E-MODUL MEKANIKA ANALITIK

2
−0 ± √0 − 4.1.


2.1

±√−4


2

±2√ √−1


2

±√

Dalam penyelesaian PDB Orde 2, akar-akar yang memilii nilai bilangan imajiner
(i), dirumuskan dalam bentuk :
±


Sehingga, kita dapat mengetahui nilai = 0 dan = √ .

Penyalesaian fungsi ini menjadi :
= (sin + )
Dengan Gamma merupakan beda fase. Dan fungsi y disini merupakan , dan
x merupakan fungsi t ( waktu ). Maka, penyelesaian akhirnya menjadi :



( ) = 0 (sin √ + )



Nilai , dapat kita abaikan, sehingga :

( ) = 1 (sin √ )


c merupakan konstanta yang dalam permasalahan ini merupakan Amplitudo
gelombang yang disimbolkan A. Jadi, fungsi akhir teta nya menjadi :


( ) = (sin √ )




Kita juga dapat menuliskan √ = . Persamaannya menjadi :

( ) = (sin )






51

k

m





keadaan setimbang


x



k
v
m





keadaan setelah bergerak



Sebuah benda bermassa m, digantungkan pada sebuag pegas tak bermassa,

menggunakan pendekatan Lagrange, hitung nilai x!













52

1. Fungsi Lagrange



Energi kinetic


1
= Karena v merupakan perubahan jarak
2 persatuan waktu maka:


1 = = ̇
=
̇
2

Energi POTENSIAL pegas


1
=
2
2



FUNGSI LAGRANGE
ℒ = −

1 1
2
ℒ = −
̇
2 2


2. Fungsi Euler-Lagrange



ℒ ℒ
=
̇

1 1 1 1
2
2
̇
( − ) ( − )
̇
2 2 = 2 2
̇












53

3. Penyelesaian Fungsi Euler-Lagrange


Penyelesaian dari persamaan E-L:


1 1 1 1
2
2
2
2
̇
̇
( − ) ( − )
2 2 = 2 2
̇
1 1 1 1
2
2
2
2
̇
̇
( ) ( ) ( ) ( )
2 − 2 = 2 − 2
̇ ̇


Hasilnya 0, karena tidak ada
komponen x pada kedua
suku kiri, dan x dot pada
suku kanan tersebut

1 1
2
2
̇
( ) ( )
− 2 = 2
̇


̇
− =


− =
̈

+ = 0
̈


+ = 0
̈


Persamaan diatas membentuk fungis Persamaan Diferensial Orde 2 Linier.

Persamaan tersebut kemudian diselesaikan sebagai berikut:


+ = 0
̈










54


2
+ = 0



2
( + ) = 0


Kemudian kita faktorkan untuk mendapatkan akar-akar penyelesaiannya.
Karena suku tersebut tidak dapat difaktorkan menggunakan pemfaktoran
biasa, kita gunakan rumus abc untu menemukan akar-akarnya.



2
+


Dari fungsi tersebut, kita ketahui bahwa nilai : a=1, b=0, c=k/m


2
− ± √ − 4

2



2
−0 ± √0 − 4.1.

2.1



±√−4 ±2√−
=
2 2



±√ √−1 = ±√



Dalam penyelesaian PDB Orde 2, akar-akar yang memilii nilai bilangan imajiner
(i), dirumuskan dalam bentuk :
±


Sehingga, kita dapat mengetahui nilai = 0 dan = √ .

Penyalesaian fungsi ini menjadi :
= (sin + )






55

Dengan Gamma merupakan beda fase. Dan fungsi y disini merupakan , dan
x merupakan fungsi t ( waktu ). Maka, penyelesaian akhirnya menjadi :




( ) = 0 (sin √ + )



Nilai , dapat kita abaikan, sehingga :


( ) = 1 (sin √ )



c merupakan konstanta yang dalam permasalahan ini merupakan Amplitudo
gelombang yang disimbolkan A. Jadi, fungsi akhir teta nya menjadi :




( ) = (sin √ )













z
Tentukan nilai :

a. ̈
b. ̇
c. z





y









56

1. Fungsi Lagrange


Meninjau dari system berada dalam koordinat kartesian 3D, maka system
memiliki 3 variabel, yaitu x,y,dan z:

Energi kinetic


1
=
2
1 2 2 2
= ( + + )
2
1
= ( + + )
2
2
2
̇
̇
̇
2

Energi potensial
= ℎ

=


FUNGSI LAGRANGE


ℒ = −
1
2
2
2
ℒ = ( ( + + )) − ( )
̇
̇
̇
2



2. Fungsi Euler-Lagrange

Fungsi terhadap y

ℒ ℒ
=
̇











57

1 1
2
2
2
2
2
2
̇
̇
̇
( ( + + )) − ( ) ( ( + + )) − ( )
̇
̇
̇
2 2
=
̇
sama dengan 0

