แผนการจัดการเรียนรู้ เรื่อง เมทริกซ์

แผนการจดั การเรยี นรู้ที่ 31
หนว่ ยการเรียนรูท้ ่ี 2 เมทรกิ ซ์ เร่อื ง ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทรกิ ซ์ n x n เม่อื n เปน็ จำนวนเต็มไม่เกินสี่
รายวิชา คณติ ศาสตรเ์ พิ่มเตมิ (ค 30203) ชั้นมธั ยมศกึ ษาปีท่ี 5 กลมุ่ สาระการเรยี นรคู้ ณิตศาสตร์
เวลาเรียน 3 ชม./สปั ดาห์ ภาคเรยี นท่ี 1 ปกี ารศกึ ษา 2565 ครผู ู้สอน นางพรรณี เกตุถาวร
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
1. มาตรฐานการเรียนรู้

ใช้นพิ จน์ สมการ อสมการ และเมทริกซ์ อธบิ ายความสัมพนั ธ์ หรอื ช่วยแกป้ ญั หาทกี่ ำหนดให้
2. ผลการเรียนรู้

เข้าใจความหมาย หาผลลพั ธข์ องการบวกเมทรกิ ซ์ การคณู เมทริกซก์ ับจำนวนจรงิ การคณู ระหวา่ ง
เมทริกซแ์ ละหาเมทรกิ ซส์ ลบั เปลยี่ น หาดีเทอรมแิ นนตของเมทริกซ n × n เม่ือ n เปนจาํ นวนนบั ที่ไมเกนิ สาม
3. สาระสำคัญ

บทนิยาม ให้ A = [a]1x1 เรยี ก a ว่า เปน็ ดเี ทอร์มิแนนต์ (Determinant) ของ A

ดีเทอร์มแิ นนท์ (Determinant) เป็นคา่ ทีไ่ ด้จากการคำนวณจากเมทริกซท์ ่ีกำหนดให้
A เปน็ n  n เมทริกซ์ ดีเทอรม์ แิ นนทข์ องเมทริกซ์ A เขยี นแทนด้วย det(A) หรอื A

*** 1. det(A) ท่ีมิมิติ 3  3 เมทริกซ์ จะเพิ่ม 2 หลกั แรก และหาคา่ โดยวิธีใชล้ ูกศร
2 det(At) = det(A)
3. det(An) = (det(A))n
4. det(AB) = det(A)det(B)

การหาดีเทอร์มแี นนทโ์ ดยวิธีการของโคแฟคเตอร์(Cofactor)
นอกจากวิธีการใชล้ กู ศรชว่ ยในการหาดเี ทอรม์ ีแนนท์แล้ว การใช้ Cofactor เปน็ วธิ ีการท่ีตอ้ งใช้

กับเมทรกิ ซท์ ีม่ ขี นาดมากกว่า 3  3
โคแฟคเตอร(์ Cofactor)
กำหนด A = [aij]nm n2
โคแฟคเตอรข์ อง aij คอื ผลคูณของ (-1)i+j และไมเนอรข์ อง aij เขียนแทนโคแฟคเตอรข์ อง aij

ด้วย Aij
โดยท่ี Aij = (-1)I+j Mij
และ Mij แทนไมเนอรข์ อง aij

กอ่ นทจ่ี ะหาโคแฟคเตอร์จำเป็นตอ้ งรู้จกั วิธีหาไมเนอร์ ดังนี้

ไมเนอร์(Minor) ของเมทรกิ ซ์ A

ให้ M แทน ไมเนอร(์ Minor) ของเมทริกซ์ A

ไมเนอร์(Minor) ของเมทริกซ์ A คอื ดีเทอร์มแี นนทข์ องเมทรกิ ซ์ A ทเ่ี กดิ จากการตดั แถว i และหลกั ที่ j

ออก [ ]a b c ]
ถ้าให้ A = de f
g h i 33

M11 คอื ไมเนอร์ของ A แถวท่ี 1 และหลักท่ี 1

M11 = ef = ei - hf
hi

สมาชิก a11 เป็นจุดตดั ออก ในแถวที่ 1 หลักท่ี 1 ดงั เสน้ ประท่ีแสดงไว้ สว่ นทีเ่ หลอื เป็นไมเนอรข์ อง A
และเป็นดเี ทอร์มแิ นนท์ จงึ ใช้สญั ลกั ษณ์   กำกับไว้

4. จดุ ประสงค์การเรยี นรู้
ดา้ นความรู้ (K) นกั เรียนสามารถ
1. อธบิ ายและหาดีเทอร์มแิ นนต์ของเมทริกซ์ที่กำหนดใหไ้ ด้
2. อธิบายและหาไมเนอร์ของเมทรกิ ซ์ทกี่ ำหนดให้ได้
3. อธบิ ายและหาโคแฟกเตอร์ของเมทริกซ์ที่กำหนดใหไ้ ด้
ดา้ นทกั ษะและกระบวนการ (P) นักเรยี นมคี วามสามารถในการ
1. แสดงวธิ ีการหาดีเทอรม์ แิ นนต์ของเมทรกิ ซไ์ ด้อยา่ งถกู ตอ้ งและสมเหตุสมผล
ดา้ นคณุ ลกั ษณะ (A) นกั เรียนมี
1. มคี วามละเอยี ดรอบคอบในการทำงานที่ได้รบั มอบหมาย
2. มีความรบั ผิดชอบตอ่ หน้าทท่ี ีไ่ ดร้ ับมอบหมาย
3. มคี วามซ่อื สตั ย์ ในการทำงานทไ่ี ดร้ บั มอบหมายด้วยตนเอง
4. มีวนิ ัยต่อตนเองและต่อส่วนรวม
สาระทอ้ งถ่ิน -

5. สมรรถนะสำคญั ของผเู้ รยี น  5.4 ความสามารถในการใชท้ กั ษะชีวิต
 5.1 ความสามารถในการสอ่ื สาร  5.5 ความสามารถในการใชเ้ ทคโนโลยี
 5.2 ความสามารถในการคดิ
 5.3 ความสามารถในการแกป้ ญั หา

6. คณุ ลกั ษณะอันพงึ ประสงค์

 6.1 รกั ชาติ ศาสน์ กษตั รยิ ์  6.5 อยู่อย่างพอเพียง

 6.2 ซอื่ สตั ย์สจุ รติ  6.7 รักความเปน็ ไทย

 6.3 มวี ินยั  6.6 มุ่งมั่นในการทำงาน

 6.4 ใฝเ่ รียนรู้  6.8 มีจิตสาธารณะ

สอดคล้องกับคณุ ธรรมอตั ลกั ษณข์ องสถานศกึ ษา เร่ือง มวี ินัย ความรบั ผิดชอบ มีจติ อาสา

7. ชิน้ งาน / ภาระงาน

- แบบฝกึ หดั

8. บูรณาการ

-

9. กจิ กรรมการเรยี นรู้

9.1 ขั้นนำ : การนำเข้าสปู่ ระสบการณแ์ ละการสำรวจความรู้

1. ครูสุ่มให้นักเรยี นอภิปรายหลักการหาดีเทอร์มแิ นนตข์ องเมทรกิ ซ์ การหาไมเนอร์ โคแฟกเตอร์ เมทรกิ ซ์

ผูกพนั ของเมทริกซ์ท่กี ำหนดให้ เพ่อื ตรวจสอบความเข้าใจของนักเรียนจากท่ีได้รบั มอบหมายให้ไปศึกษาด้วยตนเองผา่ น

