แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ ชุดพหุนามน่ารู้ เล่มที่ 2 การบวกและการลบพหุนาม

กแบบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์ ชุดพหนุ ามนา่ รู้ โดยใช้การเรียนรู้แบบร่วมมือเทคนิค STAD
เลม่ ท่ี 2 เร่อื ง การบวกและการลบพหุนาม

คำนำ

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ ชุดพหุนามนา่ รู้ โดยใช้การเรียนรู้แบบร่วมมือเทคนคิ STAD สำหรับนักเรียน
ระดับชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 จัดทำขึ้นเพื่อเป็นสื่อการเรียนรู้ที่ใช้ส่งเสริมการฝึกทักษะและการแก้ปัญหา
ทางคณติ ศาสตร์ เป็นสื่อทช่ี ่วยกระตุ้นให้ผู้เรียนเกิดความสนใจ ตอบสนองต่อการเรียนรู้ของผู้เรยี นและช่วยพัฒนา
ผู้เรียนให้เกิดความรู้ความเข้าใจ มีทักษะกระบวนการทางคณิตศาสตร์ แก้ปัญหาได้เหมาะสมกับวัยของผู้เรียน
อยา่ งมีประสิทธภิ าพและส่งเสริมผเู้ รียนให้มีผลสมั ฤทธ์ทิ างเรยี นรคู้ ณติ ศาสตร์ใหส้ ูงขน้ึ

แบบฝกึ ทักษะคณิตศาสตร์ ชุดพหนุ ามน่ารู้ โดยใชก้ ารเรียนร้แู บบร่วมมือเทคนิค STAD สำหรับนักเรียน
ระดับชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 เล่มที่ 2 เรื่อง การบวกและการลบพหุนาม จัดทำขึ้นโดยการวเิ คราะห์ตามมาตรฐาน
การเรียนรู้และตัวชี้วัด กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ (ฉบับปรับปรุง พ.ศ. 2560) ตามหลักสูตรแกนกลาง
การศึกษาขั้นพื้นฐาน พุทธศักราช 2551 อีกทั้งยังได้ศึกษาแนวทางจากหนังสือคู่มือครูกลุ่มสาระการเรียนรู้
คณิตศาสตร์พื้นฐาน ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 และจากแหล่งข้อมูลต่าง ๆ แล้วนำมาปรับปรุง และพัฒนา
ตามคำแนะนำจากผู้เชีย่ วชาญกอ่ นทีจ่ ะนำมารวบรวมเปน็ รูปเลม่ ท่ีมเี น้ือหาครบถว้ นสมบรู ณ์

ผู้จัดทำหวังเป็นอย่างยิ่งว่า แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์เล่มนี้ จะเป็นประโยชน์ต่อการจัดกิจกรรม
การเรียน การสอน และเป็นแนวทางสำหรับครูผู้สอนในการพัฒนาศักยภาพการสอนคณิตศาสตร์
ให้บรรลเุ ป้าหมายของหลกั สตู รไดอ้ ย่างสงู สุด

วัฒนากรณ์ เฟ้อื แกว้

คณติ ศาสตร์ ม.2

แบบฝกึ ทักษะคณติ ศาสตร์ ชดุ พหุนามน่ารู้ โดยใชก้ ารเรยี นรแู้ บบรว่ มมอื เทคนคิ STAD ข
เลม่ ท่ี 2 เรือ่ ง การบวกและการลบพหุนาม

สารบัญ

เร่ือง หน้า

คำนำ ก
สารบญั ข
ผงั มโนทศั น์
คำแนะนำในการใชส้ ำหรับครู 1
คำแนะนำการใชส้ ำหรับนกั เรียน 2
แผนภูมแิ สดงลำดับขนั้ ตอนการใชแ้ บบฝกึ ทักษะคณติ ศาสตร์ 3
มาตรฐานการเรียนรู้ / ตวั ชีว้ ดั 5
สาระสำคัญ / จุดประสงค์การเรียนรู้ 6
แบบทดสอบกอ่ นเรียน 7
ใบความรู้ที่ 2.1 เรื่อง พหนุ าม 8
แบบฝึกทกั ษะ 2.1.1 10
แบบฝกึ ทักษะ 2.1.2 14
แบบทดสอบยอ่ ย 2.1 16
ใบความรูท้ ่ี 2.2 เรื่อง การบวกพหนุ าม 17
แบบฝึกทกั ษะ 2.2.1 19
แบบฝกึ ทกั ษะ 2.2.2 22
แบบทดสอบยอ่ ย 2.2 24
ใบความรทู้ ่ี 2.3 เรื่อง การลบพหุนาม 26
แบบฝึกทักษะ 2.3.1 28
แบบฝึกทักษะ 2.3.2 33
แบบทดสอบหลงั เรียน 36
บรรณานกุ รม 39
ภาคผนวก 41
กระดาษคำตอบแบบทดสอบกอ่ นเรยี น 43
กระดาษคำตอบแบบทดสอบยอ่ ยท่ี 2.1 44
กระดาษคำตอบแบบทดสอบยอ่ ยท่ี 2.2 45
กระดาษคำตอบแบบทดสอบหลงั เรียน 46
47

คณติ ศาสตร์ ม.2

แบบฝึกทกั ษะคณติ ศาสตร์ ชุดพหุนามน่ารู้ โดยใชก้ ารเรยี นรู้แบบรว่ มมอื เทคนคิ STAD ค
เล่มที่ 2 เร่ือง การบวกและการลบพหุนาม

สารบญั (ต่อ)

เรอ่ื ง หน้า

เฉลยแบบทดสอบก่อนเรยี น 48
เฉลยแบบฝกึ ทักษะ 2.1.1 50
เฉลยแบบฝึกทกั ษะ 2.1.2 52
เฉลยแบบฝกึ ทักษะ 2.2.1 53
เฉลยแบบฝกึ ทกั ษะ 2.2.2 55
เฉลยแบบฝกึ ทกั ษะ 2.3.1 57
เฉลยแบบฝกึ ทักษะ 2.3.2 60
แบบบนั ทกึ คะแนนรายกล่มุ 61

คณิตศาสตร์ ม.2

แบบฝกึ ทกั ษะคณติ ศาสตร์ ชุดพหุนามน่ารู้ โดยใชก้ ารเรยี นรู้แบบรว่ มมอื เทคนิค STAD 1

เลม่ ที่ 2 เรอื่ ง การบวกและการลบพหุนาม

ผงั มโนทศั น์
งแบบฝึกทักษะคณติ ศาสตร์

ชดุ พหนุ ามนา่ รู้

เล่มท่ี 1
การบวกและการลบเอกนาม

เล่มที่ 2
การบวกและการลบพหุนาม

เล่มท่ี 3
การคูณพหนุ าม

เลม่ ที่ 4
การหารพหุนาม

คณิตศาสตร์ ม.2

แบบฝกึ ทกั ษะคณิตศาสตร์ ชดุ พหุนามน่ารู้ โดยใชก้ ารเรียนรแู้ บบร่วมมือเทคนิค STAD 2

เลม่ ที่ 2 เร่อื ง การบวกและการลบพหุนาม

คำแนะนำในการใชส้ ำหรับครู

เมื่อครผู สู้ อนไดน้ ำแบบฝกึ ทักษะคณิตศาสตร์ ชุดพหนุ ามน่ารู้ โดยใชก้ ารเรียนร้แู บบรว่ มมือ เทคนิค STAD

ชดุ นไี้ ปใชใ้ นการจดั กิจการเรยี นรู้ ควรปฏิบัตดิ งั นี้

1. จัดกิจกรรมการเรียนรู้โดยใช้แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ชุดนี้ควบคู่กับแผนการจัดการเรียนรู้

โดยใช้การเรยี นรู้แบบร่วมมอื เทคนคิ STAD

2. ครูนำเขา้ สบู่ ทเรยี นและแจง้ จุดประสงคก์ ารเรยี นรใู้ นการเรียน

3. ครูแบง่ กลุ่มนกั เรยี นออกเป็นกล่มุ ๆ ละ 4 – 6 คน

4. ครูอธิบายวิธีการใช้แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ ชุดพหุนามน่ารู้ โดยใช้การเรียนรู้แบบร่วมมือ

เทคนิค STAD ให้นักเรียนเขา้ ใจทกุ คน

5. อธิบายให้นักเรียนเข้าใจบทบาทของนักเรียน และให้โอกาสนักเรียนที่ไม่เข้าใจได้ซักถามเกี่ยวกับ

วิธกี ารเรียน ขน้ั ตอนการใช้แบบฝึกทักษะคณติ ศาสตร์ หรือบทบาทของนักเรยี นเอง ตลอดจนข้อขอ้ งใจอ่ืน ๆ

6. เมื่อนักเรียนเข้านั่งประจำกลุ่มแล้ว ตวั แทนกลุม่ จะรบั แบบฝกึ ทกั ษะกลุม่ ละ 2 เล่ม

7. ทดสอบความรู้ก่อนเรียนก่อนใช้แบบฝึกทักษะแต่ละเล่ม เพื่อวัดความรู้พื้น ฐานของนักเรียน

และใช้คะแนนทดสอบก่อนเรียนของนักเรยี นแต่ละคนเปน็ คะแนนฐาน ตรวจขณะนักเรยี นทำกจิ กรรม

8. ขน้ั นำเสนอประเดน็ หรอื เนอ้ื หาใหม่ เป็นหนา้ ทข่ี องครผู ู้สอน โดยให้นักเรียนมีสว่ นร่วมในการทำกิจกรรม

9. ให้นักเรียนทำกิจกรรม โดยร่วมกันศึกษาใบความรู้ ทำแบบฝึกทักษะของนักเรียนแต่ละคนในเวลา

ที่กำหนดอย่างเคร่งครัด เมื่อสมาชิกแต่ละคนทำแบบฝึกทักษะเสร็จทุกคน หัวหน้ากลุ่มอ่านเฉลยแบบฝึกทักษะ

โดยสมาชิกแต่ละคนเปลี่ยนกันตรวจ และบันทึกคะแนนหากมีข้อผิดให้ปรึกษากันในกลุ่มก่อน ถ้าทำไม่ได้

หรือมีขอ้ สงสัยให้ปรึกษาครูแล้วแก้ไขคำตอบใหถ้ กู ตอ้ ง นักเรียนช่วยกนั สรปุ ส่ิงท่เี รยี นมา

10. ให้นักเรียนเรียนแต่ละคนทำ แบบทดสอบย่อยเมื่อเรียนจบในแต่ละเรื่องของแบบฝึกทักษะ

โดยเรอื่ งสดุ ทา้ ยของแตล่ ะเล่มในแบบฝึกทกั ษะจะเป็นการทดสอบหลังเรียนของนักเรียน

11. ครตู รวจใหค้ ะแนนทดสอบย่อย ตามเกณฑก์ ารให้คะแนนทีก่ ำหนดไว้ แลว้ แจ้งคะแนนที่ได้ให้นักเรียน

