Ringkasan Materi Bilangan Berpangkat dan Bentuk Akar

Disusun Oleh :
ASEP AHMAD BAEDOWI

BILANGAN BERPANGKAT DAN BENTUK AKAR

A. Bilangan Berpangkat
1. Bilangan berpangkat bulat positif
Jika a R dan n  A maka didefinisikan :
Maka an didefinisikan sebagai Perkalian berulang-ulang sebanyak pangkatnya .

an = a x a x a x ... x a

sebanyak “ n “ faktor
an disebut bilangan berpangkat, dimana a adalah bilangan pokok dan n adalah pangkat

dari a (Basis)

Contoh 1 :

Tentukan nilai dari :

a. 25 b.  − 13 4 c. (2)3

3

Jawab :

a. 25 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 32

 13 4 1 −1 −1 −1= 1
3 9
b. − = − 3 3 3

c. (2)3 = 2 2 2 = 8
3 3 3 27
3

2. Sifat Operasi Bilangan Berpangkat

1) Sifat perkalian bilangan berpangkat

Berdasarkan definisi bilangan berpangkat di atas, perkalian 2 bilangan berpangkat

dapat diuraikan menjadi :

a. 23 . 22 = ( 2 2 2) (2 2) = 25

b. (1)4 . (1)2 = ( 1 . 1 . 1 . 1 ) . (1 . 1 ) = (1)6
22 2 222 22 2

Jadi sifat perkalian bilangan berpangkat : = +

Contoh 1. Sederhanakanlah :

a. 23 . 22 = 23+2 = 25

b. (1)4 . (1)2 = (1)4+2 = (1)6
22 2 2

c. 32 4 . 36 = 32+6 4+1 = 38 5

Mr. A2B

Contoh 2. Tentukanlah hasilnya

a. 23 . 22 = 23+2 = 25 = 32

b. (1)4 . (1)2 = (1)4+2 = (1)6 = 1
64
22 2 2

c. 32 4 . 36 = 32+6 4+1 = 38 5 = 6561 5

2) Sifat pembagian bilangan berpangkat

Berdasarkan definisi bilangan berpangkat di atas, pembagian bilangan berpangkat

dapat diuraikan menjadi

a. 26 ∶ 23 = (2 2 2 2 2 2 ) . = (2 2 2 ) = 23
(2 2 2)
1

b. (2)4 ∶ (2)3 = 2=( 2 2 2 ) 2
3 3 3 3 3
33 2 2 2
( 3 3 3 )

Jadi sifat pembagian berpangkat :

∶ = −

Contoh 1. Sederhanakanlah

a. 26 ∶ 23 = 26−3 = 23

b. (2)4 ∶ (2)3 = (2)4−3 = (2)1 = 2
33 3 33

Contoh 2. Sederhanakanlah dan tentukan hasilnya

a. 35 7 ∶ 33 2 = 35−3 7−2 = 32 5 = 9 5

b. =25 8 . 23 2 25+3 8+2 = 28−6 10−4 = 22 6 = 4 6
26 4
26 4

3) Sifat perpangkatan bilangan berpangkat

Berdasarkan definisi bilangan berpangkat di atas, perpangkatan bilangan

berpangkat dapat diuraikan menjadi :
a. (23)4 = 23 23 23 23 = (2 .2 .2) (2.2.2) (2.2.2) (2.2.2) = 212
b. ( 2 34)2 = ( 2 34) . ( 2 34)

= ( 3 3 3 3). ( 3 3 3 3 ) = 38 4
Jadi sifat perpangkatan bilangan berpangkat : ( ) =

Contoh 1. Sederhanakanlah
a. (23)4 = 23 4 = 212
b. ( 2 34)2 = 2 2 34 2 = 38 4

Latihan 1 :

Dengan menguraikan menjadi perkalian, tentukan bentuk bilangan berpangkat yang

paling sederhana dari :

Mr. A2B

a) 23 x24 ( )c) 23 4 e)  23 4

37 d) ( pq)5
b)

32

Latihan 2 :

Dengan menggunakan sifat-sifat bilangan berpangkat, sederhanakan bentuk berikut :

a) x2 .x7 ( )d) x2y 3

n7 e)  2p2  4
b) 
 q
n2

( )c) x2 5 ( )f) 2xy3 4.x2y

Latihan 3 : Sederhanakan !

a) p6xp4 f) x10:x3 ( )k) −3k 3 3

b) 4a x2a 3 g) 8k 5:2k 2 ( )l) 2 5p2 3

c) 2 p2xpx6p5 h) 4d 3x2d 2:d 4 ( )m) 3p2q3

 1  5 ( )i) 12a10: 2a2.3a3 ( )4 p2qr5 3
2
d) n)
8 pq 2 r 2

e)  23 4 ( )j) 2p2 5 ( )2 x2y3 3

o)
8x5y4

3. Bilangan berpangkat Negatif dan Nol

1) Bilangan pangkat Negatif

Berdaasarkan definisi bilangan berpangkat, bahwa :

