Exponents

เอกสารประกอบการเรียน

หน่วยการเรยี นรทู้ ่ี 1
เรอ่ื ง เลขยกกาลัง (Exponents)

รายวชิ า ค32101 คณิตศาสตร์ 3
ชัน้ มธั ยมศึกษาปีที่ 5

โรงเรยี นแมร่ ิมวทิ ยาคม อ.แมร่ ิม จ.เชียงใหม่

ผูจ้ ดั ทา
นางสาวสทุ ธพิ ร สนใจ
กลุ่มสาระการเรยี นรู้คณิตศาสตร์

หน่วยที่ 1
เลขยกกำลงั
สาระการเรียนรู้
1. เลขยกกาลงั ทมี่ ีเลขช้ีกาลังเป็นจานวนตรรกยะ
2. การบวก การลบ การคูณ การหาร จานวนจรงิ ท่ีอยู่ในรปู เลขยกกาลงั ที่มีเลขช้ีกาลังเป็นจานวนตรรกยะ
และจานวนจรงิ ในรปู กรณฑ์
3. รากท่ี n ของจานวนจรงิ
ผลการเรียนรูท้ ่ีคาดหวงั
1. มีความคิดรวบยอดเกี่ยวกบั จานวนจริงท่อี ยู่ในรูปเลขยกกาลงั ท่ีมีเลขช้ีกาลังเป็นจานวนตรรกยะ
และจานวนจรงิ ในรูปกรณฑ์
2. เข้าใจความหมายและหาผลลพั ธท์ ่ีเกดิ จากการบวก การลบ การคูณ การหาร จานวนจรงิ ทอี่ ย่ใู นรปู
เลขยกกาลงั ท่ีมีเลขชี้กาลังเป็นจานวนตรรกยะ และจานวนจรงิ ในรปู กรณฑ์
3. หาค่าของจานวนจริงท่ีอยูใ่ นรปู เลขยกกาลังได้

(1)

เลขยกกำลงั (Exponents)

ความหมายของเลขยกกาลงั

บทนิยาม

ถา้ a เป็นจานวนจรงิ ใดๆ และ n เปน็ จานวนเต็มบวก “a ยกกาลงั n” หรือ “a กาลัง n” เขยี นแทน
ด้วย an มีความหมาย ดังนี้ an = a × a × a ×…× a ( n ตวั ) เรียก an วา่ เลขยกกาลงั มี a เป็น

ฐาน (base)และ n เปน็ เลขช้กี าลงั (exponent or power or index)

(The power of a number shows you how many times to use the number in a

multiplication.

It is written as a small number to the right and above the base number.
In this example: 82 = 8 × 8 = 64

Another name for power is index or exponent )

[ www.mathsisfun.com/definitions/index-power ]

ตัวอยา่ งท่ี 1
1. 35 อ่านว่า สามยกกาลงั 5 ( 3 raised to the power of 5) มี 3 เปน็ ฐาน(base)

และ 5 เปน็ เลขชก้ี าลงั (power or index or exponent)
35 = 3 × 3 × 3 × 3 × 3 = 243
2. (-2)3 อ่านว่า ลบสองทง้ั หมดยกกาลังสาม มี -2 เปน็ ฐาน 3 เปน็ เลขช้ีกาลัง
(-2)3 = (-2) × (-2) × (-2) = -8

3.  2 2 อ่านวา่ เศษสองสว่ นสามทง้ั หมดยกกาลงั สอง มี 2 เปน็ ฐาน 2 เป็นเลขช้กี าลงั

3 3

 2 2  2  2  4
3 3 3 9

(2)

4. (0.5)3 อา่ นว่าศนู ย์จดุ หา้ ทัง้ หมดยกกาลังสาม มี 0.5 เป็นฐาน 3 เป็นเลขช้กี าลงั

(0.5)3 = 0.5 × 0.5 × 0.5 = 0.125

(bn can be read as: b raised to the n-th power, b raised to the power of n, or
possibly b raised to the exponent of n, most briefly as b to the n. Some exponents have
their own pronunciation: for example, b2 is usually read as b squared and b3 as b cubed.)

[http://en.wikipedia.org/wiki/Exponentiation]

หมายเหตุ ในกรณีท่ีเลขชี้กาลังเปน็ 1 เชน่ 21 เขยี นเป็น 2 หมายถึง 2 จานวน 1 ตวั

ดงั น้ัน -5 = (-5)1, 7 = 71, y = y1

การหาคา่ ของเลขยกกาลงั ที่กาหนดให้

ตวั อยา่ งที่ 2 เลขยกกาลงั ต่อไปนแี้ ทนจานวนใด (มีค่าเท่ากับเทา่ ใด)

1. 63 = 6 × 6 × 6 = 216

2. (-5)3 = (-5) × (-5) × (-5) = -125

3. -52 จานวนน้ีหมายถึงจานวนตรงขา้ มของ 52

ดังนั้น -52 = -(5 × 5) -25

4. (-5)2 = (-5) × (-5) = 25

5.  3 3  333 27
4 444 64
 

6. (-1.2)4 = (-1.2) × (-1.2) × (-1.2) × (-1.2) = 2.0736

(3)

