คณิตศาสตร์ ม.4 ตรรกศาสตร์

1

สรุปเนื้อหา+แบบฝึกหดั +แนวข้อสอบ

คณติ ศาสตร์พน้ื ฐาน ม.4
เรอื่ ง ตรรกศาสตร์

สารบญั 2

1. ความหมายและความสำคัญของตรรกศาสตร์ หน้า
2. ประพจน์และประโยคเปิด
3. การเชอ่ื มประพจน์ 3
4. นเิ สธของประพจน์ 4
5. การหาคา่ ความจรงิ ของประพจนท์ ่ีมีตัวเช่อื ม 7
6. การสมมลู กนั เชงิ ตรรกศาสตร์ 13
7. สจั นิรนั ดร์ 14
8. เราเรียนตรรกศาสตร์ไปทำไม 19
เฉลยแบบฝึกหดั 24
แนวข้อสอบ เร่อื ง ตรรกศาสตร์ ชุดท่ี 1 - 4 29
เฉลยแนวขอ้ สอบ เรอ่ื ง ตรรกศาสตร์ ชุดที่ 1 - 4 30
บรรณานกุ รม 40
64
68

3

1. ความหมายและความสำคัญของตรรกศาสตร์

ตรรกศาสตร์ เมื่อแปลตามพจนานุกรมฉบบั ราชบณั ฑิตยสถาน พ.ศ.2554 หมายถงึ ปรชั ญาสาขา
หน่ึง ว่าดว้ ยการคดิ หาเหตุผลว่าจะสมเหตุสมผลหรือไม่ ตรงกับคำว่า LOGIC ในภาษาองั กฤษ

ตรรกศาสตรน์ ้นั มบี ทบาทสำคัญต่อการกำหนดโครงสร้างของการเขยี นขอ้ ความทางคณติ ศาสตร์
รวมถึงการใหเ้ หตุผลอยา่ งเปน็ ระบบเพื่อยนื ยันว่าข้อความเหล่าน้ัน เป็นจรงิ หรือเป็นเทจ็

ตรรกศาสตรม์ ีบทบาทสำคัญมากในการทำให้เราไดข้ อ้ สรปุ และข้อโตแ้ ย้งตา่ งๆ จากเหตทุ เ่ี รามแี ละ
ยังมสี ่วนอยา่ งมากในการทำใหเ้ ราได้กฎเกณฑ์และทฤษฎบี ทตา่ งๆ ทั้งในด้านคณติ ศาสตร์และ
วทิ ยาศาสตรอ์ ยา่ งสมเหตสุ มผล และสามารถนำไปประยุกต์ได้อย่างถกู ตอ้ งและเกิดประโยชน์

จะเหน็ ได้ว่าทฤษฎีบทตา่ งๆทเี่ กดิ ขน้ึ ล้วนมาจากการใหเ้ หตผุ ลเชงิ ตรรกศาสตรท์ ั้งสนิ้ จึงเป็น
หลกั การที่ทกุ คนตอ้ งยอมรับเพ่อื ให้ไดม้ าซง่ึ ความจรงิ เหลา่ นน้ั

4

2. ประพจนแ์ ละประโยคเปิด

ประพจน์ คือ ประโยคหรอื ข้อความทเี่ ปน็ จริงหรอื เทจ็ อย่างใดอย่างหน่ึงเทา่ นั้น ซึ่งประโยคหรือ
ขอ้ ความดงั กลา่ วจะอยู่ในรปู บอกเล่าหรอื ปฏิเสธกไ็ ด้ นยิ มเขยี นแทนตวั อักษรตวั พมิ พเ์ ลก็ ใน
ภาษาอังกฤษ เช่น p, q, r เปน็ ตน้
ตัวอยา่ งประโยคทีเ่ ป็นประพจน์

สำหรับประโยคทีไ่ มส่ ามารถหาค่าความจรงิ ของประโยคได้ เช่น ประโยคคำถาม ประโยคคำสง่ั คำ
อุทาน หรือวลี ไมใ่ ชป่ ระพจน์ เชน่

ส่วนประโยคเปดิ (Open Sentence) คือ ประโยคบอกเล่าหรือปฏเิ สธทม่ี ตี ัวแปรอยใู่ นประโยคยัง
ไม่สามารถบอกได้วา่ เปน็ จรงิ หรอื เทจ็
ตวั อยา่ งประโยคท่ีเป็นประโยคเปิด

ในประโยคข้างตน้ มีคำทีไ่ มไ่ ด้ระบุชัดเจนเข่น เขา เธอ จำนวนจริง x จำนวนจริง y ซ่ึงไม่ได้ระบุ
ชัดเจนวา่ คอื ใคร เปน็ จำนวนใด จงึ ยังไม่สามารถหาคา่ ความจรงิ ได้ แต่เม่ือแทนทตี่ ัวแปรและเติม
วลบี อกปรมิ าณของตัวแปรลงไปในประโยคแลว้ จะสามารถทาให้บอกค่าความจริงของประโยคน้ัน
ได้ ประโยคนนั้ จะเป็นประพจน์

5

แบบฝกึ หัดที่ 2 : ประพจนแ์ ละประโยคเปิด

จงพจิ ารณาว่าประโยคตอ่ ไปนี้เปน็ ประพจน์, ประโยคเปดิ หรอื ไม่เปน็ ทัง้ สองอย่าง ถ้าเป็นประพจน์

