สถิติเบื้องต้น ม.5

หน้า |1

สอนโดย คุณครลู ำยวน ไวทำ

เอกสารประกอบการสอนคณิตศาสตร์ เรอ่ื ง สถติ ิ โดย คณุ ครูลายวน ไวทา

หน้า |2

สถิติ จะแปลวา่ “ขอ้ มลู ” ก็ได้ หรือจะแปลวา่ “วธิ ีจดั การขอ้ มูล” ตามระเบียบวิธีการทางสถิติ ก็ได้
สถิติมีหลายชนิด ตามลกั ษณะการนาไปใชเ้ ช่น

➢ สถิติเชิงพรรณนา = สถิติท่ีมุ่งอธิบายภาพรวมของขอ้ มูล
➢ สถิติเชิงอนุมาน = สถิติที่ศึกษากล่มุ ตวั อยา่ งเลก็ ๆ เพอ่ื เดาขอ้ สรุปของขอ้ มูลท้งั หมด
➢ สถิติเพ่ือการตดั สินใจ = สถิติชนิดน้ี จะไมต่ อ้ งการภาพรวมของขอ้ มูล แต่จะมงุ่ เนน้ เพื่อตดั สินใจบางเรื่อง
โดยจะกาหนดก่อนว่าตอ้ งใชค้ ่าสถิติใดในการตดั สินใจ แลว้ จึงเก็บขอ้ มูลเท่าที่จาเป็น
ระเบียบวธิ ีการทางสถิติ
ประกอบดว้ ย
การเก็บขอ้ มลู → นาเสนอขอ้ มูล → วิเคราะห์ → ตีความ
การเกบ็ ขอ้ มลู
สามารถเก็บจากทะเบียนประวตั ิ จากการสารวจ จากการทดลอง หรือ จากการสงั เกต
โดยเราแบ่งประเภทขอ้ มลู ตามวธิ ีเก็บไดเ้ ป็น 2 ชนิด
➢ ขอ้ มลู ปฐมภมู ิ= ขอ้ มูลท่ีเกบ็ จากตน้ กาเนิดขอ้ มูลโดยตรง
➢ ขอ้ มูลทตุ ิยภมู ิ = ขอ้ มลู ท่ีเกบ็ จากผลการเก็บขอ้ มูลของคนอนื่ อกี ที เช่น เก็บจากเอกสาร หรือทะเบียนที่มีอยู่
ซ่ึงก่อนเก็บขอ้ มูล เราตอ้ งเลือกอกี วา่ จะเก็บจาก “ประชากร” หรือเก็บจาก “ตวั อยา่ ง”
➢ ประชากร = ขอ้ มูล “ท้งั หมด”
➢ ตวั อยา่ ง = ขอ้ มลู “บางส่วน”

การเกบ็ ขอ้ มูลจากประชากร จะไดผ้ ลครบถว้ นสมบรู ณ์กวา่ เกบ็ จากตวั อยา่ ง แตก่ ใ็ ชเ้ วลามากกวา่
ในชีวติ จริง เรามกั นิยมเกบ็ ขอ้ มูลจากจากตวั อยา่ งโดยจะมีวธิ ีเลือกตวั อยา่ งตามหลกั สถิติ เพ่อื ให้ตวั อยา่ งท่ีเลือก สามารถเป็น
ตวั แทนของประชากรไดใ้ กลเ้ คยี งท่ีสุด
การนาเสนอขอ้ มลู

คอื การเอาขอ้ มลู มาจดั เป็นรูปแบบท่ีเขา้ ใจง่าย ซ่ึงแบง่ ไดเ้ ป็น 2 แบบ คือ
➢ ไมเ่ ป็นแบบแผน ไดแ้ ก่ การนาเสนอในรูปบทความ หรือ แบบก่ึงตาราง
➢ เป็นแบบแผน ไดแ้ ก่ การนาเสนอดว้ ยตาราง แผนภูมิ หรือ กราฟ
การวเิ คราะหข์ อ้ มูล
คือ การหาขอ้ สรุปเกี่ยวกบั ลกั ษณะต่าง ๆ (ค่าเฉล่ีย, มธั ยฐาน, ฐานนิยม, ฯลฯ) ของขอ้ มูล
ค่าท่ีวิเคราะห์ได้ จะมีช่ือเรียก 2 ช่ือ ข้ึนกบั วา่ เอาขอ้ มลู ระดบั ไหนมาวิเคราะห์
➢ พารามิเตอร์= คา่ ท่ีไดจ้ าก “ประชากร”
➢ คา่ สถิติ = คา่ ท่ีไดจ้ าก “ตวั อยา่ ง”
ปกติ เราจะไม่วเิ คราะหป์ ระชากร แต่เราจะวิเคราะหต์ วั อยา่ ง เพอ่ื หาคา่ สถิติแลว้ นามาประมาณพารามิเตอร์
โดยขอ้ มลู ทีน่ ามาวเิ คราะห์ จะแบง่ ไดเ้ ป็น 2 ประเภท
➢ ขอ้ มูลเชิงปริมาณ คือ ขอ้ มลู ท่บี อกปริมาณ เช่น อายุ ส่วนสูง น้าหนกั
➢ ขอ้ มลู เชิงคุณภาพ คอื ขอ้ มลู ท่ีแสดงคณุ สมบตั ิ เช่น เพศ กรุ๊ปเลือด ขอ้ มูลประเภทน้ี จะไม่สามารถ บวก ลบ
คณู หาร หรือเทียบมากกวา่ นอ้ ยกว่า ไดจ้ ึงหาไม่สามารถหาคา่ เฉล่ีย หรือ มธั ยฐานได้
การตีความขอ้ มูล คือ การหาขอ้ สรุปจากคา่ ที่ไดจ้ ากการวิเคราะห์

เอกสารประกอบการสอนคณิตศาสตร์ เรอ่ื ง สถติ ิ โดย คณุ ครูลายวน ไวทา

หน้า |3

1. ขอ้ ใดถกู ตอ้ ง
1. เบอร์โทรศพั ท์ เป็นขอ้ มลู เชิงปริมาณ
2. การเกบ็ ขอ้ มลู ของชุมชน จากที่วา่ การเขต จดั เป็นการเกบ็ ขอ้ มลู แบบปฐมภมู ิ
3. การหาคา่ เฉล่ียของขอ้ มลู เป็นส่วนหน่ึงของการนาเสนอขอ้ มูล
4. สถิติเชิงอนุมาน คอื สถิติท่ีมงุ่ อธิบายลกั ษณะกวา้ งๆของขอ้ มูล
5. พารามิเตอร์ คอื คา่ ที่ไดจ้ ากการนากลมุ่ ตวั อยา่ งมาคานวณ
6. ประโยชนข์ องการนาเสนอขอ้ มลู คือ ทาใหเ้ ขา้ ใจขอ้ มูลไดง้ า่ ยข้นึ

2. ขอ้ ต่อไปน้ีมีผลกระทบตอ่ ความถกู ตอ้ งของการตดั สินใจโดยใชส้ ถิติ ยกเวน้ ขอ้ ใด [O-NET 52/34]

1. ขอ้ มลู 2. สารสนเทศ 3. ขา่ วสาร 4. ความเชื่อ

3. ขอ้ ใดเป็นข้นั ตอนหน่ึงของการสารวจความคิดเห็น [O-NET 57/28]
1. ต้งั สมมุติฐานของปัญหาท่ีทาการสารวจ
2. กาหนดขอบเขตของการสารวจ
3. ประมาณการคา่ ใชจ้ ่ายในการสารวจความคิดเห็น
4. คดั เลือกผเู้ กบ็ ขอ้ มลู การสารวจ
5. นาผลการสารวจความคิดเห็นไปใชป้ ระโยชน์

4. ขอ้ ใดไม่อยใู่ นข้นั ตอนของการสารวจความคิดเห็น [O-NET 56/30]
1. กาหนดขอบเขตของการสารวจ
2. กาหนดวธิ ีเลือกตวั อยา่ ง
3. สร้างแบบสารวจความคดิ เหน็
4. ประมวลผลและวิเคราะหผ์ ลการสารวจ
5. เผยแพร่ผลการสารวจความคิดเห็น

5. ในการใชส้ ถิติเพอ่ื การตดั สินใจและวางแผน สาหรับเรื่องท่ีจาเป็นตอ้ งมีการใชข้ อ้ มลู และสารสนเทศ ถา้ ขาดขอ้ มลู และ

สารสนเทศดงั กล่าว ผตู้ ดั สินใจควรท าข้นั ตอนใดก่อน [O-NET 53/36]

