Ecuaciones Diferenciale

Propiedades metafísicas del número 1 35

Averiguación

La función y = ax hija de __________________________ y vio la luz en 1679.

a. Descartes
b. Leibniz
c. Euler

Demostración de la falacia: n = n + 1

Sabemos que (n + 1)2 = n2 + 2n + 1

(n + 1)2 − (2n + 1) = n2;
restando de ambos miembros 2n2 + n:

(n + 1)2 − 2n − 1 − 2n2 − n = n2 − 2n2 − n

sacando factor común:

(n + 1)2 − (n + 1)(2n + 1) = n2 − n (2n + 1)
sumando (2n + 1)2 4 a ambos miembros:

(n + 1)2 − (n + 1)(2n + 1) + (2n + 1)2 4 = n2 − n(2n + 1) + (2n + 1)2 4;

es decir:

[(n + 1) − (2n + 1) 2]2 = [n − (2n + 1) 2]2

elevando a la ½

n + 1 − (2n + 1) 2 = n − (2n + 1) 2

n+1= n

¿Dónde se generó el error?

La escala de la sabiduría tiene sus
peldaños hechos de números.

BLAVATSKY

Propiedades metafísicas del número 1

Representa el principio de unicidad, de lo indivisible e ilimitado: Dios. Pitágoras dice
que es el padre, creador de todas las cosas; el pensamiento, creador de todas las ideas;
la memoria, el fundamento del conocimiento. Como número, representa al hombre, el
único animal que camina erecto.

El 1 es lo determinado, la iniciación, lo que insta para que las cosas sean, la voluntad.
Es la identidad, la igualdad, la existencia y la persistencia. Representa lo espiritual, la

36 Capítulo 1 ¿Qué son las ecuaciones diferenciales?

luz, la inteligencia y la aptitud para proponer, considerar y resolver. Es meditación,
reflexión y decisión, obrando como trabajo en la mano de obra y como volición en el
pensamiento.

Remontándonos a los orígenes: Sistema de numeración del antiguo Egipto (posi-
blemente 3000 a. C.).

1 6 10 23 100 1 000 10 000 100 000

HORIZONTALES VERTICALES

1. Curvas con pendiente constante. Nota musical. 1. Ingeniero mecánico electricista. Amo.
2. Mil. Cierto tipo de ecuaciones diferenciales. 2. Función sin derivadas que satisface a una ecuación diferen-
3. Artículo masculino singular. Entreguen. Exponente de la
cial. Constante.
derivada de mayor orden en la ecuación diferencial. Vocal. 3. Lo da la derivada más alta de la ecuación diferencial. (Al
4. Pronombre relativo. Pasar la vista por lo escrito. (Al revés).
revés). Clase, muestra.
Ser supremo. 4. Cien. Fino, exquisito.
5. Símbolo de “unión” en la teoría de conjuntos. Letra que se 5. Ecuación diferencial donde la y y sus derivadas son de pri-

usa para designar la constante de integración. Conjunción mer grado y cada coeficiente depende solamente de x. Lo-
copulativa que indica negación. Examiné, investigué, estudié. garitmo decimal.
6. El que profesa la ingeniería. 6. Dos. Lengua provenzal o lemosín. Abreviatura de licencia-
7. Descripción, cuento, relato. do. Nombre de varón.
8. Piedra sagrada del altar. Símbolo químico del azufre. Boni- 7. Vocales. Pieza heráldica en forma de paja estrecha. Las tres
ta, agradable. primeras letras de Einstein. Especie de toro salvaje.
9. Participio del verbo ser. Signo muy usado en las ecuacio- 8. Símbolo químico del Radón. Uno en números romanos.
nes matemáticas. Recubro en oro. Otorga. Vocales.
10. Artículo. (Al revés). Descanso, paro del trabajo. Corriente 9. Perpendicular. Terminación propia de alcoholes.
caudalosa de agua.
11. Tipo de queso. Símbolo químico del aluminio.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
1
2
3
4
5
6
7
8
9

2 Definiciones básicas 37

Ecuaciones
diferenciales ordinarias
de primer orden

Agustín Louis, barón de Cauchy
(1789-1857)

Ecuaciones diferenciales de variables separables
Ecuaciones diferenciales homogéneas
Ecuaciones diferenciales exactas
Ecuaciones diferenciales con factores integrantes
Ecuaciones diferenciales lineales

38 Capítulo 2 Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden

En el mundo de las bacterias se desató impensadamente un conflicto. Cuatro de
entre las más jóvenes de éstas decidieron intervenir en la dimensión de los
humanos, con el firme propósito de sumergirse en su sangre y mediante una
rapidísima proliferación segregar una sustancia alrededor del corazón que lo
inmunizara del mal, de la mentira y de la fealdad.

A pesar de la oposición de la colonia bacteriana, las cuatro amigas estudiaron
su plan. Vieron que si su rapidez de crecimiento era proporcional a la cantidad
de bacterias presente en cada momento, en corto tiempo llegarían a recubrir un
corazón humano con la sustancia que llamaron biverbe. Observaron que se dupli-
caban al cabo de cinco minutos y su pregunta siguiente fue qué cantidad de
bacterias debía tener la nueva y revolucionaria colonia para que en 20 minutos
hasta el corazón más renuente fuera recubierto de biverbe.

Aquí es donde acudimos a nuestro lenguaje simbólico para resolver a nuestras
amigas su problema.

Sea x la cantidad de bacterias presente en cada momento del proceso, entonces,
la proporcionalidad observada viene dada por la relación dx ∝ x .

dt
Para establecer una igualdad, usamos una constante k llamada constante de
proporcionalidad y así obtenemos la siguiente ecuación diferencial:

dx = kx
dt

la cual se resuelve por integración inmediata:

∫ dx = k∫ dt
x

de donde ln x = kt + c

x = cekt

Esta función exponencial convenció a las bacterias de que su crecimiento

iba a ser rápido, pero esta solución general les resultó ambigua porque había

demasiadas incógnitas. Utilizando las condiciones iniciales de su experimento,
se encontraron los valores de c y k de la siguiente manera: para t = 0, que fue el
momento inicial, había x = 4 bacterias. Sustituyendo en la solución:

4 = ce0 c=4 x = 4ekt

Y para t = 5 minutos el número de bacterias se duplicó x = 2(4). Al susti-
tuir estos nuevos datos:

8 = 4e5k
2 = e5k
k = ln 2

5

Ecuaciones diferenciales de variables separables 39

Así, la solución general tiene la forma:

x = 4e(ln2 5)t = (4) 2t 5

Y la respuesta a la última pregunta quedaría: para t = 20 minutos x = ?
entonces x = (4)220 5; x = 64 bacterias.

Por tanto, sólo 64 bacterias en un lapso de 20 minutos pueden inmunizar un
corazón humano. Entonces las bacterias se desparramaron, comenzaron su tra-
bajo y…

En este capítulo trataremos especialmente las ecuaciones diferenciales ordi-
narias de primer orden: variables separables, homogéneas (reducidas a variables
separables), exactas, con factores integrantes (reducibles a exactas), y lineales.

Ecuaciones diferenciales
de variables separables

Definición 2.1

Una ecuación diferencial de variables separables tiene la forma

f ( x) dx + g( y) dy = 0, donde cada diferencial tiene como coeficiente una

función de su propia variable, o una constante.

MÉTODO DE SOLUCIÓN: integración directa.

∫ f (x)dx + ∫ g( y)dy = 0

Cuando no pueden separarse las variables de una ecuación y no pueden agrupar-
se en términos, en cada uno de los cuales estén las mismas variables, habrá que
usar otros métodos para encontrar la solución.

EJEMPLO 1
Resolver ex+y y′ = x, con las condiciones iniciales y = ln 2 cuando x = 0.

1. Separar las variables usando las propiedades de las funciones involu-
cradas y los artificios algebraicos necesarios:
exey dy = x, eydy = xe−xdx
dx

2. Integrar cada miembro de la ecuación:

∫ ∫eydy = xe−xdx

40 Capítulo 2 Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden

ey = −xe−x − e−x + c, solución general en la forma implícita porque no
está despejada la variable dependiente y, pero:

y = ln e−x (−x − 1) + c , solución general en forma explícita:

y = f (x)
3. Aplicar las condiciones iniciales: y(0) = ln 2 en la solución general, ya

sea en su forma explícita o implícita.
En la forma implícita: eln2 = −0 − 1 + c

2 = −1 + c
c=3
∴ey = −xe−x − e−x + 3, solución particular.

En la explícita ln 2 = ln 1(0 − 1) + c ; aplicando exponencial, se tiene:

2 = −1 + c
c=3

∴ y = ln e−x (−x − 1) + 3

cuya curva solución es

y

4

3

2

1

0x
−2 −1 01 2

−1

EJEMPLO 2
Resolver xyy′ = 1 + y2 , para y = 3 cuando x = 1, o bien, y(1) = 3.

1. Separar variables:

xy dy = 1 + y2
dx

y dy = dx
1+ y2 x

Ecuaciones diferenciales de variables separables 41

2. Integrar 1 ln 1 + y2 = ln x + ln c
2

OBSERVACIÓN: La constante de integración no pierde su arbitrariedad,
su carácter de cualquier número, si está afectada por funciones. Así,
ln c = c porque el logaritmo natural de una constante también es una
constante; del mismo modo se puede usar ec , c2 , sen c, cosh c, etcétera.

Usando las propiedades de los logaritmos (por eso se introdujo “ln c ”:

ln 1+ y2 1 = ln cx
2

Aplicando exponencial:

1

1 + y2 2 = cx

Elevando al cuadrado:
1 + y2 = cx2

∴cx2 − y2 = 1, solución general implícita.

3. Aplicar las condiciones iniciales y(1) = 3

c(1) − 9 = 1
c = 10

∴10x2 − y2 = 1

EJEMPLO 3

Resolver sen x cos2 ydx − cos x sen ydy = 0

1. Separar variables:

sen x dx − sen y dy = 0
cos x cos2 y

2. Integrar término a término:
− ln cos x − 1 = c
cos y

ln cos x + sec y = c, solución general.

