqÁ ¨ÉÃgÉ ¸ÀªÀĪÁzÀ PÉÆãÀUÀ½UÀÆ EzÀ£ÀÄß ¥ÀæAiÀÄwß¹. F PɼÀV£À ¥ÀæªÉÄÃAiÀÄ¢AzÁV, J¯Áè eÁåUÀ¼ÀÄ
¸ÀªÀÄ£ÁVgÀĪÀÅzÀÄ PÀAqÀħgÀÄvÀÛzÉ.
Not to be republished
¥ÀæªÉÄÃAiÀÄ 10.2: ªÀÈvÀÛzÀ eÁåUÀ½AzÀ ªÀÈvÀÛzÀ PÉÃAzÀæzÀ°è K¥ÀðlÖ PÉÆãÀUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀÄ£ÁVzÀÝgÉ D eÁåUÀ¼ÀÄ ¥ÀgÀ¸ÀàgÀ
¸ÀªÀÄ£ÁVgÀÄvÀÛzÉ.
ªÉÄð£À ¥ÀæªÉÄÃAiÀĪÀÅ ¥ÀæªÉÄÃAiÀÄ 10.1 gÀ «¯ÉÆêÀĪÁVzÉ.
©KTBS
avÀæ 10.13 gÀ°è UÀªÀĤ¹:
¤ÃªÀÅ AOB= COD JAzÀÄ vÉUÉzÀÄPÉÆAqÀgÉ
DUÀ, ∆ AOB ≅ ∆ COD (AiÀiÁPÉ ?)
FUÀ ¤ÃªÀÅ AB = CD JAzÀÄ UÀªÀĤ¸À§ºÀÄzÉà ?
C¨sÁå¸À 10.2
1. JgÀqÀÄ ªÀÈvÀÛUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀÄ£ÁzÀ wædåUÀ¼À£ÀÄß ºÉÆA¢zÀÝgÉ CªÀÅUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀð¸ÀªÀÄ JA§ÄªÀÅzÀ£ÀÄß ¸Àäj¹PÉƽî.
¸ÀªÀð¸ÀªÀÄ ªÀÈvÀÛUÀ¼À ¸ÀªÀÄeÁåUÀ¼ÀÄ ªÀÈvÀÛPÉÃAzÀæzÀÀ°è ¸ÀªÀÄ£ÁzÀ PÉÆãÀUÀ¼À£ÀÄß GAlĪÀiÁqÀÄvÀÛªÉ
JAzÀÄ ¸Á¢ü¹.
2. ¸ÀªÀð¸ÀªÀÄ ªÀÈvÀÛUÀ¼À eÁåUÀ¼ÀÄ PÉÃAzÀæzÀ°è ¸ÀªÀÄ£ÁzÀ PÉÆãÀUÀ¼À£ÀÄß GAlĪÀiÁrzÀgÉ D eÁåUÀ¼ÀÄ
¥ÀgÀ¸ÀàgÀ ¸ÀªÀÄ JAzÀÄ ¸Á¢ü¹.
10.4 ªÀÈvÀÛPÉÃAzÀæ¢AzÀ eÁåPÉÌ J¼ÉzÀ ®A§
ZÀlĪÀnPÉ : MAzÀÄ mÉæùAUï ºÁ¼ÉAiÀÄ (¥ÉÃ¥Àgï) ªÉÄÃ¯É MAzÀÄ
ªÀÈvÀÛªÀ£ÀÄß J¼É¬Äj. `O' CzÀgÀ PÉÃAzÀæ DVgÀ°. CzÀgÀ°è eÁå
AB gÀa¹. eÁåzÀ ¨sÁUÀUÀ¼ÀÄ ¥ÀgÀ¸ÀàgÀ MAzÀgÀ ªÉÄïÉÆAzÀÄ
©Ã¼ÀĪÀAvÉ `O' ©AzÀÄ«£À ªÀÄÆ®PÀ ºÁzÀĺÉÆÃUÀĪÀ UÉgÉAiÀÄ
ªÉÄÃ¯É ºÁ¼ÉAiÀÄ£ÀÄß ªÀÄqÀa. F ªÀÄqÀazÀ UÉgÉAiÀÄÄ AB AiÀÄ£ÀÄß
°
M £À°è PÀvÀÛj¸À°. DUÀ OMA= OMB = 90 CxÀªÁ OM gÉÃSÉ
AB UÉ ®A§ªÁVzÉ. B ©AzÀĪÀÅ A ©AzÀÄ«£ÉÆA¢UÉ ¸ÀjAiÀiÁV
ºÉÆA¢PÉAiÀiÁUÀÄvÀÛzÀAiÉÄà ? (avÀæ 10.15£ÀÄß UÀªÀĤ¹) ºËzÀÄ ¸ÀjAiÀiÁV
ºÉÆA¢PÉAiÀiÁUÀÄvÀÛzÉ. DzÀÝjAzÀ MA = MB.
OA ªÀÄvÀÄÛ OB UÀ¼À£ÀÄß ¸ÉÃj¹ ®A§PÉÆãÀ ∆ OMA ªÀÄvÀÄÛ ∆ OMB UÀ¼À£ÀÄß ¸ÀªÀð¸ÀªÀÄ JAzÀÄ
¤ÃªÉà ¸ÀévÀºÀB ¸Á¢ü¹. F GzÁgÀuÉAiÀÄÄ F PɼÀV£À ¥sÀ°vÁA±ÀPÉÌ ¤¢üðµÀÖªÁzÀ ¤zÀ±ÀÀð£ÀªÁVzÉ.
¥ÀæªÉÄÃAiÀÄ 10.3 : PÉÃAzÀæ¢AzÀ eÁåPÉÌ J¼É¢gÀĪÀ ®A§ªÀÅ eÁåªÀ£ÀÄß C¢üð¸ÀÄvÀÛzÉ.
F ¥ÀæªÉÄÃAiÀÄzÀ «¯ÉÆêÀĪÉãÀÄ? EzÀ£ÀÄß §gÉAiÀÄ®Ä ¥ÀæªÉÄÃAiÀÄ 10.3 gÀ°è AiÀiÁªÀÅzÀ£ÀÄß GºÁPÀ°à¸À¯ÁVzÉ?
ªÀÄvÀÄÛ AiÀiÁªÀÅzÀ£ÀÄß ¸Á¢ü¸À¯ÁVzÉ? JA§ÄzÀ£ÀÄß ¸ÀàµÀÖ¥Àr¹PÉƼÀî¨ÉÃPÀÄ. ªÀÈvÀÛPÉÃAzÀæ¢AzÀ eÁåPÉÌ ®A§
J¼ÉAiÀįÁVzÉ JAzÀÄ PÉÆnÖgÀÄvÁÛgÉ. ªÀÄvÀÄÛ CzÀÄ eÁåªÀ£ÀÄß C¢üð¸ÀÄvÀÛzÉ JA§ÄªÀÅzÀ£ÀÄß ¸Á¢ü¸À¨ÉÃPÀÄ.
DzÀÝjAzÀ «¯ÉÆêÀÄzÀ°è HºÁPÀ®à£ÉAiÀÄÄ "ªÀÈvÀÛzÀ PÉÃAzÀæ¢AzÀ J¼ÉzÀ gÉÃSÉAiÀÄÄ eÁåªÀ£ÀÄß C¢üð¹zÀgÉ"
"D gÉÃSÉAiÀÄÄ eÁåPÉÌ ®A§ªÁVgÀÄvÀÛzÉ" JAzÀÄ ¸Á¢ü¸À¨ÉÃPÀÄ. «¯ÉÆêÀĪÀ£ÀÄß »ÃUÉ §gÉAiÀħºÀÄzÀÄ.
176 UÀtÂvÀ
¥ÀæªÉÄÃAiÀÄ 10.4 : eÁåªÀ£ÀÄß C¢üð¸ÀĪÀAvÉ ªÀÈvÀÛPÉÃAzÀæzÀ ªÀÄÆ®PÀ J¼ÉzÀ
gÉÃSÉAiÀÄÄ eÁåPÉÌ ®A§ªÁVgÀÄvÀÛzÉ.
EzÀÄ ¸ÀjAiÉÄà ? PÉ®ªÀÅ ¥ÀæPÀgÀtUÀ½UÉ EzÀ£ÀÄß ¥ÀæAiÀÄwß¹
£ÉÆÃr. F ¥ÀæPÀgÀtUÀ¼À°è EzÀÄ ¸ÀjAiÀiÁVgÀĪÀÅzÀ£ÀÄß ¤ÃªÀÅ
Not to be republished
UÀªÀĤ¸À§ºÀÄzÀÄ. F PɼÀV£À C¨sÁå¸ÀªÀ£ÀÄß ªÀiÁr, ¸ÁªÀiÁ£ÀåªÁV
CzÀÄ ¸ÀjAiÀiÁVgÀÄvÀÛzÉAiÉÆà JAzÀÄ £ÉÆÃr. £ÁªÀÅ ºÀAvÀUÀ¼À£ÀÄß
§gÉzÀgÉ ªÀÄvÀÄÛ ¤ÃªÀÅ PÁgÀtUÀ¼À£ÀÄß PÉÆr.
O PÉÃAzÀæ«gÀĪÀ ªÀÈvÀÛzÀ°è AB eÁå DVgÀ°, O ©AzÀĪÀ£ÀÄß
©KTBS
AB AiÀÄ ªÀÄzsÀå©AzÀÄ M UÉ ¸ÉÃj¸À¯ÁVzÉ. ¤ÃªÀÅ ¸Á¢ü¸À¨ÉÃPÁzÀÄzÀÄ
OM ⊥ AB. OA ªÀÄvÀÄÛ OB UÀ¼À£ÀÄß ¸ÉÃj¹ (avÀæ 10.16£ÀÄß UÀªÀĤ¹).
∆ OAM ªÀÄvÀÄÛ ∆ OBM UÀ¼À°è,
OA = OB (AiÀiÁPÉ?)
AM = BM (AiÀiÁPÉ?)
OM = OM (¸ÁªÀiÁ£Àå ¨ÁºÀÄ)
DzÀÝjAzÀ, ∆ OAM ≅ ∆ OBM (ºÉÃUÉ?)
EzÀjAzÀ, OMA= OMB= 90° (AiÀiÁPÉ?)
10.5 : ªÀÄÆgÀÄ ©AzÀÄUÀ¼À ªÀÄÆ®PÀ ªÀÈvÀÛ
MAzÀÄ gÉÃSÉAiÀÄ£ÀÄß ¤zsÀðj¸À®Ä 2 ©AzÀÄUÀ¼ÀÄ ¸ÁPÀÄ JA§ÄªÀÅzÀ£ÀÄß ¤ÃªÀÅ 6£ÉAiÀÄ CzsÁåAiÀÄzÀ°è
PÀ°wgÀÄ«j. CAzÀgÉ JgÀqÀÄ ©AzÀÄUÀ¼À ªÀÄÆ®PÀ MAzÀÄ ªÀÄvÀÄÛ MAzÉà MAzÀÄ ¸ÀgÀ¼ÀgÉÃSÉ ªÀiÁvÀæ ºÁzÀÄ
ºÉÆÃUÀ§ºÀÄzÀÄ. MAzÀÄ ªÀÈvÀÛªÀ£ÀÄß ¤zsÀðj¸À®Ä JµÀÄÖ ©AzÀÄUÀ¼ÀÄ ¸ÁPÁUÀÄvÀÛªÉ? JA§ MAzÀÄ ¸Áé¨sÁ«PÀ
¥Àæ±Éß GzÀ㫸ÀÄvÀÛzÉ.
