คณิตพื้นฐาน

ประ วน วโดยละเ ยด ( พ อม ป ว

อ อา ฟ ประ วน ง

นามส ล หามะ อเ น ญชา ไทย เ อชา ไทย ศาสนา สลาม

สถานภาพโสด เ ด 2๑ พฤศ กายน 2518 อา 16 อง 3 คน กคน เบอ3 062 -๑2 ง7 1 65

Email.arifhama2019@gmail.com อ 32/5 ห 2 ไหงโก-ลกตน. อ จ นรา วาส 96120
.. . .

ปความ สามารถ เศษ : ด อ vdo ด อ ภาพ กราฟ ก กราฟ ก animation my motto : ประสบการ นจะสอน เรา

ใ น างๆควร : Youtuber ค คอม ธยม งาน อ เรก หาไอเ ย ภาพกราฟ กจาก ชา ชอบ ตอม

่ีทิว่ต่ีทิฟีดิดัมูรัฝ่ฝัม์ณิฟำทิฟำทูร่ตัต่ตัติพิธุสิมู่มู่ย่ีท์ร่ีทูล้น่ีพีมีปุยิจิกิอิต้ืชิตัส่ฟีล่ล่ืชุกีร่ืช้ัต่สิตัวูร้รีอัต่สิตัว

บท 1 เลข ยก ง

1. 1) เลข ยก ง เลข งเ น นวนเ ม

บท ยาม หมด เ น0เ นณจ ง และ ท เ น นณ เ มบวก

เลข ระยำะ ภื๊nrrย
ง
ฐาน
เ อ1= อ. ≠ 0

% เ อ"

= 0 ≠o

สม หนด จาง เ น นวน ไ นเ า บ

๑

1) " " ᵗท
4 •
@=

2) ( " )" = 4mn

@

3) Ca b)" = ร bn

d) @ " า

=

ไง า

§5) = dmn

ป[ × 1 ใ เ ยน นทน อไป ใน อ าง าย เ อ วง และ เ น นวน ง ไ เ า บ 0

1) ( อไ )2 2) % -3

ง@ 3 2

%|" 1) ( จง2 ) ง2)2 2(
- =
2) (2 •ไ ¥-

@3 ไ • -

2
=ว

= จะ # T

c2

(= ( | 1 )

( จ3)-3 ( § 2)3

fj6 "3

@= c

%

%5 3 ออก สอบ
c
= คง ①

ะ 15 c3

q

ไ

่ีท้ัร้ว่จ์ุข้ว๋ย่ว๋ิย้ร๋ย๋ย้วัก่ท่ม่ีทัจำจ็ป่ืม่ง่ยูร้ีน่ตัฉีข้ห้ถ่ว๊ว์ยูศัก่ท่ม่ีพิจำจ็ปำกิตับ่ืมัว่ืมํอิสุ๋ก้ีช็ติจ็ปิริจ็ปิกิน็ตำจ็ปัลำก้ีชีม่ีทัลำกัลำก่ีท

Leiture

จง
ไ์
0 ตรรก ยะ
อเ ม
ราย ะ

° %7 เ2

3 g 2=42+ 2

7 3

B g 25 = อ2+๑ T

g = 25 -๑ ชา ค ต เ มเ ม

อะไร

A จะ 4

ิต่ิพิณิว้ว้ด่ติติร

เ ยนEX ปจนทน อไป ใน อ าง าย และ เลข ง เ น นวน เ มบวก
,
จง

1. C- 2 × [' )3

1- 2 xty3 73 y [6 ๑ 3
ะ -g ≈
yง"
☒
= -8 ×

23

2. (-2×2)3cg3)+

(-2×2) 314 " = (-2×2)3

×

d 3
×

8×6/= -

¢ ×3

= 2×6-3

_

= -2 ××

Exg ใ หา ของ 3 5
283.155
1. = (7 • d) • ( 5. 3)

2 • 21 ^ ( d. 5)ᵈ • ( 7. 3)ᵈ

= 73.43.55.• 35

dᵈ gd 7 3ᵈ ᵈ
•• •

55= 731 g3 1 d.- 5- d
ๆ

"

=7 .. • 5.3

¥=
*

2. " - "" " ท+

5.2 d. 2 = 5 ° 2 - d. 2 . 2
2" -2ท 2•
2ท ท +เ
_
2

= ( 5- 1

•

(1-2)

¥=

"" "" ๆ *= -
" "^
3,6 • 2 -2 = ✗ 2-
6×2 2 ×2

"" 2" × 22 × 7

72 •

= (12-16)

2 × 28

= ^' =

,า *

ู้ญ๊ัปู๊ม่ป้กู้ม่ัภำค้ห๋ญิทีธิว่ัฎำทีธิวุ๋ย็ตำจ็ปัลำก้ีชีม่ง่ยูร้ีน่ตีร

1. 2) ราก ท ของ นวน จ ง

บท ยาม ใ ท เ น นวน เ ม กมาก า 1 และ yy เ น นวน เ ใดๆ y เ น ราก ขา ของ ≈

อเ อ y" × เลข ยก ง
=

d=

E¥ ใ+ หา ของ

1. ราก 2 ของ d ๑ 2

เ อง จาก A ๑ = (7) " และ 4 ๑ = (- 7)

นง ราก 2 ของ d ๑ อ 7,7

2. ราก 3 ของ -61

เ อง 3

จาก -61 = ( - d)