42 Capítulo 2 Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden

En este caso no se dieron condiciones iniciales, así que vamos a comprobar
la solución. Derivando implícitamente:

− sen x dx + sec y tan ydy = 0
cos x

− sen x dx + 1 sen y dy = 0
cos x cos y cos y

−sen x cos2 ydx + cos x sen ydy = 0

O bien,

sen x cos2 ydx − cos x sen ydy = 0

EJEMPLO 4
Resolver:

e−x + y′ = 1 + 6x para y(0) = e
x2 +1

1. Separar variables:
dy = 1 + 6x − e−x
dx x2 + 1

dy = ⎛ 1 ⎞ + 6x − e− xdx
⎜⎝ x2 + ⎠⎟
1

2. Integrar y = sen h−1x + 3x2 + e−x + c, solución general explícita.
3. Aplicar condiciones iniciales: c = e + 1

∴ y = sen h−1x + 3x2 + e−x + e + 1, solución particular.

EJEMPLO 5

Hallar una curva que pase por el punto (0,−6), de tal forma que la pendiente
de la tangente en cualquiera de sus puntos sea igual a la ordenada del punto
más 7 unidades.

SOLUCIÓN: la primera derivada se representa geométricamente por la pen-
diente de la tangente; aprovechando esta identificación podemos plantear la
ecuación diferencial que cumple con la condición pedida:

dy = y + 7
dx

Ecuaciones diferenciales de variables separables 43

Separando variables e integrando:
dy = dx
y+7

ln y + 7 = x + c

Aplicando la condición de que la curva debe pasar por el punto (0,−6) :

ln −6 + 7 = c, c=0

∴ln y + 7 = x,

o bien,

y = ex − 7

En la gráfica se muestran la curva solución y las pendientes en los puntos (0, Ϫ6)

y (3/2, Ϫ5/2). 0
−2 −1 0 1
2x

−1

−2
−3

−4

−5
−6

−7
y

EJEMPLO 6

Elegir la opción que contiene la ecuación diferencial, junto con su solución,
de la curva para la cual la pendiente de la tangente en cualquier punto es
proporcional a la abscisa de dicho punto.

1. y′ = ky y = cekx
2. y′ = x y = x2 + c

2
3. y′ = kx y = k x2 + c

2
4. y′ = k y = k ln x + c

x

44 Capítulo 2 Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden

SOLUCIÓN: la opción correcta es la C, el resultado es una parábola. La op-
ción A planteó el problema con respecto a la ordenada y no a la abscisa. La
opción B no expresa correctamente el enunciado porque le falta la constante
de proporcionalidad. La opción D considera el recíproco de la abscisa en
vez de la abscisa que pide el enunciado del problema.

La solución de una ecuación diferencial como dy = x2 y2 separación de va-
dx 3− x2
riables con Mathematica, se visualiza como:

DSolve ⎢⎣⎡y'[x]==(x2y[x]2) /Sqrt[3-x2],y,x ⎤
⎥⎦

⎧⎧ ⎡ ⎤⎫⎫
⎪⎪⎨⎨⎪⎪y ⎢ 2C[1]⎥⎥⎥⎥⎦⎪⎪⎪⎪⎭⎬⎪⎪⎭⎪⎬⎪
⎪⎪ → Function ⎢⎢{x}, 2
⎪⎩⎩⎪ ⎢x
⎣ 3 - x2 - 3ArcSin ⎡ x ⎤ -
⎣⎢ 3 ⎥⎦

EJERCICIOS 2.1

Hallar la solución general de las siguientes ecuaciones diferenciales.

Solución general

1. y′ = 4x − 6 y = 2x2 − 6x + c

2. y′ = 1 − 7x2 y = x − 7 x3 + c
3. y′ = 8 + 2x − 3x2 3

y = 8x + x2 − x3 + c

4. y′ = x5 − 1 + x y = x6 + 1 + x2 + c
x2 6x2

5. y′ = 9x2 − 6 y = 9x + 6 + c
x2 x

6. y′ = (4 + 3x)4 y = 1 (4 + 3x)5 + c
15
7. y′ = e−3x + 2x
y = − 1 e−3x + x2 + c
8. y′ = 2cos5x 3

9. ds = −sen3t y = 2 sen5x + c
dt 5

10. ds = ln t + 4t s = 1 cos 3t + c
dt 3

11. ds = 2 s s = t ln t − t + 2t2 + c
dt
s = (t + c)2

Ecuaciones diferenciales de variables separables 45

12. dy = x + x 3 − 3y2 = 3 + 3x2 + c
dx y − y
4y 2 4x 2

13. 3x2 16 + y2 16 + y2 = x3 + c
y′ =
y

14. y′ = x3 x4 −1 ( )y4 = 2 x4 −1 3 + c
y3 2

3

15. y′ = ex−y ey = ex + c

16. y′ = 4ex+y 4ex + e−y = c

17. y′ = 1 y 2 ln y = tan−1 x + c
+x

18. y′ = y2 1 + sen−1x = c
1− x2 y
y2 = x + 1 sen 2x + c
19. y′ = cos2 x
y 2
ln y = sen h−1x + c
20. y′ = y
x2 +1

En los siguientes ejercicios hallar la solución particular correspondiente
a las condiciones iniciales dadas.

21. y′ = 4 − 9x2 − 6x5 y(1) = 2 y = 4x − 3x3 − x6 + 2

22. y′ = 4 − 9x2 − 6x5 y(1) = 0 y = 4x − 3x3 − x6

23. y′ = 6x − 12 y(1) = 20 y = 6 ln x + 12 + 8
x2 y(0) = 5 x
r(␲) = 0
24. y′ = e4x − 5sen x r(0) = 4 y = 1 e4x + 5 cos x − 1
y(1) = 0 44
25. dr = 1 cos 1 t
dt 2 2 y(−1) = 1 r = sen 1 t − 1
y(1) = 7 2
26. dr = 2sen t − e−t
dt r = −2 cos t + e−t + 5

27. y′ = x y2 = x2 −1
y
( )y2 = 2 x2 −1 3 +1
28. y′ = x x2 − 1 2
y
3
29. y′ = ln x − 9x2
y = x ln x − x − 3x3 + 11

46 Capítulo 2 Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden

30. y′ = ex cos2 y y(0) = ␲ tan y = ex
4 cos y = e−x + 1 − 1
31. y′ = e−x
sen y y(1) = 0 e
1 = − tan−1 x
32. y′ = 1 y2 2 y(1) = − 4 y
+x ␲ 2e3x + 3e−2y = 5

33. y′ = e3x+2y y(0) = 0 4y3 = 6x + 3sen 2x − 4 − 6␲
y(␲) = −1
34. y′ = cos2 x ln y = tanh−1 x
y2 y(0) = 1

35. y′ = 1 y 2
−x

Elegir la opción que contiene la solución general o particular de la ecua-
ción diferencial dada:

36. y′ = xex2−y
a. ey = 2ex2 , solución general

b. ey = 1 ex2 + 4, solución particular
2

c. ey = 1 − e2x , solución particular
2

d. ey = 1 ex2 , solución general
2

37. 10xyy′ = 1 − y2

a. 1 − y2 = cx−1 5, solución general

b. 1 − y2 = x−1 5 + c, solución general
c. ln 1 − y2 −5 = x + c, solución general

d. 1 − y2 = x−1 5 , solución general

38. y ln yy′ − ln x = 0 para y(1) = 1

a. y2 ln y = x ln x − x + 1
2

b. y2 ln y − 1 y2 = x ln x − x + c
24

c. y2 ln y − 1 y2 = x ln x − x + 3
24 4

d. y ln y − y = x ln x − x

Ecuaciones diferenciales homogéneas 47

39. dx = x x2 − 16dy para y(4) = 0
para y(e) = e
a. x = 4 sec 4y + c

b. x = 4 sec 4y

c. x = 4 cos 4y

( )d. ln x + x2 − 16 = y2 + ln 4
2

40. (1− ln x)dx + (1− ln y)dy = 0

a. x ln x + y ln y = 2e

b. x (2 − ln x) + y(2 − ln x) = 2e

c. x − x ln x + y − y ln y = 0
d. 2x − x ln x + 2y − y ln y = 0

41. y′ + 3y + 5 = 0

( )a. y = ce−x − 5 3
( )b. y = ce−3x − 5 3
( )c. y = e−3x + c − 5 3
d. ( )y = e−x + c − 5 3

Respuestas: 36. d 37. a 38. c 39. b 40. b 41. b

Ecuaciones diferenciales homogéneas

Definición 2.2

Polinomios homogéneos son aquellos en los que todos los términos son del
mismo grado.

EJEMPLO 1

x2 y1 + 8x1y2 − x3 + y3

La suma de los exponentes del primer término es 2 + 1 = 3, lo mismo para el
segundo 1 + 2 = 3; por lo tanto, los cuatro términos son de grado 3.

EJEMPLO 2

xyz2 − x2 y2

Es un polinomio homogéneo de grado 4.

48 Capítulo 2 Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden

Definición 2.3

La ecuación diferencial homogénea es de la forma:
M(x, y)dx + N (x, y)dy = 0

donde M y N tienen la propiedad de que para toda t Ͼ 0, la sustitución de x
por tx y la de y por ty hace que M y N sean del mismo grado n.

M(tx, ty) = tnM(x, y)
N (tx, ty) = tnM(x, y)

Este tipo de ecuaciones puede reducirse a ecuaciones de variables separables
mediante sustituciones apropiadas.

EJEMPLO 3

Determinar si la función f (x, y) = 2 xy + x es homogénea; si lo es, indicar
su grado:

f (tx,ty) = 2 (tx)(ty) + tx

= 2t xy + tx

= t ⎡⎣2 xy + x ⎦⎤
como f (tx,ty) = tn f (x, y), n ∈R

→ la función es homogénea de grado 1.

EJEMPLO 4
Sea la función f (x, y) = x + y; averiguar si es homogénea y su grado.

f (tx, ty) = tx + ty = t ( x + y) = t 1 x+y
2

como f (tx,ty) = t 12 f (x, y), la función es homogénea de grado 1 .
2

EJEMPLO 5
Sea la función f (x, y) = x3 + x2 y + y;

f (tx,ty) = (tx)3 + (tx)2 (ty) + ty

= t3x3 + t3x2 y + ty ≠ t3 f ( x, y); la función no es homogénea.