1. เก็บรวบรวมขอ้ มูล 2. เลือกวิธีวเิ คราะหข์ อ้ มลู

3. เลือกวิธีเกบ็ รวบรวมขอ้ มูล 4. กาหนดขอ้ มูลท่ีจาเป็นตอ้ งใช้

เอกสารประกอบการสอนคณิตศาสตร์ เรื่อง สถติ ิ โดย คณุ ครูลายวน ไวทา

หน้า |4

“ตารางแจกแจงความถี่” คือ ตารางท่ีบอกว่า มีขอ้ มลู กี่ตวั ตกอยใู่ นแต่ละช่วง

บางตารางจะใจดี บวกจานวนขอ้ มูลมาให้ขา้ งลา่ ง บางตารางก็มีช่อง “ความถี่สะสม” มาให้ คา่ พวกน้ีเราคานวณเองได้
นอกจากน้ี ยงั มีช่องอน่ื ๆ ที่ไมค่ ่อยจะไดใ้ ชอ้ ีก ดงั น้ี

เอกสารประกอบการสอนคณิตศาสตร์ เรือ่ ง สถิติ โดย คณุ ครูลายวน ไวทา

หน้า |5

ในตารางแจกแจงความถี่ มีคาศพั ทท์ ่ีตอ้ งรู้ดงั น้ี

: ขอบล่างของช้นั ต่าสุด จะคานวณจากแนวโนม้ ความห่างของขอบบน
ขอบบนของช้นั สูงสุด จะคานวณจากแนวโนม้ ความห่างของขอบลา่ ง

1. จงเติมตารางแจกแจงความถี่ใหส้ มบรู ณ์

เอกสารประกอบการสอนคณิตศาสตร์ เร่อื ง สถติ ิ โดย คณุ ครูลายวน ไวทา

หน้า |6

2. ในการสารวจอายขุ องคนในหมู่บา้ นแห่งหน่ึงเป็นดงั น้ี

ค่า x ในตารางแจกแจงความถ่ีสมั พทั ธเ์ ท่ากบั เทา่ ใด [O-NET 54/39]
3. ขอ้ มูลชุดหน่ึง มีบางส่วนถกู นาเสนอในตารางตอ่ ไปน้ี
ช่วงคะแนนใดเป็นช่วงคะแนนทมี่ ีความถ่ีสูงสุด [O-NET 53/34]

เอกสารประกอบการสอนคณิตศาสตร์ เร่ือง สถติ ิ โดย คณุ ครูลายวน ไวทา

หน้า |7

ในเรื่องนีจ้ ะพดู ถึงวธิ ีการนาตารางแจกแจงความถ่ี มาเขยี นเป็นแผนภมู ใิ หอ้ า่ นงา่ ย กอ่ นอน่ื เราสามารถนาตาราง
แจกแจงความถี่ มาเขยี นเป็นแผนภมู ิแทง่ ท่เี รยี กวา่ “ฮสิ โทแกรม” ได้ ดงั นี้

และเราสามารถนาฮสิ โทแกรม มาสรา้ งเป็น “รูปหลายเหลี่ยมของความถี่” โดยลากเสน้ เช่ือมตามยอดของแต่ละแทง่

และสดุ ทา้ ย เราสามารถนารูปหลายเหล่ียมของความถี่ มาปรบั ใหเ้ ป็นเสน้ โคง้ ท่เี รยี กว่า “เสน้ โคง้ ของความถ่ี” ได้ ดงั นี้

เอกสารประกอบการสอนคณิตศาสตร์ เรอื่ ง สถติ ิ โดย คณุ ครูลายวน ไวทา

หน้า |8

นอกจากนี้ เรายงั สามารถเอา “ความถ่ีสะสม” มาสรา้ งกราฟคลา้ ยๆฮสิ โทแกรมได้ ดงั นี้

จะเห็นวา่ กราฟท่ไี ดจ้ ากความถ่ีสะสม จะสงู ขนึ้ เรอ่ื ย ๆ (เพราะความถ่ีสะสมมแี ตบ่ วกเพิม่ ไปเร่อื ย ๆ) และแทง่ สดุ ทา้ ยจะ
สงู เท่ากบั จานวนขอ้ มลู ( )

และสดุ ทา้ ย ถา้ ลากเสน้ เชอ่ื มตามยอดของแตล่ ะแทง่ ของความถี่สะสม ดงั รูป เราจะไดก้ ราฟท่เี รยี กว่า “โอจฟี ”

ประโยชนท์ ่สี าคญั อย่างหนง่ึ ของโอจฟี คอื เราสามารถพลอ็ ตหา ค่าประมาณของขอ้ มลู ณ ตาแหน่งต่าง ๆ ตามใจชอบ
ได้ เพราะตาแหนง่ ขอ้ มลู จะมีความสมั พนั ธโ์ ดยตรง กบั ความถ่ีสะสม

1. จงเตมิ ตารางแจกแจงความถี่ใหส้ อดคลอ้ งกบั แผนภาพตอ่ ไปนี้

เอกสารประกอบการสอนคณิตศาสตร์ เรอ่ื ง สถิติ โดย คณุ ครูลายวน ไวทา

หน้า |9

แผนภาพตน้ ใบ เป็นวธิ ีนาเสนอขอ้ มลู อีกแบบหนงึ่ ท่สี ะดวกในการดแู นวโนม้ ของคา่ ขอ้ มลู โดยเราจะนา “หลกั หน่วย”
ของขอ้ มลู มาเขยี นเป็น “ใบ” และนา หลกั สบิ , รอ้ ย, พนั , ... มาเขียนเป็น “ลาตน้ ”

และในกรณีท่มี ขี อ้ มลู 2 กล่มุ เราสามารถนาขอ้ มลู ทงั้ 2 กล่มุ มาเขียนลงใน “ลาตน้ เดยี วกนั ” ได้ เชน่ ถา้ มคี ะแนนสอบ
ของนกั เรยี น 2 หอ้ ง

1. จงเขยี นตารางแจกแจงความถี่ จากแผนภาพตน้ ใบตอ่ ไปน้ี

2. ในกรณีที่มีขอ้ มูลจานวนมาก การนาเสนอขอ้ มูลในรูปแบบใดตอ่ ไปน้ี ทาใหเ้ ห็นการกระจายของขอ้ มูลไดช้ ดั เจนนอ้ ยที่สุด
[O-NET 52/32]

1. ตารางแจกแจงความถ่ี 2. แผนภาพตน้ ใบ 3. ฮิสโทแกรม 4. การแสดงค่าสงั เกตทุกคา่

เอกสารประกอบการสอนคณิตศาสตร์ เรือ่ ง สถติ ิ โดย คณุ ครูลายวน ไวทา

ห น ้ า | 10

เวลาเรามีขอ้ มูลหลายๆตวั (เช่น น้าหนกั ของเดก็ 30 คน) เรามกั จะสนใจวา่ “ตรงกลาง” ของขอ้ มลู ชุดน้นั มีค่าเทา่ ไหร่
และเรามกั ใชค้ ่า “ตรงกลาง” น้ี เป็นตวั แทนของขอ้ มูลท้งั กล่มุ เพ่อื นาไปวเิ คราะห์ หรือ เปรียบเทียบกบั ขอ้ มลู ชุดอืน่ ตอ่ ไป

“คา่ กลางขอ้ มูล” แปลตรง ๆ ตวั วา่ ค่าท่ีอยตู่ รงกลางของกลุ่มขอ้ มูล
คา่ กลางขอ้ มลู มีอยหู่ ลายชนิด ข้นึ กบั ว่าเราจะวดั ความกลางยงั ไง
ซ่ึงในบทน้ี เราจะไดเ้ รียนคา่ กลาง 3 ชนิด ไดแ้ ก่

➢ “ค่าเฉลี่ย” คือ ค่าท่ีอยตู่ รงกลาง โดยใช้ “คา่ ของขอ้ มลู ” เป็นตวั วดั
➢ “มธั ยฐาน” คอื ค่าที่อยตู่ รงกลาง โดยใช้ “ตาแหน่งของขอ้ มลู ” เป็นตวั วดั
➢ “ฐานนิยม” คือ ค่าท่ี “ซ้าบ่อยที่สุด” ในกลุ่มขอ้ มูล
คา่ กลางขอ้ มูลแตล่ ะชนิด มีขอ้ ดีขอ้ เสียตา่ งกนั ข้นึ กบั วา่ จะเอาไปใชท้ าอะไร ขอ้ มูลบางประเภท ก็ไมส่ ามารถหาคา่ กลาง
บางชนิดได้ การเลือกคา่ กลาง จึงตอ้ งคานึงถงึ ลกั ษณะขอ้ มูล และการนาไปใช้

คา่ เฉล่ีย (Mean) คือ ค่าท่ีไดจ้ ากการเอาขอ้ มูลทกุ ตวั มา “รวม” กนั แลว้ “เฉล่ีย” ดว้ ยจานวนตวั
คา่ เฉลี่ย ยงั แบ่งตอ่ ไปไดอ้ กี หลายชนิด ข้ึนกบั ว่าจะ “รวม” และ “เฉลี่ย” ยงั ไง เช่น

➢ คา่ เฉล่ียเลขคณิต (Arithmetric Mean: A.M.) ไดจ้ ากการเอาขอ้ มูลทกุ ตวั มา “บวก” กนั แลว้ “หาร” ดว้ ย
จานวนตวั