ทาง http://racha1-online.school

9.2 ขน้ั สอน : การสร้างความรู้และการสาธิต
2. ครอู ธิบายเกยี่ วกับวธิ กี ารหาดีเทอรม์ แิ นนทข์ องเมทริกซม์ ิติ 2 x 2
ดเี ทอรม์ ิแนนท์ (Determinant) เป็นค่าท่ไี ดจ้ ากการคำนวณจากเมทริกซท์ ก่ี ำหนดให้

[ ]a b A เป็น nn เมทรกิ ซ์ ดีเทอร์มแิ นนท์ของเมทรกิ ซ์ A เขยี นแทนด้วย det(A) หรือ A

ดงั น้ี c d ,
--

ab
cd
[ ]A =

]+
+

จะได้ det(A) = ad - bc
*** 1. det(A) ท่ีมมิ ติ ิ 3  3 เมทรกิ ซ์ จะเพมิ่ 2 หลกั แรก และหาค่าโดยวิธใี ช้ลูกศร

2 det(At) = det(A)
3. det(An) = (det(A))n

4. det(AB) = det(A)det(B)

3. ครูอธิบายเก่ียวกบั การหาดีเทอร์มิแนนท์ของเมทริกซ์ที่มีมติ ิ 3 x 3 ดังน้ี
การหาดีเทอรม์ แี นนทโ์ ดยวธิ กี ารของโคแฟคเตอร(์ Cofactor)

นอกจากวธิ กี ารใช้ลกู ศรช่วยในการหาดีเทอรม์ ีแนนท์แล้ว การใช้ Cofactor เป็นวิธกี ารทตี ้องใช้
กับเมทรกิ ซ์ท่ีมีขนาดมากกว่า 3 x 3

บทนยิ าม ให้ A = [aij]nn เมื่อ n  2 ตวั ประกอบร่วมเก่ยี ว (cofactor) ของ aij คอื ผลคูณของ (-1)i+j
และ Mij(A) เขยี นแทนตวั ประกอบรว่ มเกยี่ วของ aij ด้วย Cij(A)

4. ครอู ธิบายเกีย่ วกับวธิ ีการหาโคแฟคเตอรข์ องเมทรกิ ซ์ ดงั น้ี

โคแฟคเตอร(์ Cofactor)

กำหนด A = [aij]nm n  2
โคแฟคเตอร์ของ aij คือผลคณู ของ (-1)i+j และไมเนอร์ของ aij เขยี นแทนโคแฟคเตอรข์ อง aij
ดว้ ย Aij
โดยท่ี Aij = (-1)i+j Mij
และ Mij แทนไมเนอร์ของ aij
กอ่ นทจี่ ะหาโคแฟคเตอร์จำเป็นตอ้ งร้จู กั วิธีหาไมเนอร์ ดังนี้
5. ครูอธิบายเก่ียวกบั วิธกี ารหาไมเนอรข์ องเมทรกิ ซ์ ดงั น้ี

ไมเนอร์ (Minor) ของเมทริกซ์ A

ให้ M แทน ไมเนอร(์ Minor) ของเมทริกซ์ A

ไมเนอร์ (Minor) ของเมทรกิ ซ์ A คือดเี ทอรม์ แี นนท์ของเมทริกซ์ A ที่เกิดจากการตดั แถว i และหลักที่ j

ออก [ ]a b c ]
ถา้ ให้ A = de f
g h i 33

M11 คอื ไมเนอร์ของ A แถวที่ 1 และ หลกั ท่ี 1

M11 = |ℎ | = ei - hf

สมาชิก a11 เปน็ จดุ ตัดออก ในแถวที่ 1 หลกั ที่ 1 ดังเสน้ ประทีแ่ สดงไว้ ส่วนทเี่ หลือเป็นไมเนอร์ของ
A และเป็นดเี ทอรม์ แิ นนท์ จึงใช้สญั ลกั ษณ์   กำกับไว้

6. ครยู กตัวอยา่ งการหาไมเนอร์ของเมทริกซ์ทีก่ ำหนดให้ ดังนี้

ตัวอยา่ ง กำหนดให้ A = [aij]2x2 จงหาไมเนอร์ของสมาชกิ ทุกตวั ของ A
วิธที ำ เนอื่ งจาก = [ 2111 1222]

ฉะนนั้ M11(A) = a22 , M12(A) = a21

M21(A) = a12 , M22(A) = a11

6. ครูยกตวั อยา่ งการหาโคแฟคเตอรข์ องเมทริกซ์ท่ีกำหนดให้ ดังนี้

ตัวอย่าง กำหนดให้ A = [aij]2x2 จงหาตวั ประกอบรว่ มเดีย่ วของสมาชกิ ทกุ ตวั ของ A
วธิ ที ำ เน่อื งจาก = [ 1211 1222]

ฉะนนั้ M11(A) = a22 , M12(A) = a21
M21(A) = a12 , M22(A) = a11

จากนยิ ามจะไดว้ ่า

C11(A) = (-1)1+1M11(A) = (-1)2 a22 = a22
C12(A) = (-1)1+2M12(A) = (-1)3 a21 = - a21
C21(A) = (-1)2+1M21(A) = (-1)3 a12 = - a12
C22(A) = (-1)2+2M22(A) = (-1)4 a11 = a11

ตวั อยา่ ง กำหนดให้ A = [aij]2x2 = a11a22 – a12a21 = a11a22 – a21a12
จงหา 1. a11C11(A) + a12C12(A) = - a21a12 + a22a11 = a11a22 – a21a12
2. a21C21(A) + a22C22(A) = a11a22 – a21a12
3. a11C11(A) + a21C21(A) = - a12a21 + a22a11 = a11a22 – a21a12
4. a12C12(A) + a22C22(A)
วธิ ีทำ 1. a11C11(A) + a12C12(A)
2. a21C21(A) + a22C22(A)
3. a11C11(A) + a21C21(A)
4. a12C12(A) + a22C22(A)

7. ครูอธิบายเกี่ยวกับการหาดเี ทอรม์ แิ นนต์ของเมทรกิ ซ์ทีม่ มี ติ มิ ากกว่า 2 x 2 ดังนี้
บทนยิ าม ให้ A = [aij]nn เมอื่ n  2 ดเี ทอร์มแิ นนตข์ อง A คอื

a11C11(A) + a12C12(A) + … + a1nC1n(A)
เขียนแทนดีเทอร์มแิ นนต์ของ A ด้วย det(A)

8. ครูยกตัวอยา่ งการหาดีเทอรม์ ิแนนตข์ องเมทริกซ์ท่มี ีมิตมิ ากกว่า 2 x 2 ดงั น้ี

ตวั อยา่ ง จงหา det(A) เม่ือกำหนด

วธิ ีทำ จากบทนยิ ามจะได้ว่า 1 12
= [−3 2 4]

0 −1 3

det(A) = C11(A) + C12(A) + 2 C13(A)
= M11(A) + M12(A) + 2 M13(A)

= |−21 34| − |−03 43| + 2 |−03 −21|
= (6 – (-4)) – (- 9 – 0) +2(3 – 0)

= 10 + 9 + 6

= 25

11 2
4]
ตัวอยา่ ง จงหา det(A) เมือ่ กำหนด = [ 2 −3
3
วิธีทำ จากบทนยิ ามจะไดว้ ่า 10

det(A) = C11(A) + C12(A) + 2 C13(A)

= M11(A) + M12(A) + 2 M13(A)

= |−03 34| − | 2 34| + 2 | 2 −03|
1 1
= (- 9 – 0) – (6 – 4) +2(0 – (-3))

= -9-2+6

= -5

2 0 40

ตวั อย่าง จงหา det(A) เมอื่ กำหนด = [21 1 1 24]
−3 2

วธิ ที ำ จากบทนิยามจะไดว้ ่า 1 0 −1 3

det(A) = 2C11(A) + 0C12(A) + 4C13(A) + 0C14(A)
= 2(-1)1+1M11(A) + 4(-1)1+3M13(A)

