Matematik SVM Semester 3

NAMA : ____________________________
ANGKA
GILIRAN:______________________________

KMOALETJ EVOMKAASITONIAKL

SIJIL VOKASIONAL MALAYSIA

SEMESTER 3

UBAHAN
TRANSFORMASI
TRIGONOMETRI

ISI KANDUNGAN 1

TOPIK 1 UBAHAN 1
2
1.1 UBAHAN LANGSUNG 5
1.1.1 Menerangkan ubahan langsung 7
1.1.2 Menentukan hubungan antara dua
8
pemboleh ubah bagi suatu ubahan langsung. 8
1.1.3 Menentukan hubungan antara antara tiga atau 11

lebih pemboleh ubah bagi suatu ubahan tercantum. 11
1.1.4 Menyelesaikan masalah yang melibatkan ubahan langsung 12

1.2 UBAHAN SONGSANG 13
1.2.1 Menerangkan maksud ubahan songsang. 14
1.2.2 Menentukan hubungan antara dua pemboleh 17

ubah bagi suatu ubahan songsang. 18
1.2.3 Menyelesaikan masalah yang melibatkan 18

ubahan songsang. 26

1.3 UBAHAN SONGSANG 28
1.3.1 Menentukan hubungan antara tiga atau lebih 29
32
pemboleh ubah bagi ubahan bergabung.
1.3.2 Menyelesaikan masalah yang melibatkan ubahan bergabung.

Latihan Ekstensif
Jawapan
Nota Ringkas

TOPIK 2 TRANSFORMASI

2.1 TRANSLASI, PANTULAN DAN PUTARAN
2.1.1 Menentukan imej dan objek bagi suatu

translasi, pantulan dan putaran.
2.1.2 Menyelesaikan masalah yang melibatkan

translasi, pantulan dan putaran.

2.2 PEMBESARAN
2.2.1 Menjelaskan maksud keserupaan objek geometri.
2.2.2 Membuat perkaitan antara keserupaan dengan pembesaran

dan seterusnya memerihalkan pembesaran menggunakan
pelbagai perwakilan.
2.2.3 Menentukan imej dan objek bagi suatu pembesaran.
2.2.4 Membuat hubungan antara luas imej dan luas objek
bagi suatu pembesaran.
2.2.5 Menyelesaikan masalah yang melibatkan pembesaran.

2.3 Gabungan Transformasi. 33
2.3.1 Menentukan imej bagi suatu gabungan transformasi. 35
40
Latihan Ekstensif 44
Jawapan
Nota Ringkas 45

TOPIK 3 TRIGONOMETRI 45

3.1 NILAI SINUS, KOSINUS DAN TANGEN BAGI SUDUT Θ, 0° ≤Θ ≤ 360°. 48
3.1.1 Membuat dan menentusahkan konjektur tentang 49
50
nilai sinus, kosinus dan tangen sudut dalam 51
sukuan II, III dan IV dengan sudut rujukan sepadan. 52
3.1.2 Menentukan nilai sinus, kosinus dan tangen 53
bagi sudut dalam sukuan II, III dan IV berdasarkan
sudut rujukan sepadan.
3.1.3 Menentukan sudut apabila nilai sinus, kosinus dan
tangen sudut tersebut diberi.
3.1.4 Menyelesaikan masalah yang melibatkan
sinus, kosinus dan tangen.

Latihan Ekstensif
Jawapan
Nota Ringkas

MATEMATIK SVM
1.0 UBAHAN SEMESTER 3

MATEMATIK SVM 1.1 Ubahan langsung
1.1.1 Menerangkan ubahan langsung

1.0 UBAHAN Ubahan langsung menerangkan perkaitan antara
dua pemboleh ubah, dengan keadaan apabila satu
Dalam unit ini pelajar akan mempelajari: pemboleh ubah y bertambah maka pemboleh ubah
1.1 Ubahan langsung x juga bertambah pada kadar yang sama dan
sebaliknya.

1.1.1 Menerangkan ubahan langsung Hubungan ini juga ditulis sebagai y berubah secara
1.1.2 Menentukan hubungan antara dua langsung dengan x.

pemboleh ubah bagi suatu ubahan

langsung. CONTOH 1:

1.1.3 Menentukan hubungan antara antara tiga Jumlah gaji seorang pekerja sambilan sebagai

atau lebih pemboleh ubah bagi suatu jurujual berubah secara langsung dengan bilangan

ubahan tercantum. jam dia bekerja. Nyatakan perubahan pada

1.1.4 Menyelesaikan masalah yang melibatkan (a) jumlah gaji jika bilangan jam bertambah dua

ubahan langsung kali ganda,

(b) jumlah gaji jika bilangan jam berkurang

1.2 Ubahan songsang. sebanyak 40%,
1.2.1 Menerangkan maksud ubahan (c) bilangan jam bekerja jika jumlah gaji yang

songsang. diterima adalah separuh daripada gaji asal.

1.2.2 Menentukan hubungan antara dua Penyelesaian:
1.2.3 pemboleh ubah bagi suatu ubahan (a) Jumlah gaji bertambah dua kali ganda.
songsang. (b) Jumlah gaji berkurang sebanyak 40%.
Menyelesaikan masalah yang melibatkan (c) Bilangan jam bekerja adalah separuh daripada
ubahan songsang.
bilangan jam asal bekerja.

1.3 Ubahan bergabung. Latih Kendiri 1.1a
1.3.1 Menentukan hubungan antara tiga atau
1. Nilai rintangan bagi seutas dawai berubah secara
lebih pemboleh ubah bagi ubahan
bergabung. langsung dengan nilai suhunya. Nyatakan
1.3.2 Menyelesaikan masalah yang melibatkan
ubahan bergabung. perubuhun pada

(a) nilai rintangan jika nilai suhunya

bertambah 10%,

(b) nilai rintangan jika nilai suhunya

berkurang separuh daripada suhu asal, 1
4
(c) nilai suhu jika nilai rintangan berkurang

daripada nilat rintangan asal.

2. Puan Wardina ingin membeli kacang hijau
Yang dijual pada harga RMx sekilogram. Nyatakan
harga kacang hijau jika Puan Wardina membeli
(a) 500 g kacang hijau,
(b) 2 kg kacang hijau.

3. Jadual di bawah menunjukkan hubungan
antara masa dengan bilangan botol jem yang
dihasilkan di sebuah kilang.

Masa (minit) 5 10 15 20 25

Bilangan 10 20 30 40 50
botol

UNIT SAINS DAN MATEMATIK, KV SIBU, MAC 2021 1|Page

MATEMATIK SVM
1.0 UBAHAN SEMESTER 3

Nyatakan perubahan pada bilangan botol jem yang Bagi suatu ubahan langsung, berubah secara
dihasilkan apabila langsung dengan , boleh ditulis sebagai
(a) masa bertambah sebanyak dua kali ganda lebih
dengan keadaan
lama,
(b) masa dikurangkan separuh. ∝ (hubungan ubahan) � = 11 dan
= (bentuk persamaan) 1,2,3, 2 , 3
1.1.2 Menentukan hubungan antara dua
pemboleh ubah bagi suatu ubahan langsung. ialah pemalar.
Graf melawan ialah satu garis lurus yang
melalui asalan dengan ialah kecerunan garis

lurus.

Dalam ubahan langsung, kuantiti y dikatakan

berubah secara langsung dengan x jika dan hanya CONTOH 2:

jika ialah satu pemalar, dikenali sebagai pemalar Sebuah kereta mainan bergerak daripada keadaan
pegun. Jarak yang dilalui oleh kereta mainan itu, ,
perkadaran, k. berubah dengan masa, , seperti yang ditunjukkan
dalam jadual di bawah.
Pemalar ialah nilai suatu kuantiti yang tetap atau
tidak berubah.

(a) nilai ialah pemalar,

(b) graf y melawan x ialah satu garis lurus yang

melalui asalan, Tentukan sama ada y berubah secara langsung
dengan t atau t2. Seterusnya, tuliskan hubungan
(c) pemboleh ubah y berubah tersebut dalam bentuk ubahan.
secara langsung dengan
pemboleh ubah x. Penyelesaian:

Apabila berubah secara langsung dengan , maka
hubungan ini ditulis sebagai ∝ . Daripada
hubungan ini, nilai pemalar perkadaran dapat
ditentukan, iaitu

=

y berubah secara langsung dengan t kerana nilai

Bagi suatu ubahan langsung, berubah secara ialah pemalar. Maka, y∝t
langsung dengan boleh ditulis sebagai
∝ (hubungan ubahan) y tidak berubah secara langsung dengan 2 kerana
= (bentuk persamaan)
dengan keadaan ialah pemalar, nilai 2 bukan pemalar.

CONTOH 3:

Bagi suatu ubahan langsung, 2 , (a) Dengan melukis graf melawan , tentukan
2 miaelalahwpaenm a 2laiar.laOhleshatiutug, a r i=s lurus sama ada berubah secara langsung dengan
(a) nilai yang atau tidak.
(b) graf

melalui asalan,
(c) pemboleh ubah berubah

secara langsung dengan
pemboleh ubah 2.

UNIT SAINS DAN MATEMATIK, KV SIBU, MAC 2021 2|Page

MATEMATIK SVM
1.0 UBAHAN SEMESTER 3

Penyelesaian: CONTOH 5:
(a) Pemanjangan spring, cm, berubah secara
langsung dengan jisim pemberat, g, yang
ditanggungnya. Diberi bahawa pemanjangan spring

ialah 3 cm apabila diletakkan pemberat sebanyak
200 g. Ungkapkan dalam sebutan .
Penyelesaian:
∝

Maka, tidak berubah secara langsung dengan x =
(b) Dengan melukis graf melawan 2, tentukan 3 = (200)
sama ada berubah secara langsung dengan 2
atau tidak 3
Maka, = 200
Penyelesaian: = 0.015
= 0.015
(b)
CONTOH 6
Diberi berubah secara langsung dengan . Jika
= 0.14 apabila = 0.2, hitung nilai
(a) apabila = 5,
(b) apabila = 0.875.

Penyelesalan:
∝

=

0.14 = (0.2)

0.14
= 0.2 = 0.7

Maka, berubah secara langsung dengan 2 Maka = 0.7

CONTOH 4: (a) Apabila = 5,
Diberi = 0.8 apabila = 0.125. Ungkapkan
dalam sebutan jika = 0.7(5)
(a) berubah secara langsung dengan , = 3.5

P e nye∝le s aian: (b) apabila = 0.875.
=
0.8 = (0.125) 0.875 = 0.7x
0.875
0.8
= 0.125 x = 0.7

= 6.4 = 1.25
Maka, = 6.4n

(b) berubah secara langsung dengan CONTOH 7:
punca kuasa tiga . Luas, cm2, satu semi bulatan berubah secara
langsung dengan kuasa dua diameternya, cm.
Penyelesaian: Diberi luas semi bulatan itu ialah 3.08 cm2 apabila
∝ 3√ diameternya ialah 2.8 cm. Hitung nilai apabila =
= 3√ 19.25.
0.8 = (3√0.125)
0.8
= 3√0.125

= 1.6
Maka, = 1.63√

UNIT SAINS DAN MATEMATIK, KV SIBU, MAC 2021 3|Page

MATEMATIK SVM
1.0 UBAHAN SEMESTER 3

Penyelesaian: Langkah Alternatif:

∝ 2 Menggunakan konsep perkadaran:
= 2
3.08 = (2.8)2 D�1√ . 9i 2 b1 1e==ri√ � 2 1 2 5 2 =2 1.2, 1 = 9 dan 2 = 25

3.08
Maka, = (2.8)2
Apabila
11 2 = 1.2 × √25
19.25 = 28 √9
2 11
= 28 2 = 2 saat

= 19.25, Latih Kendiri .

= 11 2 1 Jadual berikut menunjukkan nilai-nilai bagi dua
28 pemboleh ubah, dan .
(a) Tentukan sama ada berubah secara
19.25 × 28 langsung dengan atau 3. Kemudian, tuliskan
= 11
hubungan tersebut dalam bentuk ubahan.
= √49

= 7 cm

Langkah Alternatif: (b) Tentukan sama ada berubah secara
Menggunakan konsep perkadaran: langsung dengan atau √ . Kemudian, tuliskan
hubungan tersebut dalam bentuk ubahan.
Diberi 1 = 3.08, 1 = 2.8 dan 2 = 19.25
1 2
( 1)2 = ( 2)2

3.08 19.25
2.82 = ( 2)2
19.25 × 2.82
( 2)2 = 3.08 2 Spring digantung dengan beban. Jadual di
sebelah menunjukkan jisim beban, g dengan
2 = √49 pemanjangan spring, cm. Dengan melukis graf
melawan , tentukan sama ada berubah
= 7 cm secara langsung dengan atau tidak.