Ecuaciones diferenciales homogéneas 49

EJEMPLO 6
Determinar el grado de la siguiente ecuación: y′ = x2 + y2

xy
Sean M(x, y) = x2 + y2 y N (x, y) = xy

( )entonces, M(tx,ty) = (tx)2 + (ty)2 = t2 x2 + y2 es de segundo grado

y N(tx,ty) = (tx)(ty) = t2xy es de segundo grado; la ecuación es homogénea

de orden 1.

Definición 2.4

Las ecuaciones diferenciales homogéneas también tienen la forma:

dy + g(u) = 0 donde u = f (x, y)
dx

MÉTODO DE SOLUCIÓN: usando sustituciones algebraicas apropiadas, las
ecuaciones diferenciales homogéneas se convierten en ecuaciones de variables
separables. Una de las sustituciones más comunes es:

y =␷ → y=␷x
x

EJEMPLO 1

( )Resolver la ecuación diferencial x2 + y2 dx − xydy = 0

Usando y = ␷ x y dy = ␷ dx + xd␷

( )x2 + ␷ 2x2 dx = ␷ x2 (␷ dx + xd␷ )

Dividiendo entre x2

(1+ ␷ 2 )dx = ␷ (␷dx + xd␷ )

Separando variables:

( )1+ ␷ 2 − ␷ 2 dx = ␷ xd␷

dx = ␷ d␷
x

Integrando:

ln x = ␷ 2 + c
2

50 Capítulo 2 Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden

Como ␷ = y → ln x = 1 ⋅ y2 + c
x 2 x2

Entonces: ln x = y2 +c
2x2

EJEMPLO 2

Resolver (x + y)dx + (x + y − 4)dy = 0

para y = 0 cuando x = −1
Usando ␷ = x + y → y = ␷ − x y dy = d␷ − dx

␷dx + (␷ − 4)(d␷ − dx) = 0
␷dx + (␷ − 4)d␷ − (␷ − 4)dx = 0

Separando variables: (␷ − 4)d␷ = −4dx
Integrando:
␷ 2 − 4␷ = −4x + c
2
␷ 2 − 8␷ = −8x + c

Como: ␷ = x + y → (x + y)2 − 8(x + y) = −8x + c
∴ (x + y)2 − 8y = c

Aplicando condiciones iniciales:

(−1)2 − 0 = c → c = 1 ∴ (x + y)2 − 8y = 1

La ecuación diferencial homogénea dy = 3y2 − x2 puede resolver con
Mathematica con los comandos: dx xy

eqn=y′[x]Š-(x^2-3y[x]^2)/(x*y[x]);
sol=DSolve[eqn,y,x]

x2 ?x6C1 x2 ?x6C1
{{y®Function[{x}, 2 ]},{y®Function[{x}, 2
]}}

Ecuaciones diferenciales homogéneas 51

Las curvas de solución de esta ecuación diferencial que aporta Mathematica
se muestran enseguida:

y

4
2

0.5 1.0 1.5 x
2
4

EJERCICIOS 2.2
Hallar la solución general de las siguientes ecuaciones diferenciales:

1. xy′ = y − x Solución general
2. xy′ = y + x
y = x ln c
x

y = x ln cx

3. (x − y)dx + (x − y + 1)dy = 0 2(x + y) = ln c(2x − 2y + 1)

4. y′ = y2 + x2 y2 − x2 = cx
2xy
y2 = 2 ln x +c
5. dy = x + y x2
dx y x
ln x = sen h−1 y + c
( )6. y + x2 + y2 dx = xdy x
y ⎜⎝⎛1 − y ⎟⎞⎠ 2
7. x (x + y)dy = (x2 + y2 )dy x x
− = ln cx
8. xy′ − y = x2ex
y = xex + cx

9. xy′ = x2sen x + y y = −x cos x + cx

10. ( y + x) y′ = x − y y2 + 2xy − x2 = c

11. (7x + 2y) y′ = −2x − 7y y2 + 7xy + x2 = c

( )12. 3y2 + x2 y′ + 2xy + 3x2 = 0 y3 + x2y + x3 = c

( ) ( )13. 2xy + x2 + 3y2 y′ + y2 + 2xy + 3x2 = 0 ( y + x)( y2 + x2 ) = c

52 Capítulo 2 Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden

( ) ( )14. 2xy + 2y2 + x2 + y2 y′ + 2x2 + 2xy + x2 + y2 = 0

(y + x)(y2 + x2) = c

15. y′ = 3y − 4x (y − x)(y − 2x) = c
2y − 3x

16. x2 − y2 = xyy′ ( )x2 x2 − 2y2 = c

17. dy = y − x + 1 ( y − x2 ) − 12y − 2x = c
dx y − x − 6

18. dy = x + y + 2 y = 3ln x + y − 1 + x + c
dx x + y − 4 x3 + x2 y + xy2 = c

( )19. x2 + 2xy y′ = −3x2 − y2 − 2xy

( )20. x2 + 2xy y′ = −2y2 − 3xy x2y2 + x3y = c

Encontrar la solución particular correspondiente a las condiciones inicia-
les dadas:

( )21. 3xy2 + x3 y′ = 3y3 + x2 y Respuestas:
y = 2x

para y(1) = 2 y3 + x2 y = 10x3

( )22. 3xy2 − x3 y′ = 3y3 − x2 y y=0

para y(1) = 0

23. y′ = y − x + 8 ( y − x)2 − 2( y − x) = 18x − 3
y− x −1

para y(1) = −2

24. y′ = y − x − 2
y−x+7

para y ⎛⎜⎝ 1 ⎟⎞⎠ = 1 ( y − x)2 + 14y + 4x = 9
2 2
x
25. ( y − x) y′ + y = 0
ye y = 1
para y(0) = 1

26. x2 y′ = y2 + xy x
para y(1) = 1
xe y = e

27. ⎜⎝⎛ x2 + xy sen y ⎠⎟⎞ y′ = y2sen y
x x

para y(1) = ␲ y = ␲ cos y
2
2 ex

Ecuaciones diferenciales homogéneas 53

28. ⎣⎡1− 2(x + y)⎦⎤ y′ + x + y + 1 = 0 para y(1) = 0

Sugerencia: v = x + y ln(x + y) + x − 2y = 1

29. x cos y y′ = y cos y − x sen y x sen y = 1
x xx x

para y(1) = ␲
2

30. ⎛⎝⎜ xy cos y + x 2sen y ⎠⎞⎟ y′ = y2 cos y
x x x

para y(1) = ␲ y sen y = ␲
2 x2

Elegir la opción que contiene la solución particular de la ecuación dife-
rencial dada:

31. ⎛y − ⎞ y′ = y (y − x) para y(1) = 0
x ⎝⎜ e x 1⎠⎟
ex

y

a. y = e x + 1

y

b. y = xe x − 1
c. No puede usarse cambio de variable.
d. No se puede integrar por los métodos directos.

32. sen y cos y y′ = x2 + sen y cos y para y(1) = 0

xe x ye x
xx

sen y

a. x = e x + 1

sen y

b. x = e x − 2

sen y

c. x = e x

sen y

d. x = e x − 1

33. y′ = y − 2x + 1 para y(0) = 2
y − 2x −1

a. x − y − 2 ln 3 − y + 2x = −2

b. x − y + 2 ln y − 2x − 1 = −2

c. x − y + 2 ln 3 − y + 2x = c

d. x − y + 2 ln y − 2x − 1 = c

34. (x + 2y) y′ = − y − 2x para y(−2) = 2

a. xy2 + x2 y + x3 = c

54 Capítulo 2 Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden

b. y2 = cx 2
x2 ln

2y + x

c. y2 = 4x2
x2 ln

2y + x

d. y2 + xy + x2 = 4

35. (2x + 3y) y′ = 2(x − y) para y(−1) = 1

a. 3y2 + 4xy − 2x2 + 5 = 0

b. No puede aplicarse la sustitución y = vx porque la ecuación no es
homogénea.

c. No puede aplicarse la sustitución x − y = v porque la ecuación no es
homogénea.

d. 3y2 + 4xy − 2x2 = −3

Respuestas:
31. a. La opción a no consideró la constante de integración.

La opción c niega el hecho de que sí puede usarse el cambio de va-

riable y = vx La d opina que ev −1 dv = dx no puede integrarse,
v − ev x

siendo que ya es de variables separables y la integración es inmediata.

32. c. En las opciones a, b y d se aplicaron mal las condiciones iniciales.

33. a. La opción b no tomó la integral correspondiente al diferencial de v.

En la opción c no se aplicaron las condiciones iniciales. La opción d

contiene los errores de las opciones b y c.

34. d. En la opción a faltan las condiciones iniciales. En las opciones b y c

hay error en la integración de la variable v.

35. d. En la opción a están mal aplicadas las condiciones iniciales. La op-

ción b ignora que la ecuación sí es homogénea y permite el uso de

y = vx. La opción c contempla una sustitución no apropiada.

Ecuaciones diferenciales exactas

Definición 2.5
Dada la función z = f (x, y) se dice que la expresión dz = fxdx + fydy es

su diferencial total.

Donde fx y fy son las derivadas parciales de la función f (x, y) con respecto a
cada una de las dos variables independientes; además, se supone que estas deri-
vadas parciales son continuas en una región R del plano xy.

Ecuaciones diferenciales exactas 55

EJEMPLO 1
Sea z = 4x2 y − 2xy3 + 3x

⇒ dz = (8xy − 2y3 + 3)dx + (4x )− 6xy2 dy

es la diferencial total de la función z.

EJEMPLO 2

x

Sea z = e y + xy

⇒ dz = ⎛ 1 e x + ⎞⎛ x x − ⎞
⎜⎝ y y⎠⎟ dx − ⎝⎜ y2 x⎠⎟ dy
ey
y

es la diferencial total de la función z.

Si se toma el lado derecho de la expresión y se iguala a cero, entonces:

Definición 2.6
La igualdad M(x, y)dx + N (x, y)dy = 0 es una ecuación diferencial exacta,

el primer miembro es una diferencial total.

