TRIGONOMETRI

TRIGONOMETRI








DIGIBOOK MATH














Pengembang: Nani Ratnaningsih, Puji Lestari, & Sinta Verawati Dewi

Editor: Sofia Nida Khoerunnisa & Evi Latifatus Sirri

PETA KONSEP




TRIGONOMETRI







ATURAN SINUS & LUAS SEGITIGA JUMLAH & SELISIH
COSINUS DUA SUDUT



( ± )

ATURAN SINUS
( ± )




( ± )
ATURAN COSINUS

RUMUS SUDUT

GANDA

PERKALIAN SINUS

DAN KOSINUS

JUMLAH & SELISIH

SINUS DAN KOSINUS

ATURAN SINUS DAN COSINUS







LUAS SEGITIGA







JUMLAH DAN SELISIH DUA SUDUT

ATURAN SINUS DAN COSINUS



KOMPETENSI





VIDEO





MATERI




CONTOH SOAL





QUIZ

KOMPETENSI



























KOMPETENSI INTI






KOMPETENSI DASAR

KOMPETENSI INTI

3. Memahami, menerapkan, dan menganalisis pengetahuan faktual,
konseptual, prosedural berdasarkan rasa ingintahunya tentang ilmu
pengetahuan, teknologi, seni, budaya, dan humaniora dengan

wawasan kemanusiaan, kebangsaan, kenegaraan, dan peradaban
terkait penyebab fenomena dan kejadian, serta menerapkan

pengetahuan prosedural pada bidang kajian yang spesifik sesuai
dengan bakat dan minatnya untuk memecahkan masalah

4. Mengolah, menalar, dan menyaji dalam ranah konkret dan ranah

abstrak terkait dengan pengembangan dari yang dipelajarinya di
sekolah secara mandiri, dan mampu menggunakan metoda sesuai

kaidah keilmuan

KOMPETENSI DASAR


3.12 Menerapkan aturan sinus dan cosinus

4.12 Menyelesaikan permasalahan kontekstual dengan aturan
sinus dan cosinus

VIDEO

MATERI





ATURAN SINUS





ATURAN COSINUS

ATURAN SINUS


C Pada ∆ACR; sin A = CR

AC
CR = AC sin A

= b sin A
b a

CR
Pada ∆BCR;sin B =
CB
CR = CB sin B

= a sin B
A B Jadi,
R
CR = CR
c b sin A = a sin B
a b
= … (1)
sin A sin B

ATURAN SINUS

AP
Pada ∆BAP; sin B =
C AB
AP = c sin B
= c sin B

P
b AP
a Pada ∆CAP; sin C = b

AP = b sin C
= b sin C
Jadi,

A B AP = AP
c sin B = b sin C
c b c

= … (2)
sin B sin C

Persamaan (1) = (2), diperoleh:


a b c
= =
sin A sin B sin C

Dengan menerapkan teorema pythagoras pada ∆BCD,
ATURAN COSINUS Dengan menerapkan teorema pythagoras pada
ATURAN COSINUS
diperoleh:
2 ∆BCD, diperoleh:
2
a = h + (BD) 2 …(1)
2
2
a = h + (BD) 2 …(1)
Pada ∆ACD, diperoleh:
Pada ∆ACD, diperoleh: …(2)
h = b sin A
C dan AD = b cos A, sehingga …(2)
h = b sin A
C
dan AD = b cos A, sehingga
BD = AB − AD
= c − b cos A
BD = AB − AD …(3)
…(3)
b a substitusi h = b sin A dan BD = c − b cos A ke pers(1),
= c − b cos A
b
diperoleh:
2 substitusi h = b sin A dan BD = c − b cos A ke
h a a = (b sin A) +(c − b cos A) 2
h
2
2 pers(1), diperoleh:
2
2
2
2
2
a = b sin A + c − 2bc cos A + b cos A
2
2
a = (b sin A) +(c − b cos A) 2
2
2
2
2
2
a = b sin A + cos A + c − 2bc cos A
2
2
22
22
2
2 2
a = b sin A + c
A D B a = b + c − 2bc cos A − 2bc cos A + b cos A
B
A
2
2
2
Dengan menggunakan analisis perhitungan yang sama,
2
2
c D a = b sin A + cos A + c − 2bc cos A
untuk ∆ABC, diperoleh:
2
c
2
2
a = b + c − 2bc cos A
2
2
2
b = a + c − 2ac cos B
Dengan menggunakan analisis perhitungan yang
2
2
2
c = a + b − 2ab cos C
sama, untuk ∆ABC, diperoleh:
2
2
2
b = a + c − 2ac cos B
2
2
2
c = a + b − 2ab cos C