CONTOH 8
Tempoh ayunan, saat, bagi satu bandul ringkas

berubah secara langsung dengan punca kuasa dua 3 Diberi = 32 apabila = 4. Ungkapkan dalam
panjang benang, cm. Diberi bahawa satu bandul sebutan jika
(a) berubah secara langsung dengan 3,
ringkas dengan panjang benangnya ialah 9 cm (b) berubah secara langsung dengan punca
kuasa dua .
mempunyai tempoh ayunan sebanyak 1.2 saat.

Hitung tempoh ayunan dalam saat, jika panjang

benang ialah 25 cm.

Penvelesaian:

∝ � 4 Gaji, RM , yang diperoleh seorang pekerja
berubah secara langsung dengan jumlah masa
= � bekerja, jam. Diberi bahawa seorang pekerja
telah menerima gaji sebanyak RM112 selepas
1.2 = √9
1.2 bekerja selama 14 jam. Tuliskan persamaan
= √9 yang menghubungkan dengan .

= 0.4 5 Diberi = 1.8 apabila = 0.6, hitung nilai

Maka, = 0.4� apabila = 5 jika
Apabila = 25,
(a) ∝ (b) ∝ 2
= 0.4√25

= 2 saat

UNIT SAINS DAN MATEMATIK, KV SIBU, MAC 2021 4|Page

MATEMATIK SVM
1.0 UBAHAN SEMESTER 3

6 Diberi berubah secara langsung dengan 1 CONTOH 9:
Tuliskan hubungan dengan menggunakan simbol ∝
3. dan persamaan bagi setiap yang berikut.
(a) berubah secara langsung dengan dan √ .
Jika = 1.2 apabila = 27, hitung nilai (b) berubah secara langsung dengan kuasa dua
(a) apabila = 64 dan kuasa tiga
(b) apabila = 0.28. (c) Isi padu prisma, berubah secara langsung
dengan luas keratan rentas, dan tingginya, ℎ.
7 Bilangan patah perkataan yang ditaip, , oleh (d) Jisim, bagi sebatang besi berbentuk silinder
Saiful berubah secara langsung dengan masa berubah secara langsung dengan panjang, dan
menaip, minit. Jika Saiful menaip 270 patah kuasa dua diameter tapaknya,
perkataan dalam masa 6 minit, hitung masa Penyelesaian:

yang digunakan olehnya untuk menaip 675

patah perkataan.

8 Sebuah objek jatuh dari ketinggian, ℎ m, (a) ∝ √ (b) ∝ 2 3
berubah secara langsung dengan kuasa dua = √ = 2 3
masanya, s di planet . Diberi bahawa objek
itu jatuh dari ketinggian 5 m dalam masa 2 s, (c) ∝ ℎ (d) ∝ 2
= ℎ = 2
hitung masa yang diambil dalam saat, oleh objek

itu jatuh pada ketinggian 45 m di planet itu.

9 Diberi isi padu cat, liter, berubah secara CONTOH 10
langsung dengan luas dinding, m2. Jika 3 liter Diberi bahawa ∝ 2 , ungkapkan dalam sebutan
cat boleh mengecat 36 m2 dinding, dan jika = 6 apabila = 3 dan = 5
(a) ungkapkan persamaan dalam
sebutan dan , Penyelescian:
(b) hitung isi padu cat dalam liter, yang ∝ 2
= 2
diperlukan untuk mengecat dinding dengan
tinggi 9 m dan lebar 5 m.

1.1.3 Menentukan hubungan antara antara 6 = (3)2(5)
tiga atau lebih pemboleh ubah bagi suatu 6
ubahan tercantum. = (3)2(5)

2
= 15
Ubahan tercantum ialah ubahan langsung dengan Maka, = 2 2
15
keadaan satu pembolehubah berubah sebagai hasil
CONTOH 11
darab dua atau lebih pembolehubah yang lain. Tenaga keupayaan graviti, Joule, bagi suatu objek
berubah secara langsung dengan , dan berubah secara langsung dengan jisimnya, kg,
berubah secara langsung dengan . Maka, pecutan graviti, m s−2 dan kedudukannya pada
berubah secara tercantum dengan dan , iaitu ketinggian, ℎ m. Diberi bahawa
∝
= 197 Joule apabila = 4 kg,
Secara umumnya, = 9.81 m s−2dan ℎ = 5 m
Bagi suatu ubahan tercantum, berubah secara
tercantum dengan dan boleh ditulis sebagai
dengan keadaan

∝ (hubungan ubahan) = 1,2,3, 1 , 1 tuliskan satu persamaan yang menghubungkan
2 3 , , dan ℎ.

= (bentuk persamaan) = 1,2,3, 1 , 1 dan Penyelesaian:
2 3
& ℎ
ialah pemalar. = ℎ
197 = (4)(9.81)(5)
boleh dibaca sebagai 197
berubah secara langsung dengan dan z = (4)(9.81)(5)
berubah secara tercatum dengan dan z
berkadaran secara tercatum terhadap dan z =1
Maka, = ℎ

UNIT SAINS DAN MATEMATIK, KV SIBU, MAC 2021 5|Page

MATEMATIK SVM
1.0 UBAHAN SEMESTER 3

CONTOH 11 3� = (50)(0.8)(3√27)
Tiga kuantiti, , dan berubah seperti yang (40)(6)
ditunjukkan dalam jadual di sebelah. Diberi bahawa
berubah secara langsung dengan dan punca = 0.5
kuasa tiga . Hitung nilai dan nilai . = 0.53

= 0.125

Penyelesaian: Latih Kendiri .
∝ 3√
= 3√ 1 Tuliskan hubungan dengan menggunakan
= 6 apabila = 0.8 dan = 27, simbol ∝ bagi setiap yang berikut.
(a) berubah secara langsung dengan
6 = (0.8)(3√27) dan .
6 (b) berubah secara langsung dengan
= (0.8)(3√27) 2dan .
(c) berubah secara langsung dengan
= 2.5 kuasa tiga dan punca kuasa dua .
Maka, = 2.5 3√ (d) Luas permukaan melengkung, cm2,

sebuah silinder berubah secara langsung
dengan jejari tapaknya, cm dan tingginya,
ℎ cm.

Apabila = 1.2 dan = 125 2 Hitung pemalar, bagi setiap yang berikut.
= 2.5(1.2)(3√125) (a) berubah secara langsung dengan
1
= 15 3dan Diberi = 5.184 apabila = 1.2
3.

dan = 216
(b) berubah secara langsung dengan ,
Apabila = 50 dan = 40 1 = 51,
dan kuasa dua . Diberi = 3 apabila
50 = 2.5(40)(3� ) =
3 dan = 13.
3� 50 2
= (2.5)(40)
3 Diberi = 6 apabila = 0.64 dan = 5,
= 0.5 ungkapkan dalam sebutan dan jika
= 0.53 (a) berubah secara langsung dengan
√ dan ,
= 0.125 (b) berubah secara langsung dengan
dan kuasa dua .
Langkah Alternatif:

Menggunakan konsep perkadaran: 4 Harga bagi sebatang rod besi, RM ,
berubah secara langsung dengan panjang,
Diberi 1 = 6, 1 = 0.8, 1 = 27 cm dan kuasa dua jejari, cm. Jika sebatang
dan 2 = , 22 = 1.2, 2 = 125 rod besi dengan panjang 150 cm dan jejari
1 = 2 3� 2
3 cm dijual pada harga RM27, tuliskan satu
1 3� 1 persamaan yang menghubungkan dengan
6 dan
(0.8)(3√27) = (1.2)(3√125)
(6)(1.2)( 3√125)
x = (0.8)(3√27) 5 Diberi berubah secara langsung dengan
dan punca kuasa dua . Jika = 42 apabila
= 15 = 7dan = 16, hitung
(a) nilai apabila = 4 dan = 81,
Diberi 1 = 6, 1 = 0.8, 1 = 27 (b) nilai apabila = 18 dan = 20.
dan 2 == 5 20 3� , 2 2 2 = 40, 2 =
1 6 Jadual di bawah menunjukkan perubahan
tiga kuantiti. Diberi berubah secara
1 3� 1 langsung dengan kuasa tiga , dan . Hitung
6 50 nilai dan nilai .
(0.8)(3√27) = (40)(3� )

UNIT SAINS DAN MATEMATIK, KV SIBU, MAC 2021 6|Page

MATEMATIK SVM
1.0 UBAHAN SEMESTER 3

7 Tenaga kinetik, Joule, sebuah objek berubah Membuat kesimpulan
secara langsung dengan jisim, kg dan kuasa 10
dua laju, m s−1, objek itu. Diberi bahawa a) V = 101
tenaga kinetik sebuah objek dengan jisim 3 kg b) V
bergerak dengan kelajuan 12 m s−1 ialah 216 = 25.94 cm3
Joule. Hitung laju dalam ms−1 objek itu jika
jisim dan tenaga kinetik masing-masing ialah CONTOH 14
5 kg dan 640 Joule. Puan Soon menyimpan wangnya dalam akaun
simpanan. Diberi bahawa faedah, yang diterima
8 Isi padu sebuah kon, cm3, berubah secara berubah secara langsung dengan jumlah prinsipal,
langsung dengan tinggi, ℎ cm, dan kuasa dua dan tempoh dalam tahun, wang yang disimpan.
jejari tapaknya, cm. Sebuah kon dengan tinggi Puan Soon menerima faedah sebanyak RM200
21 cm dan jejari 6 cm mempunyai isi padu apabila dia menyimpan RM4 000 selama dua tahun.
792 cm3. Hitung isi padu dalam cm3, kon (a) Hitung tempoh simpanan yang diperlukan
dengan tinggi 14 cm dan jejari 15 cm supaya Puan Soon dapat menerima faedah RM650
dengan prinsipal RM5 200 .
1.1.4 Menyelesaikan masalah yang melibatkan (b) Puan Soon ingin mendapatkan jumlah faedah
ubahan langsung yang sama tetapi mengurangkan tempoh simpanan
di (a).
CONTOH 13 Adakah dia perlu menambahkan atau
mengurangkan nilai prinsipalnya? Jelaskan jawapan
Hukum Charles menyatakan bahawa bagi satu jisim anda.
gas yang tetap, isi padu, cm3, gas itu berkadar
langsung dengan suhu mutlaknya, Kelvin, jika Penyelesaian:
tekanan gas itu adalah tetap. Diberi bahawa sebuah Memahami masalah
bekas mengandungi 30 cm3 gas pada suhu 30∘C. ∝
(a) Ungkapkan dalam sebutan . = 200 apabila = 4000 dan = 2
(b) Hitung isi padu dalam cm3, gas itu jika suhu
berubah kepada −11∘C Merancang strategi
[Rumus penukaran suhu dalam darjah Celsius
(a) Tulis ubahan langsung dalam bentuk persamaan
kepada Kelvin: dan hitungkan nilai t apabila = 650 dan = 5200
∘C = (273 + )K] (b) Memahami perubahan bagi setiap pemboleh

Penyelesaian: ubah dalam persamaan

Memahami masalah Melaksanakan strategi
∝
= 30 apabila = (273 + )K (a) =
200= (4000)(2)
200
Merancang strategi k= (4000)(2) = 0.025

(a) Tuliskan ubahan langsung dalam bentuk l= 0.025

persamaan. Apabila = 650 dan p=5200
(b) Gantikan nilai ke dalam persamaan dan 650= (0.025)(5200)

kemudian, hitung isi padu gas itu. t= 650 = 5
(0.025)(5200)
Melaksanakan strategi tahun

a) ∝
=
= (273 + ) (b) Untuk mengekalkan nilai dalam
30 = (273 + 30) persamaan = 0.025
30 • apabila berkurang, bertambah
k= 303 • apabila bertambah, berkurang

10 Membuat kesimpulan
b) VV====11102001115100 1. 9 (427cm3 −3 11) (a) 5 tahun.
(b) Prinsipal perlu ditambahkan untuk mendapat
jumlah faedah yang sama jika tempoh simpanan
dikurangkan. Hal ini kerana jumlah faedah berkadar
langsung dengan hasil darab prinsipal dan tempoh.

