03.Materi XII-IPA KTSP

13. Diketahui deret aritmetika S5 = 35 dan Pembahasan :

S4 = 24 , maka U15 = .... S5 = 35  5 (2a + 4b) = 35  2a + 4b = 14 .....(1)
A. 11 2

B. 25 S4 = 24  4 (2a + 3b) = 24  2a + 3b = 12 .....(2)
C. 31 2

D. 33 b=2a=3

E. 59 Jadi U15 = a +14b = 3 +14(2) = 31

KUNCI : C

14. Selama 5 tahun berturut-turut Pembahasan : Dari soal diketahui :

jumlah penduduk kota A berbentuk U5 = 4  ar4 = 4.............................(1)
deret geometri. Pada tahun terakhir
=11
( )jumlah penduduknya 4 juta, sedang- 4

kan jumlah tahun pertama dan ketiga

( )sama dengan 1 1 juta . Jumlah
U1 +U3  a + ar2 = 5  1+ r2 a = 5
44
a= 5
4 1+ r2 ...............................(2)

4 Dari (1) dan (2) didapat :

penduduk kota A pada tahun

keempat adalah .... ( ) 5 r4 = 4  5r4 = 16 1+ r2
( )4 1+ r2
A. 1,50 juta
B. 1,75 juta ( )( ) 5r4 −16r2 −16 = 0  5r2 + 4 r2 − 4 = 0
C. 2,00 juta

D. 2,25 juta  r2 = −4 ( tdk memenuhi )
E. 2,50 juta 5

 r2 = 4  r = 2  a = 5 = 1
4
4(5)

Jadi U4 = ar3 = 1 (2)3 = 2 Jadi jumlah

4
penduduk kota A pada tahun keempat

adalah 2,00 juta KUNCI : C

15. Jumlah deret aritmetika : Pembahasan :
2 + 5 + 8 + ... + k = 345, maka k = .... Dari soal diketahui bahwa :

A. 15 a = 2 ;b = 3; Un = k & Sn = 345

B. 25 Maka : Un = a + (n −1)b

C. 44 k = 2 + (n −1)3  k = 3n −1  n = k +1 .....(1)
D. 46
E. 47 3
k +1

Sn = n (U1 +Un )  3 (2 + k ) = 345
2 2

 (k +1) (2 + k ) = 345

6

 (k +1)(k + 2) = 2070  k 2 + 3k + 2 − 2070 = 0

 k 2 + 3k − 2068 = 0  (k + 47)(k − 44) = 0

Jadi k = - 47 atau k = 44
KUNCI : C

149

23. FUNGSI EKSPONEN DAN LOGARITMA
A. Persamaan Eksponen

Untuk a > 0, a  1; b > 0, b  1, maka berlaku
1. Jika af(x) = ap, maka f(x) = p
2. Jika af(x) = ag(x), maka f(x) = g(x)
3. Jika af(x) = bf(x), maka f(x) = 0
4. Jika {h(x)}f(x) = {h(x)}g(x), maka

a) f(x) = g(x)
b) h(x) = 1
c) h(x) = 0 untuk f(x) > 0 dan g(x) > 0
d) h(x) = – 1 untuk f(x) dan g(x) keduanya ganjil atau keduanya genap

   5. Jika A af (x) 2 + B af (x) + C = 0 , maka dapat diselesaikan secara persamaan kuadrat.

B. Pertidaksamaan Eksponen
▪ Untuk a > 1

1. Jika af(x) > ag(x), maka f(x) > g(x)

2. Jika af(x) < ag(x), maka f(x) < g(x) Tanda pertidaksamaan tetap
▪ Jika 0 < a < 1

1. Jika af(x) > ag(x), maka f(x) < g(x)

2. Jika af(x) < ag(x), maka f(x) > g(x) Tanda pertidaksamaan berubah

C. Persamaan Logaritma
Untuk a > 0, a  1; f(x) > 0, g(x) > 0
1. Jika alog f(x) = alog p, maka f(x) = p
2. Jika alog f(x) = alog g(x), maka f(x) = g(x)

D. Pertidaksamaan Logaritma
▪ Untuk a > 1

1. Jika alog f(x) > alog g(x), maka f(x) > g(x)

2. Jika alog f(x) < alog g(x), maka f(x) < g(x) Tanda pertidaksamaan tetap
▪ Jika 0 < a < 1

1. Jika alog f(x) > alog g(x), maka f(x) < g(x)

2. Jika alog f(x) < alog g(x), maka f(x) > g(x) Tanda pertidaksamaan berubah

150

SOAL-SOAL PEMBINAAN KELAS XII IPA

Persamaan dan Pertidaksamaan Eksponen Pembahasan :
1. Akar-akar persamaan eksponen
32x −10.3x.3 + 81 = 0  32x − 30.3x + 81 = 0
32x −10.3x+1 + 81 = 0 adalah x1 dan x2 . Jika
 (3x − 27)(3x − 3) = 0
x1  x2 maka nilai x1 − x2 = ....
A. – 4  3x = 27 atau 3x = 3
B. – 2
C. 2 3x = 33  x = 3 atau 3x = 31  x = 1
D. 3
E. 4  x1 = 3 atau x2 = 1

Jadi x1 − x2 = 3 −1 = 2 KUNCI : C

2. Akar-akar persamaan 4x −12.2x + 32 = 0 Pembahasan :
adalah x1 dan x2 . Niali x1x2 = ....
4x −12.2x + 32 = 0  22x −12.2x + 32 = 0
A. 3
B. 6  (2x −8)(2x − 4) = 0
C. 8
D. 12  2x = 8 atau 2x = 4
E. 32
 2x = 23  x = 3 atau 2x = 22  x = 2

Jadi x1x2 = 3.2 = 6 KUNCI : B

3. Akar-akar persamaan 3x+1 + 31−x = 10 adalah p Pembahasan :

dan q . Jika p  q , nilai 3p − 2q = .... 3x+1 + 31−x = 10  3.3x + 3 = 10
A. – 5 3x

B. – 3  3.32x + 3 = 10.3x  3.32x −10.3x + 3 = 0

C. – 1  (3.3x −1)(3x − 3) = 0

D. 1  3x = 1 atau 3x = 3
E. 3 3

 x = −1 atau x =1 karen p  q  p = −1 dan

q =1

Jadi 3p − 2q = 3(−1) − 2(1) = −3 − 2 = −5

KUNCI : A

4. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan Pembahasan :
22x − 6.2x + 8  0 adalah ....
A. −1 x  2 ( )( )22x − 6.2x + 8  0  2x − 2 2x − 4  0
B. 0  x  2
C. 1 x  2 Pembuat nol :
D. 2  x  4 2x = 2 atau 2x = 4
E. x  2 atau x  4
+++++++++++ --------------------------+++++++++
24

Jadi HP adalah : 2  2x  4  21  2x  22

1 x  2 KUNCI : C

151

5. Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan Pembahasan :
9x − 4.3x+1 + 27  0 adalah .... 9x − 4.3x+1 + 27  0  32x − 4.3x.3 + 27  0
A. 1 x  2
B. 2  x  3 ( )( ) 32x −12.3x + 27  0  3x − 3 3x − 9  0
C. 3  x  9
D. x  2 atau x  1 Pembuat nol :
E. x  9 atau x  3  3x = 3 atau 3x = 9

6. Penyelesaian dari 5−2x+2 + 74.5−x − 3  0 ++++++++++ ------------------------+++++++++++
adalah .....
A. x  −3 atau x  1 39
25 Jadi nilai x yang memenuhi adalah :
B. −3  x  1
25 3  3x  9  31  3x  32
C. x  2
D. x  2 1 x  2 UNCI : A
E. x  −2
Pembahasan :
5−2x+2 + 74.5−x − 3  0  25.5−2x + 74.5−x − 3  0

( )( ) 25.5−x −1 5−x + 3  0

Pembuat nol :
 5−x = 1 atau 5−x = −3

25

++++++++++-------------------+++++++++++++++

−3 1

25

Jadi penyelesaiannya adalah :
 5−x  −3 ( tdk memenuhi ) atau
5−x  1  5−x  5−2  −x  −2  x  2

25
KUNCI : C

7. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan Pembahasan :

eksponen 92x−4   1 x2 −4 adalah .... 92x−4   1 x2 −4  32( 2 x −4)  3−3(x2 −4)
 27   27 

A. x / −2  x  10  Karena a 1 maka 2(2x − 4)  −3( x2 − 4)
 
3   4x − 8  −3x2 +12  3x2 − 4x − 20  0

B.  x / − 10  x  2  (3x −10)( x + 2)  0 pembuat nol
 3 
 x = 10 atau x = −2
C.  x / x  − 10 atau x  2 3
 3 

+++++++++++ --------------------+++++++++++++
 10 
D.  x / x  −2 atau x  3 
 
−2
E. x / − 10  x  −2 Jadi HP adalah :
 3 
HP = x / x  −2 atau x  10  KUNCI : D
 3 

152

8. Himpunan penyelesaian dari 2  23x2 +x−12 x+1 Penyelesaian :
23x2 +x−1  22x+1  3x2 + x −1  2x +1
adalah .....
 3x2 − x − 2  0  (3x + 2)( x −1)  0
A. x / x −1 atau x  2
  Pembuat nol
3  x = − 2 atau x =1

B.  x / x  − 2 atau x  1 3
 3  ++++++++++++ -----------------+++++++++++++


C. x / x  2 atau x  1
 3 
−2 1
D.  x / − 2  x  1 3
 3 
 Jadi HP =  x / − 2  x  1 KUNCI : D
 3 
E.  x / −1  x  2
 
 3 

9. Nilai 1 yang memenuhi persamaan Pembahasan :
x

 1 x−2 1 125 x−2 1  5− 5  1
2 54− x 2 2 
=  1  125 x−  125 
 5  adalah .... = 54− x =  54− x  2

A. 2  5 

1

B. 1 ( )−x+5 1
2 2
5 2
=  53 x 2 − x+ 5 = 53−( 4− x )
 54− 
  5 2

C. 1  −x + 5 = −1+ x  −2x + 5 = −1+ x
3 22

D. − 1 3x = 6  x = 2
2
Jadi nilai dari 1 = 1
E. – 2 x2

KUNCI : B

10. Diketahui 22x + 2−2x = 23 , nilai 2x + 2−x = .... Pembahasan

A. 21 ( ) 2x + 2−x 2 = 22x + 2.2x.2−x + 2−2x

B. 24 ( )= 22x + 2−2x + 2.20 = 23 + 2 = 25

C. 5  2x + 2−x = 25 = 5
KUNCI : C

D. 21

E. 25

11. Jumlah semua nilai x yang Pembahasan :

memenuhi persamaan ( )9 + 9x2−3x+1 x2 −3x
= 20 −10 3x2 −3x
( )9 + 9x2−3x+1 x2 −3x
= 20 −10 3x2 −3x adalah ....
( ) 9.9x2 −3x + 9x2 −3x = 20 −10 3x2 −3x
A. 0
( ) 9.32x2 −6x + 32x2 −6x = 20 −10 3x2 −3x
B. 1
C. 2 ( ) 10.32x2−6x = 20 −10 3x2−3x
D. 3
 32x2 −6x = 2 − 3x2 −3x  32x2 −6x + 3x2 −3x − 2 = 0
E. 4

