แผนการจัดการเรียนรู้ เรื่อง เมทริกซ์

แผนการจัดการเรียนรทู้ ่ี 24

หนว่ ยการเรยี นรทู้ ่ี 2 เมทรกิ ซ์ เร่อื ง การแก้ระบบสมการเชิงเส้น 2 ตวั แปร

รายวิชา คณติ ศาสตรเ์ พ่มิ เตมิ (ค 30203) ช้ันมธั ยมศกึ ษาปีท่ี 5 กลุ่มสาระการเรียนรคู้ ณิตศาสตร์

เวลาเรียน 3 ชม./สปั ดาห์ ภาคเรียนที่ 1 ปกี ารศึกษา 2565 ครผู ูส้ อน นางพรรณี เกตถุ าวร

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

1. มาตรฐานการเรยี นรู้

ใช้นพิ จน์ สมการ อสมการ และเมทรกิ ซ์ อธิบายความสัมพันธ์ หรือช่วยแกป้ ญั หาทก่ี ำหนดให้

2. ผลการเรยี นรู้

เข้าใจความหมาย หาผลลพั ธข์ องการบวกเมทริกซ์ การคูณเมทริกซก์ บั จำนวนจริง การคณู ระหว่าง

เมทรกิ ซ์ และหาเมทริกซส์ ลบั เปลยี่ น หาดเี ทอรมิแนนตของเมทริกซ n × n เม่ือ n เปนจาํ นวนนบั ท่ีไมเกนิ สาม

3. สาระสำคญั

บทนิยาม ให้ a1 , a2 , … , an , b เป็นจำนวนจรงิ ใดๆ ท่ี a1 , a2 , … , an ไมเ่ ปน็ ศูนย์พร้อมกันเรียก

สมการ a1x1 + a2x2 + anxn = b ว่า สมการเชงิ เสน้ n ตวั แปรโดยที่ x1 , x2 , … , xn เป็นตวั แปร

บทนยิ าม ให้ x1 , x2 , … , xn เปน็ ตวั แปร หมายถึง ชดุ ของสมการเชงิ เสน้ ท่ีประกอบดว้ ยสมการเชิง

เส้นที่มี x1 , x2 , … , xn เป็นตัวแปรจำนวน m สมการ โดยที่ m  2

คำตอบของระบบสมการน้ี คอื จำนวน n จำนวนทนี่ ำไปแทนตวั แปร x1 , x2 , … , xn ในทกุ ๆสมการ

ตามลำดบั แลว้ ไดส้ มการท่เี ป็นจริงทั้งหมด

ในการแก้ระบบสมการเชงิ เส้นสองตวั แปร ที่มีคำตอบเพียงคำตอบเดยี วนัน้ นอกจากจะหาคำตอบ

จากกราฟแล้ว อาจใชว้ ิธอี ื่นหาได้ โดยใช้หลกั การกำจดั ตัวแปรตวั ใดตวั หนงึ่ ตามวธิ ีการตอ่ ไปน้ี

1. พยายามหาค่าของ y ในเทอมของ x (หรอื หาค่าของ x ในเทอมของ y) จากสมการหนึง่ แลว้

นำคา่ ท่ไี ดไ้ ปแทน y (หรอื x) ในอีกสมการหนึง่

2. หาโดยวธิ ีทำให้ค่าสัมบรู ณข์ องสมั ประสทิ ธิข์ องตวั แปรตัวใดตัวหน่งึ เท่ากนั แล้วนำสมการ

ท้งั สองมาบวกหรอื ลบกนั เพอื่ กำจดั ตัวแปรตวั ใดตัวหน่งึ ใหห้ มดไป

4. จดุ ประสงคก์ ารเรยี นรู้

ดา้ นความรู้ (K) นักเรยี นสามารถ

1. อธบิ ายความหมายและลกั ษณะของคำตอบของระบบสมการเชงิ เส้น 2 ตัวแปรได้

ด้านทักษะและกระบวนการ (P) นกั เรียนมีความสามารถในการ

1. หาคำตอบของระบบสมการเชงิ เสน้ 2 ตัวแปรได้

ด้านคณุ ลักษณะ (A) นักเรยี นมี

1. มีความละเอียดรอบคอบในการทำงานท่ีได้รับมอบหมาย

2. มคี วามรับผิดชอบต่อหน้าท่ที ่ไี ด้รับมอบหมาย

3. มคี วามซื่อสัตย์ ในการทำงานทไี่ ดร้ ับมอบหมายด้วยตนเอง
4. มีวนิ ยั ตอ่ ตนเองและต่อสว่ นรวม
สาระท้องถนิ่ -

5. สมรรถนะสำคญั ของผเู้ รียน  5.4 ความสามารถในการใช้ทกั ษะชีวติ
 5.1 ความสามารถในการส่อื สาร  5.5 ความสามารถในการใชเ้ ทคโนโลยี
 5.2 ความสามารถในการคดิ
 5.3 ความสามารถในการแกป้ ัญหา

6. คณุ ลักษณะอนั พงึ ประสงค์

 6.1 รักชาติ ศาสน์ กษัตริย์  6.5 อยู่อย่างพอเพียง

 6.2 ซอ่ื สตั ย์สุจริต  6.7 รักความเปน็ ไทย

 6.3 มีวนิ ัย  6.6 มงุ่ มน่ั ในการทำงาน

 6.4 ใฝเ่ รียนรู้  6.8 มีจติ สาธารณะ

สอดคลอ้ งกับคณุ ธรรมอตั ลักษณ์ของสถานศกึ ษา เร่อื ง มวี ินยั ความรับผิดชอบ มีจติ อาสา

7. ช้ินงาน / ภาระงาน

- แบบฝึกหัด

8. บูรณาการ

-

9. กิจกรรมการเรยี นรู้

9.1 ขั้นนำ : การนำเขา้ ส่ปู ระสบการณ์และการสำรวจความรู้

1. ครูทบทวนบทเรยี นทนี่ กั เรยี นเคยเรียนมาแลว้ โดยใหน้ กั เรียนหาคำตอบของระบบสมการเชงิ เสน้

ตอ่ ไปนโ้ี ดยใช้กราฟ เมอ่ื x, y เป็นจำนวนเต็มใดๆ

(1) x + y = 8 …..(1)

x−y = 2 …..(2)

คำตอบของสมการ (1) ไดแ้ ก่ ..., (1, 7), (2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2), (7, 1), …

คำตอบของสมการ (2) ได้แก่ ..., (3, 1), (4, 2), (5, 3), (6, 4), (7, 5), …
คำตอบของระบบสมการคือ (5, 3)

(2) 2x − y = 1 …..(1)

4x − 2y = 0 …..(2)

คำตอบของสมการ (1) ไดแ้ ก่ ..., (0, −1), (1, 1), (2, 3), (3, 5), …

คำตอบของสมการ (2) ได้แก่ ..., (0, 0), (1, 2), (2, 4), (3, 6), …

เขียนกราฟได้ดังนี้

คำตอบของระบบสมการคอื ไม่มคี ำตอบ

2. ครูอธบิ ายวา่ นอกจากการใชก้ ราฟในการหาคำตอบของระบบสมการเชิงเสน้ สองตัวแปรแลว้ เราอาจ
หาคำตอบโดยใช้สมบัตขิ องการเทา่ กนั เชน่

1) สมบัติสมมาตร
2) สมบัติถา่ ยทอด
3) สมบัติการบวกและสมบตั ิการคูณ
ในการแก้ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร ทีม่ ีคำตอบเพียงคำตอบเดยี วนนั้ นอกจากจะหาคำตอบจาก
กราฟแลว้ อาจใชว้ ธิ ีอ่ืนหาได้ โดยใช้หลกั การกำจัดตวั แปรตวั ใดตัวหน่ึงตามวธิ ีการตอ่ ไปนี้

1. พยายามหาค่าของ y ในเทอมของ x (หรือหาค่าของ x ในเทอมของ y) จากสมการหนึ่งแล้วนำ
คา่ ที่ได้ไปแทน y (หรอื x) ในอีกสมการหนง่ึ

2. หาโดยวธิ ีทำให้ค่าสัมบูรณ์ของสมั ประสิทธิ์ของตวั แปรตัวใดตัวหนึง่ เท่ากนั แลว้ นำสมการท้ังสอง
มาบวกหรือลบกนั เพอื่ กำจัดตัวแปรตัวใดตัวหนึง่ ให้หมดไป

9.2 ขน้ั สอน : การสร้างความรู้และการสาธติ

3. ครูยกตวั อย่างการแกร้ ะบบสมการเชงิ เส้นสองตัวแปรพร้อมยกตวั อย่างประกอบ ดังนี้

ตัวอยา่ งท่ี 1 y = 2x − 8 …..(1)

x = 2y + 4 …..(2)

แทนค่า y ใน (2);

x = 2(2x − 8) + 4

x = 4x − 16 + 4

3x = 12

x=4

แทนค่า x ใน (1) ;

y = 2(4) − 8

y=0

คำตอบของระบบสมการคือ (4, 0)

ตัวอย่างที่ 2 x − y + 1 = 0 …..(1)
x+y = 3 …..(2)
(1) + (2);

(x − y + 1) + (x + y) = 0 + 3
2x + 1 = 3
2x = 2
x=1
แทนคา่ x ใน (2);
1+y= 3
y=2

คำตอบของระบบสมการคอื (1, 2)

ตวั อย่างที่ 3 3x − 2y = 4 …..(1)

−2x + 4y = 0 …..(2)

(1)  2 ; 6x − 4y = 8 …..(3)

(2) + (3) ; (−2x + 4y) + (6x − 4y) = 0 + 8

4x = 8

x=2

แทนค่า x ใน (2); −2(2) + 4y = 0

y=1

คำตอบของระบบสมการคือ (2, 1)

ตัวอย่างที่ 4 4x + 3y = 20 …..(1)

2x + 6y = 46 …..(2)

(1)  2; 8x + 6y = 40 …..(3)

(3) − (2); (8x + 6y) − (2x + 6y) = 40 − 46

6x = −6

x = −1

แทนค่า x ใน (1) ; 4(−1) + 3y = 20

−4 + 3y = 20

y=8

คำตอบของระบบสมการคือ (−1, 8)

ตัวอยา่ งที่ 5 3(x + y) = 6 …..(1)
…..(2)
4(x − y) = 16 …..(3)
…..(4)
(1) 3 จะได้ x + y = 2

(2) 4 จะได้ x − y = 4

(3) + (4); 2x = 6

x=3

แทนคา่ x ใน (3) จะได้

3+y = 2

y = 2−3

y = −1

คำตอบของระบบสมการคอื (3, −1)

ตวั อยา่ งที่ 6 x − y−32 = 0 …..(1)
…..(2)
0.2x + 0.3y = 5
(1)  3 ; 3x − 3(y3−2) = 3  0 …..(3)
…..(4)
3x − (y − 2) = 0 …..(5)
…..(4)
3x − y + 2 = 0

3x − y = −2

(2)  10; 2x + 3y = 50

(3)  3; 9x − 3y = −6

(4) + (5); 11x = 44

x=4

แทนคา่ x ใน (1); 4− y−32 = 0
y − 2 = 12

y = 14

คำตอบของระบบสมการคอื (4, 14)

ตวั อย่างที่ 7 3x − 4y − 1 = 3(2x − y + 2) …..(1)
…..(2)
(4x + 2y + 3) = 7x + y + 9
…..(3)
จาก (1) ; 3x − 4y − 1 = 6x − 3y + 6
…..(4)
3x − 4y − 6x + 3y = 6 + 1 …..(5)

−3x − y = 7

จาก (2); 8x + 4y + 6 = 7x + y + 9

8x + 4y − 7x − y = 9 − 6

x + 3y = 3

(3)  3; −9x − 3y = 21

(4) + (5); −8x = 24

x = −3

แทนคา่ x ใน (4); 3y = 6

y=2

คำตอบของระบบสมการคือ (−3, 2)

4. ครูอธิบายการแกร้ ะบบสมการทม่ี ี 3 ตัวแปรพร้อมยกตัวอยา่ งประกอบ ดงั นี้

ตัวอยา่ งที่ 1 จงแกร้ ะบบสมการ
x+y+z = 2
x+y–z = 4
x + 2y + z = 4

วิธีทำ x + y + z = 2 ……………………(1)

x + y – z = 4 ……………………(2)

x + 2y + z = 4 ……………………(3)