น อง ราก 3 ของ -64 -4

ห ก- ของราก ท นวน ง และ ท เ น นวนเ ม มาก า 1 y เน "
เ ยนห กของราก≈ แทน วย ×
บท ยามใ Xgy เ น
อเ อ

y เ น1. ราก ขา ของ X

2. xy ≥ 0

เ ยน ห กแทน ของ ราก ขา ของ x " y=

วย ×

ไปห กE × 5 าจง หา อ

า ห ก1. ของราก 2 ของ 6 25
16 ๑

เ องจาก 623 = 125 "ส 625 = 2
แ 3)2
( -2 5)
( - | 3)2

ง ห ก อา ของราก 25
2 ของ 625

16 ๑ 13

า ห ก2. ของราก 3 ของ -6A

เ อง "

จาก -6A = C- 4)

น อง า ห ก ของราก 3 ของ -64 7*

จารณา ท เ นจนทน เ ม ห อ ในณ เ ม ไ ง ตาราง อไป

ท เ น นวน เ ม ท เ น นวน

ไ เ อ" 0 0 เา น ไ" เสมอ บ ในณ ใด
ๆ
1. × จะ หา 1. X หา

า2. " F2. า X = 0 แ ว " =o
× = o และ × =o

า3. า" า แ ว3. × > 0 " 1 เและ น RN t

X 0 แ ว × จะ สอง เสมอ × จะ

อ เ นและ เ นลบ "

d. า 0 o แ ว เ นา× จะ 1 RN -
และ

" RNS
ไ ไ ในd. า × < o แ ว .
× จะหา า

้ด่ม่ค้ล้ถ็ป่คีม้ล้ถ็ป่ีทำค็ป่ีทำคืค็ปำคีม้ล้ถ่คีม้ล้ถ้ล้ถ้ถิจัหิส้ด้ัน่ท่ืม้ดำค่ีคำจ็ปูศ็ตำจ็ป้ีน่ตัด้ด่ีค็ตืรู่ศิต็ปิพืค่ีทัล่ค้ันัด่ืน่ีทัล่คืค่ีทัล่ค้ีนัด้ร่ืน่ีทัล่ค้ีน่ตัล่ค้ดีมัลำคีข่ีท็ป่ืม่ต็ก้ดีข่ีท่ีทัลำค็ป่วีด็ตำจ็ปิจำจ็ป้หิน่ีทัลำคืค่ีท้ันัด่ืน่ีทืค่ีท้ันัด่ืนีทำค้ห้บัลำก่ืม่ต็ก่ีท็ป็ตำจ็ป่ว่ีท็ตำจ็ป้หินิรำจ่ีท

ใE× เ หา า ของ

&

1. 625

"ส

625 =

5=

2. 588 22hk58_t8t

588 = 22×72×3 ÷

= 2×7 3 7

ะ Id 3

3. 3- 500

3- 5ออ = - ( 22.53)

= 3 g

g_

ใน ปางการ หา ผลบวก และ ผล ของ นวน กร ณ

งการ หา

1. เค องหมาย ตนการณ อง เ น นมเ ยว น

อ2. จนทน ใน ตสภ การณ องเ น นวนเ ยว น

EX7 ใ เ ยนนน อไป ใน ป อ าง าย

1. 32 A 50

32 + 50 = 16×2 + 25×2 & ำ81 × + 6 ×ˢ

d.

= งาน +5 าโ2 ำ" 6×5
81 × +

E๑= = 3 " × + 2×1 ×

2. คง × + = 3+2 X 1
×
แ× ☒

Ttx + #×

โ= 7 ×+ 9 ×

แ= ×

3. 316 3 2

-

3 แ - กะ นาง - ำน

3

=2

ำทีธิว้ข้ขิทีธิว้ขำทีธิวำทีธิว่ง่ยูร้ีน่ตีข้หักีดำจ็ป้ตู่ยีมักีดัอ็ป้ต่ืร้ีนัดีธิวีม์ฑูริจำจ่ตำทีธิวำทีธิว้ังิทีธิว่ค้ห

น ปการ หา ผล ณและ ผล หารของ
ณ อ ใน กร ณ

1. กร องจะ มาหา ผล ณ และ ผลหารจะ น บของกรม เ า น

อ2. นาน ในกร ณ ไ เ น องเห อน น

E × 8 ใ เ ยน นทน อไป ใน ปอ าง าย

1. 2 อ าง กาโย

ปแาา น อ. . = ง3 ×

= นาน

6= x "งด
_
2. ำาʰ × ?งง ✗ ำง ☒

ทาง ✗ 25 × ไ = TETE × ETI

F= ✗ 55

= 3✗5
= 13

ๆ Fอ
.
ร" อ

=3
นาดอนโออา
-5160.
205-1

3 8-

=

☒- -2
_

4. ำาน

ก

ตน 5 1 28

= 4

7T

= วน

=2

EX ๑ ใ หา ผล พ ของ

1. 7+2 า ) ( 3- 3)

"" " " " " """ "

า= 2 ๑ +3
!! !!(4+ๆ
2. (4+3725) 2 * ตร งสอง สม ร +2 พล +

" 16+2 (d)(3 2) t ๑ × 2 .

น= ..

= 16+2d 2+18

็ขฺด่ึสัข้ขํทีธิว้ล้น์ณูบัลำกูส๊ืฐ้ข้ข้ข์ธัล้หูปำทีธิวิทีธิว์ุฑ๊ซีธิว้ต้ขิตีธิว่ย่ง่ยูร้ีน่ตัฉีร้หักืม้ต็ปิจ่ม่ีทู่ย่ีทิจัก่ทัดัอีม้ตูคำน่ีทีณัฑูรู่ย่ีทิจูค

1. 3) เลข ยก ง เลข ง เ น นวน ตรรก ย .
.

