MATEMATIK SVM SEMESTER 4

A+

KOLEJ VOKASIONAL

MATEMATIK
SVM SEM 4

PENAAKULAN LOGIK
GRAF GERAKAN
MATRIKS

NAMA:_______________
ANGKA GILIRAN:__________

ISI KANDUNGAN 1

TOPIK 1 PENAAKULAN LOGIK 1
2
1.1 Pernyataan 3
1.1.1 Menerangkan maksud pernyataan dan seterusnya menentukan 4

nilai kebenaran bagi suatu pernyataan. 5
1.1.2 Menafikan suatu pernyataan. 6
1.1.3 Menentukan nilai kebenaran suatu pernyataan majmuk.
1.1.4 Membina pernyataan dalam bentuk implikasi 7
8
i) Jika p , maka q
ii) p jika dan hanya jika q 9
1.1.5 Membina dan membandingkan nilai kebenaran akas, songsangan 11
dan kontrapositif bagi suatu implikasi. 12
1.1.6 Menentukan contoh penyangkal untuk menafikan kebenaran 13
pernyataan tertentu. 15
1.2 Hujah. 19
1.2.1 Menerangkan maksud hujah, dan membezakan hujah deduktif
dan hujah induktif.
1.2.2 Membuat satu kesimpulan berdasarkan dua premis yang
diberi bagi :
a) Hujah Bentuk I
b) Hujah Bentuk II
c) Hujah Bentuk III
1.2.3 Membuat satu kesimpulan bagi satu kes khas berdasarkan
satu pernyataan umum yang diberikan secara deduksi.
1.2.4 Membuat satu kesimpulan umum berdasarkan pola turutan
nombor secara induksi.
1.2.5 Menyelesaikan masalah yang melibatkan penaakulan logik.

Latihan Ekstensif
Jawapan
Nota Ringkas

TOPIK 2 GRAF GERAKAN 20

2.1 Graf Jarak-Masa 20
2.1.1 Melukis graf jarak-masa. 22
2.1.2 Mentafsir graf jarak-masa dan menghuraikan gerakan berdasarkan 25
27
graf tersebut.
2.1.3 Menyelesaikan masalah yang melibatkan graf jarak-masa
2.2 Graf Laju-Masa
2.2.1 Melukis graf laju-masa.

2.2.2 Membuat perkaitan antara luas di bawah graf laju-masa dengan 28
jarak yang dilalui dan seterusnya menentukan jarak.
30
2.2.3 Mentafsir graf laju-masa dan menghuraikan gerakan berdasarkan 32
graf tersebut.
34
2.2.4 Menyelesaikan masalah yang melibatkan graf laju-masa. 35
37
Latihan Ekstensif
Jawapan 38
Nota Ringkas
38
TOPIK 3 MATRIKS
39
3.1 Matrisks 40
3.1.1 Mewakilkan maklumat situasi sebenar dalam bentuk matriks.
3.1.2 Menentukan peringkat matriks dan seterusnya mengenal pasti 41
43
unsur tertentu dalam suatu matriks. 45
3.1.3 Menentukan sama ada dua matriks adalah sama. 47

3.2 Operasi Asas Matriks 47
3.2.1 Menambah dan menolak matriks
3.2.2 Mendarab matriks dengan suatu nombor. 49
3.2.3 Mendarab dua matriks. 50
3.2.4 Menerangkan ciri-ciri matriks identiti.
3.2.5 Menerangkan maksud matriks songsang dan seterusnya 51
52
menentukan matriks songsang bagi suatu matriks 2 × 2. 56
3.2.6 Menggunakan kaedah matriks untuk menyelesaikan

persamaan linear serentak.
3.2.7 Menyelesaikan masalah yang melibatkan matriks.

Latihan Ekstensif
Jawapan
Nota Ringkas

MATEMATIK SVM
1.0 PENAAKULAN LOGIK SEMESTER 4

MATEMATIK SVM (SPM T4[3] 1.1 Pernyataan
1.0 PENAAKULAN LOGIK 1.1.1 Menerangkan maksud pernyataan dan
seterusnya menentukan nilai kebenaran
bagi suatu pernyataan.

Dalam unit ini pelajar akan mempelajari: Pernyataan ialah suatu ayat yang dapat ditentukan nilai
kebenarannya, iaitu sama ada benar atau palsu, tetapi
1.1 Pernyataan bukan kedua-duanya.
1.1.1 Menerangkan maksud pernyataan dan
Pernyataan boleh dibahagikan kepada
seterusnya menentukan nilai kebenaran a) pernyataan benar dan
bagi suatu pernyataan. b) pernyataan palsu.
1.1.2 Menafikan suatu pernyataan.
1.1.3 Menentukan nilai kebenaran suatu Ayat tanya, ayat seruan dan ayat perintah bukan
pernyataan majmuk. pernyataan. Ayat-ayat ini tidak dapat ditentukan
1.1.4 Membina pernyataan dalam bentuk kebenarannya.
implikasi
i) Jika p , maka q Contoh 1:
ii) p jika dan hanya jika q Tentukan sama ada ayat-ayat di bawah ialah pernyataan
1.1.5 Membina dan membandingkan nilai atau bukan pernyataan.
kebenaran akas, songsangan dan Berikan justifikasi anda.
kontrapositif bagi suatu implikasi. (a) Tolong hantar buku kerja.
1.1.6 Menentukan contoh penyangkal untuk (b) Menara Kuala Lumpur ialah menara yang
menafikan kebenaran pernyataan
tertentu. paling tinggi di Malaysia.
1.2 Hujah. (c) Bagaimanakah anda datang ke sekolah?
1.2.1 Menerangkan maksud hujah, dan (d) x + 3 = 5.
membezakan hujah deduktif dan hujah (e) – 6 < –8.
induktif. Penyelesaian:
1.2.2 Membuat satu kesimpulan berdasarkan (a) Bukan pernyataan kerana ayat itu tidak dapat
dua premis yang diberi bagi :
a) Hujah Bentuk I ditentukan nilai kebenarannya.
b) Hujah Bentuk II (b) Pernyataan kerana ayat itu benar.
c) Hujah Bentuk III (c) Bukan pernyataan kerana ayat itu tidak dapat
1.2.3 Membuat satu kesimpulan bagi satu
ditentukan nilai kebenarannya.
kes khas berdasarkan satu pernyataan (d) Bukan pernyataan kerana ayat itu tidak dapat

umum yang diberikan secara deduksi. ditentukan nilai kebenarannya.
(e) Pernyataan kerana ayat itu palsu.
1.2.4 Membuat satu kesimpulan umum Bukan semua pernyataan matematik benar. Nilai
kebenaran bagi semua pernyataan matematik boleh
berdasarkan pola turutan nombor ditentukan.

secara induksi. Contoh 2:
Tentukan sama ada pernyataan berikut benar atau palsu.
1.2.5 Menyelesaikan masalah yang Sekiranya palsu, buktikan.
(a) (x + y)2 = x2 + 2xy – y2, x ≠ 0, y ≠ 0
melibatkan penaakulan logik. (b) (x + 5)2 < 0, x ∈ R
(c) 2 + 6(4) > 4 + 6(2)
(d) 2 ∈ {Faktor bagi 8}
(e) {2, 5, 7} ∪ {Nombor Perdana} = {2, 5, 7}

∈ bermaksud unsur kepada nombor nyata.
• Nombor nyata boleh ditakrifkan sebagai
sebarang nombor nisbah atau nombor bukan
nisbah.

UNIT SAINS DAN MATEMATIK, KV SIBU, MAC 2021 1|Page

MATEMATIK SVM
1.0 PENAAKULAN LOGIK SEMESTER 4

Penyelesaian: (b) Sebilangan rombus mempunyai empat sisi
yang sama.
(a) Palsu Andaikan x = 2 dan y = 3, (c) Semua segi tiga mempunyai sisi yang sama
(x + y)2 = (2 + 3)2 panjang.
(d) Sebilangan poligon mempunyai lima sisi.
= 25 (e) Semua bulatan boleh dibahagikan kepada
x2 + 2xy – y2 = 22 + 2(2)(3) – 32 lapan sektor yang sama saiz.

=7
Maka (x + y)2 ≠ x2 + 2xy – y2

(b) Palsu (2 + 5)2 = 49 > 0 1.1.2 Menafikan suatu pernyataan.

(c) Benar Kita menggunakan perkataan "tidak" atau bukan"
(d) Benar untuk menafikan suatu pernyataan. Penafian
(e) Palsu pernyataan ditulis sebagai ∼

{2, 5, 7} ∪ {2, 3, 5, 7, 11, 13, ...} ‘∼ ’ disebut sebagai ‘tiada p’
= {Nombor Perdana}
Contoh 4:
Contoh 3: Bentuk satu penafian (∼ ) bagi setiap pernyataan ( )
Tentukan sama ada pernyataan matematik di bawah benar berikut dengan menggunakan perkataan "tidak" atau
atau palsu. Sekiranya palsu, buktikan. "bukan".
(a) Semua poligon mempunyai pepenjuru. (a) 12 ialah gandaan 5 .
(b) Sebilangan nombor kuasa dua sempurna (b) 41 ialah nombor perdana.
(c) Semua gandaan 5 ialah gandaan 10.
ialah nombor bulat. (d) 0.4 m bersamaan dengan 400 mm.
(c) Semua nombor genap mempunyai faktor Penyelesaian:
(a) 12 bukan gandaan 5 .
perdana. (b) 41 bukan nombor perdana.
(d) Sebilangan garis lurus memintas paksi-y. (c) Bukan semua gandaan 5 ialah gandaan 10.
Penyelesaian: (d) 0.4 m tidak bersamaan dengan 400 mm.
(a) Palsu. Segi tiga tidak mempunyai pepenjuru.
(b) Palsu. Nilai kebenaran bertukar daripada benar
kepada palsu atau sebaliknya melalui proses
Semua nombor kuasa dua sempurna ialah penafian.
nombor bulat.
(c) Benar
(d) Benar

Latih Kendiri .

1 Tentukan sama ada ayat-ayat di bawah pernyataan Latih Kendiri .

atau bukan pernyataan. Berikan justifikasi anda. Bentuk satu penafian (∼ ) bagi setiap pernyataan ( )
(a) Marilah kita pergi bermain di padang. berikut dengan menggunakan perkataan "tidak" atau
"bukan". Kemudian, tentukan nilai kebenaran penafian
(b) Malaysia terletak di benua Asia. tersebut.
(c) Adakah 3 + 2 = 8 ?
(d) + 3 > − 8 1 819 ialah gandaan 9.
(e) 3 + 5 = −7
2 Lelayang mempunyai dua paksi simetri.
2 Bina satu pernyataan yang benar dengan
3 Kon mempunyai satu muka melengkung.
menggunakan angka dan simbol yang diberikan.
4 Dua garis selari mempunyai kecerunan yang
(a) 23, +,9,40, > sama.

(b) {3,6,9}, {3}, ⊂ 5 Semua persamaan kuadratik mempunyai dua
punca yang sama.
(c) 5 , 1 ,×, 10 , =
6 4 3
(d) 2 + 3, ⩽, ( + 3)2

(e) 3√ , 9,27,12, =, +

3 Tentukan sama ada pernyataan di bawah benar
atau palsu.
(a) Semua segi empat mempunyai sudut tepat.

UNIT SAINS DAN MATEMATIK, KV SIBU, MAC 2021 2|Page

MATEMATIK SVM
1.0 PENAAKULAN LOGIK SEMESTER 4

1.1.3 Menentukan nilai kebenaran suatu
pernyataan majmuk.

Pernyataan majmuk ialah gabungan dua atau lebih
pernyataan dengan menggunakan perkataan "dan" atau
"atau".

Contoh 5:
Gabungkan pernyataan dan berikut dengan perkataan

(i) dan,

(ii) atau.
(a) : Pentagon mempunyai dua pepenjuru.

: Heptagon mempunyai empat pepenjuru.

(b) : Piramid mempunyai lima satah. Berdasarkan gambar rajah di atas, tiga pernyataan , ,
: Piramid mempunyai lima bucu. dan dibentuk.
: Rashid sedang berlari.
(c) : −4 ialah integer. : Kok Keong sedang berlari.
: 2 ialah integer. : Melinda sedang berlari.

Penyelesaian: Anda boleh gabungkan dua pernyataan dengan
(a) (i) Pentagon mempunyai dua pepenjuru dan heptagon menggunakan perkataan "dan" atau "atau".
dan : Rashid dan Kok Keong sedang berlari.
mempunyai empat pepenjuru. dan : Rashid dan Melinda sedang berlari.
(ii) Pentagon mempunyai dua pepenjuru atau heptagon atau : Kok Keong atau Melinda sedang berlari.

mempunyai empat pepenjuru. Daripada tiga pernyataan majmuk di atas, kita dapati
(b) (i) Piramid mempunyai lima satah dan lima bucu. bahawa pernyataan "p dan " benar kerana kedua-dua
Rashid dan Kok Keong sedang berlari tetapi "p dan "
(ii) Piramid mempunyai lima satah atau lima bucu. adalah palsu kerana bukan kedua-dua Rashid dan Melinda
(c) (i) −4 dan 2 ialah integer. sedang berlari. Akan tetapi, pernyataan majmuk " atau
" benar kerana sebahagian daripada pernyataan itu
(ii) −4 atau 2 ialah integer. benar.

Contoh 6 Maka, nilai kebenaran pernyataan majmuk boleh
Tentukan dua pemyataan dan daripada ayat majmuk disimpulkan seperti yang ditunjukkan dalam jadual
di bawah. kebenaran berikut.
(a) 5 + 3 > 5 dan 5 − 3 < 5.
(b) 9 dan 91 ialah nombor perdana.
(c) 22 = 4 atau 23 = 8.
(d) −9 < 10 atau 9 < 10.
Penyelesaian:
(a) : 5 + 3 > 5

: 5 − 3 < 5.

(b) : 9 ialah nombor perdana.
: 91 ialah nombor perdana.

(c) : 22 = 4. Contoh 7:
: 23 = 8. Tentukan nilai kebenaran pernyataan majmuk yang
berikut.
(d) : −9 < 10. (a) 2 dan −5 lebih besar daripada 4 .
: 9 < 10. (b) + 3 < − 5 dan 99 ialah nombor ganjil.
(c) 81 ialah nombor kuasa dua sempurna dan 6 ialah
Perkataan "dan" dalam pernyataan matematik faktor bagi 18 .
membawa maksud kedua-dua. Manakala perkataan
"atau" membawa maksud salah satu atau kedua-dua. 3|Page

UNIT SAINS DAN MATEMATIK, KV SIBU, MAC 2021

MATEMATIK SVM
1.0 PENAAKULAN LOGIK SEMESTER 4

(d) = 3 selari dengan − 3 = 5 dan pintasan- 1.1.4 Membina pernyataan dalam bentuk
bagi garis lurus − 3 = 5 ialah 3 . implikasi
(e) 2 + 3 = 23 atau 2 × 3 = 23. i) Jika p , maka q
(f) 5 × 5 × 5 = 53 atau √125 = 5. ii) p jika dan hanya jika q

(g) Hasil tambah sudut pedalaman segi tiga atau segi Implikasi "Jika , maka ′′
empat ialah 360∘. Pernyataan "jika , maka " dikenali sebagai implikasi
(h) 4 − (−7) = 11 atau 4 + 7 = 11.
dengan keadaan
Penyelesaian:

• dikenali sebagai antejadian.

• dikenali sebagai akibat.

Contoh 8:

Bentuk implikasi "jika , maka " dengan antejadian dan
akibat berikut.
(a) Antejadian : boleh dibahagi tepat dengan 5 .

Akibat : ialah gandaan 5
(b) Antejadian : Set subset kepada set .

Akibat : ( ) ⩽ ( )
Penyelesaian:
(a) Jika boleh dibahagi tepat dengan 5 , maka ialah
gandaan 5 .
(b) Jika set subset kepada set , maka ( ) ⩽ ( ).

Latih Kendiri . Contoh 9:

1 Gabungkan pernyataan dan berikut dengan Tentukan antejadian dan akibat daripada implikasi "jika ,
maka " berikut.
menggunakan perkataan yang diberi dalam kurungan (a) Jika ialah faktor bagi 16, maka ialah faktor bagi
64.
untuk membentuk pernyataan majmuk. (b) Jika − > 0, maka > .
(a) : 2 ialah faktor perdana bagi 6 . (atau) Penyelesaian:
(a) Antejadian: ialah faktor bagi 16 .
: 3 ialah faktor perdana bagi 6.
(b) : Kon mempunyai satu bucu. (dan) Akibat : ialah faktor bagi 64
(b) Antejadian : − > 0
: Kon mempunyai satu satah.
(c) : Rombus ialah segi empat selari. (dan) Akibat : >

: Trapezium ialah segi empat selari. Implikasi " jika dan hanya jika "
Selain implikasi "jika , maka ", implikasi " jika dan
2 Tentukan nilai kebenaran pernyataan majmuk yang hanya jika " juga kerap digunakan dalam penaakulan
logik.
berikut.
Implikasi " jika dan hanya jika " terdiri daripada dua
(a) 49 ialah gandaan 7 dan nombor kuasa dua implikasi yang berikut:

sempurna. • jika , maka

(b) 3 jam = 120 minit dan 4 minit = 240 saat. • jika , maka
(c) Pekali bagi 9 ialah 9 dan 90 = 0.
Contoh 10:
(d) 3 ∈ {1,2,5} dan {8,9} ⊂ {6,7,8}.
Bentuk implikasi " jika dan hanya jika " bagi
(e) 2 boleh diungkap sebagai perpuluhan berulang implikasi yang berikut.
9

atau kurang daripada 1.

(f) 4 atau 5 ialah pecahan wajar.
5 4

(g) 6 atau 8 ialah nombor ganjil.

(h) 4√64 = 2atau 23 = 8.

