E-MODUL_MEKANIKA_ANALITIK

Universitas Negeri Yogyakarta/FMIPA/Pendidikan Fisika





DAFTAR ISI


COVER…………………………………………………………………………………………………………………………I
DAFTAR ISI ...................................................................................................................... ii
Mind Map ...................................................................................................................... 1
PERTEMUAN 1 ............................................................................................................... 2
1.Definisi Awal ........................................................................................................ 2
2.Mekanika Newton ............................................................................................... 2
3.Mekanika Lagrange ............................................................................................. 3
4.Mekanika Hamilton ............................................................................................. 4
5. Studi Kasus 1 ...................................................................................................... 5
PERTEMUAN 2 ............................................................................................................... 9
1. Persamaan Euler-Lagrange ................................................................................ 9
2. Studi Kasus 2 ...................................................................................................... 9
3. Prosedur Penyelesaian Geodesic dan Brachistochrone ................................... 13
PERTEMUAN 3 ............................................................................................................. 21
1. Persamaan E-L Lebih Dari 2 Variabel .............................................................. 21
2. Mekanika Lagrange ........................................................................................ 24
3. Persamaan Lagrange ...................................................................................... 26
PERTEMUAN 4 ............................................................................................................. 29
1. Persamaan Lagrange ....................................................................................... 29
2. Unconstrained System .................................................................................... 29
3. Constrained Sytem .......................................................................................... 41
4. Aplikasi Mekanika Lagrange ............................................................................ 57

















Referensi : John R Taylor-2005-Classical Mechanics

MEKANIKA ANALITIK
MEKANIKA ANALITIK






MIND MAP

















































































1

MEKANIKA ANALITIK
MEKANIKA ANALITIK




Pertemuan Pertama : Kamis/ 11-02-2021/10.10-11.10 via Zoom meeting
Dosen Pembimbing : Bayu Setiaji S.Pd,M.Pd




What is Analytical Mechanics?


definisi
Mekanika analitik dianalogikan sebagai jembatan untuk mempermudah dalam
memahami teori mekanika klasik ke mekanika modern.


Mekanika analitik merupakan reformulasi matematis dari mekanika Newton.
Dalam analisis secara matematis dalam mekanika analitik, tidak terdapat komponen
arah. Sehingga mekanika analitik juga disebut dengan Mekanika Scalar sebagai
alternatif mekanika Newton.






Mekanika Lagrange merupakan
mekanika analitik










Untuk mengetahui perbedaan antara mekanika newton (klasik) dan mekanika lagrang,
dibahas sebagai berikut :

 MEKANIKA NEWTON































2

Mekanika Newton yang telah kita perlajari seperti dalam konsep katrol,bidang miring,
dsb memperhatikan faktor arah dalam analisis perhitunganya. Contoh :



















Oleh sebab itu, mekanika newton sering disebut dengan mekanika vektor.

 MEKANIKA LAGRANGE

Sejarah dari ditemukannya mekanika lagrange ini diawali dari seorang tokoh bernama
Johann Bernoulli. Ia membuat sayembara terhadap sebuah poblem yang disebut The
Brachistochrone problem :



Given two points A and B in a vertical plane, what is the curve traced out by a point
acted on only by gravity, which starts at A and reaches B in the shortest time.



Artinya : Diberikan dua titik A dan B dalam bidang vertikal, bagaimana bentuk kurva
(lintasan) yang melewati titik A dan B yang dipengaruhi oleh gravitasi, dan kurva
(lintasan) tersebut menempuh lintasan yang dimulai dari titik A ke B dengan waktu
tersingkat?

Banyak scientist seperti Leibniz, Daniel Bernoulli,Newton yang mengemukakan
pemikiran mereka terhadap pertanyaan tersebut.


Cerita : https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Brachistochrone/

Hingga seorang mahasiswa dari Johann Bernoulli menemukan solusi dari pertanyaan
tersebut, dan ia mampu menemukan solusi umum ( general ) dari problem tersebut,
yang dapat diaplikasikan ke banyak hal.



Akhirnya, Lagrange dan
Euler bekerjasama untuk
menemukan solusi
umum dari the
brachistochrone
problem untuk
diaplikasikan terhadap
mekanika.








3

Persamaan Lagrange
Persamaan Lagrange merupakan hasil
penjumlahan dari energi kinetik
(kecepatan) dan energi potensial suatu
benda.


L = Persamaan Lagrange (selisih
energi kinetik dengan energi
potensial suatu beda )
1
K = Energi kinetik ( )
2
2
U = Energi Potensial (m g h)
p = Momentum umum (momentum
umum yang terkait koordinat umum
yang bersangkutan )
q = Koordinat umum (koor. Polar,
silinder,bola,kartesius, dll)




 MEKANIKA HAMILTON






















Persaman Hamilton merupakan lanjutan dari persamaan Lagrange dalam versi lain.
Dalam metode Hamilton, rumusan energi kinetik menggunaan besaran momentum.


Persamaan Hamilton


H = Persamaan Hamilton (jumlah
energi kinetik dengan energi
potensial suatu beda )
K = Energi kinetik ( )
1
2
2
U = Energi Potensial (m g h)
p = Momentum umum (momentum
umum yang terkait koordinat umum
yang bersangkutan )
q = Koordinat umum (koor. Polar,
silinder,bola,kartesius, dll)












4

 HUBUNGAN PERSAMAAN LAGRANGE DAN HAMILTON


H = Persamaan Hamilton (jumlah energi kinetik
dengan energi potensial suatu beda )
L = Persamaan Lagrange (selisih energi kinetik
dengan energi potensial suatu beda )
p = Momentum umum (momentum umum yang
terkait koordinat umum yang bersangkutan )
q = Koordinat umum (koor. Polar,
silinder,bola,kartesius, dll)

Dari ketiga poin diatas, dapat disimpulkan bahwa, pada pembelajaran mekanika analitik
ini, terdapat 3 persamaan yang menjadi fokus utama (yang digunakan), yaitu

LAGRANGE L = K − U



HAMILTON H = K + U



LAGRANGE +
HAMILTON H = p q k − L
k





Studi Kasus ………………………


KASUS 1
Diberikan dua buah titik dalam sebuah bidang, lalu tentukan lintasan
terpendek di antara kedua titik tersebut ! ( John.R.T 216)


Gambar di samping menunjukkan dua
buah titik (x1,y1) dan (x2,y2) dan sebuah
lintasan dengan persamaan y = y(x) yang
menghubungkan kedua titik tersebut.


