แบบฝึกหัด เรื่อง วงกลม

แบบฝึกหัด รายวิชา ค23202 คณิตศาสตร์เพิ่มเติม 6 ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 3 ครูผู้สอน นางสาวธัญญลักษณ์ เจริญสุข โ ร ง เ รี ย น ปัว อำ เ ภ อ ปั ว จั ง ห วั ด น่ า น สำ นั ก ง า น เ ข ต พื้ น ที่ ก า ร ศึ ก ษ า มั ธ ย ม ศึ ก ษ า น่ า น

ค ณิต ศ า ส ต ร์เ พิ่ ม เ ติ ม ม . 3 เ รื่ อ ง ว ง ก ล ม ห น้ า | 6 ******************************************************************** **** แบบทดสอบก่อนเรียน เรื่อง ส่วนต่ำงๆของวงกลม มุมที่จุดศูนย์กลำง และมุมในส่วนโค้งของวงกลม ค ำชี้แจง ให้นักเรียนเลือกค าตอบที่ถูกต้องที่สุดเพียงค าตอบเดียว (ใช้เวลา 15 นาที) 1. O เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลม AB และ CD เป็นเส้นผ่านศูนย์กลาง o AOD 50 ˆ จงหาขนาดของ OA ˆ C ก. 25o ข. 30o ค. 34o ง. 65o 2. O เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลม AB เป็นเส้นผ่านศูนย์กลาง ถ้า o ABC 22 ˆ และ o BAC 30 ˆ จงหาขนาดของ DB ˆ C ก. 60o ข. 55o ค. 38o ง. 32o 3. O เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลม o ABD 45 ˆ และ o ECD 20 ˆ จงหาขนาดของ AOE ˆ ก. 35o ข. 40o ค. 45o ง. 50o จ. 4. O เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลม o ABE 36 ˆ และ o EBC 70 ˆ จงหาขนาดของ AO ˆ C ก. 112o ข. 148o ค. 153o ง. 160o A O B C E E A O B C D 22o 30o A O B D C 50o D A O B C 3

ค ณิต ศ า ส ต ร์เ พิ่ ม เ ติ ม ม . 3 เ รื่ อ ง ว ง ก ล ม ห น้ า | 7 ******************************************************************** **** 5. จากรูปสี่เหลี่ยม ABDE บรรจุอยู่ในวงกลม o AC//ED,AB AC, ABC74 จงหา AE ˆ B ก. 90o ข. 96o ค. 106 o ง. 108o 6. จากรูป CA CD จงหา BAC ˆ ก. 50o ข. 62o ค. 70o ง. 76o 7. จุด O เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลม ถ้า o AC โต30 ˆ B จงหา OBC ˆ ก. 35o ข. 40o ค. 45o ง. 60o 8. O เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลม OB ˆ C = 30o จงหาขนาดของ BDC ˆ ก. 105o ข. 113o ค. 120o ง. 153o 9. จากรูป จงหา a + b ก. 180o ข. 194o ค. 203o ง. 210 o 10. ก าหนดให้ O เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลม ถ้า BO ˆ A =120o ,DA ˆ O=35o แล้ว BCD ˆ มีขนาดกี่ องศา ก. 100o ข. 105o ค. 115o ง. 120o B O A C 35o 120o O C A B D 74o A B D E C O A B C D 26o 28o A B C D 30o b a A B E C D 4

ค ณิต ศ า ส ต ร์เ พิ่ ม เ ติ ม ม . 3 เ รื่ อ ง ว ง ก ล ม ห น้ า | 8 ตอนที่ 1 ส่วนต่ำงๆของวงกลม วงกลม วงกลม เป็นรูปเรขาคณิตบนระนาบซึ่งแต่ละจุดบนรูปเรขาคณิตนี้ อยู่ห่างจากจุดคงที่จุดหนึ่ง บนระนาบเดียวกันเป็นระยะเท่ากัน เรียกจุดคงที่นี้ว่า จุดศูนย์กลำงของวงกลม เรียกระยะที่เท่ากันนี้ว่า รัศมีของวงกลม ส่วนต่าง ๆ เกี่ยวกับวงกลมที่นักเรียนเคยรู้จักมาแล้วมีดั้งนี้ จากรูป จุด O เป็นจุดคงที่ เรียกจุด O ว่า จุดศูนย์กลำง ของวงกลม จุด A อยู่บนเส้นรอบวง ของวงกลม หรือกล่าวว่า จุด A อยู่บนวงกลม เรียก OA ว่ำ รัศมีของวงกลม จุด B และจุด C อยู่บนวงกลม และ BC ผ่านจุดศูนย์กลาง O เรียก BC ว่า เส้นผ่ำน ศูนย์กลำงของวงกลม การเรียกชื่อวงกลมวงหนึ่งที่มีจุดศูนย์กลางตามที่ก าหนดให้ อาจเรียกตามชื่อของจุดศูนย์กลาง ของวงกลมนั้น เช่น วงกลมที่มีจุด O เป็นจุดศูนย์กลาง อาจเรียกว่า วงกลม O รัศมีของวงกลม หมายถึง ระยะระหว่างจุดศูนย์กลางของวงกลมและจุดบนวงกลม หรือ หมายถึง ส่วนของเส้นตรงที่มีจุดศูนย์กลางและจุดบนวงกลมเป็นจุดปลาย B C A O เส้นผ่านศูนย์กลาง เส้นรอบวง รัศมี จุดศูนย์กลาง center radius circumference diameter segment (area) sector (area) คอร์ด chord เส้นสัมผัส tangent จุดสัมผัส 5

ค ณิต ศ า ส ต ร์เ พิ่ ม เ ติ ม ม . 3 เ รื่ อ ง ว ง ก ล ม ห น้ า | 9 วงกลมวงหนึ่งมีรัศมีเป็นจ านวนมากมายนับไม่ถ้วน และรัศมีของวงกลมเดียวกันจะยาวเท่ากัน ทุกเส้น วงกลมสองวงที่มีรัศมียาวเท่ากัน สามารถเลื่อนให้วงกลมสองวงนั้นทับกันได้สนิท จงกล่าวได้ว่า กลมสองวงที่มีรัศมียำวเท่ำกัน จะเท่ำกันทุกประกำร นอกจากส่วนต่าง ๆ ของวงกลมที่กล่าวมาแล้วข้างต้น ยังมีส่วนอื่น ๆ ที่เกี่ยวกับวงกลมที่ส าคัญ ได้แก่ คอร์ด เส้นตัดวงกลม และเส้นสัมผัสวงกลม คอร์ด คือ ส่วนของเส้นตรงที่มีจุดปลายทั้งสองอยู่บนวงกลมเดียวกัน คอร์ดแต่ละเส้นจะแบ่ง วงกลมออกเป็นส่วนโค้งสองส่วนโค้ง จากรูป AB เป็นคอร์ดของวงกลม O เรียกส่วนโค้ง ADB ว่า ส่วนโค้งใหญ่ AB เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ ADB เรียกส่วนโค้ง ACB ว่า ส่วนโค้งน้อย AB เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ ACB หรือ AB ความยาวของ ADB เขียนแทนด้วย m(ADB) ความยาวของ ACB เขียนแทนด้วย m(ACB) หรือ ความยาวของ AB เขียนแทนด้วย m(AB) เส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลมเป็นคอร์ดที่ยาวที่สุดซึ่งแบ่งวงกลมออกเป็นส่วนโค้งสองส่วนที่ เท่ากันทุกประการ เรียก ส่วนโค้งแต่ละส่วนว่า ครึ่งวงกลม D C O A B คอร์ด ส่วนโค้งใหญ่ ส่วนโค้งน้อย ครึ่งวงกลม C D B C Oเส้นผ่านศูนย์กลาง ครึ่งวงกลม 6