UNIT SAINS DAN MATEMATIK, KV SIBU, MAC 2021 4|Page

MATEMATIK SVM
1.0 PENAAKULAN LOGIK SEMESTER 4

(a) Jika ialah nombor perdana, maka mempunyai dua maka ialah nombor kuasa dua sempuma.
faktor sahaja.
Jika mempunyai dua faktor sahaja, maka ialah (b) Jika ∩ = , maka ⊂
nombor perdana.
Jika ⊂ , maka ∩ =
(b) Jika = + ialah persamaan linear, (c) Jika = 1, maka = −1 dan = −1
maka = 1. Jika = −1 dan = −1, maka = 1
Jika = 1, maka = + ialah persamaan linear. (d) Jika 2 = 4, maka ( + 2)( − 2) = 0.
Penyelesaian: Jika ( + 2)( − 2) = 0, maka 2 = 4
(a) ialah nombor perdana jika dan hanya jika
mempunyai dua faktor sahaja. 4 Tulis dua implikasi berdasarkan implikasi " jika
(b) = + ialah persamaan linear jika dan hanya
jika = 1. dan hanya jika " yang berikut.

(a) ialah poligon sekata jika dan hanya jika

= =

(b) ialah pecahan tidak wajar jika dan hanya jika

> .

Contoh 11: (c) 9 ialah pintasan- bagi garis lurus = +

Tulis dua implikasi berdasarkan implikasi " jika dan jika dan hanya jika = 9.
hanya jika " yang berikut.
(a) √ = 15 jika dan hanya jika = 225. (d) ( ) = 2 + + mempunyai titik
(b) < 6 jika dan hanya jika + 10 < 16.
Penyelesaian: maksimum jika dan hanya jika < 0.
(a) Implikasi 1: Jika √ = 15, maka = 225
1.1.5 Membina dan membandingkan nilai
Implikasi 2: Jika = 225, maka √ = 15. kebenaran akas, songsangan dan
(b) Implikasi 1: Jika < 6, maka + 10 < 16 kontrapositif bagi suatu implikasi.

Implikasi 2: Jika + 10 < 16, maka < 6

Implikasi/Pernyataan : Jika p, maka q

Latih Kendiri . Akas : Jika q, maka p.

Songsangan : Jika ~p, maka ~q.

1 Bentuk implikasi "jika , maka " dengan antejadian Kontrapositif : Jika ~q, maka ~p.

dan akibat berikut.

(a) Antejadian : = 3 Contoh 12:

Akibat : 4 = 81 Tulis akas, songsangan dan kontrapositif bagi implikasi

(b) Antejadian : 3 + 2 + + = 0 ialah yang diberikan berikut.
(a) Jika ialah nombor positif, maka lebih besar
persamaan kubik. daripada 0.
(b) Jika 2 − 2 > 0, maka ( + )( − ) > 0
Akibat : ≠ 0 (c) Jika = 5, maka + 1 = 6

(c) Antejadian : − 5 > 2 Penyelesaian:
(a) Pernyataan : Jika ialah nombor positif, maka lebih
Akibat : < −5 besar daripada 0.
Akas : Jika lebih besar daripada 0, maka ialah
(d) Antejadian : > 1
nombor positif.
Akibat : 2 > 2 Songsangan : Jika bukan nombor positif, maka tidak
lebih besar daripada 0.
2 Tentukan antejadian dan akibat daripada implikasi Kontrapositif : Jika tidak lebih besar daripada 0, maka
"jika , maka " berikut.
(a) Jika ialah nombor genap, maka 2 ialah nombor bukan nombor positif.
(b) Pernyataan : Jika 2 − 2 > 0,
genap.
(b) Jika set = , maka ( ) = 0 maka ( + )( − ) > 0
(c) Jika ialah nombor bulat, maka 2 ialah nombor Akas : Jika ( + )( − ) > 0, maka 2 − 2 > 0
Songsangan : Jika 2 − 2 ⩽ 0,
genap.
(d) Jika garis lurus ialah tangen kepada bulatan , maka ( + )( − ) ⩽ 0
maka garis lurus hanya menyentuh bulatan Kontrapositif : Jika ( + )( − ) ⩽ 0,

pada satu titik sahaja.

3 Bentuk implikasi " jika dan hanya jika " bagi
implikasi yang berikut.
(a) Jika ialah nombor kuasa dua sempurna, maka

√ ialah nombor bulat. Jika √ ialah nombor bulat,

UNIT SAINS DAN MATEMATIK, KV SIBU, MAC 2021 5|Page

MATEMATIK SVM
1.0 PENAAKULAN LOGIK SEMESTER 4

maka 2 − 2 ⩽ 0 Latih Kendiri 1.le
(c) Pernyataan : Jika = 5, maka + 1 = 6
1 Tulis akas, songsangan dan kontrapositif bagi setiap
Akas : Jika + 1 = 6, maka = 5 implikasi yang berikut.
(a) Jika + 3 > 2, maka > −1
Songsangan : Jika ≠ 5, maka + 1 ≠ 6 (b) Jika ( − 3)( + 4) = 0 mempunyai dua punca
berbeza, maka hasil tambah punca
Kontrapositif : Jika + 1 ≠ 6, maka ≠ 5
bagi ( − 3)( + 4) = 0 ialah −1
Selepas mengenal pasti akas, songsangan dan (c) Jika ialah sebuah segi empat selari, maka
selari dengan .
kontrapositif suatu implikasi, anda akan menilai
2 Tentukan nilai kebenaran implikasi, akas, songsangan
kebenaran pernyataan yang disebut tadi. dan kontrapositif bagi setiap pernyataan berikut.
(a) Jika 2 ialah faktor bagi 10, maka 10 boleh
Maka, anda boleh menyenaraikan nilai kebenaran bagi dibahagi tepat dengan 2 .
implikasi "jika , maka ", akas, songsangan dan (b) Jika 4 ialah punca bagi 2 − 16 = 0, maka 4
bukan punca bagi ( + 4)( − 4) = 0.
kontrapositif yang sepadannya dengan jadual berikut: (c) Jika segi empat tepat mempunyai empat paksi
simetri, maka segi empat tepat mempunyai empat sisi.
I A S K (d) Jika 55 + 55 = 4 × 5, maka 666 + 666 = 6 × 6

Benar Benar Jika , Jika , Jika ∼ , Jika ∼
Benar Palsu maka . maka . maka ∼ . , maka

Benar Benar Benar ∼ .
Palsu Benar Benar
Benar

Palsu

Palsu Benar Benar Palsu Palsu Benar 1.1.6 Menentukan contoh penyangkal untuk
Palsu Palsu Benar Benar Benar
Benar menafikan kebenaran pernyataan
tertentu.

Secara kesimpulannya, Bagi setiap pernyataan palsu, sekurang-kurangnya satu
Nilai kebenaran implikasi "jika , maka " adalah contoh panyangkal boleh diberi untuk menafikan
sentiasa benar kecuali apabila benar dan palsu kebenaran pernyataan tersebut. Sebagai contoh,
berlaku pada masa yang serentak. Jika sesuatu antejadian pernyataan "Semua poligon mempunyai dua atau lebih
palsu, maka implikasi "jika , maka " sentiasa benar pepenjuru." adalah palsu kerana segi tiga tidak
tanpa bergantung pada nilai kebenaran akibatnya. mempunyai pepenjuru. Segi tiga di sini merupakan
contoh penyangkal untuk menyokong nilai palsu tersebut.
Contoh 13:
Tentukan nilai kebenaran implikasi, akas, songsangan dan Contoh 14:
kontrapositif bagi implikasi Tentukan nilai kebenaran pernyataan matematik di bawah.
"Jika 2 × 3 = 6, maka 8 − 2 × 3 = 18 Sekiranya palsu, berikan satu contoh penyangkal untuk
Penyelesaian: menyokong jawapan anda.
(a) Semua poligon mempunyai hasil tambah sudut
Pernyataan Antej Akib Nilai pedalaman 180∘.
adian at keben (b) Sebilangan nombor perdana ialah nombor genap.
Implikasi: Jika 2 × 3 = 6, aran (c) 4 dan 8 ialah faktor bagi 20 .
Akas: maka 8 − Benar Palsu (d) 6 atau 36 ialah gandaan 9 .
2 × 3 = 18. Palsu Penyelesaian:
Songsangan: Palsu Benar (a) Palsu kerana pentagon mempunyai hasil sudut sudut
Jika 8 − Benar pedalaman 540∘.
2 × 3 = 18, Palsu Benar (b) Benar.
maka 2 × 3 = 6. Benar (c) Palsu kerana 8 bukan faktor bagi 20 .
(d) Benar.
Jika 2 × 3 ≠ 6,
maka 8 −
2 × 3 ≠ 18.

Kontrapositif Jika 8 − Benar Palsu Palsu
2 × 3 ≠ 18,
maka 2 × 3 ≠ 6.

UNIT SAINS DAN MATEMATIK, KV SIBU, MAC 2021 6|Page

MATEMATIK SVM
1.0 PENAAKULAN LOGIK SEMESTER 4

Contoh 15: 1.2 Hujah.
Tulis pernyataan matematik yang dikehendaki dalam 1.2.1 Menerangkan maksud hujah, dan
kurungan bagi setiap yang berikut. Kemudian, tentukan membezakan hujah deduktif dan hujah
nilai kebenaran bagi pernyataan yang ditulis. Sekiranya induktif.
palsu, berikan satu contoh penyangkal untuk menyokong
jawapan anda. Pernyataan khusus ialah pernyataan yang khas merujuk
(a) 6 ∈ {3,6,9}. (Penafian) suatu kes tertentu, manakala pernyataan umum ialah
(b) Semua gandaan 10 ialah gandaan 2. (Penafian) pernyataan yang menerangkan sesuatu konsep secara
(c) Jika > 5, maka > 3. (Akas) menyeluruh.
(d) Jika punca kepada 3 − 1 = 0, maka = 1. Terdapat dua jenis hujah, iaitu hujah deduktif dan hujah
(Songsangan) induktif.
(e) Jika 2 > 0, maka > 0. (Kontrapositif)
Penyelesaian: • Hujah deduktif ialah proses kesimpulan khusus
(a) Penafian: 6 ∉ {3,6,9}. Palsu kerana 6 ialah unsur bagi dibina berdasarkan premis umum.
{3,6,9}.
(b) Penafian: Bukan semua gandaan 10 ialah gandaan 2. • Hujah induktif ialah proses kesimpulan umum
Palsu kerana semua gandaan 10 boleh dibahagi tepat dibina berdasarkan premis khusus.
dengan 2 .
(c) Akas: Jika > 3, maka > 5. Palsu kerana 4 > 3 Contoh 16:
tetapi 4 < 5. Tentukan sama ada hujah berikut ialah hujah deduktif
(d) Songsangan: Jika bukan punca kepada 3 − 1 = 0, atau hujah induktif.
maka ≠ 1. Benar. (a) Semua sudut tirus kurang daripada 90∘. Sudut
(e) Kontrapositif: Jika ⩽ 0, maka 2 ⩽ 0. Palsu kerana ialah sudut tirus. Maka, sudut kurang daripada 90∘.
−2 < 0 tetapi (−2)2 = 4 > 0 (b) Semua wakil pertandingan sudoku ialah ahli Persatuan
Matematik. Jamal ialah wakil pertandingan sudoku. Maka,
Latih Kendiri 1.lf Jamal ialah ahli Persatuan Matematik.
(c) Hasil tambah sudut peluaran segi tiga ialah 360∘.
1 Tentukan nilai kebenaran bagi pernyataan matematik Hasil tambah sudut peluaran segi empat ialah 360∘. Hasil
di bawah. Sekiranya palsu, berikan satu contoh tambah sudut peluaran pentagon ialah 360∘. Maka, hasil
penyangkal untuk menyokong jawapan anda. tambah sudut peluaran setiap poligon ialah 360∘.
(a) Semua segi empat tepat ialah segi empat sama. (d) Hasil tambah digit 18 boleh dibahagi tepat dengan 9.
(b) Sebilangan nombor kuasa dua sempurna boleh Hasil tambah digit 27 boleh dibahagi tepat dengan 9.
dibahagi tepat dengan 5 . Hasil tambah digit 36 boleh dibahagi tepat dengan 9.
(c) 5 atau 9 mempunyai dua faktor. Maka, hasil tambah digit gandaan 9 boleh dibahagi tepat
(d) 36 ialah gandaan 4 dan gandaan 14 . dengan 9.

2 Tulis pernyataan matematik yang dikehendaki dalam

kurungan bagi setiap yang berikut. Kemudian,

tentukan nilai kebenaran bagi pernyataan yang ditulis.

Sekiranya palsu, berikan satu contoh penyangkal untuk

menyokong jawapan anda.
(a) 1008 − 778 = 18 (Penafian)
(b) Kuboid mempunyai empat keratan rentas seragam.

(Penafian)
(c) Jika = 2 selari dengan = 2 − 1, maka =
2 dan = 2 − 1 mempunyai kecerunan yang sama.

(Akas)
(d) Jika segi tiga bersudut tepat di , maka 2 =
2 + 2. (Songsangan)
(e) Jika < 7, maka < 5. (Kontrapositif)

UNIT SAINS DAN MATEMATIK, KV SIBU, MAC 2021 7|Page

MATEMATIK SVM
1.0 PENAAKULAN LOGIK SEMESTER 4

1.2.2 Membuat satu kesimpulan berdasarkan
dua premis yang diberi bagi :
a) Hujah Bentuk I
b) Hujah Bentuk II
c) Hujah Bentuk III

Suatu hujah deduktif dikatakan munasabah jika semua
premis dan kesimpulannya adalah benar.

Latih Kendiri 1.2a Premis 1: Semua pelakon pandai menari.
Tentukan sama ada hujah berikut ialah hujah deduktif Premis 2: Jasmine ialah pelakon.
atau hujah induktif. Kesimpulan: Jasmine pandai menari.
Hujah di atas merupakan satu hujah yang sah. Walaupun
1 Semua faktor bagi 6 ialah faktor bagi 12. 1,2,3 dan 6 kita tahu bahawa Premis 1 adalah palsu (bukan semua
ialah faktor bagi 6. Maka, 1,2,3 dan 6 ialah faktor bagi pelakon pandai menari) tetapi hujah ini masih sah kerana
12 . hujah ini memenuhi Bentuk I seperti dalam jadual di atas.
Tetapi hujah di atas adalah tidak munasabah kerana
2 52 × 53 = 55, 53 × 54 = 57, 54 × 55 = 59. Maka, Premis 1 adalah palsu.
5 × 5 = 5 + .
Premis 1: Semua pelakon pandai menari.
3 2(1) = 2,2(2) = 4,2(3) = 6, …. Maka pola nombor Premis 2: Jasmine pandai menari.
2,4,6, … boleh ditulis sebagai 2 = 1,2,3, … Kesimpulan: Jasmine ialah pelakon.
Hujah di atas tidak sah kerana tidak mematuhi ketiga-tiga
4 Semua poligon sekata mempunyai sisi yang sama bentuk deduktif yang sah. Maka, premis yang benar tidak
panjang. ialah poligon sekata. Maka, menjamin kesahan suatu hujah.
mempunyai sisi yang sama panjang.

5 Semua gandaan 10 berakhir dengan digit 0. Nombor Secara generalisasi,
50 ialah gandaan 10. Maka, nombor 50 berakhir Kesahan suatu hujah ditentukan berdasarkan bentuk hujah
dengan digit 0 . tersebut, bukan berdasarkan kebenaran premis atau
kesimpulan.
6 (1)2 + 2 = 3, (2)2 + 2 = 6, (3)2 + 2 = 11 …. Maka,
pola nombor 3,6,11, … boleh ditulis sebagai 2 + Contoh 17
2; = 1,2,3, … Adakah hujah di bawah sah dan munasabah? Sekiranya
tidak, berikan justifikasi anda.
7 (1 + 1)2 = 4, (1 + 2)2 = 9, (1 + 3)2 = 16, … Maka, (a) Premis 1 : Semua gandaan 16 ialah nombor genap.
pola nombor 4,9,16, … boleh ditulis sebagai (1 +
)2; = 1,2,3, … Premis 2: 64 ialah gandaan 16 .
Kesimpulan: 64 ialah nombor genap.
8 Semua gandaan 9 ialah gandaan 3. Nombor 72 ialah (b) Premis 1 : Semua bola keranjang berbentuk sfera.
gandaan 9. Maka, nombor 72 ialah gandaan 3 . Premis 2: Bumi berbentuk sfera.
Kesimpulan: Bumi ialah bola keranjang.
9 Semua nombor nisbah boleh ditulis dalam bentuk (c) Premis 1: Jika < 9, maka < 19
pecahan. 1.5 ialah nombor nisbah. Maka 1.5 boleh Premis 2: 4 < 9
ditulis dalam bentuk pecahan. Kesimpulan: 4 < 19.
(d) Premis 1: Jika ≠ 0, maka + + ialah
10 Sudut penggenap bagi 60∘ ialah 120∘. Sudut ungkapan kuadratik.
penggenap bagi 45∘ ialah 135∘. Maka sudut Premis 2: ≠ 0
penggenap bagi ialah 180∘ − Kesimpulan: + + ialah ungkapan kuadratik.

UNIT SAINS DAN MATEMATIK, KV SIBU, MAC 2021 8|Page

MATEMATIK SVM
1.0 PENAAKULAN LOGIK SEMESTER 4

(e) Premis 1: Jika boleh dibahagi tepat dengan 8, maka berserenjang.
boleh dibahagi tepat dengan 4. Kesimpulan: QRS ialah rombus.

Premis 2: 12 tidak boleh dibahagi tepat dengan 8. 8 Premis 1 : Jika nombor genap, maka 3 nombor
Kesimpulan: 12 tidak boleh dibahagi tepat dengan 4. genap.
(f) Premis 1 : Jika ialah nombor genap, maka + 1 Premis 2: 3 bukan nombor genap.
ialah nombor ganjil. Kesimpulan: bukan nombor genap.
Premis 2: 8 + 1 ialah nombor ganjil.
Kesimpulan: 8 ialah nombor genap. 9 Premis 1: Jika > 5, maka 2 > 25.
Premis 2: ∈ 5.
Penyelesaian: Kesimpulan: 2 ≤ 25
(a) Sah dan munasabah.
(b) Tidak sah kerana tidak mematuhi bentuk hujah 10 Premis 1: Semua kubus ialah kuboid.
deduktif yang sah. Tidak munasabah kerana kesimpulan Premis 2: Objek ialah kubus.
adalah palsu. Kesimpulan: Objek ialah kuboid.
(c) Sah dan munasabah.
(d) Sah tetapi tidak munasabah kerana premis 1 dan 1.2.3 Membuat satu kesimpulan bagi satu
kesimpulan tidak benar.
(e) Tidak sah kerana tidak mematuhi bentuk hujah kes khas berdasarkan satu
deduktif yang sah. Tidak munasabah kerana
kesimpulannya palsu. pernyataan umum yang diberikan
(f) Tidak sah tetapi munasabah kerana tidak mematuhi
bentuk hujah deduktif yang sah. secara deduksi.