ทราบ แตล่ ะกลมุ่ บนั ทึกคะแนนลงในแบบบันทกึ คะแนนทดสอบย่อย

12. ครูประกาศคะแนนพัฒนาการเฉลี่ยของแต่ละกลุ่ม ให้คำชมเชย ยกย่องและมอบรางวัลกลุ่มที่ได้

คะแนนพัฒนาการสงู สุด และให้กำลังใจกลุ่มทม่ี คี ะแนนพฒั นาการน้อย

13. ถ้านักเรียนไม่ผ่านเกณฑ์ที่ระบุไว้ ให้นักเรียนกลับไปศึกษาจากแบบฝึกทักษะในเรื่องนั้นใหม่

(ซอ่ มเสริม) แล้วทำการทดสอบใหมอ่ ีกครั้งให้ผ่านเกณฑ์ท่ีกำหนด

คณติ ศาสตร์ ม.2

แบบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์ ชดุ พหุนามนา่ รู้ โดยใชก้ ารเรียนรู้แบบรว่ มมอื เทคนิค STAD 3

เลม่ ที่ 2 เรอ่ื ง การบวกและการลบพหุนาม

คำแนะนำในการใชส้ ำหรับนักเรียน

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ ชุดพหุนามน่ารู้ โดยใช้การเรียนรู้แบบร่วมมือ เทคนิค STAD
ระดับชน้ั มัธยมศกึ ษาปที ่ี 2 มีจำนวนทงั้ หมด 4 เลม่

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์เล่มนี้เป็น เล่มที่ 2 เรื่อง การบวกและการลบพหุนาม ให้นักเรียน
อา่ นคำชี้แจงให้เขา้ ใจและปฏิบตั ิตามขน้ั ตอนต่อไปน้ี

1. อา่ นคำชแ้ี จงเก่ียวกบั แบบฝกึ ทกั ษะ คำแนะนำในการใช้สำหรบั นักเรียน ใหเ้ ขา้ ก่อนลงมือปฏบิ ัตกิ ิจกรรม
2. นกั เรยี นเข้ากลุม่ ยอ่ ยตามทค่ี รแู จง้
3. แต่ละกลุ่มเลือกหัวหน้ากลุ่มและเลขานุการกลุ่ม แล้วแบ่งหน้าที่ความรับผิดชอบภายในกลุ่ม
โดยเน้นความรว่ มมือกันและช่วยเหลอื กัน ด้านการเรียน ดังนี้
หัวหน้ากลมุ่ มหี นา้ ที่

- รับ – ส่ง ซองบรรจเุ อกสารชดุ การเรยี นคณติ ศาสตร์
- เปน็ ผู้อ่าน ใบความรู้ คำชีแ้ จง เฉลยแบบฝึกทักษะ/ใบกิจกรรมใหส้ มาชิกฟัง
- ควบคมุ การปฏบิ ัติกิจกรรมในกลุ่มให้เปน็ ไปด้วยความเรยี บร้อย
- เปน็ ผู้ตดิ ตอ่ ประสานงานกับครู
เลขานกุ ารกลุ่ม มหี นา้ ที่
- ตรวจสอบความถกู ต้องของคะแนนจากการปฏิบัติกิจกรรมตา่ ง ๆ
- จดบันทกึ คะแนนลงในแบบบันทึกคะแนนแบบฝึกทกั ษะ แบบบนั ทึกคะแนนทดสอบย่อยประจำ
แบบฝกึ ทกั ษะและแบบคิดคะแนนพัฒนา
สมาชิกในกลุ่ม มีหน้าท่ี
- ศึกษาใบความรู้ร่วมอภิปราย สรุปผลการปฏิบัติกิจกรรม ในการทำแบบฝึกทักษะ
- ช่วยเก็บรวบรวมสอื่ การเรียนบรรจใุ สซ่ องให้เรียบร้อย

คณิตศาสตร์ ม.2

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ ชุดพหนุ ามน่ารู้ โดยใชก้ ารเรยี นรูแ้ บบร่วมมือเทคนคิ STAD 4

เลม่ ที่ 2 เรื่อง การบวกและการลบพหุนาม

คำแนะนำในการใชส้ ำหรับนักเรียน (ต่อ)

4. ศึกษารายละเอยี ดของใบความรใู้ หเ้ ขา้ ใจกอ่ นลงมอื ทำชดุ ฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์
5. ลงมือทำแบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ ตรวจคำตอบหลังจากทำแบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ และบันทึก
คะแนนท่ีไดล้ งในแบบบันทึกคะแนนรายบคุ คล
6. นักเรียนแต่ละคนทำแบบทดสอบย่อยประจำแบบฝึกทักษะด้วยตนเอง ครูตรวจแบบทดสอบย่อย
ประจำแบบฝึกทักษะและแจ้งคะแนนให้ทราบ เลขานุการกลุ่มแต่ละกลุ่มจดบันทึกคะแนนที่ครูแจ้งลงใน
แบบบนั ทกึ คะแนนทดสอบย่อยประจำแบบฝึกทกั ษะ
7. หวั หน้ากลมุ่ อา่ นหลักเกณฑ์การคดิ คะแนนพัฒนา แลว้ ใหส้ มาชกิ ในกลุ่มชว่ ยกันคดิ คะแนนพฒั นา
8. นำคะแนนพัฒนาของสมาชิกแต่ละคนไปหาคะแนนพัฒนาเฉลี่ยของกลุ่ม ซึ่งได้จากค่าเฉลี่ยของ
คะแนนพัฒนาของสมาชิกทุกคนในกลุ่ม เลขานุการกลุ่มจดบันทึกคะแนนที่คำนวณได้ลงในแบบบันทึกคะแนน
พฒั นา
9. เปรียบเทยี บคะแนนพัฒนาเฉลยี่ ของกลมุ่ ที่ได้กับเกณฑ์การตัดสิน กลมุ่ ทไี่ ดร้ ับการยกย่องหรือยอมรับ
เพื่อกำหนดระดับพัฒนาของกลุ่ม เลขานุการกลุ่มจดบันทึกระดับพัฒนาของกลุ่มที่ได้ลงในแบบบันทึก
คะแนนพัฒนา
10. แต่ละกลุ่มเก็บเอกสารชุดการเรียนคณิตศาสตร์ดังกลา่ ว เข้าซองให้ถกู ต้องครบถ้วนสมบูรณ์ แล้วให้
หวั หน้ากลุ่มนำสง่ ครู

คณติ ศาสตร์ ม.2

แบบฝึกทักษะคณติ ศาสตร์ ชุดพหุนามนา่ รู้ โดยใชก้ ารเรยี นรู้แบบร่วมมอื เทคนคิ STAD 5

เลม่ ท่ี 2 เรอ่ื ง การบวกและการลบพหุนาม

แผนภมู ิแสดงลำดับข้นั ตอนการใชแ้ บบฝึกทกั ษะคณติ ศาสตร์

อ่านคำแนะนำสำหรบั นกั เรียน

ทดสอบก่อนเรยี น
ขั้นเสนอเน้ือหาสาระ

ขนั้ กจิ กรรมกล่มุ

ซอ่ มเสริม ขัน้ ทดสอบย่อย/หลงั เรียน

ไม่ผา่ น ผ่าน

ขั้นสรปุ ประเมนิ ผลและมอบรางวัล
ทำแบบฝกึ เสรมิ ทกั ษะเล่มตอ่ ไป

คณติ ศาสตร์ ม.2

แบบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์ ชุดพหนุ ามน่ารู้ โดยใชก้ ารเรียนรู้แบบรว่ มมอื เทคนคิ STAD 6

เล่มที่ 2 เร่ือง การบวกและการลบพหุนาม

มาตรฐานการเรยี นรู้ / ตวั ช้วี ดั

สาระที่ 1 จำนวนและพชี คณิต
มาตรฐาน ค 1.2 เข้าใจและวเิ คราะห์แบบรูป ความสมั พันธ์ ฟงั กช์ ัน ลำดบั และอนกุ รม และนำไปใช้

ตัวชีว้ ัด ค1.2 ม.2/1 เข้าใจหลกั การดำเนนิ การของพหนุ าม และใช้พหนุ ามในการแก้ปญั หาคณิตศาสตร์

สาระสำคัญ

พหุนาม คือ นิพจน์ที่เขยี นในรูปเอกนาม หรือเขียนในรูปการบวกของเอกนามตั้งแต่สองเอกนาม
ขึ้นไปในพหุนามใด ๆ เรียกแต่ละเอกนามที่อยู่ในพหุนามว่า พจน์ (term) ของพหุนามและในกรณีที่พหุนามนั้น
มีเอกนามที่คล้ายกัน เรียกเอกนามท่ีคลา้ ยกันว่า พจน์ที่คลา้ ยกัน (like terms) ในกรณีที่พหุนามมีพจน์บางพจน์
ที่คล้ายกัน สามารถรวมพจน์ที่คล้ายกันเข้าด้วยกัน เพื่อทำให้พหุนามนั้นอยู่ในรูปที่ไม่มีพจน์ที่คล้ายกันเลย
เรียกพหุนามที่ไม่มีพจน์ที่คล้ายกันเลยว่า พหุนามในรูปผลสำเร็จ และเรียกดีกรีสูงสุดของพจน์พหุนาม
ในรูปผลสำเร็จว่าดีกรีของพหุนาม ในการเขียนพหุนามในรูปผลสำเร็จควรเขียนเรียงดีกรีของพหุนาม
จากมากไปน้อย

การหาผลบวกของพหุนาม ทำได้โดยนำพหุนามมาเขียนในรูปการณ์บวกและถ้ามีพจน์ท่ีคลา้ ยกัน
ให้บวกพจน์ที่คล้ายกันเข้าด้วยกัน ด้วยหลักการบวกพหุนามทั้ง 2 วิธี คือ การบวกตามแนวนอน
และการบวกตามแนวต้ัง

การลบพหุนามด้วยพหุนามทำได้โดยบวกพหุนามตัวตั้งด้วยพจน์ตรงข้ามของแต่ละ
พจน์ของพหนุ ามตัวลบ

คณติ ศาสตร์ ม.2

แบบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์ ชุดพหุนามน่ารู้ โดยใชก้ ารเรยี นรแู้ บบรว่ มมือเทคนคิ STAD 7

เลม่ ที่ 2 เร่ือง การบวกและการลบพหุนาม

จุดประสงค์การเรยี นรู้

ดา้ นความรู้ (K)
1. นกั เรยี นสามารถบอกลักษณะ และการเขยี นพหุนาม
2. นักเรยี นสามารถหาผลบวกของพหุนามได้
3. นักเรยี นสามารถหาผลบวกของพหุนามได้

ด้านทักษะกระบวนการ(P)
1. นักเรียนสามารถเขียนพหุนามในรูปผลสำเร็จและดกี รีของพหุนาม
2. นกั เรียนสามารถแกป้ ัญหาในการหาผลบวกของพหนุ ามได้
3. นักเรียนสามารถแกป้ ญั หาในการหาผลบวกของพหนุ ามได้