(1) – (2) จะได้ 2z = - 2

z = -1

(3) – (1) จะได้ y = 2

แทน y และ z ใน (1) ดว้ ย 2 และ – 1 ตามลำดับ

จะได้ x + 2 – 1 = 2

x =1

ดงั นั้น คำตอบของระบบสมการ คอื (1 , 2 , -1)

ตวั อย่างที่ 2 จงแกร้ ะบบสมการ
x + 2y + 7z = 10
x + y +5z = 7
2x – y + 4z = 5

วิธที ำ x + 2y + 7z = 10 ……………………(1)

x + y + 5z = 7 ……………………(2)

2x – y + 4z = 5 ……………………(3)

(1) – (2) จะได้ y + 2z = 3 ……………………(4)

(1) – 2 x (4) จะได้ x + 3z = 4 ……………………(5)

จาก (4) จะได้ y = 3 – 2z

จาก (5) จะได้ x = 4 – 3z

แทน x และ y ใน (3) ดว้ ย 4 – 3z และ 3 – 2z ตามลำดบั

จะได้ 2(4 – 3z) – (3-2z) + 4z = 5

5=5

แทน x และ y ใน (1) ด้วย 4 – 3z และ 3 – 2z ตามลำดับ

จะได้ (4 – 3z) + 2(3-2z) + 7z = 10
10 = 10

แทน x และ y ใน (2) ดว้ ย 4 – 3z และ 3 – 2z ตามลำดับ
จะได้ (4 – 3z) + (3-2z) + 5z = 7

7=7
ดังนั้น (4 – 3z , 3 – 2z , z) สอดคลอ้ งกับสมการ (1) , (2) , (3)
จะได้ว่า คำตอบของระบบสมการ คอื (4 – 3z , 3 – 2z , z) เมือ่ z  R
หรือเซตของคำตอบของระบบสมการคอื {(x, y, z) x = 4 − 3z, y = 3 − 2z, z  R}
หรือ {(4 − 3z,3 − 2z) z  R}

ตวั อยา่ งที่ 3 จงแกร้ ะบบสมการ
x + 2y – 2z = 1
2x + 2y – z = 4
3x + 4y – 3z = 6

วิธีทำ x + 2y – 2z = 1 ……………………(1)

2x + 2y – z = 4 ……………………(2)

3x + 4y – 3z = 6 ……………………(3)

(1) + (2) จะได้ 3x + 4y – 3z = 5 ……………………(4)

ถ้า (x , y , z) เป็นคำตอบของระบบสมการที่กำหนดแล้ว (x , y , z) ตอ้ งสอดคล้องกับสมการ (1) , (2) ,

(3) และถ้า (x , y , z) ตอ้ งสอดคลอ้ งกบั สมการ (1) , (2) แล้ว (x , y , z) ตอ้ งสอดคลอ้ งกบั สมการ (4)

จาก (4) 3x + 4y – 3z = 5

จาก (3) 3x + 4y – 3z = 6

ซง่ึ เห็นได้ชัดวา่ ไมม่ ี x , y , z ทีท่ ำให้สมการ (3) และ (4) เปน็ จรงิ พรอ้ มกัน

ดังนัน้ ระบบสมการที่กำหนดไม่มีคำตอบ

5. ครูให้นักเรยี นทำแบบฝึกหดั 1.1 ในหนังสอื แบบเรยี น โดยวิธจี ับฉลาก ตัวแทนออกมาแสดงวธิ ี
ทำและหาคำตอบบนกระดาน กล่มุ อ่ืนๆ ตรวจสอบความถกู ต้อง กจิ กรรมขอ้ ทเ่ี หลอื ให้นักเรียนทำเป็นการบ้าน

9.3 ขั้นสรุป : การประยกุ ต์ใช้
6. ครูและนกั เรยี นร่วมกันสรุปหลกั การแก้ระบบสมการเชิงเส้น 2 ตัวแปร และคำตอบของระบบสมการ

7. ครมู อบหมายใหน้ ักเรียนศกึ ษาความรู้เพิม่ เติม เรือ่ ง ความหมายและลกั ษณะของเมทรกิ ซ์

ผ่านทาง racha1-online.school

8. ใหน้ กั เรยี นทำแบบฝึกหัดในเอกสารประกอบการเรียนเป็นการบา้ น

10. สื่อการเรยี นรู้ / แหลง่ การเรียนรู้
ส่ือการเรียนรู้
- แบบฝกึ หัด
- เอกสารประกอบการเรียน เร่ือง เมทรกิ ซ์
แหลง่ การเรยี นรู้
- ขอ้ มูลจากเว็บไซต์ต่าง ๆ
- บทเรียนออนไลน์ Racha 1- Online
- หอ้ งสมดุ โรงเรียน
- หอ้ งกลุ่มสาระการเรยี นรู้คณติ ศาสตร์

11. การวัดและประเมินผลการเรยี นรู้

รายการวัดและประเมนิ ผล วิธวี ดั ผล เครื่องมอื วัดและ เกณฑก์ าร
ประเมินผล ประเมนิ ผล
ความรู้ (K) การทำแบบฝกึ หัด ทำแบบฝึกหัดได้
แบบฝึกหัด
ทกั ษะ/กระบวนการ (P) การทำแบบฝกึ หัด ถูกตอ้ ง
คณุ ลกั ษณะ/เจตคติ (A) แบบฝกึ หดั อยา่ งนอ้ ย 80%
สังเกตพฤตกิ รรมในชน้ั เรยี น ผา่ นเกณฑ์เฉลีย่ 3
และการทำงานทีไ่ ดร้ ับ แบบประเมิน
มอบหมาย พฤตกิ รรม ข้นึ ไป

ผ่านเกณฑเ์ ฉล่ีย 3
ขึน้ ไป

แผนการจัดการเรยี นร้ทู ี่ 25

หนว่ ยการเรียนร้ทู ่ี 2 เมทรกิ ซ์ เร่อื ง ความหมายและลกั ษณะของเมทริกซ์

รายวิชา คณิตศาสตรเ์ พม่ิ เติม (ค 30203) ชั้นมัธยมศกึ ษาปที ่ี 5 กลุ่มสาระการเรียนรคู้ ณิตศาสตร์

เวลาเรียน 3 ชม./สปั ดาห์ ภาคเรยี นที่ 1 ปกี ารศกึ ษา 2565 ครูผู้สอน นางพรรณี เกตุถาวร

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

1. มาตรฐานการเรยี นรู้

ใชน้ ิพจน์ สมการ อสมการ และเมทริกซ์ อธิบายความสัมพันธ์ หรอื ชว่ ยแกป้ ัญหาทกี่ ำหนดให้

2. ผลการเรยี นรู้

เข้าใจความหมาย หาผลลพั ธ์ของการบวกเมทรกิ ซ์ การคณู เมทริกซ์กบั จำนวนจรงิ การคณู ระหว่าง

เมทรกิ ซ์ และหาเมทริกซส์ ลับเปลี่ยน หาดเี ทอรมแิ นนตของเมทรกิ ซ n × n เมอ่ื n เปนจาํ นวนนับที่ไมเกินสาม

3. สาระสำคญั

เมทรกิ ซ์ คือกลุม่ ของจำนวนหรอื สมาชิกของจรงิ ใดๆ เขยี นเรียงกันเปน็ รูปสีเ่ หลีย่ มผืนผา้ หรือจตั ุรัส

กล่าวคอื เรียงเป็นแถวในแนวนอน และเรียงเปน็ แถวในแนวตั้ง เรามักเขยี นเมทริกซ์เปน็ ตารางที่ไมม่ เี สน้ แบง่ และ

เขียนวงเลบ็ ครอ่ มตารางไว้ (ไมว่ า่ จะเปน็ วงเลบ็ โคง้ หรือวงเล็บเหลี่ยม)

เราเรยี กแถวในแนวนอนของเมทรกิ ซว์ า่ แถว เรยี กแถวในแนวต้งั ของเมทรกิ ซ์วา่ หลกั และเรยี กจำนวนแต่
ละจำนวนในเมทรกิ ซ์ว่า สมาชกิ ของเมทรกิ ซ์ การกลา่ วถึงสมาชิกของเมทรกิ ซ์ จะตอ้ งระบุตำแหนง่ ให้ถกู ต้อง

เมทริกซท์ ีม่ จี ำนวนแถว (Row) = m แถว และหลกั (Column) = n หลัก เรียกว่า

m x n เมทรกิ ซ์ เช่น เมทรกิ ซ์ A มมี ติ ิ 2 × 3 จะเขียนเมทริกซ์ ดว้ ยสญั ลกั ษณ์

[ ]A = a11 a12 a13
a21 a22 a23 2×3

จากตัวอย่างนเี้ รยี กเมตรกิ ซ์ A ว่า มี 2 แถว 3 หลัก มีสมาชิกทงั้ หมด 6 ตวั
สัญลักษณร์ ปู ทว่ั ไปของ A = [aij]m×n
เราใช้สญั ญลกั ษณ์ เพือ่ หมายถงึ เมทริกซ์ ซงึ่ มี แถว และ หลกั โดยท่ี (หรอื ) หมายถึง สมาชิกที่อยู่ใน
ตำแหนง่ แถว และ หลัก ของเมทริกซ์

มิติ i  j


แถว หลัก

เชน่ A= a11 a12 a13  เมทริกซ์ A มมี ติ ิ 2  3
a21 a22 
a23 

a13 คอื สมาชกิ ของเมทรกิ ซ์ A ตำแหน่งที่ 13 หมายถงึ สมาชกิ ของเมทรกิ ซ์ A ตวั ทีอ่ ย่ใู นแถวที่ 1
หลกั ที่ 3

i = 1,2,3,4…,m
j = 1,2,3,4…,n
หมายถงึ เมทรกิ ซ์ A มจี ำนวนแถว m จำนวนหลัก n
โดยที่ a11 หมายถึง สมาชิกท่อี ยู่ในแถวท่ี 1 หลักที่ 1
a23 หมายถึง สมาชกิ ทอ่ี ยู่ในแถวที่ 2 หลักท่ี 3
aij หมายถงึ สมาชกิ ท่อี ยใู่ นแถวที่ i หลักที่ j

ขอ้ สงั เกต***
i เปน็ ตัวเลขบอกตำแหนง่ แถว j เปน็ ตวั เลขบอกตำแหนง่ หลกั และสมาชกิ ทกุ ตวั ของเมทริกซ์มี

ตำแหน่งของตวั เองเสมอ
การเรยี งตัวของกล่มุ ตัวเลข หรอื สมาชกิ สามารถจำแนกและเรียกชอื่ เฉพาะและมีคุณสมบตั ิดงั น้ี

1. เมทริกซแ์ ถว (Row Matrix) เป็นเมทรกิ ซท์ ี่มสี มาชกิ เพยี งแถวเดยี ว
2. เมทรกิ ซห์ ลกั (Column Matrix) เป็นเมทริกซ์ท่มี ี สมาชิกเพยี ง หลกั เดยี ว
3. เมทริกซศ์ นู ย์ (Zero Matrix) เป็นเมทรกิ ซ์ทม่ี ีสมาชิกทุกตัวเปน็ 0
4. เมทริกซ์จตั รุ สั (Square Matrix) เปน็ เมทริกซท์ ่มี ีจำนวนแถวและหลักเทา่ กัน
5. สเกลาร์เมทริกซ์ (Scalar Matrix) เปน็ เมทริกซจ์ ัตุรัส ทีม่ ีสมาชกิ ในแนวเสน้ ทแยงมุมหลัก(Main
Diagonal) เท่ากันหมด และสมาชกิ ที่เหลอื เปน็ 0 หมด
การเทา่ กันของเมทริกซใ์ ดๆ จะเป็นเมทริกซเ์ ท่ากันภายใตเ้ ง่อื นไข
1. เมทรกิ ซ์จะต้องมมี ติ เิ ทา่ กัน
2. สมาชกิ ในแต่ละตำแหน่งเทา่ กนั
4. จุดประสงคก์ ารเรียนรู้
ด้านความรู้ (K) นักเรยี นสามารถ
1. อธิบายความหมาย และการเขยี นเมทรกิ ซไ์ ด้
2. อธบิ ายลักษณะของเมทริกซ์ทีเ่ ท่ากันได้
ดา้ นทกั ษะและกระบวนการ (P) นักเรียนมคี วามสามารถในการ
1. นำสมบัติการเท่ากันของเมทริกซ์ไปใช้ในการแก้ปัญหาได้
ด้านคณุ ลกั ษณะ (A) นกั เรียนมี
1. มีความละเอยี ดรอบคอบในการทำงานทไ่ี ดร้ ับมอบหมาย