0 =
̇


0 =
̈


Fungsi terhadap x

ℒ ℒ
=
̇
1 1
2
2
2
2
2
2
̇
̇
̇
̇
̇
̇
( ( + + )) − ( ) ( ( + + )) − ( )
2 2
=
̇

sama dengan 0



̇
0 =


0 = ̈

Fungsi terhadap z



ℒ ℒ
=
̇

1 1
2
2
2
2
2
2
̇
̇
̇
̇
̇
̇
( ( + + )) − ( ) ( ( + + )) − ( )
2 2
=
̇
58


− = ̇

− = ̈


− = ̈


Dengan fungsi x, y kita dapat mengetahui :

❖ 0 =
̈

0 = artinya, konstant
̈
= artinya, kecepatan awal, sehingga
̇
=
̇
0

=
0

= integralkan kedua ruas
0
=
0

❖ 0 =
̈
0 = artinya, konstant
̈

= artinya, kecepatan awal, sehingga
̇
=
̇
0

=
0

= integralkan kedua ruas
0
=
0



❖ − = ̈
̇
= −






59

= − integralkan kedua ruas
̇


= − +
̇
̇
Saat t=0, maka = dimana merupakan kecepatan awal, maka =
̇
̇
0
0
0
. Sehingga
0

= − +
̇
0

= −
̇
0


❖ = −
̇
0

= −
0
= ( − ) integralkan kedua ruas
0

= ∫ − ∫
0

1
2
= −
0
2























60

uiL APLIKASI MEKANIKA LAGRANGE Liu




Terdapat banyak aplikasi atau penerapan dari mekanika Lagrange. Berikut


ini akan dibahas mengenai beberapa aplikasi mekanika lagrange pada

permasalahan-permasalan yang sering kita temui sehari-hari.





Problem 1




Pada pesawat AtWood, dua buah benda dengan massa
R
m1,dan m2 dihubungkan menggunakan sebuah tali

sepanjang l pada sebuah katrol. Apabila massa katrol
q2
diabaikan, berapa nilai ! q1
̈


m2
Solution 1




Pertama kita perlu meninjau setiap benda dalam system. m1



Menentukan komponen l (Panjang tali)
=


R = + +
1
2
u=0
= − −
1
2
= − + −
2
1

q2 Konstanta c
= − +
q1 2 1
̇
̇
= −
1
2
Pada penyelesaian ini kita gunakan
m2
variable umum berupa q1 dan q2 untuk
setiap sistem
m1
61

Meninjau nilai K (Energi Kinetik Sistem)


= 1 + 2
1 1
2
= 2 +
1 1
2 2
2 2
1 1
2
= ̇ 2 +
̇
2 2
1 1
2 2
Dengan mensubtitusi nilai q2,maka persamaan energi kinetic system menjadi :
1 1
2
̇
= ̇ 2 +
2 1
1 1
2 2
1
2
= ( + )
̇
2
1
1
2

Meninjau nilai U (Energi Potensial Sistem)


= 1 + 2

= − −
1
1
2
2
Dengan mensubtitusi nilai q2,maka persamaan energi potensial system menjadi :
= − + −
1
2
1
2
1
= ( − ) −
1
2
2
1

Persamaan Lagrange

ℒ = −

1
2
ℒ = ( ( + ) ) − (( − ) − )
̇
1
1
2
2
1
2
1
2



62

Penyelesaian dengan Euler - Lagrange


ℒ ℒ
=
̇
1 ̇ 1
Suku Kiri


ℒ
=
1


1

2
( ( + ) ) − (( − ) − )
̇
2 1 2 1 2 1 1 2 =
1
Nilainya 0 karena
2
1
tidak ada −( − ) = Nilainya 0 karena
tidak ada
komponen ( − ) = komponen
1
1
2
1
Suku Kanan
ℒ
=
̇ ̇
1
1 2
̇
( ( + ) ) − (( − ) − )
1
2
2
2
1
1
1
2
=
̇ 1 ̇

= ( + ) ̇
1
1
2

= ( + ) ̈
2
1
1

Suku Kiri=Suku Kanan
( − ) = ( + ) ̈
1
2
1
2
1
( − )
2
1
̈ =
1
( + )
1
2

Jadi, nilai dari ̈ , yang pada mekanika klasik juga disebut sebagai
1
( − )
percepatan, sebesar 1 2
( + )
1
2
63

q
1 1
=
2
Problem 2 m1




q
2


Pada pesawat AtWood, dua buah benda dengan massa

m1,dan m2 dihubungkan menggunakan sebuah tali

sepanjang l pada sebuah katrol. Apabila massa katrol m2

diabaikan, berapa nilai ̈!