Tugas dari kasus ini adalah bagaimana
kita menemukan jalur y(x) terpendek,
yang secara logika dan fakta membentuk
garis lurus.


Sedangkan dapat kita asumsikan, bahwa jarak terpendek dari lintasan tersebut adalah
ds.
Sehingga panjang ds dapat kita tuliskan
ds

dy ds = dx + dy 2
2

dx




5

Dengan kita ketahui bahwa nilai dy dapat kita peroleh dengan menurunkan
persamaan y=y(x), sebagai berikut

y = y(x)



=


'
=


Dengan kita mengetahui nilai dy, maka selanjutnya dapat kita cari nilai ds sebagai
berikut:


2
ds = dx +dy 2

2
'
ds = dx + 2
2
2
ds = dx + ' dx 2


2
ds = dx 2 1+ '


2
ds = 1+ ' dx
Lalu, untuk mendapatkan nilai S, integralkan kedua
ruas di atas, menjadi sebagai berikut:

x 2
L = ds
x 1


x 2 x 2
2
L = ds = 1+ ' dx
x 1 x 1


Karena kita ditugaskan untuk mencari nilai L atau S yang bernilai paling pendek, maka
berdasarkan penyelesaian melalui matematis (kalkulus), diperlukan turunan kedua dari
2

S yaitu .
2

















6

KASUS 2
Pada kasus kedua ini, hampir serupa dengan kasus pertama, dimana
terdapat dua buah titik. Akan tetapi dua buah titik ini akan dilalui oleh cahaya
yang memiliki kecepatan rambat pada vakum 3.10 m/s. Jika indeks bias
8
medium yang dilalui cahaya pada kedua buah titik tersebut adalah konstan
( mediumnya tetap), maka tentu saja lintasan terpendeknya akan berupa garis
lurus. Akan tetapi jika indeks bias nya bervariasi, maka lintasannya akan tidak
bergitu jelas, karena terjadi pembiasan.

Lalu bagaimana cara untuk menentukan waktu tempuh tersingkat yang
dapat dilalui oleh cahaya yang melewati lintasan diantara 2 buah titik
tersebut? ( John.R.T 217-218)



Seorang Matematikawan asal Perancis, Fermat (1601-1665) menemukan bahwa untuk
permasalahan tersebut, lintasan yang dilalui cahaya dapat diilustrasikan sebagai
berikut :



Waktu tempuh yang dilalui oleh
cahaya, dapat dituliskan kedalam
persamaan :
ds
dt =
v
Dengan mengetahui bahwa

= dengan c merupakan

kecepatan cahaya, dan n adalah
indeks bias cahaya.




Dengan demikian, prinsip Fermat untuk menentukan waktu tempuh cahaya dapat
dituliskan ke dalam persamaan berikut :


ds
dt =
v

ds
dt =
c
n
1
dt = n ds
c
2 2
1
=
c
1 1










7

Dengan c merupakan ketetapan (konstanta), dan nilai ds sudah kita ketahui

2
'
sebelumnya ds = 1+ dx, maka persamaan tersebut menjadi :

2 1 2 2
= 1+ ' dx
1 c 1

Jika n konstan, maka dapat dikeluarkan dari integral untuk menentukan nilai waktu
tempuh tersingkat dengan lintasan dari kedua titik tersebut. Akan tetapi jika n
bervariasi, maka nilai n akan terikat dengan nilai x,y. Sehingga, apabila n = n(x,y) tidak
konstan, persamaan diatas menjadi :


1 2 2
t = ( , ) 1+ ' dx
c
1
Kita menginginkan nilai t adalah minimum untuk menjawab permasalahan di atas. Akan
tetapi, untuk menentukan nilai max atau min digunakan derivatif berdasarkan kalkulus
dasar. Saat menentukan derivatif dari fungsi t tersebut, kita tidak langsung
memperoleh nilai min, akan tetapi terdapat 3 kemungkinan jawaban, sebagai berikut :


























Jika df/dx = 0 pada x0

2

> 0 ≡
2
2

< 0 ≡
2
2

= 0 ≡ /
2














8

g PERSAMAANEULER-LAGRANGE g
PERSAMAANEULER-LAGRANGE





Pada pertemuan sebelumnya, kita telah mempelajari mengenai studi kasus terhadap
permasalahan bagaimana menentukan lintasan terpendek pada sebuah koordinat dan
Prinsip Fermat (Fermat’s Principle). Dari permasalahan tersebut, kita dapat
mengilustrasikan permasalahan tersebut ke dalam bentuk umum (variational
problem),sebagai berikut :


x 2
S = f y x , y' x , x dx (1)
x 1

Dimana y(x) merupakan sebuah kurva yang belum diketahui, yang melalui dua buah
titik (x1,y1) menuju (x2,y2), sehingga y(x1)= y1 dan y(x2)= y2. Perlu diketahui bahwa fungsi f
diatas merupakan fungsi terhadap 3 variabel f = f y, y', x , akan tetapi, karena intergral
melalui lintasan y=y(x) sehingga fungsi f menjadi seperti persamaan di atas.


Studi Kasus #2________________


Terdapat sebuah permasalahan dimana kita ingin mencari kurva y(x) yang melalui
titik (x1,y1) dan (x2,y2) sehingga panjang lintasannya (S) bernilai minimal. Dengan
ilustrasi lintasan dari problem tersebut :






























y=y(x) lintasan yang benar (nilai S nya minimal)
Y=Y(x) lintasan yang salah(nilai S nya tidak minimal juga tidak maksimal)






u



9

Dari gambar di atas, dapat kita amati bahwa kurva Y(x) atau lintasan yang salah lebih
panjang daripada kurva y(x) atau dapat kita tuliskan Y(x) > y(x). Oleh karena itu,
persamaan untuk lintasan yang salah, lebih sesuai kita tuliskan sebagai :

(2)
Y(x) = y(x) + η(x)


Dimana eta(η) merupakan faktor pembeda antara panjang lintasan yang salah dan
panjang lintasan yang benar. Karena lintasan yang salah harus melewati titik 1 dan titik 2,
maka eta(η(x)) harus memenuhi :
( ) = ( ) = 0 (3)
2
1


Karena kita tahu bahwa S yang dihasilkan dari Y(x) bernilai lebih kecil dari y(x),
sedangkan kita menginginkan nilai S minimal (S bernilai minimal diperoleh dari integral
y(x)). Agar nilai Y(x)=y(x) (S minimal),maka eta (η) butuh pengali konstan yang kita
misalkan alfa (α).
Sehingga persamaan Y(x) menjadi:
j Y(x) = y(x) + αη(x) j (4)




Integral S itu berada disepanjang kurva Y(x), yang bergantung pada parameter alfa
(α),maka fungsi lintasannya disebut S(α). Maka, persamaan S(α) dapat kita tuliskan :


x 2
S α = f Y, Y', x dx
x 1
x 2
S α = f + , ' + ', dx (5)
x 1


Untuk mendapatkan nilai lintasan yang benar-y(x)- maka nilai α=0. Oleh karena itu,
kita dapatkan bahwa untuk memperoleh S( α ) minimum nilai α =0, dan untuk
memastikannya, kita perlu memastikan bahwa turunan pertama dari S bernilai 0 =

0 .




