TRIGONOMETRI

±

C C C



a
b a = b a cos + b sin






A D B A b cos D D a sin B
π
∠ACB = − α + β
2
π
= − (α − β)
2
Luas ∆ABC = Luas ∆ADC + Luas ∆BDC
1 π 1 1
ab sin( − α − β = ab cos α cos β + ab sin α sin β
2 2 2 2
Jadi,

cos(α − β) = cos α cos β + sin α sin β

Rumus cos ( − ) dapat juga diperoleh dari Gambar di bawah ini.

















Pada gambar di atas, misalkan titik 1, 0 . Sudut dan menentukan letak titik

, , , , dan , 3 pada lingkaran. Misalnya kita asumsikan bahwa 0 <
2
1
1
2
3
< < 2 , maka:
= cos , = sin
1
1
= cos( − ), = sin( − )
2
2
= cos . = sin
1
3
Pada gambar di atas, panjang busur AC = panjang busur BD sehingga panjang tali busur AC
dan BD sama panjang.

=
− 1 2 + − 0 2 = − 1 2 + − 1 2
2
3
2
3
2
2
( −2 + 1 + = 3 2 − 2 + 1 2 + 3 2 − 2 + 1 2
2
1 3
2
2
1 3
2 2 + 2 2 + 1 − 2 = 3 2 + 3 2 + 1 2 + 1 2 − 2 − 2
2
1 3
1 3
2
2
2
2
2
2
cos − + + sin ( − ) + 1 − 2 = (cos + sin ) + (cos + sin ) − 2 − 2
1 3
1 3
2
1 + 1 − 2 = 1 + 1 − 2 − 2
1 3
2
1 3
= −
1 3
1 3
2
Dengan mensubtitusikan nilai-nilai , , , dan diperoleh:
2
2
2
2
2
cos − = cos cos +
Untuk mendapatkan rumus cos + , dapat dilakukan dengan mensubtitusikan − = +
(− ).
sin + = cos [ − − ]
= cos cos − + sin −
= cos cos − sin
cos + = cos cos −

±
Rumus-rumus penjumlahan sinus dan cosinus yang telah kita peroleh sebelumnya, dapat kita
gunakan untuk menemukan rumus penjumlahan tangen, seperti berikut ini.



sin β cos α + sin α cos β
sin(α + β) sin β cos α + sin α cos β cos α cos β
tan α + β = = =
cos(α + β) cos α cos β − sin α sin β cos α cos β − sin α sin β
cos α cos β
sin α cos β sin β cos α sin α sin β
( cos α cos β + cos α cos β ) ( cos α + cos β ) tan α + tan β
= cos α cos β sin α sin β = sin α sin β =
( − ) 1 − . 1 − tan α tan β
cos α cos β cos α cos β cos α cos β
Jadi,

tan α + tan β
tan α + β =
1 − tan α tan β

Sementara itu, untuk rumus tan α − β , dengan mensubtitusikan bentuk
α − β = α + (−β).

tan α + tan(−β)
tan α − β = tan [α + −β ] =
1 − tan α tan(−β)
ingat tan −β = − tan β
tan α − tan β
tan α − β =
1 + tan α tan β


Jadi,

tan α − tan β
tan α − β =
1 + tan α tan β

sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β



sin α − β = sin α cos β − cos α sin β




cos α + β = cos α cos β − sin α sin β



cos α − β = cos α cos β + sin α sin β



tan α + tan β
tan α + β =
1 − tan α tan β



tan α − tan β
tan α − β =
1 + tan α tan β

RUMUS-RUMUS SUDUT GANDA

Untuk setiap sudut α berlaku rumus-rumus berikut.
1. sin 2α = 2 sin α cos α
2
2
2. cos 2α = cos α - sin α
2
= 2 cos α – 1
2
= 1 - sin α
3. tan 2α = 2 tan a
2
1−tan a

Bukti:
1. sin 2α = sin (a + a)

= sin a cos a + cos a sin a
= 2 sin a cos a
2. cos 2a = cos a + a

= cos a cos a − sin a sin a
2
2
= cos α - sin α

2
2
Dengan menggunakan rumus, cos α = 1 – sin α dan rumus
sin α = 1 – cos α , maka diperoleh :
2
2
cos α − sin α = cos α – ( 1 – cos α )
2
2
2
2
2
2
= cos α – 1 + cos α
= 2 cos – 1
2
atau
2
2
2
2
cos α − sin α = (1 − sin α ) - sin α
2
= 1 − sin α
3. tan 2α = tan a + tan a
= tan a + tan a
1 − tan a tan a
= 2 tan a
2
1 −tan a

∆CBD ≅ ∆ABC (sebangun)

CD BC
BD AB =
= BC AC
BC AC 1 + cos 2θ 2 cos θ
sin 2θ 2 sin θ ⇔ =
⟺ = 2 cos θ 2
2
2 cos θ) 2 ∴ cos 2θ = 2 cos θ − 1
∴ sin 2θ = 2 sin θ cos θ

RUMUS PERKALIAN SINUS DAN KOSINUS
Untuk setiap sudut α dan sudut β berlaku rumus-rumus berikut.

2 sin α cos β = sin α + β + sin (α − β) ….. (1)
2 cos α sin β = sin α + β − sin (α − β) ….. (2)

2 cos α cos β = cos α + β + cos (α − β) ….. (3)
2 sin α sin β = −cos α + β + cos (α − β) ….. (4)
Rumus-rumus tersebut dapat dibuktikan dengan rumus-rumus yang telah dipelajari pada

subbab sebelumnya.
Perhatikan pembuktian rumus (1) berikut.

Bukti:
Ruas kanan

sin α + β + sin (α − β)
= (sin β cos α + sin α cos β ) + (sin α cos β − cos α sin β)
= sin β cos α + sin α cos β + sin α cos β − cos α sin β

= 2 sin α cos β
= ruas kiri

RUMUS JUMLAH DAN SELISIH SINUS DAN KOSINUS



1 1
sin + sin = 2 sin + cos − ….. (5)
2 2
1 1
sin − sin = 2 cos + sin − ….. (6)
2 2
1 1
cos + cos = 2 cos + cos − ….. (7)
2 2
1 1
− cos = 2 sin + sin − ….. (8)
2 2

Perhatikan pembuktian rumus (5) berikut.
Bukti:

Untuk rumus perkalian (1), misalkan + = dan − = .
+ =

− = +
1
= +
2
Dan

+ =
− = -
1
= −
2
Sehingga dari rumus (1).

2 sin cos = sin + + sin ( − )
Kita peroleh:
1 1
sin + sin = 2 sin + cos −
2 2

CONTOH SOAL 1




Hitunglah nilai dari sin 75° tanpa menggunakan
kalkulator atau tabel trigonometri!

PENYELESAIAN













75° = 45° + 30°
sin 75° = sin(45° + 30°)
sin 75° = sin 45° cos 30° + cos 45° sin 30°
1 1 1 1
sin 75° = 2 3 + 2
2 2 2 2
1 1
sin 75° = 6 + 2
4 4
1
sin 75° = 6 + 2
4
1
Jadi, sin 75° = 6 + 2
4

CONTOH SOAL 2



π
Tentukan nilai cos tanpa menggunakan kalkulator!
12

PENYELESAIAN











Lengkapilah penyelesaian Contoh Soal 2 berikut pada Buku Latihan kalian!
π
cos = cos(… − ⋯ ) = cos … cos … + sin … sin …
12
= … … + … …
= ⋯ + ⋯

= ⋯ … + ⋯