แผนคณิคคอม

ภาระงานที่มอบหมาย
บทที่ 7 เร่อื ง เรื่อง วงจรตรรก (Logic Circuits)
………………………………………………………………………………………………………………..
คร้ังท่ี 1 การเขียนนิพจน์ , สัญลักษณ์แทนวงจร และ รูปภาพของวงจรตรรก
วธิ ีปฏิบัติ
1. ผู้เรียนทำความเข้าใจกบั บทเรียน
2. ผู้เรยี นออกไปเขยี นสญั ลักษณ์ ในการเขียนนิพจนว์ งจรตรรก พร้อมทง้ั ตวั อยา่ งการเขยี นนิพจน์
ของวงจรที่เขียน หมุนเวียนจนกว่าจะครบทกุ คน เพื่อใหน้ ักเรยี นมีประสบการณ์ร่วมในการปฏบิ ตั ิ
กจิ กรรมการเรียนรู้
3. ปฏบิ ตั กิ ารเขียนรปู ภาพสญั ลกั ษณแ์ ทนวงจรต่าง ๆ บนกระดาน พร้อมทั้งบอกความหมายและ
นิยามของแต่ละสญั ลกั ษณว์ งจร
4. นักเรียนแก้ไขปรบั ปรุงข้อบกพรอ่ งของชิน้ งานให้ถูกต้อง โดยการสรุปส่ิงท่ผี ู้เรยี นมีส่วนร่วมใน
กจิ กรรมแล้วนำเข้าแฟ้มสะสมผลงาน

ภาระงานทม่ี อบหมาย
1. เขียนสัญลักษณ์ในการเขียนนิพจน์วงจรตรรก ออร์เกท (OR gates) , แอนด์เกท (AND gates) ,
อินเวอร์เตอร์ (Inverters) , แนนด์เกท (NAND gates) , นอร์เกท (NOR gates) , เอกคลูซีพออร์
(Exclusive OR) หรือ XOR , อนิ เวอรส์ ของ (Exclusive Or ) หรอื XNOR
2. เขยี นรูปภาพสญั ลกั ษณ์แทนวงจร ตา่ ง ๆ พร้อมทงั้ นิยามของความหมายในแตล่ ะสญั ลักษณ์ของวงจร

หน้าทีค่ รูผสู้ อน
1. กำหนดโจทย์ปัญหาเพื่อให้ผู้เรียน ตอบคำถามพร้อมให้คะแนนการมีส่วนร่วมของผู้เรียนที่ตอบ

คำถาม
2. สงั เกตพฤติกรรมในการมีประสบการณร์ ว่ มในกจิ กรรมการเรยี นรู้ และใหค้ ะแนน
3. กำหนดเวลาในการปฏิบัติกิจกรรมของผู้เรียนแต่ละกิจกรรมเพ่ือให้กิจกรรมดำเนินการเป็นไปตามความ

เหมาะสมและผู้สอนสามารถปรับเปล่ียนกิจกรรมได้ตามความเหมาะสมกับจำนวนผู้เรียน ถ้าผู้เรียนมีจำนวนมาก ก็
สามารถจัดกลุ่มผูเ้ รยี นในการปฏบิ ตั ิกิจกรรมท่ีมอบหมาย

4. เฉลย ถ้านกั เรยี นคนใดตอบผิดให้นกั เรียนคนอ่ืน ช่วยแกไ้ ขใหถ้ ูกต้องและครูคอยเพิม่ เติมและแนะนำ
เทคนิคใหน้ ักเรยี นเข้าใจหลกั ในการหาคำตอบไดช้ ดั เจนยง่ิ ข้ึน

ภาระงานทีม่ อบหมาย
บทท่ี 7 วงจรตรรก (Logic Circuits)
วิชา คณติ ศาสตร์คอมพิวเตอร์ หลักสตู ร ปวช. ภาคเรียนท่ี ……./…………
…………………………………………………………….…………………………………………………
ครงั้ ท่ี 2 การเขียนวงจรจากนิพจนแ์ ละการเขยี นนพิ จนจ์ ากวงจร
วธิ ปี ฏบิ ัติ
5. นักเรยี นทำความเขา้ ใจกบั บทเรียน
6. นักเรียนออกไปแสดงการเขียนวงจรจากนิพจน์บูลีนที่ครูกำหนดให้ หรือ ผู้เรียนกำหนดขึ้นเอง บน
กระดานตามเลขที่ หมุนเวยี นกันจนครบทุกคนในห้องเรียน
7. นักเรียนออกไปแสดงการเขียนนิพจน์บูลีนจากวงจรท่ีครูกำหนดให้ หรือ ผู้เรียนกำหนดข้ึนเอง บน
กระดานตามเลขท่ี หมนุ เวียนกันจนครบทุกคนในหอ้ งเรยี น
8. นักเรียนช่วยกันแสดงความคิดเห็น เมื่อเพ่ือนท่ีออกไปเขียนแสดงการหาคำตองไม่ถูกต้องนักเรียน
ในห้องตอ้ งร่วมกนั แนะนำ และเสนอแนะวธิ ีการทถี่ กู ตอ้ ง
5. นักเรียนแก้ไขปรับปรุงข้อบกพร่องของชิ้นงานให้ถูกต้อง โดยการสรุปส่ิงที่ผู้เรียนมีส่วนร่วมใน
กจิ กรรม แลว้ นำเข้าแฟ้มสะสมผลงาน

ภาระงานทมี่ อบหมาย
1. ออกไปเขียนวงจรจากนิพจน์ท่ีครูผู้สอนกำหนดให้บนกระดาน และ นักเรียนร่วมกันกำหนดนิพจน์

เพ่ือเขียนวงจร
2. ออกไปเขยี นนิพจน์จากวงจรจากที่ครูผ้สู อนกำหนดให้บนกระดาน และ นักเรียนร่วมกันเขียนวงจรเพ่ือ

หานิพจน์ของวงจรทีเ่ ขียน
3. ให้ความหมายของ 0 และ 1 ในการแทนสญั ลกั ษณข์ องวงจรตรรก
4. หา Output ทกุ วงจร เมื่อแทนค่า Input ดว้ ย 0 และ 1

หนา้ ทค่ี รผู ู้สอน
5. สงั เกตพฤตกิ รรมของนกั เรียนในการมสี ว่ นร่วมและปฏิบัติภาระงานท่ีมอบหมาย และใหค้ ะแนน
6. กำหนดโจทย์ปัญหาของนพิ จน์ และวงจร เพือ่ ให้นักเรยี นปฏบิ ัตกิ ารเขยี นวงจร และนิพจน์
7. เรียกชื่อนกั เรียนโดยการสุม่ หรอื ตามเลขที่ หรอื ผู้เรยี น เสนอตวั เอง เพ่อื แสดงวธิ กี ารหาคำตอบ

จากโจทย์ทีก่ ำหนด ตามความเหมาะสมกับสถานการณ์
8. เฉลย ถ้านกั เรียนคนใดตอบผิดใหน้ กั เรยี นคนอ่ืน ช่วยแก้ไขใหถ้ กู ต้องและครคู อยเพิม่ เติมและ

แนะนำเทคนิคให้นักเรียนเข้าใจหลักในการหาคำตอบได้ชดั เจนย่ิงข้ึน

p.q

p+q
pq
p+q

บนั ทกึ หลังสอน

1. ผลการเรียนรู้ของผ้เู รยี น
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
2. ผลการสอนของผ้สู อน
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
3. ปัญหา อปุ สรรค/ ขอ้ เสนอแนะ เพ่ือปรับปรงุ และพัฒนา
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………

ลงชอ่ื ……………………………ผสู้ อน (นายชาญ

ชยั ไชยคำ)

วันที่……..เดอื น………..พ.ศ. 25….

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

ขอ้ เสนอแนะของผตู้ รวจแผนการเรยี นรู้

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…

ลงช่ือ ………………………….ผตู้ รวจแผนการเรียนรู้
(…………………………………)
วนั ท่ี………เดอื น………….พ.ศ. 25….

แผนการสอน/การเรียนร้ภู าคทฤษฎี หน่วยท่ี 8

ช่อื วชิ า คณิตศาสตร์คอมพวิ เตอร์ สอนครง้ั ท่ี 16-17
ช่อื หน่วย เมตริกซ์( Matrices)
คาบรวม 4

ชอ่ื เรอื่ ง เมตรกิ ซ(์ Matrices) จำนวนคาบ 4

1. สาระสำคญั
เมตริกซ์ จะมีลักษณะของการเขียนแสดงข้อมูลต่าง ๆ ในลักษณะของ แถว และ หลัก ซึ่งข้อมูลในแต่

ละแถวและหลัก เรียกว่าสมาชิกของเมตริกซ์ และตำแหน่งของสมาชิกแต่ละตัวของเมตรกิ ซ์ มีความสำคัญมาก
สลับท่ีกันไม่ได้ ถ้าหากมีการสลับที่กันของสมาชิกคู่ใดคู่หน่ึง หรือตำแหน่งใดตำแหน่งหน่ึง จะได้เมตริกซ์ที่ต่าง
ไปจากเดิม

การเขียนเมตริกซ์มีการเขียนไม่เหมือนกันแล้วแต่ชนิดของเมตริกซ์ ในเมตริกซ์จะมีการคำนวณ
เมตริกซ์ เช่น การบวก การลบ การคูณ การหาอินเวอร์ส การหา Determinant และสามารถนำเมตริกซ์ไป
ใชป้ ระโยชน์ในดา้ นตา่ ง ๆ เชน่ การแกส้ มการโดยใชเ้ มตริกซ์

2. จุดประสงคก์ ารเรยี นรู้
จุดประสงคท์ ่ัวไป
1. มคี วามรูค้ วามเขา้ ใจในการเขียนเมตริกซช์ นดิ ตา่ ง ๆ
2. ทราบชนิดของเมตรกิ ซ์
3. บอกสมาชิก ของเมตรกิ ซใ์ นแต่ละแถวและคอลมั น์ได้
4. มีความเขา้ ใจในการบวก ลบ คณู เมตรกิ ซ์
5. เเหน็ ประโยชนแ์ ละความสำคัญ ในการนำหลกั การของเมตรกิ ซไ์ ปใชใ้ นระบบคอมพิวเตอร์

จุดประสงคเ์ ชงิ พฤติกรรม
1. สามารถวิเคราะหแ์ ละบอกไดว้ า่ เปน็ เมตรกิ ซ์ชนดิ ใด
2. สามารถเขียน เมตริกซช์ นดิ ต่าง ๆ ได้
3. ปฏิบตั กิ ารบวก ลบ คูณเมตริกซ์ได้
4. บอกคุณสมบัติของตัวกำหนดได้

5. ประยกุ ตใ์ ชง้ านเมตริกซ์ในระบบคอมพวิ เตอร์ได้
3. เนื้อหาสาระ

1. ความหมายของเมตรกิ ซ์
2. แถวและคอลัมน์
3. ชนิดของเมตริกซ์
4. เมตริกซ์ยอ่ ย
5. การเทา่ กนั ของเมตรกิ ซ์
6. การบวกเมตริกซ์
7. การลบเมตริกซ์
8. การคณู เมตริกซ์

- การคูณเมตรกิ ซ์ด้วยสเกล่าร์
- การคูณเมตริกซ์ดว้ ยเมตรกิ ซ์
9. การสลับสบั เปล่ียนของเมตรกิ ซ์
10. ตวั กำหนด (Determinant)
11. เมตริกซเ์ อกลักษณ์ (Identity Matrix)

เมทรกิ ซ์ คือกลมุ่ ของจำนวนหรือสมาชิกของรงิ ใดๆ เขยี นเรยี งกันเปน็ รปู สีเ่ หลยี่ มผืนผา้ หรือจัตรุ สั กล่าวคอื เรยี งเปน็ แถวใน
แนวนอน และเรียงเปน็ แถวในแนวตง้ั เรามกั เขยี นเมทรกิ ซเ์ ปน็ ตารางที่ไมม่ เี สน้ แบ่งและเขียนวงเลบ็ ครอ่ มตารางไว้ (ไมว่ ่าจะ
เป็นวงเลบ็ โค้งหรอื วงเลบ็ เหลยี่ ม) เชน่