UNIT SAINS DAN MATEMATIK, KV SIBU, MAC 2021 7|Page

MATEMATIK SVM
1.0 UBAHAN SEMESTER 3

Latih Kendiri . (a) bertambah dua kali ganda,
1 Lee mengisi air ke dalam sebuah tangki dengan (b) berkurang 1.5 kali ganda.

menggunakan hos getah pada pukul 8: 00 pagi. Penyelesaian:
Pada pukul 11: 00 pagi, Lee mendapati bahawa (a) Apabila masa
tangki itu telah diisi dengan 48% air. bertambah dua kali ganda,
(a) Tuliskan satu persamaan yang maka laju purata berkurang
menghubungkan isi padu air, , yang diisi ke dua kali ganda.
dalam tangki dengan masa yang diambil, .
(b) Pada pukul berapakah tangki itu akan diisi (b) Apabila masa berkurang
penuh dengan air? 1.5 kali ganda, maka laju
purata bertambah 1.5 kali
2 Aminah ingin menggunting beberapa bentuk ganda.
segi tiga daripada sekeping kad. Diberi luas segi
tiga yang digunting, cm2, berubah secara Latih Kendiri 1.2a
langsung dengan tapak, cm, dan tinggi, cm. 1 . Jadual di sebelah menunjukkan hubungan antara
Pada mulanya, dia menggunting satu segi tiga pekerja dengan bilangan hari yang diperlukan
dengan = 14, = 7dan = 4 bilangan untuk memasang jubin di yang sebuah
(a) Tuliskan hubungan antara dengan dan . rumah. Nyatakan perubahan pada bilangan hari jika
(b) Aminah merancang untuk menggunting segi bilangan pekerja
tiga kedua dengan nilai tapak bertambah 20% (a) didarabkan dengan dua,
dan nilai tinggi berkurang 10%. Berapakah (b) berkurang separuh.
peratusan perubahan untuk luas segi tiga kedua
ini?

3 Sebuah kedai piza menjual tiga saiz piza dengan
harga berbeza seperti yang ditunjukkan dalam
rajah di sebelah. Adakah harga piza, RM ,
berubah secara langsung dengan luas
permukaan, cm2, piza itu? Jika tidak, saiz piza 2. Cikgu Farid mempunyai sejumlah wang untuk
yang manakah lebih berbaloi dengan harganya? membeli hadiah untuk pemenang kuiz Matematik.
Jika harga sebuah hadiah ialah RM10, maka Cikgu
Farid boleh membeli 10 buah hadiah. Nyatakan
hubungan bilangan hadiah yang boleh dibeli jika
harga sebuah hadiah
(a) bertambah dua kali ganda,
(b) berkurang 50%.

1.2 Ubahan songsang. 1.2.2 Menentukan hubungan antara dua
1.2.1 Menerangkan maksud ubahan songsang. pemboleh ubah bagi suatu ubahan songsang.
Dalam ubahan songsang, pemboleh ubah
bertambah apabila pemboleh ubah berkurang Bagi suatu ubahan songsang, berubah secara
pada kadar yang sama dan sebaliknya. Hubungan songsang dengan boleh ditulis sebagai
ini juga ditulis sebagai berubah secara songsang 1
dengan . ∝ (hubungan ubahan)
= (bentuk persamaan)
CONTOH 15
Chia Ming mengambil bahagian dalam satu larian dengan keadaan ialah pemalar.
maraton dengan jarak 42 km. Jadual di bawah (a) Graf melawan ialah
menunjukkan hubungan antara masa yang diambil
oleh Chia Ming dengan laju puratanya. hiperbola. 1

Nyatakan perubahan pada laju purata jika masa (b) Graf melawan ialah graf
yang diambil
garis lurus yang bermula

daripada asalan ( ≠ 0).
Apabila pemboleh ubah berubah secara songsang
dengan pemboleh ubah , nilai ialah satu
pemalar yang diwakili dengan .

UNIT SAINS DAN MATEMATIK, KV SIBU, MAC 2021 8|Page

MATEMATIK SVM
1.0 UBAHAN SEMESTER 3

Penyelesaian:

Bagi suatu ubahan songsang,
(a) nilai 2 ialah pemalar. Oleh itu, = 2 ,
1
(b) graf melawan 2 ialah satu garis

lurus yang bermula daripada asalan,
(c) berubah secara songsang
dengan 2.

Secara umumnya,
Bagi suatu ubahan songsang, berubah secara
songsang dengan boleh ditulis sebagai

dengan keadaan

∝ ((mbbeeelnnattwuukkanupbe 1 ar s hiaaamlna)ahasna)tu g i=aarlai1sh,2lu,p3reu, m12s,ay13laandr.gan Graf melawan 1 menunjukkan satu garis lurus
=

Graf yang bermula daripada asalan. Maka, berubah

bermula daripada asalan ( ≠ 0) dengan ialah secara songsang dengan .

kecerunan garis lurus. CONTOH 18
Diberi = 0.25 apabila = 3. Ungkapkan dalam
CONTOH 16 sebutan jika
Diberi masa, , yang diperlukan untuk menyiapkan (a) berubah secara songsang dengan ,
kerja pemasangan perabot berubah secara (b) berubah secara songsang dengan punca
songsang dengan bilangan pekerja, . Jadual di kuasa dua .
bawah menunjukkan hubungan antara dengan .

Penyelesaian:

Dengan mengira nilai dan 2 , tentukan sama (a) ∝ 1
ada berubah secara songsang dengan atau 2.
Kemudian, tuliskan hubungan tersebut dengan
menggunakan simbol ∝. =

Penyelesaian:
3 = 0.25
= 3(0.25)

= 0.75

Maka, = 0.75


Nilai ialah pemalar, manakala nilai 2 bukan ( b =) √ ∝ √1
pemalar. Maka, berubah secara songsang 3 = √0.25
1
dengan , iaitu ∝

CONTOH 17 = 3(√0.25)
Dua kuantiti, dan , berubah mengikut jadual di
= 1.5
sebelah. Menggunakan skala yang sesuai, lukis graf 1.5
1 Maka, = √
melawan dan tunjukkan bahawa berubah

secara songsang dengan CONTOH 19
Tarikan graviti, , berubah secara songsang dengan
kuasa dua jarak di antara dua buah objek, . Diberi
tarikan graviti antara dua buah objek ialah 15 N

apabila jarak di antal ialah 1.2 cm. Tuliskan satu

UNIT SAINS DAN MATEMATIK, KV SIBU, MAC 2021 9|Page

MATEMATIK SVM
1.0 UBAHAN SEMESTER 3

ungkapan dalam sebutan d.

Penyelesaian:

∝ 1 2. Jadual di bawah menunjukkan nilai arus,
2
(Ampere, A) yang mengalir melalui litar, dengar
= 2 nilai rintangannya, (Ohm, Ω).

Dengan melukis graf melawan 1 menggunakan
15 = (1.2)2
= 15(1.2)2

= 21.6 skala yang sesuai, tentukan sama ada berubah

Maka, = 21.6 secara songsang dengan .
2
3. Diberi bahawa = 0.15 apabila ℎ = 8.
CONTOH 20 Ungkapkan dalam sebutan ℎ jika
Diberi berubah secara songsang dengan . Jika (a) berubah secara songsang dengan ℎ.
= 2 apabila = 7, hitung nilai apabila = 1.6. (b) berubah secara songsang dengan ℎ2
(c) berubah secara songsang dengan punca
Penyelesaian: kuasa tiga ℎ.

∝ 1 Maka, = 14 4. Diberi = 0.5 apabila = 16, hitung nilai


= Apabila = 1.6, apabila = 0.04 jika
1
= 14 (a) ∝
2=7 1.6 (b) ∝ 1
= 2(7) (c) ∝ 1 3
= 8.75
1
= 14 12
∝ 3√
(d)

Langkah Alternatif: 5. Hitung nilai dan nilai bagi setiap hubungan

Menggunakan konsep perkadaran: berikut.
Diberi 1 = 2, 1 = 7, 2 = 1.6 (a) berubah secara songsang dengan .
1 1 = 2 2
2 × 7 = 2 × 1.6

= 2(7)
= 14

Latih kendiri . (b) berubah secara songsang dengan punca
1. Jadual berikut menunjukkan nilai-nilai bagi dua kuasa dua x.
pemboleh ubah, dan .
(a) Tentukan sama ada berubah secara songsang 6. Sebuah syarikat mencetak sejumlah buku setiap
hari. Jadual di bawah menunjukkan bilangan
dengan . Jika ya, tuliskan hubungan dalam buah mesin, yang beroperasi dan masa yang
diperlukan, untuk mencetak buku-buku
bentuk ubahan. tersebut. Diberi berubah secara songsang
dengan .
(b) Tentukan sama ada berubah secara songsang
dengan 2. Jika ya, tuliskan hubungan dalam (a) Ungkapkan dalam sebutan .
bentuk ubahan. (b) Tentukan nilai dan nilai .

UNIT SAINS DAN MATEMATIK, KV SIBU, MAC 2021 10 | P a g e

MATEMATIK SVM
1.0 UBAHAN SEMESTER 3

7. Tempoh ayunan, , bagi suatu bandul ringkas Latih Kendiri .
berubah secara songsang dengan punca kuasa 1 Jadual di sebelah menunjukkan rintangan

dua pecutan graviti, g. Dalam satu ekpserimen, bagi seutas dawai yang berubah dengan

tempoh ayunan ialah 1.01 saat apabila pecutan keratan rentas jejari.
graviti sebanyak 9.85 ms-2. Ungkapkan T dalam

sebutan g.

1.2.3 Menyelesaikan masalah yang melibatkan (a) Tentukan sama ada rintangan, , bagi dawai
ubahan songsang. ini berubah secara songsang dengan 2.

CONTOH 21 (b) Hitung jejari dawai dalam mm, jika
Berdasarkan Hukum Boyle, tekanan gas, , bagi rintangannya ialah 25Ω.
satu jisim gas berkadar songsang dengan isi padu
gas, , jika suhu gas itu adalah tetap. Rajah di 2. Bilangan kubus, , yang dihasilkan daripada
sebelah menunjukkan gas terperangkap di dalam sejumlah kuantiti logam yang tetap berubah
sebuah silinder. Apabila isi padu di dalam silinder itu
ialah 80 cm3, maka tekanan gas menjadi 190.25kPa. secara songsang dengan kuasa tiga sisinya,
Hitung isi padu gas dalam cm3, apabila tekanan gas cm. Jika = 16 apabila = 1.5, hitung nilai
di dalam silinder itu ialah 121.76kPa. apabila = 250
3. Bilangan ayunan, bagi satu bandul ringkas
Penyelesaian: berubah secara songsang dengan punca
Memahami masalah kuasa dua panjang bandul, cm dalam
berkadaran songsang dengan suatu tempoh yang tetap. Diberi hahawa
Apabila = 80 cm3, = 190.25kPa
bilangan ayunan ialah 9 apabila panjang
Merancang strategi
Tentukan hubungan antara dengan dalam bandul ialah 36 cm, hitung panjang bandul
bentuk persamaan. Kemudian, hitung nilai
apabila = 121.76kPa. ringkas jika bilangan ayunan ialah 15.

1.3 Ubahan bergabung.
1.3.1 Menentukan hubungan antara tiga atau
lebih pemboleh ubah bagi ubahan bergabung.

berubah secara langsung dengan , dan
berubah secara songsang dengan . Maka,
Melaksanakan strategi adalah berubah secara langsung dengan dan

∝ 1 secara songsang dengan , iaitu ∝
=

Secara umumnya,
Apabila = 80, = 190.25 Bagi suatu ubahan bergabung, berubah secara
langsung dengan dan secara songsang
190.25 = 80 dengan , boleh ditulis sebagai

= 190.25 × 80

= 15220

Maka, = 15220

Apabila = 121.76, ialah pemalar.

15220
21.76 ===11125122 .2 75 06cm3
V CONTOH 22
Diberi bahawa berubah secara langsung dengan
Membuat kesimpulan kuasa dua dan secara songsang dengan punca
kuasa dua . Jika = 8 apabila = 4 dan = 36,
Apabila ungkapkan dalam sebutan dan .
= 121.76kPa,
V = 125 cm3 Penyelesaian:
2
y∝ √

UNIT SAINS DAN MATEMATIK, KV SIBU, MAC 2021 11 | P a g e

MATEMATIK SVM
1.0 UBAHAN SEMESTER 3

= 2 3 Diberi berubah secara langsung dengan
√ kuasa dua dan secara songsang dengan .
(4)2 Jika = 4.8 apabila = 6 dan = 1.5, hitung
8 = √36 dan = 2.4
(a) nilai apabila = 0.8
= 8√36 (b) nilai apabila = 19dan = 3.8.
42
= 3 4 Jadual di sebelah menunjukkan perubahan tiga
3 2 kuantiti, , dan . Diberi
Maka, = √ berubah secara songsang
dengan punca kuasa dua
CONTOH 23 dan kuasa tiga . Hitung
Jadual di bawah menunjukkan hubungan antara , nilai dan nilai .
dan . Diberi berubah
secara langsung dengan 1.3.2 Menyelesaikan masalah yang
kuasa tiga dan secara melibatkan ubahan bergabung.
songsang dengan .
Hitung nilai dan nilai . CONTOH 24
Tekanan, N m−2, pada roda kereta sorong
Penyelesaian: berubah secara langsung dengan jisim kereta
3 sorong, kg, dan secara songsang dengan luas
∝ Apabila = 3.6, = 6 Apabila = 0.081, = permukaan sentuhan roda dengan tanah, m2.
Diberi bahawa tekanan roda ialah 45000 N m−2
= 3 dan = , dan = 2.7 apabila jisim kereta sorong ialah 90 kg dan luas
permukaan sentuhan roda dengan tanah ialah
(2)3 3 3 3 3 0.02 m2
4 = 0.6 = 10 = 10 (a) Hitung nilai apabila = 120 dan = 0.5.
(b) Apakah yang boleh dilakukan supaya tekanan
4(0.6) 3 3(6)3 3( )3 pada roda berkurangan jika jisim kereta sorong
= 23 = 10 3.6 = 10 0.081 = 10(2.7) adalah tetap?