Solution 2




Pertama kita perlu meninjau setiap benda dalam system.

Menentukan komponen l (Panjang tali)


1
= + +
2
1
2
1
= − −
1
2
2
1
= − + −
2
1
2
Konstanta c
Pada penyelesaian ini kita gunakan variable umum berupa q1 dan q2
untuk setiap sistem
= − +
1
2
̇
̇
= −
2
1















64

Meninjau nilai K (Energi Kinetik Sistem)


= 1 + 2
1 1
2
= 2 +
1 1
2 2
2 2
1 1
2
= ̇ 2 +
̇
2 2
1 1
2 2
Dengan mensubtitusi nilai q2,maka persamaan energi kinetic system menjadi :
1 1
2
̇
= ̇ 2 +
2 1
1 1
2 2
1
2
= ( + )
̇
1
1
2
2

Meninjau nilai U (Energi Potensial Sistem)


= 1 + 2

= 0 −
2
2
Dengan mensubtitusi nilai q2,maka persamaan energi potensial system menjadi :

= −
2
2
1

= −
2
2
1

Persamaan Lagrange


ℒ = −

1
2
ℒ = ( ( + ) ) − ( − )
̇
2
1
1
2
1
2
2




65

Penyelesaian dengan Euler - Lagrange


ℒ ℒ
=
̇
1 ̇ 1
Suku Kiri


ℒ
=
1


1 2
( ( + ) ) − ( − )
̇
2 1 2 1 2 1 2 =
1

Nilainya 0 karena
2
tidak ada − = Nilainya 0 karena
tidak ada
komponen komponen
1
1
Suku Kanan

ℒ
=
̇ ̇
1
1 2
̇
( ( + ) ) − ( − )
2
2
1
2
1
1
2
=
̇ 1 ̇

= ( + ) ̇
2
1
1

= ( + ) ̈
2
1
1

Suku Kiri=Suku Kanan
− = ( + ) ̈
1
2
1
2
−
2
̈ =
1
( + )
1
2

Jadi, nilai dari ̈ , yang pada mekanika klasik juga disebut sebagai
1
−
percepatan, sebesar 2
( + )
1
2
66

1
=
I 2

Problem 3 U=0


Pada pesawat AtWood, sebuah benda dengan massa
q
m dihubungkan menggunakan sebuah tali

sepanjang l pada sebuah katrol. Apabila katrol berjari-jari R


berputar dengan momen inersia sebesar I, berapa nilai !
̈
m




Solution 2




Pertama kita perlu meninjau setiap benda dalam system.


Menentukan komponen l (Panjang tali)

=

Pada penyelesaian ini kita hanya menggunakan satu buah tali dan satu

buah beban.

Meninjau nilai K (Energi Kinetik Sistem)


= +

1 1
2
2
= +
2 2
1 1 2
2
= + ( )
̇
2 2
1 1 ̇ 2
2
= +
̇
2 2 2








67

1
2
= ( + )
̇
2 2


Meninjau nilai U (Energi Potensial Sistem)



=
= −



Persamaan Lagrange


ℒ = −

1
2
ℒ = ( ( + ) ) − (− )
̇
2 2


Penyelesaian dengan Euler - Lagrange


ℒ ℒ
=
̇

Suku Kiri


ℒ
=
1

1
2

( ( + ) ̇ ) − (− )
2 2 =

Nilainya 0 karena
tidak ada =
komponen
1










68

Suku Kanan

ℒ
=
̇


1 2
( ( + 2 ) ̇ ) − (− )
2
=
̇


= ( + )
̇
2

= ( + )
̈
2


Suku Kiri=Suku Kanan


̈
= ( + )
2

̈
=
( + )
2


Jadi, nilai dari , yang pada mekanika klasik juga disebut sebagai
̈

percepatan, sebesar
( + )
2




























69

PROBLEM 1









R
=



−
2
1


2

1


Sebuah pesawat atwood yang terdiri dari dua massa dan digantung oleh
2
1
tali yang melintas di atas katrol yang berputar tanpa gesekan dengan radius R.
Karena panjang tali konstan, posisi seluruh sistem bisa ditentukan oleh variable
̈
tunggal yang dapat kita anggap sebagai q. Bagaimanakah fungsi ?