เราเรียกแถวในแนวนอนของเมทรกิ ซ์ว่า แถว เรยี กแถวในแนวตั้งของเมทริกซว์ า่ หลัก และเรยี กจำนวนแตล่ ะจำนวน
เในเมทรกิ ซ์ว่า สมาชกิ ของเมทรกิ ซ์ การกล่าวถึงสมาชกิ ของเมทรกิ ซ์ จะตอ้ งระบตุ ำแหนง่ ให้ถูกต้อง เชน่ จากตัวอยา่ ง
ขา้ งบน

สมาชิกทอี่ ยู่ในแถวท่ี 2 หลกั ท่ี 3 คือเลข 4
สมาชกิ ทอ่ี ยู่ในแถวท่ี 2 หลกั ท่ี 2 คือเลข 1
สมาชกิ ที่อยู่ในแถวท่ี 3 หลกั ที่ 1 คอื เลข 5

เราเรียกเมทริกซ์ทมี่ ี แถว และ หลกั เรียกวา่ เมทริกซ์ เราเรยี กจำนวน
และ วา่ มิติ หรือ ขนาด ของเมทรกิ ซ์

เราใช้สญั ญลกั ษณ์ เพอ่ื หมายถึง เมทรกิ ซ์ ซ่ึงมี แถว และ
หลกั โดยที่ (หรือ ) หมายถึง สมาชิกท่ีอยู่ในตำแหน่ง แถว และ หลกั ของเมท
ริกซ์

การบวก

ดูบทความหลกั ที่ การบวกเมทริกซ์

ให้ และ เป็นเมทรกิ ซท์ ี่มีขนาดเทา่ กนั สองเมทรกิ ซ์ เราสามารถนยิ าม
ผลรวม หรือ ผลบวก
ว่าเป็นเมทรกิ ซข์ นาด ทคี่ ำนวณโดยการบวกสมาชิกทมี่ ตี ำแหนง่ ตรงกนั
กลา่ วคือ หาก
แลว้ ยกตวั อย่างเชน่

การบวกเมทรกิ ซ์อกี แบบหน่งึ ทีเ่ ปน็ ทีน่ ยิ มนอ้ ยกว่าคอื การบวกตรง

การคณู ดว้ ยสเกลาร์

กำหนดเมทริกซ์ และจำนวน เราสามารถนิยาม ผลคณู สเกลาร์ วา่ เป็นเมทรกิ ซ์

ขนาด ท่คี ำนวณโดยการนำ ไปคณู สมาชิกแตล่ ะตวั ของ กลา่ วคือ หาก

แลว้ ยกตัวอยา่ งเชน่

จะเหน็ ว่า ปฏิบตั กิ ารทัง้ สองข้างตน้ (การบวกและการคณู ด้วยสเกลาร)์ ชว่ ยให้เราสามารถมองเมท

ริกซ์ขนาด ว่าเปน็ เวกเตอร์ทมี่ ีมติ ิ ดว้ ยเหตนุ ี้ เซตของเมทริกซ์ท่ีมขี นาดเท่ากบั จึงเปน็

ปริภูมเิ วกเตอร์ชนดิ หนึ่ง

การคณู

ถา้ และ เป็นเมทรกิ ซส์ องเมทรกิ ซโ์ ดยทจ่ี ำนวนหลัก
ของ เทา่ กับจำนวนแถวของ แลว้ เราสามารถนยิ าม ผลคณู ว่าเป็นเมทริกซ์

โดยที่

กล่าวคือสมาชิกในแถว หลกั ของผลคณู คำนวณไดจ้ ากการนำสมาชิกของหลัก ของ และสมาชิกของคอลัมน์
ในตำแหนง่ "เดยี วกนั " มาคณู กนั แล้วนำผลคูณทง้ั ผลคณู น้นั มาบวกกนั

การคูณนีอ้ าจทำใหเ้ ขา้ ใจได้งา่ ยขนึ้ ถ้ามองเมทริกซ์เปน็ เวกเตอร์ของเวกเตอร์ โดยถา้ เราให้
เปน็ เวกเตอร์ที่มสี มาชกิ เป็นสมาชิกในแถว ของ และให้
เป็นเวกเตอรท์ ม่ี สี มาชกิ เป็นสมาชกิ ในหลัก ของ แล้ว เราจะไดว้ า่

เมอ่ื คือผลคูณจดุ ของ และ เชน่

ให้ และ

แล้ว

และ

การคณู เมทริกซม์ ีสมบตั ติ อ่ ไปนี้

• สมบตั ิการเปลี่ยนหมู่: สำหรบั เมทริกซ์ ขนาด , ขนาด

, และ ขนาด ใดๆ ("สมบตั ิการเปลีย่ นหมู"่ )

• สมบัตกิ ารแจกแจงทางขวา: สำหรับเมทรกิ ซ์ และ ขนาด
และ ขนาด ใดๆ

• สมบัติการแจกแจงทางซา้ ย: สำหรับเมทรกิ ซ์ และ ขนาด

และ ขนาด ใดๆ

คำเตือน: การคูณเมทรกิ ซ์นนั้ ไมเ่ หมือนกบั การคณู จำนวนโดยท่วั ไป เนื่องจากไม่มสี มบัตสิ ลับที่ กลา่ วคอื สำหรับเมทรกิ ซ์

ขนาด และ ขนาด ใดๆ

• ถา้ แลว้ ผลคูณ ไมม่ ีนยิ าม

• แม้ แต่ถ้า แลว้ เปน็ เมทริกซ์ขนาด ส่วน เปน็ เมทริกซข์ นาด
ผลคณู ทง้ั สองจึงมีค่าไม่เท่ากนั อยา่ งเหน็ ไดช้ ัด

• แม้ แต่สว่ นมากแล้ว มักจะมีค่าไม่เท่ากบั ยกตวั อยา่ งเช่น

เรากลา่ ววา่ เมทริกซ์ แอนตคิ อมมวิ ต์ (anticommute)

กบั เมทรกิ ซ์ ถ้า เมทรกิ ซท์ ่แี อนติ

คอมมวิ ตซ์ ่งึ กันและกันมคี วามสำคญั มากในการเปน็ ตัวแทน

ของพชี คณิตลีและพชี คณิตคลฟิ ฟอร์ด

ขอ้ สงั เกต i = แถว หรอื row และ j = แถวตั้ง หรอื
column

การสลบั เปลยี่ น[แก้]

ดูบทความหลักที่ เมทริกซส์ ลับเปล่ยี น

เมทรกิ ซส์ ลับเปลย่ี นคือเมทริกซ์ทไี่ ดจ้ ากการสลับ
สมาชิก จากแถวเป็นหลกั และจากหลักเปน็ แถว
ของเมทรกิ ซต์ น้ แบบ เมทรกิ ซ์สลับเปลยี่ นของของ
เมทริกซ์ A ขนาด m×n คอื AT ขนาด n×m (
หรอื เขยี นอยู่ในรปู แบบ Atr, หรอื tA, หรอื A' ) ซง่ึ
AT[ i, j ] = A[ j, i ] ยกตัวอยา่ งเชน่

เมทรกิ ซจ์ ตั รุ ัส

เมทรกิ ซ์จตั รุ ัส คือเมทรกิ ซท์ ี่มขี นาดแถวและหลกั เทา่ กัน โดยเขยี นอย่ใู นรูปเมทรกิ ซ์ขนาด n × n ยกเว้น n= 1

เมทริกซ์เอกลักษณ์ หรือ เมทรกิ ซห์ น่วย In ขนาด n คอื เมทรกิ ซ์ขนาด n × n ท่มี ตี ัวเลขบนเสน้ ทแยงมมุ เปน็ 1 ซ่งึ สมมติให้
เสน้ ทแยงมุมนัน้ ลากจากสมาชกิ บนซา้ ยไปยงั สมาชกิ ขวาล่าง (เฉียงลง) ส่วนสมาชกิ ที่เหลอื เป็น 0 ทงั้ หมด มคี ณุ สมบตั ิ MIn =
M และ InN = N สำหรบั ทกุ ๆเมทรกิ ซ์M ขนาด m × n และเมทรกิ ซ์ N ขนาด n × k เช่นเมอื่ n = 3:

เมทริกซท์ ม่ี ีลกั ษณะพิเศษ

• เมทริกซส์ มมาตร คือเมทรกิ ซ์จตั ุรัสทเ่ี มือ่ สลบั เปลย่ี น (transpose) แล้วจะได้ผลลพั ธเ์ ป็นเมทริกซ์

ตัวเอง น่ันก็คือ หรอื สำหรบั ทกุ ดัชนีที่ i และ j

• เมทริกซ์สมมาตรเสมือน คือเมทริกซ์จัตรุ สั ท่ีเมอื่ สลับเปล่ยี น (transpose) แลว้ จะไดผ้ ลลพั ธเ์ ป็นเมท

รกิ ซท์ ีส่ มาชิกทุกตัวมเี ครือ่ งหมายตรงขา้ มจากเดิม นั่นคือ หรอื สำหรับทกุ

ดัชนีท่ี i และ j

• เมทรกิ ซ์เอรม์ ีเชยี นคือเมทรกิ ซจ์ ตั ุรัสทม่ี สี มาชกิ เป็นจำนวนเชิงซ้อน และเมทรกิ ซ์สลับเปลี่ยนสงั ยุค

(conjugate transpose) ของเมทรกิ ซ์นน้ั เทา่ กับตัวเดิม นั่นหมายความวา่ สมาชกิ ในแถวท่ี i หลกั ท่ี j กบั

สมาชกิ ในแถวที่ j หลกั ท่ี i จะต้องเปน็ สงั ยคุ ซง่ึ กันและกนั ดังนี้ หรือเขียนแทนด้วยการสลับ

เปลยี่ นสงั ยคุ ของเมทริกซ์ จะได้ว่า

• เมทริกซโ์ ทพลทิ ซ์ คือเมทริกซ์จตั รุ ัสทม่ี ีสมาชกิ ในแนวเสน้ ทแยงมมุ หลกั เปน็ ค่าเดียวกัน และแนวขนาน
เส้นทแยงมมุ หลักเป็นคา่ เดยี วกันในแต่ละแนว น่ันคอื

4. กิจกรรมการเรยี นการสอน

กจิ กรรมครู กิจกรรมนกั เรียน

ขั้นเตรยี ม

1. ให้นักเรียนศกึ ษาบทเรยี น ประมาณ 5 นาที 1. นักเรียนศึกษาใบความรปู้ ระมาณ 10 นาที

2. ครตู อบขอ้ สงสยั ของนักเรยี น 2. นักเรยี น ซกั ถามขอ้ สงสัย

ขน้ั นำเขา้ ส่บู ทเรียน

1. ทดสอบผู้เรียนโดยการสุ่มถามประมาณ 10 นาที 1. ตอบคำถาม

2. ครูชมเชยนักเรียนที่ตอบคำถามและแสดงความ

คิดเห็นพร้อมกับให้นักเรียนในห้องมีส่วนร่วมในการ

แสดงความชื่นชมกับผู้ที่ตอบคำถาม ทั้งผู้ที่ตอบถูก

และผทู้ ีต่ อบไมถ่ กู

กจิ กรรมครู กิจกรรมนกั เรยี น

ขั้นดำเนนิ การสอน

1. ให้นักเรียนศึกษาใบความรู้ พร้อมอธิบายพร้อมกับ 1. นักเรียนศึกษาใบความรู้และหนังสือประจำ

แสดงตัวอยา่ งบนกระดานเป็นขัน้ ตอนอยา่ งละเอยี ด หน่วยการเรียน

2. ใหน้ ักเรียนฝึกปฏบิ ัติการหาคำตอบไปพร้อมๆ บน 2. มีส่วนร่วมในการตอบและแสดงวิธีการหา

กระดาน คำตอบ

3. ให้ผเู้ รยี นซักถามข้อสงสยั 3. นักเรียนฝึกเพ่ือให้เกิดความเข้าใจและทักษะ

4. กำหนดใหน้ ักเรยี นทบทวนบทเรียนและฝึกปฏิบัติใน ในการแสดงวธิ กี ารคำตอบ

การแสดงวธิ ีการหาคำตอบกับเนอื้ หาประจำหน่วย 4. ฟงั ครอู ธบิ ายสาระการเรียนรู้ พร้อมซักถามข้อ