ค ณิต ศ า ส ต ร์เ พิ่ ม เ ติ ม ม . 3 เ รื่ อ ง ว ง ก ล ม ห น้ า | 10 เส้นตัดวงกลม คือ เส้นตรงที่ตัดวงกลมสองจุด เส้นสัมผัสวงกลม คือ เส้นตรงที่ตัดวงกลมเพียงจุดเดียวเท่านั้นและเรียกจุดตัดนั้นว่า จุดสัมผัส มุมที่จุดศูนย์กลำง คือ มุมที่มีจุดศูนย์กลางของวงกลมเป็นจุดยอดมุมและแขนทั้งสองของมุมตัด วงกลม จากรูป AOB ˆ และมุมกลับ AOB แต่ละมุมเป็นมุมที่จุดศูนย์กลางของวงกลม O ที่ AOB ˆ รองรับด้วย AB และมุมกับ AOB รองรับด้วย AXB จุดสัมผัส เส้นสัมผัสวงกลม เส้นตัดวงกลม B A O D C E X B A O 7

ค ณิต ศ า ส ต ร์เ พิ่ ม เ ติ ม ม . 3 เ รื่ อ ง ว ง ก ล ม ห น้ า | 11 มุมในส่วนโค้งของวงกลม คือ มุมที่มีจุดยอดมุมอยู่บนวงกลม และแขนทั้งสองของมุมตัด วงกลม จากรูป ABC ˆ เป็นมุมในส่วนโค้งของวงกลม O ที่รองรับด้วย AXB มุมในครึ่งวงกลม คือ มุมที่มีจุดยอดมุมอยู่บนวงกลม และแขนทั้งสองของมุมผ่านจุดปลายทั้ง สองของเส้นผ่านศูนย์กลางเส้นหนึ่ง จากรูป BC เป็นเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลม O BAC ˆ เป็นมุมในครึ่งวงกลม ที่รองรับด้วยBXC B A O C x 8 X B C O A

ค ณิต ศ า ส ต ร์เ พิ่ ม เ ติ ม ม . 3 เ รื่ อ ง ว ง ก ล ม ห น้ า | 12 ตัวอย่ำง จากรูปให้ O เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลม จุด A, B, C, D และ E อยู่บนวงกลม จงตอบค าถาม ต่อไปนี้ 1) เรียก DE, OC และ AB ว่าอย่างไร ……………………………………………………………………………………………………………………………. 2) คอร์ดที่ยาวที่สุดของวงกลมวงหนึ่งมีชื่อเรียกเฉพาะว่าอย่างไร ……………………………………………………………………………………………………………………………. 3) คอร์ดที่แบ่งส่วนโค้งของวงกลมออกเป็นสองส่วนเท่าๆกันคือเส้นใด ……………………………………………………………………………………………………………………………. 4) เรียกส่วนโค้งของวงกลมที่ถูกแบ่งด้วยคอร์ดที่ไม่ใช่เส้นผ่านศูนย์กลางว่าอย่างไร ……………………………………………………………………………………………………………………………. 5) ในรูปต่อไปนี้ ให้ O เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลม จุด A, B, C และ D อยู่บนวงกลม ให้ บอกชื่อของมุมตามลักษณะของมุมในส่วนต่างๆ ของวงกลม โดยเขียนค าตอบในช่องว่าง ตัวอย่าง เรียก ABC ˆ ว่ามุมในส่วนโค้งของวงกลม C A O B D E 9 A C O B

ค ณิต ศ า ส ต ร์เ พิ่ ม เ ติ ม ม . 3 เ รื่ อ ง ว ง ก ล ม ห น้ า | 13 5.1) เรียก ACB ˆ ว่า........................................ เรียก ADB ˆ ว่า........................................ 5.2) เรียก AOB ˆ ว่า........................................ เรียก ACB ˆ ว่า....................................... A O B C D O C A B 10

ค ณิต ศ า ส ต ร์เ พิ่ ม เ ติ ม ม . 3 เ รื่ อ ง ว ง ก ล ม ห น้ า | 14 แบบฝึกทักษะที่ 1 1. ให้นักเรียนตอบค าถามต่อไปนี้ 1) ในวงกลมวงหนึ่งมีคอร์ดได้กี่เส้น ตอบ ..................................................................................................................... 2) รัศมีของวงกลมเป็นเส้นตัดวงกลมหรือไม่ เพราะเหตุใด ตอบ .................................................................................................................... 3) ในวงกลมวงหนึ่งมีเส้นตัดวงกลมได้กี่เส้น ตอบ .................................................................................................................... 4) เส้นตัดวงกลมผ่านจุดศูนย์กลางได้หรือไม่ ตอบ ................................................................................................................... 5) ในวงกลมวงหนึ่งมีเส้นสัมผัสได้กี่เส้น ตอบ ................................................................................................................... 6) เส้นสัมผัสวงกลมผ่านจุดศูนย์กลางได้หรือไม่ ตอบ ................................................................................................................... 2. จากรูป จงบอกชื่อส่วนต่าง ๆ ที่เกี่ยวข้องกับวงกลม O ดังนี้ 1) เส้นผ่านศูนย์กลาง คือ ....................... 2) รัศมี คือ ....................... 3) คอร์ด คือ ....................... 4) คอร์ดที่ยาวที่สุด คือ ....................... 5) เส้นสัมผัสวงกลม คือ ....................... 6) เส้นตัดวงกลม คือ ....................... 7) ส่วนโค้งที่เป็นครึ่งวงกลม คือ ..................... H F C O A B D E 11

ค ณิต ศ า ส ต ร์เ พิ่ ม เ ติ ม ม . 3 เ รื่ อ ง ว ง ก ล ม ห น้ า | 15 3. จากรูป จงบอกชื่อมุมแต่ละมุม และส่วนโค้งแต่ละส่วนโค้งที่เกี่ยวข้องกับวงกลม O ดังนี้ 1) มุมที่จุดศูนย์กลาง คือ …………………………………………………… 2) มุมในครึ่งวงกลม คือ …………………………………………………… 3) มุมในส่วนโค้งของวงกลม คือ …………………………………………………… 4) ส่วนโค้งที่รองรับมุมที่จุดศูนย์กลาง คือ …………………………………………………… 5) ส่วนโค้งที่รองรับมุมในครึ่งวงกลม คือ …………………………………………………… 6) ส่วนโค้งที่รองรับมุมในส่วนโค้งของวงกลม คือ ………………………………………… A O D B C 12

ค ณิต ศ า ส ต ร์เ พิ่ ม เ ติ ม ม . 3 เ รื่ อ ง ว ง ก ล ม ห น้ า | 16 ตอนที่ 2 มุมในครึ่งวงกลม มุมที่จุดศูนย์กลำงและ มุมในส่วนโค้งของวงกลม มุมในครึ่งวงกลม ทฤษฎีบทที่ 1 มุมในครึ่งวงกลมมีขนาด 90 องศา หรือ หนึ่งมุมฉาก พิสูจน์ทฤษฎีบทที่ 1 ก าหนดให้ O เป็นจุดศูนย์กลาง ของวงกลม ABC ˆ เป็นมุมในครึ่งวงกลม ต้องพิสูจน์ว่า ABC ˆ เป็นมุมฉาก พิสูจน์ ลาก BO ข้อควำม เหตุผล 1. AO = BO = CO 1. รัศมีของวงกลมเดียวกันยาวเท่ากัน 2. OAB OBA ˆ = ˆ และ OBC OCB ˆ = ˆ 2 3. OAB OBA OBC OCB=180o ˆ + ˆ + ˆ + ˆ 3. 4. 2(OB ˆ A) +2(OB ˆ C)=180o 4. 5. (OB ˆ A) +(OB ˆ C)=90o 5. 6. นั่นคือ AB ˆ C=90o 6. A B O C A B O C A B O C A O C B 13