➢ คา่ เฉลี่ยเรขาคณิต (Geometric Mean: G.M.) ไดจ้ ากการเอาขอ้ มลู ทกุ ตวั มา “คูณ” กนั แลว้ “ถอดรูท” อนั ดบั ที่
ตามจานวนตวั

➢ ค่าเฉล่ียฮาร์โมนิค (Harmonic Mean: H.M.) ไดจ้ าก เอาขอ้ มลู มากลบั เศษ - ส่วน แลว้ นาไปหาคา่ เฉลยี่ เลข
คณิต แลว้ นาคา่ เฉล่ียเลขคณิตท่ีได้ มากลบั เศษ - ส่วน กลบั ไปเป็นแบบเก่า
ขอ้ มูลชุดหน่ึง มี 4 จานวน ประกอบดว้ ย 2 , 4 , 9 , 18 จงหาค่าเฉล่ียเลขคณิต คา่ เฉลี่ยเรขาคณิต และ

คา่ เฉล่ียฮาร์โมนิค ของขอ้ มูลชุดน้ี

คา่ เฉล่ียเลขคณิต จะเป็นค่ากลางที่ใชบ้ ่อยกว่าคา่ กลางอื่น ดงั น้นั ถา้ ไดย้ นิ คาว่า “ค่าเฉลี่ย” เฉยๆ กใ็ หห้ มายถึง
“คา่ เฉล่ียเลขคณิต” โดยอตั โนมตั ิ

ในเร่ืองสถิติน้ี อีกเด๋ียวจะมีสูตรมากมาย โผล่ออกมาให้เราทาความเขา้ ใจ และท่อง (ถา้ ไม่เขา้ ใจ) ดงั น้นั เราควรทา
ความคนุ้ เคยกบั สญั ลกั ษณ์ทน่ี ิยมใชใ้ นเรื่องน้ีกนั ก่อน

ในเร่ืองสถิติ เรานิยมใช้ แทน “จานวนขอ้ มลู ” และใช้ แทน “คา่ ของขอ้ มลู ”

เอกสารประกอบการสอนคณิตศาสตร์ เรือ่ ง สถิติ โดย คณุ ครูลายวน ไวทา

ห น ้ า | 11

โดยเรานิยมให้ 1 แทนค่าของขอ้ มลู ตวั ท่ี 1
2 แทนคา่ ของขอ้ มูลตวั ที่ 2
⋮
N แทนค่าของขอ้ มลู ตวั ท่ี N

เช่น ถา้ ขอ้ มูลชุดหน่ึง ประกอบดว้ ย 2 , 6 , 9 , 18 จะไดว้ ่า = 4 และ 1 = 2 , 2 = 6 , 3 = 9 , 4 = 18
เราจะใชส้ ัญลกั ษณ์ แทนค่าเฉลี่ยเลขคณิต

ดงั น้นั เราจะเขยี นสูตรไดเ้ ป็น

อยา่ งไรกต็ าม เรานิยมใชส้ ัญลกั ษณ์ ∑ มาช่วยเขยี นสูตรใหก้ ระชบั ข้ึนได้

สูตรน้ี เป็นความสมั พนั ธ์ของปริมาณ 3 อยา่ ง คอื “ค่าเฉล่ีย” “ผลรวมขอ้ มูล” และ “จานวนขอ้ มลู ” ถา้ โจทยบ์ อก
2 อยา่ งใด ๆ มา เราตอ้ งสามารถหาตวั ท่ีเหลือไดท้ นั ที ดงั น้ี

นกั เรียนหอ้ งหน่ึงมี40 คน มีคา่ เฉลี่ยของคะแนนสอบเทา่ กบั 7.8 คะแนน ตอ่ มาพบว่าตรวจคะแนนผดิ โดย จะตอ้ งเพิ่ม
คะแนนใหน้ กั เรียนคนหน่ึง 5 คะแนน และลดคะแนนของนกั เรียนอกี คนหน่ึง 1 คะแนน จงหาคา่ เฉล่ีย หลงั จากที่แกไ้ ขคะแนน
แลว้

เอกสารประกอบการสอนคณิตศาสตร์ เร่อื ง สถิติ โดย คณุ ครูลายวน ไวทา

ห น ้ า | 12

1. จงหาคา่ เฉลี่ยเลขคณิตของขอ้ มลู 5 , 8 , 12 , 12 , 16

2. นกั เรียน 8 คน มีคา่ เฉลี่ยเลขคณิตของคะแนนสอบคอื 7.5
ถา้ คะแนนของนกั เรียน 7 คนแรก คือ 5 , 8 , 7.5 , 8 , 6 , 7 , 9 แลว้ จงหาคะแนนของอีกหน่ึงคนที่เหลือ

3. นกั เรียนหอ้ งหน่ึง มี 20 คน มีคะแนนเฉล่ีย คอื 8 แต่ตอ่ มาพบวา่ ค่าเฉล่ียน้ี ไมถ่ ูกตอ้ ง เน่ืองจากอ่านคะแนนของ
นกั เรียนคนหน่ึงผดิ ไป จากคะแนนที่ถกู คอื 6 คะแนน อา่ นผิดเป็น 8 คะแนน จงหาคะแนนเฉลี่ยที่ถูกตอ้ ง

4. นกั เรียนห้องหน่ึง มี 20 คน เป็นผหู้ ญิง 12 คน ถา้ คะแนนเฉล่ียของนกั เรียนหญิง คอื 8 คะแนน และคะแนนเฉล่ีย
ของนกั เรียนชาย คอื 6 คะแนน จงหาคะแนนเฉล่ียของนกั เรียนท้งั ห้อง

5. ในการสารวจน้าหนกั ตวั ของนกั เรียนช้นั มธั ยมศึกษาปี ที่ 6 ของโรงเรียนแห่งหน่ึง ซ่ึงมี 3 หอ้ ง มีจานวนนกั เรียน 44,
46 และ 42 คน ตามลาดบั ปรากฏว่ามีคา่ เฉล่ียเลขคณิตเท่ากบั 50 กิโลกรัม แตพ่ บว่าเคร่ืองชงั่ ท่ีใชส้ าหรับนกั เรียน
หอ้ งแรกมีความคลาดเคล่ือนทาให้ชง่ั น้าหนกั ไดต้ วั เลขสูงเกินจริงคนละ 1 กิโลกรัม ดงั น้นั ค่าเฉลี่ยเลขคณิตที่ถูกตอ้ ง
ของน้าหนกั ตวั ของนกั เรียนช้นั มธั ยมศึกษาปี ที่ 6 น้ีเทา่ กบั กี่กิโลกรัม [O-NET 56/32]

เอกสารประกอบการสอนคณิตศาสตร์ เร่ือง สถติ ิ โดย คณุ ครูลายวน ไวทา

ห น ้ า | 13

ในการหาคา่ เฉลี่ย เราสามารถ “ถ่วงน้าหนกั ” ให้กบั ขอ้ มลู ที่นามาหาค่าเฉลี่ยไดด้ ว้ ย
ในกรณีท่ีขอ้ มูลแต่ละตวั มีความสาคญั ไมเ่ ทา่ กนั เราสามารถกาหนดน้าหนกั ( ) ให้กบั ขอ้ มลู แตล่ ะตวั
ซ่ึงจะส่งผลให้คา่ เฉล่ียเอยี งไปตามขอ้ มูลท่ีสาคญั มากกวา่ ขอ้ มูลท่ีไมส่ าคญั
เช่น ในการคดิ เกรดเฉลี่ย เรามกั ให้น้าหนกั เกรดบางวชิ า มากกว่า อกี วชิ า

สูตรของคา่ เฉลี่ยถ่วงน้าหนกั จะหาไดจ้ ากสูตร

จากตารางต่อไปนี้ จงหาเกรดเฉลยี่ แบบไม่ถว่ งนา้ หนกั และเกรดเฉล่ียแบบถว่ งนา้ หนกั ดว้ ยหน่วยกติ

นกั เรยี นหอ้ งหน่งึ มี 30 คน เป็นชาย 12 คน และเป็นหญงิ 18 คน ถา้ นา้ หนกั เฉลีย่ ของนกั เรยี นชายคอื 60 กก. และ
นา้ หนกั เฉลี่ยของนกั เรยี นหญิงคอื 50 กก. แลว้ จงหานา้ หนกั เฉลี่ยของนกั เรยี นทง้ั หอ้ ง

