17. INTEGRAL
A. Integral Tak Tentu
1) Rumus-Rumus Integral Tak Tentu Fungsi Aljabar dan Trigonometri
1. dx = x + c
2. a dx = a dx = ax + c
3. xn dx = 1 x n+1 + c
n+1
4. (ax b)ndx = a 1 ( ax )b n+1 + c, n −1
(n +1)
5. dx = ln x b + C
xb
6. dx = 2 ax + b + C
ax + b a
7. dx = ln x +C
x
8. sin ax dx =– 1 cos ax + c
a
9. cos ax dx = 1 sin ax + c
a
10. sec2 ax dx = 1 tan ax + c
a
11. [ f(x) g(x) ] dx = f(x) dx g(x) dx
12. udv = u.v − vdu
Catatan
Identitas trigonometri yang biasa digunakan
a. 2sinAcosB = sin(A + B) + sin(A – B)
b. –2sinAsinB = cos(A + B) – cos(A – B)
c. sin2A = 1 {1 − cos 2 A}
2
d. cos2A = 1 {1 + cos 2 A}
2
e. sin 2A = 2sin Acos A
Teknik Penyelesain Bentuk Integran
Misalkan u(x) dan v(x) masing-masing adalah fungsi dalam variabel x, maka metode
pengintegralan yang bisa digunakan adalah:
a. Metode substitusi
Jika bentuk integran : u v dx , dengan u dan v memiliki hubungan, yaitu v dx = du
b. Metode Parsial dengan TANZALIN
Jika bentuk integran : u dv , dengan u dan v tidak memiliki hubungan, yaitu v dx ≠ du
B. Penggunaan Integral Tak Tentu
Integral tak tentu di gunakan untuk mencari persamaan suatu kurva y = f(x) apabila
diketahui turunan pertama dan sebuah titik pada kurva tersebut yaitu:
f(x) = f’(x) dx, dengan f’(x) adalah turunan pertama dari f(x) atau:
y= dy dx , dengan dy adalah turunan pertama y
dx dx
100
C. INTEGRAL TENTU
Misalkan kurva y = f(x) kontinu pada interval tertutup [a, b], maka luas daerah L yang
dibatasi oleh kurva y = f(x), sumbu X, garis x = a, dan garis x = b, ditentukan dengan
rumus:
b
L = f (x)dx = [F(x)]ba = F(b) − F(a) , dengan F(x) adalah integral (antidiferensial) dari f(x)
a
Penggunan Integral Tentu
a. Untuk Menghitung Luas Daerah
a. Luas daerah L pada gb. 1 b. Luas daerah L pada gb. 2 c. Luas daerah L pada gb.
b b 3
L = f (x)dx , L = – f (x)dx , atau b
aa L = { f (x) − g(x)}dx ,
untuk f(x) 0 b a
L = f (x)dx untuk f(x) 0 dengan f(x) g(x)
a
b.Untuk menghitung Volume Benda Putar
bb dd
V = ( f (x))2 dx atau V = y 2dx V = (g( y))2 dy atau V = x 2dy
aa cc
101
bb dd
V = {( f 2 (x) − g 2 (x)}dx atau V = ( y12 − y22 )dx V = { f 2 ( y) − g 2 ( y)}dy atau V = (x12 − x22 )dy
aa cc
SOAL-SOAL PEMBINAAN KELAS XII IPA
Integral : Pembahasan :
1. Hasil dari x + 2 dx adalah .... ( ) ( x + 2) −1 x2 + 4x − 3
x2 + 4x −3 x2 + 4x −3 2 d
2x + 4
A. x2 + 4x − 3 + C −1
x2 + 4x −3 2 d x2 + 4x −3
B. 2 x2 + 4x − 3 + C ( ) ( )= 12
1
x2 + 4x − 3 2 + C
C. 3 x2 + 4x − 3 + C ( )= 1 1
21
D. 4 x2 + 4x − 3 + C
2
E. 4 x2 + 4x − 3 + C = x2 + 4x −3 + C KUNCI : A
4 Pembahasan
( )2. Nilai 6x2 − 6x −1 dx adalah ... 4 4
2 ( )6x2 2
A. 64 −6x −1 dx = 2x3 − 3x2 − x
B. 68
C. 72 2
D. 74
E. 76 = 2(4)3 − 3(4)2 − 4 − 2(2)3 − 3(2)2 − 2
= (128 − 48 − 4) − (16 −12 − 2)
= 76 − 2 = 74 KUNCI : D
3. Hasil dari 6x + 9 dx adalah .... Pembahasan
x2 + 3x − 5
( )= −1 x2 + 3x − 5
(6x +9) x2 + 3x − 5 2x +3
2d
A. 2 x2 + 3x − 5 + C −1
B. 3 x2 + 3x − 5 + C = 3 ( x2 + 3x − 5) 2 d ( x2 + 3x − 5)
C. 6 x2 + 3x − 5 + C 1
x2 + 3x − 5 2 + C
D. 9 x2 + 3x − 5 + C ( )= 3 1
1
E. 18 x2 + 3x − 5 + C 2
= 6 x2 + 3x − 5 + C KUNCI : C
4. Hasil dari sin2 3x cos 3xdx = .... Pembahasan :
A. − 1 sin3 3x + C sin 2 3x cos 3xdx = sin 2 3x cos 3xd sin 3x
2 3cos 3x
B. − 1 sin3 3x + C = 1 sin 2 3xd ( sin 3x )
6 3
C. − 1 sin3 3x + C = 1 1 sin3 3x + C
9 33
D. 1 sin3 3x + C 1 sin3 3x + C KUNCI : D
9 9
E. 1 sin3 3x + C
6
102
5. Hasil dari x (1− 2x)3dx = ..... Pembahasan : dv +
u −
A. − 1 (1+ 8x)(1− 2x)4 + C x (1− 2x)3
40 1 − 1 (1− 2x)4
B. − 1 (1+ 8x)(1− 2x)4 + C 0 8
80 1 (1− 2x)5
C. 1 (1−8x)(1− 2x)4 + C 80
80 Jadi. x (1− 2x)3dx =
D. 1 (1+ 8x)(1− 2x)4 + C = − 1 x(1− 2x)4 − 1 (1− 2x)5 + C
80 8 80
E. 1 (1−8x)(1− 2x)4 + C = − 1 10x + (1 − 2 x ) (1 − 2x )4 + C
80
40
= − 1 (8x +1)(1− 2x)4 + C
2
80
6. Hasil dari 3( x +1)( x − 6) dx = ....
0 = − 1 (1+ 8x)(1− 2x)4 + C KUNCI : B
A. – 58
B. – 56 80
C. – 28
D. – 16 Pembahasan :
E. – 14
22
7. Hasil 2 cos 3x sin xdx adalah ....
3( x2 − 5x − 6) dx = (3x2 −15x −18) dx
A. − 1 cos 4x − cos 2x + C 00
2
= x3 − 15 x2 − 18 x 2
B. − 1 cos 4x + cos 2x + C 2 0
2
= (8 − 30 − 36) − (0) = −58 KUNCI : A
C. − 1 cos 4x + 1 cos 2x + C
42 Pembahasan:
D. 1 cos 4x − 1 cos 2x + C Ingat : 2cos Asin B = sin ( A + B) − sin ( A − B)
42
2 cos 3x sin xdx = (sin 4x − sin 2x) dx
E. 1 cos 4x + 1 cos 2x + C
42 = − 1 cos 4x − − 1 cos 2x + C
4 2
( )8. Hasil dari 2x2 x3 −1 3 dx = .....
( )A. 1 x3 −1 4 + C = − 1 cos 4x + 1 cos 2x + C
42
12
KUNCI : C
( )B. 1 x3 −1 4 + C
6 Pembahasan:
( )C. 1 x3 −1 4 + C x3 −1 3 dx = 3 x3 −1
4 ( ) ( )2x2 2x2 x3 −1 d
3x2
( )D. 2 x3 −1 4 + C
3
= 2 ( x3 )−1 3 d ( x3 −1) = 2 1 ( x3 )−1 4 + C
3 3 4
( )= 1 x3 −1 4 + C KUNCI : B
6
103
( )E. 6 x3 −1 4 + C
4 6 dx Pembahasan :
Hasil 0 12 x
9. x− adalah ..... 4 1 −1 3 1 4
A. 88 = 12x2 − 6x 2 dx = 8x2 −12x2
0 0
B. 80
= 8x x −12 x 04 = 64 − 24 −0 = 40
C. 64
D. 40 KUNCI : D
E. 24
Pembahasan :
10. Nilai (16sin 2x − 2 cos 2x) dx = .... = 16 − 1 cos 2 x − 2 1 sin 2 x
2 2
4 4
A. – 9 = −8 cos 2x − sin 2 x = ( −8 cos 2 −sin 2 ) − −8cos 1 − sin 1
B. – 8 2 2
C. – 7
D. – 4 4
E. – 2
= (−8.1− 0) − (−8.0 −1) = −8 +1 = −7
KUNCI : C
11. Hasil (4x + 8) x2 + 4x − 3dx = .... Pembahasan :
1 2 ( )= 1 x2 + 4x −3
(4x +8) x2 + 4x −3 2 d
x2 + 4x −3 3 + C
( )A. 2x + 4
4
1 2 1
x2 + 4x −3 3 + C = 2 ( x2 + 4x − )3 2 d ( x2 + 4x − 3)
( )B.
3
3
x2 + 4x −3 2 + C
2 3 ( )= 2 2
x2 + 4x −3 2 + C
( )C. 3
3
3
x2 + 4x −3 2 + C
4 3 ( )= 4
x2 + 4x −3 2 + C
( )D. 3
3
KUNCI : D
5 3
x2 + 4x −3 2 + C
( )E.
3
12. Hasil (cos x sin4 x) dx = .... Pembahasan :
A. − 1 sin5 x + C = cos x sin 4 xd sin x = sin 4 xd (sin x )
3 cos x
B. − 1 sin5 x + C = 1 sin5 x + C
4 5
C. sin5 x + C KUNCI : E
D. 1 sin5 x + C
4
E. 1 sin5 x + C
5
104
Pembahasan :
2
13. Nilai dari (cos 2x sin x) dx = ....
0 = 1 2 (sin 3x − sin x) dx = 1 − 1 cos 3x + cos x 2
2 0 2 3 0
A. 1
B. 1 = 1 cos 3 + cos 1 − − 1 cos 0 + cos 0
2 2 2 3
2
C. 0 = 1 (0 + 0) − − 1 + 1 = 1 − 2 = − 1
D. − 1 2 3 2 3 3
3
E. − 1 2
2
KUNCI : D
( )( )14. Hasil dari 10x3 −1 5x4 − 2x + 9 3 dx = .... Pembahasan :
( )A. 2x 5x4 − 2x + 9 3 + C
( )( )= 3 5x4 − 2x + 9
10x3 −1 5x4 − 2x +9 d
20x2 − 2
( )B. 30x2 5x4 − 2x + 9 3 + C
( )C. 30x 5x4 − 2x + 9 4 + C = 1 (5x4 − 2x + )3 d (5x4 − 2x + 9)
2
9
2( )D. 4 ( )= 1 1 5x4 − 2x + 9 4 + C
5x4 − 2x + 9 24
3 +C
( )E. 1 5x4 − 2x + 9 4 + C ( )= 1 5x4 − 2x + 9 4 + C KUNCI : E
8 8
Pembahasan :
4
15. Nilai dari sin2 xdx = ....
0 = 1 4 (1− cos 2x) dx = 1 x − 1 sin 2 x 4
2 0 2 2 0
A. 1 + 1
82 = 1 − 1 sin − 0 − 1 sin 0
2 4 2 2 2
B. 1 + 1
84 = 1 − 1 (1) − (0)
2 4 2
C. 1 − 1
84 = 1 − 1 = 1 − 1
2 4 2 8 4
D. 1 − 1
82 KUNCI : C
E. 1 − 1 2
84
16. Hasil dari 1− cos 2xdx = .... Pembahasan :
A. x − 1 sin 2x + C 1− cos 2xdx = 1− (1− 2sin2 x) dx
2
= 2sin2 xdx = 2 sin xdx = 2 (−cos x) + C
B. x + 1 sin 2x + C
2 = − 2 cos x + C
C. −2cos x + C KUNCI : D
D. − 2 cos x + C
105
E. 2 cos x + C
17. Hasil dari 4x (3x − 2)3 dx adalah .... Pembahasan : dv
u
A. 2 (1+ 6x)(3x − 2)4 + C 4x (3x − 2)3
45 4 1 (3x − 2)4 +
−
B. 1 (1+ 6x)(3x − 2)4 + C 0 12
45 Jadi 4x (3x − 2)3 dx 1 (3x − 2)5
C. 1 (1− 6x)(3x − 2)4 + C 180
45 = 1 x(3x − 2)4 − 1 (3x − 2)5 + C
D. − 1 (1− 6x)(3x − 2)4 + C 3 45
45 1 (3x 2) (3x 2)4
45
E. − 2 (1+ 6x)(3x − 2)4 + C
45
= 15x − − − + C
1 (12x + 2)(3x − 2)4 + C
45
= 2 (1+ 6x)(3x − 2)4 + C KUNCI : A
45
18. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva Pembahasan :
y = 6x − x2 dan y = x2 − 2x , garis x = 0 dan y = x2 − 2x
x = 3 adalah .... 0 23 6
A. 8 satuan luas
B. 9 satuan luas Jadi luas nya adalah
C. 16 satuan luas
D. 18 satuan luas 3
E. 27 satuan luas
L = (6x − x2 ) − ( x2 − 2x) dx
0 y = 6x − x2
( )3 4x2 2 3
3
= 0
0
8x − 2x2 dx = − x3
= (36 −18) − 0 = 36 −18 = 18 satuan luas
KUNCI : D
19. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva Pembahasan :
y = x2 − 4x + 5 ,garis y = x + 5 , x =1 dan y = x2 − 4x + 5 y = ( x −1)( x − 5)
x = 3 adalah .....
