Buku Panduan Guru Matematika untuk SMP Kelas VII

PenMdaaltaemri an dengan garis l, maka PB = PC, maka AP + PB =
AP + PC. Di sini, panjang AP + PC menjadi yang
Jarak Terpendek terpendek hanya terjadi dalam hal A, P, dan C
Mengangkut Air ada dalam satu garis lurus. Oleh karena itu, titik
perpotongan l dan AC adalah titik P yang dicari.
Kita mulai dari titik A di daerah perkemahan, A
mengambil air di perjalanan untuk dibawa ke A
tempat memasak B. Di titik mana di tepi sungai B B
sedemikian hingga jarak dari A ke B sedekat
mungkin? ¬
P
1 Pada gambar di samping ini, B A
P C
ketika memindahkan P sepanjang
l, amati apakah panjang AP + PB Penjelasan dan Hal yang Perlu Diingat

berubah. Perkirakan posisi P hingga l
meminimumkan AP + PB.

2 Berdasarkan proses berikut A BAB 5 | Bangun Datar 1. Penjelasan 1

ini, temukan posisi titik P yang B Bleh juga membiarkan siswa memper-
meminimalkan panjang AP + PB. kirakan pada saat dimana mereka telah
memahami soal ini. Misalnya jika muncul
1 Lukislah titik C yang dihasilkan l perkiraan untuk melipat titik M, H, N seperti
ketika titik B dicerminkan pada gambar berikut ini, salin panjang masing-
menggunakan garis l sebagai masingnya dengan menggunakan jangka lalu
sumbu pencerminan. bandingkan. Dengan demikian, berdasarkan
posisi titik pada l, maka akan dapat dipahami
2 Hubungkan titik A dan C. dengan jelas bahwa panjang AP + PB adalah
3 Titik potong antara l dan segmen berbeda. Lalu, pada tahap tersebut, buat para
siswa memperbaiki perkiraan mereka.
garis AC menunjukkan posisi P.
A
3 Jelaskan mengapa kita dapat Panjang PB dan PC B
sama.
menentukan posisi titik P yang ¬
meminimumkan panjang AP + PB MHN
dengan proses di (2).
2. Penjelasan 2
Bab 5　Bangun Datar 193
Diharapkan agar dapat masuk ke pelajaran
Jarak Terpendek Mengangkut Air 2 ke pelajaran 1 secara alami. Tapi, jika pelajaran
siswa tertahan pada 1, maka tunjukkan cara 2.
Tujuan
Di sini, yang menjadi tujuan adalah bahwa
Dapat mencari jalur mengumpulkan air yang siswa dapat membaca langkah 1~3, dan
terpendek dengan cara melukisnya, dan dapat melakukan konstruksi dengan benar.
menjelaskannya.
3. Tujuan 3
Jawaban
Pada cara 2, dijelaskan mengapa titik
1 terpendek AP + PB, P dapat dicari. Yang menjadi
dasarnya adalah, melalui jarak antara 2 titik
Disingkat yang telah dipelajari di buku pelajaran halaman
167.
2

Disingkat

3

Jika titik pada garis l adalah P, titik C adalah
titik yang simetris dengan titik B yang terkait

Bab 5 Bangun Datar 193

KEMENTERIAN PENDIDIKAN, KEBUDAYAAN, RISET, DAN TEKNOLOGI BAB KEMENTERIAN PENDIDIKAN, KEBUDAYAAN, RISET, DAN TEKNOLOGI
REPUBLIK INDONESIA, 2021 REPUBLIK INDONESIA, 2021
Buku Panduan Guru Matematika 6 Matematika
untuk Sekolah Menengah Pertama Kelas VII untuk Sekolah Menengah Pertama Kelas VII
Penulis: Tim Gakko Tosho Penulis: Tim Gakko Tosho
Penyadur: Sugiman & Achmad Dany Fachrudin Penyadur: Sugiman, Achmad Dany Fachrudin
ISBN: 978-602-244-517-3 (jil.1) ISBN: 978-602-244-515-9 (jil.1)

BAB Bangun Ruang

6 Bangun Ruang 1 Sifat-sifat Bangun Ruang

(Pembukaan Bab 1 jam) 2 Berbagai Cara Mengamati Bangun Ruang

Tujuan 3 Pengukuran Bangun Ruang

Jenis bangun apakah yang kamu temukan
di halaman ini?

Ada berbagai benda di sekitar kita.

1. Mampu memahami benda-benda di sekitar 1 Temukan benda-benda yang bentuknya sama dengan bangun berikut ini.
sebagai bangun ruang.

2. Mampu memahami Jenis dan unsur-unsur
yang membentuk sebuah bangun ruang
melalui pengamatan.

Jawaban

1 194 Matematika untuk Sekolah Menengah Pertama Kelas VII

<Prisma segitiga> Kue yang dasarnya berbentuk dapat menuntun siswa untuk memahami bentuk
segitiga tiga dimensi dan terdapat bangun ruang yang
<Balok> Kotak yang dibawa oleh anak perempuan tidak dapat ditangkap ke-tigadimensian-nya jika
<Prisma segienam> Kotak kue diamati hanya dari satu arah saja.
<Silinder> Kaleng minuman
<Bola> Bola ucapan Selain itu, pada kelas 5 SD dipelajari
<Kerucut> Topi pesta bahwa ”Bangun tiga dimensi adalah bangun
<Piramida> Metronom yang dikelilingi oleh permukaan datar atau
melengkung”, namun tidak membahas
Penjelasan dan Hal yang Perlu Diingat mengenai prisma dan tabung. Meski demikian,
bentuk- bentuk tersebut pun dapat ditemukan
1. Penjelasan terhadap halaman ini di kehidupan sehari-hari dan oleh karenanya ada
baiknya dijelaskan secara sederhana di sini.
Bersamaan dengan siswa memahami
benda nyata di sekelilingnya sebagai bangun Berdasarkan hal tersebut, ada baiknya juga
ruang, dengan cara mengingatkan mengenai membuat siswa mencari berbagai bentuk tiga
nama dan ciri-ciri bangun tiga dimensi yang dimensi dari benda-benda nyata yang digunakan
dipelajari di Sekolah Dasar, diharapkan minat dan di kelas dan di rumah, di luar yang ada di dalam
motivasi siswa terhadap bentuk ruang semakin ilustrasi.
meningkat.
Meski demikian, penting di sini untuk
Pertama, dari ilustrasi pada buku pelajaran diingat bahwa tidak pelu memikirkan hal terlalu
halaman 194-195, dengan melakukan kegiatan mendetail seperti ketidakrataan permukaan, dan
di mana siswa mencari 7 bentuk tiga dimensi dan buat agar siswa dapat membayangkan bentuk
berdiskusi bebas tentangnya, diharapkan dapat bangun tiga dimensi dari benda nyata.
membuat mengetahui bahwa banyak benda di
sekelilingnya yang dapat digolongkan sebagai
bangun tiga dimensi. Di antaranya, yang mungkin
banyak diperbincangkan oleh siswa adalah kue,
topi pesta, dan metronom. Melalui pembicaraan
dan diskusi di antara siswa, diharapkan untuk

194 Buku Panduan Guru Matematika untuk Sekolah Menengah Pertama Kelas VII

Gedung Piramid di Rowosari Cerobong asap Rumah adat mbaru Niang, Rumah Gedung BSI di Sekolah Dasar adalah bangun ruang, atau
pembangkit listrik Adat di Kampung Wae Rebo NTT dengan kata lain hal yang terbetuk dari
gabungan sebagian permukaan dan garis di
Sumber: http://seputarsemarang.com/; https://indonesiapower.co.id/; kompas.com; mediaindonesia.com dalam ruangan.