ค ณิต ศ า ส ต ร์เ พิ่ ม เ ติ ม ม . 3 เ รื่ อ ง ว ง ก ล ม ห น้ า | 17 A B C ตัวอย่ำงที่ 1 ACB ˆ เป็นมุมในครึ่งวงกลม และ BAC ˆ มีขนาดเป็นครึ่งหนึ่งของ ABC ˆ จงพิสูจน์ว่า o BAC30 ˆ พิสูจน์ ก าหนดให้ ACB ˆ เป็นมุมในครึ่งวงกลม ABC 2(BAC) ˆ = ˆ ต้องการพิสูจน์ว่า BA ˆ C=30o ตัวอย่ำงที่ 2 AC และ BD เป็นเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลม จงพิสูจน์ว่าสี่เหลี่ยม ABCD เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก พิสูจน์ ก าหนดให้ AC และ BD เป็นเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลม ต้องพิสูจน์ว่าสี่เหลี่ยม ABCD เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ข้อควำม เหตุผล 1. o ACB= 90 ˆ 1. มุมในครึ่งวงกลมเป็นมุมฉาก 2. o CB 180 ˆ AC A ˆ BC B ˆ A 2. 3. o AC 90 ˆ BC B ˆ A 3. 4. ABC 2(BAC) ˆ = ˆ 4. 5. 3(ΒΑ ˆ Χ) = 90ο 5. 6. ดังนั่น o BAC=30 ˆ 6. ข้อควำม เหตุผล 1. AC เป็นเส้นผ่านศูนย์กลาง 1. ก าหนดให้ 2. AB ˆ C = AD ˆ C= 90o 2. 3. BD เป็นเส้นผ่านศูนย์กลาง 3. 4. BA ˆ D = BC ˆ D= 90o 4. 5. นั่นคือ สี่เหลี่ยม ABCD เป็นรูป สี่เหลี่ยมมุมฉาก 5. B A C D 14

ค ณิต ศ า ส ต ร์เ พิ่ ม เ ติ ม ม . 3 เ รื่ อ ง ว ง ก ล ม ห น้ า | 18 ตัวอย่ำงที่ 5 จากรูปที่ก าหนดให้ในแต่ละข้อต่อไปนี้ จงหาค่า x และ y โดยก าหนดให้ o เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลม 1) 2) ตัวอย่ำงที่ 6 จากรูป จุด O เป็นจุดศูนย์กลาง ของวงกลม ACB ˆ เป็นมุมในครึ่งวงกลมและ OD=70 ˆ A จงหาขนาดของ BC ˆ O พร้อมทั้งแสดงเหตุผล x y O x y 40 O วิธีท ำ y = 90o เป็นมุมภายในครึ่งวงกลม y + x + ? = 180o มุมภายในของรูปสามเหลี่ยม รวมกันได้ 180o x = ? มุมที่ฐานของรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว 90o + 2x = 180o แทนค่า ดังนั้น X = 45o วิธีท ำ ---------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------- x = ………. , y = ………. 70 D A B O C วิธีท ำ ---------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------- 15

ค ณิต ศ า ส ต ร์เ พิ่ ม เ ติ ม ม . 3 เ รื่ อ ง ว ง ก ล ม ห น้ า | 19 ตัวอย่ำงที่ 7 จากรูป AB เป็นเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลม O และ o BAC=65 ˆ จงหาขนาดของ ABC ˆ ตัวอย่ำงที่ 8 จากรูป AB เป็นเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลม CD AB และ o BAC = 37 ˆ จงหาขนาดของ BCD ˆ 37 D B A C 16 วิธีท ำ ---------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------- 65 A B O C วิธีท ำ ---------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------

ค ณิต ศ า ส ต ร์เ พิ่ ม เ ติ ม ม . 3 เ รื่ อ ง ว ง ก ล ม ห น้ า | 20 แบบฝึกทักษะที่2 1. จากรูป จุด O เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลม ABC ˆ เป็นมุมในครึ่งวงกลม o BAC = 18 ˆ และ OD //BC จงหาขนาดของ AD ˆ O วิธีท ำ 2. ก าหนดให้ AC เป็นเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลม และ ACB = ACD ˆ ˆ จงพิสูจน์ว่า AB = AD พิสูจน์ ข้อควำม เหตุผล ข้อควำม เหตุผล 18 D A B O C D A C B 17

ค ณิต ศ า ส ต ร์เ พิ่ ม เ ติ ม ม . 3 เ รื่ อ ง ว ง ก ล ม ห น้ า | 21 วิธีท ำ ---------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------- วิธีท ำ ---------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------- 3. จากรูป จุด O เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลม ACB ˆ เป็นมุมในครึ่งวงกลม ABC=55 ˆ และ OD // BC จงหาขนาดของ AMD ˆ 4. จากรูป AB เป็นเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลม O และ o ACO=35 ˆ จงหาขนาดของ OBC ˆ 5. จากรูปที่ก าหนดให้ในแต่ละข้อต่อไปนี้ จงหาค่า x, y, q, r, s, u, t และ v โดยก าหนดให้ o เป็น จุด ศูนย์กลางของวงกลม 1) x = ………. , y = ………. x y O 18 35 A B O C 55o A O B D C M

ค ณิต ศ า ส ต ร์เ พิ่ ม เ ติ ม ม . 3 เ รื่ อ ง ว ง ก ล ม ห น้ า | 22 2) x = ………. , y = ………. 3) q = ………. , r = ……… , s =………….. 4) u = ………. , t = ……… , v =………….. 5) x = ………. , y = ………. x y 25 O q s r 70 O v u t 50 O y x 55o O 19

ค ณิต ศ า ส ต ร์เ พิ่ ม เ ติ ม ม . 3 เ รื่ อ ง ว ง ก ล ม ห น้ า | 23 ทฤษฎีบทที่ 2 ในวงกลมเดียวกัน มุมที่จุดศูนย์กลาง จะมีขนาดเป็นสองเท่าของขนาดของมุมในส่วนโค้งของ วงกลมที่รองรับด้วยส่วนโค้งเดียวกัน พิสูจน์ทฤษฎีบทที่ 2 ก าหนดให้ O เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลมมี AOB ˆ เป็นมุมที่จุดศูนย์กลางของวงกลม และ ACB ˆ เป็นมุมในส่วนโค้ง รองรับด้วยส่วนโค้ง AB ต้องการพิสูจน์ว่า AOB 2(ACB) ˆ = ˆ พิสูจน์ ลาก CD ผ่านจุด O ข้อควำม เหตุผล 1. AO = CO 1. รัศมีของวงกลมเดียวกันมีขนาดเท่ากัน 2. CAO ACO ˆ = ˆ 2. มุมที่ฐานของรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่วมีขนาดเท่ากัน 3. DOA CAO ACO ˆ + ˆ = ˆ 3. มุมภายนอกของรูปสามเหลี่ยมจะมีขนาดเท่ากับ ผลบวกของมุมภายในที่ไม่ใช่มุมประชิด 4. DOA 2(CAO) ˆ = ˆ 4. แทน CAO ˆ ด้วย ACO ˆ 5. DOB 2(BCO) ˆ = ˆ 5. ท านองเดียวกับข้อ 4 6. DOA DOB 2(ACO) 2(BCO) ˆ + ˆ = ˆ + ˆ 6. จากข้อ 4 ข้อ 5 และสมบัติการเท่ากัน 7. ดังนั้น AOB 2(ACO BCO) ˆ + ˆ = ˆ 2(ACB) ˆ = 7. จากข้อ 6 สมบัติการแจกแจง O C A B O C A B D O C B A O C A B 20

