ตัวแปรสุ่มและการแจกแจงความน่าจะเป็น

เอกสารประกอบการสอน

รายวชิ าคณติ ศาสตร์เพ่ิมเตมิ (ค33202)
เรื่อง ตัวแปรสุ่มและการแจกแจงความนา่ จะเปน็

ชนั้ มธั ยมศึกษาปีที่ 6

นายสทิ ธชิ ยั ยุบลวฒั น์

ตาแหนง่ ครู วิทยฐานะ ครูชานาญการพเิ ศษ

โรงเรยี นอนกุ ลู นารี

อาเภอเมอื งกาฬสนิ ธุ์ จังหวดั กาฬสนิ ธุ์
สานกั งานเขตพน้ื ท่กี ารศกึ ษามธั ยมศกึ ษากาฬสนิ ธุ์
สานักงานคณะกรรมการการศกึ ษาขน้ั พน้ื ฐาน กระทรวงศกึ ษาธกิ าร

เอกสารประกอบการเรยี นรายวิชาคณติ ศาสตร์เพิ่มเติม ค33202 เร่อื ง ตวั แปรสมุ่ และการแจกแจงความน่าจะเป็ น 1

หน่วยที่ 1 ตัวแปรสมุ่ และการแจกแจงความน่าจะเป็น
1. ความหมายและชนดิ ของตวั แปรส่มุ

พิจารณาการทดลองสํุมซึง่ ได๎จากการโยนเหรียญทีเ่ ที่ยงตรง เหรยี ญ 3 ครง้ั
ให๎ S แทนปรภิ มู ิตัวอยาํ งของการทดลองสมํุ น้ี
H แทนเหรยี ญขึน้ หัว
และ T แทนเหรยี ญขึ้นก๎อย
จะได๎ S = {HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT}
และ n(S) = 8
ให๎ E0, E1, E2, และ E3 แทนเหตุการณท์ ่เี หรียญข้นึ หัว 0, 1, 2 และ 3 คร้งั ตามลาดบั

โดยใช๎ความร๎เู รื่องความนาํ จะเป็น จะได๎วํา

P(E0)  1 P(E1)  3
8 8

P(E2)  3 P(E3)  1
88
จากสถานการณข์ ๎างต๎น จะเห็นวําส่งิ ทส่ี นใจไมํใชํหน๎าของเหรียญทปี่ รากฎในการโยนเหรียญแตํละ

ครัง้ แตสํ นใจจานวนคร้งั ที่เหรียญขน้ึ หวั ในการทดลองสุมํ นี้ ซึ่งมีคาํ ทเ่ี ป็นไปได๎ 4 คํา คอื 0, 1, 2 และ 3

โดยจะยงั ไมทํ ราบวาํ คาํ ทไี่ ดจ๎ ริงๆ คอื คาํ ใดจนกวําจะเสรจ็ ส้ินการทดลองสํมุ จงึ อาจกาหนดฟังก์ขัน X

จากปริภูมติ ัวอยาํ ง S ไปยงั {0, 1, 2, 3} เพือ่ แปลงผลลพั ธท์ ่ีอาจเปน็ ไปได๎ท้งั หมดของการทดลองสุํม

ใหอ๎ ยํใู นรปู ตัวเลข โดยกาหนดให๎

X(HHH) = 3 X(HHT) = 2

X(HTH) = 2 X(HTT) = 1

X(THH) = 2 X(THT) = 1

X(TTH) = 1 X(TTT) = 0

จะเรียก X วาํ ตัวแปรสุํม ซง่ึ มีบทนยิ ามดังตํอไปนี้

เอกสารประกอบการเรียนรายวิชาคณติ ศาสตร์เพ่มิ เติม ค33202 เร่อื ง ตวั แปรสมุ่ และการแจกแจงความน่าจะเป็ น 2

ตัวแปรสมุ (random variable) คือฟังกช็ ันจากปรภิ มู ิตวั อย่างของการทดลองสุ่มไปยงั เซตของจานวนจริง

จะเรยี กสมาชกิ ของเรนจข์ องตวั แปรสํมุ วํา คําของตัวแปรลุํม ซงึ่ แตํละคาํ จะเกดิ ไดด๎ ๎วยความนําจะเปน็ คําหนึ่ง
โดยทวั่ ไปนิยมใช๎ตัวอักษรภาษาอังกฤษตวั พิมพ์ใหญแํ ทนตวั แปรสุมํ เชํน X, Y , Z และใชต๎ วั อกั ษรภาษาองั กฤษ
ตัวพมิ พเ์ ลก็ แทนคําของตัวแปรสํุม เชนํ x, y, z

จากสถานการณ์โยนเหรียญท่เี ท่ียงตรง 1 เหรยี ญ 3 ครัง้ ให๎ x แทนคาํ ทีเ่ ป็นไปไดข๎ องตวั แปรสมุํ X
จะได๎วาํ x  0, 1, 2, 3

จะใช๎สัญลกั ษณ์ X = x แทนเหตุการณ์ที่เหรยี ญขน้ึ หัว x ครั้ง
ดงั นนั้ จะเขยี น P(X=0) แทน P(E0) หรือความนําจะเปน็ ท่เี หรียญขนึ้ หวั 0 ครง้ั

P(X=1) แทน P(E1) หรอื ความนาํ จะเป็นทีเ่ หรยี ญขน้ึ หัว 1 ครงั้
P(X=2) แทน P(E2) หรือความนาํ จะเปน็ ที่เหรยี ญขน้ึ หวั 2 ครงั้
และ P(X=3) แทน P(E3) หรอื ความนาํ จะเปน็ ทเ่ี หรยี ญขึ้นหัว 3 ครั้ง

โดยท่วั ไป ตวั แปรสมํุ แบํงได๎เปน็ 2 ชนดิ ตามลักษณะของคําทีเ่ ป็นไปไดข๎ องตัวแปรสํุม ดังนี้
1. ตวั แปรสุ่มไมต่ ่อเนอื่ ง (dicrete random variable) คอื ตวั แปรลมุํ ที่คําท่ีเปน็ ไปไดท๎ ้ังหมดอยูํใน

เซตทส่ี ามารถนับจานวนสมาชิกได๎ หรอื คาํ ท่ีเปน็ ไปไดท๎ ั้งหมดของตวั แปรสุมํ สามารถเขียนเรยี งลาดับจากน๎อย
ไปมากได๎ ทง้ั นี้ เซตของคําทีเ่ ป็นไปไดท๎ ง้ั หมดของตวั แปรสํุมไมํตํอเนือ่ งอาจเป็นเซตจากัดหรือเซตอนนั ตก์ ็ได๎
ตวั อยาํ งเชนํ

ㆍ ในการทอดลกู เต๋า 2 ถกู พร๎อมกนั 1 ครัง้ ถา๎ ให๎ตัวแปรสมํุ คือผลบวกของแตม๎ บนหนา๎ ลกู เต๋าทั้งสอง
จะได๎เซตของคําทเ่ี ปน็ ไปไดท๎ ้ังหมดของตัวแปรสุํมคอื {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}

ㆍ ในการโยนเหรียญ 1 เหรยี ญ 1 คร้ัง ถา๎ ให๎ตัวแปรสมุํ เปน็ 0 เม่ือเหรยี ญขึ้นหัว และ 1 เมอื่ เหรียญ
ข้ึนกอ๎ ย จะได๎เซตของคําทีเ่ ป็นไปได๎ทงั้ หมดของตัวแปรสุํมคอื {0, 1}

ㆍ ในการโยนเหรยี ญ 1 เหรียญ ไปเร่อื ย ๆ จนกวาํ เหรียญจะขน้ึ หวั จงึ จะหยุด ถ๎าใหต๎ วั แปรสุํมคอื
จานวนครั้งทีต่ อ๎ งโยนเหรียญจนกวาํ เหรยี ญจะขนึ้ หวั จะไดเ๎ ซตของคาํ ทเ่ี ป็นไปได๎ท้ังหมดของ
ตัวแปรสุํมคือ {1, 2, 3, ...} หรือ

เอกสารประกอบการเรยี นรายวิชาคณติ ศาสตร์เพ่มิ เติม ค33202 เร่อื ง ตวั แปรสมุ่ และการแจกแจงความนา่ จะเป็ น 3

2. ตวั แปรสมุ่ ตอ่ เนือ่ ง (continuous random variable) คอื ตัวแปรสุํมทเี่ ซตของคาํ ท่ีเป็นไปได๎ทง้ั หมด
เปน็ ชวํ งที่เปน็ สับเซตของ R

ตวั อยาํ งเชนํ
ㆍ ให๎ตัวแปรสมํุ คอื ความสูง (เซนติเมตร) ของนักเรยี นชั้นมัธยมศกึ ษาปีที่ 6 หอ๎ งหน่งึ อาจได๎วําเซตของคาํ
ทเ่ี ป็นไปได๎ท้งั หมดของตัวแปรสํมุ เปน็ ชํวง [ 50, 190]
ㆍ ใหต๎ ัวแปรสํุมคือนา้ หนัก (กโิ ลกรมั ) ของแตงโม ทเี่ ก็บเกย่ี วจากสวนแหํงหนง่ึ อาจไดว๎ าํ เซตของคาํ ท่เี ปน็ ไปได๎
ท้ังหมดของตัวแปรสํุมเปน็ ชวํ ง [l, 6]
ㆍ ให๎ตัวแปรสุํมคอื ระยะเวลา (ชว่ั โมง) นบั จากปัจจบุ ันจนเกิดแผํนดนิ ไหวครัง้ ตอํ ไปท่จี ังหวดั ลาปางอาจไดว๎ าํ
เชตของคําท่เี ปน็ ไปไดท๎ ง้ั หมดของตัวแปรสํุมเปน็ ชวํ ง [0, )

เอกสารประกอบการเรียนรายวิชาคณติ ศาสตร์เพมิ่ เติม ค33202 เร่อื ง ตวั แปรสมุ่ และการแจกแจงความนา่ จะเป็ น 4

แบบฝกึ หัดที่ 1 เรอ่ื ง ความหมายและชนดิ ของตวั แปรสมุ่

คาชี้แจง จงพจิ ารณาวาํ ตวั แปรสมํุ ตอํ ไปนเ้ี ปน็ ตัวแปรสุํมไมตํ ํอเน่ืองหรือตวั แปรสํุมตํอเน่ือง โดยให๎ทาเคร่อื งหมาย
 ลงในชอํ งใหถ๎ กู ตอ๎ ง

คาถาม ตวั แปรสมุํ ไมํตํอเนอ่ื ง ตัวแปรสํุมตอํ เนือ่ ง

1) ตวั แปรสุม่ X1 คือ จานวนตน้ ไมท้ ี่ชาวสวน
คนหนึ่งปลูกไดใ้ นเวลา 1 เดือน
2) ตวั แปรสุ่ม X2 คอื ความสูงของผ้ปู ว่ ยในโรงพยาบาล
แหง่ หน่ึง
3) ตัวแปรสุ่ม X3 คือ จานวนนกั เรียนทีช่ ื่นชอบภาพยนตร์
สยองขวัญ จากการสอบถามนกั เรียนระดับมัธยมศึกษา
ตอนปลายจานวน 100 คน
4) ตวั แปรสมุ่ X4 คอื น้าหนกั ของเงาะกระป้องท่ผี ลิตใน
โรงงานแห่งหน่งึ
5) ตวั แปรสมุ่ X5 คือ เวลาที่ใช้ในการเดนิ ทางจากจังหวดั
เชียงใหม่ถงึ จังหวัดอดุ รธานีโดยเคร่ืองบิน
6 ตัวแปรสุ่ม X6 คอื ปรมิ าณการใช้นา้ ประปาของ
โรงเรยี นแห่งหนงึ่ ใน 1 วัน
7) ตัวแปรสมุ่ X6 คอื ผลคณู ของแต้มบนหนา้ ลูกเตา๋ จาก
การทอดลกู เต๋า 2 ลกู พร้อมกนั 1 ครงั้