Maka, = 3 3 = 3(6)3 = 3�0.081(10)(2.7)
10 10(3.6) 3

= 18 0.9

Latih Kendiri 1.3a Penyelesaian:
Memahami masalah
1 Tuliskan setiap ubahan bergabung berikut dalam berubah secara langsung dengan
bentuk ubahan dan bentuk persamaan. Apabila = 90 dan = 0.02,
(a) berubah secara langsung dengan punca = 45000
kuasa tiga dan secara songsang dengan
kuasa dua . Merancang strategi
(b) berubah secara langsung dengan dan (a) Tentukan hubungan antara dengan dan
3, dan secara songsang dengan √ . dalam bentuk persamaan. Kemudian gantikan nilai
(c) Pecutan bagi sebuah objek, berubah
secara langsung dengan jarak yang dilalui, , m=120 dan l=0.5 ke dalam persamaan untuk
dan secara songsang dengan kuasa dua masa
yang diambil, , oleh objek itu. mengira nilai p.

2 Masa yang digunakan, jam, untuk menyusun (b) Memahami perubahan bagi setiap pemboleh
kerusi di dewan berubah secara langsung
dengan bilangan kerusi, buah, dan secara ubah dalam persamaan.
songsang dengan bilangan pekerja yang terlibat,
orang. Diberi bahawa 5 orang pekerja Melaksanakan strategi
menggunakan masa 2 jam untuk menyusun
1000 buah kerusi. Ungkapkan dalam sebutan (a) ∝ (90) =
dan .
45000 = 0.02
(0.02)(45000)
= 90

=10

UNIT SAINS DAN MATEMATIK, KV SIBU, MAC 2021 12 | P a g e

MATEMATIK SVM
1.0 UBAHAN SEMESTER 3

Maka, = 10 harian di antara bandar dengan bandar ialah
18857 .
Apabila = 120, = 0.5, ,
(10)(120)
= 0.5 Latih Ekstensif
=
2400 N m−2 1 Tulis hubungan ubahan bagi setiap yang
berikut.
(b) Jika nilai m adalah tetap, (a) berkadaran langsung dengan kuasa
P berkurang, apabila l bertambah tiga .
P bertambah, apabila l berkurang (b) berubah secara langsung dengan dan
secara songsang dengan kuasa tiga .
Membuat kesimpulan (c) berubah secara langsung dengan dan
(a) p = 2400 N m−2 punca kuasa dua .
(d) Jarak yang dilalui, m oleh sebuah
(b) Gunakan roda yang lebih lebar kerana basikal berubah secara langsung dengan
pecutannya, m s−2 dan kuasa dua masa
tekanan pada roda berkurangan apabila luas yang diambil, s.
dengan dan secara songsang persamaan
permukaan sentuhan roda bertambah dengan

keadaan jisim adalah tetap.

Latih Kendiri . 2 Rajah di sebelah
menunjukkan graf
1 Encik Kamal ingin memasang jubin berbentuk melawan 3√1 . Tuliskan
segi empat tepat di bilik tidurnya. Bilangan jubin hubungan antara
yang diperlukan, , berubah secara songsang dengan 3√
dengan panjang, m dan lebar, m, jubin yang menggunakan simbol ∝.
digunakan. Encik Kamal memerlukan 120 keping
jubin jika jubin berukuran panjang 0.4 m dan 3 Tuliskan hubungan ubahan berikut dalam
lebar 0.5 m digunakan.
(a) Hitung bilangan jubin yang diperlukan jika bentuk ayat. 1
panjang ialah 0.2 m dan lebar ialah 0.3 m.
(a) ∝ (b) ∝
(b) Jika luas jubin bertambah, apakah
perubahan yang akan berlaku pada bilangan (c) ∝ 3√ (d) ∝ 2
jubin yang diperlukan? √

2 Purata bilangan panggilan telefon harian, , di 4 Nyatakan sama ada setiap yang berikut
antara dua buah bandar berubah secara mempunyai hubungan berubah secara
langsung dengan populasi kedua-dua buah langsung dengan atau tidak.
bandar, 1 dan 2, dan secara songsang dengan (a) − = 0 (b) + 3 =
kuasa dua jarak, , di antara dua buah bandar
tersebut. Jarak di antara bandar dengan (c) = 10 (d) = 0.5
bandar ialah 210 km. Purata bilangan
panggilan telefon harian di antara dua buah 5 Hitung pemalar, bagi setiap yang berikut.
bandar itu ialah 15750 dan populasi bandar (a) berubah secara langsung dengan
dan bandar masing-masing ialah 105000 kuasa tiga . = 16.384 apabila = 3.2.
penduduk dan 220500 penduduk. Dengan (b) ℎ berubah secara langsung dengan
memberikan jawapan kepada nombor bulat dan kuasa dua . ℎ = 96 apabila = 18
terhampir, hitung dan = 4
(a) jarak di antara bandar dengan bandar (c) beruhah secara langsung dengan 2
jika populasi masing-masing ialah 83400 dan , dan secara songsang dengan 3√
penduduk dan 62000 penduduk dan purata = 17.01 apabila = 4.5, = 9
bilangan panggilan telefon harian ialah 19151 ,
dan = 3375
(b) populasi penduduk bandar jika populasi
penduduk bandar ialah 1100000 penduduk 6 Diberi berubah secara songsang dengan
dengan jarak di antara dua bandar tersebut ialah dan . Jika = 6 apabila = 0.4 dan =
351 km. Purata bilangan panggilan telefon 5, tuliskan satu persamaan yang
menghubungkan , dan .

UNIT SAINS DAN MATEMATIK, KV SIBU, MAC 2021 13 | P a g e

MATEMATIK SVM
1.0 UBAHAN SEMESTER 3

7 Diberi ∝ 2ℎ dan = 24 apabila = 4 dan basikal pada kelajuan 26.4 km per jam.
ℎ = 5. Hitung nilai apabila = 5.88 Putaran pedal basikalnya ialah 75 putaran
dan ℎ = 10 per minit dengan bilangan gigi gear depan

8 Jadual di sebelah menunjukkan perubahan ialah 40 dan gear belakang ialah 20.
tiga kuantiti. Diberi berubah secara Huraikan perubahan laju basikal Santhami
langsung dengan jika dia meningkatkan putaran pedal
basikalnya kepada 90 putaran per minit.
dan secara

songsang dengan Jawapan
punca kuasa dua . Latih Kendiri .
Hitung nilai dan nilai .

9 berubah secara songsang dengan dan 1 (a) Nilai rintangan bertambah10%.
= 3 − 2. Diberi = 0.02 apabila = 4.
(a) Ungkapkan dalam sebutan . (b) Nilai rintangan berkurang separuh daripada
(b) Hitung nilai apabila = 5.
nilai rintangan asal. 1
4
10 Arus elektrik, (Ampere) berubah secara (c) Nilai suhu berkurang daripada nilai Suhu
langsung dengan kuasa, (Watt) dan secara
songsang dengan voltan, (Volt) bagi suatu 2 asal
peralatan elektrik. Diberi bahawa sebuah
pengering rambut dengan kuasa 550 W dan (a) Harga berkurang separuh daripada harga.
voltan 240 V menggunakan arus elektrik RMx sekilogram.
2.2 A. Hitung arus elektrik yang digunakan (b) Harga bertambah dua kali ganda daripada
oleh sebuah kipas dengan kuasa 75 W dan 3 harga RMx selailogram
voltan 240 V
(a) Penghasilan bilangan botol jem bertambah
11 Luas permukaan melengkung, cm2, sebanyak dua kali ganda.
(b) Penghasilan bilangan botol jem dikurangkan
separuh

sebuah kon berubah

secara langsung Latih Kendiri .
dengan jejari
tapaknya, cm, dan 1. (a) y berubab secara langsung dengan x.
tinggi condong, cm. ∝
Diberi = 88 cm2
apabila = 3.5 cm dan = 8 cm (b) berubah secara langsung dengan √ .
(a) Hitung nilai apabila = 5 cm ∝ √
dan = 9.8 cm.
2.

(b) Apakah perubahan pada luas permukaan

melengkung jika tinggi condongnya

berkurang dan jejari tapak adalah tetap?

12 Diberi berubah secara langsung dengan Graf melawan menunjukkan satu garis lurus
dan secara songsang dengan . Jika = melalui asalan. Maka, berubah secara langsung
0.9 apabila = 18 dan = 5, hitung dengan .
(a) nilai apabila = 20 dan = 6,
(b) peratusan ubahan bagi apabila 3. (a) = 0.5 3
bertambah sebanyak 10% dan berkurang (b) = 16�
sebanyak 20%
4. = 8
13 Kelajuan, , sebuah basikal berubah secara
langsung dengan bilangan putaran pedal 5. (a) 15
basikal per minit, , (b) 125
dan bilangan gigi gear
depan, , dan secara 6. (a) 1.6
songsang dengan (b) 0.343
bilangan gigi gear
belakang, . Santhami menunggang sebuah 14 | P a g e

UNIT SAINS DAN MATEMATIK, KV SIBU, MAC 2021

MATEMATIK SVM
1.0 UBAHAN SEMESTER 3

7. 15 minit

8. 6 saat

9. (a) = 1
12
(b) 3.75 liter

Latih Kendiri .

1. (a) ∝
(b) ∝ 2
(c) ∝ 3√
(d) ∝ ℎ

2. (a) = 0.5 1.2
(b) = 10
9ℎ.6
3. (a) = 3 z√ 3. (a) = 0ℎ.23
(b) = 23 2 (b) = 3√ℎ
8 (c) =

4. = 0.02 2

5. (a) 54 4. (a) 200
(b) 0.36 (b) 32000000
(c) 10
6. = 16, = 0.3 (d) 3.684
7. 16 m s−1
8. 3300 cm3 5. (a) = 4, = 1.2
(b) = 25, = 60
60
Latih Kendiri 1.1 6. (a) =

1. (a) = 0.16 (b) = 7.5, = 15
(b) 2: 15 petang 3.17
7. = √
2. (a) = 0.5
(b) Luas bertambah 8% Latih Kendiri .
1. (a) berubah secara songsang dengan 2.
3. Tidak. Piza dengan diameter 30 cm lebih
berbaloi dengan harganya. (b) 0.24 mm

2. 0.6 cm

3. 12.96 cm

Latih Kendiri 1.2 a Latih Kendiri .

1. (a) Bilangan hari dibahagikan dengan dua. 1. (a) ∝ 3 √ 2 3, = 3√
(b) Bilangan hari berganda dua. (b) ∝ , = 2 3
√
2. (a) Bilangan hadiah berkurang dua kali ganda. √
(b) Bilangan hadiah bertambah 50%.

Latih Kendiri . (c) ∝ , =
2 2

1. (a) tidalk berubah secara songsang dengan . 2. =
(b) y berubah secara songsang dengan 2. 100

∝ 1 3. (a) = 1.44
2 (b) = 19

2. Graf melawan 1 menumjukkan satu garis lurus 4. = 125; = 2.25

bermula daripada asalan. Maka, berubah
secara songsang dengan .

UNIT SAINS DAN MATEMATIK, KV SIBU, MAC 2021 15 | P a g e

MATEMATIK SVM
1.0 UBAHAN SEMESTER 3

Latih Kendiri .

1. (a) 400 keping
(b) Bilangan jubin yang diperlukan berkurang.

2. (a) 90 km
(b) 70400 penduduk

Latih Ekstensif

1. (a) ∝ 3

(b) ∝ 3

(c) ∝ √
(d) ∝ 2

2. ∝ 1
3√

3. (a) y berubah secara langsung dengan dan
(b) berubah secara songsang dengan
(c) berubah secara langsung dengan 3� dan
secara songsang dengan .
(d) berubah secara langsung dengan dan 2,
dan secara songsang dengan √ .

4. (a) Ya
(b) Tidak
(c) Tidak
(d) Ya

5. (a) 0.5
1
(b) 3

(c) 1.4

6. = 12


7. ±1.4

8. = 9.6, = 0.64

9. (a) = 1
5

(b) 0.68

10. 0.3 A

11. (a) 154 cm2
(b) Luas permukaan melenglang alcan
berkurang.