Beberapa contoh bangun ruang di sekitar kita Ada baiknya juga, di saat melakukan
kegiatan mencari bangun tiga dimensi dari
BAB 6 Bangun Ruang│ benda yang ada di sekeliling, diadakan juag
aktivitas di mana siswa memisahkan mana
bangun yang sudah dipelajari di sekolah dasar
dan mana yang belum di antara bentuk-bentuk
yang mereka temukan. Setelah itu, dengan
mendiskusikan ciri-ciri khasnya, bersamaan
dengan membahas kembali hal-hal tentang
bangun tiga dimensi yang telah dipelajari di
Sekolah Dasar, diharapkan untuk fokus pada
elemen yang membentuk bangun tiga dimensi
yaitu rusuk dan permukaan. Hal ini terkait
dengan pengelompokan bangu tiga dimensi
pada halaman berikut.

Referensi Bangun tiga dimensi di
sekolah dasar

Di Sekolah Dasar, telah dipelajari berbagai

Ketika kita menyelidiki bangun-bangun ruang, apa yang harus kita perhatikan? bentuk bangun ruang dan bagaimana cara

Hlm.196，206，208，210 menghitung luas permukaan dan volume.
Namun, di sini materi diperdalam dan
BAB 6　Bangun Ruang 195 penerapan konsep untuk menyelesaikan

2. Pemanfaatan model tiga dimensi, dsb berbagai permasalahan dipelajari.
Beberapa siswa mungkin mengalami
Referensi Bangunan di dalam foto
kesulitan untuk membaca bentuk yang tepat
dari bangun tiga dimensi melalui ilustrasi atau 4 Foto bangunan yang ada di halaman ini
foto satu arah. Oleh karena itu, diharapkan dapat dikira-kira mirip dengan bangun seperti
mendukung pemahaman siswa dengan di bawah ini:
menyiapkan beberapa foto, model 3D, dan 1. Gedung piramida di Rowosari (limas)
gambar digital. Benda yang dapat dianggap 2. Cerobong asap pembangkit listrik (tabung)
sebagai bangun tiga dimensi yang digambarkan 3. Rumah adat mbaru Niang, Rumah Adat di
di dalam buku pelajaran kebanyakan adalah
benda relatif mudah untuk disiapkan, jadi Kampung Wae Rebo NTT (kerucut)
sebaiknya persiapkan benda yang sebenarnya 4. Gedung bank BSI, (Prisma segiempat)
bersama dengan model tiga dimensi.

3. Penjelasan terhadap balon ucapan
Di Sekolah Menengah pertama, penting

bagi siswa untuk menyadari bahwa objek
yang dianggap sebagai bangun tiga dimensi

Bab 6 Bangun Ruang 195

1 Sifat-Sifat Bangun Ruang 1 Sifat-Sifat Bangun Ruang

6 jam 1 Berbagai Bangun Ruang

1 Berbagai Bangun Rung Tujuan Siswa memahami berbagai bangun ruang dengan memusatkan perhatian
pada permukaannya.
2 jam
Bagaimana mengelompokkan enam bangun ruang a - f ?
Tujuan
a bc
1. Dapat memahami mengenai limas dan
kerucut. d ef

2. Dapat memahami polihedron dan polihed- 1 Tegar mengelompokkan bangun-bangun di atas menjadi dua
ron beraturan. kelompok. Jelaskan bagaimana Tegar mengelompokkannya.

Jawaban ac

(1) Balok (sisi kiri) dan bentuk selain itu (prisma, b
sisi kanan)
f
(2) Contoh ed
Kelompok berdasarkan bangun yang
hanya terdiri atas permukaan datar dan 2 Dapatkah kamu mengelompokkan Cobalah
yang memiliki permukaan melengkung dengan cara yang berbeda? mengelompokkan
bangun-bangun ruang
19 6 Matematika untuk Sekolah Menengah Pertama Kelas VII dengan berbagai cara.

Pengelompokan berdasar bangun Dengan tujuan itu juga, dengan
yang memiiki titik sudut dan yang menyediakan model tiga dimensi dan
tidak memiliki titik sudut mengamati benda nyata, dan menyiapkan
kartu bergambar bentuk-bentuk tiga dimensi
Penjelasan dan Hal yang Perlu Diingat sehingga siswa dapat menyampaikan
pemikirannya dengan lebih mudah.
1. Penjelasan
Di sini, bersamaan dengan memunculkan Mengenai cara pengelompokan, selain
cara yang disebutkan di dalam jawaban di
pendapat yang berbeda dari para siswa, kegiatan atas, tentunya dapat juga meggunakan cara
berdiskusi dan saling menjelaskan mengenainya lain seperti ”Sisi alasnya adalah segitiga,
juga adalah hal yang sangat penting. Pada segiempat, lingkaran”, ”Jika dilihat dari samping
saat itu, diinginkan untuk mendukung agar membentuk balok, segitiga sama kaki” dan
siswa dapat melakukan penjelasan dengan lain sebagainya. Di sini, diinginkan agar dapat
menggunakan kata-kata, gambar, benda di menjelaskan dengan cara yang masuk di akal
sekitar, juga menjelaskan keterkaitannya. Selain mengenai di manakah harus memusatkan
itu, diinginkan agar siswa memiliki pemahaman perhatian pada gambar dan benda nyata, dan
untuk melakukan penjelasan dengan bagaimana cara mengelompokkannya. Lebih
menggunakan istilah matematis. jauh lagi, pusatkan juga perhatian siswa pada
jumlah rusuk, permukaan atau sisi, dan titik
sudut, dan, berdasarkan keadaan siswa, jelaskan
juga mengenai cara menyatakan hubungannya
dengan persamaan.

196 Buku Panduan Guru Matematika untuk Sekolah Menengah Pertama Kelas VII

Seperti yang telah kita pelajari di Sekolah Dasar, bangun-bangun ruang 2 permukaan (alas) yang kongruen dan sejajar,
seperti pada (a) dan (e) di halaman 196 disebut prisma. Jika bentuk alas adalah serta disebut prisma segitiga, prisma segiempat,
segitiga, maka disebut prisma segitiga. Jika alasnya segi empat, maka disebut dan tabung berdasarkan bentuk alasnya. Di sini,
prisma segi empat, dan seterusnya. Bangun ruang seperti (c) pada halaman ingatkan siswa akan apa yang telah dipelajari di
196 disebut tabung. Sekolah Dasar.

Soal 1 Sebutkanlah persamaan dan perbedaan antara prisma dan tabung. 3. Limas dan kerucut

Bangun ruang seperti (b) dan (f) pada halaman 196 disebut limas. Jika alasnya Pembelajaran mengenai limas dan
berbentuk segitiga, maka disebut limas segitiga. Jika alasnya segi empat, kerucut relatif baru bagi siswa. Oleh karena itu,
maka disebut limas segi empat, dan seterusnya. siapkanlah model tiga dimensi, dan melalui
Bangun ruang (d) di halaman 196 disebut kerucut. Sebagaimana prisma dan pengamatan dan manipulasi siswa terhadapnya,
tabung, limas dan kerucut mempunyai alas dan permukaan samping. Titik O bersamaan dengan memeriksa alas, permukaan
pada bangun tersebut disebut titik puncak limas atau kerucut. dan puncak yang ada pada limas dan kerucut,
pusatkan perhatian siswa ke fakta bahwa semua
Puncak O Puncak permukaan atau sisi limas adalah segitiga.
O O
Selain itu, dikarenakan bentuk segitiga
Permukaan Permukaan permukaan limas, ada juga siswa yang keliru
menyebut limas segiempat sebagai limas
Alas Alas segitiga. Sekali agi tegaskanlah bahwa seperti
halnya dengan prisma, penamaan limas
Limas Segitiga Limas Segiempat Kerucut didasarkan pada bentuk alasnya.

