Ecuaciones Diferenciale

Traslación sobre el eje s 345

f(t)

t
Figura 7-2.

Esta condición significa que la función f (t) está acotada por exponenciales.

Meat

f (t)

−Meat
Figura 7-3.

EJEMPLO 1
Determinar si f (t) = t3 es de orden exponencial α.
Hay que determinar si existe α de tal manera que:

t3 ≤ Me␣t
− Me␣t ≤ t3 ≤ Me␣t
Tomando t3 ≤ Me␣t, si a partir de un valor de α, la expresión t3Me−␣t de-
crece y se acerca a cero, a medida que α tiende a infinito, entonces, t3 será
de orden exponencial α (similarmente la otra desigualdad).

346 Capítulo 7 Transformadas de Laplace

→ lím t3Me−␣t = 0
t→∞

∴t3 es de orden exponencial α para ␣ > 0.

EJEMPLO 2

Determinar si f (t) = e−2t es de orden exponencial α.
Como en el ejemplo anterior:

→ lím e−2t Me−␣t = lím M =0
t→∞ e(␣+ 2)t
t→∞

∴e−2t es de orden exponencial α, si ␣ > −2.

Existencia de la transformada

Teorema 3

Existencia de la transformada. Sea f (t) de orden exponencial α en t ≥ 0. Sea f (t)
seccionalmente continua en t ≥ 0.

→ £{ f (t)} existe para s > ␣.

Demostración:
Para cualquier entero positivo n, tenemos:

∫ ∫ ∫e∞ −st f (t)dt = n e−st f (t)dt + en −st f (t)dt 0
00

I1 I2

Como f (t) es seccionalmente continua en cada intervalo finito 0 ≤ t ≤ n, la inte-

gral I1, existe. Para la integral I2 se cumple que:

∫I2 ≤ ∞ e−st f (t) dt

n

∫≤ e∞ −st f (t) dt
n

Como f (t) es de orden exponencial α, existen M, α tales que: f (t) ≤ Me␣t .

∫ ∫∴ e∞ −st f (t) dt ≤ ∞ e−st Me␣tdt
nn

∫= M ∞ −( s−a)t dt

e
n

= M ) e−(s−a)t ∞
n
−(s − ␣

= M e−(s−a)n , para s > ␣
s−␣

Existencia de la transformada 347

EJEMPLO 1
{ }Dado que: £−1
1 = ta hallar: £−1 ⎧ 1 ⎫
s a+1 ⎨ s5 2 ⎬
⌫(a + 1), ⎩ ⎭

Sea: a +1 = 5 → a = 3
.
22

{ }Entonces, £−1 1 = t3 2 = t3 2 .
s5 2 ⌫( 5 ) 1.3293
2

EJERCICIOS 7.1

Usaremos los siguientes resultados ya obtenidos:

£{c} = c
s

{ }£ tn = n! , n = 1, 2, 3, ...
sn+1

{ }£ eat = 1
s−a

£ {sen ␻t} = s2 ␻
+ ␻2

£ {cos ␻t } = s2 s
+ ␻2

£{senh at} = s2 a a2
+

£{cosh at} = s2 s a2
−

{ }£ eat f (t) = F(s − a)

Encontrar la transformada de Laplace en las siguientes funciones:

Respuestas:

1. f (t) = t6 720
2. f (t) = et 5
3. f (t) = 4e−3t s
4. f (t) = et−2 5

5. f (t) = 6 − t2 5s − 1
4

s+3
1

e2 (s − 1)

6s2 − 2
s3

348 Capítulo 7 Transformadas de Laplace

6. f (t) = t4 − 3t2 + 9 24 − 6s2 + 9s4
s5

En los siguientes ejercicios usar la definición para obtener la transformada de
Laplace de las siguientes funciones:

Respuestas:

7. f (t) = 1 − 2t3 1 − 12
s s4

8. f (t) = t − 8 + et −7s2 + 9s − 1
⎧−1,0 < t < 2
s2 (s − 1)
9. f (t) = ⎪⎨0,2 ≤ t < 4
⎩⎪1, t ≥ 4 ( )1 e−2s + e−4s − 1

s

10. f (t) = ⎧1, 0 <t<3 ( )1 1 + 2e−3s + 1 e−3s
⎨⎩t, t≥3 s2
s

11. f (t) = ⎧3t , 0 < t < 1 3⎝⎛⎜ − 1 e−s − 1 e−s + 1 ⎞
⎩⎨0, t ≥ 1 s s2 s2 ⎠⎟

12. f (t) = tet 1

(s − 1)2

13. f (t) = et cos t s −1

14. f (t) = t cos t (s − 1)2 + 1

15. f (t) = t senh t s2 −1

16. f (t) = cosh at ( )s2 + 1 2

2s

( )s2 − 1 2

s
s2 − a2

17. f (t) = t cosh 2t s2 + 4

18. f (t) = e−t cos t ( )s2 − 4 2

19. f (t) = t2e−3t s +1

( )s2 + 1 2 + 1

2

(s + 3)3

Existencia de la transformada 349

Usar las fórmulas para encontrar la transformada de Laplace de las siguientes
funciones:

Respuestas:

20. f (t) = (t − 2)2 2 − 4 +4
s3 s2 s
21. f (t) = te−2t
1

(s + 2)2

22. f (t) = t6 − 2t 720 − 2
s7 s2
23. f (t) = et (t + 3)
3s − 2
24. f (t) = 4e5t − 3sen 4t
(s − 1)2

4 − 12
s − 5 s2 + 16

25. f (t) = 6t3 + 2cos9t 36 + 2s
s4 s2 + 81

26. f (t) = e−2tsen 4t 4
27. f (t) = e4t cosh 5t
28. f (t) = e−2t cos 2t (s + 2)2 + 16
29. f (t) = etsenh3t
30. f (t) = cos 2t + sen3t s−4

(s − 4)2 − 25

s+2

(s + 2)2 + 4

3

(s − 1)2 − 9

s+3
s2 + 4 s2 + 9

31. f (t) = 3sen 4t + e−2t 12 + s 1 2
s2 + 16 +

32. f (t) = sen t cos t 1
s2 + 4

33. f (t) = sen2t 2
34. f (t) = cos2 t
)(s s2 + 4

s2 + 2

)(s s2 + 4

350 Capítulo 7 Transformadas de Laplace

35. f (t) = sen3t 6

(s2 +1)(s2 + 9)

Sugerencia ⎧sen3t = sen t sen2t
⎨
⎩sen t = sen ( 2t − t )

36. f (t) = sen t cos 2t 1 ⎛ s2 3 9 − 1 ⎞
2 ⎝⎜ + s2 + 1⎟⎠

37. f (t) = (sen t − cos t)2 s2 − 2s + 4

)(s s2 + 4

38. f (t) = (t + 2)2 et 4s2 − 4s + 2

(s − 1)3

39. f (t) = cos t cos 2t 1 ⎛ s2 s 1 + s2 s ⎞
2 ⎜⎝ + + 9 ⎟⎠

40. f (t) = e−tsen2t 2

)((s + 1) s2 + 2s + 5

{ }41. Probar que £ t␣ = ⌫(␣ + 1) , ␣ > −1

s ␣+1

{ }42. Probar que £ 1 = ␲ Sugerencia: usar el resultado anterior.

t2 3

2s 2

{ }43. Probar que £ t − 1 = ␲ , s > 0.
2

s

{ }44. Probar que £ 3 =3 ␲
5.
t2

4s 2

En los siguientes problemas, encontrar f(t) dada su transformada de Laplace

F(s), donde f (t) = £−1 {F(s)}.