12. (a) 0.075
(b) 137.5%

13. Santhami meningkatkan kelajuannya sebanyak
5.28 km per jam (31.68 km/j − 26.4 km/j)

UNIT SAINS DAN MATEMATIK, KV SIBU, MAC 2021 16 | P a g e

MATEMATIK SVM
1.0 UBAHAN SEMESTER 3

UBAHAN

Ubahan Langsung Ubahan Songsang
berubah secara songsang dengan
berubah secara langsung 1 1 1
1 3 , 2 3
dengan bagi = 1,2,3, 2 , bagi = 1,2,3, ,
∝
= dengan keadaan ialah • ∝ 1
=
pGeramfa l amr dealanw a n= ialah satu dengan keadaan ialah
=
pemalar dan

garis lurus yang melalui asalan • Graf melawan 1 ialah satu

garis lurus yang bermula
daripada asalan ( ≠ 0)

Ubahan Tercantum berubah secara songsang
Satu ubahan langsung dengan keadaan dengan
satu pemboleh ubah berubah sebagai hasil
darab dua atau lebih pemboleh ubah yang
lain.

• berubah secara tercantum dengan
, 1 1
dan bagi = 1,2,3, 2 , 3 dan

= 1,2,3, 1 , 1
2 3

• ∝

• = dengan keadaan ialah

pemalar dan =


Ubahan Bergabung

Melibatkan gabungan ubahan langsung atau ubahan tercantum, dan ubahan songsang.
1 1 1 1 1 1
• Bagi = 1,2,3, 2 , 3 , = 1,2,3, 2 , 3 dan = 1,2,3, 2 , 3

(i) ∝ (ii) ∝
= =




dengan keadaan ialah pemalar.

UNIT SAINS DAN MATEMATIK, KV SIBU, MAC 2021 17 | P a g e

MATEMATIK SVM

2.0 TRANSFORMASI SEMESTER 3

MATEMATIK SVM 2.1 Translasi, Pantulan dan Putaran
2.0 TRANSFORMASI 2.1.1 Menentukan imej dan objek bagi suatu
translasi, pantulan dan putaran.
Dalam unit ini pelajar akan mempelajari: 2.1.2 Menyelesaikan masalah yang
melibatkan translasi, pantulan dan
putaran.

2.1 Translasi, Pantulan dan Putaran TRANSLASI
Translasi merupakan pemindahan semua titik
2.1.1 Menentukan imej dan objek bagi suatu pada suatu satah mengikut arah yang sama dan
translasi, pantulan dan putaran. melalui jarak yang sama.

2.1.2 Menyelesaikan masalah yang Di bawah suatu translasi, objek dan imej
melibatkan translasi, pantulan dan mempunyai bentuk, saiz dan orientasi yang sama.
putaran.
CONTOH 1:
2.2 Pembesaran. Kenal pasti rajah yang menunjukkan translasi.
Berikan justifikasi.

2.2.1 Menjelaskan maksud keserupaan objek Penyelesaian:
geometri. (a) Translasi kerana bentuk, saiz dan orientasi
sama.
2.2.2 Membuat perkaitan antara keserupaan (b) Bukan translasi kerana orientasi tidak sama.
dengan pembesaran dan seterusnya
memerihalkan pembesaran Perwakilan translasi dalam bentuk vektor
menggunakan pelbagai perwakilan. translasi

2.2.3 Menentukan imej dan objek bagi suatu Translasi boleh dihuraikan dengan menyatakan
pembesaran.
arah dan jarak pergerakan serta vektor, iaitu:
2.2.4 Membuat hubungan antara luas imej dan
luas objek bagi suatu pembesaran. (a) Arah pergerakan : ke kanan, ke kiri, ke atas, ke

2.2.5 Menyelesaikan masalah yang melibatkan bawah.
pembesaran.
(Jba)raVkekpteorrgterraanksalans:i:b�il a �ngan unit.
2.3 Gabungan Transformasi.
Bentuk vektor translasi ditulis sebagai � �
2.3.1 Menentukan imej bagi suatu gabungan a mewakili pergerakan yang selari dengan paksi-x
transformasi. bernilai positif jika objek bergerak ke kanan dan
bernilai negatif jika objek bergerak ke kiri.
mewakili pergerakan yang selari dengan paksi-y.
bernilai positif jika objek bergerak ke atas dan
bernilai negatif jika objek bergerak ke bawah.

Oleh itu, translasi bagi imej yang dihasilkan oleh
objek pada rajah di bawah ialah �−32�

UNIT SAINS DAN MATEMATIK, KV SIBU, MAC 2021 18 | P a g e

MATEMATIK SVM

2.0 TRANSFORMASI SEMESTER 3

CONTOH 2: Penyelesaian:
Tentukan kedudukan titik dalam rajah yang
diberikan bagi huraian translasi dan lukis vektor

translasi tersebut.

(a) Titik bergerak 2 unit ke kiri dan 3 unit ke Imej dan objek dalam suatu translasi
Imej bagi suatu objek dalam suatu translasi akan
bawah sentiasa sama dari segi bentuk, saiz dan orientasi.
(b) Titik bergerak 5 unit ke kanan dan 5 unit ke
CONTOH 5:
bawah. Lukis imej bagi objek A dalam rajah dengan
(c) Titik bergerak 6 unit ke bawah. translasi berikut:
(d) Titik bergerak 3 unit ke kanan.
(a) �−−24�
Penyelesaian: (b) �−13�

Penyelesaian:

Menentukan koordinat imej apabila koordinat

objek diberikan imej di bawah translasi � �,
Untuk menentukan

koordinat objek ( , )

CONTOH 3: akan dipetakan
Tentukan vektor translasi OP berdasarkan rajah di ′( + , + ) =
bawah ′( ′ ′)

K� a �ed+a�h a�lt=er�n a t++if �
� � � � � − �
− = −

Penyelesainn: Berlaku pertukaran bentuk vektor kepada pasangan
�te r �tib⟶. ( , )
(a) ��−33�33�
(b)

CONTOH 4: Menentukan koordinat objek apabila koordinat
Tentukan translasi bagi rajah di berikut: imej diberikan
CONTOH 6:
UNIT SAINS DAN MATEMATIK, KV SIBU, MAC 2021 Tentukan koordinat bagi imej titik (3,1) di bawah
translasi �−25�

19 | P a g e

MATEMATIK SVM

2.0 TRANSFORMASI SEMESTER 3

Penyelesaian: translasi tersebut

Penyelesaian: = � ′′ − �
Veltor translasi −

= �63 − 92�
−
= �−13�

JOM FIKIR:

Untuk menentukan objek di bawah translasi � �,
koordinat objek ′( ′, ′) akan dipetakan
( ′ − , ′ − ) = , ( )
Penyelesaian Masalah
CONTOH 7: CONTOH 9
Agnes menggerakkan buah damnya dari ke dan
Tentukan koordinat bagi objek titik A jika koordinat kemudian ke C. Nyatakan pergerakannya dalam
imejnya, ′ di bawah translasi �−32� adalah seperti bentuk vektor translasi
yang berikut. buah dam bertanda
(a) ke .
(a)(−6, 1) (b)(6, 2) (b) ke .

Penyelesaian: Penyelesaian:
(a) Koordinat A = [-6-3, 1-(-2)] =(-9, 3) Memahami masalah
(b) Koordinat A = [9-3, 0-(-2)] =(6, 2) Pergerakan translasi ke kiri atau ke kanan, ke atas
atau ke bawah
�K a �ed+a�h−�3a 2 l t��erna==ti��f −−1166�� − �−23�
= �−39� Merancang strategi
� 9 � + �� 23 �� (a) 4 unit ke kiri, 2 unit ke bawah.
= �90� (b) 3 unit ke kanan, 2 unit ke bawah.
= �09� − �−32�
= �62� MMeenla(gakg)sua�nn−−aa24k��a n � strategi
(b) �−32�
Menentukan vektor translasi jika diberi
kedudukan imej dan objek Membuat kesimpulan
(a) Maka, vektor translasi A ke B ialah �−−42�
CONTOH 8 (b) Maka, vektor translasi B ke C ialah�−32�
Diberi ′(3,6) ialah imej kepada (2,9). Tentukan 20 | P a g e

UNIT SAINS DAN MATEMATIK, KV SIBU, MAC 2021

MATEMATIK SVM

2.0 TRANSFORMASI SEMESTER 3

Latih Kendiri 2.1a PANTULAN
1 Antara pasangan bentuk berikut, yang manakah Pantulan ialah transformasi apabila semua titik
pada suatu satah dibalikkan dalam satah yang
menunjukkan keadaan translasi? sama pada suatu garis. Garis tersebut dinamakan
paksi pantulan.

2 Tentukan koordinat imej bagi objek (5,-3) di Di bawah suatu pantulan,
(i) objek dan imej berada pada sebelah yang
bawah translasi bertentangan dengan paksi pantulan.
(ii) objek dan imejnya mempunyai jarak serenjang
(a) ��−−22�31� (b) ��46−−�25� yang sama dari paksi pantulan.
(c) (d) (iii) bentuk dan saiz imej adalah sama dengan objek,
tetapi orientasinya songsang.
3 Tentukan koordinat objek bagi imej (-1,-4) di (iv) imej bagi suatu titik yang ada pada paksi
pantulan ialah titik itu sendiri.
bawah translasi (b) (−5 3)
(d) �72� Simetri ialah suatu padanan dari segi saiz dan
(a) ��−41�08� bentuk di antara satu bahagian atau sisi suatu arah
(c) objek. Garis simetri ialah garisan yang
membahagikan suatu bentuk kepada dua bahagian
4 Nyatakan vektor translasi bagi pasangan titik yang kongruen. Garis ini ialah pembahagi dua sama
berikut. serenjang bagi garis yang menyambungkan objek
(a) (1,2), ′(3,6) dan imej. Garis simetri ialah paksi pantulan bagi
(b) (5,7), ′(−1, −1) imej dan objek.
(c) (4,4), ′(8,0) Sifat imej bagi pantulan ialah
(d) (6,4), ′(3, −3) (a) sama bentuk dan sama saiz dengan objek.
(b) imej mempunyai orientasi berbeza, bersongsang
sisi dan membentuk imej cermin antara satu sama
lain.

CONTOH 10
Antara corak yang berikut, yang manakah
menunjukkan orientasi pantulan?

5 Objek (1,4) dipetakan kepada kedudukan
′(3, −5) di bawah suatu translasi. Tentukan
kedudukan imej atau objek dengan translasi

yang sama bagi titik di bawah.
(a) (3,1)
(b) ′(4, −2)
(c) ′(5, −6)
(d) (−7, −8)

6 Dengan menggunakan orientasi yang sama

dengan rajah di sebelah, tentukan koordinat imej CONTOH 11:
bagi titik berikut.
Lengkapkan lukisan di bawah
(a) (-1,-4)

(b) (5,-5)

UNIT SAINS DAN MATEMATIK, KV SIBU, MAC 2021 21 | P a g e

MATEMATIK SVM

2.0 TRANSFORMASI SEMESTER 3

JOM FIKIR Langkah 2: Selarikan garisan tersebut kepada
semua bucu yang lain.
CONTOH 12:
Dalam rajah berikut, segi tiga M’ ialah imej kepada Langkah 3: Tentukan
segi tiga M dibawah suatu pantulan. Huraikan jarak bucu masing-
pantulan tersebut. masing dari paksi
pantulan dan tandakan
Penyelesaian: jarak yang sama dari
(a) Objek M dipantulkan pada paksi-x. paksi di atas garisan yang
(b) Objek M dipantulkan pada paksi-y. sama. Lakukan perkara
yang sama pada semua
Imej bagi suatu objek bucu.
CONTOH 13:
Lukis imej bagi segi tiga di bawah pantulan Penyelesaian Masalah
pada garis . CONTOH 14:
Dalam rajah di sebelah, ialah imej bagi di
bawah suatu pantulan.
Tentukan koordinat ′ di
bawah paksi pantulan
yang sama.

Penyelesaian:
Memahami masalah
′ ialah imej bagi .
Tentukan paksi pantulan.

Merancang strategi
Tentukan pasangan bucu bagi imei dan objek. Lukis
garis serenjang bagi kedua-dua pasangan bucu.
Bina atau tentukan pembahagi dua bagi garis
serenjang tersebut.

Melaksanakan strategi
Paksi pantulan ditentukan pada y = 1. Gunakan
paksi tersebut untuk mendapatkan P’.

Membuat kesimpulan
Dengan paksi pantulan y = 1,
Koodinat P’ ialah (-3, -1)

Penyelesaian: 22 | P a g e
Langkah1: Pilih mana-mana bucu dan bina garis
serenjang dari bucu tersebut ke garisan dan
panjangkan melebihi paksi pantulan tersebut.