(i) 4 = = 1 = 1
6 2


Berdasarkan sifat pembagian berpangkat, bahwa :

(ii) 4 = 4−6 = −2
6

( i ) Dan (ii) diperoleh 1 = −2 atau −2 = 1
2 2

Sifat bilangan berpangkat negatif : − = 1


Contoh 1. Sederhanakanlah dan ubah kedalam pangkat positif

a. 3−5 = 1
35

b. a-3 b3 : a2b = a-3-2 b3-1 = a-5 b2 = b2
a5

Mr. A2B

c. 2−4 2 . 22 −3 = 2−4+2 2 . 1 = 2−2. 2 = 1 . 2
3 3 22 3

= 2
22 3

d. (2234 −34)−3 = 23 −3 −4 −3 = 2−9 12 = 2−9−(−12) 12−(−9)
24 −3 3 −3 2−12 −9

= 2−9 + 12 12+ 9 = 23 21

Contoh 2. Sederhanakan dan ubah kedalam pangkat negatif

a. 2 = 21 1 = 1 3−5 = 3−5
35 35 2−1 2−1

b. 23 = 1
2−3

Latihan 1. Sederhanakan dan jadikan pangkat positif dari :

a) 5−3 1 ( )c) −2x2y −2 23 32
b) 2−3 d) 25 e) 36

Latihan 2. Sederhanakan dan nyatakan dengan eksponen positif dari :

a) a −5 f) a −6b4xa 2b−2 k)  5q−2  −2
 
 h3 

b) 3k −2 g) 4m7n−4x2m−6n−3 ( ) ( )l) 3 −2
3a 2b−3 2a4
x

c) 2 k −4 8a −6 m)  5p2q3r  −2
5 h) 2a4  
 6 pq 5r 3 

4 56t 5
d) x−3 i) 7t −2

e) (4a)−2 j)  8x2 y3  3
 
 16x5y 

Latihan 3. Jika a = 2, b = 3 dan c = -2. maka tentukan :

a)  a2b −2 ( )2bc3 −2 a2b5 4c
  c) b3c x a−2
 c b)
4a

2) Bilangan pangkat Nol

Berdasarkan definisi perpangkatan , pembagian bilangan berpangkat diperoleh :

(i) 4 − =1
4


Berdasarkan sifat pembagian didapat :

(ii) 4 = 4−4 = 0
4

Jadi 0 = 1

Contoh 1. Sederhanakan dan Hitunglah !

Mr. A2B

a. 20 2330 = 1 . 8 . 1 = 8
b. 36 23 0 ∶ 34 23 = 36−4 . 23−3 . 1 = 22 . 20. 1 = 22 . 1 . 1 = 4

4. Bilangan Berpangkat Pecahan (Eksponen Rasional)

1

Seperti kita ketahui jika 23 = 8 maka 2 = 83

Maka jika 22 =... maka 2 = ...

24 =.... maka 2 = ...

34 =.... maka 3 = ...



Misal = , jika kedua ruas dipangkatkan n, maka :



= ( )

=



=

Jadi Pangkat Pecahan berkaitan erat dengan bentuk akar, maka :

√ sehingga 1 = √

=

Sifat - sifat Pangkat Pecahan (eksponen rasional) sebagai berikut :

1) = √

2) √

=

3) = 1 = ( √ )

( )

4) √ . = √ . √

Contoh 1: Ubah ke bentuk akar dari :

1 3 5√63 3

a) 22 = √2b) 65 = c) 2 2 = 2√ 3

Contoh 2: Ubah ke bentuk pangkat dari :

1 b) 1 = 1 = −32
3√ 2
a) √3 = 32 2

3

Contoh 3: Tentukan nilai dari :

3 b. 3√125 5

a. 164

Jawab :

a. 163/4 = 4√163 = 4√(24)3 4 3

= 2 4 = 23 = 8

b. 3√125 5 = 3√125 3√ 5 = 3√53 3√ 3 3√ 2 = 5. . 3√ 2 = 5 3√ 2

Mr. A2B

Latihan Soal :

1. Ubah menjadi bentuk akar

1 b) 5−13 3 4 e) 1 −23
3
a) 32 c) 44 d) 9

2. Ubah ke bentuk pangkat

a) 2 5 1 c) 3 52 3 25 x2
b) d) e)

52 3 34 7

3. Tentukan nilainya

a) 3 64 2 3 3 2

b) 83 c) 325 d) 814 e) (27)3

64

B. BENTUK AKAR

Bentuk akar termasuk bilangan irasional, yaitu bilangan yang tidak dapat dinyatakan dengan

pecahan a/b, a dan b bilangan bulat dan b  0 .

