เรขาคณิตชั้นประถมศึกษาปีที่-5

ประถมศกึ ษาปที ่ี 5

6บทท่ี สารบัญ 8บทที่

เสน้ ขนาน ปรมิ าตรและความจขุ อง
ทรงสเ่ี หล่ียมมุมฉาก
7บทที่

รูปสเี่ หลีย่ ม

บทท่ี เส้นขนาน

6

6.1 เส้นตั้งฉากและเสน้ ขนาน
6.1.1 เสน้ ตั้งฉาก

และ ตดั กันทจ่ี ดุ O และ ෡ เปน็ มมุ ฉาก
C แสดว่า ต้งั ฉากกบั หรอื ตงั้ ฉากกบั

เขยี นแทนด้วย ⊥ หรอื ⊥

A OB ⊥ เป็นสญั ลักษณแ์ สดงการต้งั ฉาก

D ในทานองเดยี วกัน ෡ ෡ และ ෡ ก็เป็นมุมฉาก

M และ ตัดกนั ที่จุด L และ መ ไม่เป็นมมุ ฉาก
KL แสดวา่ ไมต่ ัง้ ฉากกบั

O

หรอื ไมต่ ั้งฉากกับ

N

ในทานองเดยี วกัน መ መ และ መ กไ็ มเ่ ปน็ มุมฉาก

6.1.2 เสน้ ขนาน

เสน้ ตรง 2 เส้นทอี่ ยู่บนระนาบเดยี วกันจะขนานกนั

ก็ตอ่ เมอื่ มรี ะยะห่างเท่ากันเสมอ ใช้สญั ลกั ษณ์ // แสดงการขนาน

AE F B

2 ซม.
2 ซม.

CG H D

ระยะหา่ งระหวา่ งจดุ E กบั และจุด F กับ เป็น 2 เซนตเิ มตร
ดงั น้ัน ขนานกบั หรือ ขนานกับ
เขียนแทนดว้ ย // หรอื //

กบ ม

1.7 ซม. ข
1.5 ซม. ง

คย ล

ระยะหา่ งระหว่างจดุ บ กับ คง เป็น 1.7 เซนติเมตร
และระยะหา่ งระหวา่ งจดุ ม กับ คง เปน็ 1.5 เซนตเิ มตร
ดังนั้น กข ไม่ขนานกับ คง หรือ คง ไมข่ นานกบั กข

ในการเขียนรูป อาจใชส้ ัญลักษณ์แสดงการขนานกนั ของเสน้ ตรงดงั น้ี

PV
DG

J Y M
S

จากรูป // และ //

6.2 มุมทีเ่ กดิ จากเสน้ ตดั ขวางตัดเส้นตรงคู่หนงึ่

6.2.1 เส้นตัดขวาง

ตดั และ ดังรูป

S

AC AM B
C
M N N
S CT
T
B D

เรยี ก วา่ เส้นตัดขวาง

เส้นตดั ขวาง เปน็ เสน้ ตรงที่ตดั เส้นตรงตั้งแต่ 2 เส้นข้นึ ไปซึ่งอยบู่ นระนาบเดียวกัน

EM F จ ข
P กบ
ง
GO ค ยฉ

N จฉ ตดั กข และ คง
H แสดงวา่ จฉ เป็นเส้นตดั ขวาง

ตดั และ
แสดงวา่ เป็นเสน้ ตัดขวาง

Q K MO A BC V
U
RSTU RS T
XY Z
L NP
ตัด และ
ตดั และ แสดงวา่ เปน็ เส้นตดั ขวาง
แสดงว่า เปน็ เสน้ ตัดขวาง

6.2 มุมที่เกดิ จากเส้นตัดขวางตัดเสน้ ตรงคู่หนึ่ง
6.2.2 มมุ ทเี่ กิดจากเส้นตัดขวาง

R

M 1A 2 N
43 P
O 5B
6

8 7
Q

เป็นเสน้ ตดั ขวาง ตดั และ ท่ีจุด A และจุด B ตามลาดบั
มุมทเ่ี กดิ จากเส้นตดั ขวาง ไดแ้ ก่ ෡ ෡ ෡ ෡ ෡ ෡ ෡ และ ෡

෡ ෡ ෡ และ ෡ เป็น มุมทีอ่ ยบู่ นขา้ งเดยี วกนั ของเสน้ ตัดขวาง
෡ ෡ ෡ และ ෡ เปน็ มุมทอ่ี ยูบ่ นข้างเดยี วกันของเส้นตัดขวาง
แต่ ෡ ෡ ෡ และ ෡ กับ ෡ ෡ ෡ และ ෡ เปน็ มุมที่อยคู่ นละขา้ งของเสน้ ตัดขวาง