A. 9 1 satuan luas 5
3 y = x+5
B. 9 2 satuan luas
3
C. 10 1 satuan luas 1
3
( )Luasny−a5adalah0 :
D. 10 2 satuan luas L1=23 ( 3 + 5 ) − x2 − 4x + 5 dx
3 x
1
E. 111 satuan luas ( )3−x2+ 5x dx = − 1 x3 + 5 x 2 3
3 3 2 1
106 =
1
= −9 + 45 − − 1 + 5 = −9 + 20 + 1
2 3 2 3
= 11+ 1 = 111 satuan luas KUNCI : E
33
20. Volume benda putar apabila daerah pada Pembahasan :
kuadran I yang dibatasi kurva y = 4 − x2 ,
y = 4 − x2 y = (2 − x)(2 + x)
sumbu X dan sumbu Y diputar mengelilingi
sumbu X sejauh 3600 adalah .... Jadi volumenya adalah: 4
A. 576 satuan volume
2
15
B. 256 satuan volume V = (4 − x2 )2 dx
0
15 2 −2 2
C. 160 satuan volume
= (16 − 8x2 + x4 )dx
15 0
D. 156 satuan volume
= 16x − 8 x3 + 1 x5 2
15 3 5 0
E. 150 satuan volume
= 32 − 64 + 32 − (0) = 480 − 320 + 96
15 3 5 15
= 256 = 256 satuan volume KUNCI : B
15 15
21. Hasil dari 8dx adalah .... Pembahasan :
4x +3
8dx Misal :
A. 8ln (4x + 3) + C 4x +3
4x + 3 = u 4dx = du 8dx = 2du jadi
B. 1 ln (4x + 3) + C
8dx = 2du = 2 ln (u) + C
2 4x +3 u
C. 4ln (4x + 3) + C = 2ln (4x + 3) + C
D. 2ln (4x + 3) + C KUNCI : D
E. 2 ln (8x + 3) + C
3 xdx = .... Pembahasan : dv
u
22. Hasil dari 0 x +1 x
A. 2 1 ( x + 1)− 1
2
0
B. 2 1 1 +
2 -
2( x +1)2
C. 2 2 4 ( x + 1) 3
3 2
D. 3 3
E. 3 1 3 xdx
3
Jadi
0 x +1 = ....
= 2x x +1 − 4 ( x +1) x + 1 3
0
3
( ) ( )107= 6 4−4 4 4 − 0 1− 4 1 1
3 3
=12 − 32 + 4 = 12 − 28 = 36 − 28 = 8 = 2 2
33 3 3 33
KUNCI : C
23. Hasil dari 2x sin x cos xdx = .... Pembahasan :
A. 1 x cos 2x + 1 sin 2x + C 2x sin x cos xdx = x sin 2xdx
24
u dv
B. 1 x cos 2x − 1 cos 2x + C
24 x sin 2x
C. 1 x cos 2x − 1 sin 2x + C 1 − 1 cos 2x +
22 2
D. − 1 x cos 2x − 1 sin 2x + C 0 − 1 sin 2x -
24 4
E. − 1 x cos 2x + 1 sin 2x + C 2x sin x cos xdx = − 1x cos 2x + 1 sin 2x + C
24 2 4
KUNCI : E
24. Hasil dari (3x +1)( x − 2)7 dx = .... Pembahasan :
A. (3x +1)( x − 2)8 − 1 ( x − 2)9 + C u dv
3 2x ( 4 x + 5)− 1
2
B. (3x +1)( x − 2)8 − 1 ( x − 2)9 + C
2 1 ( 4 x + 5) 1 +
24 0 2 -
Jadi :
C. 1 (3x +1)( x − 2)8 + 1 ( x − 2)9 + C 2
8 24 1 1 ( 4 x + 5) 3
2
D. 1 ( x − 2)8 (8x + 5) + C
26
24
2 x ( 4 x + 5)− 1 dx = ....
E. 1 ( x − 2)8 (10x +11) + C 2
24 = x(4x 1 − 1 (4x + 3 +C
+ 5)2 6 5)2
= 1 (6x − (4x + 5))(4x + 1 + C
6 5)2
= 1 (2x −5) 4x + 5 + C KUNCI : C
6
25. Hasil dari 3sin (5x + 2) dx = .... Pembahasan :
A. − 3 cos(5x + 2) + C 3sin (5x + 2) dx = ....
5 = 3 − 1 cos (5x + 2) + C
5
B. 5 cos(5x + 2) + C
= − 3 cos(5x + 2) + C
3
5
C. 3 cos(5x + 2) + C
KUNCI : A
5
108
D. − 5 cos(5x + 2) + C
2
E. 2 cos(5x + 2) + C
5
26. Perhatikan gambar berikut ! Pembahasan :
Y y=x y = x2 − 4x + 4 y = x2 − 4x + 4 y = ( x − 2)2 x = 2
Ttk potong kedua kurva
x2 − 4x + 4 = x x2 − 5x + 4 = 0 ( x −1)( x − 4) = 0
(1,1) & (4, 4)
Jadi luas daerah yg diarsir adalah :
0 X 12
Luas daerah yang diarsir pada
gambar adalah ..... L = xdx + ( x2 − 4x + 4) dx dimana :
01
A. 1 satuan luas
3 L1 = 1 xdx = 1 x2 1 = 1 − 0 = 1 dan
0 2 2 2
B. 1 satuan luas
2 0
C. 5 satuan luas ( )2 1 2
6 3
L2 = 1
D. 7 satuan luas
6 1
x2 − 4x + 4 dx = x3 − 2x2 + 4 x
E. 4 satuan luas
3 = 8 − 8 + 8 − 1 − 2 + 4
3 3
= 8 − 1 − 2 = 8 −1− 6 = 1
3 3 3 3
Jadi L = L1 + L2 = 1 + 1 = 5 satuan luas
2 3 6
KUNCI : C
27. Volume benda putar yang terjadi jika Pembahasan : y= x+7
daerah antara kurva y = 7 − x2 dan Ttk potongnya: 7
garis y = x + 7 diputar mengelilingi 7 − x2 = x + 7
x2 + x = 0
sumbu X adalah .... −7 7
A. 11 satuan volum x ( x +1) = 0 −7
5
x = 0 x = −1
B. 9 satuan volum Jadi Volumenya adalah : y = 7 − x2
5
02
C. 16 satuan volum
15 V = (7 − x2 )2 − ( x + 7) dx
−1
0
= (49 −14x2 + x4 ) − ( x2 +14x + 49) dx
D. 2 satuan volum
3 −1
E. 8 satuan volum ( )0 −5x3 1 x5 0
15 5 −1
=
−1
−15x2 −14x + x4 dx = − 7x2 +
= (0 − 0 + 0) − 5 − 7 − 1 = 2 1
5 5
= 11 satuan volum KUNCI : A
5
109
p Pembahasan :
( )28. Diketahui 3t2 + 6t − 2 dt = 14. Nilai pp
1
( ) 3t2 + 6t − 2 dt = 14 = t3 + 3t2 − 2t = 14
−4 p = ....
11
A. – 6
B. – 8 = p3 + 3 p2 − 2 p − 1+ 3 − 2 = 14
C. – 16
D. – 24 p3 + 3 p2 − 2 p −16 = 0
E. – 32
21 3 −2 −16
2 + 10 + 16 +
1 58 0
( p − 2)( p2 + 5p +8) = 0 p = 2
Jadi −4 p = −4(2) = −8 KUNCI : B
29. Daerah yang diarsir pada gambar Pembahasan :
diputar terhadap sumbu X,maka
volume benda putar yang terjadi Ttk potongnya : 2 − x = x x = 4 − 4x + x2
adalah ....
A. 1 satuan volum x2 − 5x + 4 = 0 ( x −1)( x − 4) = 0
6
B. 2 satuan volum Jadi volumenya adalah :
6
C. 3 satuan volum V = V1 +V2 dimana :
6
D. 4 satuan volum 1 1 1 1 1 ( 0) 1
6 0 2 2 2 2
E. 5 satuan volum V1 = xdx = x2 = (1) − =
6
Y y= x 0
0 x+y=2 X 2 22
V2 = (2 − x) dx = 4 − 4x + x2 dx
11
= 4x − 2x2 + 1 x3 2 = 8 − 8 + 8 − 4 − 2 + 1
3 1 3 3
= 8 − 7 = 1
3 3 3
Jadi : V = V1 +V2 = 1 +1 = 5
23 6
KUNCI : E
30. Hasil dari 3sin (5x + 2) dx = .... Pembahasan :
A. − 3 cos(5x + 2) + C 3sin (5x + 2) dx = ....
5 = 3 − 1 cos (5x + 2) + C
5
B. 5 cos(5x + 2) + C
= − 3 cos(5x + 2) + C
3
5
C. 3 cos(5x + 2) + C
KUNCI : A
5
110
D. − 5 cos(5x + 2) + C
2
E. 2 cos(5x + 2) + C
5
31. Hasil dari cos2 2x sin x cos xdx = .... Pembahasan :
A. − 1 cos3 2x + C cos2 2x sin x cos xdx = ....
12
= cos2 2x. 1 sin 2xdx = 1 cos2 2x sin 2xd cos 2x
B. 1 cos3 2x + C 2 2 −2sin 2x
8
= − 1 cos2 2 xd ( cos 2 x ) = − 1 . 1 cos3 2 x + C
C. 1 sin3 2x + C 4 4 3
12
= − 1 cos3 2x + C KUNCI : A
D. 1 x + 1 sin 4x + C 12
4 15
E. 1 x + 1 cos 4x + C
4 16
32. Gradien garis singgung suatu kurva Pembahasan :
( )pada setiap titik ( x, y) dinyatakan oleh dy = 5 − 4x − x2 dy = 5 − 4x − x2 dx
dx
dy = 5− 4x − x2. Bila kurva melalui titik 2x2 − 1
,maka nilai 3k = .... y = 5−4x − 3
(1, k )
Krn melalui maka
( )dx x2 dx = 5x − x3 + C
titik :
2, 7 dan 2, 7
3 3
A. 2 7 =10 −8 − 8 + C 7 = 6 −8 + 3C
3 33
3C = 9 C = 3 Jadi
B. 3
C. 17 y = 5x − 2x2 − 1 x3 + 3 krn melalui titk (1, k )
3
3
D. 9
Maka : k = 5 − 2 − 1 + 3 k = 6 − 1 = 17
E. 17 3 33
3k =17 KUNCI : E
3 Pembahasan :
33. Jika f ( x) = ax3 + bx , f ( x)dx = 28 dan 3
−1
I. (ax3 + bx) dx = 28
2 −1
f ( x)dx = 8, maka a − b = .... 1 ax 4 + 1 bx2 3 = 28 81 a + 9 b − 1 a + 1 b = 28
4 2 −1 4 2 4 2
0
20a + 4b = 28 5a + b = 7
A. – 2
B. – 1 2
C. 1
D. 2 II. (ax3 + bx) dx = 8
E. 3 0
1 ax4 + 1 bx2 2 = 8 16 a + 4 b − (0) = 8
4 2 0 4 2
4a + 2b = 8 2a + b = 4 dari I dan II
didapat: 5a + b = 7 3a =3 a =1 b = 2
2a + b = 4
Jadi a − b =1− 2 = −1
KUNCI : B
111
( )34. Hasil dari 2 x2 + 3x dx = .... Pembahasan : dv
0 x+2 u
( x + 2)− 1
A. 1 (7 − 2) (x2 + 3x) 2
15
(2x + 3) 1
( )B. 4 7 2 −1
15 2(x + 2)2 +
( )C. 4 7 2 +1 2 4 ( x + 2) 3 -
15 0 2
( )D. 8 7 2 −1 3
15
8 5 +
( )E. 8 7 2 +1
15 15 (x + 2)2
( )2
Jadi
x2 + 3x dx = ....