ใหบ้ อกค่าความจรงิ ของประพจน์เหลา่ นน้ั

ประโยค เป็นประพจน์ เปน็ ประโยค ไม่เปน็ ทัง้ ค่าความจรงิ
เปดิ สองอย่าง (ถ้าเป็น
1. จังหวัดนครศรธี รรมราชอยทู่ าง ประพจน)์
ภาคใตข้ องประเทศไทย

2. √25 = 5
3. ทำไมนกั เรียนชอบเล่นตกิ๊ ต๊อก
4. เขาเป็นนายกรัฐมนตรี
5. - 4 < -1
6. 1 < 3

24

7. กรุณาฟงั ๆ ฉนั ใหจ้ บๆๆ
8. จังหวดั นครราชสีมาไมอ่ ยใู่ น
ภาคเหนือของประเทศไทย

9. −√49 = 7
10. 25 > 3 3

24

11. โปรดสง่ ใครมารกั ฉนั ที
12. พระอาทติ ยข์ ้ึนทางทศิ
ตะวนั ออก
13. เขาเป็นคนองั กฤษ
14. กรุณาเปิดหน้าต่างให้ฉนั
หนอ่ ย
15. ฉนั มาทำอะไรท่นี ี่
16. คณุ พระชว่ ย!
17. พ่ีต้องพาฉันไปดูหนงั นะ

6

ประโยค เป็นประพจน์ เปน็ ประโยค ไม่เปน็ ทง้ั ค่าความจริง
เปดิ สองอย่าง (ถ้าเป็น
18. x > 1 ประพจน์)
19. จำนวนเฉพาะทุกจำนวนเปน็
จำนวนคี่
20. ระบบสรุ ยิ ะมีดวงอาทติ ย์
21. 9 เป็นจำนวนเฉพาะ
22. ประโยคคำถามเป็นประพจน์
23. ประโยคบอกเลา่ เป็นประพจน์
24. ประโยคบอกเลา่ หรือปฏเิ สธ
ทุกประโยคเปน็ ประพจน์
25. ผู้มองเหน็ ความจรงิ มเี พียง
หนง่ึ เดียว ถงึ ตวั จะเปน็ เด็ก แต่
สมองเป็นผูใ้ หญ่ ช่ือของเขาคือ
ยอดนกั สืบโคนัน
26. เมอ่ื เธอเป็นเงาทต่ี อ้ งชำระ
ความแค้น สงิ่ ใดจะปลดเงื่อน
พนั ธนาการให้เธอ
27. คนอย่างแกไมม่ ีวันไดค้ วามรัก
ทด่ี จี ากผชู้ ายหรอก เพราะคน
อย่างแกต้องวง่ิ ตามหาความรักไป
ตลอดชีวติ
28. อดตี อันเจบ็ ชำ้ ทำใหเ้ ธอไม่
เชื่อมั่นวา่ รกั แท้จะมอี ยู่จรงิ เธอจึง
เลอื กจะตอบแทนความรกั ของเขา
ด้วยการตีตราจอง

7

3. การเชอ่ื มประพจน์

เราจะเรยี กประพจน์ท่ีเป็นจริงว่า ประพจนท์ ี่มีค่าความจรงิ เปน็ จรงิ แทนดว้ ยสัญลกั ษณ์ T และ
เรยี กประพจน์ที่เปน็ เทจ็ วา่ ประพจน์ทมี่ ีค่าความจรงิ เป็นเท็จ แทนด้วยสญั ลกั ษณ์ F และสำหรับ
การเชอ่ื มประพจนจ์ ะทำไดโ้ ดยนำประพจนต์ งั้ แต่ 2 ประพจน์ขน้ึ ไป สามารถนำประพจนน์ ้ันมา
สร้างประพจนใ์ หมโ่ ดยใชก้ ารเช่อื มประพจน์ด้วยตัวเชื่อม ซง่ึ มี 4 แบบ ดังน้ี
1. การเชื่อมประพจน์ดว้ ย “และ”
“และ” เขียนแทนดว้ ย ∧
การเช่ือมด้วยตวั เชื่อม “และ” จะมีคา่ ความจรงิ เปน็ จริง กรณีทปี่ ระพจนท์ น่ี ำมาเช่ือมเปน็ จริงท้งั คู่
เท่านน้ั กรณอี นื่ ๆทีป่ ระพจน์ใดประพจนห์ นง่ึ เปน็ เทจ็ จะมคี า่ ความจรงิ ของประพจน์เป็นเทจ็ ดงั
ตาราง

สำหรับภาษาทใี่ ช้ในชวี ติ ประจำวนั อาจแทนตัวเชื่อม “และ” ด้วยคำอ่ืนซ่งึ ให้ความหมายอย่าง
เดยี วกัน เชน่ “แต”่ “นอกจากนั้นแลว้ ” “ถึงแมว้ ่า” “ในขณะท”่ี ตวั อย่างประโยคทีพ่ บไดใ้ น
ชีวิตประจำวัน เช่น วรรณชอบวิชาคณติ ศาสตร์แตน่ ุชชอบวิชาภาษาอังกฤษ สมศกั ดิเ์ ป็นหัวหน้า
หอ้ งนอกจากนน้ั แลว้ เขายังเปน็ ประธานนกั เรียนด้วย วชิ ยั ทำงานหนักถึงแมว้ า่ เขาปว่ ย น้ำผงึ้ อ่าน
หนังสือในขณะท่ีน้ำฝนดูโทรทัศน์ เป็นตน้
ตวั อยา่ งเสริมความเข้าใจ : นักเรยี นทกุ คนตอ้ งเตรียมสมุดและปากกา เพอ่ื ใชเ้ รยี นในคาบถดั ไป
กลา่ วคือ นกั เรียนตอ้ งเตรยี มท้งั สมดุ และปากกา จะขาดอย่างใดอยา่ งหนงึ่ ไมไ่ ด้