ชน

56 ข

ก 1ม 2 8ย 7

43

ซธ

กข เปน็ เส้นตัดขวาง ตัด ชซ และ นธ ทจี่ ุด ม และจดุ ย ตามลาดับ
มุมที่เกิดจากเส้นตัดขวาง ไดแ้ ก่ ෡ ෡ ෡ ෡ ෡ ෡ ෡ และ ෡

෡ ෡ ෡ และ ෡ เป็น มมุ ทีอ่ ยู่บนข้างเดยี วกันของเสน้ ตดั ขวาง
෡ ෡ ෡ และ ෡ เปน็ มุมท่ีอยูบ่ นขา้ งเดียวกนั ของเส้นตัดขวาง
แต่ ෡ ෡ ෡ และ ෡ กับ ෡ ෡ ෡ และ ෡ เป็นมุมท่อี ยู่คนละข้างของเสน้ ตดั ขวาง

E G

C 1 Q4
2 3

5 R6
7 8

F H D

เป็นเสน้ ตัดขวาง ตัด และ ทจี่ ุด Q และจุด R ตามลาดับ
෡ ෡ ෡ และ ෡ เป็น มมุ ภายใน และ ෡ ෡ ෡ และ ෡ เป็น มุมภายนอก
෡ กับ ෡ และ ෡ กบั ෡ เปน็ มมุ ภายในท่ีอยบู่ นข้างเดียวกันของเส้นตัดขวาง
෡ กับ ෡ และ ෡ กับ ෡ เปน็ มมุ ภายในทอี่ ยบู่ นคนละข้างของเสน้ ตัดขวาง

ธ ป

ท

5 6ต 8
7
1ค 2
ถ 3 4 บ

น

ถท เปน็ เสน้ ตดั ขวาง ตัด ธน และ ปบ ทจ่ี ดุ ด และจุด ต ตามลาดบั
෡ ෡ ෡ และ ෡ เป็น มุมภายใน และ ෡ ෡ ෡ และ ෡ เป็น มุมภายนอก

෡ กบั ෡ และ ෡ กบั ෡ เป็น มมุ ภายในท่ีอย่บู นข้างเดยี วกันของเส้นตัดขวาง

෡ กับ ෡ และ ෡ กับ ෡ เปน็ มุมภายในทอ่ี ยบู่ นคนละข้างของเสน้ ตัดขวาง

มมุ ภายในทอี่ ยู่คนละข้างของเสน้ ตดั ขวางซ่งึ จุดยอดมมุ ไม่ใชจ่ ดุ เดยี วกัน
เรยี กว่า มมุ แย้งภายใน

มุมภายนอกที่อยูค่ นละขา้ งของเส้นตดั ขวางซึง่ จดุ ยอดมุมไมใ่ ช่จดุ เดยี วกัน
เรยี กว่า มมุ แยง้ ภายนอก

P

M 4 1A N
32

R 8 5B S
76

Q

เป็นเส้นตัดขวาง ตัด และ ทจ่ี ุด A และจุด B ตามลาดบั
෡ ෡ ෡ และ ෡ เปน็ มมุ ภายใน และ ෡ ෡ ෡ และ ෡ เปน็ มมุ ภายนอก
෡ กบั ෡ และ ෡ กับ ෡ เปน็ มุมแย้งภายใน
෡ กับ ෡ และ ෡ กับ ෡ เป็นมมุ แย้งภายนอก

ธ ป
152ด6
ถ 3 ต4 ท
78 บ
น

ถท เปน็ เส้นตดั ขวาง ตัด ธน และ ปบ ท่จี ุด ด และจุด ต ตามลาดับ
෡ ෡ ෡ และ ෡ เปน็ มุมภายใน และ ෡ ෡ ෡ และ ෡ เปน็ มมุ ภายนอก

෡ กับ ෡ และ ෡ กับ ෡ เป็นมุมแย้งภายใน

෡ กบั ෡ และ ෡ กบั ෡ เปน็ มุมแยง้ ภายนอก

6.3 สมบตั ขิ องเส้นขนาน

วธิ ปี ฏบิ ตั ิ

จากการตรวจสอบ ถ้าเสน้ ตรงขนานกัน มมุ แย้งจะมขี นาดเทา่ กนั
ในทานองเดยี วกัน

ถา้ เสน้ ตรงไม่ขนานกัน มุมแย้งจะมีขนาดไม่เทา่ กนั

ถา้ เส้นตรงเส้นหน่งึ ตดั เสน้ ขนานคหู่ น่งึ แลว้ มมุ แย้งมีขนาดเทา่ กนั

กาหนด // มี เป็นเสน้ ตดั ขวาง

E
AB

C D
F

วธิ ปี ฏบิ ตั ิ

จากกิจกรรมตรวจสอบผลบวกของขนาดของมุมภายในทอ่ี ย่บู นขา้ งเดียวกนั ของ
เส้นตัดขวางทาใหพ้ บว่า

ถ้าเสน้ ตรงขนานกนั ขนาดของมุมภายในทีอ่ ย่บู นข้างเดียวกันของเส้นตดั ขวาง
รวมกนั ได้ 180°