ค ณิต ศ า ส ต ร์เ พิ่ ม เ ติ ม ม . 3 เ รื่ อ ง ว ง ก ล ม ห น้ า | 24 ตัวอย่ำงที่ 1 จากรูป จุด O เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลม ACB ˆ เป็นมุมในส่วนโค้งของวงกลมและมีขนาดเท่ากับ 50o จงพิสูจน์ว่า OA ˆ B = 40 พิสูจน์ O เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลม ACB ˆ เป็นมุมในส่วนโค้งของวงกลม และมีขนาดเท่ากับ 50o ต้องการพิสูจน์ว่า OA ˆ B = 40 พิสูจน์ ลากส่วนของเส้นตรง BO ตัวอย่ำงที่ 2 จากรูป จงหาค่า x โดยก าหนดให้ O เป็นศูนย์กลางของวงกลม ข้อควำม เหตุผล x 20o O C A B 50o A O C B 21

ค ณิต ศ า ส ต ร์เ พิ่ ม เ ติ ม ม . 3 เ รื่ อ ง ว ง ก ล ม ห น้ า | 25 วิธีท ำ จากทฤษฎีบทที่ 2 จะได้ว่า x = 40 x =2(20 ) x = 2(ACB) ˆ ตัวอย่ำงที่ 3 จากรูป จงหาค่า x จากรูปที่ก าหนดให้ วิธีท ำ ……………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………….. ตัวอย่ำงที่ 4 จากรูป จงหาค่า x จากรูปที่ก าหนดให้ วิธีท ำ ……………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………….. x 70o O C A B x B A C 22

ค ณิต ศ า ส ต ร์เ พิ่ ม เ ติ ม ม . 3 เ รื่ อ ง ว ง ก ล ม ห น้ า | 26 ตัวอย่ำงที่ 5 จากรูป จงหาค่า x จากรูปที่ก าหนดให้ วิธีท ำ ……………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………….. 35o x B C A 23

ค ณิต ศ า ส ต ร์เ พิ่ ม เ ติ ม ม . 3 เ รื่ อ ง ว ง ก ล ม ห น้ า | 27 แบบฝึกทักษะที่ 3 1. จากรูป จุด O เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลม และ BA ˆ C = 50 จงหาขนาดของ OBC ˆ และ ขนาดของ OCB ˆ วิธีท ำ 2. จากรูปที่ก าหนดให้ในแต่ละข้อต่อไปนี้ จงหาค่า x, y, a, และ b โดยก าหนดให้ o เป็นจุด ศูนย์กลางของวงกลม 1) 2) ข้อควำม เหตุผล 50 O B A C y x 230 O x 60 O x = ………. , y = ………. x = ………. 24

ค ณิต ศ า ส ต ร์เ พิ่ ม เ ติ ม ม . 3 เ รื่ อ ง ว ง ก ล ม ห น้ า | 28 3) 4) 5) 6) 7) 8) y x 50 O 110 x y O 40 x O y x 98 O y x 40 O b a 35 O x = ………. a = ………. , b = ………. x = ………. , y = ………. x = ………. , y = ………. x = ………. , y = ………. x = ………. , y = ………. 25

ค ณิต ศ า ส ต ร์เ พิ่ ม เ ติ ม ม . 3 เ รื่ อ ง ว ง ก ล ม ห น้ า | 29 ทฤษฎีบทที่ 3 ในวงกลมเดียวกัน มุมในส่วนโค้งของวงกลมที่รองรับด้วยส่วนโค้งเดียวกันจะมีขนาดเท่ากัน ทฤษฎีบทที่ 4 ในวงกลมที่เท่ากันทุกประการ หรือในวงกลมเดียวกัน ถ้ามุมที่จุดศูนย์กลางมีขนาดเท่ากัน แล้วส่วนโค้งที่รองรับมุมที่จุดศูนย์กลางนั้นจะยาวเท่ากัน ทฤษฎีบทที่ 5 ในวงกลมที่เท่ากันทุกประการ หรือในวงกลมเดียวกัน ถ้ามุมในส่วนโค้งของวงกลมมีขนาด เท่ากัน แล้วส่วนโค้งที่รองรับมุมทั้งสองนั้นจะยาวเท่ากัน O A B D C O A B D C O A B D C O A B R P Q D C O A B O C A B A O C R D B D E F 26

ค ณิต ศ า ส ต ร์เ พิ่ ม เ ติ ม ม . 3 เ รื่ อ ง ว ง ก ล ม ห น้ า | 30 ทฤษฎีบทที่ 6 ในวงกลมที่เท่ากันทุกประการ หรือในวงกลมเดียวกัน ถ้าส่วนโค้งยาวเท่ากัน แล้วมุมที่จุด ศูนย์กลางที่รองรับด้วยส่วนโค้งนั้นจะมีขนาดเท่ากัน ทฤษฎีบทที่ 7 ในวงกลมที่เท่ากันทุกประการ หรือในวงกลมเดียวกัน ถ้าส่วนโค้งยาวเท่ากัน แล้วมุมใน ส่วนโค้งของวงกลมที่รองรับด้วยส่วนโค้งนั้นจะมีขนาดเท่ากัน R P Q O A B B A O C D A C O R B E D O F C A B 27

ค ณิต ศ า ส ต ร์เ พิ่ ม เ ติ ม ม . 3 เ รื่ อ ง ว ง ก ล ม ห น้ า | 31 ตัวอย่ำงที่ 1 จากรูปที่ก าหนดให้ต่อไปนี้จงหาค่า x วิธีท ำ จากรูป ตัวอย่ำงที่ 2 ก าหนดให้ CD เป็นเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลม และ B เป็นจุดกึ่งกลางของส่วนโค้ง AC ถ้า ACD = 2BDC ˆ ˆ จงหาค่า x วิธีท ำ …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… ข้อควำม เหตุผล 1. EAD = ECD ˆ ˆ 1. เป็นมุมที่อยู่บนส่วนโค้งเดียวกัน (ส่วนโค้ง ED) 2. EA ˆ D = 20 2. EC ˆ D = 20 ก าหนดให้ 3. x + EA ˆ D = 90 3. มุมในครึ่งวงกลม 4. x + 20 = 90 4. จากข้อ 3 5. นั่นคือ x = 70o ดังนั้น x = 70o 5. แก้สมการ 20o x O D A B E C 2a a x B D A C 28

ค ณิต ศ า ส ต ร์เ พิ่ ม เ ติ ม ม . 3 เ รื่ อ ง ว ง ก ล ม ห น้ า | 32 แบบฝึกทักษะที่ 4 จากรูปที่ก าหนดให้ในแต่ละข้อต่อไปนี้ จงหาค่าตัวแปรที่แทนมุมต่างๆในวงกลม 1) 5) 2) 6) 3) 7) 4) 8) 20 40 c d h i 40 60 g f e 70 35 x y 100 68 x y 30 O x y 30 80 b a 60 50 c = ………. , d = ………. h = ………. x = ………. , y = ………. x = ………. , y = ………. a = ………. , b = ………. x = ………. , y = ………. 110o 5o 70o C A B D g = ……., f = ……., e =……… i = ………. , h = ………. 29

ค ณิต ศ า ส ต ร์เ พิ่ ม เ ติ ม ม . 3 เ รื่ อ ง ว ง ก ล ม ห น้ า | 33 ทฤษฎีบทที่ 8 ถ้ารูปสี่เหลี่ยมใด ๆ มีผลบวกของขนาดของมุมตรงข้ามเท่ากับสองมุมฉาก แล้วรูปสี่เหลี่ยมนั้น แนบในวงกลมได้ ตัวอย่ำงที่ 1 จากรูปที่ก าหนดให้ต่อไปนี้จงหาค่า x วิธีท ำ เนื่องจาก 1) 2x + x = 180o ทฤษฎีบทที่ 8 2) 3x = 180o แก้สมการ ดังนั้น x = 60o 4 3 2 1 O x 2x O A B C D 30