P ©AzÀĪÀ£ÀÄß vÉUÉzÀÄPÉƽî. F ©AzÀÄ«£À ªÀÄÆ®PÀ JµÀÄÖ ªÀÈvÀÛUÀ¼À£ÀÄß J¼ÉAiÀħºÀÄzÀÄ ? F
©AzÀÄ«£À ªÀÄÆ®PÀ ¤ªÀÄUÉ EµÀÖªÁzÀµÀÄÖ ªÀÈvÀÛUÀ¼À£ÀÄß J¼ÉAiÀħºÀÄzÀÄ JA§ÄzÀ£ÀÄß ¤ÃªÀÅ UÀªÀĤ¸À§ºÀÄzÀÄ.
(avÀæ 10.17(1) UÀªÀĤ¹). FUÀ P ªÀÄvÀÄÛ Q JA§ JgÀqÀÄ ©AzÀÄUÀ¼À£ÀÄß vÉUÉzÀÄPÉƽî. P ªÀÄvÀÄÛ Q ©AzÀÄUÀ¼À
ªÀÄÆ®PÀ ºÁzÀĺÉÆÃUÀĪÀAvÉ C¸ÀASÁåvÀ ªÀÈvÀÛUÀ¼À£ÀÄß gÀa¸À§ºÀÄzÀÄ JAzÀÄ ¤ÃªÀÅ UÀªÀĤ¸À§ºÀÄzÀÄ. (avÀæ
10.17 (ii) UÀªÀĤ¹). A,B,C JA§ ªÀÄÆgÀÄ ©AzÀÄUÀ¼À£ÀÄß vÉUÉzÀÄPÉÆAqÁUÀ K£ÁUÀ§ºÀÄzÀÄ? ªÀÄÆgÀÄ
¸ÀgÀ¼ÀgÉÃSÁUÀvÀ ©AzÀÄUÀ¼À ªÀÄÆ®PÀ ºÁzÀĺÉÆÃUÀĪÀAvÉ ¤ÃªÀÅ MAzÀÄ ªÀÈvÀÛªÀ£ÀÄß J¼ÉAiÀħºÀÄzÉÃ? E®è.
©AzÀÄUÀ¼ÀÄ MAzÉà ¸ÀgÀ¼ÀgÉÃSÉAiÀÄ ªÉÄðzÀÝgÉ 3£ÉAiÀÄ ©AzÀĪÀÅ ªÀÈvÀÛzÀ ºÉÆgÀUÉ CxÀªÁ M¼ÀUÉ EzÀÄÝ,
G½zÉgÀqÀÄ ©AzÀÄUÀ¼À ªÀÄÆ®PÀ ªÀÈvÀÛªÀÅ ºÁzÀÄ ºÉÆÃUÀÄvÀÛzÉ. (avÀæ 10.18 UÀªÀĤ¹)
ªÀÈvÀÛUÀ¼ÀÄ 177
FUÀ, MAzÉà ¸ÀgÀ¼ÀgÉÃSÉAiÀÄ°è®èzÀ A,B,C JA§ ªÀÄÆgÀÄ
©AzÀÄUÀ¼À£ÀÄß vÉUÉzÀÄPÉƼÉÆîÃt. (avÀæ 10.19(1)£ÀÄß UÀªÀĤ¹). AB
ªÀÄvÀÄÛ BC UÀ¼À ®A¨ÁzsÀðPÀ gÉÃSÉUÀ¼ÁzÀ PQ ªÀÄvÀÄÛ RS UÀ¼À£ÀÄß gÀa¹.
F ®A¨ÁzsÀðPÀUÀ¼ÀÄ ¥ÀgÀ¸ÀàgÀ O ©AzÀÄ«£À°è bÉâ¸À°.(PQ ªÀÄvÀÄÛ
RSUÀ¼ÀÄ MAzÀ£ÉÆßAzÀÄ bÉâ¸ÀÄvÀÛªÉ. KPÉAzÀgÉ CªÀÅUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀªÀ®è
Not to be republished
JA§ÄªÀÅzÀ£ÀÄß UÀªÀĤ¹) (avÀæ 10.19 (ii)£ÀÄß UÀªÀĤ¹).
O ©AzÀĪÀÅ AB AiÀÄ ®A¨ÁzsÀðPÀ gÉÃSÉ PQ £À ªÉÄðzÉ.
MAzÀÄ gÉÃSÉAiÀÄ ®A¨ÁzsÀðPÀzÀ ªÉÄð£À ¥Àæw ©AzÀĪÀÇ
CzÀgÀ CAvÀå ©AzÀÄUÀ½AzÀ ¸ÀªÀiÁ£À zÀÆgÀzÀ°ègÀĪÀÅzÀjAzÀ
©KTBS
OA = OB (EzÀ£ÀÄß CzsÁåAiÀÄ 7gÀ°è ¸Á¢ü¹zÉ.)
ºÁUÉAiÉÄÃ, O ©AzÀĪÀÅ BC AiÀÄ ®A¨ÁzsÀðPÀ gÉÃSÉ RS ªÉÄðgÀĪÀ PÁgÀt OB = OC.
DzÀÝjAzÀ OA = OB = OC., EzÀgÀ CxÀðªÉãÉAzÀgÉ A,B ªÀÄvÀÄÛ C ©AzÀÄUÀ¼ÀÄ O PÉÃAzÀæ¢AzÀ ¸ÀªÀiÁ£À
zÀÆgÀzÀ°èªÉ. DzÀÝjAzÀ ¤Ã«ÃUÀ OA wædå«gÀĪÀAvÉ O PÉÃAzÀæ«gÀĪÀ ªÀÈvÀÛªÀ£ÀÄß gÀa¹zÁUÀ CzÀÄ B ªÀÄvÀÄÛ
C ©AzÀÄUÀ¼À ªÀÄÆ®PÀ PÀÆqÁ ºÁzÀĺÉÆÃUÀÄvÀÛzÉ. A,B ªÀÄvÀÄÛ C JA§ ªÀÄÆgÀÄ ©AzÀÄUÀ¼À ªÀÄÆ®PÀ
ºÁzÀÄ ºÉÆÃUÀĪÀAvÀºÀ ªÀÈvÀÛ EzÉ JA§ÄzÀ£ÀÄß EzÀÄ vÉÆÃj¸ÀÄvÀÛzÉ. JgÀqÀÄ gÉÃSÉUÀ¼ÀÄ (®A¨ÁzsÀðPÀ
gÉÃSÉUÀ¼ÀÄ) MAzÉà MAzÀÄ ©AzÀÄ«£À°è ªÀiÁvÀæ PÀvÀÛj¸ÀÄvÀÛªÉ JAzÀÄ ¤ÃªÀÅ w½¢¢ÝÃj. CAzÀgÉ OA
wædå«gÀĪÀ MAzÉà MAzÀÄ ªÀÈvÀÛªÀ£ÀÄß ¤ÃªÀÅ J¼ÉAiÀħºÀÄzÀÄ JAzÀxÀð. CxÀªÁ A,B ªÀÄvÀÄÛ C UÀ¼À
ªÀÄÆ®PÀ ºÁzÀĺÉÆÃUÀĪÀAvÉ MAzÉà MAzÀÄ ªÀÈvÀÛ ªÀiÁvÀæ EgÀ®Ä ¸ÁzsÀå. F PɼÀV£À ¥ÀæªÉÄÃAiÀĪÀ£ÀÄß
¤Ã«ÃUÀ ¸Á¢ü¹¢ÝÃj.
¥ÀæªÉÄÃAiÀÄ 10.5 : ªÀÄÆgÀÄ ¸ÀgÀ¼ÀgÉÃSÁUÀvÀªÀ®èzÀ ©AzÀÄUÀ¼À ªÀÄÆ®PÀ ºÁzÀĺÉÆÃUÀĪÀAvÉ MAzÀÄ ªÀÄvÀÄÛ
MAzÉà MAzÀÄ ªÀÈvÀÛ ªÀiÁvÀæ EgÀ®Ä ¸ÁzsÀå.
UÀªÀĤ¹ : ABC MAzÀÄ wæ¨sÀÄdªÁzÀgÉ ¥ÀæªÉÄÃAiÀÄ 10.5 gÀ ¥ÀæPÁgÀ wæPÉÆãÀzÀ A,B ªÀÄvÀÄÛ C ±ÀÈAUÀUÀ¼À
ªÀÄÆ®PÀ ºÁzÀĺÉÆÃUÀĪÀ MAzÉà MAzÀÄ ªÀÈvÀÛ«gÀÄvÀÛzÉ. EzÀ£ÀÄß ∆ABC AiÀÄ ¥ÀjªÀÈvÀÛ J£ÀÄßvÁÛgÉ. EzÀgÀ
PÉÃAzÀæ ªÀÄvÀÄÛ wædåªÀ£ÀÄß PÀæªÀĪÁV wæ¨sÀÄdzÀ ¥ÀjPÉÃAzÀæ ªÀÄvÀÄÛ ¥ÀjwædåªÉAzÀÄ PÀgÉAiÀÄÄvÁÛgÉ.
GzÁºÀgÀuÉ 1 : MAzÀÄ ªÀÈvÀÛ PÀA¸ÀªÀ£ÀÄß PÉÆnÖzÉ. D ªÀÈvÀÛªÀ£ÀÄß ¥ÀÆtðUÉƽ¹.
¥ÀjºÁgÀ : ªÀÈvÀÛzÀ PQ PÀA¸ÀªÀ£ÀÄß PÉÆnÖzÁÝgÉ JA¢lÄÖPÉƼÉÆîÃt. D ªÀÈvÀÛªÀ£ÀÄß ¥ÀÆtðUÉƽ¸À¨ÉÃPÁzÀgÉ
£ÁªÀÅ CzÀgÀ PÉÃAzÀæ ªÀÄvÀÄÛ wædåUÀ¼À£ÀÄß PÀAqÀÄ»rAiÀĨÉÃPÀÄ. F PÀA¸ÀzÀ ªÉÄÃ¯É R JA§ ©AzÀĪÀ£ÀÄß
178 UÀtÂvÀ
vÉUÉzÀÄPÉÆAqÀÄ PR ªÀÄvÀÄÛ RQ UÀ¼À£ÀÄß ¸ÉÃj¸À¨ÉÃPÀÄ. 10.5 ¥ÀæªÉÄÃAiÀĪÀ£ÀÄß ¸Á¢ü¸À®Ä G¥ÀAiÉÆÃV¹zÀ
gÀZÀ£ÉAiÀÄ£ÀÄß G¥ÀAiÉÆÃV¹ ªÀÈvÀÛzÀ PÉÃAzÀæ ªÀÄvÀÄÛ wædåªÀ£ÀÄß
PÀAqÀÄ»r¬Äj.
»ÃUÉ zÉÆgÉvÀ PÉÃAzÀæ ªÀÄvÀÄÛ wædåªÀ£ÀÄß G¥ÀAiÉÆÃV¹
Not to be republished
ªÀÈvÀÛªÀ£ÀÄß ¥ÀÆtðUÉƽ¸À§ºÀÄzÀÄ (avÀæ 10.20 UÀªÀĤ¹)
C¨sÁå¸À 10.3
©KTBS
1. ¨ÉÃgÉ ¨ÉÃgÉ ªÀÈvÀÛUÀ¼À eÉÆvÉUÀ¼À£ÀÄß gÀa¹. ¥Àæw eÉÆvÉ
ªÀÈvÀÛUÀ½UÉ JµÀÄÖ ¸ÁªÀiÁ£Àå ©AzÀÄUÀ½ªÉ? ¸ÁªÀiÁ£Àå
©AzÀÄUÀ¼À UÀjµÀÖ ¸ÀASÉåAiÉĵÀÄÖ?