เ มบท ยาม า จ เ น นวน ง ท เ น นวน ามา ถก 1 และ a ราก ทแว ะ"
4

ใEX 12 หา าของ เลขยก ง อไป

1. 16 =
¥

16

2. 27 13

" =

27 5

บท ยาม ๆ เ น ไเ มจนทน
าว เ น นวน ง ทา, มาก 1 และ เศษ น เ นอ าง และ " งนาน จะ

(= จ ( )" "

=จ

ทจ (= า "

= dm

Ex เ 3 ใ เ ยน ปทน อไป ใน เลข ย ง

3 22

1.

Gd7 3 22 ะ 2 นา

ห อ ʰ 2
2
( 3)

2. ำตน

4 ไอา" าะ -3 ำ
-

3. 1

5 72

9◦ 1ʰ า= 1

7}

= ri }

3 y}

d. xty
3×2
9 1ะ = ×
◦

ำ

4%ห2ร2มน
286

่ีท้ัวุ่งำน่วืรัลำกูรีม่ตํจีขัพ้ว่ว๊ิท๊ิร่ีท้ดิลํจ็ป่ัอำ่ต่ย้ล็ปำทีท็ตำทิลำจ็ป้กินำทีธิวํทีธิว่ว้ีน่ตัลำก่ค้ห่ล้ล่ีทีม้ข่ีท็ตำจ็ปิจำจ็ป้ถินำจ็ปัลำก้ีชีม่ีทัลำก

อ ปE × เแจง ยน ทน อไป ใ
ใน กร ณ

1. -8 ง

5dm }-8 = 3

-

2. (- 5) ำ

Gd" ำ( - 5) =3
= (ป1 2

{3. 127g3) (ง) ;

Sd" ↓( 27 • 3) = ( 33 •3) to = £ % 3จ
-
3 @=

d. xtoy } 3
×÷ y }
xtoyGd" " ×% y ¥ y×= ±÷ ×¥ ÷"
- = y
= ×=

×÷ y } ×; µ x} y
xtoy } "
=
ไง 2

=

Exis ใฬ หา า ของ

1. (-12 5) ญ 5)( 2 -52 = 25

%# 3- 1 2 52 -5= =

2. 32 } =/% 2/5)" "
ดา 82=
4 1ะ =
◦

ปEx แ ใฬเ ยน ทน อไปใน อ าง ตย %(2. 3 x 81
1. 32k × 8 %
Gd %3))( ง [" ᵗ
%| 2 = ( 32) x ( 31)
32 ✗ 8 = 2× 2

{= 2 × 2¥ำ = ^ × 3า
{× 2
=2 3

""

ๆ=

¥= 2 = 38

= 25 = 6,361 ☒

= 32 ☒

ืว่ัศู๊ฉ้ม้ิร่ัว๋ด่ยูร่ตํจีขูป้ัว่ค๊ึง่ิวู้ซ้น์ฑูรู่ย้หีม่ตํจีข

Ex 17 ใฬเ ยน นาน อไป ในอ าง าย เ อ m,ท เ น นานจ งบวก

1. 1 า 2) }
ทาง( ำ }3 =
5¥

= ทาง 5

=

2. (ทรท )ำ

( า )2

Cm 3 = = ฑํ๋ ¥° ÷

( า)2 3 ฑ๋ = ☒= m

di= ๑ ×1
÷=
Ex 18 ใ หา า ไปอ× จาก ลมการ

×

1. 2 = 128

×

2 = 128

27×

2=

7=

2. 1=

2A 3

= "

(32)× = 2& 3

× 21

(3ำ = 5

= 55

2 X = -5

¥× = ☒

2×

3. = 6A

72 ๑

⑤2× แ
= 729

( }2 = เ

3. (×

2ะ

1× = 6 Xะ {× =

☒

๋ิฐูป๊ืฃำทีธิวุ้ร้ทัว๋ท้งำทีธิวืงำทีธิว้ีน่ต่ค้ห่ทำท๋ํท๋ท๋ํทำท๋ัท๋ัฑ๋ํพำทีธิว่ทำทำท๋ัฑ๋ัท้ทัท่ัทํทีธิว้ท่ทิรํจ็ป่ืม่ง่ย้ีน่ตํจีข

ขาด แ ง ค ต 4/6/65

67 8 9 10 11 12 13
14 1 5 16 17 18 1 9 20 2 1 22

อ . คาว ผลไ m4
ผห
ตม . t
. ท
สป ร .
บก .
ตม . 4m
กท
. สบร . t

|3 ทสตม .
5 ปร .
fm
7
8 จ

31 h
g hm

7 a

. t
51
12 ใน p
3 3
7 9 ๆ 15

8 21 µ Tc
3
71 4 กฤษ ปก sinr B ะ 39#A

3 ๆเ ช B 3A
2
5 1 ญ ๆ = AB
ญช
8 &|
น1 ญ
2
3
5 3
7

ัขีม้มิณ้ข

บท 2 เ* แนว ยวจง ย อยบอก

มนความ งและ น สอบ กลาง ภาค

งน บ lordered Poirl อ ญ กษ งแสดง การ บ ระห าง สอง น งคาร 26

น บ ( อ ไป าน และ ไง EB
ไเ น น บ" "
เอ
,

ห ง9 เ นสม ก วหนา ห อสมา ก ว ของ น บ (f)