เอกสารประกอบการเรียนรายวชิ าคณติ ศาสตร์เพ่มิ เตมิ ค33202 เร่อื ง ตวั แปรสมุ่ และการแจกแจงความน่าจะเป็ น 5

2. การแจกแจงความน่าจะเป็นของตวั แปรสุม่ ไม่ต่อเนือ่ ง

ตวั อยา่ งที่ 1 จานวนพน่ี อ๎ งของนกั เรยี นชนั้ มธั ยมศึกษาปีท่ี หอ๎ งหน่ึง จานวน 50 คน แสดงด๎วยตารางความถไ่ี ด๎

ดังนี้

จานวนพนี่ อ้ ง (คน) ความถี่ ความถส่ี ัมพทั ธ์

0 6 0.12

1 22 0.44

2 17 0.34

3 4 0.08

4 1 0.02

ถา๎ สมํุ นกั เรียน 1 คน จากหอ๎ งนี้ และให๎ตวั แปรสมุํ X คอื จานวนพีน่ ๎องของนกั เรยี นที่สมํุ ได๎
จงหาความนาํ จะเปน็ ท่ีนักเรียนที่สํมุ ได๎จะมพี นี่ อ๎ ง x คน เมื่อ x  {0, 1, 2, 3, 4}

จากตัวอยาํ งข๎างต๎น จะเหน็ วําความนาํ จะเป็นของการเกดิ คําแตลํ ะคาํ ทีเ่ ปน็ ไปไดข๎ องตัวแปรสุํม
คอื ความถสี่ ัมพัทธ์

โดยท่วั ไป สาหรับตัวแปรสํุม X ใด ๆ จะได๎ 0  P(X = x)  1 และผลรวมของความนาํ จะเปน็
ของการเกิดคําแตํละคาํ ท่ีเปน็ ไปได๎ทง้ั หมดของตัวแปรสุํมเทํากับ 1

เอกสารประกอบการเรียนรายวิชาคณติ ศาสตร์เพ่ิมเตมิ ค33202 เร่อื ง ตวั แปรสมุ่ และการแจกแจงความนา่ จะเป็ น 6

เมอื่ นาความนาํ จะเปน็ ของการเกดิ คาํ แตํละคําที่เป็นไปได๎ท้งั หมดของตวั แปรสุํมมาเขยี นแสดงเพือ่
อธบิ ายลักษณะของตัวแปรสุมํ จะเรียกวํา การแจกแจงความน่าจะเปน็ (probability distribution)
โดยอาจเขยี นแสดงในรูปตารางหรือกราฟ เชํน จากตัวอยํางขา๎ งต๎น สามารถเขยี นตารางแสดง
การแจกแจงความนําจะเป็นของตัวแปรสุํม X ได๎ดงั น้ี

x 012 3 4
P(X=x) 0.12 0.44 0.34 0.08 0.02

ตวั อย่างท่ี 2 ให๎ตัวแปรสุํม X คือจานวนครัง้ ท่เี หรียญขึ้นหัว จากการโยนเหรยี ญทีเ่ ท่ยี งตรง 1 เหรยี ญ 3 คร้ัง
จงเขยี นแสดงการแจกแจงความนําจะเปน็ ของตัวแปรสมํุ X ในรปู ตารางและกราฟ

เอกสารประกอบการเรยี นรายวชิ าคณติ ศาสตรเ์ พิม่ เติม ค33202 เร่อื ง ตวั แปรสมุ่ และการแจกแจงความนา่ จะเป็ น 7

ตัวอยา่ งที่ 3 ใหต๎ ัวแปรสุํม Y คือผลบวกของแตม๎ บนหนา๎ ลกู เต๋า จากการทอดลกู เต๋าทเ่ี ที่ยงตรง 2 ลูก
พรอ๎ มกนั 1 ครง้ั จงเขียนแสดงการแจกแจงความนาํ จะเป็นของตัวแปรสมุํ Y ในรูปตารางและกราฟ

เอกสารประกอบการเรยี นรายวชิ าคณติ ศาสตร์เพ่มิ เติม ค33202 เร่อื ง ตวั แปรสมุ่ และการแจกแจงความนา่ จะเป็ น 8

แบบฝึกหัดท่ี 2 เรื่อง การแจกแจงความนา่ จะเป็นของตัวแปรสมุ่ ไม่ต่อเน่ือง (1)

คาชแ้ี จง ให๎นักเรยี นเตมิ คาตอบตอํ ไปนใ้ี หส๎ มบูรณ์ 10
1. ข๎อสอบยํอยวชิ าคณิตศาสตรช์ ุดหนงึ่ มที ง้ั หมด 10 ขอ๎ จานวนข๎อสอบทีต่ อบถูกในการสอบยํอย 2
วิชาคณิตศาสตร์ครัง้ นข้ี องนักเรียนชั้นมธั ยมศกึ ษาปีท่ี 6 ห๎องหนง่ึ จานวน 40 คน แสดงด๎วย
ตารางความถไ่ี ด๎ดงั นี้

จานวนขอ้ ทต่ี อบถกู 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
จานวนนกั เรียน (คน) 0 1 2 5 6 3 8 7 3 3

ถา๎ สุมํ นกั เรยี น 1 คน จากห๎องนี้ และให๎ตวั แปรสํมุ X คือจานวนข๎อสอบท่นี กั เรียนคนน้ีตอบถกู จงเติมตารางแสดง
การแจกแจงความนําจะเปน็ ของตวั แปรสุมํ X ให๎สมบูรณ์

…………………………………….. …….. ……… ……. …….. ……… ……. …….. ……… ……. ……… …….

……………………………………… …….. ……… ……. …….. ……… ……. …….. ……… ……. ……… …….

2. ในการตรวจสอบคุณภาพของสนิ คา๎ ชนิดหน่งึ ซ่งึ มีทง้ั หมด 80 กลอํ ง แตลํ ะกลอํ งมีสนิ ค๎าจานวน 500 ชนิ้

ผ๎ตู รวจสอบจะสุมํ สินค๎าจากแตลํ ะกลํองมาตรวจสอบกลํองละ 100 ชิ้น โดยแสดงผลการตรวจสอบด๎วย

ตารางความถ่ีไดด๎ งั น้ี

จานวนสนิ คา้ ทไี่ ม่ผา่ นมาตรฐานจากสนิ คา้ 100 ชิ้น 0123456
ทสี่ ุ่มมาตรวจสอบจากแต่ละกล่อง (ชิน้ )

จานวนกล่อง 41 17 14 4 3 0 1

ถา๎ สุมํ กลอํ งสนิ คา๎ มา 1 กลอํ ง จากกลอํ งสนิ คา๎ ท้งั หมด 80 กลอํ ง และใหต๎ ัวแปรสมุํ Y คอื จานวนสินคา๎ ท่ไี มํผาํ น
มาตรฐานจากสนิ ค๎า 100 ช้ิน ที่สมํุ มาตรวจสอบจากกลอํ งนี้ จงเติมตารางแสดงการแจกแจงความนําจะเปน็
ของตวั แปรสุํม Y ใหส๎ มบูรณ์

…………………………………….. …….. ……… ………. …….. ……… ………. ………

……………………………………… …….. ……… …..…. …….. ……… ………. ……....

เอกสารประกอบการเรียนรายวิชาคณติ ศาสตรเ์ พ่มิ เติม ค33202 เร่อื ง ตัวแปรสมุ่ และการแจกแจงความนา่ จะเป็ น 9
3. ใหต๎ วั แปรสํุม Z คอื ผลตํางของแต๎มบนหนา๎ ลูกเตา๋ จากการทอดลูกเต๋าทเ่ี ท่ยี งตรง 2 ลกู พร๎อมกนั 1 ครั้ง

1) จงเตมิ ตารางแสดงการแจกแจงความนําจะเป็นของตัวแปรสํมุ Z ให๎สมบูรณ์

…………………………………….. …….. ……… ………. …….. ……… ……….
……………………………………… …….. ……… …..…. …….. ……… ……….
2) จงเขยี นกราฟแสดงการแจกแจงความนาํ จะเป็นของตวั แปรสมุํ Z

เอกสารประกอบการเรียนรายวชิ าคณติ ศาสตรเ์ พิ่มเติม ค33202 เร่อื ง ตวั แปรสมุ่ และการแจกแจงความน่าจะเป็ น 10
ค่าคาดหมายและสว่ นเบี่ยงเบนมาตรฐานของตัวแปรส่มุ ไมต่ ่อเน่ือง

ตัวอยา่ งที่ 4 จานวนพนี่ ๎องของนักเรยี นชนั้ มธั ยมศึกษาปีท่ี หอ๎ งหนึ่ง จานวน 50 คน แสดงดว๎ ยตารางความถไี่ ด๎

ดงั นี้

จานวนพนี่ อ้ ง (คน) ความถ่ี ความถส่ี มั พัทธ์

0 6 0.12

1 22 0.44

2 17 0.34

3 4 0.08

4 1 0.02

ถ๎าสมุํ นักเรยี น 1 คน จากหอ๎ งน้ี และใหต๎ วั แปรสุมํ X คือจานวนพ่นี ๎องของนกั เรยี นที่สุํมได๎ จงหาคาํ คาดหมาย
ของตวั แปรสุมํ X

เอกสารประกอบการเรยี นรายวิชาคณติ ศาสตร์เพ่ิมเติม ค33202 เร่อื ง ตวั แปรสมุ่ และการแจกแจงความนา่ จะเป็ น 11

ตวั อยา่ งท่ี 5 ในงานประจาปขี องจงั หวดั หนง่ึ มเี กมวงลอ๎ เส่ียงโชค โดยมกี ติกาวํา ผู๎เลํนจะตอ๎ งหมุนวงลอ๎ ทม่ี ี
หมายเลข 1-7 กากับไวด๎ ังรปู ถ๎าลูกศรช้ที ่ีชอํ งที่มหี มายเลขทก่ี ากบั เปน็ จานวนคี่ ผูเ๎ ลํนจะไดเ๎ งนิ รางวัล 20 บาท
สมมตใิ นการหมุนวงล๎อแตํละครั้งโอกาสท่ลี ูกศรจะชี้ที่ชอํ งใดชอํ งหน่ึงเทํากนั และในการเลนํ เกมวงลอ๎ เส่ียงโชค
แตํละครั้ง ผ๎เู ลํนจะตอ๎ งจํายเงนิ ซื้อต๋ัวราคา 10 บาท จงหาคําคาดหมายของจานวนเงินที่ผ๎ูเลนํ จะได๎รบั หรือเสยี ไป
พร๎อมทัง้ อธบิ ายความหมาย

