E-MODUL_MEKANIKA_ANALITIK

1. Fungsi Lagrange



Energi kinetic


1
= Karena v merupakan perubahan jarak
2 persatuan waktu maka:


1 = = ̇
=
̇
2

Energi POTENSIAL pegas


1
=
2
2



FUNGSI LAGRANGE
ℒ = −

1 1
2
ℒ = −
̇
2 2


2. Fungsi Euler-Lagrange



ℒ ℒ
=
̇

1 1 1 1
2
2
̇
( − ) ( − )
̇
2 2 = 2 2
̇












49

3. Penyelesaian Fungsi Euler-Lagrange


Penyelesaian dari persamaan E-L:


1 1 1 1
2
2
2
2
̇
̇
( − ) ( − )
2 2 = 2 2
̇
1 1 1 1
2
2
2
2
̇
̇
( ) ( ) ( ) ( )
2 − 2 = 2 − 2
̇ ̇


Hasilnya 0, karena tidak ada
komponen x pada kedua
suku kiri, dan x dot pada
suku kanan tersebut

1 1
2
2
̇
( ) ( )
− 2 = 2
̇


̇
− =


− =
̈

+ = 0
̈


+ = 0
̈


Persamaan diatas membentuk fungis Persamaan Diferensial Orde 2 Linier.

Persamaan tersebut kemudian diselesaikan sebagai berikut:


+ = 0
̈










50


2
+ = 0



2
( + ) = 0


Kemudian kita faktorkan untuk mendapatkan akar-akar penyelesaiannya.
Karena suku tersebut tidak dapat difaktorkan menggunakan pemfaktoran
biasa, kita gunakan rumus abc untu menemukan akar-akarnya.



2
+


Dari fungsi tersebut, kita ketahui bahwa nilai : a=1, b=0, c=k/m


2
− ± √ − 4

2



2
−0 ± √0 − 4.1.

2.1



±√−4 ±2√−
=
2 2



±√ √−1 = ±√



Dalam penyelesaian PDB Orde 2, akar-akar yang memilii nilai bilangan imajiner
(i), dirumuskan dalam bentuk :
±


Sehingga, kita dapat mengetahui nilai = 0 dan = √ .

Penyalesaian fungsi ini menjadi :
= (sin + )






51

Dengan Gamma merupakan beda fase. Dan fungsi y disini merupakan , dan
x merupakan fungsi t ( waktu ). Maka, penyelesaian akhirnya menjadi :




( ) = 0 (sin √ + )



Nilai , dapat kita abaikan, sehingga :


( ) = 1 (sin √ )



c merupakan konstanta yang dalam permasalahan ini merupakan Amplitudo
gelombang yang disimbolkan A. Jadi, fungsi akhir teta nya menjadi :




( ) = (sin √ )













z
Tentukan nilai :

a. ̈
b. ̇
c. z





y









52

1. Fungsi Lagrange


Meninjau dari system berada dalam koordinat kartesian 3D, maka system
memiliki 3 variabel, yaitu x,y,dan z:

Energi kinetic


1
=
2
1 2 2 2
= ( + + )
2
1
= ( + + )
2
2
2
̇
̇
̇
2

Energi potensial
= ℎ

=


FUNGSI LAGRANGE


ℒ = −
1
2
2
2
ℒ = ( ( + + )) − ( )
̇
̇
̇
2



2. Fungsi Euler-Lagrange

Fungsi terhadap y

ℒ ℒ
=
̇











53

1 1
2
2
2
2
2
2
̇
̇
̇
( ( + + )) − ( ) ( ( + + )) − ( )
̇
̇
̇
2 2
=
̇
sama dengan 0

0 =
̇


0 =
̈


Fungsi terhadap x

ℒ ℒ
=
̇
1 1
2
2
2
2
2
2
̇
̇
̇
̇
̇
̇
( ( + + )) − ( ) ( ( + + )) − ( )
2 2
=
̇

sama dengan 0



̇
0 =


0 = ̈

Fungsi terhadap z



ℒ ℒ
=
̇

1 1
2
2
2
2
2
2
̇
̇
̇
̇
̇
̇
( ( + + )) − ( ) ( ( + + )) − ( )
2 2
=
̇
54


− = ̇

− = ̈


− = ̈


Dengan fungsi x, y kita dapat mengetahui :