45. F(s) = 1 Respuestas:
s2 f (t) = t

46. F(s) = 2 f (t) = t2
s3 f (t) = 1 t3

47. F(s) = 1 6
s4 f (t) = t − e−t

48. F(s) = 1 − s 1
s2 +1

Existencia de la transformada 351

(s + 2)2 f (t) = 1+ 4t + 2t2

49. F(s) = f (t) = 1 − 12t + 27t2 − 18t3 + 27 t4
s3 8

(s − 3)4 f (t) = 1 − 3t + 3 t2 − 1 t3
26
50. F(s) =
s5 f (t) = t2 − 1+ e4t

(s − 1)3

51. F(s) = s4

52. F(s) = 2 − 1 + s 1 4
s3 s −

53. F(s) = 1 + 6 + s 1 9 f (t) = 1 t2 + 6 + e−9t
s3 s + 2

54. F(s) = 1 + 1 − 24 f (t) = e2t + e−3t − 12t2
s − 2 s + 3 s3

55. F(s) = 1 f (t) = 1 2t
3s − 2
3 e3

56. F(s) = 1 f (t) = 1 −7 t
4s + 7
4 e4

57. F(s) = 1 + 3 f (t) = 1 e t + 3t
2s − 1 s2 2

2

58. F (s) = 3( 1 1) + 1 1) f (t) = 1 et + 1 e−t
s− 33
3(s +

59. F (s) = 1 + 1 f (t) = 1 e t + 1 et
4s − s− 4
( 1)
1 4 44

60. F(s) = 2s f (t) = cos 2 t
2s2 + 1 2

61. F(s) = 1 f (t) = 1 sen 1 t
9s2 + 1 33

62. F(s) = s f (t) = 1 cos 2 t
6s2 + 4 66

63. F(s) = 1 −1 f (t) = 1 senh t
25s2 55

64. F(s) = 4s f (t) = cosh 1 t
4s2 −1 2

65. F(s) = 3s − 2 f (t) = 3cos 2t − sen 2t
s2 + 4

66. F(s) = s+4 f (t) = cos 3t + 4 3 sen 3t
s2 + 3 3

352 Capítulo 7 Transformadas de Laplace

67. F(s) = 7s − 4 f (t) = 7cos3t − 4 sen3t
s2 + 9 3

68. F(s) = 1 f (t) = 2 t
␲
3
s2 1

69. Probar que la función no tiene transformada de Laplace.
70. Probar que ⌫(0) = ∞. t2

Elegir la opción que contiene la transformada de Laplace de las siguientes
funciones:

71. f (t) = cos3t − senh3t 72. f (t) = cos2 2t

a. s2 s 9 − s2 3 9 a. 1 + s2 s 16
+ − s +

b. s2 s 9 − s2 3 9 b. 1 + s2 s 4
− + s +

c. 3 − s ( )c. s2 + 2
s2 + 9 s2 − 9 s s2 + 4

d. s−s ( )d. s2 + 8
s2 + 9 s2 − 9 s s2 + 16

73. f (t) = cosh2 t − senh2t 74. f (t) = (sen t + cos t)2

1 ⎡ 1 2 1 ⎤ ⎛ 1 s ⎞ 2
4 ⎣⎢ s − s + ⎥⎦ ⎜⎝ s2 + + 1⎠⎟
a. 2 + + s 2 a. 1 + s2

b. 1 ⎡ 1 2 − 2 + s 1 2 ⎤ 2
4 ⎢⎣ s − s + ⎦⎥ b. s2 + 4

c. 1 ( )c. s2 + 2s + 4
s s s2 + 4

d. 1 s2 + 2
4s
( )d.
s s2 + 4

( )75. f (t) = 1 + e−t et 76. f (t) = e−2t (3cos6t − 5sen6t)

a. 2s +1 a. 3s − 24
s2 + 4s + 40
s(s +1) −30

b. 2s −1 b. s2 + 4s + 40
8 − 5s
s(s −1)
c. s2 + 4s + 40
c. 2s + 1 d. 3s + 2
s +1
s2 + 4s + 40
d. 2s − 1
s −1

Existencia de la transformada 353

Elegir la opción que contiene la función f(t) que se obtiene aplicando

£1 {F(s)} 1la transformada inversa de F(s)2.

77. F(s)= 1 + 1 − 3 78. £1 ⎪⎧ 1 1 + 3( 2 1) ⎪⎫
s s2 s−2 ⎨ 3s − s− ⎬
⎪⎩ ⎪⎭

a. f (t) = t2 + t3 − 3e2t a. f (t) = 1e t + 2 et
3

33

b. f (t) = t2 + t3 − 3e−2t b. f (t) = 1e t + 2e t
3 3

33

c. f (t) = 1 + t − 3e−2t c. f (t) = 1 et + 2 e t
3

33

d. f (t) = 1 + t − 3e2t d. f (t) = 1 et + 2 et
33

79. £1 ⎧ s2 s +8 8 ⎫ 80. £1 ⎧ s 2 s +1 ⎫
⎨ + 4s + ⎬ ⎨ +s+ ⎬
⎩ ⎭ ⎩ 1 ⎭

a. f (t) = (sen 2t + 3cos 2t)e−2t a. e − t 2 ⎡ 3t+ 1 3 t ⎤
⎢sen 2 cos 2 ⎥
⎣ ⎦
3

b. f (t) = (cos 2t + 3sen 2t)e−2t b. e−t [cos t + sen t]

c. f (t) = cos8te−2t c. e − t 2 ⎡ 3t+ 1 3 t ⎤
d. f (t) = cos 4te−2t ⎢cos 2 sen 2 ⎥
⎣ ⎦
3

d. e−t ⎢⎣⎡sen 1 t + cos 1 t ⎤
2 2 ⎦⎥

Respuestas:

71. a. La respuesta b corresponde a f (t) = cosh3t − sen3t. La opción c co-

rresponde a f (t) = sen3t − cosh3t. La opción d corresponde a f(t) =

cos3t − cosh3t.