เอกสารประกอบการเรียนรายวิชาคณติ ศาสตรเ์ พิม่ เตมิ ค33202 เร่อื ง ตัวแปรสมุ่ และการแจกแจงความนา่ จะเป็ น 12

ตวั อย่างท่ี 6 ให๎ตวั แปรสํมุ X คือจานวนครง้ั ทีเ่ หรียญขึ้นหัว จากการโยนเหรียญท่ีเท่ียงตรง 1 เหรยี ญ 3 ครั้ง
จงหาคําคาดหมาย ความแปรปรวน และสํวนเย่ียงเบนมาตรฐานของตัวแปรสํุม X

เอกสารประกอบการเรยี นรายวชิ าคณติ ศาสตรเ์ พิ่มเตมิ ค33202 เร่อื ง ตัวแปรสมุ่ และการแจกแจงความน่าจะเป็ น 13

ตวั อยา่ งท่ี 7 ใหต๎ วั แปรสมํุ Y คือผลบวกของแตม๎ บนหน๎าลูกเต๋า จากการทอดลกู เตา๋ ทเ่ี ท่ยี งตรง 2 ลกู พร๎อมกัน1
ครั้ง จงหาคาํ คาดหมาย ความแปรปรวน และสวํ นเบ่ยี งเบนมาตรฐานของตวั แปรสมํุ Y

เอกสารประกอบการเรยี นรายวชิ าคณติ ศาสตรเ์ พม่ิ เตมิ ค33202 เร่อื ง ตวั แปรสมุ่ และการแจกแจงความน่าจะเป็ น 14
แบบฝกึ หดั ท่ี 3 เร่ือง การแจกแจงความน่าจะเปน็ ของตวั แปรสุ่มไม่ต่อเนื่อง (2)

คาชีแ้ จง ใหน๎ กั เรียนเติมคาตอบตอํ ไปนีใ้ ห๎สมบรู ณ์
1. กลอํ งใบหน่ึงบรรจเุ บย้ี 6 อนั โดยมหี มายเลข 3, 5, 6, 7, 8 และ 11 กากบั ไว๎ ถา๎ สํุมหยิบเบ้ีย 2 อนั
โดยหยบิ เบี้ยทีละอันและไมใํ สํคืนกอํ นหยบิ เบยี้ อันท่สี อง และใหต๎ วั แปรสมํุ X คือ ผลบวกของหมายเลขบนเบี้ย
ท้ังสองอันท่สี ุํมได๎

1) จงเติมตารางแสดงการแจกแจงความนาํ จะเป็นของตัวแปรสุํม X ใหส๎ มบรู ณ์
…………………………………….. …….. ……… ……. …….. ……… ……. …….. ……… ……. ……… …….
……………………………………… …….. ……… ……. …….. ……… ……. …….. ……… ……. ……… …….

2) จงหาคาํ คาดหมายของตัวแปรสมุํ X พร๎อมทง้ั อธบิ ายความหมาย

3) จงหาความแปรปรวน และสวํ นเบย่ี งเบนมาตรฐานของตวั แปรสํุม X

เอกสารประกอบการเรียนรายวชิ าคณติ ศาสตร์เพ่มิ เตมิ ค33202 เร่อื ง ตวั แปรสมุ่ และการแจกแจงความนา่ จะเป็ น 15

2. ลูกค๎ารายหนง่ึ ตอ๎ งการทาประกันชีวิตกับบริษทั มน่ั ใจประกันชวี ิต โดยกาหนดทุนประกัน 2,000,000 บาท
(นั่นคือ ในกรณที ีล่ กู ค๎าเสยี ชวี ิต บริษทั จะตอ๎ งจํายเงนิ ให๎ผร๎ู บั ประโยชนท์ ่ลี กู คา๎ ระบุไวเ๎ ปน็ จานวนเงิน 2,000,000
บาท) และลกู คา๎ จะต๎องจํายคาํ เบ้ยี ประกนั ปลี ะ 50,000 บาท ถ๎าลกู ค๎ารายน้ีมีภาวะหยุดหายใจขณะหลบั
(obstructive sleep apnea) โดยโอกาสทเ่ี ขาจะเสยี ชีวิตในแตลํ ะปคี ิดเป็นรอ๎ ยละ 1 จงพจิ ารณาวาํ ถา๎ บริษัทมนั่ ใจ
ประกันชวี ติ รับทาประกันชีวติ ให๎กับลูกค๎ารายนี้ บริษทั จะไดก๎ าไรหรือขาดทนุ โดยเฉล่ียปลี ะกบี่ าท

3. จากการตรวจสอบคุณภาพของสินค๎าชนิดหนึง่ จานวน 60 ชิน้ ได๎ข๎อมลู จานวนรอยตาหนบิ นสินค๎าแตํละชน้ิ

ดงั ตารางตอํ ไปน้ี

จานวนรอยตาหนิบนสินค้า (แห่ง) 012 3

จานวนสินคา้ (ช้นิ ) 47 4 6 3

ถ๎าผ๎ขู ายไดก๎ าไรจากการขายสนิ ค๎าที่ไมํมีรอยตาหนิชน้ิ ละ 20 บาท แตถํ ๎าสินคา๎ มรี อยตาหนจิ ะเสียคาํ
ซอํ มแซมแหงํ ละ 11 บาท จงหาคาํ คาดหมายของรายได๎จากการขายสินคา๎ 1 ชิ้น

เอกสารประกอบการเรียนรายวชิ าคณติ ศาสตรเ์ พม่ิ เตมิ ค33202 เร่อื ง ตวั แปรสมุ่ และการแจกแจงความนา่ จะเป็ น 16
2. การแจกแจงความน่าจะเปน็ ของตัวแปรสุ่มไม่ตอ่ เน่อื ง
2.1 การแจกแจงเอกรปู ไม่ต่อเนื่อง

ตวั อย่างที่ 8 ในการทอดลูกเต๋าที่เท่ียงตรง 1 ลกู 1 ครั้งใหต๎ วั แปรสํุม X คอื แต๎มบนหนา๎ ลูกเต๋า จงพิจารณา
วําการแจกแจงความนําจะเป็นของตวั แปรสํมุ X เปน็ การแจกแจงเอกรูปไมํตอํ เนื่องหรอื ไมํ พรอ๎ มท้งั เขยี น
แสดงการแจกแจงความนาํ จะเป็นของตวั แปรสุมํ X ในรูปตารางและกราฟ

เอกสารประกอบการเรยี นรายวชิ าคณติ ศาสตร์เพมิ่ เติม ค33202 เร่อื ง ตัวแปรสมุ่ และการแจกแจงความนา่ จะเป็ น 17
ตวั อย่างท่ี 9 ลกู คดิ สุํมหยบิ สลาก 1 ใบ จากกลํองทบ่ี รรจุสลาก 4 ใบ แตลํ ะใบระบุจานวนเงนิ รางวลั แตกตํางกัน
คือ 20, 50, 100 และ 500 บาท ให๎ตวั แปรสมํุ X คือจานวนเงินรางวลั ท่ีลกู คดิ จะไดร๎ ับ

1) จงพิจารณาวาํ การแจกแจงความนําจะเป็นของตัวแปรสมํุ X เปน็ การแจกแจงเอกรปู
ไมตํ อํ เนอ่ื งหรอื ไมํ

2) จงหาคําคาดหมายของตวั แปรสํุม X

3) ถา๎ ลกู คดิ ตอ๎ งจํายเงนิ ซอ้ื ต๋ัวราคา 150 บาท เพื่อหยบิ สลาก 1 ใบ จงพิจารณาวําถ๎าลูกคดิ สุํมหยบิ สลาก
หลาย ๆ คร้ัง โดยเฉลี่ยแลว๎ ลูกคดิ ไดเ๎ ปรียบหรอื เสยี เปรียบ

เอกสารประกอบการเรยี นรายวชิ าคณติ ศาสตร์เพมิ่ เติม ค33202 เร่อื ง ตวั แปรสมุ่ และการแจกแจงความน่าจะเป็ น 18

แบบฝึกหดั ท่ี 4 เรอ่ื ง การแจกแจงเอกรปู ไมต่ อ่ เนอ่ื ง
คาชีแ้ จง ใหน๎ กั เรียนเติมคาตอบตอํ ไปนใ้ี ห๎สมบรู ณ์

1. จงพจิ ารณาวําการแจกแจงความนําจะเป็นของตัวแปรสํุมตํอไปนี้เปน็ การแจกแจงเอกรูปไมตํ ํอเน่ืองหรอื ไมํ
พร๎อมทัง้ ใหเ๎ หตผุ ลประกอบ

1) ตัวแปรสมุํ X1 คือจานวนคร้ังทเี่ หรยี ญขน้ึ หัว จากการโยนเหรียญทเ่ี ท่ียงตรง 1 เหรียญ 1 คร้งั
การแจกแจงความนาํ จะเปน็ ของตัวแปรสํมุ X1
 เปน็ การแจกแจงเอกรูปไมํตํอเนอื่ ง  ไมเํ ปน็ การแจกแจงเอกรปู ไมํตํอเนื่อง
เนื่องจาก

2) ตัวแปรสํมุ X2 คอื จานวนครงั้ ที่เหรียญขนึ้ ก๎อย จากการโยนเหรยี ญที่เท่ียงตรง 1 เหรียญ 10 ครั้ง
การแจกแจงความนาํ จะเปน็ ของตัวแปรสุํม X2
 เป็นการแจกแจงเอกรปู ไมํตํอเน่ือง  ไมเํ ปน็ การแจกแจงเอกรูปไมํตํอเนอ่ื ง

เน่ืองจาก

3) ตวั แปรสํมุ X3 คอื ผลรวมของเงินรางวลั ทไ่ี ดร๎ ับ จากการสมํุ หยิบสลาก 2 ใบพรอ๎ มกนั จากกลํองท่ีบรรจสุ ลาก
4 ใบ โดยแตํละใบระบุจานวนเงนิ รางวลั แตกตํางกนั คอื 10, 30,60 และ 80 บาท

การแจกแจงความนาํ จะเปน็ ของตวั แปรสมุํ X3
 เป็นการแจกแจงเอกรปู ไมํตํอเนอ่ื ง  ไมํเปน็ การแจกแจงเอกรูปไมตํ อํ เนื่อง
เน่ืองจาก

4) ตวั แปรสมํุ X4 คอื จานวนสนิ คา๎ ทไี่ มํผํานมาตรฐาน เมือ่ สุํมกลํองสินค๎ามา 1 กลํองจากกลํองสินคา๎ ทงั้ หมด 80
กลํอง โดยขอ๎ มลู จานวนสนิ คา๎ ทีไ่ มผํ าํ นมาตรฐานในแตลํ ะกลอํ งแสดงด๎วยตารางความถ่ีได๎ดังนี้

จานวนสนิ คา้ ทีไ่ มผ่ ่านมาตรฐานในแต่ละกล่อง (ชิ้น) 0 1 2 3 4

จานวนกลอ่ ง 16 16 16 16 16

การแจกแจงความนําจะเปน็ ของตัวแปรสุมํ X4
 เป็นการแจกแจงเอกรูปไมํตํอเนื่อง  ไมเํ ปน็ การแจกแจงเอกรูปไมตํ ํอเนอ่ื ง
เนือ่ งจาก