2. มคี วามรบั ผิดชอบต่อหนา้ ทที่ ีไ่ ด้รับมอบหมาย
3. มคี วามซอื่ สัตย์ ในการทำงานที่ได้รับมอบหมายด้วยตนเอง
4. มีวินัยต่อตนเองและต่อสว่ นรวม
สาระท้องถน่ิ -

5. สมรรถนะสำคัญของผเู้ รียน  5.4 ความสามารถในการใช้ทักษะชวี ิต
 5.1 ความสามารถในการส่อื สาร  5.5 ความสามารถในการใช้เทคโนโลยี
 5.2 ความสามารถในการคิด
 5.3 ความสามารถในการแก้ปัญหา

6. คณุ ลักษณะอันพึงประสงค์

 6.1 รักชาติ ศาสน์ กษัตรยิ ์  6.5 อยู่อย่างพอเพียง

 6.2 ซอ่ื สัตย์สจุ ริต  6.7 รกั ความเป็นไทย

 6.3 มีวินัย  6.6 มงุ่ ม่ันในการทำงาน

 6.4 ใฝเ่ รียนรู้  6.8 มจี ติ สาธารณะ

สอดคล้องกบั คณุ ธรรมอัตลกั ษณข์ องสถานศกึ ษา เร่อื ง มีวนิ ยั ความรบั ผดิ ชอบ มีจิตอาสา

7. ชิน้ งาน / ภาระงาน

- แบบฝกึ หดั

8. บรู ณาการ

-

9. กิจกรรมการเรยี นรู้

9.1 ข้นั นำ : การนำเขา้ สปู่ ระสบการณแ์ ละการสำรวจความรู้

1. ครูส่มุ ให้นกั เรียนอภิปรายความหมายของเมทรกิ ซ์ และการเขยี นสญั ลกั ษณแ์ ทนเมทริกซ์

2. ครเู ขียนเมทรกิ ซ์บนกระดาน แล้วสุ่มใหน้ ักเรยี นอภปิ รายหาสมาชกิ ตามทคี่ รูกำหนดให้เพื่อตรวจสอบความ

เข้าใจของนกั เรยี นจากที่ได้รับมอบหมายให้ไปศึกษาด้วยตนเองผ่านทาง http://racha1-online.school

9.2 ขั้นสอน : การสร้างความรูแ้ ละการสาธิต
3. ครอู ธบิ ายเกี่ยวกับบทนยิ ามของเมทรกิ ซ์ มติ ิของเมทรกิ ซ์ แถวและหลักของเมทริกซ์ ดงั นี้

เมทริกซ์ คอื กลุ่มของจำนวนหรือสมาชกิ ของจริงใดๆ เขยี นเรยี งกนั เป็นรูปสี่เหลีย่ มผืนผ้าหรือจัตุรัส
กลา่ วคือเรียงเป็นแถวในแนวนอน และเรียงเปน็ แถวในแนวตัง้ เรามกั เขยี นเมทรกิ ซ์เป็นตารางท่ไี มม่ ีเส้นแบ่งและ
เขยี นวงเลบ็ ครอ่ มตารางไว้ (ไมว่ ่าจะเปน็ วงเลบ็ โค้งหรอื วงเล็บเหล่ียม)

เราเรยี กแถวในแนวนอนของเมทรกิ ซว์ า่ แถว เรียกแถวในแนวตัง้ ของเมทริกซว์ ่า หลกั และเรยี กจำนวนแต่
ละจำนวนในเมทริกซ์วา่ สมาชิก ของเมทรกิ ซ์ การกล่าวถงึ สมาชกิ ของเมทริกซ์ จะตอ้ งระบตุ ำแหนง่ ให้ถกู ตอ้ ง

เมทรกิ ซ์ทมี่ จี ำนวนแถว (Row) = m แถว และหลกั (Column) = n หลกั เรยี กวา่

m x n เมทริกซ์ เช่น เมทริกซ์ A มมี ิติ 2 × 3 จะเขยี นเมทรกิ ซ์ ด้วยสัญลกั ษณ์

[ ]A = a11 a12 a13
a21 a22 a23 2×3

จากตัวอย่างนเี้ รยี กเมทรกิ ซ์ A ว่า มี 2 แถว 3 หลกั มสี มาชิกทง้ั หมด 6 ตวั
สญั ลักษณร์ ปู ทวั่ ไปของ A = [aij]m×n
เราใช้สัญลกั ษณ์ เพอื่ หมายถงึ เมทริกซ์ ซ่ึงมี แถว และ หลกั โดยที่ (หรือ ) หมายถึง สมาชกิ ทอ่ี ยู่ใน
ตำแหนง่ แถว และ หลกั ของเมทรกิ ซ์

มิติ i  j


แถว หลัก

เชน่ A= a11 a12 a13  เมทรกิ ซ์ A มมี ติ ิ 23
a21 a22 
a23 

a13 คือ สมาชิกของเมทริกซ์ A ตำแหน่งที่ 13 หมายถงึ สมาชกิ ของเมทริกซ์ A ตวั ทีอ่ ยใู่ นแถวที่ 1

หลักที่ 3

i = 1,2,3,4…,m

j = 1,2,3,4…,n

หมายถึง เมทริกซ์ A มจี ำนวนแถว m จำนวนหลัก n

โดยท่ี a11 หมายถงึ สมาชิกทีอ่ ยูใ่ นแถวท่ี 1 หลักที่ 1
a23 หมายถงึ สมาชกิ ท่อี ยู่ในแถวท่ี 2 หลักท่ี 3

aij หมายถงึ สมาชกิ ท่ีอย่ใู นแถวที่ i หลักท่ี j
ข้อสงั เกต***

i เปน็ ตัวเลขบอกตำแหนง่ แถว j เป็นตัวเลขบอกตำแหน่งหลัก และสมาชิกทุกตัวของเมทรกิ ซ์

มตี ำแหนง่ ของตวั เองเสมอ

เช่น

สมาชิกทอ่ี ยู่ในแถวท่ี 2 หลกั ท่ี 3 คือเลข 4
สมาชิกทอ่ี ยู่ในแถวท่ี 2 หลกั ที่ 2 คือเลข 1
สมาชกิ ที่อยู่ในแถวที่ 3 หลกั ที่ 1 คือเลข 5

4. ครูอธิบายเกยี่ วกับชนดิ ของเมทรกิ ซ์ประเภทตา่ งพร้อมยกตัวอย่างประกอบดงั นี้

การเรียงตวั ของกลุ่มตัวเลข หรือสมาชกิ สามารถจำแนกและเรียกชอ่ื เฉพาะและมคี ณุ สมบตั ดิ งั นี้

1. เมทริกซ์แถว (Row Matrix) เป็นเมทรกิ ซท์ มี่ ีสมาชิกเพียงแถวเดยี ว

เชน่ A=[0 -1 2]1×3
เป็นเมทริกซข์ นาดมติ ิ 1×3

[ ]2. เมทริกซ์หลกั (Column Matrix) เปน็ เมทริกซ์ท่มี ี สมาชิกเพยี ง หลกั เดียว
เชน่ 4
A= 3
-2 3×1

เปน็ เมทริกซ์ขนาดมิติ 3×1

3 เป็นสมาชิกในตำแหน่ง a21 หรือแถวที่ 2 หลกั ที่ 1
3. เมทรกิ ซศ์ ูนย์ (Zero Matrix) เปน็ เมทรกิ ซท์ ม่ี ีสมาชกิ ทกุ ตวั เป็น 0

สัญลกั ษณ์ 0 แทนเมทรกิ ซศ์ ูนย์ เช่น

[ ]0 0

A = 0 0 2×2

เมทรกิ ซ์ 0 ท่มี ีขนาดมิติ 2×2
4. เมทริกซ์จตั ุรัส (Square Matrix) เป็นเมทรกิ ซ์ทม่ี ีจำนวนแถวและหลักเทา่ กนั
A = [aij]m×n ; i=1,2,3,4…,n และ j=1,2,3,4…,n

[ ]เชน่
A= 1 -2 3
0 5 -1

0 1 2 3×3

เปน็ เมทริกซ์จตั รุ ัสมีขนาดมิติ 3×3 และมีสมาชกิ 9 ตัว
5. สเกลารเ์ มทริกซ์ (Scalar Matrix) เป็นเมทรกิ ซ์จัตุรสั ทมี่ ีสมาชิกในแนวเส้นทแยงมมุ หลกั
(Main Diagonal) เท่ากันหมด และสมาชกิ ทเี่ หลอื เป็น 0 หมด

300

เช่น A = 0 3 0

 0 0 3 33

5. ครอู ธิบายเกีย่ วกับการเท่ากันของเมทรกิ ซพ์ รอ้ มยกตัวอย่างประกอบ ดงั น้ี
การเท่ากันของเมทริกซ์ใดๆ จะเปน็ เมทรกิ ซ์เท่ากันภายใตเ้ ง่อื นไข

1. เมทริกซจ์ ะต้องมีมิตเิ ท่ากัน
2. สมาชกิ ในแต่ละตำแหน่งเทา่ กนั

เช่น

A = [01.5 2 −−12] , B = 1 8 −2
4 [1 4 ]

2 √16 −1

จะได้ A = B

6. ครยู กตัวอย่างการนำสมบตั ิการเท่ากันของเมทรกิ ซไ์ ปใชใ้ นการแกป้ ัญหาใหน้ กั เรียนศึกษาเป็นตวั อยา่ ง

ดงั น้ี

ตัวอยา่ ง จงหาค่า x และ y ทที่ ำให้

2x + y  = 2 
− x + 2 y − 11

วิธที ำ เมทริกซท์ ั้งสองเท่ากัน ก็ตอ่ เมอ่ื
2x + y = 2
- x + 2y = - 11
เมอ่ื แกร้ ะบบสมการเชงิ เส้น จะไดว้ า่ x = 3 , y = - 4

ดังนัน้ ค่าของ x และ y ท่ีทำให้เมทรกิ ซท์ ี่กำหนดเทา่ กนั คอื 3 และ – 4 ตามลำดับ

ตวั อย่าง จงหาคา่ x และ y ทที่ ำให้

x + 2y  = 3
2x + 4 y 6

วธิ ที ำ เมทริกซ์ทัง้ สองเทา่ กนั ก็ตอ่ เมื่อ
x + 2y = 3

2x + 4y = 6

x + 2y = 3 …………………(1)

2x + 4y = 6 …………………(2)

จะเห็นได้วา่ สมการ (2) ได้จากสมการ (1) คณู ด้วย 2

ฉะนัน้ คำตอบของระบบสมการที่ประกอบดว้ ยสมการ (1) และ (2) เปน็ ชุดเดยี วกับคำตอบของสมการ (1)

ถา้ x + 2y = 3 แล้ว x = 3 – 2y หรอื y = 3 − x

2

เซตคำตอบของสมการ (1) คอื (x, y) x + 2y = 3

= (3 − 2y, y) y  R

=  3 − x ) x  
( x, 2 R



ดังนนั้ คา่ ของ x และ y ทีท่ ำให้เมทรกิ ซท์ ่ีกำหนดเท่ากนั คือ

(x, y) (a,b) a + 2b = 3
หรอื (x, y) (3 − 2b,b) b  R
หรอื (x, y) (3 − 2b,b) b  R

9.3 ข้นั สรปุ : การประยกุ ต์ใช้
7. ให้นักเรยี นรว่ มกันสรปุ เก่ียวกับการเขยี นสญั ลักษณแ์ ทนเมทรกิ ซ์ มติ ขิ องเมทรกิ ซ์ และตำแหน่ง

สมาชกิ ของเมทริกซ์
8. ครูมอบหมายให้นกั เรยี นศึกษาความรู้เพ่มิ เติม เร่ือง การบวกและการลบเมทริกซ์ ผ่านทาง

racha1-online.school
9. มอบหมายใหน้ กั เรยี นทำแบบฝึกหัดในเอกสารประกอบการเรยี นเป็นการบ้าน

10. สอ่ื การเรียนรู้ / แหลง่ การเรียนรู้
สอื่ การเรียนรู้
- แบบฝึกหัด
- เอกสารประกอบการเรียน เรอ่ื ง เมทรกิ ซ์
แหล่งการเรียนรู้
- ขอ้ มูลจากเวบ็ ไซต์ต่าง ๆ
- บทเรยี นออนไลน์ Racha 1- Online
- หอ้ งสมดุ โรงเรยี น
- หอ้ งกล่มุ สาระการเรียนรคู้ ณิตศาสตร์