ขอ้ สงั เกต ความแตกต่างระหว่าง(-5)2 และ -52
(-5)2 ฐานของเลขยกกาลังเปน็ จานวนเต็มลบคอื -5 มีค่าเท่ากบั 25
-52 เป็นจานวนตรงขา้ มของ 52 มีค่าเทา่ กับ –(5 × 5) = -25

การเขียนจานวนในรูปเลขยกกาลัง
ตวั อย่างท่ี 3 จงเขยี นจานวนตอ่ ไปน้ีให้อย่ใู นรปู เลขยกกาลัง

1. 8 = 2 × 2 × 2 = 23
2. -64 = (-4) × (-4) × (-4) = (-4) 3

= -(2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2) = -26
3. 0.0009 = 0.03 × 0.03 = (0.03)2

4. 27  3  3  3   3 3

125 5 5 5  5 

[ The exponent is usually shown as a superscript to the right of the base.

The power bn can be defined also when n is a negative integer, for nonzero b.

No natural extension to all real b and n exists, but when the base b is a positive real

number. - http://en.wikipedia.org/wiki/Exponentiation ]

[ A subscript or superscript is a number, figure, symbol that appears smaller than the
normal line of type and is set slightly below or above it – subscripts appear at or below
the baseline, while superscripts are above.
http://en.wikipedia.org/wiki/Subscript_and_superscript ]

แบบทดสอบความเข้าใจ 1 (4)

1. จงเตมิ คาตอบลงในตารางต่อไปนี้ เขยี นในรูปการคณู
2×2×2×2
เลขยกกาลงั อา่ นว่า ฐาน เลขชี้กาลงั

ตวั อยา่ ง สองยกกาลงั ส่ี 24
24

32

 2 3
3

  1 2
 3

(0.3)4
(-0.2)3

a5
(5b)3
(a2)3
(ab)4
2. จงเขียนจานวนต่อไปน้ีในรปู เลขยกกาลงั
ตัวอย่าง 2 × 2 × 2 × 2 = 24
1. 5 × 5 × 5 × 5 × 5 =………………………………………………………………………………………………………
2. (-7) × (-7) × (-7) =………………………………………………………………………………………………………

3. a × a × a × a × a × a =……………………………………………………………………………………………………(5)

4. 4  4  4  4 =………………………………………………………………………………………………………

5555

5. (-3a) × (-3a) × (-3a) =………………………………………………………………………………………………………

6. (0.1) × (0.1) × (0.1) × (0.1) × (0.1) × (0.1) × (0.1) =……………………………………………………………

3. จงหาค่าของเลขยกกาลงั ตอ่ ไปนี้
ตัวอย่าง 22 = 2 × 2 = 4

(-3)4 = (-3) × (-3) × (-3) × (-3) = 81
1. 25 =………………………………………………………………………………………………………………………………..
2. (-3)2 =………………………………………………………………………………………………………………………………..
3. -43 =………………………………………………………………………………………………………………………………..

4.  2 4 =…………………………………………………………………………………………………………………………………

3

5. (0.3)3 =…………………………………………………………………………………………………………………………………

4. จงเขยี นจานวนต่อไปนใ้ี ห้อย่ใู นรูปเลขยกกาลังท่มี ฐี านเปน็ จานวนเฉพาะ
ตัวอย่าง 16 = 2 × 2 × 2 × 2 = 24

1. 25 =…………………………………………………………………………………………………………………………………
2. 49 =………………………………………………………………………………………………………………………………..

3. -0.125 =………………………………………………………………………………………………………………………………..
4. -27 =………………………………………………………………………………………………………………………………..

5. - 8 =…………………………………………………………………………………………………………………………………

64

(6)

แบบฝึกหดั ท่ี 1

1. จงเติมคาตอบลงในตารางตอ่ ไปนี้

ตัวอยา่ ง จานวนในรปู การคูณ เลขยกกาลัง ฐาน เลขช้กี าลงั
7×7×7×7 74 7 4

1. ab × ab × ab

2. (-m) × (-m) × (-m) × (-m)

3. (0.1) × (0.1) × (0.1)

4. -  5  5  5  5  5 

9 9 9 9 9

5. a3b2 × a3b2 × a3b2 × a3b2
2. จงเขียนจานวนต่อไปนใี้ ห้อย่ใู นรปู เลขยกกาลงั ทมี่ ีฐานเป็นจานวนเฉพาะ
ตวั อยา่ ง 8 = 2 × 2 × 2 = 23

1. 343 =……………………………………………………………………………………………………………………………….
2. -49 =…………………………………………………………………………………………………................................

3. 125 =………………………………………………………………………………………………………………………………..