Latih Kendiri 1.2b Contoh 18:
Adakah hujah di bawah sah dan munasabah? Sekiranya Bentuk suatu hujah deduktif yang sah bagi setiap situasi
tidak, berikan justifikasi anda. yang berikut.
(a) Semua mamalia menyusui anaknya. Kucing ialah
1 Premis 1: Semua gandaan 5 ialah gandaan 10 . mamalia. Kucing menyusui anaknya.
Premis 2: 35 ialah gandaan 5 . (b) Jika lebih besar daripada 0 , maka bernilai positif.
Kesimpulan: 35 ialah gandaan 10. 6 lebih besar daripada 0.6 bernilai positif.
(c) Jika ialah nombor ganjil, maka + 1 boleh dibahagi
2 Premis 1 : Semua segi empat sama bersudut tepat. tepat dengan 2. 18 bukan nombor ganjil.
Premis 2: ialah segi empat sama. Penyelesaian:
Kesimpulan: bersudut tepat. (a) Premis 1 : Semua mamalia menyusui anaknya.
Premis 2 : Kucing ialah mamalia.
3 Premis 1 : Jika √ < 3, maka < 9 Kesimpulan : Kucing menyusui anaknya.
Premis 2: √4 < 3 (b) Premis 1 : Jika lebih besar daripada 0 , maka
Kesimpulan: 4 < 9 bernilai positif.
Premis 2 : 6 lebih besar daripada 0 .
4 Premis 1 : Jika − 5 < 9, maka > 9. Kesimpulan : 6 bernilai positif.
Premis 2: 10 − 5 < 9 (c) Premis 1 : Jika ialah nombor ganjil, maka + 1
Kesimpulan: 10 > 9 boleh dibahagi tepat dengan 2.
Premis 2 : 18 + 1 tidak boleh dibahagi tepat dengan 2
Kesimpulan : 18 bukan nombor ganjil.

5 Premis 1: Jika ialah faktor bagi 6, maka 6 boleh Contoh 19:
dibahagi tepat dengan . Tulis kesimpulan bagi setiap hujah deduktif berikut untuk
Premis 2: 6 boleh dibahagi tepat dengan 3. membentuk hujah deduktif yang sah dan munasabah.
Kesimpulan: 3 ialah faktor bagi 6. (a) Premis 1 : Semua nombor bulat ialah nombor nyata.

6 Premis 1: Jika 1 selari dengan 2, maka kecerunan Premis 2 : 38 ialah nombor bulat.

1 = kecerunan 2 Kesimpulan :
Premis 2: Kecerunan 1 ≠ kecerunan 2 (b) Premis 1 : Jika 2 + + = 0 mempunyai punca
nyata, maka 2 − 4 ⩾ 0.
Kesimpulan: 1 tidak selari dengan 2
Premis 2 : 2 2 + − 2 = 0 mempunyai punca nyata.
7 Premis 1 : Semua rombus mempunyai pepenjuru yang
berserenjang. Kesimpulan :
Premis 2: PQRS mempunyai pepenjuru yang (c) Premis 1 : Jika garis lurus = + selari dengan
paksi- , maka = 0.

UNIT SAINS DAN MATEMATIK, KV SIBU, MAC 2021 9|Page

MATEMATIK SVM
1.0 PENAAKULAN LOGIK SEMESTER 4

Premis 2 : ≠ 0 Latih Kendiri 1.2c
Kesimpulan : Tulis kesimpulan bagi setiap hujah deduktif berikut untuk
Penyelesaian: membentuk hujah deduktif yang sah dan munasabah.
(a) Premis 1 : Semua nombor bulat ialah nombor nyata. (a) Premis 1 : Semua murid 4 Amanah menggunakan
Premis 2 : 38 ialah nombor bulat. buku teks digital.
Kesimpulan : 38 ialah nombor nyata. Premis 2 : Preevena seorang murid 4 Amanah.
Kesimpulan :
(b) Premis 1 : Jika 2 + + = 0 mempunyai punca
nyata, maka 2 − 4 ⩾ 0 (b) Premis 1 : Jika Kai Meng menjadi johan dalam
Premis 2 : 2 2 + − 2 = 0 mempunyai punca nyata. pertandingan catur peringkat negeri, maka dia mendapat
Kesimpulan : 2 − 4(2)(−2) ⩾ 0 hadiah tunai RM200.
Premis 2 : Kai Meng menjadi johan dalam pertandingan
(c) Premis 1 : Jika garis lurus = + selari dengan catur peringkat negeri.
palksi- , maka = 0. Kesimpulan :
Premis 2 : ≠ 0
Kesimpulan : Garis lurus = + tidak selari dengan (c) Premis 1 : Jika segi empat ialah poligon sekata,
paksi- . maka segi empat ialah segi empat sama.
Premis 2 : Segi empat bukan segi empat sama.
Contoh 20: Kesimpulan :
Tulis premis bagi setiap hujah deduktif berikut untuk
membentuk hujah deduktif yang sah dan munasabah. (d) Premis 1 : Semua segi tiga sama kaki mempunyai
satu paksi simetri.
(a) Premis 1: Premis 2 :△. ialah segi tiga sama kaki.
Premis 2 : 37 ialah nombor perdana. Kesimpulan :
Kesimpulan : 37 hanya mempunyai dua faktor.
(c) Premis 1 : Jika 3 = 2 , maka : = 2: 3.
(b) Premis 1 : Jika jualan tahunan Syarikat ANC Premis 2 : 3 = 2
melebihi tiga juta, maka pekerjanya mendapat bonus tiga Kesimpulan :
bulan gaji.
Premis 2 (f) Premis 1 : Jika + 3 ⩽ 2 − 9, maka ⩾ 12
Kesimpulan : Jualan tahunan Syarikat ANC tidak Premis 2 : < 12
melebihi tiga juta. Kesimpulan :

(c) Premis 1 : Jika = , maka ialah punca bagi 2. Tulis premis bagi setiap hujah deduktif berikut untuk
persamaan 3 2 − 5 = 12 membentuk hujah deduktif yang sah.
Premis 2 (a) Premis 1 : Semua garis lurus yang mempunyai
Kesimpulan : ≠ 9 kecerunan sifar selari dengan paksi-x.
Premis 2
Penyelesaian: Kesimpulan : Garis lurus selari dengan paksi- .
(a) Premis 1 : Semua nombor perdana hanya mempunyai
dua faktor. (b) Premis 1
Premis 2 : 37 ialah nombor perdana. Premis 2 : 891 ialah gandaan 9 .
Kesimpulan : 37 hanya mempunyai dua faktor. Kesimpulan : 891 boleh dibahagi tepat dengan 3.
(b) Premis 1 : Jika jualan tahunan Syarikat ANC
melebihi tiga juta, maka pekerjanya mendapat bonus tiga (c) Premis 1 : Jika poligon P ialah nonagon, maka poligon
bulan gaji. P mempunyai sembilan bucu.
Premis 2 : Pekerja Syarikat ANC tidak mendapat bonus Premis 2:
tiga bulan gaji. Kesimpulan : Poligon P mempunyai sembilan bucu.
Kesimpulan : Jualan tahunan Syarikat ANC tidak
melebihi tiga juta. (d) Premis 1 :
(c) Premis 1 : Jika = , maka punca bagi persamaan Premis 2 : x > 6.
3 2 − 5 = 12 Kesimpulan : x > 4.
Premis 2 : 9 bukan punca bagi persamaan 3 2 − 5 = 12
Kesimpulan : ≠ 9 10 | P a g e

UNIT SAINS DAN MATEMATIK, KV SIBU, MAC 2021

MATEMATIK SVM
1.0 PENAAKULAN LOGIK SEMESTER 4

(e) Premis 1 : Jika hari ini hujan, maka suhu bilik adalah (d) Pola 0,9,24,45, …
kurang daripada 19∘C. 0 = 3(1)2 − 3
Premis 2 : 9 = 3(2)2 − 3
Kesimpulan : Hari ini tidak hujan. 24 = 3(3)2 − 3
45 = 3(4)2 − 3
(f) Premis 1
Premis 2 : ≠ 8 Penyelesaian:
Kesimpulan : 3 − 8 ≠ 16 (a) −1; = 1,2,3,4, …

1.2.4 Membuat satu kesimpulan umum ( )(0.5) ; = 1,2,3,4, …

berdasarkan pola turutan nombor (c) 2 + 1; = 0,1,2,3, …
(d) 3 2 − 3; = 1,2,3,4, …
secara induksi.
Latih Kendiri .
Hujah induktif yang kuat dan meyakinkan bergantung
pada premis dan Bentuk satu kesimpulan induktif yang kuat bagi setiap
kesimpulan yang benar. Premis yang diberikan pola nombor yang berikut
merupakan bukti atau
sokongan kepada kesimpulan yang akan dibuat.
Penaakulan induktif
boleh dijalankan mengikut langkah-langkah berikut.

1. Pola 1 , 1 , 1 , 1 , …
3 6 9 12

Contoh 21: 1 = (3 × 1)−1
Bentuk satu kesimpulan induktif yang kuat bagi setiap 3
pola nombor yang berikut. 1
6 2)−1
= (3 ×

(a) Pola 1 , 1 , 1 , 1 , … 1 = (3 × 3)−1
1 2 3 4 9
1
1 = 1−1 1
12
1 = 2−1 = (3 × 4)−1

2 2. Pola 0.2, 0.4, 0.6, 0.8, …

1 = 3−1

3
1
4 = 4−1 0.2 = 1
5
⋮
0.4 = 2
(b) Pola0.5,0.25,0.125,0.0625, …
5

0.5 = 0.51 0.6 = 3
0.25 = (0.5)2
0.125 = (0.5)3 5
0.0625 = (0.5)4
0.8 = 4
⋮
(c) Pola 1,3,5,7, … 5

⋮

3 Pola 0, 3, 18, 57, …
0 = 2(0)

3 = 2(1) + 1

1 = 2(0) + 1 18 = 2(8) + 2
3 = 2(1) + 1
5 = 2(2) + 1 57 = 2(27) + 3
7 = 2(3) + 1
⋮ ⋮

UNIT SAINS DAN MATEMATIK, KV SIBU, MAC 2021 11 | P a g e

MATEMATIK SVM
1.0 PENAAKULAN LOGIK SEMESTER 4

4 Pola 19,16,4, −44, … Contoh 23:
19 = 20 − 40 Jadual di bawah menunjukkan jumlah kereta mainan yang
16 = 20 − 41 telah dihasilkan oleh Kilang TOY pada suatu pagi.
4 = 20 − 42
Masa Jumlah kereta mainan
−44 = 20 − 43 8: 00 pagi 270
⋮ 9: 00 pagi 520
10: 00 pagi 770
1.2.5 Menyelesaikan masalah yang 11: 00 pagi 1020

melibatkan penaakulan logik. (a) Bina satu rumus yang umum bagi bilangan kereta
mainan yang telah dihasilkan oleh Kilang TOY
Contoh 22: berdasarkan jadual di atas.
Rajah di sebelah menunjukkan pertumbuhan sejenis sel (b) Kilang TOY beroperasi dari pukul 7 pagi hingga
bermula dengan sel A. Pada hari pertama, dua sel baharu pukul 10 malam 5 hari dalam seminggu.
dihasilkan. Setiap sel akan menghasilkan dua sel yang (i) Berapakah kereta mainan dapat dihasilkan oleh Kilang
lain pada hari seterusnya. Diberi TOY pada satu hari?
bilangan pertumbuhan sel ialah (ii) Kilang TOY menerima satu pesanan sebanyak 25000
( ) = 2 , dengan keadaan kereta mainan. Pesanan ini perlu disiapkan dalam masa
ialah bilangan hari. seminggu. Adakah Kilang TOY dapat menyerahkan
(a) Berapakah bilangan sel kereta mainan yang dipesan ini pada masa yang
baharu akan terhasil pada hari ditetapkan? Sekiranya tidak, cadangkan satu cara
ke- 8 ? penyelesaian supaya Kilang TOY dapat menyiapkan
(b) Pada hari keberapakah pesanan ini.
bilangan sel baharu ialah 2048? Penyelesaian:
(a) Memahami masalah
Penyelesaian: Membina kesimpulan secara induktif.
(a) Memahami masalah Membina rumus umum bagi bilangan kereta mainan.
Membina kesimpulan secara deduktif. Merancang strategi
Menghitung bilangan sel baharu pada Memperhatikan pola nombor yang dibentuk oleh
hari ke-8. kereta mainan yang dihasilkan.
t = 8. Kesimpulan:
Hitung P(8) Rumus yang umum bagi bilangan
Merancang strategi kereta mainan yang telah dihasilkan
Gantikan t dengan 8 ke dalam ( ) = 2 oleh Kilang TOY ialah 250n + 20;
Kesimpulan: n = 1, 2, 3, 4, ... .
P(8) = 256 Melaksanakan strategi
256 sel baharu akan terhasil pada 270 = 250 + 20
hari ke-8. 520 = 2 (250) + 20
Melaksanakan strategi 770 = 3 (250) + 20
(8) = 28 1 020 = 4 (250) + 20
= 256 ⁝
(b) Memahami masalah Maka, bilangan kereta mainan yang dihasilkan
Hitung hari keberapakah bilangan baharu boleh dirumuskan dengan
ialah 2 048. 250 n + 20; n = 1, 2, 3, 4, … .
Hitung t, dengan P(t) = 2 048
Merancang strategi (b) (i) Memahami masalah
Selesaikan 2 = 2 048. Waktu beroperasi Kilang TOY ialah 15
Kesimpulan: jam sehari
t = 11 n = 15
Pada hari ke-11 bilangan sel baharu ialah 2 048.
Melaksanakan strategi
2 = 2 048
2 = 211

UNIT SAINS DAN MATEMATIK, KV SIBU, MAC 2021 12 | P a g e

MATEMATIK SVM
1.0 PENAAKULAN LOGIK SEMESTER 4

Merancang strategi (b) Pada tahun keberapakah penduduk Taman Gembira
Dengan rumus umum yang dibina di akan mencapai 77500 orang?
soalan (a), gantikan n dengan 15.
Kesimpulan: 3. Bilangan kelahiran bayi di sebuah negara pada tahun
Kilang TOY menghasilkan 3 770 kereta 2014 ialah 536 100. Bilangan kelahiran bayi dari tahun
mainan dalam satu hari. 2015 hingga tahun 2017 di negara tersebut membentuk
Melaksanakan strategi satu pola seperti yang berikut.
250 (15) + 20 = 3 770
Tahun Kelahiran bayi
(b) (ii) Memahami masalah
Kilang TOY perlu menghasilkan 2014 536100
sekurang-kurangnya 25 000 kereta
mainan dalam masa 5 hari 2015 521100
Kilang TOY menghasilkan 3 770
kereta mainan dalam masa sehari 2016 506100
Merancang strategi
Dengan Darabkan 3 770 dengan 5. 2017 491100
Bandingkan hasil darab dengan 25 000
dan membuat kesimpulan. (a) Bina rumus berdasarkan pola bilangan kelahiran bayi.
Kesimpulan: (b) Sekiranya bilangan kelahiran bayi dalam negara
Kilang TOY tidak dapat menyerahkan tersebut mengikut pola seperti di atas bagi 5 tahun yang
kereta mainan yang dipesan. seterusnya, anggarkan bilangan bayi yang dilahirkan pada
Cadangan: Kilang TOY memanjangkan tahun 2021.
waktu operasi kepada 20 jam sehari supaya
dapat menghasilkan 250 (20) + 20 = 5 020 4 Rajah berikut merupakan tiga segi tiga bersudut tegak.
kereta mainan. (a) Lengkapkan jadual berikut.
Melaksanakan strategi
3 770 x 5 = 18 850 (<25 000)

Latih Kendiri .

1 Kadar bayaran letak kereta dalam Hotel Cahaya
dihitung mengikut kadar berikut.

Masa Bayaran (b) Perhatikan hubungan antara sudut dengan nisbah
1 jam pertama atau sebahagian daripadanya RM6.00 fungsi sinus dan kosinus bagi setiap pasangan sudut di
Setiap jam berikutnya hingga jam ke-6 RM5.00 atas. Bina satu kesimpulan secara induktif bagi hubungan
Setiap jam yang seterusnya RM3.00 antara fungsi sin dengan fungsi kos (90∘ − )
(c) Diberi sin 80∘ = 0.9848, berdasarkan kesimpulan
Zamuddin meletakkan keretanya dari jam 0750 untuk induktif daripada soalan (b) di atas, nyatakan nilai
menghadiri kursus di Hotel Cahaya. Selepas kursusnya, kos 10∘.
Zamuddin mengambil keretanya pada jam 1725. Hitung
secara deduktif jumlah bayaran yang Zamuddin perlu Latih Ekstensif
bayar sebelum keluar dari tempat letak kereta.
1 Tentukan sama ada ayat-ayat di bawah pernyataan
2. Jumlah penduduk di Taman Gembira mengikut atau bukan. Berikan justifikasi anda.
formula ( ) = 250( 2 + + 100), dengan keadaan (a) Kuboid mempunyai enam permukaan.
ialah bilangan tahun. (b) Selesaikan persamaan 3 = 3 2 + 3 − 1
Diberi jumlah penduduk di Taman Gembira pada 1 (c) Setiap silinder mempunyai dua permukaan
Januari 2012 ialah 25000 orang. melengkung.
(a) Buat kesimpulan secara deduktif mengenai jumlah (d) Jangan lupa bawa buku kerja esok.
penduduk Taman Gembira pada 31 Disember 2016. (e) 3 + 5 = 6
(f) ( + )( − ) = 2 − 2
UNIT SAINS DAN MATEMATIK, KV SIBU, MAC 2021 (g) Amboi, cantiknya bunga ini!
(h) Ahli PDRM ialah pegawai kerajaan.
(i) 3 + 5 > 8

13 | P a g e

MATEMATIK SVM
1.0 PENAAKULAN LOGIK SEMESTER 4

2 Tentukan sama ada pernyataan di bawah benar atau (d) Poligon mempunyai hasil tambah sudut peluaran
palsu. Sekiranya palsu, berikan satu contoh 360∘. (Penafian)

penyangkal.