Es decir: Si df = fxdx + fydy ⇒ fxdx + fydy = 0 es una ecuación diferencial
exacta y fx = M(x, y), fy = N (x, y). Encontrar la solución de una ecuación di-
ferencial exacta es hallar una función f (x, y) tal que su diferencial total sea

exactamente la ecuación diferencial dada. Usando la notación de la derivación

parcial, se tiene:

M= ∂f N= ∂f
,
∂x ∂y

Si se vuelve a derivar estas igualdades, pero cada una con respecto a la otra
variable:

∂M = ∂2 f , ∂N = ∂2 f
∂y ∂y∂x ∂x ∂x∂y

Por el cálculo se sabe que si las derivadas parciales son continuas entonces:

∂2 f = ∂2 f
∂y∂x ∂x∂y
Esto significa que: ∂M = ∂N
∂y ∂x

56 Capítulo 2 Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden

Por tanto, si la ecuación es exacta se cumple esta condición. Por eso se es-
tablece el siguiente teorema.

TEOREMA 1. La condición necesaria y suficiente para que la ecuación dife-
rencial M(x, y)dx + N (x, y)dy = 0 sea exacta es que:

∂M = ∂N
∂y ∂x
La explicación anterior demuestra el teorema. Para ver si una ecuación di-
ferencial es exacta se aplicará inmediatamente.

EJEMPLO 1
Sea la ecuación diferencial: x sen ydx + y cos xdy = 0. ¿Es exacta?
Sean M = x sen y y N = y cos x

⇒ ∂M = x cos y , ∂N = −y sen x
∂y ∂x

Como x cos y ≠ −y sen x, no es exacta.

EJEMPLO 2
Averiguar si la ecuación diferencial

ey dx + xey dy = 0 es exacta

MN

∂M = ey, ∂N = ey
∂y ∂x
como Mx = Ny = ey, sí es exacta.

EJEMPLO 3
Dada la ecuación diferencial xdy − ydx = 0, aplicar el teorema para probar
que no es exacta.

Mx = 1, N y = −1, Mx ≠ N y
Si se intercambian los diferenciales, las derivadas parciales deben obtenerse
con respecto a la variable independiente que no está multiplicando a la función.
Así, en este caso M = x , N = − y, en vez de tomar ∂M y ∂N como indica

∂y ∂x
el teorema, se toma ∂M y ∂N .

∂y ∂x

Ecuaciones diferenciales exactas 57

MÉTODO DE SOLUCIÓN:

1. Dada la ecuación diferencial se ve si es exacta.

2. Se aplica la definición:

fx = M(x, y) o bien fy = N (x, y)
3. Se integra con respecto a x o con respecto a y.

f = ∫ Mdx o bien f = ∫ Ndy

4. Al resultado se deriva con respecto a y o bien con respecto a x.

fy = ∂ ∫ Mdx fx = ∂ ∫ Ndy
∂y ∂x

5. Se iguala el nuevo resultado a N o bien a M.

6. Se integra por última vez la ecuación.

EJEMPLO 4
Resolver la siguiente ecuación diferencial

( ) ( )6xy − 2y2 dx + 3x2 − 4xy dy = 0, si es exacta.

1. M = 6xy − 2y2, N = 3x2 − 4xy
My = 6x − 4y, Nx = 6x − 4y
Es exacta porque My = Nx .

2. Existirá una función f tal que fx = M(x, y) y fy = N (x, y), por defini-
ción; se toma cualquiera de las dos igualdades, por ejemplo:

fx = M(x, y) ⇒ fx = 6xy − 2y2

3. Integrando con respecto a x

∫ fx = ∫ (6xy − )2y2 dx

f = 3x2 y − 2xy2 + f (y)

La constante arbitraria de integración será una función de y, puesto que
y funge como constante en esta integral.
4. Derivando con respecto a y:

fy = 3x2 − 4xy + f ′(y)

5. Se sabe que fy = N(x, y) por definición, entonces:
fy = 3x2 − 4xy

58 Capítulo 2 Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden

Como dos cosas iguales a una tercera son iguales entre sí:
3x2 − 4xy + f ′(y) = 3x2 − 4xy ⇒ f ′(y) = 0

6. Integrando: f (y) = c
∴ La solución es: f (x, y) = 3x2 y − 2xy2 + c
o bien, 3x2 y − 2xy2 + c = 0, o bien, 3x2 y − 2xy2 = c
La comprobación se reduce a encontrar la diferencial total de la fun-
ción solución.
Se obtiene el mismo resultado, si en vez de tomar la ecuación

fx = M(x, y), se toma fy = N (x, y)

EJEMPLO 5
Verificar la solución del problema del ejemplo 6, tomando fy = N (x, y):

1. Se vio que My = Nx .
2. fy = 3x2 − 4xy.
3. Integrando con respecto a y:

∫ fy = ∫ (3x2 − 4xy)dy

f = 3x2 y − 2xy2 + f (x)

4. Derivando con respecto a x:
fx = 6xy − 2y2 + f ′(x)

5. fx = 6xy − 2y2 + f ′(x) = 6xy − 2y2 ⇒ f ′(x) = 0.
6. Integrando: f (x) = c

∴3x2 y − 2xy2 = c es la misma solución obtenida anteriormente.

EJEMPLO 6
Resolver la siguiente ecuación diferencial, si es exacta:

( ) ( )2y − 2xy3 + 4x + 6 dx + 2x − 3x2 y2 − 1 dy = 0 para y(−1) = 0

1. My = 2 − 6xy2 = Nx, sí es exacta.

Ecuaciones diferenciales exactas 59

2. fx = M(x, y) por definición, entonces:
fx = 2y − 2xy3 + 4x + 6

3. Integrando con respecto a x:
f = 2xy − x2 y3 + 2x2 + 6x + f (y)

4. Derivando con respecto a y:
fy = 2x − 3x2 y2 + f ′(y)

5. fy = N (x, y)
2x − 3x2 y2 + f ′(y) = 2x − 3x2 y2 − 1 ⇒ f ′(y) = −1

6. Integrando:
f (y) = − y + c
∴ la solución es:
2xy − x2 y3 + 2x2 + 6x − y = c; para y(−1) = 0
2(−1)2 + 6(−1) = c
c = −4
∴ 2xy − x2 y3 + 2x2 + 6x − y + 4 = 0 es solución particular.

EJEMPLO 7

( ) ( )Resolver 2x + 6x2 y dx + 3x3 − 2xy dy = 0

1. M = 2x + 6x2 y N = 3x3 − 2xy

My = 6x2 Nx = 9x2 − 2y

My ≠ Nx ∴ No es exacta.

Observando la ecuación, vemos que puede dividirse entre x ≠ 0 por lo que:

)((2 + 6xy)dx + 3x2 − 2y dy = 0

⇒ My = 6x = Nx ya es exacta.

2. fx = M(x, y)
fx = 2 + 6xy

3. Integrando con respecto a x : f = 2x + 3x2 y + f (y)
4. Derivando con respecto a y : fy = 3x2 + f ′(y)

60 Capítulo 2 Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden

5. fy = N (x, y)

3x2 + f ′(y) = 3x2 − 2y ⇒ f ′(y) = −2y
6. Integrando: f (y) = − y2 + c

∴2x + 3x2y − y2 = c
Solución que satisface a las dos ecuaciones diferenciales.

Mathematica empieza por definir las funciones M y N como P y Q, y después
verifica las condiciones de exactitud. Por ejemplo, para la ecuación diferencial
dy = 11 + 5x2 − 2y2
dx 3 + sen y + 4xy

P[x_,y_]:=-(5 x^2-2 y^2+11)

Q[x_,y_]:=(Sin[y]+4 x*y+3)

Simplify[D[P[x,y],y]-D[Q[x,y],x]]

o
eqn = y'[x]==-P[x,y[x]]/Q[x,y[x]]

11+5x2 -2y[x]2
y'[x]==

3+ Sin[y[x]]+4xy[x]

sol = DSolve[eqn,y[x],x]

Solve ⎡ - 5x3 - Coscos[y[x]]+3y[x]+ 2xy[x]2 == ⎤
⎣⎢-11x 3 C[1],y[x]⎥⎦

Para verificar esta solución:

Solve[D[sol[[1]],x],y'[x]]

Simplify

⎨⎧{y'[x]→ 11+5x2 -2y[x]2 ⎫
⎬
⎩ 3+ Sin[y[x]]+4xy[x]⎭

ContourPlot ⎡ ⎡ sol[[,1]] ⎤ ⎤
⎢Evaluate ⎦⎥,{x,-5,5},{y,-5,5}⎦⎥
⎣ ⎢⎣.{y[x]→ y

Ecuaciones diferenciales exactas 61

4

2

0

−2

−4 −2 02 4
−4

EJERCICIOS 2.3

Determinar si las siguientes ecuaciones diferenciales son exactas; resolverlas
si lo son.

1. (2x − 5y + 2)dx + (1− 6y − 5x)dy = 0

Respuesta: x2 + 2x − 3y2 + y − 5xy = c

( ) ( )2. 2xy3 − 4y + 4x − 3 dx + 3x2 y2 − 4x dy = 0

Respuesta: x2 y3 − 4xy + 2x2 − 3x = c

( ) ( )3. 16xy − 3x2 dx + 8x2 + 2y dy = 0

Respuesta: 8x2 y − x3 + y2 = c

( ) ( )4. −20xy2 + 6x dx + 3y2 − 20x2 y dy = 0

Respuesta: 3x2 − 10x2 y2 + y3 = c

) )( (5. ex + y dx + ey + x dy = 0

Respuesta: ex + xy + ey = c

6. ay − y y b dx + ax + 1 e y dy = 0
x2
ex x xb

y

Respuesta: xy + e x = c

7. a1− y y dx + a1 + 1 y b dy = 0
x2 x
exb ex

y

Respuesta: e x + y + x = c

8. a1− y y dx + y =0

x exb e x dy

y

Respuesta: xeex = c ecuación diferencial no exacta.

62 Capítulo 2 Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden

9. y(1+ cos xy)dx + x (1+ cos xy)dy = 0

Respuesta: xy + sen xy = c

( ) ( )10. 6xy3 + y sen xy + 1 dx + 9x2 y2 + x sen xy dy = 0

Respuesta: 3x2 y3 − cos xy + x = c

( ) ( )11. 3x2 + y cos xy dx + 3y2 + x cos xy dy = 0

Respuesta: x3 + sen xy + y3 = c

( ) ( )12. 4x3 − 4xy2 + y dx + 4y3 − 4x2 y + x dy = 0
( )Respuesta: x2 − y2 2 + xy = c

13. ⎛⎝⎜ sen y+ y sen y ⎞⎟⎠ dx + ⎛⎜⎝ x cos y − 1 sen y ⎠⎟⎞ dy = 0
x2 x x x

Respuesta: x sen y + cos y = c
x

14. ( y cosh xy + 2x)dx + (x cosh xy − 2y)dy = 0

Respuesta: sen hxy + x2 − y2 = c

15. ex cos ydx − xex sen ydy = 0 para y(0) = ␲

Respuesta: No es exacta.