=



Untuk mendifferensiasikan S(α), kita tahu bahwa α muncul dalam integrand (sebuah
fungsi yang akan diintegrasikan) f. Jadi, kita memerlukan diferensial parsial untuk
menyelesaikannya.





u




10

Untuk menyelesaikan turunan ini, kita perlu ingat lagi
aturan rantai untuk differensial :


'
= + +
'




(5)
2
=
1

Dengan fungsi f Y, Y', x yaitu f + , ' + ', , maka : y = y + , y' =
y' + ', x



2 '
= + +
'
1

2 + ' + ',
= + +
'
1

2
= + '
'
1

2 2
= + ' (6)
'
1 1



Untuk mempermudah perhitungan, kita ubah suku kedua, yaitu pada persamaan
2
' dan kita selesaikan menggunakan aturan rantai.
1 '

Aturan rantai : = −


2

'
'
1
maka :
v = dv
u =
'
v = '
du = dx
'

dv = ' v =

v =
u



11

= −



2 2

' = −
' ' '
1 1

Karena nilai ( ) = ( ) = 0 maka, persamaan di ruas kiri bernilai 0. Sehingga:
2
1
2 2
' = − (7)
1 ' 1 '

Kemudian nilai persamaan 7 kita subtitusikan ke dalam persamaan 6, menjadi



2 2
= + '
'
1 1


2 2
= −
'
1 1



2
= − (8)
'
1




Untuk mendapatkan nilai = 0, maka nilai − = 0
'




Nilai − = 0 ini merupakan bentuk dari persamaan EULER-LAGRANGE.
'


o Euler-Lagrange Equation o




= 0
−
'






u





12

Prosedur
Prosedur



Untuk Menyelesaikan Problem Geodesic dan
Untuk Menyelesaikan Problem Geodesic dan
Bra
Brachistochrone
e
ch
ochron
ist
Untuk menyelesaikan permasalahan mengenai Geodesic dan Brachistochrone, dapat

digunakan prosedur penyelesaian sebagai berikut :













KASUS I: GEODESIC



1. Mencari nilai S

2
2
= √ +
2 2
= √ + ( ′ )
= √ + ′
2
2
2

= √ (1 + ′ )
2
2

= √(1 + ′ )
2

Sehingga didapatkan nilai f berupa
2
= √(1 + ′ )
Setelah didapatkan nilai f, maka nilai tersebut
dapat disubstitusikan untuk mendapatkan nilai S

= ∫


e = ∫ √(1 + ′ )
2





13

2. Menentukan persamaan Euler-Lagrange

Diketahui persamaan bentuk Euler-Lagrange adalah

= ′

Mensubstitusikan nilai f ke masing-masing ruas kanan dan kiri

Ruas kiri

√(1 + ′ )
2
= = 0

Ruas kanan
1
2
(1 + ′ )2
′ = ′

1
1
= (1 + ′ ) 2 2 ′
2 −
′ 2
′
′ = √(1 + ′ )
2

Sehingga persamaan Euler-Lagrange pada kasus ini menjadi:

( ′ ) = 0
2
√(1 + ′ )
konstanta


3. Menyelesaikan persamaan Euler-Lagrange

′
√(1 + ′ ) =
2

= √(1 + ′ )
′
2

2
2
2
′ = (1 + ′ )
′ (1 + ) =
2
2
2

′ = 2 =
2
1 + 2

e




14

hal ini berarti ( ) adalah konstanta, yang berarti bisa kita
′
definisikan atau kita misalkan menjadi m

=

= ∫

= +

Di mana kita ketahui bahwa = + merupakan persamaan
garis lurus




KASUS 2: BRACHISTOCHRONE



Lintasan roller coaster di titik 1 & 2 didesign agar waktu dari titik 1 ke 2 lebih singkat
(minimal) dengan jarak yang sama.


= 0 Berdasarkan persamaan GLBB
1
1 2 = 2 + 2
( )
Maka nilai dari gambar di samping
2
dapat dicari dengan menggunakan
percepatan gravitasi (g) serta jarak (y)


2 2 = 1 2 + 2

2 = 0 + 2
2
= √2
2

1. Mencari nilai S

2
2
= √ +
y dalam problem ini berperan sebagai variable bebas, sedangkan x
adalah variable terikatnya

= √1 + ′
2

Karena tujuan dari permasalahan ini adalah untuk mencari waktu
tersingkat, maka dapat dituliskan persamaannya menjadi:
= ∫



=

15

Mensubstitusi persamaan dan
2
√1 + ′
2
= ∫ √2

= 1 ∫ √1 + ′ 2
√2 √ Nilai f


Setelah didapatkan nilai f, maka nilai tersebut dapat

disubstitusikan untuk mendapatkan nilai S

= ∫


= ∫ √1 + ′ 2
√




2. Menentukan persamaan Euler-Lagrange


Diketahui persamaan bentuk Euler-Lagrange adalah

= ′


Mensubstitusikan nilai f ke masing-masing ruas kanan dan kiri
Ruas kiri

√1 + ′ 2
= √ = 0

Ruas kanan

√1 + ′ 2
= √
′ ′

1 1 + ′ 2 − 1 2 2 ′
′ = ( )
2

= ′
′ √ √1 + ( ′) 2

Sehingga persamaan Euler-Lagrange pada kasus ini menjadi:

′
= 0 Kontanta
√ √1 + ( ′) 2


16

o










3. Menyelesaikan persamaan Euler-Lagrange

′ =
√ √1 + ( ′) 2
2 2
( ′) = (1 + ( ′) )
(1 − )( ′) =
2

= √
′
1 −

=
′
√1 −


′
= √ −

konstanta
mengubah bentuk x’