UNIT SAINS DAN MATEMATIK, KV SIBU, MAC 2021

MATEMATIK SVM

2.0 TRANSFORMASI SEMESTER 3

Latih Kendiri 2.1b 5 Lukis paksi pantulan bagi gambar rajah
1 Antara berikut, yang manakah menunjukkan berikut.
pantulan?

2 Lengkapkan lukisan di bawah. 6 Merujuk kepada satah Cartes di sebelah,
huraikan pantulan yang memetakan poligon
3 Bina imej bagi objek di bawah pantulan kepada
garisan . poligon
(a)
4 ′ ′ ′ ′ ialah imej bagi objek di (b)
bawah suatu paksi pantulan. Tentukan (c)
koordinat imej bagi titik objek , , dan (d)
menggunakan paksi pantulan yang sama.
7 Kenal pasti paksi pantulan dan huraikan
suatu perwakilan pantulan bagi pasangan
titik di bawah.
(a) (3,1) dan ′(−3,1)
(b) (−4,2) dan ′(−4, −2)
(c) (5,6) dan ′(−5,6)
(d) (2,2) dan ′(4,2)

8 Jika (4,1) dipetakan kepada ′(4,5) di
bawah satu pantulan, tentukan
(a) koordinat imej bagi (-3,-1) di bawah paksi
pantulan yang sama.
(b) koordinat objek bagi (7,2) di bawah
pantulan yang sama.

UNIT SAINS DAN MATEMATIK, KV SIBU, MAC 2021 PUTARAN

Putaran ialah pemusingan semua titik di suatu
satah pada suatu titik, dikenal sebagai pusat
putaran, melalui suatu sudut pada arah yang
tertentu (ikut arah jam atau lawan arah jam).

Sifat imej bagi putaran:
(a) Imej yang dihasilkan mempunyai bentuk, saiz
dan orientasi yang sama dengan objek.
(b) Pusat putaran ialah satu titik pegun.
(c) Jarak semua titik imej ke pusat putaran adalah
sama dengan jarak objek ke pusat putaran.

23 | P a g e

MATEMATIK SVM

2.0 TRANSFORMASI SEMESTER 3

Apabila kita memerihalkan suatu putaran, kita perlu Kaedah 1 (Menggunakan kertas surih)
menyatakan pusat, sudut dan arah putaran yang
memetakan objek kepada imej. Langkah 1: Lukiskan garisan
pada titik ke titik .

Langkah 2: Tentukan sudut
90∘ lawan arah jam.

Imej yang dihasilkan melalui putaran 180∘ ikut arah
jam adalah sama dengan putaran 180∘ lawan arah
jam.

Langkah 3: Lukis semula
bentuk segi tiga di atas
kertas surih.

CONTOH 15: Langkah 4: Tekan dengan
Perihalkan putaran bagi rajah di bawah. mata pensel pada titik ,
putarkan kertas surih 90∘
lawan arah jam.

Kaedah 2 (Menggunakan protraktor)
Langkah 1: Bina garisan

Penyelesaian: Langkah 2: Dengan
menggunakan protraktor,
(a) Putaran 90∘ ikut arah jam pada titik T. lukis satu garisan
(b) Putaran 90∘ lawan arah jam pada titik S. berukuran 90∘ lawan arah
jam dengan jarak yang
Menentukan imej dan objek bagi putaran sama dengan ’.
CONTOH 16:
Tentukan imej bagi Δ Langkah 3: Ulangi langkah
apabila diputarkan 90∘ lawan 2 dengan garisan dan
arah jam pada titik .
Penyelesaian:

UNIT SAINS DAN MATEMATIK, KV SIBU, MAC 2021 24 | P a g e

MATEMATIK SVM

2.0 TRANSFORMASI SEMESTER 3

Langkah 4 : Sambungkan Langkah 3: Titik
semua titik ′, ′ dan ′ persilangan dua
menjadi sebuah segi tiga yang garisan pembahagi
sama dengan PRQ. dua serenjang itu ialah
pusat putaran.
CONTOH 17 Tandakan pusat
Tentukan objek bagi titik ′ putaran itu sebagai .
apabila diputarkan 180∘ ikut
arah jam pada titik . Langkah 4: Ukur sudut
’ menggunakan
Penyelesaian: protraktor.
Langkah 1: Lukis garisan yang Maka, imej di bawah
menyambungkan titik dan ′ putaran 90∘ ikut arah
serta panjangkannya dengan jam pada pusat
jarak yang sama dengan ′ di
arah yang bertentangan. Menentukan koordinat imej apabila koordinat
Langkah 2: Tandakan titik objek diberikan
pada garisan yang dipanjangkan CONTOH 18:
dengan = ′. Tentukan koordinat imej
bagi titik (−3,2) di bawah
Penyelesaian Masalah suatu putaran 90∘ ikut arah
CONTOH 17: jam pada asalan .
′ ′ ′ ialah imej Penyelesaian:
bagi di bawah Langkah 1: Sambung garis
suatu putaran. .
Tentukan pusat,
sudut dan arah Langkah 2:
putaran itu Putar garis pada asalan
menggunakan protraktor
Penyelesaian: ikut arah jam dengan sudut
Langkah 1: 90∘. Daripada rajah,
Sambungkan titik ke koordinat bagi imej ′ ialah
'. Bina pembahagi (2,3).
dua sama serenjang
bagi tembereng garis Menentukan koordinat objek apabila koordinat
′ imej diberi
CONTOH 18:
Langkah 2: Ulangi Sekiranya ′(−2, −3) ialah imej bagi di bawah
langkah 1 bagi garis putaran 90∘ ikut arah jam pada titik (1,0), tentukan
’ atau ′ koordinat .

UNIT SAINS DAN MATEMATIK, KV SIBU, MAC 2021 25 | P a g e

MATEMATIK SVM

2.0 TRANSFORMASI SEMESTER 3

Penyelesaian: (c) Putaran 180∘ pada pusat .
Langkah 1: Terbalikkan
arah putaran untuk mencari 4 Tentukan koordinat objel bagi titik berikut di
koordinat objek, iaitu titik bawah putarar. yang diberikan.

Langkah 2: Dengan
menggunakan protraktor,
putar garis ′ pada titik
, 90∘ lawan arah jam

Daripada rajah, koordinat bagi titik ialah (4,-3) .

Latih Kendiri 2.2 c
1 Perihalkan putaran di bawah yang berpusat
di P jika ialah objels dan ialah imej.

2.2 Pembesaran.

2 Perihalkan putaran yang memetakan objek 2.2.1 Menjelaskan maksud keserupaan objek
kepada imejnya.
geometri.

Dua objek geometri adalah serupa apabila semua

sudut sepadan adalah sama, iaitu ∠ = ∠ , ∠ =
∠ dan ∠ = ∠ semua nisbah sisi sepadan
.
adalah sama, iaitu = =

3 Lulsis imej bagi di bawah satu puraran 26 | P a g e
(a) Putaran 90∘ lawan arah jam pada pusat
.

UNIT SAINS DAN MATEMATIK, KV SIBU, MAC 2021

MATEMATIK SVM

2.0 TRANSFORMASI SEMESTER 3

CONTOH 19: Nisbah sisi sepadan tidak sama. Maka, sisi empat
Tentukan sama ada setiap pasangan objek geometri dan sisi empat tidak serupa.
yang berikut adalah serupa.
Latih Kendiri 2.2a
1. Tentukan sama ada setiap pasangan objek
geometri yang berikut adalah serupa.

Penyelesaian: 2. Tentukan pasangan objek yang serupa dalam
rajah di bawah.
(a)∠ = 180∘ − 47∘ − 79∘
= 54∘ 27 | P a g e
= ∠

∠ = ∠ = 79∘
∠ = ∠ = 47∘
Bagi sepasang segi tiga, semua sisi sepadan
berkadaran apabila semua sudut sepadan adalah
sama. Maka, segi tiga dan segi tiga
adalah serupa.

(b) Semua sudut sepadan adalah sama.
9 5
= = 7.2 = 4
8 5
= = 6.4 =
5 4
10
= 8 = 4
Semua nisbah sisi sepadan adalah sama. Maka,
pentagon dan pentagon PQRST adalah

serupa.

(c) Semua sudut sepadan adalah sama.
6 3
= = 10 = 5
6 1
= = 12 = 2

UNIT SAINS DAN MATEMATIK, KV SIBU, MAC 2021

MATEMATIK SVM

2.0 TRANSFORMASI SEMESTER 3

2.2.2 Membuat perkaitan antara keserupaan
dengan pembesaran dan seterusnya
memerihalkan pembesaran
menggunakan pelbagai perwakilan.

Imej di bawah suatu pembesaran adalah serupa.
Pembesaran ialah suatu transformasi dengan
semua titik objek bergerak dari satu titik tetap
dengan satu nisbah malar. Titik tetap itu dikenali
sebagai pusat pembesaran dan nisbah malar itu
dikenali sebagai faktor skala.

Penyelesaian:

Secara umumnya, faktor skala , bagi suatu

pembesaran dapat ditentukan seperti berikut

= jarak titik sepadan imej dari atau
jarak titik objek dari

= panjang sisi sepadan imej

panjang sisi objek

Nilai faktor skala yang berbeza mempunyai kesan
pembesaran yang berbeza

(a) Faktor skala
′ ′

=
6

==234← > 1, imej lebih besar daripada objek

CONTOH 20: ′ ′ ′ ialah imej bagi di bawah suatu
Rajah di sebelah menunjukkan tiga objek dan imejnya di
bawah transformasi pembesaran. Perihalkan pembesaran pembesaran pada pusat (-2, -1) dengan
dengan menentukan faktor skala dan pusat pembesaran 3
untuk yang berikut. faktor skala 2
(a) objek
(b) objek RSTU ′ ′
(c) objek (b) Faktor skala =

UNIT SAINS DAN MATEMATIK, KV SIBU, MAC 2021 = 1 ⇐ 0 < < 1, imej lebih kecil daripada objek
3

28 | P a g e

MATEMATIK SVM

2.0 TRANSFORMASI SEMESTER 3

′ ′ ′ ′ ialah imej bagi RSTU di bawah suatu

pembesaran pada pusat (13, 10) dengan faktor
1
skala 3

(c) Faktor skala = jarak ′ dari pusat pembesaran
jarak dari pusat pembesaran

= − 6 Tanda negatif menunjukkan imej berada di
3 sebelah yang bertentangan dengan objek.

= −2 < −1, imej lebih besar daripada objek

′ ′ ′ ialah imej bagi di bawah suatu 2 Perihalkan pembesaran dalam setiap yang
pembesaran pada pusat (2,-5) dengan berikut.

faktor skala -2

Latih Kendiri 2.2b
1 Diberi ′ ialah imej bagi objek . Perihalkan
pembesaran bagi setiap yang berikut.

2.2.3 Menentukan imej dan objek bagi suatu
pembesaran.

UNIT SAINS DAN MATEMATIK, KV SIBU, MAC 2021 29 | P a g e

MATEMATIK SVM

2.0 TRANSFORMASI SEMESTER 3

CONTOH 21: Penyelesaian:
(a) Apabila = 2, jarak setiap bucu imej dari ialah
Berdasarkan faktor skala yang diberi, tentukan objek 2 kali jarak bucu sepadan objek dari pada arah
yang sama.
dan imej bagi setiap pembesaran berikut.
2
(a) Faktor skala, = 3

(b) Faktor skala, = −1.5 (iabl)aAhp43adbailraip a d=a−ja43r,ajkarbaukcsuestieappabduacnuoibmjeekj dari
dari

pada arah yang bertentangan.

Penyelesaian: CONTOH 23:
(a) Apabila = 32, saiz imej lebih kecil daripada
objek. ialah objek dan ialah imej. Lukis objek bagi setiap imej yang berikut di bawah
(b) Apabila = −1.5, saiz imej lebih besar daripada pembesaran pada pusat , berdasarkan faktor skala
objek. ialah objek dan ialah imej. berikut.