8
2. การเชื่อมประพจน์ดว้ ย “หรอื ”
“หรือ” เขยี นแทนด้วย ∨
การเชอื่ มดว้ ยตวั เชื่อม “หรือ” จะมคี า่ ความจรงิ เปน็ เท็จ กรณที ่ปี ระพจนท์ นี่ ำมาเชอ่ื มเปน็ เท็จทั้งคู่
เทา่ นนั้ กรณีอ่ืนๆทีป่ ระพจนใ์ ดประพจนห์ นึง่ เปน็ จรงิ จะมคี า่ ความจริงของประพจน์เป็นจรงิ ดงั
ตาราง

ตวั อยา่ งเสรมิ ความเข้าใจ : คณุ ผู้ชายจะรบั ชาหรอื กาแฟ
โดยทั่วไปลูกค้ากจ็ ะเข้าใจวา่ ตอ้ งเลือกชาหรอื ไม่ก็กาแฟอยา่ งใดอยา่ งหน่งึ เท่านั้น แตอ่ าจจะมี
ลกู ค้าบางคนเลอื กทง้ั สองอย่างก็ได้ ทำให้เกิดความหมายกำกวม ในทางตรรกศาสตรจ์ งึ ต้องตกลง
ความหมายใหช้ ดั เจนเพอื่ ใหป้ ระพจนม์ คี า่ ความจริงเปน็ อย่างเดยี วกัน กล่าวคือ ลูกค้าจะรบั ชาหรือ
กาแฟอยา่ งใดอยา่ งหน่ึงก็เพยี งพอหรือสองอย่างกไ็ ด้น่นั เอง

9
3. การเช่ือมประพจน์ด้วย “ถา้ ...แล้ว”
“ถา้ ...แลว้ ” เขยี นแทนด้วย →
การเช่อื มดว้ ยตัวเช่อื ม “ถ้า...แลว้ ” จะมีค่าความจริงเป็นเทจ็ กรณที ี่ประพจน์หน้ามีคา่ ความจรงิ
เป็นจริง และประพจนห์ ลังมีคา่ ความจริงเป็นเทจ็ กรณีอน่ื ๆทน่ี นั้ จะมีค่าความจรงิ ของประพจน์
เปน็ จริง ดงั ตาราง

ตัวอย่างเสริมความเขา้ ใจ : ถ้าลูกสอบบรรจคุ รคู ณิตศาสตร์ได้ แล้วพ่อจะพาไปเทยี่ วฝรง่ั เศส

10

11
4. การเชอ่ื มประพจน์ด้วย “กต็ ่อเมอื่ ”
“กต็ ่อเม่ือ” เขียนแทนดว้ ย ⟷
การเช่อื มดว้ ยตัวเชอ่ื ม “กต็ อ่ เมื่อ” จะมีค่าความจริงเปน็ จรงิ กรณีท่ีประพจน์หนา้ และประพจน์
หลังมคี า่ ความจริงเหมือนกัน และจะมคี ่าความจริงเปน็ เทจ็ กรณีที่ประพจน์หนา้ และประพจน์หลัง
มีค่าความจรงิ แตกตา่ งกนั ดังตาราง

ตัวอย่างเสรมิ ความเขา้ ใจ : ครจู ะใหค้ ะแนนนกั เรยี นกต็ ่อเมอื่ นกั เรียนทำงานสง่ ครู
กลา่ ววา่ เมื่อไรทนี่ กั เรียนทำงานสง่ ครู ครกู จ็ ะสามารถใหค้ ะแนนนกั เรยี นได้ แต่ถา้ นกั เรยี นไม่ยอม
ทำงานสง่ ครู ครูก็จะไมส่ ามารถใหค้ ะแนนนกั เรียนได้ จะถือวา่ ประพจน์นเี้ ป็นจรงิ ถ้าหากว่า
นกั เรียนทำงานสง่ ครู แตค่ รกู ไ็ มใ่ ห้คะแนนนักเรียน จะทำให้เกดิ ความไมย่ ุตธิ รรมขนึ้ หรือนกั เรยี น
ไมย่ อมทำงานส่งครู แตค่ รกู ลบั ใหค้ ะแนนนกั เรยี น สง่ิ ทนี่ า่ สงสยั อยา่ งแรกคอื ครูเอาคะแนนงานช้นิ
น้ีมาจากทีไ่ หนกนั หรอื วา่ มคี วามลำเอยี งใหแ้ กล่ ูกศษิ ย์ กไ็ ม่อาจทราบได้ จะถอื ว่าประพจน์นเี้ ป็น
เท็จทนั ที