เอกสารประกอบการเรียนรายวชิ าคณติ ศาสตรเ์ พ่มิ เติม ค33202 เร่อื ง ตวั แปรสมุ่ และการแจกแจงความนา่ จะเป็ น 19
2. ถา๎ การแจกแจงความนําจะเปน็ ของตัวแปรสมํุ X เปน็ การแจกแจงเอกรูปไมํตํอเนอื่ ง และคําท่เี ปน็ ไปได๎
ของตัวแปรสมํุ X คอื 5, 6, 7, 8, 9 และ 10 จงหาคาํ คาดหมาย ความแปรปรวนและสํวนเบย่ี งเบนมาตรฐาน
ของตวั แปรสุํม X

3. ครูประจาชั้นมัธยมศกึ ษาปีท่ี 6 หอ๎ งหนง่ึ ไดน๎ าของขวัญมารํวมจับสลากในวนั ขน้ึ ปีใหมโํ ดยมลู คําของของขวญั
ท่ีน๎อยที่สดุ คอื 100 บาท และเมอื่ นามลู คาํ ของของขวญั ท้งั หมดมาเรยี งลาดบั จากน๎อยไปมาก พบวํา มูลคาํ ของ
ของขวญั ทอ่ี ยูตํ ิดกันจะตาํ งกัน 100 บาท ถ๎าความนาํ จะเป็นทน่ี กั เรยี นจะได๎ของขวัญแตํละชิน้ มคี ําเทาํ กนั คือ 0.125
จงหาวําของขวัญท้งั หมดทคี่ รูนามาจับสลากมมี ูลคาํ เทาํ ใด

เอกสารประกอบการเรยี นรายวชิ าคณติ ศาสตรเ์ พิม่ เติม ค33202 เร่อื ง ตัวแปรสมุ่ และการแจกแจงความน่าจะเป็ น 20
4. ในงานประจาปขี องโรงเรียนแหงํ หนงึ่ มีเกมลกู เตา๋ เสี่ยงโชค โดยมตี ิกาวาํ ผเ๎ู ลํนจะตอ๎ งทอดลกู เตา๋ ทเี่ ทย่ี งตรง
1 ลูก ถา๎ ลูกเตา๋ ข้ึนแต๎ม 1, 2, 3, 4, 5 หรอื 6 ผ๎เู ลนํ จะได๎เงนิ รางวัล 30, 18, 12, 10, 5 หรือ a บาท ตามลาดับ
โดยที่ 0  a  5 ให๎ตัวแปรสํุม Z คอื เงนิ รางวลั ทีผ่ ๎ูเลนํ จะไดร๎ ับจากการเลํนเกมลูกเตา๋ เสยี่ งโชค

1) ถ๎า a = 5 จงพจิ ารณาวาํ ตัวแปรสมํุ Z เปน็ การแจกแจงเอกรปู ไมํตํอเนื่องหรือไมํ พร๎อมทัง้ ให๎เหตผุ ล
ประกอบ

2) จงยกตวั อยํางคําของ a ทท่ี าให๎ตวั แปรสุมํ Z เป็นการแจกแจงเอกรปู ไมํตอํ เน่ือง

3) ถ๎า a = 1 ผจ๎ู ัดเกมนีค้ วรตง้ั ราคาตว๋ั สาหรบั เลํนเกมอยาํ งนอ๎ ยเทําใด (ตอบเปน็ จานวนเต็ม)
โดยเฉลี่ยแลว๎ จึงจะไมขํ าดทนุ เมือ่ มีการเลนํ เกมลกู เตา๋ เสี่ยงโชคหลาย ๆ ครงั้

5. เกมวงล๎อเส่ียงโชคมกี ตกิ าการเลํนคือ ผ๎เู ลํนจะต๎องหมนุ วงล๎อรปู วงกลมท่ีแบงํ เป็น 10 ชํองเทาํ ๆ กนั โดยแตลํ ะ
ชํองระบุจานวนเงินรางวลั แตกตาํ งกันคือ 50, 100, 150, 200, ... , 500 บาท ถา๎ ลกู ศรชท้ี ช่ี อํ งใด ผเู๎ ลํนจะไดเ๎ งนิ
รางวัลตามทีร่ ะบุในชํองนนั้ สมมตวิ ําในการหมุนวงล๎อแตลํ ะครั้งโอกาสท่ลี ูกศรจะขที้ ่ีชํองใดชํองหน่ึงเทาํ กัน และ
ในการเลนํ เกมวงลอ๎ เสี่ยงโชคแตํละครง้ั ผเู๎ ลํนจะต๎องจํายเงินซื้อตั๋วราคา 300 บาท นกั เรียนจะเลํนเกมนห้ี รือไมํ
เพราะเหตุใด

เอกสารประกอบการเรียนรายวิชาคณติ ศาสตรเ์ พิม่ เติม ค33202 เร่อื ง ตัวแปรสมุ่ และการแจกแจงความน่าจะเป็ น 21

2. การแจกแจงความน่าจะเปน็ ของตวั แปรสุม่ ไม่ตอ่ เนอ่ื ง

2.2 การแจกแจงทวินาม

ในหวั ข๎อ 2.1 นกั เรียนได๎ศึกษาเกยี่ วกบั การแจกแจงเอกรูปไมํตํอเน่ือง ซ่งึ เป็นการแจกแจงความนาํ
จะเปน็ ของตัวแปรสํมุ อยํางงําย เนือ่ งจากการเกิดคําแตลํ ะคําท่เี ป็นไปได๎ของตัวแปรสํุมมีความนําจะเป็นเทํากนั
ซ่งึ อาจพบได๎ไมํมากนกั ในชีวติ จริง สาหรบั หัวขอ๎ น้ี จะศกึ ษาเกีย่ วกบั การแจกแจงความนาํ จะเป็นของตัวแปรสุํม
ทม่ี ลี กั ษณะเฉพาะประเภทหนงึ่ ซึ่งความนาํ จะเป็นของการเกดิ คําแตํละคําทีเ่ ปน็ ไปไดข๎ องตวั แปรสมํุ ไมจํ าเป็น
ตอ๎ งเทาํ กนั ดังเชํน ตัวอยาํ งที่ 2 เมือ่ กาหนดใหต๎ ัวแปรสํุม X คือจานวนครง้ั ทเี่ หรียญข้ึนหวั จากการโยน
ท่เี ทยี่ งตรง 1 เหรยี ญ 3 ครัง้ จะไดว๎ ํา X เป็นตวั แปรสํมุ ไมํตอํ เน่ือง สังเกตวาํ ในแตลํ ะครั้งทโ่ี ยนเหรียญจะมผี ลลัพธ์
ท่เี ป็นไปได๎ 2 แบบ คือ เหรยี ญข้นึ หัวหรือก๎อย แตํจากการกาหนดตวั แปรสํุม X จะเห็นวําสนใจจานวนครง้ั ที่เหรียญ
ขึ้นหวั จึงอาจพจิ ารณาวําในการโยนเหรยี ญแตํละครัง้ ถ๎าเหรยี ญขนึ้ หัวคือ สาเรจ็ แตํถา๎ เหรียญขน้ึ ก๎อย คือ
ไมํสาเร็จ ดังนั้น สามารถพจิ ารณาวาํ ตวั แปรสุํม X คอื จานวนครงั้ ของการเกิดผลสาเร็จจากการโยนเหรียญท่ี
เทยี่ งตรง 1 เหรยี ญ เปน็ จานวน3คร้งั เชํนเหตกุ ารณท์ ี่ X = 1 ซึง่ คือ (HTT, THT, TTH) หมายความวํา แตลํ ะ
สมาชิกในเหตกุ ารณน์ ้เี กดิ ผลสาเรจ็ 1 ครั้ง (เหรียญข้ึนหวั 1 ครงั้ และไมํเกดิ ผลสาเรจ็ 2 ครั้ง (เหรยี ญขน้ึ ก๎อย
2 คร้งั ) นอกจากน้ีจะเห็นวาํ ผลทไ่ี ด๎จากการโยนเหรียญในครงั้ กํอนหนา๎ ไมสํ ํงผลตอํ การโยนเหรยี ญครั้งตํอไปและ
ความนําจะเป็นท่จี ะเกดิ ผลสาเรจ็ ในการโยนเหรยี ญแตลํ ะคร้ังเทาํ กัน คอื 1

2
การแจกแจงความนาํ จะเปน็ ของตวั แปรสํมุ ในตวั อยํางข๎างต๎น เรียกวํา การแจกแจงทวินาม ซึ่งมบี ทนิยามดงั นี้

หมายเหตุ 1. เรยี ก n และ p วํา พารามิเตอร์ของการแจกแจงทวนิ าม และเขียนสัญลักษณ์
X ~ B(n, p) เพ่อื แสดงวําการแจกแจงความนําจะเปน็ ของตัวแปรสํุม X
เปน็ การแจกแจงทวนิ ามท่มี ี n และ p เปน็ พารามเิ ตอร์

2. การทดลองสมํุ 1 คร้ัง ท่มี ผี ลลัพธ์ที่เป็นไปได๎ 2 แบบ คอื สาเร็จหรอื ไมสํ าเร็จ
เรียกวาํ การลองแบร์นลู ลี (Bernoulli trial) เชํน การโยนเหรียญ 1 เหรียญ

เอกสารประกอบการเรยี นรายวิชาคณติ ศาสตรเ์ พ่มิ เตมิ ค33202 เร่อื ง ตัวแปรสมุ่ และการแจกแจงความนา่ จะเป็ น 22

จากบทนยิ ามขา๎ งต๎น สรุปไดว๎ ํา การแจกแจงทวินามคือการแจกแจงความนําจะเป็นของตัวแปรสมํุ
ไมตํ ํอเน่อื งท่มี ีลักษณะดงั ตํอไปนี้

1. เกดิ จากการทดลองสมํุ จานวน n ครง้ั ท่เี ป็นอสิ ระกนั กลาํ วคอื ผลที่ได๎จากการทดลองสุมํ ในครั้งกอํ น
หนา๎ ไมสํ ํงผลตอํ การทดลองสุมํ ในครงั้ ตอํ ๆ ไป

2. การทดลองสุํมแตํละครง้ั มีผลลัพธ์ทเี่ ป็นไปได๎เพียง 2 แบบ คือ สาเร็จหรอื ไมสํ าเร็จ
3. ความนาํ จะเปน็ ทจ่ี ะเกดิ ผลสาเร็จในการทดลองสํมุ แตํละคร้ังเทํากนั ใหเ๎ ป็น p เมือ่ 0 < p <1 และจะ
ได๎วําความนําจะเป็นที่จะไมํเกดิ ผลสาเร็จในการทดลองสุํมแตลํ ะคร้ังเปน็ 1 – p
ทฤษฎบี ทตอํ ไปน้ีใชใ๎ นการหาความนําจะเป็น คาํ คาดหมาย และสํวนเบีย่ งเบนมาตรฐานของตวั แปรสํุมทม่ี ี
การแจกแจงความนาํ จะเป็นเป็นการแจกแจงทวินาม โดยในทน่ี ้ีจะขอละการพิสจู น์