ค ณิต ศ า ส ต ร์เ พิ่ ม เ ติ ม ม . 3 เ รื่ อ ง ว ง ก ล ม ห น้ า | 34 ตัวอย่ำงที่ 2 จากรูปที่ก าหนดให้ต่อไปนี้จงหาค่า x วิธีท ำ จากรูป 1) BAD = BDA ˆ ˆ มุมที่ฐานของรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่วมีขนาดเท่ากัน = 55 2) 55o+x=180 ทฤษฎีบทที่ 8 3) x =125 แก้สมการ ดังนั้น x =125 70o x O A B C D 31

ค ณิต ศ า ส ต ร์เ พิ่ ม เ ติ ม ม . 3 เ รื่ อ ง ว ง ก ล ม ห น้ า | 35 แบบฝึกทักษะที่ 5 จากรูปที่ก าหนดให้ในแต่ละข้อต่อไปนี้ จงหาค่าตัวแปรที่แทนมุมต่างๆในวงกลม 1) 2) 3) 4) 5) xy ˆ z =........ ,xw ˆ z=.......... e f 75 g 35 Y X Z W y x 78 O x = ………. c = ………. , d = ………. g = ………. , e = ………. , f = ………. x = ………. , y = ………. x 160o O D A C B 28 c d 52 O 32

ค ณิต ศ า ส ต ร์เ พิ่ ม เ ติ ม ม . 3 เ รื่ อ ง ว ง ก ล ม ห น้ า | 36 ******************************************************************** **** แบบทดสอบหลังเรียน เรื่อง ส่วนต่ำงๆของวงกลม มุมที่จุดศูนย์กลำงและมุมในส่วนโค้งของวงกลม ค ำชี้แจง ให้นักเรียนเลือกค าตอบที่ถูกต้องที่สุดเพียงค าตอบเดียว (ใช้เวลา 15 นาที) 1. O เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลม OB ˆ C = 30o จงหาขนาดของ BDC ˆ ก. 105o ข. 113o ค. 120o ง. 153o 2. O เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลม o ABD 45 ˆ และ o ECD 20 ˆ จงหาขนาดของ AOE ˆ ก. 35o ข. 40o ค. 45o ง. 50o 3. ก าหนดให้ O เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลมถ้า BO ˆ A =120 ,DA ˆ O=35 แล้ว BCD ˆ มีขนาดกี่ องศา ก. 100o ข. 105o ค. 115o ง. 120o 4. O เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลม AB และ CD เป็นเส้นผ่านศูนย์กลาง o AOD 50 ˆ จงหาขนาดของ OA ˆ C ก. 25o ข. 30o ค. 34o ง. 65o 35o 120o O C A B D 50o D A O B C O A B C D E A O B C D 33

ค ณิต ศ า ส ต ร์เ พิ่ ม เ ติ ม ม . 3 เ รื่ อ ง ว ง ก ล ม ห น้ า | 37 ******************************************************************** **** 5. O เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลม AB ˆ E = 36o และ EB ˆ C = 70o จงหาขนาดของ AOC ˆ ก. 112o ข. 148o ค. 153o ง. 160o 6. จุด O เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลม ถ้า o AC โต30 ˆ B จงหา OBC ˆ ก. 35o ข. 40o ค. 45o ง. 60o 7. จากรูปสี่เหลี่ยม ABDE บรรจุอยู่ในวงกลม AC//ED,AB=AC,ABC=74o จงหา AE ˆ B ก. 90o ข. 96o ค. 106 o ง. 108o 8. O เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลม AB เป็นเส้นผ่านศูนย์กลาง ถ้า o ABC 22 ˆ และ o BAC 30 ˆ จงหาขนาดของ DB ˆ C ก. 60o ข. 55o ค. 38o ง. 32o 9. จากรูป จงหา a + b ก. 180o ข. 194o ค. 203o ง. 210 o A O B C E B O A C 74o A B D E C 22o 30o A O B D C 30o b a A B E C D 34

ค ณิต ศ า ส ต ร์เ พิ่ ม เ ติ ม ม . 3 เ รื่ อ ง ว ง ก ล ม ห น้ า | 38 ******************************************************************** **** 10. จากรูป CA CD จงหา BAC ˆ ก. 50o ข. 62o ค. 70o ง. 76o 26o 28o A B C D 35

ค ณิต ศ า ส ต ร์เ พิ่ ม เ ติ ม ม . 3 เ รื่ อ ง ว ง ก ล ม ห น้ า | 39 เอกสำรอ้ำงอิง ฝ่ายวิชาการดอกหญ้าวิชาการ, (2554). คณิตศาสตร์เพิ่มเติม ชั้นมัธยมศึกษำปีที่ 3 หลักสูตรแกนกลำง กำรศึกษำขั้นพื้นฐำน พุทธศักรำช 2551 กรุงเทพมหานคร:ส านักพิมพ์ดอกหญ้า ส่งเสริมการสอนคณิตศาสตร์และเทคโนโลยี, สถาบัน (2545). คู่มือครูวิชำคณิตศำสตร์ รำยวิชำ ค 203 คณิตศำสตร์ 3 ชั้นมัธยมศึกษำปีที่สอง หลักสูตรมัธยมศึกษำตอนต้น พุทธศักรำช 2521 (ฉบับปรับปรุง พ.ศ. 2533). พิมพ์ครั้งที่ 5. กรุงเทพมหานคร:โรงพิมพ์คุรุ สภาลาดพร้าว ส่งเสริมการสอนคณิตศาสตร์และเทคโนโลยี, สถาบัน (2551). หนังสือเรียนรำยวิชำเพิ่มเติม คณิตศำสตร์ เล่ม 2 ชั้นมัธยมศึกษำปีที่ 3 หลักสูตรแกนกลำงกำรศึกษำขั้นพื้นฐำน พุทธศักรำช 2551 กรุงเทพมหานคร:โรงพิมพ์คุรุสภาลาดพร้าว ส่งเสริมการสอนคณิตศาสตร์และเทคโนโลยี, สถาบัน (2541). หนังสือเรียนวิชำคณิตศำสตร์ ค 021 ชั้นมัธยมศึกษำตอนต้น หลักสูตรมัธยมศึกษำตอนต้น พุทธศักรำช 2521 (ฉบับปรับปรุง พ.ศ. 2533). พิมพ์ครั้งที่ 5. กรุงเทพมหานคร:โรงพิมพ์คุรุสภาลาดพร้าว ส านักงานบัณฑิตแนะแนว, (2537). Top ชั้น ม. 3 วิชำคณิตศำสตร์ ช่วงชั้นที่ 3 ระดับชั้น มัธยมศึกษำตอนต้น กรุงเทพมหานคร:ห้างหุ้นส่วนจ ากัดรุ่งเรืองสาสน์การพิมพ์ 36