1331

4. 0.027 =…………………………………………………………………………………………………………………………………
5. 0.0625 =…………………………………………………………………………………………………………………………………

เอกสารแนะแนวทาง 1 (7)

ตวั อย่าง 23 × 22 = (2× 2 ×2) ×(2 ×2) = 25 = 23+2

1. 33 × 3 =……………………………………………………………………………………………………………………………….

2. 72 × 74 =……………………………………………………………………………………………………………………………….

3. a2 × a3 =……………………………………………………………………………………………………………………………….

4. b4 × b2 =………………………………………………………………………………………………………………………………..
5. am × an=…………………………………………………………………………………………………………………………………

สมบัติการคูณเลขยกกาลัง

ถา้ a เป็นจานวนจริงใดๆ m และ n เปน็ จานวนเตม็ แลว้ am × an = am+n

ตัวอยา่ งท่ี 4 จงหาค่าของจานวนท่ีกาหนดใหต้ ่อไปน้ี

1. 27 × 28 = 27+8 = 215

2. 38 × 310 = 38+10 = 318

3. (-3)2 × (-3)6 = (-3)2+6 = (-3)8

4. (-3)2 × 36 = 32 × 36 = 32+6 = 38

5. (-2)4 × (-2)5 = (-2)4+5 = (-2)9

ตวั อย่างที่ 5 จงหาค่าของจานวนในข้อต่อไปนี้ โดยเขียนผลลพั ธ์ให้อยู่ในรูปเลขยกกาลงั

1. a2 b3 × a3b = (a2 × a3) × (b3b) = a2+3 b3+1 = a5b4

2. 92 × 27 = 9 × 9 × 33 = 32 × 32 × 33 = 32+2+3 = 37

3. 256 × 29 = 28 × 29 = 28+9 = 217

4. (3a5b3)(5a2b) = (3×5) ×(a5×a2) ×(b3×b) = 15a5+2b3+1 = 15a7b4

(8)

แบบทดสอบความเข้าใจ2

จงหาคา่ ของจานวนตอ่ ไปน้ี โดยเขียนผลลพั ธ์ให้อยใู่ นรปู เลขยกกาลงั
ตัวอยา่ ง a2 × a5 = a2+5 = a7

1. m10 × m2 × m3 =……………………………………………………………………………………………………………….
2. 53 × 59 =………………………………………………………………………………………………………………………………
3. b2 × b10 =…………………………………………………………………………………………………………………………….
4. 16 × 23 × 24=………………………………………………………………………………………………………………………
5. 125 × 53=…………………………………………………………………………………………………………………………….
6. 75 × 73 × 49=……………………………………………………………………………………………………………………….
7. (b4× b3) × (b7 × b5)=…………………………………………………………………………………………………………….
8. a2 × b3 × a4 × b5 =……………………………………………………………………………………………………………….
9. (32x5) × (3x4) =………………………………………………………………………………………………………………………
10. (2m5)(3m2) =…………………………………………………………………………………………………………………………

(9)

แบบฝึกหดั ที่ 2

จงหาคา่ ของจานวนต่อไปน้ี โดยเขยี นผลลัพธ์ให้อยู่ในรูปเลขยกกาลัง
1. (8a5) × (2a3) =………………………………………………………………………………………………………………….
2. a2 × (3a4) =………………………………………………………………………………………………………………….
3. a4(4a2b) =…………………………………………………………………………………………………………………..
4. (2a)(2a2)(3a4) =……………………………………………………………………………………………………………………
5. (25x2)(5x15) =………………………………………………………………………………………….............................
6. (a5b10)(a9b3) =…………………………………………………………………………………………..............................
7. x4(xy)(x2y3) =……………………………………………………………………………………………………………………
8. (4m2n3)(2m4n6) =………………………………………………………………………………………………………………….
9. (-3)4(-3)5 =…………………………………………………………………………………………….....................................
10. (a2b3c4)(a2c6) =………………………………………………………………………………………………………………………

(10)

เอกสารแนะแนวทาง 2
จงหาผลหารของจานวนต่อไปน้ี โดยเขียนผลลพั ธ์ใหอ้ ยู่ในรูปเลขยกกาลัง

ตัวอย่าง 25 ÷ 23 = 25  2  2  2  2  2  2  2  22  253
23 222

1. 37 ÷ 32 =…………………………………………………………………………………………….......................................

2. 54 ÷ 5 =……………………………………………………………………………………………………………………………….

3. a4 ÷ a2 =……………………………………………………………………………………………........................................

4. a5 ÷ a3 =……………………………………………………………………………………………........................................

5. am ÷ an=…………………………………………………………………………………………….....................................