ดา้ นคุณลกั ษณะ(A)
1. นักเรียนมคี วามตัง้ ใจในการปฏิบัติ
2. นกั เรียนมีความรบั ผดิ ชอบในการสง่ งาน

คณิตศาสตร์ ม.2

แบบฝกึ ทกั ษะคณิตศาสตร์ ชุดพหุนามน่ารู้ โดยใชก้ ารเรยี นร้แู บบร่วมมอื เทคนิค STAD 8

เลม่ ที่ 2 เรอื่ ง การบวกและการลบพหุนาม

แบบทดสอบก่อนเรยี น

เลม่ ที่ 2 เรอ่ื ง การบวกและการลบพหุนาม

คำช้แี จง ให้นักเรยี นเลือกคำตอบท่ถี ูกตอ้ งท่ีสดุ เพียงคำตอบเดียวแล้วทำเครอ่ื งหมายกากบาท (×)

ลงในกระดาษคำตอบ

1. พหนุ ามในขอ้ ใดมีดีกรขี องพหุนามเทา่ กบั 5

ก. 23 + x2y ข. 3x2y + x2y

ค. 5a2b3 + xy4 + 1 ง. 4c – 5ab3 + 3a

2. ดีกรีของพหุนามในข้อใดมากทีส่ ุด ข. y3 + 3x2y – 4xy2 + 2x – 3y + 11
ก. x4 + 4x3 – 3x2 – 6x – 11 ง. xy5 + 4x2y – 3xy – 6x + 12y – 7
ค. x5 + 4x4 – 3x + 11

3. ข้อใดคือพหุนามในรปู ผลสำเร็จ ข. 2x3 + 3x2 – 4x + 1
ก. 7x3 – 5 + 3x4 – 8 ง. 5 + 8x2 – 9 + 7x
ค. -6x2 + 9x4 + 3x2 + 5

4. 4x3 – 3 – 7x + 5x2 + 5x3 – 8x + 8 มคี ่าตรงกบั ข้อใด

ก. 9x3 + 5x2 – 15x + 5 ข. 9x3 – 5x2 – 15x – 5

ค. 9x3 – 5x2 + 15x – 5 ง. 9x3 + 5x2 – 15x + 5

คณติ ศาสตร์ ม.2

แบบฝึกทกั ษะคณติ ศาสตร์ ชดุ พหุนามนา่ รู้ โดยใช้การเรยี นรแู้ บบรว่ มมอื เทคนคิ STAD 9

เลม่ ท่ี 2 เร่ือง การบวกและการลบพหุนาม

5. x2 + x – 3 เป็นผลบวกของขอ้ ใด ข. (3x2 + 8x + 8) + (-2x2 – 7x – 11)
ก. (2x2 – 5x + 2) + (-x2 + 7x – 5) ง. (12x2 – 6x + 1) + (-11x2 + 8x – 5)
ค. (7x2 – 10x – 2) + (-6x2 + 8x – 1)

6. (13x + 3) – (x2 + 9x – 4) มคี า่ ตรงกบั ข้อใด ข. x2 + 9x – 7
ก. x2 + 4x + 7 ง. -6x2 – 5x + 8
ค. x2 – 9x – 4

7. (7x + 1) – (4x – 9) มคี ่าตรงกบั ข้อใด ข. 3x + 10
ก. -3x + 10 ง. -3x – 10
ค. 3x – 10

8. (3x2 + 5x – 11) – (-2x2 + 7x + 5) มีค่าตรงกบั ขอ้ ใด

ก. 5x2 + 7x – 7 ข. 5x2 – 12x – 6

ค. -5x2 – 2x – 16 ง. 5x2 – 2x – 16

9. (4x2 + 5x – 6) – (4x2 – 2x – 1) – (-3x2 + 2x – 4) มคี ่าตรงกบั ข้อใด

ก. 3x2 + 5x + 1 ข. -3x2 + 5x + 1

ค. 3x2 – 5x – 1 ง. -3x2 – 5x – 1

10. (x2 – 5xy + 2y2 – x + 7) – (-4x2 – 5xy + 3y2 + 4y – 1) มีคา่ ตรงกับข้อใด

ก. 5x2 – y2 – x – 4y + 8 ข. -5x2 – y2 – x – 4y + 8

ค. 5x2 – y2 + x + 4y + 8 ง. -5x2 – y2 – x + 4y – 8

คณิตศาสตร์ ม.2

แบบฝกึ ทักษะคณิตศาสตร์ ชุดพหนุ ามนา่ รู้ โดยใชก้ ารเรียนร้แู บบร่วมมอื เทคนิค STAD 10

เล่มท่ี 2 เรื่อง การบวกและการลบพหุนาม

ใบความรู้ท่ี 2.1
เรอื่ ง พหุนาม

พหนุ าม (Polynomial)

นพิ จน์ท่สี ามารถเขยี นในรูปเอกนามหรือสามารถเขยี นในรปู การบวกของเอกนาม
ตง้ั แต่สองเอกนามข้ึนไป เรียกว่า พหนุ าม (Polynomial)

ตัวอย่างของพหนุ าม คือ a2 และ 5a
7x2 เปน็ เอกนาม 1 เอกนาม คอื 3a, 5b และ (-3c)

a2 + 5a เป็นผลบวกของ 2 เอกนาม
3a + 5b – 3c เป็นผลบวกของ 3 เอกนาม

ทั้งน้ีเพือ่ ความสะดวกในการเรียกแตล่ ะเอกนามซงึ่ เปน็ องคป์ ระกอบของพหุนามว่า พจน(์ term)

เช่น -5x3 เปน็ พหุนามซง่ึ ประกอบด้วย 1 พจน์ คอื -5x3
เป็นพหุนามซึง่ ประกอบด้วย 2 พจน์ คือ 6a3 และ 6b2
6a3 + 6b2 เป็นพหุนามซ่ึงประกอบดว้ ย 3 พจน์ คือ 4x3 , 3y2 และ (-5z)
4x3 + 3y2 – 5z เปน็ พหุนามซง่ึ ประกอบดว้ ย 4 พจน์ คอื 9x3, 6x2 , (-18x)
9xy9 + 6y3 – 18x3 + 5x3 และ 5x3

คณติ ศาสตร์ ม.2

แบบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์ ชุดพหนุ ามนา่ รู้ โดยใชก้ ารเรียนร้แู บบรว่ มมอื เทคนิค STAD 11

เลม่ ที่ 2 เรื่อง การบวกและการลบพหุนาม

พิจารณา

x4 + 2x5 – 4x – 8 – 6x2
x5 + 4x3 – 5x – 9

จากพหุนามข้างต้น จะเห็นว่า พหุนาม x4 + 2x5 – 4x – 8 – 6x2 เป็นพหุนามซึ่งไม่เรียงดีกรีจากมาก
ไปน้อย แต่ พหุนาม x5 + 4x3 – 5x – 9 เป็นพหุนามซึ่งเรียงดีกรีจากมากไปน้อย ในการเขียนพหุนามนิยมเขียน
เรียงดีกรจี ากมากไปน้อย

ตัวอยา่ งที่ 1 จงเรียงดกี รีของพหุนาม -5x + 3x3 – 9
ตอบ 3x3 – 5x – 9

ตวั อย่างที่ 2 จงเรยี งดกี รีของพหนุ าม 8a3 – 5a8 + 3a2 – 9 – 6a
ตอบ
-5a8 +8a3 + 3a2 - 6a – 9

ดกี รขี องพหุนาม

คือ ดกี รที ี่สงู ท่ีสดุ ของพจนข์ องพหนุ ามในรปู ผลสำเร็จ (ดีกรีของพหุนามแต่ละพจน์
คือ นำเลขช้ีกำลงั ของตวั แปรแตล่ ะตวั มารวมกัน)

เชน่ x + 7 ดกี รีของพหุนามเท่ากับ 1
ดกี รขี องพหุนามเท่ากับ 2
x2 + 5x – 4 ดกี รีของพหนุ ามเทา่ กบั 3
4x3 – 8y2 + 5 ดกี รขี องพหนุ ามเทา่ กบั 5
2x2 – 3xy + 8x2y3

คณติ ศาสตร์ ม.2

แบบฝกึ ทักษะคณิตศาสตร์ ชดุ พหุนามนา่ รู้ โดยใชก้ ารเรยี นรู้แบบรว่ มมอื เทคนคิ STAD 12

เล่มท่ี 2 เรอื่ ง การบวกและการลบพหุนาม

พหุนามในรปู ผลสำเร็จ

พหุนามทีม่ ีเอกนามที่คล้ายกัน จะเรียกเอกนามท่ีคล้ายกันว่า พจนท์ ี่คล้ายกัน(like terms)

เชน่ 9x3 + 6x2 – 18x + 5x3 มี 9x3 และ 5x3 เปน็ พจนท์ ่คี ลา้ ยกนั

4a2– 3a2 – 2a3 + 2a4 มี 4a2 และ (-3a2) เปน็ พจนท์ ีค่ ล้ายกนั

5x2y – 7xy2 + 3x2y + 5 มี 5x2y และ 3x2y เป็นพจนท์ ่ีคล้ายกัน

พหุนามในรูปผลสำเร็จ คือ พหุนามท่ีไม่มพี จนท์ ค่ี ลา้ ยกัน พหุนามที่ไม่อยูใ่ นรูปผลสำเร็จ
สามารถทำใหเ้ ปน็ พหนุ ามในรูปผลสำเร็จได้โดยการรวมเอกนามท่คี ลา้ ยกัน

ตวั อย่างที่ 1 จงเขยี นพหุนามในรปู ผลสำเร็จของ x + 6 – 4 + x
วิธีทำ x + 6 – 4 + x = (x + x) +( 6 – 4)

= 2x + 2

ตอบ พหนุ ามในรปู ผลสำเรจ็ ของ x + 6 – 4 + x คือ 2x + 2

ตวั อย่างท่ี 2 จงเขียนพหนุ ามในรูปผลสำเร็จของ 1 + 2a – 3a2 – a + 3
วธิ ที ำ 1 + 2a – 3a2 – a + 3 = -3a2 + (2a – a) + (3 + 1)

= -3a2 + a + 4

ตอบ พหุนามในรูปผลสำเรจ็ ของ 1 + 2a – 3a2 – a + 3 คอื -3a2 + a + 4

คณิตศาสตร์ ม.2

แบบฝึกทกั ษะคณติ ศาสตร์ ชุดพหุนามนา่ รู้ โดยใช้การเรียนรู้แบบร่วมมือเทคนคิ STAD 13

เลม่ ท่ี 2 เร่อื ง การบวกและการลบพหุนาม

ตัวอย่างที่ 3 จงเขียนพหนุ ามในรปู ผลสำเรจ็ ของ 5x + x2 – 8x + 8 + x2 – 9

วธิ ที ำ 5x + x2 – 8x + 8 + x2 – 9 = (x2 + x2) +(-8x + 5x) + (-9 + 8)