11. การวดั และประเมนิ ผลการเรียนรู้

รายการวดั และประเมินผล วิธีวดั ผล เครอื่ งมอื วดั และ เกณฑก์ าร
ประเมนิ ผล ประเมนิ ผล
ความรู้ (K) การทำแบบฝึกหัด ทำแบบฝึกหดั ได้
แบบฝกึ หดั
ทักษะ/กระบวนการ (P) การทำแบบฝึกหัด ถกู ต้อง
คุณลกั ษณะ/เจตคติ (A) แบบฝึกหัด อย่างนอ้ ย 80%
สังเกตพฤติกรรมในชั้นเรียน ผา่ นเกณฑเ์ ฉล่ีย 3
และการทำงานที่ได้รับ แบบประเมนิ
มอบหมาย พฤตกิ รรม ขนึ้ ไป

ผ่านเกณฑ์เฉล่ยี 3
ขนึ้ ไป

แผนการจัดการเรียนรทู้ ี่ 26

หนว่ ยการเรยี นร้ทู ่ี 2 เมทริกซ์ เรื่อง การหาผลบวกและผลลบเมทริกซ์

รายวชิ า คณิตศาสตรเ์ พ่ิมเตมิ (ค 30203) ช้ันมธั ยมศกึ ษาปีที่ 5 กล่มุ สาระการเรียนร้คู ณิตศาสตร์

เวลาเรียน 3 ชม./สัปดาห์ ภาคเรียนที่ 1 ปกี ารศึกษา 2565 ครูผ้สู อน นางพรรณี เกตถุ าวร

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

1. มาตรฐานการเรยี นรู้

ใชน้ ิพจน์ สมการ อสมการ และเมทรกิ ซ์ อธิบายความสมั พันธ์ หรือช่วยแก้ปัญหาท่ีกำหนดให้

2. ผลการเรียนรู้

เขา้ ใจความหมาย หาผลลพั ธข์ องการบวกเมทริกซ์ การคูณเมทริกซก์ บั จำนวนจริง การคูณระหวา่ ง

เมทรกิ ซ์ และหาเมทริกซ์สลับเปล่ยี น หาดีเทอรมิแนนตของเมทริกซ n × n เมื่อ n เปนจํานวนนบั ท่ีไมเกินสาม

3. สาระสำคญั

การบวกและการลบเมรกิ ซ์สองเมทรกิ ซใ์ ดๆ สามารถกระทำไดภ้ ายใต้เงอื่ นไข

1. เมทรกิ ซ์ ท้งั สองตอ้ งมีมิติเทา่ กนั

2. นำสมาชกิ ท่อี ยู่ตำแหน่งเดยี วกันบวกหรือลบกนั

นยิ าม ให้ A = [a1j]mn และ B = [bij]mn จะได้

(1) A + B = C = [c1j]mn โดยที่ Cij = Aij + Bij

(2) A - B = C = [c1j]mn โดยที่ Cij = Aij - Bij

สมบตั ขิ องการบวก

ถ้า A , B , C เป็นเมตรกิ ซ์มิติ m x n

1. A + B เปน็ เมตรกิ ซ์มิติ m x n (คุณสมบตั ิปิด)

2. A + B = B + A (คุณสมบัติสลับท่ี)

3. A + (B + C) = (A + B ) + C (คุณสมบัติเปลยี่ นกลุม่ ได)้

4. เอกลักษณก์ ารบวกคอื 0 + A = A + 0 = A

5. อินเวอรส์ การบวกของเมทริกซ์ A คือ -A โดยท่ี A + (-A) = 0

4. จดุ ประสงค์การเรียนรู้
ด้านความรู้ (K) นักเรียนสามารถ
1. บอกหลักการบวกและการลบเมทริกซท์ ี่กำหนดให้ได้
2. บอกมิตขิ องเมทริกซ์ท่กี ำหนดใหไ้ ด้

ด้านทกั ษะและกระบวนการ (P) นกั เรยี นมคี วามสามารถในการ
1. แสดงวิธีการหาผลบวกและผลลบของเมทรกิ ซ์ได้อย่างถกู ต้องและสมเหตุสมผล
2. นำความร้แู ละหลักการบวกและลบเมทริกซไ์ ปประยุกต์ใชใ้ นการแก้ปัญหาสถานการณใ์ หมๆ่ ไดอ้ ย่าง

เหมาะสม
ด้านคณุ ลักษณะ (A) นักเรียนมี
1. มคี วามละเอียดรอบคอบในการทำงานท่ไี ด้รบั มอบหมาย
2. มคี วามรบั ผิดชอบต่อหนา้ ท่ที ีไ่ ด้รับมอบหมาย
3. มคี วามซอื่ สัตย์ ในการทำงานทไี่ ดร้ ับมอบหมายดว้ ยตนเอง
4. มวี นิ ยั ต่อตนเองและต่อส่วนรวม
สาระทอ้ งถ่ิน -

5. สมรรถนะสำคญั ของผู้เรียน  5.4 ความสามารถในการใช้ทักษะชีวติ
 5.1 ความสามารถในการสื่อสาร  5.5 ความสามารถในการใชเ้ ทคโนโลยี
 5.2 ความสามารถในการคิด
 5.3 ความสามารถในการแก้ปญั หา

6. คณุ ลกั ษณะอนั พงึ ประสงค์

 6.1 รักชาติ ศาสน์ กษตั ริย์  6.5 อยู่อย่างพอเพียง

 6.2 ซอื่ สัตย์สุจริต  6.7 รกั ความเปน็ ไทย

 6.3 มีวนิ ัย  6.6 มงุ่ มั่นในการทำงาน

 6.4 ใฝเ่ รียนรู้  6.8 มจี ิตสาธารณะ

สอดคลอ้ งกบั คณุ ธรรมอตั ลักษณข์ องสถานศึกษา เรือ่ ง มวี ินัย ความรบั ผิดชอบ มจี ิตอาสา

7. ชิน้ งาน / ภาระงาน

- แบบฝึกหดั

8. บูรณาการ

-

9. กิจกรรมการเรียนรู้

9.1 ขนั้ นำ : การนำเข้าสปู่ ระสบการณ์และการสำรวจความรู้

1. ครูสุม่ ให้นักเรยี นอภิปรายหลกั การบวกและการลบเมทรกิ ซ์ เพื่อตรวจสอบความเขา้ ใจของนักเรียนจากที่

ไดร้ บั มอบหมายให้ไปศึกษาดว้ ยตนเองผา่ นทาง http://racha1-online.school

9.2 ขน้ั สอน : การสรา้ งความร้แู ละการสาธติ
2. ครอู ธบิ ายเก่ยี วกับการบวกและการลบเมทรกิ ซ์ ดงั น้ี

การบวกและการลบเมทรกิ ซส์ องเมทริกซใ์ ด ๆ สามารถกระทำได้ภายใต้เง่อื นไข

1. เมทรกิ ซ์ ท้งั สองต้องมมี ติ เิ ทา่ กนั

2. นำสมาชกิ ท่ีอยู่ตำแหน่งเดียวกันบวกหรือลบกัน

นยิ าม ให้ A = [a1j]mn และ B = [bij]mn จะได้

(1) A + B = C = [c1j]mn โดยท่ี Cij = Aij + Bij

(2) A - B = C = [c1j]mn โดยที่ Cij = Aij - Bij

3. ครูอธิบายวธิ ีการหาผลบวกและผลลบของเมทรกิ ซ์พรอ้ มยกตวั อยา่ งประกอบ ดังน้ี

ตวั อย่างท่ี 1 1 3 + 5 7 = 1+ 5 3 + 7 = 6 10
2 4 6 8 2 + 6 4 + 8 8 12

ตัวอย่างที่ 2 1 3 − 5 7 = 1 − 5 3 − 7 = − 4 − 4
2 4 6 8 2 − 6 4 − 8 − 4 − 4

4. ครูกำหนดโจทย์เพ่ิมเตมิ เป็นตวั อยา่ งท่ี 3 ใหน้ กั เรียนชว่ ยกนั หาผลบวกและผลลบของเมทรกิ ซ์

ตามเงอื่ นไขทกี่ ำหนดให้ ดงั น้ี

ตวั อย่างท่ี 3 กำหนดให้ A = B = C=

-3 5 [ ]3 c-8
-3 7 6 -2 41
8 -5
[ [ ] ] [ [] ]A + B 12

= 1+(-5) 2 +25 7 =
2+6 7 +(-2)

จากโจทย์จงหาคา่ ของ
1. B – A
2. (A + B ) + C
3. (B + A) - C
4. B – (A + C)
5. A + ( B + C)

5. ครอู ธบิ ายเก่ยี วกบั สมบัตขิ องการบวกเมทรกิ ซ์ ดงั น้ี

สมบัตขิ องการบวก

ถา้ A , B , C เป็นเมทริกซม์ ิติ m x n

1. A + B เป็นเมทริกซม์ ิติ m x n (คณุ สมบตั ปิ ิด)

2. A + B = B + A (คณุ สมบัติสลับท)ี่

3. A + (B + C) = (A + B ) + C (คณุ สมบัติเปล่ียนกลุ่มได้)

4. เอกลักษณ์การบวกคือ 0 + A = A + 0 = A

5. อนิ เวอรส์ การบวกของเมทรกิ ซ์ A คือ -A โดยที่ A + (-A) = 0

9.3 ขัน้ สรปุ : การประยกุ ตใ์ ช้
6. ครแู ละนักเรียนร่วมกนั อภปิ รายสรปุ วธิ ีการหาผลบวกและผลลบของเมทรกิ ซ์

7. ครใู หน้ ักเรียนทำแบบฝกึ หดั เพมิ่ เตมิ ในเอกสารประกอบการเรยี น

8. ครูมอบหมายใหน้ ักเรยี นศึกษาความรเู้ พ่มิ เตมิ เร่อื ง การคณู เมทรกิ ซด์ ้วยคา่ คงตวั ผ่านทาง

racha1-online.school

10. สือ่ การเรียนรู้ / แหลง่ การเรียนรู้
สือ่ การเรียนรู้
- แบบฝึกหัด
- เอกสารประกอบการเรยี น เร่ือง เมทริกซ์
แหล่งการเรียนรู้
- ขอ้ มลู จากเวบ็ ไซต์ตา่ ง ๆ
- บทเรยี นออนไลน์ Racha 1- Online
- ห้องสมดุ โรงเรยี น
- ห้องกลุ่มสาระการเรียนรู้คณติ ศาสตร์

11. การวดั และประเมนิ ผลการเรยี นรู้

รายการวดั และประเมินผล วธิ วี ดั ผล เครือ่ งมือวัดและ เกณฑก์ าร
ประเมนิ ผล ประเมินผล
ความรู้ (K) การทำแบบฝกึ หัด ทำแบบฝกึ หัดได้
แบบฝกึ หัด
ทกั ษะ/กระบวนการ (P) การทำแบบฝึกหัด ถกู ต้อง
คณุ ลกั ษณะ/เจตคติ (A) แบบฝึกหัด อย่างนอ้ ย 80%
สงั เกตพฤตกิ รรมในชัน้ เรยี น ผา่ นเกณฑเ์ ฉล่ีย 3
และการทำงานทไ่ี ดร้ บั แบบประเมนิ
มอบหมาย พฤตกิ รรม ขนึ้ ไป

ผ่านเกณฑเ์ ฉล่ยี 3
ขนึ้ ไป

แผนการจดั การเรียนรู้ที่ 27

หนว่ ยการเรยี นรูท้ ี่ 2 เมทรกิ ซ์ เรือ่ ง การหาผลคูณเมทรกิ ซ์ด้วยค่าคงตัว

รายวชิ า คณิตศาสตร์เพ่ิมเตมิ (ค 30203) ช้ันมัธยมศึกษาปที ่ี 5 กลมุ่ สาระการเรยี นร้คู ณิตศาสตร์

เวลาเรียน 3 ชม./สัปดาห์ ภาคเรียนท่ี 1 ปกี ารศึกษา 2565 ครผู ู้สอน นางพรรณี เกตุถาวร

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

1. มาตรฐานการเรยี นรู้

ใชน้ พิ จน์ สมการ อสมการ และเมทรกิ ซ์ อธิบายความสัมพันธ์ หรือชว่ ยแก้ปญั หาทก่ี ำหนดให้

2. ผลการเรยี นรู้

เขา้ ใจความหมาย หาผลลัพธข์ องการบวกเมทรกิ ซ์ การคณู เมทรกิ ซ์กบั จำนวนจรงิ การคณู ระหว่าง