16. ex cos ydx − ex sen ydy = 0 para y(0) = ␲
Respuesta: ex cos y = −1

17. ⎡⎣cos(x + y) − 1⎤⎦ dx + cos(x + y)dy = 0 para y(0) =Ϫ␲2

Respuesta: sen (x + y) = 1 + x

( )18. ex sen ydx + ex cos y + ey dy = 0 para y(0) = 0

Respuesta: ex sen y + ey = 1

( ) ( )19. 2x sen y + yexy dx + x cos y + exy dy = 0 para y(1) = 1

Respuesta: No es exacta.

( ) ( )20. 2x sen y + yexy dx + x2 cos y + xexy dy = 0 para y(0) = ␲

Respuesta: x2 sen y + exy = 1

( )21.y +1 dx + ⎛ x ⎞ dy = 0 para y(1) = 4
⎝⎜ + 1⎠⎟
2 y

Respuesta: x y + x + y = 7 para y(−1) = −1

22. (4 + 5y)dx + (1+ 5x)dy = 0

Respuesta: 4x + 5xy + y = 0

Ecuaciones diferenciales exactas 63

⎛ x ⎞⎛ y ⎞
⎜1− x2 + y2 x2 + y2
⎝⎜ ⎟ dx + ⎜ − ⎟ dy = para y(0) = −2
( ) ( )23. 3 ⎟⎠ ⎜⎝ 1 3 ⎟⎠ 0

2 2

Respuesta: x + 1 + y + 3 = 0
x2 + y2 2

24. ⎛ 1 + y⎠⎟⎞ dx ⎛ − 1 ⎞ dy = 0 para y(9) = 1
⎝⎜ 2x +⎜x ⎟
3 ⎠
⎝
2y 2

Respuesta: x + xy + 1 = 13
y

25. ⎛ −1 − y2 − ⎞ dx + 2y dy = 0 para y(1) = 2
⎝⎜ x2 1⎠⎟ x

Respuesta: 1 + y2 − x2 = 4x

26. y cos xydx + (x cos xy + sen y)dy = 0 para y(3) = 0
para y(1) = 1
Respuesta: sen xy − cos y + 1 = 0

27. ⎛ 1 + 2x⎟⎞⎠ dx + ⎛ 1 − 1⎠⎟⎞ dy = 0
⎜⎝ x ⎜⎝ y

Respuesta: ln xy + x2 − y = 0

28. ⎛ 1 + ye xy ⎞ dx + ⎛ 1 + xe xy ⎞ dy = 0 para y ⎛ 1⎞ =2
⎝⎜ x ⎟⎠ ⎝⎜ y ⎟⎠ ⎝⎜ 2 ⎠⎟

Respuesta: ln xy + exy = e

29. ⎛ 2x − y cos y⎞ dx + ⎛ 2y + 1 cos y⎞ dy = 0 para y(1) = 0
⎜⎝ x2 x ⎟⎠ ⎝⎜ x x ⎠⎟

Respuesta: y2 + sen x + x2 = 1
y

30. ⎛ xy ⎞ dx + 1 + x2 dy = 0 para y(0) = 6
⎜⎝ 1+ x2 + 2x⎠⎟

Respuesta: y 1 + x2 + x2 = 6

Elegir la opción que contiene la solución de la ecuación diferencial dada:

31. ⎛ y − 1⎞ dx + ⎛ x + x ⎞ dy = 0
⎝⎜ y ⎠⎟ ⎝⎜ y2 ⎟⎠

a. 1+ 1
y2

b. xy − y = c
x

64 Capítulo 2 Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden

c. xy − x = c
y
x2 x2
d. 1 − ln y + 2 + 2y2 =c

32. (2x − 4 y ) dx + ⎛ − 5 − 4 x ⎞⎠⎟ dy = 0 para y(1) = 5
⎝⎜ y2

a. x2 − 4xy + 5 = c
y

b. 5 − 4xy = 0
y

c. fx = −4
d. x2 − 4xy + 5 + 18 = 0

y

⎛ y − y y − 1⎟⎞⎠ + ⎛ y + 2 y⎠⎞ =
⎝⎜ x ⎝
33. e x ex dx e x dy 0

y

a. xe x + y2 − x = 0

b. − y y
x2
ex

y

c. xe x + y2 − x = c

d. − 1 y − y y + 2x = c
x2 x3
ex ex

34. ⎛ y − y ⎞ dx + ⎜⎝⎛ sen −1 x + 1 ⎠⎞⎟ dy = 0
⎝⎜ 1− x2 x2 ⎟⎠ x

a. ysen−1x + y = c
x

b. 1 − 1 =c
1− x2 x2

c. ysen−1x + y = 1
x

d. No es diferencial exacta.

⎛ cos−1 − y y ⎞ + ⎛ −x + 1 y ⎞ =
⎝⎜ x2 ⎟⎠ ⎜ 1− y2 x ⎟
35. y ex dx ⎝ e x ⎠ dy 0

a. No es diferencial exacta.

b. 1 − 1 y − y y x
1− y2 x2 x3
ex e

y

c. x cos−1 y + e x = c

x2y + 1 y =c
1− y2
( )d. 3 x ex
2
2

Ecuaciones diferenciales con factores integrantes 65

Respuestas:

31. c. La opción a no es solución sino la parcial de M con respecto a y o la

parcial de N con respecto a x. La opción b tiene un error de integración.

La opción d tomó fy = y − 1 en vez de fx = y − 1
y .

y
32. d. La opción a no tomó en cuenta las condiciones iniciales. En la op-

ción b no se terminó el proceso para encontrar fy. La opción c da el
teorema My = Nx = −4 pero no es la solución.

33. c. La opción a supone unas condiciones iniciales que no fueron dadas. La

opción b representa My = Nx pero no es la solución. En la opción d se
y
tomó mal fx que debe ser y − y − 1.
x
ex ex

34. a. La opción b contiene My = Nx pero no es la solución. La opción c

satisface a la ecuación diferencial pero no nos dieron condiciones

iniciales, así que no es la opción correcta. La opción d está incorrec-

ta porque sí es exacta.

35. c. La opción a es falsa, si es exacta. La opción b representa My = Nx pero

no es la solución. La opción d tomó fx = x + 1 y por error.

1− y2 x ex

Ecuaciones diferenciales
con factores integrantes

Como se vio en el ejemplo 9 de la sección anterior, una ecuación diferencial que
no es exacta puede convertirse en exacta mediante un factor apropiado.

Definición 2.7
Si existe una función F(x, y) tal que F(x, y)Mdx + F(x, y)Ndy = 0 es
exacta, entonces F(x, y) se llama factor de integración de la ecuación dife-
rencial Mdx + Ndy = 0.

Conviene notar que una ecuación diferencial no exacta puede tener varios fac-
tores integrantes; es decir, puede convertirse en exacta multiplicándola por x2,
xy, xy, xy, x2 y, etcétera.

Métodos para encontrar el factor integrante F(x, y):

1. Por inspección de la ecuación diferencial se supone una función que lue-
go se prueba por el teorema 1 de la página 56.

2. Si el factor es sólo función de x.

⇒ F(x) = e∫ p(x)dx

donde p(x) = My − Nx
N

66 Capítulo 2 Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden

3. Si el factor es sólo función de y.

⇒ F(y) = e∫ p(y)dy

donde p(y) = Nx − My
M

EJEMPLO 1

Hallar el factor de integración de la ecuación: 3ydx + 4ydy = 0

M = 3y N = 4x

My = 3 Nx = 4

Como My ≠ Nx no es exacta.

Se observa que es de variables separables y su solución es x3y4 = c, pero

también se puede encontrar su factor integrante.

Sea F(x, y) = x2 y3 sugerido por la forma de la solución.

⇒ 3x2 y4 dx + 4x3 y3 dy = 0

MN

My = 12x2 y3 = Nx , ya es exacta,

fx = 3x2y4

f = x3y4 + f (y)

fy = 4x3y3 + f ′(y) = 4x3y3
f ′(y) = 0

f (y) = c

∴ x3y4 = c

que es la solución que ya se había obtenido por el método de variables sepa-
rables.

Por lo tanto, se puede usar la siguiente regla: Si la ecuación diferencial es de
la forma pydx + qxdy = 0 donde p,q ∈ℜ

⇒ F(x, y) = x yp−1 q−1

Si la ecuación diferencial es de la forma ydx − xdy = 0

⇒ 111 son posibles factores integrantes.
y2 , x2 , xy

Ecuaciones diferenciales con factores integrantes 67

EJEMPLO 2
Hallar el factor de integración de 4ydx − xdy = 0

My = 4, Nx = −1, no es exacta.

Sea F(x, y) = 1
xy

⇒ 4 dx − 1 dy = 0
xy

MN

My = 0 = Nx, ya es exacta.

fx = 4
x

f = 4 ln x + f (y)

fy = f ′(y) = −1
y

f (y) = − ln y + ln c

4 ln x − ln y = ln c
x4 = c
y
x4 = cy

que es el mismo resultado que se obtiene usando separación de variables.