Untuk menyelesaikan problem tersebut, diperlukan untuk meninjau satu persatu

komponen yang ada pada sistem:

Sistem memiliki massa m yang menarik tali dengan panjang tali , pada katrol yang berputar

tanpa gesekkan ( = 0) mengakibatkan adanya perubahan ketinggian yang
mempengaruhi energi potensialnya serta pergerakan massa dengan kecepatan tertentu
mengakibatkan adanya energi kinetic. Maka:

1. Fungsi Lagrange


PANJANG TALI
1
= + + (2 ) Panjang tali pada sistem dapat
2
1
2
= + + didefinisikan sebagai jumlah dan
2
1
1
2
= − − serta setengah keliling lingkaran katrol
2
1
= − + −
1
2
= − +
2
1
70

ENERGI KINETIK
= +


1 1 1
2
= 2 + 2 +
2 2
1 1
2 2 2

Dengan
̇
= = 1

Mensubstitusi nilai percepatan sudut ( ) tersebut dan mengubah nilai kecepatan
dengan koordinat q, maka
2
1 2 1 2 1 ̇ 1
= ̇ + ̇ +
2 1 1 2 2 2 2 2
2
1 2 1 1 ̇ 1
2
̇
= ̇ + (− ) +
2 1 1 2 2 1 2 2
1 2 1 2 1 ̇ 1 2
= ̇ + ̇ + (1)
2 1
1 1
2 2 2 2

ENERGI POTENSIAL
= − −
1
1
2
2
= − − (− + )
2
1
1
1
= − + (2)
2
1
1
1
2

FUNGSI LAGRANGE
ℒ = −
2
1 2 1 2 1 ̇ 1
ℒ = ( ̇ + ̇ + ) − ( − + ) (3)
1
2
2 1
1
2
1 1
1
2 2 2 2


2. Fungsi Euler-Lagrange
ℒ ℒ
=
̇
2
1 2 1 2 1 ̇ 1
[( ̇ + ̇ + 2 )−( − + )]
1
2
1
2 1
1 1
2
1
2 2 2 =
1
2
1 2 1 2 1 ̇ 1
[( ̇ + ̇ + )−( − + )]
2 1 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2
(4)
̇ 1


71

3. Penyelesaian Fungsi Euler-Lagrange
Dari persamaan 4, kita selesaikan sebagai berikut:

1 1 1 ̇ 2
[( ̇ 2 + ̇ 2 + 1 ) − ( − + )]
2 1 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2
1

1 2 1 2 1 ̇ 2
[( ̇ + ̇ + 1 ) − ( − + )]
2 1 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2
=
̇ 1

SUKU KIRI

1 1 1 ̇ 2
[( ̇ 2 + ̇ 2 + 1 ) − ( − + )]
2 1 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2

1
Hasilnya 0

karena tidak
ada
komponen
1




( − ) = −( − ) (5)
1
1
1
2
1 2 1
SUKU KANAN
1 1 1 ̇ 2
[( ̇ 2 + ̇ 2 + 1 ) − ( − + )]
2 1 1 2 2 1 2 2 2 1 1 2 2

̇
1


1 2 1 2 1 ̇ 2 Hasilnya 0
( ̇ + ̇ + 1 ) karena tidak
1 1
2 1
2 2 2 2
ada
̇
1 komponen ̇
1

̈ ( + + ) (6)
2
1
1
2
Sehingga, hasil penyelesaian Euler-Lagrange nya adalah
=



( − ) = ̈ ( + + )
2
2
1
1
1
2



72

( − )
2
1
̈ =
1
( + + 2 )
1
2




PROBLEM 2






− ℎ = sin R Menggelinding




ℎ





Sebuah bola bermassa m dan memiliki radius R menggelinding di atas bidang

miring dengan kemiringan , tinggi y, dan panjang x, bidang tersebut licin tanpa
adanya gaya gesekan dengan kecepatan V. Jarak dari puncak bidang miring ke
̈
bola saat menggelinding dapat kita anggap sebagai q. Bagaimanakah fungsi ?











Untuk menyelesaikan problem tersebut, diperlukan untuk meninjau satu persatu

komponen yang ada pada sistem:


Bola memiliki massa m yang menggelinding sepanjang q, pada bidang miring tanpa
gesekkan ( = 0) mengakibatkan adanya perubahan ketinggian yang mempengaruhi
energi potensialnya serta pergerakan bola dengan kecepatan tertentu mengakibatkan
adanya energi kinetic. Maka:













73

1. Fungsi Lagrange

Pada gambar ilustrasi soal di atas, diketahui bahwa bola menggelinding dengan jarak sejauh

q, maka:


− ℎ = sin dan =
̇

ENERGI KINETIK

= +
1
1
= +
2
2
2 2
2

1
1
= ( ) +
2
̇
2 2
2 1
1
̇
= ( ) +
2
̇
2 2
1
2
= ( + ) (1)
̇
2 2

ENERGI POTENSIAL
= ℎ
= ( − sin )
= − sin (2)