72. d. Como cos2 2t = 1 (1 + cos 4t) , el error de la opción a es haber tomado
2 f (t) = 1 (1+ cos2t).
f (t) = 1 + cos 4t, el error de la b es haber tomado 2

73. c. Debido a que cosh2 t − senh2t = 1 las opciones a y b contemplan sólo
{ } { }£ cosh2 t y £ senh2t . La opción d contiene un factor equivocado.

74. c. La opción a aplicó directamente la transformada dentro del parénte-

sis, en vez de desarrollar el cuadrado. La opción b presenta la trans-
formada de sen 2t únicamente. La opción d la de cos2 t solamente.

75. b. La opción a representa la transformada de 1 + e−t . Las opciones c y d
olvidan misteriosamente la transformada de f (t) = 1.

76. a. La opción b contiene la transformada de f (t) = −5e−2tsen6t. La op-
ción c la de f (t) = 3e−2tsen 6t − 5e−2t cos6t (que no es la que se pide).
La opción d la de f (t) = 3e−2t cos6t.

354 Capítulo 7 Transformadas de Laplace

77. d. La opción a tiene equivocados los dos primeros términos. La opción

78. a. b supone que F(s)= 1 +1− 3 . (s) = 1 1) + 2 1) o F(s) =
s s2 s + 2 F
3(s − 3(s −
Los errores provienen de tomar la
1 + 2.
3s − 1 3s − 1

79. b. La opción a tiene intercambiadas las fórmulas. Las opciones c y d no

acomodan la fracción correctamente y por eso falta la función sen 2t.

80. c.

Propiedades de la transformada
de Laplace

Algunas integrales se complican mucho o se invierte demasiado tiempo en ellas,

{ }aunque sean sencillas; por ejemplo: £ t4etsen t ; de ahí la necesidad de usar

teoremas que faciliten las operaciones.

Teorema 4

Transformada de la derivada de una función.

Si £{ f (t)} = F(s) → £{ f ′(t)} = sF(s) − f (0)
∞

∫Demostración: £{ f ′(t)} = e−st f ′(t)dt
0

u = e−st , dv = f ′(t)dt

du = −se−stdt, v = f (t).

∫→ f (t) ∞ + s ∞ f (t)dt
est 0
e − st

0

= − f (0) + s£{ f (t)}

= sF(s) − f (0)

Procediendo de la misma manera, obtenemos:

£{ f ″(t)} = s2F(s) − s f (0) − f ′(0)
£{ f ′″(t)} = s3F(s) − s2 f (0) − sf ′(0) − f ″(0), etcétera.

Generalizando:

{ }£ f (n) (t) = snF(s) − sn−1 f (0) − sn−2 f ′(0) − sn−3 f ″(0) − ... − f (n−1) (0).

Esta igualdad se cumple siempre que f , f ′, f ″, , f (n) sean continuas en t ≥ 0 y
de orden exponencial ␣ y, además, f (n) sea seccionalmente continua en t > 0 .

Propiedades de la transformada de Laplace 355

EJEMPLO 1

Usar este teorema para demostrar que:

£{t} = 1 .
s2

Sea: f (t) = t → f ′(t) = 1 y f (0) = 0

→ £{1} = sF(s) − f (0) = s£{t} − f (0) = s£{t} − 0

Despejando: £{t} = 1 £{1} 1 1 1
s s s s2

= ؒ =

EJEMPLO 2

Dada: £{sen t} = 1 , usar el teorema de la transformada de la derivada
1
s2 +

para obtener £{cost}.

Sea f (t) = cos t

→ f ′(t) = −sen t y f (0) = 1

£{−sen t} = s£{cost} − f (0)

1− £{sen t} = s£{cost}

£{cost} = 1− £{sen t}

s

= 1 ⎛⎝⎜1 − 1 ⎞
s s2 + 1⎠⎟

= 1 ؒ s2 +1−1
s s2 +1

= s.
s2 +1

EJEMPLO 3

Demostrar que: £{senh at} = s2 a , mediante el teorema de la transfor-
− a2
mada de la derivada.

Sea f (t) = senh at, f (0) = 0,

f ′(t) = a cosh at, f ′(0) = a,

f ″(t) = a2senh at.

£{ f ″} = s2 £{senh at} − 0 − a

356 Capítulo 7 Transformadas de Laplace

a = (s2 − a2 )£{senh at}

£{senh at} = s2 a a2
−

EJEMPLO 4
Hallar: £{t cos␻t}.
Sean f (t) = t cos␻t, f (0) = 0

f ′(t) = −␻t sen␻t + cos␻t, f ′(0) = 1

f ″(t) = −␻2 cos t␻t − 2␻ sen␻t,

→ £{ f ″} = s2 £{ f (t)} − s f (0) − f ′(0)
→ £{−␻t sen␻t + cos␻t} = s2 £{t cos ␼t} − 0 − 1

−2␻£{sen␻t} = (s2 + ␻2 )£{t cos␻t} − 1

( )−2␻ ␻ £{t cos␻t}
s2 + ␻2 +1= s2 + ␻2

(( ))£{t cos␻t} =
s2 + ␻2
s2 + ␻2 2 .

EJEMPLO 5

Resolver la siguiente ecuación diferencial con condiciones iniciales.

y″ − 3 y′ − y = 0 y(0) = 0, y′(0) = 5
2 2

£{y″} − 3 £{y′} − £{y} = £{0}

2

s2 £{y} − sy(0) − y′(0) − 3 [s£{y} − y(0)] − £{y} = 0
2

{ }£{y} s2 − 3 s − 1 = sy(0) − y′(0) − 3 y(0) = 5
2 22

⎧⎫
⎪ ⎪
£{y} = 52 → £−1 ⎨ 52 ⎬ = y
− 3s ⎪s2 − 3s −1⎪
s2 −1
2 ⎩2⎭

NOTA: Llamaremos £{y} = (s)

Propiedades de la transformada de Laplace 357

Aplicando el método de fracciones parciales:

52 1⎞ = s A + B → B =1
2⎠ −2 +1 A =1
(s − 2)⎝⎛ s + s
2

= 1− 1
s−2 s+1
2

⎧⎫
⎪ ⎪
∴ £−1 ⎨ 1 − 1 ⎬ = e2t − e−t 2
⎪ − + ⎪
s 2 s 1

⎩ 2⎭

∴ y = e2t − e−t 2

Teorema 5

Transformada de la integral de una función. Sea f(t) una función seccionalmente

continua en t ≥ 0 y de orden exponencial α, y si £{ f (t)} = F(s), entonces,

⎪⎧ 1 ⎫⎪ 1 1
⎨ ⎬ s s
∫£ f (␶)d ␶ = £{ f (t)} = F(s)
⎩⎪ 0 ⎭⎪

Demostración:

t

Sea G(t) = ∫ f (␶)d␶ ∫→ G′(t) = d t f (␶)d␶ = f (t)
0
0 dt 0

Además, G(0) = ∫ f (␶)d␶ = 0
Tomando transfor0mada de Laplace:

£{G′(t)} = s£{G(t)} − G(0)

= s£{G(t)}, de donde: £{G(t)} = 1 £{G′}

s

t e − st ⎛ t ⎞
∫ ∫=s 0 ⎝⎜ 0 f (␶)d␶⎟⎠ dt integrando por partes:

tt

∫ ∫u = f (␶)d␶ dv = e−stdt
0 0

du = f (t)dt v = −1 e−st
s

∫ ∫Tenemos:⎡ 1 e− st t ␶ ∞ + 1 ∞ e−st ⎤
s ⎢ − s 0 f (␶)d 0 s0 f (t)dt ⎥
⎣
⎦

358 Capítulo 7 Transformadas de Laplace

t

∫= e−st f (t)dt
0
= £{ f (t)}

Pero, £{G(t)} = 1 £{G′(t)} = F(s)

s → £{G′(t)} = F(s)

= 1 F(s)
s

EJEMPLO 6

Hallar f (t) mediante e teorema de la transformada de la integral, si

F(s) = 1
( )s s2 − 1
{ }Sabemos que £−1 1
s2 −1 = senh t , entonces,

⎧⎪ 1 ⎪⎫ t t
⎨ s2 −1 ⎬ 0 0
( ) ∫£−1⎩⎪ s = senh ␶d␶ = cosh ␶ = cosh t −1

⎭⎪

∴ f (t) = cosh t − 1

EJEMPLO 7

20

(s − 2
{ })Dada F(s) = s2 transformada de
t,
integral de una
hallar f (t) usando el teorema de la la
20 = 20e2
función. Sabemos que £−1 s−2

£−1 ⎧ 20 ⎫ t 20e 2 ␶ d ␶ = 10e2␶ t 10e2␶
∫→ ⎨ ⎬ = 0 0 = − 10
⎩ s ( s − 2) ⎭

∫( )Y ⎧ 20 ⎫ t
£ −1 ⎨ ⎬ = 0 10e2␶ − 10 d␶
⎩ (s − ⎭
s 2 2 )

= 5e2␶ − 10␶ t
0

= 5e2␶ − 10␶ − 5 ,

∫( )Y £−1 ⎧ 20 ⎫ t
→ ⎨ s3 2) ⎬ = 0 5e2␶ − 10␶ − 5 d␶
⎩ (s − ⎭

Propiedades de la transformada de Laplace 359

= 5 e2␶ − 5␶2 − 5␶ t
2 0

= 5 e2␶ − 5␶2 − 5␶ − 5
22

F(t) = 5⎛⎝⎜ 1 e2␶ − ␶2 −␶− 1 ⎟⎞⎠
2 2

Como se puede comprobar, aplicando la transformada y reduciendo a común
denominador, se observa que el teorema puede aplicarse sucesivamente.

EJERCICIOS 7.2

Usar el teorema de la transformada de la derivada de una función para encon-
trar F(s), dada f (t):

Respuestas:

1. t sen3t 6s

( )s2 + 9 2

2. t cosh t s2 +1

( )s2 − 1 2

3. t senh 2t 4s

( )s2 − 4 2

4. t2sen t 6s2 − 2

( )s2 + 1 3

5. t2 cos3t 2s3 − 54s

6. t2senh t ( )s2 + 9 3

6s2 + 2

( )s2 − 1 3

7. Sea f (t) = ⎧3t 0≤t ≤1
⎨⎩t t >1

a. Hallar £{ f (t)}

b. Hallar £{ f ′(t)}

c. ¿Se cumple £{ f ′} = s£{ f } − f (0) en este caso?

Dar las razones.

Respuestas: a. 3 − e− s ⎛ 2 + 2 ⎞ b. 3 − 2 e−s
s2 ⎝⎜ s s2 ⎠⎟ ss

360 Capítulo 7 Transformadas de Laplace

8. Sea ⎧t2 0≤t ≤1
f (t) = ⎨
⎩0 resto

a. Hallar £{ f (t)}

b. Hallar £{ f ″}

c. Justificar £{ f ″} ≠ s2 £{ f } − sf (0) − f ′(0)

Respuestas: a. e − s ⎛ − 1 − 2 − 2⎞ + 2 , b. 2
⎜⎝ s s2 s3 ⎠⎟ s3 s

Usar el teorema de la transformada de la integral de una función para encon-
trar f (t), dada F(s):

9. £ −1 ⎧ 1 ⎫ ( )1 e4t − 1
⎨ s− ⎬
⎩ s ( 4 ) ⎭ 4

10. £ −1 ⎧ 1 ⎫ ( )1 e−3t + 3t − 1
⎨ s+ ⎬
⎩ s 2 ( 3) ⎭ 9

−1 ⎪⎧ 1 ⎫⎪ 1 (1− cos4t)
⎨ s2 + 16 ⎬
( )11.£ ⎪⎩ s ⎭⎪ 16

−1 ⎪⎧ s−2 ⎪⎫ 1 (sen 2t − cos 2t + 1) − t
⎨ s2 + 4 ⎬
( )12.£ ⎩⎪ s 2 ⎭⎪ 42
3 − t − 3e−t
13. £ −1 ⎧ 2s −1 ⎫
⎨ ⎬
⎩ s 2 (s + 1) ⎭

14. £ −1 ⎧ 7 ⎫ 7 ⎛ e t − t2 − t − ⎞
⎨ s− ⎬ ⎝⎜ 2 1⎟⎠
⎩ s 3 ( 1) ⎭

−1 ⎪⎧ 3 ⎫⎪ 1 senh3t − 1 t
⎨ s2 − 9 ⎬ 93
( )15.£ ⎪⎩ s 2 ⎭⎪

−1 ⎪⎧ s+4 ⎫⎪ 1 (1− cos4t − sen 4t) + t
⎨ s2 + 16 ⎬
( )16.£ ⎪⎩ s 2 ⎭⎪ 16 4

17. £ −1 ⎧ s −a ⎫ 2 e − at − t2 + 2t − 2
⎨ s+a ⎬ a2 2 a a2
⎩ s 3 ( ) ⎭

Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales, con valor inicial, usando la

transformada de Laplace:

Respuestas:

18. y′ + y = 0, y(0) = 1 y = e−x

19. y″ + 4y = 2, y(0) = 0 y = 1 (1− cos2x)
y′(0) = 0 2

Propiedades de la transformada de Laplace 361

20. y″ − 9y = 0, y(0) = 1 y = cosh3x
y′(0) = 0
( )y = 1 e2x − 1 − x
21. y′ − 2y = x, y(0) = 0 42
y = 3 cos 4x + 1
22. y″ + 16y = 4, y(0) = 1
y′(0) = 0 44