สมบตั ิการหารเลขยกกาลัง

ถ้า a เป็นจานวนจรงิ ใดๆ ทีไ่ มใ่ ชศ่ ูนย์ m และ n เป็นจานวนเตม็ บวกแลว้ am ÷ an = am = am-n

an

ตวั อยา่ งที่ 5 จงหาคา่ ของจานวนต่อไปนี้ในรูปเลขยกกาลัง

1. 58  582  56

52

2. a40  a408  a32

a8

3. 37  37  4  33

34

4. 78  783  75

73

(11)

ตวั อย่างท่ี 6 จงหาคา่ ของจานวนตอ่ ไปนี้

1. x10 y3  x10  y3  x102 y31  x8 y2
x2 y
x2 y

2. a2b8c5  a2  b8  c5  a21b83c52  ab5c3
a b3 c2
ab3c2

3. x18 y9  x18  y9  x186 y96  x12 y3
x6 y6 x6 y6

4. a5  b9  ab4  a5  a  b9  b4  a51  b94
b8 a2 b a2 b8  b a2 b81

 a6  b13  a6 b2 139  a4b4
a2 b9

********************

แบบทดสอบความเข้าใจ 3

จงหาคา่ ของ

1. a2  .......... ........  .......... 2. b5  .......... ..........  ..........
a b2

3. 6x2  .......... ........  .......... 4. y2m  .......... ..........  ..........
3x ym

5. xn1  .......... ........  .......... 6. a 2n1  .......... ..........  ..........
xn a n1

7. 12 x5 y3  .......... .......... ......... 8.  25m5n3  .......... .......... ..........
4x2 y 5m 2 n

9.  48a12b7  .......... .......... .... 10. 18 p5r 7  .......... .......... .......... ...
 6b3a8  9 pr2

(12)

เลขยกกาลังที่มีเลขช้กี าลังเป็นจานวนเตม็ ลบ วธิ ีท่ี 2 ใชส้ มบัตกิ ารหารเลขยกกาลงั
พจิ ารณาการหาค่าของจานวนตอ่ ไปน้ี
53 ÷ 57
วิธีท่ี 1 ใชค้ วามหมายของเลขยกกาลงั

53 ÷ 57 = 53 53 ÷ 57 = 53

57 57

= 555 = 53-7

5555555 = 5-4 ………(2)

=1

5555

=1 ………(1)

54

(1) = (2) ดังน้นั 54  1
54

[ (1) = (2) เพราะว่าต่างกเ็ ป็นผลหารของจานวนทีต่ ัวตงั้ มีคา่ เท่ากันและตวั หารกม็ ีค่าเท่ากนั ด้วย ]

บทนยิ าม

ถ้า a เปน็ จานวนใดๆ ท่ีไม่ใช่ศูนย์ และ n เปน็ จานวนเตม็ บวกแล้ว an  1
an

ดงั นน้ั 1  an เมื่อ a ≠ 0 และ n เป็นจานวนเตม็ บวก
an

เลขยกกาลังทีม่ เี ลขชกี้ าลงั เป็นศูนย์ (13)
พิจารณาการหาค่าของจานวนตอ่ ไปน้ี วิธที ่ี 2 ใช้สมบตั ิการหารเลขยกกาลงั
24 ÷ 24
วิธีที่ 1 ใชค้ วามหมายของเลขยกกาลงั

24  24  24 24  24  24
24 24

 2222 = 24-4
2222

= 1 ………(1) = 20 ………(2)
(1) = (2) ; ดงั น้นั 20 = 1

บทนยิ าม
ถา้ a เปน็ จานวนใดๆท่ีไม่ใช่ศูนย์ a0 = 1

แบบทดสอบความเข้าใจ 4

จงทาให้เปน็ รูปอย่างง่ายและเลขชีก้ าลงั เปน็ บวก

1. a7  .......... .......... .......... .......... ........ 2. b5  .......... .......... .......... .......... ........
a10 b6

3. 6y  .......... .......... .......... .......... ......... 4. 5a 2  .......... .......... .......... .......... .......
2y 10 a 2

5. an  .......... .......... .......... .......... .......... 6. xb2  .......... .......... .......... .......... ........
a n1 xb

7. xc2  .......... .......... .......... .......... ......... 8. 15ab4  .......... .......... .......... .......... ...
xc2  3ab10

9.  13a 8b17  .......... .......... .......... .......... 10. m 4 (a  b)2  .......... .......... .......... .........
 26a10b5 m 3 (a  b)7

(14)

เลขยกกาลังทีม่ ฐี านเป็นเลขยกกาลงั

ตวั อย่างท่ี 7 (23)4 อ่านวา่ สองยกกาลงั สาม ทง้ั หมดยกกาลงั ส่ี มี 23 เปน็ ฐาน 4 เป็นเลขชี้กาลงั

(23)4 = 23 × 23 × 23 × 23 = 23+3+3+3 = 212 = 23×4

(a2)3 อ่านว่า เอ ยกกาลงั สอง ทง้ั หมดยกกาลงั สาม มี a2 เป็นฐาน 3 เป็นเลขช้กี าลงั

(a2)3 = a2× a2 × a2 = a2+2+2 = a6 = a2×3

(am)n อ่านวา่ เอ ยกกาลงั เอม็ ทงั้ หมดยกกาลังเอน็ มี am เปน็ ฐาน n เป็นเลขชี้กาลงั

(am)n = am × am ×…× am ( n ตัว ) = am+m+…+m(n ตัว) = amn

แบบทดสอบความเข้าใจ 5

จงทาจานวนต่อไปน้ใี ห้อย่ใู นรูปอย่างง่ายและเลขชก้ี าลงั เป็นบวก

1. (23 )3  .......... .......... .......... .......... ..... 2. ( y4 )2  .......... .......... .......... .......... .........