❖ 0 =
̈

0 = artinya, konstant
̈
= artinya, kecepatan awal, sehingga
̇
=
̇
0

=
0

= integralkan kedua ruas
0
=
0

❖ 0 =
̈
0 = artinya, konstant
̈

= artinya, kecepatan awal, sehingga
̇
=
̇
0

=
0

= integralkan kedua ruas
0
=
0



❖ − = ̈
̇
= −






55

= − integralkan kedua ruas
̇


= − +
̇
̇
Saat t=0, maka = dimana merupakan kecepatan awal, maka =
̇
̇
0
0
0
. Sehingga
0

= − +
̇
0

= −
̇
0


❖ = −
̇
0

= −
0
= ( − ) integralkan kedua ruas
0

= ∫ − ∫
0

1
2
= −
0
2























56

uiL APLIKASI MEKANIKA LAGRANGE Liu




Terdapat banyak aplikasi atau penerapan dari mekanika Lagrange. Berikut


ini akan dibahas mengenai beberapa aplikasi mekanika lagrange pada

permasalahan-permasalan yang sering kita temui sehari-hari.





Problem 1




Pada pesawat AtWood, dua buah benda dengan massa
R
m1,dan m2 dihubungkan menggunakan sebuah tali

sepanjang l pada sebuah katrol. Apabila massa katrol
q2
diabaikan, berapa nilai ! q1
̈


m2
Solution 1




Pertama kita perlu meninjau setiap benda dalam system. m1



Menentukan komponen l (Panjang tali)
=


R = + +
1
2
u=0
= − −
1
2
= − + −
2
1

q2 Konstanta c
= − +
q1 2 1
̇
̇
= −
1
2
Pada penyelesaian ini kita gunakan
m2
variable umum berupa q1 dan q2 untuk
setiap sistem
m1
57

Meninjau nilai K (Energi Kinetik Sistem)


= 1 + 2
1 1
2
= 2 +
1 1
2 2
2 2
1 1
2
= ̇ 2 +
̇
2 2
1 1
2 2
Dengan mensubtitusi nilai q2,maka persamaan energi kinetic system menjadi :
1 1
2
̇
= ̇ 2 +
2 1
1 1
2 2
1
2
= ( + )
̇
2
1
1
2

Meninjau nilai U (Energi Potensial Sistem)


= 1 + 2

= − −
1
1
2
2
Dengan mensubtitusi nilai q2,maka persamaan energi potensial system menjadi :
= − + −
1
2
1
2
1
= ( − ) −
1
2
2
1

Persamaan Lagrange

ℒ = −

1
2
ℒ = ( ( + ) ) − (( − ) − )
̇
1
1
2
2
1
2
1
2



58

Penyelesaian dengan Euler - Lagrange


ℒ ℒ
=
̇
1 ̇ 1
Suku Kiri


ℒ
=
1


1

2
( ( + ) ) − (( − ) − )
̇
2 1 2 1 2 1 1 2 =
1
Nilainya 0 karena
2
1
tidak ada −( − ) = Nilainya 0 karena
tidak ada
komponen ( − ) = komponen
1
1
2
1
Suku Kanan
ℒ
=
̇ ̇
1
1 2
̇
( ( + ) ) − (( − ) − )
1
2
2
2
1
1
1
2
=
̇ 1 ̇

= ( + ) ̇
1
1
2

= ( + ) ̈
2
1
1

Suku Kiri=Suku Kanan
( − ) = ( + ) ̈
1
2
1
2
1
( − )
2
1
̈ =
1
( + )
1
2

Jadi, nilai dari ̈ , yang pada mekanika klasik juga disebut sebagai
1
( − )
percepatan, sebesar 1 2
( + )
1
2
59

q
1 1
=
2
Problem 2 m1




q
2


Pada pesawat AtWood, dua buah benda dengan massa

m1,dan m2 dihubungkan menggunakan sebuah tali

sepanjang l pada sebuah katrol. Apabila massa katrol m2

diabaikan, berapa nilai ̈!