ไง เ น สมา ก งห ง ห อ สมา ก ง สอง ของ น บ 14,1ว)

ydเ อ วางอเ อน บ 1 ไป = ( C d)
,
บท ยาม ไง dจะ c และ = , เ น จนน งใดๆ

บท ยาม ผล ณ คา เทา ยน ของเซต A และ B อ เซตของ น บ 1 จะ ไป งหมดโดย a EA

เ ยน แทน วย A × B

/ไป3A × = {1 4 EA ไง EB } < แบบ เ อนไข
,

EX 1 หนด A = { } 3,5 } และ B-- { 2,1 } ใฬหา

1. Ax B = { 4,2 ) ( 1,4 ไ , ( 3,2 ) ( 3,1 ) ( 5,2 ) 15,4 ไ}
, ,
. , ,

2. Bx A = { 12,1 1,1 2,3 12,5 ) ( 4,1 ) , (1,3) , ( 1,5ไ }
,

3. A ×A = { l }1) , ( 1,3 ) , ( 1,5 ) , ( 3,1 1,1 3,3 ) ( 3,5 ) ( 5,1 ) ( 5,3 15 5)}

, , ,

[× 2 ใ A-. { 2,3 } B-- { 2,3 } C- { 3,5} จงหา
,,

1. Ax B-- { 1 1.2) 1 3) ,(2,21,12,31,13,2 1,13ๆไ }
,

2. Ax C-- { 11,3 ) ( 1,3 ) , 12,3 ), 12,5ำ (3,3%3,5)}
,

3. ( Ax บก ( Ax C) = { 11,น , 12,31,13, การ }

d. Axl BM C) = {11,3 ) , (2,3 ), 13,31}

บท ยาม หนด A และ B ใด ๆ บเซต

ตนเ น1. ช อเ อ rc A xD
ความ ม น จาก เ ต A ไป า B

เ2. r นความ ม น จาก เซต A ไป เ ต A อเ อ rc Ax A

[× 3 { } ใ เ ยน ม นหนด BA--1 แ2,3. เ อนไขหมดแบบบอก สมาและ แบบ แจกแจง ก
30 } และ 2,3 15= 1 ความ
,
. .. , , ,. . .

1. ความ ม น อย ก าจาก A ไป B

2. ความ ม น ง สองจาก A ไป B

Gd" จาก Ax B-- { 11,1 1,11,2 1,1 1,3ำ . . . , 130,1 5) }

1. ความ ม น อย ก าจาก A ไป B

{= ( 1,3 ) ( 1,1) .. . ( 11,1 5) }
ะ {1 ,, ,

µ EA × 3 / × < y }

2. ความ ม น ง สองจาก A ไป B

= { 11,1 ) ( d 2) ( 9,3 ) ( 16,4) ( 25,5 ) }
, ,, , ,

µ /{= ( X }
,
€ A xD × =

ุ้หุทุทัลำก์ธัพัสุชุท๋ปุ๋หุท่ว้น์ธัพัสัลำก์ธัพัส่ว้น์ธัพัสิช่ืงิก่ีท์ธัพัสีข้หำก่ืม่ต็ก่ต์ธัพัส็ป่ืม่ต็ก้ต์ธัพัส็ปัสำกิน้หุลุวำก่ืงีม้ดีข่ีท้ัทัดัอูศืคีซีรูคินิรํจ็ป่ืม่ืม่ต็กัดัอูศินัดัอู่ค่ีทัดิชืรัลัดิช็ปัดัอู่ค่ึนีทัติชืรัติฬ็ปีบัดัอู่ศ่อัดัอู่ค่ช่ิส่ีส่วู่คัจ่ีท์ณัลัสืคัดัอู่ค่ีทัอัวักัฟีสีพ่ค์ร๋ีด

[× d { {า A-- }2,3 , d จง หา
5,6 , 7,8, ง } B=

,

1. = { lny) EB × A / y < }× +3

tt/Bx A =
ปลา( 2,6 ) ( 2

, ,, , . . .

3,510,3# (✓ม( 3 ,
,. . .

0( ก ,51) 1,0อ . . . , 11,91ft
,,

= {( 3,5 ) (1,51,11 6) }
,

/2. { y ≤ × -5 }
= Cx y ) EA xB
,

Ax B-- { (5,2 1,1 5,3 1,1 5,11,1 6,2 1,1 6,3) (6,1 ) (7,2%7,3) ( 7 1) ( 8,2ไ , ( 8,3 ) ( 8,1) , ( 2,2 ) ( 9,3), % }
, , , , ,
,

v2 = { 17,2 ) , ( 8,2 ), ( 8,3 ) , ( 9,2), (3 3) ( ง 1) }
, .

ใบ ความ 2

กราฟ ของ ความ มน

ใ[ × ง เ ยน กราฟ ความ ม น อไป

1. = { ( 1s01,1 2,1 ) ( 3,21 }
,

2. ชนะ { 11,3 ๖ , ( 2,3 ) ( 3.3) ( ds 3) }
, ,

อ การ เ ยน กราฟ ไr , ง Y

n

3- 7

2- •

1- •

C1 1 1 1 411 1 >X
4- 3- 2-
1- |23 A

+-

v

อ 2) เ ยน กราฟ ไ ง

ขา

Y

n

3- • • • • > } ขนาน

2-

1-

<2↓ ↓ ↓ .! i! e> ×

๋ิข้ีพัด้มีข้ข้ีนัด้ดีข้ขํทีธิวุท้ีน่ต์ธัพัสีข้ห์ธัพัส่ีทู้รุทุทุท้ถ

ใ[ × 6 เ ยน กราฟ ของ ความ ม น อไป Y

{ 1) y1. = 1 ×, \ ER × R }=3 × ^

n

เ ยน กราฟ ของ ไ ง - 6 • ( 2,6 )

X -2 -1 0 1 2 ʰน ↓ 1 !↓ • → 3)