เอกสารประกอบการเรยี นรายวิชาคณติ ศาสตร์เพ่มิ เตมิ ค33202 เร่อื ง ตัวแปรสมุ่ และการแจกแจงความนา่ จะเป็ น 23
ตวั อย่างท่ี 1 ให๎ตวั แปรสุํม X คือจานวนคร้งั ที่ลกู เต๋าขึ้นแต๎ม 5 จากการทอดลกู เต๋าท่เี ที่ยงตรง 1 ลกู 7 คร้งั

1) จงพิจารณาวําการแจกแจงความนาํ จะเป็นของตัวแปรสมํุ X เป็นการแจกแจงทวินามหรอื ไมํ

2) จงหาความนําจะเปน็ ทลี่ กู เตา๋ ข้นึ แตม๎ 5 เปน็ จานวน 5 ครั้ง

เอกสารประกอบการเรียนรายวชิ าคณติ ศาสตร์เพิม่ เตมิ ค33202 เร่อื ง ตัวแปรสมุ่ และการแจกแจงความนา่ จะเป็ น 24
3) จงเขียนแสดงการแจกแจงความนาํ จะเป็นของตัวแปรสํมุ X ในรูปตารางและกราฟ

4) จงหาคาํ คาดหมายและความแปรปรวนของตัวแปรสมํุ X

เอกสารประกอบการเรยี นรายวิชาคณติ ศาสตรเ์ พิม่ เตมิ ค33202 เร่อื ง ตวั แปรสมุ่ และการแจกแจงความน่าจะเป็ น 25
ตวั อยา่ งท่ี 2 ในการรักษาโรคมะเรง็ ดว๎ ยสมนุ ไพรท่ีคิดคน๎ ข้นึ มาใหมํ พบวาํ เมอ่ื ผู๎ป่วยรับประทานสมุนไพรชนดิ น้ี
ตอํ เน่ืองกนั ไปตามแพทย์สง่ั ในชํวงระยะเวลาหนึง่ ความนําจะเป็นทีผ่ ปู๎ ่วยแตํละคนจะหายจากโรคมะเรง็ เปน็ 0.5
ถ๎านกั วจิ ยั สุมํ ผู๎ป่วยโรคมะเรง็ ที่มารับการรักษาด๎วยสมุนไพรน้จี านวน 6 คน

1) จงหาความนําจะเปน็ ท่จี ะมผี ๎ปู ่วยหายจากโรคมะเรง็ อยาํ งน๎อย 3 คน

2) จงหาคําคาดหมายและสวํ นเบย่ี งเบนมาตรฐานของจานวนผป๎ู ว่ ยทีห่ ายจากโรคมะเร็ง พรอ๎ มทัง้ อธิบาย
ความหมาย

เอกสารประกอบการเรยี นรายวชิ าคณติ ศาสตรเ์ พม่ิ เตมิ ค33202 เร่อื ง ตวั แปรสมุ่ และการแจกแจงความนา่ จะเป็ น 26
ตวั อย่างท่ี 3 จากขอ๎ มลู เก่ียวกับคุณภาพของสนิ คา๎ ซึง่ เกบ็ รวบรวมมาในอดีตทาให๎ทราบวํา ความนําจะเป็นท่สี ินค๎า
แตลํ ะช้ินจะชารุดเป็น 0.05 และในกระบวนการตรวจสอบคุณภาพสนิ คา๎ ของโรงงานมีหลักการคอื พนกั งานจะสํุม
สินคา๎ จานวน 5 ชนิ้ จากแตลํ ะกลอํ งเพื่อตรวจสอบคณุ ภาพ ถา๎ ตรวจพบสินคา๎ ชารุดไมํเกนิ 1 ชิน้ สนิ คา๎ กลอํ งนนั้
จะผาํ นการตรวจสอบคุณภาพ

1) จงหาความนําจะเป็นที่สินคา๎ แตลํ ะกลํองทส่ี ํงมาตรวจสอบจะผํานการตรวจสอบคุณภาพ

2) ในการผลิตสนิ ค๎าครัง้ หนึง่ ฝา่ ยผลิตของโรงงานสํงสินค๎ามาให๎พนักงานตรวจสอบคุณภาพ จานวน
100กลอํ ง จะมสี นิ คา๎ ทีผ่ าํ นการตรวจสอบคณุ ภาพกก่ี ลํอง

เอกสารประกอบการเรียนรายวชิ าคณติ ศาสตร์เพมิ่ เติม ค33202 เร่อื ง ตัวแปรสมุ่ และการแจกแจงความน่าจะเป็ น 27

แบบฝกึ หดั ที่ 5 เรื่อง การแจกแจงทวินาม

คาชี้แจง ใหน๎ ักเรยี นเตมิ คาตอบตํอไปนใ้ี ห๎สมบรู ณ์
1. กาหนดให๎ X ~ B(6, 0.3) จงหา

1) P(X=2)
............................................................................................................................. ............
.........................................................................................................................................

2) P(X  2)
............................................................................................................................. ............
.........................................................................................................................................
............................................................................................................................. ............

3) P(X  2)
............................................................................................................................. ............
............................................................................................................ .............................
............................................................................................................................. ............
.........................................................................................................................................

4) P(2X5)
............................................................................................................................. ............
............................................................................................................................. ............
.........................................................................................................................................
............................................................................................................................. ............
.........................................................................................................................................

2. ในการโยนเหรียญที่ไมเํ ท่ียงตรงเหรียญหน่ึง พบวํา ความนาํ จะเป็นทเี่ หรียญขน้ึ กอ๎ ยในการโยนเหรยี ญแตลํ ะคร้งั
เทาํ กับ 0.6 ใหต๎ ัวแปรสุํม X คอื จานวนคร้ังทีเ่ หรยี ญขนึ้ หวั จากการโยนเหรียญน้ี 6 ครงั้

1) คาํ ของตัวแปรสํมุ X คอื ..........................................................................................................
2) จงพิจารณาวําการแจกแจงความนําจะเป็นของตัวแปรสุมํ X เปน็ การแจกแจงทวนิ ามหรือไมํ
พรอ๎ มทงั้ ใหเ๎ หตุผลประกอบ
............................................................................................................................. ............
.........................................................................................................................................
............................................................................................................................. ............

เอกสารประกอบการเรยี นรายวชิ าคณติ ศาสตรเ์ พิม่ เตมิ ค33202 เร่อื ง ตวั แปรสมุ่ และการแจกแจงความนา่ จะเป็ น 28

3) จงหาความนําจะเปน็ ทเี่ หรยี ญข้นึ หัวน๎อยกวํา 3 คร้งั
.........................................................................................................................................
............................................................................................................................. ............
............................................................................................................................. ............
.........................................................................................................................................

4) โดยเฉลยี่ แล๎วเหรียญจะข้ึนหัวกค่ี รั้ง
............................................................................................................................. ............
.........................................................................................................................................

5) จงหาความแปรปรวนและสํวนเบ่ยี งเบนมาตรฐานของตวั แปรสุํม X
.........................................................................................................................................
............................................................................................................................. ............
.........................................................................................................................................
............................................................................................................................. ............
3. ให๎ตวั แปรสํุม Y คือจานวนคร้งั ท่ีได๎แต๎มเปน็ จานวนคํู จากการทอดลกู เต๋าทเ่ี ท่ยี งตรง 1 ลกู 8 ครั้ง

1) จงพิจารณาวําการแจกแจงความนาํ จะเป็นของตัวแปรสํมุ Y เป็นการแจกแจงทวนิ ามหรอื ไมํ พร๎อมท้ัง
ให๎เหตุผลประกอบ

............................................................................................................................. ............
.........................................................................................................................................
............................................................................................................................. ............
.........................................................................................................................................
............................................................................................................................. ............
.........................................................................................................................................

2) จงหาความนาํ จะเปน็ ท่ไี ด๎แต๎มเปน็ จานวนคํู 5 ครงั้
.........................................................................................................................................
............................................................................................................................. ............
.........................................................................................................................................

3) จงหาความนําจะเปน็ ที่ได๎แต๎มเปน็ จานวนคูนํ อ๎ ยกวํา 8 ครงั้
............................................................................................... ..........................................
............................................................................................................................. ............
.........................................................................................................................................

เอกสารประกอบการเรียนรายวชิ าคณติ ศาสตรเ์ พิ่มเตมิ ค33202 เร่อื ง ตวั แปรสมุ่ และการแจกแจงความนา่ จะเป็ น 29

4) จงหาคําคาดหมายและความแปรปรวนของตัวแปรสุํม Y
............................................................................................................................. ............
.........................................................................................................................................

4. ความนาํ จะเป็นที่โสภิตาจะซ้ือชานมไขมํ กุ ในแตลํ ะวนั เทํากบั 9 จงหาความนําจะเป็นท่ีโสภติ าจะซือ้

ชานมไขมํ กุ ไมเํ กิน 2 วัน ในหนง่ึ สัปดาห์ 10

5. ในการแขงํ ขนั ตอบโจทยป์ ัญหาทางวิชาการของโรงเรียนแหํงหน่ึงมผี ูเ๎ ข๎ารวํ มการแขํงขันจานวน 6 คน ทาการ
แขงํ ชนั ทั้งหมด 5 ครง้ั ถ๎าภคั นนิ ทร์เป็นหน่ึงในผู๎เขา๎ แขํงชนั และความนาํ จะเปน็ ท่ีภัคนินทรจ์ ะชนะการแขํงขัน
ในแตํละครั้งเทาํ กนั โดยเทาํ กับ 0.3 จงหาความนาจะเป็นท่ภี คั นินทรจ์ ะชนะการแขํงขันอยํางนอ๎ ย 1 คร้ัง

เอกสารประกอบการเรยี นรายวชิ าคณติ ศาสตรเ์ พม่ิ เตมิ ค33202 เร่อื ง ตวั แปรสมุ่ และการแจกแจงความนา่ จะเป็ น 30

6. จากขอ๎ มูลเกี่ยวกับปญั หาทีเ่ กดิ ข้ึนในกระบวนการผลติ แผงวงจรไฟฟา้ ของโรงงานผลิตอุปกรณ์อเิ ล็กทรอนิกส์

แหงํ หนึ่ง พบวาํ แผงวงจรไฟฟา้ ที่ชารุดแตํละแผนํ เกิดจากสาเหตุใดสาเหตหุ นึ่งดว๎ ยความนาํ จะเปน็ ดงั ตอํ ไปน้ี

สาเหตุ ความนา่ จะเปน็

โลหะบัดกรเี ปน็ รู 0.4

อุปกรณ์เชอื่ มไมตํ ิด 0.3

อปุ กรณ์แตกร๎าว 0.2

อ่ืน ๆ 0.1

ถา๎ พนกั งานสมุํ แผงวงจรไฟฟ้าทีช่ ารุดจานวน 3 แผนํ จงหา

1) ความนาํ จะเปน็ ทแี่ ผงวงจรไฟฟา้ ท้ังสามแผนํ ชารดุ เนื่องจากโลหะบัดกรีเปน็ รู

2) ความนาํ จะเปน็ ทีม่ แี ผงวงจรไฟฟ้า 2 แผนํ ชารุดเนอ่ื งจากอปุ กรณเ์ ชือ่ มไมํติด

