247 6. กล่องมวล 2.0 กิโลกรัม วางทับบนกล่องมวล 4.0 กิโลกรัม ที่วางอยู่บนพื้น เมื่อออกแรงผลักกล่องมวล 4.0 กิโลกรัม ด้วยแรง F พบว่ากล่องทั้งสองยังเคลื่อนที่ไปบนพ้นพร้อมกัน กำหนดให้ทุกผิวสัมผัสมีสัมประสิทธิ์ ความเสียดทานสถิตและจลน์เท่ากับ 0.5 และ 0.3 ตามลำดับ ก) จงหาความเร่งของกล่องทั้งสองใบ ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ข) จงหาแรง F ที่ใช้ผลัก ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
248 7. ออกแรงผลักกล่องมวล 5.0 กิโลกรัม ที่อยู่นิ่ง ให้เคลื่อนที่ขึ้นไปบนพื้นเอียงที่ทำมุม 30 องศากับแนวระดับ ดังภาพ พบว่ากล่องเคลื่อนที่ขึ้นไปบนพื้นเอียงได้ระยะทาง 10 เมตรในเวลา 5 วินาที กำหนดให้พื้นเอียงมี สัมประสิทธิ์ความเสียดทานเท่ากับ 0.4 ก) จงหาความเร่งของกล่อง ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ข) จงหาแรงที่ใช้ผลักกล่อง ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
249 8. มวลเท่ากันสามก้อนผูกกับเชือกคล้องผ่านรอกเบา ดังภาพ เมื่อทำให้มวลที่แขวนเลื่อนลงมาได้ 80 เซนติเมตร ในเวลา 4.0 วินาที จงหาสัมประสิทธิ์ความเสียดทานระหว่างพื้นกับมวล เมื่อมวลแต่ละก้อนมี มวล 2 กิโลกรัม ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
250 9. มวล 10 กิโลกรัม และ 2 กิโลกรัม แขวนกับรอกชุดที่ตรึงปลาย ดังภาพ จงหาขนาดความเร่งของมวลทั้งสอง ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
251 เรื่อง การประยุกต์ใช้กฎการเคลื่อนที่ คำชี้แจง : คำนวณหาผลลัพธ์เกี่ยวกับการประยุกต์ใช้กฎการเคลื่อนที่ของนิวตัน 1. นายเอหนัก 65 กิโลกรัม ยืนอยู่บนเครื่องชั่งน้ำหนักที่ตั้งอยู่ในลิฟต์ที่เคลื่อนที่ลงด้วยความเร่ง 2.8 เมตรต่อ วินาที2 น้ำหนักของนายเอที่อ่านได้จากเครื่องชั่งมีค่าเท่าใด วิธีทำ เขียนแผนภาพวัตถุอิสระของลิฟต์ที่เคลื่อนที่ลงจะได้ ดังภาพ ∑ F = ma mg – N= ma N = m (g – a) = (65)(9.8 – 2.8) = 455 N เครื่องชั่งน้ำหนักแสดงผลในหน่วยกิโลกรัม (kg) N = 455 9.8 = 46.4 kg ตอบ น้ำหนักของนายเอที่อ่านได้จากเครื่องชั่งมีค่าเท่ากับ 46.4 กิโลกรัม 2. ลิฟต์ในตึกสูงแห่งหนึ่งมีความเร่งและความหน่วง 2.0 เมตรต่อวินาที2 สามารถบรรทุกมวลได้ 800 กิโลกรัม จงหาว่าถ้ามีนักเรียนมวล 50 กิโลกรัม มาขึ้นลิฟต์พร้อมกันจะขึ้นได้มากที่สุดกี่คน โดลลิฟต์ไม่ส่งสัญญาณเตือน การบรรทุกเกิน วิธีทำ ให้ x คือ จำนวนนักเรียนที่ขึ้นลิฟต์ได้โดยที่ลิฟต์ไม่ส่งสัญญาณเตือนการบรรทุกเกิน เขียนแผนภาพวัตถุอิสระของลิฟต์ที่เคลื่อนที่ขึ้นจะได้ ดังภาพ ∑ F = ma N - mg = ma N = m(g + a) mg = m(g + a) 800(9.8) = 50x(9.8 + 2) 7,840 = 590x x = 13.3 คน ตอบ ถ้ามีนักเรียนมวล 50 กิโลกรัม มาขึ้นลิฟต์พร้อมกันจะขึ้นได้มากที่สุด 13 คน ใบงานที่ 3.5 เฉลย