2. MAzÀÄ ªÀÈvÀÛªÀ£ÀÄß ¤ªÀÄUÉ PÉÆqÀ¯ÁVzÉ. CzÀgÀ PÉÃAzÀæªÀ£ÀÄß PÀAqÀÄ»rAiÀÄ®Ä MAzÀÄ gÀZÀ£ÉAiÀÄ£ÀÄß
w½¹.
3. JgÀqÀÄ ªÀÈvÀÛUÀ¼ÀÄ JgÀqÀÄ ©AzÀÄUÀ¼À°è PÀvÀÛj¹zÀgÉ CªÀÅUÀ¼À PÉÃAzÀæUÀ¼ÀÄ D ªÀÈvÀÛUÀ¼ÀÀ ¸ÁªÀiÁ£Àå
eÁåzÀ ®A¨ÁzsÀðPÀzÀ ªÉÄðgÀÄvÀÛªÉ JAzÀÄ ¸Á¢ü¹.
10.6 ¸ÀªÀÄ£ÁzÀ eÁåUÀ¼ÀÄ ªÀÄvÀÄÛ PÉÃAzÀæ¢AzÀ CªÀÅUÀ½VgÀĪÀ zÀÆgÀ
AB MAzÀÄ ¸ÀgÀ¼ÀgÉÃSÉAiÀiÁVgÀ°. P MAzÀÄ ©AzÀĪÁVgÀ°. AB ¸ÀgÀ¼ÀgÉÃSÉAiÀÄ ªÉÄÃ¯É C¸ÀASÁåvÀ
©AzÀÄUÀ½gÀĪÀÅzÀjAzÀ F ©AzÀÄUÀ¼À£ÀÄß P ©AzÀÄ«UÉ ¸ÉÃj¹zÀgÉ ¤ÃªÀÅ PL , PL , PM, PL , PL .......
2
1
4
3
EvÁå¢, C¸ÀASÁåvÀ gÉÃSÁRAqÀUÀ¼À£ÀÄß ¥ÀqÉAiÀÄÄwÛÃj. EªÀÅUÀ¼À°è AB ¤AzÀ P UÉ EgÀĪÀ zÀÆgÀ AiÀiÁªÀÅzÀÄ?
MAzÀÄ PÀët AiÉÆÃa¹, ¤ÃªÀÅ GvÀÛgÀªÀ£ÀÄß ¥ÀqÉAiÀħºÀÄzÀÄ. EªÀÅUÀ¼À°è
P ¤AzÀ AB VgÀĪÀ ®A§ PM CvÀåAvÀ PÀ¤µÀÖ zÀÆgÀªÁVgÀÄvÀÛzÉ.
(avÀæ 10.21£ÀÄß UÀªÀĤ¹) UÀtwÃAiÀĪÁV, PÀ¤µÀÖ C¼ÀvÉ PM EzÀÄ
AB ¤AzÀ P UÉ EgÀĪÀ zÀÆgÀªÁVzÉ JAzÀÄ £ÁªÀÅ ¤gÀƦ¸À§ºÀÄzÀÄ.
DzÀÝjAzÀ ¤Ã«ÃUÀ EzÀ£ÀÄß ºÉüÀ§ºÀÄzÀÄ.
MAzÀÄ ©AzÀÄ«¤AzÀ MAzÀÄ ¸ÀgÀ¼ÀgÉÃSÉVgÀĪÀ ®A§zÀ
GzÀݪÉà D ©AzÀÄ«¤AzÀ D ¸ÀgÀ¼ÀgÉÃSÉVgÀĪÀ zÀÆgÀªÁVgÀÄvÀÛzÉ.
©AzÀĪÀÅ ¸ÀgÀ¼ÀgÉÃSÉAiÀÄ ªÉÄïÉAiÉÄà EzÀÝgÉ D ©AzÀÄ«¤AzÀ
¸ÀgÀ¼À gÉÃSÉUÉ EgÀĪÀ zÀÆgÀªÀÅ ¸ÉÆ£Éß JA§ÄªÀÅzÀ£ÀÄß UÀªÀĤ¹.
MAzÀÄ ªÀÈvÀÛªÀÅ C¸ÀASÁåvÀ eÁåUÀ¼À£ÀÄß ºÉÆA¢gÀ§ºÀÄzÀÄ. MAzÀÄ ªÀÈvÀÛPÉÌ eÁåUÀ¼À£ÀÄß gÀa¹zÁUÀ, zÉÆqÀØ
eÁåªÀÅ aPÀÌ eÁåQÌAvÀ PÉÃAzÀæPÉÌ ¸À«ÄÃ¥ÀzÀ°ègÀÄvÀÛzÉ JA§ÄªÀÅzÀ£ÀÄß ¤ÃªÀÅ UÀªÀĤ¸À§ºÀÄzÀÄ. MAzÀÄ ªÀÈvÀÛPÉÌ
¨ÉÃgÉ ¨ÉÃgÉ C¼ÀvÉAiÀÄ eÁåUÀ¼À£ÀÄß J¼ÉzÀÄ PÉÃAzÀæ¢AzÀ CªÀÅUÀ½VgÀĪÀ zÀÆgÀªÀ£ÀÄß PÀAqÀÄ»rAiÀÄĪÀÅzÀjAzÀ
¤Ã«zÀ£ÀÄß UÀªÀĤ¸À§ºÀÄzÀÄ. CvÀåAvÀ GzÀÝzÀ eÁå DzÀ ªÁå¸ÀPÀÆÌ, ªÀÈvÀÛPÉÃAzÀæPÀÆÌ EgÀĪÀ zÀÆgÀªÉãÀÄ?
PÉÃAzÀæªÀÅ ªÁå¸ÀzÀ ªÉÄðgÀĪÀ PÁgÀt zÀÆgÀªÀÅ ¸ÉÆ£ÉßAiÀiÁVgÀÄvÀÛzÉ. eÁåzÀ C¼ÀvÉ ªÀÄvÀÄÛ PÉÃAzÀæ¢AzÀ eÁåPÉÌ
EgÀĪÀ zÀÆgÀ EªÀÅUÀ¼À £ÀqÀÄ«£À ¸ÀA§AzsÀzÀ §UÉÎ ¤ªÀÄUÉ w½¢zÉAiÉÄ? FUÀ £ÁªÀzÀ£ÀÄß w½AiÉÆÃt.
ªÀÈvÀÛUÀ¼ÀÄ 179
Not to be republished
©KTBS
ZÀlĪÀnPÉ : mÉæùAUï ºÁ¼ÉAiÀÄ ªÉÄÃ¯É AiÀiÁªÀÅzÉà wædå«gÀĪÀ ªÀÈvÀÛ gÀa¹. CzÀgÀ°è AB ªÀÄvÀÄÛ CD JA§
JgÀqÀÄ ¸ÀªÀÄ eÁåUÀ¼À£Éß¼ÉzÀÄ CªÀÅUÀ¼À ªÉÄÃ¯É O PÉÃAzÀæ¢AzÀ OM ªÀÄvÀÄÛ ON ®A§UÀ¼À£ÀÄß J¼É¬Äj. B
AiÀÄÄ D AiÀÄ ªÉÄÃ¯É ºÁUÀÆ A AiÀÄÄ C AiÀÄ ªÉÄÃ¯É ¤®ÄèªÀAvÉ avÀæªÀ£ÀÄß ªÀÄqÀa (avÀæ 10.22 (1)£ÀÄß
UÀªÀĤ¹). O ©AzÀĪÀÅ ªÀÄqÀazÀ gÉÃSÉAiÀÄ ªÉÄðgÀÄvÀÛzÉ. ºÁUÀÆ N ©AzÀĪÀÅ M ©AzÀÄ«£À ªÉÄïÉ
1
EgÀÄvÀÛzÉ JA§ÄªÀÅzÀ£ÀÄß ¤ÃªÀÅ UÀªÀĤ¸À§ºÀÄzÀÄ. DzÀÝjAzÀ OM=ON. O ªÀÄvÀÄÛ O PÉÃAzÀæ«gÀĪÀ
¸ÀªÀð¸ÀªÀÄ ªÀÈvÀÛUÀ¼À£ÀÄß gÀa¹ CzÀgÀ°è AB ªÀÄvÀÄÛ CD JA§ ¸ÀªÀÄ eÁåUÀ¼À£ÀÄß ¥ÀæwAiÉÆAzÀÄ ªÀÈvÀÛzÀ°è
1
MAzÀgÀAvÉ gÀa¹, F ZÀlĪÀnPÉAiÀÄ£ÀÄß ¥ÀÄ£ÀgÁªÀwð¹. F eÁåUÀ¼À ªÉÄÃ¯É OM ªÀÄvÀÄÛ O N ®A§UÀ¼À£ÀÄß
J¼É¬Äj (avÀæ 10.22 (ii)£ÀÄß UÀªÀĤ¹). MAzÀÄ ªÀævÁÛPÀÈwAiÀÄ£ÀÄß PÀvÀÛj¹, AB AiÀÄ ªÉÄÃ¯É CD UÉ
1
¸ÀjAiÀiÁV ºÉÆA¢PÉƼÀÄîªÀAvÉ ªÀÄvÉÆÛAzÀÄ ªÀÈvÁÛPÀÈwAiÀÄ ªÉÄÃ¯É Er. DUÀ O ªÀÄvÀÄÛ O ºÁUÀÆ M ªÀÄvÀÄÛ
N UÀ¼ÀÄ ¥ÀgÀ¸ÀàgÀ ºÉÆA¢PÉƼÀÄîªÀÅzÀ£ÀÄß ¤ÃªÀÅ UÀªÀĤ¸À§ºÀÄzÀÄ.
»ÃUÉÉ F PɼÀV£ÀªÀÅUÀ¼À£ÀÄß ¤ÃªÀÅ ¥Àj²Ã°¹¢ÝÃj.
¥ÀæªÉÄÃAiÀÄ 10.6 : ªÀÈvÀÛzÀ (¸ÀªÀð¸ÀªÀÄ ªÀÈvÀÛUÀ¼À) ¸ÀªÀÄ£ÁzÀ eÁåUÀ¼ÀÄ PÉÃAzÀæ¢AzÀ(PÉÃAzÀæUÀ½AzÀ) ¸ÀªÀiÁ£À
zÀÆgÀzÀ°ègÀÄvÀÛzÉ.
£ÀAvÀgÀ, F ¥ÀæªÉÄÃAiÀÄzÀ «¯ÉÆêÀĪÀÅ ¸ÀjAiÉÆÃ, C®èªÉÇà JA§ÄªÀÅzÀ£ÀÄß £ÉÆÃqÉÆÃt. EzÀPÉÌ
O PÉÃAzÀæ«gÀĪÀ MAzÀÄ ªÀÈvÀÛªÀ£ÀÄß J¼É¬Äj. ªÀÈvÀÛ PÉÃAzÀæ `O' ¢AzÀ ¸ÀªÀÄ C¼ÀvÉAiÀÄ OL ªÀÄvÀÄÛ OM
JA§ gÉÃSÁRAqÀUÀ¼À£ÀÄß ªÀÈvÀÛzÀ M¼ÀUÉ J¼É¬Äj. (avÀæ 10.23 (1)£ÀÄß UÀªÀĤ¹). OL ªÀÄvÀÄÛ OM UÀ½UÉ
®A§ªÁVgÀĪÀAvÉ PQ ªÀÄvÀÄÛ RS eÁåUÀ¼À£ÀÄß J¼É¬Äj. (avÀæ 10.23 (ii)£ÀÄß UÀªÀĤ¹). PQ ªÀÄvÀÄÛ RS
UÀ¼À GzÀÝUÀ¼À£ÀÄß C¼É¬Äj. EªÀÅUÀ¼ÀÄ ¨ÉÃgÉ ¨ÉÃgÉ DVªÉAiÉÄ? E®è JgÀqÀÆ ¸ÀªÀÄ£ÁVªÉ. E£ÀÆß ºÉZÀÄÑ
¸ÀªÀÄ£ÁzÀ gÉÃSÁRAqÀUÀ¼À£ÀÄß J¼ÉzÀÄ ªÀÄvÀÄÛ CªÀÅUÀ½UÉ ®A§ªÁVgÀĪÀAvÉ eÁåUÀ¼À£ÀÄß J¼ÉAiÀÄĪÀÅzÀgÀ
ªÀÄÆ®PÀ F ZÀlĪÀnPÉAiÀÄ£ÀÄß ¥ÀÄ£ÀgÁªÀwð¹.