FUNGSI LAGRANGE
ℒ = −

1
2
ℒ = ( + ) − [ − sin ]
̇
2 2
1 2
ℒ = ( + ) − + sin (3)
̇
2 2

2. Fungsi Euler-Lagrange

ℒ ℒ
=
̇

1 1
2
2
[ ̇ ( + )− + sin ] [ ̇ ( + )− + sin ]
2 2 = 2 2 (4)
̇









74

3. Penyelesaian Fungsi Euler-Lagrange

Kita dapat menyelesaikan fungsi Euler-Lagrange (4) tiap sukunya agar lebih mudah
1 1
2
2
[ ( + ) − + sin ] [ ( + ) − + sin ]
̇
̇
2 2 = 2 2
̇

SUKU KIRI
1
2
̇
[ ( 2 + ) − + sin ]
2
Hasilnya 0 karena
tidak ada variable
q yang diturunkan
[ sin ] = sin (5)



SUKU KANAN

1 2
̇
[ ( 2 + ) − + sin ] Hasilnya 0 karena
2
̇ tidak ada komponen
yang diturunkan
̇



1 2
̇
[ ( 2 + )]
2
̇


̈
( + ) (6)
2
Sehingga, hasil penyelesaian Euler-Lagrangenya adalah

=


sin = ̈ ( + )
2


sin
=
̈
( + )
2













75

PROBLEM 3




1








2
M







= +
2


Sebuah balok bermassa m bergerak di atas bidang miring bermassa M dengan
kemiringan , bidang tersebut licin tanpa adanya gaya gesekan dengan kecepatan
V. Jarak dari puncak bidang miring ke balok saat meluncur dapat kita anggap
sebagai dan jarak perpindahan bidang miring kita anggap sebagai .
2
1
Bagaimanakah fungsi ̈ ?
1










Untuk menyelesaikan problem tersebut, diperlukan untuk meninjau satu persatu

komponen yang ada pada sistem:


Balok memiliki massa m yang meluncur sepanjang , pada bidang miring bermassa M
1
dengan kemiringan dan mengalami perpindahan sejauh tanpa gesekkan ( = 0)
2
mengakibatkan adanya energi kinetic pada balok maupun bidang miring serta adanya
perubahan ketinggian yang mempengaruhi energi potensial balok. Maka:















76

1. Fungsi Lagrange

Pada gambar ilustrasi soal di atas, diketahui bahwa bola menggelinding dengan jarak sejauh

q dan mengubah koordinat kartesius menjadi polar, maka:


= cos dan =
̇
1
= − sin = − ̇ sin
1

1
= +
2

= cos + = ̇ cos + ̇

2
1
1
2

ENERGI KINETIK BALOK

1
=
2
2
2
1
= ( + )
2
1
= [( ̇ cos + ̇ ) + (− ̇ sin ) ]
2
2
2 1 2 1
1 2 2
2
2
= [ ̇ cos + 2 + 2 ̇ ̇ cos + ̇ sin ]
2 1 2 1 2 1
1 2
2
2
= [ ̇ (cos + sin ) + 2 + 2 ̇ ̇ cos ]
2 1 2 1 2
1 2
= [ ̇ 1 + 2 2 + 2 ̇ ̇ cos ] (1)
1 2
2

ENERGI KINETIK BIDANG MIRING
1
2
=
2 2
1
2
= (2)
̇
2 2

ENERGI KINETIK TOTAL
= +
1 2 1 2
̇
= [ ̇ 1 + 2 2 + 2 ̇ ̇ cos ] +
2
1 2
2 2
1 2 1 2
= ( + ) ̇ + [ ̇ + 2 ̇ ̇ cos ] (3)
2 2 2 1 1 2






77

ENERGI POTENSIAL

=
= ℎ

= − sin (4)
1


FUNGSI LAGRANGE

ℒ = −
1 2 1 2
ℒ = ( + ) ̇ + [ ̇ + 2 ̇ ̇ cos ] − (− sin )
2 2 2 1 1 2 1
1 2 1 2
ℒ = ( + ) ̇ + [ ̇ + 2 ̇ ̇ cos ] + sin (5)
2 2 2 1 1 2 1


2. Fungsi Euler-Lagrange

ℒ ℒ
=
̇
1 2 1 2
( ( + ) ̇ 2 + [ 1 ̇ +2 1 ̇ 2 ̇ cos ]+ 1 sin )
2 2 =

1 2 1 2
( ( + ) ̇ 2 + [ 1 ̇ +2 1 ̇ 2 ̇ cos ]+ 1 sin ) (6)
2
2
̇

3. Penyelesaian Fungsi Euler-Lagrange

MENCARI NILAI KOMPONEN
2
1 2 1 2
( ( + ) ̇ + [ ̇ + 2 ̇ ̇ cos ] + sin )
2 2 2 1 1 2 1
2
1 2 1 2
( ( + ) ̇ 2 + [ ̇ 1 + 2 ̇ ̇ cos ] + sin )
1 2
1
2
2
=
̇ 2
SUKU KIRI
1 2 1 2
( ( + ) ̇ 2 + [ ̇ 1 + 2 ̇ ̇ cos ] + sin )
1
1 2
2
2
Hasilnya 0 karena
tidak ada yang 2