153

Misal : 3x2 −3x = p  p2 + p − 2 = 0

 ( p + 2)( p −1) = 0  p = −2  p = 1

Jadi untuk :

p = −2  3x2−3x = −2 ( tdk memenuhi )

p = 1  3x2 −3x = 1  3x2 −3x = 30

 x2 − 3x = 0  x( x − 3) = 0  x = 0  x = 3

Jadi x1 + x2 = 0 + 3 = 3 KUNCI : D

12. Untuk x dan y yang memenuhi Pembahasan :

sistem persamaan  5x−2 y+1 = 25x−2 y  5x−2 y+1 = 25x−2 y  5x−2 y+1 = 52x−4 y
 4x− y+2 = 32x−2 y+1  22x−2 y+4 = 25x−10 y+5
4 x − y+ 2 = 32x−2 y+1

maka nilai x.y = ....   x− 2y +1= 2x − 4 y x −2y =1
2x −2y + 4 = 5x −10 y + 5 3x −8y =
A. 6 −1

B. 8 Dari dua persamaan terakhir didapat :

C. 10    3x − 6y = 3  =  =  =
 3x − 8y = −1
D. 15 2y 4 y 2 x 5

E. 20 Jadi x.y = 5.2 = 10 KUNCI : C

13. Nilai dari 162 log3 + 3 log 1 − 33 log 2 = .... Pembahasan :
22 log3
27 2

A. 36 4 2 log 3 + 3 log 1 − 33 log2 = ....
25 22 log3
16 27 2

3.3 log 1 
B. 4516 = 2 + 3 − 24.2 log3 2 
21
3

C. 62 2 = 2 + 3 − 22 log34 3 log 1 3
5 2 

D. 79 8 3
13
= 34 +  1 3 − 2 = 81+ 1 − 2
 2  3 8 3
E. 80 11
24 = 81.24 +1.3 − 2.8 = 1944 + 3 −16
24 24

= 1931 = 80 11 KUNCI : E
24 24

14. Jika x1 dan x2 adalah akar-akar Pembahasan :

persamaan x2+logx = 1000 ,maka x1.x2 = .... x2+logx = 1000  log x(2+logx) = log1000

A. 1  (2 + log x) log x = 3  2 log x + log2 x = 3

100  log2 x + 2log x − 3 = 0
B. 1
10  (log x + 3)(log x −1) = 0

C. 1  log x = −3  log x = 1

D. 10  x = 10−3 atau x = 101

E. 100 Jadi x1.x2 = 10−3.101 = 10−2 =1 KUNCI : A
100
154

15. Himpunan penyelesaian dari Pembahasan :
42x−1 − 3.4x + 8  0 adalah ....
42x−1 − 3.4x + 8  0  1 .42x − 3.4x + 8  0
A. x / x −1 atau x 3 4
 
2  ( )( ) 42x −12.4x + 32  0  4x − 4 4x − 8  0

B. x / x  0 atau x  −1 Pembuat nol : 4x = 4 atau 4x = 8
+++++++++++ -----------------++++++++++
C. x / x  1 atau x  3
2 
48
D.  x / 1  x 3 Jadi 4  4x  8  22  22x  23
 
 2 
 2  2x  3 1 x  3
E. x / 0  x  1 2

Jadi HP =  x / 1  x  3 KUNCI : D
 2 

Persamaan dan Pertidaksamaan Logaritma

1. Nilai x yang memenuhi 3 log 9x−3 = 3 adalah Pembahasan :

.... ( )3 log 9x−3 = 3  9x−3 = 3
A. 3,25
3
B. 3,50
 32(x−3) 3  2( x − 3) = 3
C. 3,75
= 32 2

 4( x − 3) = 3  4x −12 = 3  4x = 15

D. 4,00  x = 15 = 3 3 = 3,75 KUNCI : C
E. 4,25 44

2. Nilai x yang memenuhi persamaan Pembahasan :

2 log2 (2x − 2) −2 log (2x − 2) = 2 adalah .... 2 log2 (2x − 2) −2 log (2x − 2) = 2

A. x = 6 atau x = 2 1 2 log2 (2x − 2) −2 log (2x − 2) − 2 = 0
2
  2 log (2x − 2) +1  2 log (2x − 2) − 2 = 0
B. x = 6 atau x = 3 2 log (2x − 2) = −1 atau 2 log (2x − 2) = 2

C. x = 3 atau x = 4  (2x − 2) = 2−1 atau (2x − 2) = 22

D. x = 3 atau x =11  2x − 2 = 1  2x = 5  x = 5 = 11 atau
4 2 2 44

E. x = 4 atau x = 6

 2x −2 = 4  2x = 6  x = 3

Jadi x = 3 atau x =11 KUNCI : D
4

155

3. Nilai x yang memenui Pembahasan : Syarat

( ) ( )1 1 I. x + 3  0  x  − 3

3 log x + 3 +3 log x − 3  0 adalah .... II. x − 3  0  x  3

A. x  − 3 atau 0  x  2 ( )( )1 1
B. −2  x  − 3 atau 3  x  2
C. 3  x  2 III. 3 log x + 3 x − 3 3 log1 Karena
D. −2  x  2
E. − 3  x  2 0  a 1 maka :

x2 −3 1 x2 − 4  0  (x − 2)(x + 2)  0

Pembuat nol :
x = −2 atau x = 2

+++++++++++ --------------------------+++++++

−2 2
Irisan ketiga syarat :

−3

3

−2 3 2

Jadi nilai x yang memenuhi adalah :

3x2 KUNCI : C

4. Penyelesaian dari Pembahasan : Syarat :

11 I. x2 − 3x + 2  0  ( x −1)( x − 2)  0

( )3 log x2 − 3x + 2 3 log (10 − x) adalah .... Pembuat nol : x =1 atau x = 2
++++++++++++
A. x  10 atau x  −2
B. 2  x  10 atau x  −2 12
C. 2  x  10 atau − 2  x  1  x  1 atau x  2
D. 4  x  10 atau x  −2
E. −2  x  4 atau x  10 II. 10 − x  0  x 10
III. Karena 0  a 1 maka

x2 − 3x + 2  10 − x  x2 − 2x − 8  0

 ( x − 4)( x + 2)  0 pembuat nol :

 x = 4 atau x = −2
+++++---------------------------------+++++++

−2 4

Irisan ketiga syarat :

12

10

−2 4 10
Jadi nilai x adalah : KUNCI : D
x  −2 atau 4  x  10

156

5. Penyelesaian pertidaksamaan Pembahasan :
3log x.1−x log 9  2 −1−x log 9 adalah .....
log x  2log 3 = 2 − 2log 3
A. 0  x  1 log 3
4 log (1− x) log (1− x)

B. 0  x  3 2 log x x ) = 2  − log 3 x) 
4 1 
log (1− log (1−
C. 1  x  3
44 (1−x) log x = 1−(1−x) log 3 (1−x) log x =(1−x) log 1− x
3
D. 1  x  1
4 Syarat :

E. 3  x  1 I. x  0
4
II. 1− x  0  x 1

III. x  1− x  3x  1− x  4x  1  x  1
34

Irisan ketiga syarat :

0

1

11

4
Jadi nilai x yang memenuhi adalah :

1  x 1 KUNCI : D
4

6. Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan Pembahasan :

log ( x − 3) + log ( x +1)  2log ( x + 2) adalah... Syarat : I. x − 3  0  x  3

A. x  3 II. x +1  0  x  −1
B. x  −1 III. x + 2  0  x  −2

C. x  −2 IV. log ( x − 3)( x +1)  log ( x + 2)2
D. − 7  x  3
x2 − 2x − 3  x2 + 4x + 4  −6x  7  x  7
6 6

Irisan keempat syarat :

E. − 7  x  −1 −2
6

−1

3

73
Jadi nilai x yang memen6uhi adalah : x  3

KUNCI : A
157

7. Penyelesaian dari Pembahasan : Syarat

11 I. x2 + 4x −12  p  ( x + 6)( x − 2)  0

( )4 log x2 + 4x −12 4 log (5x −10) adalah .... Pembuat nol : x = −6 atau x = 2

A. 0  x  2

B. −1 x  2 −6 2
C. x  2 atau x  −6 II. 5x −10  0  x  2
D. x  2 atau x  −1
E. x  2 III. x2 + 4x −12  5x −10

 x2 − x − 2  0  ( x − 2)( x +1)  0

Pembuat nol x = −1 atau x = 2

−1 2
Irisan ketiga sysrata :

−6 2

2

−1 2
Jadi Penyelesaiannya adalah : x  2 KUNCI : E

8. Penyelesaian dari Pembahasan : Syarat
I. 3x + 2  0  x  −2
11 3

( )6 log (3x + 2) 6 log x2 − 3x + 2 adalah .... II. x2 − 3x + 2  0  ( x −1)( x − 2)  0

A. − 2  x  6 Pembuat nol : x = 1 atau x = 2
3
12
B. 0  x  6 III. 3x + 2  x2 − 3x + 2  x2 − 6x  0
C. − 2  x  0 atau x  6
 x ( x − 6)  0 pembuat nol
3
D. 2  x  0 atau − 2  x  0 x = 0 atau x = 6

3 0 6
E. − 2  x  1 atau x  6 Irisan ketiga syarat:

3

−2
3

12

158 −2 0 6
KUNCI : C
3

Jadi penyelesaiannya adalah:
− 2  x  0 atau x  6

3

9. Penyelesaian pertidaksamaan Pembahasan :
3log x.x+2 log 9  2 −x+2 log 9 adalah ....
log x  2log 3 = 2 − 2log 3
A. x  1 log 3
2 log ( x + 2) log ( x + 2)

B. x 1 ( ) 2.x+2 log x = 2 1−x+2 log 3 x+2 log x = 1−x+1 log 3
C. 0  x 1
D. 0  x  1 x+2 log x =x+2 log ( x + 2) −x+2 log 3

2 x+2 log x =x+2 log x + 2 Syarat :
E. 1  x  1 3

2 I. x  0
II. x + 2  0  x  −2
III. x + 2  0  x + 2  0  x  −2

3
IV. x  x + 2  3x  x + 2  2x  2  x  1

3
Irisan keempat syarat :

0
−2

−2

10. Himpunan penyelesaian dari 1
Penyelesaiannya adalah :
3log ( x −1) +3 log ( x +1)  2 adalah ....
x 1 KUNCI : B
 A. x / − 10  x  10
 B. x /1 x  10 Pembahasan : Syarat
 C. x / 0  x  10 I. x −1  0  x 1
II. x +1  0  x  −1
D. x /1  x  2
III. 3log ( x −1)( x +1) 3 log 32
 E. x / 3  x  10
 x2 −1  9  x2 −10  0