3) คําคาดหมายและสวํ นเบ่ียงเบนมาตรฐานของจานวนแผงวงจรไฟฟา้ ทช่ี ารุดเนอ่ื งจากอปุ กรณ์แตกรา๎ ว

เอกสารประกอบการเรยี นรายวชิ าคณติ ศาสตรเ์ พม่ิ เติม ค33202 เร่อื ง ตัวแปรสมุ่ และการแจกแจงความน่าจะเป็ น 31
7. จากขอ๎ มลู ของศูนย์ควบคมุ และส่งั การจราจร พบวาํ ความนําจะเป็นทร่ี ถยนตแ์ ตลํ ะคนั จะเปลี่ยนชอํ ทางเดนิ รถ
ในพ้ืนท่ีห๎าม (เสน๎ ทึบ) บรเิ วณสแี่ ยกไฟแดงแหงํ หนึ่งเปน็ 0.75 ถา๎ สมุ รถยนต์ทว่ี งิ่ ผํานป้อมควบคมุ สญั ญาณไฟจราจร
บริเวณส่ีแยกนี้มา 9 คัน จงหา

1) ความนาํ จะเปน็ ที่จะพบรถยนตเ์ ปล่ียนชอํ งทางเดินรถในพน้ื ทหี่ ๎าม (เสน๎ ทบึ ) 4 คนั

2) ความนําจะเป็นทจี่ ะพบรถยนตเ์ ปลีย่ นชอํ งทางเดนิ รถในพืน้ ท่หี ๎าม (เส๎นทบึ ) ไมเํ กนิ 3 คนั

3) ความนําจะเปน็ ท่จี ะพบรถยนต์เปล่ยี นชํองทางเดินรถในพน้ื ท่หี ๎าม (เสน๎ ทบึ ) มากกวาํ 6 คัน

4) คาํ คาดหมายและสวํ นเบีย่ งเบนมาตรฐานของจานวนรถยนต์ท่เี ปลยี่ นชํองทางเดินรถในพื้นทีห่ า๎ ม
(เสน๎ ทึบ)

เอกสารประกอบการเรียนรายวิชาคณติ ศาสตรเ์ พ่ิมเติม ค33202 เร่อื ง ตัวแปรสมุ่ และการแจกแจงความนา่ จะเป็ น 32

8. สาเหตุหนง่ึ ของภาวะคอเลสเตอรอลสูงเกิดจากมวิ เทชันของยนื LDLR (low-density lipoprotein receptor)
ทเ่ี กี่ยวขอ๎ งกับการสรา๎ งตัวรบั LDL ทบี่ ริเวณเยอ่ื ห๎ุมเซลล์ ซ่ึงสํงผลตอํ ระดับคอเลสเตอรอลในเลือด ดังรายละเอียด
ตํอไปน้ี

บคุ คลทม่ี ีจโี นไทป์ LHLH สามารถสร๎างตวั รบั LDL ได๎
บุคคลท่ีมีจีโนไทป์ LHLh สามารถสรา๎ งตัวรับ LDL ไดใ๎ นปริมาณน๎อย สงํ ผลให๎มีโอกาสมรี ะดบั
คอเลสเตอรอลในเลือดคอํ นขา๎ งสูง
บคุ คลทมี่ จี โี นไทป์ LhLh ไมสํ ามารถสรา๎ งตัวรบั LDL ได๎ สงํ ผลให๎มรี ะดบั คอเลสเตอรอลในเลือด
สงู มาก และมโี อกาสเป็นโรคหัวใจตั้งแตอํ ายยุ งั น๎อยได๎
สาหรับพํอและแมํท่มี จี ีโนไทป์ LHLh ความนําจะเปน็ ทล่ี กู แตํละคนจะมีจิโนไทป์ LHLH และ LHLh คือ 1

4
และ 1 ตามลาดับ ถ๎าสามีภรรยาคหูํ นึ่งทีม่ ีจีโนไทป์ LHLh ท้งั คํู ตอ๎ งการมบี ุตร 3 คน จงหา

2 1) ความนําจะเปน็ ท่ีบุตรทัง้ 3 คน ไมมํ จี ีโนไทป์ LhLh

2) ความนําจะเปน็ ที่มีบตุ รอยาํ งนอ๎ ย 1 คน มจี ีโนไทป์ LhLh

เอกสารประกอบการเรียนรายวิชาคณติ ศาสตรเ์ พ่มิ เตมิ ค33202 เร่อื ง ตัวแปรสมุ่ และการแจกแจงความนา่ จะเป็ น 33

3. การแจกแจงความน่าจะเปน็ ของตวั แปรสมุ่ ต่อเนื่อง

ในกรณีทีต่ ัวแปรสํุมทสี่ นใจเป็นตวั แปรสมํุ ตํอเนอื่ ง เชํน ระยะเวลาทลี่ ูกคา๎ ใชบ๎ ริการในหา๎ งสรรพสนิ คา๎
แหํงหน่งึ น้าหนักของผป๎ู ว่ ยทเี่ ข๎ารับการรักษาที่โรงพยาบาลแหงํ หน่งึ เน่อื งจากตวั แปรสุํมตอํ เน่ืองมเี ซตของคาํ ท่ี
เป็นไปไดท๎ ้ังหมดเปน็ ชํวงซง่ึ เป็นสับเซตของ ซึง่ มีสมาชกิ เป็นจานวนอนนั ต์ จึงไมเํ หมาะกับการเขียนแสดงการแจก
แจงความนําจะเป็นในรูปตาราง แตํจะใช๎ เส้นโคง้ ความหนาแนน่ (density curve) ในการเขียนแสดงการแจก
แจงความนาํ จะเปน็ โดยความนาํ จะเป็นทต่ี ัวแปรสํุมจะมีคาํ อยใูํ นชวํ งใดชํวงหนึ่งจะเทาํ กับพ้นื ทีท่ ่ีปิดล๎อมด๎วยเส๎น
โคง๎ ความหนาแนนํ กบั แกน X ในชํวงนัน้ จะเรยี กพนื้ ทบี่ รเิ วณดงั กลําววํา พนื้ ที่ใตเ้ สน้ โคง้ ความหนาแน่นเส๎นโคง๎
ความหนาแนํนเปน็ กราฟของฟังก์ชนั y = f(x) โดยท่ี x แทนคําท่ีเป็นไปไดข๎ องตัวแปรสํมุ จะเรียกฟังกช์ นั นี้วํา
ฟังกช์ ันความหนาแนน่ ความนา่ จะเป็น (probability density function)

หมายเหตุ f(x) เป็นฟงั ก์ชันความหนาแนํนความนาํ จะเปน็ ของตวั แปรสุํม X กต็ ํอเมอื่
1. f(x) 20 สาหรับทุก x ทเ่ี ป็นคําทเี่ ปน็ ไปได๎ของตวั แปรสํมุ X
2. พื้นทใ่ี ตเ๎ สน๎ โค๎งความหนาแนํนทง้ั หมดจะเทํากับ 1

พิจารณาเส๎นโคง๎ ความหนาแนนํ ของตวั แปรสํมุ X ดงั รปู

จากรูป สามารถหาความนําจะเป็นท่ตี วั แปรสมํุ จะมีคาํ อยูํในชํวงที่สนใจได๎จากการหาพน้ื ท่ใี ต๎เส๎นโค๎ง
y = f (x) ในชวํ งดงั กลําว เชํน ความนาํ จะเป็นทต่ี ัวแปรสํุม X มีคํามากกวํา 1 แตนํ อ๎ ยกวาํ 3 จะเทํากบั

3

พืน้ ท่ีสวํ นท่แี รงา นน่ั คือ P(1 X  3) = f(x)dx

1

เอกสารประกอบการเรยี นรายวชิ าคณติ ศาสตรเ์ พิ่มเตมิ ค33202 เร่อื ง ตัวแปรสมุ่ และการแจกแจงความนา่ จะเป็ น 34

ดังนน้ั ถ๎าทราบฟงั ก์ชันความหนาแนํนความนําจะเป็น แลว๎ จะสามารถหาความนาํ จะเปน็ ที่ตวั แปรสุมํ จะมี
คําอยใํู นชํวงใดชํวงหนึ่งไดโ๎ ดยการหาปรพิ นั ธจ์ ากดั เขตของฟงั ก็ชนั ในชวํ งดังกลาํ ว

ถ๎าให๎ X เปน็ ตัวแปรสมุํ ตํอเนือ่ ง และ a เป็นคาํ ทีเ่ ปน็ ไปไดข๎ อง X จะไดว๎ ํา P(X =a) =0 เนอื่ งจากพ้ืนท่ี
ใตเ๎ สน๎ โคง๎ ความหนาแนนํ จาก a ถึง a เทาํ กับศนู ย์ ดงั น้นั สาหรบั ตวั แปรสํมุ ตอํ เนอ่ื ง จะไมํพิจารณาความนาํ จะเปน็
ของการเกิดคาํ ของตวั แปรสํมุ คําใดคาํ หนึง่ แตํจะสนใจเฉพาะความนําจะเปน็ ท่ีตัวแปรสุํมจะมคี าํ อยํูในชํวงใด
ชํวงหน่งึ โดยความนาํ จะเปน็ ท่ตี วั แปรสํมุ จะมคี ําอยํูในชวํ งปิด [a, b] จะเทาํ กับความนาํ จะเปน็ ท่ีตัวแปรสมุํ จะมีคํา
อยูใํ นชํวงเปดิ (a, b) น่ันคอื P(aX b) = P(aXb) เมอ่ื a และ b เป็นคําทเี่ ปน็ ไปไดข๎ องตัวแปรสํุม X
ในทานองเดียวกนั จะไดว๎ าํ P(X  a) = P(X a) และ P(X  a)=P(X  a) เมอ่ื a เป็นคาํ ทีเ่ ปน็ ไปไดข๎ องตวั แปร
สมํุ X

3.1 การแจกแจงปกติ

เส๎นโคง๎ ความหนาแนํนที่พบบํอยมกั มลี ักษณะสมมาตรคล๎ายรปู ระฆัง เชํน ถา๎ ให๎ตวั แปรสุํมคือ ระยะเวลา
ที่นักเรยี นใช๎ในห๎องสมุดในแตํละวัน ซึ่งอาจมคี ําเปน็ คาํ ใดก็ได๎ในชวํ ง 0 ถงึ 8 ชั่วโมง จะได๎วําตัวแปรสุํมนเี้ ป็น
ตัวแปรสมุํ ตอํ เนอ่ื ง นอกจากนีม้ กั พบวาํ จานวนนักเรยี นท่ีใช๎เวลาในหอ๎ งสมดุ นอ๎ ยกวาํ 1 ชวั่ โมง มีน๎อยมาก และ
จานวนนักเรยี นทใ่ี ชเ๎ วลาในหอ๎ งสมดุ มากกวํา 7 ชว่ั โมง ก็มนี อ๎ ยมาก สวํ นใหญแํ ลว๎ นกั เรยี นจะใช๎เวลาใหอ๎ งสมดุ
ประมาณ 3 - 5 ชัว่ โมง ดงั นั้น เมอ่ื เขียนแสดงการแจกแจงความนําจะเป็นของตวั แปรสุํมด๎วยเสน๎ โคง๎
ความหนาแนนํ จะไดเ๎ ส๎นโคง๎ ทโ่ี ดงํ กลางแลว๎ ลาดลงทั้งสองด๎าน ดังรูป