Solution 2




Pertama kita perlu meninjau setiap benda dalam system.

Menentukan komponen l (Panjang tali)


1
= + +
2
1
2
1
= − −
1
2
2
1
= − + −
2
1
2
Konstanta c
Pada penyelesaian ini kita gunakan variable umum berupa q1 dan q2
untuk setiap sistem
= − +
1
2
̇
̇
= −
2
1















60

Meninjau nilai K (Energi Kinetik Sistem)


= 1 + 2
1 1
2
= 2 +
1 1
2 2
2 2
1 1
2
= ̇ 2 +
̇
2 2
1 1
2 2
Dengan mensubtitusi nilai q2,maka persamaan energi kinetic system menjadi :
1 1
2
̇
= ̇ 2 +
2 1
1 1
2 2
1
2
= ( + )
̇
1
1
2
2

Meninjau nilai U (Energi Potensial Sistem)


= 1 + 2

= 0 −
2
2
Dengan mensubtitusi nilai q2,maka persamaan energi potensial system menjadi :

= −
2
2
1

= −
2
2
1

Persamaan Lagrange


ℒ = −

1
2
ℒ = ( ( + ) ) − ( − )
̇
2
1
1
2
1
2
2




61

Penyelesaian dengan Euler - Lagrange


ℒ ℒ
=
̇
1 ̇ 1
Suku Kiri


ℒ
=
1


1 2
( ( + ) ) − ( − )
̇
2 1 2 1 2 1 2 =
1

Nilainya 0 karena
2
tidak ada − = Nilainya 0 karena
tidak ada
komponen komponen
1
1
Suku Kanan

ℒ
=
̇ ̇
1
1 2
̇
( ( + ) ) − ( − )
2
2
1
2
1
1
2
=
̇ 1 ̇

= ( + ) ̇
2
1
1

= ( + ) ̈
2
1
1

Suku Kiri=Suku Kanan
− = ( + ) ̈
1
2
1
2
−
2
̈ =
1
( + )
1
2

Jadi, nilai dari ̈ , yang pada mekanika klasik juga disebut sebagai
1
−
percepatan, sebesar 2
( + )
1
2
62

1
=
I 2

Problem 3 U=0


Pada pesawat AtWood, sebuah benda dengan massa
q
m dihubungkan menggunakan sebuah tali

sepanjang l pada sebuah katrol. Apabila katrol berjari-jari R


berputar dengan momen inersia sebesar I, berapa nilai !
̈
m




Solution 2




Pertama kita perlu meninjau setiap benda dalam system.


Menentukan komponen l (Panjang tali)

=

Pada penyelesaian ini kita hanya menggunakan satu buah tali dan satu

buah beban.

Meninjau nilai K (Energi Kinetik Sistem)


= +

1 1
2
2
= +
2 2
1 1 2
2
= + ( )
̇
2 2
1 1 ̇ 2
2
= +
̇
2 2 2








63

1
2
= ( + )
̇
2 2


Meninjau nilai U (Energi Potensial Sistem)



=
= −



Persamaan Lagrange


ℒ = −

1
2
ℒ = ( ( + ) ) − (− )
̇
2 2


Penyelesaian dengan Euler - Lagrange


ℒ ℒ
=
̇

Suku Kiri


ℒ
=
1

1
2

( ( + ) ̇ ) − (− )
2 2 =

Nilainya 0 karena
tidak ada =
komponen
1










64

Suku Kanan

ℒ
=
̇


1 2
( ( + 2 ) ̇ ) − (− )
2
=
̇


= ( + )
̇
2

= ( + )
̈
2


Suku Kiri=Suku Kanan


̈
= ( + )
2

̈
=
( + )
2


Jadi, nilai dari , yang pada mekanika klasik juga disebut sebagai
̈

percepatan, sebesar
( + )
2




























65

PROBLEM 1









R
=



−
2
1


2

1


Sebuah pesawat atwood yang terdiri dari dua massa dan digantung oleh
2
1
tali yang melintas di atas katrol yang berputar tanpa gesekan dengan radius R.
Karena panjang tali konstan, posisi seluruh sistem bisa ditentukan oleh variable
̈
tunggal yang dapat kita anggap sebagai q. Bagaimanakah fungsi ?