 (x − 10)(x + )10  0

Pembuat nol : x = 10 atau x = − 10

− 10 10
Irisan ketiga syarat :

1

−1

− 10 1 10
KUNCI : B
Jadi HP adalah :

 159
HP = x /1 x  10

11. Jika x1 dan x2 adalah akar-akar Pembahasan :
persamaan
log ( x + 2)2 + log ( x + 2)3 = log 0,01,
log ( x + 2)2 + log ( x + 2)3 = log 0,01, maka  log ( x + 2)2 + 3log ( x + 2) = log10−2
nilai dari x1 − x2 = ....
 log( x + 2)2 + 3log ( x + 2) = −2
A. 0,9  log ( x + 2)2 + 3log ( x + 2) + 2 = 0
B. 0,11

C. 0,011  log ( x + 2) + 2log ( x + 2) +1 = 0
D. 0,09
 log ( x + 2) = −2  log ( x + 2) = −1
E. 0,009

 log ( x + 2) = −2  x + 2 = 10−2  x = 1 − 2

100

 x = 1− 200 = −199 atau
100 100

 log ( x + 2) = −1  x + 2 = 10−1  x = 1 − 2

10

 x = 1− 20 = −19 = −190
10 10 100

Jadi x1 − x2 = −190 + 199 = 9 = 0, 09
100 100 100

KUNCI : D

SOAL-SOAL PENGAYAAN

1. Jika x , y, z merupakan bilangan real Pembahasan :
tak negatif yang memenuhi Dari persamaan diketahui :
 zx = y2x  z = y2 , .......................(1)
 zx = y2x
 2z = 21+2x  z = 1+ 2x  x = z −1
persamaan  2z = 2.4x maka nilai 2

x + y + z = 16  x = y2 −1 ..................................(2)
2
x , y, z berturut-turut adalah ....
Maka x + y + z = 16  1 y2 − 1 + y + y2 = 16
A. 3 , 4, 9 22

B. 9 , 4, 3  y2 −1+ 2 y + 2 y2 = 32  3y2 + 2 y − 33 = 0

C. 4 , 9, 3  (3y +11)( y − 3) = 0

D. 3 , 9, 4

E. 4 , 3, 9

 y = −11 ( tdk memenuhi krn y  0 )
3

Jadi y = 3 , Untuk

y = 3  z = 9  x = 9−1 = 4
2

Jadi nilai x , y, z berturut-turut adalah

4 , 3, 9 KUNCI : E

160

2. Jika 0  b  a dan a2 + b2 = 6ab ,maka Pembahasan :
a + b adalah ....
a−b  a + b 2 = a2 + 2ab + b2 = a2 + b2 + 2ab
A. 2  a − b  a2 − 2ab + b2 a2 + b2 − 2ab
B. 3
Karena a2 + b2 = 6ab maka
C. 1
2  a + b 2 = 6ab + 2ab = 8ab = 2
 a − b  6ab − 2ab 4ab
D. 2
 a+b = 2 KUNCI : D
E. 1 2 a−b
2

3. Jika x  0 dan x2 + 1 = 7 , maka Pembahasan :
x2
1  1 2
1 x2 + x2 = 7   x 2 + x2  = 49
x5
x5 + = .....

A. 140  x4 + 2 + 1 = 49  x4 + 1 = 47 dan
x4 x4
B. 123
2
C. 116   x + 1  = x2 +2+ 1 =9 x+ 1 =3 dan
 x x2 x
D. 109

E. 102 1  1  1   1 
x3  x2   x   x 
x3 + = x 2 + x+ − x+

= 7.3− 3 = 21− 3 =18

Jadi x5 + 1 =  x4 + 1  x + 1  −  x3 + 1 
x5  x4   x   x 

= 47.3−18 =141−18 =123
KUNCI : B

4. Diketahui x − y = 10 dan xy = 10 . Nilai Pembahasan :

x4 + y4 adalah .... x2 + y2 = ( x − y )2 + 2xy

A. 14.020 = 102 + 2(10) = 120 maka
B. 14.120
C. 14.150 ( )x4 + y4 = x2 + y2 2 − 2x2 y2
D. 14.200
E. 14.250 = (120)2 − 2(10)2 = 14.400 − 200

= 14.200

KUNCI : D

5. Jika pernyataan ( p q) bernilai Pembahasan :

benar ,maka pernyataan berikut yang Karena pernyataan bernilai benar berarti
bernilai benar adalah ..... p = B & q = S shg dari tabel kebenaran

A. p  q diperoleh :

B. p  q pqSS =S pqBS =S

C. p  q pqBS =S pqS S =B

D. p  q p q  S  B = S
E. p q
Jadi pernyataan yang bernilai benar

adalah p  q KUNCI : D

161

6. Dari 50 orang siswa sebuah SMA 20 Pembahsan:

orang diantaranya gemar olah raga. Misal: SA B

Sedangkan diantara penggemar olah A= penggemar

raga ini terdapat 5 orang siswa yang Olah raga 15

juga gemar bermain musik. Jika B= Penggemar 5+ x = ?

ternyata diketahui juga 12 orang musik

siswa dikelas itu tidak gemar kedua- 12

duanya ,maka banyaknya penggemar Dik: n (S ) = 50
musik dikelas itu adalah ....
A. 15 orang n ( A) = 20 , n ( A B) = 5 dan n ( A B)c = 12

B. 18 orang Dit : n( B) = ....

C. 20 orang Maka n (S ) = n ( A B) + n ( A B)c
D. 23 orang

E. 38 orang  50 = n ( A) + n ( B) − n ( A B) + n ( A B)c

 50 = 20 + n( B) − 5 +12  n ( B) = 50 − 27 = 23

Jadi banykanya penggemar musik = 23

orang . KUNCI : D

7. Sebuah mobil meluncur dengan Pembahasan :
kecepatan 40 km selama satu jam,
kemudian pada jam-jam berikutnya V = d  d = V.t jadi :
dengan kecepatan 45 km, maka t
persamaan yang menyatakan jarak
yang telah ditempuh setelah t jam V1 = d1  d1 = 40.1  d1 = 40
t
(t  1) adalah....
V2 = d2  d2 = 45(t −1) = 45t − 45 maka
A. d = 45t − 40 t −1
B. d = 95t − 40
C. d = 45t − 5 d = d1 + d2 = 40 + 45t − 45
D. d = 95t − 5 d = 45t − 5
E. d = 75t + 5
KUNCI : C

8. Bentuk 4 49 − 20 6 dapat Pembahasan :
disderhanakan menjadi ....
A. 5 − 2 6 4 49 − 20 6 = 49 − 20 6
B. 3 − 2
C. 7 − 2 30 = 49 − 2 600 = (25 + 24) − 2 25.24
D. 7 − 2 6
E. 2 − 3 Ingat :  a − b = (a + b) − 2 ab

25 − 24 = 5 − 2 6 = (3 + 2) − 2 3.2

= 3− 2 KUNCI : B

162

lim 1  sin4 3a + sin2  = .... Pembahasan :
6a2 3a 
9. a→0  cos 2 3a 1  sin4 3a + sin2 3a cos2 3a 
  6a2  cos2 3a 
lim  
A. 3
2 a→0

( )= 1 lim sin2 3a
6 a→0
B. 3 sin2 3a + cos2 3a
4 a2

C. 1 = 1 lim sin2 3a = 1 lim sin 3a 3lim sin 3a 3
3 6 a→0 a2 6 a→0 3a x→0 3a

D. 0 = 1 1313 = 9 = 3 KUNCI : A
E.  6 62

10. Jika x dan y memenuhi sistem Pembahasan :
Persamaan diubah menjadi :
 3x − 5y+1 = 4
persamaan  = maka  3x − 5.5y = 4   3x − 5.5y = 4 3
−3x+1 1 y+1 3.3x − 5y+2 = 2 3.3x − 25.5y = 21
−2
+ 252

nilai xy + 2 adalah ....  3.3x −15.5y = 12  10.5y = 10  5y =1
A. 3 
 3.3x − 25.5y = 2
B. 4
 5y = 50  y = 0 untuk y = 0 , maka
C. 5
 3x − 5.50 = 4  3x − 5 = 4  3x = 9  x = 2
D. 6
Jadi xy + 2 = 20 + 2 = 1+ 2 = 3 KUNCI : A
E. 11

11. Fungsi f dan g ditentukan oleh Pembahasan :

( g f )( x) = 9x2 + 24x − 9 . Nilai dari g (5) g ( f ( x)) = 9x2 + 24x − 9  g (3x + 9) = 9x2 + 24x − 9

adalah .... Misal : 3x + 9 = y  x = y − 9 sehingga :
A. – 15 3

B. – 20 g ( y) = 9  y − 9 2 + 24  y −9  − 9
C. – 24  3   3 
D. – 25
g ( y) =  y2 − 18 y + 81  + 8y − 72 − 9
E. – 30 9 9 



 g ( y) = y2 −18y + 81+ 8y − 81 = y2 −10 y

 g ( x) = x2 −10x  g (5) = 25 − 50 = −25

KUNCI : D

12. Jika 2x + 3y − 3 = 0 dan y = k Pembahasan :
 23
 4x − y + 7 = 0 2x +3y = 3  y = Dy
4x − y = −7 D
4 −1

maka k = .... 2 3 = 14 −12 = 2 dan
A. – 26 k = Dy = 4 7

B. – 19 23
C. – 2 D = = −2 −12 = −14

D. 2 4 −1
E. 26
KUNCI : D

163

13. Jika f (x) = (10 x2 ; x  10 dan Pembahasan :
3
− 3x)2 ( f g)(x) = f (g (x)) = f (x + 2)

g ( x) = x + 2 ,maka nilai dari ( f g )−1 (9)  ( f g)(x) = ( x + 2)2 = ( x + 2)2
(10 − 3x − 6)2
adalah .... (10 − 3( x + 2))2

A. – 2 (f g)(x) = ( x + 2)2 misal ( f g)(x) = y
B. – 1 (4 − 3x)2
C. 0

D. 1   x+2 2 = y  x+2 = y  x + 2 = 4 y −3x y
E. 2  4 −3x  4 −3x

( ) 3x y + x = 4 y − 2  3 y +1 x = 4 y − 2

x = 4 y − 2  ( f )g −1 ( x) = 4 x − 2
3 y +1 3 x +1

Jadi  ( f g )−1 (9) = 4 9 − 2 = 12 − 2 = 10 = 1

3 9 +1 9 +1 10
KUNCI : D

14. Pada dasar sebuah tong terdapat 3 Pembahasan :
buah keran .Dari keadaan
penuh,dengan membuka keran Misal : keran = K1, K2 dan K3 maka
kecepatan keran mengosongkan tong:
paertama dan kedua saja ,tong itu
dapat dikosongkan dalam waktu 70 K1 + K2 = x .................................(1)
70
menit; jika yang dibuka keran
pertama dan ketiga saja,tong itu K1 + K3 = x ..................................(2)
84
kosong dalam waktu 84 menit; jika
= x .................................(3)
yang dibuka keran kedua dan ketiga, K2 + K3 140
tong itu kosong dalam 140 menit. Maka
(1)+(2)+(3) didapat:
Jika ketiga keran itu dibuka bersama,
x x x
tong dapat dikosongkan dalam waktu 2K1 + 2K2 + 2K3 = 70 + 84 + 140
... menit .