/- -2 _

y 3- 6- 0 3 6 N> ×

C- 3)1 - •

, - -4

/{2. 1 y ≤ ×} 1- - -6
= × µ ER × R
- -8
,
tr
เ ยน กราฟ ของ ไ ง Y

X -2 -1 0 1 2 n

y -2 -1 0 1 2 3- า
• ( 2. 2)
2-

I- %

21C.ำ!11 i• n> ×

3 123 A

-1• -
H 1 )
-

,

• C - 2 2- ) - -2
,
2 บ

}{3.
= lx y ) ER xp 2
,
y=×

2= { ( X y ) ER ×R y = ×ยา }
}y = ×2- 1
,

5↑ = { ( Xp ) ER x R
◦

= X -2 al 0 1 2 = X -2 -1 0 1 2 = X -2 t 0 1 2

Yd 1 0 | d Y 5 2 1 25 Y 3 2 1- - 03

ุทุนุทุทุท้ีนัด้ดุทีขำทีธิวุท่ัณ่ร่ฎืง๋ืห้ีนัด้ดุทีขำทีธิวุช้ีพ่ต์ธัพัสีข้ห

/ }d. = { lx, อ ER × R y = 1×1 Y ช2

• n •

/ 2){V2 = 1 ×, µ ER × R
y ะ | ×| + • -3 • ʳเ
Sd" เ ยน กราฟ น ไ ง 2• ←
•

X - 2- 1 0 1 2

• -1 •

Y2 1 0 1 2 < 1 ↓ ม า! • 1 ง ×

V2 2 +-

X -2 -1 0 1

Y 5 3 2 34 i -2

/ Iky{ ๗ ER R15. = ××- <3 X ะR

4 d" เ ยน กราฟของ ชา ไ ง -3

- .. . 2-. .
- - . . . . . - -. . . - -- - - - - - -- - -- - - - --
_

1-

< 1 ↓ ม า! • 1 ง ×

+-

i -2

6. ญ = { ( Xgy ) ER × R /2 < × ≤ d }
Sol" เ ยน กราฟ ของ ชน ไ ง

i YER

n i
i
3-
i

2- I
i-
I

C..ำ i1,1t2.1 /N1 4 3 A > ×

+- i

i

ii -2

ุบีพัด้ดีข่ว้ีนัด้ดีข้ิกุท่วุท้ีนัด้ดุทีขุท

ใบ ความ 3

เ อง ม นกวาด มน และ เวน ของ ความ

- Dr =โดเมน หอ ×

Rr = 6 รพช หอ y

-

E ×7 เ นจง หาโดเมน และ ม นของ ความ อไป
อไป
9 า" { }37,1 ำ3-2) (แ (1) 2= -
- - d)
EX 8
,, , ,
1.
Dr = { 1,2 , 3,1 }
hd"
Rr {= -1
,

เ นจง หาโดเมน และ ม นของ ความ

/ yr= { 1 ×, µ ER × R 2×+3 }6=

YDrหา
จาก 2×+3 = 6

/Dr { }R× €×- y = 6- 2 ข/
- ละ
3

หา Rr จาก 2×+3 y = 6

bisye× -
-

ใน = { y / y ER }
/ y 2+2{ y2.
ข = (× > =×

,
y4.1 " หา Dr จาก = ×2+2

Or = { /× × ER }

ำRr yหา
จาก =× 2

F-× = 2; y -2 ≥ o

/{ yµ ER3. y≥2 ☒
1 ×, × R = 2 × +3
r=

g × -7

So ʰ Drหา จาก y = 2×+3 หา Rr จาก y ะ 2×+3
5×-7 5 X -7

5×-7 ≠ 0 y (5×-7)=2×+3

×≠ 7 Y5 Xy -7 -- 2 × +3

_ gxy -2 × = 7 y +3

g

} }/Dr {. ≤ × × ≠ Y× ( 5 y - 2) ะ 7 +3

☒. .

×= 7 y +3

5 y -2

Rri. = Y5 -2 ≠ 0

y≠} ☒

ุข้ีน่ต์ธัพัส์จ้ร่วุท้ีน่ต์ธัพัส์จ้รืรืร์ธัพัส้จ่ืร่ีทู้ร

4) r  x, y/ y  1 x2

_R_r_--____y_=__1_-____________×_2__=__1__y____
____y__-_|__=__-__×_2_________×__=____1_-_y___
______-__| __=_____×_2__-_y__________1_-__y_≥__0
___×_ำ___y___--_1___________________r_y_≥__≠

5) r  x, y/ y  x  4

__D_r__=__{_×__/_×__E_R__}___☒_______________
__R__r_=__y___ะ__1 _ษ__+_ภ_|_________________

_____-._l_y__/_y___≥_0__} __________________

__________________________________

6) r  x, y/ y  x  4

__________________________________
__________________________________
__________________________________
__________________________________

 7) r  x, y/ y  x2  4

__________________________________
__________________________________
__________________________________
__________________________________
__________________________________
__________________________________
__________________________________

 8) r  x, y/ y  9  x2

__________________________________
__________________________________
__________________________________
__________________________________
__________________________________
__________________________________
__________________________________

ข้

______________________________น________=____H______Y______E____R______}____*________________/ 11___

___
__0≠________%______<__________________________________________________________________________

{ ytyk 1 }

_____________________________________________

_____________________________________________
_____________________________________________
_____________________________________________

_____________________________________________
_____________________________________________
_____________________________________________
_____________________________________________

_____________________________________________
_____________________________________________
_____________________________________________
_____________________________________________
_____________________________________________
_____________________________________________
_____________________________________________

_____________________________________________
_____________________________________________
_____________________________________________

_____________________________________________
_____________________________________________
_____________________________________________
_____________________________________________

ใบควา
เรอื่ ง การ าโดเมนและเรนจ์ของ
1.

Dr×____{_×___| _-_2__≤__×___≤__2_}________
RrY___{__y__| __-_2__≤__y___≤__2__}_______

3.