การเรยี น สงสยั

5. แจกใบงานให้นักเรียนทำใบงานโดยออกไปแสดง 5. จดบนั ทึก

วิธีการหาคำตอบบนกระดานดำตามเลขท่หี มุนเวยี น 6. ทำใบงานและแบบทดสอบหลังเรียนท่ีได้รับ

กันจนครบทกุ คนในห้องเรียน มอบหมายให้เสรจ็ ทันภายในเวลาท่กี ำหนด

6. ใหน้ กั เรยี นร่วมกนั วเิ คราะหแ์ ละประเมนิ คำตอบจาก 7. ปรับปรุงแก้ไขใบงานและแบบทดสอบหลัง

ข้อ 4 ครคู อยให้คำแนะนำและอธิบาย หลกั การและ เรียนนำสง่ ครสู อนจนกว่าจะถกู ตอ้ งทุกขอ้

เทคนคิ ในการหาคำตอบไปดว้ ย 8. นั ก เรี ย น ร่ ว ม กั บ ค รู เฉ ล ย ใบ ง า น แ ล ะ

7 . กำหนดใหน้ ักเรยี นทำแบบทดสอบหลังเรียน แบบทดสอบหลงั เรียน

8 . ตรวจแบบทดสอบหลังเรียน 9. ร่วมกบั ครูสรุปสาระการเรยี นร้ปู ระจำหน่วย

9. ครูและผู้เรยี นรว่ มกันเฉลยใบงานและแบบทดสอบ 10.ผู้เรียนบอกวิธีที่นำความรู้จากบทเรียนไป

ขน้ั สรปุ ประยุกตใ์ ช้ให้เกดิ ประโยชน์และประสทิ ธิภาพ

8. ครูให้นักเรยี นในห้องสรปุ สาระการเรียนรู้ประจำหน่วย สงู สดุ ตอ่ ไป

การเรียน

9. ครูกับนักเรียนร่วมกันสรุปบทเรียนและวิธีการนำไป

ประยุกต์ใช้

5. สื่อการสอนและแหล่งเรยี นรู้
5.1 ชดุ การสอน PowerPoint / PDF File
5.2 หนังสือเรียนเรียนวชิ าคณิตศาสตรค์ อมพิวเตอร์
5.3 ครผู ู้สอน, Internet, E-learning, Website , Visual Classroom
5.4 รายงานทเี่ กยี่ วข้องกบั สาระการเรียนรู้ประจำหน่วย
5.5 ชดุ การเรยี นรูด้ ว้ ยโปรแกรมสือ่ ประสม

6. การวดั ผลและการประเมินผล
6.1 ความสนใจในการเรยี นรู้ การคน้ คว้า การมสี ่วนร่วมในกิจกรรม
6.2 การซกั ถามและการตอบคำถาม
6.3 การทำงานเป็นทมี (ใหค้ วามสำคญั ในการทำงานเป็นทมี งาน , การมีสว่ นรว่ มรบั ผดิ ชอบกันและกนั
ของกลุม่ ที่ปฏิบตั ภิ าระงานรว่ มกันอย่างเป็นระบบ)
6.4 การสรุปเนื้อหาบทเรยี น องค์ความรู้ท่ไี ด้ในกจิ กรรมการเรียนการสอน และสามารถปฏบิ ัตภิ าระงาน
ที่ได้รบั มอบหมายแล้วเสรจ็ ทันเวลาที่กำหนด
6.5 บันทกึ ผลการเรยี นรู้และการเขยี นรายงานตนเอง (Self-Report)
6.6 แฟ้มสะสมผลงานในการปฏบิ ตั ิภาระงานที่มอบหมาย

7. ผลงาน / ชน้ิ งานของนักศกึ ษา
7.1 บนั ทึกผลการเรยี นรู้ การเขียนรายงานตนเอง
7.2 ผลงานการปฏบิ ัติตามใบงานทม่ี อบหมายประจำสาระการเรยี นรู้

8. กจิ กรรมเสนอแนะ /ภาระงานท่ีมอบหมาย
8.1 ศึกษาค้นคว้าเพ่ิมเติมเกี่ยวกับสาระการเรียนรู้จาก หนังสือ Internet , Website , บทเรียน
ออนไลน์ใน Visual Classroom ของสถานบันการศึกษาต่าง ๆ
8.2 บนั ทึกและสรปุ องค์ความรู้ทไี่ ดใ้ นการเรยี นเสนอครูผ้สู อนหลงั เสรจ็ สน้ิ การเรียนการสอน
ในแตล่ ะครงั้

9. กิจกรรมเสนอแนะ
1. ถ้าผเู้ รียนมกี ารเตรียมตัวในการเรียนทด่ี ี เช่น อา่ น และทำการศึกษาหนังสือเกย่ี วกับหนว่ ยการเรยี น

มากก่อน ถึงชั่วโมงเรียน ผู้เรียน จะสามารถเรียน และทำกิจกรรมต่าง ๆ ท่ีครูผู้สอนมอบหมาย ได้อย่างมี
ความสขุ และเกดิ ความชอบ และสนุกกับการเรยี นในชั้นเรยี น

2. ผู้เรยี นต้องมีความขยัน หม่ันฝกึ ฝนบทเรียนอยูเ่ สมอทั้งก่อนและหลังเรยี น
3. ผู้เรยี นต้องมคี วามกลา้ ทีจ่ ะถามเมอื่ สงสยั ทง้ั ในหอ้ งและนอกห้องเรยี นกับครผู สู้ อน

ภาระงานท่มี อบหมาย

บทที่ 8 เรื่อง เมตริกซ์ (Matrices)
วิชา คณิตศาสตรค์ อมพิวเตอร์ หลักสตู ร ปวช. ภาคเรียนท่ี ……./…………
…………………………………………………………………………………………………………
ครงั้ ท่ี 1 เร่อื ง ความรพู้ ืน้ ฐานของเมตรกิ ซ์ , การบวก การลบเมตรกิ ซ์
วิธีปฏบิ ตั ิ
1. ผ้เู รยี นทำความเข้าใจกับบทเรียน
2. ผเู้ รียนออกไปเขยี นเมติกซ์ ชนดิ ต่าง ๆ บนกระดานตามเลขทหี่ มุนเวยี นกันจนครับทุกคนใน
หอ้ งเรยี น เพ่ือให้นักเรียนเกิดประสบการณ์ร่วมในการกิจกรรมการเรยี นรู้
3. ฝึกปฏิบตั กิ ารหาเมตริกซ์ย่อย การบวก การลบเมตริกซ์แลว้ ออกไปแสดงการหาคำตอบ
4. นักเรียนช่วยกันแสดงความคิดเห็น ถ้าเพ่ือนท่ีออกไปเขยี นแสดงการหาคำตองไมถ่ ูกตอ้ งนักเรยี น
ในห้องตอ้ งร่วมกันแนะนำ และเสนอแนะวิธกี ารทถ่ี ูกตอ้ ง
5. นกั เรียนแกไ้ ขปรบั ปรุงข้อบกพรอ่ งของชนิ้ งานให้ถูกต้อง โดยการสรปุ ส่งิ ที่ผเู้ รยี นมีสว่ นร่วมใน
กิจกรรม แล้วนำเขา้ แฟ้มสะสมผลงาน

ภาระงานทีม่ อบหมาย
1. ยกตัวอยา่ งเมตรกิ ซ์ พร้อมทั้งเขียนและบอกชนิดของเมตริกซ์

2. เขยี นสมาชิกตามแถว และคอลัมนจ์ ากเมตริกซ์ท่ีกำหนดให้ทกุ ตัว
3. ใหบ้ อกหลกั การบวกระหวา่ งเมตริกซ์
4. แสดงการบวกเมตรกิ ซ์ จากเมตรกิ ซ์ท่ีครกู ำหนดให้

5. ให้บอกหลกั การลบเมตริกซ์
6. แสดงการลบเมตรกิ ซ์ จากเมตริกซ์ท่คี รูกำหนดให้

หน้าที่ครูผสู้ อน
1. กำหนดโจทย์ปัญหาเพื่อให้ผู้เรยี น ตอบคำถาม และแสดงการหาคำตอบ พร้อมให้คะแนนการมีส่วน

รว่ มของผเู้ รียน
2. สังเกตพฤติกรรมในการมีประสบการณร์ ่วมในกจิ กรรมการเรียนรู้ และให้คะแนน
3. กำหนดเวลาในการปฏิบัติกิจกรรมของผู้เรียนแต่ละกิจกรรมเพื่อให้กิจกรรมดำเนินการเป็นไปตามความ

เหมาะสมและผู้สอนสามารถปรับเปล่ียนกิจกรรมได้ตามความเหมาะสมกับจำนวนผู้เรียน ถ้าผู้เรียนมีจำนวนมาก ก็
สามารถจัดกล่มุ ผู้เรียนในการปฏบิ ตั กิ ิจกรรมที่มอบหมาย

5. เฉลย ถา้ นกั เรยี นคนใดตอบผิดใหน้ ักเรยี นคนอน่ื ชว่ ยแกไ้ ขใหถ้ ูกต้องและครูคอยเพมิ่ เติมและแนะนำ
เทคนิคใหน้ ักเรยี นเข้าใจหลักในการหาคำตอบไดช้ ัดเจนย่งิ ขึ้น

ภาระงานท่มี อบหมาย
บทท่ี 8 เรือ่ ง เมตริกซ์ (Matrices)
วิชา คณิตศาสตร์คอมพิวเตอร์ หลักสูตร ปวช. ภาคเรียนท่ี ……./…………
…………………………………………………………………………………………………………
ครง้ั ท่ี 2 เรือ่ ง การคูณเมตริกซ์ , การสลบั เปลยี่ น และ การหา Determinant
วิธปี ฏบิ ัติ
1. ผู้เรยี นทำความเข้าใจกับบทเรียน
2. ฝึกปฏิบัตกิ ารคณู เมตริกซด์ ้วยเมตรกิ ซ์
3. ฝกึ ปฏิบัติการคณู เมตริกซ์ด้วยสเกล่า
4. ศึกษาหลกั การทำทรานสโพสของเมตริกซ์
5. เขียนสรุปคุณสมบตั ขิ องตัวกำหนดลงในสมุด
6. เขยี นสรุปขั้นตอนการหาดเี ทอรม์ แิ นนท์ เป็นขอ้ ๆ ลงในสมุด
7. ฝึกปฏิบตั กิ ารดีเทอรม์ ิแนนท์ของเมตริกซ์ขนาดตา่ ง ๆ
8. ผกึ เขยี นและสังเกตุการเปน็ เอกลักษณข์ องเมตริกซข์ นาดต่าง ๆ
9. ออกไปแสดงวิธีการหาคำตอบบนกระดานตามที่ครกู ำหนด
10. นกั เรียนแก้ไขปรบั ปรุงข้อบกพร่องของชน้ิ งาน แล้วนำเข้าแฟม้ สะสมผลงาน

ภาระงานท่มี อบหมาย
1. บอกหลักและวธิ กี ารคณู เมตรกิ ซด์ ้วยเมตริกซ์ มาเป็นข้อ ๆ

2. บอกหลกั และวิธีการคูณเมตริกซ์ด้วยสเกล่า มาเปน็ ข้อ ๆ
3. แสดงวธิ ีการคูณเมตริกซด์ ้วยเมตริกซ์ จากโจทย์ทีค่ รูกำหนดให้
4. แสดงวธิ ีการคูณเมตริกซด์ ้วยสเกล่า จากโจทยท์ ่คี รูกำหนดให้
5. หาทรานสโพสจากเมตริกซท์ ่คี รกู ำหนดให้

6. จงบอกคณุ สมบัติของตวั กำหนด มาเปน็ ขอ้ ๆ ตามลำดับกอ่ นหลัง
7. เขยี นสรปุ ข้ันตอนการหาดเี ทอร์มแิ นนท์ เป็นขอ้ ๆ ตามลำดบั ก่อนหลงั
8. แสดงการดเี ทอร์มิแนนทข์ องเมตริกซข์ นาดต่าง ๆ ตามทค่ี รกู ำหนด
9. ยกตวั อย่างเมตริกซ์เอกลกั ษณ์ขนาดต่าง ๆ มาอยา่ งนอ้ ย 3 ตวั อยา่ ง