180 UÀtÂvÀ
Not to be republished
©KTBS
EzÀÄ ¥ÀæªÉÄÃAiÀÄ 10.6 gÀ «¯ÉÆêÀĪÀ£ÀÄß ¥Àj²Ã°¸ÀÄvÀÛzÉ. EzÀÄ »ÃUÉ ¤gÀƦ¸À®ànÖzÉ.
¥ÀæªÉÄÃAiÀÄ 10.7: ªÀÈvÀÛPÉÃAzÀæ¢AzÀ ¸ÀªÀiÁ£À zÀÆgÀzÀ°ègÀĪÀ eÁåUÀ¼ÀÄ ¥ÀgÀ¸ÀàgÀ ¸ÀªÀÄ£ÁVgÀÄvÀÛªÉ.
ªÉÄð£À ¥sÀ°vÁA±ÀzÀ G¥ÀAiÉÆÃUÀªÀ£ÀÄß ¸Á¢ü¸À®Ä F PɼÀV£À GzÁºÀgÀuÉAiÀÄ£ÀÄß vÉUÉzÀÄPÉƼÉÆîÃt.
GzÁºÀgÀuÉ 2 : MAzÀÄ ªÀÈvÀÛzÀ, ¥ÀgÀ¸ÀàgÀ bÉâ¸ÀĪÀ JgÀqÀÄ
eÁåUÀ¼ÀÄ CªÀÅUÀ¼À bÉÃzÀPÀ ©AzÀÄ«£À ªÀÄÆ®PÀ ºÁzÀĺÉÆÃUÀĪÀ
ªÁå¸ÀzÉÆA¢UÉ ¸ÀªÀÄ£ÁzÀ PÉÆãÀUÀ¼À£ÀÄß GAlĪÀiÁrzÀgÉ D
eÁåUÀ¼ÀÄ ¥ÀgÀ¸ÀàgÀ ¸ÀªÀÄ£ÁVgÀÄvÀÛªÉ JAzÀÄ ¸Á¢ü¹.
¥ÀjºÁgÀ : `O' PÉÃAzÀæªÀżÀî ªÀÈvÀÛzÀ°è AB ªÀÄvÀÄÛ CD UÀ¼ÀÄ
¥ÀgÀ¸ÀàgÀ E ©AzÀÄ«£À°è bÉâ¸ÀĪÀ eÁåUÀ¼ÁVªÉ JAzÀÄ PÉÆnÖzÉ.
AEQ= DEQ (avÀæ 10.24 UÀªÀĤ¹) DUÀĪÀAvÉ PQ ªÀÅ
E ©AzÀÄ«£À ªÀÄÆ®PÀ ºÁzÀĺÉÆÃUÀĪÀ ªÁå¸ÀªÁVzÉ. ¤ÃªÀÅ
¸Á¢ü¸À¨ÉÃPÁzÀÄzÀÄ AB = CD
AB ªÀÄvÀÄÛ CD eÁåUÀ¼À ªÉÄÃ¯É PÀæªÀĪÁV OL ªÀÄvÀÄÛ OM ®A§UÀ¼À£ÀÄß J¼É¬Äj. FUÀ
LOE = 180 °− 90 °− LEO = 90 °− LEO (∆ zÀ PÉÆãÀUÀ¼À ªÉÆvÀÛ 180)
= 90°− AEQ = 90° − DEQ
= 90°− MEO = MOE
∆ OLE ªÀÄvÀÄÛ ∆ OME UÀ¼À°è
LEO= MEO (AiÀiÁPÉ?)
LOE= MOE (ªÉÄÃ¯É ¸Á¢ü¹zÉ)
EO = EO (G¨sÀAiÀÄ ¸ÁªÀiÁ£Àå¨ÁºÀÄ)
DzÀÝjAzÀ ∆OLE ≅ ∆OME (AiÀiÁPÉÉ?)
EzÀjAzÀ OL = OM (¸ÀªÀð¸ÀªÀÄ wæ¨sÀÄdUÀ¼À C£ÀÄgÀÆ¥À ¨ÁºÀÄUÀ¼ÀÄ)
DzÀgÉ AB = CD (AiÀiÁPÉ?)
ªÀÈvÀÛUÀ¼ÀÄ 181
C¨sÁå¸À 10.4
1. 5cm ªÀÄvÀÄÛ 3cm wædåUÀ½gÀĪÀ JgÀqÀÄ ªÀÈvÀÛUÀ¼ÀÄ ¥ÀgÀ¸ÀàgÀ JgÀqÀÄ ©AzÀÄUÀ¼À°è PÀvÀÛj¸ÀÄvÀÛªÉ.
CªÀÅUÀ¼À PÉÃAzÀæUÀ¼À £ÀqÀÄ«£À zÀÆgÀ 4cm DzÀgÉ CªÀÅUÀ¼À ¸ÁªÀiÁ£Àå eÁåzÀ GzÀÝ PÀAqÀÄ»r¬Äj.
2 ªÀÈvÀÛªÉÇAzÀgÀ ¸ÀªÀĪÁzÀ eÁåUÀ¼ÀÄ ¥ÀgÀ¸ÀàgÀ ªÀÈvÀÛzÀ¯Éèà bÉâ¹zÀgÉ MAzÀÄ eÁåzÀ ªÀÈvÀÛRAqÀªÀÅ
Not to be republished
CzÀPÉÌ C£ÀÄgÀÆ¥ÀªÁzÀ ªÀÄvÉÆÛAzÀÄ eÁåzÀ ªÀÈvÀÛRAqÀPÉÌ ¸ÀªÀÄ JAzÀÄ ¸Á¢ü¹.
3 MAzÀÄ ªÀÈvÀÛzÀ ¸ÀªÀÄeÁåUÀ¼ÀÄ ¥ÀgÀ¸ÀàgÀ ªÀÈvÀÛzÉƼÀUÉ bÉâ¹zÀgÉ.
bÉÃzÀPÀ ©AzÀĪÀ£ÀÄß PÉÃAzÀæPÉÌ ¸ÉÃj¸ÀĪÀ gÉÃSÉAiÀÄÄ eÁåUÀ¼ÉÆA¢UÉ
¸ÀªÀÄ£ÁzÀ PÉÆãÀUÀ¼À£ÀÄß GAlĪÀiÁqÀÄvÀÛªÉ JAzÀÄ ¸Á¢ü¹.
©KTBS
4 MAzÀÄ gÉÃSÁRAqÀªÀÅ O PÉÃAzÀæ«gÀĪÀ JgÀqÀÄ KPÀ PÉÃA¢æÃAiÀÄ
ªÀÈvÀÛUÀ¼À£ÀÄß (MAzÉà PÉÃAzÀæ«gÀĪÀ ªÀÈvÀÛUÀ¼ÀÄ) A,B,C ªÀÄvÀÄÛ D
UÀ¼À°è bÉâ¹zÀgÉ. AB = CD JAzÀÄ ¸Á¢ü¹ (avÀæ 10.25£ÀÄß
UÀªÀĤ¹).
5 gÉõÁä, ¸À¯Áä, ªÀÄA¢Ã¥ï JA§ ªÀÄƪÀgÀÄ ºÀÄqÀÄVAiÀÄgÀÄ MAzÀÄ
GzÁå£ÀªÀ£ÀzÀ°è 5 «Äà wædå«gÀĪÀ ªÀÈvÁÛPÁgÀzÀ gÀZÀ£ÉAiÀÄ°è ¤AvÀÄ DlªÁqÀÄwÛzÁÝgÉ. gÉõÁä
¸À¯Áä½UÉ ZÉAqÀÄ J¸ÉzÀgÉ, ¸À¯Áä ªÀÄA¢Ã¥ïUÉ ºÁUÀÆ ªÀÄA¢Ã¥ï gÉõÁä½UÉ ZÉAqÀÄ J¸ÉAiÀÄÄvÁÛgÉ.
gÉõÁä ªÀÄvÀÄÛ ¸À¯Áä ºÁUÀÆ ¸À¯Áä ªÀÄvÀÄÛ ªÀÄA¢Ã¥ï EªÀgÀÄUÀ¼À £ÀqÀÄ«£À zÀÆgÀ 6m, DzÀgÉ
gÉõÁä ªÀÄvÀÄÛ ªÀÄA¢Ã¥ï £ÀqÀÄ«£À zÀÆgÀªÉãÀÄ?
6 MAzÀÄ PÁ¯ÉÆäAiÀÄ°è 20m wædå«gÀĪÀ ªÀÈvÁÛPÁgÀzÀ GzÁå£ÀªÀ£À«zÉ. CAPÀÄgÀ, ¸ÉÊAiÀÄzï,
qÉëqï JA§ ªÀÄÆgÀÄ ºÀÄqÀÄUÀgÀÄ F GzÁå£ÀªÀ£ÀzÀ CAa£À°è ¸ÀªÀÄzÀÆgÀUÀ¼À°è PÀĽwgÀÄvÁÛgÉ.
¥ÀæwAiÉƧâgÀ°èAiÀÄÆ ¥ÀgÀ¸ÀàgÀ ªÀiÁvÀ£ÁqÀ®Ä DnPÉAiÀÄ mÉ°¥sÉÆãï EzÉ. ¥Àæw ¥sÉÆä£À vÀAwAiÀÄ
GzÀݪÀ£ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj.
10.7 ªÀÈvÀÛzÀ PÀA¸À¢AzÀ K¥ÀðlÖ PÉÆãÀ:
ªÁå¸ÀªÀ®èzÀ eÁåUÀ¼À CAvÀå ©AzÀÄUÀ¼ÀÄ ªÀÈvÀÛªÀ£ÀÄß C¢üPÀPÀA¸À ªÀÄvÀÄÛ ®WÀÄPÀA¸ÀUÀ¼ÁV «AUÀr¸ÀÄvÀÛªÉ
JA§ÄªÀÅzÀ£ÀÄß ¤ÃªÀÅ w½¢gÀÄ«j. MAzÀÄ ªÉÃ¼É JgÀqÀÄ eÁåUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀĪÁzÀgÉ DUÀ ªÀÈvÀÛPÀA¸ÀUÀ¼À GzÀÝUÀ¼À
§UÉÎ ¤ÃªÉãÀÄ ºÉüÀÄ«j ? MAzÀÄ eÁå¢AzÀ K¥ÀðlÖ PÀA¸ÀªÀÅ E£ÉÆßAzÀÄ eÁå¢AzÀ K¥ÀðlÖ CzÀPÉÌ
C£ÀÄgÀÆ¥ÀªÁzÀ PÀA¸ÀPÉÌ ¸ÀªÀÄ£ÁVzÉAiÉÄà ? ¤dªÁV CªÀÅUÀ¼ÀÄ C¼ÀvÉUÀ¼À°è ¸ÀªÀĪÁVzÉ. CªÀÅUÀ¼ÀÄ
¸ÀªÀð¸ÀªÀÄ ºÉÃUÉAzÀgÉ §VθÀzÉ wgÀÄV¸ÀzÉ MAzÀ£ÀÄß E£ÉÆßAzÀgÀ ªÉÄðlÖgÉ CªÀÅUÀ¼ÀÄ ¥ÀgÀ¸ÀàgÀ ¸ÀªÀÄ£ÁV
ºÉÆA¢PÉAiÀiÁUÀÄvÀÛzÉ.