3. (a5 )2  .......... .......... .......... .......... ....... 4. (0.252 )7  .......... .......... .......... .......... ..

 a  b
 5. 
1   .......... .......... .......... .......... .... 6.  4m 2  .......... .......... .......... .......... ...

 3  

เลขยกกาลังที่มฐี านอยใู่ นรปู การคูณของจานวนหลายๆจานวน

ตวั อย่างที่ 8 (2×3)2 มี 2 × 3 เป็นฐาน 2 เป็นเลขชกี้ าลงั

(2 × 3)2 = (2 × 3) × (2 × 3) = (2 × 2) ×(3 × 3) = 22 × 32

(3 × 5 × 4)3 = (3 × 5 × 4) × (3 × 5 × 4) × (3 × 5 × 4)

= (3 × 3 × 3) × (5 ×5 ×5) × (4 × 4 × 4)
= 33×53×43
(ab)n = anbn
(abc)n = anbncn

(15)

เลขยกกาลังท่มี ีฐานอยใู่ นรูปการหารของจานวนหลายๆจานวน

ตวั อย่างท่ี 9  2 2  22  22  22
33 33 32
3

 3 3   3   3    3 
45 45 45 45

 333
(4  4  4)  (5  5  5)

 33
43  53

 a n  a  a  a ... a ( n ตวั )  an
bn
 b  bbb...b

แบบทดสอบความเข้าใจ 6

จงทาจานวนต่อไปนใ้ี ห้อยใู่ นรูปอยา่ งงา่ ยและเลขชก้ี าลงั เป็นบวก

1. (2xy3 )2 .............. .......... .......... .......... .... 2. (3a2b)4  .......... .......... .......... .......... .....

3. (5m1n3 )2  .......... .......... .......... .......... . 4. (72 ab5 )3  .......... .......... .......... .......... ...

5. (m3n2 )5  .......... .......... .......... .......... ...... 6.  c2 4  .......... .......... .......... .......... .......
5

7.  x8  3  .......... .......... .......... .......... ....... 8.  a2b 5  .......... .......... .......... .......... .......
y2 c3

9.   x2 y5 2  .......... .......... .......... .......... ... 10.   a 4b10  2  .......... .......... .......... .......... .
5z3 2xy5

(16)

สรปุ บทนยิ ามและสมบตั ิของเลขยกกาลัง

ให้ a, b เป็นจานวนจรงิ m, n เปน็ จานวนเตม็ ; a, b ≠ 0 แล้ว

1. am× an = am+n

2. am ÷ an = am-n

3. (am)n = amn

4. (ab)n = anbn

5.  a n  an
bn
b
=1
6. a0

7. a-n = 1 และ 1  1  1  1  1 an  an
an an 1 an

an

การนาสมบัตขิ องเลขยกกาลงั ไปใชใ้ นการแก้ปัญหา

ตัวอยา่ งที่ 10 จงหาคา่ ของจานวนต่อไปน้ี โดยเขยี นผลลัพธใ์ หอ้ ย่ใู นรปู เลขยกกาลงั ท่มี ีเลขช้ีกาลงั เปน็ จานวน
เต็มบวก

1. a5  a3  a5  a5(3)  a53  a8
a3

2. (a2 )3  a(2)3  a6 1
a6

(17)

3. (a2b)4  (ab)4  (a2 )4 (b1)4  (a1)4 (b1)4

 a b  a b(2)( 4) (1)( 4) (1)( 4) (1)( 4)

 a8b4a4b4

 (a8a4 )(b4b4 )

 (a(8)4 )(b(4)4 )

 a4b0

 1 1
a4

 1
a4

4. (23 a4b)1  (42 b5 )  (23 )1(a4 )1(b1)1  (22 )2 (b5 )

 (23 a4b1)  (24 b5 )

 (23  24 )  a4  (b1  b5 )

 2 a b3(4) 4 (1)(5)

 21a4b6

 1 1  1
2 a4 b6

 1
2a4b6

 5.23  34 3  (23 )3(34 )3
22  32 5 (22 )5 (32 )5

 29312
210310

 2 3910 1210

 2132

 1  32
2

 32
2

(18)

 12a2bc  2   6 a21b13c 2
10ab3 5 
6.