เมทรกิ ซ์ และหาเมทริกซ์สลับเปล่ยี น หาดีเทอรมิแนนตของเมทรกิ ซ n × n เม่อื n เปนจาํ นวนนบั ท่ีไมเกนิ สาม

3. สาระสำคญั

การคณู เมทรกิ ซ์ด้วยสเกลาร์

กำหนด k เป็นสเกลาร์ ใดๆ แลว้

kax b c ka kb kc
y z kx ky kz
[ ]kA = [ ]=

AB

ใช้  แถว  หลกั
 นำผลคณู มาบวกกนั

ตอ้ งมหี ลักของตวั ตั้งเท่ากบั แถวของตวั คูณ

เชน่ A a  b  Bb  c = AB a  c

ถา้ A  B แลว้ AB  BA

1 3 5 7  (1 7) + (3 8) + (5  9)   76 
2 4 6 8 (2  7) + (4  8) + (6  9) 100
 9 = =

มิติ

 
23 31 2 1

4. จุดประสงค์การเรยี นรู้
ดา้ นความรู้ (K) นกั เรยี นสามารถ
1. บอกหลกั การหาผลคูณของเมทริกซ์ด้วยคา่ คงตัวได้
ด้านทักษะและกระบวนการ (P) นักเรียนมีความสามารถในการ
1. แสดงวิธีการหาผลคูณเมทรกิ ซด์ ว้ ยค่าคงตวั ไดอ้ ยา่ งถกู ต้องและสมเหตุสมผล
2. นำหลกั การหาผลคูณเมทริกซ์ดว้ ยคา่ คงตัวไปประยกุ ต์ใชใ้ นสถานการณ์ใหม่ๆ ได้อย่างเหมาะสม
ด้านคุณลกั ษณะ (A) นกั เรียนมี
1. มคี วามละเอียดรอบคอบในการทำงานทีไ่ ด้รับมอบหมาย
2. มคี วามรบั ผิดชอบตอ่ หนา้ ทที่ ่ีไดร้ บั มอบหมาย
3. มคี วามซอ่ื สตั ย์ ในการทำงานท่ไี ดร้ ับมอบหมายดว้ ยตนเอง
4. มีวินยั ต่อตนเองและต่อส่วนรวม
สาระทอ้ งถนิ่ -

5. สมรรถนะสำคญั ของผเู้ รียน  5.4 ความสามารถในการใช้ทักษะชวี ติ
 5.1 ความสามารถในการสื่อสาร  5.5 ความสามารถในการใช้เทคโนโลยี
 5.2 ความสามารถในการคิด
 5.3 ความสามารถในการแก้ปัญหา

6. คุณลกั ษณะอนั พึงประสงค์

 6.1 รักชาติ ศาสน์ กษตั รยิ ์  6.5 อยู่อย่างพอเพียง

 6.2 ซือ่ สัตย์สุจริต  6.7 รกั ความเป็นไทย

 6.3 มีวินัย  6.6 ม่งุ ม่นั ในการทำงาน

 6.4 ใฝเ่ รียนรู้  6.8 มจี ิตสาธารณะ

สอดคลอ้ งกบั คณุ ธรรมอตั ลกั ษณข์ องสถานศึกษา เรอ่ื ง มวี ินยั ความรบั ผิดชอบ มจี ิตอาสา

7. ชิ้นงาน / ภาระงาน
- แบบฝึกหดั

8. บรู ณาการ
-

9. กิจกรรมการเรียนรู้
9.1 ขั้นนำ : การนำเขา้ สปู่ ระสบการณ์และการสำรวจความรู้
1. ครูสุม่ ให้นักเรียนอภิปรายหลกั การหาผลคูณเมทริกซด์ ้วยคา่ คงตวั เพอ่ื ตรวจสอบความเข้าใจของนักเรยี น

จากที่ไดร้ ับมอบหมายใหไ้ ปศกึ ษาดว้ ยตนเองผ่านทาง http://racha1-online.school

9.2 ข้ันสอน : การสร้างความรูแ้ ละการสาธติ
2. ครูอธบิ ายเกย่ี วกับวธิ กี ารคณู เมทริกซด์ ว้ ยสเกลาร์ พรอ้ มยกตัวอยา่ งประกอบดงั นี้

กำหนด k เป็นสเกลาร์ ใดๆ แลว้

abc [ ]ka kb kc
xyz kx ky kz
[ ]kA= k =

ตัวอย่าง จงหาเมทริกซ์ A + 2B และ 2A + (- 3)B เมอ่ื กำหนด

A = 1 1 0 , B = − 1 1 2
2 −1 3 − 2 −1 3

วธิ ที ำ A + 2B = [21 1 03] + 2 [−−21 1 23]
−1 −1

= [21 1 30] + [−−42 2 64]
−1 −2

= [21 − 2 1+2 0 + 64]
− 4 −1 − 2 3 +

= [−−21 3 49]
−3
= 2 [21 1 30] + (−3) [−−21 1 32]
2A + (- 3)B −1 −1

= [24 2 60] + [36 −3 −−69]
−2 3

= [24 + 3 2−3 0 − 96]
+ 6 −2 + 3 6 −

= [150 −1 −−63]
1

ตัวอย่าง จงหาเมทรกิ ซ์ A – 2B และ 3A – 4B เมอ่ื กำหนด

−1 0 11

A = [ 2 1] , B = [2 −1]

33 02

−1 0 11
วิธีทำ A – 2B = [ 2 1] − 2 [2 −1]

33 02

−1 0 2 2

= [ 2 1] − [4 −2]

33 0 4

−1 − 2 0−2
1 − (−2)]
= [ 2−4
3−4
3−0

−3 −2

= [−2 3 ]

3 −1

3A – 4B −1 0 11
= 3 [ 2 1] − 4 [2 −1]

33 02

−3 0 4 4

= [ 6 3] − [8 −4]

99 0 8

−3 − 4 0−4
3 − (−4)]
= [ 6−8
9−8
9−0

−7 −4

= [−2 7]

91

3. ครูอธิบายเก่ยี วกบั สมบตั ขิ องการบวกเมทรกิ ซ์ ดงั นี้
สำหรับเมทริกซ์ A , B , C , 0 ทม่ี มี ิติ m x n มสี มบตั ิตอ่ ไปน้ี

สมบัติของการบวก

ถ้า A , B , C เปน็ เมทริกซม์ ิติ m x n

1. A + B เปน็ เมทริกซม์ ิติ m x n (คุณสมบัตปิ ิด)

2. A + B = B + A (คณุ สมบตั ิสลับที่)

3. A + (B + C) = (A + B ) + C (คุณสมบตั เิ ปลย่ี นกลุ่มได้)

4. เอกลกั ษณก์ ารบวกคอื 0 + A = A + 0 = A

5. อินเวอร์สการบวกของเมทริกซ์ A คือ -A โดยท่ี A + (-A) = 0

6. c(A + B) = cA + cB เมอื่ c เป็นค่าคงตัว

7. (c + d)A = cA + dA เม่ือ c , d เป็นคา่ คงตวั

8. (cd)A = c(dA) เมื่อ c , d เปน็ คา่ คงตวั

9. IA = A

10. 0A = 0

ตัวอยา่ ง กำหนดให้ A = [−22 4 62]
0

จงหาเมทรกิ ซ์ X ท่ีทำให้ 2(A + X) = X + 1 A
2

วธิ ีทำ ให้ X เป็น 2 x 3 เมทรกิ ซท์ ท่ี ำให้

2(A + X) = X + 1 A

2

ดังนั้น 2A + 2X = 1 A + X

2

2A + 2X - X = 1 A + X – X

2

2A + X = 1 A

2

(2A + X) – 2A = 1 A – 2A

2

(X +2A) – 2A = ( 1 – 2)A

2

X + (2A – 2A) = – 3 A

2

X = – 3A

2

นัน่ คอื X= – 3A = – 3 [−22 4 26] = [−33 −6 −−93]
2 0 0
2

9.3 ขั้นสรุป : การประยุกตใ์ ช้
4. ครแู ละนักเรียนรว่ มกนั สรุปการหาผลคณู เมทรกิ ซด์ ้วยสเกลาร์
5. ให้นกั เรยี นทำแบบฝกึ หัดเพิ่มเติมในชว่ั โมงเรยี นจากน้ันครแู ละนกั เรยี นรว่ มกนั เฉลยวิธกี ารหา

คำตอบทลี ะขอ้ บนกระดาน
6. ครูมอบหมายให้นักเรียนศึกษาความรูเ้ พ่มิ เติม เรอ่ื ง การคูณเมทริกซด์ ้วยเมทริกซ์ ผ่านทาง

racha1-online.school และใหน้ กั เรยี นทำแบบฝึกหดั ในเอกสารประกอบการเรียน เป็นการบ้าน
10. สอื่ การเรียนรู้ / แหลง่ การเรยี นรู้
สือ่ การเรยี นรู้
- แบบฝกึ หัด
- เอกสารประกอบการเรยี น เรื่อง เมทรกิ ซ์
แหล่งการเรยี นรู้
- ขอ้ มลู จากเวบ็ ไซตต์ ่าง ๆ
- บทเรยี นออนไลน์ Racha 1- Online
- ห้องสมดุ โรงเรียน
- หอ้ งกลมุ่ สาระการเรียนรคู้ ณิตศาสตร์

11. การวัดและประเมินผลการเรยี นรู้

รายการวัดและประเมินผล วธิ วี ัดผล เครอื่ งมอื วัดและ เกณฑก์ าร
ประเมนิ ผล ประเมินผล
ความรู้ (K) การทำแบบฝกึ หัด ทำแบบฝกึ หัดได้
แบบฝกึ หัด
ทกั ษะ/กระบวนการ (P) การทำแบบฝึกหดั ถูกตอ้ ง
คณุ ลักษณะ/เจตคติ (A) แบบฝึกหดั อยา่ งน้อย 80%
สงั เกตพฤติกรรมในชน้ั เรยี น ผ่านเกณฑ์เฉลย่ี 3
และการทำงานทไ่ี ดร้ ับ แบบประเมิน
มอบหมาย พฤติกรรม ข้นึ ไป

ผา่ นเกณฑเ์ ฉลี่ย 3
ข้นึ ไป

แผนการจดั การเรียนรทู้ ี่ 28

หนว่ ยการเรยี นรทู้ ี่ 2 เมทริกซ์ เรื่อง การหาผลคูณเมทริกซ์ดว้ ยเมทรกิ ซ์

รายวิชา คณิตศาสตร์เพม่ิ เติม (ค 30203) ช้ันมัธยมศึกษาปที ่ี 5 กลุ่มสาระการเรียนรูค้ ณิตศาสตร์

เวลาเรียน 3 ชม./สปั ดาห์ ภาคเรยี นที่ 1 ปกี ารศกึ ษา 2565 ครูผสู้ อน นางพรรณี เกตถุ าวร

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

1. มาตรฐานการเรยี นรู้

ใช้นพิ จน์ สมการ อสมการ และเมทรกิ ซ์ อธิบายความสัมพันธ์ หรอื ช่วยแก้ปัญหาที่กำหนดให้

2. ผลการเรียนรู้

เขา้ ใจความหมาย หาผลลัพธข์ องการบวกเมทรกิ ซ์ การคูณเมทรกิ ซก์ ับจำนวนจริง การคณู ระหวา่ ง

เมทริกซ์ และหาเมทริกซ์สลับเปล่ยี น หาดเี ทอรมแิ นนตของเมทริกซ n × n เมอื่ n เปนจาํ นวนนบั ที่ไมเกนิ สาม

3. สาระสำคัญ

การคณู เมทรกิ ซ์ด้วยเมทรกิ ซ์

เมทรกิ ซ์ จะคูณกันได้กต็ อ่ เม่ือ จำนวนหลักของเมทริกซต์ ัวตั้งเท่ากับจำนวนแถวของเมทรกิ ซต์ ัวคณู

ถ้า A , B ,C เป็นเมทรกิ ซ์

A มมี ิติ m  n

B มีมติ ิ n  p และ

AB = C แลว้ C มีมิติ m  p

Amn Bnp = Cmp

การคณู ตามผังทแี่ สดงกล่าวคือ แถวของตัวตั้งไปคณู กับหลักของตัวคูณ โดยคูณสมาชิกท่สี มนยั กนั เปน็ คู่
ทำเช่นน้เี ร่อื ยๆ จนครบทกุ หลักและเริ่มทแ่ี ถวท่ีสองตอ่ ไป ตามผงั