A. 45 2( K1 + K2 + K3 ) = 6x + 5x + 3x
B. 50 420 420 420

C. 55 14x

D. 60  K1 + K2 + K3 = 420 = 14x = x
E. 65 2 840 60

Jadi jika ketiga keran dibuka bersama

maka tong dapat dikosongkan dalam

waktu 60 menit. KUNCI : D

164

15. Dari 60 siswa di suatu sekolah, ada Pembahasan : S Mat. Fis.
Dari diagram
( )x2 − 4x + 8 orang gemar matematika, Diketahui : x2 − 6x +8 2x x2 −5x + 6

( x2 − 3x + 6) orang gemar fisika, (2x) 2x2 − 8x +18 = 60

orang gemar keduanya dan ( x + 4) 2x2 − 8x − 42 = 0

orang tidak gemar x2 − 4x − 21 = 0 x+4
keduanya.Banyaknya siswa yang
( x − 7)( x + 3) = 0
gemar matematika adalah ....
A. 49 orang x = 7  x = −3 tapi x > 0 , maka x = 7
B. 43 orang
Jadi banyaknya sisiwa yang gemar
C. 34 orang matematika adalah:
D. 29 orang
E. 24 orang 72 − 4(7) + 8 = 49 − 28 + 8 = 29 orang

KUNCI : D

16. Diketahui barisan geometri Pembahasan :

a1, a2, ... , an dengan rasio r , maka Krn barisan geometri,maka : a1 = a
log a1 + log a2 + ... + log an = .....
a2 = ar dan an = arn−1 , maka :
( )A.n log a1 + log a2 + ... + log an =
2 log a12 r n−1
log a + log ar + ... + log arn−1 merupakan deret

( )B.n aritmetika a = log a1 dan
2 log a12 rn

( )C.n b = log ar − log a = log ar = log r sehingga:
2 log a1n rn−1 a

( )( )Snn =n
D. n log a1n rn−1 = 2 2.log a1 + (n −1)log r 2 log a12 + log rn−1

E. n log a12 rn−2 ( )= n KUNCI : A
2
log a12.rn−1

17. Jumlah suatu deret aritmetika adalah Pembahasan :
140 .Suku pertama deret tersebut Dari soal diketahui :
adalah 5 dan bedanya 2. Jika
banyaknya suku adalah n ,maka Sn = 140  n (2a + (n −1)b) =140 karena

Un−3 + Un−1 = .... 2
a = 5 & b = 2 , maka :

A. 38  n (2(5) + (n −1) 2) =140
B. 40
2
C. 42
D. 44  n (10 + 2n − 2) =140  n(8 + 2n) = 280
E. 46
2
 2n2 + 8n − 280 = 0  n2 + 4n −140 = 0

 (n +14)(n −10) = 0  n = −14 ( tdk

memenuhi krn n  A) Jadi n =10
Jadi Un−3 +Un−1 = U7 +U9 = a + 6b + a + 8b

= 5 +12 + 5 +16 = 38
KUNCI : A

165

18. Tiga buah bilangan positif Pembahasan :

membentuk barisan geometri dengan x , y, dan z y = z  y2 = zx .........(1)
r  1. Jika suku tengah ditambah 8, xy

maka terbentuk sebuah barisan x, y + 8, z  y + 8 − x = z − ( y + 8)
aritmetika yang jumlahnya 39.Suku
ke-lima barisan geometri adalah ....  y + 8 − x = z − y − 8  2y − x − z = −16
 x − 2y + z = 16 ............................(2)
A. 256

B. 625 x + y + 8 + z = 39  x + y + z = 31........(3)

C. 1.296 Dari (2) dan (3) didapat :

D. 2.401 x − 2 y + z = 16  −3 y = −15  y = 5
E. 3.125 
 x+ y + z = 31

Utk: y = 5  xz = 25  z = 25 ........(4)
x

x + y + z = 31  x + 5 + z = 31  x + z = 26

Karena z = 25
x

 x + 25 = 26  x2 − 26x + 25 = 0
x

 ( x −1)( x − 25) = 0  x = 1  x = 25

Utk x =1  z = 25 dan x = 25  z =1

Jadi bilangan-bilangan itu adalah :
1 , 5 , 25 atau 25, 5 , 1 tapi karena
r  1maka yg benar adalah 1, 5, 25
Jadi suku ke-lima barisan geometri itu

adalah : U5 = ar4 = 1(5)4 = 625 KUNCI : B

19. Misalkan m dan c adalah bilangan Pembahasan :

tak nol yang memenuhi mc = m = m − c . Dari soal diketahui :
c mc = m  mc2 = m  c2 = 1  c = 1
Maka nilai m + c adalah .... c

A. 3 Untuk c =1  mc = m − c  m = m −1 tdk
2 memenuhi dan untuk c = −1 maka

B. 1 mc = m − c  −m = m +1  2m = −1  m = − 1
2 2

C. 0 Jadi m + c = − 1 −1 = − 3 KUNCI : E
D. − 1 22

2

E. − 3
2

166

20. Jika ( )2x 1+2log2x  64x3 , maka Pembahasan :
Syarat :
A. 1  x  4
4 1) 2x  0  x  0

B. x  1 atau x  4 ( )2) 2x 1+2log2x  64x3
4
(2x).(2x)2 log2x  64x3  ( )2x 2 log2x  32x2
C. 0  x  1 atau x  4
4 2 .x2 log2x 2 log2x  32x2  2x.x 2 log2x  32x2
 x 2 log2x  16x  x 2 log2+2 log x  16x
D. 0  x  1 atau x  2  x1+2 log x  16x  x.x 2 log x  16x
4  x 2 log x  16  log x 2 log x  log16

E. x  1 2 log x.log x  log 24  log x .log x  4log 2  log2 x  4log2 2
4 log 2

 log2 x − 4log2 2  0  (log x − 2log 2)(log x + 2log 2)  0

Pembuat nol :
 log x = 2log 2  log x = log 4  x = 4

 log x = −2log 2  log x = log 1  x = 1
44

+++++++++++----------------------+++++++++

14
4

-----------+++++++++++++++++++++++++++

01 4

Jadi Penyele4saiannya adalah :

 x / 0  x 1 atau x  4 KUNCI : C
 4 


SOAL-SOAL OLIMPIADE MATEMATIKA

1. Jika a,b adalah bilangan real Pembahasan :

sedemikian sehingga : a + b = 1 + 1 = 6 a + b = 6 dan
ab 1 + 1 = 6  a + b = 6  a + b = 6ab
Nilai dari a + b +1983 adalah .... ab ab
Karena a + b = 6  6 = 6ab  ab =1
ba

Jadi a + b +1983 = a2 + b2 +1983
ba ab

= (a + b)2 − 2ab +1983 = 62 − 2 +1985

ab 1

= 36 − 4 +1985 = 32 +1985 = 2017

167

2. Tentukan jumlah dari seluruh Pembahasan : Misal 4 x = a maka
penyelesaian persamaan
a = 12  7a − a2 = 12  a2 − 7a +12 = 0
4 x = 12 7−a
7−4 x
 (a − 4)(a − 3) = 0  a = 4 atau a = 3

1

Utk : a = 4  4 x = 4  x4 = 4  x = 44  x = 256

Utk : a = 3  4 x = 3  ( x = 81)

Jadi x1 + x2 = 81+ 256 = 337

3. Diketahui bilangan real positif a dan Pembahasan:

b memenuhi persamaan : ( )a2 + ab + b2 = 4  2
a2 + ab + b2
= 16

a4 + a2b2 + b4 = 6 ( )  a2 + b2 + ab2 = 16

 a2 + ab + b2 = 4

Nilai a + b adalah ..... ( ) ( ) a2 + b2 2 + 2ab a2 + b2 + (ab)2 = 16

( ) a4 + 2a2b2 + b4 + 2ab a2 + b2 + a2b2 = 16

( ) a4 + a2b2 + b4 + 2ab a2 + b2 + 2a2b2 = 16

( )( ) 6 + 2ab a2 + b2 + ab =16

( ) 2ab a2 + ab + b2 = 10  2ab (4) = 10

 8ab = 10  ab = 10  ab = 5 sehingga :
84

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 = a2 + ab + b2 + ab

(a + b)2 = 4 + 5 = 21  (a + b) = 21
4
44
Jadi a + b = 1 21

2

4. Hitunglah nilai dari : Pembahasan :
999999 x 222222+333333 x 333334
999999 x 222222+333333 x 333334
=3x 333333x 222222+333333 x 333334
=333333 x 666666 + 333333 x 333334

=333333 ( 666666 + 333334 )
=333333 ( 1.000.000 )

=333.333.000.000

5. Tentukan nilai x , jika : Pembahasan:
32014 + 32014 + 32014 + 32014 + 32014 + 32014 + 32014 + 32014 + 32014 + 32014 + 32014 + 32014 +

32014 + 32014 + 32014 = 27x 32014 + 32014 + 32014 = 27x
 9.32014 = 27x  32.32014 = 33x
 32+2014 = 33x  3x = 2016
 x = 2016 = 672

3

168

6. Jika x = 20162 + 20172 , Hitunglah nilai Pembahasan :
Misal : a = 2016 , maka :
dari 2x −1
x = a2 + (a +1)2  x = a2 + a2 + 2a +1

 x = 2a2 + 2a +1 sehingga :

( )2x −1 = 2 2a2 + 2a +1 −1  2x −1 = 4a2 + 4a + 2 −1

2x −1 = 4a2 + 4a +1 = (2a +1)2

Jadi : 2x −1 = (2a +1)2 = 2a +1

 2x −1 = 2(2016) +1 = 4033

Nilai dari 1 2017 k adalah.... Pembahasan :
2018! k =1 +
7. + ( k 1)! 1 1 1
k!
Ingat : (k +1)! = − (k +1)! dengan dasar

ini kita peroleh :

1 + 2017 ( k k
k =1
2018! +1)!

2017 2017  1
k =1 
+ + 1)! 
(1 k 1 1−
2018! k!
 = +1)! = + (k
2018! k=1 k

= 1 +  1 − 1 +  1 − 1 + ...+  1 − 1 
2018!  1! 2!  2! 3!  2017! 2018!  

= 1 +1− 1 =1
2018! 2018!