หนา้ ท่คี รผู สู้ อน
1. กำหนดโจทย์ปัญหาเพื่อให้ผู้เรยี น ตอบคำถาม และแสดงการหาคำตอบ พรอ้ มให้คะแนนการมีส่วน

รว่ มของผเู้ รียน
2. สังเกตพฤติกรรมในการมีประสบการณร์ ว่ มในกิจกรรมการเรยี นรู้ และใหค้ ะแนน
3. กำหนดเวลาในการปฏิบัติกิจกรรมของผู้เรียนแต่ละกิจกรรมเพ่ือให้กิจกรรมดำเนินการเป็นไปตามความ

เหมาะสมและผู้สอนสามารถปรับเปลี่ยนกิจกรรมได้ตามความเหมาะสมกับจำนวนผู้เรียน ถ้าผู้เรียนมีจำนวนมาก ก็
สามารถจัดกลุ่มผเู้ รียนในการปฏิบัตกิ จิ กรรมท่มี อบหมาย

6. เฉลย ถา้ นกั เรียนคนใดตอบผิดให้นักเรียนคนอนื่ ชว่ ยแก้ไขใหถ้ กู ต้องและครคู อยเพ่มิ เติมและแนะนำ
เทคนคิ ให้นักเรียนเข้าใจหลกั ในการหาคำตอบไดช้ ดั เจนยิ่งข้ึน

เฉบยแบบฝกึ หัด บทที่ 8 เร่อื ง เมตริกซ์ (Matrices)

1. จงพิจารณาหาค่าของเมตริกซต์ อ่ ไปนี้ ถา้ สามารถหาค่าได้

 1 0 −1 1 1 + ( −1) 0 + 1 0 1
     
 2  0  2 + 0  
(1)  2  +  1  =  2 +1  คำตอบคือ  3 2 
  
 
 3 − 1  3 2  3 + 3 − 1 + 2
 6 1 

(1) - 25  1 0 (2 − 1) (5 − 0)   1 5
  
 1 2 =  คำตอบคอื  
    − 1 1
 03   ( 0 − 1) (3 − 2) 

−1 1
 
 0 1 0  25 
   03 
2. กำหนดให้ A =  1  B=  C =   จงหา
2 1 2
 
 3  

(1) AB

−1 1  ( −1x 1) + (1x 1) ( −1x 0) + (1x 2) 
=   
 0 1 0  
 1    (1x 1) + (0x 1) (1x 0) + ( 0x 2) 
 1
 2 2  
 3
 (3x 1) + (2x 1) (3x 0) + (2x 2) 

−1 + 1 0 + 2 0 2
 
= 0 + 0  1 0
 1 + 0 คำตอบคอื  

 5 4
 3 + 2 0 + 4

(1) C – 2B

 25 
 
C = 
 
 03 

2x 1 2x 0 2 0
 
2B =  2x 2 = 2 4
 2x 1

 25  2 0
 03 
C – 2B =   - 
2 
  4 
 

2 − 2 5 − 0

= 
0 − 2 3 − 4

 C – 2B  0 5

= 
− 2 − 1

(2) (2C) + B  2x 2 2x 5   4 10
2C =  
 =  
 6
 2x 0 2x 3   0
 

 4 10 1 0
   
(2C) + B =  6 + 1 2
 0

 4 + 1 10 + 0
= 
 0 + 1 6 + 2


 5 10

 (2C) + B =  8
 1

 3 −2 7
 

3. ให้ A =  6 5 4 จงหาสมาชกิ ของเมตริกซต์ ่อไปน้ี


 0 4 9

(1) สมาชิกของ เมตริกซ์ A12 คอื …-2…….
(2) สมาชิกของ เมตริกซ์ A23 คือ …4…….
(3) สมาชกิ ของ เมตริกซ์ A31 คือ …0…….

(4) สมาชกิ ของ เมตรกิ ซ์ A22 คอื …5…….
A33 คือ …9…….
(5) สมาชกิ ของ เมตริกซ์

4. จงเขียนเมตริกซ์เอกลกั ษณ์ของเมตริกซข์ นาดต่อไปน้ี

1 0 1 0 0
  
(1) A22 = 0 1 (2 ) B33
= 0 1 0

0 0 1

5. จงบอกชนดิ ของเมตรกิ ซ์ต่อไปน้ี (1) [9]
เมตริกซจ์ ตั ุรสั … (2) [1 0 0]
เมตริกซแ์ ถว …
(3) 0 0
เมตรกิ ซ์ศนู ย์ 
0 0

 0 0 0

 0
เมตรกิ ซ์เฉียง… (4)  0 1


 0 0 − 1

เมตรกิ ซ์สเกลา่ หรือ เมตริกซ์จตั ุรสั ….(5) 3 0

0 3

เมตริกซ์เอกลกั ษณ์ หรือยูนิตเมตรกิ ซ์ (6) 1 0 0

0 1 0

0 0 1

4
 
  4 1  
   2 
6. จากเมตรกิ ซ์ท่กี ำหนดให้ B =  0 1 2  , C = 2 3 , D = 
   
1 

จงหา

4

  
(1) D T ให้ D =  2  ดงั น้นั DT = 4 2 1 
   
 1 

0

(2) BT ให้ B =   ดังนน้ั BT = 1
0 1 2  
   2 

4 1 4 2
(3) C T   CT = 
ให้ C = 2 3 ดงั นั้น 1 3

7. จงหาคา่ ของ เมตรกิ ซต์ ่อไปนี้ ถ้าสามารถหาคา่ ได้

2 3 4

 1 5  6 −1
 0  
A= B=   C =
 0 4 
1 2 6

2 4 6

3 0 1

2 3 4

 5
(1) หา det A จาก A=  1 0 


1 2 6

= (2 x 0 x 6) + (3 x 5 x 1) + (4 x 1 x 2) - (1 x 0 x 4) - (2 x 5 x 2) - (6 x 1 x 3)

= 0 + 15 + 8 - 0 - 20 -

18

= 15 + 8 - 20 - 18

= 23 - 20 - 18

= 3 - 18

 det A = - 15

 6 −1
 
(2) det B จาก B=  4
 0

 6 −1

det B =  4 = (6 x 4) - (-1 x 0)
  0 24

det B =

2 4 6

(2) det C จาก C = 3 0 1

det C หาไมไ่ ด้ เน่อื งจากไม่ใชเ่ มตริกซจ์ ัตรุ สั

8. จงหาเมตริกซ์เอกลักษณ์ (I) ของเมตริกซต์ อ่ ไปน้ี

1 0
0 1

1 0 0
0 1 0
0 0 1

1) AB ไมส่ ามารถทำการคูณกันได้

2) BC =  9 24 35
12 0 4 

3) CB ไม่สามารถทำการคูณกันได้

ผลท่ไี ด้ไม่เท่ากนั
ผลทีไ่ ด้เท่ากนั

บนั ทกึ หลังสอน

1. ผลการเรียนรขู้ องผ้เู รยี น
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………
2. ผลการสอนของผสู้ อน
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………
3. ปญั หา อุปสรรค/ ขอ้ เสนอแนะ เพื่อปรบั ปรงุ และพฒั นา
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………

ลงชือ่ ……………………………ผสู้ อน
(นายชาญชยั ไชยคำ)

วันที่……..เดอื น………..พ.ศ. 25….
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
ข้อเสนอแนะของผูต้ รวจแผนการเรยี นรู้
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…

ลงช่ือ ………………………….ผตู้ รวจแผนการเรียนรู้
(…………………………………)
วันท่ี………เดือน………….พ.ศ. 25….

แผนการสอน/การเรียนรู้ภาคทฤษฎี หน่วยท่ี 9

ชือ่ วิชา คณติ ศาสตร์คอมพิวเตอร์ สอนครัง้ ที่ 18
ช่อื หน่วยพีชคณิตเส้นตรง(Linear Algebra
คาบรวม 2

ช่อื เรอื่ ง พีชคณิตเส้นตรง(Linear Algebra จำนวนคาบ 2

1. สาระสำคัญ

พชี คณิตเชิงเส้น เปน็ เรื่องทนี่ ำไปใชป้ ระโยชน์ ในการแกป้ ัญหาสมการในลกั ษณะตา่ ง ๆ โดยการหา

คา่ ตวั แปร ไม่วา่ จะเป็นสมการที่มีตวั แปรเดยี ว หรอื สมการท่ีมหี ลายตัวแปร การเรยี นรู้พชี คณติ เชิงเส้นจะ

สามารถทำให้เข้าใจหลักและวิธกี ารหาค่าของตัวแปรและแกส้ มการได้อย่างถูกต้องและรวดเร็ว

2. จดุ ประสงคก์ ารเรียนรู้

จุดประสงคท์ ่ัวไป

1. มคี วามร้คู วามเข้าใจในหลักการแก้สมการเชงิ เสน้

2. ความหมายของสมการ

3. ทราบลกั ษณะของสมการเชิงเสน้ ตวั แปรเดียว

4. ทราบลกั ษณะของสมการเชงิ เสน้ สองตวั แปร

5. เหน็ ประโยชน์และความสำคัญในการแกป้ ญั หาโดยใช้สมการเชงิ เส้น

จดุ ประสงคเ์ ชิงพฤตกิ รรม

1. บอกความหมายของสมการ

2. บอกลักษณะของสมการเชิงเส้นตวั แปรเดียวได้

3. บอกลกั ษณะของสมการเชงิ เส้นสองตัวแปรได้

4. หาคำตอบจากสมการเชิงเสน้ ตวั แปรเดียวได้

5. หาคำตอบจากสมการเชิงเสน้ สองตัวแปรได้

3. เนอ้ื หาสาระการเรยี นรู้

1. ความร้เู บื้องตน้ เก่ยี วกบั สมการ

1. ระบบสมการเชงิ เสน้ ตวั แปรเดยี ว

2. การแก้สมาการเชิงเส้นตวั แปรเดยี ว

3. ระบบสมการเชิงเสน้ สองตัวแปร

4. การแกส้ มการเชิงเสน้ สองตัวแปร

สมการบางสมการอาจจะไม่มีคำตอบ เชน่ ถ้าถามวา่ "มีจำนวนเต็มจำนวนใดบา้ งซ่งึ คณู กับ 2 แล้วได้

3" ก็ตอ้ งตอบวา่ "ไม่มจี ำนวนเต็มเช่นน้ัน" เราพูดได้อกี อย่างหนง่ึ วา่ สมการ 2x = 3 ไม่มคี ำตอบซงึ่ เปน็ จำนวน

เต็ม
เราทราบวา่ จำนวนจริงใดๆ ก็ตามเม่ือคณู กบั ตัวเองแลว้ ย่อมไม่ได้จำนวนลบ ดงั นน้ั เราพูดว่า สมการ X x X =
-1ซง่ึ เขียนไดว้ ่า x2 = -1 ไม่มีคำตอบเป็นจำนวนจรงิ
สมการบางสมการอาจมคี ำตอบมากกว่าหนึ่งคำตอบ เชน่ ถ้าถามวา่ "จำนวนใดคูณกับตวั เองแลว้ ได้ 1" ก็ต้อง
ตอบวา่ "-1 และ 1" หรือพูดว่าสมการ x2 = 1 มีคำตอบ 2 คำตอบ คือ -1 และ 1
สมการท่ีมีตัวแปรเดยี วและเลขชก้ี ำลัง* ของตัวแปรเปน็ 1 เราเรยี กว่าสมการเชงิ เสน้ (Linear equation) ทม่ี ี
ตวั แปรเดยี ว ดังน้ัน 2x - 5 = 1, 6 + 3x = 2, 3t + 1 - 2y = 2.7, 2z - 10 = 0 ล้วนเปน็ ตัวอยา่ งของสมการ
เชิงเสน้ ท่มี ีตัวแปรเดียว

การแกส้ มการเชงิ เสน้ ทม่ี ีตัวแปรตวั เดียว เรามีหลกั การใหญ่ๆ ดังนี้ คอื
(1) ถ้านำจำนวนๆ หนึ่งมาบวก หรือลบท้ังสองขา้ งของเครื่องหมาย = เราจะไดส้ มการ ซ่ึงมีคำตอบเหมือน
สมการเดิม
(2) ถ้านำจำนวนๆ หนง่ึ ซึ่งไม่ใช่ 0 มาคูณ หรอื หารทงั้ สองข้างของเคร่ืองหมาย = เราจะได้สมการซงึ่ มีคำตอบ
เหมือนสมการเดมิ