ค ณิต ศ า ส ต ร์เ พิ่ ม เ ติ ม ม . 3 เ รื่ อ ง ว ง ก ล ม ห น้ า | 40 ภำคผนวก 37

ค ณิต ศ า ส ต ร์เ พิ่ ม เ ติ ม ม . 3 เ รื่ อ ง ว ง ก ล ม ห น้ า | 41 เฉลยตัวอย่ำง ตัวอย่ำง หน้ำ 9 ตัวอย่ำง จากรูปให้ O เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลม จุด A, B, C, D และ E อยู่บนวงกลม จงตอบค าถาม ต่อไปนี้ 1) เรียก DE, OC และ AB ว่าอย่างไร เรียก DE, OC และ AB ว่าคอร์ดของวงกลม 2) คอร์ดที่ยาวที่สุดของวงกลมวงหนึ่งมีชื่อเรียกเฉพาะว่าอย่างไร คอร์ดที่ยาวที่สุดของวงกลมวงหนึ่งมีชื่อเรียกเฉพาะว่าเส้นผ่านศูนย์กลาง 3) คอร์ดที่แบ่งส่วนโค้งของวงกลมออกเป็นสองส่วนเท่าๆกันคือเส้นใด คอร์ดที่แบ่งส่วนโค้งของวงกลมออกเป็นสองส่วนเท่าๆกันคือ AB 4) เรียกส่วนโค้งของวงกลมที่ถูกแบ่งด้วยคอร์ดที่ไม่ใช่เส้นผ่านศูนย์กลางว่าอย่างไร เรียกส่วนโค้งของวงกลมที่ถูกแบ่งด้วยคอร์ดที่ไม่ใช่เส้นผ่านศูนย์กลางว่า ส่วนโค้ง DE 5) ในรูปต่อไปนี้ ให้ O เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลม จุด A, B, C และ D อยู่บนวงกลม ให้บอกชื่อ ของมุมตามลักษณะของมุมในส่วนต่างๆ ของวงกลม โดยเขียนค าตอบในช่องว่าง ตัวอย่าง เรียก ABC ˆ ว่ามุมในส่วนโค้งของวงกลม 38 C A O B D E A C O B

ค ณิต ศ า ส ต ร์เ พิ่ ม เ ติ ม ม . 3 เ รื่ อ ง ว ง ก ล ม ห น้ า | 42 5.1) เรียก ACB ˆ ว่ามุมในครึ่งวงกลม เรียก ADB ˆ ว่ามุมในครึ่งวงกลม 5.2) เรียก AOB ˆ ว่ามุมที่จุดศูนย์กลางของวงกลม เรียก ACB ˆ ว่ามุมในส่วนโค้งของวงกลม ทฤษฎีบทที่ 1 หน้ำ 13 พิสูจน์ทฤษฎีบทที่ 1 ก าหนดให้ O เป็นจุดศูนย์กลาง ของวงกลม ABC ˆ เป็นมุมในครึ่งวงกลม ต้องพิสูจน์ว่า ABC ˆ เป็นมุมฉาก พิสูจน์ ลาก BO ข้อควำม เหตุผล 1. AO = BO = CO 1. รัศมีของวงกลมเดียวกันยาวเท่ากัน 2. OAB=OBA ˆ ˆ และ OBC=OCB ˆ ˆ 2. ถ้ารูปสามเหลี่ยมรูปหนึ่งมีด้านยาวเท่ากัน สองด้านแล้ว มุมตรงข้ามกับด้านที่ยาวเท่ากัน จะมีขนาดเท่ากัน A O B C D 39 O C A B A O C B

ค ณิต ศ า ส ต ร์เ พิ่ ม เ ติ ม ม . 3 เ รื่ อ ง ว ง ก ล ม ห น้ า | 43 A B C ตัวอย่ำงที่1 หน้ำ 14 ตัวอย่ำงที่ 1 ACB ˆ เป็นมุมในครึ่งวงกลม และ BAC ˆ มีขนาดเป็นครึ่งหนึ่งของ ABC ˆ จงพิสูจน์ว่า BA ˆ C=30o พิสูจน์ ก าหนดให้ ACB ˆ เป็นมุมในครึ่งวงกลม ABC =2(BAC) ˆ ˆ ต้องการพิสูจน์ว่า BA ˆ C=30o ข้อควำม เหตุผล 3. OA ˆ B+OB ˆ A+OB ˆ C+OC ˆ B=180 3. ผลบวกของขนาดของมุมภายในของรูป สามเหลี่ยมเท่ากับ 180 องศา 4. 2(OB ˆ A) +2(OB ˆ C)=180 4. จากข้อ 2 และข้อ 3 แทน OAB ˆ ด้วย OBA ˆ และแทน OCB ˆ ด้วย OBC ˆ 5. (OB ˆ A) +(OB ˆ C)=90o 5. จากข้อ 4 และสมบัติของการเท่ากัน 6. นั่นคือ AB ˆ C=90o 6. จากข้อ 5 ข้อควำม เหตุผล 1. AB ˆ C= 90o 1. มุมในครึ่งวงกลมเป็นมุมฉาก 2. AB ˆ C + BA ˆ C + AC ˆ B =180 2. ผลบวกของขนาดของมุมภายในของรูปสามเหลี่ยม เท่ากับ 180o 3. AB ˆ C + BA ˆ C = 90 3. จากข้อ 1 ข้อ 2 และสมบัติของการเท่ากัน 4. ABC = 2(BAC) ˆ ˆ 4. ก าหนดให้ 5. 3(BA ˆ C) = 90 5. จากข้อ 3 และข้อ 4 แทน ABC ˆ ด้วย 2(BAC) ˆ 6. ดังนั่น BA ˆ C=30 6. จากข้อ 5 และสมบัติของการเท่ากัน 40

ค ณิต ศ า ส ต ร์เ พิ่ ม เ ติ ม ม . 3 เ รื่ อ ง ว ง ก ล ม ห น้ า | 44 ตัวอย่ำงที่ 2 AC และ BD เป็นเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลม จงพิสูจน์ว่าสี่เหลี่ยม ABCD เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก พิสูจน์ ก าหนดให้ AC และ BD เป็นเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลม ต้องพิสูจน์ว่าสี่เหลี่ยม ABCD เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ตัวอย่ำงที่5 หน้ำ 15 ตัวอย่ำงที่ 5 จากรูปที่ก าหนดให้ในแต่ละข้อต่อไปนี้ จงหาค่า x และ y โดยก าหนดให้o เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลม 2) วิธีท ำ y = 90o เป็นมุมภายในครึ่งวงกลม y + x + 40o = 180o มุมภายในของรูปสามเหลี่ยม รวมกันได้ 180o x = 180o – 90o – 40o ดังนั้น X = 50o , y = 90o ข้อควำม เหตุผล 1. AC เป็นเส้นผ่านศูนย์กลาง 1. ก าหนดให้ 2. AB ˆ C = AD ˆ C= 90 2. มุมในครึ่งวงกลมเป็นมุมฉาก 3. BD เป็นเส้นผ่านศูนย์กลาง 3. ก าหนดให้ 4. BA ˆ D = BC ˆ D= 90 4. มุมในครึ่งวงกลมเป็นมุมฉาก 5. นั่นคือ สี่เหลี่ยม ABCD เป็นรูป สี่เหลี่ยมมุมฉาก 5. จากข้อ 2 และข้อ 4 B A C D 41 x y 40 O

ค ณิต ศ า ส ต ร์เ พิ่ ม เ ติ ม ม . 3 เ รื่ อ ง ว ง ก ล ม ห น้ า | 45 ตัวอย่ำงที่ 6 จากรูป จุด O เป็นจุดศูนย์กลาง ของวงกลม ACB ˆ เป็นมุมในครึ่งวงกลมและ AOD=70 ˆ จงหาขนาดของ BCO ˆ พร้อมทั้งแสดงเหตุผล วิธีท ำ 1. OC=OB เป็นรัศมีของวงกลม 2. ΔBOC เป็นสามเหลี่ยมหน้าจั่ว จากข้อ 1 3. DO ˆ A=BO ˆ C=70 มุมตรงข้าม 4. BCD =CBO ˆ ˆ เป็นมุมที่ฐานของสามเหลี่ยม ΔBOC 5. BO ˆ C+2(BC ˆ O) =180 มุมภายในของรูปสามเหลี่ยม รวมกันได้ 180o 6. =55 2 180 70 BOC = ˆ จากข้อ 5 ตัวอย่ำงที่ 7 จากรูป AB เป็นเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลม O และ BA ˆ C=65 จงหาขนาดของ ABC ˆ วิธีท ำ 1. AC ˆ B=90 เป็นมุมในครึ่งวงกลม 2. CA ˆ B + AB ˆ C + BC ˆ A =180 มุมภายในของรูปสามเหลี่ยมรวมกันได้ 180o 3. AB ˆ C =180o 180o 65o=115 จากข้อ 3 ดังนั้น AB ˆ C =115 70 D A B O C 42 65 A B O C