Bentuk akar adalah bilangan irrasional yang penulisannya dinyatakan dengan √ , dengan
a bilangan positif (tidak negative), sedangkan √ : merupakan symbol tanda akar , digunakan

untuk menyimbolkan akar pangkat dua tidak semua bilangan yang ditulis dengan symbol

tanda akar disebut bentuk akar, ada yang bukan bentuk akar, seperti contoh di bawah ini :

Contoh bentuk akar : 2 , 3, 5,3 2 ,3 4 ,5 7 .........dst

Contoh bukan bentuk akar : 4 , 9 ,3 8,4 16 .........dst

1. Menyederhanakan bentuk akar

Bentuk akar dapat dikatakan sederhana apabila memiliki sifat sebagai berikut :

1) Tidak mengandung faktor yang pangkatnya lebih dari Satu

a. √

b. √5 (a dan b bentuk sederhana)

c. √20
d. √ 5
e. 3√35 (c, d dan e bukan bentuk sederhana)
Menyederhanakannya dengan cara, merubah kedalam bentuk perkalian dua
bilangan, dimana bilangan 1 bukan bentuk akar dan bilangan 2 bentuk akar

a) √ = √ . = √ . √ = √ . √

b) √ ( . ) = √ = √ √

2) Tidak ada bentuk akar pada bagian penyebutnya, seperti :
√

(lihat pada pembahasan merasionalkan bentuk akar)

Mr. A2B

3) Tidak mengandung pecahan pada bilangan akarnya, seperti : √3

4

(lihat pada pembagian bentuk akar)

Contoh 1: Sederhanakan :

a) √20 = √4 .5 = √4 √5 = 2 . √5 = 2√5

b) √75 = √25 . 3 = √25 √3 = 5√3

c) x3 = √ 3 = √ 2 . 1 = √ 2 . √ = √

d) 3√ 8 = 3√ 6 2 = 3√ 6 3√ 2 = 6 3√ 2 = 2 3√ 2

3

Latihan 1. Sederhanakan bentuk akar berikut

1. √24 = ….. .

2. √48 = ......

3. √72 = ......

4. √25 = ......

5. √72 2 = ......

2. Penjumlahan dan pengurangan pada bentuk akar
Bentuk akar dapat dijumlahkan dan dikurangkan apabila bentuk akarnya sejenis, yaitu
bilangan akar dan pangkat akarnya sama. Koefisien (faktor angka) dari bentuk akarnya
yang dihitung.
(i) √ + √ = 2√
(ii) 3√ + 3√ = ( + ) 3√
Contoh 1. Sederhanakan :

a) 3 2 + 4 2 b) 4 3 + 7 3 − 5 3 c) 8 + 18
Jawab :

a) 3 2 + 4 2 = .(3 + 4) √2 = 7 √2
b) 4 3 + 7 3 − 5 3 = .(4 + 7 – 5) √3 = 6 √3

c) 8 + 18 = .√4 . 2 + √9 . 2 = √4 . √2 + √9 . √2 = 2√2 + 3√2 = 5√2
3. Perkalian bentuk akar

Sifat perkalian

(i). √ √ = √ .

(ii) √ √ = . √ .

Contoh 1 : Sederhanakan :

a) 6x 3 b) ( 5 + 3)( 5 − 3) ( )2

c) 2 2 + 3

Mr. A2B

Jawab :
a) 6x 3 = √6 3 = √18 = √9 .2 = √9 √2 = 3√2

( )( )b) 5 + 3 5 − 3 = √5 . √5 + √5 . (−√3 ) + √3 √5 + √3 . (−√3)

= 5+-3 = 5–3 =2

( )2

c) 2 2 + 3 = (2 √2 + √3 ) . (2 √2 + √3 )

= 2 √2 2 √2 + 2 √2 √3 + √3 2√2 + √3 √3

= 2 x 2 √2 2 + 2 √2 3 + 2 √2 3 + √3 3

= 4 x 2 + 2 √6 + 2 √6 + 3

= 8 + 3 + 4 √6 = 11 + 4 √6

Latihan 1. Hitunglah:

1. √2 × √3 =……

2. √12 × √3 =……

3. 3√9 × 3√81 =……

4. 5√23. 5√34 =……

5. √ . √ =……

4. Pembagian bentuk akar
Sifat pembagian pada bentuk akar :

√ = √
√

Contoh : sederhanakanlah bentuk akar berikut

a. √20 = √20 = √ 4 5 = √ 5 = √5 = √5 = 1 √5
16 √16 4 4
√64 64 4 16

b. 24 √24 = 24 √24 = 3 √24 = 3 √4 6 = 3 √6 = 3 √6 √8 = 3 √6 8 = 3 √45
8√32 8 32 32 4 8 √8 √8 √8 √8 8 √64