8. Jika a2 + b2 = 6ab , tentukan nilaia dari Pembahasan :
a+b 2 a2 + 2ab + b2
a + b untuk a,b  0  a−b  = a2 − 2ab + b2
a−b 

(( )) a +b 2 = a2 + b2 + 2ab
 a −b  a2 + b2 − 2ab

Karena a2 + b2 = 6ab , maka :

  a +b 2 = 6ab + 2ab = 8ab = 2
 a −b  6ab − 2ab 4ab

 a+b = 2
a−b

9. Jika 3a + 4b = 5 , maka tentukan nilai Pembahasan :
2a − 2b 3a + 4b = 5  3a + 4b =10a −10b
2a − 2b
dari a2 + 2b2  7a =14b  a = 2b sehingga
ab
a2 + 2b2 = (2b)2 + 2b2 = 4b2 + 2b2

ab 2b2 2b2

169 = 6b2 =3
2b2

10. Diketahui barisan bilangan real Pembahasan :
a1, a2, a3,..., an merupakan barisan
Krna merupakan Brsn geometri, maka:
geometri . Jika a1 + a4 = 20 ,maka nilai
( )a r6 −1 ......(1)
minimum dari a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + a6
adalah ...... a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + a6 = S6 = r −1

( )dan a1 + a4 = 20  a + ar3 = 20 .............(2)
 1+ r3 a = 20

Karena :

r6 −1 = r5 + r4 + r3 + r2 + r +1 maka :
r −1

= (r3 +1)(r2 + r +1)

S6 = a (r6 −1) = a (r3 + 1) ( r 2 + r +1)

r −1

( ) S6 = 20 r2 + r +1 merupakan fungsi

kuadarat, jadi

( )S6 min = − 
−D = 20  12 − 4.1.1 
4a  4.1 

= 5(−(1− 4)) = 5(3) = 15

11. Untuk 0  x   nilai minimum dari Pembahasan :
Inagat sifat :
16sin2 x + 9 adalah ....
sin x ( )2
a − b  0  a − 2 ab + b  0

 a + b  2 ab Dengan dasar ini
diperoleh:
16sin2 x + 9  0  16sin x + 9  0

sin x sin x

 16sin x + 9  2 16sin x. 9
sin x sin x

= 2 16.9 = 2.4.3 = 24
Jadi nilai minmum dari
16sin2 x + 9 adalah 24

sin x

12. Jika 2x = 3 , 3y = 4 dan Pembahasan :
nilai dari 23xyz+1 = ....
( ) ( ) ( )4z = 5 , maka 23xyz+1 = 23xyz  2 = 2 2x 3yz = 2 3 3yz = 2 3y 3x

( )= 2( )4 3z = 2 4z 3 = 2(5)2 = 2(125) = 250

13. Hitunglah nilai dari Pembahasan :
7 + 33 − 7 − 33 Misalkan : x = 7 + 33 − 7 − 33

( )( )x2 =  7 + 33 − 2 7 + 33 7 − 33 + 7 − 33 

170  x2 =14 − 2 49 − 33  x2 =14 − 2 16  x2 =14 −8
 x2 = 6  x =  6

14. Hasil kali semua akar real dari Pembahasan:
persamaan 2x2 + 3x + 4 = 2 2x2 + 3x +12 Misal 2x2 + 3x +12 = y maka diperoleh:
adalah ....
2x2 + 3x + 4 = 2 2x2 + 3x +12
15. Hitunglah jumlah dari :
11+ 22 + 33+ 44 +...+11.000  2x2 + 3x +12 − 8 = 2 2x2 + 3x +12

 y − 8 = 2 y  y2 −16 y + 64 = 4 y

 y2 − 20y + 64 = 0  ( y −16)( y − 4) = 0

Karena 2x2 + 3x +12 = y maka :

 ( y −16)( y − 4) = 0

( )( ) 2x2 + 3x +12 −16 2x2 + 3x +12 − 4 = 0

 (2x2 + 3x − 4)(2x2 + 3x + 8) = 0

 2x2 + 3x − 4 = 0 atau 2x2 + 3x + 8 = 0

Karena 2x2 + 3x + 8 = 0 tdk mempunyai
akar real sebab D  0 , maka hasil kali
semua akar real persamaan

2x2 + 3x + 4 = 2 2x2 + 3x +12 sama dengan

hasil kali akar-akar persamaan

 2x2 + 3x − 4 = 0 yaitu : x1.x2 = c = −4 = −2
a 2

Pembahasan :

11+ 22 + 33+ 44 +...+11.000

= 11(1+ 2 + 3 + 4 + ... +1000)

Karena yang di dalam kurung merupakan
barisan aritmetika dgn U1 = 1 dan

Un = 1000 maka jumlah bilangan tersebut
adalah :

= 11 1 (U1 + U n ) 
2 

= 11 1000 (1+ 1000)  = 11 1000 1001
2  2

= 5.505.500

16. Jika 3a = 4 , 4b = 5 , 5c = 6 , 6d = 7 , Pembahasan :
7e = 8 dan 8 f = 81, Hitunglah nilai
abcd f 8 f = 9  (8) f = 81

171 ( ) 7e f = 81  (7)e f = 81
( ) ( ) 6d e f = 81  6 de f = 81
( ) ( ) 5c de f = 81  5 cde f = 81
( ) ( ) 4b cde f = 81  4 bcde f = 81
( )3a bcde f = 81  3abcd f = 34

Jadi a b c  d  f = 4

17. Selesaikanlah 1+ x2 dx Pembahasan :
Misal : x = tan  dx = sec2 d
( )18. Jika 4 23x−1 + 8x = 2 , Tentukan
5 10  1+ x2 dx = 1+ tan2  .sec2 d Karena :
nilai x
172 1+ tan2  = sec2  maka:

 1+ tan2  .sec2 d  sec.sec2 d

Misal: u = sec  du = sec tand
dv = sec2 d  v = tan

  udv = u.v −  vdu

 sec3  d = sec tan −  sec tan2  d

= sec tan −  sec (sec2  −1)d

= sec tan −  sec3  d +  sec d

 2 sec3  d = sec tan +  sec d

  sec3  d = 1 sec tan + 1  sec d
2 2

  sec3  d = 1 sec tan + 1  sec  sec + tan  d
2 2  sec + tan 

Misal :

( )u = sec + tan  du = sec tan + sec2  d

Jadi :

  sec3  d = 1 sec tan + 1  sec2  + sec tan d
2 2 sec + tan

= 1 sec tan + 1  du
2 2 u

= 1 sec tan + 1 ln u + C
22

= 1 sec tan + 1 ln sec + tan + C
22

Karena x = tan

Maka : sin = x dan x 1+ x2
1+ x2 
1
cos = 1  sec = 1+ x2
1+ x2

Jadi:

 1+ x2 dx = 1 x 1+ x2 + 1 ln 1+ x2 + x + C
22

Pembahasan :

( )423x−1 + 8x = 2  4  23x  1  + 23x =2
10 5  2  10
5

 4  23x + 1  23x = 2  5  23x = 2
10 10 10

 1  23x = 2  23x = 22  x = 2
23

19. Diketahui Pembahasan :

3 20sin2 x +14 − 3 20sin2 x −14 = 3 4 , maka Misalkan : 3 20sin2 x +14 = p dan
nilai dari tan2 x = ....
3 20sin2 x −14 = q maka :

p − q = 3 4 ( kedua ruas di pangkat 3 )

 ( p − q)3 = 4  p3 − 3 p2q + 3 pq2 − q3 = 4

 p3 − q3 − 3 pq ( p − q) = 4

  ( ) ( ) 20sin2+14 − 20sin2 x −14 −3 3 400sin4 x −196 3 4 = 4

 28 − 33 4.3 400sin4 x −196 = 4

 33 4.3 400sin4 x −196 = 24

 3 4.3 400sin4 x −196 = 8 ( kedua ruas
pangkat3)

( )4 400sin4 x −196 = 512

 400sin4 x −196 =128  400sin4 x = 324

 100sin4 x = 81

1

 sin 4 x = 81  sin x =  81 4
100  100 

1

 sin x =  3 4 4  sin x = 3
10   10


 cos x = 1− 9 = 1 = 1
10 10 10

3

 tan x = sin x = 10 = 3  tan2 x = 9
cos x 1

10

20. Hitunglah nilai dari Pembahasan :
2017 2017 2017 2017 2017 2017 2017... Misalkan:

2017 2017 2017 2017 2017 2017 2017... = x

 2017x = x2  x2 − 2017x = 0

 x ( x − 2017) = 0

 x = 0 atau x = 2017

21. Jika m dan n bilangan asli sehingga Pembahasan :

7 + 48 = m + n , Tentukan nilai 7 + 48 = 7 + 2 12 3
m2 + n2
= (4 + 3) + 2 4.3 = 4 +

173 m = 4 dan n = 3 Jadi
m2 + n2 = 16 + 9 = 25

22. Jika 60a = 3 dan 60b = 5 , Tentukan Pembahasan :

 1−a−b  60a = 3  log 60a = log 3  a log 60 = log 3

nilai dari 12 2−2b   a = log 3 =60 log 3 dan
log 60

60b = 5  log 60b = log 5  b log 60 = log 5

 b = log 5 =60 log 5
log 60

( )1−a−b   
Jadi 12 = 12 = 12 ( ) 2−2b   
1−(a+b)  1− 60 log 3+60 log 5
 2(1−b) 
 2 1−60 log5 

   60 log 60 
   
 15 
60 log 60−60 log15  
 2 60  
= 12 ( ) = 12 2 60 log60−60 log5  60 log 5 

 60 log 4   60 log 4  60 log 4
   60 log122 
= 12 ( ) = 12 = 12 2 60 log12  60 log144

log 4

log 60

log144 log 4 2log 2 log 2

= 12 log60 = 12log144 = 122log12 = 12log12

= 12 log 2 = 2

12

23. Tentukan nilai x yang memenuhi Pembahasan:

1  49  x
2 2017 2  4 
persamaan = 1  49 x 1  7 2 x
 4   2 4034  2 
  2 2017 2 =   7  =

 7    7  
 

1  2 −2 x
 2 4034  7 
 =

 7 

  2 −2x+4034 =1  2 −2 x+4034 =  2 0
 7   7   7 

 −2x + 4034 = 0

 x = 4034  x = 2017
2

2x2 −3y2 2 Pembahasan:
x2 + y2 41 ,
24. Jika = Tentukan nilai 2x2 −3y2 = 2  82x2 −123y2 = 2x2 + 2y2
dari x2 + y2 41
x
x2
y  80x2 = 125y2  y2 = 125
80

 x2 = 25   x 2 = 25  x =  5
y2 16  y  16 y 4
 

174

25. JTieknatu56 kP(ar +n6) : n54iPla(r+i3) = 30800 Pembahasan:

r 56 P(r+6) : 54 P(r+3) = 30800  56 P(r+6) = 30800
54 P(r+3)

56!