F ¸ÀvÁåA±ÀªÀ£ÀÄß ¤ÃªÀÅ ¥Àj²Ã°¸À®Ä avÀæ 10.26gÀ°è vÉÆÃj¹zÀAvÉ
CD eÁå¢AzÁV GAmÁVgÀĪÀ PÀA¸ÀªÀ£ÀÄß CD eÁåzÀ GzÀÝPÀÆÌ PÀvÀÛj¹
CzÀ£ÀÄß AB eÁåªÀÅ GAlĪÀiÁrgÀĪÀ PÀA¸ÀzÀ ªÉÄÃ¯É eÉÆÃr¹zÁUÀ
CD AiÀÄÄ AB AiÀÄ ªÉÄÃ¯É ¸ÀjAiÀiÁV ºÉÆA¢PÉƼÀÄîvÀÛzÉ JA§ÄªÀÅzÀ£ÀÄß
w½AiÀħºÀÄzÀÄ. (avÀæ 10.26 UÀªÀĤ¹) EzÀjAzÀ MAzÀÄ ªÀÈvÀÛzÀ°è ¸ÀªÀÄ£ÁzÀ
eÁåUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀð¸ÀªÀÄ PÀA¸ÀUÀ¼À£ÀÄß ºÁUÀÆ «¯ÉÆêÀĪÁV ¸ÀªÀð¸ÀªÀÄ PÀA¸ÀUÀ¼ÀÄ
¸ÀªÀÄ eÁåUÀ¼À£ÀÄß GAlĪÀiÁqÀÄvÀÛzÉ. JA§ÄªÀÅzÀ£ÀÄß ¤ÃªÀÅ UÀªÀĤ¸À§ºÀÄzÀÄ.
¤ÃªÀÅ EzÀ£ÀÄß »ÃUÉ ¤gÀƦ¸À§ºÀÄzÀÄ.
182 UÀtÂvÀ
ªÀÈvÀÛzÀ JgÀqÀÄ eÁåUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀÄ£ÁVzÀÝgÉ, CªÀÅUÀ½UÉ C£ÀÄgÀÆ¥ÀªÁzÀ
PÀA¸ÀUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀð¸ÀªÀÄ ªÀÄvÀÄÛ «¯ÉÆêÀĪÁV, ªÀÈvÀÛzÀ JgÀqÀÄ PÀA¸ÀUÀ¼ÀÄ
¸ÀªÀð¸ÀªÀĪÁVzÀÝgÉ CªÀÅUÀ½UÉ C£ÀÄgÀÆ¥ÀªÁzÀ eÁåUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀĪÁVgÀÄvÀÛzÉ.
MAzÀÄ PÀA¸À¢AzÀ PÉÃAzÀæzÀ°è K¥ÀðlÖ PÉÆãÀªÉAzÀgÉ D PÀA¸ÀPÉÌ
Not to be republished
C£ÀÄgÀÆ¥ÀªÁzÀ eÁå¢AzÀ PÉÃAzÀæzÀ°è K¥ÀðlÖ PÉÆãÀªÁVgÀÄvÀÛzÉ.
ºÉÃUÉAzÀgÉ ®WÀÄPÀA¸ÀªÀÅ PÉÃAzÀæzÀ°è MAzÀÄ PÉÆãÀªÀ£ÀÄß K¥Àðr¹zÀgÉ
C¢üPÀ PÀA¸ÀªÀÅ PÉÃAzÀæzÀ°è ¸ÀgÀ¼Á¢üPÀ PÉÆãÀªÀ£ÀÄß K¥Àðr¸ÀÄvÀÛzÉ.
DzÀÝjAzÀ avÀæ 10.27gÀ°è ®WÀÄPÀA¸À PQ ¤AzÁV PÉÃAzÀæzÀ°è
K¥ÀðlÖPÉÆãÀ POQ ªÀÄvÀÄÛ C¢üPÀ PÀA¸À PQ ¤AzÁV PÉÃAzÀæ O
©KTBS
£À°è K¥ÀðlÖ PÉÆãÀªÀÅ ¸ÀgÀ¼Á¢üPÀ POQ DVzÉ.
ªÉÄð£À CA±À ªÀÄvÀÄÛ ¥ÀæªÉÄÃAiÀÄ 10.1 £ÀÄß UÀªÀĤ¹zÁUÀ PɼÀV£À
¥sÀ°vÁA±ÀªÀÅ ¸ÀjAiÀiÁVgÀÄvÀÛzÉ.
ªÀÈvÀÛzÀ ¸ÀªÀð¸ÀªÀÄ PÀA¸ÀUÀ¼ÀÄ (¸ÀªÀÄ£ÁzÀ PÀA¸ÀUÀ¼ÀÄ) ªÀÈvÀÛPÉÃAzÀæzÀ°è ¸ÀªÀÄ£ÁzÀ PÉÆãÀUÀ¼À£ÀÄß K¥Àðr¸ÀÄvÀÛªÉ.
DzÀÝjAzÀ MAzÀÄ ªÀÈvÀÛzÀ eÁå¢AzÀ PÉÃAzÀæzÀ°è K¥ÀðlÖ PÉÆãÀªÀÅ CzÀPÉÌ C£ÀÄgÀÆ¥ÀªÁzÀ
®WÀÄPÀA¸ÀªÀÅ PÉÃAzÀæzÀ°è K¥Àðr¸ÀĪÀ PÉÆãÀPÉÌ ¸ÀªÀÄ£ÁVgÀÄvÀÛzÉ. PɼÀV£À ¥ÀæªÉÄÃAiÀĪÀÅ ªÀÈvÀÛzÀ PÀA¸ÀªÀÅ
PÉÃAzÀæzÀ°è K¥Àðr¸ÀĪÀ PÉÆãÀ ºÁUÀÆ ªÀÈvÀÛzÀ EvÀgÀ AiÀiÁªÀÅzÉà ©AzÀÄ«£À°è K¥Àðr¸ÀĪÀ PÉÆãÀUÀ¼À
£ÀqÀÄ«£À ¸ÀA§AzsÀªÀ£ÀÄß w½¸ÀÄvÀÛzÉ.
¥ÀæªÉÄÃAiÀÄ 10.8: MAzÀÄ PÀA¸À¢AzÁV ªÀÈvÀÛPÉÃAzÀæzÀ°è K¥ÀðlÖ PÉÆãÀªÀÅ CzÉà PÀA¸À¢AzÁV ªÀÈvÀÛzÀ EvÀgÀ
AiÀiÁªÀÅzÉà ©AzÀÄ«£À°è K¥ÀðlÖ PÉÆãÀzÀ JgÀqÀgÀ¶ÖgÀÄvÀÛzÉ.
¸ÁzsÀ£É:- PÉÆnÖgÀĪÀ PÀA¸À PQ ¤AzÁV PÉÃAzÀæzÀ°è POQ ºÁUÀÆ ªÀÈvÀÛzÀ EvÀgÀ ¨sÁUÀzÀ A ©AzÀÄ«£À°è
PAQ ªÀ£ÀÄß GAlĪÀiÁrzÉ. £ÁªÀÅ ¸Á¢ü¸À¨ÉÃPÁVgÀĪÀÅzÀÄ POQ= 2PAQ .
avÀæ 10.28 gÀ°è PÉÆnÖgÀĪÀ ªÀÄÆgÀÄ ¨ÉÃgÉ ¨ÉÃgÉ ¥ÀæPÀgÀtUÀ¼À£ÀÄß vÉUÉzÀÄPÉƼÉÆîÃt.
i. gÀ°è PQ ®WÀÄPÀA¸À ii. gÀ°è PQ CzsÀðªÀÈvÀÛPÀA¸À iii. gÀ°è PQ C¢üPÀ PÀA¸ÀªÁVzÉ.
AO ªÀ£ÀÄß ¸ÉÃj¹ CzÀ£ÀÄß B AiÀĪÀgÉUÉ ªÀÈ¢Þ¸ÀĪÀÅzÀgÀ ªÀÄÆ®PÀ DgÀA©ü¸ÉÆÃt.
J¯Áè ¥ÀæPÀgÀtUÀ¼À°è BOQ= OAQ+ AQO
KPÉAzÀgÉ MAzÀÄ wæPÉÆãÀzÀ ºÉÆgÀPÉÆãÀªÀÅ CzÀgÀ CAvÀ¸ÁÜ©üªÀÄÄR PÉÆãÀUÀ¼À ªÉÆvÀÛPÉÌ
¸ÀªÀÄ£ÁVgÀÄvÀÛzÉ.
ªÀÈvÀÛUÀ¼ÀÄ 183
ºÁUÉAiÉÄà ∆OAQ £À°è
OA = OQ ................ (MAzÉà ªÀÈvÀÛzÀ wædåUÀ¼ÀÄ)
DzÀÝjAzÀ, OAQ= OQA ................ (¥ÀæªÉÄÃAiÀÄ 7.5)
Not to be republished
EzÀjAzÀ, BOQ= 2OAQ ................ (1)
ºÁUÉAiÉÄà BOP = 2 OAP ................ (2)
1 ªÀÄvÀÄÛ 2 jAzÀ BOP+ BOQ= 2OAP +OAQ)
(
©KTBS
CAzÀgÉ POQ= 2PAQ ................ (3)
¥ÀæPÀgÀt (iii) gÀ°è PQ C¢üPÀPÀA¸ÀªÁVzÉ. (3) £ÀÄß »ÃUÉ §gÉAiÀħºÀÄzÀÄ. ¸ÀgÀ¼Á¢üPÀ POQ= 2PAQ
UÀªÀĤ¹: ªÉÄð£À avÀæzÀ°è MAzÀÄ ªÉÃ¼É P ªÀÄvÀÄÛ Q UÀ¼À£ÀÄß ¸ÉÃj¹. PQ eÁåªÀ£ÀÄß ¥ÀqÉzÀgÉ DUÀ PAQ
ªÀ£ÀÄß PAQP ªÀÈvÀÛRAqÀzÀ°è K¥ÀðlÖ PÉÆãÀ JAzÀÄ PÀgÉAiÀÄÄvÁÛgÉ.
¥ÀæªÉÄÃAiÀÄ 10.8gÀ°è ®WÀÄPÀA¸À PQ ªÀ£ÀÄß ºÉÆgÀvÀÄ¥Àr¹ A AiÀÄÄ
ªÀÈvÀÛzÀ ªÉÄð£À AiÀiÁªÀÅzÁzÀgÉÆAzÀÄ ©AzÀĪÁVgÀ°, DzÀÝjAzÀ MAzÀÄ
ªÉÃ¼É ªÀÈvÀÛzÀ ªÉÄÃ¯É E£ÉÆßAzÀÄ ©AzÀÄ C AiÀÄ£ÀÄß vÉUÉzÀÄPÉÆAqÀgÉ
(avÀæ 10.29 UÀªÀĤ¹) DUÀ
POQ= 2PCQ =2 PAQ
DzÀÝjAzÀ : PCQ= PAQ
EzÀÄ PɼÀV£À ¥ÀæªÉÄÃAiÀĪÀ£ÀÄß ¸Á¢ü¸ÀÄvÀÛzÉ.
¥ÀæªÉÄÃAiÀÄ 10.9 : MAzÀÄ ªÀÈvÀÛzÀ MAzÉà RAqÀzÀ°ègÀĪÀ PÉÆãÀUÀ¼ÀÄ
¥ÀgÀ¸ÀàgÀ ¸ÀªÀÄ.