Untuk menyelesaikan problem tersebut, diperlukan untuk meninjau satu persatu

komponen yang ada pada sistem:

Sistem memiliki massa m yang menarik tali dengan panjang tali , pada katrol yang berputar

tanpa gesekkan ( = 0) mengakibatkan adanya perubahan ketinggian yang
mempengaruhi energi potensialnya serta pergerakan massa dengan kecepatan tertentu
mengakibatkan adanya energi kinetic. Maka:

1. Fungsi Lagrange


PANJANG TALI
1
= + + (2 ) Panjang tali pada sistem dapat
2
1
2
= + + didefinisikan sebagai jumlah dan
2
1
1
2
= − − serta setengah keliling lingkaran katrol
2
1
= − + −
1
2
= − +
2
1
66

ENERGI KINETIK
= +


1 1 1
2
= 2 + 2 +
2 2
1 1
2 2 2

Dengan
̇
= = 1

Mensubstitusi nilai percepatan sudut ( ) tersebut dan mengubah nilai kecepatan
dengan koordinat q, maka
2
1 2 1 2 1 ̇ 1
= ̇ + ̇ +
2 1 1 2 2 2 2 2
2
1 2 1 1 ̇ 1
2
̇
= ̇ + (− ) +
2 1 1 2 2 1 2 2
1 2 1 2 1 ̇ 1 2
= ̇ + ̇ + (1)
2 1
1 1
2 2 2 2

ENERGI POTENSIAL
= − −
1
1
2
2
= − − (− + )
2
1
1
1
= − + (2)
2
1
1
1
2

FUNGSI LAGRANGE
ℒ = −
2
1 2 1 2 1 ̇ 1
ℒ = ( ̇ + ̇ + ) − ( − + ) (3)
1
2
2 1
1
2
1 1
1
2 2 2 2


2. Fungsi Euler-Lagrange
ℒ ℒ
=
̇
2
1 2 1 2 1 ̇ 1
[( ̇ + ̇ + 2 )−( − + )]
1
2
1
2 1
1 1
2
1
2 2 2 =
1
2
1 2 1 2 1 ̇ 1
[( ̇ + ̇ + )−( − + )]
2 1 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2
(4)
̇ 1


67

3. Penyelesaian Fungsi Euler-Lagrange
Dari persamaan 4, kita selesaikan sebagai berikut:

1 1 1 ̇ 2
[( ̇ 2 + ̇ 2 + 1 ) − ( − + )]
2 1 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2
1

1 2 1 2 1 ̇ 2
[( ̇ + ̇ + 1 ) − ( − + )]
2 1 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2
=
̇ 1

SUKU KIRI

1 1 1 ̇ 2
[( ̇ 2 + ̇ 2 + 1 ) − ( − + )]
2 1 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2

1
Hasilnya 0

karena tidak
ada
komponen
1




( − ) = −( − ) (5)
1
1
1
2
1 2 1
SUKU KANAN
1 1 1 ̇ 2
[( ̇ 2 + ̇ 2 + 1 ) − ( − + )]
2 1 1 2 2 1 2 2 2 1 1 2 2

̇
1


1 2 1 2 1 ̇ 2 Hasilnya 0
( ̇ + ̇ + 1 ) karena tidak
1 1
2 1
2 2 2 2
ada
̇
1 komponen ̇
1

̈ ( + + ) (6)
2
1
1
2
Sehingga, hasil penyelesaian Euler-Lagrange nya adalah
=



( − ) = ̈ ( + + )
2
2
1
1
1
2



68

( − )
2
1
̈ =
1
( + + 2 )
1
2




PROBLEM 2






− ℎ = sin R Menggelinding




ℎ





Sebuah bola bermassa m dan memiliki radius R menggelinding di atas bidang

miring dengan kemiringan , tinggi y, dan panjang x, bidang tersebut licin tanpa
adanya gaya gesekan dengan kecepatan V. Jarak dari puncak bidang miring ke
̈
bola saat menggelinding dapat kita anggap sebagai q. Bagaimanakah fungsi ?