สมมตุ วิ า่ เราต้องการแก้สมการ 2x + 3 = 5 เราใชห้ ลักทง้ั สองข้อดังนี้
2x + 3 = 5
2x = 2 นำ 3 มาลบทั้งสองข้าง
x = 1 นำ 2 มาหารทั้งสองขา้ ง
จากหลกั ทั้งสองข้อ เราได้ว่าสมการท้งั สามนม้ี ีคำตอบเหมอื นกนั ดังนนั้ เราจงึ สรปุ ได้ว่า 1 เป็นคำตอบของ
สมการ 2x + 3 = 5

* เราเขยี น 5 ได้ว่า 51 และเรียก 1 วา่ เลขช้กี ำลงั
เราเขยี น 5 x 5 ได้วา่ 52 และเรยี กเลข 2 ว่า เลขชกี้ ำลงั
เราเขียน 5 x 5 x 5 ไดว้ ่า 53 และเรยี กเลข 3 ว่า เลขชี้กำลัง ฯลฯ
ให้ x แทนจำนวนใด ๆ กต็ าม
เราเขยี น X ไดว้ า่ X1 และเรยี กเลข 1 ว่า เลขชีก้ ำลงั
เราเขียน X x X ไดว้ ่า X2 และเรียกเลข 2 วา่ เลขชก้ี ำลงั
เราเขียน X x X x X ไดว้ า่ X3 และเรยี กเลข 3 วา่ เลขชี้กำลงั
เราเขยี น X x X x X x X x X ไดว้ า่ X5 และเรยี กเลข 5 ว่า เลขชี้กำลงั ฯลฯ
เลขชีก้ ำลังไม่จำเปน็ ต้องเป็นจำนวนเตม็ บวก แตเ่ ราจะไม่กล่าวถงึ ในทน่ี ้ี

หลกั ข้อ (2) หา้ มนำ O มาหารท้ังสองข้างของเครอ่ื งหมาย = ในสมการ เพราะการหารด้วย O ไม่มคี วามหมาย
และหลักเดียวกันนี้หา้ มนำ O มาคูณทงั้ สองข้างของเครื่องหมาย = ในสมการ เพราะสมการใหมจ่ ะมีคำตอบ
ต่างจากสมการเดิม ตวั อย่างเชน่ สมการ 2x = 6 มีคำตอบเพียงคำตอบเดยี ว ได้แก่ 3 แต่สมการ 2X x 0 =
6x0 นนั้ มจี ำนวนจริงทุกจำนวนเปน็ คำตอบ เน่ืองจากจำนวนจริงใดๆ กต็ ามคณู กบั O แล้วยอ่ มได้ O

ควรสงั เกตว่า การพูดกวา้ งๆ ว่า "ในการแก้สมการนัน้ ถ้าทำอย่างไรทางซ้าย (ของเครื่องหมาย =) แล้วใหท้ ำ
อย่างเดียวกันทางขวา (ของเครอื่ งหมาย =)" น้นั ใช้ไม่ได้ เพราะสมการใหม่อาจมคี ำตอบต่างจากสมการเดิมได้
เช่น สมการ x = 3 กบั สมการ x2 = 32 ซง่ึ ไดจ้ ากการ "ยกกำลังสองทั้งสองข้าง" มคี ำตอบตา่ งกัน สมการ x = 3
มีคำตอบเพยี งคำตอบเดียวคือ 3 สว่ นสมการ x2 = 32 มคี ำตอบ 2 คำตอบ คือ -3 กับ 3

สมการ x-1 = 0 กบั สมการ x (x-1) = 0 ก็มีคำตอบต่างกัน สมการทส่ี องได้จากการคูณ x ทงั้ สองข้าง (ของ
เครื่องหมาย =) ในสมการแรก หรอื จะพดู ว่าสมการแรกได้จากการหารดว้ ย x ทงั้ สองข้างในสมการที่สองกไ็ ด้
สมการ x-1 = 0 มีคำตอบเพียงคำตอบเดยี วคือ 1ส่วนสมการ x (x-1) = 0 มีคำตอบ 2 คำตอบ คือ 0 และ 1

สมการอาจจะมีตัวแปรก่ตี ัวแปรกไ็ ด้ เช่น โจทย์ทว่ี า่ "จงหาจำนวนสองจำนวนซึง่ มีผลต่างเปน็ 3" อาจจะเขยี น
ได้ว่า "จงแก้สมการ x-y = 3" สมการ x-y = 3 เป็นสมการท่ีมตี วั แปร 2 ตัว สมการน้ีมคี ำตอบมากมาย เชน่ x
= 4 และ y = 1 หรือ x = 3 และ y = 0 หรือ x = และ y = -3 เป็นตน้ คำตอบเหล่านีเ้ รานิยมเขียนในรูป
คู่ลำดบั ว่า (4,1), (3,0) , ( ) จำนวนแรกในคู่ลำดบั แทนคา่ x จำนวนหลงั แทนค่า y ดงั นัน้ (4,1) เป็นคำตอบ
หน่งึ ๆ ของสมการ x - y = 3 แต่ (1,4) ไม่ใช่คำตอบของสมการน้ี

เน่ืองจากสมการ x - y = 3 นี้ มคี ำตอบที่เปน็ จำนวนจรงิ อยู่มากมาย ไมส่ ามารถแจกแจงใหด้ ูได้หมด วธิ ีที่จะ
แสดงคำตอบไดว้ ธิ ีหน่งึ คือ การเขียนกราฟ

สมการท่มี ีตวั แปรเดียวก็สามารถแก้ไดโ้ ดยวธิ ีกราฟ เช่น ถ้าต้องการแกส้ มการ 2x + 3 = 5 ซ่ึงมคี ำตอบเหมือน
สมการ 2x - 2 = 0 (นำ 5 มาลบทงั้ สองข้างของเคร่ืองหมาย =) เราเพิ่มตวั แปร y ข้นึ มาอีกหนึง่ ตัว โดย
กำหนดให้ 2x -2 = y

สมการนเี้ ป็นสมการทีม่ ตี ัวแปรสองตวั คำตอบของสมการ 2x - 2 = y คอื ทกุ จดุ ที่อยบู่ นเสน้ ตรงสีแดง คา่ ของ
x ทที่ ำให้ y เป็น 0 เปน็ คำตอบของสมการ 2x-2 =0 จุดบนกราฟที่ y เป็น 0 คือจดุ ที่กราฟตัดแกนนอน
เสน้ ตรงนต้ี ดั แกนนอนทจี่ ดุ (1,0)
เราจึงสรปุ ไดว้ า่ 1 เป็นคำตอบของสมการ 2x - 2 = 0
หรือสมการ 2x + 3 = 5

สมการ x2 - 2x = 3 มีคำตอบเหมือนสมการ x2 - 2x - 3 = 0 เราแกไ้ ดโ้ ดยเขยี นกราฟแสดงคำตอบของสมการ
x2 - 2x - 3 = y (เสน้ โคง้ สนี ำ้ เงินในรปู ) คา่ ของ x ทีท่ ำให้ y เป็น 0 เป็นคำตอบของสมการ x2 - 2x - 3 = 0
จุดบนกราฟที่ y เป็น 0 คือจุดที่กราฟตดั แกนนอนได้แก่จุด (-1,0) และ (3,0)
เราจึงสรุปวา่ -1 กับ 3 เป็นคำตอบของสมการ x2 - 2x - 3 = 0 หรอื x2 - 2x = 3

ในการแกส้ มการ x2 - 2x + 2 = 0 เราเขยี นกราฟแสดงคำตอบของสมการ x2 - 2x + 2 = y จะพบว่ากราฟนน้ั

ไมต่ ดั แกนนอน แสดงวา่ จดุ (x,0) ไมอ่ ยู่บนกราฟ ดงั นน้ั (x,0) ไม่ใช่คำตอบของสมการ x2 - 2x + 2 = y น่นั คอื

ไม่ว่า x จะแทนจำนวนจริงใดๆ กต็ าม x2 - 2x + 2 ไม่เทา่ กับ 0 เราจงึ สรุปได้ว่าสมการ x2 -2x + 2 = 0 ไม่มี

คำตอบทีเ่ ปน็ จำนวนจรงิ

4. กิจกรรมการเรยี นการสอน

กจิ กรรมครู กจิ กรรมนักเรียน

ขั้นเตรียม

1. ใหน้ ักเรียนศึกษาบทเรยี น ประมาณ 5 นาที 1. นกั เรยี นศึกษาใบความรูป้ ระมาณ 5 นาที

2. ครูตอบข้อสงสัย ของนักเรียน 2. นักเรียน ซักถามข้อสงสัย

ขน้ั นำเข้าสูบ่ ทเรยี น

1. ทดสอบพ้ืนฐานของผู้เรียนก่อนเรียนโดยการสุ่มถาม 1. ตอบคำถาม

ประมาณ 10 นาที 2. นักเรียนร่วมกันวิเคราะห์คำตอบของเพื่อน

2. ครูชมเชยนักเรียนท่ีตอบคำถามและแสดงความคิดเห็น พร้อมทั้งแสดงความคิดเห็นว่าถูกหรือไม่ถูก

พร้อมกับให้นักเรียนในห้องมีส่วนร่วมในการแสดง อยา่ งไร

ความชื่นชมกับผู้ท่ีตอบคำถาม ทั้งผู้ที่ตอบถูก และผูท้ ่ี

ตอบไม่ถกู

ขนั้ ดำเนนิ การสอน

1. ให้นักเรียนศึกษาใบความรู้ และครูอธิบายพร้อมกับ 1. นักเรียนศึกษาใบความรู้และหนังสือประจำ

แสดงตัวอย่างประกอบบนกระดานเป็นลำดับขั้นตอน หน่วยการเรียน

อยา่ งละเอยี ด 2. มีส่วนร่วมในการตอบและแสดงวิธีการหา

2. ใหน้ ักเรยี นฝกึ ปฏบิ ตั ิการหาคำตอบของการเรยี นแต่ คำตอบ

ละหวั ข้อไปพร้อมๆ กนั บนกระดาน 3. นักเรียนฝึกเพ่ือให้เกิดความเข้าใจและทักษะ

3. ให้ผู้เรียนซักถามข้อสงสัย ในการแสดงวธิ ีการคำตอบ

4. กำหนดให้นกั เรียนออกแสดงการหาคำตอบบบน 4. ฟงั ครูอธบิ ายสาระการเรียนรู้ พร้อมซักถามข้อ

กระดานทีละคน สงสยั

5. ครูกับนักเรยี นรว่ มกนั หาเทคนิคและวธิ กี ารหาคำตอบ 5. จดบนั ทกึ

6. ครเู ฉลยและแนะนำวิธกี ารหาคำตอบ 6. ทำใบงานและแบบทดสอบหลังเรียนท่ีได้รับ

7. กำหนดใหน้ กั เรยี นทบทวนบทเรียนและฝึกปฏิบตั ิใน มอบหมายใหเ้ สร็จทนั ภายในเวลาท่กี ำหนด

การหาคำตอบกับเนอ้ื หาประจำหน่วยการเรียน 7. ปรับปรุงแก้ไขใบงานและแบบทดสอบหลัง

8. กำหนดใบงานใหน้ ักเรยี นทำใบงานโดยทำใส่สมุด เรยี นนำส่งครสู อนจนกวา่ จะถูกต้องทกุ ข้อ

พร้อมกับออกไปแสดงวิธีการหาคำตอบบนกระดานดำ 8. นั ก เรี ย น ร่ ว ม กั บ ค รู เฉ ล ย ใบ ง า น แ ล ะ

ตามเลขท่หี มนุ เวียนกนั จนครบทุกคนในห้องเรียน แบบทดสอบหลังเรียน

9. ใหน้ ักเรียนร่วมกนั วิเคราะห์และประเมินคำตอบจาก 9. รว่ มกับครูสรปุ สาระการเรียนรปู้ ระจำหนว่ ย