¥ÀÄ£ÀB ¥ÀæªÉÄÃAiÀÄ 10.8gÀ ¥ÀæPÀgÀt (ii) £ÀÄß ¥ÀævÉåÃPÀªÁV ZÀað¸ÀĪÀ. E°è PAQ EzÀÄ ªÀÈvÀÛRAqÀzÀ
PÉÆãÀ.
1 1
°
CzÀÄ CzsÀðªÀÈvÀÛRAqÀzÀPÉÆãÀ ªÀÄvÀÄÛ PAQ= POQ = × 180 °= 90 CzsÀðªÀÈvÀÛzÀ ªÉÄïÉ
2 2
¨ÉÃgÉÆAzÀÄ ©AzÀÄ C AiÀÄ£ÀÄß ¤ÃªÀÅ vÉUÉzÀÄPÉÆAqÀgÉ ¥ÀÄ£ÀB ¤ÃªÀÅ PCQ= 90° JAzÀÄ ¥ÀqÉAiÀÄÄwÛÃj.
DzÀÝjAzÀ ¤ÃªÀÅ ªÀÈvÀÛzÀ ªÀÄvÉÆÛAzÀÄ UÀÄtªÀ£ÀÄß »ÃUÉ ¥ÀqÉAiÀÄÄ«j.
CzsÀðªÀÈvÀÛ RAqÀzÀ°è K¥ÀðqÀĪÀ PÉÆãÀªÀÅ ®A§PÉÆãÀªÁVgÀÄvÀÛzÉ.
¥ÀæªÉÄÃAiÀÄ 10.9gÀ «¯ÉÆêÀĪÀÇ ¸Àj, EzÀ£ÀÄß »ÃUÉ ¤gÀƦ¸À§ºÀÄzÀÄ.
¥ÀæªÉÄÃAiÀÄ 10.10: JgÀqÀÄ ©AzÀÄUÀ¼À£ÀÄß ¸ÉÃj¸ÀĪÀ gÉÃSÁRAqÀªÀÅ D gÉÃSÁRAqÀzÀ MAzÉà §¢AiÀÄ°ègÀĪÀ
JgÀqÀÄ ©AzÀÄUÀ¼À°è ¸ÀªÀÄ£ÁzÀ PÉÆãÀUÀ¼À£ÀÄß GAlĪÀiÁrzÀgÉ D £Á®ÄÌ ©AzÀÄUÀ¼ÀÄ ªÀÈvÀÛzÀ ªÉÄðªÉ.
(CAzÀgÉ CªÀÅUÀ¼ÀÄ ªÀÈwÛÃAiÀÄ ©AzÀÄUÀ¼ÁVªÉ).
184 UÀtÂvÀ
F ¥sÀ°vÁA±ÀzÀ ¸ÀvÁåA±ÀªÀ£ÀÄß ¤ÃªÀÅ »ÃUÉ ¥ÀqÉAiÀħºÀÄzÀÄ.
avÀæ 10.30 gÀ°è AB AiÀÄÄ MAzÀÄ gÉÃSÁRAqÀ EzÀÄ C ªÀÄvÀÄÛ D UÀ¼À°è
¸ÀªÀÄ£ÁzÀ PÉÆãÀUÀ¼À£ÀÄß GAlĪÀiÁqÀÄvÀÛzÉ.
CAzÀgÉ, ACB= ADB
4 Not to be republished
A,B,C ªÀÄvÀÄÛ D ©AzÀÄUÀ¼ÀÄ ªÀÈvÀÛzÀ ªÉÄðªÉ JAzÀÄ
vÉÆÃj¸À¨ÉÃPÁzÀgÉ A,B,C ©AzÀÄUÀ¼À ªÀÄÆ®PÀ ºÁzÀĺÉÆÃUÀĪÀAvÉ
MAzÀÄ ªÀÈvÀÛªÀ£ÀÄß gÀa¹. MAzÀÄ ªÉÃ¼É EzÀÄ D ©AzÀÄ«£À ªÀÄÆ®PÀ
ºÁzÀÄ ºÉÆÃUÀ¢zÀÝgÉ CzÀÄ AD AiÀÄ£ÀÄß (CxÀªÁ AD AiÀÄ ªÀÈ¢Þ¹zÀ
©KTBS
1
¨sÁUÀªÀ£ÀÄß) E ©AzÀÄ«£À°è CxÀªÁ (E £À°è) PÀvÀÛj¸ÀÄvÀÛzÉ.
A,C,E ªÀÄvÀÄÛ B ©AzÀÄUÀ¼ÀÄ ªÀÈvÀÛzÀ ªÉÄðzÀÝgÉ
ACB= AEB (AiÀiÁPÉ?)
DzÀgÉ ACB= ADB (zÀvÀÛ)
DzÀÝjAzÀ AEB= ADB
E ªÀÄvÀÄÛ D UÀ¼ÀÄ ¥ÀgÀ¸ÀàgÀ LPÀåªÁUÀ¢zÀÝgÉ EzÀÄ ¸ÁzsÀå«®è (AiÀiÁPÉ?)
1
ºÁUÉAiÉÄà E EzÀÄ D AiÉÆA¢UÉ LPÀåªÁUÀ¯ÉèÉÃPÀÄ.
10.8 ZÀQæÃAiÀÄ ZÀvÀĨsÀÄðdUÀ¼ÀÄ
ABCD ZÀvÀĨsÀÄðdzÀ J¯Áè £Á®ÄÌ ±ÀÈAUÀUÀ¼ÀÄ MAzÀÄ ªÀÈvÀÛzÀ ªÉÄðzÀÝgÉ,
CzÀ£ÀÄß ZÀQæÃAiÀÄ ZÀvÀĨsÀÄðd JAzÀÄ PÀgÉAiÀÄÄvÁÛgÉ. (avÀæ 10.31£ÀÄß
UÀªÀĤ¹). F jÃwAiÀÄ ZÀvÀĨsÀÄðdUÀ¼À°è ¤ÃªÀÅ MAzÀÄ «±ÉõÀªÁzÀ
UÀÄt®PÀëtªÀ£ÀÄß PÁtÄ«j. ««zsÀ C¼ÀvÉAiÀÄ ¨ÁºÀÄUÀ¼À£ÀÄß ºÉÆA¢gÀĪÀ
ºÀ®ªÀÅ ZÀQæÃAiÀÄ ZÀvÀĨsÀÄðdUÀ¼À£ÀÄß gÀa¹. CªÀÅUÀ¼À£ÀÄß ABCD
JAzÀÄ ºÉ¸Àj¹ (¨ÉÃgÉ ¨ÉÃgÉ wædåUÀ½gÀĪÀ ºÀ®ªÀÅ ªÀÈvÀÛUÀ¼À£ÀÄß gÀa¹.
CzÀgÀ ªÉÄÃ¯É £Á®ÄÌ ©AzÀÄUÀ¼À£ÀÄß UÀÄwð¹ EzÀ£ÀÄß ªÀiÁqÀ§ºÀÄzÀÄ).
C©üªÀÄÄR PÉÆãÀUÀ¼À£ÀÄß C¼ÉzÀÄ CªÀÅUÀ¼À£ÀÄß F PɼÀV£À PÉÆõÀÖPÀzÀ°è
§gɬÄj.
ZÀvÀÄð¨sÀÄðdUÀ¼À PÀæ.¸ÀA A B C D A+ C B+ D
1
2
3
5
6
ªÀÈvÀÛUÀ¼ÀÄ 185
F PÉÆõÀÖPÀ¢AzÀ ¤ÃªÀÅ AiÀiÁªÀ wêÀiÁð£ÀPÉÌ §gÀÄ«j?
A + C = 180 ªÀÄvÀÄÛ B+ D= 180° JA§ÄªÀÅzÀ£ÀÄß ¤ÃªÀÅ ¥ÀqÉAiÀÄÄ«j. C¼ÀvÉAiÀįÁèzÀ
vÀ¥ÀÄàUÀ¼À£ÀÄß ¥ÀjUÀt¸À¢zÀÝgÉ EzÀÄ F PɼÀV£ÀªÀÅUÀ¼À£ÀÄß ¥Àj²Ã°¸ÀÄvÀÛzÉ.
0
¥ÀæªÉÄÃAiÀÄ 10.11 : MAzÀÄ ZÀQæÃAiÀÄ ZÀvÀĨsÀÄðdzÀ C©üªÀÄÄR PÉÆãÀUÀ¼À ªÉÆvÀÛ 180 DVgÀÄvÀÛzÉ.
Not to be republished
F ¥ÀæªÉÄÃAiÀÄzÀ «¯ÉÆêÀĪÀÇ ¸Àj. CzÀ£ÀÄß F PɼÀV£ÀAvÉ ¤gÀƦ¸À§ºÀÄzÀÄ.
0
¥ÀæªÉÄÃAiÀÄ 10.12 : MAzÀÄ ZÀvÀĨsÀÄðdzÀ°è MAzÀÄ eÉÆvÉ C©üªÀÄÄR PÉÆãÀUÀ¼À ªÉÆvÀÛ 180 DVzÀÝgÉ CzÀÄ
ZÀQæÃAiÀÄ ZÀvÀĨsÀÄðdªÁVgÀÄvÀÛzÉ.
©KTBS
¤ÃªÀÅ F ¥ÀæªÉÄÃAiÀÄzÀ ¸ÀvÀåvÉAiÀÄ£ÀÄß w½AiÀÄ®Ä ¥ÀæªÉÄÃAiÀÄ 10.10 gÀ°è C¼ÀªÀr¹zÀ «zsÁ£ÀªÀ£ÀÄß
C£ÀĸÀj¸À¨ÉÃPÁUÀÄvÀÛzÉ.
GzÁºÀgÀuÉ 3: avÀæ 10.32 gÀ°è AB AiÀÄÄ ªÀÈvÀÛzÀ ªÁå¸ÀªÁVzÉ. CD
AiÀÄÄ ªÀÈvÀÛzÀ wædåPÉÌ ¸ÀªÀÄ£ÁzÀ eÁåªÁVzÉ. AC ªÀÄvÀÄÛ BD UÀ¼À£ÀÄß
ªÀȢݹzÁUÀ CªÀÅUÀ¼ÀÄ E ©AzÀÄ«£À°è bÉâ¸ÀÄvÀÛªÉ. AEB= 60°
JAzÀÄ ¸Á¢ü¹.
¥ÀjºÁgÀ: OC, OD ªÀÄvÀÄÛ BC UÀ¼À£ÀÄß ¸ÉÃj¹
∆ODC AiÀÄÄ ¸ÀªÀĨÁºÀĪÁVzÉ (AiÀiÁPÉ?)
DzÀÝjAzÀ COD= 60°
1
FUÀ: CBD = COD (¥ÀæªÉÄÃAiÀÄ 10.8)
2
EzÀjAzÀ CBD= 30°
ªÀÄvÀÄÛ ACB= 90° (AiÀiÁPÉ?)
ºÁUÉ BCE = 180 ° − ACB = 90 °
EzÀjAzÀ CEB = 90 ° − 30 ° = 60 CAzÀgÉ AEB = 60 °
°
GzÁºÀgÀuÉ 4: avÀæ 10.33gÀ°è ABCD MAzÀÄ ZÀQæÃAiÀÄ ZÀvÀĨsÀÄðd.
AC ªÀÄvÀÄÛ BD UÀ¼ÀÄ PÀtðUÀ¼ÀÄ DBC= 55° , ªÀÄvÀÄÛ BAC= 45°
DzÀgÉ BCD PÀAqÀÄ»r¬Äj.