= √ −


= √ −

Mengubah bentuk y berdasarkan persamaan parametrik
1
= (1 − cos )
2

1
= sin
2
Mensubstitusikan bentuk lain dari y dan dy

1 (1 − cos ) 1
= √ 2 sin
2
1
− ( (1 − cos ))
2








17

1 (1 − cos )
2 1
= ∫ √ 1 sin
2
− ( (1 − cos ))
2

1 1 − cos
= ∫ √ 1 + cos sin
2

1 1 − cos 1 − cos
√
= ∫ √ 1 + cos 1 − cos sin
2

1 1 − cos
= ∫ √1 − cos sin
2
2
1 1 − cos
= ∫ √sin sin
2
2

1
= ∫ 1 − cos sin
2 sin
1
= ∫(1 − cos )
2
1
= ( − sin ) +
2



Sehingga didapatkan persamaan akhir dari kasus ini adalah

1
1
= ( − sin ) dan = (1 − cos )
2 2
Jalur untuk roller coaster yang memberikan waktu
terpendek antara titik 1 dan 2 yang diberikan adalah
bagian dari sikloid dengan titik 1 dan melewati 2. Sikloid
adalah kurva yang dilacak oleh titik di tepi roda jari-jari a
yang berputar di sepanjang sisi bawah sumbu x. Titik 3
adalah titik terendah pada kurva.



Jika kita melepaskan cart (gerobak untuk roller coaster ) dari posisi diam di titik 2 dan
membiarkannya menggelinding ke bagian bawah kurva (titik 3 pada gambar), waktu untuk

berguling dari 2 ke 3 sama, berapa pun posisi 2, di mana saja antara 1 dan 3. Ini berarti bahwa

osilasi cart yang bergulir bolak-balik pada jalur berbentuk sikloid persis isochronous (periode
yang tidak bergantung pada amplitudo), berbeda dengan osilasi pendulum sederhana, yang hanya
kira-kira isochronous, sejauh amplitudonya kecil.










18

KASUS 3: GEODESIC DALAM KOORDINAT BOLA



Jika diketahui dua buah titik di dalam bola, tentukan jarak terpendeknya!




















1. Mencari nilai S

Dalam koordinat bola,elemen panjangnya yaitu :

= + +
2
2
2
2
Dengan ilustrasi koordinat bola di atas, kita dapatkan nilai dx,dy,dz sebagai berikut:
= ; = ; =
2
2
2
2
2
2
2
2
2
Sehingga kita dapatkan persamaan Panjang lintasannya menjadi
= + +
2
2
2
2
= + +
2
2
2
2
2
2
2
= √ + +
2
2
2
2
2
2
Karena jari-jari bola bernilai tetap, maka dR=0.
= ∫ √ +
2
2
2
2
2
2
2
= ∫ √(1 + )
2
Nilai f
Dengan = ′, = variable terikat, = variable bebas

19

2. Menentukan persamaan Euler-Lagrange



Diketahui persamaan bentuk Euler-Lagrange adalah


= ′

Mensubstitusikan nilai f ke masing-masing ruas kanan dan kiri

Ruas kiri


1
2
′2 2
(1 + )
= = 0

Ruas kanan


2 1
′2 2
(1 + )
=
′ ′
1
1
−
= (1 + ) 2 ′
2
2
2
′2
′ 2

2
′
′ =
2
√1 + ′2

Sehingga persamaan Euler-Lagrange pada kasus ini menjadi:

2
′
= 0
2
√1 + ′2 Konstanta























20

PERSAMAAN EULER-LAGRANGE

LEBIH DARI DUA VARIABEL



Pada pertemuan sebelumnya, diketahui bahwa dua variable utama yang digunakan
pada persamaan Euler-Lagrange ada x dan y. Di mana x biasanya berperan sebagai
variable bebas, dan y sebagai variable terikat. Sedangkan, kebanyakan aplikasi mekanika
memerlukan beberapa variable terikat, dengan satu variable bebas yang biasanya adalah
waktu (t).

Mirip dengan permasalahan sebelumnya mengenai lintasan terpendek di antara dua titik,
pembahasan kali ini akan melibatkan dua variable terikat (x dan y) dan satu variable
bebas (u).



Lintasan di samping dapat
dituliskan ke dalam bentuk
parametrik, di mana:


= ( ) (1)

= ( ) (2)

u: variable pada kurva yang dapat
dijadikan parameter (misal:
panjang lintasan)




Menentukan nilai dS


2
2
= √ +
di mana

=
′
=
′

Mensubstitusikan nilai dan

= √( ′ ) + ( ′ )
2
2
= √ ′ + ′ (3)
2
2










21

Sehingga panjang total lintasan tersebut adalah:

= ∫ √ ′ + ′ (4)
2
2
Langkah selanjutnya adalah untuk menentukan fungsi x(u) dan y(u) agar panjang
lintasannya minimum:

′
′
= ∫ [ ( ), ( ), ( ), ( ), ] (5)
Dengan dua variable terikat, bisa didapatkan dua persamaan Euler-Lagrange. Dapat
dimisalkan bahwa lintasan yang benar adalah


= ( ) dan = ( ) (6)

Dan memisalkan lintasan yang salah adalah

= ( ) + ( ) dan = ( ) + (7)


Syarat bahwa integral S menjadi stasioner untuk lintasan yang benar (6) setara dengan
syarat bahwa integral S( , ), yang didapat sepanjang lintasan yang salah (7), memenuhi:


= 0 dan = 0 (8)


persamaan Euler-Lagrange lebih dari dua variable adalah menjabarkannya berdasarkan
persamaan-persamaan yang telah dipelajari pada pertemuan sebelumnya pada masing-
masing variable terikat (x dan y).


VARIABLE X





= ∫


= ∫ ( + ′ ) (9)
′


Dengan menggunakan aturan rantai, kita dapat menemukan hasil diferensial persamaan 9

di atas:

′
= + +
′


= + ′ + 0
′










22


= + ′ (10)
′



Untuk mempermudah perhitungan, suku kedua pada persamaan 10 dapat diselesaikan
dengan aturan rantai:


′ = − ∫
′


′ = − ∫
′ ′ ′



′ = − ∫
′ ′




Menentukan hasil integral dari persamaan di atas


∫ ( − ) = 0
′


∫ ( − ) = 0
′

sehingga didapatkan persamaan Euler-Lagrange pada variable x adalah:


=
′



VARIABLE Y


Dengan melakukan hal yang sama seperti variabel X dan mengganti menjadi , serta
menjadi , didapatkan persamaan Euler -Lagrange pada variabel y adalah:



=
′













23

U M e k a n I k a l a g r a n g e U






Referensi :buku hal 228

Dalam mekanika Lagrange,kita menggukanakan sebuah system koordinat yang

tidak biasa kita gunakan. Koordinat ini disebut KOORDINAT UMUM.