Soal 2 Sebutkan banyaknya permukaan limas segitiga, permukaan limas BAB 6 Bangun Ruang 4. Prisma Beraturan, Limas Beraturan

segiempat, dan permukaan limas segilima. │ Sebagian besar prisma dan limas yang
dipelajari di SMP memiliki alas yang berupa segi
Sebuah prisma yang mempunyai alas Segitiga segiempat banyak beraturan. Tegaskan bahwa nama-nama
segitiga sama sisi, persegi, atau segi Prisma segitiga Limas segiempat bentuk tersebut adalah prisma segitiga sama
banyak beraturan disebut prisma segitiga sisi, limas persegi, dan sebagainya,
sama sisi, prisma persegi, dan seterusnya.
Sama halnya dengan limas yang
mempunyai alas segitiga sama sisi,
persegi, atau segi banyak beraturan
disebut limas segitiga sama sisi, limas
persegi, dan seterusnya.

BAB 6　Bangun Ruang 197 Referensi Unsur pembentuk prisma dan
limas
Jawaban
Seperti pada gambar 1, berdirikan segmen
Soal 1
garistegaklurusterhadapsegibanyak A A
Hal yang sama atau lingkaran, kemudian
Memiliki 2 permukaan alas yang kongruen
dan sejajar. jika segmen garis tersebut

Titik yang berbeda diputarkan satu keliling BB
Alas prisma adalah berupa segi banyak atau mengikuti segi banyak atau
poligon, sementara alas tabung adalah Gambar 1
lingkaran.
Permukaan prisma adalah persegipanjang, lingkaran tersebut, maka
sementara permukaan tabung adalah
bidang lengkung. jejak pergerakan garis tersebut akan menjadi

Soal 2 permukaan prisma.

Limas segitiga... 4 Selain itu, seperti pada gambar 2, jika
Limas segiempat... 5
Limas segi lima.. 6 satu ujung segmen garis A A
2. Prisma, silinder ditetapkan pada satu posisi

Prisma dan tabung sudah pernah dibahas di lalu ujung yang satu lagi
kelas 5 SD, dan dipelajari bahwa mereka memiliki
digerakkan mengelilingi

bentuk segi banyak atau B B
Gambar 2
lingkaran sebanyak satu

putaran, maka jejak

pergerakan segmen garis tersebut akan

membentuk permukaan limas atau kerucut.

Bab 6 Bangun Ruang 197

Jawaban Polihedron

a, b, d, f Di antara bangun-bangun ruang a - f pada halaman 196, manakah yang
tersusun atas bidang-bidang datar?
Soal 3
Bangun ruang yang dibatasi oleh bidang-bidang datar saja disebut
Prisma segiempat... heksahedron Polihedron. Penamaan polihedron sesuai dengan banyaknya permukaan.
Limas segiempat... pentahedron Sebagai contoh, tetrahedron terdiri atas empat permukaan, pentahedron
terdiri atas lima permukaan, dan heksahedron terdiri atas enam permukaan,
Soal 4 dan seterusnya.

Jumlah permukaan yang berkumpul di satu titik Soal 3 Apa jenis polihedron dari prisma segi empat dan limas segi empat?
sudut... 3
Banyaknya titik sudut…5 × 12 ÷ 3 = 20 Polihedron yang memiliki permukaan poligonal beraturan (sama dan
Banyaknya rusuk…5 × 12 ÷ 2 = 30
sebangun) dan setiap titik puncak menghubungkan sejumlah permukaan
Penjelasan dan Hal yang Perlu Diingat
yang sama banyaknya disebut polihedron

beraturan. Saya Bertanya
Hanya ada lima jenis polihedron beraturan,
seperti ditunjukkan pada gambar berikut ini. Mengapa kita dapat menyimpulkan
bahwa hanya ada lima jenis
polihedron beraturan?

Hlm.205

Tetrahedron beraturan Heksahedron beraturan (kubus) Kita dapat melihat bahwa
Tetrahedron merupakan
piramida segitiga beraturan
dan Heksahedron
beraturan adalah prisma
persegi.

5. Penjelasan Oktahedron beraturan Dodekahedron beraturan Ikosahedron beraturan

Dengan menegaslan bahwa limas dan Bangun-bangun ini
prisma adalah bangun tiga dimensi yang bukan polihedron.
masing-masingnya terdiri atas permukaan datar Mengapa?
saja, sementara silinder dan kerucut memiliki sisi
lengkung, diharapkan bahwa para siswa akan Soal 4 Sebutkanlah banyaknya permukaan yang saling berdekatan pada setiap
memahami dengan benar deinisi polihedron. titik sudut dodekahedron. Sebutkan juga banyaknya titik sudut dan
banyaknya rusuk.
6. Penjelasan Soal 3
Kita telah belajar tentang Apakah juga ada hubungan letak kedudukan
Terkait dengan soal ini, dengan kegiatan hubungan letak kedudukan antara garis-garis dan bidang pada ruang?
mencari tahu jumlah permukaan pada prisma garis-garis pada bangun
segitiga dan limas segitiga, diharapkan siswa datar. Hlm.199
memahami bahwa dibutuhkan setidaknya 4
bidang untuk membentuk sebuah polihedron. 198 Matematika untuk Sekolah Menengah Pertama Kelas VII

7. Penjelasan Soal 4 Benda di sebelah kiri terbentuk dari
permukaan berbentuk segilima beraturan dan
Jika menyangkut soal dodekahedron segienam beraturan(Juga disebut icosahedron
beraturan dan ikosahedron beraturan, beberapa terpotong, dapat dipotong pada titik 1 dari
siswa mungkin kesulitan mencari banyaknya tiap rusuk pada puncak icosahedron. 3
titik sudut dan rusuk karena jumlahnya
yang cukup banyak. Oleh karena itu, siswa Benda di tengah adalah kombinasi dari dua
disarankan untuk benar-benar mengambil tetrahedron teratur yang kongruen, dan jumlah
model tiga dimensi dan mengamatinya. Selain permukaan yang berkumpul pada satu puncak
jumlah rusuk, permukaan, dan titik sudut adalah 3 atau 4 buah. Benda di sebelah kanan,
dari polihedron beraturan, siswa juga dapat selain memiliki cekungan, jumlah permukaan yang
menemukan ada tiga jenis bidang yang bersatu berkumpul pada satu puncak adalah 5 atau 6 buah.
membentuknya: segitiga sama sisi, persegi,
dan segi lima beraturan, serta banyaknya 8. Penjelasan untuk balon percakapan
rusuk dan rusuk yang berkumpul di satu titik
sudut di dalamnya. Berdasarkan hasil tersebut, Di sini, sambil mengingat kembali siswa
disarankan untuk mengarahkan pada kegiatan akan hubungan posisi garis lurus pada sebuah
yang membuat siswa berpikir mengapa benda bidang, arahkan siswa untuk mengajukan
tiga dimensi pada ketiga foto di atas bukan pertanyaan “hubungan posisi seperti apa yang
merupakan polyhedron beraturan. dimiliki sebuah garis lurus atau bidang pada
ruang?” Dan menghubungkannya dengan
pembelajaran di halaman berikutnya.

Di sekolah dasar, siswa mempelajari
mengenai hubungan posisi elemen pembentuk
bangun tiga dimensi konkret (hubungan sejajar
dan tegak lurus pada garis dan bidang).