= 2x2 – 3x – 1

ตอบ พหุนามในรปู ผลสำเรจ็ ของ 5x + x2 – 8x + 8 + x2 – 9 คือ 2x2 – 3x – 1

ตวั อยา่ งที่ 4 จงเขยี นพหนุ ามในรูปผลสำเรจ็ ของ 4a2 – 5a + 9 – 4a – 8a2

วิธที ำ 4a2 – 5a + 9 – 4a – 8a2 = (4a2 – 8a2) +(-5a – 4a) + 9

= -4a2 – 9a + 9

ตอบ พหนุ ามในรูปผลสำเรจ็ ของ 4a2 – 5a + 9 – 4a – 8a2 คอื -4a2 – 9a + 9

ตวั อย่างท่ี 5 จงเขยี นพหุนามในรปู ผลสำเร็จของ x4 – 5xy + x2y - 6x2y + 7xy

วธิ ที ำ x4 – 5xy + x2y – 6x2y + 7xy - 9 = x4 + (x2y – 6x2y) +(7xy – 5xy)

= x4 – 5x2y + 2xy

ตอบ พหนุ ามในรูปผลสำเร็จของ x4 – 5xy + x2y – 6x2y + 7xy คอื x4 – 5x2y + 2xy

คณติ ศาสตร์ ม.2

แบบฝึกทกั ษะคณติ ศาสตร์ ชุดพหุนามน่ารู้ โดยใชก้ ารเรียนรแู้ บบรว่ มมอื เทคนิค STAD 14

เลม่ ที่ 2 เรือ่ ง การบวกและการลบพหุนาม

ช่อื – สกลุ ..................................................................... ช้ัน ....................... เลขที่ ............

คะแนนเต็ม 10 คะแนน

แบบฝกึ หัดที่ 2.1.1 ทำได้
คะแนน
คำชี้แจง ตอนท่ี 1 จงเรยี งพหนุ ามต่อไปน้จี ากดกี รมี าก

ไปดีกรนี ้อย

1) 4a2 – 5a + 4a3 – a4 + 8

..............................................................................................................................................

2) -8x5 + xy – 5x + x4 – 7y +3

..............................................................................................................................................

3) abc + a2b + a3 – 5a2 + ab + c2 – a + 4

..............................................................................................................................................

4) p6 – 5p3 – 9p2r + 7p2q2 – p3r2 – q2 + 2r – 1

..............................................................................................................................................

5) x4 + xyz + x2z2 + z2 + 6xy – x2z + x – y – 9

..............................................................................................................................................

คณิตศาสตร์ ม.2

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ ชดุ พหุนามน่ารู้ โดยใช้การเรียนรูแ้ บบรว่ มมือเทคนคิ STAD 15

เลม่ ท่ี 2 เร่ือง การบวกและการลบพหุนาม

คำชี้แจง ตอนที่ 2 จงเรียงพหนุ ามตอ่ ไปนี้จากดกี รีมากไปดีกรนี อ้ ยและหาค่าดกี รีของพหนุ ามต่อไปน้ี

1) -7 – x

= …………………………………………... ดกี รขี องพหนุ ามคือ ……………

2) 9x +4x2 – 6

= …………………………………………... ดกี รขี องพหนุ ามคือ ……………

3) a2 – 5a3 + 19 – 6a

= …………………………………………... ดีกรีของพหุนามคือ ……………

4) a3c + c2 + ac3 – a5 – a + 7

= …………………………………………... ดีกรีของพหนุ ามคอื ……………

5) 3xz2 + 4xyz + 4x4 – 4xy5

= …………………………………………... ดกี รขี องพหนุ ามคอื ……………

คณติ ศาสตร์ ม.2

แบบฝกึ ทักษะคณติ ศาสตร์ ชดุ พหุนามน่ารู้ โดยใช้การเรียนรู้แบบร่วมมือเทคนิค STAD 16

เล่มที่ 2 เรื่อง การบวกและการลบพหุนาม

ช่อื – สกลุ ..................................................................... ชน้ั ....................... เลขที่ ............

คะแนนเตม็ 10 คะแนน
ทำได้

แบบฝึกหัดที่ 2.1.2 คะแนน

คำชแ้ี จง จงเขียนพหุนามต่อไปน้ีในรปู ผลสำเรจ็ และดีกรขี องพหนุ ามตอ่ ไปน้ี

1) 4x + 5 – 2 + 8x 2) 8x2 – 3x + 7x + 6 – x2 +8

= ………………………………………… = …………………………………………

ดีกรพี หุนาม คือ ……………………… ดกี รพี หุนาม คือ ………………………

3) x2 – 8x + 5x2 + 5 + 8x - 10 4) y2 – 5 + 8 + 5y - 4y – 5 + y

= ………………………………………… = …………………………………………

ดกี รีพหนุ าม คือ ……………………… ดีกรีพหนุ าม คอื ………………………

5) a3 – 5 + a – 3a + 4a3 – 8 + 5a3 6) a + ab + 3 – a2 + ab + 8a

= ………………………………………… = …………………………………………

ดีกรีพหุนาม คือ ……………………… ดกี รพี หุนาม คอื ………………………

7) a5 – 5ab + a2b2 – 4ab – a2b2 + 5a 8) ab + 5a2 – 4a2b + 4a2b – 4a2 + 4

= ………………………………………… = …………………………………………

ดีกรีพหุนาม คอื ……………………… ดีกรีพหุนาม คือ ………………………

9) x2y2 + xyz + yz3 – xyz + 6yz2 – 7 10) a2b2c + c3 – 3a2bc2 + 4a2bc2 + 6a2b2c

= ………………………………………… = …………………………………………

ดีกรีพหุนาม คือ ……………………… ดกี รีพหุนาม คือ ………………………

คณิตศาสตร์ ม.2

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ ชุดพหุนามนา่ รู้ โดยใช้การเรียนรแู้ บบรว่ มมอื เทคนิค STAD 17

เลม่ ที่ 2 เรอ่ื ง การบวกและการลบพหุนาม

แบบทดสอบย่อยท่ี 2.1
เร่ือง พหนุ าม

คำช้แี จง ใหน้ กั เรยี นเลอื กคำตอบท่ีถกู ตอ้ งท่ีสุดเพียงคำตอบเดยี วแลว้ ทำเคร่อื งหมายกากบาท (×)

ลงในกระดาษคำตอบ

1. ข้อใดเป็นพหุนาม

ก. 8x2 ข. x2 – 5x + 4
2y ง. 9x

ค. 3x2y2z2

2. ข้อใดไม่เปน็ พหุนาม

ก. 17a2b3c ข. a + 5

ค. b – 3 ง. 7a2 – 2xy + b2
3. ข้อใดเป็นพหุนามซึ่งประกอบด้วย 4 พจน์

ก. 13x2y + 8xy2 – 12 ข. 5x2 – 5x – 5

ค. 20y4 – 12y3 + 4y2 – 5y + 1 ง. 9x2 – 6xy + 7y2 – 15

4. ขอ้ ใดเปน็ พหุนามซึง่ เรยี งดีกรจี ากมากไปหาน้อย ข. y6 – 3y + 5y3 – 11 + 6y2
ก. x3y + xy2 + 12 – y4

ค. x4 + 5x3 – 6x2 – 6x + 1 ง. x2y + 5xy2 – x5 + 11

5. ดกี รีของพหนุ าม x5 + 8x3 – 4x – 15 เทา่ กบั เท่าใด

ก. 3 ข. 4

ค. 5 ง. 6

คณิตศาสตร์ ม.2

แบบฝกึ ทักษะคณติ ศาสตร์ ชดุ พหนุ ามน่ารู้ โดยใช้การเรยี นรู้แบบรว่ มมอื เทคนคิ STAD 18

เล่มท่ี 2 เรอื่ ง การบวกและการลบพหุนาม

6. ดกี รขี องพหุนาม a3 + 5a2b + 8ab2 – 5b2 – a + 9b + 14 เท่ากบั เท่าใด

ก. 1 ข. 2

ค. 3 ง. 4

7. ดีกรขี องพหุนามในขอ้ ใดเทา่ กับ 4

ก. x4 – 4x3 – 3x2 + 2x + 1 ข. 12x2 + 18xy + y2 – 14

ค. x4y + xy3 – x2y + xy + 6 ง. x3 + 3x2y + 11xy2 – 15

8. ข้อใดคอื พหุนามในรปู ผลสำเรจ็ ของ 4x2 + 6 – 2x – x2 + 4x – 5

ก. 3x2 – 2x – 1 ข. 3x2 + 2x – 1

ค. -3x2 – 2x + 1 ง. 3x2 + 2x + 1

9. ขอ้ ใดคอื พหุนามในรูปผลสำเรจ็ ของ x3 + x2y – 4x2y + 8 – x3 + 2xy2 – 3xy2 และดีกรขี องพหนุ าม

เท่ากับเทา่ ใด

ก. 2x3 – 3x2y – 2xy2 + 8 ดกี รีของพหุนามเทา่ กบั 3

ข. -3x2y – xy2 + 8 ดกี รขี องพหุนามเท่ากบั 3

ค. 3x2 – xy2 + 8 ดีกรขี องพหุนามเท่ากับ 3

ง. 3x2y – xy2 + 8 ดกี รขี องพหุนามเท่ากบั 3

10. 2x3 + 4x2y + 3xy – 2y + 4 คอื พหุนามในรปู ผลสำเร็จของขอ้ ใด
ก. x3 + x3 + 4x2y – 3x2y + 3xy – 6 + 3y – y + 1
ข. 2x3 – 6x2y + 2xy – 3y + 10x2y + xy – 6 + 1
ค. 2x3 – 4x2y + 5xy + 8x2y + 3y – 2xy + y – 4
ง. x3 – x2y + 2xy – 2y + 3 + xy – 7 + 8 + x3 + 5x2y

คณติ ศาสตร์ ม.2

แบบฝกึ ทกั ษะคณิตศาสตร์ ชุดพหนุ ามนา่ รู้ โดยใช้การเรยี นรู้แบบร่วมมอื เทคนิค STAD 19

เลม่ ท่ี 2 เรอื่ ง การบวกและการลบพหุนาม

ใบความรทู้ ี่ 2.2
เรอ่ื ง การบวกพหุนาม

การบวกพหุนาม

การบวกพหุนามทำได้โดยการนำพจน์ที่คล้ายกันของพหุนามมาบวกกัน
โดยการบวกพจน์ทค่ี ลา้ ยกนั ของพหุนามใชห้ ลกั การของการบวกเอกนาม หรืออาจจะใช้
วิธีการตั้งบวก คือ ให้ตัง้ พจนท์ คี่ ลา้ ยกันให้ตรงกนั แล้วจึงบวกเข้าด้วยกนั