Jenis Koordinat Variabel Yang Digunakan
Kartesian , ,

Polar ,
Silinder , ,

Bola , ,
✔Umum , , , … . ,

2
1
3

Cara kerja menggunakan koordinat ini sama saja dengan koordinat pada
umumnya. Generalisasi atau translasi persamaan E-L ke sejumlah variable tidak sulit.

Contoh :

Dimensi Koordinat Variabel awal Variabel Koordinat
Umum
1D Kartesian
1
2D Kartesian , ,
2
1
3D Kartesian , , , ,
1
3
2

Dalam koordinat umum ini kita akan mengenal istilah “Derajat Kebebasan”.
Dalam mekanika analitik, derajat kebebasan memiliki makna kebebasan arah gerak
dari sebuah benda.

Jika sebuah benda hanya memiliki 1 arah gerak, misalkan ia hanya bergerak pada arah
sumbu-x, makai a hanya memiliki derajat kebebasan 1, artinya ia memiliki variable .
1
Fungsi yang digunakan dalam mekanika Lagrange ini disimbolkan ℒ,dengan ℒ
merupakan fungsi terhadap variable q.












24

s FUNGSI MEKANIKA LAGRANGE s


′
′
′
= ( , , … . , , , , … . , , )






= ( , ′, )

Dengan t merupakan derajat kebebasannya. Fungsi Lagrange akan selalu
berbentuk seperti persamaan di atas. Persamaan tersebut nantinya hanya akan
terpengaruh oleh arah gerak dari suatu benda. Misalkan ia bergerak dengan 2 arah, x
dan y. Maka,nanti variabelnya menjadi , .
1
2
Jadi, apabila kita tulis integral ya menjadi :


= ∫ ( , ′, )


Dimana integral dari S ini merupakan nilai stationer yang menentukan evolusi

dari system mekannika yang disebut dengan “INTEGRAL AKSI”

Sehingga persamaan Euler-Lagrange dalam Mekanika Lagrange ini menjadi:



=
′


Dengan suku kiri ini
merupakan F (gaya umum) Dengan suku kanan

merupakan p (momentum
umum)

Persamaan ini nantinya yang akan banyak digunakan dalam menyelesaikan

permasalaham-permasalahan dalam bidang mekanika. Karena persamaan E-L diatas
terdiri dari gaya umum dan momentum umum, maka tidak lain, persamaan ini secara
fisis juga merupakan bentuk dari Hukum II Newton.

Kemudian kembali pada persamaan sebelumnya, dimana :

Pesamaan Aksi ini, memenuhi persamaan Hamilton, dimana

= ∫ ( , ′, ) [ Jika benda dari titik 1 ke titik 2, benda tersebut akan mencari
lintasan yang paling minimal,agar waktu tempuh benda

tersebut singkat dan membutuhkan aksi yang minimal pula ].






25

i LAGRANGE’S EQUATIONS i

Persamaan Lagrange



Persamaan Lagrange memiliki dua keunggulan penting dibandingkan dengan
formulasi Newtonian.


1. Persamaan Lagrange memiliki bentuk yang sama dan tetap dalam system
koordinat apapun.


2. Dalam meninjau system yang terbatas (constrained system) seperti sebuah
manik-manik yang meluncur pada sebuah kawat, penyelesaian
menggunakan Lagrangian menghilangkan Gaya yang bersifat menghambat
(seperti gaya Normal kawat). Ini berdampak baik karena berhasil

menyederhanakan sebagian besar masalah.



Studi Kasus

Misalkan sebuah partikel bergerak bebas dalam 3D, dan pada benda tersebut

terdapat gaya konservatif total.
Maka Energi kinetic partikel tersebut :



=




= ̇ Dengan v merupakan turunan jarak
terhadap waktu, atau dr/dt





= ( ̇ + ̇ + ̇ )


Energi potensial partikel tersebut :


= ( ⃑) = ( , , ) = . .


T PERSAMAAN LAGRANGIAN T

= −


26

S-T-E-P-S

1. Mencari fungsi
2. Memasukkan ke persamaan E-L
3. Menyelesaikan

CONTOH :


Contoh paling umum digunakan adalah pada katrol. Pada umunya,
pada kasus ini, kita diminta untuk mencari percepatan dari system

katrol tersebut. Hal ini dapat diselesaikan dengan :

Ditanya :

2
q1 = =
2
q2
Karena pada mekanika lagrange digunakan koordinat umum, maka

r = q, maka = ?
̈




Penyelesaian :

1. Langkah pertama menentukan nilai K dan U pada masing – masing beban.
Kemudian mensubtitusi ke Lagrangian


Benda 1

= ̇ dan = . .




= −

= ̇ − . .




Benda 2


= dan = . .
̇



= −

= ̇ − . .


2. Memasukkan ke persamaan E-L



27

Benda 1


=
′


( ̇ − . . ) ( ̇ − . . )
=
′


( − . ) = ( ̇ − )




. = ̈


Benda 2


= ′


( ̇ − . . ) ( ̇ − . . )
=
′


( − . ) = ( ̇ − )



. = ̈



































28

Formulasi Lagrange memiliki dua keunggulan penting dibandingkan milik
Newton, yaitu:


➢ Persamaan Lagrange memiliki bentuk yang sama dalam sistem
koordinat manapun, tidak seperti Newton.

➢ Dalam menyelesaikan sistem yang dibatasi (constrained), pendekatan
Lagrangian mengabaikan gaya constraint










UNCONSTRAINED MOTION

UNCONSTRAINED MOTION

Untuk membuktikan bahwa persamaan Lagrange setara dengan Hukum II

Newton, dilakukan pertimbangan sebuah partikel yang bergerak
unconstrained dalam koordinat tiga dimensi (x, y, z) tunduk pada gaya bersih
konservatif F(r). Sehingga, energi kinetiknya adalah:


1 2 1 2 1 2 2 2
̇
= = = ( + + ), (1)
̇
̇
̇
2 2 2
dan energi potensialnya adalah:
= ( ) = ( , , ). (2)


Fungsi Lagrangian didefinisikan sebagai:


ℒ = − . (3)

Persamaan (3) tidak sama dengan energi total. Lagrangian ℒ bergantung

pada posisi partikel ( , , ) dan kecepatannya ( , , ); sehingga ℒ =
̇
̇
̇
ℒ( , , , , , ).
̇
̇
̇




29

Kedua turunannya menjadi,

ℒ
= − = (4)


dan


ℒ
= = = (5)
̇
̇ ̇
Menurunkan persamaan kedua dengan memperhatikan waktu dan mengingat

Hukum II Newton, = , sehingga dapat dituliskan menjadi:
̇


ℒ ℒ
= (6)
̇
Dengan cara yang sama, kita dapat membuktikan persamaan dalam y dan z
sesuai. Walaupun, kita harus menunjukkan bahwa Hukum II Newton

menyiratkan tiga persamaan Lagrange (sejauh ini pada koordinat kartesius):


ℒ ℒ ℒ ℒ ℒ ℒ
= , = , dan = (7)
̇ ̇ ̇

Sehingga, untuk satu partikel dalam koordinat kartesius, Hukum II Newton
tepat setara dengan ketiga persamaan Lagrange (7). Lintasan partikel yang

ditentukan menggunakan Hukum II Newton sama dengan lintasan yang
ditentukan menggunakan ketiga persamaan Lagrange.