198 Buku Panduan Guru Matematika untuk Sekolah Menengah Pertama Kelas VII

2 Kedudukan Garis dan Bidang pada Ruang Garis yang melewati dua titik A dan B hanya ada
satu
Tujuan Siswa memahami letak kedudukan garis dan bidang pada ruang
Soal 1
Menentukan Bidang ＡＢ
Karena tiga titik yang tidak berada di satu garis
Terdapat dua titik A dan B pada bidang P. lurus adalah sebuah bidang, maka tempat
Ada berapa banyak garis yang dapat dilukis mendaratnya ketiga kakinya sudah pasti
melalui A dan B? merupakan sebuah bidang, sehingga stabil
karena selalu berada di posisi yang pas dengan
Catatan Ketika kita mengatakan bidang, pada umumnya yang P lantai atau permukaan tanah.
dimaksud adalah bidang yang diperluas ke segala arah.
Kita menggunakan simbol P dan disebut bidang P. Penjelasan dan Hal yang Perlu Diingat

Jika titik A dan B pada bidang P, maka garis Ｃ BAB 6 Bangun Ruang 1. Penjelasan
AB berada di P. ＡＢ
Terdapat satu bidang yang memuat garis AB Di sini, pastikan agar siswa terlebih
dan satu titik C di luar garis. Namun, banyak P dahulu memahami bahwa seperti halnya pada
bidang tak terhingga yang memuat garis bangun datar, di dalam ruang pun, garis lurus
AB. Dengan kata lain, hanya ada satu bidang memanjang sampai tidak terhinga. Setelah itu,
yang memuat tiga titik yang tidak segaris. atur agar siswa dapat memahami bahwa pada
bidang juga sama, meluas sampai luasnya tak
│ terhingga.

Soal 1 Terdapat tripod yang digunakan untuk menyangga kamera. Jelaskan Setelah itu, tegaskan bahwa di ruang pun
Diskusi mengapa tripod memiliki tiga kaki. garis ditentukan oleh dua titik, dan di saat di
bidang P terdapat 2 titik A dan B, garis lurus AB
Sumber: Dokumen Puskurbuk juga termasuk dalam P.

BAB 6　Bangun Ruang 199 2. Menentukan bidang

2 Kedudukan Garis dan Bidang Diharapkan siswa dapat memahami secara
intuitif bahwa bidang yang memiliki 3 titik
pada Ruang 2 jam yang tidak verada pada satu garis adalah satu
buah dengan berdasarkan pada gambar. Terkait
Tujuan dengan ini, ada baiknya dilakukan percobaan
menyeimbangkan kertas karton dengan dua jari
1. Dapat memahami kondisi yang menentu- dan satu jari.
kan sebuah bidang.
3. Penjelasan Soal 1
2. Dapat memahami kedudukan antara garis
dengan garis, garis dengan bidang, dan Di sini, penting adanya bahwa siswa
bidang dengan bidang pada ruang. mengungkapkan menggunakan bahasanya sen-
diri, dengan berdasarkan kondisi menentukan
3. Dapat memahami jarak antara titik dan bidang. JIka bisa menyediakan tripod, ada
bidang pada ruang, dan jarak dua bidang baiknya juga memperlihatkan kepada siswa
sejajar pada ruang. bahwa dengan mengatur panjang kakinya,
tripod bisa diseimbangkan pada bidang miring
Jawaban sekalipun. Selain itu, diharapkan siswa dapat
memahami, apakah akan bisa seimbang jika
Garis yang melewati titik A jumlahnya bisa menggunakan dua atau empat kaki.
mencapai tidak terhingga.

Bab 6 Bangun Ruang 199

Jawaban Dua Garis

(1) Rusuk yang sejajar dengan rusuk AE Diketahui prisma segi empat pada gambar berikut ini.
…rusuk BF, CG, DH
Rusuk yang berpotongan dengan rusuk AE 1 Rusuk manakah yang sejajar dengan l Ｄ Ｃm
…rusuk AB, AD, EF, EH rusuk AE? Ｇ
Ｈ
(2) Ada (Rusuk BC,FG,DC,HG) Rusuk manakah yang tegak lurus dengan Ａ Ｂ
rusuk AE?
Soal 2 2 Adakah rusuk yang tidak sejajar dan juga Ｅ Ｆ

Rusuk AD, BC, DH, CG tidak berpotongan dengan rusuk AE?

Penjelasan dan Hal yang Perlu Diingat Terdapat garis-garis Jalan yang tidak sejajar dan tidak berpotongan
yang tidak sejajar dan Sumber: canal-midi.info
4. Pembelajaran mengenai kedudukan juga tidak berpotongan,
garis dan bidang seperti garis l dan m di
Pembelajaran mengenai kedudukan garis atas.
Garis l dan m disebut
dan bidang adalah pembahasan yang keperluan garis-garis bersilangan.
dan maknanya pembelajaranya sulit dipahami Garis-garis bersilangan
oleh siswa. Di saat memberikan pelajaran pada berada pada bidang yang
siswa, diharapkan untuk membuat siswa berpikir berbeda.
mengenai hubungan kedudukan melalui
pengamatan dan manipulasi obyek nyata, dan Terdapat tiga macam kedudukan antara dua garis, seperti ditunjukkan pada
memahaminya melalui apa yang dirasakan. gambar berikut ini.

Selain itu, di saat mengadakan diskusi pada bidang yang sama tidak terletak pada bidang yang sama
mengenai hubungan kedudukan, lakukanlah
penjelasan pada koridor logika, seperti dengan l // m l
meminta siswa menjelaskan dasar pemikirannya,
dan sebagainya. l l m
m m PP
5. Penjelasan P 2 sejajar
Di SD kelas 4 siswa belajar mengenai 1 berpotongan 3 bersilangan

hubungan tegak lurus dan sejajar antara sisi tidak berpotongan
dan bidang pada balok dan kubus. Di sini, kita
akan membahas kembali mengenai hubungan Soal 2 Rusuk manakah dari prisma segiempat pada yang merupakan garis-garis
tersebut dan memperluasnya ke hubungan yang bersilangan dengan rusuk EF?
kedudukan dua garis lurus dalam ruang.
20 0 Matematika untuk Sekolah Menengah Pertama Kelas VII
Pastikan semua sisi sejajar atau tegak lurus
dengan sisi AE yang dijawab di (1) berada pada contoh yang serupa, diharapkan siswa dapat
bidang yang sama dengan sisi AE. membayangkan secara kongkrit mengenai
posisi bersilangan. Jika kelas dibayangkan
6. Posisi bersilangan sebagai sebuah ruang, dengan garis pertemuan
Pastikan bahwa rusuk yang dijawab pada antara tembok dan langit-lagit sebagai rusuk,
maka dapat dicari rusuk yang bersilangan di
[Q] 2 tidak berada pada bidang yang sama dalam ruangan kelas.
dengan rusuk AE, lalu deinisikan mengenai
posisi bersilangan. 7. Hubungan kedudukan 2 garis dalam ruang

Di buku pelajaran diperlihatkan foto Hubunga antara dua garis yag ada
jalan layang yang memiliki bebrapa jalur pada bidang datar hanya ada dua yaitu “1.
yang bersilangan. Dengan kegiatan mencari Berpotongan, atau 2. Sejajar”. Beri pemahaman
kepada siswa juga bahwa di dalam ruang,
terdapat tambahan yaitu, “3. Berada dalam
posisi bersilangan”.

Selain itu, “Dua garis yang berpotongan »
dan « Dua garis yang sejajar” masing-masingnya
dapat kembali ke “tiga titik yang tidak verada
pada satu garis yang sama”, oleh karenanya dua
garis tersebut verada di satu bidang yang sama,
dengan kata lain, dapat dipandang sebagai
kondisi penentuan bidang.