EJEMPLO 3
Encontrar el factor de integración de: 3x2 ydx + ydy = 0

My = 3x2 , Nx = 0

Probamos si F(x) = e∫ p(y)dy es factor de integración.

p(x) = My − Nx = 3x2 es función de x, por lo que se busca F(y) = e∫ p(y)dy con:
Ny

p( y) = Nx − My = 0 − 3x2 = − 1, si lo es,
M 3x 2 y y

∫ − dy = e−ln y = 1
y
⇒ F(y) = e con y≠0
y

68 Capítulo 2 Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden

Multiplicando la ecuación diferencial por este factor se tiene:
3x2dx + dy = 0
M = 3x2 N = 1

My = 0 Nx = 0, ya es exacta.
fx = 3x2 , f = x3 + f (y), fy = f ′(y) = 1, f (y) = y + c

x3 + y = c

La familia de curvas solución para algunos valores de c es:

y
3
2

1

1 1x
−1 0

−1

−2

−3

EJEMPLO 4

Resolver mediante un factor integrante:

x tan xdx − y cos xdy = 0 para y(0) = 2

M = x tan x N = − y cos x

My = 0 Nx = ysen x

¿Existirá una F(x) o una F(y) que convierta en exacta esta ecuación dife-
rencial?:

p(x) = 0 − ysen x = tan x
− y cos x

→ F(x) = e∫ tan xdx = e−ln cosx = 1 = sec x
cos x

x sec x tan xdx − ydy = 0, ya es exacta

Ecuaciones diferenciales con factores integrantes 69

fx = x sec x tan xdx
f = x sec x − ln sec x + tan x + f (y)

fy = f ′(y) = − y
f (y) = − y2 + c

2
∴ x sec x − ln sec x + tan x − y2 = c

2
Sustituyendo las condiciones iniciales y(0) = 2

0(1) − ln 1 + 0 − 4 = c de donde c = −2
2

∴2x sec x − 2 ln sec x + tan x − y2 = −4

EJERCICIOS 2.4

Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales usando un factor de integra-
ción apropiado.

1. x−2 y−5dx + x−3 y−4dy = 0

Respuesta: factor x3y5. Solución: x2 + y2 = c

2. x2sen xdx + xydy = 0

Respuesta: factor 1 2sen x − 2x cos x + y2 = c
. Solución:
x
3. ( y + x + 2)dx + dy = 0

Respuesta: factor ex . Solución: ex ( y + x + 1) = c

( )4. ⎛ ex ⎞
ex + y2 dx + ⎜⎝ xy − y − 2 y2 ⎟⎠ dy = 0

Respuesta: factor 1. Solución: ex + xy2 − y3 = cy
y

( )5. xy + y + y2 dx + (x + 2y)dy = 0

Respuesta: factor ex. Solución: xyex + y2ex = c

6. ⎝⎜⎛ 2 sen y − sen x + 1 cos x ⎠⎟⎞ dx + ⎛ 1 cos x + x cos y + x sen ⎞ dy = 0
x ⎜⎝ y y y⎟⎠
Respuesta: factor xy. Solución: xy cos x + x2 ysen y = c

( ) ( )7. 2xy + y4 dx + 3x2 + 6xy3 dy = 0

Respuesta: factor y2. Solución: x2 y3 + xy6 = c

( ) ( )8. 6x2 y2 − 4y4 dx + 2x3y − 4xy3 dy = 0
( )Respuesta: factor x3. Solución: x4 y2 x2 − y2 = c

70 Capítulo 2 Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden

9. ⎛ y + 2⎠⎟⎞ dx + 1 (1 + ln xy ) dy = 0
⎜⎝ x2 x

Respuesta: factor x. Solución: y ln xy + x2 = c

10. 1 (1 + ln xy ) dx + ⎛ x − ⎞ dy = 0
y2 ⎜⎝ y3 3⎠⎟

Respuesta: factor y2. Solución: x ln xy − y3 = c

( )11. y(1+ ln xy + 2x)dx + x − 2y2 dy = 0

Respuesta: factor 1 x ln xy − y2 + x2 =c
. Solución:
y

Encontrar la solución particular:

12. ⎛ xy + 1 + 2x ⎞ dx + x 2dy = 0 para y(−3) = 0
⎝⎜ e xy ⎠⎟

Respuesta: factor exy. Solución: xexy + x2 = 6

( ) ( )13. 4y2 − 5xy dx + 6xy − 5x2 dy = 0 para y(1) = 2

Respuesta: factor x3y4. Solución: x4 y6 − x5y5 = 32

14. (ye2y + x + 1)dx + (ye2y + e2y − x)dy = 0 para y(1) = 0
Respuesta: factor ex−y. Solución: yex+y + xex−y = e

15. [− y − cot(x + y)]dx − ydy = 0 para y(␲) = ␲

Respuesta: factor sen(x + y). Solución: y cos(x + y) − sen(x + y) = ␲

En los siguientes ejercicios probar, mediante el teorema 1, si la función
F(x, y) es factor integrante de la ecuación dada:

16. F(x, y) = xy de ⎛ ye xy + 1 ⎞ dx + ⎛ xe xy + 1⎞ dy = 0
⎜⎝ x ⎟⎠ ⎜⎝ y ⎟⎠

Respuesta: Sí, pero no lo necesita porque ya es exacta.

17. F(x, y) = xy de − 1 dx − 1 dy = 0
xy

Respuesta: Sí, pero no lo necesita, se integra directamente.

18. F(y) = y de (−sen x + y)dx + ⎛ cos x + ⎞ dy =0
⎜⎝ y 2 x ⎟⎠

Respuesta: Sí.

19. F(x) = x de ⎛⎝⎜ y cosh x + y sen hx ⎠⎟⎞ dx + sen hxdy = 0
x
Respuesta: Sí.

20. F(x) = ex de (exsen y + 2xy)dx + (ex cos y + x2 )dy = 0

Respuesta: No, pero la ecuación es exacta.

Ecuaciones diferenciales con factores integrantes 71

21. F(x, y) = xy2 de (6y − 24xy5)dx + (9x − 56x2 y4 )dy = 0

Respuesta: Sí. ⎞⎛
⎛ + y⎟ dx + ⎜ ⎞
22. F(x, y) = x2 + y2 de ⎜ x y + x⎟ dy = 0

⎝ x2 + y2 ⎠ ⎝ x2 + y2 ⎠

Respuesta: No, pero la ecuación es exacta.

En los siguientes ejercicios elegir la opción que contiene un factor de
integración de la ecuación diferencial dada:

23. ( y − x 2 y5 )dx + ⎛ 3 x − x 3 y4 ⎞ dy = 0
⎜⎝ 5 ⎟⎠
a. x2 y4

b. x4 y2
c. xy2
d. x2 y

24. dx + (x − y + 6)dy = 0
a. ex

y

b. e x
x

c. e y
d. ey

25. (xy2sen hxy + y cosh xy)dx + (x2 ysen hxy + 2x cosh xy)dy = 0

a. y

b. x

c. y
x

d. x

y ⎛ ⎞
⎜⎝ ⎠⎟
26. (1 + xy)dx + x + x2 dy = 0
y
a. 1
y

b. x

c. y

d. 1
x

En los ejercicios siguientes, elegir la opción que contiene el factor inte-
grante y la solución de la ecuación diferencial dada:

27. ⎛ 2 + y⎞ dx + ⎛ x + 2⎟⎞⎠ dy = 0
⎝⎜ x ⎠⎟ ⎜⎝ y

a. Factor: x2 y2. Solución x2 y + xy2 = c

b. Factor: xy. Solución 2x + 2y = c
c. Factor: xy. Solución x2 y + xy2 = c
d. Factor: x2 y2. Solución 2 x3 y2 + 1 x2 y3 = c

32

72 Capítulo 2 Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden

28. ⎛ y + 1 ⎞ dx + ⎛ x + 1 ⎞ dy = 0
⎜⎝ e xy ⎠⎟ ⎝⎜ e xy ⎟⎠
x
a. Factor: ex. Solución y e xy − 1 e xy = c
x2

b. Factor: exy. Solución exy + x + y = c

c. Factor: ey. Solución exy + y2 = c
2

d. Factor: exy. Solución exy + y2 = c
2

( )29.⎝⎜⎛ y 1 3y3 ⎞⎟⎠
x cos xy + x2 sen xy + dx + cos xy + 3xy2 dy = 0

a. Factor: x. Solución x sen xy + x3y3 = c

b. Factor: x2. Solución −x2 ysen xy + 2x cos xy + 9x2 y2 = c
c. Factor: x. Solución −x2 ysen xy + 2x cos xy + 9x2 y2 = c

d. Factor: x2. Solución x sen xy + x3y3 = c

30. ⎛ y + 5x 4 y xy ⎞ dx + ⎛ x + x 5 xy ⎞ dy = 0
⎝⎜ 2 ⎠⎟ ⎝⎜ 2 ⎟⎠

a. Factor: xy. Solución x x + x6 = c
3y 6

b. Factor: xy. Solución xy + 5 x6 y2 xy + 10x5y xy = c
2
1
c. Factor: . Solución xy + x5y = c
2 xy

d. Factor: xy . Solución − xy + 2 1 + 5x4 = c
xy
3

4(xy) 2

Respuestas:

23. b. El resto de las opciones no satisface el teorema de exactas.

24. d.

25. a.

26. c. y d.

27. c. La opción a muestra la solución correcta, de hecho, derivando y sus-

tituyéndola en la ecuación, la satisface; sin embargo, el factor no es

correcto; no cumple con el teorema de exactas. La opción b tiene el

factor correcto, pero la expresión dada como solución es, en realidad,

My = 2x + 2y = Nx lo que demuestra que con el factor integrante la
ecuación diferencial dada se convierte en exacta pero no es la solu-

ción. La opción d presenta una solución dependiendo de que estuvie-

ra correcto el factor de integración que propone.

28. b. La opción a presenta una exponencial que no es factor de integración

y una solución equivocada, pues se tomó fx = N suponiendo el fac-
tor correcto. La opción c, además de no tener un factor correcto, tiene

en la solución el resultado de igualar fy = M suponiendo el factor

Ecuaciones diferenciales lineales 73

correcto. La opción d tiene el factor adecuado, pero error de la solu-
ción de la opción c.
29. d. La opción a tiene mal el factor de integración. La b tiene un correcto
factor integrante; pero la expresión que funge como solución es
My = Nx y no la solución. La c tiene los errores de a y b.
30. c. La opción a tiene un factor correcto, pero la solución errónea provie-
ne de haber igualado fx a N. La opción b supone correcto el factor que
propone y toma Mx como la solución. La opción d tiene el factor co-
rrecto, pero toma como solución My = Nx.

Ecuaciones diferenciales lineales

Se vio en el capítulo 1 que las condiciones para que una ecuación diferencial
fuese lineal son: a) la variable dependiente y y todas sus derivadas son de primer
grado, y b) cada coeficiente depende solamente de la variable independiente x
(o constante).

Definición 2.8
La forma general de una ecuación lineal de primer orden es y′ + f (x)y = r(x).
Si r(x) es idénticamente igual a cero, entonces la ecuación se llama lineal

homogénea (no en el sentido de polinomio homogéneo, sino como el nom-
bre que da el álgebra lineal a las ecuaciones igualadas a cero); si r(x) ≠ 0
entonces es lineal no homogénea.