12

แบบฝกึ หัดท่ี 3 : การเชอ่ื มประพจน์

จงหาคา่ ความจริงของประพจนต์ อ่ ไปน้ี
1. องั กฤษเป็นประเทศในยุโรปและไทยเปน็ ประเทศเอเชีย : ประพจนน์ เ้ี ปน็ จริง/เท็จ
2. 2 เปน็ จำนวนคู่ และ 1.2 เป็นจำนวนนับ : ประพจน์นเี้ ป็น จรงิ /เทจ็
3. 2 ≠ 3 และ 2 ≠ 2 : ประพจนน์ เ้ี ป็น จริง/เท็จ
4. ประเทศไทยติดกับประเทศลาวหรอื ญป่ี ุ่นเปน็ ประเทศในเอเชีย : ประพจน์นเี้ ป็น จรงิ /เท็จ
5. 2 เป็นจำนวนคี่ หรอื 3 เปน็ จำนวนคู่ : ประพจนน์ ้เี ปน็ จริง/เทจ็
6. 8 < 8 หรือ 8 = 8 : ประพจน์นเ้ี ปน็ จริง/เท็จ
7. ถ้า iPhone เปน็ โทรศพั ท์แลว้ นวิ ตันเป็นคนอังกฤษ : ประพจนน์ ้เี ปน็ จริง/เทจ็
8. ถา้ 2 เปน็ จำนวนค่ี แลว้ 1 เปน็ จำนวนนับ : ประพจนน์ ีเ้ ป็น จริง/เทจ็
9. ถา้ 1 + 3 + 5 = 9 แลว้ 2 x 3 = 23 : ประพจน์นเ้ี ป็น จริง/เทจ็
10. ถ้า 9 x 0 = 9 แลว้ เชยี งใหม่อยภู่ าคใตข้ องประเทศไทย : ประพจนน์ ี้เป็น จริง/เท็จ
11. 1 เป็นจำนวนคู่ กต็ อ่ เม่ือ 5 เป็นจำนวนนับ : ประพจนน์ เ้ี ป็น จริง/เท็จ
12. สุนขั มเี ขา กต็ อ่ เมอื่ 1 + 1 = 2 : ประพจน์น้ีเป็น จริง/เทจ็
13. 2 x 2 = 1 ก็ต่อเม่ือ 3 > 7 : ประพจนน์ ้ีเป็น จริง/เท็จ
14. 1 = 1 ก็ตอ่ เม่อื นกขม้นิ บนิ ไม่ได้ : ประพจนน์ ้ีเปน็ จรงิ /เท็จ

13

4. นเิ สธของประพจน์

นิเสธของประพจน์ หมายถงึ ประพจน์ท่ีมคี ่าความจริงตรงข้ามกบั ประพจนน์ ัน้ ดังบทนยิ ามต่อไปน้ี
บทนิยาม :
ให้ เป็นประพจน์แลว้ นเิ สธของประพจนข์ อง เขียนแทนดว้ ย ~ อ่านวา่ นเิ สธ p (not p)
จะมีคา่ ความจรงิ ตรงขา้ มกับ ดงั ตารางต่อไปน้ี

แบบฝกึ หดั ท่ี 4 : นิเสธของประพจน์

จงหานเิ สธของประพจน์ตอ่ ไปน้ี
1. อังกฤษเป็นประเทศในทวปี เอเชีย
นิเสธ คือ ...........................................................................................................................................
2. ∅ เป็นเซตอนันต์
นิเสธ คอื ...........................................................................................................................................
3. นกเขามี 2 ขา
นิเสธ คือ ...........................................................................................................................................
4. รองเทา้ เปน็ เคร่ืองแต่งกายชนดิ หนึ่ง
นิเสธ คอื ...........................................................................................................................................

14

5. การหาค่าความจริงของประพจน์ที่มีตัวเชือ่ ม

ถ้า p เป็นประพจน์ใด ๆ จะมกี รณพี ิจารณาคา่ ความจริงของประพจนเ์ ป็น 2 กรณี คอื p มีค่า
ความจริงเปน็ จรงิ แทนดว้ ย T หรือเปน็ เท็จ แทนดว้ ย F
หรือถา้ p และ q เป็นประพจนใ์ ดๆ ท้ัง p และ q มคี า่ ความจริงเปน็ จริงหรือเปน็ เท็จ ดงั นั้น ถา้ มี
สองประพจน์จะมกี รณีทตี่ อ้ งพจิ ารณาค่าความจรงิ ของประพจน์ 4 กรณี ไดด้ ังตารางค่าความจริง
ตอ่ ไปนี้

ข้อสังเกต
1. ถา้ มปี ระพจน์ 1 ประพจน์ จะมีกรณีพจิ ารณาคา่ ความจริงของประพจน์ 2 กรณี
2. ถ้ามีประพจน์ 2 ประพจน์ จะมกี รณีพิจารณาค่าความจรงิ ของประพจน์ 4 กรณี
3. ถา้ มปี ระพจน์ 3 ประพจน์ จะมีกรณีพจิ ารณาคา่ ความจรงิ ของประพจน์ 8 กรณี
ในทำนองเดียวกันถ้ามปี ระพจน์ n ประพจน์ จะมกี รณพี จิ ารณาค่าความจริงของประพจน์ 2n
กรณี เมอ่ื ทราบค่าความจรงิ ของประพจนย์ ่อย สามารถหาค่าความจริงของประพจน์เชิงประกอบท่ี
มตี วั เชอื่ มหลายตวั ได้
ในบางครัง้ การวเิ คราะห์ค่าความจรงิ ของประพจนไ์ มจ่ ำเป็นตอ้ งวเิ คราะหใ์ ห้ครบทกุ ขั้นตอน ก็
สามารถตอบไดว้ ่าประพจนน์ ้นั มีคา่ ความจริงเป็นจรงิ หรอื เป็นเทจ็ เพยี งแคท่ ราบคา่ ความจริงของ
ประพจน์บางประพจน์ และผลสรุปของการเช่อื มด้วยตวั เช่อื มประพจน์ ดงั น้ี