Untuk menyelesaikan problem tersebut, diperlukan untuk meninjau satu persatu

komponen yang ada pada sistem:


Bola memiliki massa m yang menggelinding sepanjang q, pada bidang miring tanpa
gesekkan ( = 0) mengakibatkan adanya perubahan ketinggian yang mempengaruhi
energi potensialnya serta pergerakan bola dengan kecepatan tertentu mengakibatkan
adanya energi kinetic. Maka:













69

1. Fungsi Lagrange

Pada gambar ilustrasi soal di atas, diketahui bahwa bola menggelinding dengan jarak sejauh

q, maka:


− ℎ = sin dan =
̇

ENERGI KINETIK

= +
1
1
= +
2
2
2 2
2

1
1
= ( ) +
2
̇
2 2
2 1
1
̇
= ( ) +
2
̇
2 2
1
2
= ( + ) (1)
̇
2 2

ENERGI POTENSIAL
= ℎ
= ( − sin )
= − sin (2)

FUNGSI LAGRANGE
ℒ = −

1
2
ℒ = ( + ) − [ − sin ]
̇
2 2
1 2
ℒ = ( + ) − + sin (3)
̇
2 2

2. Fungsi Euler-Lagrange

ℒ ℒ
=
̇

1 1
2
2
[ ̇ ( + )− + sin ] [ ̇ ( + )− + sin ]
2 2 = 2 2 (4)
̇









70

3. Penyelesaian Fungsi Euler-Lagrange

Kita dapat menyelesaikan fungsi Euler-Lagrange (4) tiap sukunya agar lebih mudah
1 1
2
2
[ ( + ) − + sin ] [ ( + ) − + sin ]
̇
̇
2 2 = 2 2
̇

SUKU KIRI
1
2
̇
[ ( 2 + ) − + sin ]
2
Hasilnya 0 karena
tidak ada variable
q yang diturunkan
[ sin ] = sin (5)



SUKU KANAN

1 2
̇
[ ( 2 + ) − + sin ] Hasilnya 0 karena
2
̇ tidak ada komponen
yang diturunkan
̇



1 2
̇
[ ( 2 + )]
2
̇


̈
( + ) (6)
2
Sehingga, hasil penyelesaian Euler-Lagrangenya adalah

=


sin = ̈ ( + )
2


sin
=
̈
( + )
2













71

PROBLEM 3




1








2
M







= +
2


Sebuah balok bermassa m bergerak di atas bidang miring bermassa M dengan
kemiringan , bidang tersebut licin tanpa adanya gaya gesekan dengan kecepatan
V. Jarak dari puncak bidang miring ke balok saat meluncur dapat kita anggap
sebagai dan jarak perpindahan bidang miring kita anggap sebagai .
2
1
Bagaimanakah fungsi ̈ ?
1










Untuk menyelesaikan problem tersebut, diperlukan untuk meninjau satu persatu

komponen yang ada pada sistem:


Balok memiliki massa m yang meluncur sepanjang , pada bidang miring bermassa M
1
dengan kemiringan dan mengalami perpindahan sejauh tanpa gesekkan ( = 0)
2
mengakibatkan adanya energi kinetic pada balok maupun bidang miring serta adanya
perubahan ketinggian yang mempengaruhi energi potensial balok. Maka:















72

1. Fungsi Lagrange

Pada gambar ilustrasi soal di atas, diketahui bahwa bola menggelinding dengan jarak sejauh

q dan mengubah koordinat kartesius menjadi polar, maka:


= cos dan =
̇
1
= − sin = − ̇ sin
1

1
= +
2

= cos + = ̇ cos + ̇

2
1
1
2

ENERGI KINETIK BALOK

1
=
2
2
2
1
= ( + )
2
1
= [( ̇ cos + ̇ ) + (− ̇ sin ) ]
2
2
2 1 2 1
1 2 2
2
2
= [ ̇ cos + 2 + 2 ̇ ̇ cos + ̇ sin ]
2 1 2 1 2 1
1 2
2
2
= [ ̇ (cos + sin ) + 2 + 2 ̇ ̇ cos ]
2 1 2 1 2
1 2
= [ ̇ 1 + 2 2 + 2 ̇ ̇ cos ] (1)
1 2
2