En los siguientes ejercicios, elegir la opción correcta. Con el teorema de la
transformada de la derivada, hallar F(s):

23. t2e2t 24. t sen5t
2 10s

a. (s − 2)3 ( )a. s2 + 25 2

2 10s
b. s2 + 25
b. (s − 2)2

1 s

c. (s − 2)3 ( )c. s2 + 25 2

d. 1 s
d. s2 + 25
(s − 2)3

25. t2sen2t
2s3 − 24s

( )a. s2 + 4 3

4s

( )b. s2 + 4 2

( )c.2 − 2s3 − 24s
s3 s2 +
3

4

( )d. 1 − s3 − 12s
s3 s2 + 4 3

Usar el teorema de la transformada de la integral:

£ −1 ⎧ 1 ⎫ £−1 ⎪⎧ 3 ⎫⎪
⎨ s− ⎬ ⎨ s2 −1 ⎬
26. ⎩ s 2 ( 1) ⎭ ( )27.⎩⎪ s ⎭⎪

a. et − 1 a. 3(senh t − 1)

b. et + 1 − t b. 3cosh t
c. et + 1
c. 3(cosh t − 1)

d. et − 1 − t d. 3senh t

362 Capítulo 7 Transformadas de Laplace

£−1 ⎪⎧ s +1 ⎫⎪
⎨ s2 + 4 ⎬
( )28.⎩⎪ s2 ⎪⎭

a. 1 ⎛⎜⎝ t − 1 sen 2t ⎠⎞⎟
4 2

b. 1 (1− cos2t + t sen2t)

4

c. 1 (1 − cos 2t) + 1 t − 1 sen 2t

4 48

d. 1 (1− cos2t)
4

Resolver mediante transformada de Laplace.

29. y′ − y = 0, y(0) = ␲
a. ␲
s −1
b. ␲et
c. ␲
s +1
d. ␲e−t

30. y″ + 25y = 3, y(0) = 1, y′(0) = 5

a. cos5t + sen5t

b. 22 cos5t + sen5t + 3
25 25

c. 3 (1− cos5t)
25

d. cos5t − sen5t

Respuestas:

23. a. La opción b contiene la transformada de 2tet. La opción c la de te2t.
La d contiene la de 1 t2e2t .
2

24. a. La opción b contiene la transformada de 10 cos5t . La opción c la de
1 t sen5t. La opción d representa la de cos5t .
10

25. d. La opción a contiene la transformada de t2 cos 2t (paso intermedio de
la correcta solución). La opción b contiene la de t sen 2t (también es
un paso intermedio). La opción c la de t2 − t2 cos 2t (¿será también un

paso útil para llegar a la solución correcta?).

Resolución de ecuaciones diferenciales mediante la transformada de Laplace... 363

26. d. La opción a contiene la transformada inversa de s 1 1). La opción b

(s −
aplicó mal los límites de la integral. La opción c contiene los dos

errores anteriores.

27. c. La opción a equivocó las fórmulas. La opción b contiene la transfor-

mada inversa de 3 . La opción c los dos errores anteriores.
s2 −1
1
28. c. La opción a contiene la transformada inversa de solamente.
( )s2 s2 + 4
La opción b tiene un coeficiente equivocado. La opción d contiene la

1

( )de (la a y d son pasos intermedios).
s s2 + 4
29. b. La opción a representa la F(s) a la cual se le debe aplicar la transfor-
mada inversa. La opción c no aplicó correctamente el teorema de la
derivada de la transformada y además está incompleta. La opción d
contiene el error de la c aunque ya esté completa.

30. b. La opción a contiene una parte de la solución. La opción c represen-
ta la otra parte de la solución. La opción d supone que la ecuación es
y″ − 25y = 0, para y(0) = 1 y y′(0) = 5.

Resolución de ecuaciones diferenciales
mediante la transformada de Laplace
usando fracciones parciales

Método de fracciones parciales para encontrar la transformada inversa.

En otros ejercicios pueden aparecer otros factores en el denominador. Estudia-
remos:

1. Factores lineales no repetidos.
2. Factores complejos no repetidos.
3. Factores lineales repetidos.
4. Factores complejos repetidos.

Factores lineales no repetidos

Estudiaremos £ −1 ⎧ G(s) ⎫ donde G(s) = A + W (s), porque H(s) contiene un
⎨ H(s) ⎬ H(s) s−a
⎩ ⎭
factor (s − a) que por ser lineal tendrá como numerador una constante. W(s) re-

presenta las restantes fracciones parciales. Para determinar el valor de A, tene-

mos tres opciones:

a. Usando fracciones parciales (según se estudió en cálculo).

364 Capítulo 7 Transformadas de Laplace

b. Usando límites:

Como (s − a) ≠ 0 → (s − a) G(s) = A + (s − a)W (s)
H(s)

Sea Q(s) = (s − a) G(s)
H(s)
→ Q(s) = A + (s − a)W(s)

Tomando el límite cuando s → a, vemos que H(s) no se hace cero porque

contiene un factor (s − a) que se puede cancelar con el que está multipli-

cando; por tanto, existe el límite.

límQ(s) = lím A + lím(s − a)W (s)

s→a s→a s→a
cero

∴Q(a) = A,

y £−1 ⎧ G(s) ⎫ = Aeat + £−1 {W (s)}.
⎨ H(s) ⎬
⎩ ⎭

c. Usando derivadas (desarrollo de Heaviside).

Sea Q(s) = (s − a) G(s) que da A en el límite, como acabamos de ver,
H(s)

→ Q(s) = G(s)
H (s)
s−a

→ A = lím Q(s) = lím G(s)
H(s)
s→a s→a

s−a

lím G(s)
s→a
A=
H (s)
lím
s→a s − a

El límite cuando s → a produce una forma indeterminada que puede des-
truirse mediante la regla de L’Hôpital:

A= G(a) = G(a) .
lím H′(s) H ′(a)

s→a 1

EJEMPLO 1

Resolver la siguiente ecuación diferencial por medio de la transformada de
Laplace.

y″ − 2y′ − 3y = 4 para y(0) = 1, y′(0) = −1

Resolución de ecuaciones diferenciales mediante la transformada de Laplace... 365

£{y″ − 2y′ − 3y} = £{4}

s2Y (s) − sy(0) − y′(0) − 2sY (s) + 2y(0) − 3Y (s) = 4
s

4 + sy(0) + y′(0) − 2y(0)
Y (s) = s
s2 − 2s − 3

4 + s2 − s − 2s = s2 − 3s + 4
s s2 − 2s − 3
( )= s(s +1)(s − 3)