(a) ( − )2 = 2 − 2 + 2 7 Lengkapkan hujah berikut untuk membentuk hujah

(b) Semua integer bernilai positif. deduktif yang sah dan mun
(c) Nombor pecahan adalah lebih kecil daripada satu. (a) Premis 1 : Semua faktor bagi 4 ialah f
(d) Semua pepenjuru adalah pembahagi dua sama
serenjang. Premis 2 ∶ 2 ialah faktor bagi 4.

Kesimpulan :

3 Tentukan sama ada pernyataan majmuk berikut (b) Premis 1 : Jika = 5, maka 2 + 8 = 18
Premis 2 :
adalah benar atau palsu. Kesimpulan : Jika = 5, maka 2 + 8 = 18

(a) 26 = 64 dan 2 × 6 = 26

(b) 9−1 = 1 dan 9 ialah faktor bagi 72 .
9
(c) Premis 1 :
(c) {2,5} ⊂ {2,3,6} ∪ {5,7} atau ( ) = 0.
: sin2 + kos2 ≠ 1
(d) 90 × 80% = 70 atau 8 × 8 × 8 = 324. Premis 2

4 Tulis satu pernyataan yang benar dengan Kesimpulan : : ≠
menggunakan pengkuantiti "semua" atau
"sebilangan" bagi objek dan ciri-ciri yang berikut: (d) Premis 1 : Jika boleh dibahagi tepat dengan 18,

Objek Ciri-ciri maka ialah gandaan bagi 18 .

Premis 2: 54 boleh dibahagi tepat dengan 18
Kesimpulan :

a) Heksagon Mempunyai enam bucu. (e) Premis 1 : Jika −4 < 0, maka > 0
b) Bulatan Mempunyai jejari 18 cm. Premis 2 :
Kesimpulan : −4 ⩾ 0
c) Segi tiga Mempunyai tiga paksi simetri.

(f) Premis 1: Semua fungsi kuadratik mempunyai titik

5 (a) Tentukan antejadian dan akibat daripada pusingan.

pernyataan-pernyataan berikut: Premis 2 :

(i) Jika < , maka − > 0 Kesimpulan : Fungsi ( ) mempunyai titik pusingan.

(ii) Jika perimeter segi empat tepat ialah 2( + ),

maka luas segi empat tepat ialah . 8 (a) Diberi luas permukaan sebuah kon = ( + ).

(b) Bina satu implikasi yang sesuai berdasarkan Bina satu kesimpulan secara deduktif bagi luas

setiap pasangan implikasi berikut: permukaan lima kon yang sama dengan keadaan =

(i) Jika ialah gandaan 10, maka ialah gandaan 5 . 7 cm dan = 13 cm.

Jika ialah gandaan 5, maka ialah gandaan 10. (b) Diberi persamaan garis lurus ialah = + .

(ii) Jika 6 ialah faktor bagi 12, maka 6 ialah faktor Bina satu kesimpulan secara deduktif bagi persamaan

bagi 24. garis lurus dengan keadaan = 3dan = 5.

Jika 6 ialah faktor bagi 24, maka 6 ialah faktor bagi 9 Bina satu kesimpulan secara induktif kepada pola
12. nombor berikut.
(c) Bina dua implikasi yang sesuai bagi setiap
implikasi berikut: (a) − 4, −1,4,11, … (b) 4,5,7,11, …

(i) 20% daripada 30 ialah 6 jika dan hanya jika −4 = 12 − 5 4 = 20 + 3

0.2 × 30 = 6. −1 = 22 − 5 5 = 21 + 3

(ii) boleh dibahagi tepat dengan 20 jika dan hanya 4 = 32 − 5 7 = 22 + 3

jika boleh dibahagi tepat dengan 2 dan 10 11 = 42 − 5 11 = 23 + 3

6 Tulis pernyataan yang diminta dalam kurungan bagi ⋮ ⋮
setiap yang berikut dan tentukan nilai kebenaran bagi (c) 5,12,21,32, … (d) 3,8,17,30, …
pernyataan yang ditulis. Sekiranya palsu, berikan
justifikasi anda. 5 = 4(1) + 1 3 = 3(1) + 2(0)2

12 = 4(2) + 4 8 = 3(2) + 2(1)2

(a) Jika dan adalah dua sudut pelengkap, maka 21 = 4(3) + 9 17 = 3(3) + 2(2)2
+ = 90∘. (Akas) 30 = 3(4) + 2(3)2
32 = 4(4) + 16
(b) Jika > 20, maka > 30. (Kontrapositif) ⋮ ⋮
(c) Jika > 0, maka 2 > 0. (Songsangan)

UNIT SAINS DAN MATEMATIK, KV SIBU, MAC 2021 14 | P a g e

MATEMATIK SVM
1.0 PENAAKULAN LOGIK SEMESTER 4

10 Tentukan sama ada hujah berikut ialah hujah induktif Jawapan

atau hujah deduktif. Latih Kendiri .

Semua murid 4 Bahagia membuat persembahan pada 1 (a) Bukan Pernyataan kerana ayat itu tidak dapat
hari guru. Jayanthi murid 4 Bahagia. Maka, Jayanthi ditentukan nilai kebenarannya.
membuat persembahan pada hari guru. (b) Pemyataan kerana ayat itu benar.
(c) Bukan Pernyataan kerana ayat itu tidak dapat
Hasil tambah 1 dan 3 ialah nombor genap. ditentukan nilai kebenarannya.
Hasil tambah 3 dan 5 ialah nombor genap. (d) Pemyataan kerana ia benar.
Hasil tambah 5 dan 7 ialah nombor genap. (e) Bukan Pernyataan kerana ayat itu tidak dapat
Hasil tambah 7 dan 9 ialah nombor genap. ditentukan nilai kebenarannya.
Kesimpulannya, hasil tambah dua nombor ganjil ialah
nombor genap. 2 (a) 40 > 23 + 9

11 Rajah di bawah menunjukkan susunan silinder yang (b) {3} ⊂ {3,6,9}
sama saiz dalam petak mengikut nombor
pola 3, 5, 7, 9, … (c) 1 × 10 = 5
4 3 6
(d) 2 + 3 ⩽ ( + 3)2

(e) 3√27 + 9 = 12

3 (a) Palsu
(b) Palsu
(c) Palsu
(d) Benar
(e) Benar

Latih Kendiri .

(a) Bina satu kesimpulan secara induktif bagi pola 1 819 bukan gandaan 9 .
bilangan silinder di atas. Palsu

(b) Sekiranya jejari dan tinggi bagi setiap silinder 2 Lelayang tidak mempunyai dua paksi simetri.
ialah 14 cm dan 10 cm masing-masing, hitung Benar
jumlah isi padu silinder pada petak 8 .
3 Kon tidak mempunyai satu muka melengkung.
Palsu

12 Rajah di sebelah menunujukkan empat semi bulatan 4 Dua garis selari tidak mempunyai kecerunan
yang sama.
yang pertama disusun mengikut pola tertentu. Jejari Palsu
semi bulatan yang terbesar ialah 32 cm.
5 Bukan semua persamaan kuadratik mempunyai
(a) Hitung dan senaraikan perimeter-perimeter bagi 2 punca yang sama.
empat semi bulatan ini, dalam sebutan . Benar

(b) Berdasarkan dapatan daripada (a), tunjukkan pola Latih Kendiri .

perimeter bagi empat semi bulatan ini 1 (a) 2 atau 3 ialah faktor perdana nombor 6 .
ialah 26− ( + 2); = 1,2,3,4 (b) Kon mempunyai satu bucu dan satu satah.
(c) Hitung perimeter, dalam cm, bagi semi bulatan (c) Rombus dan trapezium ialah sisi empat selari.

yang ke- 8 .

2 (a) Benar
(b) Palsu
(c) Palsu
(d) Palsu
(e) Benar

(f) Benar
(g) Palsu
(h) Benar

UNIT SAINS DAN MATEMATIK, KV SIBU, MAC 2021 15 | P a g e

MATEMATIK SVM
1.0 PENAAKULAN LOGIK SEMESTER 4

Latih Kendiri 1.1d 3)( + 4) = 0 bukan −1, maka ( − 3)( + 4) =
0 tidak mempunyai dua punca berbeza.
1 (a) Jika = 3, maka 4 = 81.
(c) Akas: Jika selari dengan , maka ialah
(b) Jika 3 + 2 + + = 0 ialah persamaan sebuah segi empat selari.
Songsangan: Jika bukan sebuah segi empat
kubik, maka ≠ 0. selari, maka tidak selari dengan . Kontrapositif:
Jika tidak selari dengan , maka bukan
(c) Jika − 5 > 2 , maka < −5. sebuah segi empat selari.

(d) Jika > 1, maka 2 > 2. 2

2 (a) Antejadian: ialah nombor genap.
Akibat: 2 ialah nombor genap.
(b) Antejadian: set = .
Akibat: ( ) = 0
(c) Antejadian: ialah nombor bulat.
Akibat: 2 ialah nombor genap.
(d) Antejadian: Garis lurus ialah tangen kepada
bulatan P.
Akibat: Garis lurus hanya menyentuh bulatan

pada satu titik sahaja.

3 (a) ialah nombor kuasa dua sempurna jika dan hanya

jika √ ialah nombor bulat.

(b) ∩ = jika dan hanya jika ⊂ . = −1

(c) = 1 jika dan hanya jika
dan = −1.
(d) 2 = 4 jika dan hanya jika

( + 2)( − 2) = 0

4 (a) Jika ialah poligon sekata, maka = =

. Jika = = , maka ialah poligon

sekata.

(b) Jika ialah pecahan tidak wajar, maka > .

Jika > , maka ialah pecahan tidak wajar.


(c) Jika 9 ialah pintasan- − bagi garis lurus =

+ maka = 9.

Jika = 9, maka 9 ialah pintasan-y bagi garis lurus

= + .
(d) Jika ( ) = 2 + + mempunyai titik

maksimum, maka < 0.
Jika < 0, maka ( ) = 2 + + mempunyai

titik maksimum.

Latih Kendiri 1.1e

1 (a) Akas: Jika > −1, maka + 3 > 2.
Songsangan: Jika + 3 ≤ 2, maka ≤ −1.
Kontrapositif: Jika ≤ −1, maka + 3 ≤ 2.

(b) Akas: Jika hasil tambah punca bagi
( − 3)( + 4) = 0 ialah −1,
maka ( − 3) ( + 4) = 0 mempunyai dua punca

berbeza.
Songsangan: Jika ( − 3)( + 4) = 0 tidak

mempunyai dua punca berbeza, maka hasil tambah
( − 3)( + 4) = 0 bukan −1.
Kontrapositif: Jika hasil tambah punca bagi ( −

UNIT SAINS DAN MATEMATIK, KV SIBU, MAC 2021 16 | P a g e

MATEMATIK SVM
1.0 PENAAKULAN LOGIK SEMESTER 4

Latih Kendiri 1.1f 7 Sah dan munasabah.
8 Tidak sah dan munasabah kerana tidak mematuhi
1.
(a) Palsu, segi empat tepat tidak mempunyai empat sisi bentuk deduktif yang sah.
yng sama panjang. 9 Sah dan munasabah.
(b) Benar 10 Sah dan munasabah.
(c) Benar Latih Kendiri 1.2c
(d) Palsu. 36 tidak boleh dibahagi tepat dengan 14 .

2. 1 (a) Preevena menggunakan buku teks digital.
(a) 1008 − 778 ≠ 18. Palsu 1008 − 778 = 18. (b) Kai Meng mendapat hadiah tunai RM200.
(b) Kuboid tidak mempunyai empat keratan rentas (c) Segi empat bukan poligon sekata.
seragam. Benar (d) △ mempunyai satu paksi simetri.
(c) Jika = 2 dan = 2 − 1 mempunyai kecerunan (e) : = 2: 3
yang sama, maka = 2 selari dengan = 2 − 1. (f) + 3 > 2 − 9
Benar
(d) Jika segi tiga tidak bersudut tepat di , 2 (a) Garis lurus mempunyai kecerunan sifar.
maka 2 ≠ 2 + 2. Benar (b) Semua gandaan 9 boleh dibahagi tepat dengan 3
(e) Jika ⩾ 5, maka ⩾ 7. Palsu. (c) Poligon ialah nonagon.
Apabila = 6, 6 > 5 tetapi 6 < 7 (d) Jika > 6, maka > 4.
(e) Suhu bilik tidak kurang daripada 19∘C.
Latih Kendiri 1.2a (f) Jika 3 − 8 = 16, maka = 8.

Latih Kendiri 1.2d

1 Hujah deduktif 1 (3 )−1; = 1,2,3,4, …
2 Hujah induktif
3 Hujah induktif 2 ; = 1,2,3,4, …
4 Hujah induktif
5 Hujah induktif 5
6 Hujah deduktif
7 Hujah deduktif 3 2( )3 + ; = 0,1,2,3, …
8 Hujah deduktif
9 Hujah deduktif 4 20 − 4 ; = 0,1,2,3, …
10 Hujah induktif
Latih Kendiri 1.2b Latih Kendiri 1.2e

1 Sah dan tidak munasabah kerana premis 1 dan 1 RM43
kesimpulan tidak benar.
2 (a) 32500 orang
2 Sah dan munasabah (b) ke-14
3 Sah dan munasabah
4 Sah tetapi tidak munasabah kerana premis 1 tidak 3 (a) 536100 − 15000
(b) 431100 bayi
benar.
5 Tidak sah tetapi munasabah kerana tidak 4 (a)

mematuhi bentuk deduktif yang sah. sin 60∘ = sin 40∘ = sin 20∘ =
6 Sah dan munasabah. bentuk deduktif yang sah.

Lelayang juga mempunyai pepenjuru kos 30∘ = kos 50∘ = kos 70∘ =
berserenjang tetapi bukan rombus.
(b) sin = kos (90∘ − )
(c) 0.9848

Latih Ekstensif

1 (a) Pernyataan sebab ayat itu benar.
(b) Bukan pernyataan sebab ayat itu tidak dapat
ditentukan nilai kebenarannya.
(c) Pernyataan sebab ayat itu palsu.
(d) Bukan pernyataan sebab ayat itu tidak dapat

UNIT SAINS DAN MATEMATIK, KV SIBU, MAC 2021 17 | P a g e

MATEMATIK SVM
1.0 PENAAKULAN LOGIK SEMESTER 4

ditentukan nilai kebenarannya. (e) ⩽ 0
(e) Bukan pernyataan sebab ayat itu tidak dapat
ditentukan nilai kebenarannya. (f) Fungsi ( ) ialah fungsi kuadratik.
(f) Pernyataan sebab ayat itu benar.
(g) Bukan pernyataan sebab ayat itu tidak dapat 8 (a) Luas permukaan bagi lima kon yang sama ialah
ditentukan nilai kebenarannya. 700 cm2
(h) Pernyataan sebab ayat itu benar.
(i) Pernyataan sebab ayat itu palsu. (b) Persamaan garis lurus ialah = 3 + 5.
9 (a) 2 − 5; = 1,2,3,4, …
2 (a) Benar
(b) 2 + 3; = 0,1,2,3, …
(b) Palsu. −3 ialah integer yang bernilai negatif. (c) 4 + 2; = 1,2,3,4, …
(d) 3 + 2( − 1)2; = 1,2,3,4, …
(c) Palsu. 3 ialah pecahan yang lebih besar daripada
2 10 (a) Hujah deduktif

satu. (b) Hujah induktif

(d) Palsu. Pepenjuru bagi lelayang bukan pembahagi 11 (a) Pola bilangan silinder ialah 2 + 1; =

1.2.3.4 …

dua sama serenjang. (b) 104720 cm3

3 (a) Palsu 12. (a) 32( + 2),16( + 2),8( + 2),4( + 2)
(b) Benar
(c) Benar (b) 1 ( + 2)cm
(d) Palsu 4

4 (a) Semua heksagon mempunyai enam bucu.
(b) Sebilangan bulatan mempunyai jejari 18 cm.
(c) Sebilangan segi tiga mempunyai tiga paksi simetri

5 (a) (i) Antejadian: <
Akibat: − > 0
(ii) Antejadian: Perimeter segi empat tepat ialah
2( + )
Akibat: Luas segi empat tepat ialah .
(b) (i) ialah gandaan 10 jika dan hanya jika ialah
gandaan 5.

(ii) 6 ialah faktor bagi 12 jika dan hanya jika 6

ialah faktor bagi 24 .

(c) (i) Jika 20% daripada 30 ialah 6, maka 0.2 ×
30 = 6

Jika 0.2 × 30 = 6, maka 20% daripada 30 ialah 6.
(ii) Jika boleh dibahagi tepat dengan 20, maka
boleh dibahagi tepat dengan 2 dan 10 . Jika boleh

dibahagi tepat dengan 2 dan 10 , maka boleh
dibahagi tepat dengan 20.
6 (a) Jika + = 90∘, maka dan adalah dua sudut

pelengkap. Benar

(b) Jika ⩽ 30, maka ⩽ 20. Palsu sebab 28 < 30
tetapi 28 > 20
(c) Jika ⩽ 0, maka 2 ⩽ 0. Palsu sebab −2 < 0
tetapi (−2)2 > 0

(d) Poligon tidak mempunyai jumlah sudut peluaran
360∘. Palsu sebab hasil tambah sudut peluaran setiap
poligon ialah 360∘.

7 (a) 2 ialah faktor bagi 8 .

(b) = 5
(c) Jika = , maka sin2 + kos2 = 1

(d) 54 ialah gandaan bagi 18 .