เอกสารประกอบการสอนคณิตศาสตร์ เรอื่ ง สถิติ โดย คณุ ครูลายวน ไวทา

ห น ้ า | 14

1. จงหาเกรดเฉลี่ย

2. ถา้ เกรดเฉลี่ยเท่ากบั 3.0 จงหาหน่วยกิตของวิชา ภาษาจีน

3. บริษทั หน่ึงมียอดขายในแตล่ ะไตรมาสของปี 2557 เป็นตามล าดบั ดงั น้ี 17 21 19 23 (หน่วย: ลา้ นบาท) การพยากรณ์ยอดขาย
ในไตรมาสถดั ไปจะใชค้ ่าเฉลี่ยเลขคณิตถว่ งน้าหนกั ถา้ บริษทั ถว่ งน้าหนกั ขอ้ มูลดว้ ย 1, 1, 1 และ 3 ตามล าดบั แลว้ ค่าเฉล่ียเลข
คณิตถ่วงน้าหนกั ของขอ้ มลู ชุดน้ีเท่ากบั กี่ลา้ นบาท [O-NET 59/27]

เอกสารประกอบการสอนคณิตศาสตร์ เร่ือง สถิติ โดย คณุ ครูลายวน ไวทา

ห น ้ า | 15

ในกรณีที่ขอ้ มลู มาในรูปตารางแจกแจงความถี่ท่ีมีอนั ตรภาคช้นั เป็นช่วง เราจะสูญเสียความแมน่ ยาของขอ้ มลู ไป นิด
หน่อย กลา่ วคอื เราจะไมร่ ู้ว่า นกั เรียน 3 คน ในช้นั 1-10 ไดค้ ะแนนแบบเป๊ ะๆเทา่ ไหร่

อยา่ งไรกต็ าม ถา้ ในตารางมี “อนั ตรภาคช้นั เปิ ด” เราจะหาคา่ เฉล่ียเลขคณิตไมไ่ ด้

เอกสารประกอบการสอนคณิตศาสตร์ เรอื่ ง สถิติ โดย คณุ ครูลายวน ไวทา

ห น ้ า | 16

1. ตารางแจกแจงความถ่ี แสดงจานวนนกั เรียนในช่วงอายตุ ่าง ๆ ของนกั เรียนกลุ่มหน่ึง เป็นดงั น้ี

อายเุ ฉล่ียของนกั เรียนกลุ่มน้ี เทา่ กบั ก่ีปี [O-NET 50/19]

2.ในการทดสอบความถนดั ของนกั เรียนกลุ่มหน่ึง มีตารางแจกแจงความถี่ของผลการสอบดงั น้ี

ถา้ คา่ เฉลี่ยเลขคณิตของคะแนนสอบเทา่ กบั 11 แลว้ นกั เรียนที่สอบไดค้ ะแนนในช่วง 5 - 14 คะแนนมีจานวนคิดเป็น ร้อยละของ
นกั เรียนกลมุ่ น้ีเทา่ กบั เทา่ ใด [O-NET 51/35]

เอกสารประกอบการสอนคณิตศาสตร์ เร่อื ง สถติ ิ โดย คณุ ครูลายวน ไวทา

ห น ้ า | 17

แตถ่ า้ ไม่อยากเหน่ือย กม็ ีอีกมีวธิ ี คือ เราจะแปลงจดุ ก่ึงกลางช้นั ใหเ้ ป็นตวั เลขงา่ ยๆก่อน
วิธีแปลงท่ีนิยมคอื ลบดว้ ยตวั ท่ีซ้ามากสุด (= 34.95) แลว้ หารทอนดว้ ยความกวา้ งช้นั (= 10)
จากน้นั ลืมจดุ ก่ึงกลางช้นั ไปซะแลว้ หาคา่ เฉลี่ยของผลแปลงแทน ดงั น้ี

1. คุณครูที่โรงเรียนแห่งหน่ึง มีอายเุ ฉลี่ย 35 ปี หลงั จากน้นั 5 ปี มีครูใหมเ่ ขา้ มาเพม่ิ 10 คน ทาใหอ้ ายเุ ฉลี่ยเปล่ียนเป็น
36 ปี ถา้ ครูใหมท่ ้งั 10 คน มีอายุ 28 ปี ทกุ คน จงหาว่าเดิม โรงเรียนแห่งน้ีมคี รูก่ีคน

2. ในการสอบยอ่ ยเพ่อื เกบ็ คะแนน พบวา่ คะแนนดิบของนกั เรียน 5 คน คือ 26, 29, 25, 28, 27 อยา่ งไรกต็ าม คะแนนดิบน้ี ตอ้ ง
นาไปคูณ 23 ก่อน จึงจะไดค้ ะแนนเก็บจริง ๆ จงหาคา่ เฉล่ียของคะแนนเกบ็ จริง ๆ ของนกั เรียนท้งั 5 คนน้ี

เอกสารประกอบการสอนคณิตศาสตร์ เร่ือง สถติ ิ โดย คณุ ครูลายวน ไวทา

ห น ้ า | 18

3. จงหาค่าเฉล่ียเลขคณิตโดยวิธีลดทอนขอ้ มูล

4. คะแนนสอบวชิ าคณิตศาสตร์ของนกั เรียน 50 คน มีตารางแจกแจงความถ่ีดงั น้ี

ค่าเฉล่ียเลขคณิตของคะแนนสอบน้ีเทา่ กบั เทา่ ใด [O-NET 56/40]

5. ความสัมพนั ธร์ ะหว่างกาไร ( ) และราคาทุน ( ) ของสินคา้ ในร้านแห่งหน่ึงเป็นไปตามสมการ = 2 − 30 ถา้ ราคาทุน
ของสินคา้ 5 ชนิด คือ 31, 34, 35, 36 และ 39 บาท แลว้ คา่ เฉลี่ยเลขคณิตของกาไรในการขายสินคา้ 5 ชนิดน้ี เท่ากบั ก่ีบาท [O-
NET 50/18]

เอกสารประกอบการสอนคณิตศาสตร์ เรื่อง สถิติ โดย คณุ ครูลายวน ไวทา

ห น ้ า | 19

คา่ กลางตวั ถดั มาท่ีตอ้ งเรียน คอื “มธั ยฐาน” (Median) หรือเรียกส้นั ๆวา่ Med
มธั ยฐาน เป็นค่ามี “ตาแหน่ง” อยตู่ รงกลาง เมื่อเรียงล าดบั ขอ้ มลู จากนอ้ ยไปมาก (หรือมากไปนอ้ ยกไ็ ด)้
หรือพูดงา่ ยๆกค็ อื Med จะเป็นจดุ ที่แบง่ จานวนขอ้ มลู ออกเป็น 2 ส่วน เท่าๆ กนั

การหา Med ประกอบดว้ ย 2 ข้นั ตอน
ข้นั แรก ตอ้ งหาก่อนว่า “ตาแหน่งตรงกลาง” คือตาแหน่งที่เท่าไหร่
เช่น ถา้ มีขอ้ มลู 3 ตวั ตาแหน่งตรงกลางคอื ตวั ที่ 2
ถา้ มีขอ้ มูล 4 ตวั ตาแหน่งตรงกลางคอื ตวั ที่ 2.5 (คอื อยรู่ ะหว่างตวั ที่ 2 กบั ตวั ที่ 3)
ถา้ มีขอ้ มูล 5 ตวั ตาแหน่งตรงกลางคอื ตวั ท่ี 3

จะไดส้ ูตร คอื

ข้นั ถดั มา เอาตาแหน่งที่ไดไ้ ปหาคา่ โดยตอ้ งเรียงขอ้ มลู จากนอ้ ยไปมาก (หรือมากไปนอ้ ยก็ได)้ แลว้ จิม้ น้ิวไล่นบั จนกวา่ จะถึง
ตาแหน่งท่ีตอ้ งการ ถา้ ตาแหน่งทค่ี านวณได้ ไปตกอยตู่ รงกลางระหว่างขอ้ มลู สองคา่ ให้เอาสองคา่ น้นั บวกกนั หารดว้ ยสอง

จงหาค่ามธั ยฐานของขอ้ มลู ชุดหน่ึง ซ่ึงประกอบดว้ ย 5 , 15 , 12 , 21 , 13 , 9 , 18

จงหาค่ามธั ยฐานของขอ้ มลู ชุดหน่ึง ซ่ึงประกอบดว้ ย 12 , 18 , 22 , 25

ในกรณีท่ขี อ้ มลู มาในรูปตารางแจกแจงความถี่ เราจะหา “ตาแหนง่ ” ของขอ้ มลู ยากขึน้ นดิ หนอ่ ย สิ่งท่ตี อ้ งราลกึ อยู่
เสมอ คอื ตาแหนง่ ของขอ้ มลู จะมคี วามเกี่ยวขอ้ งโดยตรงกบั “ความถ่ี”

จะเห็นว่า “ตาแหนง่ ” ของขอ้ มลู
จะไดจ้ ากการนา “ความถ่ี” มาบวก
สะสมไปเรอ่ื ย ๆ

เอกสารประกอบการสอนคณิตศาสตร์ เรื่อง สถิติ โดย คณุ ครูลายวน ไวทา

ห น ้ า | 20

จงหามธั ยฐานของขอ้ มลู ตอ่ ไปนี้
วิธีทา อนั ดบั แรก สรา้ งชอ่ ง “ความถี่สะสม” ก่อน เพ่อื ความสะดวกในการอา้ งตาแหนง่