252 3. ออกแรงดึงรถทดลองด้วยแรงขนาด 60 นิวตัน ดังภาพ ก) จงหาความเร่งของรถทดลอง วิธีทำ เขียนทิศทางของแรงดึงในเส้นเชือกที่เกิดขึ้น ดังภาพ พิจารณาทั้งระบบ ∑ F = ma F = (6 + 4 +2)a 60 = 12a a = 5 m/a2 ตอบ ความเร่งของรถทดลองเท่ากับ 5 เมตรต่อวินาที2 ข) จงหาแรงดึงในเส้นเชือก B วิธีทำ พิจารณาที่มวล 2 กิโลกรัม ∑ F = ma F – B = 2a 60 –B = 2(5) B = 50 N ตอบ แรงดึงในเส้นเชือก B เท่ากับ 50 นิวตัน ค) จงหาแรงดึงในเส้นเชือก A วิธีทำ พิจารณาที่มวล 6 กิโลกรัม ∑ F = ma A = 6a = 6(5) = 30 N ตอบ แรงดึงในเส้นเชือก A เท่ากับ 30 นิวตัน
253 4. เครื่องชั่งมวล 1.0 กิโลกรัม ผูกติดกับกล่องสองใบที่มีมวล 3.0 กิโลกรัม และ 6.0 กิโลกรัม โดยมีแรง 50 นิว ตัน ลากกล่องไปบนพื้นที่มีสัมประสิทธิ์ความเสียดทาน 0.4 ดังภาพ ก) จงหาความเร่งของกล่อง วิธีทำ เขียนแผนภาพวัตถุอิสระของระบบ จะได้ ดังภาพ พิจารณาทั้งระบบ ∑ F = ma F – fm – fM = (m + M + m’)a F – μmg – μMg = (m + M + m’)a 50 – 0.4(3.0)(9.8) – 0.4(6.0)(9.8) = (3.0 + 6.0 + 1.0)a 50 – 11.3 – 23.5 = 10a a = 1.5 m/s2 ตอบ ความเร่งของกล่องเท่ากับ 1.5 เมตรต่อวินาที2 ข) จงหาแรงดึงในเส้นเชือกที่เครื่องชั่งอ่านได้ วิธีทำ พิจารณาที่เครื่องชั่ง ∑ F = ma แรงดึงในเส้นเชือกที่เครื่องชั่งอ่านได้ T1 –T2 = ma = (1.0)(1.5) = 1.5 N เครื่องชั่งแสดงผลในหน่วยกิโลกรัม T1 –T2 = 1.5 10 = 0.15 kg ตอบ แรงดึงในเส้นเชือกที่เครื่องชั่งอ่านได้เท่ากับ 1.5 นิวตัน หรือ 0.15 กิโลกรัม
254 5. กล่องใบหนึ่งมวล 5 กิโลกรัม ผูกกับเชือกมวล 1 กิโลกรัม ถูกดึงขึ้นด้วยแรง 80 นิวตัน ก) จงหาความเร่งของกล่อง วิธีทำ เขียนแผนภาพวัตถุอิสระของแรงที่กระทำต่อวัตถุ ดังภาพ พิจารณาทั้งระบบ ∑ F = ma 80 – Mg – mg = (M + m)a 80 – 5(9.8) – 1(9.8) = (5 + 1)a 80 – 49 – 9.8 = 6a a = 3.5 m/s2 ตอบ ความเร่งของกล่องเท่ากับ 3.5 เมตรต่อวินาที2 ข) จงหาแรงดึงในเส้นเชือกตรงบริเวณกล่อง วิธีทำ พิจารณาที่บริเวณกล่อง จะได้แผนภาพวัตถุอิสระ ดังภาพ ∑ F = ma T – Mg = Ma T – 5(9.8) = 5(3.5) T – 4.9 = 17.5 T = 66.5 N ตอบ แรงดึงในเส้นเชือกตรงบริเวณกล่องเท่ากับ 66.5 นิวตัน ค) จงหาแรงดึงในเส้นเชือกที่จุดกึ่งกลางเชือก วิธีทำ วิธีที่ 1 วิธีที่ 2 แรงดึงในเส้นเชือกที่จุดกึ่งกลางเชือก ∑ F = ma = F+T 2 Tจุดกึ่งกลาง- (M + m 2 )a = (M+ m 2 )a = 80 + 66.5 2 Tจุดกึ่งกลาง-(5+0.5)(9.8) = (5+0.5)(3.5) = 73.3 N Tจุดกึ่งกลาง = 73.2 N ตอบ แรงดึงในเส้นเชือกที่จุดกึ่งกลางเชือกมีค่าเท่ากับ 73.3 นิวตัน