¥ÀjºÁgÀ: CAD= DBC= 55° (MAzÉà ªÀÈvÀÛRAqÀzÀ°ègÀĪÀ PÉÆãÀUÀ¼ÀÄ)
DzÀÝjAzÀ DAB= CAD+ BAC = 55° + 45° = 100°
DzÀgÉ DAB+ BCD = 180° (ZÀQæÃAiÀÄ ZÀvÀĨsÀÄðdzÀ C©üªÀÄÄR PÉÆãÀUÀ¼ÀÄ)
DzÀÄzÀjAzÀ BCD = 180 ° − 100 = 80 °
GzÁºÀgÀuÉ 5 : JgÀqÀÄ ªÀÈvÀÛUÀ¼ÀÄ ¥ÀgÀ¸ÀàgÀ A ªÀÄvÀÄÛ B UÀ¼À°è bÉâ¸ÀÄvÀÛªÉ. AD ªÀÄvÀÄÛ AC UÀ¼ÀÄ ªÀÈvÀÛUÀ¼À
ªÁå¸ÀUÀ¼ÀÄ. (avÀæ 10.34 £ÀÄß UÀªÀĤ¹). B AiÀÄÄ DC gÉÃSÁRAqÀzÀ ªÉÄðzÉ JAzÀÄ ¸Á¢ü¹.
186 UÀtÂvÀ
¥ÀjºÁgÀ : AB AiÀÄ£ÀÄß ¸ÉÃj¹
ABD= 90°
ABC= 90° CzsÀð ªÀÈvÀÛRAqÀzÀ PÉÆãÀ
Not to be republished
DzÀÝjAzÀ ABD+ ABC = 90 ° + 90 ° =180 °
DzÀÝjAzÀ DBC MAzÀÄ ¸ÀgÀ¼ÀgÉÃSÉ. CAzÀgÉ B AiÀÄÄ DC
gÉÃSÁRAqÀzÀ ªÉÄðzÉ.
GzÁºÀgÀuÉ 6 : MAzÀÄ ZÀvÀĨsÀÄðdzÀ M¼ÀPÉÆãÁzsÀðPÀ gÉÃSÉUÀ½AzÀ K¥ÀðlÖ ZÀvÀĨsÀÄðdªÀÅ ZÀQæÃAiÀÄ
©KTBS
ZÀvÀĨsÀÄðd JAzÀÄ ¸Á¢ü¹.
¥ÀjºÁgÀ : avÀæ 10.35 gÀ°è ZÀvÀĨsÀÄðd ABCD AiÀÄ°è AH, BF, CF ªÀÄvÀÄÛ DH UÀ¼ÀÄ PÀæªÀĪÁV
A, B, C, D UÀ¼À PÉÆãÁzsÀðPÀ gÉÃSÉUÀ¼ÁVzÀÄÝ CªÀÅ EFGH ZÀvÀĨsÀÄðdªÀ£ÀÄß GAlĪÀiÁrzÉ.
FUÀ FEH= AEB= 180 − ( EAB − EBA) (KPÉ?)
1
= 180 ° − ( A+ B )
2
ªÀÄvÀÄÛ FGH= CGD= 180° − GCD − GDC (KPÉ?)
1
= 180 ° − ( C+ D )
2
DzÀÝjAzÀ,
1
1
)
FEH+ FGH= 180° − ( A+ B+ 180° − ( C+ D)
2 2
1
= 360 °− ( A+ B+ C+ D )
2
1
= 360 ° − × 360 °
2
0
0
= 360 – 180 = 180 0
DzÀÝjAzÀ ¥ÀæªÉÄÃAiÀÄ 10.12jAzÀ EFGH ZÀvÀĨsÀÄðdªÀÅ ZÀQæÃAiÀÄ
ZÀvÀĨsÀÄðdªÁVzÉ.
C¨sÁå¸À 10.5
1. avÀæ 10.36 gÀ°è O PÉÃAzÀæ«gÀĪÀ ªÀÈvÀÛzÀ°è
BOC= 30° ªÀÄvÀÄÛ AOB= 60° EgÀĪÀAvÉ A,B,C UÀ¼ÀÄ
ªÀÄÆgÀÄ ©AzÀÄUÀ¼ÀÄ. PÀA¸À ABC AiÀÄ£ÀÄß ºÉÆgÀvÀÄ¥Àr¹ D
AiÀÄÄ ªÀÈvÀÛzÀ ªÉÄð£À ªÀÄvÉÆÛAzÀÄ ©AzÀĪÁzÀgÉ ADC AiÀÄ£ÀÄß
PÀAqÀÄ»r¬Äj.
ªÀÈvÀÛUÀ¼ÀÄ 187
2. MAzÀÄ ªÀÈvÀÛzÀ eÁåªÀÅ CzÀgÀ wædåPÉÌ ¸ÀªÀÄ£ÁVzÉ. D eÁå¢AzÁV
ªÀÈvÀÛzÀ ®WÀÄPÀA¸ÀzÀ ªÉÄð£À MAzÀÄ ©AzÀÄ«£À°è ºÁUÀÆ
C¢üPÀPÀA¸ÀzÀ ªÉÄð£À MAzÀÄ ©AzÀÄ«£À°è K¥ÀðqÀĪÀ
PÉÆãÀUÀ¼À£ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj.
Not to be republished
3. avÀæ 10.37 gÀ°è PQR= 100° P,Q,R UÀ¼ÀÄ O PÉÃAzÀæ«gÀĪÀ
©KTBS
ªÀÈvÀÛzÀ ªÉÄð£À ©AzÀÄUÀ¼ÀÄ, OPR PÀAqÀÄ»r¬Äj.
4. avÀæ 10.38 gÀ°è ABC= 69°,ACB = 31° DzÀgÉ
BDC PÀAqÀÄ»r¬Äj.
5. avÀæ 10.39 gÀ°è A,B,C ªÀÄvÀÄÛ D UÀ¼ÀÄ ªÀÈvÀÛzÀ ªÉÄð£À
BEC= 130°
£Á®ÄÌ ©AzÀÄUÀ¼ÀÄ BEC= 130° ªÀÄvÀÄÛ ECD= 20°ªÀÄvÀÄÛ ECD= 20°
EgÀĪÀAvÉ AC ªÀÄvÀÄÛ BD UÀ¼ÀÄ E £À°è bÉâ¸ÀÄvÀÛªÉ.
BAC PÀAqÀÄ»r¬Äj.
6. ABCD AiÀÄÄ ZÀQæÃAiÀÄ ZÀvÀĨsÀÄðd. CzÀgÀ PÀtðUÀ¼ÀÄ E £À°è bÉâ¸ÀÄvÀÛªÉ. DBC= 70°,BAC = 30°
DzÀgÉ BCD AiÀÄ£ÀÄß ºÁUÉAiÉÄà AB = BC DzÀgÉ ECD AiÀÄ£ÀÄß PÀAqÀÄ»r¬Äj.
7. MAzÀÄ ZÀQæÃAiÀÄ ZÀvÀĨsÀÄðdzÀ PÀtðUÀ¼ÀÄ ªÀÈvÀÛzÀ ªÁå¸ÀUÀ¼ÁzÀgÉ D ZÀvÀĨsÀÄðdªÀÅ DAiÀÄvÀªÉAzÀÄ
¸Á¢ü¹.
8. MAzÀÄ vÁæ¦dåzÀ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀªÀ®èzÀ ¨ÁºÀÄUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀĪÁzÀgÉ CzÀÄ ZÀQæÃAiÀÄ JAzÀÄ ¸Á¢ü¹.
188 UÀtÂvÀ
9. JgÀqÀÄ ªÀÈvÀÛUÀ¼ÀÄ B ªÀÄvÀÄÛ C UÀ¼À°è ¥ÀgÀ¸ÀàgÀ
bÉâ¸ÀÄvÀÛªÉ. B AiÀÄ ªÀÄÆ®PÀ J¼ÉzÀ ABD ªÀÄvÀÄÛ
PBQ gÉÃSÁRAqÀUÀ¼ÀÄ ªÀÈvÀÛUÀ¼À£ÀÄß PÀæªÀĪÁV A,D,P
ªÀÄvÀÄÛ Q UÀ¼À°è PÀvÀÛj¸ÀÄvÀÛzÉ. (avÀæ 10.40 UÀªÀĤ¹)
ACP= QCD JAzÀÄ ¸Á¢ü¹.
Not to be republished
©KTBS
10. wæ¨sÀÄdzÀ JgÀqÀÄ ¨ÁºÀÄUÀ¼ÀÄ ªÁå¸ÀªÁVgÀĪÀAvÉ JgÀqÀÄ ªÀÈvÀÛUÀ¼À£ÀÄß J¼ÉzÀgÉ, F ªÀÈvÀÛUÀ¼À bÉÃzÀPÀ
©AzÀĪÀÅ wæ¨sÀÄdzÀ 3£ÉAiÀÄ ¨ÁºÀÄ«£À ªÉÄðgÀÄvÀÛzÉ JAzÀÄ ¸Á¢ü¹.
11. ∆ABC ªÀÄvÀÄÛ ∆ADC UÀ¼ÀÄ ¸ÁªÀiÁ£Àå «PÀtð AC AiÀÄ£ÀÄß ºÉÆA¢gÀĪÀ JgÀqÀÄ ®A§PÉÆãÀ
wæ¨sÀÄdUÀ¼ÀÄ CAD= CBD JAzÀÄ ¸Á¢ü¹.
12. ZÀQæÃAiÀÄ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðdªÀÅ DAiÀÄvÀªÁVzÉ JAzÀÄ ¸Á¢ü¹.
C¨sÁå¸À 10.6 (LaÒPÀ)
1. JgÀqÀÄ bÉâ¸ÀĪÀ ªÀÈvÀÛUÀ¼À PÉÃAzÀæUÀ¼À £ÀqÀÄ«£À gÉÃSÉAiÀÄÄ CªÀÅUÀ¼ÀÄ bÉâ¸ÀĪÀ ©AzÀÄ«£À°è
¸ÀªÀÄ£ÁzÀ PÉÆãÀUÀ¼À£ÀÄß GAlĪÀiÁqÀÄvÀÛzÉ JAzÀÄ ¸Á¢ü¹.
2. 5cm ªÀÄvÀÄÛ 11cm C¼ÀvÉ ºÉÆA¢gÀĪÀ AB ªÀÄvÀÄÛ CD eÁåUÀ¼ÀÄ ¥ÀgÀ¸ÀàgÀ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀªÁVzÀÄÝ,
ªÀÈvÀÛPÉÃAzÀæzÀ ¨ÉÃgÉ ¨ÉÃgÉ ¥Á±ÀéUÀ¼À°èªÉ. AB ªÀÄvÀÄÛ CD UÀ¼À £ÀqÀÄ«£À zÀÆgÀ 6cm DzÀgÉ ªÀÈvÀÛzÀ
wædå PÀAqÀÄ»r¬Äj.
3. 6cm ªÀÄvÀÄÛ 8cm C¼ÀvÉAiÀÄ eÁåUÀ¼ÀÄ MAzÀÄ ªÀÈvÀÛzÀ°è ¥ÀgÀ¸ÀàgÀ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀªÁVgÀÄvÀÛªÉ. aPÀÌ eÁåªÀÅ
ªÀÈvÀÛ PÉÃAzÀæ¢AzÀ 4cm zÀÆgÀzÀ°èzÀÝgÉ E£ÉÆßAzÀÄ eÁåªÀÅ PÉÃAzÀæ¢AzÀ JµÀÄÖ zÀÆgÀzÀ°ègÀÄvÀÛzÉ?