ATURAN COSINUS
2
2
2
a = b + c − 2bc cos A
2
2
2
b = a + c − 2ac cos B
2
2
2
c = a + b − 2ab cos C

Untuk menyelesaikan soal-soal, ayo kita gunakan

langkah-langkah computational thinking. Karena bagi
siswa SMK, computational thinking itu mutlak
diperlukan, khususnya sebagai bekal kelak di Dunia

Usaha ataupun industri.
Langkah-langkah computational thinking itu sebagai

berikut ini:
1. Berpikir Algoritma
2. Dekomposisi

3. Pengenalan pola
4. Generalisasi dan Abstraksi

CONTOH SOAL 1


Poros engkol sebuah mesin memiliki panjang 5 cm

dan batang penghubung AB memiliki panjang 21
cm seperti gambar di bawah ini. Tentukan ukuran

∠ACB jika ukuran ∠ABC adalah 5°.


A
21 cm
5 cm 5°
C B

PENYELESAIAN




Untuk menyelesaikan Contoh Soal 1, ∠ABC = 5°

kita gunakan langkah-Langkah Ditanyakan: ∠ACB ?
Computational Thinking, yaitu: Pengenalan pola
Berpikir Algoritma A

Langkah-langkah penyelesaian: 21 cm
1. Menuliskan hal diketahui dan 5 cm

ditanyakan 5° B
2. Menentukan rumus yang digunakan, C
yaitu dengan menggunakan aturan Pada ∆ABC diketahui dua sisi dan sebuah

sinus sudut di depan sisi sehingga masalah bisa
3. Menyelesaikan perhitungan aturan diselesaikan langsung dengan menggunakan

sinus aturan sinus. Dua pasang sisi dan sudut
4. Menentukan besar sudut C. yang berhadapan adalah sisi AC = 5 cm dan
Dekomposisi sudut didepannya ∠B = 5°, serta sisi AB =

Diketahui: 21 cm dan sudut di depannya C, yang
AC = 5 cm ditanyakan dalam soal.

AB = 21 cm

PENYELESAIAN




Dengan demikian, masalah ini bisa
langsung diselesaikan dengan

menggunakan aturan sinus, yaitu:
sin C sin B
=
AB AC
Generalisasi Pola dan Abstraksi

sin C sin B sin C sin B
= ⇒ =
AB AC 21 5
21 sin 5°
sin = = 0,36605
5
= sin −1 (0,36605) = 21,4722°

= 21° lancip
Atau C = (180-21)° = 159°
Jadi, ukuran sudut ACB atau C adalah

159°.

CONTOH SOAL 2



Aisyah dan Rubiah berdiri di Masjidil Haram dengan
terpisah jarak 6 m antara keduanya. Mereka berdua

memandangi Ka’bah dari masing-masing tempat
mereka berdiri. Misalkan sudut antara tempat Aisyah
berdiri dengan Ka’bah merupakan garis lurus adalah

45° . Sementara itu, sudut antara tempat Rubiah berdiri
dengan Ka’bah yang merupakan garis lurus adalah 15°.

Jika jarak Ka’bah dengan tempat Rubiah berdiri adalah
x y m, dengan x y adalah bentuk akar paling
sederhana, maka nilai x – y = …

PENYELESAIAN







Untuk menyelesaikan Contoh Soal 2, ikuti Ditanyakan: … ?
Langkah-Langkah seperti Contoh Soal 1. Pengenalan Pola
Kerjakan di buku catatan kalian ya!

Berpikir Algoritma Aisyah
Langkah-langkah penyelesaian:

1. …………………………………………………………..
2. …………………………………………………………..
3. …………………………………………………………..

4. …………………………………………………………..
Dekomposisi

Diketahui:
Jarak antara Aisyah dan Rubiah = … m

Sudut antara Aisyah dan Ka’bah= …°
Sudut antara Rubiah dan Ka’bah = …°
Jarak antara Rubiah dan Ka’bah = … Rubiah

PENYELESAIAN






Misalkan titik K adalah titik lokasi Ka’bah.
Besar sudut K adalah:

180 − ⋯ − ⋯ ° = ⋯ °
Untuk mencari jarak Ka’bah dengan Rubiah
yaitu Panjang KR, menggunakan aturan …….

…
=
sin sin …
…
=
sin … sin …
…
=
… …
…
= × ⋯
…
= …
Jadi, diperoleh x = … dan y = …

Sehingga x – y = …

CONTOH SOAL 3

Pada hari Minggu, ustadz Amir diundang untuk berdakwah di dua kota,
yaitu kota D dan kota F. Ia berdakwah di kota D pada ba’da Subuh.