(56 − (r + 6))!

 54! = 30800

(54 − (r + 3))!

 56! )! (51− r )! = 30800

(50 − r 54!

 5(65.05−5.r5)4!!  (51 − r ) (51− r − 1)! = 30800

54!

 56.55.54!(51− r )(50 − r)! = 30800
54!(50 − r )!

 56.55(51− r ) = 30800  51− r = 30800

56.55

 51− r = 30800  51− r = 10
3080

 r = 51−10  r = 41  r = 51−10  r = 41

1 − 99 −1  Pembahasan :
 99100 2 100 
 
26. Jika x = , Tentukan Misalkan :

1 − 99 −1  2 − 2 + 99 −2 
 99100 2 100   99100 4 100 
  x2  
−100 x =  =

1+ x2 − x
( )nilai dari

2 − 2 + 99 −2 
1 + 99100 4 100 
x2 
 1+ =

2 − 2 + 99 −2 
 4 + 99100 4 100 
 
=

2 −2   1 − 1 2

 99100 + 2 + 99 100   99100 + 99 100 
 4   2 
= =

Akibatnya :

1 − 1 2  1 −1 

1+ x2 =  99100 + 99 100   99100 + 99 100 
 2   2 
 =

 1 −1   1 −1 −100
( ) −100  99100 + 99100   99100 − 99100 
1+ x2  2   2 
−x = −

175 ( )  − 1 −100
1+ x2 − x =  99 100  = 99



27. Jika n + 2 : (n−2) P4 = 57 :16 . Pembahasan :

 8  n + 2
   
n + 2  
Tentukan nilai n   : (n−2) P4 = 57 :16 = 8 P4 = 57
  16
8 (n−2)

(n + 2)! (n + 2)!

 8!(n + 2 − 8)! = 57  8!(n − 6)! = 57
(n − 2)! 16 (n − 2)! 16

(n − 2 − 4)! (n − 6)!

 (n + 2)! = 57
8!(n − 2)! 16

 (n + 2) (n +1)(n)(n −1) ( n − 2)! = 57
8!(n − 2)! 16

 (n + 2)(n +1) n(n −1) = 57.8!

16

 (n + 2)(n +1) n(n −1) = 57.8.7.6.5.4.3.2.1

16
= 57.7.6.5.4.3 = 19.3.7.6.5.4.3

 (n + 2)(n +1) n(n −1) = 21.20.19.18  n = 19

(a − b)(c −d ) = − 4 Pembahasan :
(b − c)(d −a ) 7
28. Jika , maka (a − b)(c − d) = − 4  ac − bc − ad + bd = − 4
(b − c)(d − a) 7 bd − cd − ab + ac 7
(a −c)(b −d)
tentukan nilai dari (a − b)(c − d ) Misalkan :
ac − bc − ad + bd = −4x......(1)
adalah ....
bd − cd − ab + ac = 7x.........(2) −

 ab − bc + cd − ad = −11x

Maka diperoleh :

(a −c)(b −d) = ab − ad − bc + cd = −11x = 11
(a −b)(c −d) ac − ad − bc + bd −4x 4

29. Tentukan nilai dari : Pembahasan :
1 + 1 + 1 + 1 + ...
1.2 2.3 3.4 4.5 =  1 − 1  +  1 − 1  +  1 − 1  +  1 − 1  + ...
+1+1+1  1 2   2 3   3 4   4 5 
2015.2016 2016.2017 2017.2018
+  1 − 1  +  1 − 1  +  1 − 1 
 2015 2016   2016 2017   2017 2018 

= 1 − 1 = 2017
1 2018 2018

176

30. Jika 4 − 4 = 1 dan y − x = 2 , maka Pembahasan :
xy
4 − 4 = 1  4 y − 4x = xy  4( y − x) = xy
( x + y)2 = ....
xy
 xy = 8....(1)

y − x = 2  ( y − x)2 = 4
Jadi ( x + y)2 − ( y − x)2

( )= x2 + 2xy + y2 − y2 − 2xy + x2

( x + y)2 − ( y − x)2 = 4xy
 ( x + y)2 = ( y − x)2 + 4xy

( x + y)2 = 4 + 4(8)  ( x + y)2 = 36

31. Tentukan banyaknya angka dari Pembahasan:
212  58
212  58 = 212   10 8 = 212  108
 2  28

= 24 108 = 16100.000.000

= 1.600.0000

Jadi banyaknya angka dari 212 x 58 adalahh 10

Pembahasan:

212  58 = 212   10 8 = 212  108
 2  28

= 24 108 = 16100.000.000

= 1.600.0000

Jadi banyaknya angka dari 212 x 58 adalahh 10

32. Diberikan trapezium ABCD, dengan Pembahasan :
Krna AB=84 dan DC = 25
AB sejajar DC dan AB = 84 dan
Dari diketahui bahwa:
DC=25. Jika trapezium ABCD
AE=AH; BE=BF;
memiliki lingkaran dalam yang
menyinggung keempat sisinya,keliling CF=CG; dan DG=DH dan keliling
trapezium ABCD adalah :
tarpezium adalah....
K=AE+BE+BF+CF+CG+DG+DH+AH

= (AE+AH)+(BE+BF)+(CF+CG)+(DG+DH)

= 2AE+2BE+2CG+2DG

= 2(AE+EB)+2(CG+DG)

= 2 (84)+2(25) = 168+50=218

177

33. Jika a dan b bilangan real dan Pembahasan :

a + a +10b = 2. Tentukan nilai a a + a +10b = 2  a + a +10 =2
b b +10a b b

b b +10a b 1+10 a

b

 a 1 + 10 a  + a + 10 = 2 1 +10 a 
b b  b b 

Kedua ruas dikali 1 + 10 a 
b 

 a + 10  a 2 + a +10 = 2 + 20 a
b b  b b

 10  a 2 −18 a + 8 = 0
 b  b

 5  a 2 − 9 a + 4 = 0
b  b

  5 a − 4  a −1 = 0
 b   b

5a = 4  a =1
bb

 a = 4 atau a = 1
b5 b

34. Jika fungsi f didefenisikan oleh Pembahasan :

f ( x) = kx , x  − 3 , k konstanta,me- f ( x) = kx  f ( f ( x)) = x
2x +3 2
2x +3

menuhi f ( f ( x)) = x untuk setiap  kx  k  kx 3 
 2x +   2x + 
 f = x  = x
3  kx 
bilangan real x ,kecuali x  − 3 ,maka 2  2x +  + 3
2 3

nilai k adalah... k2x

 2x +3 = x  k2x = x
2kx + 6x + 9
2kx + 3(2x + 3)

2x +3
 k2x = 2kx2 + 6x2 + 9x  k 2 = 2kx + 6x + 9

 k2 − 2xk − 6x − 9 = 0

 k2 − 9 − 2x(k + 3) = 0

 (k − 3)(k + 3) − 2x(k + 3) = 0

(k + 3) (k − 3) − 2x = 0  (k + 3)(k − 3 − 2x) = 0

Jadi k + 3 = 0 atau k − 2x − 3 = 0
 k = −3 atau k = 2x + 3 karena k
konstanta maka k = -3

178

35. Diberikan segitiga ABC dengan sudut Pembahasan :

ABC = 900 . Lingkaran L1 dengan AB Misal: R terletak pada sisi AC sehingga
BR tegak lurus AC. Misalkan pula
A
sebagai diameter,sedangkan BP = BR = x P=R
Karena
lingkaran L2 dengan BC sebagai
ARB = 900

diameternya . Kedua lingkaran L1 dan maka ling- 5
karan ber x

L2 berpotongan di B dan P . Jika diameter AB 12
AB=5, BC = 12 dan BP = x ,maka
akan melalui B C
titik R karena

nilai dari 240 adalah ..... BRC = 900 maka
x
Lingkaran berdia
meter BC akan lelalu titik R sehingga
titik R = titik P akibatnya :

AC  BP = AB BC dimana

AC = 25 +144 = 169 = 13 maka :

AC  BP = AB BC 13x = 512

13x = 60  x = 60 Jadi nilai dari
13

240 = 240 = 240 13 = 4 13 = 52
x 60 60

13

36. Bialangan a1, a2, a3,... didefenisikan Pembahasan :

sebagai a1 = 10 , a2 = 20 dan untuk Karena an = a1 + a2 + a3 + ... + an , maka
n  2 ,maka berlaku n

an = a1 + a2 + a3 + ...+ an , Tentukan nilai a3 = a1 + a2 + a3  3a3 = a1 + a2 + a3
n 3

dari a2018  2a3 = a1 + a2  2a3 = 20 + 20 = 30  a3 = 15

a4 = a1 + a2 + a3 + a4  4a4 = a1 + a2 + a3 + a4
4

 3a4 = a1 + a2 + a3 = 10 + 20 +15 = 45

 a4 = 45 = 15
3

a5 = a1 + a2 + a3 + a4 + a5  5a5 = a1 + a2 + a3 + a4 + a5
5

 4a5 = a1 + a2 + a3 + a4 = 10 + 20 +15 +15 = 60

 a5 = 60 = 15
4

5a6 = a1 + a2 + a3 + a4 + a5 = 10 + 20 +15 +15 +15 = 75

 a6 = 75 = 15 dst. Shg dgn cara yg sama
5

Diperoleh: a2018 = 15

179

37. Tentukan nilai dari Pembahasan :

1 1

 1.2.4 + 2.4.8 + 3.6.12 + ...+ n.2n.4n 3  1.2.4 + 2.4.8 + 3.6.12 + ...+ n.2n.4n 3
 1.3.9 + 2.6.18 + 3.9.27 + ...+ n.3n.9n   1.3.9 + 2.6.18 + 3.9.27 + ...+ n.3n.9n 

1

=  8  1.1.1 + 2.2.2 + 3.3.3 + ... + n.n.n   3
 27  1.1.1 + 2.2.2 + 3.3.3 + ... + n.n.n  

11
23
=  8 3 =  33 3 = 2
 27    3
 

38. Banyaknya faktor positif dari Pembahasan:

27.35.53.72 yang merupakan kelipatan 6 27.35.53.72 = 26.2.34.3.53.72 = 26.34.53.72.6
adalah .... jadi banyaknya faktor positif dari

27.35.53.72 yang merupakan kelipatan 6

adalah (6 +1)(4 +1)(3 +1)(2 +1) = 7.5.4.3 = 420

( x −1)( y − 2) = 12 maka Pembahasan:
39. Jika ( y − 2)( z − 3) = 20
 ( x −1)( y − 2) = 12..........(1)
 ( z − 3)( x −1) = 15 ( y − 2)( z − 3) = 20...........(2)
 ( z − 3)( x −1) = 15..........(3)
tentukan nilai 3x + 2y + 3z

Maka :

(1) ( 2 ) ( 3)

 ( x −1)( y − 2)( y − 2)( z − 3)( z − 3)( x −1)