0 x+2
( )2 x2 + 3x x + 2 − 4 (2x +3)(x + 2) x + 2 + 16 (x + 2)2 x + 2 2
0
3 15
( ) ( ) ( )=1 2
15 30x2 + 90x − 20 2x2 +7x +6 +16 x2 + 4x + 4
x+20
( )=1 2
15 30x2 + 90x − 40x2 −140x −120 +16x2 + 64x + 64 x + 2 0
( )= 1 2
15 6x2 +14x − 56 x + 2 0
( )= 2 2
15 3x2 + 7x − 28 x + 2 0
( )= 2
15 (12 +14 − 28) 4 − −28 2
( ) ( )= 2 −4 + 28 2 = 8 −1+ 7 2
15 15
= 8 (7 2 −1) KUNCI : D
15
Pembahasan : karena
3
( ) ( )35. Nilai sin x + sin3 x + sin5 + ... dx adalah sin x + sin3 x + sin5 + ... merupakan deret
− geometri tak hingga dengan :
3
..... a = sin x & r = sin2 x maka S = a shg:
A. – 2 1− r
B. – 1 S = sin x x = sin x = tan x sec x
C. 0 1− sin2 cos2 x
D. 1
E. 2 33
( ) sin x + sin3 x + sin5 + ... dx = tan x sec xdx
− −
33
1 3 1 1
cos x −
= sec x 3 = = −
− 3 3
3 cos cos −
112 3
= 1 − 1 = 2 − 2 = 0
cos 600 cos 600
KUNCI : C
36. Untuk − x Pembahasan :
88 Karena :
1− tan2 2x + tan4 2x − tan6 2x +...dx = ... 1− tan2 2x + tan4 2x − tan6 2x + ... merupakan
deret geometri tak hingga dengan:
A. 1 tan 2x + k
2 a = 1; r = − tan2 2x
B. 1 cos 2x + k S = a = 1+ 1 2x = 1 = 1
2 1− r tan 2 sec2 2x 1
C. −1cos 2x + k cos2 2x
2
S = cos2 2x sehingga :
D. 1 sin 2x + k
2 1− tan2 2x + tan4 2x − tan6 2x +...dx = ...
E. −1sin 2x + k = cos2 2xdx = cos 2xdx = 1 sin 2x + k
2 2
KUNCI : D
113
18. PROGRAM LINIER Y Y
a. Persamaan Garis Lurus
Y
y1 (x1, y1) y2 (x2, y2) a (0, a)
y1 (x1, y1)
0 x1 X 0 x1 x2 X (b, 0) X
0b
a. Persamaan garis yang b. Persamaan garis yang c. Persamaan garis yang
bergradien m dan melalui melalui dua titik (x1, y1) dan memotong sumbu X di (b, 0)
titik (x1, y1) adalah: (x2, y2) adalah : dan memotong sumbu Y di
y – y1 = m(x – x1) y − y1 = y2 − y1 (x − x1) (0, a) adalah:
x2 − x1 ax + by = ab
b. Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan linear
Untuk menentukan daerah HP pertidaksamaan liniear ax + by ≤ c dengan
metode grafik dan uji titik kritis , langkah-langkahnya adalah sebagai berikut :
1. Gambarkan garis ax + by = c
2. Lakukan uji titik, yaitu mengambil sembarang titik (x, y) yang ada di luar
garis ax + by = c, kemudian substitusikan ke pertidaksamaan ax + by ≤ c
3. Jika pertidaksamaan itu bernilai benar, maka HPnya adalah daerah yang
memuat titik tersebut dengan batas garis ax + by = c
4. Jika pertidaksamaan itu bernilai salah, maka HPnya adalah daerah yang
tidak memuat titik tersebut dengan batas garis ax + by = c
Y uji ttk sudut
a (0, a) •( x, y)
( b, 0)
X
0b
ax + by = c
c. Fungsi Tujuan (Obyektif / Sasaran), Nilai Maksimum, dan Nilai Minimum
1) Fungsi tujuan adalah nilai f untuk x dan y tertentu dari suatu program linear, dan dinyatakan f(x, y)
2) Nilai fungsi sasaran yang dikehendaki adalah kondisi x dan y yang menyebabkan maksimum
atau minimum
3) Pada gambar HP program linear, titik-titik sudut merupakan titik-titik kritis, dimana nilai
minimum atau maksimum berada. Apabila sistem pertidaksamaannya terdiri dari dari dua
pertidaksamaan, maka titik-titik kritisnya bisa ditentukan tanpa harus digambar grafiknya.
114
Y Y
p Titik kritis ada 3: (0, p) Titik kritis ada 3:
HP (0, p), (b, 0) dan (x, y)
(0, a) (0, a), (q, 0) dan (x, y) p
a ( x, y) a
HP (q, 0) X ( x, y)
g
0 qb 0 q b (b, 0) X
h g
h
Grafik HP untuk fungsi tujuan Grafik HP untuk fungsi tujuan minimum
maksimum
Berdasarkan kedua grafik di atas dapat disimpulkan cara penentuan titik kritis sebagai berikut:
1. Pilih titik potong kurva dengan sumbu Y atau sumbu X yang terkecil (0, a) dan (q, 0) jika
tujuannya maksimumkan atau yang terbesar (0, p), (b, 0) jika tujuannya minimumkan
2. Titik potong antara kedua kurva (x, y)
115
SOAL-SOAL PEMBINAAN KELAS XII IPA
Program Linier
1. Kapal pesiar dapat menampung penumpang Pembahasan:
150 orang . Setiap penumpang kelas utama Karena kapasitas Kapal adalah 150 orang maka :
boleh membawa bagasi 60 kg dan penumpang x + y 150
kelas ekonomi 40 kg. Kapal itu hanya dapat Karena Penumpang Kls Utama = 60 kg dan kelas
membawa bagasi 8000 kg. Jika banyak ekonomi = 40 kg, maka :
penumpang kelas utama x dan banyaknya 60x + 40y 8000 3x + 2y 400
penumpang kelas ekonomi y , maka sistem Jadi sistem pertidaksamaan yang dipenuhi adalah:
pertidaksamaan yang harus dipenuhi adalah ... x + y 150,3x + 2y 400, x 0, y 0
A. x + y 150 , 3x + 2y 800, x 0, y 0 KUNCI : B
B. x + y 150,3x + 2y 400, x 0, y 0
C. x + y 150,3x + 2y 400, x 0, y 0
D. x + y 150,3x + 2y 400, x 0, y 0
E. x + y 150,3x + 2y 800, x 0, y 0
2. Daerah yang diarsir pada gambar dibawah ini Pembahasan :
merupakan himpunan penyelesaian sistem
pertidaksamaan ..... Y Pers.grs melalui ( 4,0) dan ( 0,3 ) adalah
x + y =1 3x + 4y = 12 3x + 4y 12
3 43
1 Melalui ( -2,0 ) dan ( 0,1 ) adalah
−2 0 X x + y = 1 −x + 2y = 2 x − 2y −2
−2 1
4
Sumbu X adalah sama dgn garis
A. y 0, x − 2y −2,3x + 4y 12
y=0 y0
B. y 0, x − 2y −2,3x + 4y 12
Jadi daerah yang diarsir merupakan HP sistem
C. y 0, −2x + y −2, 4x + 3y 12
pertidaksamaan linier :
D. x 0, −2x + y −2, 4x + 3y 12 y 0; x − 2y −2;3x + 4y 12
E. x 0, x − 2y −2,3x + 4y 12 KUNCI : A
3. Untuk daerah yang diarsir pada gambar berikutPembahasan :
nilai maksimum dari fungsi objektif Dari gambar diketahui titik S(0, 4) , O( 0,0)
T = 3x + 4y terjadi di titik .... Q adalah ttpotong garis
Y x+y=5
2x + y = 8
2x + y = 8
x = 3 y = 2 jadi Q ( 3,2 ) dan R ttk
SR potong garis :
Q
x+2y =8 x + 2y = 8
X x + y = 5
0 P y = 3 x = 2 jadi R ( 2,3) & P ( 4, 0 )
A. O x+ y =5 Jadi nilai maksimum fungsi objektif T adalah:
B. P
C. Q Titik T = 3x + 4y
O(0, 0) T=0
P(4, 0) T = 12
D. R Q(3, 2) T = 17
E. S R(2, 3) T = 18
S(0, 4) T = 16
116
T = 3x + 4y maksimum di titik R KUNCI : D
4. Luas suatu daerah parkir adalah 5.000 m2 . Pembahasan :
Luas rata-rata tempat parkir untuk sebuah Model matematikanya :
mosbil 10 m2 dan untuk sebuah bus 20 m2. x + y 400; x + 2y 5.00; x 0; y 0
Daerah parkir itu tidak dapat menampung Fungsi objektif : z = 1000(3x + 5y)
kendaraan lebih dari 400 buah. Biaya parkir
untuk sebuah mobil Rp 3.000,00 dan untuk Titik potong kedua grs: Y
sebuah bus Rp 5.000,00 . Pendapatan
maksimum yang mungkin untuk sekali parkir x + 2 y = 500 400
adalah .... 250
x + y = 400
A. Rp 1.200.000,00
B. Rp 1.250.000,00 y = 100 x = 300
C. Rp 1.400.000,00
D. Rp 1.500.000,00 Titik-titik kritisnya: 400 500 X
Titik
z = 1000(3x + 5y)
( 0, 0 ) z=0
E. Rp 2.000.000,00 (400, 0) z =1200000
(300,100) z =1400000
(0, 250) z =1250000
Jadi pendapatan maksimum sekali parkir adalah
Rp1.400.000, 00 KUNCI : C
5. Seorang pedagang menjual 2 macam Pembahasan :
permen,yaitu permen A dan B . Harga beli Misal : Permen A = x dan B = y maka model
permen A dan B masing-masing Rp 200,00 matematikanya adalah sbb :
dan Rp 400,00 setiap bungkusnya .Harga jual x + y 200; x + 2y 280; x 0; y 0
permen A dan permen B masing-masing Fungsi Objektif : z = 100x + 50y = 50(2x + y)
Rp 300,00 dan Rp 450,00 setiap bungkusnya.
Setiap harinya pedagang tersebut hanya dapat Ttk ptng kedua grs: 200
menjual 200 bungkus . Jika modal yang 140 (120,80)
tersedia hanya Rp 56.000,00, laba maksimum
yang dapat diperoleh adalah.... 200 280
A. Rp 10.000,00 x + y = 200
B. Rp 14.000,00 x + 2 y = 280
C. Rp 16.000,00
D. Rp 20.000,00 y = 80 x = 120 → (120,80)
E. Rp 28.000,00
Uji ttk sudut penyelesaian :
Titik z = 502x + y
( 0,0 ) z=0
( 200,0 ) z = 20.000
( 120, 80 ) z = 16.000
( 0, 140 ) z = 7000
Jadi laba maksimum adalah Rp 20.000,00
KUNCI : D
117
6. Seorang penjahit membuat dua jenis Pembahasan :
pakaian.Pakaian jenis A memerlukan kain Misal : Pakaian jenis A = x dan B = y
katun 1 m dan kain sutera 2 m , sedangkan Model matematikanya adalah sbb :
pakaian jenis B memerlukan kain katun 2,5 m x + 2,5y 70; 2x +1,5y 84; x 0; y 0 atau
dan kain sutera 1,5 m .Bahan katun yang 2x + 5y 140; 4x + 3y 168; x 0; y 0
tersedia 70 m dan kain sutera 84 m. Pakaian Fungsi objektif : z = 1000(50x + 60 y)
jenis A dijual dengan laba Rp 50.000,00/buah,
sedangkan pakaian jenis B dijual dengan laba 56 Ttk potong kedua grs :
Rp 60.000,00/buah. Agar penjahit memperoleh 28
laba maksimum,banyak pakaian jenis A dan 4x +10 y = 280
jenis B yang terjual berturut-turut adalah...