La solución de la ecuación por el método de las derivadas será:

y = £−1 ⎧ s2 − 3s + 4 ⎫ = Ae0t + Be − t + Ce3t
⎨ ⎬
⎩ s ( s + 1)(s − 3) ⎭

→ A = G(0) , B = G(−1) , C = G(3) .
H′(0) H′(−1) H′(3)

Además,

G(s) = s2 − 3s + 4
H(s) = s3 − 2s2 − 3s
H′(s) = 3s2 − 4s − 3

A = 4 , B = 8 = 2, C = 4 = 1
−3 4 12 3

∴ y = − 4 + 2e−t + 1 e3t .
33

Comprobando por el método de fracciones parciales.

s2 − 3s + 4 = A + B+ C
s s +1 s−3
s(s +1)(s − 3)

s2 − 3s + 4 = As2 − 2 As − 3A + Bs2 − 3Bs + Cs2 + Cs

A+B+C =1 ⎫ A=−4
−2A − 3B + C = −3⎪⎪⎬ 3
B=2

−3A = 4 ⎪ C = 1.
⎪⎭ 3

Comprobación por el método de límites.

A= s2 − 3s + 4 = 4
−3
(s + 1)(s − 3) s=0

366 Capítulo 7 Transformadas de Laplace

B= s2 − 3s + 4 = 8 =2
4
s(s − 3) s = −1

C= s2 − 3s + 4 =4 = 1
12 .
s(s + 1) s=3
3

EJEMPLO 2

Resolver y″ − 2y′ − 3y = et , y(0) = 2, y′(0) = 4.

s2Y (s) − sy(0) − y′(0) − 2sY (s) + 2y(0) − 3Y (s) = 1
s −1

Y (s) = (s 2s2 − 2s + 1 1)

−1)(s − 3)(s +

£−1 ⎧ 2s2 − 2s +1 ⎫ = Aet + Be3t + Ce − t
⎨ ⎬
⎩ s3 − 3s2 − s + 3 ⎭

G(s) = 2s2 − 2s + 1

H′(s) = 3s2 − 6s − 1
A = G(1) = − 1
H′(1) 4

B = G(3) = 13
H′(3) 8

C = G(−1) = 5
H′(−1) 8

∴ y = − 1 et + 13 e3t + 5 e−t .
48 8

Factores complejos no repetidos

Teníamos que £−1 ⎧ G(s) ⎫ = Aeat + £−1 {W (s)}
⎨ H(s) ⎬
⎩ ⎭

Cuando a es complejo, entonces,

a = ␣ + i␤ y a = ␣ − i␤

Si s − a es factor de H(s) también lo es s − a.
∴ G(s) = A + B + W (s)
H(s) s − a s − a

Resolución de ecuaciones diferenciales mediante la transformada de Laplace... 367

Donde los coeficientes de G y H son reales,

y y = £−1 ⎧ G(s) ⎫ = Aeat + Beat +£−1 {W (s)}
⎨ H (s) ⎬
⎩ ⎭

( )Como eat = e(␣+i␤)t = e␣tei␤t = e␣t cos␤t + i sen␤t

y eat = e␣t (cos␤t − i sen␤t)
→ y = Ae␣t (cos␤t + i sen␤t) + Be␣t (cos␤t − i sen␤t) + £−1 {W (s)}

= e␣t [( A + B)cos␤t + i( A − B)sen␤t] + £−1 {W (s)}.

Por el análisis del caso anterior teníamos:

A = Q(a) = Q(␣ + i␤) = Q1 + iQ2 , Q1, Q2 ∈ℜ

y B = Q(a) = Q(␣ − i␤) = Q1 − iQ2 , Q1, Q2 ∈ℜ

Sumando y restando las dos ecuaciones:
A + B = 2Q1

A − B = 2iQ2 → i( A − B) = −2Q2

Sustituyendo estas nuevas constantes:

y = e␣t (2Q1 cos␤t − 2Q2 sen␤t)

{ }∴£−1 A + B + W (s) =
s−a s−a

2e␣t (Q1 cos␤t − Q2 sen␤t) + £−1 {W (s)}.

EJEMPLO 1
Resolver: y″ − 2y′ + 2y = 0, y(0) = 0, y′(0) = 1.

s2Y (s) − sy(0) − y′(0) − 2sY (s) + 2y(0) + 2Y (s) = 0

Y (s) = sy(0) + y′(0) − 2y(0) = (s −1− 1 −1+ i)
s2 − 2s + 2
i)(s

Tomamos: Q(s) = 1 , entonces,
s −1+ i

368 Capítulo 7 Transformadas de Laplace

Q(1 + i) = 1+ i 1 = 1 ؒ i = − i → Q1 = 0, Q2 = −1,
−1+ i 2i i 2 2

Como s= 2± 4−8 = 2 ± 2i =1± i ⎧␣ =1
2 2 ⎨⎩␤ =1

( ( ) )y = 2et0− − 1
2 sen t

∴ y = etsen t.

EJEMPLO 2

Resolver: y″ + 4y′ + 5y = 1, y(0) = 0, y′(0) = 0.

s2Y (s) − sy(0) − y′(0) + 4sY (s) − 4y(0) + 5Y (s) = 1
s

1

1 1
s2 + 4s + 5
( )Y (s) = s = = s (s + 2 − i)(s + 2 + i)
s2 + 4s + 5 s

para s = −2 ± i, ␣ = −2, ␤ = 1

y Q(s) = s(s 1 + i) → Q(−2 + i) = (−2 + 1 i + 2 + i)
+2
i)(−2 +

=− 1 + 1i
10 5

para s = 0

Q(s) = (2 − 1 → Q(0) = 4 1 = 1
− i2 5
i)(2 + i)

∴ y = 1 + 2e−2t ⎛⎜⎝ − 1 cos t + 1 sen t ⎠⎟⎞ .
5 10 5

EJEMPLO 3

Resolver: y″ + 2y′ + 2y = 2cos 2t − sen2t

para y(0) = 0, y′(0) = 0

s2Y (s) − sy(0) − y′(0) + 2sY (s) − 2y(0) + 2Y (s) = 2s 4 − 2 4
s2 + s2 +

2s − 2

= s2 + 4 = 2s − 2
+ 2s + s2 + 4 s2 + 2s + 2
( )( )Y(s) s2 2

= (s − 2i )(s + 2s − 2 − i)(s + 1 + i )

2i)(s + 1

ambos factores tienen raíces complejas.

Resolución de ecuaciones diferenciales mediante la transformada de Laplace... 369

Para s2 + 4, s = ±2i, ␣ = 0, ␤ = 2,

Para s2 + 2s + 2, s = −1 ± i, ␣ = −1, ␤ = 1, tomaremos una Q(s) para cada raíz.