200 Buku Panduan Guru Matematika untuk Sekolah Menengah Pertama Kelas VII

Garis dan Bidang Ｄ hubungan kedudukan rusuk dan bidang dapat
dibagi menjadi tiga, yaitu
Selidikilah hubungan letak kedudukan ＡＣ (1) Rusuk berada pada bidang
antara permukaan EFGH dan setiap (2) Tegak lurus
rusuk prisma segiempat di samping ini. Ｂ (3) Sejajar
Kelompokkan rusuk-rusuk berdasarkan
hubungan letak kedudukannya. Ｈ Ｇ Pada saat itu, penting bagi siswa untuk
Ｅ berpikir melalui pengamatan dan memegang
benda nyata, dan mendiskusikan pemikirannya.
Ｆ
Setelah itu, hal tersebut diperluas ke ruang
Jika garis l dan bidang P tidak berpotongan, maka mereka dikatakan sejajar dan secara umum, dan diharapkan untuk dilakukan
ditulis l//P. penyusunan hubungan kedudukan antara garis
Ada tiga macam kedudukan antara sebuah garis dan sebuah bidang sebagai dan bidang. Selain itu, jarakan pada siswa bahwa
berikut. lambang // juga digunakan untuk menunjukkan
kesejajaran baik pada garis maupun bidang, dan
ll ditulis seperti misalnya, l//P.

l // Ｐ
l

P P P
1 pada bidang 2 berpotongan 3 tidak berpotongan (sejajar)

Sebuah buku kita letakkan di atas Ａ │BAB 6 Bangun Ruang
meja pada posisi berdiri dan kita buka
sampulnya (lihat gambar di samping Ｂ 9. Penjelasan (Bawah)
kanan). Bagaimana hubungan tempat Ｃ
kedudukan AB dan BC? Jika garis berpotongan tegak lurus dengan
ＣＣ bidang, maka harus disebut bahwa garis tegak
l lurus terhadap semua garis yang melewati
titik perpotongan dengan bidang, yang ada
Ｏ pada bidang tersebut. Ini adalah soal yang
P dimunculkan agar siswa memikirkan dan

l ¦Ｐ memahami deinisi tersebut dari fenomena

BAB 6　Bangun Ruang 201 yang nyata.

Jawaban Bisa menggunakan buku pelajaran, namun
jika menggunakan buku yang kertasnya tebal
Dapat dibagi ke tiga kelompok di bawah ini seperti buku bergambar, percobaan ini akan
Rusuk yang ada di bidang EFGH lebih mudah dilakukan. Periksa bahwa meski
... rusuk EF, FG, HG, EH sampul buku dibuka sebesar berapa derajat
Rusuk yang berpotongan tegak lurus pun, rusuk AB dan rusuk BC akan selalu tegak
terhadap bidang EFGH lurus.
…rusuk AE, BF, CG, DH
Rusuk yang sejajar dengan bidang EFGH Memahami hal ini akan berhubungan
…rusuk AB, BC, DC, AD dengan deinisi tegak lurus garis dengan bidang.

Berada di posisi manapun rusuk BC, rusuk AB Selain itu, bisa juga melakukan pengamatan
dan BC adalah tegak lurus. akan keadaan terbuka tertutupnya pintu,
sebagai pengganti buku.
8. Penjelasan
Melalui kegiatan mengelompokkan hu- 10. Tegak lurus antara garis dengan bidang

bungan kedudukan permukaan dan bidang Mendeinisikan tegak lurus antara garis
persegi panjang, buat siswa memahami bahwa
dengan bidang dengan menggunakan hal

yang telah diselidiki di [Q] sebagai dasarnya.

Di sini, bimbinglah untuk menulis dengan
menggunakan lambang seperti l ⊥ P, yang
berarti l tegak lurus terhadap P.

Bab 6 Bangun Ruang 201

Jawaban Soal 3 Sebuah tongkat tipis berdiri tegak lurus di atas meja dibantu sekumpulan
Komunikasi penggaris siku-siku, seperti ditunjukkan pada gambar di samping. Diskusikan
Soal 3 berapa banyak penggaris siku-siku yang dibutuhkan?

Jika dua penggaris segitiga dilletakkan dengan Jika garis l memotong bidang P di titik Q dan l
posisi seperti di bawah ini, maka tongkat akan tegak lurus pada dua garis pada bidang P, maka
dapat berdiri tegak lurus. garis l dan bidang P saling tegak lurus. m

Soal 4 nＯ
P
Rusuk yang sejajar dengan bidang ADEB… Jika l ⊥ m dan l ⊥ n, l ⊥ P
Rusuk CF
Bidang yang tegak lurus dengan rusuk BE Soal 4 Rusuk manakah dari prisma segitiga ini yang Ａ Ｃ
…Bidang ABC, DEF sejajar dengan permukaan ADEB? Ｄ Ｂ
Permukaan manakah yang tegak lurus pada
Bidang yang sejajar dengan bidan ABCD BE? Ｆ
…bidang EFGH
Bidang yang tegak lurus dengan bidang ABCD Dua Bidang Ｅ
…bidang AEFB, BFGC, DHGC, AEHD
Perhatikan prisma segi empat pada di halaman sebelumnya. Permukaan
Penjelasan dan Hal yang Perlu Diingat manakah yang sejajar dengan permukaan ABCD? Permukaan manakah yang
tegak lurus?
11. Penjelasan Soal 3
Di sini, dipikirkan mengenai “Kondisi agar Ketika dua bidang P dan Q tidak berpotongan, kita katakan bahwa bidang P dan
Q sejajar , dan ditulis P//Q.
menjadi tegak lurus” pada garis dan bidang. Ada dua macam kedudukan dua bidang pada ruang, seperti ditunjukkan pada
Pada saat itu, lakukan percobaan untuk gambar berikut ini.
mengetahui berapa jumlah penggaris segitiga
yang dibutuhkan untuk membuat tongkat Ｐ // Ｑ
dapat berdiri tegak lurus terhadap meja, dan
diinginkan agar siswa menganalogikan syarat Ｐ
agar garis dan lingkaran menjadi tegak lurus garis potong
melalui kegiatan berdiskusi berdasarkan hasil P
percobaan tersebut. Percobaan ini dilakukan Q Q
dengan 2 orang dalam satu kelompok, atau ｌ
kelompok kecil.
12. Syarat untuk menjadi tegak lurus 1 berpotongan 2 Tidak berpotongan (sejajar)

Dengan berdasarkan hal yang diselidiki di Jika dua bidang P dan Q berpotongan, garis yang terbentuk disebut garis
[Soal 3] memahami bahwa untuk mencari tahu potong.
apakah garis l tegak lurus atau tidak terhadap
bidang P, bisa dilakukan dengan memeriksa 202 Matematika untuk Sekolah Menengah Pertama Kelas VII
apakah garis l tegak lurus terhadap 2 garis yang
melewati titik O yang menjadi titik potong Sebagai contoh nyatanya, misalnya di saat
antara bidang dan garis. mendirikan tiang pancang tegak lurus pada
permukaan tanah, bisa diperiksa dengan cara
mengecek apakah tiang pancang tersebut lurus
atau tidak dilihat dari dua arah yang berbeda.

13. Penjelasan Soal 4
Pembelajaran mengenai mencari

hubungan kedudukan bidang dan garis pada
prisma segitiga tidak pernah dialami di Sekolah
Dasar, oleh karenanya ada baiknya disediakan
model tiga dimensi untuk dapat dilihat oleh
siswa.

14. Penjelasan
Bahas kembali mengenai hubungan

kedudukan permukaan dengan permukaan
pada balok, kemudian luaskan ke ruang secara
umum untuk menyusun hubungan kedudukan
antara dua bidang. Selain itu, ajarkan kepada
siswa mengenai cara menulis P//Q dsb, juga
mengenai istilah garis potong.