UNIT SAINS DAN MATEMATIK, KV SIBU, MAC 2021 18 | P a g e

MATEMATIK SVM
1.0 PENAAKULAN LOGIK SEMESTER 4

UNIT SAINS DAN MATEMATIK, KV SIBU, MAC 2021 19 | P a g e

MATEMATIK SVM
2.0 GRAF GERAKAN SEMESTER 4

2.1 Graf Jarak-Masa

MATEMATIK SVM (SPM T4[7]) 2.1.1 Melukis graf jarak-masa.
2.0 GRAF GERAKAN
Laju ialah suatu kadar yang melibatkan jarak dan masa.
Dalam unit ini pelajar akan mempelajari: Kaitan antara laju dengan masa boleh diwakilkan dengan
melukis graf jarak-masa. Graf jarak-masa membolehkan
2.1 Graf Jarak-Masa gerakan suatu objek digambarkan dalam bentuk grafik
2.1.1 Melukis graf jarak-masa. yang mudah difahami.
Pada suatu graf jarak-masa:

2.1.2 Mentafsir graf jarak-masa dan
menghuraikan gerakan berdasarkan graf
tersebut.

2.1.3 Menyelesaikan masalah yang melibatkan
graf jarak-masa

2.2 Graf Laju-Masa • paksi mencancang mewakili jarak yang dilalui.
2.2.1 Melukis graf laju-masa.

2.2.2 Membuat perkaitan antara luas di bawah • paksi mengufuk mewakili tempoh masa yang
graf laju-masa dengan jarak yang dilalui diambil.
dan seterusnya menentukan jarak.
• kecerunan graf mewakili kadar perubahan jarak
2.2.3 Mentafsir graf laju-masa dan terhadap masa, iaitu laju.
menghuraikan gerakan berdasarkan graf Bagaimanakah anda melukis graf jarak-masa?
tersebut. Graf jarak-masa boleh dilukis jika maklumat
berkaitan dengan suatu gerakan seperti yang
2.2.4 Menyelesaikan masalah yang melibatkan berikut diperoleh.
graf laju-masa. (a) Jadual jarak-masa.
(b) Persamaan yang mewakili hubungan antara
jarak dengan masa.
Melukis graf jarak-masa berdasarkan jadual
jarak-masa.
Azreen bercita-cita untuk menjadi seorang
pelumba basikal dan berhasrat mengharumkan
nama Malaysia di pentas dunia seperti
Azizulhasni Awang, jaguh lumba basikal trek
negara. Dia bercadang untuk menvertai
nertandingan berbasikal deringkat daerah Kerian.
Dia bertekad

Melukis graf jarak-masa berdasarkan jadual
jarak-masa.

Contoh 1:
Azreen bercita-cita untuk menjadi seorang pelumba
basikal dan berhasrat mengharumkan nama Malaysia di
pentas dunia seperti Azizulhasni Awang, jaguh lumba
basikal trek negara. Dia bercadang untuk menyertai
pertandingan berbasikal peringkat daerah Kerian. Dia
bertekad untuk menjalani latihan selama 2 jam setiap hari.

UNIT SAINS DAN MATEMATIK, KV SIBU, OKT 2021 20 | P a g e

MATEMATIK SVM
2.0 GRAF GERAKAN SEMESTER 4

Jadual di bawah menunjukkan jarak yang dilalui dan Contoh 3:
masa yang diambil oleh Azreen semasa latihan.
Jaswinder Singh mengambil bahagian dalam acara
Masa (minit) 0 30 60 90 120
merentas desa sejauh 8 km yang dianjurkan oleh pihak
Jarak (km) 0 10 20 30 40
sekolah semasa Hari Sukan Negara. Diberi hubungan
Lukis graf jarak-masa berdasarkan jadual di atas.
Penyelesaian: antara jarak dengan masa larian dari garis penamat ialah
Langkah
(a) Pilih skala yang sesuai bagi mewakili jarak dan masa = 8 − 1 , dengan keadaan ialah jarak dalam km dan
yang diberikan. 5
(b) Plot titik yang mewakili pasangan nilai jarak dan masa
pada kertas grid atau kertas graf. ialah masa dalam minit.
(c) Sambungkan titik-titik yang diplot dengan
menggunakan pembaris untuk memperoleh graf jarak- Lukis graf jarak-masa yang mewakili larian Jaswinder
masa seperti di sebelah.
Melukis graf jarak-masa berdasarkan persamaan yang Singh untuk tempoh 0 ⩽ ⩽ 40.
mewakili hubungan antara jarak dengan masa.
Penyelesaian:

Diberi = 8 − 1
5

Masa t(minit) 0 10
Jarak s(km) 8 0

Contoh 2: Latih Kendiri 2.1a
Encik Selva memandu keretanya selama 3 jam sejauh
240 km dari Kuala Lumpur ke Kuantan untuk melawat 1 Jadual di bawah menunjukkan masa yang diambil
ibunya. Jarak, km yang dilalui oleh Encik Selva dalam oleh Haji Ali untuk berjalan dari rumahnya ke
tempoh masa, jam diwakili oleh persamaan = 80 . masjid untuk menunaikan solat. Beliau
Lukis satu graf jarak-masa yang mewakili perjalanan memerlukan 20 minit untuk berjalan ke masjid
Encik Selva dari Kuala Lumpur ke Kuantan. yang terletak 300 meter dari rumahnya. Lukis
Penyelesaian: satu graf jarak-masa berdasarkan jadual yang
Langkah diberikan.
(a) Bina satu jadual jarak-masa seperti di bawah dengan
menggunakan persamaan = 80 . Masa (minit) 0 5 10 15 20

Masa t(jam) 0 1 2 3 Jarak (meter) 0 75 150 225 300

Jarak s(km) 0 80 160 240 2 Encik Nyambek memandu kereta ke tempat kerja
yang terletak 45 km dari rumahnya di Bekenu.
Lukis graf jarak-masa berdasarkan jadual di atas. Jadual di bawah menunjukkan tempoh masa yang
diambil oleh Encik Nyambek untuk sampai di
pejabatnya di Miri dari Bekenu. Lukis satu graf
jarak-masa berdasarkan jadual yang diberikan.

Masa (jam) 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

Jarak (km) 0 9 18 27 36 45

UNIT SAINS DAN MATEMATIK, KV SIBU, OKT 2021 21 | P a g e

MATEMATIK SVM
2.0 GRAF GERAKAN SEMESTER 4

3 Pergerakan suatu zarah bagi tempoh masa Contoh 4:

tertentu digambarkan oleh persamaan = 8 + 5 Graf jarak-masa di sebelah menunjukkan gerakan sebuah

dengan keadaan ialah jarak dalam cm dan kereta dan sebuah bas persiaran. Graf mewakili

ialah masa dalam saat. Lukis satu graf jarak-masa gerakan kereta dari Puchong ke Bandaraya Melaka. Graf

yang mewakili gerakan zarah tersebut untuk ialah gerakan bas dari Puchong ke Bandaraya Melaka.

tempoh 5 saat. Graf ialah gerakan bas persiaran dari Bandaraya

4 Leong berbasikal ke rumah Zainal yang terletak Melaka ke Puchong. Tentukan beza laju, persiaran dari
1.6 km dari rumahnya. Hubungan gerakan Leong Bandaraya Melaka ke Puchong dalam kmj−1 kedua-dua

dari rumah Zainal diberi oleh persamaan = kenderaan tersebut.

1.6 − 0.2 dengan keadaan ialah jarak dalam

km dan ialah masa dalam minit. Lukis graf

jarak-masa yang mewakili perjalanan Leong

untuk tempoh 0 ⩽ ⩽ 8

2.1.2 Mentafsir graf jarak-masa dan
menghuraikan gerakan berdasarkan graf
tersebut.

Teliti dua bentuk graf jarak-masa di bawah. Penyelesaian:

Laju kereta = beza jarak yang dilalui
beza masa yang sepadan

(150 − 0)km
= (2 − 0)jam

= 75 km per jam

= 75 kmj−1

Laju bas = beza jarak yang dilalui
beza masa yang sepadan

(0 − 150)km
= (3 − 0)jam

= −50 km per jam

= 50 kmj−1

UNIT SAINS DAN MATEMATIK, KV SIBU, OKT 2021 Maka beza laju = (75 − 50)kmj−1

= 25 kmj−1

Contoh 5:
Graf jarak-masa di sebelah menunjukkan gerakan sebuah
kereta untuk tempoh 4.5 jam.
(a) Tentukan
(i) tempoh masa kereta berada dalam keadaan pegun.
(ii) laju kereta sejam yang pertama dalam kmj−1.
(b) Huraikan gerakan kereta untuk tempoh 90 minit
terakhir.

22 | P a g e

MATEMATIK SVM
2.0 GRAF GERAKAN SEMESTER 4

(ii)Masa Jarak
Maka, = Laju

Penyelesaian: 2 km
(a) (i) Tempoh keadaan pegun = tempoh kereta berhenti = 8 kmj−1
= 0.25jam
=(3-2) jam = 15minit
= 1 jam = 0920 + 0015
(ii)Laju kereta sejam yang pertama = 0935
= laju kereta 2 jam yang pertama
(150 − 0)km (b) Kadar perubahan jarak (0 − 2)km
= (2 − 0)jam = (10106−00950) jam
= 75 kmj−1 = −6 kmj−1
(b)
= 6 kmj−1
(270 − 150)km
Laju kereta = (4.5 − 3)jam Sahana berbasikal sejauh 2 km dalam tempoh 20 minit
dengan kelajuan 6 kmj−1.
= 80 kmj−1
Gerakan dengan kelajuan yang berbeza

Kelajuan suatu gerakan biasanya berubah-ubah sepanjang

suatu perjalanan. Dalam situasi ini, laju purata

digunakan

Laju purata = ℎ
ℎ

Contoh 6: Contoh 7:

Kereta bergerak sejauh 120 km dengan kelajuan 80 km j–1 Puan Zabedah ingin melawat kawannya yang tinggal di
bagi tempoh 90 minit terakhir.Sahana berbasikal ke
Muar. Graf jarak-masa di sebelah menunjukkan
pejabat pos untuk menghantar kad ucapan Hari Raya
perjalanan Puan Zabedah dengan kereta dari Segamat ke
Aidilfitri kepada kawan karibnya. Graf jarak-masa
Muar melalui Tangkak.
di sebelah menunjukkan perjalanan pergi dan balik
(a) Hitung laju purata perjalanan Puan Zabedah dari
Sahana dari rumahnya ke pejabat pos.
Segamat ke Muar dalam km j–1.
(a) Tentukan
(b) Jika kadar perubahan jarak terhadap masa kereta dari
(i) jumlah jarak keseluruhan perjalanan Sahana dalam km. Segamat ke Tangkak ialah 50 km j–1, hitung jarak di
(ii) nilai t, jika Sahana berbasikal dengan kelajuan 8 km j–1 antara Tangkak dengan Muar dalam km.
ke pejabat pos.
(c) Huraikan gerakan kereta dari Segamat ke Muar.
(b) Huraikan perjalanan Sahana dari pejabat pos ke

rumahnya.

Penyelesaian:

(a) (i) Jumlah jarak = 2km + 2km (a) Laju purata = ℎ
= 4km ℎ

UNIT SAINS DAN MATEMATIK, KV SIBU, OKT 2021 23 | P a g e

MATEMATIK SVM
2.0 GRAF GERAKAN SEMESTER 4

= 80
1.5

=5313kmj-1

(b) Jumlah jarak = Laju purata × jumlah masa
= 50 kmj−1 × 1j

= 50 km

(c) Kereta bergerak sejauh 80 km dalam tempoh 1.5 jam 3 Graf jarak-masa di sebelah menunjukkan

dengan laju purata 53 1 kmj−1. perjalanan Puan Rozita untuk tempoh 2 1 jam
4
3

Jarak di antara Tangkak dengan Muar = (80 − 50)km dengan memandu keretanya. ialah perjalanan

= 30 km Puan Rozita dari tempat kerjanya ke sebuah pasar

raya dan ialah perjalanan balik ke rumahnya.

Latih Kendiri 2.1b (a) Hitung nilai jika laju kereta semasa

perjalanan dari tempat kerja ke pasar raya ialah

1 Graf jarak-masa di sebelah menunjukkan 50 kmj−1.
perjalanan Encik Rejab dari Kota Kinabalu ke
(b) Huraikan gerakan kereta yang mewakili
Keningau bersama-sama ahli keluarganya untuk
menyambut Pesta Kaamatan dengan menaiki (i) garis lurus

kereta. (ii) garis lurus
(a) Hitung laju kereta dalam kmj−1 untuk sejam
yang terakhir. 4 Encik Yusri bekerja di sebuah firma guaman.
Setiap hari Encik Yusri akan menghantar
(b) Huraikan gerakan kereta Encik Rejab untuk
tempoh 45 minit selepas bergerak sejauh 50 km anaknya ke sekolah dalam perjalanan ke tempat
yang pertama. kerja dengan menaiki kereta. merupakan
(c) (i) Hitung laju purata, dalam kmj−1 bagi perjalanan dari rumah ke sekolah dan ialah
perjalanan dari Kota Kinabalu ke Keningau. perjalanan dari sekolah ke tempat kerja.
(a) Hitung nilai , jika kadar perubahan jarak
(ii) Seterusnya, huraikan gerakan kereta bagi
terhadap masa kereta dari sekolah ke tempat kerja
keseluruhan perjalanan. ialah 48 kmj−1.

2 Encik Rashid bersenam setiap hari untuk menjaga (b) Huraikan gerakan kereta bagi keseluruhan
kesihatan dirinya. Graf jarak-masa di sebelah
menunjukkan jarak dan masa larian Encik Rashid perjalanan dari rumah ke tempat kerja.
dari rumahnya ke taman permainan dan balik ke
rumahnya semula. 24 | P a g e
(a) Hitung beza laju larian Encik Rashid dari
rumah ke taman permainan dan dari taman
permainan ke rumahnya dalam kmj−1.
(b) Hitung laju purata keseluruhan larian Encik
Rashid dalam kmj−1.

(c) Huraikan gerakan Encik Rashid untuk tempoh
50 minit.

UNIT SAINS DAN MATEMATIK, KV SIBU, OKT 2021

MATEMATIK SVM
2.0 GRAF GERAKAN SEMESTER 4

2.1.3 Menyelesaikan masalah yang melibatkan 300 km − 100 km = 200 km
graf jarak-masa Jarak
Masa = Laju

Contoh 8: 200 km
= 80 kmj−1
Graf jarak-masa yang tidak lengkap di sebelah

menunjukkan perjalanan Encik Tan dari Seremban ke = 2.5jam

Lumut. Encik Tan berhenti di Rawang untuk makan

tengah hari dan rehat seketika sebelum meneruskan

perjalanannya ke Lumut.

(a) Jika laju purata kereta Encik Tan dari Seremban ke

Rawang ialah 66 2 kmj−1, hitung jarak di antara
3

Seremban dengan Rawang dalam km.

(b) Diberi bahawa jarak di antara Seremban dengan

Lumut ialah 300 km dan Encik Tan memandu dengan
laju purata 80 kmj−1 untuk sampai di Lumut dari

Rawang. Lengkapkan graf jarak-masa yang diberikan

bagi mewakili keseluruhan perjalanan Encik Tan.

Kesimpulan

(a) Jarak di antara Seremban dengan Rawang ialah
100 km.
(b) Jarak di antara Rawang dengan Lumut ialah 200 km
dan masa yang diambil ialah 2.5 jam.

Contoh 9

Graf jarak-masa di sebelah menunjukkan perjalanan dua

buah kereta di antara Kuala Lipis dengan Cameron

Highlands. Graf mewakili perjalanan Encik Manaf

bersama keluarganya dari Cameron Highlands ke Kuala

Lipis untuk menghadiri majlis perkahwinan sepupunya.

Memahami masalah Graf mewakili perjalanan keluarga Encik Raven

(a) Menghitung jarak di antara Seremban dengan Rawang dari Kuala Lipis ke Cameron Highlands untuk bercuti.
(a) Diberi kadar perubahan jarak terhadap masa bagi
dalam km.
dan adalah sama. Hitung nilai .
(b) Melengkapkan graf jarak-masa dari Rawang ke Lumut. (b) Laju purata perjalanan Encik Manaf ialah 72 kmj−1.

Hitung beza masa dalam minit kedua-dua perjalanan

Merancang strategi untuk sampai di destinasi masing-masing.

(a) Laju = Jarak
Masa

Jarak = Laju × Masa

(b) Menentukan jarak di antara Rawang dengan Lumut.

Masa = Jarak
Laju

Melengkapkan graf jarak-masa.

Melaksanakan strategi
(a) Jarak = Laju x Masa

=66 2 kmj−1x 1.5 jam
3
Memahami masalah
=100km (a) Hitung iaitu masa dalam minit.
(b) Beza masa perjalanan kedua-dua kereta untuk sampai
(b) Jarak di antara Rawang dengan Lumut di destinasi masing-masing.

UNIT SAINS DAN MATEMATIK, KV SIBU, OKT 2021 25 | P a g e

MATEMATIK SVM
2.0 GRAF GERAKAN SEMESTER 4

Merancang strategi Berikan justifikasi anda.
(a) Kecerunan OA = Kecerunan BC
(b) Masa yang diambil oleh Encik Raven = t.
Menentukan masa yang diambil oleh Encik Manaf.