4. จดุ ประสงคก์ ารเรียนรู้
ด้านความรู้ (K) นกั เรียนสามารถ
1. อธิบายหลกั การหาผลคณู ของเมทริกซด์ ว้ ยเมทรกิ ซ์ได้
ดา้ นทกั ษะและกระบวนการ (P) นกั เรียนมคี วามสามารถในการ
1. หาผลคณู เมทริกซ์ดว้ ยเมทริกซไ์ ด้อยา่ งถูกตอ้ งและสมเหตุสมผล
2. นำความร้แู ละหลกั การหาผลคณู เมทริกซ์ดว้ ยเมทริกซ์ไปประยุกตใ์ ช้ในสถานการณ์ใหมๆ่ ได้

ด้านคณุ ลกั ษณะ (A) นกั เรียนมี
1. มีความละเอียดรอบคอบในการทำงานท่ไี ดร้ บั มอบหมาย
2. มีความรับผิดชอบตอ่ หน้าทีท่ ไี่ ด้รับมอบหมาย
3. มคี วามซอ่ื สัตย์ ในการทำงานทไ่ี ด้รบั มอบหมายด้วยตนเอง
4. มีวนิ ัยตอ่ ตนเองและต่อส่วนรวม
สาระทอ้ งถ่นิ -

5. สมรรถนะสำคัญของผเู้ รียน  5.4 ความสามารถในการใชท้ ักษะชวี ิต
 5.1 ความสามารถในการสอื่ สาร  5.5 ความสามารถในการใชเ้ ทคโนโลยี
 5.2 ความสามารถในการคดิ
 5.3 ความสามารถในการแกป้ ญั หา

6. คณุ ลักษณะอันพงึ ประสงค์

 6.1 รกั ชาติ ศาสน์ กษตั ริย์  6.5 อยู่อย่างพอเพียง

 6.2 ซือ่ สัตย์สจุ รติ  6.7 รักความเปน็ ไทย

 6.3 มวี ินัย  6.6 มงุ่ มัน่ ในการทำงาน

 6.4 ใฝ่เรียนรู้  6.8 มจี ติ สาธารณะ

สอดคลอ้ งกับคณุ ธรรมอัตลกั ษณ์ของสถานศกึ ษา เรอ่ื ง มวี นิ ยั ความรับผดิ ชอบ มีจิตอาสา

สาระทอ้ งถิน่

-

7. ชิ้นงาน / ภาระงาน

- แบบฝึกหัด

8. บรู ณาการ

-

9. กิจกรรมการเรียนรู้

9.1 ข้ันนำ : การนำเข้าสปู่ ระสบการณแ์ ละการสำรวจความรู้

1. ครูสุ่มใหน้ ักเรียนอภปิ รายหลกั การหาผลคูณเมทรกิ ซ์ดว้ ยเมทรกิ ซ์ เพอื่ ตรวจสอบความเขา้ ใจของนกั เรยี น

จากทไ่ี ดร้ ับมอบหมายใหไ้ ปศกึ ษาดว้ ยตนเองผา่ นทาง http://racha1-online.school

2. ครูทบทวนเก่ยี วกบั วธิ กี ารคณู เมทริกซ์ ด้วย สเกลาร์ พร้อมยกตัวอย่างประกอบดังนี้

กำหนด k เปน็ สเกลาร์ ใดๆ แลว้

abc [ ]ka kb kc
xyz kx ky kz
[ ]k =

9.2 ข้ันสอน : การสร้างความรู้และการสาธิต
3. ครูอธิบายเกี่ยวกบั วธิ กี ารคูณเมทรกิ ซ์ ดว้ ยเมทริกซ์พร้อมยกตวั อยา่ งประกอบ ดังนี้
เมทริกซจ์ ะคูณกนั ได้ก็ตอ่ เมือ่ จำนวนหลกั ของเมทรกิ ซ์ตัวต้ังเท่ากับจำนวนแถวของเมทริกซ์ตัวคูณ
ถา้ A , B ,C เป็นเมทรกิ ซ์

A มีมติ ิ m  n

B มีมติ ิ n  p และ

AB = C แลว้ C มมี ิติ m  p

Amn Bnp = Cmp

การคณู ตามผังทแี่ สดงกลา่ วคือ แถวของตัวตง้ั ไปคณู กบั หลักของตัวคูณ โดยคูณสมาชิกทส่ี มนยั กนั เปน็ คู่
ทำเชน่ น้ีเร่อื ยๆ จนครบทุกหลกั และเร่มิ ทแี่ ถวท่ีสองต่อไป ตามผัง
2  2 เป็นตวั อย่าง

-2 -1
-4 -3
ตวั อยา่ งท่ี 1 กำหนด A = 1 2 [ ]B =

[ ]3 4

[ ][ ]วิธที ำ
AB = 1 2 -2 -1
3 4 -4 -3

[ ][ ]1 2 -2 -1 = 1(-2) + 2(-4) = –2– 8 = -10
3 4 -4 -3

[ ][ ]1 2 -2 -1 = 1(-1) + 2(-3) = - 1 –6 = -7
3 4 -4 -3

[ ][ ]1 2 -2 -1 = 3(-2) + 4(-3) = -6 –16 = -22
3 4 -4 -3

[ ][ ]1 2 -2 -1 = 3(-1) + 4(-3) = -3 -12 = -15
3 4 -4 -3

[ ]AB =
-10 -7
-22 -15

AB

ใช้  แถว  หลัก
 นำผลคูณมาบวกกนั

ตอ้ งมีหลักของตัวต้ังเท่ากบั แถวของตัวคูณ

เชน่ A a  b  Bb  c = AB a  c

ถ้า A  B แลว้ AB  BA

1 3 5  7 =  (1 7) + (3 8) + (5  9)  =  76 
2 4 6 8 (2  7) + (4  8) + (6  9) 100
9

มิติ

 
21
23 31

ตัวอยา่ งท่ี 2 กำหนดเมทรกิ ซ์ A , B , C ดงั นี้

A = [13 42] , B = [85 6 170] 11
9
, C = [12]
จงหา AB , BC , A(BC) , (AB)C
13

วิธีทำ AB = [13 24] [85 6 170]
9

= [((13 × 5) + (2 × 8) (1 × 6) + (2 × 9) ((13××75))++((24××180))]
× 5) + (4 × 8) (3 × 5) + (4 × 8)

= [155++1362 6 + 18 271++2400]
18 + 36

= [2417 24 6271]
54

BC = [85 6 170] 11
9 [12]

13

= [((85××1111))++((96××1122))++((170××1133))]

= [8855++10782 + 19310]
+

= [231286]

A(BC) = [13 24] [321268]

= [((13 × 218) + (2 × 332266))]
× 218) + (4 ×

= [625148++1635024]

= [1897508]

(AB)C = [2417 24 2617] 11
54 [12]

13

= [((4217 × 11) + (24 × 12) + (27 × 13)]
× 11) + (54 × 12) + (61 ×
13)

= [521371 + 288 + 375913]
+ 648 +

= [1897508]

4. ครกู ำหนดโจทย์เปน็ ตวั อยา่ งที่ 3 – 5 ใหน้ กั เรียนฝกึ ทำเป็นแบบฝกึ หดั ในชัว่ โมงเรียน ดังน้ี

ตัวอยา่ งท่ี 3 กำหนดเมทริกซ์ A , B , I ดังนี้
A = [21 10] , B = [14 −53] , C = [10 10]

จงหา AB , BA , AI , IA
วธิ ีทำ AB = [12 10] [14 −53]

= [((12 × 1) + (0 × 4) (1 × (−3)) + (0 × 55))]
× 1) + (1 × 4) (2 × (−3)) + (1 ×

= [21 + 0 −3 + 05]
+ 4 −6 +

= [61 −−31]
BA = [14 −53] [12 10]

= [((14××11))++((−53××22)) ((14××00))++((−53××11))]

= [41+−160 0 − 53]
0 +

= [−145 −53]
AI = [21 10] [10 01]

= [((12 × 1) + (0 × 0) ((21××00)))++((01××11))]
× 1) + (1 × 0)

= [12 + 0 0 + 10]
+ 0 0 +

= [12 10]

IA = [01 10] [12 01]

= [((10 × 1) + (0 × 2) ((01××00)))++((01××11))]
× 1) + (1 × 2)

= [10 + 0 0 + 01]
+ 2 0 +

= [21 10]
จากตัวอยา่ งจะเหน็ ได้ว่า AB ≠ BA และ AI = IA = A

ตัวอย่างท่ี 4 กำหนดเมทรกิ ซ์ A , B , I ดังนี้ 01]
A = [−11 −11] , B = [12 21] , C = [10

จงหา AB , BA , AI
วธิ ที ำ AB = [−11 −11] [12 12]

= [((−1 1××2)2+) +(−(11 × 1) (1 × 1) + (−1 × 22))]
× 1) (−1 × 1) + (1 ×

= [−22 − 1 1 − 22]
+ 1 −1 +

= [−11 −11]

BA = [12 21] [−11 −11]

= [((21 × 1) + (1 × (−1)) (2 × (−1)) + (1 × 11))]
× 1) + (2 × (−1)) (1 × (−1)) + (2 ×

= [12 − 1 −2 + 21]
− 2 −1 +

= [−11 −11]
AI = [−11 −11] [10 01]

= [((−1 1××1)1+) +(−(11 × 0) (1 × 0) + +(−(11××11))]
× 0) (−1 × 0))

= [−11 + 0 0 − 11]
+ 0 0 +

= [−11 −11]

ตวั อยา่ งท่ี 5 กำหนดให้ A = [02 31] จงหา A2 , A3

วิธที ำ A2 = [02 13] [ 0 13]
2

= [00 + 2 0 + 93]
+ 6 2 +

= [62 131]

A3 = AA2

= [02 31] [26 131]

= [40++168 0 + 1313]
6 +

= [262 1319]

9.3 ขั้นสรปุ : การประยกุ ต์ใช้
5. ครแู ละนักเรยี นร่วมกนั สรปุ การหาผลคูณเมทรกิ ซ์ดว้ ยเมทรกิ ซ์
6. ใหน้ กั เรียนร่วมกนั เฉลยวธิ กี ารหาคำตอบทลี ะขอ้ บนกระดานโดยมีครูคอยช่วยเหลือแนะนำ
7. ครกู ำหนดแบบฝกึ หัดเพมิ่ เตมิ ให้นักเรยี นทำเป็นการบา้ น
8. ครูมอบหมายให้นักเรียนศกึ ษาความรู้เพิม่ เติม เร่ือง เมทริกซ์เอกลักษณ์และเมทรกิ ซส์ ลับเปลย่ี น

ผ่านทาง racha1-online.school
10. ส่อื การเรียนรู้ / แหลง่ การเรียนรู้
สื่อการเรียนรู้
- แบบฝกึ หัด
- เอกสารประกอบการเรียน เร่อื ง เมทริกซ์
แหลง่ การเรยี นรู้
- ขอ้ มูลจากเว็บไซต์ตา่ ง ๆ
- บทเรียนออนไลน์ Racha 1- Online
- ห้องสมดุ โรงเรียน
- หอ้ งกลมุ่ สาระการเรยี นรคู้ ณิตศาสตร์

11. การวดั และประเมนิ ผลการเรียนรู้

รายการวัดและประเมินผล วิธีวดั ผล เครือ่ งมอื วดั และ เกณฑก์ าร
ประเมินผล ประเมินผล
ความรู้ (K) การทำแบบฝกึ หัด ทำแบบฝึกหดั ได้
แบบฝกึ หัด
ทกั ษะ/กระบวนการ (P) การทำแบบฝกึ หัด ถูกต้อง
คุณลกั ษณะ/เจตคติ (A) แบบฝกึ หัด อย่างนอ้ ย 80%
สังเกตพฤติกรรมในช้นั เรยี น ผ่านเกณฑเ์ ฉลย่ี 3
และการทำงานท่ไี ดร้ ับ แบบประเมนิ
มอบหมาย พฤติกรรม ขึ้นไป

ผ่านเกณฑเ์ ฉลี่ย 3
ขน้ึ ไป

แบบฝึกหัดเมทริกซ์

จงเตมิ เฉพาะคำตอบในช่องวา่ ง

-1 -1 1 1  2 1 3
1. กำหนดให้ A = 1  0 2  2 1 5
0  , B= , C=
3
3

จงหา (1) -4AC

....................................................................................................................................................................................

....................................................................................................................................................................................