Para s = 2i:

Q(s) = (s + 2i )(s 2s − 2 s + 1 + i)
+1−
i)(

Q(2i) = 2(2i) − 2 1) = 4i − 2 = 4i − 2
4i(i + 1)(3i + −16 − 8i
(−2 + 4i)4i

= 2i − 1 ؒ −8 + 4i
−8 − 4i −8 + 4i

= −20i = − 1 i → Q1 = 0, Q2 = − 1 ,
80 4 4

para s = −1 + i

Q(s) = (s + 2i 2s −2 + 1 + i)

)(s − 2i)(s

Q(−1 + i) = 2(−1+ i) − 2 = −4 + 2i = −4 + 2i
(−1+ 3i)(−1− i)(2i) 4 + 8i
(4 − 2i)2i

= −2 + i 2 − 4i = 10i = 1i → Q1 = 0, Q2 = 1
2 + 4i 2 − 4i 20 2 2

y = 2eot ⎝⎜⎛ 0 cos 2t + 1 sen 2t ⎟⎞⎠ + 2e − t ⎛⎝⎜ 0 cos t − 1 sen t ⎟⎠⎞
4 2

∴ y = 1 sen 2t − e−tsen t.
2

Factores lineales repetidos

Si H(s) = (s − a)m , entonces, según la teoría de fracciones parciales tenemos:

Am Am−1 A2 A1
s−a − a m−1 −a s−a
( ) ( ) ( )G(s) = m + + ... + 2 + + W (s)

H(s) s s

Pero £−1 ⎧ Am ⎫ = Ameat t m−1 por definición de transformada de Laplace.
⎬
⎨⎩(s − a)m ⎭ (m − 1)!

→ £−1 ⎧ G(s) ⎫ = eat ⎛ Am t m−1 + Am−1 t m−2 + ... + A2t + ⎞ + £−1 {W (s)}.
⎨ ⎬ ⎜⎝ 1! A1 ⎟⎠
⎩ H(s) ⎭ (m − 1)! (m − 2)!

370 Capítulo 7 Transformadas de Laplace

Sea Q(s) = G(s) (s − a)m
H (s)
→ Q(s) = Am + Am−1(s − a) + Am−2 (s − a)2 + ...

+ A2 (s − a)m−2 + A1(s − a)m−1 + W (s)(s − a)m (1)

Tomando el límite cuando s → a, todos los sumandos, menos el primero, se

anulan y Q(a) = Am .
Derivando los dos miembros de (1) con respecto a s encontraremos Am−1 y

con sucesivas derivaciones, obtendremos el resto de las constantes.

Q′(s) = Am−1 + 2 Am−2 (s − a) + 3Am−3 (s − a)2 + ...
+(m − 1) A1(s − a)m−2 + mW (s)(s − a)m−1

Tomando el límite cuando s → a:

lím Q′(s) = Am−1 → Q′(a) = Am−1

s→a

Q″(s) = 2 Am−2 + 6 Am−3 (s − a) + ...

Q″(a) = 2 Am−2 → Am−2 = Q″(a)
2

Q″′(s) = 6 Am−3 + ...

Q″′(a) = 6 Am−3 → Am−3 = Q″′(a) etcétera.
,

6

y en general

Am−k = Q(k) (a) = 0, 1, 2, 3, ..., m − 1.

,k
k!

EJEMPLO 1
Resolver y″′ + 6y″ + 12y′ + 8y = 0
Para: y(0) = 4, y′(0) = −12, y″(0) = 34.

s3Y (s) − s2 y(0) − sy′(0) − y″(0) + 6s2Y (s) − 6sy(0) − 6y′(0)

+12sY (s) − 12y(0) + 8Y (s) = 0

= 4s2 + 12s + 10 = 4s2 + 12s + 10
s3 + 6s2 + 12s + 8 s+2
(s)( )Y 3

Aquí: a = −2

→ y = e−2t ⎛ A3 t2 + A2t + ⎞
⎜⎝ 2 A1 ⎟⎠

Resolución de ecuaciones diferenciales mediante la transformada de Laplace... 371

Como siempre tomamos como Q(s) la parte de Y(s) donde no está el factor
raíz del denominador; aquí, Q(s) es:

Q(s) = 4s2 + 12s + 10

Q′(s) = 8s + 12

Q″(s) = 8

y A3 = Q(−2) = 16 − 24 + 10 = 2

A2 = Q′(−2) = −16 + 12 = −4

A1 = Q″(−2) = 8 = 4
2 2

y(t) = e−2t ⎛ t2 − 4t + ⎞
⎜⎝ 2 2 4⎟⎠

( )∴ y(t) = e−2t t − 2 2

.

EJEMPLO 2

Resolver y″ + y = t para y(0) = 0, y′(0) = 0.

s2Y (s) − sy(0) − y′(0) + Y (s) = 1
s2

1 + 0+ 0 = 1
s2 s2 +1 s2 +1
( )Y (s) =
s2

tenemos un factor real repetido s = 0 y un factor complejo s2 + 1.

Para el factor s = 0 → Q(s) = 1
s2 +1

como sólo está repetido dos veces, solamente se necesita la primera derivada

−2s
s2 +1 2
( )Q′(s) =

y la forma de la solución es:

( )y = e0t A2t + A1

donde A2 = Q(0) = 1 y A1 = Q′(0) = 0.
Para el factor s = i Cporque s2 + 1 = (s − i)(s + i)D

1 i 1
s2 +1 2 2
( )Q(s) = s2 → Q(i) = → Q1 = 0, Q2 = ,

372 Capítulo 7 Transformadas de Laplace

y la forma de la solución es

y = 2eot ⎝⎛⎜ 0 cos t − 1 sen t ⎠⎞⎟ .
2

Entonces,

y = e0t ( A2t + A1 ) + 2e0t ⎝⎜⎛ − 1 sen t ⎟⎞⎠
2

∴ y = t − sen t.

EJEMPLO 3
Resolver y″ − 6y′ + 9y = 0 y(0) = 1, y′(0) = 2.

s2Y (s) − sy(0) − y′(0) − 6sY (s) + 6y(0) + 9Y (s) = 0
Y (s) = s − 4 , a = 3

(s − 3)2
( )→ y = e3t A2t + A1

Q(s) = s − 4 → A2 = Q(3) = −1
Q′(s) = 1 A1 = 1

∴ y = e3t (−t + 1).

Factores complejos repetidos

G(s) = Am + Am−1 + ... + A2 + A1 +
H(s) s−a − a m−1 s−a 2 s−a
( ) ( ) ( )Sea: m s

+ (s Bm + (s Bm−1 + ... + (s B2 + B1 + W (s)
s−a
− a )m − a )m−1 − a )2

→ £−1 ⎧ G(s) ⎫ = eat ⎛ Am t m−1 + Am−1 t m−2 + ... + A2t + ⎞
⎨ H(s) ⎬ ⎝⎜ A1 ⎠⎟
⎩ ⎭ (m − 1)! (m − 2)!