ในทานองเดยี วกัน

ถา้ เส้นตรงไมข่ นานกัน ขนาดของมุมภายในท่ีอยูบ่ นข้างเดยี วกันของเส้นตดั ขวาง
รวมกันไม่เทา่ กบั 180°

ถ้าเสน้ ตรงเสน้ หน่งึ ตัดเสน้ ขนานคูห่ นึง่ แลว้ ขนาดของมมุ ภายในท่อี ยู่บนข้างเดียวกนั ของ
เสน้ ตดั ขวางรวมกันได้ 180°

จากรูป // และ ทราบวา่ ถา้ เสน้ ตรงขนานกนั

ขนาดของมุมภายในที่อยู่บนขา้ งเดียวกันของเสน้ ตัดขวางรวมกันได้ °
ดงั น้นั m(B ෡ F) = ° - ° = °

6.4 การสร้างเส้นขนาน

6.4.1 การสรา้ งเสน้ ขนานให้มรี ะยะหา่ งตามทก่ี าหนด

เส้นตรง 2เสน้ ที่อยู่บนระนาบเดียวกนั จะขนานกันกต็ อ่ เมือ่
เสน้ ตรง 2 เส้นน้นั มรี ะยะหา่ งเท่ากันเสมอ เราจึงอาศัยระยะห่างในการสรา้ งเส้นขนานได้
***พิจารณาการสรา้ งเส้นตรงใหข้ นานกบั กข โดยให้มีระยะห่างจาก กข 5 เซนติเมตร***

กข







6.4.2 การสรา้ งเส้นขนานผา่ นจุดท่กี าหนด

***พิจารณาการสรา้ งเส้นตรงให้ขนานกับ และผา่ นจดุ C***
C

A

B

วธิ ที ่ี 1 สรา้ งให้มรี ะหา่ งเทา่ กนั





วธิ ีท่ี 2 สรา้ งมุมแยง้ ใหม้ ีขนาดเท่ากัน

จากสมบัตขิ องเสน้ ขนาน “เมื่อเส้นตรงเส้นหน่ึงตดั เส้นตรงคู่
หนงึ่ ถา้ มมุ แย้งมขี นาดเทา่ กนั แลว้ เสน้ ตรงคนู่ ้นั จะขนานกัน” เราจงึ
สามารถสร้างเสน้ ขนานโดยสรา้ งมมุ แย้งใหม้ ีขนาดเท่ากัน











วธิ ที ่ี 3 สร้างมมุ ภายในที่อยู่บนข้างเดียวกนั ของเส้นตดั ขวางให้
รวมกนั ได้ 180°

จากสมบตั ขิ องเส้นขนาน “เม่อื เส้นตรงเส้นหนงึ่ ตัดเสน้ ตรงคูห่ นง่ึ ถา้
ขนาดของมมุ ภายในที่อยู่บนข้างเดยี วกันของเส้นตดั ขวางรวมกันได้ 180° แลว้
เส้นตรงคู่นั้นจะขนานกัน

เราจึงสามารถสรา้ งเสน้ ขนานโดยสรา้ งมมุ ภายในท่อี ยู่บนขา้ งเดยี วกันของ
เส้นตดั ขวางรวมกันได้ 180°









7บทท่ี รปู ส่ีเหลีย่ ม

7.1 ชนิดและสมบัตขิ องรูปสเี่ หลย่ี ม
7.1.1 ชนดิ ของรปู ส่ีเหลี่ยม

การจาแนกรปู สี่เหลย่ี ม โดยพิจารณาจากขนาดของมมุ
ความยาวของด้าน และกานขนานกันของด้าน สามารถ
จาแนกไดด้ ังนี้

รปู สเี่ หลีย่ มจัตุรสั เปน็ รูปสเี่ หล่ียมทม่ี ีมุม
ทกุ มมุ เป็นมมุ ฉาก ดา้ นทกุ ด้านยาวเทา่ กัน
ดา้ นตรงข้ามขนานกัน 2 คู่

รปู ส่ีเหล่ยี มผนื ผา้ เป็นรูปสเี่ หล่ียมทม่ี ี
มุมทกุ มมุ เปน็ มุมฉาก ดา้ นตรงขา้ มยาว
เทา่ กนั และขนานกัน 2 คู่ ดา้ นที่อยู่
ตดิ กนั ยาวไมเ่ ท่ากัน

รปู สเ่ี หลีย่ มขนมเปียกปูน เป็นรูปสเ่ี หลยี่ มท่ี
มีมมุ ทุกมมุ ไม่เป็นมมุ ฉากมมุ ท่อี ยตู่ รงขา้ ม
กันมขี นาดเทา่ กัน ด้านทุกด้านยาวเท่ากนั
ดา้ นตรงขา้ มขนานกนั 2 คู่