#=t#

Dr ___R_________________________

ylyRr _{_______≥__0_}__, _1_0__, _น__)________

6.

nente

Dr _____R_______________________

Rr ___{__y__/_-_2__≤__y__≤_2__}__,_[_-_2_,2__]__

8.

Dr ___C__-_g__-__2__]__U___[_2__,_0___)____
Rr ___R_________________________

กํ

ามรทู้ ่ี 4
งค าม ัมพันธท์ ก่ี า นดโดยกราฟ

2.

R- {0}

Dr _(_-__8__,__-1__]___U___[__1__,8___)_____

Rr __1_-_น_า___-_1_]___U__4__,_8___)_______
ก - {o}

4.

Dr _____[_0___ล__)_________________
Rr ____1_0__,,_8___) _________________

7.

0

%44

Dr _____R___-__{_o__}_______________
Rr ____{__y_/_-_2_<_y__<_1_}_____________

9.

Dr __[____เ_อ___)__________________
Rr ____________________________

• เทค ค อ ว หา ใบควา

c× g เรอ่ื ง ฟ

; ฑ็ ไน ฟงั ก์ชัน คอื ค าม ัมพันธ์ท่ี มาชิกในโดเมนแต่ละตั จบั
พิจารณาค าม มั พนั ธต์ อ่ ไปนี้
; าไ เน
Ex…๑. ใ ้พจิ ารณา า่ ค าม ัมพนั ธท์ ก่ี า นดใ ้ต่อไปน
.
1. r1 = {(1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 5)} = เ น
_÷วน

2. r2 = {(-1, 1), (1, 1), (2, 4), (3, 9)} = เ น

3. r3 = {(0, 1), (0, 2), (1, 3), (2, 4)} = ไ
"

เมือ่ เขียนลกู รเชอ่ื มโยง มาชกิ ในโดเมนและเรนจใ์ นแต
1.

2.

3.

็ป่ม็ป็ป้ืณ็ป็ก้ัฑ่ม้ถ็ป่มู๋ษ็ป่ม็กำล็ปุฮัตูดืคิน

ามรูท้ ี่ 5
ฟังก์ชนั

บคูก่ ับ มาชกิ ในเรนจข์ องค าม มั พันธ์ เพียงตั เดีย เท่านัน้
นีเ้ ป็นฟังก์ชัน รอื ไม่

น tg
น

เ น tx

ตล่ ะค าม ัมพนั ธ์ จะไดแ้ ผนภาพดังน้ี

เ น tw 1 : 1

เ น tw

ไ เน /

Ex…10.จงพิจารณา า่ ค าม มั พันธต์ อ่ ไปน้เี ปน็ ฟงั ก์ชนั รอื
1) r1 = {(x, y ) | y = 3}
2) r2 = {(x, y ) | y = 2x2 }
3) r3 = {(x, y ) | y =  x และ x  0}

วิธีทา 1) จาก r1 = {(x, y ) | y = 3} เขยี นกราฟไดด้

•

2) r2 = {(x, y ) | y = 2x2 } เขียนกราฟไดด้ ังน

•

3) r3 = {(x, y ) | y =  x และ x  0} เขยี น

ะ }•

•

ุจักัต็ป่ม็ป็ป

อไม่

ดงั นี้

ตอบ__เ__น____t__w____________________

น้ี

ตอบ___เ__น___t__w____________________

นกราฟไดด้ ังนี้

} ตอบ__ไ_____เ__น___t_w_________________
ดน
2ด

Ex…11.ใ พ้ จิ ารณา ่า ค าม ัมพนั ธ์ทก่ี า นดใ ้ตอ่ ไปนเ้ี ป

1. r1  x, y/ y  x 1 2. r2  x

3. r3  x, y/ y2  x

วิธีทา 1. r1  x, y/ y  x 1
ใ__ฬ_____y_, _=__×_+__เ _____________ใ_____
______µ____-__1×______ะะ____Xy____-____เ ____-____①________________________Y__

2. r2  x, y/ y  x2  4

ใ______y_,_=___×_2_+___&_______ใ_ฬ____y_. _= __×
___y__, _-__d__=__×_2______________y_2_-_d__
________×_2__= __y_, _-_d___-__①_______×__2__=

3. r3  x, y/ y2  x

____จ____า__ก______y__2y____ะะ____X±____E__________________________________
_________y__=__x_g__-__×____=__ไ__เ_น___ง__

- ัญลัก ณ์และการ าคา่ ของฟังกช์ ัน
ขอ้ ตกลงเกี่ย กับ ญั ลัก ณข์ องฟงั ก์ชนั ถา้ f เปน็ ฟงั กช์ ัน
และเขียนแทนด้ ย y = f(x)

Ex…12. ใ ้ f(x) = 2x + 2 จง าคา่ ของฟังก์ชัน f ที่ x = 1

วิธที า จาก ff((x1: )) = 2'x + 2
จะได้ =___2_1__1_.)__+_2_____
_ะ_

f(3) =_____6___+__2______=_

f(6) = ____1_2__t___2______=

Ex…13. กา นดใ ้ f(a – 2) = 5a + 8 จง า f(x), f(3), f(5
ธิ ีทา จาก f(a – 2) = 5a + 8

ใ ้ ___4_-__2____=__×____________
จะได้ ___จ_ะ___X__t__2___________
___________________________
f(x) = __3_4___t__8______________

= __3_(__≈_+__2_)__+__8_________
= __5_×__+_1_0__+_8____________

✗✗fc × ) = 5×+18

ัดัจักัฟ่มัช์กัฟัพักัฟ็ปัพ

ป็นฟังก์ชนั รือไม่ r

x, y/ y  x2  4

|Y____2__-__≈1______=ะ __×__%______- __| ___________②______
___y__2__=__×___+_1__________①__=___②____%__#____g_g__
________•••____เ __น____ง____นµ____=____%__ ____
____

|_×_2 +__d____________④____②_____Y_i_d___=__y___y______

_=__×__2 __________________µ__✓-_4__ำ__d__=_Y_g_______
_=__y_, _→_______②__________________Y_i__"__/2_______