15
1.ประพจน์เชือ่ มดว้ ย “และ” เปน็ เท็จเสมอ ถ้าประพจน์ท่ีนำมาเชอื่ มประพจน์ใดประพจนห์ นง่ึ
เปน็ เท็จ
2.ประพจน์เชือ่ มด้วย “หรอื ” เป็นจรงิ เสมอ ถา้ ประพจน์ท่นี ำมาเช่อื มประพจนใ์ ดประพจน์หนง่ึ
เปน็ จรงิ
3.ประพจน์เชื่อมด้วย “ถา้ ...แลว้ ...” เป็นเท็จเมอื่ ประพจน์ตวั หน้าทนี่ ำมาเช่อื มมีค่าความจรงิ เปน็
จริงและประพจนต์ วั หลังทนี่ ำมาเชอ่ื มมีค่าความจรงิ เปน็ เท็จ
4.ประพจน์เชอ่ื มด้วย “...กต็ ่อเมื่อ...” เปน็ จรงิ เสมอ เม่ือประพจนท์ ีน่ ำมาเชอื่ มมคี า่ ความจริงเปน็
จรงิ ทงั้ คู่หรือเป็นเทจ็ ทง้ั คู่
จากข้างตน้ อาจสรปุ ได้ว่า การหาค่าความจริงของประพจนท์ ี่มีตวั เชอ่ื มนั้นสามารถใช้ตารางแสดง
คา่ ความจรงิ โดยแทนค่าความจรงิ ตามตัวเชอื่ มท่ีกำหนด และบางกรณสี ามารถแทนคา่ ความจริง
ของประพจน์ใดประพจน์ที่กำหนดเพอ่ื หาค่าความจริงของประพจน์ได้

แบบฝกึ หดั ที่ 5 : การหาคา่ ความจริงของประพจนท์ ี่มตี ัวเชอ่ื ม

1. จงสรา้ งตารางค่าความจรงิ ของประพจน์ต่อไปน้ี
1.1) → ( ∧ )

1.2) → ( ∨ )

16

1.3) ( ∧ ) →
1.4) ( → ) ∨ ( ↔ )

17

2. จงหาค่าความจรงิ ของ ( → ) ∧ ( → ) เมอื่ กำหนดให้ประพจน์ p, q และ r มี
คา่ ความจริงเป็น T, F และ T ตามลำดบั

………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………….…………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………….…………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………….
.…………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………….…………………………………………………………………………………………

3. จงหาคา่ ความจรงิ ของประพจน์ ( → ) ∨ ( → ) เม่ือ p, q และ r มีค่าความจริง
เป็น T, F และ T ตามลำดับ

………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………….…………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………….…………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………….
.…………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………….…………………………………………………………………………………………

4. จงหาค่าความจรงิ ของ ( ∨ ) ↔ [(~ ) → ] เมือ่ กำหนดใหป้ ระพจน์
p, q, r มีคา่ ความจรงิ เปน็ “เท็จ” และ s มีคา่ ความจรงิ เป็น “จรงิ ”

………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………….…………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………….…………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………….
.…………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………….…………………………………………………………………………………………

18

5. จงหาค่าความจริงของประพจน์ ∨ [( → ) ∧ ( → )] เม่ือกำหนดให้ p
และ s มีคา่ ความจริงเปน็ “T” และ “F” ตามลำดับ

………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………….…………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………….…………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………….
.…………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………….…………………………………………………………………………………………

6. กำหนดให้ ∧ [( → ∼ ) ∧ ( → )] มคี า่ ความจรงิ เป็นจรงิ จงหาค่าความ
จรงิ ของประพจน์ p, q และ r

………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………….…………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………….…………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………….
.…………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………….…………………………………………………………………………………………

19

6. การสมมูลกนั เชิงตรรกศาสตร์

บทนยิ าม :
ประพจน์ p สมมลู กับ q เม่ือ p และ q มีค่าความจรงิ เหมือนกันทุกกรณี เขยี นแทนดว้ ย p ≡ q
วธิ ีการตรวจสอบประพจน์วา่ สมมลู กนั หรือไม่ มี 2 วธิ ี ได้แก่
1. สรา้ งตารางคา่ ความจรงิ
2. ใชค้ วามสมั พันธข์ องรูปแบบ
รูปแบบของประพจนท์ สี่ มมูลกันท่คี วรทราบมดี งั นี้ (***ตอ้ งจำได*้ **)

20

แบบฝกึ หัดท่ี 6 : การสมมูลกนั เชิงตรรกศาสตร์

1. จงตรวจสอบว่าประพจน์ต่อไปนส้ี มมลู กันหรือไม่ โดยใช้ตารางคา่ ความจรงิ
1.1) ∨ และ ∼ →

ดังนนั้ ................................................................................................................................................

21

1.2) ( ∨ ) → และ ( → ) ∨ ( → )

ดังนั้น ................................................................................................................................................

2. ให้ p, q เป็นประพจนใ์ ดๆ จงแสดงวา่ ~( ∧ ) ∨ ∼ ( ∨ ) ≡ ~( ∧ )

…………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………….…………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………….…………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………….
.…………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………….…………........................................................................................

22

3. ให้ p, q, r เปน็ ประพจน์ใดๆ

จงแสดงวา่ ( ∧ ) → ≡ ( → ) ∨ ( → )

………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………….…………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………….…………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………….
.…………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………….…………………………………………………………………………………………

4. จงหานเิ สธของประพจน์ตอ่ ไปนี้

4.1) เสอ้ื เปน็ สีแดงและกางเกงเปน็ สีดำ

นิเสธ คือ ..............................................................................................................