1 12 1 12
= 2 |−3 2 4| + 4 |2 −3 4|

0 −1 3 1 03

= 2(25) + 4(-5)

= 50 – 20

= 30

9. ครอู ธบิ ายเกี่ยวกับการหาอนิ เวอรส์ การคูณของเมทริกซ์ ดังน้ี

ทฤษฎีบท ให้ A เป็น n x n เมทรกิ ซ์ เมือ่ n  2 จะไดว้ ่า

(1) A adj(A) = adj(A)In

(2) A มอี ินเวอรส์ การคูณ ก็ตอ่ เม่ือ A เป็นเมทริกซไ์ มเ่ อกฐาน

ในกรณี det(A) ≠ 0 ได้วา่ −1 = 1 ( )
det( )

โดยถ้าเมทรกิ ซ์ A มี det(A) = 0 แล้ว A จะเป็นเมทรกิ ซ์เอกฐาน (ไม่มี A-1)
ถ้าเมทรกิ ซ์ A มี det(A)  0 แลว้ A จะเป็นเมทริกซ์ไมเ่ อกฐาน (มี A-1)

10. ครยู กตัวอยา่ งการหาอินเวอรส์ การคูณของเมทรกิ ซท์ ่ีมีมิติ 3 x 3 ดังนี้
ตัวอย่าง จงหาอนิ เวอรส์ การคูณของเมทรกิ ซ์ A

1 2 6
A = 3 5 7

4 8 9

เลือก แถวท่ี 1
det(A) = 1C11(A) + 2C12(A) + 6C13(A)
= 1M11(A) + 2(-1)M12(A) + 6M13(A)
= -11 + (21) + (64)
= -11 + 2 + 24
= 15

1 2 6 12
det(A) = 3 5 7 3 5

4 8 9 48
= (1 5  9) + (2  7  4) + (6  3  8)

− (4  5  6) − (8  7 1) − (9  3  2)
= 45 + 56 + 144 − 120 − 56 − 54 = 15

 57 −3 7 3 5 t
 49 
 89 16 4 8 

adj( A) = − 2 6 49 1 2
 8 9 −1 6 − 
8 
37 4

 26 1 2
 
 57 3 5 

−11 1 4t −11 30 −16
 0 =  11
=  30 − 15  1 − 15

−16 11 −1  4 0 −1 

−11 30 −16 − 11 2 − 16 
 −1 
A−1 = 1 1 − 15 11  =  15 15 
4 0  1 11 

15  −1   15 15 

4 0 − 1 
 15 15 

9.3 ขน้ั สรุป : การประยุกต์ใช้
10. ครแู ละนกั เรียนร่วมกนั สรปุ การหาดีเทอร์มิแนนตข์ องเมทริกซ์ทกี่ ำหนดให้
11. ครูกำหนดแบบฝกึ หดั ใหน้ ักเรียนฝึกทำในชั่วโมง
12. ครมู อบหมายให้นักเรยี นศึกษาความร้เู พ่ิมเติม เรอ่ื ง สมบตั ดิ ีเทอรม์ ิแนนต์ ผ่านทาง

racha1-online.school และให้นกั เรียนทำแบบฝึกหัดในเอกสารประกอบการเรียนเป็นการบา้ น
10. สือ่ การเรียนรู้ / แหล่งการเรียนรู้
สื่อการเรียนรู้
- แบบฝึกหัด
- เอกสารประกอบการเรียน เรอ่ื ง เมทรกิ ซ์
แหล่งการเรยี นรู้
- ข้อมูลจากเวบ็ ไซตต์ า่ ง ๆ
- บทเรยี นออนไลน์ Racha 1- Online
- หอ้ งสมดุ โรงเรียน
- ห้องกลมุ่ สาระการเรยี นรคู้ ณติ ศาสตร์

11. การวัดและประเมินผลการเรยี นรู้

รายการวัดและประเมินผล วธิ วี ัดผล เครอื่ งมอื วัดและ เกณฑก์ าร
ประเมนิ ผล ประเมินผล
ความรู้ (K) การทำแบบฝกึ หัด ทำแบบฝกึ หัดได้
แบบฝกึ หัด
ทกั ษะ/กระบวนการ (P) การทำแบบฝึกหดั ถูกตอ้ ง
คณุ ลักษณะ/เจตคติ (A) แบบฝึกหดั อยา่ งน้อย 80%
สงั เกตพฤติกรรมในชน้ั เรยี น ผ่านเกณฑ์เฉลย่ี 3
และการทำงานทไ่ี ดร้ ับ แบบประเมิน
มอบหมาย พฤติกรรม ข้นึ ไป

ผา่ นเกณฑเ์ ฉลี่ย 3
ข้นึ ไป

แบบฝึกหดั

1. กำหนดให้ A= 2 4 , B = -1 0
3  5 
- 1  2 

(1) จงหา det (A)

....................................................................................................................................................................................

....................................................................................................................................................................................

(2) จงหา det(AB)

....................................................................................................................................................................................

....................................................................................................................................................................................

(3) จงหา det(A)det(B)

....................................................................................................................................................................................

....................................................................................................................................................................................

....................................................................................................................................................................................

....................................................................................................................................................................................

2 2 4

2. กำหนดให้ A = 2 1 1 จงหา det (A)

-1 1 -1

....................................................................................................................................................................................

....................................................................................................................................................................................

....................................................................................................................................................................................

....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................

....................................................................................................................................................................................

3. กำหนดให้ A= 1 2 ,B = 0 5
- 3 4  2 8

(1) det(A) . det(A t ) = .........................................................................................

(2) (A+B) t = ..................................................................................................

(3) det(B 2 ) = ......................................................................................................

(4) det (A) + det (B) = ......................................................................................
(5) det(A+B) = .....................................................................................................

2 0 3

4. กำหนดให้ A= -1 0 4 จงหาคำตอบ

0 1 1 

1. M12 = ...............................................................................................................
2. M 32 = ................................................................................................................
3. โคแฟคเตอรข์ อง 2 คอื ..................................................................................……
4. โคแฟคเตอร์ของ -1 คอื ................................................................................…….
5. det(A) = ........................................................................................................…..

1 2 3 

5. กำหนดให้ A = 5 8 -1 จงหาคำตอบ โดยกำหนด I เป็นเมทรกิ ซเ์ อกลกั ษณ์

1 2 3 

(1) AI = .....................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................

(2) det (A) = .............................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................

(3) det(A t ) = .............................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................

แผนการจัดการเรยี นรทู้ ี่ 32

หน่วยการเรยี นรทู้ ี่ 2 เมทรกิ ซ์ เรอ่ื ง สมบัติของดเี ทอรม์ ิแนนต์ของเมทรกิ ซ์

รายวชิ า คณิตศาสตร์เพม่ิ เติม (ค 30203) ช้ันมัธยมศกึ ษาปที ่ี 5 กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์

เวลาเรียน 3 ชม./สัปดาห์ ภาคเรยี นที่ 1 ปีการศกึ ษา 2565 ครผู สู้ อน นางพรรณี เกตถุ าวร

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

1. มาตรฐานการเรยี นรู้

ใช้นิพจน์ สมการ อสมการ และเมทริกซ์ อธิบายความสัมพนั ธ์ หรือช่วยแก้ปัญหาท่กี ำหนดให้

2. ผลการเรียนรู้

เข้าใจความหมาย หาผลลัพธข์ องการบวกเมทรกิ ซ์ การคูณเมทรกิ ซก์ ับจำนวนจรงิ การคูณระหว่าง