mengandung
komponen
2
= 0







78

SUKU KANAN
1 2 1 2
( ( + ) ̇ 2 + [ ̇ 1 + 2 ̇ ̇ cos ] + sin )
1
1 2
2
2
̇ 2

[( + ) ̇ + ̇ cos ]
2 1
( + ) ̈ + ̈ cos
2
1
Sehingga, hasil penyelesaian Euler-Lagrange untuk komponen adalah
2
=
( + ) ̈ + ̈ cos = 0
2
1

= − ( + ) cos (7)
̈
̈
1
2

MENCARI NILAI KOMPONEN
1
1 2 1 2
( ( + ) ̇ + [ ̇ + 2 ̇ ̇ cos ] + sin )
2 2 2 1 1 2 1
1
1 2 1 2
( ( + ) ̇ 2 + [ ̇ 1 + 2 ̇ ̇ cos ] + sin )
1 2
1
2
2
=
̇ 1

SUKU KIRI
1 2 1 2
( ( + ) ̇ 2 + [ ̇ 1 + 2 ̇ ̇ cos ] + sin )
1
1 2
Hasilnya 0 karena 2 2
tidak ada yang 1
mengandung

komponen
1


sin


SUKU KANAN
1 2 1 2
( ( + ) ̇ 2 + [ ̇ 1 + 2 ̇ ̇ cos ] + sin )
1 2
1
2
2
̇ 1

( [ ̇ + ̇ cos ])
1 2
+ cos
̈
̈
2
1






79

Mensubstitusikan nilai pada persamaan (7), maka:
̈
2


+ (− cos ) cos
̈
̈
1
( + ) 1

2
̈
(1 − )
( + ) 1

Sehingga, kita dapat memperoleh persamaan Euler-Lagrangenya adalah
=

2
̈
sin = (1 − )
( + ) 1
sin
̈
=
1
2
(1 − )
( + )
sin
̈
=
1
2
(1 − )
( + )














































80

FS FS









Dalam pembahasan sebelumnya, telah dipahami mengenai sistem constraint dan

unconstraint. Dalam sistem constrain diketahui bahwa sistem ini merupakan sistem yang
dibatasi. Hal yang dibatasi dalam sistem ini adalah gaya nya, yang disebut gaya constraint.



I
Berangkat dari hal tersebut, maka kita dapat menentukan
U= nilai dari gaya constraint tersebut, dan menentukan
0
nilainya.
Gaya q
tegangan Apabila kita uraikan secara matematis, maka :
Tali (T)=
Gaya
m = = + +
1
2
Constraint
f : fungsi Panjang tali q1 / q2: koordinat umum sistem
m
l : Panjang tali C : konstanta


Menggunakan diferensial paersial, fungsi tersebut menjadi:


= +
1 1 1 1


Dengan kita tahu bahwa Panjang tali (l) bersifat konstan, tidak berubah. Maka sama halnya

dengan f. Saat f dideferensialkan terhadap q, maka nilai = 0. Artinya tidak ada
perubahan pada Panjang tali.



= + = 0
1 1 1 1

Karna nilainya sama dengan 0, maka kita dapat kalikan persamaan tersebut dengan suatu

Pengali Lagrange (λ) yang merupakan konstanta.









81


= +
1 1 2 2
×
e

= 1 + 2 = 0
2
1


Lamda disini merupakan Pengali Lagrange.


Mengingat kembali mengenai Prinsip Hamilton, dimana

“ Lintasan sebenarnya dari sebuah partikel yang melalui dua buah titik 1 dan 2 dengan
waktu tersingkat, juga dengan aksi paling minimal (integral aksi) ”




Secara matematis :

2
= ∫ ℒ
1
Dengan fungsi Lagrange merupakan fungsi terhadap ℒ( , , ) maka:
̇
2
= ∫ ℒ( , , )
̇
1

Nilai integral tersebut berasal dari perubahan nilai jarak terhadap waktu, dimana secara
matematis dapat dituliskan :

2
= ∫ ℒ( , , )
̇
1
Nilai dari dS=0, dan nilai dari ℒ sesuai dengan diferensial parsial :


ℒ = + ̇
̇

Sehingga persamaan :
2
̇
= ∫ ( + )
1 ̇


Menggunakan integral
parsial, diubah bentuknya




82

Sehingga didapatkan nilai :


= ∫ ( + − ) = 0
̇




Persamaan E-L





+ − = 0
̇



Dengan Lambda merupakan sebuah konstanta bernilai bebas, asalkan hasil dari persamaan
yang dihasilkan sama dengan nol.





















































83

Contoh Soal











Sebuah katrol memiliki panjang tali yang menarik benda bermassa adalah ,
1
1
dan panjang tali yang menarik benda bermassa adalah . Dengan menggunakan
2
2
metode Lagrange Multiplier, identifikasilah persamaan dari ̈ dan temukanlah
1
besaran fisis yang mewakili λ!