4.2) 2 > 5 หรือ 8 เปน็ จำนวนค่ี

นเิ สธ คือ ..............................................................................................................

4.3) ถ้าหนองบอนเปน็ จังหวัดแล้วเลยไม่เปน็ อำเภอ

นเิ สธ คือ ..............................................................................................................

4.4) xy = 12 กต็ อ่ เมอ่ื x = 3 และ y = 4

นิเสธ คือ ..............................................................................................................

23

5. ให้ p, q, r เปน็ ประพจน์ใดๆ จงหานิเสธของประพจนต์ อ่ ไปนี้

5.1) ∧ (∼ ∨ )

………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………….…………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………….…………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………….
.…………………………………………………………………………………………………………………………………………

5.2) → ( → )

………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………….…………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………….…………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………….
.…………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………….…………………………………………………………………………………………

5.3) ( → ∼ ) ∧

………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………….…………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………….…………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………….
.…………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………….…………………………………………………………………………………………

24

7. สจั นิรนั ดร์

บทนิยาม
สจั นริ ันดร์ คือ รูปแบบของประพจน์ท่ีมคี า่ ความจริงเปน็ จรงิ ทุกกรณี
วิธีการตรวจสอบประพจนว์ า่ เปน็ สัจนริ นั ดร์หรือไม่ มี 2 วิธี ได้แก่
1. สร้างตารางคา่ ความจรงิ โดยจะต้องเปน็ จรงิ ทุกกรณี
2. การตรวจสอบโดยใชข้ ้อขดั แย้งตามรูปแบบของประพจนท์ เ่ี กดิ จากตวั เช่อื ม

2.1 รูปแบบเชื่อมด้วย “ ∨” ดว้ ยพจิ ารณารปู แบบ ∨ พบว่าเปน็ เทจ็ กรณเี ดียวเท่านั้นคอื
p และ q มีคา่ ความจริงเป็นเท็จ ถ้าสุดท้ายมีคา่ ความจรงิ เปน็ เท็จ จะไม่เป็นสัจนริ ันดร์

2.2 รปู แบบเชื่อมดว้ ย “→” ดว้ ยพจิ ารณารูปแบบ → พบว่าเป็นเทจ็ กรณีเดียวเท่านน้ั
คอื p มคี ่าความจรงิ เปน็ จริง และ q มีคา่ ความจริงเป็นเท็จ ถา้ ผลสดุ ท้ายมีค่าความจรงิ เปน็
เท็จ จะไม่เป็นสัจนิรันดร์

2.3 รปู แบบเชื่อมดว้ ย “↔” ดว้ ยพจิ ารณารปู แบบ ↔ พบวา่ เปน็ เท็จกรณีที่ค่าความ
จรงิ ของ p และ q มคี ่าความจริงตรงขา้ มกัน ถา้ ผลสุดท้ายมีค่าความจริงเปน็ เท็จ จะไม่เป็น
สัจนริ นั ดร์ หรอื ให้ประพจน์ p จะต้องสมมลู กับประพจน์ q จึงจะเป็นสัจนิรันดร์

ตัวอยา่ งของสจั นริ ันดร์ เม่อื กำหนดให้ p, q , r เปน็ ประพจน์ใดๆ (***จำไม่ได้ ไม่เปน็ ไร***)

25

26

แบบฝึกหัดท่ี 7 : สจั นริ นั ดร์

1. จงตรวจสอบว่าประพจน์ต่อไปนี้เป็นสจั นริ นั ดร์หรอื ไม่ โดยใช้ตารางคา่ ความจรงิ
1.1 → ( ∨ )

ดงั นน้ั ................................................................................................................................................
1.2 ( → ) ↔ (∼ ∨ )

ดงั นั้น ................................................................................................................................................

27

1.3 ↔ ( ∧ )

ดงั นนั้ ................................................................................................................................................

2. จงตรวจสอบว่าประพจนต์ ่อไปนเ้ี ป็นสจั นิรนั ดรห์ รือไม่ โดยใช้วธิ ีขดั แย้ง

2.1) ( ∧ ) → ( ∨ )

………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………….…………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………….…………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………….…………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………….

2.2) ( → ) ∨ ( ↔ )

………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………….…………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………….…………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………….…………………………………………………………………………………………

28

3. จงตรวจสอบวา่ ประพจนต์ อ่ ไปนเ้ี ปน็ สัจนริ นั ดรห์ รอื ไม่ โดยใช้ทฤษฎีบท

3.1) ∼ ( ∨ ) ↔ ( ∧∼ )

………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………….…………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………….…………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………….

3.2) [( → r) ∨ ( → )] ↔ ( → ∨ )

………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………….…………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………….…………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………….

3.3) ( ∨∼ ) → ( → )

………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………….…………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………….…………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………….

3.4) [( ∨ ) → r] ↔ [∼ → (∼ ∧∼ )]

………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………….…………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………….…………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………….