4. ABC AiÀÄ ±ÀÈAUÀªÀÅ ªÀÈvÀÛzÀ ºÉÆgÀVzÉ. CzÀgÀ ¨ÁºÀÄUÀ¼ÀÄ ¥ÀgÀ¸ÀàgÀ ¸ÀªÀĪÁzÀ AD ªÀÄvÀÄÛ CE
eÁåUÀ¼À£ÀÄß bÉâ¹zÀgÉ ABC AiÀÄÄ AC ªÀÄvÀÄÛ DE eÁåUÀ½AzÀ PÉÃAzÀæzÀ°è GAmÁzÀ PÉÆãÀUÀ¼À
ªÀåvÁå¸ÀzÀ CzsÀðzÀ¶ÖgÀÄvÀÛzÉ JAzÀÄ ¸Á¢ü¹.
5. ªÀeÁæPÀÈwAiÀÄ MAzÀÄ ¨ÁºÀĪÀ£ÀÄß ªÁå¸ÀªÁVgÀĪÀAvÉ MAzÀÄ ªÀÈvÀÛªÀ£ÀÄß gÀa¹zÀgÉ, CzÀÄ PÀtðUÀ¼ÀÄ
bÉâ¸ÀĪÀ ©AzÀÄ«£À ªÀÄÆ®PÀ ºÁzÀĺÉÆÃUÀÄvÀÛzÉ JAzÀÄ ¸Á¢ü¹.
6. ABCD MAzÀÄ ¸ÀªÀiÁAvÀgÀ ZÀvÀĨsÀÄðd A,B,C ©AzÀÄUÀ¼À ªÀÄÆ®PÀ ºÁzÀĺÉÆÃUÀĪÀ ªÀÈvÀÛªÀÅ CD
AiÀÄ£ÀÄß (CUÀvÀå«zÀÝ°è CD ªÀÈ¢Þ¹zÀ ¨sÁUÀªÀ£ÀÄß) E £À°è bÉâ¹zÀgÉ AE = AD JAzÀÄ ¸Á¢ü¹.
* ¥ÀjÃPÁë zÀȶ֬ÄAzÀ F C¨sÁå¸À¬Ä®è
ªÀÈvÀÛUÀ¼ÀÄ 189
7. AC ªÀÄvÀÄÛ BD ªÀÈvÀÛ eÁåUÀ¼ÀÄ ¥ÀgÀ¸ÀàgÀ C¢üð¸ÀÄvÀÛªÉ. ºÁUÁzÀgÉ,
1. AC ªÀÄvÀÄÛ BD UÀ¼ÀÄ ªÁå¸ÀUÀ¼ÁVªÉ.
2. ABCD DAiÀÄvÀªÁVzÉ JAzÀÄ ¸Á¢ü¹.
Not to be republished
8. ∆ ABC AiÀÄ A, B ªÀÄvÀÄÛ C PÉÆãÀUÀ¼À PÉÆãÁzsÀðPÀgÉÃSÉUÀ¼ÀÄ ∆ ABC AiÀÄ ¥ÀjªÀÈvÀÛªÀ£ÀÄß PÀæªÀĪÁV D,E
ªÀÄvÀÄÛ F ©AzÀÄUÀ¼À°è bÉâ¹zÀgÉ ∆ DEF £À PÉÆãÀUÀ¼ÀÄ 90° − 1 A, 90°− 1 B ªÀÄvÀÄÛ 90°− 1 C
JAzÀÄ ¸Á¢ü¹. 2 2 2
©KTBS
9. JgÀqÀÄ ¸ÀªÀð¸ÀªÀÄ ªÀÈvÀÛUÀ¼ÀÄ A ªÀÄvÀÄÛ B UÀ¼À°è bÉâ¸ÀÄvÀÛzÉ. P ªÀÄvÀÄÛ Q UÀ¼ÀÄ JgÀqÀÄ ªÀÈvÀÛUÀ¼À
ªÉÄðgÀĪÀAvÉ A AiÀÄ ªÀÄÆ®PÀ PAQ gÉÃSÁRAqÀªÀ£ÀÄß J¼É¢zÉ. DzÀgÉ BP = BQ JAzÀÄ
¸Á¢ü¹.
10. ∆ ABC AiÀÄ°è A AiÀÄ PÉÆãÁzsÀðPÀgÉÃSÉ ºÁUÀÆ BC AiÀÄ ®A¨ÁzsÀðPÀ gÉÃSÉUÀ¼ÀÄ ¥ÀgÀ¸ÀàgÀ
bÉâ¸ÀÄvÀÛªÉ. CªÀÅUÀ¼ÀÄ ∆ ABC AiÀÄ ¥ÀjªÀÈvÀÛzÀ ªÉÄÃ¯É bÉâ¸ÀÄvÀÛªÉ JAzÀÄ ¸Á¢ü¹.
10.9 ¸ÁgÁA±À:
F CzsÁåAiÀÄzÀ°è ¤ÃªÀÅ F PɼÀV£À CA±ÀUÀ¼À£ÀÄß PÀ°wgÀÄ«j.
1. MAzÀÄ ¸ÀªÀÄvÀ®zÀ ªÉÄðgÀĪÀ MAzÀÄ ¹ÜgÀ©AzÀÄ«¤AzÀ ¸ÀªÀÄzÀÆgÀzÀ°ègÀĪÀ J¯Áè ©AzÀÄUÀ¼À
¸ÀAUÀæºÀªÉà ªÀÈvÀÛ.
2. ªÀÈvÀÛzÀ ¸ÀªÀÄ£ÁzÀ eÁåUÀ¼ÀÄ (CxÀªÁ ¸ÀªÀð¸ÀªÀÄ ªÀÈvÀÛUÀ¼À eÁåUÀ¼ÀÄ) PÉÃAzÀæzÀ°è ¸ÀªÀÄ£ÁzÀ
PÉÆãÀUÀ¼À£ÀÄß GAlĪÀiÁqÀÄvÀÛzÉ.
3. JgÀqÀÄ eÁåUÀ½AzÁV ªÀÈvÀÛPÉÃAzÀæzÀ°è GAmÁzÀ PÉÆãÀUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀÄ£ÁVzÀÝgÉ D eÁåUÀ¼ÀÄ ¥ÀgÀ¸ÀàgÀ ¸ÀªÀÄ.
4. PÉÃAzÀæ¢AzÀ eÁåPÉÌ J¼É¢gÀĪÀ ®A§ªÀÅ eÁåªÀ£ÀÄß C¢üð¸ÀÄvÀÛzÉ.
5. ªÀÈvÀÛ PÉÃAzÀæ¢AzÀ eÁåPÉÌ J¼É¢gÀĪÀ gÉÃSÉAiÀÄÄ eÁåªÀ£ÀÄß C¢üð¹zÀgÉ CzÀÄ eÁåPÉÌ ®A§ªÁVgÀÄvÀÛzÉ.
6. ªÀÄÆgÀÄ ¸ÀgÀ¼ÀgÉÃSÁUÀvÀªÀ®èzÀ ©AzÀÄUÀ¼À ªÀÄÆ®PÀ MAzÀÄ ªÀÄvÀÄÛ MAzÉà MAzÀÄ ªÀÈvÀÛ ªÀiÁvÀæ
ºÁzÀĺÉÆÃUÀÄvÀÛzÉ.
7. ªÀÈvÀÛzÀ°è CxÀªÁ ¸ÀªÀð¸ÀªÀÄ ªÀÈvÀÛzÀ ¸ÀªÀÄ£ÁzÀ eÁåUÀ¼ÀÄ ªÀÈvÀÛPÉÃAzÀæ¢AzÀ CxÀªÁ ¸ÀªÀÄgÀÆ¥À
PÉÃAzÀæUÀ½AzÀ ¸ÀªÀÄzÀÆgÀzÀ°ègÀÄvÀÛªÉ.
8. ªÀÈvÀÛzÀ°è CxÀªÁ ¸ÀªÀÄgÀÆ¥À ªÀÈvÀÛUÀ¼À°è ªÀÈvÀÛPÉÃAzÀæ¢AzÀ CxÀªÁ ¸ÀªÀÄgÀÆ¥À ªÀÈvÀÛPÉÃAzÀæ¢AzÀ
¸ÀªÀÄzÀÆgÀzÀ°ègÀĪÀ eÁåUÀ¼ÀÄ ¥ÀgÀ¸ÀàgÀ ¸ÀªÀÄ£ÁVgÀÄvÀÛªÉ.
190 UÀtÂvÀ
9. ªÀÈvÀÛzÀ JgÀqÀÄ PÀA¸ÀUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀð¸ÀªÀÄ£ÁVzÀÝgÉ CzÀPÉÌ C£ÀÄgÀÆ¥ÀªÁzÀ eÁåUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀÄ£ÁVgÀÄvÀÛªÉ.
ªÀÄvÀÄÛ «¯ÉÆêÀĪÁV ªÀÈvÀÛzÀ JgÀqÀÄ eÁåUÀ¼ÀÄ ¸ÀªÀÄ£ÁVzÀÝgÉ CzÀPÉÌ C£ÀÄgÀÆ¥ÀªÁzÀ PÀA¸ÀUÀ¼ÀÄ
(®WÀÄ C¢üPÀ) ¸ÀªÀð¸ÀªÀÄ£ÁVgÀÄvÀÛªÉ.
Not to be republished
10. ªÀÈvÀÛzÀ°è ¸ÀªÀð¸ÀªÀÄ PÀA¸ÀUÀ¼ÀÄ PÉÃAzÀæzÀ°è ¸ÀªÀÄ£ÁzÀ PÉÆãÀUÀ¼À£ÀÄß GAlĪÀiÁqÀÄvÀÛªÉ.
11. ªÀÈvÀÛzÀ MAzÀÄ PÀA¸À¢AzÁV PÉÃAzÀæzÀ°è K¥ÀðlÖ PÉÆãÀªÀÅ CzÉà PÀA¸À¢AzÁV ªÀÈvÀÛzÀ AiÀiÁªÀÅzÉÃ
EvÀgÀ ©AzÀÄ«£À°è K¥ÀðlÖ PÉÆãÀzÀ JgÀqÀgÀ¶ÖgÀÄvÀÛzÉ.
©KTBS
12. MAzÉà ªÀÈvÀÛRAqÀzÀ PÉÆãÀUÀ¼ÀÄ ¥ÀgÀ¸ÀàgÀ ¸ÀªÀĪÁVgÀÄvÀÛªÉ.
13. CzsÀðªÀÈvÀÛ RAqÀzÀ°è K¥ÀðqÀĪÀ PÉÆãÀªÀÅ ®A§PÉÆãÀªÁVzÉ.
14. JgÀqÀÄ ©AzÀÄUÀ¼À£ÀÄß ¸ÉÃj¸ÀĪÀ gÉÃSÁRAqÀªÀÅ CzÀgÀ MAzÉà §¢AiÀÄ°ègÀĪÀ JgÀqÀÄ ©AzÀÄUÀ¼À°è
¸ÀªÀÄ£ÁzÀ PÉÆãÀUÀ¼À£ÀÄß K¥Àðr¹zÀgÉ D £Á®ÄÌ ©AzÀÄUÀ¼ÀÄ ªÀÈvÀÛzÀ ªÉÄðgÀÄvÀÛzÉ.
15. MAzÀÄ ZÀQæÃAiÀÄ ZÀvÀĨsÀÄðdzÀ C©üªÀÄÄR PÉÆãÀUÀ¼À ªÉÆvÀÛ 180° DVgÀÄvÀÛzÉ.
16. MAzÀÄ ZÀvÀĨsÀÄðdzÀ MAzÀÄ eÉÆvÉ C©üªÀÄÄR PÉÆãÀUÀ¼À ªÉÆvÀÛ 180° DzÀgÉ D ZÀvÀĨsÀÄðdªÀÅ
ZÀQæÃAiÀÄ ZÀvÀĨsÀÄðdªÁVgÀÄvÀÛzÉ.
The words you are searching are inside this book. To get more targeted content, please make full-text search by clicking here.
Discover the best professional documents and content resources in AnyFlip Document Base.
Search