4x + 3y = 168
A. 20 dan 16 7 y = 112 y = 16
B. 26 dan 20 42 70
C. 30 dan 6 2x + 80 =140 2x = 60 x = 30
D. 16 dan 30
E. 30 dan 16 Jadi agar penjahit memperoleh laba maksimum
maka penjahit harus menjual 30 buah pakaian
jenisA dan 16 buah pakaian jenis B
KUNCI : E
7. Nilai maksimum 2x + 5y pada himpunan Pembahasan : 12
Ttk potng kedua 8
penyelesaian sistem pertidaksamaan Garis :
x + y 12, x + 2y 16, x 0 dan y 0 x + y = 12
x + 2 y = 16
adalah ....
A. 52 y = 4 x = 8 (8, 4) 12 16
B. 40
C. 36
D. 30
E. 25
Uji titik sudut penyelesaian :
(0,0) 2x + 5y = 0
(12, 0) 2x + 5y = 24
(8, 4) 2x + 5y = 36
(0,8) 2x + 5y = 40
KUNCI : B
8. Untuk mendapatkan hasil yang optimal, Pembahasan :
sebatang pohon rambutan harus diberi pupuk Misal :Pupuk A = x dan B = y , maka model
yang mengandung minimal 6 unit zat R dan 6 matematikanya adalah sbb :
unit zat S. Di toko tersedia dua jenis pupuk x + 2y 6; 2x + y 6; x 0; y 0
untuk pohon rambutan yaitu pupuk A dan Fungsi Objektifnya : z = 100(5000x + 4500y)
pupuk B. Satu bungkus pupuk A mengandung
1 unit zat R dan 2 unit zat S, sedangkan satu
bungkus pupuk B mengandung 2 unit zat R 6
dan 1 unit zat S. Harga per bungkus pupuk A
adalah Rp 5.000,00 dan harga perbungkus 3
pupuk B adalah Rp 4.500,00. Pak Adi
mempunyai 100 pohon rambutan . Biaya
minimal yang harus dikeluarkan dalam satu 36
kali pemupukan agar pohon rambutan dapat
berproduksi dengan optimal adalah.... Ttk potong kedua garis adalah :
A. Rp 1.500.000,00 x + 2 y = 6 2x + 4 y = 12
B. Rp 1.900.000,00 118 2x + y = 6 2x + y = 6
C. Rp 2.000.000,00
D. Rp 2.700.000,00 3y = 6 y = 2 x = 2
E. Rp 3.000.000,00
Uji titik sudut penyelesaian :
(6, 0) z = 100(30000) = Rp.3.000.000, 00
(2, 2) z = 100(19.000) = Rp1.900.000, 00
(0, 6) z = 100(27.000) = Rp2.700.000, 00
Jadi biaya minimal yg harus dikeluarkan adalah
Rp 1.900.000,00 KUNCI : B
9. Seorang petani angrek membutuhkan pupuk Pembahasan :
sebanyak 9 kg . Satu bungkus pupuk jenis I Misal : Pupuk jenis I = x dan II = y
isinya 300 gram dan satu bungkus pupuk jenis x + y 40;3x + 2y 90; x 0; y 0
II berisi 200 gram .Sekurang-kurangnya Ingat 1 kg = 1000 gram
diperlukan 40 bungkus pupuk dan harga pupukFungsi objektif : z = 10000(4x + 3y)
jenis I Rp 40.000,00 perbungkus ,jenis II 45
RP 30.000,00 perbungkus . Biaya minimum
yang dikeluarkan adalah .... 40
A. Rp 1.600.000,00
B. Rp 1.500.000,00
C. Rp 1.350.000,00 30 40
D. Rp 1.300.000,00
E. Rp 1.200.000,00 Ttk potong kedua garis adalah :
3x + 3y = 120
3x + 2 y = 90
y = 30 x = 10
Uji titik sudut penyelesaian :
(40, 0) z = 10.000(160) = Rp1.600.000, 00
(10,30) z = 10.000(130) = Rp1.300.000, 00
(0, 45) z = 10.000(135) = Rp1.350.000, 00
Jadi biaya minimum adalah Rp 1.300.000,00
KUNCI : D
10. Diatas tanah seluas 1 hektar akan dibangun Pembahasan :
dua tipe rumah,yaitu tipe A dan tipe B . Tiap Misal : rumah tipe A = x dan Tipe B = y
unit rumah tipe A luasnya 100 m2, sedangkan Maka model matematikanya adalah sbb :
tipe B luasnya 75 m2 . Jumlah rumah yang x + y 125;100x + 75y 10.000; x 0; y 0 atau
akan dibangun paling banyak 125 unit. Harga x + y 125;4x + 3y 400; x 0; y 0
jual rumah tipe A adalah Rp 100.000.000,00 Fungsi Objektifnya :
dan rumah tipe B adalah Rp 60.000.000,00
.Supaya pendapatan dari hasil penjualan z = 10. jt (10x + 6 y)
seluruh rumah maksimum maka harus
dibangun rumah sebanyak ..... 400
A. 100 rumah tipe A saja 3
B. 125 rumah tipe A saja
Ttk potong kedua ( 25.100 )
Garis adalah : 125
C. 100 rumah tipe B saja
D. 100 rumah tipe A dan 25 tipe B
E. 25 rumah tipe A dan 100 tipe B
100 125
119
x + y = 125 3x + 3y = 375
4x + 3y = 400 4x + 3y = 400
x = 25 y = 100 Uji titik sudut
penyelesaian :
(100, 0) z = 10.000.000.000, 00
(25,100) z = 8.500.000.000, 00
(0,125) z = 7.500.000.000, 00
Supaya pendapatan maksimum maka harus
dibangun rumah sebanyak 100 rumah tipe A saja
KUNCI : A
11. Seorang anak diharuskan minum dua Pembahasan :
jenis tablet setiap hari. Tablet jenis I Misal Tablet jenis I = x dan II = y maka
mengandung 5 unit vitamin A dan 3 model matematikanya adalah sbb:
unit vitamin B .Tablet jenis II
5x +10y 25 x + 2y 5
mengandung 10 unit vitamin A dan 1 3x + y 5 , x 0 , y 0 dan fungsi objektif:
unit vitamin B. Dalam 1 hari anak
tersebut memerlukan 25 unit vitamin z = 4000x + 8000 y = 4000 ( x + 2 y )
A dan 5 unit vitamin B. Jika harga Ttk potong kedua Y
tablet I Rp 4.000,00 per biji dan tablet Garis adalah :
5
II Rp 8.000,00 per biji ,Pengeluaran 3x + y = 5 5
minimum untuk pembelian tablet per x + 2 y = 5 2
hari adalah ....
x +52y = 5Y
A. Rp 12.000,00 05
B. Rp 14.000,00
C. Rp 16.000,00 3
3x + y = 5
D. Rp 18.000,00 6x + 2y = 10
E. Rp 20.000,00 =5 5x = 5 x =1 y = 2
x + 2y
Jadi pengeluaran minimum adalah :
Ttk kritis Z = 4000(x+2y)
( 5,0 ) Z = 20.000
( 1, 2 ) Z = 20.000
( 0, 5 ) Z= 40.000
Pengeluaran minimum Rp 20.000,00
KUNCI : E
12. Anak usia balita dianjurkan dokter Pembahasan :
untuk mengkonsumsi kalsium dan Misal : Kapsul = x dan tablet = y maka
zat besi sedikitnya 60 gr dan 30 gr. model matematikanya adalah sbb:
5x + 2y 60 , 2x + 2y 30 x + y 15
Sebuah kapsul mengandung 5 gr
kalsium dan 2 gr zat besi,sedangkan x 0 , y 0 dan fungsi objektinya :
ssskeeeabbblsuuuiuaaahhhmttkdaaabbapnllseeutt2lRmgRprePn8zga10at.00nb,00de00us,in0,m.g0Jia2dkkaaganrhbhaiaragyragaaTGzta=kr1ips0o0:t0oxn+g80k0eydu= a2003(05x + 4y)
5x + 2 y = 60
minimum yang harus dikeluarkan 2x + 2 y = 30 15
untuk memenuhi kebutuhan anak
balita tersebut adalah ..... 3x = 30 x =10 12 15
5x + 2y = 60 x + y = 15
A. Rp 12.000,00 120 y=5
B. Rp 14.000,00 Ttk kritis Z = 200( 5x+4y)
C. Rp 18.000,00 ( 15,0 ) Z = 30.000
D. Rp 24.000,00
( 10, 5 ) Z = 14.000
E. Rp 36.000,00
( 0, 30 ) Z= 24.000
Biaya minimum yg harus dikeluarkan
adalah Rp 14.000,00
KUNCI : B
13. Seorang pedagang sepeda ingin Pembahasan :
membeli 25 sepeda untuk persediaan Misal: sepeda gunung = x dan sepeda
. Ia ingin membeli sepeda gunung balap = y ,maka model matematikanya
dengan harga Rp 1.500.000,00 per adalah sbb :
buah dan sepeda balap dengan harga x + y 25 , 15x + 20y 420 3x + 4y 84
Rp 2.000.000,00 per buah. Ia x 0; y 0 dan fungsi objektifnya :
merencanakan tidak akan z = 100.000(5x + 6y)
mengeluarkan uang lebih dari
Ttk potong 25
Rp 42.000.000,00. Jika keuntungan Kedua garis:
sebuah sepeda gunung
3x + 4 y = 84 (16, 9 )
RP 500.000,00 dan sebuah sepeda 3x + 3y = 75 21
balap Rp 600.000,00 ,maka 3x + 4y = 84
keuntungan maksimum yang diterima y = 9 x = 16
pedagang adalah ....
A. Rp 13.400.000,00 25 28
x + y = 25
B. Rp 12.600.000,00
Ttk kritis Z = 100.000( 5x+6y)
C. Rp 12.500.000,00 ( 25,0 ) Z = 12.500.000
D. Rp 10.400.000,00 ( 16, 9 ) Z = 13.400.000
E. Rp 8.400.000,00 ( 0, 21 ) Z= 12.600.000
Jadi keuntungan maksimum pedagang
tersebut adalah : Rp 13.400.000,00
KUNCI : A
14. Pada sebuah toko,seorang karyawati Pembahasan :
menyediakan jasa membungkus
Misal Pembungkus Kado A = x dan B = y
kado. Sebuah kado jenis A Maka model matematikanya adalah sbb :
membutuhkan 2 lembar kertas
2x + 2y 40 x + y 20 ,
pembungkus dan 2 meter pita 2x + y 30 , x 0 , y 0 dan fungsi
.Sebuah kado jenis B membutuhkan objektifnya adalah :
2 lembar kertas pembungkus dan 1 z = 100(25x + 20 y) = 500(5x + 4y)
meter pita.Tersedia kertas
pembungkus 40 lembar dan pita 30 Ttk potong kedua 30
meter.Jika upah untuk membungkus Garis :
(10,10)
kado jenis A Rp 2.500,00/buah dan 2x + 2 y = 40 20
kado jenis B Rp 2.000,00/buah. Maka x + y = 20
2x + y = 30
upah maksimum yang dapat diterima y = 10 x = 10
karyawati tersebut adalah.....