สิง่ ท่ปี ฏิบัติ ครูคอยให้คำแนะนำและอธบิ าย หลกั การ 12. ผู้เรียนแต่ละคนลุกข้ึนบอกวิธีการและ

และเทคนิคในการหาคำตอบไปดว้ ย หลักการในการหาคำตอบในหัวข้อการเรียน

10. กำหนดให้นกั เรียนทำแบบทดสอบหลังเรียน ตามที่เข้าใจหมุนเวียนกันตามเลขท่ีจนครบ

11. ตรวจแบบทดสอบหลงั เรียน ทกุ คนในห้องเรียน

12. ครแู ละผูเ้ รียนรว่ มกนั เฉลยใบงานและแบบทดสอบ 13. ผู้เรียนบอกวิธีท่ีนำความรู้จากบทเรียนไป

ข้ันสรปุ ป ร ะ ยุ ก ต์ ใ ช้ ใ ห้ เกิ ด ป ร ะ โ ย ช น์ แ ล ะ

13.ครูให้นักเรียนในห้องสรุปสาระการเรียนรู้ประจำหน่วย ประสทิ ธิภาพสงู สุด

การเรียน

14.ครูกับนักเรียนร่วมกันสรุปบทเรียนและวิธีการนำไป

ประยุกต์ใช้

5. สื่อการสอนและแหล่งเรยี นรู้
5.1 ชดุ การสอน PowerPoint / PDF File
5.2 หนงั สอื เรียนเรยี นวิชาคณติ ศาสตรค์ อมพิวเตอร์
5.3 ครผู ้สู อน, Internet, E-learning, Website , Visual Classroom
5.4 รายงานท่เี กีย่ วข้องกบั สาระการเรียนร้ปู ระจำหนว่ ย
5.5 ชุดการเรยี นรู้ดว้ ยโปรแกรมสื่อประสม

6. การวัดผลและการประเมินผล
6.1 ความสนใจในการเรียนรู้ การคน้ ควา้ การมสี ่วนรว่ มในกจิ กรรม
6.2 การซกั ถามและการตอบคำถาม
6.3 การทำงานเปน็ ทมี (ใหค้ วามสำคัญในการทำงานเป็นทีมงาน , การมีส่วนรว่ มรบั ผิดชอบกนั และกนั
ของกลุ่มที่ปฏบิ ตั ภิ าระงานรว่ มกันอย่างเป็นระบบ)

6.4 การสรปุ เนื้อหาบทเรียน องค์ความรู้ที่ได้ในกิจกรรมการเรียนการสอน และสามารถปฏิบัตภิ าระงาน
ท่ไี ด้รบั มอบหมายแล้วเสรจ็ ทันเวลาท่กี ำหนด

6.5 บันทึกผลการเรยี นรูแ้ ละการเขยี นรายงานตนเอง (Self-Report)
6.6 แฟ้มสะสมผลงานในการปฏิบัติภาระงานทม่ี อบหมาย

7. ผลงาน / ชิ้นงานของนักศึกษา
7.1 บนั ทึกผลการเรียนรู้ การเขียนรายงานตนเอง
7.2 ผลงานการปฏิบัติตามใบงานท่ีมอบหมายประจำสาระการเรียนรู้

8. กจิ กรรมเสนอแนะ /ภาระงานที่มอบหมาย
8.1 ศึกษาค้นคว้าเพ่ิมเติมเกี่ยวกับสาระการเรียนรู้จาก หนังสือ Internet , Website , บทเรียน
ออนไลน์ใน Visual Classroom ของสถานบนั การศึกษาต่าง ๆ
8.2 บนั ทึกและสรุปองคค์ วามรู้ที่ไดใ้ นการเรยี นเสนอครผู ู้สอนหลังเสร็จส้นิ การเรยี นการสอน
ในแตล่ ะครงั้

9. กิจกรรมเสนอแนะ
1. ถา้ ผูเ้ รียนมกี ารเตรยี มตวั ในการเรียนทด่ี ี เชน่ อ่าน และทำการศึกษาหนังสือเกยี่ วกับหน่วยการเรียน

มากก่อน ถึงชั่วโมงเรียน ผู้เรียน จะสามารถเรียน และทำกิจกรรมต่าง ๆ ที่ครูผู้สอนมอบหมาย ได้อย่างมี
ความสุข และเกิดความชอบ และสนุกกบั การเรยี นในชน้ั เรียน

2. ผูเ้ รียนต้องมีความขยนั หมนั่ ฝึกฝนบทเรียนอย่เู สมอทง้ั กอ่ นและหลงั เรียน
3. ผู้เรยี นตอ้ งมีความกลา้ ทีจ่ ะถามเมื่อสงสัยทั้งในห้องและนอกห้องเรยี นกับครูผู้สอน

ภาระงานทีม่ อบหมาย
บทท่ี 9 เรือ่ ง พีชคณติ เสน้ ตรง (Linear Algebra)
วชิ า คณติ ศาสตรค์ อมพิวเตอร์ หลักสตู ร ปวช. ภาคเรยี นที่ ……./…………
…………………………………………………………………………………………………………

เร่ือง พีชคณิตเส้นตรง(Linear Algebra)

วธิ ีปฏบิ ตั ิ
1. ผู้เรยี นทำความเข้าใจกับบทเรยี น
2. ฝกึ เขยี นสมการเชิงเสน้ ตัวแปรเดยี ว และ สมการเชงิ เส้นสองตวั แปร และความรู้พ้นื ฐานเกยี่ วกับ
พีชคณิตเชิงเส้น
3. ชว่ ยกันวิเคราะหล์ กั ษณะของสมการเชิงเส้นตัวแปรเดยี ว และ สมการเชิงเสน้ สองตัวแปร
4. ฝึกปฏิบตั ิการแก้สมการเชิงเส้นตัวแปรเดยี ว และ สมการเชิงเสน้ สองตวั แปร
5. ออกไปแสดงวิธีการแก้สมการ ท่ีครูกำหนดให้บนกระดาน หมุนเวียนจนครบทุกคน หรือ โดย
วิธีการส่มุ จากผ้สู อน
6. ปฏิบัตกิ จิ กรรมตามที่มอบหมายในเวลาที่กำหนด
7. นักเรียนชว่ ยกันแสดงความคิดเห็น ถ้าเพื่อนท่ีออกไปเขยี นแสดงการหาคำตองไมถ่ ูกตอ้ งนกั เรียน
ในหอ้ งตอ้ งร่วมกันแนะนำ และเสนอแนะวธิ กี ารทถี่ ูกต้อง
8. นกั เรยี นแก้ไขปรับปรุงข้อบกพร่องของช้ินงานใหถ้ ูกต้อง โดยการสรุปสิ่งทผี่ เู้ รียนมีส่วนร่วมใน

กจิ กรรม แลว้ นำเขา้ แฟ้มสะสมผลงาน

ภาระงานทม่ี อบหมาย
1. บอกลักษณะของสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว และ ลักษณะของสมการเชิงเส้นสองตัวแปร พร้อม

ยกตวั อย่าง มา คนละ 1 ตวั อย่าง
2. ใหค้ วามหมายสิ่งทเ่ี กี่ยวข้องกบั สมการและการแก้สมการ ประกอบดว้ ย
- สมการ , ตัวแปร , ค่าคงท่ี , คำตอบของสมการ , การแก้สมการ , สมั ประสิทธิ์ของตัว

แปร , เลขชกี้ ำลงั , การพิสจู น์คำตอบของสมการ
3. บอกหลักและวิธกี ารแกส้ มการเชงิ เส้นตวั แปรเดยี ว และ การแก้สมการเชิงเส้นสองตวั แปร
4. แสดงวิธีการแก้สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว และ สมการเชิงเส้นสองตัวแปร พร้อมอธิบายวิธีการได้มาซึง

คำตอบ และ แสดงการตรวจสอบคำตอบของสมการ บนกระดาน จากโจทย์ปญั หาท่ีครกู ำหนดให้

หน้าทค่ี รผู ู้สอน
1. กำหนดโจทย์ปัญหาเพ่ือให้ผู้เรยี น ตอบคำถาม และแสดงการหาคำตอบ พร้อมให้คะแนนการมีส่วน

รว่ มของผเู้ รยี น
2. สังเกตพฤติกรรมในการมปี ระสบการณ์ร่วมในกจิ กรรมการเรยี นรู้ และให้คะแนน
3. กำหนดเวลาในการปฏิบัติกิจกรรมของผู้เรียนแต่ละกิจกรรมเพ่ือให้กิจกรรมดำเนินการเป็นไปตามความ

เหมาะสมและผู้สอนสามารถปรับเปล่ียนกิจกรรมได้ตามความเหมาะสมกับจำนวนผู้เรียน ถ้าผู้เรียนมีจำนวนมาก ก็
สามารถจัดกลุ่มผู้เรียนในการปฏบิ ัตกิ จิ กรรมทีม่ อบหมาย

7. เฉลย ถ้านกั เรียนคนใดตอบผิดใหน้ กั เรียนคนอ่ืน ชว่ ยแก้ไขใหถ้ กู ต้องและครูคอยเพ่ิมเติมและแนะนำ
เทคนิคให้นักเรียนเข้าใจหลักในการหาคำตอบไดช้ ัดเจนยิง่ ขึ้น

เฉลยแบบฝึกหัด บทท่ี 9 เร่อื ง พีชคณติ เส้นตรง (Linear Algebra)

1. จงทำเคร่ืองหมาย √ หน้าข้อที่เปน็ สมการเชงิ เสน้ ตัวแปรเดียว

……√….. (1) 2x - 4 = 5

……√….. (2) 3y + 6 = - 9

……√….. (3) (x + 1 ) 5 = 30

……….. (4) x2 - 9 = 150

……….. (5) 2x + 3y = 2

2. จงทำเครือ่ งหมาย √ หนา้ ข้อท่ีเปน็ สมการเชงิ เสน้ สองตวั แปร

……….. (1) 2x - 4 = 5

……√….. (2) 3y + x = 10

……….. (3) 2x – 3x + 5 = 6

……√….. (4) x2 - 9 = 150

……….. (5) 2x + y = 2

3. จงเขียนสมการเชงิ เส้นหน่ึงตัวแปร 5 สมการ
(1 x + 5 = 20
(2) x – 4 = 4
(3) 2x + 7 = -5
(4) -x + 100 = 25
(5) 3y – 9 = 6

4. จงเขยี นสมการเชงิ เส้นสองตัวแปร 5 สมการ
(1) x + 3y = 8
(2) 2x – y = 4
(3) 5x + 6y = 50
(4) -2y + 4x = 10
(5) x + y = 140

5. จงแกส้ มการเชงิ เส้นหนึง่ ตัวแปรตอ่ ไปนี้
(1) x + 4 = 60
วิธที ำ x + 4 = 60
x + 4 - 4 = 60 – 4
x = 56

 จากสมการ x + 4 = 60 , x มคี า่ = 56
……………………………………………………………………………………….
(2) x + 2 = x - 10
วธิ ที ำ x + 2 = x – 10
x + 2 –(x – 10) = 0
x + 2 –x + 10 = 0

12 = 0
แกส้ มการเชงิ เส้นตัวแปรเดียวไม่ได้เนือ่ งจาก x = 0

(3) 2x - 5 = 25
วธิ ที ำ 2x - 5 = 25

2x –5 + 5 = 25 + 5

2x = 30

x = 30
2

x = 15

 จากสมการ 2x - 5 = 25 , x มคี า่ = 15
…………………………………………………………………………………….

(4) 5x + 50 = 10
2

วิธที ำ 5x + 50 = 10
2

5x + 50 –50 = 10 - 50
2

5x = - 40
2

5x *2 = - 40 * 2
2

5x = - 80

=5x −80

55

x = - 16

 จากสมการ 5x + 50 = 10, x มคี า่ = - 16
2

6. จงแสดงการพิสจู นส์ มการ จากการแก้สมการหน่งึ ตวั แปรในขอ้ 5.