Setelah itu, ia menuju kota F dengan melewati kota E, dari kota D ke kota
E menempuh jarak 150 km. Namun, ada kemacetan di kota E, sehingga

supir ustadz Amir berinisiatif untuk mencari jalan pintas yaitu berbelok
dengan sudut 53° menuju kota F, yang jaraknya 100 m. ilustrasi cerita di
atas terlihat pada gambar di bawah ini.






F






100 m

53°
D 150 m E




Berapakah jarak kota D ke kota F?

PENYELESAIAN





Berpikir Algoritma cos = 180 − 53 ° = − cos 53° = −0,6
Langkah-langkah Penyelesaian: Ditanyakan: DF?
1. Menuliskan hal diketahui dan ditanyakan Pengenalan Pola
2. Menentukan besar sudut dan cosinus F
sudut DEF.
3. Menentukan rumus yang digunakan, yaitu DF =?

dengan menggunakan aturan cosinus 100 m
4. Menyelesaikan perhitungan aturan cosinus
untuk menentukan jarak kota D ke kota F 53°
Dekomposisi D 150 m E
Diketahui: Dari gambar di atas diketahui sisi DE, sisi EF dan
DE = 150 m sudut apitnya adalah E. untuk dua sisi dan sudut
EF = 100 m apit yang diketahui dan ditanya sisi di depan
Sudut E adalah pelurus dari sudut 53° sehingga sudut apit, maka aturan yang sesuai adalah

∠E = 180° − 53° = 127° aturan kosinus.

PENYELESAIAN





Aturan kosinus untuk menghitung sisi DF di
depan sudut E adalah:

2
2
2
DF = DE + EF − 2. DE. EF. cos E
Generalisasi dan Abstraksi
2
2
2
DF = 150 + 100 − 2.150.100. −0,6
2
DF = 22500 + 10000 + 18000
DF = 50500
2
DF = 224,7 km
DF = 225 km

Jadi, jarak kota D ke kota F adalah 225 km.

CONTOH SOAL 4


Pada saat jam istirahat, Arlin bermain di
halaman pesantren. Ia menggambar dua
buah segitiga yang kongruen di tanah

dengan menggunakan lidi dengan posisi
yang berbeda, kemudian segitiga

tersebut diberi nama ∆PQR dan ∆STU
dengan sisi-sisi ∆ABC ditulis seperti pada
gambar.

R U







P Q
S 7 cm T
Jika merupakan sudut yang dibentuk

oleh RP dan PQ. Tentukan nilai cos b!

PENYELESAIAN






Lengkapi jawaban berikut pada buku Latihan Ditanyakan: …
kalian ya! Kerjakan seperti Contoh Soal 3 dengan Pengenalan Pola
menggunakan Langkah-Langkah Computational Penyelesaian:
Thinking Tentukan terlebih dulu sudut β pada ∆ABC
Berpikir Algoritma ∠RPQ = b = ⋯
Langkah-langkah Penyelesaian: … + … − … 2
2
2
1. ……………………………………………………………………….. cos b = 2 × ⋯ × ⋯
2. ……………………………………………………………………….. Generalisasi dan Abstraksi
3. ……………………………………………………………………….. … + … − … 2
2
2
4. ……………………………………………………………………….. cos b = 2 × ⋯ × ⋯
Dekomposisi … + ⋯ − ⋯
Diketahui: cos b = … …
… ≅ … cos b = …
… = ⋯ cos b = …
SU = ⋯ cm … …

ST = ⋯ cm Jadi, nilai cos b adalah …
TU = ⋯ cm

Untuk melatih pemahaman kalian mengenai
materi aturan sinus dan cosinus, ayo coba QUIZ

berikut ini! Kerjakanlah dengan menggunakan
langkah-langkah Computational Thinking!