+eat ⎛ Bm t m−1 + Bm−1 ( t m−2 + ... + B2t + B1 ⎞ +£−1 {W (s)}
⎜⎝ ⎠⎟
(m − 1)! m − 2)!

Esto puede expresarse en forma condensada:

⎧ Ak Bk ⎫ t k−1
⎨ −a −a ⎬
⎩ ⎭ (k − 1)!
−1( )£
+ = Akeat + Bkeat
( s )k (s )k

Resolución de ecuaciones diferenciales mediante la transformada de Laplace... 373

= t k−1 ⎣⎡ Ak e ␣t (cos␤t + i sen␤t) + Bk e ␣t (cos␤t − i sen␤t)⎦⎤

(k − 1)!

e␣t t k−1

(k − 1)!
[ ]=
( Ak + Bk ) cos␤t + i( Ak − Bk )sen␤t

Para k = 1, 2, 3, …, m

Como Ak = Qk1 + iQk2 y Bk = Qk1 − iQk2
para Qk1, Qk2 ∈ℜ

Sumando y restando, tenemos:

Ak + Bk = 2Qk1
Ak − Bk = 2iQk2 y i( Ak − Bk ) = −2Qk2

→ y(t) = 2e␣t t k−1 (Qk1 cos␤t − Qk2sen␤ t).
(k − 1)!

Caso particular: m = 2 y W (s) = 0

→ y(t) = 2e␣tt 0 (Q11 cos␤t − Q12 sen ␤ t )
0!

k =1

+ 2e␣t t1 (Q21 cos␤t − Q22sen ␤t)
1!

k=2

[ ]∴ y(t) = 2e␣t (Q11 + tQ21) cos␤t − (Q12 + tQ22 )sen␤t .

EJEMPLO 1

Resolver y″ + y = 2cos t para y(0) = 2, y′(0) = 0.

s2Y (s) − sy(0) − y′(0) + Y (s) = 2s
s2 +1
2s
s 2+ 1 + 2s 2s3 + 4s
s2 +1 2
( )Y (s) = =
s2 +1

→ s2 + 1 = (s + i)(s − i) → s = ±i, donde ␣ = 0, ␤ = 1,

[ ]→ y(t) = 2e0t (Q11 + tQ21) cos t − (Q12 + tQ22 )sen t .

Para s = i :

Q(s) = 2s3 + 4s

(s + i)2

374 Capítulo 7 Transformadas de Laplace

Q(i) = 2i3 + 4i = 2i = − 1i
−4 2
(2i)2

Como A2 = Q21 + iQ22 → Q21 = 0, Q22 = −1.
2
Para encontrar A1 tomamos la primera derivada:

Q′(s) = 2s3 − 4s + 6s2i + 4i

(s + i)3

Q′(i) = 2i3 − 4i + 6i3 + 4i = 1

( 2i )3

A1 = Q11 + iQ12 → Q11 = 1, Q12 = 0,

y(t) = 2 ⎢⎣⎡(1 + 0)cos t − ⎝⎛⎜ 0 − 1 t ⎠⎟⎞ sen t ⎤
2 ⎦⎥

∴ y(t) = 2cos t + t sen t.

EJEMPLO 2

Resolver: y″ + y = 2(cos t + sen t), y(0) = 0, y′(0) = −1.

s2Y (s) − sy(0) − y′(0) + Y (s) = 2 s2 s 1 + s 1 1
+ s2 +

2s + 2 − 1 2s + 2 − s2 − 1 2s − s2 + 1
s2 + 1 s2 +1 2 s2 +1 2
( ) ( )Y (s) = = =
s2 +1

donde s = ±i, ␣ = 0, ␤ = 1

[ ]→ y(t) = 2e0t (Q11 + tQ21) cos t − (Q12 + tQ22 )sen t

Q(s) = 2s − s2 + 1

(s + i)2

Q(i) = 2i − i2 + 1 = 2i + 2 = − 1 − 1 i
−4 2 2
(2i)2

A2 = Q21 + iQ22 → Q21 = − 1, Q22 = − 1.
2 2

Q′(s) = 2i − 2si − 2s − 2

(s + i)3

Derivación de transformadas 375

Q '(i) = 2i − 2i2 − 2i − 2 = 0

(2i)3

A1 = Q11 + iQ12 , Q11 = 0, Q12 = 0.

y = 2e0t ⎣⎢⎡⎝⎛⎜ 0 − 1 t ⎟⎠⎞ cos t − ⎜⎛⎝ 0 − 1 t ⎠⎟⎞ sen t ⎤
2 2 ⎦⎥

y = 2 ⎝⎛⎜ − t cos t + t sen t⎠⎟⎞
2 2

∴ y = t (sen t − cost).

Derivación de transformadas

Teorema 6

Si £{ f (t)} = F(s)

→ £{tf (t)} = −F′(s)

Demostración: ∞
Diferenciando respecto a s:
∫F(s) = e−st f (t)dt
0

d ∞∞ ␦

e−st f (t)dt =
∫ ∫dF= 0 ␦s e−st f (t)dt
ds ds 0

∞

∫= −te−st f (t)dt
0

∞

∫= − e−sttf (t)dt
0

= −£{tf (t)}

Generalizando: { }£ (−t)n f (t) = F(n) (s)
Así, para n = 2:
Para n = 3: → £{t2 f (t)} = F″(s)
{ }→ £ t3 f (t) = F′″(s), etcétera.

376 Capítulo 7 Transformadas de Laplace

EJEMPLO 1

Encontrar £{t cos␻t} usando este teorema:

£{t cos ␻t } = − d s2 s ␻2
ds +

s 2 + ␻2 − 2s 2 s2 − ␻2
s2 + ␻2 s2 + ␻2 2 .
( ) ( )=− 2 =

EJEMPLO 2

Hallar £{t2senh at}.

Por el teorema de la derivada de la transformada:

£{t2senh at} = F″(s)

Como F(s) = s2 a , entonces,
− a2

−2as −2as2 + 2a3 + 8as2
s2 − a2 s2 − a2
( ) ( )F′(s) = 3
2, F ″(s) =

6as2 + 2a3
s2 − a2 3
{ } ( )∴£
t2senh at =

Integración de las transformadas

Teorema 7

Sea f(t) una función que satisface las condiciones del teorema de existencia y

lím f (t) existe, y además £{ f (t)} = F(s), entonces,

tt→0+

{ } ∫£ f (t) ∞

= F(␴)d␴
ts

Demostración:

Sea G(t) = f (t) → f (t) = tG(t).
t

Tomando la transformada a ambos lados y aplicando el teorema de la derivada

en el segundo miembro:

£{ f (t)} = − d £{G(t)}
ds