การแจกแจงความนาํ จะเปน็ ของตัวแปรสมํุ ทมี่ ลี กั ษณะเชนํ น้ีเรยี กวํา การแจกแจงปกติ ซึ่งมีบทนยิ ามดงั นี้

เอกสารประกอบการเรียนรายวชิ าคณติ ศาสตร์เพ่ิมเตมิ ค33202 เร่อื ง ตัวแปรสมุ่ และการแจกแจงความนา่ จะเป็ น 35

การแจกแจงปกตเิ ปน็ การแจกแจงความนําจะเป็นของตวั แปสุํมตอํ เนอ่ื งท่ีมีความสาคัญและใช๎มาก
ในสถิติศาสตร์ เน่อื งจากเปน็ การแจกแจงทม่ี คี วามใกลเ๎ คียงกบั ข๎อมูลท่เี กิดตามธรรมชาติหรือที่มนุษยส์ ร๎างข้นึ
เชํน ความสูงของประชากรไทย คะแนนสอบ O-NET วชิ าคณติ ศาสตร์ของนักเรยี นชั้นมธั ยมศกึ ษาปที ี่ 6 ปี
การศึกษา 2562 อายุการใช๎งานของสินคา๎ ท่ีผลติ จากโรงงานแหํงหนึง่

ถ๎าการแจกแจงความนําจะเปน็ ของตัวแปรสมํุ X เปน็ การแจกแจงปกติ แล๎วเม่ือเขียนกราฟของฟงั กช์ นั
ความหนาแนนํ ความนําจะเป็นสาหรบั ตวั แปรสุมํ X จะได๎ เสน๎ โคง๎ ปกติ (normal curve) ซง่ึ เปน็ เส๎นโค๎งรูประฆัง
ท่มี ีสมบัตดิ ังตํอไปน้ี

1. เสน๎ โคง๎ มเี สน๎ ตั้งฉากกับแกน X ที่ลากผาํ นคาํ เฉล่ียเป็นแกนสมมาตร ทาให๎พ้ืนท่ีใตเ๎ สน๎ โคง๎ ทางดา๎ นซ๎าย
ของคําเฉลยี่ เทํากบั พ้นื ทใี่ ตเ๎ สน๎ โค๎งทางดา๎ นขวาของคําเฉล่ยี

2. ปลายเส๎นโคง๎ ทงั้ สองด๎านเขา๎ ใกลแ๎ กน X แตจํ ะไมํตดั แกน X หรอื กลําวได๎วาํ แกน X เปน็ เสน๎ กากับ
แนวนอน

3. คาํ เฉลี่ยและสํวนเบีย่ งเบนมาตรฐาน (หรอื ความแปรปรวน) จะเปน็ ตวั กาหนดลกั ษณะเฉพาะ
ของเส๎นโคง๎ วํามแี กนสมมาตรอยูํทีใ่ ด และมกี ารกระจายจากคําเฉลีย่ มากน๎อยเพียงใด

เอกสารประกอบการเรียนรายวชิ าคณติ ศาสตรเ์ พิม่ เติม ค33202 เร่อื ง ตัวแปรสมุ่ และการแจกแจงความนา่ จะเป็ น 36
ตวั อยํางเชนํ เส๎นโค๎งปกติท่มี คี ําเฉลยี่ แ และสํวนเบี่ยงเบนมาตรฐาน - สามารถเขยี นไดด๎ ังรปู

ถา๎ คาํ เฉลี่ยหรอื สํวนเบยี่ งเบนมาตรฐานคําใดคําหนงึ่ หรอื ทัง้ สองคําเปลี่ยนแปลงไป เส๎นโค๎งปกตจิ ะ
เปลยี่ นแปลงตามไปดว๎ ย แตยํ งั คงเป็นเสน๎ โคง๎ รปู ระฆงั ดังตวั อยํางตํอไปน้ี

เม่ือคาํ เฉล่ยี แตกตํางกนั แตํสวํ นเบยี่ งเบนมาตรฐานเทํากัน

เมอ่ื สวํ นเบีย่ งเบนมาตรฐานแตกตาํ งกัน แตคํ าํ เฉลย่ี เทาํ กัน

ถา๎ ตัวแปรสมุํ X มกี ารแจกแจงปกติ โดยที่  แทนคําเฉลี่ย และ 2 แทนความแปรปรวน จะเรียก

เอกสารประกอบการเรียนรายวิชาคณติ ศาสตร์เพมิ่ เติม ค33202 เร่อื ง ตัวแปรสมุ่ และการแจกแจงความนา่ จะเป็ น 37

ตวั แปรสมํุ X วาํ ตัวแปรสมุ่ ปกติ เรียก  และ 2 วํา พารามเิ ตอร์ของการแจกแจงปกติและ
เขียนสัญลักษณ์ X ~ N (, 2 ) เพื่อแสดงวาํ การแจกแจงความนาํ จะเป็นของตัวแปรสมํุ X เป็นการแจกแจงปกติ
ท่ีมี  และ 2 เป็นพารามิเตอร์

จากทีก่ ลําวมาแล๎ววาํ สามารถหาความนาํ จะเป็นทีต่ ัวแปรสุํมจะมีคาํ อยใูํ นชวํ งท่สี นใจไดจ๎ ากการหา
พื้นทีใ่ ตเ๎ ส๎นโค๎งความหนาแนนํ ในชวํ งนั้น ซึ่งเทาํ กับปริพนั ธ์จากัดเขตของฟังกช์ ันความหนาแนํนความนาํ จะเป็น
ในชวํ งดังกลําว โดยจะตอ๎ งใชว๎ ิธีการของแคลคลู ัสซ่งึ คํอนขา๎ งยุํงยาก ในทางปฏิบตั ิจึงหาพน้ื ทใี่ ต๎เสน๎ โคง๎ ปกตโิ ดยใช๎
ตารางแสดงพ้นื ทใี่ ต๎เส๎นโคง๎ ปกตแิ ตเํ น่ืองจากเป็นไปไมํไดท๎ ี่จะสร๎างตารางหลาย ๆ ตารางมาแสดงพืน้ ท่ี
ใต๎เสน๎ โค๎งปกติซึ่งมีคําเฉลี่ยและสํวนเบ่ียงเบนมาตรฐานตาํ งกัน ดงั นั้นจะใช๎วิธีการแปลงการแจกแจงปกติ
ของตัวแปรสมุํ ใหเ๎ ป็นการแจกแจงปกติมาตรฐาน ซึ่งจะกลําวถงึ ในหัวขอ๎ ตอํ ไป

3.2 การแจกแจงปกติมาตรฐาน

เอกสารประกอบการเรยี นรายวชิ าคณติ ศาสตรเ์ พิ่มเตมิ ค33202 เร่อื ง ตวั แปรสมุ่ และการแจกแจงความนา่ จะเป็ น 38
เรียกตวั แปรสมุํ ทม่ี ีการแจกแจงปกตมิ าตรฐานวาํ ตวั แปรสุ่มปกติมาตรฐาน (standard normal

random variable) สาหรับการหาความนําจะเปน็ ทตี่ ัวแปรสุํมปกติมาตรฐานจะมคี าํ อยํใู นชํวงทส่ี นใจ จะใช๎
ตารางแสดงพ้นื ทใ่ี ต๎เสน๎ โคง๎ ปกติมาตรฐาน (ตารางที่ 1) แทนการหาปริพนั ธจ์ ากัดเขตของฟังก์ชันความหนาแนนํ
ความนําจะเปน็ โดยคําท่ปี รากฏในตารางที่ 1 คอื คําประมาณของพ้ืนที่ใตเ๎ ส๎นโค๎งปกติมาตรฐานจาก - ถงึ z หรือ
ความนําจะเป็นทีต่ วั แปรสมุํ ปกตมิ าตรฐาน Z มคี ํานอ๎ ยกวาํ หรือเทาํ กับ z เขยี นแทนด๎วยสญั ลักษณ์ P(Z  z)

การอํานตารางท่ี 1 ใหเ๎ รมิ่ พจิ ารณาจากแถวที่แสดงคํา z จาก 0.0 ถงึ -3.0 หรือจาก 0.0 ถงึ 3.0 คําของ z
มีคาํ ลดลงหรือเพม่ิ ข้นึ แถวละ 0.1จากนั้นจงึ พิจารณาหลักซงึ่ แสดงทศนิยมตาแหนงํ ท่ี 2 ของคาํ z เชํน ถา๎ ต๎องการ
หา P(Z  -1.54) จะเริ่มพิจารณาจากแถวท่ีแสดงคํา z = -1.5 จากนั้นพจิ ารณาหลกั ทแี่ สดงคํา 0.04 จะไดว๎ ําพืน้ ที่
ใต๎เสน๎ โค๎งปกตมิ าตรฐานจาก - ถงึ .-1.54 หรือ P(Z -1.54) มีคําประมาณ 0.0618
ตัวอยา่ งท่ี 1 ให๎ Z เปน็ ตัวแปรสํมุ ปกติมาตรฐาน จงหา

1) P(Z  2)

2) P(Z > 1.29)

3) P(-1.27  Z  0.45)

เอกสารประกอบการเรยี นรายวชิ าคณติ ศาสตร์เพิม่ เตมิ ค33202 เร่อื ง ตวั แปรสมุ่ และการแจกแจงความนา่ จะเป็ น 39
ในกรณีที่ตัวแปรสุํมมีการแจกแจงปกตแิ ตํไมํใชํการแจกแจงปกติมาตรฐาน จะไมํสามารถใช๎ตารางที่ 1

ในการหาความนาํ จะเป็นได๎ ดงั น้ันจะต๎องแปลงตัวแปรสมํุ ปกตใิ หเ๎ ปน็ ตวั แปรสุํมปกติมาตรฐาน โดยใชท๎ ฤษฎีบท
ตํอไปน้ี

ตวั อยา่ งที่ 2 กาหนดให๎ X ~ N(3.5, 4) จงหา P(2.4 < X < 5.2)

เอกสารประกอบการเรยี นรายวชิ าคณติ ศาสตร์เพ่มิ เตมิ ค33202 เร่อื ง ตัวแปรสมุ่ และการแจกแจงความนา่ จะเป็ น 40

เอกสารประกอบการเรยี นรายวชิ าคณติ ศาสตร์เพ่มิ เตมิ ค33202 เร่อื ง ตัวแปรสมุ่ และการแจกแจงความนา่ จะเป็ น 41

เอกสารประกอบการเรยี นรายวชิ าคณติ ศาสตร์เพ่มิ เตมิ ค33202 เร่อื ง ตัวแปรสมุ่ และการแจกแจงความนา่ จะเป็ น 42

เอกสารประกอบการเรยี นรายวิชาคณติ ศาสตรเ์ พม่ิ เติม ค33202 เร่อื ง ตวั แปรสมุ่ และการแจกแจงความน่าจะเป็ น 43
ตัวอยา่ งที่ 3 ความสงู ของนักเรียนช้นั มัธยมศึกษาปที ่ี 6 ของโรงเรยี นแหงํ หนึง่ มกี ารแจกแจงปกติ โดยมคี าํ เฉล่ยี
และสํวนเบี่ยงเบนมาตรฐานเทาํ กับ 160 และ 5 เซนตเิ มตร ตามลาดบั ถา๎ สํุมนกั เรียนชัน้ มธั ยมศึกษาปที ่ี 6
จานวน 1 คนจากโรงเรยี นนี้ จงหาความนําจะเป็นทนี่ ักเรียนที่สุํมไดจ๎ ะมคี วามสูง