ง นเน°

••

_________________________________________
_________________________________________
__น____เพ_ร_าะ___y___บ__×__2___ง____________________

น และ (x, y)  f แล้ เรากลา่ ่า y เป็นคา่ ของฟงั กช์ ัน f ท่ี x

1, 3, 6

ะ___d_____
=____8____
_=____ld____ ☒

5)

________________
________________
________________
________________
________________
________________

า f(3) ; จาก f(x) = __5__×__+__1_8________________
f(3) = __3_1_3_)__+__1 8________________
= __1_5__+__1_8_________________
= __3_3___☒___________________

า f(5) ; จาก f(x) = __5_×__+_1_8__________________
f (5)= __2__5__+__1_8________________
= ______1_3___☒_______________

Ex….ใ ้ f(x) = 3x + 2 จง าค่าของ x ท่ที าใ ้ f(x) = 1
วิธที า จาก f(x) = 17

จะได้ ________=____________
________=____________
_______ = ____________

Ex…. กา นดใ ้ f(x) = 3x2  4 จง า f( a2 ), f( a+2 )
ิธที า จาก f(x) = 3x2  4

f( a2 ) = ___________________
= ___________________

จาก f(x) = 3x2  4
f( a+2) = ___________________

= ___________________
= __________________
= __________________

_________________
_________________
_________________
_________________

_________________
_________________
_________________

17

_____________
_____________
_____________

)

___________________
___________________

___________________
___________________
____________________
____________________

แบบฝึกเ รมิ ป

เรอ่ื ง โดเมนและเรน

1. จงเขยี นโดเมนและเรนจ์ของค าม ัมพันธ์ต่อไปนี้
1.1) r1= { (-2,5 ), (3,8), (7,7), (6,2), (4,9) }

................................................................................
................................................................................

2. จงเขียนโดเมนและเรนจ์ของค าม ัมพันธต์ อ่ ไปนี้

1. r1  x, y R  R / x  5y  4

__________________________________

__________________________________

__________________________________

__________________________________

2. r2  x, y R  R / y  8  x
__________________________________

__________________________________

__________________________________

__________________________________

3. r3  x, y R  R / y  4x 51
3x


__________________________________

__________________________________

__________________________________

__________________________________

__________________________________

4. r4  x, y  R  R/ y  x  2
__________________________________

__________________________________

__________________________________

__________________________________

 5. r5  x, y R  R / y  9  x2

__________________________________

__________________________________

__________________________________

__________________________________

ประ บการณ์

นจข์ องค าม ัมพนั ธ์

1.2) r2 = { (2,5), (2,6), (3,5), (3,6) }
...... .....................................................................................
...... .....................................................................................

_____________________________________
_____________________________________
_____________________________________
_____________________________________

_____________________________________
_____________________________________
_____________________________________
____________________________________

_____________________________________
_____________________________________
_____________________________________
_____________________________________
_____________________________________

_____________________________________
_____________________________________
_____________________________________
_____________________________________

_____________________________________
_____________________________________
_____________________________________
_____________________________________

ใบควา

เรือ่ ง ฟงั กช์

ฟังกช์ นั เชิงเ น้ n ตั แปร มรี ูปทั่ ไป คือ y  a1x1  a
ท่ีอยู่ในรูป y = ax + b เมอ่ื a, b เปน็ จาน นจริง และ a  0 ซ

ตั อย่างของฟังก์ชันเชงิ เ น้ เช่น 3. y = -3x
1. y = 2x 2. y = 2x + 1

ฟงั ก์ชัน y = ax + b เม่ือ a = 0 จะไดฟ้ ังก์ชันท่ีอยูใ่ นรปู
จะเป็นเ ้นตรงทีข่ นานกบั แกน X

Ex…. จงเขียนกราฟของฟงั ก์ชันเชิงเ ้นตอ่ ไปนี้บนระนา

1. y1  2x, y2  3x, y3  6x

2. y1  1 x, y2  1x y3  1 x
2 4 10

วธิ ที า 1.

วิธีทา 2.

ามร้ทู ่ี 6
ชันเชิงเ ้น

a2 x2  a3x3  ... an xn ซึง่ ในระดับนี้ เราจะพจิ ารณาฟงั ก์ชัน
ซ่งึ มีกราฟเปน็ เ น้ ตรง

ป y = b ซ่งึ มชี ือ่ เรียก ่า ฟงั ก์ชันคงตั กราฟของฟงั กช์ นั คงตั

าบเดีย กนั

x -1 0 1

y1  2x
y2  3x
y3  6x

x -1 0 1

y1  1 x
2

y2  1 x
4

y3  1 x
10

ข้อ งั เกต ลัก ณะกราฟของ y = ax + b เม่อื b = 0
1. กราฟจะผ่านจุด (0, 0)
2. ถ้า a มคี ่ามากข้ึน กราฟจะเบนเขา้ าแกน Y ถา้ a
Ex….จงเขียนกราฟของฟงั ก์ชันเชงิ เ ้นต่อไปนีบ้ นระนา

1. y1  x  1, y2  x  2, y3  x  4
2. y1  x 1, y2  x  2, y3  x  4

วธิ ที า 1.

วธิ ที า 2.