Identifikasi soal melalui gambar:

✓ Panjang tali

= = + +


1 2
= −
̈
̈
2
1






ENERGI KINETIK

1 1
2
̇
= ̇ 2 +
1 1
2 2
2 2

ENERGI POTENSIAL
= − −
2
1
2
1

LAGRANGIAN
ℒ = −







84

1 1
ℒ = ̇ 2 + ̇ 2 + +
1 1
1
2
1
2
2 2
2 2

LAGRANGE MULTIPLIER

ℒ ℒ
+ λ =
̇





VARIABLE



ℒ ℒ
+ λ =
1 1 ̇ 1





1 2 1 2
( ̇ + ̇ + + ) ( + + )
2 1 1 2 2 2 1 1 2 2 + λ 1 2

1 1
+ λ
1





1 2 1 2
( ̇ + ̇ + + )
1
1
2 2
1 1
2
2
2
2
̇ 1
̈
1 1
=
+ = ̈











85

VARIABLE



ℒ ℒ
+ λ =
2 2 ̇ 2





1 2 1 2
( ̇ + ̇ + + ) ( + + )
2 1 1 2 2 2 1 1 2 2 + λ 1 2

2 2
+ λ
2





1 2 1 2
( ̇ + ̇ + + )
2
1
2 2
1
2
1 1
2
2
̇ 2
̈
2 2
=
+ = ̈
2
2 2
+ = − ̈



MENCARI PERSAMAAN DARI ̈

Mengeliminasi persamaan (1) dan (2) untuk menemukan
̈
1
+ =
̈
1
1 1
+ = −
̈
2
2 1

( − ) = ( + ) ̈
2
2
1
1
1

( − )


̈ = ( + )




86

MENCARI BESARAN FISIS YANG MEWAKILI λ
Mensubstitusikan nilai pada persamaan (3) ke persamaan (1)
̈
1


( − )
1
2
+ = ( )
1
1
( + )
2
1
( − )
2
1
= ( ) −
1
1
( + )
1
2

( − )


= ( − )

( + )




Berdasarkan persamaan di atas, dapat diketahui bahwa λ dapat mewakili tegangan tali pada
katrol atau dapat dituliskan:


=







































87

F LEMBAR KEMAMPUAN BERPIKIR KRITIS MAHASISWA F



Mata Kuliah : Mekanika Analitik PRODI : ……………………………………………………………………………………………
Semester :
Alokasi Waktu : 100 Menit NAMA / NIM :1. …………………………………………………………………………………………

Tanda Tangan





Tujuan Lembar Kemampuan Berpikir Kritis Mahasiswa :
1. Mengidentifikasi permasalahan pada konsep Mekanika Lagrange
2. Menganalisis permasalahan pada konsep Mekanika Lagrange
3. Menyelesaikan permasalahan sesuai dengan konsep Mekanika Lagrange
4. Membuat kesimpulan terkait penyelesaian permasalahan Mekanika Lagrange.

Petunjuk Pengerjaan :

1. Baca dan pahami soal
2. Tuliskan Langkah-langkah pengerjaan sesuai dengan petunjuk pada lembar jawab



Penyajian Masalah pada Mahasiswa



1. Perhatikan gambar berikut! Tentukan persamaan gerak dan










1


2












88

F LEMBAR KEMAMPUAN BERPIKIR KRITIS MAHASISWA F


2. Perhatikan gambar berikut! Tentukan persamaan gerak pada koordinat y, tentukan

pula nilai ! Besaran fisis apa yang diwakili oleh λ?























3. Perhatikan gambar berikut! Tentukan persamaan gerak pada koordinat r! Tentukan

ignorable coordinat pada sistem tersebut! Apakah sistem tersebut memenuhi

teorema Noether? Jelaskan!




























89

F LEMBAR KEMAMPUAN BERPIKIR KRITIS MAHASISWA F





4. Perhatikan gambar berikut! Jika katrol pada sistem tersebut berputar, tentukan

persamaan percepatan pada koordinat umum , tentukan pula nilai λ! Besaran fisis


apa yang diwakili oleh λ? Jelaskan!
























































90

F LEMBAR KEMAMPUAN BERPIKIR KRITIS MAHASISWA F





Mengidentifikasi Masalah pada Mahasiswa


Berdasarkan permasalahan yang diberikan, identifikasi masalah yang ada pada persoalan tersebut
berdasarkan materi mekanika lagrange yang telah Anda pelajari !


