202 Buku Panduan Guru Matematika untuk Sekolah Menengah Pertama Kelas VII

garis potong bidang P dan Q adalah l. Karena l

Soal 5 Bagaimana hubungan letak kedudukan BAB 6 Bangun Ruang adalah garis pada P yang melewati A, maka
garis n dan m, yang merupakan garis potong Ｒ
bidang R pada dua bidang yang sejajar, yaitu P P m⊥l ①
dan Q? m
Selanjutnya, pada P tariklah garis AC
Q
n membentuk AC ⊥ l . Dari sini,

Ketika kita membuka laptop, seperti AC ⊥ l ②
pada gambar di samping, bagaimanakah
mengukur besarnya sudut yang terbuka? Selain itu, karena AC adalah garis yang melalui

A pada P, maka

m ⊥ AC ③

Ketika dua bidang P dan Q berpotongan, kita ＢＰ Dari ①, ②, ③ didapatkan bahwa P ⊥ Q
Ａ
ambil A salah satu titik pada garis potong
Ｃ ｌ m
l dan tarik garis sinar AB pada Q dan garis Ｑ

sinar AC pada Q yang memenuhi AB ⊥ l dan sudut yang dibentuk oleh bidang P dan Q A C
AC ⊥ l. ∠ BAC adalah sudut yang dibentuk P
oleh bidang P dan Q.
¬
Ketika BAC = 90º, maka kita katakan bahwa Ｂ
bidang P dan Q saling tegak lurus dan ditulis Q
P ⊥ Q.
Ｐ
ｌ │

Ｐ⊥ Ｑ Ａ 15. Sudut yang terbentuk dari dua bidang
Ｃ Ｑ

Soal 6 Pada gambar di samping ini, garis m tegak m Saat mendaki lereng, akan lebih mudah
lurus pada bidang P. Jika Q adalah bidang P mendaki secara diagonal daripada mendaki
yang memuat garis m, maka bagaimanakah lurus karena kemiringannya berubah-ubah
kedudukan bidang P dan Q? Ｑ tergantung arah garis perpotongan pada
bidang horizontal (gambar 1). Di sinilah, muncul
kebutuhan untuk mendeinisikan sudut yang

terbentuk dari dua bidang.

BAB 6　Bangun Ruang 203 Jika menggambar
garis tegak lurus
Mendaki lurus

Jawaban terhadap dua bidang

Soal 5 dari satu titik di garis Gambar 1 Mendaki
potong, maka jika diukur, secara
m//n sejajar sudutnya akan selalu diagonal
Alasan
m dan n masing-masingnya adalah garis konstan. (Gambar 2). Sudut inilah yang menjadi
pada bidang P dan Q yang saling sejajar, oleh
karenanya tidak berpotongan. Di sisi lain, m dan deinisi dari sudut yang terbentuk dari 2 bidang.
n adalah garis pada bidang R yang sama, oleh
karenanya, m//n. Buat siswa memahami P
secara intuitif bahwa pada
[Q], sudut terbukanya laptop ¬
dapat diketahui dengan
mengukur sudut 2 garis tegak Q
lurus terhadap ujung laptop Gambar 2
yang dengan kata lain adalah
Tarik 2 garis yang tegak lurus garis potongnya.
pada garis potong seperti
pada gambar. Setelah itu,
ukurlah sudut yang terbentuk.

Soal 6

Tegak lurus (P ⊥ Q)
Alasan
Seperti pada gambar di bawah ini, misalkan
titik potong garis m dan bidang P adalah A, dan

Bab 6 Bangun Ruang 203

Jawaban Ａ Jarak pada Ruang
l
Jarak Pada gambar di samping kiri ini,
Komunikasi berapa jarak antara A ke garis l?
Panjang garis tegak lurus l yang ditarik dari titik Tunjukkan jaraknya pada gambar.
A. Jelaskan dengan kata-katamu
sendiri.
Soal 7
Garis AH tegak lurus pada bidang P. Panjang garis Ａ
Kedua jaraknya sama. AH lebih pendek dari panjang setiap segmen garis Ｈ
yang menghubungkan A ke sembarang titik pada
P. Panjang garis AH merupakan jarak antara A dan Ｐ
bidang P.

Soal 7 Titik A dan B berada pada alas tabung, seperti ＰＡＢ
diperlihatkan pada gambar di samping kanan.

Bandingkanlah jarak A ke alas Q dan titik B ke alas

Q. Ｑ

Penjelasan dan Hal yang Perlu Diingat Ketika dua bidang P dan Q sejajar, jarak setiap titik Ｐ Puncak
pada salah satu bidang ke bidang yang lain adalah Ｑ Tinggi
16. Jarak di dalam ruang sama. Jarak ini kita sebut sebagai jarak antara dua Alas
Pada bab sebelumnya, sudah dipelajari bidang P dan Q yang saling sejajar.
Sama halnya dengan prisma dan tabung, jarak
mengenai jarak antara dua titik, jarak titik dan antara dua alasnya disebut tinggi. Begitu juga
garis, serta jarak antara dua garis yang sejajar. dengan kerucut dan limas, jarak antara titik
puncak ke alas disebut tinggi.
Di sini, dipikirkan mengenai jarak antara
titik dan bidang, dan jarak antara dua bidang Tinggi
yang sejajar. Alas

17. Penjelasan 204 Matematika untuk Sekolah Menengah Pertama Kelas VII
Di sini, bersamaan dengan membuat siswa
18. Penjelasan Soal 7
mengingat bahwa jarak antara titik dan garis Ini adalah pertanyaan untuk menegaskan
dideinisikan sebagai panjang garis tegak lurus,
pentng untuk dilakukan kegiatan diskusi untuk bahwa pada tabung, jarak antara satu titik
saling menjelaskan mengenai hal tersebut sembarang pada satu alas ke alas yang lainnya
dengan menggunakan pernyataan matematis. adalah selalu konstan. Terkait dengan itu, bisa
juga diarahkan agar siswa berpikir apakah jarak
Dengan hal ini sebagai dasarnya, dipikirkan antara titik sembarang pada langit-langit kelas
mengenai panjang segmen garis yang dan lantai selalu konstan.
menghubungkan antara satu titik yang tidak
berada pada bidang dengan titik sembarang Dengan berdasarkan hal-hal ini, dideinisi-
pada bidang. Siswa tentu mengerti secara kan mengenai jarak antara dua bidang.
intuitif bahwa di antara garis-garis tersebut,
panjang garis tegak lurus menjadi yang 19. Tinggi prisma dan limas
terpendek. Dengan panjang garis tegak lurus Pada kelas 5 SD, dipelajari bahwa ”Panjang
ini, dideinisikan jarak antara titik dan bidang.
garis tegak lurus antara alas dan tutup prisma
dan tabung disebut sebagai tingi prisma dan
tabung”.

204 Buku Panduan Guru Matematika untuk Sekolah Menengah Pertama Kelas VII

Mari Kita Periksa 1 dan terbentuk menjadi bidang datar yang rapat,
Sifat-Sifat Bangun Ruang sehingga tidak dapat membentuk bangun tiga
dimensi.
1 Berdasarkan bangun-bangun ruang a, b, dan c jawablah pertanyaan-
pertanyaan berikut ini. 2
Berbagai Bangun
Ruang ab c Jika pada satu titik (puncak) terkumpul 4 atau
lebih kotak atau segilima beraturan, maka jumlah
［Hlm.197］ keseluruhan sudutnya adalah 360 derajat, sehingga
［Hlm.198］
tidak bisa membentuk bangun tiga dimensi.
1 Sebutkan nama masing-masing bangun ruang. Ｏ
2 Manakah yang merupakan polihedron? 3
2
Jawablah pertanyaan-pertanyaan tentang Karena sudut sebuah heksahedron beraturan
Hubungan Tempat limas di samping ini. adalah 120 derahat, jika pada satu puncak
Kedudukan Garis terkumpul 3 heksahedron, jumlah keseluruhan
dan Bidang pada 1 Rusuk-rusuk manakah yang bersilangan dengan AB? Ｄ sudutnya adalah 360 derajat, sehingga tidak dapat
Ruang membentuk bangun tiga dimensi. Selain itu, jika
2 Sebutkanlah hubungan letak kedudukan antara Ｃ jumlah permukaan yang berkumpul pada satu
［Hlm.200］ S 2 puncak adalah dua atau kurang, maka tidak dapat
［Hlm.202］ S 4 permukaan OAB dan rusuk CD. Ａ
［Hlm.204］ membentuk bangun tiga dimensi.
3 Gambarlah segmen garis OH di samping kanan ini untuk Ｂ
4
menunjukkan tinggi piramida.
Untuk membentuk polyhedron beraturan dari segi
Cermati banyak beraturan, maka diperlukan syarat-syarat
sebagai berikut:
Mengapa Hanya Ada Lima Polihedron Beraturan? (1) Terkumpulnya tiga atau lebih permukaan segi