การบวกพหนุ ามในแนวตงั้

ตวั อย่างที่ 1 จงหาผลบวก x + 4 และ x + 7
วธิ ที ำ ต้งั พจนท์ ่ีคล้ายกนั ใหต้ รงกนั

x+4
+

x+7
2x + 11

ตอบ (x + 4) + (x + 7) = 2x + 11

ตัวอย่างที่ 2 จงหาผลบวก x2 + 4x – 5 และ 3x2 – 7x + 9
วิธีทำ ต้ังพจน์ทคี่ ล้ายกันใหต้ รงกัน

x2 + 4x – 5
+

3x2 – 7x + 9
4x2 – 3x + 4

ตอบ (x2 + 4x – 5) + (3x2 – 7x + 9) = 4x2 – 3x + 4

คณติ ศาสตร์ ม.2

แบบฝกึ ทักษะคณิตศาสตร์ ชุดพหนุ ามน่ารู้ โดยใช้การเรยี นรู้แบบร่วมมือเทคนิค STAD 20

เล่มท่ี 2 เร่ือง การบวกและการลบพหุนาม

ตวั อย่างที่ 3 จงหาผลบวก 5x2 + 4x – 7 และ 9x2 – 4x + 5

วิธีทำ ตัง้ พจนท์ ่คี ล้ายกนั ให้ตรงกนั

5x2 + 4x – 7 +
9x2 – 4x + 5
14x2+ 0x – 2

ตอบ 14x2 – 2

ตวั อยา่ งท่ี 4 จงหาผลบวก 7x4 + 3x3 – 3x – 6 และ 5x3 – 3x2 + x + 5
วิธที ำ ตง้ั พจน์ท่ีคล้ายกนั ให้ตรงกัน

7x4 + 3x3 – 3x – 6
+

5x3 – 3x2 + x + 5

7x4 + 8x3 – 3x2 – 2x – 1

ตอบ 7x4 + 8x3 – 3x2 – 2x – 1

ตวั อยา่ งที่ 5 จงหาผลบวก x2y + x + xy + y และ 3x + 4xy + 2x2y – 5y

วธิ ีทำ เนือ่ งจาก x2y + x + xy + y และ 3x + 4xy + 2x2y - 5y ไมอ่ ยใู่ นรูปทีเ่ รยี งจาก
ดีกรีมากไปน้อย ตอ้ งจดั รูปทเี่ รียงดีกรีจากมากไปนอ้ ยแลว้ จึงหาผลบวก

x2y + x + xy + y = x2y + xy + x + y
3x + 4xy + 2x2y – 5y = 2x2y + 4xy +3x – 5y

x2y + xy + x + y
+

2x2y + 4xy + 3x – 5y
3x2y + 5xy + 4x – 4y

ตอบ 3x2y + 5xy + 4x – 4y

คณิตศาสตร์ ม.2

แบบฝกึ ทกั ษะคณิตศาสตร์ ชดุ พหนุ ามน่ารู้ โดยใช้การเรยี นรแู้ บบร่วมมือเทคนคิ STAD 21

เล่มท่ี 2 เรอ่ื ง การบวกและการลบพหุนาม

การบวกพหนุ ามในแนวนอน

ตวั อยา่ งที่ 6 จงหาผลบวก 7x2 – 8x + 4 และ -x2 + 5x – 9
วิธที ำ รวมพจน์ที่คล้ายกันเข้าด้วยกนั

(7x2 – 8x + 4) + (-x2 + 5x – 9) = [7x2 + (-x2)] + (-8x + 5x) + [4 + (-9)]

= 6x2 + (-3x) + (-5)

ตอบ 6x2 – 3x – 5

ตวั อย่างที่ 7 จงหาผลบวก x2 – 3x + 9 และ 4x2 + 5x – 4
วิธีทำ รวมพจนท์ ่คี ล้ายกนั เขา้ ดว้ ยกัน

(x2 – 3x + 9) + (4x2 + 5x – 4) = (x2 + 4x2) + [(-3x) + 5x] + [9 + (-4)]

= 5x2 + 2x + 5

ตอบ 5x2 + 2x + 5

ตวั อยา่ งที่ 8 จงหาผลบวก x2 + 9xy – 4 , 3x2 + 9y2 + 12 และ 3xy + 5y2 – 8
วิธที ำ รวมพจน์ทีค่ ล้ายกันเข้าดว้ ยกนั

(x2 + 9xy – 4) + (3x2 +9y2 +12) + (3xy + 5y2 – 8)
= (x2 + 3x2) + (9xy + 3xy) + (9y2 + 5y2) + [(-4) + (-8)]

= 9x2 + 12xy + 14y2 + (-12)

ตอบ 9x2y – 3xy2 – 4xy + 4

คณติ ศาสตร์ ม.2

แบบฝกึ ทกั ษะคณิตศาสตร์ ชดุ พหุนามนา่ รู้ โดยใชก้ ารเรยี นร้แู บบรว่ มมือเทคนิค STAD 22

เลม่ ท่ี 2 เรื่อง การบวกและการลบพหุนาม

ชือ่ – สกุล ..................................................................... ชัน้ ....................... เลขท่ี ............

แบบฝึกหดั ที่ 2.2.1 คะแนนเตม็ 10 คะแนน
ทำได้

คะแนน

คำช้แี จง จงหาผลบวกของพหนุ ามต่อไปนโี้ ดยใช้วธิ กี ารบวกในแนวตง้ั

1) x + 7 2) 2x + 7
+ +

x –2 -x – 5

ตอบ ตอบ

3) x2 + 6x – 8 4) 4x2 + 9x – 4
+ +

4x2 – 8x – 12 -7x2 + 4x – 12

ตอบ ตอบ

คณิตศาสตร์ ม.2

แบบฝึกทกั ษะคณติ ศาสตร์ ชุดพหุนามนา่ รู้ โดยใชก้ ารเรียนรู้แบบร่วมมือเทคนคิ STAD 23

เล่มที่ 2 เรอ่ื ง การบวกและการลบพหุนาม

5) 8x2 + 6x – 4 และ 3x2 – 6x + 5 6) 4x3 – 2x2 + x – 5 และ 3x3 + x2 + 6

8x2 + 6x –4 4x3 – 2x2 + x – 8
3x2 – 6x + 3x3 – +

+5 x2 + 6

ตอบ ตอบ

7) (3x4 + 5 – x2 + x3) + (9 + 3x2 + 6x) 8) (b2 + b4 – 5b + 4 ) + (6b2 + 7 – b3)

………………………………………………… …………………………………………………
………………………………………………… …………………………………………………
………………………………………………… …………………………………………………
………………………………………………… …………………………………………………

9) (x2 + 3x + 8) + (3x2 – 6x + 4) + (-2x2 + 7x – 11)

…………a…………………………………………………………………………………………………….…………
…………………………………………………………………………………a…………………………….…………
……………………………………………………………………………………………………………….…………
……………………………………………………………………………………………………………….…………
……………………………………………………………………………………………………………….…………

10) (a2 + 4b2 – 3) +(2a2 – 4ab+ 3a – 14) + (-a2 + b2 + 11b – 2)

……………………………………………………………………………………………………………….…………
……………………………………………………………………………………………………………….…………
……………………………………………………………………………………………………………….…………
……………………………………………………………………………………………………………….…………
……………………………………………………………………………………………………………….…………

คณติ ศาสตร์ ม.2

แบบฝึกทักษะคณติ ศาสตร์ ชุดพหุนามน่ารู้ โดยใช้การเรียนรู้แบบรว่ มมือเทคนคิ STAD 24

เล่มท่ี 2 เรอ่ื ง การบวกและการลบพหุนาม

ชื่อ – สกุล ..................................................................... ชัน้ ....................... เลขท่ี ............

คะแนนเตม็ 10 คะแนน

ทำได้

แบบฝกึ หัดที่ 2.2.2 คะแนน

คำชแ้ี จง จงหาผลบวกของพหุนามตอ่ ไปนี้โดยใชว้ ธิ ีการบวกในแนวนอน

1) (a + 7) + (a – 5) 2) (2x + 8) + (-x – 5)

= ………………………………………………………….. = …………………………………………………………..
= ………………………………………………………….. = …………………………………………………………..

3) (x2 – 4x + 5) + (x2 + 8x – 6) 4) (5b2 + 6b – 5) + (-6b2 – 5b + 7)

= ………………………………………………………….. = …………………………………………………………..
= ………………………………………………………….. = …………………………………………………………..

5) (x2 + 4x – 7) + (4x2 + 3) 6) (a2 + 9) + (3a2 – 7a + 15)

= ………………………………………………………….. = …………………………………………………………..
= ………………………………………………………….. = …………………………………………………………..

คณติ ศาสตร์ ม.2

แบบฝกึ ทักษะคณติ ศาสตร์ ชดุ พหุนามน่ารู้ โดยใชก้ ารเรียนรแู้ บบร่วมมือเทคนคิ STAD 25

เลม่ ท่ี 2 เรื่อง การบวกและการลบพหุนาม

7) (4x2 + 2x – 7) + (-3x2 + 5x + 4) 8) (a3 + 2a2 – 3a + 9) + (2a2 – 9a + 3)

= ………………………………………………………….. = …………………………………………………………..
= ………………………………………………………….. = …………………………………………………………..

9) (a2 + 3a + 4) + (2a2 – 4a + 6) + (-2a2 + 6a – 11)

= ………………………………………………………………………………………………………….………………………
= ………………………………………………………………………………………………………….………………………

10) (y2 + 4xy + 2x2 – 4x + 9y + 3) + (2x2 – 4xy + 4y2 – 2) + (x2 + 5xy + 4x + 3y + 1)
= ………………………………………………………………………………………………………….………………………
= ………………………………………………………………………………………………………….………………………

คณติ ศาสตร์ ม.2

แบบฝกึ ทกั ษะคณติ ศาสตร์ ชดุ พหุนามนา่ รู้ โดยใช้การเรียนรู้แบบร่วมมอื เทคนคิ STAD 26

เลม่ ท่ี 2 เรอื่ ง การบวกและการลบพหุนาม

แบบทดสอบย่อยท่ี 2.2
เรอ่ื ง การบวกพหนุ าม

คำชแ้ี จง ใหน้ ักเรียนเลือกคำตอบที่ถูกต้องที่สดุ เพียงคำตอบเดียวแล้วทำเครือ่ งหมายกากบาท (×)

ลงในกระดาษคำตอบ

1. (x + 4) + (x – 5) มีค่าตรงกับข้อใด

ก. 2x + 3 ข. 2x – 1

ค. 2x + 1 ง. 2x – 3
2. (3x + 4) + (2x + 6) มีค่าตรงกบั ข้อใด

ก. 5x + 4 ข. 5x + 6

ค. 5x + 8 ง. 5x + 10

3. (2x2 + 3x – 1) + (x2 – 5x + 7) มีค่าตรงกบั ขอ้ ใด

ก. 3x2 – 2x + 6 ข. 3x2 + 2x – 6

ค. 3x2 – 2x – 6 ง. 3x2 + 2x + 6

4+. (4x2 – 2x + 7) + (x2 + 2x – 5) มีค่าตรงกบั ข้อใด

ก. 5x2 – 2 ข. 5x2 + 2

ค. 5x2 – x + 2 ง. x2 + 2
5. (8x2 + 15) + (-4x2 + 6x – 8) มคี า่ ตรงกบั ข้อใด

ก. -4x2 + 6x + 7 ข. 4x2 + 6x + 7

ค. 4x2 + 6x – 7 ง. -4x2 – 6x + 7

คณิตศาสตร์ ม.2

แบบฝึกทักษะคณติ ศาสตร์ ชุดพหนุ ามน่ารู้ โดยใช้การเรยี นรู้แบบร่วมมือเทคนคิ STAD 27