Langkah selanjutnya adalah untuk mengenali ketiga persamaan (7) memiliki
bentuk yang sama dengan persamaan Euler-Lagrange dengan mengulang

kembali prinsip Hamilton




HAMILTON’S PRINCIPLE


Lintasan sesungguhnya yang partikel ikuti di antara dua titik 1 dan 2 pada
batas waktu yang diberikan, ke , seperti integral aksi (the action
1
2
integral)


= ∫ ℒ (8)
2
1
stasioner ketika dibawa di sepanjang lintasan.







30

Sejauh ini, kita telah membuktikan untuk satu partikel yang diikuti oleh tiga
pernyataan adalah tepat sama dengan:



⃗
1. Lintasan partikel yang ditentukan oleh Hukum II Newton = .
2. Lintasan yang ditentukan dengan ketiga persamaan Lagrange (7),
setidaknya dalam koordinat kartesius.

3. Lintasan yang ditentukan dengan prinsip Hamilton.




Sebagai ganti dari koordinat kartesius ⃗ = ( , , ), kita dapat menggunakan
koordinat lain seperti koordinat polar ( , , ∅) atau silinder polar ( , ∅, )

ataupun berbagai kumpulan “koordinat umum” , , , dengan ciri bahwa
2
3
1
setiap posisi ⃗ menentukan hasil yang khas dari ( , , ) dan sebaliknya;
2
3
1
yaitu,
= ( ⃗) untuk = 1, 2, 3, (9)


dan


⃗ = ⃗( , , ). (10)
3
2
1
Kedua persamaan tersebut menjamin bahwa apapun nilai ⃗ = ( , , ),
terdapat ( , , ) yang khas dan sebaliknya. Menggunakan (10), dapat
3
2
1
dituliskan kembali ( , , ) dan ( , , ) dalam ( , , ) dan ( ̇ , ̇ , ̇ ).
̇
̇
̇
2
1
2
3
3
1
1
Selanjutnya, dapat dituliskan kembali juga Lagrangian ℒ = − ( ⃗)
2
̇
2
dalam variabel baru seperti di bawah ini
ℒ = ℒ( , , , ̇ , ̇ , ̇ )
3
3
1
1
2
2
dan integral aksinya menjadi
2
= ∫ ℒ( , , , ̇ , ̇ , ̇ ) .
1
2
3
1
3
2
1
Hasil dari integral S tidak berubah dengan pergantian variabel tersebut. Oleh
karena itu, pernyataan bahwa S stasioner untuk variasi lintasan selama
lintasan benar pasti benar dalam sistem koordinat baru.
31

Lintasan yang benar pasti memenuhi ketiga persamaan Euler-Lagrange,

ℒ ℒ ℒ ℒ ℒ ℒ
= , = , dan = , (11)
̇ ̇ ̇
1 1 2 2 3 3
Karena koordinat baru tersebut merupakan berbagai kumpulan dari
koordinat umum, kualifikasi “koordinat kartesius” bisa dihapusnya dari

pernyataan (2) di atas. Hasilnya, persamaan Lagrange memiliki bentuk yang
sama dengan koordinat umum apa pun, salah satu dari dua alasan utama

bahwa bentuk Lagrangian sangat berguna.













Lagrangian untuk satu partikel dalam dua dimensi adalah


1
ℒ = ℒ( , , , , , ) = − = ( + ) − ( , ). (12)
2
2
̇
̇
̇
̇
̇
2
Dibutuhkan turunan dari Lagrangian
ℒ ℒ
= − = dan = = (13)
̇

̇ ̇
dengan ekspresi yang sesuai untuk turunan y. Demikianlah kedua Lagrange
tersebut persamaan dapat ditulis ulang sebagai berikut:

ℒ ℒ
̈
= ⇔ =
̇
⃗
⇔ =m (14)
⃗
ℒ ℒ
̈
= ⇔ =

̇














32

Dari persamaan (13) dapat diketahui bahwa:

ℒ
=


dan


ℒ
=
̇

Ketika kita menggunakan koordinat umum , , . . , kita harus
2
1

menemukan ℒ , meskipun belum tentu merupakan komponen gaya, tetapi

berperan seperti gaya. Dan juga, ℒ , meskipun belum tentu merupakan
̇
komponen momentum, tetapi berperan seperti momentum. Oleh karena itu
kedua turunan tersebut dapat disebut sebagai gaya umum dan momentum

umu, seperti:




ℒ
= −


dan


ℒ
= −
̇







Dengan notasi tersebut, masing-masing persamaan Lagrange (11)


ℒ ℒ
=
̇

Yang berarti gaya umum didefinisikan sebagai perubahan momentum umum

terhadap waktu.













33

ONE PARTICLE IN TWO DI MENSION
ONE PARTICLE IN TWO DIMENSION


Jkjbsk polar coordinates jkjbsk



Studi kasus


Untuk menentukan persamaan Lagrange pada suatu sistem dimana terdapat

sebuah partikel yang bergerak dalam medan konservatif dalam dua dimensi di
koordinat polar, tunjukkan bahwa peristiwa tersebut merupakan Hukum II
Newton!



Gambar 7.1 ini merupakan gambar

gerakan partikel dalam koordinat polar.