Tabel berikut ini memperlihatkan permukaan dari polihedron beraturan. BAB 6 Bangun Ruang banyak pada satu puncak.
(2) Jumlah sudut poligon beraturan yang terkumpul
Ukuran Satu Sudut Satu Banyaknya Permukaan │
Permukaan pada Satu Titik Puncak pada satu sudut tidak boleh 360 derajat atau
Tetrahedron Beraturan Bentuk Permukaan lebih.
Heksahedron Beraturan 60° 3
Oktahedron Beraturan Segitiga beraturan 90° 3 Yang bisa memenuhi dua syarat di atas hanya
Dodekahedron Beraturan persegi 60° 4 bangun-bangun berikut:
Ikosahedron Beraturan 　 108° 3
Segitiga beraturan 60° 5 3 buah segitiga sama sisi pada satu puncak…
Segilima beraturan tetrahedron beraturan
Segitiga beraturan 4 buah segitiga sama sisi pada satu puncak…
oktohedron beraturan
1 Dapatkah kamu membuat bangun ruang dengan 5 buah segitiga sama sisi pada satu puncak…
menggunakan enam segitiga sama sisi dipertemukan ikosahedron beraturan
titik-titik sudutnya? 3 buah kotak pada satu puncak…heksahedron
beraturan (kubus)
2 Dapatkah kamu membuat bangun ruang 3 buah segilima beraturan pada satu puncak…
menggunakan empat atau lebih persegi dan segilima dodekahedron beraturan.
beraturan dipertemukan titik-titik sudutnya?
Oleh karena itulah, hanya ada 5 jenis bangun
3 Dapatkah kamu membuat bangun ruang menggunakan beberapa segienam polihedron beraturan
beraturan dipertemukan di titik-titik sudutnya?
20. Mengapa ada 5 jenis polihedron beraturan?
4 Cermatilah 1 - 3 , untuk menjelaskan mengapa hanya ada lima jenis polihedron
beraturan. Ini adalah soal untuk menemukan syarat elemen
pembentuk bangun tiga dimensi, dengan berfokusi
BAB 6　Bangun Ruang 205 pada jumlah permukaan yang berkumpul pada
satu puncak bangun tiga dimensi dan besar satu
Mari Kita Periksa sudut permukaan tersebut, lalu menjelaskan alasan
mengapa hanya ada 5 jenis polihedron beraturan.
1 jam Jika tidak hanya dengan cara membayangkan
saja, melainkan juga memanfaatkan kegiatan
Jawaban percobaan dengan menggunakan model bangun
tiga dimensi dan model poligonal yang dibuat
1 b Kerucut dengan menggunakan kertas karton, maka akan
dapat menumbuhkan minat dan motivasi siswa yang
(1) a Prisma segilima menyebabkan hidupnya kegiatan berpikir tersebut.
c Limas segitiga

(2) a, c

2 (2) Sejajar

(1) Rusuk OC, OD

(3) O

D C

AH
B

Cermati

1

Jika 6 segitiga sama sisi dikumpulkan pada satu titik
puncak, jumlah semua sudutnya adalah 360 derajat

Bab 6 Bangun Ruang 205

2 Berbagai Cara Mengamati 2 Berbagai Cara Mengamati Bangun Ruang
Bangun Ruang
1 Bangun Ruang Dibentuk dengan Menggerakkan Bidang
3 jam
Tujuan Siswa memahami berbagai cara mengamati bangun ruang dan sifat-sifatnya.
1 Bangun Ruang Dibentuk dengan
Seperti tampak pada gambar di samping
Mengerakkan Bidang 1 jam kanan, terdapat bangun yang dibentuk
dengan menyusun persegi-persegi atau
Tujuan lingkaran-lingkaran yang sama dan
sebangun.
1. Dapat memahami bangun ruang sebagai
hal yang terbentuk dari pergerakan garis Seperti gambar di bawah ini, pergerakan sebuah titik menghasilkan garis,
dan permukaan. pergerakan garis menghasilkan bidang, dan pergerakan bidang menghasilkan
benda ruang.
2. Memahami mengenai benda putar.

Jawaban

Prisma dan tabung dapat dipandang
sebagai benda ruang yang dibentuk dengan
menggerakkan alas (segiempat atau lingkaran)
ke arah tegak lurus.

Persegi panjang yang kongruen....balok Soal 1 Bidang P memuat ΔABC dan garis l tegak lurus
Lingkaran yang kongruen...tabung bidang. ΔABC bergerak sejajar sepanjang garis
l dari titik A ke titik D. l
Soal 1 Ｄ

(1) Prisma segitiga 1 Bangun ruang apa yang terbentuk dengan

(2) Tingginya menggerakkan ΔABC?

2 Menyatakan apakah panjang segmen AD Ａ Ｃ
Ｂ
menyajikan apa? Ｐ

Penjelasan dan Hal yang Perlu Diingat 20 6 Matematika untuk Sekolah Menengah Pertama Kelas VII

1. Bangun ruang yang terbentuk dari per- Contoh kongkrit yang bisa diberikan
mukaan yang bergerak kepada siswa misalnya, kembang api yang jikan
Siswa hinga saat ini menangkap bangun digerakkan terlihat seperti garis, atau baling-
baling bambu yang saat berputar terlihat
ruang sebagai bangun yang terbentuk dari rakitan
beberapa bidang datar atau bidang lengkung. Di seperti lingkaran.
sini, siswa dapat melihat bahwa bangun ruang
terbentuk dari pergerakan bangun datar. Referensi Prisma miring dan tabung
miring
2. Penjelasan
Pada saat poligon atau Prisma tegak Prisma miring
Dipahami secara intuitif bahwa jika persegi lingkaran bergerak sejajar Tabung tegak Tabung miring
panjang dan lingkaran ditumpuk dalam jumlah dalam ruang, jika bergerak
yang banyak, maka masing-masingnya akan ke arah yang tegak lurus
membentuk prisma segiempat dan silinder. maka terbentuk prisma
Selain itu, melalui penjelasan di bawah , siswa tegak dan silinder tegak,
juga menangkap bahwa tindakan menumpuk sementara jika bergerak
tersebut sebagai pergerakan permukaan alas. ke arah yang tidak tegak
lurus maka yang terbentuk
Selain itu, pembentukan prisma dari adalah prisma miring dan
pergerakan permukaan alas, digunakan pada silinder miring.
saat memikirkan cara mencari volume prisma
(Buku pelajaran halaman 221). Pada dasarnya, di Sekolah Menengah
Pertama hanya dibahas mengena prisma tegak
3. Bangun tiga dimensi yang terbentuk dan silinder tegak saja.
dari pergerakan
Buat siswa dapat berpikir mengenai

kegiatan menumpuk seperti yang dibahas
pada [Q] sebagai pergerakan bidang.