ค ณิต ศ า ส ต ร์เ พิ่ ม เ ติ ม ม . 3 เ รื่ อ ง ว ง ก ล ม ห น้ า | 46 ตัวอย่ำงที่ 8 จากรูป AB เป็นเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลม CD⊥AB และ BA ˆ C=37 จงหาขนาดของ BCD ˆ วิธีท ำ 1. AC ˆ B=90 เป็นมุมในครึ่งวงกลม 2. BA ˆ C=37 ก าหนดให้ 3. AC ˆ B+BA ˆ C+AB ˆ C=180 มุมภายในของรูปสามเหลี่ยม รวมกันได้ 180o 4. AB ˆ C=53 จาก ข้อ 1, 2 และ 3 5. OC ˆ B + CB ˆ O + BO ˆ C =180 มุมภายในของรูปสามเหลี่ยม รวมกันได้ 180o 6. OC ˆ B=37 จำก ข้อ 5 7. BC ˆ D=OC ˆ B=37 จำกรูป ดังนั้น BC ˆ D=37 ทฤษฎีบทที่ 2 หน้ำ 20 ตัวอย่ำงที่ 1 จากรูป จุด O เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลม ACB ˆ เป็นมุมในส่วนโค้งของวงกลมและมีขนาดเท่ากับ 50o จงพิสูจน์ว่า OA ˆ B = 40 พิสูจน์ O เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลม ACB ˆ เป็นมุมในส่วนโค้งของวงกลม และมีขนาดเท่ากับ 50o ต้องการพิสูจน์ว่า OA ˆ B = 40 พิสูจน์ ลากส่วนของเส้นตรง BO 50o A O C B 37 D B A C O 43

ค ณิต ศ า ส ต ร์เ พิ่ ม เ ติ ม ม . 3 เ รื่ อ ง ว ง ก ล ม ห น้ า | 47 ตัวอย่ำงที่ 3 จากรูป จงหาค่า x จากรูปที่ก าหนดให้ วิธีท ำ จากทฤษฎีบทที่ 2 จะได้ว่า แทนค่ำ x = 35 2 70 x = 70o =2(x) AOB = 2(ACB) ˆ ˆ ข้อควำม เหตุผล 1. AOB = 2(ACB) ˆ ˆ 1. มุมที่จุดศูนย์กลางของวงกลมมีขนาดเป็นสองเท่า ของมุมในส่วนโค้งของวงกลม ที่รองรับด้วยส่วนโค้ง เดียวกัน 2. AC ˆ B = 50 2. ก าหนดให้ 3. AO ˆ B = 2×50 =100 3. จากข้อ 1 และข้อ 2 แทนค่า ACB ˆ 4. AO ˆ B + OA ˆ B + OB ˆ A =180 4. ผลบวกของขนาดของมุมภายในของรูปสามเหลี่ยม เท่ากับ 180 องศา 5. OA ˆ B + OB ˆ A =180 100= 80 5. จากข้อ 3 ข้อ 4 และสมบัติของการเท่ากัน 6. AO = BO 6. รัศมีของวงกลมเดียวกันยาวเท่ากัน 7. OAB = OBA ˆ ˆ 7. ถ้ารูปสามเหลี่ยมรูปหนึ่งมีด้านยาวเท่ากันสองด้าน แล้ว มุมตรงข้ามกับด้านที่ยาวเท่ากันจะมีขนาด เท่ากัน 8. 2(OA ˆ B) = 80 8. จากข้อ 5 และข้อ 7 แทน OBA ˆ ด้วย OAB ˆ 9. นั่นคือ OA ˆ B = 40 9. จากข้อ 8 และสมบัติของการเท่ากัน 44 x 70o O C A B

ค ณิต ศ า ส ต ร์เ พิ่ ม เ ติ ม ม . 3 เ รื่ อ ง ว ง ก ล ม ห น้ า | 48 ตัวอย่ำงที่ 4 จากรูป จงหาค่า x จากรูปที่ก าหนดให้ วิธีท ำ จากทฤษฎีบทที่ 2 จะได้ว่า แทนค่ำ x = 45 2 90 x = 90o =2(x) AOB = 2(ACB) ˆ ˆ ตัวอย่ำงที่ 5 จากรูป จงหาค่า x จากรูปที่ก าหนดให้ วิธีท ำ จากทฤษฎีบทที่ 2 จะได้ว่า แทนค่ำ x=27.5 x=62.5 35 ACB=62.5 ACB=55 ACB+ABC+CAB=180 COB=110 COB+OCB + OBC=180 OCB = OBC =35 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ x B A C 35o x B C A 45

ค ณิต ศ า ส ต ร์เ พิ่ ม เ ติ ม ม . 3 เ รื่ อ ง ว ง ก ล ม ห น้ า | 49 ทฤษฎีบทที่ 3-7 หน้ำ 28 ตัวอย่ำงที่ 2 ก าหนดให้ CD เป็นเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลม และ B เป็นจุดกึ่งกลางของส่วนโค้ง AC ถ้า ACD = 2BDC ˆ ˆ จงหาค่า x วิธีท ำ ให้1) ADB = BDC = a ˆ ˆ มุมในส่วนโค้งที่รองรับด้วยส่วนโค้งที่เท่ากัน 2) ACD = 2BDC = 2a ˆ ˆ ก าหนดให้ จาก 1) 3) CA ˆ D + AD ˆ C + AC ˆ D =180 ผลรวมของมุมภายในของรูปสามเหลี่ยม 4) 90o + (a+a) + 2a = 180o แทนค่า 5) 2 45 180 90 = 4 1 a= แก้สมการ 6) x = a + 2a มุมภายนอก=ผลบวกมุมภายในที่ไม่ประชิด = 3a = 2 o 45 3 = 67.5o แทนค่า ดังนั้น x เท่ากับ 67.5o 2a a x B D A C 46

ค ณิต ศ า ส ต ร์เ พิ่ ม เ ติ ม ม . 3 เ รื่ อ ง ว ง ก ล ม ห น้ า | 50 เฉลยแบบฝึกทักษะ แบบฝึกทักษะที่ 1 1. ให้นักเรียนตอบค าถามต่อไปนี้ 1) ในวงกลมวงหนึ่งมีคอร์ดได้กี่เส้น ตอบ วงกลมวงหนึ่งมีคอร์ดได้เป็นจ านวนมากมายนับไม่ถ้วน 2) รัศมีของวงกลมเป็นเส้นตัดวงกลมหรือไม่ เพราะเหตุใด ตอบ รัศมีของวงกลมไม่เป็นเส้นตัดวงกลม เพราะ เส้นตัดของวงกลม คือ เส้นตรงที่ตัด วงกลมสองจุด ส่วนรัศมี คือ ระยะระหว่างจุดศูนย์กลางของวงกลมและจุดบนวงกลม 3) ในวงกลมวงหนึ่งมีเส้นตัดวงกลมได้กี่เส้น ตอบ วงกลมวงหนึ่งมีเส้นตัดวงกลมได้เป็นจ านวนมากมายนับไม่ถ้วน 4) เส้นตัดวงกลมผ่านจุดศูนย์กลางได้หรือไม่ ตอบ เส้นตัดวงกลมผ่านจุดศูนย์กลางได้ 5) ในวงกลมวงหนึ่งมีเส้นสัมผัสได้กี่เส้น ตอบ วงกลมวงหนึ่งมีเส้นสัมผัสได้เป็นจ านวนมากมายนับไม่ถ้วน 6) เส้นสัมผัสวงกลมผ่านจุดศูนย์กลางได้หรือไม่ ตอบ เส้นสัมผัสวงกลมผ่านจุดศูนย์กลางไม่ได้ 2. จากรูป จงบอกชื่อส่วนต่าง ๆ ที่เกี่ยวข้องกับวงกลม O ดังนี้ 1) เส้นผ่านศูนย์กลาง คือ AC 2) รัศมี คือ OA,OB,OC 3) คอร์ด คือ DH,DC,BC 4) คอร์ดที่ยาวที่สุด คือ AC 5) เส้นสัมผัสวงกลม คือ EF 6) เส้นตัดวงกลม คือ CF 7) ส่วนโค้งที่เป็นครึ่งวงกลม คือ ส่วนโค้ง AC H F C O A B D E 47