เมทรกิ ซ์ และหาเมทรกิ ซ์สลบั เปลี่ยน หาดเี ทอรมแิ นนตของเมทริกซ n × n เมอ่ื n เปนจํานวนนับท่ีไมเกินสาม

3. สาระสำคัญ

 ถา้ A = aij mm แล้วจะได้ว่า

 det(A) = det(At)

 det(kA) = kmdet(A)

 det(AB) = det(A) det(B)

 det(A-1) = 1

det( A)

4. จดุ ประสงคก์ ารเรียนรู้
ดา้ นความรู้ (K) นักเรยี นสามารถ
1. บอกสมบตั ิของดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ได้
ดา้ นทกั ษะและกระบวนการ (P) นกั เรยี นมคี วามสามารถในการ
1. นำสมบัติของดเี ทอร์มิแนนต์ของเมทริกซไ์ ปใช้ในการแกป้ ัญหาได้อย่างถกู ตอ้ งและสมเหตุสมผล
ดา้ นคณุ ลกั ษณะ (A) นกั เรยี นมี
1. มคี วามละเอยี ดรอบคอบในการทำงานท่ีไดร้ ับมอบหมาย
2. มีความรับผดิ ชอบตอ่ หนา้ ทที่ ไ่ี ดร้ บั มอบหมาย
3. มคี วามซ่อื สัตย์ ในการทำงานทไ่ี ดร้ ับมอบหมายดว้ ยตนเอง
4. มวี ินยั ตอ่ ตนเองและตอ่ สว่ นรวม
สาระท้องถ่ิน –

5. สมรรถนะสำคญั ของผูเ้ รยี น  5.4 ความสามารถในการใชท้ ักษะชวี ติ
 5.1 ความสามารถในการส่ือสาร  5.5 ความสามารถในการใช้เทคโนโลยี
 5.2 ความสามารถในการคิด
 5.3 ความสามารถในการแก้ปญั หา

6. คณุ ลกั ษณะอันพงึ ประสงค์

 6.1 รกั ชาติ ศาสน์ กษัตริย์  6.5 อยู่อย่างพอเพียง

 6.2 ซ่ือสตั ย์สุจริต  6.7 รกั ความเป็นไทย

 6.3 มีวินัย  6.6 มงุ่ มัน่ ในการทำงาน

 6.4 ใฝเ่ รียนรู้  6.8 มีจติ สาธารณะ

สอดคล้องกบั คุณธรรมอัตลกั ษณข์ องสถานศกึ ษา เรอ่ื ง มีวินยั ความรบั ผิดชอบ มีจติ อาสา

7. ชิ้นงาน / ภาระงาน

- แบบฝึกหัด

8. บูรณาการ

-

9. กจิ กรรมการเรียนรู้

9.1 ข้นั นำ : การนำเขา้ สูป่ ระสบการณ์และการสำรวจความรู้

1. ครูให้นักเรียนรว่ มกันทบทวนการหาดีเทอร์มแิ นนตข์ องเมทรกิ ซ์ n x n เม่อื n เป็นจำนวนเต็มไม่เกิน

ส่ี

2. ครูสุ่มใหน้ กั เรียนอภปิ รายเก่ยี วกบั สมบัติของดเี ทอรม์ ิแนนต์ เพ่อื ตรวจสอบความเข้าใจของนกั เรยี นจากที่

ไดร้ ับมอบหมายให้ไปศึกษาดว้ ยตนเองผ่านทาง http://racha1-online.school

9.2 ขนั้ สอน : การสรา้ งความรู้และการสาธิต
3. ครูอธิบายเกยี่ วกบั สมบัติของดเี ทอรม์ ิแนนต์ดงั น้ี

 ถ้า A = aij mm แล้วจะได้ว่า

 det(A) = det(At)
 det(kA) = kmdet(A)

 det(AB) = det(A) det(B)

 det(A-1) = 1

det( A)

4. ครยู กตวั อยา่ งการนำสมบตั ขิ องดเี ทอรม์ ิแนนต์ไปใชใ้ นการแกป้ ญั หา ดังน้ี
ตวั อยา่ งท่ี 1 จงหา det (At) เมอื่ กำหนดให้

1. = [02 30]

−3 2 −1

2. = [ 0 1 2 ]

6 −4 2

ตัวอยา่ งท่ี 2 กำหนดให้ = [13 −−21] , = [12 41] , = [31 −41]
จงหา

1. det (AB)
2. det (BC)
3. det (A2)
4. det (B2)
5. det (C3)
6. det (A-1)
7. det (B-1)
8. det (C-1)
ตวั อยา่ งที่ 3 จงหาดเี ทอร์มแิ นนต์ของเมทริกซท์ ่ีกำหนดให้

1. = [−03 20]

1 −4 0

2. = [2 1 0]

310

3. = [21 21]

1 −1 0

4. = [3 1 4]

1 −1 0

ตวั อยา่ งท่ี 4 จงหาดเี ทอรม์ แิ นนต์ของเมทรกิ ซท์ ่ีกำหนดให้

6 −3 9

1. = [4 −4 6]

1 =1 6

531

2. = [10 6 −2]

−5 −3 −3

5. ครูให้นักเรยี นฝกึ ทำแบบฝกึ หดั เพ่มิ เตมิ ในช่ัวโมงเรียนจากน้ันรว่ มกันอภปิ รายเฉลยคำตอบทีละข้อ
พร้อมอภปิ รายซักถามปัญหาในส่วนทนี่ ักเรียนไมเ่ ข้าใจ

9.3 ขนั้ สรปุ : การประยุกต์ใช้
6. ครแู ละนกั เรยี นรว่ มกนั สรุปเกยี่ วกับสมบัติของดเี ทอร์มแิ นนต์
7. ครมู อบหมายใหน้ ักเรยี นศกึ ษาความรู้เพิ่มเตมิ เมทรกิ ซผ์ ูกพันและการหาอินเวอรส์ การคูณของ

เมทริกซท์ มี่ มี ติ ิ n x n เมื่อ n > 3 ผ่านทาง racha1-online.school
8. มอบหมายใหน้ กั เรยี นทำแบบฝกึ หัดในเอกสารประกอบการเรียนเป็นการบ้าน

10. สือ่ การเรยี นรู้ / แหล่งการเรียนรู้
สอ่ื การเรยี นรู้
- แบบฝกึ หัด
- เอกสารประกอบการเรยี น เร่ือง เมทรกิ ซ์
แหลง่ การเรียนรู้
- ข้อมลู จากเว็บไซตต์ ่าง ๆ
- บทเรียนออนไลน์ Racha 1- Online
- หอ้ งสมุดโรงเรียน
- หอ้ งกลุ่มสาระการเรียนรูค้ ณติ ศาสตร์

11. การวดั และประเมนิ ผลการเรยี นรู้

รายการวัดและประเมินผล วธิ ีวดั ผล เครอ่ื งมือวัดและ เกณฑ์การ
ประเมนิ ผล ประเมนิ ผล
ความรู้ (K) การทำแบบฝกึ หัด ทำแบบฝกึ หัดได้
แบบฝึกหัด
ทักษะ/กระบวนการ (P) การทำแบบฝึกหดั ถกู ตอ้ ง
คณุ ลักษณะ/เจตคติ (A) แบบฝึกหัด อยา่ งนอ้ ย 80%
สงั เกตพฤตกิ รรมในชั้นเรยี น ผา่ นเกณฑเ์ ฉลี่ย 3
และการทำงานที่ได้รบั แบบประเมิน
มอบหมาย พฤติกรรม ขึ้นไป

ผา่ นเกณฑ์เฉลี่ย 3
ขน้ึ ไป

แผนการจดั การเรียนรู้ที่ 33

หนว่ ยการเรียนร้ทู ี่ 2 เมทริกซ์ เร่ือง อินเวอรส์ การคณู ของเมทรกิ ซ์ มติ ิ n x n เมื่อ n > 3