Masa = Jarak
Laju

Melaksanakan strategi

(a) (65−0)km = (135−65)km
(52−0)minit ( −77)minit

65 70 2 Graf jarak-masa yang tidak lengkap di sebelah
52 = − 77 mewakili perjalanan Encik Jumali sejauh 100 km.
(a) Diberi kadar perubahan jarak terhadap masa
− 77 70(52) untuk 60 km, yang pertama ialah 72 kmj−1.
= 65 Tentukan nilai 1.
= 56 + 77 (b) Jika kereta Encik Jumali berada dalam
keadaan pegun selama 20 minit, hitung nilai 2.
= 133 (c) Perjalanan diteruskan dari B ke destinasi
dengan laju purata 75 kmj−1. Lengkapkan graf
(b) Jumlah masa perjalanan Encik Raven, jarak-masa untuk keseluruhan perjalanan Encik
= 133 minit. Jumali.
(d) Jika perjalanan dari dimulakan pada pukul
Jumlah masa perjalanan Encik Manaf dalam minit. 9: 30 pagi, hitung waktu Encik Jumali sampai di
destinasinya.
masa 135 km
= 72 kmj−1 3 Encik Jamal ke Padang Besar bersama
keluarganya. Semasa perjalanan pulang ke Jitra,
= 1.875 jam x 60 mereka singgah di Bukit Kayu Hitam untuk
minum petang. Graf jarak-masa di sebelah
= 112.5minit menunjukkan perjalanan pulang dari Padang
Besar ke Jitra.
• Beza masa = 133 − 112.5 (a) Hitung tempoh masa kereta Encik Jamal
= 20.5minit berada dalam keadaan pegun.
(b) Diberi laju purata perjalanan dari Padang
Kesimpulan Besar Bukit ke Kayu Hitam ialah 66 kmj−1.
(a) = 133 (i) Tentukan nilai .
(b) Beza masa kedua-dua perjalanan untuk sampai di
destinasi masing-masing ialah 20.5 minit. 26 | P a g e

Latih Kendiri 2.1c

1 Graf jarak-masa di sebelah menunjukkan masa
yang diambil oleh dua orang peserta terbaik
dalam acara 100 m semasa kejohanan olahraga di
SMK Sinar Harapan. Graf mewakili larian
Rizal dan graf mewakili larian Jeffery.
ialah masa yang diambil oleh Jeffrey sebelum
meneruskan lariannya kerana terjatuh.
(a) Hitung kerugian masa dalam saat, yang
dialami oleh Jeffery dalam pertandingan.
(b) Adakah Jeffrey berpeluang untuk menjadi
johan dalam acara 100 m jika dia tidak jatuh dan
mengekalkan kelajuannya sepanjang larian?

UNIT SAINS DAN MATEMATIK, KV SIBU, OKT 2021

MATEMATIK SVM
2.0 GRAF GERAKAN SEMESTER 4

(ii) Hitung jarak di antara Padang Besar dengan 2.2 Graf Laju-Masa
Bukit Kayu Hitam. 2.2.1 Melukis graf laju-masa.

(b) Jika Encik Jamal memandu dengan laju purata Kadar perubahan laju suatu gerakan boleh digambarkan
64.8 kmj−1 semasa perjalanan pulang ke dengan melukis graf laju-masa.
rumahnya di Jitra dari Bukit Kayu Hitam, hitung
nilai .
(d) Hitung laju purata keseluruhan perjalanan
dalam kmj−1.

Pada suatu graf laju-masa:
• Paksi mencancang mewakili laju suatu gerakan.
• Paksi mengufuk mewakili tempoh masa yang diambil.
• Kecerunan graf mewakili kadar perubahan laju

terhadap masa, iaitu pecutan.

Graf laju-masa boleh dilukis jika maklumat berkaitan

4 Graf jarak-masa di sebelah menunjukkan suatu gerakan seperti berikut diperoleh.

perjalanan Encik Moorthy sejauh 60 km dalam (a) Jadual laju-masa.

masa 3 minit dengan memandu kereta. Diberi (b) Persamaan yang mewakili hubungan antara laju

kadar perubahan jarak terhadap masa sebelum dengan masa.

dan selepas tempoh masa rehat adalah sama.

(a) Hitung nilai . Contoh 10:

(b) Hitung laju purata keseluruhan perjalanan Jadual di bawah menunjukkan perubahan laju kereta
Encik Moorthy dalam kmj−1. Encik Azizul untuk tempoh masa 5 saat. Lukis

(c) Huraikan gerakan kereta selepas berada dalam graf laju-masa berdasarkan jadual yang diberi.

keadaan pegun.

Penyelesaian:
(a) Pilih skala yang sesuai bagi mewakili laju dan
masa yang diberi.
(b) Plot titik yang mewakili pasangan nilai laju dan
masa pada kertas grid atau kertas graf.
(c) Sambungkan titik-titik yang diplot dengan
menggunakan pembaris untuk memperoleh graf
laju-masa seperti di sebelah.

UNIT SAINS DAN MATEMATIK, KV SIBU, OKT 2021 27 | P a g e

MATEMATIK SVM
2.0 GRAF GERAKAN SEMESTER 4

Contoh 11: 2.2.2 Membuat perkaitan antara luas di bawah
graf laju-masa dengan jarak yang dilalui
Kadar perubahan laju terhadap masa sebuah kapal terbang dan seterusnya menentukan jarak.

yang sedang mendarat diberi oleh
persamaan v = 800 – 1 600t dengan keadaan v ialah laju

dalam km j–1 dan t ialah masa dalam jam.

Lukis satu graf laju-masa yang mewakili pendaratan
kapal terbang tersebut untuk tempoh 0 ≤ t ≤ 0.5.

Penyelesaian:

(a) Bina satu jadual laju-masa seperti di bawah dengan
menggunakan persamaan v = 800 – 1 600t.

Laju = Jarak = Laju x Masa



(c) Lukis graf laju-masa dengan memplotkan titik Nilai luas di bawah graf laju-masa adalah sama dengan
berdasarkan jadual yang dibina. jumlah jarak yang dilalui
bagi tempoh masa yang sama.
Secara generalisasi,
Graf laju-masa:
Luas di bawah graf = Jarak yang dilalui

Contoh 12:
Hitung jarak yang dilalui oleh setiap gerakan berdasarkan
graf laju-masa berikut.

Latih Kendiri 2.2a

1 Lukis graf laju-masa berdasarkan jadual yang
diberikan.
(a)

Masa (saat) 0 1 2 3 4 5
Laju ( −1) 3 4 5 6 7 8

(b)

Masa (minit) 01234

Laju ( min−1 ) 30 25 20 15 10

Penyelesaian:

2 Lukis suatu graf laju-masa dengan membina

jadual laju-masa bagi persamaan berikut. Diberi

ialah laju dalam ms−1 dan ialah masa dalam

saat. (a)
(a) = 60 − 2 ; 0 ⩽ ⩽ 30

(b) = 3 ; 0 ⩽ ⩽ 5. Jarak = luas trapezium

UNIT SAINS DAN MATEMATIK, KV SIBU, OKT 2021 28 | P a g e

MATEMATIK SVM
2.0 GRAF GERAKAN SEMESTER 4

= 1 × 4 j × (5 + 10)kmj−1 (b) Laju purata Jumlah jarak
2 (5) = Jumlah masa

= 6 km 30.27 km
= (36 ÷ 60)j

= 50.45 kmj−1

(b) Latih Kendiri 2.2b

1. Hitung jarak, dalam km, yang dilalui oleh setiap
gerakan berdasarkan graf laju-masa yang
diberikan.

Jarak = luas trapezium

= 1 × 6 j × (40 + 80)kmj−1
2 (60)

= 6 km

Contoh 13:

Graf laju-masa di sebelah menunjukkan kelajuan kereta
Laju (kmj−1) ) Puan Liew dalam tempoh 36 minit.

Hitung,

(a) jumlah jarak, dalam km, yang dilalui oleh Puan Liew

dalam tempoh 36 minit.
(b) laju purata, dalam kmj−1, kereta Puan Liew dalam

tempoh 36 minit.

Penyelesaian: 2. Graf laju-masa di sebelah menunjukkan kelajuan
(a) Jumlah jarak motosikal
Encik Mustaffa untuk tempoh masa 30 minit
= luas di bawah graf semasa menjemput anaknya dari kelas tambahan.
Hitung,
= 1 × 10 j × 72 kmj−1] (a) jumlah jarak, dalam km, yang dilalui dalam
[2 (60) tempoh 30 minit.
(b) laju purata, dalam km j–1, motosikal Encik
+ 1 × 10 j × (40 + 72)kmj−1] Mustaffa untuk tempoh 30 minit.
[2 (60)
3. Sarves menyertai pertandingan larian 100 m
+ 1 × 16 j × (40 + 72)kmj−1] semasa kejohanan
[2 (60) olahragadisekolahnya.Graf laju-masadisebelah
menunjukkan
28 224 29 | P a g e
= (6 + 3 + 15 ) km
= 30.27 km

UNIT SAINS DAN MATEMATIK, KV SIBU, OKT 2021

MATEMATIK SVM
2.0 GRAF GERAKAN SEMESTER 4

kelajuan larian Sarves sehingga garisan penamat.
Hitung,
(a) nilai t.
(b) laju purata larian Sarves dalam km j–1

2.2.3 Mentafsir graf laju-masa dan Contoh 14:
menghuraikan gerakan berdasarkan graf Graf laju-masa di sebelah menunjukkan gerakan kereta
tersebut. Puan Salina dalam tempoh 15 saat.
(a) Hitung kadar perubahan laju terhadap masa dalam
m s–2, bagi 5 saat yang pertama.
(b) Huraikan gerakan kereta bagi tempoh 5 saat yang
kedua.
(c) Hitungkan jumlah jarak, dalam meter, yang dilalui
dalam tempoh 15 saat.

UNIT SAINS DAN MATEMATIK, KV SIBU, OKT 2021 Penyelesaian:
(a) Kadar perubahan laju

Perubahan laju
= Perubahan masa

(40 − 20)ms−1
= (5 − 0)s

= 4 m s−2
(b) Kereta bergerak dengan Laju seragam 40 m s−1 untuk
tempoh 5 saat.

(c) Jumlah jarak
= luas di bawah graf

1
= [2 × 5 × (20 + 40)]
+[(10 − 5) × 40]

30 | P a g e

MATEMATIK SVM
2.0 GRAF GERAKAN SEMESTER 4

1 = jarak dalam 15 saat terakhir
+ [2 × (15 − 10) × (40 + 60)]
1
= (150 + 200 + 250)m = 2 × (35 − 20) × 25
= 600 m
1
Contoh 15: = [2 × 15 × 25] m
Encik Daniel Wong memandu kereta ke kedai serbaneka = 187.5 m
untuk membeli surat khabar. Graf laju-masa di sebelah
menunjukkan gerakan kereta Encik Daniel Wong dari Kereta bergerak sejauh 187.5 m dalam tempoh 15 saat
rumah ke persimpangan jalan sebelum sampai di kedai
serbaneka tersebut. dengan nyahpecutan 5 m s−2.
3

Latih kendiri 2.2 c

(a) Huraikan gerakan kereta Encik Daniel Wong untuk 1 Graf laju-masa di sebelah menunjukkan gerakan
tempoh 10 saat yang pertama. sebuah motosikal untuk tempoh 50 saat. Huraikan
(b) Apakah yang berlaku terhadap gerakan kereta Encik gerakan motosikal
Daniel Wong dari saat ke-10 hingga saat ke-20? (a) untuk 20 saat yang pertama.
(c) Hitung kadar perubahan laju terhadap masa (b) semasa laju seragam.

dalam m s–2, bagi 5 saat terakhir.
(d) Hitung jarak, dalam meter yang dilalui semasa

nyahpecutan dan huraikan gerakan kereta pada tempoh
tersebut.

Penyelesaian: 2 Graf laju-masa di sebelah menunjukkan gerakan
(a) Kadar perubahan laju terhadap masa untuk 10 saat suatu zarah dalam tempoh 18 saat.
yang pertama (a) Hitung pecutan zarah, dalam ms−2, untuk 6
saat terakhir.
Perubahan laju (b) Hitung jumlah jarak, dalam meter, yang
= Perubahan masa dilalui oleh zarah tersebut dalam tempoh 18 saat.
(c) Huraikan gerakan zarah semasa laju seragam.
(25 − 0)ms−1
= 10 − 0 s Encik Merisat melawat kawannya yang tinggal di
= 2.5 m s−2 kawasan perumahan yang sama dengan menaiki kereta.
Graf laju-masa di sebelah menunjukkan gerakan Encik
Kereta mengalami pecutan dengan kadar 2.5 m s−2 Merisat ke rumah kawannya.
dalam tempoh 10 saat. (a) Hitung kadar perubahan laju terhadap masa bagi 20
saat yang pertama.
(b) Kereta Encik Wong bergerak dengan laju seragam (b) Hitung jarak dalam meter, yang dilalui semasa laju
25 m s−1 dari saat ke-10 hingga saat ke-20. seragam.
(c) Kadar perubahan laju
31 | P a g e
(0 − 25)ms−1
= (35 − 20)s

=35 ms−2
(d) Jarak yang dilalui semasa nyahpecutan

UNIT SAINS DAN MATEMATIK, KV SIBU, OKT 2021

MATEMATIK SVM
2.0 GRAF GERAKAN SEMESTER 4

(c) Huraikan perjalanan Encik Merisat untuk tempoh 2.5 Melaksanakan strategi
minit. (a) Jumlah jarak untuk 6 saat pertama

1
= [2 × 4 × (5 + 10)] + [(6 − 4) × 10]
= (30 + 20)m

= 50 m

Laju purata 50 m
= 6s

= 25 m s−1
3

2.2.4 Menyelesaikan masalah yang melibatkan (b) Luas trapezium = 1 luas segi empat tepat
graf laju-masa. 2

Contoh 16: 1 1
2 × 4 × (5 + 10) = 2 × ( − 4) × 10
Graf laju-masa di sebelah menunjukkan gerakan = 5 − 20
30
sebuah kereta untuk tempoh 14 saat. Hitung, = 5
(a) laju purata dalam ms−1 untuk tempoh 6 saat yang 50
= 10
pertama.

(b) nilai , jika jarak yang dilalui oleh kereta untuk (c) Pecutan = 3.5 m s−2
− 10
tempoh 4 saat yang pertama ialah separuh daripada 14 − 10 = 3.5
− 10
jarak yang dilalui dengan laju seragam.
(c) nilai , jika pecutan bagi 2 saat terakhir ialah 4 = 3.5
3.5 m s−2 − 10 = 14

= 24

Kesimpulan

(a) Laju purata untuk tempoh 6 saat yang pertama ialah
25 m s−1

3

(b) = 10

(c) = 24

Penyelesaian: Contoh 17:
Memahami masalah Graf laju-masa di sebelah menunjukkan gerakan dua buah
(a) Laju purata untuk 6 saat pertama. kenderaan. Graf OAB mewakili gerakan kereta Encik
(b) Nilai t, iaitu masa gerakan Zabadi dan graf CD mewakili gerakan teksi yang dipandu
dengan laju seragam berakhir. oleh Encik Low. Diberi beza jarak di antara kereta
(c) Nilai v, iaitu laju akhir apabila dengan teksi bagi tempoh 24 saat
pecutan bernilai 3.5 m s–2. ialah 160 m. Hitung nilai v.

Merancang strategi

(a) Laju purata = Jumlah jarak
Jumlah masa
1
(b) Jarak 4 saat pertama = 2 (jarak dengan laju seragam)

(c) Pecutan = Perubahan laju
Perubahan masa

UNIT SAINS DAN MATEMATIK, KV SIBU, OKT 2021 32 | P a g e

MATEMATIK SVM
2.0 GRAF GERAKAN SEMESTER 4

Penyelesaian: = 273 m
Memahami masalah
(c) Pecutan selepas saat ke-10 = pecutan pada 3 yang
• Nilai , iaitu laju akhir teksi untuk tempoh 16 pertama
saat.
(0 − 30)ms−1 (30 − 12)ms−1
Merancang strategi − [ ( − 10)s ] = (3 − 0)s

• jarak kereta-jarak teksi =160m −30 18
− ( − 10) = 3
Melaksanakan strategi
30
Jarak kereta(OAB)-jarak teksi(CD) = 160 − 10 = 6

1 × ( − 10) × (24 + 16)] − 1 × (24 − 8) × ( )] = 160 30
[2 [2 6 = − 10
= 15
11
[2 × ( − 10) × 40] − [2 × 16 × ] = 160 Latih Kendiri 2.2d

20 − 200 − 8 = 160

12 = 360

= 30 1 Graf laju-masa di sebelah menunjukkan gerakan
Kesimpulan kereta Dion Johan untuk tempoh 16 saat. Hitung,
Nilai = 30 (a) jarak dalam meter, yang dilalui semasa kereta
bergerak dengan laju seragam.
Contoh 18: (b) nilai , jika laju purata kereta untuk 12 saat
Graf laju-masa di sebelah menunjukkan gerakan yang pertama ialah 14 m s−1.
sebuah van dalam tempoh saat. Hitung
(a) kadar perubahan laju terhadap masa dalam ms−1 2 Graf laju-masa di sebelah mewakili gerakan
untuk 3 saat yang pertama. motosikal yang dipandu oleh Abit Lusang untuk
(b) jarak yang dilalui, dalam meter, untuk tempoh 10 tempoh saat. Hitung,
saat yang pertama. (a) nyahpecutan gerakan dalam ms−2.
(c) nilai jika magnitud kadar perubahan laju (b) jarak dalam meter semasa kadar perubahan
terhadap masa selepas saat ke sepuluh adalah sama laju terhadap masa adalah bernilai positif.
dengan magnitud kadar perubahan laju pada 3 saat (c) nilai , jika jumlah jarak yang dilalui untuk
yang pertama. tempoh saat ialah 121.5 m

Penyelesaian:

(a) Kadar perubahan laju = (30−12)ms−1 = 6 m s−2
(3−0)s

(b) Jarak yang dilalui

1 3 Graf laju-masa di sebelah menunjukkan gerakan
= [2 × 3 × (12 + 30)] + [(10 − 3) × 30] sebuah kereta untuk tempoh saat. Hitung,
= (63 + 210)m (a) jumlah jarak, dalam meter, yang dilalui

UNIT SAINS DAN MATEMATIK, KV SIBU, OKT 2021 33 | P a g e

MATEMATIK SVM
2.0 GRAF GERAKAN SEMESTER 4

semasa kadar perubahan laju terhadap masa 3 Graf laju-masa di sebelah menunjukkan gerakan
kereta tersebut bernilai positif. sebuah kereta dan sebuah motosikal. Hitung,
(b) nilai jika magnitud kadar perubahan laju (a) tempoh masa motosikal bergerak dengan laju
terhadap masa dari saat ke-8 hingga saat ke-10 seragam.
adalah sama dengan magnitud kadar perubahan (b) nilai , jika jarak yang dilalui oleh kereta dan
laju terhadap masa selenas saat ke-10 motosikal adalah sama untuk tempoh saat.