....................................................................................................................................................................................

....................................................................................................................................................................................

....................................................................................................................................................................................

....................................................................................................................................................................................

(2) AB

....................................................................................................................................................................................

....................................................................................................................................................................................

....................................................................................................................................................................................

....................................................................................................................................................................................

....................................................................................................................................................................................

....................................................................................................................................................................................

2. กำหนดให้ A = 1 1 , B= 2 -1 
3  - 3 
1  2 

จงแสดงวา่ AB = BA หรือไม่
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................

แผนการจดั การเรยี นรทู้ ่ี 29

หน่วยการเรียนรทู้ ี่ 2 เมทรกิ ซ์ เรื่อง เมทรกิ ซ์เอกลักษณ์และเมทรกิ ซส์ ลับเปล่ียน

รายวิชา คณิตศาสตร์เพ่มิ เติม (ค 30203) ช้ันมธั ยมศกึ ษาปีท่ี 5 กลุ่มสาระการเรียนรคู้ ณิตศาสตร์

เวลาเรยี น 3 ชม./สัปดาห์ ภาคเรียนที่ 1 ปีการศึกษา 2565 ครูผสู้ อน นางพรรณี เกตถุ าวร

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

1. มาตรฐานการเรยี นรู้

ใช้นพิ จน์ สมการ อสมการ และเมทริกซ์ อธบิ ายความสัมพันธ์ หรือชว่ ยแก้ปัญหาทกี่ ำหนดให้

2. ผลการเรยี นรู้

เข้าใจความหมาย หาผลลัพธ์ของการบวกเมทริกซ์ การคณู เมทริกซ์กบั จำนวนจรงิ การคณู ระหว่างเมทรกิ ซ์

และหาเมทรกิ ซ์สลบั เปลย่ี น หาดีเทอรมิแนนตของเมทรกิ ซ n × n เม่อื n เปนจาํ นวนนบั ท่ีไมเกนิ สาม

3. สาระสำคัญ

บทนิยาม สำหรับจำนวนเต็มบวก n ใดๆ จะให้ In =[ijk]nxn เม่ือ j และ k เป็นจำนวนเต็มบวกทน่ี อ้ ย
กวา่ หรือเท่ากับ n มีสมาชิก ดงั นี้

i jk = 1; j =k
0; j k

และเรยี ก In วา่ เมทรกิ ซ์เอกลกั ษณ์ (Identity Matrix) มีมิติ n x n

เมทริกซเ์ อกลักษณ์ (Identity Matrix) เปน็ scalar matrix ทมี่ ีสมาชกิ ในแนวเสน้ ทแยงมุมหลกั มีคา่

เป็น 1 เท่ากนั หมด

สญั ลักษณ์ ใช้ I แทน Identity Matrix

จะไดว้ ่า I1 หรอื I11 = [1]

I2 หรือ I22 = [10 10]

100

I3 หรอื I33 = [0 1 0]

001

เมทรกิ ซเ์ อกลกั ษณ์เปน็ เมทริกซ์ท่ีมีคณุ สมบัติสำคัญในการคณู การหาอินเวอร์สของเมทรกิ ซ์ A
ทรานสโพสตข์ องเมทรกิ ซ์ (Transpose Matrix)

ถา้ A เป็นเมทรกิ ซ์ทม่ี ี มิติ 33 ทรานสโพสของเมทรกิ ซ์ A เกิดจากการเปลย่ี นที่จากแถวเปน็ หลกั
ของเมทริกซ์ A

สญั ลักษณ์ At แทน ทรานสโพสต์ของเมทรกิ ซ์ A

นนั่ คือ A = [aij] มีมติ ิ m  n

At = [aji] มีมติ ิ n  m
4. จดุ ประสงคก์ ารเรยี นรู้

ด้านความรู้ (K) นักเรยี นสามารถ
1. อธบิ ายลกั ษณะของเมทรกิ ซเ์ อกลกั ษณ์ได้
2. อธบิ ายลักษณะของเมทริกซ์สลับเปล่ียนได้
ดา้ นทกั ษะและกระบวนการ (P) นกั เรยี นมคี วามสามารถในการ
1. นำเมทรกิ ซเ์ อกลักษณ์ไปประยกุ ต์ใช้ในการแกป้ ัญหาได้
2. แก้ปญั หาเกย่ี วกับเมทริกซ์สลบั เปลี่ยนได้
ดา้ นคณุ ลกั ษณะ (A) นักเรียนมี
1. มีความละเอียดรอบคอบในการทำงานที่ได้รบั มอบหมาย
2. มีความรบั ผิดชอบตอ่ หน้าทท่ี ่ไี ด้รบั มอบหมาย
3. มีความซื่อสตั ย์ ในการทำงานท่ไี ดร้ บั มอบหมายดว้ ยตนเอง
4. มวี นิ ยั ต่อตนเองและตอ่ สว่ นรวม
สาระท้องถน่ิ -

5. สมรรถนะสำคญั ของผ้เู รียน  5.4 ความสามารถในการใชท้ ักษะชีวิต
 5.1 ความสามารถในการสือ่ สาร  5.5 ความสามารถในการใช้เทคโนโลยี
 5.2 ความสามารถในการคดิ
 5.3 ความสามารถในการแก้ปัญหา

6. คุณลักษณะอันพึงประสงค์

 6.1 รักชาติ ศาสน์ กษัตรยิ ์  6.5 อยู่อย่างพอเพียง

 6.2 ซอื่ สัตย์สุจรติ  6.7 รักความเปน็ ไทย

 6.3 มีวนิ ยั  6.6 มงุ่ มน่ั ในการทำงาน

 6.4 ใฝ่เรยี นรู้  6.8 มีจิตสาธารณะ

สอดคลอ้ งกับคุณธรรมอัตลกั ษณ์ของสถานศกึ ษา เรือ่ ง มีวนิ ัย ความรบั ผิดชอบ มีจติ อาสา

7. ชน้ิ งาน / ภาระงาน

- แบบฝึกหดั

8. บรู ณาการ

-

9. กจิ กรรมการเรียนรู้
9.1 ขน้ั นำ : การนำเขา้ สู่ประสบการณ์และการสำรวจความรู้
1. ครูสุ่มให้นักเรียนอภิปรายเกีย่ วกบั ลกั ษณะของเมทรกิ ซเ์ อกลักษณ์ และเมทรกิ ซส์ ลับเปล่ียน เพือ่ ตรวจสอบ

ความเขา้ ใจของนักเรยี นจากที่ไดร้ ับมอบหมายให้ไปศกึ ษาด้วยตนเองผ่านทาง http://racha1-online.school

9.2 ข้นั สอน : การสรา้ งความรู้และการสาธิต
2. ครูอธิบายเก่ยี วกบั ลกั ษณะของเมทริกซเ์ อกลักษณ์พร้อมยกตัวอย่างประกอบ ดงั นี้

บทนยิ าม สำหรบั จำนวนเต็มบวก n ใดๆ จะให้ In =[ijk]nxn เมือ่ j และ k เป็นจำนวนเตม็ บวกท่ีนอ้ ย
กวา่ หรอื เทา่ กบั n มสี มาชิก ดงั นี้

i jk = 1; j =k
0; j k

และเรียก In วา่ เมทริกซเ์ อกลกั ษณ์ (Identity Matrix) มมี ิติ n x n

เมทริกซ์เอกลักษณ์ (Identity Matrix) เปน็ scalar matrix ท่มี ีสมาชกิ ในแนวเสน้ ทแยงมมุ หลกั มีคา่

เปน็ 1 เท่ากนั หมด

สญั ลกั ษณ์ ใช้ I แทน Identity Matrix

จะได้วา่ I1 หรือ I11 = [1]

I2 หรอื I22 = [01 10]

100

I3 หรือ I33 = [0 1 0]

001

3. ครยู กตัวอยา่ งโจทยเ์ กย่ี วกบั การพสิ จู น์เอกลกั ษณข์ องเมทริกซ์ ดังน้ี

ตัวอย่าง กำหนดให้ A เป็น 2 x 2 เมทริกซใ์ ดๆ จงแสดงวา่ AI = IA = A เมือ่ I = [10 10]
วธิ ีทำ AI = [ ] [01 01]

= [(( × 1) + ( × 0) ( × 0) + ( × 11))]
× 1) + ( × 0) ( × 0) + ( ×

= [ + 0 0 + ]
+ 0 0 +

= [ ]
=

IA = [10 01] [ ]

= [((10 × ) + (0 × ) (1 × ) + (0 × ))]
× ) + (1 × ) (0 × ) + (1 ×

= [ 0 + 0 + 0 ]
+ 0 +

= [ ]

=
ดังน้ัน AI = IA = A
4. ครอู ธิบายเกี่ยวกบั เมทรกิ ซส์ ลับเปลยี่ น ดังนี้

บทนิยาม ให้ A = [ ] × ถ้า B = [ ] × มสี มบัติว่า = ทุก ∈
{1,2,3, … , } แลว้ เรียก B ว่า เมทริกซ์สลบั เปล่ยี น (transpose of a matrix) ของ A
และเขยี นแทน B ดว้ ย At

ถ้า A เป็นเมทริกซ์ทีม่ ี มิติ 33 ทรานสโพสของเมทริกซ์ A เกิดจากการเปลี่ยนที่จากแถวเป็นหลกั
ของเมทรกิ ซ์ A

สญั ลักษณ์ At แทน ทรานสโพสต์ของเมทริกซ์ A

น่นั คือ A = [aij] มีมิติ m  n
At = [aji] มมี ติ ิ n  m

5. ครูอธบิ ายเกยี่ วกับการหาทรานสโพสตข์ องเมทรกิ ซ์ทกี่ ำหนดใหพ้ ร้อมยกตัวอยา่ งประกอบ ดังนี้

ตัวอยา่ งที่ 1 ถ้า A = a b c เมทริกซ์ A มมี ิติ 2  3
 x y z

a x เมทริกซ์ At มมี ิติ 3  2

แล้ว At = b y

c z 

[ ]ตัวอย่างท่ี 2 A = 1
0 2 -1
3 5 23

At = 10
[ 2 3]

−1 5 3×2

ตวั อยา่ งท่ี 3 กำหนดเมทริกซ์ A , B ดงั น้ี

A = [−01 12] , B = [02 1 −31]
−2
จงหา (AB)t , BtAt

วธิ ีทำ AB = [−01 21] [02 1 −31]
−2

= [−02++00 −1 − 2 1 + 36]
0−4 0 +

= [−02 −3 46]
−4

(AB)t = −2 0
[−3 −4]

46

เนอ่ื งจาก A = [−01 21] จะได้ At = [−11 20]

B = [02 1 −31] จะได้ Bt = 2 0
−2 [1 −2]

−1 3

ดงั นั้น BtAt = 20
=
[ 1 −2] [−1 0]

12
−1 3

−2 + 0 0 + 0
[−1 − 2 0 − 4]

1+3 0+6

−2 0

= [−3 −4]

46

จะเห็นได้วา่ (AB)t , BtAt

6. ครอู ธิบายเกย่ี วกับสมบัตขิ องเมทริกซ์ที่เกีย่ วข้องกบั การคูณและเมทริกซส์ ลบั เปลี่ยน ดงั น้ี

ถา้ A = [aij]mxn , B = [bij]nxp , C = [cij]pxq แล้ว
1. A(BC) = (AB)C

2. 0ixmA = 0ixn , A0nxp = 0mxp

3. ImA = A , AIn = A

4. (cA)B = A(cB) = c(AB) เมอ่ื c เป็นคา่ คงตวั

5. A(B + D) = AB + AD เมอ่ื D เป็น n x p เมทรกิ ซ์

6. (A + E)B = AB + EB เมอ่ื E เป็น m x n เมทริกซ์

7. (A + F)t = At + Ft เมื่อ F เป็น m x n เมทริกซ์

8. (AB)t = BtAt

9. (At)t = A

10. (cA)t = cAt เม่ือ c เป็นค่าคงตัว

7. ครยู กตวั อย่างการนำสมบตั ขิ องเมทริกซท์ เี่ กยี่ วข้องกับการคณู และเมทริกซ์สลับเปล่ยี นไปใชใ้ นการ

แกป้ ญั หา ดังน้ี

ตวั อยา่ งท่ี 4 กำหนดให้ A = [13 42] , B = [12 01]
จงหา

1. (A + B)2

2. A2 + 2AB + B2

3. (A + B)(A – B)

4. A2 – B2

วิธที ำ 1. A + B = [13 24] + [21 01]