15 20
A. Rp 40.000,00 Ttk kritis 2x + y = 30
( 15,0 )
B. Rp 45.000,00 ( 10,10 ) Z = 500( 5x+4y)
C. Rp 50.000,00 ( 0, 20 ) Z = 37.500
D. Rp 55.000,00 Z = 45.000
Z= 40.000
E. Rp 60.000,00
121 Jadi uapah maksimum karyawati adalah
:Rp.45.000,00 KUNCI:B
20. Seorang pemilik toko kue hendak Pembahasan :
mengisi tokonya dengan kue donat Misal Kue donat = x , Kue Bolu = y maka
paling sedikit 100 buah dan kue bolu model matematikanya adalah sbb:
x + y 400 , 100 x 150 , y 150 dan fungsi
paling sedikit 150 buah . Toko
tersebut dapat menampung paling objektifnya adalah :
banyak 400 buah kue. Keuntungan z = 100(10x + 5y) = 500(2x + y)
kue donat perbuah Rp 1.000,00 dan x = 100 x = 150
kue bolu perbuah Rp 500,00. Jika
banyaknya kue donat tidak boleh 400 (100,300)
melebihi 150 buah, maka keuntungan (150, 250)
terbesar yang dapat diperoleh pemilik
toko kue adalah ... x + y = 400
(100,150) (150,150) y = 150
A. Rp 275.000,00 100 150 400
B. Rp 300.000,00
C. Rp 325.000,00 Ttk kritis Z = 500( 2x+y)
D. RP 350.000,00 (100,100 ) Z = 150.000
E. Rp 375.000,00 ( 150,150 ) Z = 225.000
(150, 250 ) Z=275.000
(100,300) Z = 250.000
Jadi keuntungan terbesar adalah :
Rp 275.000,00 KUNCI : A
122
19. MATRIKS
a. Transpose Matriks
Jika A = a b , maka transpose matriks A adalah AT = a dc
c d b
b. Penjumlahan dan Pengurangan Matriks
Dua matriks dapat dijumlahkan bila kedua matriks tersebut berordo sama. Penjumlahan dilakukan
dengan menjumlahkan elemen–elemen yang seletak
Jika A = a b , dan B = k l , maka A + B = a b + k l = a +k b + l
c d m n c d m n c +m d + n
c. Perkalian Matriks dengan Bilangan Real n
Jika A = a b , maka nA = n a b = an bn
c d c d cn dn
d. Perkalian Dua Buah Matriks
▪ Perkalian matriks A dan B dapat dilakukan bila jumlah kolom matriks A sama dengan jumlah
baris matriks B (Am×n × Bp×q, jika n = p) dan hasil perkaliannya adalah matriks berordo m × q.
▪ Hasil perkalian merupakan jumlah perkalian elemen–elemen baris A dengan kolom B.
Jika A = a b , dan B = k l m , maka
c d n o p
A × B = a b × k l m = ak + bn al + bo am + dbpp
c d n o p ck + dn cl + do cm +
e. Matriks Identitas (I)
▪ I = 1 0
0 1
▪ Dalam perkalian dua matriks terdapat matriks identitas (I), sedemikian sehingga I×A = A×I = A
f. Determinan Matriks berordo 2×2
Jika A = a b , maka determinan dari matriks A dinyatakan Det(A) = a b = ad – bc
c d c
d
123
Sifat–sifat determinan matriks bujursangkar
1. det (A ± B) = det(A) ± det(B)
2. det(AB) = det(A) det(B)
3. det(AT) = det(A)
4. det (A–1) = 1
det( A)
g. Invers Matriks
▪ Dua matriks A dan B dikatakan saling invers bila A×B = B×A = I, dengan demikian A adalah
invers matriks B atau B adalah invers matriks A.
Bila matriks A = a b , maka invers A adalah:
c d
A −1 = 1 Adj(A) = ad 1 bc d −b , ad – bc ≠ 0
Det(A) − −c a
▪ Sifat–sifat invers dan determinan matriks
1) (A×B)–1 = B–1 ×A–1
2) (B×A)–1 = A–1 ×B–1
h. Matriks Singular
matriks singular adalah matriks yang tidak mempunyai invers, karena nilai determinannya sama
dengan nol
i. Persamaan Matriks
Bentuk–bentuk persamaan matriks sebagai berikut:
1) A × X = B X = A–1 × B
2) X × A = B X = B × A–1
124
SOAL-SOAL PEMBINAAN KELAS XII IPA
Matriks Pembahasan :
1. Nilai 2x − y dari persamaan matriks −2 3x −1+ 2 y = −2 20
−1− −4 −8
5 3x − 7 1− 2 y = 6 2 0 3 y 2 x −4
2 2x 6 −4
y − 1 8 −1 1 3x + 2 y = 21 3x + 2 y = 21
adalah .... −2x + y = −7 −4x + 2 y = −14
A. – 7
B. – 1 7x = 35 x = 5 y = 3
C. 1 Jadi 2x − y = 10 − 3 = 7
D. 7
E. 8 KUNCI : D
2. Diketahui matriks K = k l , Pembahasan:
m
n k l 2 8
m n −2
2 8 1 6 KA = B 0 =
1 2
A = , B = , C = dan D = .
0 −2
2k 8 k = 4
Jika KA = B , KC = D , Nilai dari matriks 2m = −2 m = −1
−2
K adalah .... 4 l 1 6 4+l 6
1 KC = D −1 n 1 = 2 −1+ n = 2
−6
A. 4+ l=6l=2
5 −1 + n=2n=3
B. 5 −2 4 2 −2 −8 + 2 −6
3 2+3 5
−4 Jadi K 1 = −1 1 = =
6
C.
−5
KUNCI : A
D. 12
−5
E. −14
7
3. Diketahui persamaan matriks Pembahasan :
5 3 8 5 A = 8 5 1 1 −3
1 11 11 − −2
A 2 = 6 . Determinan matriks A 6 5 6 5
8 5 1 −3 −2 1
yang berordo 2 x 2 adalah .... A = − 11 5 = − −1
6 −2 −3
A. – 7 A = 2 −1 A = 6+1= 7
B. – 5 1
3
C. 5
KUNCI : E
D. 6
E. 7
125
4. Diketahui persamaan matriks Pembahasan :
5 1 y + 2 4 3 = 1 x5 0 . Nilai 5 5y + 8 6 = 5+ 2x 4x
2 2 −1 3 15 10 4 −2 15 + 2 y
3 y 2 4 4 y
dari 3x − 2 y = .... 13 5 y+ 6 = 5+ 2x 4x
19 8 15 + 2 y
A. – 4 4 y
B. – 2
C. 2 5 + 2x = 13 x = 4
8= 4y y = 2
D. 4
E. 8 Jadi 3x − 2y = 12 − 4 = 8 KUNCI : E
5. Diketahui matriks A = −2 x , Pembahasan :
6
3 A− B = C −2 x − −5 14 = z −1
3 y −2 1
B = −5 14 , dan C = z −1 . Jia 6 5
y
−2 1 5 3 x −14 = z −1
− 5 1
A− B = C maka x + y + z = .... 6 y 5
A. 15 x −14 = −1 x = 13
B. 21 6− y =1 y =5
C. 22 z = 3
D. 27
E. 29 Jadi x + y + z = 13 + 5 + 3 = 21 KUNCI : B
Diketahui matriks A = 1 3−a Pembahasan :
6. 3 ,
−4 1 3−a 5 4 6 10
3 −4 + 2b + −2 = 2
5 4 3 1 3 −6
B = 2b + ,dan C = −3
3 −2 5 6 7−a = 6 10
2b + −6 2
Bila A + B = 2CT dan CT adalah transpose 6 −6
matriks C, nilai a − b = .... 7 − a = 10 a = −3
A. – 3 2b + 6 = 2 b = −2
B. – 2
C. – 1 Jadi a − b = −3+ 2 = −1
D. 1 KUNCI : C
E. 2
−9 −6 Pembahasan :
8
7. Diketahui matriks A = 5 dan = −9 −6 = 6 3
4
AX B 8 5 X 1
6 3
B = 4 .Maktriks X yang berordo 2x2 1 5 6 6 3
1 = 1
X −45 + −8 −9
48 4
memenuhi persamaan AX = B , determinan
dari X adalah ... X = 1 30 + 24 15 + 6 = 1 54 21
A. – 2 −24 − 9 3 −84
B. – 1 3 −48 − 36 −33
C. 2 X = 18 7 X = −198 +196 = −2
−28 −11
D. 24
E. 25 KUNCI : A
126
8. Diketahui matriks A = a −2 , B = 1 b Pembahasan :
1 2 3
−2 B + C = A 1 b + 1 −4 = a −2
−2 −2 1
1 −4 3 c 2
−2
dan C = c dengan B+C = A. Nilai a=2
b − 4 = −2 b = 2
2 b − 4 a −2 c − 2 = 2 c = 4
a + b + c = .... 1 c − 2 = 1 2
A. 8
B. 6 Jadi a + b + c = 2 + 2 + 4 = 8
C. – 1
D. – 2 KUNCI : A
E. – 6
9. Diketahui matriks A = 3 y , B = x 5 Pembahasan :
5 −1 −3
6 3 y + x 5 − −3 −1 = 8 5x
5 −1 −3 6 y −x
dan C = −3 −1 . Jika 9 −4
y
9 6 + x y+6 = 8 5x
2 − y −4 −x
A + B − C = 8 5x ,maka nilai x + 2xy + y −4
−x
−4 6+ x =8 x=2
y + 6 = 10 y=4
adalah ....
A. 8 Jadi x + 2xy + y = 2 +16 + 4 = 22
B. 12
KUNCI : E
C. 18
D. 20
E. 22
10. Diketahui matriks A = 1 2 dan Pembahasan :
3
5 1 2 = 3 −2 + 1 3
1 4 2 5
3 −2 3 5 X
1
B = ,Jika At adalah transpose
4
1 2 = 4 1
X 3
matriks A ,dan AX = B + At maka determinan 3 5 9
matriks X adalah ... X = 1 5 −2 4 1 = − 20 − 6 5 −18
A. 46 − 9 −12 + 3
B. 33 5 6 −3 1 3 −3 + 9
C. 27 X = − 14 −13 = −14 13
D. – 33 −9 9
E. – 46 6 −6
X = 84 −117 = −33 KUNCI : D
11. Diketahui matriks A = U1 U 3 dan Pembahasan :
U2 U 4
U6 = 18 a + 5b = 18
Un adalah suku ke-n barisan U10 = 30 a + 9b = 30
aritmetika .Jika U6 = 18 dan U10 = 30 4b =12 b = 3 a = 3
Jadi U1 = 3; U2 = 6; U3 = 9 & U4 = 12
,determinan matriks A = .... sehingga
A. – 30
B. – 18 A = 3 9 A = 36 − 54 = −18
6 12
C. – 12 127
D. 12
KUNCI : B
E. 18
12. Jika x1 dan x2 akar-akar persamaan Pembahasan :
2x + 4 x −1 = 0
2x + 4 x −1 = 0 ,dan x1 x2 maka x + 23 x + 3
x + 23 x+3
(2x + 4)( x + 3) − ( x −1)( x + 23) = 0
x12 − x22 = ....
( ) 2x2 +10x +12 − x2 + 22x − 23 = 0
A. 4
B. 14 x2 −12x + 35 = 0 ( x − 5)( x − 7) = 0 karena
C. 24
D. 32 x1 x2 x1 = 7 & x2 = 5
E. 49 Jadi x12 − x22 = 49 − 25 = 24
KUNCI : C
13. Jika 4x+2y 0 = 8 0 , maka Pembahasan
3x − 2 4 Dari soal diketahui bahwa :
2 2
3x − 2 = 4 x = 2 dan 4x+2y = 8 22x+4y = 23
x + y = .... 2x + 4y = 3 karena
A. − 15 x = 2 4 + 4y = 3 4y = −1 y = − 1
4 4
B. − 9 Jadi x + y = 2 − 1 = 7 KUNCI : C
4 44
C. 7
4
D. 9
4
E. 21
4
14. Nilai x dari sistem persamaan Pembahasan:
Jika diketahui sistem persamaan linier
3x + 2y = 5 jika dinyatakan dalam
2x − 3y = 10 aa21xx + b1 y = c1 maka :
+ b2 y = c2
bentuk matriks adalah ....