Latih Ekstensif 4 Graf laju-masa di sebelah menunjukkan gerakan

1 Graf jarak-masa di sebelah menunjukkan gerakan bagi suatu zarah dalam tempoh 15 saat. Hitung,
sebuah bas ekspres dalam masa 14 minit. Hitung,
(a) tempoh masa bas tersebut berada dalam (a) kadar perubahan laju terhadap masa, dalam
keadaan pegun. ms−2, untuk tempoh 6 saat terakhir.
(b) kadar perubahan jarak terhadap masa untuk 4 (b) nilai jika nisbah jarak yang dilalui untuk
minit yang terakhir dalam kmj−1.
(c) laju purata bas untuk tempoh 14 minit dalam tempoh 5 saat yang pertama kepada 6 saat
kmj−1. Sebuah kereta dan sebuah bas persiaran terakhir ialah 5: 3.
bergerak sejauh 150 km dalam masa 3 jam.
(c) laju purata zarah untuk tempoh 15 saat dalam
kmj−1.

2 Graf jarak-masa di sebelah menunjukkan gerakan 5 Graf laju-masa di sebelah menunjukkan gerakan
dua buah kereta untuk tempoh 45 minit. Puan
kedua-dua kereta dan bas persiaran tersebut. Nisha sedang memandu dari Bandar ke Bandar
sementara Puan Farah memandu dari arah yang
Hitung, bertentangan dengan Puan Nisha. Hitung,
(a) nilai , jika kadar perubahan laju terhadap
(a) kadar perubahan jarak terhadap masa kereta, masa kereta Puan Farah untuk tempoh 30 minit
dalam kmj−1 untuk 42 minit yang pertama. yang pertama adalah sama dengan pecutan kereta
(b) nilai . Puan Nisha untuk tempoh 45 minit.

(c) kadar perubahan jarak terhadap masa kereta (b) jarak dari Bandar , dalam km, apabila
dalam kmj−1 untuk gerakan 80 km terakhir. kedua-dua kereta tersebut berselisih.
(c) masa, dalam minit yang diambil oleh Puan
Nisha untuk sampai di Bandar jika pecutan
keretanya tidak berubah.

UNIT SAINS DAN MATEMATIK, KV SIBU, OKT 2021 34 | P a g e

MATEMATIK SVM
2.0 GRAF GERAKAN SEMESTER 4

6 Graf jarak-masa di sebelah menunjukkan gerakan Jawapan

dua buah kereta sejauh 100 km. Graf Latih Kendiri .

menunjukkan gerakan kereta yang dipandu oleh
Encik Lee dengan laju purata kmj−1 dan

graf ialah gerakan kereta yang dipandu oleh
Encik Dollah dengan laju purata ( − 20)kmj−1.

Hitung,

(a) nilai jika beza masa yang diambil oleh

Encik Lee dan Encik Dollah untuk sampai di

destinasi ialah 25 minit.

(b) waktu, dalam sistem 24 jam Encik Lee sampai

di destinasinya.

7 (a) (i) Rajah 1 menunjukkan graf jarak-masa Latih Kendiri .
kereta untuk tempoh saat. Diberi laju purata
kereta ialah 25 m s−1. Hitung nilai . 1 (a) 50
(ii) Huraikan gerakan kereta A untuk tempoh (b) Kereta berada dalam keadaan pegun.
(c) (i) 40
saat. (ii) Kereta bergerak sejauh 100 km dengan laju
purata 40 kmj−1 dalam tempoh 2.5 jam.

2 (a) 2
(b) 4.8

(b) Rajah 2 menunjukkan graf laju-masa kereta . (c) Encik Rashid berlari sejauh 4 km dengan laju
Diberi bahawa, laju seragam, , kereta adalah purata 4.8 kmj−1 dalam tempoh 50 minit.
sama dengan laju purata kereta dan jarak yang
3 (a)1424
dilalui oleh kedua-dua buah kereta adalah sama. (b) (i) Kereta berada dalam keadaan pegun untuk
Jika nilai , dalam saat untuk kedua-dua graf tempoh 66 minit.
(ii) Kereta bergerak dengan laju purata 40 kmj−1
adalah sama, hitung tempoh masa, dalam minit, sejauh 30 km dalam tempoh 45 minit.
kereta bergerak dengan laju seragam.
4 (a) 40
(b) Kereta bergerak dengan laju purata 54 kmj−1
sejauh 36 km dalam tempoh 40 minit.

Latih Kendiri .

1 (a) 3
(b) Ya, Jeffrey akan menamatkan lariannya dalam
12 saat.

2 (a) 50
(b) 70
(c)

UNIT SAINS DAN MATEMATIK, KV SIBU, OKT 2021 35 | P a g e

MATEMATIK SVM
2.0 GRAF GERAKAN SEMESTER 4

motosikal berkurangan dari 35 m s−1 kepada
20 m s−1 dalam tempoh 20 saat; atau motosikal
bergerak sejauh 550 m dalam tempoh 20 saat.

(b) Motosikal bergerak dengan laju seragam
20 m s−1 selama 30 saat; atau
motosikal bergerak sejauh 600 m dengan laju

seragam.

(d) 11: 12 pagi 2 (a) 5 m s−2
6
3 (a) 25minit
(b) (i) 27 (b) 260 m
(ii) 33 km
(c) 80 (c) Zarah bergerak dengan laju seragam
(d) 45 15 m s−1 untuk tempoh 7 saat.

4 (a) 20 3 (a) 3 m s−2
(b) 60 8
(c) Kereta bergerak dengan laju purata 72 kmj−1
sejauh 36 km dalam tempoh 30 minit. (b) 1200 m

Latih Kendiri . (c) Encik Merisat memandu kereta sejauh

1.725 km dalam masa 2.5 minit dengan laju

purata 41.4 kmj−1

Latih Kendiri .

1 (a) 96
(b) 18

2 (a) 1
(b) 25.5

3 (a) 28
(b) 15

Latih Ekstensif

1 (a) 6 minit
(b) 60

2 (a) 100
(b) 1.6
(c) 57.14

3 (a) 8 saat
(b) 17

Latih Kendiri . 4 (a) − 7
6

(b) 6

1 (a) 360 (c) 19.68
(b) 0.275
(c) 2.6 5 (a) 12
(b) 32.4
2 (a) 14 2
3 (c) 60

(b) 29 1 6 (a) 80
3 (b) Jam 0915

3 (a) 16 7 (a) (i) 80
(b) 22.5
(ii) Kereta A bergerak dengan laju purata
Latih Kendiri . 25 m s−1 sejauh 2 km dalam tempoh 80 saat.

1 (a) Motosikal mengalami nyahpecutan (b) 1
0.75 m s−2 dalam tempoh 20 saat; atau kelajuan

UNIT SAINS DAN MATEMATIK, KV SIBU, OKT 2021 36 | P a g e

MATEMATIK SVM
2.0 GRAF GERAKAN SEMESTER 4

UNIT SAINS DAN MATEMATIK, KV SIBU, OKT 2021 37 | P a g e

MATEMATIK SVM
3.0 MATRIKS SEMESTER 4

3.1 Matrisks

BAB 2 MATEMATIK TING. 5 3.1.1 Mewakilkan maklumat situasi
BAB 3 MATEMATIK SVM sebenar dalam bentuk matriks.
MATRIKS
Kedai Elektrik Sinar Jaya mencatatkan jualan tiga jenis
Dalam unit ini pelajar akan mempelajari: kipas angin dalam bentuk jadual. Jadual di bawah
menunjukkan jualan kipas angin di kedai dan dalam
3.1 Matrisks talian bagi bulan Mac. Data bulan Mac boleh juga
diwakilkan dalam bentuk matriks seperti yang
3.1.1 Mewakilkan maklumat situasi ditunjukkan di bawah.
sebenar dalam bentuk matriks. Bentuk jadual

3.1.2 Menentukan peringkat matriks dan Di kedai Kipas Angin Dinding
seterusnya mengenal pasti unsur Dalam talian Berdiri Siling 11
tertentu dalam suatu matriks. 16 18 4
Bentuk Matriks 5 10
3.1.3 Menentukan sama ada dua matriks
adalah sama.

3.2 Operasi Asas Matriks Matriks ialah nombor-nombor yang disusun dalam baris
3.2.1 Menambah dan menolak matriks. dan lajur untuk membentuk satu tatasusun segi empat
3.2.2 Mendarab matriks dengan suatu nombor. tepat dan lajur untuk membe atau segi empat sama
3.2.3 Mendarab dua matriks.
Matriks lazimnya diwakili dengan huruf besar dan
ditulis dalam tanda kurung [ ] atau ( ).

3.2.4 Menerangkan ciri-ciri matriks identiti. Contoh 1:
Wakilkan maklumat berikut dalam bentuk matriks.
3.2.5 Menerangkan maksud matriks (a) Jadual di bawah menunjukkan keperluan kalori
songsang dan seterusnya harian bagi perempuan mengikut kategori
menentukan matriks songsang
bagi suatu matriks 2 × 2. Kanak- Remaja Dewasa Warga
kanak Emas
3.2.6 Menggunakan kaedah matriks
untuk menyelesaikan Keperluan kalori 1700 2100 2000 1800
persamaan linear serentak. harian (kcal)

3.2.7 Menyelesaikan masalah yang (b) Jadual di bawah menunjukkan pungutan pingat oleh
melibatkan matriks. kontinjen Malaysia untuk tiga acara dalam Temasya
Sukan SEA ke-29.

Acara Terjun Emas Perak Gangsa
Pencak Silat 13 5 1
Olahraga 10 2 4
8 8 9

UNIT SAINS DAN MATEMATIK, KV SIBU, MAC 2021 38 | P a g e

MATEMATIK SVM
3.0 MATRIKS SEMESTER 4

(c) Dalam Ujian 1, Samad telah mendapat 76 markah Putrajaya Isnin Selasa Rabu
untuk Bahasa Melayu, 82 markah untuk Matematik dan Jerantut 53 52 50
72 markah untuk Sejarah. Hamid pula telah mendapat 80 Sandakan 20 21 20
markah untuk Bahasa Melayu, 88 markah untuk 47 48 46
Matematik dan 70 markah untuk Sejarah.
Penyelesaian: 3 Jadual di bawah menunjukkan purata bilangan
(a) [1700 2100 2000 1800] atau buku yang dibaca oleh murid dalam Program
Ini matriks lajur. Matriks lajur mempunyai hanya satu Nilam di SMK Setia bagi tahun 2019 .
lajur.
1700 Tingkatan Tingkatan Tingkatan
[22100000] 345
1800
Bahasa 20 18 15
Ini matriks lajur. Matriks lajur mempunyai hanya satu Melayu
lajur
Bahasa 12 10 11
(b) Inggeris

Ini matriks segi empat sama. Matriks segi empat sama Wakilkan maklumat di atas dalam bentuk matriks.
mempunyai bilangan baris dan bilangan lajur yang
sama. 3.1.2 Menentukan peringkat matriks dan
seterusnya mengenal pasti unsur
(c) tertentu dalam suatu matriks.

Peringkat matriks boleh ditentukan dengan
menulis bilangan baris dan bilangan lajur matriks
itu. Misalnya

Ini matriks segi empat tepat. Matriks segi empat tepat Matriks ini mempunyai 2 baris dan 3 lajur. Jadi, ini
mempunyai bilangan baris dan bilangan lajur yang ialah matriks peringkat 2 x 3 dan dibaca sebagai
berbeza. “matriks
2 dengan 3”.
Latih Kendiri 3.1a
Matriks dengan m baris dan n lajur mempunyai
1 Suatu pameran teknologi mudah alih generasi peringkat m  n dan dibaca sebagai
kelima ( 5G) telah dikunjungi oleh 857 orang “matriks m dengan n”
remaja, 3180 orang dewasa dan 211 orang warga
emas. Wakilkan maklumat tersebut dalam Setiap nombor dalam matriks dikenali sebagai
bentuk matriks. unsur matriks itu. Misalnya, unsur pada
baris ke-2 dan lajur ke-3 bagi matriks
2 Jadual di sebelah menunjukkan purata bacaan
Indeks Pencemaran Udara (IPU) di Putrajaya, ialah 4.
Jerantut dan Sandakan selama tiga hari.
Wakilkan maklumat tersebut dalam bentuk Huruf besar digunakan untuk mewakili suatu
matriks. matriks, misalnya

UNIT SAINS DAN MATEMATIK, KV SIBU, MAC 2021 39 | P a g e

MATEMATIK SVM
3.0 MATRIKS SEMESTER 4

Latih Kendiri 3.1b

dan 1 Tentukan peringkat bagi matriks-matriks berikut.
unsur pada baris ke-2 dan lajur ke-3 boleh diwakili
dengan a23, misalnya a23 = 4 (a) [15 −8]
(b) [69]
Secara umumnya, unsur pada baris ke-i dan lajur
ke-j dalam matriks A boleh diwakili oleh 4 −1 7

(c) [8 0 2]

5 11 3
(d) [125 9 71]
10

Contoh 2: 2 Untuk setiap matriks berikut, tentukan
Diberi tiga matriks, = [3 −7 9], = [45] dan
(i) peringkat matriks,

(ii) unsur pada baris ke-2 dan lajur ke-2,

(iii) unsur pada baris ke-3 dan lajur pertama.
15

(a) [−6 0 ]
9 12
2 −3 5

(b) [−1 16 0]
9 18

1 5 −2 0 3 Diberi matriks = [−78 14 −25], tentukan
3
= [−34 7 2 81] Tentukan peringkat matriks . Kemudian, kenal pasti
11 6
unsur 13, 22dan 11
9 3 −1 5
4 Diberi matriks = [210 −416], hitung nilai
(b) unsur 12 + 21.

(i) baris pertama dan lajur ke-3 matriks , 13, 3.1.3 Menentukan sama ada dua matriks
(ii) baris ke-2 dan lajur pertama matriks , 21, adalah sama.
(iii) baris ke-3 dan lajur ke-4 matriks , 34.

Penyelesaian:

(a) Peringkat matriks ialah 1 × 3.

Peringkat matriks ialah 2 × 1 M = N jika dan hanya jika kedua-dua matriks
mempunyai peringkat yang sama dan setiap unsur
Peringkat matriks ialah 4 × 4 sepadannya sama.

(b) (i) 13 bagi matriks ialah 9 .
(ii) 21 bagi matriks ialah 5 .

(iii) 34 bagi matriks ialah 1 .

Contoh 4

Contoh 3 Tentukan sama ada setiap pasangan matriks berikut
−2 5
adalah sama. Berikan sebab anda.
Diberi matriks = [ 0 4], tentukan
(a) = [12 131] dan = [21 131]
19 (b) = [3 9] dan = [39]
(a) peringkat matriks, (c) = [−87 03] dan = [38 −07]
1
(b) unsur 11, 21 dan 32. 0.5 −2 2 −2
Penyelesaian:
(d) = [ 6 0.8] dan = [ 6 4]
(a) 3 × 2 −1 12 −1
5
(b) 11 = −2
21 = 0 12
32 = 9
Penyelesaian:

(a) = kerana kedua-dua matriks mempunyai

peringkat yang sama dan setiap unsur sepadannya sama.

(b) ≠ kerana kedua-dua matriks tidak mempunyai

peringkat yang sama. Peringkat ialah 1 × 2 manakala

UNIT SAINS DAN MATEMATIK, KV SIBU, MAC 2021 40 | P a g e

MATEMATIK SVM
3.0 MATRIKS SEMESTER 4

peringkat ialah 2 × 1 − = [ 1211 − 11 12 − 1222]
(c) ≠ kerana unsur sepadannya tidak sama. − 21 22 −
(d) = kerana kedua-dua matriks mempunyai
Contoh 6
peringkat yang sama dan setiap unsur sepadannya sama.

Tentukan sama ada penambahan dan penolakan boleh

dilaksanakan pada pasangan matriks berikut. Berikan

Contoh 5 sebab anda.

Diberi bahawa matriks = [0 5 −73 ] dan matriks (a) = [28 −5 73] dan = [49 −61]
11
(b) = [1 12] dan = [0 −4]
= [05 + 1]. Tentukan nilai , nilai dan nilai
2 (c) = [−151 −04] dan = [123 −05]
jika = . (d) = [−103] dan = [186 71]

Penyelesaian:

= , maka semua unsur sepadan adalah sama. Penyelesaian:

= 5 , 7 = + 1 5 − 3 = 2 (a) Tidak boleh kerana peringkat matriks dan adalah

= 7 − 1 5 = 5 tidak sama.

= 6 = 1 (b) Boleh kerana peringkat matriks dan adalah sama.

(c) Boleh kerana peringkat matriks dan adalah sama.

Latih Kendiri 3.1c (d) Tidak boleh kerana peringkat matriks dan adalah

tidak sama.

1 Tentukan sama ada setiap pasangan matriks Contoh 7:

berikut adalah sama.