เลม่ ที่ 2 เรอื่ ง การบวกและการลบพหุนาม

6. (x2 – xy + y2) + (2x2 + xy – y2) มีค่าตรงกบั ข้อใด

ก. 3x2 ข. 3x2 + xy

ค. 3x2 – xy ง. 3x2 + xy – y2

7. (-5a2 + 4a + 2) + (-a2 – 6a + 5) มีคา่ ตรงกบั ขอ้ ใด

ก. -4a2 – 2a +7 ข. 4a2 – 2a +7

ค. 6a2 – 2a +7 ง. -6a2 – 2a +7

8. (x2 + 6x – 1) + (3x2 – 5x + 2) + (-x2 – 4x + 6) มคี ่าตรงกบั ขอ้ ใด

ก. x2 – 3x + 7 ข. 3x2 – 3x + 7

ค. 3x2 + 3x + 7 ง. x2 – 3x – 7

9. (4x2 – 3) + (2x + 8) + (-3x2 – 7) + (x2 + 5x) มคี ่าตรงกับข้อใด

ก. 2x2 + 7x – 2 ข. 2x2 – 7x – 2

ค. 2x2 – 7x + 2 ง. 2x2 + 7x + 2

10. (x3 + 3x2y – xy + y2 – x + 4) + (2x3 – 5x2y – 6xy + 3x – y + 7) มีค่าตรงกับข้อใด

ก. 3x3 – 2x2y – 7xy + y2 + 2x – y + 11

ข. 3x3 – 2x2y + 7xy + y2 + 2x – y – 11

ค. 3x3 + 2x2y – 7xy + y2 – 2x – y + 11

ง. 3x3 – 2x2y + 7xy + y2 + 2x + y + 11

คณิตศาสตร์ ม.2

แบบฝึกทกั ษะคณติ ศาสตร์ ชดุ พหุนามนา่ รู้ โดยใช้การเรียนรู้แบบรว่ มมอื เทคนิค STAD 28

เลม่ ท่ี 2 เรื่อง การบวกและการลบพหุนาม

ใบความร้ทู ่ี 2.3
เรือ่ ง การลบพหุนาม

การลบพหุนาม

การลบพหุนามน้ันให้หลักการที่ว่า การลบ คือ การบวกด้วยจำนวน
ตรงข้ามของตัวลบ น่ันคือให้เปลี่ยนตัวลบเป็นจำนวนตรงข้ามแล้วนำมาบวก
กับตัวตั้ง และจำนวนตรงข้ามของพหุนาม ก็คือ ผลบวกของจำนวนตรงข้าม
ของแต่ละพจนใ์ นพหนุ ามน้ัน

เช่น จำนวนตรงขา้ มของ a – b คือ -a + b
จำนวนตรงข้ามของ 5x2 – 6x + 9 คือ -5x2 + 6x – 9

ในการลบพหนุ ามน้นั ใชห้ ลักการเดียวกันกับการบวกพหนุ าม

การลบพหนุ ามในแนวตง้ั

ตัวอย่างท่ี 1 จงหาผลลบของ 3x + 8 และ x + 3

วธิ ที ำ พหุนามตรงขา้ มของ x + 3 คือ -(x + 3) = -x – 3

3x + 8
+

-x – 3

2x + 5

ตอบ 2x + 5

คณติ ศาสตร์ ม.2

แบบฝกึ ทักษะคณติ ศาสตร์ ชดุ พหุนามน่ารู้ โดยใชก้ ารเรียนรู้แบบรว่ มมือเทคนิค STAD 29

เลม่ ท่ี 2 เรือ่ ง การบวกและการลบพหุนาม

ตัวอยา่ งที่ 2 จงหาผลลบของ 5a2 + 6a – 8 และ 5a2 – 5a + 2

วิธีทำ พหุนามตรงขา้ มของ 5a2 – 5a + 2 คอื -(5a2 – 5a + 2) = -5a2 + 5a – 2

5a2 + 6a – 8

+
-5a2 + 5a – 2 0

0a2 + 11a – 10

ตอบ 11a – 10

ตวั อย่างท่ี 3 จงหาผลลบของ 2x3 – 3x2 + 5x - 7 และ 4x2 – 5x + 2

วธิ ีทำ พหนุ ามตรงขา้ มของ 4x2 – 5x + 2 คือ – (4x2 – 5x + 2) = -4x2 + 5x – 2

2x3 – 3x2 + 5x – 7
+

-4x2 + 5x – 2
2x3 – 7x2 + 10x – 9

ตอบ 2x3 – 7x2 + 10x – 9

ตัวอยา่ งท่ี 4 จงหาผลลบของ y3 – 7 + 3y2 – y และ 9 – y3 + 4y2 – 5y

วิธีทำ เนอ่ื งจาก y3 – 7 + 3y2 – y และ 9 – y3 + 4y2 – 5y ไมอ่ ยใู่ นรูปท่เี รียงดกี รจี าก
มากไปน้อยตอ้ งจัดให้อยู่ในรปู ทีเ่ รียงดีกรีจากมากไปน้อยแลว้ จึงหาผลลบของพหุนาม

y3 – 7 + 3y2 – y = y3 + 3y2 – y – 7
9 – y3 + 4y2 – 5y = -y3 + 4y2 – 5y + 9

พหนุ ามตรงข้ามของ -y3 + 4y2 – 5y + 9 คอื –(-y3 + 4y2 – 5y + 9) = y3 – 4y2 + 5y – 9

y3 + 3y2 – y – 7
+

-y3 – 4y2 + 5y – 9
0y3 – y2 + 4y – 16

ตอบ -y2 + 4y – 16

คณิตศาสตร์ ม.2

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ ชดุ พหนุ ามนา่ รู้ โดยใช้การเรียนรแู้ บบร่วมมือเทคนคิ STAD 30
เล่มท่ี 2 เรือ่ ง การบวกและการลบพหุนาม 22

ตัวอยา่ งท่ี 5 จงหาผลลบของ 5a2 – 6a + 8 , a2 – 4a + 14 และ – 9a2 + 4a + 6
วิธีทำ พหุนามตรงข้ามของ a2 – 4a + 14 คอื -(a2 – 4a + 14) = -a2 + 4a - 14

พหุนามตรงขา้ มของ -9a2 + 4a + 6 คือ – (-9a2 + 4a + 6) = 9a2 – 4a – 6

5a2 – 6a + 8
-a2 + 4a – 14 +
9a2 – 4a – 6
13a2 – 6a – 12

ตอบ 12a2 – 6a – 12

การลบพหนุ ามในแนวนอน

ตวั อยา่ งท่ี 6 จงหาผลลบ 8x – 7 และ 4x + 8
วิธที ำ พหนุ ามตรงขา้ มของ 4x + 8 คือ -(4x + 8) = -4x – 8

(8x – 7) + (– 4x – 8) = [8x + (-4x)] + [-7 + (-8)]

= 4x + (-15)

ตอบ (8x – 7) – (4x + 8) = 4x – 15

ตัวอยา่ งที่ 7 จงหาผลลบ 6a2 – 5a + 9 และ -8a2 + 4a – 4
วิธที ำ พหุนามตรงข้ามของ -8a2 +4a – 4 คือ -(-8a2 +4a – 4) = 8a2 – 4a + 4

(6a2 – 5a + 9) + (8a2 – 4a + 4) = (6a2 + 8a2) + [-5a + (-4a)] + (9 + 4)

= 14a2 + (-9a) + 13

ตอบ 14a2 – 9a + 13

คณิตศาสตร์ ม.2

แบบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์ ชุดพหุนามน่ารู้ โดยใช้การเรยี นรแู้ บบร่วมมอื เทคนิค STAD 31
เล่มท่ี 2 เร่ือง การบวกและการลบพหุนาม 22

ตวั อย่างท่ี 8 จงหาผลลบ z4 – 7z3 – 4z +11 และ 4z4 + 5z2 + 8z – 8
วิธีทำ พหุนามตรงขา้ มของ 4z2 + 5z3 + 8z – 8 คือ -(4z2 + 5z3 + 8z – 8)

= -4z2 – 5z3 – 8z + 8
(z4 – 7z3 – 4z + 11) + (-4z2 – 5z3 – 8z + 8)

= [z4 + (-4z2)] – 7z3 – 5z2 + [-4z + (-8z)] + (11 + 8)
= (-3z2) – 7z3 – 5z2 + (-12z) + 19

ตอบ -3z2 – 7z3 – 5z2 – 12z + 19

ตวั อยา่ งที่ 9 จงหาผลลบ x2 + 2xz + z2 – 4x – 9 และ 2x2 – xz + 8z2 + 2z + 3
วิธที ำ พหุนามตรงข้ามของ 2x2 – xz + 8z2 + 2z + 3 คอื -(2x2 – xz + 8z2 + 2z + 3)

= -2x2 + xz – 8z2 – 2z – 3
(x2 + 2xz + z2 – 4x – 9) + (-2x2 + xz – 8z2 – 2z – 3)
= [x2 + (-2x2)] + (2xz + xz) + [-z2 + (-8z2)] – 4x – 2z + [(-9) + (-8)]
= (-x2) + 3xz + (-9z2) – 4x – 2z + (-17)

ตอบ -x2 + 3xz + (-9z2) – 4x – 2z – 17

คณิตศาสตร์ ม.2

แบบฝึกทกั ษะคณติ ศาสตร์ ชดุ พหนุ ามนา่ รู้ โดยใช้การเรียนรแู้ บบร่วมมอื เทคนคิ STAD 32
เล่มท่ี 2 เรื่อง การบวกและการลบพหุนาม 22

ตวั อย่างที่ 10 จงหาผลลบของ a2 + 2ab + b2 – a + 7, 2a2 + ab – b2 + 5b – 2
และ – a2 + 2b2 + a – b – 5

วิธที ำ พหนุ ามตรงข้ามของ 2a2 + ab – b2 + 5b - 2 คอื - (2a2 + ab – b2 + 5b – 2)

= -2a2 – ab + b2 – 5b + 2

พหนุ ามตรงข้ามของ -a2 + 2b2 + a – b – 5 คอื -(-a2 + 2b2 + a – b – 5)

= a2 – 2b2 – a + b + 5
(a2 + 2ab + b2 – a + 7) + (– 2a2 – ab + b2 – 5b + 2) + (a2 – 2b2 – a + b + 5)
= [ a2 + (-2a2) + a2] + [2ab + (-ab)] + [b2 + b2 + (-2b2)]

+ [ – a + (-a)] + (-5b + b) + (7 + 2 +5)
= 0a2 + ab + 0b2 – 2a – 4b + 14

ตอบ ab – 2a – 4b + 14

คณิตศาสตร์ ม.2

แบบฝกึ ทักษะคณติ ศาสตร์ ชดุ พหนุ ามนา่ รู้ โดยใช้การเรียนร้แู บบรว่ มมอื เทคนิค STAD 33

เลม่ ที่ 2 เร่อื ง การบวกและการลบพหุนาม

ชื่อ – สกลุ ..................................................................... ชัน้ ....................... เลขที่ ............