Menganalisis Masalah pada Mahasiswa


Berdasarkan permasalahan yang diberikan, analisis masalah yang ada pada persoalan tersebut
berdasarkan materi mekanika lagrange yang telah Anda pelajari !
























91

F LEMBAR KEMAMPUAN BERPIKIR KRITIS MAHASISWA F





Menyelesaikan Masalah



Berdasarkan permasalahan yang diberikan, selesaikan masalah yang ada pada persoalan tersebut
berdasarkan materi mekanika lagrange yang telah Anda pelajari secara matematis dan fisis!

















































92

F LEMBAR KEMAMPUAN BERPIKIR KRITIS MAHASISWA F





Menyelesaikan Masalah



















































93

F LEMBAR KEMAMPUAN BERPIKIR KRITIS MAHASISWA F





Menyelesaikan Masalah



















































94

F LEMBAR KEMAMPUAN BERPIKIR KRITIS MAHASISWA F





Menyelesaikan Masalah



















































95

F LEMBAR KEMAMPUAN BERPIKIR KRITIS MAHASISWA F






Menyelesaikan Masalah












































































96

F LEMBAR KEMAMPUAN BERPIKIR KRITIS MAHASISWA F



Kesimpulan dari Penyelesaian




































QWEAIU QWEAIU










SKOR AKHIR :









97

F MELATIH BERPIKIR KRITIS MAHASISWA DENGAN

PENDEKATAN STEM F



Mata Kuliah : Mekanika Analitik KELOMPOK : ……………………………………………………………………………………………
Semester :
Alokasi Waktu : NAMA / NIM :1. …………………………………………………………………………………………

Tanggal / Hari : 2. …………………………………………………………………………………………

3. …………………………………………………………………………………………

KELAS : ……………………………………………………………………………………………


Tujuan Lembar Kemampuan Berpikir Kritis Mahasiswa :
1. Mengidentifikasi permasalahan pada konsep Mekanika Lagrange dengan pendekatan Scientific

2. Mendesign permasalahan pada konsep Mekanika Lagrange dengan pendekatan Engineering
3. Menganalisis dan menyelesaikan permasalahan sesuai dengan konsep Mekanika Lagrange dengan
pendekatan Mathematics dan Technology

4. Membuat kesimpulan terkait penyelesaian permasalahan Mekanika Lagrange dengan pendekatan
STEM


Penyajian Masalah pada Mahasiswa



Dalam pandemic Covid-19 ini, misalkan kita tinggal di

sebuah apartemen/rumah susun lantai 6 yang di lengkapi oleh

sebuah balkon. Diawal mula pandemic, kita dilarang untuk

keluar rumah, dan dianjurkan untuk karantina mandiri. Saat

dimana Anda lapar, namun kehabisan gas untuk memasak,

Anda akhirnya memesan makanan. Anda harus turun dari lantai

4 tempat Anda tinggal, menggunakan tangga karena liftnya

sedang rusak.

Setelah mengambil makanan tersebut, ternyata Anda

terpikirkan tentang bagaimana cara Anda dapat mengambil

makanan tersebut tanpa harus turun ke bawah, serta dapat
membayar kurir makanan tersebut dari lantai tempat Anda

tinggal, karena Anda baru saja memperlajari materi Aplikasi

dari Mekanika Analitik terkait pesawat Atwood. Coba rancang
Sumber : Detikfood.com
ide tersebut ! https://images.app.goo.gl/MNHrFncvuEtfr7iT8

98

F MELATIH BERPIKIR KRITIS MAHASISWA DENGAN

PENDEKATAN STEM F





Mengidentifikasi Masalah pada Mahasiswa


Note : Menerapkan konsep Mekanika Lagrange, Persamaan Euler-Lagrange. Persamaan ini nantinya
yang akan banyak digunakan dalam menyelesaikan permasalaham-permasalahan dalam bidang
mekanika. Karena persamaan E-L diatas terdiri dari gaya umum dan momentum umum, maka tidak
lain, persamaan ini secara fisis juga merupakan bentuk dari Hukum II Newton.




Menggunakan pendekatan Scientific, atau Sains, Coba jelaskan ide Anda terkait alat tersebut!



PRINSIP KERJA :













BESARAN FISIS YANG BEKERJA :





















99

F MELATIH BERPIKIR KRITIS MAHASISWA DENGAN

PENDEKATAN STEM F





Menganalisis Masalah pada Mahasiswa



Menggunakan pendekatan Engineering, Coba buatlah rancangan ide Anda terkait alat tersebut !

Referensi web/ aplikasi untuk membuat rancangan :

1. Ms. Word
2. Power Point
3. Canva www.canva.com
4. DesignBold www.designbold.com







































100