: นกั เรยี นจานวนมาก มกั สบั สนระหว่าง “ตาแหนง่ ” กบั “ค่า”
สตู ร +1 เป็นสตู รทใ่ี ชห้ า “ตาแหนง่ ” มธั ยฐาน เทา่ นนั้ ไมใ่ ช่ “คา่ ” มธั ยฐาน

2

เรายงั ตอ้ งเอาตาแหนง่ ดงั กล่าว ไปหา “ค่า” ตอ่ อีก

จงหามธั ยฐานของขอ้ มลู ต่อไปนี้

เอกสารประกอบการสอนคณิตศาสตร์ เร่อื ง สถิติ โดย คณุ ครูลายวน ไวทา

ห น ้ า | 21

1. จงหามธั ยฐานของขอ้ มูลต่อไปน้ี 2. 5 , 2 , 8 , 10 , 7 , 11 , 9
1. 2 , 5 , 8 , 13 , 14 , 14 , 18 , 20

7. 2 , 4 , 6 , … , 30 8. 5 , 7 , 9 , 11 , … , 101

2. จากแผนภาพตน้ – ใบของขอ้ มลู ชุดหน่ึงเป็นดงั น้ี
จงหาคา่ เฉลี่ยเลขคณิต และ มธั ยฐาน ของขอ้ มลู ชุดน้ี [O-NET 57/30]

3. กาหนดให้ขอ้ มูลชุดหน่ึง คือ 10, 3, , 6, 6 ถา้ คา่ เฉลี่ยเลขคณิตของขอ้ มูลชุดน้ี มีคา่ เทา่ กบั มธั ยฐาน แลว้ มีค่า เท่ากบั เทา่ ใด
[O-NET 50/20]

เอกสารประกอบการสอนคณิตศาสตร์ เรือ่ ง สถิติ โดย คณุ ครูลายวน ไวทา

ห น ้ า | 22

ในกรณีที่ขอ้ มลู มาในรูปตารางแจกแจงความถ่ีที่มีอนั ตรภาคช้นั เป็นช่วง เราจะคานวณ Med ยากข้นึ เยอะเลย

ในกรณีน้ี ถา้ จะหา Med จะมขี ้นั ตอน ดงั น้ี
1. สร้างช่อง “ความถี่สะสม” เพอ่ื ความสะดวกในการหาค่าขอ้ มลู ณ ตาแหน่งตา่ งๆ
2. หา “ตาแหน่ง” มธั ยฐาน ดว้ ยสูตรใหม่
สูตรน้ี ใชก้ บั กรณี อนั ตรภาคช้นั เป็นช่วงเท่าน้นั
ถา้ มาเป็นตวั ๆ ใหใ้ ชส้ ูตร +1 เหมือนเก่า

2

3. ใชช้ ่องความถี่สะสม หาวา่ มธั ยฐาน อยชู่ ้นั ไหน แลว้ ใชส้ ูตรไหนก็ได้ จาก 2 สูตรต่อไปน้ี

สูตรน้ี จะเร่ิมจากขอบล่าง สตู รนี้ จะเรม่ิ จากขอบบน

เอกสารประกอบการสอนคณิตศาสตร์ เรอ่ื ง สถิติ โดย คณุ ครูลายวน ไวทา

ห น ้ า | 23

1. จงหามธั ยฐานของขอ้ มลู ตอ่ ไปน้ี

เอกสารประกอบการสอนคณิตศาสตร์ เรื่อง สถติ ิ โดย คณุ ครูลายวน ไวทา

ห น ้ า | 24

คา่ กลางตวั สุดทา้ ยท่ีตอ้ งเรียน คอื “ฐานนิยม”

ฐานนิยม (Mode) คอื ค่าทีข่ อ้ มลู ส่วนใหญ่นิยมเป็น

เราสามารถหาฐานนิยมโดยหาขอ้ มูลท่ี “ซ้ามากสุด”
➢ ถา้ มีขอ้ มูลท่ีซ้ามากสุดเท่ากนั สองตวั กใ็ หต้ อบเป็นฐานนิยมไปท้งั สองตวั
➢ ถา้ มีขอ้ มูลท่ีซ้าามากสุดเทา่ กนั เกินสองตวั นิยมตอบว่า “ไมม่ ีฐานนิยม”
➢ ถา้ ขอ้ มูลไม่ซ้าากนั เลย ตอบวา่ “ไมม่ ีฐานนิยม”

1. จงหาฐานนิยมของขอ้ มลู ตอ่ ไปน้ี

เอกสารประกอบการสอนคณิตศาสตร์ เรือ่ ง สถติ ิ โดย คณุ ครูลายวน ไวทา

ห น ้ า | 25

6. ขอ้ มูลชุดหน่ึงประกอบดว้ ย 4, 9, 2, 7, 6, 5, 4, 6, 3, 4 ขอ้ ใดต่อไปน้ีถกู ตอ้ ง [O-NET 52/27]
1. คา่ เฉลี่ยเลขคณิต < ฐานนิยม < มธั ยฐาน
2. ฐานนิยม < มธั ยฐาน < ค่าเฉล่ียเลขคณิต
3. ฐานนิยม < ค่าเฉลี่ยเลขคณิต < มธั ยฐาน
4. มธั ยฐาน < ฐานนิยม < คา่ เฉล่ียเลขคณิต

7. ก าหนดแผนภาพ ตน้ - ใบ ของขอ้ มลู ชุดหน่ึง ดงั น้ี

สาหรับขอ้ มูลชุดน้ี ขอ้ ใดตอ่ ไปน้ีเป็นจริง [O-NET 51/36]
1. มธั ยฐาน < ฐานนิยม < คา่ เฉลี่ยเลขคณิต
2. มธั ยฐาน < ค่าเฉลี่ยเลขคณิต < ฐานนิยม
3. คา่ เฉล่ียเลขคณิต < ฐานนิยม < มธั ยฐาน
4. คา่ เฉลี่ยเลขคณิต < มธั ยฐาน < ฐานนิยม

8. ถา้ น้าหนกั (คดิ เป็นกิโลกรัม) ของนกั เรียน 2 กลุม่ กลุ่มละ 6 คน เขยี นเป็นแผนภาพ ตน้ - ใบ ไดด้ งั น้ี

ขอ้ สรุปในขอ้ ใดตอ่ ไปน้ีถูกตอ้ ง [O-NET 49/1-30]
1. น้าหนกั เฉล่ียของนกั เรียนกลมุ่ ที่ 2 มากกว่าน้าหนกั เฉล่ียของนกั เรียนกลุม่ ที่ 1
2. ฐานนิยมของน้าหนกั ของนกั เรียนกลมุ่ ท่ี 2 มากว่าฐานนิยมของน้าหนกั ของนกั เรียนกลุ่มท่ี 1
3. มธั ยฐานของน้าหนกั ของนกั เรียนกลมุ่ ท่ี 2 มากกวา่ มธั ยฐานของน้าหนกั ของนกั เรียนกล่มุ ที่ 1
4. มธั ยฐานของน้าหนกั ของนกั เรียนท้งั หมด มากกวา่ มธั ยฐานของน้าหนกั ของนกั เรียนกลมุ่ ที่ 1
9. จากแผนภาพ ตน้ -ใบ ของขอ้ มลู แสดงน ้้าหนกั (กิโลกรัม) ของนกั เรียนกลมุ่ หน่ึงเป็นดงั น้ี

เมื่อสุ่มเลือกนกั เรียนมา 1 คน จากกล่มุ น้ี ความน่าจะเป็นทีจ่ ะไดน้ กั เรียนที่มีน้าหนกั นอ้ ยกวา่ ฐานนิยมของกลมุ่ มี
ค่าเท่ากบั เทา่ ใด [O-NET 50/36]

เอกสารประกอบการสอนคณิตศาสตร์ เรือ่ ง สถิติ โดย คณุ ครูลายวน ไวทา

ห น ้ า | 26

ในกรณีท่ขี อ้ มลู มาในรูปตารางแจกแจงความถี่ท่มี ีอนั ตรภาคชนั้ เป็นชว่ ง กจ็ ะมวี ิธีหา Mode ท่ยี ากขนึ้ พอสมควร

ในกรณีน้ี ถา้ จะหา Mode จะมีข้นั ตอนดงั น้ี
1. หาอนั ตรภาคช้นั ท่ี Mode ตกอยู่ โดยดูจากช้นั ท่ีความถ่ีสูงสุด
2. คานวณ “ผลตา่ งความถี่” ระหว่างช้นั Mode กบั ช้นั ที่อยตู่ ิดกบั Mode ท้งั ช้นั บนและช้นั ล่าง
1 = ความถ่ีช้นั Mode – ความถี่ช้นั ต่ากว่า
2 = ความถ่ีช้นั Mode − ความถ่ีช้นั สูงกวา่
3. คานวณค่า Mode ดว้ ยสูตรไหนกไ็ ด้ จาก 2 สูตรต่อไปน้ี