MÉTODOS DE SOLUCIÓN

Si r(x) = 0 ⇒ es de variables separables.
Si r(x) ≠ 0 ⇒ 1. Método del factor integrante.

2. Método de variación de parámetros.
Y la forma de la solución es:

Para r(x) = 0 ⇒ r(x) = 0

= e− ∫ f (x)dx ⎡ ∫ f ( x ) dx ⎤
∫Para ≠ ⇒ ⎣⎢ + ⎥⎦
r(x) 0 y e r ( x )dx c

Se obtendrá la solución para r(x) ≠ 0 , usando el método de factor integrante y
el de variación de parámetros.

1. Método del factor integrante. Buscaremos un factor que nos convierta
la ecuación diferencial y′ + f (x)y = r(x) en exacta y se resolverá por el
método de las exactas.

74 Capítulo 2 Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden

El hecho de que la solución general de la ecuación diferencial homogé-
nea correspondiente sea y = e−∫ f (x)dx, sugiere la posibilidad de que un fac-
tor para la no homogénea sea de la forma e∫ f .(x)dx

Se probará esto. Multiplicando la ecuación por este factor, tenemos:

e∫ f (x)dx y′ + f (x)ye∫ f (x)dx = r(x)e∫ f (x)dx

Al observar el primer miembro de la ecuación, se ve que está y en un
término, su derivada y′ en otro y la exponencial que acompaña a la y es la
derivada de la exponencial que acompaña a y′, realmente se puede expre-
sar como la derivada de un producto de funciones:

d ⎛ e ∫ f ( x )dx y⎞⎠
dx ⎝

Entonces: d ⎛ e∫ f (x)dx y⎞⎠ = r(x)e∫ f ( x )dx
dx ⎝

∫Integrando con respecto a x : e∫ f (x)dx y = r(x)e∫ f (x)dx + c

e−∫ f ( x )dx ⎡ ∫ f ( x ) dx ⎤
∫Despejandoy : y = ⎣⎢ e r ( x ) + c ⎦⎥ que es la solución ge-

neral ya indicada y satisface a la ecuación lineal.

Como e∫ f (x)dx nos llevó a la solución propuesta, es el factor de inte-

gración que convierte en exacta a la ecuación diferencial lineal no homogé-

nea. Por ello, no es necesario memorizar la fórmula de la solución, basta

buscar el factor, multiplicar la ecuación por él y resolver por exactas.

EJEMPLO 1

( )Dada la ecuación diferencial dy + 3x2 y − x2 dx = 0, ver si es lineal y resol-

verla por medio del factor integrante.
Se acomoda según la forma indicada: y′ + f (x)y = r(x) quedando:

dy + 3x2 y = x2
dx

Si es lineal, con f (x) = 3x2 y y r(x) = x2
Su factor integrante tiene la forma:

F(x) = e∫ f (x)dx = e∫ 3x2dx = ex3

Multiplicando la ecuación, tenemos:

( )ex3dy + ex3 3x2 y − x2 dx = 0

Ecuaciones diferenciales lineales 75

( )M = ex3 3x2 y − x2 N = ex3

My = 3x2ex3 Nx = 3 x 2e x 3 ya es exacta.

,

Entonces:

fx = ex3 3x2y − ex3 x2 f = yex3 − 1 ex3 + f (y)
fy = ex3 + f ′(y) = ex3 3

f ′(y) = 0 y f (y) = c

∴ y = 1 + ce−x3
3

Aplicando directamente la fórmula obtenida mediante el factor de integra-
ción, llegamos a la misma solución:

e ∫− 3x2dx ⎡ e ∫ 3x2dx dx + c⎦⎥⎤
∫ ( )y= ⎣⎢ x2

∫y = e−x3 ⎣⎡ ex3 x2dx + c⎦⎤

y = e− x3 ⎡1 ex3 + c ⎦⎥⎤
⎢⎣ 3

y = 1 + ce− x3
3

2. Método de variación de parámetros. Es un procedimiento bastante usual
en matemáticas introducir cambios de variables, hacer sustituciones o reem-
plazar funciones por otras más sencillas que faciliten el proceso operativo.
Se sabe que la solución general de la ecuación diferencial homogénea
de primer orden y′ + f (x)y = 0, es: y = ce− ∫ f (x)dx .
Como nos interesa una solución general para la ecuación diferencial
lineal no homogénea:

y′ + f (x)y = r(x)

se realizará la siguiente variación de parámetros en la solución general de
la homogénea:

Sea c = u(x) y v = e− ∫ f (x)dx

Entonces, y(x) = u(x)v(x) será una solución de la no homogénea,
siempre y cuando podamos encontrar una función u(x) tal que dicha solu-
ción satisfaga a la ecuación. Si es solución, lo cual se supondrá de momen-
to, entonces derivándola y sustituyéndola en la ecuación homogénea, se
tiene:

y′ = uv′ + u′v

76 Capítulo 2 Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden

⇒ uv′ + u′v + fuv = r
u′v + (v′ + fv)u = r

Como v es la solución de la homogénea, el paréntesis se hace idénti-

camente cero, ya que siempre que se sustituye la raíz o solución en una ecua-
ción, ésta se hace cero. Se obtiene entonces: u′v = r de donde u′ = r .
v
∫ r
Integrándola, u = v dx + c.

La función u existe porque v ≠ 0 es solución, entonces y = uv es solu-

ción de la lineal no homogénea y toma este aspecto:

e−∫ f ( x )dx ⎡ r(x) ⎤
∫y = ⎢ dx + c⎥
⎣⎢ e− ∫ f (x)dx
⎦⎥

e−∫ f ( x )dx ⎡ e∫ f (x)dxr(x)dx + c⎤⎥⎦, que es hacia donde se
∫Es decir,y = ⎢⎣

quería llegar.

EJEMPLO 2

Resolver por variación de parámetros: y′ = 2y + x.
Se ve que y′ − 2y = x es lineal, donde f (x) = −2, r(x) = x.
La ecuación diferencial homogénea correspondiente es y′ − 2y = 0 que tiene
como solución: y = ce2x.
Tomando c = u(x), v(x) = e2x y sabiendo que la función u está dada por

u = ∫ r(x) dx + c
v(x)

∫⇒ u = x dx + c = − x e −2 x − 1 e −2 x + c
e2x 2 4

Como la solución de la homogénea es y = uv, entonces:

y = ⎛ − x e −2 x − 1 e −2 x + c⎟⎞⎠ e2x y y = − x − 1 + ce2x
⎝⎜ 2 4 24

Aplicando directamente la fórmula obtenida mediante el factor de integra-
ción, se llega a la misma solución.

∫ 2 dx ⎡ ∫ −2 dx ⎤
∫y = e ⎣⎢ e xdx + c ⎥⎦

∫y = e2x ⎡⎣ e−2x xdx + c⎤⎦

Ecuaciones diferenciales lineales 77

y = e2x ⎣⎢⎡− x e −2 x − 1 e −2 x + c ⎤
2 4 ⎦⎥

y = − x − 1 + ce2x
24

EJEMPLO 3
Resolver por variación de parámetros:

(x2 + 16)y′ − xy = x

y′ − x2 x y = x2 x
+ 16 + 16

La ecuación homogénea correspondiente es:

y′ − x2 x y = 0
+ 16

Con la solución: y = c x2 + 16

x (x2 + 16)dx + c
x2 + 16
∫Sea v(x) = x2 + 16 y c = u(x) =

x 3 dx + c
( )⇒ u = ∫
x2 + 16 2

u=− 1 +c
x2 + 16

⎛ 1 + ⎞ x2 + 16
⇒ y = uv = ⎜⎝ − x2 + 16 c⎠⎟

y = c x2 + 16 − 1

que es la solución general de la ecuación dada.

EJEMPLO 4

Resolver por cualquiera de los dos métodos: factor integrante o variación de
parámetros; o bien, aplicando la fórmula general:

y′ = x 1
+ y3

78 Capítulo 2 Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden

Se ve que no es lineal, pero tampoco se puede resolver por variables separa-
bles, no es exacta ni homogénea. ¿Qué se puede hacer? Tomando la función
recíproca:

dx = x + y3 y dx − x = y3
dy dy

Ya es una ecuación diferencial lineal en x.
Usando el factor integrante F = e∫ g(y)dy = e− ∫ dy = e− y multiplicando la ecuación:

( )e− ydx − e− y x + y3 dy = 0
( )M = e− y N = −e− y x + y3

My = −e− y Nx = −e− y, ya es exacta.

fx = e−y
f = xe− y + f (y)

fy = − xe− y + f ′(y) = − xe− y − y3e− y
f ′(y) = − y3e−y

f (y) = y3e− y + 3y2e− y + 6ye− y + 6e− y + c

( )∴ xe− y + e− y y3 + 3y2 + 6y + 6 = c
( )e−y x + y3 + 3y2 + 6y + 6 = c

( )o bien x + y3 + 3y2 + 6y + 6 = cey

Comprobación: derivando la variable x con respecto a y:

dx + 3y2 + 6y + 6 = cey
dy

dx + 3y2 + 6y + 6 = ey ⎛ x + y3 + 3y2 + 6y + 6⎞
dy ⎝⎜ ey ⎟⎠

dx = x + y3
dy

Ecuaciones diferenciales lineales 79

EJERCICIOS 2.5
Resolver por el método de factor integrante o por la fórmula general.