แบบฝกึ หัดที่ 2.3.1 คะแนนเตม็ 10 คะแนน
ทำได้

คะแนน

คำชแ้ี จง จงหาผลลบของพหุนามต่อไปนีโ้ ดยใชว้ ธิ ีกาลบในแนวต้ัง

1) (3x– 5) – (x + 6) 2) (4a + 7) – (-a + 5)

พหุนามตรงขา้ มของ x + 6 คอื พหนุ ามตรงข้ามของ -a + 5 คอื

…………………………………………. ………………………………………….

3x – 5 4a + 7
+ +

ตอบ ตอบ

3) (5x2 + 4x – 8) – (3x2 – 9x + 9) 4) (6a3 – 4a2 + a – 6) – (a3 + 3a2 + 4a – 2)

พหุนามตรงขา้ มของ 3x2 – 9x + 9 คอื พหุนามตรงขา้ มของ a3 + 3a2 + 4a – 2 คอื

…………………………………………. ………………………………………….

5x2 + 4x – 8 6a3 – 4a2 + a – 6
+ +

ตอบ ตอบ

คณติ ศาสตร์ ม.2

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ ชุดพหนุ ามน่ารู้ โดยใชก้ ารเรียนรูแ้ บบร่วมมือเทคนิค STAD 34
เลม่ ท่ี 2 เรื่อง การบวกและการลบพหุนาม 22

5) (x2 + 3xy + y2 + 6) – (2x2 – 4xy + 3y2 – 11)

พหุนามตรงข้ามของ 2x2 – 4xy + 3y2 – 11 คือ ………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………

6) (b3 – 2bc2 + b – 3) – (-b3 + 6b2c + 4bc2 + 1)

พหนุ ามตรงขา้ มของ -b3 + 6b2c + 4bc2 + 1 คือ ………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………

7) (x2 + 5 – x3 – 7x) – (8 + 2x3 – x)

เรยี งดีกรีตัวตั้ง คอื ………………………………………………………………………………………………
เรยี งดีกรีตัวลบ คอื ……………………………………………………………………………………………..
พหุนามตรงขา้ มของตัวลบ คอื ………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………

คณิตศาสตร์ ม.2

แบบฝกึ ทกั ษะคณิตศาสตร์ ชดุ พหนุ ามน่ารู้ โดยใช้การเรยี นร้แู บบรว่ มมือเทคนิค STAD 35

เล่มท่ี 2 เรอ่ื ง การบวกและการลบพหุนาม

8) (4ab + 2a2 – b2 + 8) – (-ab + 7b2 + a2 + 1)

เรียงดกี รีตวั ตั้ง คือ ………………………………………………………………………………………………
เรยี งดีกรตี ัวลบ คือ ……………………………………………………………………………………………..
พหุนามตรงข้ามของตัวลบ คอื ………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………

9) (2x2 + 4x – 6) – (5x2 + 8x – 6) – (4x2 – 2x + 8)

พหุนามตรงขา้ มของ 5x2 + 8x – 6 คอื …………………………………………………………………..
พหุนามตรงข้ามของ 4x2 – 2x + 8 คอื ……………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….

10) (a2 + 5ab + b2 + a – b – 7) – (a2 – 3ab + 2b2 – 2b + 6) – (-3a2 + 2b2 – 7a + 5b – 11)

พหนุ ามตรงขา้ มของ a2 – 3ab + 2b2 – 2b + 6 คอื …………………………………………………..
พหุนามตรงขา้ มของ -3a2 + 2b2 – 7a +5y – 11 คือ …………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………….

คณติ ศาสตร์ ม.2

แบบฝึกทักษะคณติ ศาสตร์ ชุดพหนุ ามนา่ รู้ โดยใชก้ ารเรยี นร้แู บบร่วมมือเทคนคิ STAD 36

เล่มที่ 2 เรอ่ื ง การบวกและการลบพหุนาม

ชื่อ – สกุล ..................................................................... ชั้น ....................... เลขที่ ............

แบบฝกึ หัดที่ 2.3.2
คำชแี้ จง จงหาผลลบของพหนุ ามต่อไปนี้โดยใชว้ ธิ กี ารลบในแนวนอน

1) (a + 9) – (-a + 4)
พหุนามตรงขา้ มของ -a + 4 คือ …………………………………………………………………………………………….

= ………………………………………………………………………………………………………….……………………….
= ………………………………………………………………………………………………………….……………………….

2) (-5x – 7) – (-6x – 9)
พหนุ ามตรงข้ามของ -6x – 9 คือ ……………………………………………………………………………………………

= ………………………………………………………………………………………………………….……………………….
= ………………………………………………………………………………………………………….……………………….
3) (6x2 + 7x – 4) – (9x2 + 5x + 3)

พหนุ ามตรงขา้ มของ 9x2 + 5x + 3 คอื ……………………………………………………………………………………

= ………………………………………………………………………………………………………….……………………….
= ………………………………………………………………………………………………………….……………………….

คณติ ศาสตร์ ม.2

แบบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์ ชุดพหนุ ามนา่ รู้ โดยใช้การเรียนรู้แบบร่วมมือเทคนคิ STAD 37

เลม่ ท่ี 2 เรื่อง การบวกและการลบพหุนาม

4) (a2 – 3a – 2) – (-4a2 – 5a + 6)

พหุนามตรงขา้ มของ -4a2 – 5a + 6 คือ …………………………………………………………………………………

= ………………………………………………………………………………………………………….……………………….
= ………………………………………………………………………………………………………….……………………….
5) (y2 – 5y – 9) – (-7y2 + 5)

พหนุ ามตรงขา้ มของ -7y2 + 5 คือ ………………………………………………………………………………………….

= ………………………………………………………………………………………………………….……………………….
= ………………………………………………………………………………………………………….……………………….
6) (4c2 – 8) – (-3c2 + 7c – 15)

พหุนามตรงขา้ มของ -3c2 + 7c – 15 คอื ……………………………………………………………………………..….

= ………………………………………………………………………………………………………….……………………….
= ………………………………………………………………………………………………………….……………………….
7) (4x2 – 3x – 5) – (-5x2 + 4x – 7)

พหนุ ามตรงขา้ มของ -5x2 + 4x – 7 คอื ………………………………………………………………………………….

= ………………………………………………………………………………………………………….……………………….
= ………………………………………………………………………………………………………….……………………….
8) (a3 – 3a2 + 2a + 9) – (-2a2 – 7a – 2)

พหุนามตรงข้ามของ -2a2 – 7a – 2 คอื ………………………………………………………………………………….

= ………………………………………………………………………………………………………….……………………….
= ………………………………………………………………………………………………………….……………………….

คณติ ศาสตร์ ม.2

แบบฝกึ ทักษะคณิตศาสตร์ ชดุ พหนุ ามน่ารู้ โดยใช้การเรียนรู้แบบร่วมมอื เทคนคิ STAD 38

เล่มท่ี 2 เรือ่ ง การบวกและการลบพหุนาม
9) (x2 + 6xy + y2 – 6x + 7y – 1) – (4x2 – 4xy + 4y2 + 2) – (-4x2 – 9xy + 8x + 9y + 2)

พหนุ ามตรงขา้ มของ 4x2 – 4xy + 4y2 + 2 คอื ………………………………………………………………………….
พหนุ ามตรงขา้ มของ -4x2 – 9xy + 8x + 9y + 2 คอื ………………………………………………………………...

= ………………………………………………………………………………………………………….……………………….
= ………………………………………………………………………………………………………….……………………….
= ………………………………………………………………………………………………………….……………………….
10) (a4 – 2a3 + 3a2 – 6) – (2a3 + 2a2 – 5a + 14) – (-2a4 + 2a3 – 5a2 + 8a)

พหุนามตรงขา้ มของ 2a3 + 2a2 – 5a + 14 คอื ………………………………………………………………………….
พหนุ ามตรงข้ามของ -2a4 + 2a3 – 5a2 + 8a คือ ………………………………………………………………........

= ………………………………………………………………………………………………………….……………………….
= ………………………………………………………………………………………………………….……………………….
= ………………………………………………………………………………………………………….……………………….

คณติ ศาสตร์ ม.2

แบบฝึกทักษะคณติ ศาสตร์ ชดุ พหุนามนา่ รู้ โดยใช้การเรียนรแู้ บบร่วมมอื เทคนิค STAD 39

เลม่ ท่ี 2 เร่อื ง การบวกและการลบพหุนาม

แบบทดสอบหลงั เรียน

เล่มท่ี 2 เร่อื ง การบวกและการลบพหุนาม

คำช้แี จง ใหน้ กั เรียนเลอื กคำตอบท่ีถูกต้องท่ีสดุ เพียงคำตอบเดียวแล้วทำเครือ่ งหมายกากบาท (×)

ลงในกระดาษคำตอบ

1. พหุนามในข้อใดมีดีกรขี องพหนุ ามเท่ากบั 4

ก. 23 + x2y ข. 3x2y + x2y

ค. 5a2b3 + xy4 + 1 ง. 4c – 5ab3 + 3a

2. ดีกรีของพหุนามในข้อใดน้อยทีส่ ุด

ก. x5 + 4x4 – 3x + 11 ข. xy5 + 4x2y – 3xy – 6x + 12y – 7

ค. x4 + 4x3 – 3x2 – 6x – 11 ง. y3 + 3x2y – 4xy2 + 2x – 3y + 11

3. ขอ้ ใดคอื พหุนามในรปู ผลสำเร็จ ข. x3 + 2x2 – x + 1
ก. 2x3 – 2 + 4x4 – 5

ค. -4x2 + 3x4 + 4x2 + 5 ง. 3 + 2x2 – 6 + 3x

4. 7x3 – 3 – 5x + 3x2 + 4x3 – 8x + 8 มีค่าตรงกบั ข้อใด

ก. 11x3 + 3x2 – 13x + 5 ข. 10x3 – 3x2 + 13x – 5

ค. 11x3 – 3x2 + 13x – 5 ง. 10x3 + 3x2 – 13x + 5

คณิตศาสตร์ ม.2

แบบฝึกทกั ษะคณติ ศาสตร์ ชดุ พหนุ ามน่ารู้ โดยใชก้ ารเรยี นรู้แบบรว่ มมอื เทคนิค STAD 40