STEPS

Untuk menyelesaikannya, maka langkah-
langkahnya :

1. Menulis persamaan Lagrange

2. Mencari persamaan E-L
3. Menyelesaikan persamaan E-L




persamaan r


1. Langkah Pertama
Persamaan atau fungsi Lagrange disini, merupakan fungsi dari :


̇
̇
ℒ = ℒ( , , ∅, ∅)

ℒ = −

Pertama kita definisikan setiap suku nya, K merupakan energi kinetik
yang dimiliki partikel tersebut, dengan persamaan :


1
2
=
2





34

1
2
= ( 2 + ) ∅
∅
2
Dengan = ∅
∅
1
2
2 ̇ 2
̇
= ( + ∅ )
2

̇ ∅
̇
Dengan = dan ∅ =

Pertama kita definisikan setiap suku nya, U merupakan energi
potensial yang dimiliki partikel tersebut, dengan persamaan :


= ( , ∅)

Maka, persamaan Lagrangenya menjadi:


ℒ = −

1
2 ̇ 2
2
ℒ = ( + ∅ ) − ( , ∅)
̇
2

2. Persamaan E-L
Dengan menggunakan variabel koordinat polar r,dan fungsi terhadap waktu,
t, maka :
ℒ ℒ
=
̇


1 1
2 ̇ 2
2 ̇ 2
2
2
̇
̇
( ( + ∅ ) − ( , ∅)) ( ( + ∅ ) − ( , ∅))
2 2
=
̇


3. Menyelesaikan Persamaan E-L

Suku Kiri

1
Hasil ( ( + ∅ ) − ( , ∅)) Hasil
2 ̇ 2
2
̇
pendefernsialan 2 pendefernsialan
suku ini suku ini yaitu
̇ 2
yaitu ∅



35


̇ 2
∅ −


Suku Kanan


1
2
2 ̇ 2
( ( + ∅ ) − ( , ∅))
̇
2

̇

( ̇) = ̈

sehingga


1 1
2 ̇ 2
2 ̇ 2
2
2
̇
̇
( ( + ∅ ) − ( , ∅)) ( ( + ∅ ) − ( , ∅))
2 2
=
̇


̇ 2
̈
∅ − =



̇ 2
̈
− = − ∅



Karena − merupakan Gaya Umum terhadap variabel r (Fr), maka

persamaan diatas dapat kita tuliskan kembali menjadi :

̇ 2
̈
= − ∅

̇ 2
̈
= ( − ∅ )


persamaan ∅

4. Langkah Keempat
Persamaan atau fungsi Lagrange disini, merupakan fungsi dari :

̇
̇
ℒ = ℒ( , , ∅, ∅)

ℒ = −








36

Pertama kita definisikan setiap suku nya, K merupakan energi kinetik
yang dimiliki partikel tersebut, dengan persamaan :

∅
1
2
=
2

1
2
= ( 2 + )
∅
2
Dengan = ∅
∅
1
2 ̇ 2
2
̇
= ( + ∅ )
2

∅
̇
̇
Dengan = dan ∅ =

Pertama kita definisikan setiap suku nya, U merupakan energi
potensial yang dimiliki partikel tersebut, dengan persamaan :


= ( , ∅)

Maka, persamaan Lagrangenya menjadi:


ℒ = −

1
2 ̇ 2
2
ℒ = ( + ∅ ) − ( , ∅)
̇
2

5. Persamaan E-L
Dengan menggunakan variabel koordinat polar r,dan fungsi terhadap waktu,
t, maka :
ℒ ℒ
=
∅ ∅ ̇

1 1
2 ̇ 2
2 ̇ 2
2
2
̇
( ( + ∅ ) − ( , ∅)) ( ( + ∅ ) − ( , ∅))
̇
2 2
=
∅ ∅ ̇









37

6. Menyelesaikan Persamaan E-L



1 1
2 ̇ 2
2
2
2 ̇ 2
̇
̇
( ( + ∅ ) − ( , ∅)) ( ( + ∅ ) − ( , ∅))
2 2
=
∅ ∅ ̇


2 ̇
− = ( ∅)
∅
2 ̇
Dengan ∅ merupakan momentum sudut L

− =
∅

Untuk mengimpretasikan persamaan ini, kita perlu menghubungkan
persamaan sebelah kiri menggunakan teori dari mekanika klasik, dimana :

⃑⃑⃑
⃑
= −∇U

Untuk mengingat kembali operasi tersebut digunakan:



Flashback……


Dari operator gradien pada koordinat kartesian 2D, diketahui :



̂
̂
⃑
∇v⃑ = +

Untuk mengubah bentuk dari koordinat kartesian ke koordinat polar,

maka hal paling jelas dilakukan adalah dengan mengubah variabel x dan
y menjadi r dan .














Dari gambar di atas,sehingga kita dapatkan :

= cos ∅ − sin ∅
̂
̂
̂


∅
= sin ∅ + cos ∅
̂
̂
̂
∅


38
Untuk mendapatkan jawaban yang lebih singkat, kita gunakan
koordinat polar.

Untuk mendapatkan jawaban yang lebih singkat, kita gunakan


koordinat polar.
Misalkan ada sebuah fungsi f(r) dalam koordinat polar, pada

problem ini, fungsi tersebut bergantung pada dua variable, yaitu r dan ∅,
oleh karena itu, fungsingan menjadi ( , ∅).

Perubahan kecil dari titik r dalam koordinat ( , ∅) ke titik


( + , ∅ + ∅) adalah :

= + ∅
∅

Perhatikan jika:

= ⃑ ∙ ∇

⃑ = + ∅
̂
̂
∅

Maka, anggap jika :
∇ = +
̂
̂
∅

Dimana , nilai nya dapat diketahui. Maka :
= ⃑ ∙ ∇


= ( + ∅ ) ∙ ( + )
̂
̂
̂
̂
∅
∅


= + ∅
Hal ini karena ̂ ∙ ̂ = ̂ ∙ ̂ = 1, ̂ ∙ ̂ = 0
∅ ∅ ∅
Membandingkan persamaan

= + ∅
∅

Dengan persamaan

= + ∅

Kita dapatkan :

1
= =
∅



39

Dengan persamaan sebelumnya :

∇ = +
̂
̂
∅


Dimana , nilai nya dapat diketahui. Maka :
= ⃑ ∙ ∇

= ( + ∅ ) ∙ ( + )
̂
̂
̂
̂
∅

∅

= + ∅
Dengan itu, kita dapatkan :
1
̂
̂
∇ = + ∅
∅
1
̂
̂
∇= + ∅
∅



Kembali pada pembahasan sebelumnya, dimana :

⃑⃑⃑
⃑
= −∇U
∅
Maka, kita dapatkan nilai :

1
̂
⃑⃑⃑ + ∅
∇U = ̂
∅
Sehingga :

1
⃑
= −
∅
∅

⃑
= −
∅
∅
⃑
Dimana = atau momen gaya, sedangkan kita tahu bahwa
∅

− =
∅

Maka:


=








40

gg Constrained System gg







KEUNTUNGAN terbesar dari pendekatan Lagrangian adalah dapat


menangani sistem yang dibatasi (constrained system) agar tidak dapat bergerak

secara bebas di dalam ruang yang ditempati.