(1) x + 4 = 60 พสิ จู นส์ มการ

ตรวจสอบคำตอบ โดยการแทนคา่ x = 56 จะได้ 56 + 4 = 60

(2) x + 2 = x – 10 พสิ ูจน์สมการ
แกส้ มการเชงิ เส้นตัวแปรเดียวไมไ่ ด้เนื่องจาก x = 0

(3) 2x - 5 = 25 พิสจู น์สมการ
ตรวจสอบคำตอบ โดยการแทนคา่ x = 15 จะได้ 2(15) - 5 = 25

(4) 5x + 50 = 10 พิสูจน์สมการ
2

ตรวจสอบคำตอบ โดยการแทนคา่ x = -16 จะได้ 5( −16) + 50 = 10
2

−80 + 50 = 10
2

- 40 + 50 = 10

10 = 10

7. จงแกส้ มการเชิงเสน้ สองตัวแปรต่อไปนี้

(1) 10x + 5y = 100

วธิ ที ำ จากสมการ 10x + 5y = 100 ถ้ากำหนดให้ x = 2

10(2) + 5y = 100

20 + 5y = 100
5y = 100 – 20

5y = 80

5y = 80
5 5

y = 16

 จะได้ x = 2 และ y = 16
……………………………………………………………………………

(2) 3x – 2y = 6
2x - 5y = - 4

วธิ ีทำ ให้ 3x – 2y = 6 เป็นสมการที่ (1)

ให้ 2x - 5y = - 4 เป็นสมการท่ี (2)

(1) คูณ 2 (3x – 2y) * 2 = 6 * 2

6x – 4y = 12 ………… (1)

(2) คณู 3 ( 2x - 5y ) * 3 = - 4 * 3
6x - 15y = - 12 …………..(2)

(1) – (2) (6x – 4y) - (6x - 15y) = 12 - (-12)

6x – 4y - 6x + 15y = 12 + 12

-4y + 15 y = 24
11y = 24

=11y 24

11 11

y = 24
11

แทนคา่ y ใน สมการที่ (1) หรือ สมการที่ (2) จะได้

3x – 2( 24 ) = 6
11
3x – 48 = 6
11

3x –( 48 ) * 11 = 6 * 11
11
3x – 48 = 66

3x – 48 + 48 = 66 + 48
3x = 114

=3x 114

3 3

x= 38

 x = 38 , y = 24
11
…………………………………………………………..

(3) x + 2y = 5

2x - y = 6

วิธที ำ ให้ x + 2y = 5 เป็นสมการที่ (1)

ให้ 2x - y = 6 เป็นสมการท่ี (2)

(2) คูณ 2 จะได้ 4x - 2y = 12 ..………… (1)

(1) + (2) จะได้ x + 2y +(4x –2y) = 5 + 12 ….……….(2)

x + 2y +4x –2y = 5 + 12

5x = 17

=5x 17
5
5
แทนค่า X ใน สมการ จะได้
x = 17
5

17 + 2y = 5

5

17 * (5) + 2y = 5 * 5

5

17 + 2y = 25

17 – 17 + 2y = 25 – 17

2y = 8

=2y 8
2
2

Y= 4

 x = 17 , y = 4
5

(4) 5x + y = 15

x + 4y = 15

วิธที ำ ให้ 5x + y = 15เป็นสมการท่ี (1)

ให้ x + 4y = 15 เปน็ สมการที่ (2)

(1) คณู 4 จะได้ 20x + 4y = 60 ..………… (1)

(1) - (2) จะได้ 20x +4Y – (x + 4y ) = 60 - 15 ….……….(2)

20x + 4y - x – 4y = 45

19x = 45

=19x 45
19
19

แทนคา่ X ใน สมการ จะได้ x = 45
x= 19

5( 45 ) + y = 15
19
225 + y = 15
19
225 *19 + y = 15 * 19
19
255 + Y = 285

255 + Y – 255 = 285 – 255

Y = 60

45 , y = 60

19

8. จงแสดงการพิสจู นส์ มการ จากการแกส้ มการหนึ่งตัวแปรในขอ้ 7.

(1) 10x + 5y = 100 พสิ ูจน์สมการ

ตรวจสอบคำตอบ โดยการแทนคา่ x = 2 และ y = 16

จากสมการ 10x + 5y = 100

10(2) + 5(16) = 100

20 + 80 = 100

(2) 3x – 2y = 6 พสิ ูจน์สมการ
2x - 5y = - 4
= 38 , y = 24 ในสมการ
ตรวจสอบคำตอบ โดยการแทนคา่ x 11
แทนค่าในสมการที่ 2
แทนคา่ ในสมการ ท่ี 1
2(38) - 5 24 = -4
3(38) - 2( 24 ) = 6 11
11 76 - 120 = -4
114 - 48 = 6 11
11 − 44 = -4
66 = 6 11
11 -4 = -4
6=6

(3) x + 2y = 5

2x - y = 6 พิสจู นส์ มการ

 x = 17 , y = 4
5

แทนค่าในสมการ ที่ 1 แทนค่าในสมการที่ 2

+17 2(4) = 5 2 17 - 4 = 6
5
5
34 - 4 = 6
17 + 8 = 5
5
5
30 = 6
25 = 5
5
5
6 =6
5=5

(4) 5x + y = 15

x + 4y = 15 พิสจู นส์ มการ

………………………………………………………………………………………………………

ตรวจสอบคำตอบ โดยการแทนคา่ สมการ

แทนค่าในสมการ ท่ี 1 แทนค่าในสมการที่ 2

5( 45 ) + 60 = 15 45 + 4(60) = 15
19
225 + 60 = 15 19
19
285 = 15 45 + 240 = 15
19
15 = 15 19

285 = 15

19

15 = 15

9. อธบิ ายความหมายและคณุ ลกั ษณะของสมการเชิงเส้นหนึ่งตวั แปร กบั สมการเชิงเส้นสองตัวแปร

(1) สมการเชิงเสน้ หน่ึงตวั แปร

สมการเชิงเส้นหนึ่งตัวแปร หมายถึง สมการที่มีตัวแปรเพียง 1 ตัว และมีลักษณะของเลขชี้กำลังเป็น

1

(2) สมการเชงิ เสน้ สองตวั แปร

สมการเชิงเสน้ สองตัวแปร หมายถึง สมการท่มี ีตัวแปร 2 ตวั และมีคณุ ลกั ษณะของเลขช้กี ำลงั เป็น 1

10. อธิบายความหมายต่อไปน้พี รอ้ มยกตัวอย่าง
(1) ตัวแปร คือ คอื จำนวนท่ยี งั ไมท่ ราบค่า สัญลกั ษณ์ทีน่ ยิ มนำมาใช้เป็นตัวแปรคือ x,y,z
(2) สัมประสิทธขิ์ องตวั แปร คือ จำนวนที่คณู อยู่กบั ตัวแปรนั้น ๆ
(3) สมการ คือ การเท่ากันของนิพจน์ 2 นิพนจ์ (ข้อความ 2 ข้อความ) โดยใช้เคร่ืองหมาย “ = “ และ

ใชต้ วั แปรแทนสัญลกั ษณข์ องสมการ
(4) การพิสูจน์สมการ คอื เปน็ การนำคา่ ของตัวแปรไปแทนคา่ ในสมการ

บันทกึ หลังสอน

1. ผลการเรยี นร้ขู องผู้เรยี น
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
2. ผลการสอนของผู้สอน
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
3. ปญั หา อปุ สรรค/ ข้อเสนอแนะ เพ่ือปรบั ปรุงและพฒั นา
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………

ลงชื่อ……………………………ผสู้ อน
(นายชาญชยั ไชยคำ)
วันที่……..เดอื น………..พ.ศ. 25….

ข้อเสนอแนะของผูต้ รวจแผนการเรียนรู้
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…

ลงชอื่ ………………………….ผตู้ รวจแผนการเรียนรู้
(…………………………………)
วันท่ี………เดือน………….พ.ศ. 25….

แบบประเมินคณุ ธรรมจริยธรรม
วชิ าคณิตศาสตรค์ อมพิวเตอร์ รหัส 22012402 ภาคเรียนที่ …….. ปกี ารศึกษา ……….

ระดับชัน้ ปวช.1 สาขาวิชาคอมพิวเตอรธ์ ุรกิจ วิทยาลัยการอาชพี เนนิ ขาม
(ผู้เรยี นประเมินตนเอง)

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
หัวข้อประเมนิ

1. การปฏิบัติตามกฎระเบียบของสถานศกึ ษา
2. มีความรบั ผิดชอบใฝด่ ใี ฝ่รู้
3. สนใจปฏบิ ตั งิ านทมี่ อบหมายด้วยความกระตือรือร้น
4. สะอาดเป็นระเบียบและมีจรรยามารยาท
5. ซือ่ สตั ย์ เสียสละ และมีนำ้ ใจ
6. ร้หู นา้ ทีแ่ ละตระหนักในความพอเพียงตามศกั ยภาพของการเปน็ นกั เรียนนักศึกษา
.......................................................................................................................... ...................................
รปู แบบการประเมนิ ให้คะแนน
5 = ดีเยย่ี ม , 4 = ดี , 3 = พอใช้ , 2 = ควรปรับปรงุ , 1 = รว่ มกิจกรรม ,0 = ไมร่ ่วม
กิจกรรม

หวั ขอ้ ประเมิน
เลขที่ ช่อื – สกลุ 1. 2. 3. 4. 5. 6. รวม ลงช่อื ผู้ประเมิน

(5) (5) (5) (5) (5) (5) คะแนน
1
2
3
4
5
6
ข้อคดิ เหน็ จากผปู้ ระเมนิ
……………………………………………………………………………………………………….…………………………………………………
……………………………………………………………………

ลงช่ือ...............................................ผูป้ ระเมนิ
(……………………………)

วันท…ี่ ………เดือน……………ปีพ.ศ.………
แบบประเมินสาระการเรยี นรู้

วชิ าคณิตศาสตรค์ อมพิวเตอร์ รหสั 22012402 ภาคเรียนที่ …….. ปกี ารศกึ ษา ……….
ระดบั ช้ัน ปวช.1 สาขาวิชาคอมพิวเตอรธ์ รุ กจิ (ผเู้ รียนประเมนิ ตนเอง)

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
หวั ข้อประเมนิ

1. หลกั การและเทคนิคในกระบวนการคิด และ ตอบคำถาม
2. เกดิ ความร้คู วามเข้าใจในสาระการเรยี นรู้ จนสามารถปฏิบัตติ ามใบงานและแบบฝึกหดั ได้ 3. มี
ทักษะในการวเิ คราะห์และประมวลผล
4. สามารถนำความรู้ไปประยกุ ต์ใชใ้ นหลักการคอมพิวเตอร์
5. กระบวนการแก้ปัญหาและกระบวนการสืบคน้ เพอ่ื หาคำตอบ
6. มโี นภาพและความคิดรวบยอดในกระบวนการเรียนรู้
……………………………………………………………………………………………………….
รปู แบบการประเมินใหค้ ะแนน
5 = ดีเยยี่ ม , 4 = ดี , 3 = พอใช้ , 2 = ควรปรบั ปรุง , 1 = ร่วมกจิ กรรม ,0 = ไม่ร่วม
กิจกรรม

หวั ขอ้ ประเมนิ
เลขท่ี ชอ่ื – สกุล 1. 2. 3. 4. 5. 6. รวม ลงชอ่ื ผูป้ ระเมนิ

(5) (5) (5) (5) (5) (5) คะแนน
1
2
3
4
5
6
ข้อคิดเหน็ จากผู้ประเมิน
……………………………………………………………………………………………………….…………………………………………………
……………………………………………………………………

ลงชือ่ ...............................................ผปู้ ระเมนิ
(……………………………)

วันท…่ี ………เดือน……………ปีพ.ศ.………
แบบประเมนิ คุณธรรมจริยธรรม

วชิ าคณิตศาสตร์คอมพิวเตอร์ รหัส 22012402 ภาคเรยี นที่ …….. ปกี ารศึกษา ……….
ระดับชน้ั ปวช.1 สาขาวิชาคอมพิวเตอรธ์ ุรกิจ

(ผสู้ อนประเมินผูเ้ รยี น)
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
หัวข้อประเมนิ