  6 ab2c 2
5 

 62  a2  b4  c2
52

 62  a2  1  c2
52 b4

 62 a2c2
52 b4

7. 4abc   8x2y   4  (8)    abcx2 y 
 6xy2 12a2bc2 (6) 12 a2bc2xy 2

 4 a12b11c12 x21 y12
9

 22 a1b0c1xy 1
32

 22  1 1 1  x  1
32 a c y

 22 x
32 acy

8.  5a2b  10a3b2   5a2b  21c2d
7cd 2 21c2d 7cd 2 10a3b2

  (5)  21    a2bc2d 
 7 10  a3b2cd 2

  3 a23b12c21d12
2

  3 a1b1cd 1
2

  3 1 1c 1
2ab d

  3c
2abd

(19)

9. (xn )2  x2n
(x2 )n1 x 2 ( n 1)

 x2n
x2n2

 x2n(2n2)

 x2n2n2

 x2

1
x2

(20)

แบบฝึกหดั ที่ 3

จงทาใหอ้ ยู่ในรูปเลขยกกาลังอยา่ งงา่ ยและเลขช้ีกาลงั เป็นบวก

1. xy6 2. 2m 3 n 4
x2 y3 m4n5

3.  a 3b 5  1 4.  2x  bm 3
ab2  3b 2  ax 

 2a 4  3a  2  6 z2  2  8x2 y3 
3b 2 2b  3 yz 10 xy2 z
5.  6.

7.  72 m4 5   79 m2  8.   6x7 3   6x9  4
53 n 512 n 7y4 7y3

4a 2b 3ab3   10.
9. 9ab2 2a 3b 2p2r3 2
 4 p5r2

 11. 3 2a) xy3 3y2
2a 2  2a2  12.3y 2 4  y3

2a4

 13. 3
 3ab2 6 14.  12 x3   27 x2 y 2 
27a 2b2 3 8y2 10 x2 y 4

 15.
6s2  2s2 3 16. 2 n 1  4 n 1
3s3 4s2 2 n ( n 1) 2 ( n 1) n

(21)

รากท่ี n ของจานวนจริง

การเขยี นเลขยกกาลงั ทมี่ เี ลขชี้กาลงั เปน็ จานวนตรรกยะ ตอ้ งอาศัยความรู้เรื่อง รากท่ี n ของจานวนจริง a

เขียนแทนด้วยสญั ลกั ษณ์ n a

บทนยิ าม

ให้ n เป็นจานวนเต็มบวกทมี่ ากกวา่ 1, a และ b เป็นจานวนจริง b เป็นรากท่ี n ของ a กต็ ่อเมอื่ bn = a

ตัวอย่างท่1ี 1

22 = 2 × 2 = 4 ดงั นัน้ 2 เปน็ รากที่สองของ 4

(-3)3 = (-3) × (-3) × (-3) = -27 ดงั นั้น -3 เป็นรากที่สามของ -27

 1 2  1  1  1 ดงั นนั้ 1 เป็นรากทส่ี องของ 1
 4  4 4 16
4 16

(0.5)4 = 0.5 × 0.5 × 0.5 × 0.5 = 0.0625 ดงั นัน้ 0.5 เปน็ รากทีส่ ข่ี อง 0.0625

ค่าหลักของรากท่ี n ของ a หรอื n a

1. ถ้า a = 0 แล้ว n a = 0

2. ถา้ a > 0 แลว้ n a เป็นจานวนบวก

3. ถ้า a < 0 และ 3.1 n เป็นจานวนค่ี n a เป็นจานวนลบ

3.2 n เปน็ จานวนคู่ n a ไมใ่ ชจ่ านวนจรงิ

ตัวอย่างท่ี 12 จงหาคา่ ของ

1. คา่ หลกั ของ 3 125
เนื่องจาก (-5)3 = -125, -125 < 0 และ n = 3 ซงึ่ เป็นจานวนคี่

ดังนน้ั ค่าหลกั ของ 3 125 คอื -5

(22)

2. ค่าหลักของ 64
เนื่องจาก 82 = 64, 64 > 0 และ n = 2 ซึ่งเป็นจานวนคู่
ดงั นั้น ค่าหลกั ของ 64 คือ 8

3. คา่ หลกั ของ  9
เนอ่ื งจากไม่มจี านวนจรงิ ใดท่ียกกาลงั สองแล้วมคี า่ เทา่ กับ -9
ดังน้ัน ค่าหลักของ  9 ไมใ่ ชจ่ านวนจริง จึงไม่มีจานวนจริงใดท่เี ปน็ คา่ หลักของ  9

สมบัตขิ องรากที่ n (เม่ือ n € I+ และ n > 1)
ให้ a และ b เป็นจานวนจริงทม่ี ีรากที่ n และ n เป็นจานวนเต็มบวก

 1. n a n  a เมื่อ n a  R

a ; a  0
n n 
2.  a ; a 0, n เปน็ จานวนคีบ่ วก
a

 a ; a 0,


3. n ab  n a n b

4. n a  n a ; b  0

b nb

ตัวอย่างที่ 13

 1. 3 2 3 2 2. ( 3)2  3
4. ( (2))2   2  2
3. (3 (2))3   2
 2  5  10
5. 4 25  4  25