CONTOH CONSTRAINED SYSTEM JJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJ




1 X




Y










Contoh pertama dari system yang dibatasi adalah misalkan cicin yang

diulirkan atau dilewatkan pada sebuah tali. Cicin dapat bergerak, akan tetapi

terbatas, hanya dapat bergerak di sepanjang tali tersebut. Oleh karena itu, tali

tersebut sebagai constraint dalam system itu.





Contoh kedua dari system yang dibatasi yaitu pada system

pendulum atau bandul. Saat sebuah beban digantungkan pada sebuah 2

tali yang tergantung pada batang tanpa massa, maka tali tersebut


berperan sebagai constraint dalam system tersebut.








41

Contoh kedua :







2
2
= ඥ +


θ
Y









X





Dengan Panjang tali l, adalah konstan, karena ia tidak mampu untuk
memanjang atau memendek dengan sendirinya. Bandul ini berayun bebas pada


bidang x,y akan tetapi masih tetap terbatas oleh tali.


Pada system ini hanya y dan tetha yang dipakai. Hal ini karena tetha

berubah seiring dengan ayunan dari bandul, dan saat bandul berayun, dan Kembali

ke titik kesetimbangan, akan terbentuk h (perubahan jarak)







2 2
= ඥ +

θ
Y








X



ℎ = −




42

2 2
= ඥ +

θ
Y








X



ℎ = −







Pada sebuah pendulum dengan Panjang tali l tidak bermassa yang digantungkan

pada batang tak bermassa,kemudian digantungkan sebuah benda bermassa m
yang bergerak mengayun sebesar teta (θ) dalam bidang x,y. Maka, apakah fungsi

θ(t) dari system tersebut ?



Penyelesaian

Untuk menyelesaikan problem tersebut, kita perlu meninjau satu persatu

komponen yang ada pada sistem :


Sistem memiliki beban bermassa m yang mengayun dengan sudut sebesar teta (θ),


mengakibatkan adanya perubahan ketinggian ayunannya. Hal ini akan

memperngaruhi energi potensial benda. Serta dengan sudut ayunan teta tersebut,

benda dapat mengayun dengan kecepatan tertentu, yang mengakibatkan memiliki

energi kinetic pula. Maka:








43

1. Fungsi Lagrange




Energi kinetic Karena benda bergerak dengan ayunan sebesar

teta, maka, kecepatan ayunan bandul merupakan
1
= kecepatan sudut.
2
2 =
1 2 Pada system ini, r merupakan Panjang tali l, dan ω
̇
= ( ) 1
2 merupakan turunan pertama θ terhadap
waktu,sehingga:

̇
ENERGI POTENSIAL =


= ℎ
= ( − cos )
= (1 − cos )
2

FUNGSI LAGRANGE



ℒ = −
1 2
̇
ℒ = ( ( ) ) − ( (1 − cos ))
2
1
̇
2 2
ℒ = ( ) − ( (1 − cos )) 3
2





2. Fungsi Euler-Lagrange





ℒ ℒ
=
̇

1 1
̇
̇
2 2
2 2
( ) − ( (1 − cos )) ( ) − ( (1 − cos ))
2 = 2 4
̇


44

3. Penyelesaian Fungsi Euler-Lagrange





Dari persamaan 4, kita selesaikan sebagai berikut :

1 1
̇
̇
2 2
2 2
( ) − ( (1 − cos )) ( ) − ( (1 − cos ))
2 = 2
̇
1 1
̇
̇
2 2
2 2
( ) − ( ) + ( cos ) ( ) − ( ) + ( cos )
2 = 2
̇
Suku kiri

1
̇
2 2
( ) ( ) ( cos )
2 − +


Hasilnya 0, karena
tidak ada komponen
teta pada kedua suku

tersebut
( cos )
= − sin

SUKU KANAN



1 ̇ 2 2
( ) ( ) ( cos )
2
̇ − ̇ + ̇


Hasilnya 0, karena
tidak ada komponen
teta pada kedua suku
tersebut
1 ̇ 2 2
̇
2
( ) ( ) ̈ 2
2
̇ = =




45

1 1
̇
̇
2 2
2 2
( ) − ( (1 − cos )) ( ) − ( (1 − cos ))
2 = 2
̇

̈
2
− sin =

̈
− sin =

Dengan mengasumsikan bahwa nilai ≫ nilai nya sangat kecil, maka :

̈
− =

̈
+ = 0 5


Persamaan diatas membentuk fungis Persamaan Diferensial Orde 2 Linier.
Persamaan tersebut kemudian diselesaikan sebagai berikut:

2
̈
+ = 0 Dengan = , dan kita
̈
2
ketahui bahwa = ,

2
2
̈
+ = 0 maka, = .


2
( + ) = 0

Kemudian kita faktorkan untuk mendapatkan akar-akar penyelesaiannya.
Karena suku tersebut tidak dapat difaktorkan menggunakan pemfaktoran
biasa, kita gunakan rumus abc untu menemukan akar-akarnya.


2
+

Dari fungsi tersebut, kita ketahui bahwa nilai : a=1, b=0, c=g/l

2
− ± √ − 4

2










46


2
−0 ± √0 − 4.1.


2.1

±√−4


2

±2√ √−1


2

±√

Dalam penyelesaian PDB Orde 2, akar-akar yang memilii nilai bilangan imajiner
(i), dirumuskan dalam bentuk :
±


Sehingga, kita dapat mengetahui nilai = 0 dan = √ .

Penyalesaian fungsi ini menjadi :
= (sin + )
Dengan Gamma merupakan beda fase. Dan fungsi y disini merupakan , dan
x merupakan fungsi t ( waktu ). Maka, penyelesaian akhirnya menjadi :



( ) = 0 (sin √ + )



Nilai , dapat kita abaikan, sehingga :

( ) = 1 (sin √ )


c merupakan konstanta yang dalam permasalahan ini merupakan Amplitudo
gelombang yang disimbolkan A. Jadi, fungsi akhir teta nya menjadi :


( ) = (sin √ )




Kita juga dapat menuliskan √ = . Persamaannya menjadi :

( ) = (sin )






47

k

m





keadaan setimbang


x



k
v
m





keadaan setelah bergerak



Sebuah benda bermassa m, digantungkan pada sebuag pegas tak bermassa,

menggunakan pendekatan Lagrange, hitung nilai x!













48