35 x = Dx ; y = Dy dimana :
DD
A. x = 2 10
32 D = a1 b1 ; Dx = c1 b1 dan Dy = a1 c1
a2 b2 c2 b2 a2 c2
2 −3
52 Jadi nilai x dinyatakan dengan :
B. x = 10 −3 52
32 x = 10 −3
2 −3 32
2 −3
−3 −2 KUNCI : B
C. x = −2 3
128
32
2 −3
53
D. x = 10 2
32
2 −3
25
E. x = −3 10
32
2 −3
15. Diketahui sistem persamaan Pembahasan :
x−y=5 diselesaikan dengan Sesuai dng konsep pada soal no.24
3x + y = 3 didapat :
menggunakan matriks, Untuk 15
p = Dy = 3 = 3 −15 = −12
y= p , nilai p = .... 3
1 −1
KUNCI : A
31
A. – 12
B. – 2
C. 4
D. 8
E. 18
129
20. VEKTOR
a. Vektor Secara Geometri
3. Bila AP : PB = m : n, maka:
1. Ruas garis berarah 2. Sudut antara dua vektor
AB = b – a adalah
b. Vektor Secara Aljabar
a1
1. Komponen dan panjang vektor: a = a 2 = a1i + a2j + a3k;
a 3
|a| = a12 + a 2 + a 2
2 3
2. Penjumlahan, pengurangan, dan perkalian vektor dengan bilangan real:
a1 b1 a1 b1 a1 ka1
a b = a2 b2 =a2 b2 ; ka = k a 2 = ka 2
a 3 b 3 a 3 b3 a 3 ka 3
c. Dot Product
a1 b1
Apabila diketahui a = a 2 dan b = b2 , maka:
a 3 b 3
1. a · b = |a| |b| cos
= a1b1 + a2b2 + a3b3
2. a · a = |a|2 = a1a1 + a2a2 + a3a3
3. |a + b|2 = |a|2 + |b|2 + 2|a||b| cos
4. |a – b|2 = |a|2 + |b|2 – 2|a||b| cos
5. Dua vektor saling tegak lurus jika a · b = 0
d. Proyeksi Vektor 2. Vektor proyeksi ortogonal :
1. Proyeksi skalar ortogonal
Panjang vektor proyeksi b pada vektor proyeksi b pada a
a
|p| = a b p = ab a
|a| | a |2
130
e. Vektor Secara Aljabar
a1
3. Komponen dan panjang vektor: a = a 2 = a1i + a2j + a3k;
a 3
|a| = a12 + a 2 + a 2
2 3
4. Penjumlahan, pengurangan, dan perkalian vektor dengan bilangan real:
a1 b1 a1 b1 a1 ka1
a b = a2 b2 =a2 b2 ; ka = k a 2 = ka 2
a 3 b3 a 3 b3 a 3 ka 3
f. Dot Product
a1 b1
Apabila diketahui a = a 2 dan b = b2 , maka:
a 3 b3
6. a · b = |a| |b| cos
= a1b1 + a2b2 + a3b3
7. a · a = |a|2 = a1a1 + a2a2 + a3a3
8. |a + b|2 = |a|2 + |b|2 + 2|a||b| cos
9. |a – b|2 = |a|2 + |b|2 – 2|a||b| cos
10. Dua vektor saling tegak lurus jika a · b = 0
g. Proyeksi Vektor 4. Vektor proyeksi ortogonal :
3. Proyeksi skalar ortogonal vektor proyeksi b pada a
Panjang vektor proyeksi b pada p = ab a
a | a |2
|p| = a b
|a|
131
SOAL-SOAL PEMBINAAN KELAS XII IPA
Vektor ar r r r Paerm+bbrah⊥ascran : ar r ocr = 0
1. Diketahui 2i j + 4k b
( ) ( )r = −
( )b
vektor-vektor r , r +
r r + ak b
= r + r + 3k ,dan cr = 2i . Jika ar + 7 2
5i j
tegak lurus terhadap vektor cr maka ar + r + cr 0 o 0 = 0 14 + 7a = 0 a = −2
b 7 a
adalah ...r r r
A. 9i + j − 5kr
r r 2 5 2 9
ar r + cr −1 1 0
B. 9i + j + 5k Jadi + b = + + = 0
rr
C. 9ir − 5kr r r 4 3 −2 5
D. 9ir + 5kr = 9i + 5k KUNCI : D
E. 9i + 5 j
2. Diketahui ar r = 6, ar + r = 8 . Jika Pembahasan :
= 4, b b a + b = a 2 + b 2 + 2 a b cos
adalah sudut antara vektor ar dan r , maka 8 = 16 + 36 + 2.4.6 cos
b
nilai cos 2 adalah .... 52 + 48cos = 64 cos = 64 − 52 = 12 = 1
48 48 4
A. − 7
8 1
16
B. − 3 cos 2 = 2 cos2 −1 = 2 −1
4
= 1 −1= 1−8 = − 7
C. 0 8 88
D. 1 KUNCI : A
2
E. 1 Pembahasan :
c = a ob 3 = 2 p − 6 + 9
3. Diketahui vektor a = pi − 3 j + 9k dan
b 4+ 4+1
b = 2i + 2 j + k . Jika c adalah panjang
2p+3=92p =6 p =3
proyeksi vektor a pada b dan c = 3, , nilai
KUNCI : D
p adalah ....
A. – 1
B. 2
C. 5
2
D. 3
E. 4
132
3 2
−x1 Pembahasan:
4. Diketahui vektor p = −6 , q = dan p ⊥ q p oq = 0 6+ 6− 4x = 0 x = 3
−4
Jadi
4 3 4 4
r = −2 . Bila vektor p tegak lurus q ,maka p − 2q +r = −6 − −62 + −2
1 −4 1
hasil dari p − 2q + r = .... 3 1
1 1 = −6 = 3 −−23
3 −9
A. 2 2 D. −2
3 −3
1 1 KUNCI : D
B. 2 −−23 E. 3 −2
3
1
C. 3 −23
5. Diketahui vektor-vektor u = bi + 9 j + ak dan Pembahasan :
v = ai + aj − bk . Sudut antara vektor u dan Dari gbr terlihat bahwa
Vektor p berimpit
v adalah dengan cos = 6 . Proyeksi
11 Dengan vektor v
vektor u pada v adalah p = 4i + 4 j − 2k .
Nilai dari b = .... Jadi : cos = 6 u ov = 6
11 u v 11
A. 2
B. 2 ab + 9a − ab = 6 ..........(1)
C. 2 2 ( )( )b2 + 81+ a2 a2 + a2 + b2 11
D. 4
E. 4 2 a 4 4n = an= 1 a
2n = b 4
v = np a = n 4
−b −2
b = 2 1 a b = 1 a a = 2b ..........(2)
4 2
Dari (1) dan (2) didapat :
18b = 6
( )( )b2 + 81+ 4b2 4b2 + 4b2 + b2 11
18b = 6 18b = 6
( )( )81+ 5b2 9b2 11 3b 81+ 5b2 11
133 6 = 6 81+ 5b2 = 11 81+ 5b2 = 121
81+ 5b2 11
5b2 = 40 b2 = 8 b = 8 = 2 2
KUNCI : C
x 3
Pembahasan :
6. Diketahui vektor a = 2 , b = 4 , dan a ob = 0, 4 3x + 8 + 0 = 4
4 0
b 9 +16 + 0 10
panjang proyeksi vektor pada b adalah 0,4. 3x + 8 = 2 3x + 8 = 2
Nilai x = .... a
A. – 2 55
B. – 1 3x = −6 x = −2
C. 0 KUNCI : A
D. 1
E. 2
2 4
−13 −−23
7. Diketahui vektor-vektor a = , b = Pembahasan :
4
4 6
2 2a +b − 3c = 2 + −2 − 9
,dan c = 3 . Nilai dari 2a + b − 3c adalah .... −6 −3 3
1
2
−−192
6 2 =
A. −9 D. −9
−8 −8
KUNCI : E
6 2
B. −6 E. −9
−8 −12
2
C. −6
−12
8. Diketahui vektor-vektor a = −i + 2 j dan Pembahasan :
b = 3i + 4 j + 5k . Sudut adalah sudut antara cos = a ob = −3 + 8 + 0 =5
a dan b . Nilai tan adalah .... a b (1+ 4)(9 +16 + 25) 250
A. 1 cos = 5 = 1
10 25.10 10
B. 1 sin 1− cos2 = 1− 1 = 9 = 3
3 10 10 10
C. 1 3
2
D. 2 Jadi tan = sin = 10 =3 KUNCI : E
E. 3 cos 1
10
134
9. Proyeksi orthogonal vektor a = 2i − 2 j − k Pembahasan :
pada b = 3i + j − 2k adalah .... a ob 6−2+2
A. − 1 (−3i − j + 2k ) 2 2
14 ( ) ( ) =
b b 3i + j − 2k
B. − 1 (−3i + j − 2k )
14 9+1+ 4
C. 1 (3i + j − 2k ) = 6 (3i + j − 2k ) = 3 (3i + j − 2k )
2 14 7
D. 3 (3i + j − 2k ) KUNCI : D
7
E. (6i + 2 j − 4k )
10. Diketahui a = 6 , b = 4 dan a + b = 2 7 . Pembahasan :
a + b = a 2 + b 2 + 2 a b cos
Besar sudut antara a dan b adalah ....
A. 300 2 7 = 36 +16 + 2.6.4cos
B. 600
C. 900 28 = 52 + 48cos cos = −24 = − 1
D. 1200 48 2
E. 1500
= 1200 KUNCI : D
11. Diketahui titik A ( 1, 2, -3 ) dan titik Pembahasan :
B( 11, -3, 7) .Titik P ( x,y,z) pada AB • • P ( x, y, z)
sehingga AP : PB = 3 : 5 . Vektor 3
posisi titik P adalah ....
5 •
3
4 4 Maka : B (11, −3, 7)
x = 5.1+ 3.11 = 38 = 4 3
38 1
8 3+5 8 4
A. 1 D. y = 5.2 + 3. − 3 = 1
6
88
3
4
4 3 z = 5. − 3 + 3.7 = 6 = 3 jadi vektor posisi titik
4 8 84
7
1 3
B. 1 E. − 8 4 4
6
− 3 P adalah 1 KUNCI : D
4 8
7 3
−31 4
C.
135
12. Diketahui titik A(0, 1, 5 ) , B( 0, -4,5 ) A ( 0,1, 5)
dan C( 3, 1, -2 ) .Titik P membagi AB Pembahasan :
•
sehingga AP : PB = 3 : 2 , maka vektor maka :
3 •2
yang diwakili oleh PC adalah .... x = 2.0 + 3.0 = 0 •
A. 3i − j − 7k 5
B (0, −4,5)
B. 3i − 3 j + 3k y = 2.1+ 3. − 4 = −2 dan z = 2.5 + 3.5 = 5
55
C. 3i + 3 j − 7k Jadi P ( 0, -2 , 5 ) sehingga :
D. 3i − 3 j + 7k 3 0 3
E. 3i + 3 j + 7k PC =c − p = 1 − −2 = 3
−2 5 −7
Jadi PC = 3i + 3 j − 7k
KUNCI : C
13. Diketahui panjang proyeksi vektor Pembahasan :
− 3 3 a b = 3 −3 + 3p + 3 = 3
b 2 3+ p2 + 9 2
a = 3 pada vektor b = p
1 3 3 p = 3 6 p = 3 12 + p2
12 + p2 2
adalah 3 . Nilai p = .... ( ) 36 p2 = 9 12 + p2 4 p2 = 12 + p2
2
3 p2 = 12 p2 = 4 p = 2
A. 4 Jadi p = 2
B. 26 KUNCI : C
9
C. 2
D. 1
2
E. 1
4
−2
14. Jika panjang proyeksi vektor a = 6 Pembahasan :
3 a b = 4 −2x −12 +12 = 4
b3 x2 + 4 +16 3
x
4
pada b = −2 adalah 3 dipenuhi oleh −2x = 4 −6x = 4 x2 + 20
4 x2 + 20 3
x1 dan x2 ,maka x1 − x2 = .... ( ) −3x = 2 x2 + 20 9x2 = 4 x2 + 20
A. 4 9x2 = 4x2 + 80 5x2 = 80 x2 = 16
B. 8 x = 4
C. 16 Maka x1 − x2 = 4 + 4 = 8
D. 24 KUNCI : B
E. 32
136
15. Diketahui a = i + xj + 2k dan Pembahasan:
b = 2i + j − k . Jika panjang proyeksi a b = 2 2 + x − 2 = 2
a pada b adalah 2 ,sudut antara a b 6 4 +1+1 6
6 x = 2 x = 2 berarti
66
dan b adalah ,Nilai dari tan = ....