29

8. เราเรยี นตรรกศาสตรไ์ ปทำไม

1. ตรรกศาสตรน์ ั้นมบี ทบาทสําคัญต่อการกาํ หนดโครงสรา้ งของการเขยี นสตู รและทฤษฎบี ททาง
คณิตศาสตร์
2. ตรรกศาสตร์ทำให้ไดก้ ฎเกณฑแ์ ละทฤษฎีบทตา่ งๆ ท้ังในด้านคณิตศาสตรแ์ ละวิทยาศาสตร์อยา่ ง
สมเหตุสมผล
3. ตรรกศาสตร์เป็นหลกั สำคญั ในการตคี วามทางด้านกฎหมายไดอ้ ย่างสมเหตสุ มผล
4. ตรรกศาสตรช์ ่วยให้เราเปน็ คนท่รี ้จู กั คดิ แบบมเี หตุมีผลได้ในการแกไ้ ขปัญหาต่างๆได้

*****สามารถดกู ารนาไปใชเ้ พม่ิ เตมิ ได้ ดงั ภาพ*****

30

เฉลยแบบฝึกหดั

แบบฝึกหดั ที่ 2 : ประพจน์และประโยคเปิด

ประโยค เป็นประพจน์ เป็นประโยค ไม่เปน็ ทง้ั ค่าความจริง
เปดิ สองอยา่ ง (ถา้ เป็น
1. จงั หวัดนครศรีธรรมราชอยู่ทาง / / ประพจน์)
ภาคใตข้ องประเทศไทย / / จรงิ
/
2. √25 = 5 / / จรงิ
3. ทำไมนกั เรียนชอบเล่นตกิ๊ ตอ๊ ก / -
4. เขาเป็นนายกรฐั มนตรี / -
5. - 4 < -1 / จรงิ
/ / จรงิ
6. 1 < 3 / /
/ -
24 / จรงิ

7. กรณุ าฟังๆ ฉันให้จบๆๆ เท็จ
8. จงั หวัดนครราชสมี าไมอ่ ยู่ใน จริง
ภาคเหนือของประเทศไทย
-
9. −√49 = 7 จริง

10. 25 > 3 3 -
2 4 -

11. โปรดส่งใครมารกั ฉันที -
-
12. พระอาทติ ย์ขึ้นทางทศิ

ตะวนั ออก

13. เขาเป็นคนองั กฤษ

14. กรณุ าเปดิ หน้าต่างใหฉ้ ัน

หนอ่ ย

15. ฉนั มาทำอะไรที่น่ี

16. ฉันก็รักของฉนั เขา้ ใจบา้ งไหม

31

ประโยค เป็นประพจน์ เปน็ ประโยค ไม่เปน็ ทงั้ ค่าความจริง
เปดิ สองอยา่ ง (ถ้าเป็น
16. คณุ พระช่วย! / ประพจน์)
17. พ่ีต้องพาฉนั ไปดหู นงั นะ / / / -
18. x > 1 / / -
19. จำนวนเฉพาะทกุ จำนวนเป็น / -
จำนวนค่ี / เท็จ
20. ระบบสุริยะมีดวงอาทติ ย์
21. 9 เปน็ จำนวนเฉพาะ จรงิ
22. ประโยคคำถามเปน็ ประพจน์ เท็จ
23. ประโยคบอกเลา่ เป็นประพจน์ เท็จ
เท็จ

24. ประโยคบอกเล่าหรอื ปฏิเสธ / เท็จ
ทุกประโยคเป็นประพจน์

25. ผู้มองเหน็ ความจรงิ มเี พียง / จริงหรือเท็จ
หนง่ึ เดียว ถงึ ตวั จะเปน็ เดก็ แต่ ก็ได้
สมองเปน็ ผ้ใู หญ่ ชื่อของเขาคือ
ยอดนกั สืบโคนนั

26. เม่อื เธอเป็นเงาที่ต้องชำระ /
ความแค้น สงิ่ ใดจะปลดเงื่อน
พนั ธนาการใหเ้ ธอ

27. คนอยา่ งแกไม่มีวนั ได้ความรกั /
ทดี่ จี ากผูช้ ายหรอก เพราะคน
อย่างแกต้องว่ิงตามหาความรกั ไป
ตลอดชีวติ

32

ประโยค เป็นประพจน์ เปน็ ประโยค ไม่เปน็ ทงั้ ค่าความจรงิ
เปิด สองอยา่ ง (ถ้าเป็น
28. อดีตอนั เจ็บช้ำ ทำให้เธอไม่ ประพจน์)
เชอ่ื ม่ันวา่ รกั แท้จะมีอยู่จรงิ เธอจึง /
เลอื กจะตอบแทนความรกั ของเขา
ด้วยการตตี ราจอง

แบบฝกึ หัดที่ 3 : การเช่อื มประพจน์ 10. จรงิ 13. จริง
11. เทจ็ 14. เท็จ
1. จรงิ 4. จรงิ 7. จรงิ 12. จริง
2. เท็จ 5. เทจ็ 8. จรงิ
3. เทจ็ 6. จริง 9. เทจ็

แบบฝกึ หดั ท่ี 4 : นิเสธของประพจน์

1. องั กฤษไมเ่ ป็นประเทศในทวปี เอเชยี
2. ∅ไม่เป็นเซตอนนั ต์
3. นกเขาไมม่ ี 2 ขา
4. รองเทา้ ไมเ่ ปน็ เครอ่ื งแตง่ กายชนดิ หนึ่ง

33

แบบฝกึ หัดที่ 5 : การหาค่าความจรงิ ของประพจน์ที่มตี วั เช่อื ม

1. 1.1)

1.2) q ∨ → ( ∨ )
TTT
p FTT
T TTT
T FFT
F
F
1.3)

34
1.4)

2. มีค่าความจริงเป็นเทจ็ r มคี า่ ความจรงิ เปน็ “เทจ็ ”
3. มีคา่ ความจรงิ เป็นจรงิ
4. มคี า่ ความจริงเปน็ เท็จ
5. มีค่าความจริงเป็นเทจ็
6. p มีค่าความจรงิ เปน็ “จริง” q มีค่าความจริงเปน็ “เทจ็ ”

แบบฝกึ หดั ที่ 6 : การสมมลู กนั เชิงตรรกศาสตร์

1. 1.1)

35
1.2)

2.