= [25 52]

(A + B)2 = [52 25] [25 52]

= [140++1205 140++1205]

= [1345 1345]

2. A2 = [13 24] [13 24]

= [31++162 62++186]
= [175 2102]
AB = [31 24] [21 10]

= [13 + 4 0 + 42]
+ 8 0 +

= [151 42]

B2 = [21 01] [21 10]

= [12 + 0 0 + 10]
+ 2 0 +

= [41 01]

A2 + 2AB + B2 = [175 1220] + [151 24] + [14 01]

= [175++1202++14 10 + 4 + 01]
22 + 8 +

3. จาก = [1481 1341]
A + B = [52 25]
A - B = [10 23]

จะได้ (A + B)(A – B) = [25 25] [10 23]

= [00 + 2 4 + 615]
+ 5 10 +

4. จาก = [25 2150] และ B2 = [41 10]
A2 = [175 1202]

จะได้ A2 – B2 = [175 1220] − [41 10]

จากตัวอยา่ งจะเห็นได้ว่า = [161 1210]
(A + B)2 ≠ A2 + 2AB + B2

และ (A + B)(A – B) ≠ A2 – B2

9.3 ข้ันสรุป : การประยุกตใ์ ช้
8. ครูและนักเรียนรว่ มกนั สรปุ เกีย่ วกบั เมทริกซ์เอกลักษณแ์ ละการหาทรานสโพสต์ของเมทริกซท์ ่ี

กำหนดให้

9. ใหน้ กั เรียนทำแบบฝึกหัดเพ่มิ เตมิ ในชวั่ โมงเรียน จากน้ันครูและนกั เรยี นร่วมกนั เฉลยวธิ ีการหา

คำตอบของแต่ละขอ้ พร้อมอภิปรายซกั ถามปญั หา

10. ครูมอบหมายใหน้ ักเรียนศกึ ษาความร้เู พิ่มเติม เรือ่ ง การหาอนิ เวอรส์ การคูณของเมทรกิ ซ์

ผา่ นทาง racha1-online.school

11. มอบหมายให้นกั เรยี นทำแบบฝึกหดั ในเอกสารประกอบการเรียนเปน็ การบา้ น

10. สอ่ื การเรยี นรู้ / แหลง่ การเรียนรู้

ส่ือการเรียนรู้

- แบบฝกึ หัด

- เอกสารประกอบการเรยี น เรอ่ื ง เมทรกิ ซ์

แหล่งการเรียนรู้

- ขอ้ มลู จากเวบ็ ไซต์ต่าง ๆ

- บทเรียนออนไลน์ Racha 1- Online

- ห้องสมดุ โรงเรียน

- หอ้ งกลุ่มสาระการเรยี นร้คู ณติ ศาสตร์

11. การวดั และประเมนิ ผลการเรียนรู้

รายการวดั และประเมนิ ผล วิธีวัดผล เครอ่ื งมือวดั และ เกณฑก์ าร
ประเมินผล ประเมนิ ผล

ทำแบบฝึกหดั ได้

ความรู้ (K) การทำแบบฝกึ หดั แบบฝกึ หัด ถกู ต้อง

อย่างนอ้ ย 80%

ทกั ษะ/กระบวนการ (P) การทำแบบฝึกหดั แบบฝกึ หัด ผ่านเกณฑเ์ ฉลี่ย 3
ขนึ้ ไป

คุณลักษณะ/เจตคติ (A) สงั เกตพฤติกรรมในช้นั เรียน แบบประเมิน ผ่านเกณฑเ์ ฉลี่ย 3
และการทำงานที่ไดร้ ับ พฤตกิ รรม ขึ้นไป
มอบหมาย

แบบฝกึ หัด

1. กำหนดให้ A = 1 1 , B= 2 -1 
3  - 3 
1  2 

จงหา

1. (AB) t
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................

2. B At t
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................

3. (3A) t
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................

แผนการจดั การเรียนรู้ที่ 30

หน่วยการเรยี นรู้ที่ 2 เมทรกิ ซ์ เรื่อง การหาอนิ เวอร์สการคณู ของเมทรกิ ซ์

รายวชิ า คณติ ศาสตรเ์ พิม่ เติม (ค 30203) ชั้นมธั ยมศกึ ษาปที ี่ 5 กล่มุ สาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์

เวลาเรยี น 3 ชม./สัปดาห์ ภาคเรียนท่ี 1 ปีการศกึ ษา 2565 ครูผู้สอน นางพรรณี เกตถุ าวร

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

1. มาตรฐานการเรียนรู้

ใชน้ ิพจน์ สมการ อสมการ และเมทริกซ์ อธบิ ายความสัมพันธ์ หรอื ชว่ ยแกป้ ญั หาทกี่ ำหนดให้

2. ผลการเรียนรู้

หาเมทรกิ ซ์ผกผันของเมทรกิ ซ์ 2 x 2

3. สาระสำคญั

บทนิยาม ให้ A เปน็ n x n เมทริกซ์ ถ้า B เป็น n x n เมทรกิ ซท์ ่ีมีสมบัติวา่

AB = BA = In

แล้ววจะเรยี ก B ว่าเปน็ อินเวอรส์ การคณู (Inverse of a matrix) ของ A และเขยี นแทน B

ดว้ ย A-1 อาจเรียกอนิ เวอรส์ การคูณส้นั ๆ ว่าอินเวอร์สก็ได้

4. จดุ ประสงคก์ ารเรยี นรู้

ดา้ นความรู้ (K) นกั เรยี นสามารถ

1. อธิบายความหมายของอินเวอรส์ การคณู ของเมทรกิ ซ์ได้

2. บอกหลักการหาอนิ เวอร์สการคูณของเมทรกิ ซท์ ่ีกำหนดใหไ้ ด้

ด้านทกั ษะและกระบวนการ (P) นกั เรียนมคี วามสามารถในการ

1. แสดงวิธกี ารหาอนิ เวอร์สการคณู ของเมทรกิ ซ์ได้อย่างถกู ต้องและสมเหตุสมผล

2. นำหลกั การหาอนิ เวอรส์ การคณู ไปประยกุ ตใ์ ชใ้ นการแกป้ ัญหาในสถานการณ์ใหม่ๆ ได้

ด้านคุณลักษณะ (A) นกั เรียนมี

1. มีความละเอียดรอบคอบในการทำงานทไ่ี ด้รบั มอบหมาย

2. มคี วามรับผดิ ชอบต่อหนา้ ทีท่ ไี่ ด้รับมอบหมาย

3. มีความซ่ือสัตย์ ในการทำงานทไี่ ด้รับมอบหมายด้วยตนเอง

4. มีวินัยต่อตนเองและตอ่ สว่ นรวม

สาระท้องถิ่น

-

5. สมรรถนะสำคญั ของผู้เรยี น  5.4 ความสามารถในการใช้ทักษะชวี ิต
 5.1 ความสามารถในการสื่อสาร  5.5 ความสามารถในการใช้เทคโนโลยี
 5.2 ความสามารถในการคิด
 5.3 ความสามารถในการแกป้ ญั หา

6. คุณลักษณะอันพึงประสงค์

 6.1 รกั ชาติ ศาสน์ กษตั รยิ ์  6.5 อยู่อย่างพอเพียง

 6.2 ซ่อื สัตย์สุจริต  6.7 รกั ความเปน็ ไทย

 6.3 มีวินัย  6.6 มุ่งมัน่ ในการทำงาน

 6.4 ใฝเ่ รยี นรู้  6.8 มจี ิตสาธารณะ

สอดคล้องกับคณุ ธรรมอัตลกั ษณข์ องสถานศึกษา เรอื่ ง มวี ินยั ความรับผดิ ชอบ มจี ติ อาสา

7. ช้นิ งาน / ภาระงาน

- แบบฝกึ หดั

8. บรู ณาการ

-

9. กจิ กรรมการเรยี นรู้

9.1 ข้นั นำ : การนำเขา้ สู่ประสบการณ์และการสำรวจความรู้

1. ครูสุ่มให้นักเรียนอภิปรายหลกั การหาอินเวอร์สการคูณเมทริกซด์ ว้ ย เพ่ือตรวจสอบความเขา้ ใจของ

นกั เรยี นจากทีไ่ ดร้ ับมอบหมายใหไ้ ปศึกษาดว้ ยตนเองผ่านทาง http://racha1-online.school

9.2 ข้นั สอน : การสร้างความรูแ้ ละการสาธติ
2. ครูอธบิ ายเกย่ี วกบั วธิ ีการหาอนิ เวอรส์ การคูณของเมทริกซ์ ดงั น้ี

บทนิยาม ให้ A เปน็ n x n เมทริกซ์ ถ้า B เป็น n x n เมทริกซท์ ่ีมีสมบตั วิ า่
AB = BA = In

แล้ววจะเรียก B วา่ เปน็ อินเวอรส์ การคณู (Inverse of a matrix) ของ A และเขียนแทน B
ด้วย A-1 อาจเรยี กอนิ เวอร์สการคูณส้นั ๆ วา่ อินเวอร์สก็ได้

อนิ เวอร์สการคณู ของเมทริกซ์ (Inverse Matrix)

นิยาม ถา้ A = [ ] แล้ว A-1 = 1 [ − ]

−

3. ครูยกตวั อย่างการหาอินเวอรส์ การคณู ของเมทรกิ ซ์ทีม่ มี ิติ 2 x 2 ใหน้ ักเรียนศกึ ษา ดงั น้ี

ตัวอยา่ ง A = [−42 −−13]
วิธีทำ

A-1 = 1 [ −1 43]
( −10 ) 2

1 −3
− 120]
A-1 = [ 10
5
−1
5

ตัวอย่าง A = [42 −12] จงหา A-1

วิธีทำ เนือ่ งจาก (2x1) – (4x(-2)) = 10 ≠ 0

A-1 = 1 [ 1 22]
10 −4

1 1

A-1 = [ 10 15]

−2 5
5

4. ให้นักเรียนทำแบบฝกึ หัดในเอกสารประกอบการเรยี นจากน้ันรว่ มกนั เฉลยแบบฝกึ หดั พรอ้ ม
อภิปรายซักถามปญั หา

9.3 ขน้ั สรปุ : การประยุกตใ์ ช้
5. ครูมอบหมายให้นักเรยี นศึกษาความร้เู พ่ิมเติม เรอื่ ง การหาดเี ทอรม์ ิแนนตข์ องเมทริกซ์

ผ่านทาง racha1-online.school และใหน้ ักเรียนทำแบบฝึกหัดในบทเรียนออนไลน์เปน็ การบา้ น
10. ส่ือการเรยี นรู้ / แหลง่ การเรยี นรู้
สื่อการเรียนรู้
- แบบฝึกหัด
- เอกสารประกอบการเรียน เรือ่ ง เมทริกซ์
แหลง่ การเรียนรู้
- ขอ้ มูลจากเว็บไซต์ต่าง ๆ
- บทเรยี นออนไลน์ Racha 1- Online
- หอ้ งสมุดโรงเรียน
- ห้องกลุม่ สาระการเรยี นร้คู ณติ ศาสตร์

11. การวัดและประเมินผลการเรยี นรู้

รายการวัดและประเมินผล วธิ วี ัดผล เครอื่ งมอื วัดและ เกณฑก์ าร
ประเมนิ ผล ประเมินผล
ความรู้ (K) การทำแบบฝกึ หัด ทำแบบฝกึ หัดได้
แบบฝกึ หัด
ทกั ษะ/กระบวนการ (P) การทำแบบฝึกหดั ถูกตอ้ ง
คณุ ลักษณะ/เจตคติ (A) แบบฝึกหดั อยา่ งน้อย 80%
สงั เกตพฤติกรรมในชน้ั เรยี น ผ่านเกณฑ์เฉลย่ี 3
และการทำงานทไ่ี ดร้ ับ แบบประเมิน
มอบหมาย พฤติกรรม ข้นึ ไป

ผา่ นเกณฑเ์ ฉลี่ย 3
ข้นึ ไป

แบบฝึกหดั

1. จงหาอินเวอร์สการคณู ของเมตรกิ ซต์ อ่ ไปนี้

(1) A = 5 4
3 1

....................................................................................................................................................................................

....................................................................................................................................................................................

....................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................

....................................................................................................................................................................................

....................................................................................................................................................................................

....................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................

(2) B= 2 -5
1 - 3

....................................................................................................................................................................................

....................................................................................................................................................................................

....................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................

....................................................................................................................................................................................

....................................................................................................................................................................................

....................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................