255 6. กล่องมวล 2.0 กิโลกรัม วางทับบนกล่องมวล 4.0 กิโลกรัม ที่วางอยู่บนพื้น เมื่อออกแรงผลักกล่องมวล 4.0 กิโลกรัม ด้วยแรง F พบว่ากล่องทั้งสองยังเคลื่อนที่ไปบนพ้นพร้อมกัน กำหนดให้ทุกผิวสัมผัสมีสัมประสิทธิ์ ความเสียดทานสถิตและจลน์เท่ากับ 0.5 และ 0.3 ตามลำดับ ก) จงหาความเร่งของกล่องทั้งสองใบ วิธีทำ เขียนแรงที่กระทำต่อกล่องทั้ง 2 ใบ จะได้ดังภาพ (a) และเมื่อพิจารณาแรงที่กระทำต่อกล่องมวล 2.0 กิโลกรัม จะได้ดังภาพ (b) เมื่อพิจารณาภาพ (b) ตามกฎข้อที่สองของนิวตัน จะได้ว่า ∑ F = ma f1 = ma μs mg = ma a = μs g = (0.5)(9.8) = 4.9 m/s2 ตอบ ความเร่งของกล่องทั้งสองใบเท่ากับ 4.9 เมตรต่อวินาที2 ข) จงหาแรง F ที่ใช้ผลัก วิธีทำ พิจารณาแรงที่กระทำต่อกล่องมวล 4 กิโลกรัม จะได้ดังภาพ จากกฎข้อที่สองของนิวตัน ∑ F = ma F – f1 – f2 = Ma F - μs mg - μs (m+M)g = Ma F – (0.5)(2.0)(9.8) – (0.3)(2.0+4.0)(9.8) = 4(4.9) F – 9.8 -17.6 = 19.6 F = 47 N ตอบ แรงผลักมีขนาดเท่ากับ 47 นิวตัน
256 7. ออกแรงผลักกล่องมวล 5.0 กิโลกรัม ที่อยู่นิ่ง ให้เคลื่อนที่ขึ้นไปบนพื้นเอียงที่ทำมุม 30 องศากับแนวระดับ ดังภาพ พบว่ากล่องเคลื่อนที่ขึ้นไปบนพื้นเอียงได้ระยะทาง 10 เมตรในเวลา 5 วินาที กำหนดให้พื้นเอียงมี สัมประสิทธิ์ความเสียดทานเท่ากับ 0.4 ก) จงหาความเร่งของกล่อง วิธีทำ จากสมการการเคลื่อนที่แนวตรง ∆x = ut + 1 2 at2 10 = 0 + 1 2 a (5)2 a = 0.8 m/s2 ตอบ ความเร่งของกล่องเท่ากับ 0.8 เมตรต่อวินาที2 ข) จงหาแรงที่ใช้ผลักกล่อง วิธีทำ เขียนแผนภาพวัตถุอิสระของแรงที่กระทำต่อวัตถุ ดังภาพ ∑ F = ma F cos30o – mg sin30o – μN = ma F cos30o – mg sin30o – μ(mg cos30o+ F sin30o ) = ma F ( √3 2 ) – (5.0)(9.8)( 1 2 ) – 0.4[(5.0)(9.8) ( √3 2 ) +F( 1 2 )] = (5.0)(9.8) F(0.866 – 0.2) – 24.5 -17 = 4 F = 68.3 N ตอบ แรงที่ใช้ผลักกล่องเท่ากับ 68.3 นิวตัน
257 8. มวลเท่ากันสามก้อนผูกกับเชือกคล้องผ่านรอกเบา ดังภาพ เมื่อทำให้มวลที่แขวนเลื่อนลงมาได้ 80 เซนติเมตร ในเวลา 4.0 วินาที จงหาสัมประสิทธิ์ความเสียดทานระหว่างพื้นกับมวล เมื่อมวลแต่ละก้อนมี มวล 2 กิโลกรัม วิธีทำ เขียนแผนภาพวัตถุอิสระของแรงที่กระทำต่อวัตถุ ดังภาพ พิจารณามวลที่เคลื่อนที่ในแนวดิ่ง ∆x = ut + 1 2 at2 0.80 = 0 + 1 2 a (4.0)2 a = 0.10 m/s2 พิจารณาทั้งระบบ ∑ F = ma mg - 2 μN = 3ma mg - 2 μmg = 3ma 2(9.8) - 2μ(2)(9.8) = 3(2)(0.10) 39.2μ = 19.6 – 0.6 μ = 0.485 ตอบ สัมประสิทธิ์ความเสีดทานระหว่างพื้นกับมวล คือ 0.485
258 9. มวล 10 กิโลกรัม และ 2 กิโลกรัม แขวนกับรอกชุดที่ตรึงปลาย ดังภาพ จงหาขนาดความเร่งของมวลทั้งสอง วิธีทำ สำหรับรอกชุดที่ตรึงปลายจะได้ว่า T1a1 = T2a2 จากกฎข้อที่สองของนิวตัน ∑ F = ma พิจารณาที่มวล 2 กิโลกรัม mg – T = ma1 2(9.8) – T = 2(7a) 19.6 – T = 14a (1) เมื่อพิจารณาที่มวล 10 กิโลกรัม 7T – Mg = Ma2 7T – 10(9.8) = 10(a) 7T – 98 = 10a (2) (1) x 7 จะได้ 137.2 – 7T = 98a + 10a (3) (3) + (2) จะได้ 137.2 – 98 = 98a + 10a 39.2 = 108a a = 0.36 m/s2 a1 = 7a – 7(0.36) = 2.54 m/s2 a2 = a = 0.36 m/s2 ตอบ มวล 2 กิโลกรัม เคลื่อนที่ลงด้วยความเร่ง 2.54 เมตรต่อวินาที2 มวล 10 กิโลกรัม เคลื่อนที่ลงด้วยความเร่ง 0.36 เมตรต่อวินาที2
259