รายวชิ า คณิตศาสตรเ์ พ่มิ เตมิ (ค 30203) ช้ันมัธยมศกึ ษาปีที่ 5 กลุม่ สาระการเรยี นรู้คณิตศาสตร์

เวลาเรียน 3 ชม./สปั ดาห์ ภาคเรียนที่ 1 ปกี ารศกึ ษา 2565 ครผู ูส้ อน นางพรรณี เกตถุ าวร

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

1. มาตรฐานการเรยี นรู้

ใชน้ ิพจน์ สมการ อสมการ และเมทรกิ ซ์ อธิบายความสมั พนั ธ์ หรือชว่ ยแก้ปญั หาที่กำหนดให้

2. ผลการเรยี นรู้

เขา้ ใจความหมาย หาผลลัพธข์ องการบวกเมทรกิ ซ์ การคูณเมทรกิ ซ์กับจำนวนจริง การคณู ระหว่าง

เมทรกิ ซ์ และหาเมทริกซส์ ลบั เปลี่ยน หาดเี ทอรมแิ นนตของเมทรกิ ซ n × n เมอ่ื n เปนจํานวนนบั ทีไ่ มเกนิ สาม

3. สาระสำคญั

 ถา้ A = aij mm แลว้ จะได้ว่า

 det(A) = det(At)

 det(kA) = kmdet(A)

 det(AB) = det(A) det(B)

 det(A-1) = 1

det( A)

บทนิยาม ให้ A เป็น n x n เมทริกซ์

A เปน็ เมทรกิ ซเ์ อกฐาน (singular matrix) เม่อื det(A) = 0

A เป็นเมทริกซไ์ ม่เอกฐาน (non-singular matrix) เม่ือ det(A) ≠ 0

บทนยิ าม ให้ A เปน็ n x n เมทริกซ์ เมอ่ื n  2 เมทรกิ ซ์ผกู พัน (adjiont matrix) ของ A คอื เมทรกิ ซ์
[(Cij(A)]t เขยี นแทนด้วยเมทรกิ ซผ์ กู พนั ของ A ดว้ ย adj(A)

ทฤษฎีบท ให้ A เปน็ n x n เมทรกิ ซ์ เมื่อ n  2 จะได้
1. A adj (A) = det (A)In
2. A เปน็ อนิ เวอร์สการคณู ก็ต่อเมือ่ A เปน็ เมทริกซ์ไมเ่ อกฐาน

จะได้ A -1 = 1 .adj(A) เมอ่ื det(A) ≠ 0

det( A)

4. จดุ ประสงคก์ ารเรยี นรู้
ด้านความรู้ (K) นักเรียนสามารถ
1. อธบิ ายความหมายและวิธกี ารหาเมทริกซ์ผกู พันของเมทริกซ์ที่กำหนดให้ได้

2. บอกได้ว่าเมทริกซท์ ี่กำหนดใหเ้ ปน็ เอกฐานหรอื ไมเ่ อกฐาน
ด้านทักษะและกระบวนการ (P) นกั เรียนมคี วามสามารถในการ
1. หาอนิ เวอรส์ การคูณของเมทริกซ์ทก่ี ำหนดใหไ้ ด้
ดา้ นคุณลักษณะ (A) นกั เรยี นมี
1. มีความละเอยี ดรอบคอบในการทำงานทไี่ ด้รับมอบหมาย
2. มคี วามรับผิดชอบต่อหน้าท่ที ี่ได้รบั มอบหมาย
3. มคี วามซอ่ื สตั ย์ ในการทำงานทไี่ ดร้ บั มอบหมายด้วยตนเอง
สาระท้องถิ่น -

5. สมรรถนะสำคัญของผู้เรยี น  5.4 ความสามารถในการใช้ทกั ษะชีวติ
 5.1 ความสามารถในการส่อื สาร  5.5 ความสามารถในการใชเ้ ทคโนโลยี
 5.2 ความสามารถในการคดิ
 5.3 ความสามารถในการแกป้ ญั หา

6. คณุ ลกั ษณะอนั พงึ ประสงค์

 6.1 รักชาติ ศาสน์ กษตั รยิ ์  6.5 อยู่อย่างพอเพียง

 6.2 ซ่ือสัตย์สุจริต  6.7 รกั ความเปน็ ไทย

 6.3 มีวนิ ัย  6.6 ม่งุ มั่นในการทำงาน

 6.4 ใฝ่เรียนรู้  6.8 มีจิตสาธารณะ

สอดคลอ้ งกบั คุณธรรมอตั ลักษณ์ของสถานศกึ ษา เรื่อง มีวนิ ัย ความรบั ผดิ ชอบ มจี ิตอาสา

7. ช้นิ งาน / ภาระงาน

- แบบฝกึ หัด

8. บรู ณาการ

-

9. กจิ กรรมการเรยี นรู้

9.1 ข้ันนำ : การนำเขา้ สู่ประสบการณแ์ ละการสำรวจความรู้

1. ครูสมุ่ ให้นักเรียนอภิปรายเกยี่ วกบั เมทริกซผ์ กู พัน เมทรกิ ซ์เอกฐานและเมทริกซ์ไม่เอกฐาน เพ่ือตรวจสอบ

ความเข้าใจของนักเรยี นจากท่ีไดร้ ับมอบหมายใหไ้ ปศึกษาด้วยตนเองผ่านทาง http://racha1-online.school

9.2 ขน้ั สอน : การสรา้ งความรแู้ ละการสาธติ
2. ครอู ธิบายเก่ยี วกบั ลกั ษณะของเมทรกิ ซเ์ อกฐานและไม่เอกฐาน ดงั นี้

บทนิยาม ให้ A เป็น n x n เมทริกซ์

A เป็นเมทรกิ ซเ์ อกฐาน (singular matrix) เม่ือ det(A) = 0

A เปน็ เมทรกิ ซไ์ มเ่ อกฐาน (non-singular matrix) เมือ่ det(A) ≠ 0

3. ครใู ห้นกั เรยี นพิจารณาว่าเมทริกซ์ท่กี ำหนดให้ต่อไปนีเ้ ปน็ เมทรกิ ซเ์ อกฐานหรือไม่เอกฐาน

1 2 −3
= [4 −5 6 ]

2 −1 4

1 2 −3
= [4 −5 6 ]

00 0

4. ครอู ธบิ ายเก่ียวกับเมทรกิ ซ์ผกู พันและตัวผกผนั ของเมทริกซ์ A ดงั น้ี
บทนิยาม ให้ A เปน็ n x n เมทริกซ์ เม่อื n  2 เมทรกิ ซผ์ กู พัน (adjiont matrix) ของ A คอื เมทรกิ ซ์
[(Cij(A)]t เขียนแทนดว้ ยเมทรกิ ซ์ผกู พนั ของ A ดว้ ย adj(A)

ทฤษฎบี ท ให้ A เปน็ n x n เมทรกิ ซ์ เมอื่ n  2 จะได้
A adj (A) = det (A)In
A เปน็ อนิ เวอร์สการคณู ก็ตอ่ เมื่อ A เป็นเมทรกิ ซ์ไมเ่ อกฐาน
จะได้ A -1 = 1 .adj(A) เม่อื det(A) ≠ 0

det( A)

5. ครยู กตัวอย่างประกอบการอธบิ ายเกี่ยวกับการหาตวั ผกผันการคูณของเมทรกิ ซท์ ีก่ ำหนดให้ ดังน้ี
ตวั อย่าง จงหาตวั ผกผันการคูณของเมทริกซท์ ี่กำหนดให้ตอ่ ไปนี้

1. = [−03 02]