= 12 2015

 ( x −1)2 ( y − 2)2 ( z − 3)2 = 3600

 ( x −1)( y − 2)( z − 3)2 = 3600

 ( x −1)( y − 2)( z − 3) = 60.......(4)

Jadi :

(4)  ( x −1)( y − 2)(z − 3) = 60  z − 3 = 5  z = 8
(1) (x −1)( y −2) 12

(4)  ( x − 1) ( y −2)( z− 3) = 60  x −1 = 3  x = 4
(2) (y− 2)(z − 20
3)

(4)  ( x −1)( y − 2)(z − 3) = 60  y − 2 = 4  y = 6
(3) (z −3)(x −1) 15

Akibatnya : 3x + 3y + 3z =12 +18 + 24 = 54

180

40. Misalkan a dan b bilangan asli Pembahasan :
dengan a  b , jika
94 + 2 2013 = a + b
94 + 2 2013 = a + b mak nilai
 (61+ 33) + 2 61.33 = 61 + 33
a − b = ....
Berarti a = 61 dan b = 33
Jadi a − b = 61− 33 = 28

Jika 123x + 456 y = 789 maka nilai dari Pembahasan :
654x + 321y = 765
41. 123x + 456 y = 789 +
654x + 321y = 765
x2 − y2 setara dengan .....
 777x + 777 y = 1554 kedua ruas dibagi

777

Diperoleh x + y = 2 maka :

 x2 − y2 = (x + y)(x − y)

= 2(x− y)

42. Jika x + y + 3 x + y = 18 dan Pembahasan :
x − y − 2 x − y = 15 , maka x.y = .... Misal : x + y = p dan x − y = q , maka :

181 x + y + 3 x + y = 18  p + 3 p = 18

 3 p = 18 − p  3 p = (18 − p)2

 9 p = 324 − 36 p + p2  p2 − 45 p + 324 = 0

 ( p − 36)( p − 9) = 0  p = 36  p = 9

x − y − 2 x − y = 15  q − 2 q = 15

 q −15 = 2 q  (q −15)2 = 4q

 q2 − 30q + 225 = 4q  q2 − 34q + 225 = 0

 (q − 25)(q − 9) = 0  q = 25  q = 9

Untuk p = 36 & q = 25 maka :
x + y = p  x + y = 36
x − y = q  x − y = 25

2x = 61  x = 61  y = 11
22

 x.y = 6111 = 671
22 4

Untuk p = 36 & q = 9 maka :
x + y = p  x + y = 36
x−y=q x−y=9

2x = 45  x = 45  y = 27
22

 x.y = 45  27 = 1215
22 4

Untuk p = 9 & q = 25
x+y= p x+y=9
x − y = q  x − y = 25

 2x = 34  x = 17  y = −8

 x.y = 17 −8 = −136
Untuk p = 9 & q = 9
x+y= p x+y=9
x−y=q x−y=9
2x =18  x = 9  y = 0

 x.y = 9 0 = 0

43. Jika x dan y memenuhi  2 + 3 =2 Pembahasan :
 x+ y x−2y Misal : p = 1 y
 4 − 1 = −3 dan q= 1 maka
 x+ y x−2y x+ x − 2y


, maka x2 − xy − 2 y2 = .... sistem persamaan dapat dirubah menjadi

2 p + 3q = 2  4 p + 6q = 4
4 p − q = −3  4 p − q = −3

 7q = 7  q =1

 4 p −1 = −3  4 p = −2  p = − 1 ,maka
2

 1 y = − 1  x + y = −2
 x + 2

 1 =1 x−2y =1
 x − 2y

 3y = −3  y = −1  x + 2 = 1  x = −1

Jadi x2 − xy − 2 y2 = (−1)2 − (−1)(−1) − 2(−1)2

1−1− 2 = −2

44. Jika x dan y bilangan asli yang memenuhi Pembahsan :

persamaan  xy + x + y = 71 Misalkan xy = a dan x + y = b maka :

 x 2 y + xy 2 = 880  xy + x + y = 71  xy +( x + y) = 71
  x2 y + xy2 = 880  xy (x + y )= 880
  
Tentukan nilai x2 + y2

a + b = 71.....................(1)

ab = 880  b = 880 ...............(2)
a

Substitusikan (2) ke (1) diperoleh :
a + b = 71  a + 880 = 71  a2 + 880 = 71a
a

 a2 − 71a + 880 = 0

 a2 − 71a + 880 = 0  (a −16)(a − 55) = 0

182  a = 16  a = 55

Untuk a =16  b = 55 dan untuk
a = 55  b =16 sehingga diperoleh :
dan untuk a = 55  b =16 diperoleh :

x2 + y2 = ( x + y)2 − 2xy = 162 − 2(55) = 256 −110 = 146

x2 + y2 = ( x + y)2 − 2xy = 552 − 2(16) = 3025 − 32 = 2993

45. Diberikan tiga bilangan bulat positif Pembahasan :

berurutan . Jika bilangan pertama Misalkan ketiga bilangan bulat berurutan itu

tetap, bilangan kedua ditambah 10 adalah a, (a +1), (a + 2) Dari keterangan soal
dan bilangan ketiga ditambah
bilangan prima ,maka ketiga bilangan diperoleh bilangan-bilangan sbb : deret ukur
ini membentuk deret ukur. Bilangan
a, (a +11),(a + 2 + p) membentuk

ketiga dari bilangan bulat berurutan berarti :
a +11 = a + 2 + p  (a +11)2 = a2 + 2a + ap
adalah….
a a +11

 a2 + 22a +121 = a2 + 2a + ap

 ap − 20a = 121  a ( p − 20) = 121

➢ Jika a = 1  p = 141 ini bukan bilangan

prima karena habis dibagi 3
➢ Jiak a = 11  p = 31 ini adalah bilangan

prima
➢ Jika a = 121  p = 21 ini juga bukan

bilangan prima karena habis dibagi 3

Akibatnya bilangan ketiga adalah

(a + 2) = 11+ 2 = 13

46. Misalkan x, y, z > 1 dan w > 0. Jika Pembahasan :
logx w = 4;logy w = 5 , dan logxyz w = 2 , logx w = 4 x log w = 4  w = x4 dan
log y w = 5  y log w = 5  w = y5 dan
maka nilai logz w adalah ….
logxyz w = 2 xyz log w = 2  w = ( xyz )2

sehingga diperoleh

w = ( xyz )2  w10 = ( xyz )20  w5.w4.w = x20.y20.z20

akibatnya diperoleh

x4( ) ( )5y54 .w = x20.y20.z20  x20.y20.w = x20.y20.z20  w = z20

.

log w = log z20  log w = 20.log z
 log w = 20

log z
z log w = 20
 logz w = 20

183

47. Jika a dan b adalah bilangan real yang Pembahasan :

memenuhi persamaan : Misal : 1 = x dan a + b = y ,maka :
ab
 1 + a + b = 11
 ab Tentukan  x + y =11........................(1)
 
a2b2 (a + b)2 = 61a2b2 −1
 1  y2 = 61 1 −1  y2 = 61− x2  y = 61− x2 .......(2)
 x2 x2
nilai dari 1 + 1 !
ab Dari (1) dan (2) didapat :

x + 61− x2 = 11  61− x2 = 11− x

 61− x2 = 121− 22x + x2
 2x2 − 22x + 60 = 0  x2 −11x + 30 = 0

 (x −5)(x − 6) = 0  x = 5 x = 6

Untuk x = 5  y = 61− 25 = 36 = 6 maka

1 = 5  ab = 1 dan a + b = 6 sehingga
ab 5

1 + 1 = a+b = 6 = 30
a b ab 1

5
untuk x = 6  y = 61− 36 = 25 = 5 maka

1 = 6  ab = 1 dan a + b = 5 sehingga
ab 6

1 + 1 = a+b = 5 = 30
a b ab 1

6

184

SOAL-SOAL SMPTN Pembahasan :

1. Nilai rata-rata Ujian Matematika dari Misal Nilai Andi = x , maka :

40 siswa adalah 46. Jika nilai Andi di 40 46 −1 x = 45 :C
40 −1
anulir maka rata-ratanya menjadi 45.
Ini berarti nilai Andi adalah ….  1840 − x = 45  1840 − x =1755
39
A. 47
 x =1840 −1755  x = 85
B. 51 Jadi nilai Andi adalah 85
C. 85
KUNCI
D. 90
E. 92

2. Agar deret geometri x −1 , 1 , 1 ,... Pembahasan :
x x
x ( x −1) Syarat agar deret tersebut mempunyai
limit adalah −1  r  1. Karena deret
Jumlahnya mempunyai limit, nilai x diatas mempunyai rasio :
harus memenuhi ….
1
A. x  0
B. x  1 r = x = 1 x = 1, maka :
x −1 x x −1 x −1
C. 0  x  1
D. x  2 x
E. x  0 atau x  2
−1  1  1 Pertidaksamaan ini kita
x −1

ubah menjadi :

I. 1  −1  1 +1  0
x −1 x −1

 1+1( x −1)  0  x  0 pembuat

x −1 x −1
nolnya adalah x = 0 dan x  1

01

II. 1  1  1 −1  0
x −1 x −1

 1−1( x −1)  0  2 − x  0 pembuat

x −1 x −1
nolnya adalah x = 2 dan x  1

12
Irisan kedua pertidaksamaan adalah:

01

Jadi nilai x yan0g meme1nuhi ada2lah :
x  0 atau x  2

KUNCI : E
185

3. Jika x  0 dan y  0, maka Pembahasan :

1 1

 x−1 + y−1 2 = ....  x−1 + y−1 1  1+1 2
 xy   xy  xy 
   2 =  
  xy 
A. x + y   

B. xy x + y x+ y

C. xy = xy = x+ y = x+ y
x+ y xy xy
( xy)2

D. x + y KUNCI : D
xy

E. x + y

4. Jika tiga bilangan q, s , dan t Pembahasan :
membentuk barisan geometri ,maka
q + s = .... Karena merupakan Barisan Geometri
q + 2s + t
maka : q = U1 = a , s = U2 = ar dan
A. s
q+t t = U3 = ar2 maka diperoleh :

B. q r = s = t sehingga : q + s = ....
s+t qs q + 2s + t

C. t a + ar a(1+ r) = 1+ r
q+s a + 2ar + ar2 + 2r +
1+ 2r + r2
D. s ( )= = a 1 r 2
s+t
1+ t s +t
E. s s= s
q+s =
t t2 s2 + 2ts + t 2
1+ 2 s + s2 s2