cos = a b cos = 2+2−2
A. 5 2 a b 1+ 2+ 4 4+1+1
2
cos = 2 = 6 sin = 1− 6
B. 5 2 36 9 81
C. 3 2
D. 3 2 sin = 75 = 5 3 jadi tan = sin
81 9 cos
2
E. 4 2 53
tan = 9 = 5 3 = 5 3 = 5 2
6 6 3. 2 2
9
KUNCI : A
137
21. TRANSFORMASI GEOMETRI
a. Translasi (Pergeseran) ; T = a
b
xy'' = x + a atau x = xy'' − a
y b y b
b. Refleksi (Pencerminan)
1. Bila M matriks refleksi berordo 2 × 2, maka:
xy'' = M x atau x = M −1 x'
y y y'
2. Matriks M karena refleksi terhadap sumbu X, sumbu Y, garis y = x, dan garis y = – x dapat
dicari dengan proses refleksi titik–titik satuan pada bidang koordinat sbb:
Msb x Msb y My = x My = – x
1 −01 −1 0 0 10 0 −01
0 0 1 1 −1
Y Y y=x Y
(y, x)
(x, y) Y y = –x (x, y)
X (x, y)
(–x, y) (x, y) X X
0 0 X 0
(x, – y) 0
(–y, –x)
depan tetap belakang tetap depan dibalik dibalik dinegasi
belakang negasi negasi
c. Rotasi (Perputaran) R[O, 90] R[O, –90]
R[O, ]
xy'' = cos − sin x xy'' = 0 −01 x xy'' = 0 10 x
sin cos y 1 y −1 y
Y Y
(–y, x)
(x, y)
90 X
(x, y)
X 0–
90
0 (y, –x)
dibalik depan dinegasi dibalik belakang dinegasi
138
d. [O, k] Dilatasi (Perbesaran) dengan Faktor Pengali k dan pusat di O
xy'' = k x x = 1 xy''
y y k
e. Komposisi Transformasi
P(x, y) ⎯⎯ac ⎯⎯db → ⎯⎯rp ⎯⎯qs → P’(x’, y’); maka xy'' = p q a b x
r s c d y
f. Luas Hasil Transformasi
1. Luas bangun hasil translasi, refleksi, dan rotasi adalah tetap.
2. Luas bangun hasil transformasi a b adalah: L’ = L a b
c d c d
139
SOAL-SOAL PEMBINAAN KELAS XII IPA
Transformasi Pembahasan :
1. Persamaan bayangan dari garis y = 3x + 2
x1 = 0 −1 1 2 x
y1 1
oleh transformasi yang bersesuaian dengan 0 0 1 y
matriks 1 2 dilanjutkan dengan rotasi
0 1 x1 0 −1 x x 1 2 1 x1
y1 1 y −1
pusat O (0, 0) sebesar 900 adalah .... = 2 y = 0 + 1 0 y1
A. y = − 7 x − 2 x = 2 x1 + y1 x = 2x1 + y1
33 y − x1 y = −x1
B. y = − 7 x + 2
33 Jadi persamaan bayangannya adalah :
C. y = 7 x + 2 ( )−x1 = 3 2x1 + y1 + 2 −x = 6x + 3y + 2
33
3y = −7x − 2 y = − 7 x − 2
D. y = − 3 x + 2 33
73
KUNCI : A
E. y = 3 x + 2 Pembahasan :
73
2. Persamaan bayangan kurva y = 4x2 + 4x −1 x1 2 0 x x1 = 2x x = 1 x1
y1 0 y = 2y y = 2 y1
oleh dilatasi dengan pusat (0, 0) dan faktor = 1
2 2
−3 y1
skala 2 dilanjutkan translasi T = −1 adalah
1 1 2 1
... Bayangan I yaitu : 2 y1 = 4 2 x1 + 4 2 x1 −1
A. y = 2x2 −16x − 28 1 y = x2 + 2x −1 y = 2x2 + 4x − 2
B. y = 2x2 −16x − 27 2
C. y = 2x2 +16x + 28 x1 = x − 3 x = x1 +3
D. y = 2x2 +16x + 29 y1 y − 1 y = y1 +1
E. y = 2x2 +16x + 27
Jadi persamaan bayangan II adalah :
( ) ( )y1 +1 = 2 x1 + 3 2 + 4 x1 + 3 − 2
( )y = 2 x2 + 6x + 9 + 4x +12 − 3
y = 2x2 +12x +18 + 4x + 9
y = 2x2 +16x + 27 KUNCI : E
Pembahasan :
3. Persamaan bayangan dari garis 3x + 2y + 5 = 0 x1 = 0 −1 0 −1 x
y1 1
oleh transformasi pencerminan terhadap garis 0 −1 0 y
y = −x dilanjutkan dengan rotasi sebesar 900
dengan pusat O (0, 0) berlawanan arah putar x1 = 1 0 x = x x = x1
y1 0 −1 y −y y = − y1
jarum jam adalah ....
A. 3x + 2y − 5 = 0
B. 3x − 2y − 5 = 0 Jadi persamaan bayangannya adalah :
3x1 − 2 y1 + 5 = 0 3x − 2 y + 5 = 0
C. 3x − 2y + 5 = 0 KUNCI : C
D. 2x − 3y − 5 = 0 140 E. 2x − 3y + 5 = 0
E. 2x − 3y + 5 = 0
Pembahasan :
4. Persamaan bayangan lingkaran x2 + y2 = 4 x1 = 2.2 − x x1 = 4 − x x = 4 − x1
bila dicerminkan terhadap garis x = 2 dan y1 y y = y1
−3
T = 4 adalah... Maka bayangan I adalah :
4 − x1 2 + y1 2 = 4 16 −8x +
( ) ( )dilanjutkan
dengan translasi
x2 + y2 = 4
A. x2 + y2 − 2x − 8y +13 = 0 x2 + y2 − 8x +12 = 0 dan
B. x2 + y2 + 2x − 8y +13 = 0
C. x2 + y2 − 2x + 8y +13 = 0 x1 = x − 3 x1 = x − 3 x = x1 + 3
D. x2 + y2 + 2x + 8y +13 = 0 y1 y + 4 y1 = y + 4 y = y1 − 4
E. x2 + y2 + 8x − 2 y +13 = 0
Jadi bayangan II adalah :
( ) ( ) ( )x1 + 3 2 + y1 − 4 2 −8 x1 + 3 +12 = 0
x2 + 6x + 9 + y2 − 8y +16 − 8x − 24 +12 = 0
x2 + y2 − 2x − 8y +13 = 0 KUNCI : A
5. Titik K (2, −1) dicerminkan terhadap sumbu X Pembahasan :
kemudian dilanjutkan dengan pencerminan x1 = 1 0 x x1 = x x = x1
terhadap garis x = −1 menghasilkan bayangan y1 0 −1 y y1 −y y = − y1
K 1 , Koordinat titik K 1 adalah .... Bayangan I :
A. (−4,1) K (2, −1) → K1 (2, −(−1)) K1 (2,1)
B. (0,1) x1 = 2.( −1) − x = −2 − x x1 = −2 − x
C. (2, −1) y1 y y1 =y
y
D. (−6,1) x = −2 − x1 jadi bayangan II adalah :
E. (6, −1) y = y1
K (2,1) → K1 (−2 − 2,1) K1 (−4,1)
KUNCI : A
6. Bayangan garis 2x − y +1 = 0 oleh Pembahasan :
2 3 x1 = −1 02 3 x = −2 −3 x
y1 0 2 y 1
transformasi 1 2 dilanjutkan refleksi 1 1 2 y
x1 x1 y1
terhadap sumbu Y adalah .... x = 1 2 3 y1 = − 2 x1 + 3 y1
−2 − − 2
A. 5x − 8y = 1 y −4 + 3 −1
B. 5x − 8y +1 = 0 x −2x1 − 3y1
x1 + 2 y1
C. 5x + 8y =1 y = Jadi bayangannya adalah :
D. 5x + 8y +1 = 0
( ) ( )2 −2x1 − 3y1 − x1 + 2 y1 +1 = 0
E. 8x − 5y = 1
−4x − 6y − x − 2y +1 = 0 −5x − 8y +1 = 0
5x + 8y −1 = 0 5x + 8y = 1 KUNCI : C
141
7. Persamaan bayangan garis y = 2x − 3 karena Pembahasan :
refleksi terhadap garis y = −x dan dilanjutkan x1 = 0 1 0 −1 x = −1 0 x
refleksi terhadap garis y = x adalah .... y1 1 y 0 −1
0 −1 0 y
A. y + 2x − 3 = 0 x1 = −x x = − x1 Jadi persamaan
B. y − 2x − 3 = 0 y1 −y y = − y1
C. 2y + x − 3 = 0
D. 2y − x − 3 = 0 bayangannya adalah :
E. 2y + x + 3 = 0
( )− y1 = 2 −x1 − 3 − y = −2x − 3 y = 2x + 3
y − 2x −3 = 0 KUNCI : B
8. Bayangan kurva y = x2 − 3 , jika dicerminkan Pembahasan :
x1
terhadap sumbu X dilanjutkan dengan dilatasi y1 = 2 01 0 x = 2 0 x
yang berpusat di O(0,0 ) dan faktor skala 2 0 −1 y 0
2 0 −2 y
adalah .... x1 = 2x x = 1 x1 Jadi persamaan
A. y = 1 x2 − 6 y1 −2 y 2
2
B. y = 1 x2 + 6 y = − 1 y1
2 2
C. y = − 1 x2 + 6 bayangannya adalah :
2
− 1 y1 = 1 x1 2 − 3 − 1 y = 1 x2 − 3
D. y = − 1 x2 − 6 2 2 2 4
2
−2y = x2 −12 y = − 1 x2 + 6
E. y = 1 x2 − 6 2
4
KUNCI : C
9. Titik A1 (3, 4) dan B1 (1, 6) merupakan Pembahasan :
bayangan titik A(2,3) dan B (−4,1) oleh 3 1 = 0 1 a b2 −4
6 −1 1
a b 4 0 1 3 1
transformasi T1 = 0 1 yang diteruskan =
0 1 2 −4 = 3 1
−a +1 1 − 3b 4a − b +1
T2 = 0 1 −b 3 −2a + 3
1 . Bila koordinat peta titik C oleh
−1 Artinya :
transformasi T2 T1 adalah C1 (−5, −6) ,maka −2a − 3b + 3 = 4 2a + 3b = −1...............(1)
4a − b +1 = 6 4a − b = 5 ......................(2)
koordinat titik C adalah .... Dari (1) dan (2) didapat
Sn = 22n+1 − 2
A. (4,5) (1) 2 4a + 6b = −2
B. (4, −5)
C. (−4, −5) (2)1 4a − b = 5 -
D. (−5, 4) 7b = −7 b = −1 a =1
E. (5, 4) Jadi −5 = 0 1 1 −1 x = 0 1 x
1 0 y −1
−6 −1 1 2 y
−5 = −x y 2y + 2 y = −6 y = −5 = −6 x = −4
−6 + −x −x −10
Jadi koordinat titik C adalah (−4, −5)
142 KUNCI : C
10. Diketahui garis g dengan persamaan Pembahasan :
y = 3x + 2 . Bayangan garis g oleh
x1 = 0 −1 1 0 x
pencerminan terhadap sumbu X dilanjutkan y1 1 −1
rotasi terhadap O sebesar radian adalah .... 0 0 y
2 x1 = 0 1 x x1 = y
A. 3x + y + 2 = 0 y1 1 0 y = x
B. 3y − x − 2 = 0 y1
C. 3x − y − 2 = 0
D. 3y − x + 2 = 0 Jadi persamaan bayangannya adalah :
E. −3x + y − 2 = 0 x1 = 3y1 + 2 x = 3y + 2 3y − x + 2 = 0
KUNCI : D
11. Lingkaran yang berpusat di ( 3, -2 ) Pembahasan :
dan berjari-jari 4 diputar dengan
R 0,900 kemudian dicerminkan x1 = 1 0 0 −1 3
terhadap sumbu X .Persamaan y1 0 −1
bayangannya adalah .... 1 0 −2
A. x2 + y2 − 4x + 6 y − 3 = 0
x1 = 0 −1 3 = 2
B. x2 + y2 + 4x − 6 y − 3 = 0 y1 −1 −2 −3
0
C. x2 + y2 + 6x − 4 y − 3 = 0
Maka Pusat lingaran yang dicari adalah :
D. x2 + y2 − 6x + 4 y − 3 = 0
( 2, -3 ) Jadi persamaan bayangannya
E. x2 + y2 + 4x − 6 y + 3 = 0 adalah :
( x − 2)2 + ( y + 3)2 = 42
x2 − 4x + 4 + y2 + 6 y + 9 −16 = 0
x2 + y2 − 4x + 6y −3 = 0 KUNCI : A
12. Titik ( 2, -4 ) dicerminkan terhadap Pembahasan :
garis y = -3 dilanjutkan dengan rotasi (2, −4) → y = −3 → (2, 2(−3) − (−4)) = (2, −2)
O, 300 . Hasilnya adalah ....
x1 1 3 − 1 2 3 +1
( )A. 1+ 3,−1+ 3 y1 2 2 −2 1 − 3
( )B. 1− 3,−1− 3 = 1 =
1 2 3
2
( )C. 1+ 3,1− 3 x1 = 1 + 3
( )D. −1+ 3,1− 3 y1 1 − 3
( )E. −1+ 3,−1− 3 ( )Jadi bayangannya adalah 1+ 3,1− 3
KUNCI : D
13. Bayangan titik A ( 2, -5 ) oleh gusuranPembahasan : Transformasi gusuran
searah sumbu X dengan faktor skala searah sumbu X dan faktor skala k
3 adalah ....