1 −4 0
2. = [2 1 0]

310

3. = [12 21]

1 −1 0
4. = [3 1 4]

1 −1 0

1 2 −3
5. = [4 −5 6 ]

2 −1 4

1 2 −3
6. = [4 −5 6 ]

00 0

6. ครใู ห้นกั เรียนทำแบบฝกึ หัดเพ่มิ เตมิ ในชวั่ โมงเรียน จากนนั้ ร่วมกนั อภิปรายซกั ถามปัญหาที่นักเรยี น
ไม่เขา้ ใจ

9.3 ขัน้ สรุป : การประยุกตใ์ ช้
7. ครูและนกั เรียนรว่ มกันสรปุ หลักการหาอินเวอรส์ การคณู ของเมทรกิ ซ์ทีม่ ีมติ ิ n x n เมอื่

n>3
8. ครมู อบหมายใหน้ กั เรยี นศกึ ษาความรเู้ พิม่ เติม เรื่อง การแก้ระบบสมการโดยใช้เมทรกิ ซ์ ผ่านทาง

racha1-online.school และให้นกั เรยี นทำแบบฝึกหดั ในเอกสารประกอบการเรียนเปน็ การบา้ น
10. สื่อการเรียนรู้ / แหลง่ การเรยี นรู้
ส่อื การเรียนรู้
- แบบฝึกหัด
- เอกสารประกอบการเรียน เร่อื ง เมทรกิ ซ์
แหล่งการเรียนรู้
- ขอ้ มูลจากเวบ็ ไซตต์ า่ ง ๆ
- บทเรยี นออนไลน์ Racha 1- Online
- หอ้ งสมดุ โรงเรยี น
- หอ้ งกลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์

11. การวัดและประเมินผลการเรียนรู้

รายการวดั และประเมนิ ผล วิธวี ดั ผล เครือ่ งมือวัดและ เกณฑ์การ
ประเมินผล ประเมนิ ผล
ความรู้ (K) การทำแบบฝึกหัด ทำแบบฝึกหัดได้
แบบฝกึ หดั
ทักษะ/กระบวนการ (P) การทำแบบฝึกหัด ถูกตอ้ ง
คณุ ลกั ษณะ/เจตคติ (A) แบบฝึกหัด อย่างนอ้ ย 80%
สังเกตพฤติกรรมในชนั้ เรียน ผ่านเกณฑ์เฉลย่ี 3
และการทำงานท่ไี ดร้ ับ แบบประเมนิ
มอบหมาย พฤตกิ รรม ข้ึนไป

ผ่านเกณฑ์เฉลี่ย 3
ขนึ้ ไป

แผนการจดั การเรียนรทู้ ี่ 34

หนว่ ยการเรียนรทู้ ่ี 2 เมทริกซ์ เรอื่ ง การใชเ้ มทรกิ ซ์แกร้ ะบบสมการเชงิ เสน้

รายวิชา คณติ ศาสตร์เพิ่มเตมิ (ค 30203) ช้ันมัธยมศกึ ษาปีท่ี 5 กล่มุ สาระการเรยี นร้คู ณิตศาสตร์

เวลาเรียน 3 ชม./สปั ดาห์ ภาคเรยี นท่ี 1 ปีการศึกษา 2565 ครูผู้สอน นางพรรณี เกตถุ าวร

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

1. มาตรฐานการเรยี นรู้

ใช้นิพจน์ สมการ อสมการ และเมทริกซ์ อธบิ ายความสมั พนั ธ์ หรือชว่ ยแก้ปญั หาที่กำหนดให้

2. ผลการเรียนรู้

แก้ระบบสมการเชงิ เสน้ โดยใชเ้ มทริกซ์ผกผนั และการดำเนนิ การตามแถว

3. สาระสำคัญ

การแก้ระบบสมการ

ทำได้ 3 วธิ ี ดงั นี้

 ใช้ตัวผกผนั การคูณ

A เปน็ เมทริกซ์สัมประสิทธิ์

X เป็นเมทรกิ ซ์ตัวแปร

B เปน็ เมทริกซต์ ัวคงที่

AX = B

X = A-1B

 ใชก้ ฎของคราเมอร์

เมอ่ื det(A)  0
A เป็นเมทรกิ ซส์ มั ประสิทธ์ิ
Ax เปน็ เมทรกิ ซ์ที่เกดิ จากการแทนท่ีหลักท่ี 1 ของเมทรกิ ซ์ A ดว้ ยตัวคงที่
Ay เปน็ เมทรกิ ซท์ ี่เกิดจากการแทนท่ีหลกั ที่ 2 ของเมทรกิ ซ์ A ดว้ ยตวั คงที่
Az เป็นเมทรกิ ซ์ทีเ่ กิดจากการแทนทหี่ ลักท่ี 3 ของเมทรกิ ซ์ A ดว้ ยตัวคงท่ี

X = det(Ax )
det( A)

y = det(Ay )
det( A)

z = det(Az )
det( A)

 ใช้เมทริกซ์แตง่ เติม
A เปน็ เมทริกซ์สัมประสิทธ์ิ
X เปน็ เมทริกซ์คำตอบ
B เปน็ เมทรกิ ซต์ ัวคงท่ี
In เปน็ เมทรกิ ซ์เอกลกั ษณ์

A  B   In  X

4. จุดประสงคก์ ารเรยี นรู้
ดา้ นความรู้ (K) นกั เรียนสามารถ
1. สามารถหาผลบวก ลบ เมทริกซแ์ ละคูณเมทริกซ์ด้วยจำนวนจริงได้
ด้านทักษะและกระบวนการ (P) นักเรียนมคี วามสามารถในการ
1. ใชเ้ มทรกิ ซ์แกร้ ะบบสมการได้อย่างสมเหตสุ มผล
ดา้ นคุณลกั ษณะ (A) นกั เรยี นมี
1. มคี วามละเอยี ดรอบคอบในการทำงานท่ไี ด้รบั มอบหมาย
2. มีความรบั ผิดชอบต่อหน้าทที่ ่ไี ด้รับมอบหมาย
3. มคี วามซ่อื สตั ย์ ในการทำงานที่ไดร้ ับมอบหมายด้วยตนเอง
4. มีวินัยต่อตนเองและต่อสว่ นรวม
สาระท้องถิน่ -

5. สมรรถนะสำคญั ของผู้เรียน  5.4 ความสามารถในการใช้ทกั ษะชีวิต
 5.1 ความสามารถในการสอ่ื สาร  5.5 ความสามารถในการใชเ้ ทคโนโลยี
 5.2 ความสามารถในการคดิ
 5.3 ความสามารถในการแก้ปญั หา

6. คณุ ลกั ษณะอนั พึงประสงค์

 6.1 รักชาติ ศาสน์ กษตั รยิ ์  6.5 อยู่อย่างพอเพียง

 6.2 ซอ่ื สตั ย์สุจริต  6.7 รักความเปน็ ไทย

 6.3 มีวินัย  6.6 ม่งุ มน่ั ในการทำงาน

 6.4 ใฝเ่ รียนรู้  6.8 มจี ิตสาธารณะ

สอดคลอ้ งกับคุณธรรมอตั ลักษณ์ของสถานศึกษา เรื่อง มีวนิ ัย ความรบั ผิดชอบ มจี ิตอาสา

7. ชิน้ งาน / ภาระงาน
- แบบฝึกหดั

8. บรู ณาการ
-

9. กิจกรรมการเรียนรู้
9.1 ขัน้ นำ : การนำเขา้ สปู่ ระสบการณ์และการสำรวจความรู้
1. ครสู ุม่ ใหน้ กั เรยี นอภิปรายหลกั การเก่ียวกับการแก้ระบบสมการโดยใชเ้ มทริกซ์ เพ่ือตรวจสอบความเข้าใจ