= s+t  s2 s2 = s(s + t)
s + 2ts + t2 (s + t)2

=s KUNCI : D
s+t

sin 4x tan2 3x + 6x3 Pembahasan :
2x2 sin 3x cos 2x
5. lim = .... lim 2sin 2x cos 2x tan 3x tan 3x + 6x3

x→0 x→0 2x2 sin 3x cos 2x

A. 0 + x3

B. 3 = lim 2 sin 2x cos 2x tan 3x tan 3x 6
2x2 sin 3x cos 2x
C. 4 x→0

D. 5 = lim 2 sin 2x cos 2x tan 3x tan 3x + lim 6x3
2x2 sin 3x cos 2x sin 3x
E. 7 x→0 x→0 2 x2 cos 2x

lim sin 2 x tan 3x tan 3x + lim 3x  1
x2 sin 3x sin 3x cos 2x
x→0 x→0

= lim sin 2x . tan 3x . tan 3x + lim 3x  1
x→0 sin 3x x x x→0 sin 3x cos 2x

= 2 33 +11 = 6 +1 = 7 KUNCI : E
3

186

6. Jika f ( x) = bx , b konstanta positif, Pembahasan :

( )maka ( )( )f x2 + x bx2 +x bx2 .bx
f x2 + x = .... = b x +1 = b x .b
f x +1
f ( x +1)
( )= bx2 = bx2 −1 = f x2 −1
A. f ( x2 ) b

B. f ( x +1). f ( x −1)

C. f ( x +1) + f ( x −1) KUNCI : E

D. f ( x +1) − f ( x −1)

E. f ( x2 −1)

7. Suatu deret aritmatika terdiri dari Pembahasan:

sepuluh suku dan jumlahnya 145. Dik: S10 = 145  10 (U1 + U10 ) = 145
Jika jumlah dari suku keempat dan 2

suku kesembilan sama dengan lima  5(a + a + 9b) = 145  2a + 9b = 29 ……(1)
kali suku ketiganya ,maka beda deret
tersebut adalah …. U4 +U9 = 5U3  a + 3b + a + 8b = 5(a + 2b)

A. 1  2a +11b = 5a +10b  b = 3a …………..(2)

B. 2 Dari (1) dan (2) didapat :

C. 2 1  2a + 9(3a) = 29  2a + 27a = 29
2
 29a = 29  a =1  b = 3
D. 3
KUNCI : D

E. 3 1
2

8. Suatu barisan aritmetika dengan Pembahasan :
suku-suku positif S1, S2 , S3 ,….. S1 = U1 = a ; S2 = U2 = a + b dan
S3 = U3 = a + 2b , maka :
diketahui S1 + S2 + S3 = 45 dan
S1 + S2 + S3 = 45  a + a + b + a + 2b = 45
S12 = S3 −10 , maka S4 = ....
 3a + 3b = 45  a + b =15  b =15 − a
A. 35 S12 = S3 −10  a2 = a + 2b −10 karena
B. 37 b =15 − a maka :
C. 48
D. 53 a2 = a + 2(15 − a) −10  a2 = a + 30 − 2a −10
E. 55
 a2 = 20 − a  a2 + a − 20 = 0  (a + 5)(a − 4) = 0

 a = −5 a = 4 krn barisan itu
merupakan suku-suku positif maka
a = 4  b =11

Jadi S4 = U4 = a + 3b = 4 + 3(11) = 4 + 33 = 37

KUNCI : B

187

9. Suatu keluarga mempunyai 5 orang Pembahasan :

anak .Anak termuda berumur 1 dari Misal : Umur anak tertua = x tahun
2 maka umur anak termuda = 1 x

umur anak tertua,sedang 3 anak 2

lainnya berturut-turut berumur lebih Anak kedua = 1 x + 2
2 tahun dari termuda, lebih 4 tahun 2
Anak
dari termuda ,dan kurang 3 tahun Anak ketiga = 1 x + 4 dan
dari tertua. Bila rata-rata hitung 2
umur mereka adalah 16 maka umur
keempat = x − 3 maka
anak tertua adalah ….
x+ x−3+ 1 x+4+ 1 x+2+ 1 x
A. 18 tahun  2 2 2 = 16

B. 20 tahun 5

C. 22 tahun  3 1 x + 3 = 80  7 x = 77  7x =154
22
D. 24 tahun  x = 22 Jadi umur anak tertua = 22
E. 26 tahun

tahun

KUNCI : C

10. Jika dari persamaan Pembahasan :

xx

( ) ( ) ( ) ( ) 12t2 + 40t + 29 dt = −4 x+2log x + 2 − 2 F ( x) = 12t2 + 40t + 29 dt = −4 x+2log x + 2 − 2x
−1 −1

diperoleh bentuk F ( x) = 0 ,maka sisa  1 
x  
pembagian F ( x) oleh x2 + x +1 adalah F ( x) =  4t 3 + 20t 2 + 29t  −1 = −4  log ( x + 2)2  − 2x
log ( x + 2)
…

A. x + 4 F ( x ) = 4x3 + 20 x2 + 29 x  −  −4 + 20 − 29 = −4  1  − 2 x
B. −x − 4  2 

C. 11x −1 F ( x) = 4x3 + 20x2 + 29x +13 = −2 − 2x
D. 11x +1
E. 4x +12  F ( x) = 4x3 + 20x2 + 31x +15

Jadi : 4x +16 = H ( x)

x2 + x +1 4x3 + 20x2 + 31x +15

4x3 + 4x2 + 4x −
16x2 + 27x +15
16x2 +16x +16 −

11x −1 = Sisa

Sisa pembagian F ( x) oleh x2 + x +1

adalah 11x −1

KUNCI : C

188

11. Enam tahun yang lalu,umur Budi 4 Pembahasan :

tahun lebih muda dari seperenam Misal : Umur Budi sekarang = x dan

umur ayahnya. Umur Budi sekarang umur ayahnya = y , maka :
3 tahun lebih tua dari seperdelapan
umur ayahnya. Jumlah umur Budi (x −6) + 4 = 1 ( y −6)  x − 2 = 1 y −1
dan Ayahnya sekarang adalah ….
66
A. 60 tahun  6x −12 = y − 6  6x − y = 6 …………..(1)
B. 57 tahun x − 3 = 1 y  8x − 24 = y  8x − y = 24 …..(2)

C. 56 tahun 8
D. 54 tahun Dari (1) dan (2) diperoleh :

E. 52 tahun 6x − y = 6

8x − y = 24 −

 2x =18  x = 9 untuk x = 9 diperoleh

y = 6x − 6 = 54 − 6 = 48

Jadi jumlah umur Budi dan Ayahnya

sekarang adalah 9 + 48 = 57 tahun

KUNCI : B

12. Jumlah semua bilangan asli dari 10 Pembahasan :
sampai 99 yang habis di bagi 3 tetapi Bilangan asli tersebut adalah :
10,11,12,13,…,99 maka yang habis
tidak habis dibagi 4 adalah ….
dibagi 3 adalah :
A. 477
12,15,18,27,…,99 jadi :
B. 585
a = 12; b = 3; dan Un = 99 maka :
C. 1.179
 12 + (n −1)3 = 99  (n −1)3 = 87
D. 1.233
E. 1.426  n −1 = 29  n = 30

Jadi S30 = 30 (12 + 99) =15(111) =1.665

2
Yang habis dibagi 4 adalah :

12,24,36,…,96 jadi :

a = 12; b = 12; dan Un = 96

12 + (n −1)12 = 96  (n −1)12 = 84

 (n −1) = 7  n = 8

Jadi S8 = 8 (12 + 96) = 4 (108) = 432
2
Jadi jumlah semua bilangan asli dari 10

sampai 99 yang habis dibagi 3 tetapi

tidak habis dibagi 4 adalah :

1.665 – 432 = 1.233

KUNCI : D

189

13. Hitunglah : Pembahasan :

−1 −1 −1 −1

 5 +2 6 2 +  5 −2 6 2  5 +2 6 2 +  5 −2 6 2
 49 + 20   49 − 20 6   49 + 20   49 − 20 6 
10 − 6 10 − 10 − 6 10 −

−1 −1

 (3+ 2) + 2 3.2 2  (3+ 2) − 2 3.2 2
=  + 
10 −   
(25+ 24) + 2 25.24   10 − (25+ 24)− 2 25.24 

−1 −1

( ) ( ) 3+ 2 2  3− 2 2
 + 
=    
 10 − 25 + 24   10 − 25 − 24 

−1 −1

( ) ( ) 3+ 2 2  3− 2 2
 + 
=    
 10 − 5+2 6   10 − 5−2 6 

 3+ 2 − 1  3− 2 − 1
 5−2 6  2  5+2 2

= + 6 

 3+ 2 − 1  3− 2 − 1
 2 3.2  2  2 3.2  2
2) − 2) +
= (3+ + (3 +

 3+ 2 − 1  3− 2 − 1
=  3− 2  2  3+ 2

+ 2 

 3+ 2 3+ 2 − 1  3− 2 3− 2 − 1
=  3− 2 3+ 2 2  3+ 2 3− 2

 + 2 

2 −1 2 −1
2 2
( ) ( ) 
 3+ 2   3− 2 
=  3−2 + 
 3 − 2 

( ) ( )−1 −1

= 3+ 2 + 3− 2

=1+1
3+ 2 3− 2

= 1  3− 2 + 1  3+ 2
3+ 2 3− 2 3− 2 3+ 2

= 3− 2 + 3+ 2
3−2 3−2

= 3− 2+ 3+ 2=2 3

14. Akar-akar persamaan kuadrat Pembahasan :

2x2 + mx − 25 = 0 adalah p dan q . Jika Dik: p + q = − 1 m dan pq = −25 maka
8 2 16

p2 − 2 pq + q2 = 5 m ,maka nilai m p2 − 2 pq + q2 = 5 m
2 2

adalah …  ( p + q)2 − 4 pq = 5 m

A. – 10 2
B. – 5
C. 5   − 1 m 2 − 4  −25  = 5 m
 2  16  2
D. 6

E. 10  1 m2 + 25 = 5 m
4 42

 m2 + 25 = 10m  m2 −10m + 25 = 0

 (m − 5)2 = 0  m = 5 KUNCI : C

15. Nilai x yang memenuhi persamaan Pembahasan :

1( x−3)  9  1( x−3)

0, 092 1( x−3) 2
0, 33x+1
= 1 adalah …. 0, 092 =1  100  =1
0, 33x+1
A. – 2  3 3x+1
 10 
B. – 1
C. 0  3 x−3
D. 1  10   3 x−3  3 3x+1
 3 3x+1  10   10 
E. 2  =1 =

 10 

 x − 3 = 3x +1  2x = −4  x = −2
KUNCI : A

16. Nilai x dan y memenuhi system Pembahasan :

persamaan 2x+1 − 3y = 7 dan  2x+1 − 3y = 7  2.2x − 3y = 7

−2x−1 + 3y+1 = 1 maka nilai x + y adalah −2x−1 1 .2x
+ 3y+1 =1 2 + 3.3y =1
…
A. 0  2.2x − 3y = 7
B. 2  = −1  2.2x −12.3y
C. 3   1
D. 4  2 .2x − 3.3y = −4
E. 5