เอกสารประกอบการสอนคณิตศาสตร์ เร่ือง สถติ ิ โดย คณุ ครูลายวน ไวทา

ห น ้ า | 27

ในกรณีท่อี นั ตรภาคชน้ั กวา้ งไมเ่ ทา่ กนั เราจะไม่สามารถใชค้ วามถี่มาวดั ความนิยมของชน้ั ไดอ้ กี ต่อไป (ไม่งนั้ ชนั้ ท่แี คบ
จะเสยี เปรยี บชนั้ ท่กี วา้ ง เพราะชนั้ ท่กี วา้ งจะมโี อกาสท่มี ขี อ้ มลู อยหู่ ลายตวั กวา่ )

1. จงหาฐานนิยมของขอ้ มูลต่อไปน้ี

เอกสารประกอบการสอนคณิตศาสตร์ เรอื่ ง สถิติ โดย คณุ ครูลายวน ไวทา

ห น ้ า | 28

หวั ขอ้ น้ี จะพูดถึง ความสัมพนั ธร์ ะหวา่ งคา่ กลางท้งั 3 ตวั
จากการสังเกตจากขอ้ มลู ที่มีอยจู่ ริง ๆ เราพบว่า คา่ เฉล่ีย มธั ยฐาน และ ฐานนิยม จะมีความสมั พนั ธก์ นั อยนู่ ิดๆ
ความสมั พนั ธด์ งั กลา่ ว คอื

ก่อนอน่ื ตอ้ งเขา้ ใจก่อนวา่ สูตรน้ี ไดจ้ ากการสงั เกตจากขอ้ มลู จริง
อาจจะไมไ่ ดผ้ ลถูกตอ้ ง 100% แตก่ ส็ ามารถใชป้ ระมาณของค่ากลาง เมื่อรู้ค่ากลางอีก 2 ชนิดได้

ขอ้ มลู ชุดหน่ึง มี = 20 และ Med = 18 จงหาค่าประมาณของฐานนิยม

นอกจากน้ี ลาดบั มากนอ้ ยของค่ากลางท้งั 3 ตวั ยงั สามารถบอก ลกั ษณะ “การเบ”้ ไดด้ ว้ ย
ตอนท่ีเรียนเรื่องโคง้ ความถ่ี เราแบ่งประเภทโคง้ ความถี่ได้ 3 แบบ ตามลกั ษณะการเบ้ ดงั น้ี

ซ่ึงในการเบแ้ ตล่ ะแบบ ค่ากลางท้งั 3 ตวั จะเรียงลาดบั มากนอ้ ยไม่เหมือนกนั ดงั น้ี

: ขอ้ มลู ท่ีสารวจจากธรรมชาติจานวนมาก ๆ จะมีลกั ษณะการแจกแจงเฉพาะตวั ท่ีเรียกวา่ “การแจกแจงปกติ”
ซ่ึงขอ้ มูลจากธรรมชาติน้ี จะมีลกั ษณะเป็นโคง้ สมมาตรเสมอ

เอกสารประกอบการสอนคณิตศาสตร์ เร่อื ง สถติ ิ โดย คณุ ครูลายวน ไวทา

ห น ้ า | 29

ขอ้ มลู ชุดหน่ึง มีมธั ยฐานเทา่ กบั 24 และฐานนิยมเทา่ กบั 18 จงหาค่าประมาณของ ค่าเฉลี่ย พร้อมท้งั ระบุวา่
ขอ้ มูลชุดน้ี มีลกั ษณะการเบแ้ บบใด

1. จงหาลกั ษณะการเบข้ องขอ้ มูลตอ่ ไปน้ี
2. จงหาค่าประมาณของคา่ กลางที่เหลือ พร้อมท้งั ระบลุ กั ษณะการเบ้

3. คะแนนสอบของนกั เรียนหอ้ งหน่ึง มีการแจกแจงแบบปกติ ถา้ หอ้ งน้ีมีนกั เรียน 40 คน และฐานนิยมเทา่ กบั 60
คะแนน แลว้ จงหาผลรวมคะแนนของนกั เรียนท้งั ห้อง

เอกสารประกอบการสอนคณิตศาสตร์ เร่ือง สถติ ิ โดย คณุ ครูลายวน ไวทา

ห น ้ า | 30

3.

เอกสารประกอบการสอนคณิตศาสตร์ เรื่อง สถติ ิ โดย คณุ ครูลายวน ไวทา

ห น ้ า | 31

ในหวั ขอ้ ก่อนหนา้ เราไดเ้ รียนเกี่ยวกบั มธั ยฐาน ซ่ึงเป็นวิธีวดั ตาแหน่งขอ้ มูลอยา่ งหน่ึง
มธั ยฐาน จะหมายถึง ขอ้ มูลที่มี “ตาแหน่งตรงกลาง” นนั่ เอง

ในเรื่องน้ี เราจะไดเ้ รียนขอ้ มูลในตาแหน่งอนื่ ๆ ซ่ึงเราวดั ไดโ้ ดยใช้ ควอไทล์ เดไซล์ และ เปอร์เซ็นไทล์
ควอไทล์

ถา้ เราแบ่งขอ้ มูลออกเป็น 4 ส่วนเทา่ ๆ กนั จะมจี ุดแบง่ อยู่ 3 จดุ เราจะเรียกขอ้ มลู ตรงจุดแบ่งท้งั 3 จุด ว่า Q1 Q2 และ Q3
ตามลาดบั ดงั น้ี

: จะเห็นวา่ Q2 = Med เสมอ

ถา้ เราแบ่งขอ้ มลู ออกเป็น 10 ส่วนเท่า ๆ กนั จะมจี ุดแบง่ อยู่ 9 จดุ
เราจะเรียกขอ้ มูลตรงจุดแบ่งท้งั 9 จุด ว่า D1 D2 D3 ... D9 ตามลาดบั ดงั น้ี
: จะเห็นวา่ D5 = Q2 = Med เสมอ

เอกสารประกอบการสอนคณิตศาสตร์ เร่อื ง สถติ ิ โดย คณุ ครูลายวน ไวทา

ห น ้ า | 32

ถา้ เราแบ่งขอ้ มูลออกเป็น 100 ส่วนเทา่ ๆ กนั จะมีจดุ แบง่ อยู่ 99 จดุ
เราจะเรียกขอ้ มลู ตรงจุดแบง่ ท้งั 99 จุด วา่ P1 P2 P3 ... P99 ตามลาดบั

:

ในการหาคา่ ของ ควอไทล์ เดไซล์ และ เปอร์เซ็นไทล์ จะมีข้นั ตอน คลา้ ยๆตอนที่เราหา Med ดงั น้ี
1. หา “ตาแหน่ง”

2. เอาตาแหน่งที่ได้ ไปหา “คา่ ”
โดยตอ้ งเรียงขอ้ มลู จากนอ้ ยไปมาก นบั จนถึงตาแหน่งที่ตอ้ งการ แลว้ ตอบคา่ ขอ้ มลู ณ ตาแหน่งน้นั
ถา้ ตาแหน่งไม่เป็นจานวนเตม็ ให้ประมาณเอาจากสองตวั ท่ีคร่อมตาแหน่งน้นั อยู่
เช่น ถา้ ตอ้ งการหาคา่ ขอ้ มลู ตวั ท่ี 5.62 จะหาไดด้ งั น้ี

เอกสารประกอบการสอนคณิตศาสตร์ เรื่อง สถิติ โดย คณุ ครูลายวน ไวทา

ห น ้ า | 33

จงหา Q3 , D2 และ P83 ของขอ้ มูล 15 , 18 , 18 , 19 , 20 , 24 , 24

จากขอ้ มูลคะแนนสอบตอ่ ไปน้ี

จงหาว่า นกั เรียนท่ีไดค้ ะแนนมากที่สุดในกล่มุ 10% ต่าสุด ไดค้ ะแนนนอ้ ยกวา่ นกั เรียนท่ีไดค้ ะแนนนอ้ ยที่สุดใน
กลุ่ม 10% สูงสุด อยกู่ ่ีคะแนน

เอกสารประกอบการสอนคณิตศาสตร์ เร่ือง สถิติ โดย คณุ ครูลายวน ไวทา

ห น ้ า | 34

1. จงหาค่าในแตล่ ะขอ้ ตอ่ ไปน้ี เม่ือก าหนดขอ้ มูลให้ดงั น้ี

2. ขอ้ มลู ชุดหน่ึงมี 10 จานวนประกอบดว้ ยจานวนต่อไปน้ี
ควอไทลท์ ่ีสามของขอ้ มลู ชุดน้ีมีคา่ เท่ากบั เท่าใด [O-NET 49/2-5]

3. คะแนนสอบวชิ าคณิตศาสตร์ของนกั เรียนห้องหน่ึงแสดงดว้ ยแผนภาพตน้ – ใบไดด้ งั น้ี

เปอร์เซ็นตไ์ ทลท์ ี่ 50 ของคะแนนสอบน้ีเท่ากบั คะแนนเท่าใด [O-NET 54/40]