6. 3  8  3 8  3 (2)3  2
3 27 3 33 3
27

(23)
แบบทดสอบความเข้าใจ 7
1) จงหาคา่ รากทีส่ องและค่าหลกั ของรากทสี่ องของจานวนต่อไปนี้
ตัวอยา่ ง 121
รากทีส่ องของ 121 คือ 11 และ -11 ค่าหลักของรากที่สองของ 121 คือ 11
1. 576; รากท่ีสองของ 576 คอื .......................................................คา่ หลักของรากที่สองของ 576 คือ.............
2. 841; รากทส่ี องของ 841 คือ.......................................................คา่ หลักของรากทีส่ องของ 841 คือ.............
3. 10.24; รากท่สี องของ 10.24 คือ.................................................ค่าหลักของรากท่สี องของ 10.24 คือ.........
4. 0.3481; รากทส่ี องของ 0.3481 คือ............................................ค่าหลักของรากที่สองของ 0.3481 คือ.......
5. 1.44; รากที่สองของ 1.44 คือ.....................................................คา่ หลักของรากท่ีสองของ1.44 คอื .............
2) จงหาคา่ รากทสี่ ามและคา่ หลกั ของรากทส่ี ามของจานวนต่อไปนี้
ตวั อยา่ ง -625
รากทสี่ ามของ -625 คือ -5 และค่าหลักของรากทีส่ ามของ -625 คือ -5
1. 216; รากทีส่ ามของ 216 คือ............................................คา่ หลักของรากทีส่ ามของ216คอื ..........................
2. -512; รากทีส่ ามของ -512 คอื ..........................................คา่ หลักของรากที่สามของ-512คือ........................
3. 1,728; รากทสี่ ามของ 1,728 คอื ......................................ค่าหลักของรากทส่ี ามของ1,728คือ......................
4. -0.027; รากทีส่ ามของ -0.027 คอื ...................................ค่าหลักของรากท่สี ามของ-0.027คือ.....................
5. 2.197; รากท่สี ามของ 2.197 คอื ......................................ค่าหลักของรากท่ีสามของ2.197คือ......................

(24)

3) จงหาค่าของจานวนต่อไปนี้
ตัวอย่าง 3 2,197  64  3 133  82  13  8  5

1. 3 64  4 625  16 2. 1  256  3  729
4 900 64

3. 3 (7)9 4. 7 2,187 x14 y 21

5. 9   512 a18 b 36  6. 3 (3)6  4 158  6 412
c9

7. 243 m15 n 30 (5mn)2  3 216 m3n3
8.
5
( 2mn )2
r 20

การนาสมบัติของรากที่ n ไปใช้

ตวั อย่างที่ 14 จงหาคา่ ของจานวนต่อไปน้แี ละทาให้อย่ใู นรูปอย่างง่าย

1. 5 3  5  3  15

2. 8 4  8  4  32  16  2  16  2  4 2

3. (4 7x)2  (4 7x)(4 7x)  16  ( 7)2  x2  16  7x2  112 x2

4. (2 2a)2  (2 2a)(2 2a)  4  ( 2)2  a2  4 2a2  8a2

แบบทดสอบความเข้าใจ 8

จงหาค่าของจานวนต่อไปน้ี

1. 7 11 2. 3 15 3. ( 12x)2
4. ( 2x  5)2 5. (9 3x)2 6. 3 33 9
7. 4 4 4 256

ตวั อยา่ งที่ 15 จงหาค่าของจานวนต่อไปน้ีและทาใหอ้ ยู่ในรูปอย่างง่าย

1. 35  35  5
77

2. 80  80  16  4
55

(25)

3. 21 23  21 23  21 23  3 23
49 72 7

2x3 7x2 y5  14 x5 y5  14 x5 y5  x2 y4  xy2
4. 504 x3 y 504 x3 y 36 6

504 x3 y

5. 1.25 107  1.25  104  0.25 102  0.5102  50
5 10 3 5

แบบทดสอบความเข้าใจ 9

จงหาคา่ ของจานวนตอ่ ไปนี้

1. 75 2. 18 11 3. 363a2
3 81 3a

4. 4m 5. 8 80a7b5 6. 91a5b9c3
64m3 24 5ab 13abc

7. 3m2n4 5m4n 8. 4 72m33n51 9. 108c5d 5
375 mn 3 4 6m9 4 4n3 3c3d 3

ตัวอย่างท1ี่ 6 จงทาให้เป็นผลสาเรจ็

1. 7 5  5  (7 1) 5  8 5

2. 5 3a  7 3a  (5  7) 3a   2 3a

3. 6 28  63  112  6 4  7  9  7  16  7

 6 4 7  9 7  16 7

 62 7 3 7 4 7

 (12  3  4) 7

 13 7

4. 14a  56b  126a  224b  14a  4 14b  9 14a  16 14b

 14a  2 14b  3 14a  4 14b

 ( 14a  3 14a )  (2 14b  4 14b)

  2 14a  6 14b

 6 14b  2 14a

(26)

แบบทดสอบความเข้าใจ10

จงทาใหเ้ ป็นผลสาเรจ็

1. 2  18 2. 8 18  72  50
3. 7 175  28  63 4. 3 160 x  2 40x  5 90x
5. 5 m  m  2 m  9m 6. x 8  3a 2  5x 18