ข้อ งั เกต
ลกั ณะกราฟของ y = ax + b เมือ่ b  0 กราฟจะต

0 มีดงั น้ี
มีคา่ น้อยลง กราฟจะเบนเข้า าแกน X
าบเดีย กนั

x -1 0 1

y1  x 1
y2  x  2
y3  x  4

x -1 0 1

y1  x 1
y2  x  2
y3  x  4

ตดั แกน Y ทจ่ี ดุ (0, b) และ ตัดแกน X ท่จี ุด (b, 0)

Ex….ใ เ้ ขียนกราฟของฟังก์ชัน y = 4 - 2x พร้อม าจ
วิธที า เขยี นกราฟได้ดังน้ี

Ex….ใ เ้ ขยี นกราฟของฟงั ก์ชนั 4x+y = 3 และตร จ
วิธีทา ________________________________
_____________________________________
_____________________________________
_____________________________________
_____________________________________
เขยี นกราฟไดด้ งั น้ี

จุดท่ีกราฟตัดแกน x และ แกน y

__________________________________
__________________________________
__________________________________

อบ า่ จุด ( 1,3 ) อยบู่ นกราฟ รอื ไม่
__________________________________________
__________________________________________
__________________________________________
__________________________________________
__________________________________________

แบบฝึกเ รมิ ป
เร่อื ง ฟังก์ช

คาช้ีแจง ใ ้นกั เรยี นตอบคาถามใ ้ถูกตอ้ ง มบูรณ์
1. จงเขียนกราฟของฟงั ก์ชันตอ่ ไปน้ีบนระนาบเดีย กนั
1) 1 = 5 + 3 และ 2 = 5 − 3

3) 1 = 5 − และ 2 = 5 +

ประ บการณ์
ชนั เชิงเ น้

2) 1 = − + 3 และ 2 = − − 3

2. ใ เ้ ขยี นกราฟของ7x  4y  1 และตรวจ อบว่า
จุด (-1,2) อยบู่ นกราฟ รือไม่
_______________________________________
_______________________________________

___________________________________

_______________________________________
_______________________________________
_______________________________________
_______________________________________
_______________________________________
_______________________________________
_______________________________________
_______________________________________
_______________________________________
_______________________________________
_______________________________________

ใบควา
เร่ือง ฟังกช์

รูปแบบที่ 1 y = ax2 เมอ่ื a เป็นจานวนจริง แล
Ex….จงเขยี นกราฟของฟงั ก์ชันกาลงั องตอ่ ไปนี้ บนร

วิธที า

ข้อ 1 .จาก y1  x2

x -2 -1 0 1 2

y1

ข้อ 3 .จาก y3  1 x2
5

x -2 -1 0 1 2

y3

จากตารางคอู่ นั ดบั เขยี นกราฟได้ดงั น้ี

ามรู้ท่ี 7
ชันกาลัง อง

ละ a  0
ระนาบเดียวกนั พร้อมท้ัง าจุดวกกลบั ของกราฟ

ขอ้ 2 .จาก y2  1 x2
2

x -2 -1 0 1 2

y2

Ex….จงเขียนกราฟของฟงั กช์ นั กาลัง องต่อไปน้ี บนร

1. y1  3x2 2. y2  5x2 3.

วิธที า จาก y1  3x2 , y2  5x2 , y3  7x2

x -2 -1 0 1 2

y1
y2
y3

จากตารางคอู่ ันดับเขียนกราฟไดด้ ังนี้

ระนาบเดยี วกนั พรอ้ มทัง้ าจุดวกกลับของกราฟ

y3  7x2

รูปแบบที่ 2 y = ax2 + k เมอ่ื a  0 และ k  0
Ex….จงเขยี นกราฟของฟงั ก์ชนั กาลงั องตอ่ ไปน้ี บนร

1. y1  2x2 1 , y2  2x2 1
วิธที า ข้อ 1. y1  2x2 1, y2  2x2 1

x -2 -1 0 1 2

y1
y2

จากตารางคอู่ ันดับเขยี นกราฟ y1  2x2 1 และ y

จากตารางคู่อันดับเขยี นกราฟ y1  2x2 1 แล

ระนาบเดียวกนั พรอ้ มทงั้ าจดุ วกกลับของกราฟ
2. y1  2x2 1 , y2  2x2 1
ขอ้ 2. y1  2x2 1 , y2  2x2 1
x -2 -1 0 1 2

y1
y2

y2  2x2 1 ได้ดังน้ี

ละ y2  2x2 1ได้ดังนี้

รปู แบบท่ี 3 กราฟของฟงั กช์ นั กาลงั องทกี่ า นดด

Ex….จงเขยี นกราฟของ มการตอ่ ไปน้ี

1. y  x 12 1 2. y  x 

วิธีทา ข้อ 1. y  x 12 1

วิธที า ข้อ 2. y  x 12 1

ด้วย มการ y  a x  h2  k เม่อื a  0

12 1

รปู แบบที่ 4 กราฟของฟงั กช์ นั กาลงั องทกี่ า นดดว้

Ex….จง าจดุ วกกลับของกราฟของฟังกช์ ัน y  2x2
วธิ ที า__________________________________
______________________________________
______________________________________
______________________________________

วย มการ y  ax2  bx  c เม่อื a  0

 4x 16 พร้อมทัง้ เขยี นกราฟ
__________________________________________
__________________________________________
__________________________________________
__________________________________________

แบบฝึกเ รมิ ป

เรื่อง ฟงั ก์ช

คาชีแ้ จง ใ ้นักเรยี นแ ดงวธิ ที าเพือ่ ตอบคาถามใ ้ถกู ต้อง มบ

1.จงรา่ งกราฟอยา่ งครา่ ๆ ของฟังก์ชนั ทกี่ า นดใ ้ต่อไปน้ี โดย

ประ บการณ์

ชนั กาลัง อง

บูรณ์

ยใชร้ ะนาบเดีย กนั