ENERGI KINETIK BIDANG MIRING
1
2
=
2 2
1
2
= (2)
̇
2 2

ENERGI KINETIK TOTAL
= +
1 2 1 2
̇
= [ ̇ 1 + 2 2 + 2 ̇ ̇ cos ] +
2
1 2
2 2
1 2 1 2
= ( + ) ̇ + [ ̇ + 2 ̇ ̇ cos ] (3)
2 2 2 1 1 2






73

ENERGI POTENSIAL

=
= ℎ

= − sin (4)
1


FUNGSI LAGRANGE

ℒ = −
1 2 1 2
ℒ = ( + ) ̇ + [ ̇ + 2 ̇ ̇ cos ] − (− sin )
2 2 2 1 1 2 1
1 2 1 2
ℒ = ( + ) ̇ + [ ̇ + 2 ̇ ̇ cos ] + sin (5)
2 2 2 1 1 2 1


2. Fungsi Euler-Lagrange

ℒ ℒ
=
̇
1 2 1 2
( ( + ) ̇ 2 + [ 1 ̇ +2 1 ̇ 2 ̇ cos ]+ 1 sin )
2 2 =

1 2 1 2
( ( + ) ̇ 2 + [ 1 ̇ +2 1 ̇ 2 ̇ cos ]+ 1 sin ) (6)
2
2
̇

3. Penyelesaian Fungsi Euler-Lagrange

MENCARI NILAI KOMPONEN
2
1 2 1 2
( ( + ) ̇ + [ ̇ + 2 ̇ ̇ cos ] + sin )
2 2 2 1 1 2 1
2
1 2 1 2
( ( + ) ̇ 2 + [ ̇ 1 + 2 ̇ ̇ cos ] + sin )
1 2
1
2
2
=
̇ 2
SUKU KIRI
1 2 1 2
( ( + ) ̇ 2 + [ ̇ 1 + 2 ̇ ̇ cos ] + sin )
1
1 2
2
2
Hasilnya 0 karena
tidak ada yang 2

mengandung
komponen
2
= 0







74

SUKU KANAN
1 2 1 2
( ( + ) ̇ 2 + [ ̇ 1 + 2 ̇ ̇ cos ] + sin )
1
1 2
2
2
̇ 2

[( + ) ̇ + ̇ cos ]
2 1
( + ) ̈ + ̈ cos
2
1
Sehingga, hasil penyelesaian Euler-Lagrange untuk komponen adalah
2
=
( + ) ̈ + ̈ cos = 0
2
1

= − ( + ) cos (7)
̈
̈
1
2

MENCARI NILAI KOMPONEN
1
1 2 1 2
( ( + ) ̇ + [ ̇ + 2 ̇ ̇ cos ] + sin )
2 2 2 1 1 2 1
1
1 2 1 2
( ( + ) ̇ 2 + [ ̇ 1 + 2 ̇ ̇ cos ] + sin )
1 2
1
2
2
=
̇ 1

SUKU KIRI
1 2 1 2
( ( + ) ̇ 2 + [ ̇ 1 + 2 ̇ ̇ cos ] + sin )
1
1 2
Hasilnya 0 karena 2 2
tidak ada yang 1
mengandung

komponen
1


sin


SUKU KANAN
1 2 1 2
( ( + ) ̇ 2 + [ ̇ 1 + 2 ̇ ̇ cos ] + sin )
1 2
1
2
2
̇ 1

( [ ̇ + ̇ cos ])
1 2
+ cos
̈
̈
2
1






75

Mensubstitusikan nilai pada persamaan (7), maka:
̈
2


+ (− cos ) cos
̈
̈
1
( + ) 1

2
̈
(1 − )
( + ) 1

Sehingga, kita dapat memperoleh persamaan Euler-Lagrangenya adalah
=

2
̈
sin = (1 − )
( + ) 1
sin
̈
=
1
2
(1 − )
( + )
sin
̈
=
1
2
(1 − )
( + )














































76