1. ⎛ 3 y − 8⎠⎟⎞ dx + 3dy = 0
⎝⎜ x

Respuesta: factor x. Solución: 3xy − 4x2 = c

2. ⎛ x + y⎞ dx − dy = 0
⎝⎜ x ⎟⎠
Respuesta: factor 1 . Solución: y = x2 + cx
x

3. ⎛ 5y − 24 x 2 ⎞ dx + 5dy = 0
⎜⎝ x ⎟⎠

Respuesta: factor x. Solución: 5xy − 6x4 = c

4. dy − y = e2x
dx
Respuesta: factor e−x. Solución: y = e2x + cex

5. dy + y = e2x
dx
Respuesta: factor ex . Solución: y = 1 e2x + ce− x
3
y′ + 3x2 y = x2
6. Respuesta: factor ex3. Solución: y = 1 + ce− x3

3

7. y′ + (cos x)y = cos x

Respuesta: factor esenx . Solución: y = 1 + ce−senx

8. y′ − y = x4
x
Respuesta: factor 1 Solución: y= x5 + cx
.
x4
9. xy′ − 2y = 3x2 + 2x
1
Respuesta: factor x2 . Solución: y = 3x2 ln x − 2x + cx2

10. xy′ + 4 y = 9x5 + 2x3
Respuesta: factor x4 . Solución: y = x5 + 2 x3 + cx−4
7
11. xy′ − 3y = 5x5 + x2
1 y = 5 x5 − x2 + cx3
Respuesta: factor x3 . Solución: 2

12. xy′ + 4 y = x−3ex

Respuesta: factor x3 . Solución: x4 y = ex + c

13. xy′ − 3y = x4sen x 1
x3 .
Respuesta: factor Solución: y = x3 (− cos x + c)

80 Capítulo 2 Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden

14. xy′ − 5y = x6 sec2 x

Respuesta: factor 1 Solución: y = x5 tan x + cx5
x5 .
15. x2 y′ + 2xy = 3e3x

Respuesta: factor x2. Solución: 3x2 y = e3x + c

Resolver por el método de variación de parámetros o por la fórmula general.

16. y′ − 2y = −6, u = 3e−2x + c . Solución: y = 3 + ce2x

17. y′ − 2y = x, u = e −2 x ⎛ − x − 1⎞ +c . Solución: y = − x − 1 + ce2x
⎜⎝ 2 4 ⎟⎠ 24

18. y′ − xy = x2ex2 2 , u = x3 + c . Solución: y = x2 ⎛ x3 + ⎞
3 ⎜⎝ 3 c⎠⎟
e2

19. xy′ − 2x2 y = ex2, u = ln x + c . Solución: y = ex2 (ln x + c)

( )20. y′ + (cos x) y = sec2 x e−senx, u = tan x + c . Solución: y = (tan x + c)e−senx

21. y′ − (sen hx) y = xecoshx, u = x2 + c . Solución: y = ecosh x ⎛ x2 + ⎞
⎜⎝ 2 c⎟⎠
2
1 1
22. y′ − 1+ x2 y = 1+ x2. Solución: y = cetan−1 x − 1

23. y′ + (ln x ) y = ln x. Solución: y = 1 + cex(1−lnx)

( )24. y′ + 1 + 3x2 y = 3 + 9x2. Solución: y = 3 + cex(−1−x2)

25. y′ + (sec x) y = cos x. Solución: y = x − cos x + c
sec x + tan x

Resolver las siguientes ecuaciones para las condiciones iniciales dadas y
usando dos métodos (como comprobación uno del otro).

26. y′ + y = e−x para y(0) = − 1
4
⎛ 1⎞
Respuesta: y = e− x ⎜⎝ x − 4 ⎠⎟

27. y′ − (tan x) y = x sec x para y(0) = ␲
para y(0) = 4
Respuesta: y = sec x ⎛ x2 + ␲ ⎞
⎝⎜ 2 ⎟⎠

28. y′ + 1 y = 3
1− x2 1− x2

Respuesta: y = 3 + e−sen−1x

29. y′ + 1 y = etan−1 x para y(0) = 0
1+ x2

Respuesta: y = xe− tan−1 x

Ecuaciones diferenciales lineales 81

30. y′ + (sec x tan x) y = sen x para y(0) = 6
cos2 x

Respuesta: y = 1 + 5e1−secx

En los siguientes ejercicios elegir la opción correcta.

31. Dada la ecuación diferencial de primer orden: yy′ − x2 = xex

a. Es lineal en y porque y y y′ son de primer grado.

b. Es lineal en y porque cada coeficiente depende solamente de x.

c. No es lineal en y porque y no está elevada al exponente 1, sino al

exponente −1.

d. No es lineal en x porque es lineal en y.

32. Sea la ecuación diferencial lineal: y′ + 1 y = 1; el factor integrante
1− x2
que le convierte en exacta es:

a. e−sen−1x

b. esen−1x
c. esen−1y

d. e−sen−1y

33. Dada la ecuación y′ − 8y = 888x8, el factor integrante que la convierte
x
en exacta es:

a. x8
b. x−8
c. No necesita factor integrante porque ya es exacta.
d. No necesita factor integrante porque puede resolverse por la fórmula

general de las lineales.

34. Sea la ecuación diferencial y′ − (tan x) y = x ¿qué forma tiene u(x) para

que y = uv sea solución de esta ecuación?

a. u = ∫ x x dx
cos

b. u = ∫ x cos xdx

c. u = 1
cos x

d. u = x

35. Sea la ecuación diferencial y′ − (ln x) y = 1 ¿qué forma tiene v(x) para

que y = uv sea solución de esta ecuación?

a. v = ex(1−ln x)
ex
∫b. v = ex ln x dx

c. v = ex(ln x−1)

∫d. v = ex ln x−x
ex dx

82 Capítulo 2 Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden

36. Sea la ecuación diferencial xy′ − 2x2 y = ex2 (vea ejercicio 19) ¿qué fun-
ción u(x) es la que debemos tomar para hallar la solución por el método
de variación de parámetros?
a. u = ex2
b. u = −2x
c. u = ln x
d. u = ln x + c

37. Las condiciones de linealidad en x son:

a. y y sus derivadas son de primer grado.
Las funciones forman una combinación lineal.

b. Los coeficientes son funciones de x solamente.
y y sus derivadas son de primer grado.

c. La ecuación debe ser de primer orden.
Los coeficientes son funciones de x solamente.

d. Las funciones forman una combinación lineal.
La ecuación debe ser de primer orden.

38. Dada la ecuación x2 y′ + 2xy = ex, encontrar la opción que contiene un

paso intermedio de la solución, usando la fórmula general.

( )∫a. y = x−2 exdx + c

x −2 ⎛ ex ⎞
∫b.y= ⎝⎜ x2 dx + c⎟⎠

y∫c.= x2 ⎛ x −2 ex dx + c⎞⎠⎟
⎜⎝ x2

d. y = e− ∫ f (x)dx

39. Sea la ecuación lineal xy′ − y = x2 sec2 x, encontrar la opción que contie-

ne un paso intermedio de la solución, usando la fórmula general.

( )∫a. y = x−1 x2 sec2 xdx + c

b. y = x−1 tan x

( )c. y = x ∫ sec2 xdx + c
( )∫d. y = x x2 sec2 xdx + c

40. Dada la ecuación lineal xy′ + y = cos x, ¿qué opción contiene la solución
general?

a. y = x−1 ( x sen x + cos x + c)

b. y = sen x + c
c. y = x−1 + c

d. y = x−1 (sen x + c)

Ecuaciones diferenciales lineales 83

Respuestas:
31. c. La ecuación debe tener la forma y′ + f (x)y = r(x) despejando y′ se

tiene:

y′ − x2 = xex ⇒
yy

a es falsa porque el grado de y es −1. b es falsa porque −x2 y xex
coeficientes de y−1 , no de y. d es falsa porque si tomamos el recíproco:

dx = xe x y x2
dy +

tampoco cumple la linealidad en y.
32. b. La forma del factor integrante es (para las lineales en x) F(x) = e∫ f (x)dx .

Por eso no pueden ser ni a, ni c, ni d.

33. b. La a está mal porque la integral es positiva (ver ejercicio anterior).

La c sugiere que es exacta, lo cual es falso, como puede comprobarse

por el teorema de las exactas. La d no está del todo bien, puesto que

la solución general siempre involucra a dicho factor, aunque obvia-

mente puede resolverse la ecuación sin obtenerlo en primer lugar.

34. b. Porque u = ∫ r(x) dx = ∫ x dx
v(x) 1

cos x
En a no se considera el cociente correcto. En c se toma, en realidad,

la función u con la forma de la función v. En d, se toma r(x) nada

más en lugar de la integral antedicha.

35. c. En a se tomó mal el signo. En b aparece la forma de la función u(x).
En d todos los conceptos están revueltos.

36. d. En a se toma v(x) en lugar de u(x). En b se toma f (x) en lugar de
u(x). La opción c tiene la función correcta, pero le falta la constante
de integración para que aparezca como solución general al multipli-
car por v(x).

37. b. a y c presentan, cada una, una condición correcta. d no responde a la
definición.

− ∫ 2 dx ⎡ ∫ 2 dx ex ⎤
x ⎢ x x2 c⎥. Automáticamente
∫38. a. y = e e dx + no cumplen b, c y d.
⎦
⎣

− ∫ − dx ⎡ e∫ − dx sec2 ⎤
x ⎢ x c ⎥.
∫39. c. y = e x xdx + Por eso no cumplen a, b y d.

⎣⎦
40. d. La opción a toma como r(x) = x cos x; en vez de cos x . La opción b
x
contiene a la función u(x) por el método de variación de parámetros,

pero no es solución. La opción c muestra a la función r(x) del mis-

mo método.

84 Capítulo 2 Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden

Resumen

Variables separables

f (x)dx + g(y)dy = 0

Método de solución: integración directa.

Homogéneas
y′ + g(u) = 0, donde u = f (x, y).
Método de solución: sustitución apropiada.
Muy usual: y = vx.

Exactas
M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0.
Definición: ∂F(x, y) = M, ∂F(x, y) = N

∂x ∂y
Teorema: es exacta si ∂M = ∂N

∂y ∂x
Método de solución:

1. Tomar fx = M o fy = N
2. Integrar en x o integrar en y.
3. Derivar con respecto a y o con respecto a x.
4. Igualar el resultado a N o igualar a M.
5. Integrar.

Factores integrantes
F(x, y) es factor integrante si FMdx + FNdy = 0 es exacta. Si el factor es función de x:
→ F(x) = e∫ p(x)dx donde p(x) = My − Nx

N
Si el factor es función de y:
→ F(y) = e∫ p(y)dy donde p(y) = Nx − My

M
Si el factor es función de x y y, se obtiene por inspección, por tanteo o por métodos que
no se van a considerar en este curso.
Método de solución: Multiplicada la ecuación por el factor integrante, se resuelve por
exactas o por variables separables según el caso.

Lineales
Condiciones de linealidad:
1. La variable y y todas sus derivadas son de primer grado.
2. Cada coeficiente depende solamente de x (o constante).