ตวั อย่าที่17 จงหาคา่ ของ

1. 3( 6  12  24)

วธิ ที า 3( 6  12  24)  3 6  12 6  24 6

 18  72  144
 9  2  36  2 12
 3 2  6 2 12
 ( 3 2  6 2) 12
 9 2 12

2. ( 5 1)2  ( 5 1)( 5 1)

วิธีทา ( 5 1)2

 ( 5  1) 5  ( 5  1)1
 5 5  (1) 5  5(1)  (1)(1)
 25  5  5  1
 5 2 5 1
 62 5

(27)

3. 18  1
18

วธิ ีทา 18  1  18  1
1 18
18

 18 18  1
(1) 18 18

 182  1
18 18

 18 1
18

 17
92

 17
32

 17 2
(3 2) 2

 17 2
6

แบบทดสอบความเข้าใจ11

จงทาจานวนตอ่ ไปน้ีใหเ้ ปน็ ผลสาเร็จ

1. 5( 10  15  40 ) 2. ( 3  2)2
4. 2( 2  8)
3. 2  1
5 10 6. (2 a  b)2
8. 3 2(4 3  2 7)
5. 75  12  2 108 10. 18  12  12  8
3
64
7. ( 6  5)( 6  5)

9. 3 32  4 18  2 50
9 25

(28)

แบบฝกึ หดั ที่ 4

จงหาคา่ ของ 2. 11 5  3,125  3 500

1. [ 450  98  288 ]  200 4. 4 128  2 147  3 18  5 75
3. 2,025  3 8,000  289
6. 200a  98a  288a3
5. 18m2n3 6mn 4 4a 2a 6a2

7. 8s2t 8. 3 3(4 8  5 27 )
st
10. (7  3)2 (2 3)
9. (5 2  3)(2 2  2 3)

เลขยกกาลังทีม่ เี ลขช้กี าลังเป็นจานวนตรรกยะ
บทนิยาม

1

1. ให้ a เปน็ จานวนจริง n เป็นจานวนเตม็ ท่มี ากกว่า 1 และ a มีรากที่ n แล้ว a n  n a

2. ให้ a เป็นจานวนจรงิ m และ n เป็นจานวนเตม็ ท่ี n > 0 และ m เปน็ เศษส่วนอยา่ งต่าแลว้

n

 m a1m
n 
2.1 a n
  nam

 m 1

2.2 a n  am n  n am

(29)

ตวั อยา่ งท1ี่ 8 จงหาคา่ ของ

2 11

1. 83  (82 ) 3  64 3  3 64  3 43  4

2. 32 0.4 4  2 1  (5 32 )2  (5 25 )2  22  1

 32 10 32 5  (32 5 )2 4

หมายเหตุ เลขยกกาลงั ทม่ี ีเลขช้กี าลงั เปน็ จานวนตรรกยะมีสมบตั เิ ช่นเดยี วกบั เลขยกกาลังท่ีมีเลขช้กี าลังเป็น
จานวนเต็ม [ ในหน้า 16 ]

ตัวอย่างที1่ 9 จงหาค่าของจานวนต่อไปน้ี

2 2 3 2  22  4

1. 83  (23)3 23

2. 32 0.4  (25 ) 4 5  4   22  1  1
10 22 4
 2  10 

2  2  (5 2 )  25
10
3. 125 3  252.5 (53 ) 3

 5 2  55

 53

1
53

1
125

1 2 1 3 (2 2 )  1 21 12 35
2
4. 4 2 a 3b 6 c 2 a3 3b 6 3c 2 2
2 1 2 5  2
83 a 3b 3c2
(23 ) 3

 2 12  1  4 c 4
6 6
ab

1

 23 ab2c4

 1 1  1

 ab2
23 c4

1

 ab2
23 c 4

(30)

ตวั อยา่ งที2่ 0 จงหาค่าของ x จากสมการต่อไปนี้

1. 3x  81 2. 4x  8
3x  34 (22 )x  23
x 4 22x  23
2x  3
1) จงหาคา่ ของจานวนต่อไปน้ี x 3
2

แบบฝึกหดั ท่ี 5

5 1 3

1. 64 6 2. 216 3 3. 121 2

4 5. 42.5 3

4. 27 3  1   3 6. 81 4
4
7. 625 0.25 8. 2
16 
9. 32 0.8 1,000 3

  2 1

 2 1 3  3  a 4b 5 c  4  4
   3 3 
x3 y3 m 4 n2  
10. 11. 12. 1 2
1 3 3
 m3n 2  
a 2b c

13 1 11  1

13. x 2 (x 2  x 2 ) 14.  32  27 2 15. 26  312 6

2) จงหาคา่ ของ x จากสมการตอ่ ไปน้ี

1. 81x 2 1 2

 27 3 2. 7 x  343 6 3. 8x  (64) 3

11 12

4. 16 x  2 2 82 5. 256 x  43  4 3