CONTOH 22:

Lukis imej bagi setiap objek yang berikut di bawah
pembesaran pada pusat , berdasarkan faktor skala
berikut

UNIT SAINS DAN MATEMATIK, KV SIBU, MAC 2021 30 | P a g e

MATEMATIK SVM

2.0 TRANSFORMASI SEMESTER 3

2 Lukis imej bagi setiap objek yang berikut di
bawah pembesaran pada pusat ,

berdasarkan faktor skala yang diberi.
1
(a) = 3

(b) = −2

3 Lukis objek bagi setiap imej yang berikut di
bawah pembesaran pada pusat ,

berdasarkan faktor skala yang diberi.
3
Latih Kendiri 2.2c (a) = 4

1 Berdasarkan faktor skala yang diberi,

tentukan objek dan imej bagi pembesaran

berikut 5
2
(a) Faktor skala, =

(b) = − 1
2

(b) Faktor skala, = −3

UNIT SAINS DAN MATEMATIK, KV SIBU, MAC 2021 31 | P a g e

MATEMATIK SVM

2.0 TRANSFORMASI SEMESTER 3

2.2.4 Membuat hubungan antara luas imej dan 2.2.5 Menyelesaikan masalah yang melibatkan
luas objek bagi suatu pembesaran.
pembesaran.
CONTOH 24:
Jadual di bawah menunjukkan nilai luas objek, nilai CONTOH 25:
luas imej dan nilai faktor skala yang berlainan di Dalam rajah di sebelah, trapezium ialah imej
bawah pembesaran. Lengkapkan jadual tersebut. bagi trapezium di bawah suatu pembesaran
pada pusat . Diberi bahawa luas kawasan
berwarna ialah 168 cm2, hitung

(a)
(b)
(C)

Penyelesaian: (a) faktor skala bagi pembesaran itu,
(a) 2 = luas imej (b) luas dalam cm2 trapezium .
Penyelesaian:
luas objek
(a) Faktor skala, k=
45
=5
= 20+16
=9 20
9
= 5

= √9 (b) Katakan luas trapezium = 1 dan luas
= +3 atau -3 trapezium = 2,
2 − 1 = 168 Luas imej
(b) �72�2 = luas imej = 2 × Luas objek
12
2 − 2 2 = �59�2 × 1
49 �95�2 = 168
4
luas imej = × 12

= 147 unt 2 2 − 25 2 = 168 1 = 2
(C) (−4)2 = 100 81 �95�2

luas objek

luas objek − 100 56 2 = 168
16 81

= 6.25 m2 Maka, 2 = 243 = 243 cm2
luas trapezium

Latih Kendiri 2.2d CONTOH 26:
1 Jadual di bawah menunjukkan nilai luas Rajah di bawah
objek, nilai luas imej dan nilai faktor skala menunjukkan suatu logo
yang berlainan di bawah pembesaran. berbentuk segi empat
Lengkapkan jadual tersebut. tepat yang dilukis oleh
seorang ahli Persatuan
STEM.

Pada hari keusahawanan sekolah, Persatuan STEM
ingin menggantung sepanduk pada gerai jualan
mereka. Sepanduk itu direka berdasarkan
pembesaran ke atas logo. Jika luas sepanduk ialah
0.8 m2, berapakah ukuran panjang dan lebar

UNIT SAINS DAN MATEMATIK, KV SIBU, MAC 2021 32 | P a g e

MATEMATIK SVM

2.0 TRANSFORMASI SEMESTER 3

sepanduk itu dalam cm? 3 Dalam rajah di sebelah, pentagon
ialah imej bagi
Penyelesaian: pentagon di
Luas logo = 15 × 12 = 180 cm2 dan bawah suatu
Luas sepanduk = 0.8 m2 = 8000 cm2.
pembesaran dengan
2 luas imej
= bucu A merupakan
luas objek
pusat pembesaran.
= 8000 cm2 Diberi bahawa ialah
= titik tengah sisi
410080 cm2 dan luas bagi pentagon ialah 17 cm2
Hitung luas dalam cm2 kawasan berwarna.
9
20
= 3

= panjang sisi sepadan imej 4 Rajah di sebelah menunjukkan lencana
panjang sisi objek berbentuk bulatan yang digunakan dalam
suatu program
20 Panjang perlindungan alam
3= sekitar yang dilancarkan
Panjang 15 × 20 oleh Persatuan Alam
= 15 3 Sekitar. Persatuan ini
ingin melukis mural pada
= 100 cm dinding sebuah
bangunan menggunakan
Luas transformasi
Lebar = Panjang pembesaran ke atas lencana tersebut. Diberi
bahawa luas lukisan mural itu ialah 4 m2,
8000 berapakah faktor skala bagi pembesaran itu?
= 100 = 80 cm
Ukuran sepanduk itu ialah 100 cm panjang dan

80 cm lebar.

Latih Kendiri 2.2e 2.3 Gabungan Transformasi.
2.3.1 Menentukan imej bagi suatu gabungan
1 Rajah di sebelah menunjukkan dua segi tiga
bersudut tegak dengan keadaan Δ ialah transformasi.
imej bagi Δ di bawah suatu pembesaran.
Diberi bahawa 5 = 2 . Hitung
(a) faktor skala bagi pembesaran itu,
(b) luas dalam cm2 seluruh rajah.

2 Rajah di sebelah menunjukkan pelan sebuah
taman bunga yang berbentuk segi empat
selari. Diberi ialah imej bagi
dengan pembesaran pada pusat , dan luas
taman bunga itu ialah 1350 m2. Jika luas
kawasan berwarna ialah 600 m2, hitung
panjang, dalam m,

UNIT SAINS DAN MATEMATIK, KV SIBU, MAC 2021 33 | P a g e

MATEMATIK SVM

2.0 TRANSFORMASI SEMESTER 3

Secara umumnya, gabungan transformasi A dan ′ ialah imej bagi di bawah transformasi
transformasi boleh ditulis sebagai transformasi ′′ ialah imej bagi ′ di bawah transformasi .
atau transformasi BA mengikut tertib transformasi

yang dikehendaki.

Gabungan transformasi AB bermaksud Imej bagi segi tiga di bawah gabungan
transformasi B diikuti dengan transformasi A. transformasi 2 ialah segi tiga

CONTOH 27: (b) Gabungan transformasi RQ bermaksud
transformasi Q diikuti transformasi R.
Rajah di sebelah menunjukkan beberapa segi tiga

dilukis pada satah Cartes. Diberi bahawa

transformasi

= ptruatnasralans9i �013∘ �lawan arah jam pada pusat (3,4)
=
= pembesaran pada pusat (8,0) dengan faktor
skala 2 Tentukan imej bagi segi tiga di bawah

gabungan transformasi
(a) 2

(b) RQ

Penyelesaian: ′ ialah imej bagi di bawah transformasi
(a) Gabungan transformasi 2 bermaksud ′′ ialah imej bagi ′ di bawah transformasi .
transformasi berlaku 2 kali secara berturutan.
Imej bagi segi tiga di bawah gabungan
transformasi ialah segi tiga

CONTOH 28:
Rajah di sebelah menunjukkan titik dan titik
pada satah Cartes. Diberi bahawa transformasi
= translasi �−25�
= pantulan pada garis −
= putaran 90∘ ikut arah jam pada pusat (5,8)
(a) Tentukan imej bagi titik di bawah gabungan
transformasi
(i) AB
(ii) BC

UNIT SAINS DAN MATEMATIK, KV SIBU, MAC 2021 34 | P a g e

MATEMATIK SVM

2.0 TRANSFORMASI SEMESTER 3

Penyelesaian:
(a) (i) Gabungan transformasi AB bermaksud
transformasi B diikuti transformasi A.

′ ialah imej bagi di bawah transformasi . 2 Diberi bahawa transformasi
′′ ialah imej bagi ′ di bawah transformasi = translasi �−41�
Maka, imej bagi titik di bawah gabungan = pantulan pada garis = 1
transformasi ialah ′′(−1,8) = putaran 90∘ lawan arah jam
pada pusat (5,5)
(ii) Gabungan transformasi BC bermaksud
transformasi C diikuti transformasi B. Rajah di sebelah menunjukkan beberapa titik

dilukis pada suatu satah Cartes.
(a) Tentukan imej bagi titik di bawah
gabungan transformasi
(i) U2

(ii) WV

′ ialah imej bagi di bawah transformasi
′′ ialah imej bagi ’ di bawah transformasi
Maka, imej bagi titik di bawah gabungan
transformasi ialah ′′(7,1).

Latih Kendiri 2.3a Latih Ekstensif
1 Rajah di sebelah menunjukkan beberapa
pentagon dilukis pada suatu satah Cartes. 1 Rajah di sebelah menunjukkan bentuk
Diberi bahawa transformasi poligon A dipetakan kepada poligon ′ di
= pantulan pada garis = bawah suatu pantulan. Kenal pasti padanan
titik
= putaran 180∘ pada pusat (1,0)

= pembesaran pada pusat (6,7) dengan
3
faktor skala 2

Tentukan imej bagi pentagon di bawah

gabungan transformasi

(a) AB (a) imej bagi titik .
(b) objek bagi titik G.
(b) CA

UNIT SAINS DAN MATEMATIK, KV SIBU, MAC 2021 35 | P a g e

MATEMATIK SVM

2.0 TRANSFORMASI SEMESTER 3

2 Antara rajah berikut, yang manakah translasi 4 Jika titik (−2, −2) ialah objek, kenal pasti
dan nyatakan sebabnya.
imej di bawah vektor translasi berikut
3 Lukis imej bagi objek di bawah translasi
yang diberikan. (a) �02�
����−−−−40524313����
(b)
(c)
(d)
(e)

(f) �−43�

5 Lukis imej ′ bagi objek di bawah pantulan
pada garis .

UNIT SAINS DAN MATEMATIK, KV SIBU, MAC 2021 36 | P a g e

MATEMATIK SVM

2.0 TRANSFORMASI SEMESTER 3

6 Tentukan koordinat imej atau objek bagi titik 8 Yang manakah mempunyai simetri puratan
berikut, di bawah paksi pantulan yang
diberikan

9 (i) Pada rajah di sebelah, lukis imej bagi di
bawah pantulan pada paksi- .
(ii) Nyatakan koordinat imej bagi titik di
bawah pantulan yang sama.

7 Tentukan koordinat imej atau objek bagi titik
berikut di bawah suatu putaran yang
diberikan

UNIT SAINS DAN MATEMATIK, KV SIBU, MAC 2021 37 | P a g e

MATEMATIK SVM

2.0 TRANSFORMASI SEMESTER 3

10 Diberi ′ ialah imej bagi di bawah suatu
putaran. Huraikan putaran itu selengkapnya.

11 Dalam rajah di sebelah, ialah sebuah
segiempat sama.
Nyatakan imej bagi
segi tiga di bawah
putaran yang berikut.
(i) Putaran 90∘ ikut
arah jam pada titik .
(ii) Putaran 180∘ pada
titik .
(iii) Putaran 270∘ lawan arah jam pada titik .

12 Rajah menunjukkan segi tiga yang
mengalami tiga kali transformasi, iaitu

→ → → .

(a) Huraikan transformasi tersebut.
(b) Sekiranya titik ′′′ ialah imej bagi titik ,
nyatakan Koordinat objek tersebut di
bawah transformasi yang sama.

UNIT SAINS DAN MATEMATIK, KV SIBU, MAC 2021 38 | P a g e

MATEMATIK SVM

2.0 TRANSFORMASI SEMESTER 3

13 Rajah menunjukkan sebuah peta perairan 15 Rajah di sebelah menunjukkan segi empat
laut Kejora. dan segi empat yang dilukis pada grid segi
empat sama. Segi empat ialah imej bagi
segi empat di bawah suatu transformasi.
Huraikan selengkapnya lima transformasi

yang mungkin.

Titik A ialah kedudukan kapal tentera Makdis. Bantu 16 Berdasarkan mah di sebelah
tentera Makdis untuk mengesan lanun mengikut (a) putarkan objek sebanyak 180∘ pada
turutan transformasi berikut. titik (1,1) . Labelkan imej putaran sebagai .
(b) lakukan translasi �−−22� terhadap dan
labelkannya sebagai
(c) huraikan transformasi lain yang
memetakan objek kepada imej .

14 Rajah di sebelah menunjukkan objek dan
.
(a) Lukis imej di bawah
(i) putaran 90∘ lawan arah jam pada titik
asalan diikuti translasi �−30�
(ii) pantulan pada garis lurus = 1.
(b) Lukis imej di bawah pantulan pada
�−14�
paksi-x diikuti dengan translasi dan
putaran 180∘ pada titik (0,-1)
17 Rajah di bawah menunjukkan ialah imej
Seterusnya, nyatakan nama rajah poligon bagi di bawah suatu pembesaran.
Perihalkan pembesaran tersebut.
tersebut.

UNIT SAINS DAN MATEMATIK, KV SIBU, MAC 2021 39 | P a g e

MATEMATIK SVM

2.0 TRANSFORMASI SEMESTER 3

18 Diberi bahawa luas bagi bentuk dan 3
bentuk ialah 18 cm2 dan 32 cm2. Jika
bentuk ialah imej bagi bentuk di bawah 4 (−1,7) (−4, −2)
suatu pembesaran, tentukan faktor skala (5, −3) (8,7)

bagi pembesaran itu. 5.

19 Rajah di sebelah menunjukkan suatu titik
yang terletak pada satah Cartes. Diberi
bahawa transformasi ialah translasi �−52�
dan transformasi ialah pantulan pada garis
= 7. Nyatakan koordinat ime bagi titik di
bawah gabungan transformasi RS.