เอกสารประกอบการสอนคณิตศาสตร์ เรือ่ ง สถติ ิ โดย คณุ ครูลายวน ไวทา

ห น ้ า | 35

4. จากแผนภาพตน้ –ใบของขอ้ มลู ชุดหน่ึงเป็นดงั น้ี

เปอร์เซ็นไทลท์ ี่ 86 ของขอ้ มลู ชุดน้ีเทา่ กบั เท่าใด [O-NET 58/40]

5. พจิ ารณาขอ้ มลู ต่อไปน้ี

คา่ ของ P80 ใกลเ้ คียงกบั ขอ้ ใดต่อไปน้ีมากท่ีสุด [O-NET 52/31] 4. 16.0
1. 15.1 2. 15.4 3. 15.7

6. บริษทั ขนส่งพสั ดุแห่งหน่ึงไดบ้ นั ทึกระยะทาง ( หน่วย : กิโลเมตร) ในการส่งของในแตล่ ะวนั เป็นเวลา 30 วนั
เมื่อเรียงล าดบั ขอ้ มลู จากนอ้ ยไปมาก ดงั น้ี

แลว้ เปอร์เซนไทลท์ ่ี 33 ของขอ้ มลู ชุดน้ี เท่ากบั เทา่ ใด [O-NET 59/28]

7. ขอ้ มูลชุดหน่ึงเรียงจากนอ้ ยไปมากดงั น้ี 5 10 12 20 x 26 30 42 47 y
ถา้ ขอ้ มลู ชุดน้ีมีพิสยั เท่ากบั 45 และคา่ เฉล่ียเลขคณิตเทา่ กบั 26.4 แลว้ ควอไทลท์ ่ีสองของขอ้ มลู ชุดน้ีเท่ากบั เทา่ ใด
[O-NET 57/32]

8. คะแนนของผเู้ ขา้ สอบ 15 คน เป็นดงั น้ี
45, 54, 59, 60, 62, 64, 65, 68, 70, 72, 73, 75, 76, 80, 81

ถา้ เกณฑใ์ นการสอบผา่ น คือ ตอ้ งไดค้ ะแนนไมต่ ่ากว่าเปอร์เซ็นไทลท์ ี่ 60 แลว้
ขอ้ ใดตอ่ ไปน้ีเป็นคะแนนต่าสุดของผทู้ ่ีสอบผา่ น [O-NET 51/18]

1. 68 คะแนน 2. 70 คะแนน 3. 72 คะแนน 4. 73 คะแนน

เอกสารประกอบการสอนคณิตศาสตร์ เร่ือง สถิติ โดย คณุ ครูลายวน ไวทา

ห น ้ า | 36

9. ขอ้ มลู ชุดหน่ึงมี 5 จานวน ถา้ ควอไทลท์ ่ีหน่ึง ควอไทลท์ ี่สอง และควอไทลท์ ี่สามเทา่ กบั 18, 25, และ 28 ตามลาดบั
แลว้ ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของขอ้ มลู ชดุ น้ีเท่ากบั เท่าใด [O-NET 50/38]

10. นกั เรียนกลมุ่ หน่ึงจานวน 80 คน ซ่ึงมี ลาเจียก ลาดวน และลาพู รวมอยดู่ ว้ ย ปรากฏผลการสอบดงั น้ี
ลาดวนไดค้ ะแนนตรงกบั ควอไทลท์ ่ีสาม
ลาพไู ดค้ ะแนนตรงกบั เปอร์เซ็นไทลท์ ี่ 50
ลาเจียกไดค้ ะแนนเป็นล าดบั ท่ี 30 เมื่อเรียงคะแนนจากมากไปหานอ้ ย

ขอ้ ใดตอ่ ไปน้ีเป็นการเรียงรายช่ือของผทู้ ่ีไดค้ ะแนนนอ้ ยไปหาผทู้ ่ีไดค้ ะแนนมาก [O-NET 51/19]
1. ลาพู ลาเจียก ลาดวน
2. ลาพู ลาดวน ลาเจียก
3. ลาเจียก ลาพู ลาดวน
4. ลาเจียก ลาดวน ลาพู

11. จากการตรวจสอบลาดบั ท่ขี องคะแนนสอบของนาย ก และนาย ข ใน วิชาคณิตศาสตรท์ ่มี ีผเู้ ขา้ สอบ 400 คน ปรากฏ ว่า
นาย ก สอบไดค้ ะแนนอยใู่ นตาแหน่งควอไทลท์ ่ี 3 และนาย ข สอบไดค้ ะแนนอย่ใู นตาแหนง่ เปอรเ์ ซน็ ไทลท์ ่ี 60 จานวนนกั เรยี น
ท่สี อบไดค้ ะแนนระหว่างคะแนนของนาย ก และนาย ข มีประมาณก่ีคน [O-NET 53/33]

เอกสารประกอบการสอนคณิตศาสตร์ เร่อื ง สถิติ โดย คณุ ครูลายวน ไวทา

ห น ้ า | 37

ในกรณีท่ขี อ้ มลู มาในรูปตารางท่มี ีอนั ตรภาคชนั้ เป็นชว่ ง เราจะค านวณ ควอไทล์ เดไซล์ เปอรเ์ ซ็นไทล์ ยากขนึ้ เยอะเลย

ในกรณีนี้ ถา้ จะหา ควอไทล์ เดไซล์ เปอรเ์ ซน็ ไทล์ จะมีขน้ั ตอนคลา้ ยๆตอนหา Med ดงั นี้
1. สรา้ งชอ่ ง “ความถี่สะสม” เพ่อื ความสะดวกในการหาคา่ ขอ้ มลู ณ ตาแหนง่ ตา่ ง ๆ
2. หา “ตาแหนง่ ” ดว้ ยสตู รใหม่

สตู รนี้ ใชก้ บั กรณี อนั ตรภาคชน้ั เป็นช่วงเท่านน้ั ถา้ มาเป็นตวั ๆ ใหใ้ ช้ + 1 เหมือนเก่า
ใชช้ ่องความถี่สะสม หาว่าตาแหนง่ ท่ตี อ้ งการ อยชู่ น้ั ไหน แลว้ ใชส้ ตู รไหนกไ็ ด้ จาก 2 สตู รตอ่ ไปนี้

เอกสารประกอบการสอนคณิตศาสตร์ เร่ือง สถติ ิ โดย คณุ ครูลายวน ไวทา

ห น ้ า | 38

จงหา Q2 D9 และ P6.5 ของขอ้ มูลตอ่ ไปน้ี

จากขอ้ มลู คะแนนสอบต่อไปนี้ จงหาวา่ นกั เรยี นท่ไี ดค้ ะแนนมากท่สี ดุ ในกล่มุ 10% ตา่ สดุ ไดค้ ะแนนนอ้ ยกว่า
นกั เรียนท่ไี ดค้ ะแนนนอ้ ยท่สี ดุ ในกล่มุ 10% สงู สดุ อยกู่ ี่คะแนน

เอกสารประกอบการสอนคณิตศาสตร์ เรื่อง สถิติ โดย คณุ ครูลายวน ไวทา

ห น ้ า | 39

1. จงหาค่าในแตล่ ะขอ้ ต่อไปน้ี เม่ือกาหนดขอ้ มูลใหด้ งั น้ี

2. กาหนดขอ้ มูลใหด้ งั ตาราง จงหาว่าคา่ ขอ้ มลู ตอ่ ไปน้ี เป็นเปอร์เซน็ ไทลท์ เี่ ทา่ ไร

เอกสารประกอบการสอนคณิตศาสตร์ เรอ่ื ง สถิติ โดย คณุ ครูลายวน ไวทา

ห น ้ า | 40

อีกหลายๆหวั ขอ้ ตอ่ จากนี้ จะสนใจวา่ ขอ้ มลู ในกล่มุ มีความแตกต่างกนั มากนอ้ ยขนาดไหน
• ถา้ ขอ้ มลู ในกล่มุ มคี วามแตกตา่ งกนั มาก → ขอ้ มลู กระจายมาก
• ถา้ ขอ้ มลู ในกล่มุ มคี วามแตกต่างกนั นอ้ ย → ขอ้ มลู กระจายนอ้ ย

วธิ ีวดั การกระจายของขอ้ มลู จะมหี ลายวธิ ี ไดแ้ ก่
1. พสิ ยั (Range)
2. สว่ นเบย่ี งเบนควอไทล์ (Quatile Deviation: Q.D.)
3. สว่ นเบย่ี งเบนเฉลีย่ (Mean Deviation: M.D.)
4. ส่วนเบยี่ งเบนมาตรฐาน (Standard Deviation: S.D.)