QUIZ
(Klik disini)

LUAS SEGITIGA




KOMPETENSI





VIDEO




MATERI





CONTOH SOAL





QUIZ

KOMPETENSI



























KOMPETENSI INTI






KOMPETENSI DASAR

KOMPETENSI INTI

3. Memahami, menerapkan, dan menganalisis pengetahuan faktual,
konseptual, prosedural berdasarkan rasa ingintahunya tentang ilmu
pengetahuan, teknologi, seni, budaya, dan humaniora dengan

wawasan kemanusiaan, kebangsaan, kenegaraan, dan peradaban
terkait penyebab fenomena dan kejadian, serta menerapkan

pengetahuan prosedural pada bidang kajian yang spesifik sesuai
dengan bakat dan minatnya untuk memecahkan masalah

4. Mengolah, menalar, dan menyaji dalam ranah konkret dan ranah

abstrak terkait dengan pengembangan dari yang dipelajarinya di
sekolah secara mandiri, dan mampu menggunakan metoda sesuai

kaidah keilmuan

KOMPETENSI DASAR


3.13 Menentukan luas segitiga pada trigonometri

4.13 Menyelesaikan masalah kontekstual yang berkaitan dengan
luas segitiga pada trigonometri

VIDEO

LUAS SEGITIGA


A t
Dalam ∆ABD ∶ sin B = → t = c sin B
c
1
Substitusi t = c sin B ke L = at, diperoleh:
2
c b 1 1
t L = a(c sin B) = ac sin B
2 2
t
Dalam ∆ABD ∶ sin B = → t = c sin B
B C c
D a 1

Garis AD = t adalah garis tinggi dari titik A ke Substitusi t = c sin B ke L = 2 at, diperoleh:
sisi BC. 1
t L = a(c sin B)
Dalam ∆ACD ∶ sin C = → t = b sin C 2
b 1
1 L = ac sin B
Substitusi t = b sin C ke L = at, diperoleh: 2
2 Catatan: Hasil yang sama akan diperoleh
1 1 untuk ∆ABC tumpul.
L = a b sin C = ab sin C
2 2

Berdasarkan bukti-bukti di atas, luas ∆ABC jika
diketahui panjang dua sisi dan besar sudut yang

diapit oleh kedua sisi itu, dapat ditentukan dengan
menggunakan salah satu rumus berikut.
1
= sin
2
1
= sin
2
1
= sin
2

Untuk menyelesaikan soal-soal, ayo kita gunakan

langkah-langkah computational thinking. Karena bagi
siswa SMK, computational thinking itu mutlak

diperlukan, khususnya sebagai bekal kelak di Dunia
Usaha ataupun industri.
Langkah-langkah computational thinking itu sebagai

berikut ini:
1. Berpikir Algoritma

2. Dekomposisi
3. Pengenalan pola
4. Generalisasi dan Abstraksi

CONTOH SOAL 1

Di dalam lingkungan pesantren terdapat

sepetak tanah yang rencananya akan dibangun
kolam berbentuk segitiga dengan sketsa
sebagai berikut.



30° 120°
90 cm




Hitunglah berapa luas kolam di pesantren itu!

PENYELESAIAN





Untuk menjawab Contoh Soal 1 kita 4. Menyelesaikan perhitungan luas

gunakan Langkah-Langkah segitiga
Computational Thinking, yaitu Dekomposisi

sebagai berikut. A B
Berpikir Algoritma 30° 120°
Langkah-langkah Penyelesaian: 90 cm

1. Menuliskan hal diketahui dan
ditanyakan

2. Menentukan rumus yang C
digunakan untuk mencari panjang Diketahui:
sisi yang belum diketahui, yaitu BC = 90 cm

dengan menggunakan aturan sinus. ∠A = 30°
3. Menentukan rumus yang ∠B = 120°

digunakan untuk mencari luas Ditanyakan:
kolam Luas ABC?

PENYELESAIAN




90 AC
Pengenalan Pola 1 = 1

Diketahui dua sisi dan satu sudut 2 2 3
apitnya, maka aturan yang sesuai untuk AC = 90 3 cm

digunakan adalah aturan sinus. Aturan ∠ = 180° − ∠ − ∠B
sinus untuk mencari salah satu sisi ∠ = 180° − 120° − 30° = 30°
yang akan digunakan untuk mencari 1

besar luas adalah: Luas ABC = 2 . AC. BC. sin C
BC AC 1
= Luas ABC = . 90 3. 90. sin 30°
sin A sin B 2
Generalisasi dan Abstraksi 8100
BC AC Luas ABC = 4 3
=
sin A sin B Luas ABC = 2025 3 cm 2
90 AC Jadi, luas kolam pesantren
=
sin 30° sin 120° adalah 2025 3 cm 2

CONTOH SOAL 2

Di lingkungan madrasah terdapat sepetak tanah yang

ditanami bunga mawar yang berbentuk segitiga
seperti gambar di bawah ini.



C



10 dm 15.36 dm





105° 30°

A B
Tentukan luas tanah yang ditanami
bunga mawar di lingkungan madrasah

tersebut!

Lengkapi jawaban berikut pada buku BC = … dm

Latihan kalian ya! Kerjakan seperti Contoh ∠A = ⋯ °
Soal 3 dengan menggunakan Langkah- ∠B = ⋯ °
Langkah Computational Thinking Ditanyakan: ……………………………………………….