6 (a) Pantulan pada garis = 6
(b) Pantulan pada garis = −2
(c) Pantulan pada garis = 3
(d) Pantulan pada garis = 1

7 (a) Pantulan pada paksi-y
(b) Pantulan pada paksi-x
(c) Pantulan pada paksi-y
(d) Pantulan pada garis = 3

Jawapan 8 (a) (-3,7) (b) (7,4)
Latih Kendiri 2.1a
(b) Bukan Latih Kendiri 2.1c
1 (a) Translasi (d) Bukan
(c) Translasi 1 (a) Berputar 90∘ ikut arah jam berpusat di .
(b) (9,3) (b) Putaran 90∘ lawan arah jam berpusat di
2 (a) (7,-1) (d) (3,-8) .
(c) (2,-4) (c) Putaran 90∘ lawan arah jam berpusat di
(b) (2,-9) .
3 (a) (-2,-8) (d) (-8,-6) (d) Putaran 90∘ ikut arah jam berpusat di .
(c) (7,-4)
(b) ��−−−−3768�� 2 (a) Putaran 90∘ ikut arah jam pada titik .
4 (a) �24� (d) (b) Putaran 180∘ lawan arah jam / ikut arah
(c) �−44� jam pada titik .
(b) (2,7) (c) Putaran 180∘ lawan arah jam / ikut arah
5 (a) (5,-8) (d) (-5,-17) jam pada titik .
(c) (3,3) (d) Putaran 90∘ ikut arah jam berpusat di
(b) (7,-8) asalan.
6 (a) (1,-7)
3 Putaran 90∘ lawan arah jam pada pusat .
Latih Kendiri 2.1b

1.

2

. Putaran 180∘ pada pusat .

4 Koordinat:

(−4,0) (−1, −2)
(0,2) (−1,6)

UNIT SAINS DAN MATEMATIK, KV SIBU, MAC 2021 40 | P a g e

MATEMATIK SVM

2.0 TRANSFORMASI SEMESTER 3

Latih Kendiri 2.2a

1 (a) serupa
(b) tidak serupa
(c) tidak serupa
(d) serupa

2 dan adalah serupa,
dan adalah serupa,

dan adalah serupa

Latih Kendiri .

1 (a) Pembesaran pada pusat (-4,4) dengan

faktor skala 3
(b) Pembesaran pada pusat (6,-5) dengan

faktor skala 2
(c) Pembesaran pada pusat (5,2) dengan

faktor skala 1 Latih Kendiri .
2 1
(d) Pembesaran pada pusat (7,4) dengan

faktor skala − 3
2

2 (a) Pembesaran pada pusat dengan

faktor skala 5
2
(b) Pembesaran pada pusat dengan

faktor skala 8
5
(c) Pembesaran pada pusat dengan Latih Kendiri .

faktor skala 1 1 (a) −8752cm2
4 (b)

Latih Kendiri .

1 (a) = objek, = imej 2 40 m
(b) = imej, = objek 3 51 cm2

4 50
Latih Kendiri .

1 (a) Pentagon II
(b) Pentagon III

2 (a) (i) Titik
(ii) Titik
(b) Titik

Latihan Ekstensif

1 (a) F (b)

2 (a) translasi kerana kedudukan berubah
(b) bukan

UNIT SAINS DAN MATEMATIK, KV SIBU, MAC 2021 41 | P a g e

MATEMATIK SVM

2.0 TRANSFORMASI SEMESTER 3

3.

4 (a) (-2,0) (b) (1,-3) (ii) ′ = (−3,1)
(c) (-7,2) (d) (-5,2) 10 (a) Putaran 90∘ ikut arah jam pada
(e) (-4,-2) (f) (2,-5)
pusat (-1,1) .
5. (b) Putaran 180∘ lawan arah jam pada

pusat (0,2) .
(c) Putaran 180∘ ikut arah jam pada

pusat (1,0) .
(d) Putaran 90∘ ikut arah jam pada

pusat (1,-1) .

11 (i) (ii) (iii) A

12 (a) → Pantulan pada garis = 4
Q → Translasi �−04�

→ Putaran 90∘ ikut arah jam pada

6 Korndinat ′(7, −2) pusat (5,1)
′(5,2) (3,1) (b) (0,4)
(2, −4)
′(1,3) 13
7 Koordinat (3, −4)
′(3, −1) (b) 
(0,3) (d) 

8 (a) 
(c)

9 (i)

UNIT SAINS DAN MATEMATIK, KV SIBU, MAC 2021 42 | P a g e

MATEMATIK SVM

2.0 TRANSFORMASI SEMESTER 3

16

15 (i) Translasi �−22�
(ii) Pantulan pada garis GH seperti rajah di bawah

17 pembesaran pada pusat (3,3) dengan faktor

skala 3 4
4 3
(iii) Putaran 90∘ ikut arah jam berpusat di 18 3 atau −
seperti rajah di bawah
19 (8,8)

(iv) Putaran 90∘ lawan arah jam berpusat di
seperti rajah di bawah

(v) Putaran 180∘ lawan arah jam / ikut arah jam 43 | P a g e
berpusat di seperti rajah di bawah

UNIT SAINS DAN MATEMATIK, KV SIBU, MAC 2021

MATEMATIK SVM

2.0 TRANSFORMASI SEMESTER 3

TRANSFORMASI

Translasi Putaran

Pemindahan semua titik pada satu satah Proses transformasi yang berlaku apabila
mengikut arah dan magnitud suatu setiap titik berputar pada suatu titik tetap
vektor. melalui sudut tertentu dan mengikut arah
Sifat translasi ialah yang tertentu. Sifat putaran ialah
(i) imej tidak berubah (i) berputar pada pusat putaran tertentu.
(ii) imej berada pada vektor tertentu (ii) mempunyai sudut putaran.
(iii) imej mengekalkan rupa bentuk
dari objek
asal tetapi kedudukan berubah.
Pantulan
Pembesaran

Transformasi yang membalikkan titik-titik Objek dan imej adalah serupa
pada satu satah terhadap satu garis yang
dikenali sebagai paksi pantulan. Sifat Faktor skala, = ′
pantulan ialah
(i) objek dan imej berada pada sebelah
yang bertentangan dengan paksi Luas imej = 2 × Luas objek
pantulan.
(ii) objek dan imejnya mempunyai jarak
serenjang yang sama dari paksi pantulan.
(iii) bentuk dan saiz imej adalah sama
dengan objek, tetapi orientasinya
songsang.
(iv) imej bagi suatu titik yang ada pada
paksi pantulan ialah titik itu sendiri.

Gabungan Transformasi
Gabungan transformasi AB bermaksud transformasi B diikuti transformasi A
Untuk menentukan imej daripada objek di bawah transformasi AB, ikut tertib
transformasi B diikuti transformasi A

UNIT SAINS DAN MATEMATIK, KV SIBU, MAC 2021 44 | P a g e

MATEMATIK SVM

3.0 TRIGONOMETRI SEMESTER 3

MATEMATIK SVM 3.1 Nilai sinus, kosinus dan tangen bagi
3.0 TRIGONOMETRI sudut θ, 0° ≤θ ≤ 360°.

Dalam unit ini pelajar akan mempelajari: 3.1.1 Membuat dan menentusahkan konjektur

tentang nilai sinus, kosinus dan tangen

sudut dalam sukuan II, III dan IV dengan

sudut rujukan sepadan.

3.1 Nilai sinus, kosinus dan tangen bagi Rajah di bawah menunjukkan satu bulatan unit.
sudut θ, 0° ≤θ ≤ 360°. Bulatan unit ialah bulatan yang berjejari 1 unit dan
berpusat di asalan. Paksi-x dan paksi-y
3.1.1 Membuat dan menentusahkan konjektur membahagikan bulatan unit kepada 4 sukuan yang
tentang nilai sinus, kosinus dan tangen sudut sama, iaitu sukuan I, sukuan II, sukuan III dan
dalam sukuan II, III dan IV dengan sudut sukuan IV.
rujukan sepadan.

3.1.2 Menentukan nilai sinus, kosinus dan tangen
bagi sudut dalam sukuan II, III dan IV
berdasarkan sudut rujukan sepadan.

3.1.3 Menentukan sudut apabila nilai sinus, kosinus
dan tangen sudut tersebut diberi.

3.1.4 Menyelesaikan masalah yang melibatkan
sinus, kosinus dan tangen.

UNIT SAINS DAN MATEMATIK, KV SIBU, MAC 2021 Diberi ialah satu titik yang bergerak di sepanjang
lilitan bulatan unit dan ialah sudut yang dibentuk
oleh jejari bulatan unit, , dari paksi-x yang positif
mengikut arah lawan jam. Didapati bahawa
(a) titik berada dalam sukuan I

apabila 0∘ < < 90∘,
(b) titik berada dalam sukuan II

apabila 90∘ < < 180∘,
(c) titik berada dalam sukuan III

apabila 180∘ < < 270∘
(d) titik berada dalam sukuan IV

apabila 270∘ < < 360∘.

Sudut rujukan sepadan, , sentiasa kurang
daripada 90∘.
Sudut dalam sukuan II, III dan IV mempunyai sudut
rujukan sepadan, .
Sudut dalam sukuan I itu sendiri merupakan sudut
rujukan sepadan, = .
Sudut rujukan dalam sukuan II, III dan IV ialah sudut
dalam sukuan I yang sepadan dengannya.

45 | P a g e

MATEMATIK SVM

3.0 TRIGONOMETRI SEMESTER 3

Penyelesaian:

Sudut rujukan sepadan,
= 180∘ − 138∘
= 42∘

239∘ terletak dalam

sukuan III. Sudut rujukan
sepadan,
= 239∘ − 180∘
= 59∘

312∘ terletak dalam
sukuan IV. Sudut rujukan
sepadan,
= 360∘ − 312∘
= 48∘

(b) Hubungan antara fungsi sinus, kosinus dan CONTOH 2:
tangen bagi sudut dalam sukuan II, III dan IV Nyatakan hubungan fungsi trigonometri yang berikut
dengan sudut rujukan sepadan boleh dirumuskan dengan sudut rujukan sepadan.
seperti berikut: (a) sin 167∘
Sudut rujukan sepadan ialah sudut tirus. (b) kos 258∘
(c) tan 349∘

= ∘ − Penyelesaian:
(a) Sudut 167∘ terletak dalam sukuan II.

( hanya sin bernilai positif)
sin = sin (180∘ − )
sin 167∘ = sin (180∘ − 167∘)
sin 167∘ = sin 13∘
(b) Sudut 258∘ terletak dalam sukuan III.

(tan bernilai positif)
kos = −kos ( − 180∘)
kos 258∘ = −kos (258∘ − 180∘)
kos 258∘ = −kos 78∘

= − ∘ = ∘ − (c) Sudut 349∘ terletak dalam sukuan IV.
( hanya kos bernilai positif)
CONTOH 1: tan = −tan (360∘ − )
Tentukan sukuan dan sudut rujukan sepadan bagi
setiap sudut tan 349∘ = −tan (360∘ − 349∘)
(a) 138∘ tan 349∘ = −tan 11∘
(b) 239∘
(c) 312∘ Secara umumnya, nilai sinus, kosinus dan tangen
bagi sudut dalam sukuan II, III dan IV dalam bulatan
unit adalah seperti berikut:

sin = koordinat-y

kos = koordinat -

UNIT SAINS DAN MATEMATIK, KV SIBU, MAC 2021 46 | P a g e

MATEMATIK SVM

3.0 TRIGONOMETRI SEMESTER 3

tan = koordinat- (a) = 0.8829
koordinat-x sin
kos = 0.4695
tan 0.8829

= 0.4695
= 1.8805

(b) = −0.5446
sin = −0.8387
kos
tan −0.5446
= −0.8387
= 0.6493

CONTOH 3: Latih Kendiri 3.1.1a
Setiap rajah berikut menunjukkan satu bulatan unit 1 Tentukan sudut rujukan sepadan bagi setiap
dengan sudut . Tentukan nilai sin , sudut berikut.
kos dan tan (a) 97∘
(b) 189∘
(c) 278∘
(d) 164.2∘
(e) 253.6∘
(f) 305.7∘
(g) 128∘53′
(h) 215∘42′

2 Nyatakan hubungan fungsi trigonometri yang
berikut dengan sudut rujukan sepadan.
(a) sin 101∘
(b) kos 194∘
(c) tan 246∘
(d) tan 294.5∘
(e) sin 339.8∘
(f) kos 112.3∘
(g) kos 287∘45′
(h) tan 96∘31′
(i) sin 203∘26′

3 Rajah di sebelah menunjukkan satu bulatan
unit dengan sudut . Tentukan nilai
sin , kos dan tan

Penyelesaian: 47 | P a g e

UNIT SAINS DAN MATEMATIK, KV SIBU, MAC 2021