ของนกั เรยี นจากทไี่ ด้รับมอบหมายใหไ้ ปศึกษาดว้ ยตนเองผา่ นทาง http://racha1-online.school
2. นกั เรียนรว่ มกนั ทบทวนเก่ยี วกับการบวก การลบเมทริกซแ์ ละการคูณเมทริกซ์ด้วยค่าคงตวั จากความรูเ้ ดมิ

ท่นี กั เรียนเคยเรยี นมาแลว้

9.2 ขั้นสอน : การสร้างความรแู้ ละการสาธติ
3. ครูอธิบายเกย่ี วกับวธิ ีการแก้ระบบสมการโดยใชเ้ มทริกซ์ ดงั นี้

วธิ กี ารแก้ระบบสมการโดยใช้เมทริกซ์ ทำได้ 3 วธิ ี คือ
 ใช้ตวั ผกผนั การคูณ

A เป็นเมทรกิ ซ์สมั ประสทิ ธิ์
X เป็นเมทริกซ์ตัวแปร
B เปน็ เมทรกิ ซต์ ัวคงที่

จาก AX = B จะไดว้ า่ X = A-1B
 ใชก้ ฎของคราเมอร์

เมื่อ det(A)  0
A เปน็ เมทริกซส์ มั ประสิทธิ์
Ax เป็นเมทริกซ์ท่เี กดิ จากการแทนท่ีหลักที่ 1 ของเมทริกซ์ A ด้วยตวั คงที่
Ay เปน็ เมทรกิ ซท์ ่เี กดิ จากการแทนทหี่ ลักท่ี 2 ของเมทริกซ์ A ดว้ ยตัวคงท่ี
Az เปน็ เมทริกซ์ทเี่ กิดจากการแทนทห่ี ลักท่ี 3 ของเมทรกิ ซ์ A ด้วยตัวคงที่

X = det(Ax )
det( A)

y = det(Ay )
det( A)

z = det(Az )
det( A)

4. ครูยกตัวอย่างการแก้ระบบสมการโดยใช้ตัวผกผันการคูณ ดงั นี้

ตัวอยา่ ง จงหาคำตอบของระบบสมการตอ่ ไปนี้โดยใช้ตัวผกผันการคูณ

x – 3z = -2

3x + y – 2z = 5

2x + 2y + z = 4
จากระบบสมการเขียนเป็นเมทรกิ ซไ์ ด้ ดังน้ี

1 0 − 3 x − 2
3 2  y  5 
1 −  = 

2 2 1  z   4

 ใช้ตวั ผกผนั การคูณ

x 1 0 − 3 −1 − 2
 y 3 − 2  
 = 1  5 

 z  2 2 1  4

1 0 − 3
1 − 2 → det(A) = −7
ให้ A = 3 2 1

2

 1 −2 − 3 −2 3 1 t
 21 21 
 2 2 

=  0 −3 1 −3 1 0
adj( A) − −
 2 1 2 1 2 2 

 0 −3 1 −3 1 0
 1 −2 − 
 3 1 
3 −2

 5 − 7 4t  5 −6 3
= − 6 7 − 2 = − 7 7 − 7

 3 − 7 1  4 − 2 1 

1  5 − 6 3
−7 − − 7
A−1 =  7 7 1 
4 −2

x  5 − 6 3 − 2
 y 1 − 7  5 
  = −7  7 7 − 
4 −2
 z  1  4

x  4
 y − 3
 =

 z   2

ดงั น้ัน ( x , y , z ) = ( 4 , -3 , 2 )

5. ครูยกตวั อยา่ งการแกร้ ะบบสมการโดยใช้กฎของคราเมอร์ดงั นี้
ครทู บทวนกฎของคราเมอร์ ดังนี้

เมือ่ det(A)  0
A เป็นเมทรกิ ซส์ ัมประสิทธิ์
Ax เปน็ เมทรกิ ซท์ ่ีเกิดจากการแทนทีห่ ลักที่ 1 ของเมทรกิ ซ์ A ด้วยตัวคงที่
Ay เปน็ เมทรกิ ซ์ท่ีเกิดจากการแทนท่ีหลักท่ี 2 ของเมทริกซ์ A ด้วยตวั คงท่ี
Az เป็นเมทรกิ ซ์ท่ีเกิดจากการแทนทหี่ ลักที่ 3 ของเมทริกซ์ A ดว้ ยตัวคงที่

X = det(Ax )
det( A)

y = det(Ay )
det( A)

z = det(Az )
det( A)

ตวั อยา่ ง จงแกร้ ะบบสมการโดยใช้กฎของคราเมอร์
x – 3z = -2

3x + y – 2z = 5
2x + 2y + z = 4
จากระบบสมการเขียนเปน็ เมทริกซไ์ ด้ ดังนี้

1 0 − 3 x − 2
3 2  y  5 
1 −  = 

2 2 1  z   4

 ใช้กฎของคราเมอร์

1 0 − 3
1 − 2 → det(A) = −7
ให้ A = 3 2 1

2

− 2 0 − 3
 1 − 2 → det(Ax ) = −28
Ax =  5 2 1

 4

 x = − 28 = 4
−7

1 − 2 − 3 det(Ay ) = 21
Ay = 3 5 − 2 →

2 4 1
 y = 21 = − 3

−7

1 0 − 2
Az = 3 1 5 → det(Az ) = −14
2 4
2

 z = −14 = 2
−7

ดังนน้ั ( x , y , z ) = ( 4 , -3 , 2 )
6. ครอู ธิบายเกย่ี กับการแก้ระบบสมการโดยใช้เมทรกิ ซแ์ ต่งเตมิ ดังน้ี

 ใช้เมทรกิ ซ์แต่งเติม
A เปน็ เมทรกิ ซ์สัมประสิทธิ์
X เป็นเมทรกิ ซค์ ำตอบ
B เป็นเมทริกซต์ ัวคงที่
In เปน็ เมทริกซเ์ อกลกั ษณ์

A  B   In  X

7. ครยู กตวั อยา่ งการแก้ระบบสมการโดยใชเ้ มทรกิ ซแ์ ตง่ เติม ดังนี้

ตวั อยา่ ง จงแกร้ ะบบสมการโดยใชเ้ มทรกิ ซแ์ ตง่ เติม
x – 3z = -2

3x + y – 2z = 5
2x + 2y + z = 4
จากระบบสมการเขยี นเป็นเมทริกซ์ได้ ดงั น้ี

1 0 − 3 x − 2
3 2  y  5 
1 −  = 

2 2 1  z   4

 ใช้เมทริกซ์แตง่ เติม

1 0 − 3  − 2
3 
1 −2  5 

2 2 1  4

1 0 − 3  − 2
1 7  11 R2 − 3R1
 0 2 7  8 R3 − 2R1
0 −3  −2
0 1 7  11
1 0 − 7  −14 R3 − 2R2

 0

0

1 0 − 3  − 2
1 7  11
 0 1 2 1
0 − 7 R3
0
1 0 0  4 R1 + 3R3
1 0  − 3 R2 − 7R3
 0 0 1  2

0

จากบรรทัดที่ 1 ได้ x = 4
จากบรรทดั ที่ 2 ได้ y = -3
จากบรรทดั ท่ี 3 ได้ z = 2
ดังนัน้ ( x , y , z ) = ( 4 , -3 , 2 )

A  In   In  A-1
ใช้เมทรกิ ซแ์ ตง่ เตมิ ดำเนินการตามแถวหา A-1
8. ครใู หน้ ักเรียนทำแบบฝกึ หดั ในเอกสารประกอบการเรยี น
9. ครูและนักเรียนรว่ มกนั เฉลยวธิ ีการหาคำตอบทีละขอ้ พรอ้ มอภิปรายซักถามปญั หาในส่วน
ท่ีนกั เรยี นไมเ่ ขา้ ใจ