1. การปฏบิ ตั ิตามกฎระเบียบของสถานศกึ ษา
2. มีความรับผดิ ชอบใฝ่ดใี ฝร่ ู้
3. สนใจปฏิบตั งิ านที่มอบหมายดว้ ยความกระตอื รือร้น
4. สะอาดเป็นระเบยี บและมีจรรยามารยาท
5. ซือ่ สัตย์ เสียสละ และมีนำ้ ใจ
6. รู้หน้าที่และตระหนักในความพอเพียงตามศกั ยภาพของการเปน็ นักเรียนนักศึกษา
.............................................................................................................................................................
รูปแบบการประเมนิ ให้คะแนน
5 = ดีเยีย่ ม , 4 = ดี , 3 = พอใช้ , 2 = ควรปรับปรงุ , 1 = ร่วมกจิ กรรม ,0 = ไม่รว่ ม
กิจกรรม

หัวข้อประเมิน
เลขท่ี ช่ือ – สกลุ 1. 2. 3. 4. 5. 6. รวม หมายเหตุ

(5) (5) (5) (5) (5) (5) คะแนน
1
2
3
4
5
6
ขอ้ คิดเห็นจากผู้ประเมนิ
……………………………………………………………………………………………………….…………………………………………………
……………………………………………………………………

ลงชือ่ ...............................................ผปู้ ระเมนิ
(……………………………)

วนั ท…่ี ………เดือน……………ปีพ.ศ.………

แบบประเมนิ สาระการเรยี นรู้

วิชาคณติ ศาสตร์คอมพิวเตอร์ รหัส 20204-2003 ภาคเรียนที่ …….. ปีการศกึ ษา ……….
ระดับชน้ั ปวช.1 สาขาวิชาคอมพิวเตอร์ธุรกิจ
(ผสู้ อนประเมนิ ผู้เรยี น)

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
หัวข้อประเมิน

1. หลกั การและเทคนิคในกระบวนการคดิ และ ตอบคำถาม
2. เกิดความรคู้ วามเขา้ ใจในสาระการเรียนรู้ จนสามารถปฏิบตั ติ ามใบงานและแบบฝึกหัดได้
3. มีทกั ษะในการวิเคราะหแ์ ละประมวลผล
4. สามารถนำความรู้ไปประยกุ ต์ใช้ในหลกั การคอมพิวเตอร์
5. กระบวนการแกป้ ญั หาและกระบวนการสบื คน้ เพอ่ื หาคำตอบ
6. มโี นภาพและความคิดรวบยอดในกระบวนการเรยี นรู้
……………………………………………………………………………………………………….
รปู แบบการประเมนิ ใหค้ ะแนน
5 = ดีเยย่ี ม , 4 = ดี , 3 = พอใช้ , 2 = ควรปรับปรุง , 1 = ร่วมกจิ กรรม ,0 = ไม่รว่ ม
กจิ กรรม

หัวข้อประเมนิ
เลขท่ี ช่อื – สกุล 1. 2. 3. 4. 5. 6. รวม หมายเหตุ

(5) (5) (5) (5) (5) (5) คะแนน
1
2
3
4
5
6
ขอ้ คดิ เหน็ จากผู้ประเมิน
……………………………………………………………………………………………………….…………………………………………………
……………………………………………………………………

ลงชื่อ...............................................ผปู้ ระเมนิ
(……………………………)

วนั ท…่ี ………เดือน……………ปีพ.ศ.………

แบบสอบถามความพงึ พอใจ/ความคดิ เห็นของนกั เรียนที่มตี ่อหนังสือแบบเรียน

วชิ าคณิตศาสตรค์ อมพิวเตอร์ รหสั 20204-2003 ภาคเรียนที่ …….. ปกี ารศึกษา ……….

สาขาวชิ าคอมพิวเตอรธ์ ุรกจิ

.............................................................................................................................. ...............................

เพื่อทราบผลของความพึงพอใจในการใช้หนังสือแบบเรียนวิชาคณิตศาสตร์คอมพิวเตอร์ ข้อมูลความ

คิดเหน็ ที่ได้จากการตอบแบบสอบถามจะเป็นประโยชน์อย่างมาก ต่อการปรบั ปรุงและพัฒนาให้มีประสิทธิภาพ

มากยง่ิ ข้นึ ตอ่ ไป

ความหมายของระดบั ความคิดเห็น

5 หมายถงึ ระดบั ความคดิ เหน็ ดมี าก

4 หมายถึง ระดบั ความคิดเหน็ ดี

3 หมายถงึ ระดบั ความคิดเห็น ปานกลาง

2 หมายถงึ ระดบั ความคิดเห็น นอ้ ย

1 หมายถงึ ระดับความคิดเห็น นอ้ ยทส่ี ุด

ตอนที่ 1 โปรดกาเคร่ืองหมาย  ลงในชอ่ งทตี่ รงกับความคดิ เหน็ ของทา่ น

1. ข้อมูลทว่ั ไปเกี่ยวกับผู้ตอบแบบสอบถาม

1.1 เพศ  ชาย  หญงิ

1.2 กล่มุ เรียน  1/1  1/2  1/3

2. ความคิดเหน็ เก่ยี วกับส่ือการสอนและผลทีไ่ ด้จากการใช้สอ่ื

รายการ ระดบั ความคดิ เห็น
54321

1. เน้ือหาสาระครอบคลุมตามมาตรฐานและหลักสตู รของรายวิชา

2. ชว่ ยทบทวนความรู้เดมิ เพิม่ เติมความรู้ใหม่

3. ผ้เู รียนสามารถทำความเข้าใจได้ง่าย

4. สามารถเรียนรูไ้ ด้เร็ว

5. เขา้ ใจหลกั การคำนวณตามวถิ ีทางคอมพวิ เตอร์

6. สามารถศกึ ษาเพ่ือหาคำตอบได้เอง

7. เรยี งลำดับเนื้อหาไดเ้ หมาะสม

8. แบบฝกึ หดั สอดคลอ้ งกับวตั ถปุ ระสงค์การเรยี นรู้

9. เนอ้ื หาสาระเหมาะสมกับระดบั ผเู้ รยี น

10. ภาษาทเี่ ขยี นเหมาะสม

รายการ ระดับความคิดเหน็
54321

11. มคี วามชอบและพึงพอใจในการใชส้ ่อื
12. รปู แบบการอธิบายน่าสนใจและมเี อกลกั ษณ์
13. มีการแสดงตัวอยา่ งและ อธบิ ายข้นั ตอนการหาคำตอบได้ชดั เจน
14. มคี วามสะดวกในการใช้ของผู้เรียน

ตอนท่ี 2 แสดงความคิดเห็น ในการนำหนงั สือแบบเรยี นวชิ าคณติ ศาสตร์คอมพิวเตอรม์ าใช้ในกจิ กรรมการ
เรียนการสอนในครง้ั น้ี นักเรยี นคิดว่ามขี ้อดี ขอ้ ควรปรบั ปรุง ขอ้ เสนอแนะอะไรบ้าง
1. ขอ้ ดแี ละ/หรือ ข้อทปี่ ระทับใจ

.............................................................................................................. ..................................................
.................................................................................. ..........................................................
.............................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................
2. ข้อควรปรับปรุง

..................................................................................................................... ...........................................
..............................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................
. ....................................................................................................................... ......................................
3. ข้อเสนอแนะ

……………………………………………………………………………………………...
............................................................................................................................................................. .................
.................................................................................................................. ..........................
4. นกั เรยี นคิดว่าตัวนักเรียนเองควรปรับปรงุ และพฒั นาในเรอ่ื งใดบา้ ง เพอื่ ให้เกดิ ความรู้ เทคนคิ ความคิดรวบ
ยอด กระบวนการแก้ปัญหาเพื่อให้ได้มาซึ่งคำตอบทีถ่ ูกต้องในการเรียนรู้รายวิชาคณิตศาสตร์คอมพิวเตอร์ อีก
ทงั้ บุคลิกและคณุ ลักษณะอันพึงประสงค์ ของครูผู้สอน สถานศึกษาและสงั คม

……………………………………………………………………………………………
..............................................................................................................................................................................
................................................................................................................................... ........
.......................................................................................................................... ...................................
................................................................................................ .............................................................

แบบสอบถามความคดิ เห็นและความพึงพอใจในการจดั กิจกรรมการเรยี นการสอน

วชิ าคณิตศาสตร์คอมพิวเตอร์ รหัส 20204 -2003 ภาคเรยี นที่ …….. ปกี ารศกึ ษา ……….

ระดบั ชนั้ ปวช…… สาขาวิชาคอมพวิ เตอร์ธุรกิจ

........................................................................................................................ .....................................

เพ่อื เป็นการประเมนิ ความคิดเหน็ และความพึงพอใจของนักเรยี นนักศึกษาท่ีมตี ่อครผู สู้ อนในด้านความ

รับผดิ ชอบและวธิ ีการสอน

ความหมายของระดับความคิดเหน็

5 หมายถงึ ระดบั ความคิดเห็น พอใจมากท่สี ดุ

4 หมายถงึ ระดับความคิดเหน็ พอใจมาก

3 หมายถึง ระดบั ความคิดเห็น พอใจปานกลาง

2 หมายถงึ ระดับความคิดเหน็ พอใจน้อย

1 หมายถึง ระดับความคิดเหน็ พอใจน้อยทส่ี ุด

คำชีแ้ จง ตอนที่ 1 โปรดกาเครอื่ งหมาย  ลงในชอ่ งทต่ี รงกบั ความคิดเห็นตามสภาพจรงิ

ตอนที่ 2 แสดงความคิดเหน็ ในการจัดการเรียนการสอนในภาพรวม

ตอนที่ 1

เพศ  หญิง  ชาย

รายการ ระดบั ความคดิ เหน็
54321

เกี่ยวกับครผู สู้ อน

1. เขา้ สอนตรงเวลา

2. มคี วามรับผิดชอบและไม่ละทิ้งหนา้ ท่งี านสอน

3. แตง่ กายเหมาะสม ยม้ิ แย้มแจ่มใส พดู จาสภุ าพ

4. เมตตากรุณาศษิ ย์ ช่วยเหลอื แนะนำศิษย์ด้วยความเต็มใจ

5. มีความยตุ ธิ รรม ไม่ลำเอียง

6. การพดู เสยี งดัง อธิบายชัดถ้อยชดั คำ

7. มีความรูด้ ี ในวชิ าทสี่ อน

8. มีความเชอ่ื มัน่ และแมน่ ยำในวิชาทสี่ อน

9. เอาใจใส่ ติดตาม ดูแลลกู ศิษย์ท้ังในและนอก เวลาสอน

รายการ ระดบั ความคิดเหน็
54321
เกย่ี วกบั วิธกี ารสอน
10. มวี ธิ ีการสอนและการกำกบั ดูแลผเู้ รยี นอย่างจริงจงั
11. มุ่งมน่ั ตั้งใจในการสอน
12. บูรณาการสอนคุณธรรมจรยิ ธรรมแก่นักเรียนรว่ มกับการจดั กิจกรรม

การเรยี นการสอนรายวชิ า
13. เนือ้ หาการสอนมีความตอ่ เน่ืองสมั พนั ธจ์ ากงา่ ยไปยาก
14. เน้นการสอนให้ผู้เรียนปฏบิ ัติไดจ้ ริง
15. มอบหมายงานให้ไปศึกษาคน้ ควา้ และทบทวนบทเรียน
16. ตรวจสอบ ตดิ ตาม ประเมนิ ผลผ้เู รียนสม่ำเสมอ
17. แจ้งผลการประเมิน แนะนำวิธแี กไ้ ขงานให้แกผ่ ูเ้ รียน
18. อปุ กรณส์ อ่ื การเรยี นการสอนสอดคล้องกับสภาพแวดล้อมและบรบิ ท

ของสถานศึกษา
19. จดั กิจกรรมการเรยี นการสอน เพือ่ มุ่งพัฒนาผู้เรียน
20. ความพึงพอใจในภาพรวมของนักเรยี นต่อครผู สู้ อน

ตอนท่ี 2 แสดงความคิดเหน็ ทนี่ ักเรยี นมตี ่อครูผ้สู อนและกิจกรรมการเรยี นการสอน
1.1 ข้อดีและ/หรือ ข้อที่ประทบั ใจ
............................................................................................ ....................................................................

.......................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................... ..............................

1.2 ข้อควรปรบั ปรุง
.................................................................................... ............................................................................

.......................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................... .................................

1.3 ข้อเสนอแนะ
.................................................................................... ............................................................................

.......................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................... .................................