adalah 1 k jadi bayangan ttk A ( 2, -5 )
A. (2,1)
0 1
B. (2,11)
adalah : = x1 = 1 3 2 = 2 −15
C. (2, −2) y1 −5
0 1 0 −5
D. (17, −5) x1 = −13 A1 (−13, −5) KUNCI : E
E. (−13, −5) y1
−5
143
14. Bayangan garis x + 3y + 2 = 0 oleh Pembahasan :
transformasi yang berkaitan dengan
x1 = 1 22 3 x
y1 3
matriks 2 3 dilanjutkan matriks 4 1 2 y
2
1 x1 4 7 x
y1 10
1 2 adalah .... = 17 y ingat persamaan
3 4
matriks AX = B X = A−1B jadi :
A. 13x − 5y + 4 = 0 x 1 17 −7 x1
y − −10
B. 13x − 5y − 4 = 0 = 68 70 4 y1
C. −5x + 4y + 2 = 0
−17x1 + 7 y1
D. −5x + 4y − 2 = 0
x 17x1 − 7 y1
E. 13x − 4y + 2 = 0 y = − 1 −10x1 + 4 y1 = 2
2 10x1 − 4 y1
2
Jadi bayangannya adalah :
−17x1 + 7 y1 + 3 10 x1 − 4 y1 + 2 = 0
2 2
−17x + 7 y + 30x −12y + 4 = 0
13x − 5y + 4 = 0 KUNCI : A
15. Luas bayangan lingkaran Pembahasan : Jari-jari lingkaran adalah:
x2 + y2 + 6x − 8y +16 = 0 yang
( )r = 1 62 + (−8)2 −16 = 25 −16 = 3
ditransformasikan oleh matriks 4
Jadi luas lingkaran adalh :
4 −1 adalah ....
L = r2 = (3)2 = 9
−2 1
Jadi luas lingkaran hasil transformasi
A. 9 adalah :
B. 10 L1 = L 4 −1 = 9 (4 − 2) = 18
C. 18 −2 1
D. 50 KUNCI : C
E. 54
144
22. BARISAN & DERET
a. BARISAN ARITMETIKA DAN GEOMETRI
U1, U2, U3, … ,Un adalah barisan suatu bilangan yang memiliki ciri khusus sebagai berikut
Barisan Ciri utama Rumus suku ke-n Suku tengah Sisipan k
bilangan
Ut = 1 (a + U2k – 1) , k y−x
2 k +1
Aritmetika Beda b = Un – Un – 1 Un = a + (n – 1)b bbaru =
letak suku tengah,
banyaknya suku 2k–1
Geometri Rasio r = U n Un = arn–1 Ut = a Un , dengan rbaru = k +1 y
t = ½(n + 1) x
U n−1
Catatan :
1. x dan y adalah dua buah bilangan yang akan di sisipkan k buah bilangan
2. U1 = a = suku pertama suatu barisan
3. Pada barisan aritmetika berlaku Um – Uk = (m – k)b
b. DERET ARITMETIKA DAN GEOMETRI
U1 + U2 + U3 + … + Un adalah penjumlahan berurut (deret) suatu barisan dengan ciri khusus sbb
Deret Jumlah n suku pertama
Sn = 1 n(a + Un) ……………jika a dan Un diketahui
2
Aritmetika
= 1 n(2a + (n – 1)b) …………..jika a dan b diketahui
2
Sn = a(r n −1) ………………… jika r > 1
r −1
Geometri
= a(1 − r n ) …………………jika r < 1
1− r
Catatan:
1. Antara suku ke-n dan deret terdapat hubungan yaitu :
• Un = Sn – Sn – 1
• U1 = a = S1
2. Terdapat deret takhingga suatu barisan geometri yaitu:
• S = a r
1−
145
SOAL-SOAL PEMBINAAN KELAS XII IPA
Barisan dan Deret
1. Suatu barisan geometri : 16, 8, 4, 2, ...., maka Pembahasan :
jumlah n suku pertama adalah .... Dik : a =16 , r = 1 Dit : Sn = ....
A. 2n−5 − 32 2
B. 25−n − 32 16 − 1 n
1 2
C. 32 − 25−n ( )a 1− rn
D. 32 − 2n−5 Sn = 1− r = 1− 1
E. 32 − 1 5−n 2
2
( )= 32 1− 2−n = 32 − 32.2−n
= 32 − 25.2−n = 32 − 25−n KUNCI : C
2. Adit menabung di setiap bulan di sebuah Pembahasan :
bank.Pada bulan pertama Adit menabung Dik : a = Rp 80.000,00 ; b = Rp 5.000,00 dan
sebesar Rp 80.000,00 dan pada bulan-bulan
berikutnya uang yang ditabung selalu n =12 ( krn 1 tahun = 12 bulan )
Dit : S12 = ....
Rp 5.000,00 lebih besar dari uang yang uang S12 = 12 (280 +115)
ditabung pada bulan sebelumnya. Jumlah 2
tabungan Adit selama satu tahun adalah.... = 6(160 + 55) = 6(215) = 1290
A. Rp 1.015.000,00
B. Rp 1.150.000,00 Jadi jumlah uang tabungan Adit selama satu tahun
C. Rp 1.290.000,00 adalah Rp 1.290.000,00
D. Rp 1.320.000,00 KUNCI : C
E. Rp 1.340.000,00
3. Sebuah zat radioaktif meluruh menjadi Pembahasan :
setengahnya dalam waktu 2 jam. Jika pada Dik : a = 1.600 , r = 1 dan n = 5 ( karena dari
pukul 06.00 massa zat tersebut 1.600 2
gram,massa zat yang tersisa pada pukul 14.00 pukul 06.00 – 14.00 ) yaitu : 06.00 – 08.00 – 10.00
adalah .... – 12.00 – 14.00
A. 100 gram Dit : Un = ....
B. 50 gram
C. 25 gram Un = ar n−1 U5 = 1.600 1 4 = 1.600 1 = 100
D. 12,5 gram 2 16
E. 6,25 gram Jadi massa zat yang tersisa pada pukul 14.00
adalah 100 gram KUNCI : A
4. Diketahui barisan bilangan 6, 24, 96, 384,... Pembahasan :
Rumus jumlah n suku pertamabarisan tersebut Dik : a = 6 ; r = 4 Dit : Sn = ....
adalah .... a (rn −1) 6(4n −1)
A. Sn = 22n+1 − 2
Sn = r −1 = 4 −1
B. Sn = 2.22n −1
( )= 2 22n −1 = 2.22n − 2 = 22n+1 − 2
C. Sn = 3.2n −1
KUNCI : A
D. Sn = 6.22n −1
E. Sn = 6.22n − 6
146
5. Seutas tali dipotong-potong menjadi 6 bagian Pembahasan :
dengan panjang bagian-bagian tersebut Dik: a = 3 ; r = 2 dan n = 6
membentuk barisan geometri dengan rasio 2 . Dit : S6 = ....
Jika panjang bagian terpendek 3 cm, panjang
( ) ( )tali sebelum dipotong adalah ....
A. 195 cm
a rn −1 3 26 −1
Sn = r −1 S6 = 2 −1
B. 192 cm S6 = 3(64 −1) = 189 cm
C. 189 cm
D. 186 cm Jadi panjang tali sebelum dipotong adalah 189 cm
E. 180 cm KUNCI : C
6. Diketahui suku ke-3 dan suku ke-8 suatu Pembahasan :
barisan aritmetika berturut-turut adalah 2 dan Dik : U3 = 2 a + 2b = 2 Dit : S20 = ....
-13 . Jumlah 20 suku pertama deret tersebut
U8 = −13 a + 7b = −13 --
adalah .... −5b =15 b = −3
A. – 580
a=8
B. – 490
20
C. – 440 Jadi S20 = 2 (16 +19(−3)) = 10 (16 − 57)
D. – 410
E. – 380 = 10(−41) = −410 KUNCI : D
7. Sebuah bola dipantul dari ketinggian 12 meter. Pembahasan :
Setiap kali memantul ,bola mencapai Pola bilangannya adalah sbb :
ketinggian 2 tinggi sebelumnya . Panjang 12 + 2 8 + 16 + 32 + ...
3 3 9
lintasan bola sampai berhenti adalah .... Jadi panjang lintasan bola sampai
A. 40 meter
B. 50 meter Berhenti adalah :
C. 60 meter
D. 70 meter 12 + 2S = 12 + 2 1 a r dst
E. 80 meter −
Deret geometri tak hingga
dengan a = 8; r = 2 akibatnya
3
= 12 + 2 8 2 = 12 + 2 8 = 12 + 2 ( 24 )
− 1
1
3 3
=12 + 48 = 60 meter KUNCI : C
8. Tempat duduk gedung pertunjukan film diatur Pembahasan :
mulai dari baris depan ke belakang dengan Dik : a = 20 ; b = 4 dan n = 15
banyak baris di belakang lebih 4 kursi dari Dit : S15 = ....
baris di depannya . Bila dalam gedung
pertunjukan terdapat 15 baris kursi dan baris Jadi Kapasitas gedung adalah :
terdepan ada 20 kursi, kapasitas gedung
pertunjukan tersebut adalah .... S15 = 15 (2.20 +14.4) = 15 (40 + 56)
2 2
A. 1.200 kursi
B. 800 kursi = 15 (96) =15(48 = 720) kursi
2
C. 720 kursi KUNCI : C
D. 600 kursi
E. 300 kursi 147
9. Andi menempuh perjalanan dari kota A ke Pembahasan :
kota B dengan bersepeda . Pada hari pertama Dik : a = 20 ; r = 3 dan n = 4
Andi menempuh jarak 20 km. Pada hari-hari 2
berikutnya Andi menempuh jarak 3 kali jarak Dit : S4 = ....
2 Jadi jarak yang ditempuh Andi adalah :
yang ditempuh pada hari sebelumnya. Jarak
yang Andi tempuh sampai dengan hari 20 3 4 20 81 −1
keempat adalah .... 2 −1 16
S4 = =
A. 262,5 km 3 −1 1
B. 200 km
C. 180 km 22
D. 162,5 km
E. 95 km = 40 81 − 16 = 5 (65) = 162, 5 KUNCI : D
16 2
10. Di sisi barat suatu jalan berjajar 6 pohan yang Pembahasan :
tingginya terurut menurut barisan geometri. Dik : a = 1 , U6 = 16 Dit : S6 = ....
Jika tinggi pohon terendah adalah 1 m dan 2
2 Un = ar n−1 U6 = 16 1 r5 = 16
yang tertinggi 16 m, total tinggi pohon-pohon 2
tersebut adalah ... r5 = 32 r5 = 25 r = 2 Jadi total tinggi
A. 24 m pohon-pohon tersebut adalah :
B. 26,5 m ( )1 26 −1 = 1 (64 −1) = 63 = 31,5 m
C. 28 m
D. 31 m S6 = 2 2 −1 22
E. 31,5 m
KUNCI : E
11. Diketahui 1+3+5+7+... = 225, maka Pembahasan :
suku ke- n deret tersebut adalah....
A. 45 Dari soal dik: a =1 , b = 2 dan Sn = 225
dan merupakan deret aritmetika shg:
B. 35
C. 31 Sn = n (2a + (n −1)b) n (2 + (n −1) 2) = 225
2 2
D. 29
E. 27 n (2 + 2n − 2) = 450 2n2 = 450
n2 = 225 n = 225 = 15 ( karena n
bilangan asli ,maka n = 15 ) Jadi :
Un = a + (n −1)b U15 = 1+14(2)
U15 = 1+ 28 = 29 KUNCI : D
12. Jika p = log 5 + log2 5 + log3 5 + ..., maka Pembahasan : Dari soal diketahui bahwa
ini merupakan deret geometri tak hingga
2p = ....
A. 2 dengan : a = log 5, r = log 5 maka :
B. log 5
C. log 2 p = S = a = log 5 = 10 log 5
D. 5 1− r 1− log 5 10 log10 −10 log 5
E. 2 log 5
p = 10 log 5 = 10 log 5 =2 log 5
10 log 10 10 log 2
5
Jadi 2 p = 22 log5 = 5
148 KUNCI : D
The words you are searching are inside this book. To get more targeted content, please make full-text search by clicking here.
03.Materi XII-IPA KTSP
Discover the best professional documents and content resources in AnyFlip Document Base.
Search