9.3 ขนั้ สรุป : การประยกุ ต์ใช้
10. ครแู ละนกั เรยี นร่วมกันสรปุ วธิ กี ารแก้ระบบสมการโดยใช้เมทรกิ ซ์

11. ครกู ำหนดแบบฝกึ หัดให้นักเรยี นทำเป็นการบ้าน

12. ครูมอบหมายใหน้ ักเรียนทบทวนบทเรยี น ผ่านทาง racha1-online.school

10. สื่อการเรยี นรู้ / แหลง่ การเรียนรู้
ส่ือการเรียนรู้
- แบบฝกึ หัด
- เอกสารประกอบการเรียน เร่ือง เมทรกิ ซ์
แหลง่ การเรยี นรู้
- ขอ้ มูลจากเว็บไซต์ต่าง ๆ
- บทเรียนออนไลน์ Racha 1- Online
- หอ้ งสมดุ โรงเรียน
- หอ้ งกลุ่มสาระการเรยี นรู้คณติ ศาสตร์

11. การวัดและประเมินผลการเรยี นรู้

รายการวัดและประเมนิ ผล วิธวี ดั ผล เครื่องมอื วัดและ เกณฑก์ าร
ประเมินผล ประเมนิ ผล
ความรู้ (K) การทำแบบฝกึ หัด ทำแบบฝึกหัดได้
แบบฝึกหัด
ทกั ษะ/กระบวนการ (P) การทำแบบฝกึ หัด ถูกตอ้ ง
คณุ ลกั ษณะ/เจตคติ (A) แบบฝกึ หดั อยา่ งนอ้ ย 80%
สังเกตพฤตกิ รรมในชน้ั เรยี น ผา่ นเกณฑ์เฉลีย่ 3
และการทำงานทีไ่ ดร้ ับ แบบประเมิน
มอบหมาย พฤตกิ รรม ข้นึ ไป

ผ่านเกณฑเ์ ฉล่ีย 3
ขึน้ ไป

แบบทดสอบทา้ ยบท เรือ่ งระบบสมการเชิงเสน้ และเมทรกิ ซ์

1. ถ้า x + y 5 = 2 x − 3 4. เมทรกิ ซใ์ นขอ้ ใดเป็นตวั ผกผนั การคูณ
 x − y 2 y + 7 
 −5 14  ของเมทริกซ์ 2 − 6
 − 1 4
แล้ว ค่าของ 2x – 3y เทา่ กบั ขอ้ ใด

ก. -2 ข. 0 ก. 1 3
1 
ค. 2 ง. 34  2
2

2. กำหนดให้ − 2 5 ข. 2 3
 4 − 1 1 
 2 1
A =

และ B = 4 3 ค.  2 − 3
 − 1 2  1 
−
แล้ว ค่าของ 2A – Bt เทา่ กบั ข้อใด 2 1

ง. 1 − 3
 
ก. − 5 8 − 1
 − 4 2 2
 11

ข. − 8 11  5. ถ้า x2 4 = 4 8
 − 4
 5

ค. − 8 5 x1 23
 11 − 4
แลว้ ค่าของ x เท่ากบั ขอ้ ใด

ง.  11 − 8 ก. 0
− 4 5
ข. -2

ค. 2

3. กำหนดให้ A = 2 −1 4 ง. 4
3 0 5

 1 0  2 1 − 3
 2
และ B =  −1 6. กำหนดให้ A = −1 0 2

 4 − 3  3 − 2 5

แล้ว ข้อใดต่อไปน้ีถกู ตอ้ ง แล้ว C23(A) + M32(A) เท่ากับข้อใด
ก. 6
ก. AB =  19 − 14 ข. 7
− 23 15  ค. 8
ง. 14
ข. BA =  19 − 23
− 14 15 

ค. (AB)t =  19 23
− 14 − 15

ง. (AB)t = BA

7. กำหนดให้ A = − 3 4 1 − 1 2
 5
 2 9. ถา้ A = 3 1 − 3

และ B = 4 − 1 0 − 2 4
 3
 0 แล้ว det(A) มคี ่าเท่ากบั ข้อใด
ก. -125
แล้ว ขอ้ ใดต่อไปนไ้ี ม่ถูกต้อง ข. -29
ค. -5
ก. det(A + B) = 2 ง. 25
ข. det(AB) = − 276
ค. det(A + B)t = 2 10. จากระบบสมการ

ง. det(A + B)−1 = 7 x − 3z = − 2
3x + y − 2z = 5
2 2x + 2y + z = 4

 0 −1 2 ค่าของ x + y + z เทา่ กบั ข้อใด
ก. 7
8. ถา้ A = − 3 0 3 ข. 5
ค. 4
 0 − 2 4 ง. 3

แล้ว det(A) มีค่าเทา่ กบั ข้อใด
ก. 0
ข. 12
ค. 24
ง. -24

ตวั อยา่ งขอ้ สอบ Entrant
เรื่องระบบสมการเชิงเส้นและเมทริกซ์

1) กำหนดให้  1 −1
 
A = − 3 2
2

และ B = 1 2
− 1 1

แล้ว det [5(A-1 + Bt)] มีคา่ เท่ากับเท่าใด

2) ให้ x เปน็ จำนวนจรงิ บวก (Ent. 45 คณติ 2)
(Ent. 46 คณิต 2)
และ A เป็นเมตรกิ ซโ์ ดยท่ี A = 1 + x 1 (Ent. 47 คณติ 2)
 1 1 + x (Ent. 47 คณิต 2)

ถ้า det [ 1 A2] = 16

2

แลว้ det [8A-1 + 2At] มคี ่าเทา่ กับขอ้ ใดต่อไปนี้

1. 40 2. 72 3. 80 4. 82

3) กำหนดเมตรกิ ซ์ A = x −1
1 − x

ถา้ a, b เป็นคำตอบของสมการ det (2A2) + (1 – x2)3 det(A-1) = 45

โดยท่ี a > b แลว้ 2a – b มคี ่าเท่ากับเทา่ ใด

4) ถา้ A = − 3 a2
 
 a 1 

B = 4 − 1
0 3

และ det (ABt) = -132

แลว้ det (A + B) มคี ่าเท่ากบั เท่าใด

5) กำหนดให้ x เป็นจำนวนเต็ม

และ A = x + 1 2
 9 2x + 3


B = 2 − x 3x 
 5 − 3x
 − 2

ถ้า det (A – B) = 44
แลว้ det(A−1B) เท่ากบั เทา่ ใด

6) ถ้า x และ y เป็นจำนวนจรงิ (Ent. 47 คณติ 2)
ซ่งึ สอดคล้องกับสมการ
(Ent. 48 คณิต 2)
9 8  3x  =  5  3. 20  det
   2y   3  (Ent. 48 คณิต 2)
 6 4     

แลว้ y2 – 2x เทา่ กบั ขอ้ ใดต่อไปน้ี

1. 5 2. 6 3. 7 4. 8

7) ถ้า A เปน็ 22 เมตริกซ์

ซ่ึง 2det (A) + 3det(3(A-1)t) – 55 = 0

และ det (A) เปน็ จำนวนเตม็ แลว้ ขอ้ ใดตอ่ ไปนถี้ ูก

1. det (A)  10 2. 10  det (A)  20

(A)  30 4. det (A)  30

8) กำหนดให้  x2 1
A= 1 x



และ B =  x −1 −x
 x x −1

ถา้ det (2A) = 28 แลว้ det (AB-1) เทา่ กบั เท่าใด

(Ent. 48 คณติ 2)