= 3 √9 5 = 3 √9 √5 = 3 3 √5 = 9 √5
8 8
8 8

Latihan Soal

1. Sederhanakan

a) 72 b) 160 c) 1200 d) 2 80 e) 8x2

f) 3 12a5b3 2 9 8 a 3b2
g) h) i) j) 2 4c4
2
3 9

Mr. A2B

2. Sederhanakan 72 + 180
a) 12 + 50 − 48 d)

45 + 18

b) 2 16 − 3 18 + 27 2x2 + x 8
e)
c) 3 20 + 4 45
25 4x

3. Sederhanakan c) (3√5 + 2√3) (3√5 − 2√3)
a) (√2 + 3) (√2 − 3)
b) (√5 − √3) (√5 + √3) ( )2

d) x x − y

5. Merasionalkan Penyebut Pecahan Bentuk Akar
Jika kita menghitung bilangan, operasi perkalian lebih mudah daripada pembagian.
Apalagi operasi pembagian dengan bentuk akar.
Ada 3 cara merasionalkan penyebut bentuk pecahan bentuk akar, yaitu :
a
1) Pecahan Bentuk
b

Diselesaikan dengan mengalikan b
b

Contoh 1: Rasionalkan penyebut dari pecahan :

2 2
a) b)

3 33

Jawab :

a) 2 = 2 x √3 = 2 √3 = 2 √3
3 3 √3 √3 3 3

b) 2 = 2 x 2 √3 = 2 √3 = 2 √3
3 3 3 3 3√3
√3 3 3 9

Latihan :

1. Rasionalkan bentuk akar berikut

a.
√

b.

√

c.

√

d. 24
√60

Mr. A2B

e. 4
3√2

2. Rasionalkan bentuk akar be6rikut

a.

√

b. 2

3√5

c. 4

6√8

d. 3√5
8√3

e. 5
2 3√6

a
2) Pecahan Bentuk

b+ c

Diselesaikan dengan mengalikan b − c
b− c
8

Contoh 2 : Rasionalkan penyebut pecahan
3− 5

Jawab :

8 = 8 x (3+ √5 ) = 8 .(3+ √5) = 8 .(3+ √5 ) = 4 (3 + √5 )
3−√5 (3−√5) (3 + √5)
( 9−5 ) 4

3) Pecahan Bentuk
√ +√

Diselesaikan dengan mengalikan √ − √
√ − √

Contoh 3 : Rasionalkan penyebut dari pecahan 12 3
6− 2

Jawab :

12 3 12 3 x (√6 + √2) = 12 √3 √6 + 12 √3 √2 = 12 . √18 +12 √6
= 6− 2 (√6 + √2) (6−2) 4

6− 2

= 12 √9 . 2 +12 √6 = 36 √2 +12 √6 = 9 √2 + 3 √6

4 4

Latihan Soal :

1. Rasionalkan penyebutnya

12 10 9 d) 7 3 e) 4 3
a) b) c) 7 52

3 5 23

2. Rasionalkan penyebutnya

9 20 5 25 46
a) b) c) d) e)
11 + 6 7 − 13 8−2 3
5+ 7 4− 6

Mr. A2B

3. Rasionalkan penyebutnya

14 −10 8 3 6 32
a) b) c) d) e)
10 + 13 2− 7 11 − 7 10 + 2 3 3 5 − 4 2

C. PERSAMAAN EKSPONEN (SEDERHANA)
Persamaan eksponen yaitu persamaan yang eksponen atau pangkatnya mengandung variabel
atau peubah.
1. Jika a f (x) = a p maka f(x) = p
2. Jika a f (x) = ag(c) maka f(x) = g(x)

dimana p suatu konstanta
Contoh 1.

Tentukan Himpunan Penyelesaian dari :

a) 42 +3 = 8 b) 82 −1 = 163 +2

Jawab :
a) 42 +3 = 8

(22)2 +3 = 23
24 +6 = 23
4 + 6 = 3
4 = 3 − 6
4 = −3
= − 3

4

b) 82 −1 = 163 +2
(23)2 −1 = (24)3 +2
26 −3 = 212 +8
6 − 3 = 12 + 8
6 − 12 = 8 + 3
−6 = 11
= − 11

6

LATIHAN SOAL

Tentukan Himpinan Penyelesaian dari :

1. 27x+2 = 812x−5 6. 5x−9 = 253−x

 1  x
2
2. 82x+1 = 1 7. = 82 x

Mr. A2B

3. 94x+5 = 1 8. 1 = 1253x+2
27 25x

4. 52x = 5 9. 162 x −1 = 8
5 2x+1

( )x−5 10. 82x+3 = 1 8
4 32
5. 3 = 1

Mr. A2B