1) ระหวําง 150 และ 170 เชนตเิ มตร

2) มากกวํา 162 เซนตเิ มตร

เอกสารประกอบการเรยี นรายวชิ าคณติ ศาสตร์เพ่ิมเตมิ ค33202 เร่อื ง ตวั แปรสมุ่ และการแจกแจงความนา่ จะเป็ น 44

เปอร์เซน็ ไทล์ของตัวแปรส่มุ ต่อเนื่อง

นักเรยี นทราบแล๎ววาํ เปอร์เซน็ ไทล์เปน็ คาํ วัดตาแหนํงที่ของขอ๎ มลู เชงิ ปริมาณโดยแบงํ ข๎อมูลท่ีเรียงจากน๎อย
ไปมากออกเป็น 100 สวํ น เทํา ๆ กนั สาหรบั ตวั แปรสมํุ ตอํ เนอ่ื ง X เนอื่ งจากพ้นื ท่ีใตเ๎ ส๎นโค๎งความหนาแนํนทง้ั หมด
เทํากบั 1 หรอื คดิ เปน็ 100% ดงั น้นั ถ๎า x เปน็ คาํ ท่ีเป็นไปได๎ของตวั แปรสํุม X จะได๎วําข๎อมูลท่มี คี ําน๎อยกวาํ x
มจี านวน P(X <x).100%น่นั คือ ถา๎ P( X <x)100% เปน็ จานวนเต็มที่อยูรํ ะหวําง 0 และ 100 จะได๎วาํ
เปอรเ์ ซน็ ไทล์ ที่ P(X<x)100 เทาํ กับ x

ตวั อยาํ งเชนํ ถ๎า Z เป็นตัวแปรสุํมปกติมาตรฐาน เนื่องจาก P(Z <0) = 0.5 ดังน้ัน 0 คือเปอร์เซน็ ไทล์
ท่ี P(Z <0)100 = (0.5)(100) = 50 หรอื กลาํ วไดว๎ ําข๎อมลู ทมี่ ีคาํ นอ๎ ยกวํา 0 มจี านวน 50% ของขอ๎ มูลทั้งหมด
โดยเมือ่ พจิ ารณาจากรูปตํอไปนจี้ ะเห็นวําบรเิ วณทแ่ี รเงามีพืน้ ท่เี ปน็ ครึ่งหนงึ่ ของพน้ื ท่ีใต๎เส๎นโคง๎ ปกติมาตรฐาน
ทง้ั หมด

ตัวอยา่ งท่ี 4 อายุการใช๎งานของถาํ นไฟฉายชนดิ หนง่ึ มีการแจกแจงปกติ โดยคําเฉลี่ยและสํวนเบ่ยี งเบน
มาตรฐานเทาํ กบั 756 และ 35 นาที ตามลาดบั จงหาวํา
1) ถาํ นไฟฉายท่มี อี ายกุ ารใช๎งานน๎อยกวํา 791 นาที มีก่ีเปอรเ์ ซ็นต์ของถํานไฟฉายทงั้ หมด

เอกสารประกอบการเรยี นรายวชิ าคณติ ศาสตร์เพิม่ เตมิ ค33202 เร่อื ง ตัวแปรสมุ่ และการแจกแจงความน่าจะเป็ น 45

2) ถํานไฟฉายทีม่ ีอายกุ ารใชง๎ านมากกวาํ หรอื เทาํ กับเปอรเ์ ซน็ ไทลท์ ี่ 95 สามารถใชง๎ านได๎อยาํ งนอ๎ ย
กี่นาที เมอื่ กาหนดให๎ P(Z <1.645) = 0.95

เอกสารประกอบการเรียนรายวิชาคณติ ศาสตรเ์ พิ่มเตมิ ค33202 เร่อื ง ตวั แปรสมุ่ และการแจกแจงความน่าจะเป็ น 46

การเปรยี บเทียบตาแหนง่ ของขอ้ มูลโดยใช้ค่าของตัวแปรส่มุ ปกติมาตรฐาน

การแปลงตัวแปรสมํุ ปกตใิ ห๎เปน็ ตัวแปรสุมํ ปกติมาตรฐาน นอกจากจะมปี ระโยชนใ์ นการหาความนาํ จะเปน็
โดยใชต๎ ารางแล๎ว ยังสามารถนาคาํ ของตวั แปรสุมํ ปกติมาตรฐานทีแ่ ปลงไดไ๎ ปใช๎ในการเปรียบเทียบข๎อมลู ต้ังแตสํ อง
ชุดขึน้ ไปวํามีความแตกตํางกนั หรือไมํเพียงใด เนือ่ งจากคําเฉลยี่ และสํวนเยยี่ งเบนมาตรฐานของขอ๎ มูลแตํละชุด
มักจะไมํเทํากัน บางครั้งจงึ ไมสํ ามารถนาขอ๎ มลู แตํละชดุ มาเปรียบเทยี บโดยตรงได๎ เชนํ ในการเปรียบเทยี บผลการ
เรียนวิชาคณติ ศาสตรแ์ ละวชิ าภาษาอังกฤษของนกั เรียนคนหนึ่งวาํ เรยี นวิชาใดไดด๎ ีกวํากัน โดยสมมติวาํ คะแนน
สอบท้งั สองวชิ าของนักเรยี นในชัน้ เรียนน้มี กี ารแจกแจงปกติ ถา๎ พจิ ารณาจากคะแนนสอบทง้ั สองวชิ าโดยปรับให๎มี
คะแนนเตม็ เทํากนั กไ็ มํอาจสรปุ ไดว๎ าํ นักเรยี นคนน้ีเรยี นวิชาใดได๎ดีกวาํ เนื่องจากคะแนนสอบแตํละวิชาไมํได๎ข้ึนอยูํ
กบั ความรคู๎ วามสามารถในวชิ านน้ั ๆของนักเรียนเพยี งอยาํ งเดียว แตยํ งั ข้นึ อยูํกับความยากงํายของขอ๎ สอบหรือ
วธิ ีการใหค๎ ะแนนของผส๎ู อนแตลํ ะวิชา ทาให๎คาํ เฉล่ยี หรือสํวนเบ่ียงเบนมาตรฐานของคะแนนสอบทง้ั สองวิชาของ
นกั เรียนท้งั หมดในชนั้ อาจไมํเทํากัน ดงั น้ัน เมือ่ ตอ๎ งการเปรยี บเทียบผลการเรยี นท้ังสองวชิ า จึงจาเป็นต๎องแปลง
คะแนนสอบทงั้ สองวิชาใหเ๎ ปน็ ตวั แปรสุํมปกติมาตรฐาน ซึง่ จะทาใหค๎ ําเฉล่ยี และสํวนเบีย่ งเบนมาตรฐานของ
คะแนนสอบทง้ั สองวิชาเทํากนั แล๎วจงึ เปรียบเทียบจากคําของตัวแปรสุมํ ปกตมิ าตรฐานของทง้ั สองวชิ า
ดังตวั อยํางตอํ ไปนี้

ตวั อย่างที่ 5 พิมพช์ นกสอบวชิ าคณิตศาสตรแ์ ละวิชาภาษาอังกฤษซง่ึ มีคะแนนเต็ม 100 คะแนนเทํากนั
ได๎ 75 และ 72 คะแนน ตามลาดับ ถา๎ คะแนนสอบทงั้ สองวิชาของนกั เรยี นห๎องนม้ี กี ารแจกแจงปกติ โดยคาํ เฉลยี่
และสํวนเบี่ยงเบนมาตรฐานของคะแนนสอบวชิ าคณิตศาสตร์ของนักเรียนหอ๎ งน้ีเทํากับ 73 และ 16 คะแนน
ตามลาดบั และคําเฉล่ยี และสวํ นเบีย่ งเบนมาตรฐานของคะแนนสอบวชิ าภาษาองั กฤษของนักเรียนหอ๎ งนเี้ ทาํ กับ 70
และ 10 คะแนน ตามลาดับจงพจิ ารณาวําพมิ พ์ชนกเรียนวิชาใดไดด๎ ีกวาํ กนั

เอกสารประกอบการเรียนรายวิชาคณติ ศาสตรเ์ พ่มิ เตมิ ค33202 เร่อื ง ตวั แปรสมุ่ และการแจกแจงความนา่ จะเป็ น 47

ตัวอยา่ งท่ี 6 นิพนธเ์ ปน็ นักเรียนหอ๎ งเดยี วกันและเข๎าสอบวชิ าฟสิ ิกส์ด๎วยกนั นิตไิ ดค๎ ะ 55 คะแนน ซงึ่ ปรบั เปน็
คําของตัวแปรสมํุ ปกตมิ าตรฐานได๎เป็น -0.8 สวํ นนิพนธไ์ ด๎คะแนนสอบ 72 คะแนน ซงึ่ ปรบั เป็นคําของตวั แปรสํมุ
ปกติมาตรฐานได๎เป็น 1.4 ถา๎ คะแนนสอบวชิ าฟิสิกสข์ องนกั เรียนหอ๎ งน้ีมีการแจกแจงปกติ จงหาคําเฉลี่ยและ
สํวนเบย่ี งเบนมาตรฐานของคะแนนสอบวชิ าฟสิ กิ สข์ องนักเรยี นห๎องนี้

เอกสารประกอบการเรยี นรายวชิ าคณติ ศาสตรเ์ พิ่มเติม ค33202 เร่อื ง ตัวแปรสมุ่ และการแจกแจงความนา่ จะเป็ น 48
แบบฝกึ หัดที่ 6 เรอ่ื ง การแจกแจงความนา่ จะเปน็ ของตัวแปรสุม่ ต่อเน่ือง

คาชีแ้ จง ให๎นกั เรยี นเติมคาตอบตอํ ไปน้ใี ห๎สมบูรณ์
1. ให๎ Z เป็นตวั แปรสมํุ ปกติมาตรฐาน จงหา

1) P(Z -1.34)

2) P(Z >2.18)

3) P(-2.45 Z 1.68)

4) P(0.91 Z 2.26)

เอกสารประกอบการเรยี นรายวิชาคณติ ศาสตรเ์ พิม่ เติม ค33202 เร่อื ง ตวั แปรสมุ่ และการแจกแจงความน่าจะเป็ น 49
2. ข๎อมูลชุดหน่ึงมีการแจกแจงปกติ โดยมีคาํ เฉลยี่ และสวํ นเบี่ยงเบนมาตรฐานเทํากับ 10 และ 2 ตามลาดับ จงหา
คําของตวั แปรสุํมปกติมาตรฐานของขอ๎ มูลตํอไปนี้

1) 11
............................................................................................................................. ............
..................................................................................................... ....................................

2) 12

............................................................................................................................. ............
3) 14.2
............................................................................................................................. ............
.........................................................................................................................................
3. กาหนดให๎ X ~ N(20,100) จงหา
1) P(X<48.9)

2) P(X>12.9)

3) P(18.5 X 37.4)