พิสยั (Range) เป็นวธิ ีท่วี ดั การกระจายท่งี า่ ยท่สี ดุ
ซ่งึ หาไดจ้ ากสตู ร

จงหาพสิ ยั ของคะแนนสอบหอ้ ง 5/1 และ หอ้ ง 5/2 ตอ่ ไปนี้

วิธีทา หอ้ ง 5/1: คะแนนมากสดุ = 95 คะแนนสอบนอ้ ยสดุ = 5 ดงั นน้ั พสิ ยั = 95 − 5 = 90
หอ้ ง 5/2: คะแนนมากสดุ = 82 คะแนนสอบนอ้ ยสดุ = 71 ดงั นนั้ พสิ ยั = 82 − 71 = 11 #

1. จงหาพสิ ยั ของขอ้ มลู ต่อไปนี้

2. คะแนนสอบของนกั เรยี น 3 คน มีพิสยั เทา่ กบั 8 คะแนน ถา้ มธั ยฐานคอื 12 คะแนน และ คา่ เฉลี่ยเลขคณิตคือ 14 คะแนน
แลว้ จงหาคะแนนของนกั เรยี นทง้ั 3 คนนี้

เอกสารประกอบการสอนคณิตศาสตร์ เรื่อง สถติ ิ โดย คณุ ครูลายวน ไวทา

ห น ้ า | 41

3. ขอ้ มลู ชดุ หน่ึงเรยี งจากนอ้ ยไปมากดงั นี้ 11 15 18 25 36 41 47 53 ถา้ ขอ้ มลู ชดุ นมี้ มี ธั ยฐาน
เท่ากบั 28 และคา่ เฉลยี่ เลขคณิตเท่ากบั 28.5 แลว้ พสิ ยั ของขอ้ มลู ชดุ นเี้ ทา่ กบั เทา่ ใด [O-NET 58/39]

4. ขอ้ มลู ชดุ หนง่ึ มี 8 คา่ เรยี งจากนอ้ ยไปมาก ดงั นี้ 74 78 80 80 90 90 ถา้ ขอ้ มลู ชดุ นมี้ ีพิสยั เท่ากบั
18 และมธั ยฐานเทา่ กบั 85 แลว้ คา่ เฉลย่ี เลขคณิต เทา่ กบั เท่าใด [O-NET 59/38]

5.ความสงู ในหน่วยเซนตเิ มตรของนกั เรยี นกลมุ่ หน่ึงซง่ึ มี 10 คน เป็นดงั นี้

155, 157, 158, 158, 160, 161, 161, 163, 165, 166

ถา้ มีนกั เรยี นเพมิ่ ขึน้ อีกหนึ่งคน ซ่งึ มคี วามสงู 158 เซนติเมตร แลว้ คา่ สถติ ใิ ดต่อไปนไี้ ม่เปลย่ี นแปลง [O-NET 52/28]

1. คา่ เฉลีย่ เลขคณิต 2. มธั ยฐาน 3. ฐานนิยม 4. พิสยั

6. ครอบครวั หนง่ึ มีบตุ ร 4 คน บตุ ร 2 คนมนี า้ หนกั เท่ากนั และมีนา้ หนกั นอ้ ยกวา่ บตุ รอกี 2 คน ถา้ นา้ หนกั ของบตุ รทงั้ 4 คนมี
คา่ ฐานนยิ ม มธั ยฐาน และพสิ ยั เทา่ กบั 45, 47.5 และ 7 กิโลกรมั ตามลาดบั แลว้ คา่ เฉล่ยี เลขคณิตของนา้ หนกั ของบตุ ร
ทง้ั 4 คน มคี า่ เท่ากบั กี่กโิ ลกรมั [O-NET 49/1-28]

เอกสารประกอบการสอนคณิตศาสตร์ เร่อื ง สถติ ิ โดย คณุ ครูลายวน ไวทา

ห น ้ า | 42

ส่วนเบี่ยงเบนควอรไ์ ทล์ (Quartlle deviation )
ส่วนเบี่ยงเบนควอรไ์ ทลเ์ ขยี นแทนดว้ ยสญั ลกั ษณ์ Q.D.
โดยสามารถหาไดจ้ ากสตู ร

จากขอ้ มลู ท่กี าหนดให้ 2 3 3 5 5 5 8 10 12 จงหาสว่ นเบ่ียงเบนควอรไ์ ทล์

ขอ้ มลู ตอ่ ไปนเี้ ป็นคะแนนสอบของนกั เรียนจานวน 120 คน จงหาส่วนเบย่ี งเบนควอรไ์ ทล์

เอกสารประกอบการสอนคณิตศาสตร์ เร่อื ง สถิติ โดย คณุ ครูลายวน ไวทา

ห น ้ า | 43

ส่วนเบ่ียงเบนเฉลี่ย ( Mean devlation ) ส่วนเบ่ียงเบนเฉลี่ย เขยี นแทนดว้ ยสญั ลกั ษณ์ M.D.
เราแยกวธิ ีการหาได้ 2 กรณี ดงั น้ี

กรณีท่ีข้อมูลท่ีไม่ได้แจกแจงความถี่และแจกแจงความถ่ีแต่ไม่เป็ นอนั ตรภาคช้ัน
ให้ x1 , x2 , x3 , x4 , … ,xN เป็ นขอ้ มูลซ่ึงมี x เป็นค่าเฉล่ียเลขคณิต จะได้

จงหาส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ย จากขอ้ มลู ต่อไปน้ี
1. 16 8 12 9 11
2. 25 18 32 40 35 29 27 36 29 34

เอกสารประกอบการสอนคณิตศาสตร์ เรือ่ ง สถิติ โดย คณุ ครูลายวน ไวทา

ห น ้ า | 44

จงหาส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ยของความสูง (นิ้ว) ของเดก็ 100 คน ซ่ึงมีขอ้ มลู ดงั น้ี

ความสงู : 60 61 62 63 64 65 66 67 68
จานวนเดก็ : 2 0 15 29 25 12 10 4 3

กรณสี ่วนเบีย่ งเบนเฉล่ยี ของข้อมลู ทแี่ จกแจงความถ่เี ป็ นอันตรภาคช้ัน
ตารางต่อไปน้ีเป็นตารางแสดงจานวนเงินที่ลูกคา้ นามาฝากในวนั หน่ึง จงหาส่วนเบ่ียงเบนเฉล่ีย

เอกสารประกอบการสอนคณิตศาสตร์ เรอ่ื ง สถติ ิ โดย คณุ ครูลายวน ไวทา

ห น ้ า | 45

ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน (Standard Deviation: S.D.) หรือเรียกส้นั ๆวา่
สูตรสาหรับหา จะมี 2 สูตร คือ

เอกสารประกอบการสอนคณิตศาสตร์ เรื่อง สถติ ิ โดย คณุ ครูลายวน ไวทา

ห น ้ า | 46

เอกสารประกอบการสอนคณิตศาสตร์ เรื่อง สถิติ โดย คณุ ครูลายวน ไวทา

ห น ้ า | 47

นกั เรียนหอ้ งหนงึ่ เป็นชาย 16 คน เป็นหญิง 20 คน ถา้ กลมุ่ นกั เรียนชายมีคะแนนเฉลี่ย 22 คะแนน มีส่วน เบ่ยี งเบน

มาตรฐาน 2 คะแนน และกล่มุ นกั เรียนหญิงมีคะแนนเฉลยี่ 22 คะแนน มีส่วนเบยี่ งเบนมาตรฐาน 3 คะแนน จงหาสว่ น
เบี่ยงเบนมาตรฐานของนกั เรียนหอ้ งนี้

นกั เรยี นหอ้ งหนง่ึ เป็นชาย 16 คน เป็นหญิง 20 คน ถา้ กล่มุ นกั เรียนชายมคี ะแนนเฉลยี่ 15 คะแนน มสี ว่ น เบย่ี งเบน

มาตรฐาน 2 คะแนน และกล่มุ นกั เรยี นหญิงมีคะแนนเฉล่ีย 24 คะแนน มสี ่วนเบยี่ งเบนมาตรฐาน 3 คะแนน จงหาส่วน
เบย่ี งเบนมาตรฐานของนกั เรียนหอ้ งนี้ วิธีท า เน่อื งจากกล่มุ นกั เรยี นชายและหญิง มีคา่ เฉลีย่ ไม่เทา่ กนั (15 และ 24
คะแนน)

เอกสารประกอบการสอนคณิตศาสตร์ เรอ่ื ง สถิติ โดย คณุ ครูลายวน ไวทา

ห น ้ า | 48

1. จงหาส่วนเบ่ยี งเบนมาตรฐาน และ ความแปรปรวน ของขอ้ มลู ตอ่ ไปนี้

เอกสารประกอบการสอนคณิตศาสตร์ เรอื่ ง สถติ ิ โดย คณุ ครูลายวน ไวทา

ห น ้ า | 49

เอกสารประกอบการสอนคณิตศาสตร์ เรื่อง สถิติ โดย คณุ ครูลายวน ไวทา

ห น ้ า | 50

4. โดย คณุ ครูลายวน ไวทา
เอกสารประกอบการสอนคณิตศาสตร์ เรื่อง สถติ ิ