36
3.

4. 4.1) เสอ้ื ไม่เปน็ สแี ดงหรอื กางเกงไมเ่ ปน็ สีดำ
4.2) 2 ≤ 5 และ 8 ไม่เป็นจำนวนค่ี
4.3) หนองบอนเป็นจังหวัดและเลยเปน็ อำเภอ
4.4) "xy ≠ 12 ก็ต่อเม่ือ x = 3 และ y = 4" หรอื "xy = 12 กต็ อ่ เม่ือ x ≠ 3 หรอื y ≠ 4"

5. 5.1) ~ ∨ ( ∧ ∼ )
5.2) ∧ ( ∧ ∼ )
5.3) ( ∧ ∼ ) ∨ ∼

37

แบบฝกึ หัดที่ 7 : สัจนิรันดร์

1. 1.1)

1.2)

38
1.3)

2. 2.1)

39
2.2)

3. 3.1)
3.2)
3.3)
3.4)

40

แนวขอ้ สอบ
เรือ่ ง ตรรกศาสตร์

ชุดที่ 1 - 4

41

แนวขอ้ สอบ ชดุ ที่ 1

42

43

44

แนวขอ้ สอบ ชุดท่ี 2

3. จงพจิ ารณาประโยคหรอื ข้อความต่อไปนี้วา่ เป็นประพจน์หรอื ไม่ ถา้ เป็นประพจน์จงหาคา่ ความ
จรงิ ของประพจนน์ ั้น

ประโยค เป็นประพจน์ ไม่เป็นประพจน์ คา่ ความจรงิ (ถา้ เป็นประพจน์)
1. ง่วงนอนจงั
2. เธอต้องไปเด๋ยี วน้ี
3. π = 22

7

4. 1 ∉ {2, 3}
5. 2 ไม่ใช่จำนวนจรงิ
6. 1, 2, 3, …
7. ทำไม a + b = b + a

45

6. กำหนดให้ p, q และ r เปน็ ประพจน์ ซง่ึ p และ q มคี ่าความจริงเปน็ จรงิ และเทจ็ ตามลำดับ
จงหาคา่ ความจรงิ ของประพจนต์ อ่ ไปน้ี

6.1) ( p ↔ q) → r
..........................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................

6.2) ( p ∧ ~q) ∨ r
..........................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................

46
9. กำหนดให้ p, q และ r เป็นประพจน์ ซ่งึ p → q, q → r และ r → p มคี า่ ความจริงเป็น
จริง จงหาคา่ ความจริง ของประพจน์ p ↔ r โดยใชก้ ารตรวจสอบประพจนโ์ ดยการสร้างตารางค่า
ความจริง

ดงั น้นั .............................................................................................................................................

12. จงหานิเสธของขอ้ ความ “ถา้ x เปน็ จำนวนนบั แลว้ x เปน็ จำนวนคู่ หรือ x เป็นจำนวนค”ี่
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................

47

15. กำหนดให้ p และ q เป็นประพจน์ จงตรวจสอบว่า p → q สมมูลกับ (~ p ↔ q) ∨ p
หรอื ไม่ โดยใชว้ ิธกี ารสร้างตารางความจรงิ

ดงั น้ัน .............................................................................................................................................

48

18. กำหนดให้ p, q, r และ s เปน็ ประพจน์ จงตรวจสอบรูปแบบของประพจน์ที่กำหนดใหว้ า่ เปน็
สจั นริ นั ดร์หรือไม่

18.1) [ ( (p → q) ∧ (q → r) ∧ (p ∨ q) ) ] → r

..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................

18.2) [ ( (p → q) ∧ (r → s) ∧ (p ∨ r) ) ] → (q ∨ s)

..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................

49

20. กำหนดให้ , และ เป็นประพจน์ซ่ึง ↔ มคี ่าความจรงิ เปน็ เท็จ และ → มี
ค่าความจริงเป็นจริง พิจารณาขอ้ ความต่อไปนี้
(ก) ∨ ( ~ → ) มีคา่ ความจริงเป็นจรงิ
(ข) ↔ ( ~ ∧ ~ ) มีคา่ ความจรงิ เป็นเทจ็
(ค) → ( ∨ ) มีคา่ ความจริงเหมอื นกับ ~
ข้อใดตอ่ ไปนี้ถกู [แนวข้อสอบ PAT 1]
1. ขอ้ (ก) และ ข้อ (ข) ถกู แต่ ขอ้ (ค) ผดิ 2. ขอ้ (ก) และ ขอ้ (ค) ถูก แต่ ข้อ (ข) ผิด
3. ข้อ (ข) และ ข้อ (ค) ถูก แต่ ขอ้ (ก) ผิด 4. ขอ้ (ก) ขอ้ (ข) และ ข้อ (ค) ถูกทงั้ สามข้อ
5. ข้อ (ก) ขอ้ (ข) และ ข้อ (ค) ผดิ ท้ังสามข้อ

50

แนวขอ้ สอบ ชดุ ที่ 3