(a) [34] dan [34] 1 Diberi matriks = [160 −8 47],
−11
(b) [0−.11 16.5] 6
dan [ 10 3] matriks = [−143 −2 91], matriks
−1 5
2
(c) [1−27] dan [12 −7]
(d) [80 19] dan [90 81] −2 5 6 18 1 −7
= [7.4 3 ].
6 5] dan matriks = [2.5 3 0.4
1 12
2 Diberi = , hitung nilai , nilai dan nilai . −13 1 −8
4 0
9

60 0 Hitung

(a) = [ 3 ] dan = [ 3 2 ]

2 − 3 −5 −2 −5 (a) C + D
(b) = [6 1+0 5 −1 (b) −
3 + 4] dan

= [2 5− 9 −−41 ] Penyelesaian:

+ = [160 −8 74] + [−143 −2 19]
(a) −11 5

3.2 Operasi Asas Matriks = [61+0 +(−134) −8 + (−2) 4 + 19]
−11 + 5 7 +

3.2.1 Menambah dan menolak matriks. − [234 −10 156]
Penambahan dan penolakan matriks hanya boleh −6
dilaksanakan pada matriks yang sama peringkat.
Unsur yang sepadan ditambah atau ditolak untuk −2 5 6 18 1 −7
mendapat satu matriks tunggal yang sama peringkat. (b) P-Q = [7.4 3]
Bagi matriks = [ 1211 1222] dan 6 5] − [2.5 3 0.4
1
−13 1 −8
4 12 0
9

matriks = [ 1211 1222],
[ 1211 + 11 12 + 1222]
+ = + 21 22 + dan

UNIT SAINS DAN MATEMATIK, KV SIBU, MAC 2021 41 | P a g e

MATEMATIK SVM
3.0 MATRIKS SEMESTER 4

51 Sains Matematik Ekonomi
6−3
−2 − 18 6 − (−7) Stok awal 326 335 82

= 7.4 − 2.5 −13 − (−8) 5−3 Buku baharu
1 diterima
[ 1 − 12 9−0 4 − 0.4 ] 56 47 15

−20 1 13 Buku hilang
= [ 4.9 2] dan rosak
2 −0.15 32 26 11
−5
Penyelesaian:
−11 9
Stok akhir
Contoh 8 = Stok awal + Buku baharu diterima - Buku hilang dan rosak
Diberi matriks = [2− 1−21 5−+3 ],
= [326 335 82] + [56 47 15] − [32 26 11]
matriks = [7 2 ] dan + = [−85 −131], hitung = [350 356 86]
nilai dan nilai
Maka, stok akhir buku teks Sains, Matematik dan
Penyelesaian: Ekonomi masing-masing ialah 350,356 dan 86 .
D + E = [−85 −131]
Latih Kendiri 3.2a

[2− 1−21 5−+3 ] + [ 7 2 ] = [−85 −131] 1 Tentukan sama ada penambahan dan penolakan

boleh dilaksanakan pada setiap pasangan matriks

[2− 1−21++7 5−+3 ++2 ] = [−85 −131] berikut.
[3 − −5 1 5 +−12 ] = [−85 −131]
(a) [−15 90] dan [36 17] 4 −16 7
[1 5 0]
(b) [−132 −1 141] dan 3 2 8
8

3 − 1 = 8 dan 5 + 2 = 13 (c) [−103] dan [12 −7]
(d) [2 −9] dan [1 6]

3 = 9 dan 2 = 8 2 Diberi matriks = [−123 41] , = [08 −52] dan
= [67 −31], hitung
= 3 dan = 4 (a) − +
Maka, = 3 dan = 4 (b) + −

Contoh 9 3 Selesaikan setiap yang berikut.
Diberi + [−163] − [170] = [−32], hitung matriks
Penyelesaian: (a) [−124 10 −17] + [12 −1 39]
+ [−163] − [170] = [−32] 0 8
(b) [−187 −153] − [−111 25]
= [−32] − [−163] + [170] (c) [−61] + [94] − [−193]
= [−1161] (d) [21 58] + [−141 165]

Contoh 10: 4 Diberi [39 −+ 2] + [24 ] = [−158], hitung nilai
Jadual di sebelah menunjukkan catatan stok buku teks dan nilai .
Tingkatan 4 bagi mata pelajaran Sains, Matematik dan
Ekonomi di SMK Taman Suria. Hitung stok akhir bagi 42 | P a g e
setiap jenis buku teks tersebut.

UNIT SAINS DAN MATEMATIK, KV SIBU, MAC 2021

MATEMATIK SVM
3.0 MATRIKS SEMESTER 4

5 Diberi matriks Penyelesaian:

= [46 −+ 1 − 5] , = [ 7 36 ] dan (a) 3D
− = [−102 − 1 1], hitung nilai , nilai dan 3 = 3 [−25 41]
nilai .
= [33((−25)) 33((14))]
3 −4 −7 2 11 −4
= [−615 132]
6 Diberi [ 1 0 ] + [ 9 6] − = [−1 5 ],

−6 7 10 8 69 (b) − 1
hitung matriks . 2
1 1
7 Encik Gopal mempunyai dua buah kedai, A dan − 2 = − 2 [−25 41]
B. Jadual di bawah menunjukkan pendapatan
dan perbelanjaan jualan makanan dan minuman 1 (−5) (− 1 (4)
bagi kedua-dua buah kedainya pada bulan Jun. (− 2) 2) ]
= [ 1 1

Pendapatan (− 2) (2) (− 2) (1)
Makanan Minuman
Kedai A RM2 650 RM1 890 5 −2
Kedai B RM1 560 RM910 =[ 2 1]

−1 −2

Perbelanjaan Hasil daripada Mobilisasi Minda 1, didapati bahawa;
(a) + = + . Penambahan matriks mematuhi
Makanan Minuman Hukum Kalis Tukar Tertib. − ≠ − . Penolakan

Kedai A RM930 RM850 matriks tidak mematuhi Hukum Kalis Tukar Tertib.
(b) ℎ( + ) = ℎ + ℎ , ℎ( − ) = ℎ − ℎ .
Kedai B RM540 RM260
Hitung jumlah keuntungan yang diperoleh Encik Gopal Penambahan dan penolakan matriks mematuhi Hukum
dari setiap kedainya pada bulan Jun. Tunjukkan
pengiraan anda dalam bentuk matriks. Kalis Agihan.
[Diberi bahawa keuntungan = pendapatan - perbelanjaan] (c) ( + ) + = + ( + ). Penambahan matriks
mematuhi Hukum Kalis Sekutuan. ( − ) − ≠ −
3.2.2 Mendarab matriks dengan suatu nombor. ( − ). Penolakan matriks tidak mematuhi Hukum
Diberi matriks = [ ] dan ialah suatu nombor.
Maka = [ ] = [ ] Kalis Sekutuan.
dikenali sebagai skalar.
(d) Matriks dengan semua unsurnya adalah sifar
dinamakan matriks sifar, misalnya [00 00]. Penambahan
dan penolakan matriks dengan matriks sifar, ialah:
+ = dan − =

Contoh 12 92 −3
7 8 ] dan = [1 5 ],
12 0 4
Diberi = [−3

6

Pendaraban matriks dengan suatu nombor dikenali hitung 3( − )
sebagai pendaraban skalar.
Penyelesaian:
Contoh 11 7 92 −3
Diberi = [−25 41], hitung 8 ] − [1 5 ])
(a) 3 3( − ) = 3 ([−3 12 0 4

(b) − 1 6
2 5 12
= 3 [−4 3 ]

68
15 36
= [−12 9 ]

18 24

UNIT SAINS DAN MATEMATIK, KV SIBU, MAC 2021 43 | P a g e

MATEMATIK SVM
3.0 MATRIKS SEMESTER 4

Contoh 13 Penyelesaian:
5X + 2Y
(a) Diberi 1 [142] − [− 3] = [ 5 ], hitung nilai dan nilai .
2 = 5 [4220 181] + 2 [2152 53]
= [211000 5405] + [2504 160]
(b) Diberi 4 + [29 −03] = [−103 14], hitung matriks . = [122640 5610]

Penyelesaian: Latih Kendiri 3.2b

1 [142] − [− 3] = [ 5 ]
2

(a) [62] − [− 3] = [ 5 ]

[6 −2 −(− 3)] = [5 ] 1 Tentukan hasil darab bagi setiap matriks berikut.

(a) 3 [−27]
Bandingkan unsur-unsur sepadan. (b) 0.6[11 5]

1 12 −20
4
2 − = 5 6 − (−3) = (c) [−6 16 ]
9 1
= −3 = 9 (d) −2 [−0.94 28.5]

(b) (e) 1.2 [130 −1 −115]
7
4 + [29 −03] = [−103 14] 100
4 1
4 = [−103 14] − [29 −03] (f) − 20 [−90]
−20

= [−812 44] 2 Selesaikan setiap operasi yang berikut.

12 75 1 10 2
2
= 1 [−812 44] (a) 5 [3 −1] + [ 6 1] − [9 −4]
4 0 −4 −1 8 −6 14
(b) 6 [−41] − 0.5 [184] − 2 [−13]
= [−23 11] 1
(c) 7[3 −2 1] − 3 [21 6 −9]

Contoh 14 (d) 0.2 [−106 −825] + 1 [−155 22.05]
Purata bilangan kenderaan di suatu kawasan parkir untuk 5
setiap hari bagi 5 hari bekerja diwakili dengan Jadual X.
Jadual Y pula mewakili purata bilangan kenderaan pada 3 Diberi matriks = [92 161], matriks =
hujung minggu. [−37 242] dan matriks = [−−81 150],
tunjukkan ( + ) + = + ( + )
Kereta Motosikal

Berbumbung 42 8 4 Diberi matriks = 1 matriks = [−45]

[ 2 ],
−0.7
dan matriks = [00], hitung − 1.4 + .
Tidak berbumbung 20 11
Jadual X
Kereta Motosikal 5 Diberi 4 [−25 3 ] − [− 4 09.1] = 3 [− 3 5 15.5] ,
5

Berbumbung 25 5 hitung nilai , nilai dan nilai .

Tidak berbumbung 12 3 6 Diberi [−10 9] − 2 + 5[2 1] = [3 8],
hitung matriks .

Jadual Y 7 Kedai kasut Encik Jamal menjual kasut dewasa
Hitung bilangan kenderaan yang parkir di kawasan dan kasut kanak-kanak. Jadual 1 . menunjukkan
tersebut dalam seminggu. stok setiap jenis kasut pada awal minggu tertentu
manakala Jadual 2 menunjukkan jualan setiap
jenis kasut pada minggu tersebut.

UNIT SAINS DAN MATEMATIK, KV SIBU, MAC 2021 44 | P a g e

MATEMATIK SVM
3.0 MATRIKS SEMESTER 4

Perempuan Lelaki Maka, = [21 35] [−62 −17]

Dewasa 85 70 = [((12))((66)) + (3)(−2) (2)(−7) + ((53))((11))]
+ (5)(−2) (1)(−7) +

Kanak-kanak 110 98 = [−64 −−121]

Jadual 1

Perempuan Lelaki Contoh 17

Dewasa 33 24 Diberi matriks = [−54 −1 70], matriks = [−72]
Jadual 2 8
dan matriks = [4 3]. Hitung

(a)

Hitung inventori akhir setiap jenis kasut pada hujung (b)
minggu tersebut. Tunjukkan pengiraan anda dalam
bentuk matriks. (c)

Penyelesaian:

= [4 3]1 × 2 [−54 −1 07]2×3
(a) 8

3.2.3 Mendarab dua matriks. = [4(5) + 3(−4) 4(−1) + 3(8) 4(0) + 3(7)]

= [8 20 21]1×3

(b) = [−72]2×1 [4 3]1×2

= [(−72()4()4) (−72()3()3)]

Jika matriks A mempunyai peringkat m x n dan matriks = [2−88 −216]2×2
B mempunyai peringkat n x p,maka pendaraban AB
boleh dilakukan dan peringkat AB ialah m x p. = [4 3]1×2 [−72]2×1
(c) = [4(−2) + 3(7)]
Contoh 15
Diberi matriks = [83] dan matriks = [−12 52]. = [13]1×1
Tentukan sama ada pendaraban dan boleh
dilakukan atau tidak. Jika boleh, nyatakan peringkat Contoh 18:
hasil darab matriks itu.
Penyelesaian: 32
Peringkat matriks = 2 × 1,
peringkat matriks = 2 × 2 Diberi matriks = [−1 5 ] dan matriks =
Pendaraban tidak boleh dilakukan kerana bilangan
lajur matriks tidak sama dengan bilangan lajur matriks [−04 12]. Hitung 4 −2
(a) 2
(b) 2
Pendaraban boleh dilakukan kerana bilangan baris
matriks sama dengan bilangan baris matriks . (c) 3
Peringkat ialah 2 × 1
Penyelesaian:
Contoh 16:
Diberi matriks = [21 35] dan matriks = [−62 −17]. 2 =
Hitung (a) = [−04 21] [−04 21]
= [106++00 −08++12]

= [106 −16]

UNIT SAINS DAN MATEMATIK, KV SIBU, MAC 2021 45 | P a g e

MATEMATIK SVM
3.0 MATRIKS SEMESTER 4

(b) 2 Tentukan sama ada pendaraban matriks berikut

3 2 [106 −16] boleh dilakukan atau tidak. Jika ya, nyatakan
= [−1 5]
−2 peringkat hasil darab pasangan matriks itu.
4 −18 + 2 (a)
48 + 0 (b)
(c)
= [−16 + 0 6 + 5 ] (d)

64 + 0 −24 + (−2) (e) PS
(f)
48 −16

= [−16 11 ]

64 −26

Contoh 19 Diberi empat matriks, = [−12 3 −41] , =
2
Diberi [6 −5] [12 43] = [7 1 − ], hitung nilai 2
dan nilai
0 −4 = [−26] dan = [23 −14].
Penyelesaian: [−3 5 ] ,
[6 −5] [12 34] = [7 1 − ] 2
[(6 )(2) + (−5)(1) (6 )(3) + (−5)(4)]1×2 1
= [12 − 5 18 − 20] (a)

(b)

(c)

Maka, [12 − 5 18 − 20] = [7 1 − ] (d)

Bandingkan unsur-unsur sepadan. (e) 2

(f) 3

12 − 5 = 7 3 Diberi [− 1 3 ] [47] = [3291], hitung nilai dan
12 = 12 nilai .
= 1
18 − 20 = 1 − 4 Diberi [95 − 2] [46 1 ] = [185 148.5], hitung
18(1) − 20 = 1 − nilai dan nilai .
−2 = 1 −
y=3 5 Diberi = [1 −54] dan = [−36 70], hitung
nilai , nilai dan nilai jika
Contoh 20
(a) = [−318 2
Jadual di bawah menunjukkan unit saham yang dibeli 3 +

oleh Khairil dan Mahmud.

]

Saham A (unit) Saham B (unit) (b) 2 = [− 5 −72 5]

Khairil 5000 4000 −11 2.5

Mahmud 2000 6000 (c) = [ +3 5 ]
6
Diberi harga seunit saham A dan seunit saham B semasa 2 7 ]
pembelian ialah RM1.50 dan RM0.82. Hitung jumlah
pelaburan Khairil dan jumlah pelaburan Mahmud. 57 5
Penyelesaian: (d) 2 = [1.2

[52000000 46000000] [01..8502] = [73050000 + 34292800] 6 Encik Koh menyewa sebuah gerai di Expo
+ Pendidikan untuk menjual tiga jenis barangan
yang ditunjukkan dalam jadual di bawah.

= [170972800] Barangan Barangan Barangan
ABC

Jumlah pelaburan Khairil dan Mahmud masing-masing Hari 40 28 36
ialah RM10 780 dan RM7 920 . pertama

Latih Kendiri 3.2c Hari 42 36 30
kedua

1 Diberi empat matriks = [−31 26] , = Hari 35 25 42
ketiga
[79] , = [4 5] dan = [03 −6 −12].
8 11

UNIT SAINS DAN MATEMATIK, KV SIBU, MAC 2021 46 | P a g e

MATEMATIK SVM
3.0 MATRIKS SEMESTER 4

Diberi keuntungan jualan setiap barangan A, B dan C (b) [01 10]
masing-masing ialah RM5, RM8 dan RM6. Hitung 111

jumlah keuntungan yang diterima oleh Encik Koh setiap (c) [0 1 0]
hari. Tunjukkan pengiraan anda dalam bentuk matriks. 010
[Diberi bahawa jumlah keuntungan = jualan barangan 100
A × keuntungan barangan A + jualan barangan B ×
keuntungan barangan B + jualan barangan × (d) [0 1 0]
keuntungan barangan ] 001

3.2.4 Menerangkan ciri-ciri matriks identiti. (e) [10 01]
010
(a) Matriks dalam bentuk [01 10] atau 1 0 0
[0 1 0] (f) [0 0 0]
0 0 1 101
apabila didarabkan dengan matriks akan menghasilkan
2 Diberi matriks = [−21 35] dan matriks =
matriks , iaitu = = . [10 01]. Tunjukkan matriks ialah matriks
identiti.
(b) Unsur-unsur dalam matriks ini terdiri daripada 0
3 Diberi matriks = [67 23] dan matriks =
dan 1 sahaja dengan unsur 1 terletak di sepanjang [−35 14]. Hitung
(a) +
pepenjuru dari sudut kiri di sebelah atas ke sudut kanan (b) ( )
(c) 4 − 2
di sebelah bawah dan unsur yang lain adalah sifar. (d) ( − )

Matriks [10 10] atau 1 0 0
[0 1 0] dikenali sebagai matriks
0 0 1
identiti dan diwakili oleh .

Matriks identiti ialah matriks segi empat sama. Matriks

identiti, , didarabkan dengan suatu matriks , akan

menghasilkan matriks .

= = 3.2.5 Menerangkan maksud matriks

songsang dan seterusnya

Contoh 21 menentukan matriks songsang

Tuliskan matriks identiti berdasarkan peringkat berikut. bagi suatu matriks 2 × 2.

(a) 1 × 1 [25 31] [−35 −21] = [−35 −21] [52 31] = [10 10]

(b) 2 × 2 = =

(c) 4 × 4

(d) 5 × 5 Jika pendaraban matriks dan matriks menghasilkan
matriks identiti, , maka matriks adalah songsangan
Penyelesaian: matriks dan sebaliknya.

(a) [1] Pendaraban matriks A dan matriks songsang A, A–1,
(b) [10 10] akan menghasilkan matriks identiti, I.
AA–1 = A–1A = I
1000

(c) [00 1 0 00]
0 1

0001 Contoh 22:
10000

01000 Tentukan sama ada matriks berikut ialah matriks
songsang bagi [47 12]. Jelaskan jawapan anda.
(d) 0 0 1 0 0 (a) [−47 12]
(b) [−27 −41]
00010
[0 0 0 0 1]

Latih Kendiri 3.2d Penyelesaian:

1 Antara matriks berikut, yang manakah matriks (a) [47 12] [−47 21] = [194 161] 12] kerana
identiti? Jika bukan, berikan sebab anda. [−47 21] bukan matriks songsang bagi [47
(a) [0 1]
47 | P a g e
UNIT SAINS DAN MATEMATIK, KV SIBU, MAC 2021