เลม่ ท่ี 2 เรอ่ื ง การบวกและการลบพหุนาม

5. x2 + 2x – 3 เปน็ ผลบวกของข้อใด ข. (3x2 + 8x + 8) + (-2x2 – 7x – 11)
ก. (2x2 – 5x + 2) + (-x2 + 7x – 5)

ค. (7x2 – 10x – 2) + (-6x2 + 8x – 1) ง. (12x2 – 6x + 1) + (-11x2 + 8x – 5)

6. (-x2 + x) + (5x2 – 6x + 8) มีค่าตรงกบั ข้อใด ข. 4x2 – 5x + 8
ก. 4x2 + 7x – 8

ค. -6x2 + 7x – 8 ง. -6x2 – 5x + 8

7. (3x + 1) – (x – 4) มีค่าตรงกบั ขอ้ ใด ข. 2x – 5
ก. -2x + 5

ค. 2x + 5 ง. -2x – 5

8. (3x2 – 4x + 6) – (-x2 + 3x – 1) มคี ่าตรงกบั ขอ้ ใด

ก. 2x2 + x – 5 ข. 2x2 – x – 5

ค. 4x2 – 7x + 7 ง. 4x2 + 7x – 7

9. (5x2 + 2x – 6) – (3x2 – 7x – 1) – (-2x2 + x – 4) มีค่าตรงกบั ขอ้ ใด

ก. 4x2 + 8x – 1 ข. 4x2 – 6x – 11

ค. 4x2 + 8x – 3 ง. -6x2 – 11

10. (2x2 – 2xy + y2 – x + 7) – (-x2 – 2xy + 3y2 + 4y – 1) มีค่าตรงกับขอ้ ใด

ก. 3x2 – 2y2 – x – 4y – 6 ข. 3x2 – 2y2 – x – 4y + 8

ค. 3x2 – 4xy – 2y2 – x – 4y + 8 ง. 3x2 – 2y2 – x + 4y – 8

คณติ ศาสตร์ ม.2

แบบฝึกทกั ษะคณติ ศาสตร์ ชดุ พหุนามนา่ รู้ โดยใช้การเรียนรู้แบบรว่ มมอื เทคนิค STAD 28

เลม่ ท่ี 2 เรื่อง การบวกและการลบพหุนาม

ใบความร้ทู ่ี 2.3
เรือ่ ง การลบพหุนาม

การลบพหุนาม

การลบพหุนามน้ันให้หลักการที่ว่า การลบ คือ การบวกด้วยจำนวน
ตรงข้ามของตัวลบ น่ันคือให้เปลี่ยนตัวลบเป็นจำนวนตรงข้ามแล้วนำมาบวก
กับตัวตั้ง และจำนวนตรงข้ามของพหุนาม ก็คือ ผลบวกของจำนวนตรงข้าม
ของแต่ละพจนใ์ นพหนุ ามน้ัน

เช่น จำนวนตรงขา้ มของ a – b คือ -a + b
จำนวนตรงข้ามของ 5x2 – 6x + 9 คือ -5x2 + 6x – 9

ในการลบพหนุ ามน้นั ใชห้ ลักการเดียวกันกับการบวกพหนุ าม

การลบพหนุ ามในแนวตง้ั

ตัวอย่างท่ี 1 จงหาผลลบของ 3x + 8 และ x + 3

วธิ ที ำ พหุนามตรงขา้ มของ x + 3 คือ -(x + 3) = -x – 3

3x + 8
+

-x – 3

2x + 5

ตอบ 2x + 5

คณติ ศาสตร์ ม.2

แบบฝกึ ทักษะคณติ ศาสตร์ ชดุ พหุนามน่ารู้ โดยใชก้ ารเรียนรู้แบบรว่ มมือเทคนิค STAD 29

เลม่ ท่ี 2 เรือ่ ง การบวกและการลบพหุนาม

ตัวอยา่ งที่ 2 จงหาผลลบของ 5a2 + 6a – 8 และ 5a2 – 5a + 2

วิธีทำ พหุนามตรงขา้ มของ 5a2 – 5a + 2 คอื -(5a2 – 5a + 2) = -5a2 + 5a – 2

5a2 + 6a – 8

+
-5a2 + 5a – 2 0

0a2 + 11a – 10

ตอบ 11a – 10

ตวั อย่างท่ี 3 จงหาผลลบของ 2x3 – 3x2 + 5x - 7 และ 4x2 – 5x + 2

วธิ ีทำ พหนุ ามตรงขา้ มของ 4x2 – 5x + 2 คือ – (4x2 – 5x + 2) = -4x2 + 5x – 2

2x3 – 3x2 + 5x – 7
+

-4x2 + 5x – 2
2x3 – 7x2 + 10x – 9

ตอบ 2x3 – 7x2 + 10x – 9

ตัวอยา่ งท่ี 4 จงหาผลลบของ y3 – 7 + 3y2 – y และ 9 – y3 + 4y2 – 5y

วิธีทำ เนอ่ื งจาก y3 – 7 + 3y2 – y และ 9 – y3 + 4y2 – 5y ไมอ่ ยใู่ นรูปท่เี รียงดกี รจี าก
มากไปน้อยตอ้ งจัดให้อยู่ในรปู ทีเ่ รียงดีกรีจากมากไปน้อยแลว้ จึงหาผลลบของพหุนาม

y3 – 7 + 3y2 – y = y3 + 3y2 – y – 7
9 – y3 + 4y2 – 5y = -y3 + 4y2 – 5y + 9

พหนุ ามตรงข้ามของ -y3 + 4y2 – 5y + 9 คอื –(-y3 + 4y2 – 5y + 9) = y3 – 4y2 + 5y – 9

y3 + 3y2 – y – 7
+

-y3 – 4y2 + 5y – 9
0y3 – y2 + 4y – 16

ตอบ -y2 + 4y – 16

คณิตศาสตร์ ม.2

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ ชดุ พหนุ ามนา่ รู้ โดยใช้การเรียนรแู้ บบร่วมมือเทคนคิ STAD 30
เล่มท่ี 2 เรือ่ ง การบวกและการลบพหุนาม 22

ตัวอยา่ งท่ี 5 จงหาผลลบของ 5a2 – 6a + 8 , a2 – 4a + 14 และ – 9a2 + 4a + 6
วิธีทำ พหุนามตรงข้ามของ a2 – 4a + 14 คอื -(a2 – 4a + 14) = -a2 + 4a - 14

พหุนามตรงขา้ มของ -9a2 + 4a + 6 คือ – (-9a2 + 4a + 6) = 9a2 – 4a – 6

5a2 – 6a + 8
-a2 + 4a – 14 +
9a2 – 4a – 6
13a2 – 6a – 12

ตอบ 12a2 – 6a – 12

การลบพหนุ ามในแนวนอน

ตวั อยา่ งท่ี 6 จงหาผลลบ 8x – 7 และ 4x + 8
วิธที ำ พหนุ ามตรงขา้ มของ 4x + 8 คือ -(4x + 8) = -4x – 8

(8x – 7) + (– 4x – 8) = [8x + (-4x)] + [-7 + (-8)]

= 4x + (-15)

ตอบ (8x – 7) – (4x + 8) = 4x – 15

ตัวอยา่ งที่ 7 จงหาผลลบ 6a2 – 5a + 9 และ -8a2 + 4a – 4
วิธที ำ พหุนามตรงข้ามของ -8a2 +4a – 4 คือ -(-8a2 +4a – 4) = 8a2 – 4a + 4

(6a2 – 5a + 9) + (8a2 – 4a + 4) = (6a2 + 8a2) + [-5a + (-4a)] + (9 + 4)

= 14a2 + (-9a) + 13

ตอบ 14a2 – 9a + 13

คณิตศาสตร์ ม.2

แบบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์ ชุดพหุนามน่ารู้ โดยใช้การเรยี นรแู้ บบร่วมมอื เทคนิค STAD 31
เล่มท่ี 2 เร่ือง การบวกและการลบพหุนาม 22

ตวั อย่างท่ี 8 จงหาผลลบ z4 – 7z3 – 4z +11 และ 4z4 + 5z2 + 8z – 8
วิธีทำ พหุนามตรงขา้ มของ 4z2 + 5z3 + 8z – 8 คือ -(4z2 + 5z3 + 8z – 8)

= -4z2 – 5z3 – 8z + 8
(z4 – 7z3 – 4z + 11) + (-4z2 – 5z3 – 8z + 8)

= [z4 + (-4z2)] – 7z3 – 5z2 + [-4z + (-8z)] + (11 + 8)
= (-3z2) – 7z3 – 5z2 + (-12z) + 19

ตอบ -3z2 – 7z3 – 5z2 – 12z + 19

ตวั อยา่ งที่ 9 จงหาผลลบ x2 + 2xz + z2 – 4x – 9 และ 2x2 – xz + 8z2 + 2z + 3
วิธที ำ พหุนามตรงข้ามของ 2x2 – xz + 8z2 + 2z + 3 คอื -(2x2 – xz + 8z2 + 2z + 3)

= -2x2 + xz – 8z2 – 2z – 3
(x2 + 2xz + z2 – 4x – 9) + (-2x2 + xz – 8z2 – 2z – 3)
= [x2 + (-2x2)] + (2xz + xz) + [-z2 + (-8z2)] – 4x – 2z + [(-9) + (-8)]
= (-x2) + 3xz + (-9z2) – 4x – 2z + (-17)

ตอบ -x2 + 3xz + (-9z2) – 4x – 2z – 17

คณิตศาสตร์ ม.2

แบบฝึกทกั ษะคณติ ศาสตร์ ชดุ พหนุ ามนา่ รู้ โดยใช้การเรียนรแู้ บบร่วมมอื เทคนคิ STAD 32
เล่มท่ี 2 เรื่อง การบวกและการลบพหุนาม 22

ตวั อย่างที่ 10 จงหาผลลบของ a2 + 2ab + b2 – a + 7, 2a2 + ab – b2 + 5b – 2
และ – a2 + 2b2 + a – b – 5

วิธที ำ พหนุ ามตรงข้ามของ 2a2 + ab – b2 + 5b - 2 คอื - (2a2 + ab – b2 + 5b – 2)

= -2a2 – ab + b2 – 5b + 2

พหนุ ามตรงข้ามของ -a2 + 2b2 + a – b – 5 คอื -(-a2 + 2b2 + a – b – 5)

= a2 – 2b2 – a + b + 5
(a2 + 2ab + b2 – a + 7) + (– 2a2 – ab + b2 – 5b + 2) + (a2 – 2b2 – a + b + 5)
= [ a2 + (-2a2) + a2] + [2ab + (-ab)] + [b2 + b2 + (-2b2)]

+ [ – a + (-a)] + (-5b + b) + (7 + 2 +5)
= 0a2 + ab + 0b2 – 2a – 4b + 14

ตอบ ab – 2a – 4b + 14

คณิตศาสตร์ ม.2