ค ณิต ศ า ส ต ร์เ พิ่ ม เ ติ ม ม . 3 เ รื่ อ ง ว ง ก ล ม ห น้ า | 51 3. จากรูป จงบอกชื่อมุมแต่ละมุม และส่วนโค้งแต่ละส่วนโค้งที่เกี่ยวข้องกับวงกลม O ดังนี้ 1) มุมที่จุดศูนย์กลาง คือ AOB,BOC ˆ ˆ 2) มุมในครึ่งวงกลม คือ ADC ˆ 3) มุมในส่วนโค้งของวงกลม คือ BAD,ADB,CAD,DBA,ACD ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 4) ส่วนโค้งที่รองรับมุมที่จุดศูนย์กลาง คือ ส่วนโค้ง AB , ส่วนโค้ง BC 5) ส่วนโค้งที่รองรับมุมในครึ่งวงกลม คือ ส่วนโค้ง AC 6) ส่วนโค้งที่รองรับมุมในส่วนโค้งของวงกลม คือ ส่วนโค้ง DC, ส่วนโค้ง AB, ส่วนโค้ง BC, ส่วนโค้ง AD แบบฝึกทักษะที่ 2 1. จากรูป จุด O เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลม ABC ˆ เป็นมุมในครึ่งวงกลม BA ˆ C =18 และ OD //BC จงหาขนาดของ ADO ˆ วิธีท ำ ข้อควำม เหตุผล 1. AC ˆ B = 90 1. เป็นมุมภายในครึ่งวงกลม 2. 18o+ 90o+ AB ˆ C =180 2. ผลบวกของขนาดของมุมภายในของรูป สามเหลี่ยมเท่ากับ 180o 3. AB ˆ C = 72 3. แก้สมการ 4. AOD =ABC ˆ ˆ 4. เป็นมุมภายในภายนอก ( OD //BC ) 5. DA ˆ O + AD ˆ O + AO ˆ D =180 5. ผลบวกของขนาดของมุมภายในของรูป สามเหลี่ยมเท่ากับ 180o 6. 2(AD ˆ O) + 90o=180 ดังนั้น AD ˆ O = 54 6. DAO=ADO ˆ ˆ เป็นมุมที่ฐานของรูป สามเหลี่ยมหน้าจั่ว , แก้สมการ 18 D A B O C A O D B C 48

ค ณิต ศ า ส ต ร์เ พิ่ ม เ ติ ม ม . 3 เ รื่ อ ง ว ง ก ล ม ห น้ า | 52 2. ก าหนดให้ AC เป็นเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลม และ ACB = ACD ˆ ˆ จงพิสูจน์ว่า AB = AD พิสูจน์ ต้องพิสูจน์ว่า AB = AD 3. ากรูป จุด O เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลม ACB ˆ เป็นมุมในครึ่งวงกลม AB ˆ C=55 และ OD //BC จงหาขนาดของ AMD ˆ วิธีท ำ 1. AC ˆ B=90 เป็นมุมในครึ่งวงกลม 2. DO//BC ก าหนดให้ 3. AC ˆ B=AM ˆ O=90 เป็นมุมภายในและมุมภายนอกของ เส้นตัดเส้นขนาน 4. AM ˆ D+AM ˆ O=180 เป็นมุมตรง 5. AM ˆ D=180-90=90 จากข้อ 4 ดังนั้น AM ˆ D=90 ข้อควำม เหตุผล 1. ABC = ACD ˆ ˆ 1. ก าหนดให้ 2. AB ˆ C = AD ˆ C = 90 2. เป็นมุมภายในครึ่งวงกลม 3. AC=AC 3. เป็นเส้นผ่านศูนย์กลางวงกลม 4. ΔABC=Δ ADC 4. แบบ มุม – มุม - ด้าน 5. AB = AD 5. จากข้อ 4 D A C B 55o A O B D C M 49

ค ณิต ศ า ส ต ร์เ พิ่ ม เ ติ ม ม . 3 เ รื่ อ ง ว ง ก ล ม ห น้ า | 53 4. จากรูป AB เป็นเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลม O และ AC ˆ O=35 จงหาขนาดของ OBC ˆ วิธีท ำ 1. AC ˆ B=90 เป็นมุมในครึ่งวงกลม 2. AC ˆ O=35 ก าหนดให้ 3. BC ˆ O+AC ˆ O=90 จากข้อ 1 4. BC ˆ O=90o 35=55 จากข้อ 3 5. OC=OB เป็นรัศมีของวงกลม 6. ΔBOC เป็นสามเหลี่ยมหน้าจั่ว จากข้อ 5 7. OB ˆ C = BC ˆ O = 55 เป็นมุมที่ฐานของสามเหลี่ยม หน้าจั่ว ดังนั้น OB ˆ C=55 5. จากรูปที่ก าหนดให้ในแต่ละข้อต่อไปนี้ จงหาค่า x, y, q, r, s, u, t และ v โดยก าหนดให้ o เป็น จุด ศูนย์กลางของวงกลม 1) x = 30o , y = 60o 2) x = 65o , y = 40o 3) q = 140o , r = 70o , s =20o 35 A B O C x y 25 O x y O q s r 70 O 50

ค ณิต ศ า ส ต ร์เ พิ่ ม เ ติ ม ม . 3 เ รื่ อ ง ว ง ก ล ม ห น้ า | 54 4) u = 40o , t = 80o , v =40o 5) x = 55 o , y = 35o แบบฝึกทักษะที่ 3 1. จากรูป จุด O เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลม และ BA ˆ C = 50 จงหาขนาดของ OBC ˆ และ ขนาดของ OCB ˆ วิธีท ำ O เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลม และ BA ˆ C = 50 หาขนาดของ OCB ˆ ข้อควำม เหตุผล 1. BAC = 2(BOC) ˆ ˆ 1. มุมที่จุดศูนย์กลางของวงกลมมีขนาดเป็น สองเท่าของมุมในส่วนโค้งของวงกลม ที่ รองรับด้วยส่วนโค้งเดียวกัน 2. BA ˆ C = 50 2. ก าหนดให้ 3. BO ˆ C = 2×50=100 3. จาก ข้อ 1 และข้อ 2 แทนค่า BAC ˆ 4. OB = OC 4. รัศมีของวงกลมเดียวกันยาวเท่ากัน 5. BO ˆ C + OB ˆ C + OC ˆ B =180 5. ผลบวกของขนาดของมุมภายในของรูป สามเหลี่ยมเท่ากับ 180 องศา v u t 50 O y x 55o O 50 O B A C 51