Jawaban: Pengenalan Pola
Berpikir Algoritma Menggunakan rumus luas segitiga dengan

Langkah-langkah Penyelesaian: sisi … dan sisi … serta sudut …
1. ……………………………………………………………… Penyelesaian:
2. ……………………………………………………………… Generalisasi dan Abstraksi

3. ……………………………………………………………… ∠C = 180° − (… ° + ⋯ °)
Dekomposisi ∠C = ⋯ °

C 1
L = × ⋯ × ⋯ × sin …
2
1 × ⋯ × ⋯ × sin … °
L =
… dm … dm 2
1
L = × ⋯ × ⋯ × ⋯
… ° … ° 2 2

A B L = ⋯ cm
Jadi, luas tanah yang ditanami bunga

Diketahui: AC = ⋯ dm tersebut adalah … dm 2

Untuk melatih pemahaman kalian mengenai
materi luas segitiga pada trigonometri, ayo coba

QUIZ berikut ini! Kerjakanlah dengan
menggunakan langkah-langkah Computational

Thinking!


QUIZ

(Klik disini)

JUMLAH DAN SELISIH DUA SUDUT




KOMPETENSI





VIDEO




MATERI





CONTOH SOAL





QUIZ

KOMPETENSI



























KOMPETENSI INTI






KOMPETENSI DASAR

KOMPETENSI INTI

3. Memahami, menerapkan, dan menganalisis pengetahuan faktual,
konseptual, prosedural berdasarkan rasa ingintahunya tentang ilmu
pengetahuan, teknologi, seni, budaya, dan humaniora dengan

wawasan kemanusiaan, kebangsaan, kenegaraan, dan peradaban
terkait penyebab fenomena dan kejadian, serta menerapkan

pengetahuan prosedural pada bidang kajian yang spesifik sesuai
dengan bakat dan minatnya untuk memecahkan masalah

4. Mengolah, menalar, dan menyaji dalam ranah konkret dan ranah

abstrak terkait dengan pengembangan dari yang dipelajarinya di
sekolah secara mandiri, dan mampu menggunakan metoda sesuai

kaidah keilmuan

KOMPETENSI DASAR

3.14 Menganalisis nilai sudut dengan rumus jumlah dan selisih

dua sudut

4.14 Menyelesaikan nilai-nilai sudut dengan rumus jumlah dan
seslisi dua sudut

VIDEO

MATERI




sin α ± β




cos α ± β




tan α ± β




RUMUS SUDUT GANDA




PERKALIAN SINUS DAN KOSINUS



JUMLAH & SELISIH SINUS DAN
KOSINUS

sin ±

Pada gambar di samping, O adalah titik pusat lingkaran luar
segitiga ABC, diketahui ∠BAC = α, ∠ABC = β, ∠ACB = γ dan

panjang sisi-sisi AB = c, BC = a dan AC = b serta jari-jari C
1 γ
OA = , α + β < π.
2
Pada ∆ADO siku-siku di D:

1 c 1 b O a
OA = , AD = dan ∠AOD = γ(∠AOD = ∠AOB = ∠ACB
2 2 2
Maka:
c
AD β
sin γ = = 2 α B
OA 1 A E D
2
sin γ = c
Sehingga dengan cara yang sama diperoleh c

sin α = a dan sin β = b

Pada ∆AEC, EA = b cos α, dan pada ∆BEC, EA = α cos b
EA + EB = c O
c = b cos α + α cos b 1 γ
α + β + γ = π → γ = π − (α + β) 2

Sehingga:

sin α + β = sin( π − (α + β)) = sin y = c
sin α + β = b cos α + α cos b
= sin β cos α + sin α cos β A c D
Jadi, 2

sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β
Sementara itu, untuk rumus sin( α − β) dapat dilakukan dengan mensubtitusikan

bentuk α − β = α + (−β).
sin α − β = sin[α + −β ] = sin α cos −β + cos α sin −β

= sin α cos β − cos α sin β

Jadi,

sin α − β = sin α cos β − cos α sin β
Rumus sin α − β dapat juga diperoleh dari gambar berikut


C C

D D
D m

m α - n β = n
sin n sin
n
m β α − β
α A m cos α B A
A β B
n cos β

Luas ∆ABC − Luas ∆ABD = Luas ∆ADC
1 1 1
mn sin α cos β − mn cos α sin β = mn sin(α − β)
2 2 2
Jadi, sin α − β = sin α cos β − cos α sin β