206 Buku Panduan Guru Matematika untuk Sekolah Menengah Pertama Kelas VII

Benda Putar Ｂ Ａ 4. Penjelasan
Ｃ
Seperti tampak pada gambar di samping, Pada halaman sebelumnya, dipikrikan
bangun ruang apa yang dihasilkan dengan mengenai bagaimana jika sebuah bidang datar
memutar segitiga siku-siku ABC terhadap garis digerakkan secara sejajar. Di sini, dipikirkan
AC? mengenai bagaimana jika sebuah bidang
datar digerakkan memutar. Bisa dilakukan
Bangun ruang yang diperoleh dengan memutar bangun datar sekali putaran dengan cara menyuruh siswa membayangkan
dengan menggerakkan penggaris segitiga, lalu
terhadap garis sumbu l pada bidang yang sama disebut benda putar. setelahnya perlihatkan kepada mereka animasi
yang ada di digiMATH.
Kerucut dapat dipandang sebagai benda ruang yang diperoleh dengan
Buat siswa berpikir mengenau , pada saat
memutar segitiga siku-siku. Sementara itu, tabung dapat dibentuk dengan memutar bangun datar, bagian mana yang
akan membentuk alas dan permukaan sisinya,
memutar persegi panjang. kemudian sambungkan ke deinisi benda putar
dan generatrix.
Segmen AB yang l l
membentuk permukaan Ａ Ａ 5. Benda putar
kerucut atau tabung disebut
Meski memutarkan sebuah bangun
generator atau pembangkit perputaran perputaran datar yag sama sekalipun, benda putar yang
terbentuk bisa berbeda, tergantung pada
kerucut atau tabung. sumbu perputaran dan posisi bangun. Oleh
karenanya, pada saat memikirkan pembentukan
Soal 2 Ｂ Ｂ benda putar, perlu diperlihatkan dengan jelas
ll bangun yang menjadi dasarnya serta sumbu
Jawablah pertanyaan-pertanyaan berikut ini. BAB 6 Bangun Ruang│ perputarannya.
1 Apa yang terbentuk dengan memutar a
Bisa juga dibuat agar siswa memikirkan,
setengah lingkaran sekali putar dengan bangun apa yang akan terbentuk jika pada
garis l sebagai sumbu putar? segitiga siku-siku yang diperlihatkan pada [Q],
2 Gambarlah benda ruang yang dibentuk diputar dengan sumbu yang berbeda.
dengan memutar empat persegi
panjang (a) sekali putar dengan sumbu Selain itu, buat siswa memperhatikan
putar garis l. bahwa pada saat menggambar diagram benda
putar, jika dilihat dari atas garis sumbu maka
Mari Mencoba Temukan benda-benda di sekitarmu pasti akan terbentuk lingkaran (atau beberapa
yang dapat dipandang sebagai bangun lingkaran dengan sumbu yang sama), kemudian
putar. sambungkan dengan pelajaran mengenai
proyeksi di halaman selanjutnya.
Sumber: Dokumen Puskurbuk

BAB 6　Bangun Ruang 207

Jawaban

Kerucut

Soal 2

(1) Bola
(2)

(Contoh) 6. Penjelasan
Mari Mencoba
Mari Mencoba
Benda putar dapat banyak ditemukan
Lampu neon bulat, termos, teko, mangkuk, dalam kehidupan sehari-hari. Ada baiknya
pelampung, boneka kokeshi, gasing, tisu gulug, juga siswa diminta untuk memikirkan bangun
bola, pudding kemasan. seperti apa yang menjadi dasar bangun-
bangun tersebut, sebagai tugas.

Bab 6 Bangun Ruang 207

2 Proyeksi Bangun Ruang 2 Proyeksi Bangun Ruang

1 jam Tujuan Siswa mampu mengidentiikasi bangun ruang dipandang dari depan dan
atas.
Tujuan
Pada bangun ruang a - e manakah yang dapat dipandang sebagai
1. Dapat memahami arti dari proyeksi. lingkaran jika dilihat dari arah tertentu? Bangun mana yang tampak sebagai
2. Dapat menggambar proyeksi, dapat membaca segitiga sama kaki?

bangun ruang dari gambar proyeksi. ab cde

Jawaban Dalam menyajikan bangun ruang pada bidang, selain menggunakan sketsa
dan jejaring, seringkali dapat dipotong-potong menjadi bidang-bidang jika
Bangun yang terlihat seperti lingkaran... a, c, e dilihat dari atas dan depan. Gambar tersebut dinamakan proyeksi. Gambar
Bangun yang terlihat seperti segitiga sama kaki... dilihat dari depan disebut tampak depan. Gambar dilihat dari atas disebut
c, d tampak atas.

Soal 1 atas proyeksi
tampak depan
(1) Tampak depan persegi panjang dengan prisma segitiga beraturan
panjang 5 cm dan lebar 3 cm, dan tampak
atas adalah kotak dengan panjang masing- tampak atas
masing sisi 3 cm.
depan
Tampak depan
Soal 1 Gambarlah proyeksi dari bangun ruang berikut ini.

1 Prisma persegi 2 Kerucut

Atas Atas
3 cm

5 cm 5 cm (tinggi)

Depan 2 cm Depan
208 Matematika untuk Sekolah Menengah Pertama Kelas VII

Tampak atas pada gambar yang dimunculkan pada layar atau
tembok kelas dengan menggunakan proyektor.
(2) Tampak depan segitiga sama kaki dengan
alas 4 cm dan ketinggian 5 cm, tampak atas 2. Gambar proyeksi
lingkaran dengan jari-jari 2 cm.
Menyatakan bangun ruang dengan
Tampak depan gambar saat dilihat dari depan(tampak depan)
dan gambar saat dilihat dari atas (tampak
Tampak atas atas), kemudian memikirkan dan menganalisa
mengenai sifat yang dimiliki bangun tersebut.
Penjelasan dan Hal yang Perlu Diingat Sepert yang sudah sedikit dibahas di [Q], bahas
bahwa kerucut dan piramida bisa terlihat
1. Penjelasan sebagai bentuk yang sama jka dilihat dati atas,
Lakukan kegiatan diskusi mengenai dan buat siswa berpikir bahwa bangun tersebut
akan dapat dideinisikan jika ada gambar yang
bangun yang mana yang jika dilihat dari arah dilihat dari atas.
mana akan terlihat sebagai lingkaran dan
segitiga sama kaki, lalu hubungkanlah dengan Ada baiknya untuk menunjukkan lipbook
pembelajaran mengenai proyeksi. yang pada halaman ganjil buku teks.

Bisa juga dilakukan kegiatan seperti Ada dua jenis gambar proyeksi, metode sudut
membagikan model bangun kepada siswa dan pertama dan metode sudut ketiga, tetapi yang
memperhatikannya dari berbagai sudut pandang, digunakan di sini adalah metode sudut pertama.
atau kegiatan mengamati bangu yang muncul
Di sini, menggambar gambar proyeksi
sebagai metode pembuatan gambar bukanlah
tujuan pembelajaran. Penekanannya adalah pada
memperkaya perspektif tentang bangun tiga
dimensi dan menumbuhkan ruang sebagai konsep.

208 Buku Panduan Guru Matematika untuk Sekolah Menengah Pertama Kelas VII

Soal 2 Bangun ruang apa yang disajikan dengan proyeksi berikut ini? Gambarlah (Contoh) furnitur,
sketsa bangun ruang tersebut.
Mari Mencoba
12
Gambar lengkap bangunan dan
gambar bagian, kerajinan tangan, dll.

tampak depan tampak depan

3. Penjelasan Soal 1

tampak atas tampak atas Pada buku pelajaran, arah pandangan
tampak depan ditentukan, namun boleh juga jika siswa
Soal 3 Bangun ruang apa yang disajikan oleh tampak atas menentukan sudut pandangnya sendiri
proyeksi di samping kanan ini? Gambarlah lalu menggambar proyeksinya dan
sketsa bangun tersebut. membandingkannya. Pada (1) dianggap bahwa
ada juga siswa yang menggambar proyeksi
Ada berapa macam dengan melihat garis potong pada sisi sebagai
benda ruang yang dapat bagian depan.
diproyeksikan seperti itu?

Seperti diperlihatkan pada Soal 3, ada beberapa kasus bentuk bangun ruang
sulit diidentiikasi ketika proyeksi hanya dari tampak atas dan tampak depan
saja. Dalam hal tersebut, kita kadang menambahkan tampak samping.

Soal 4 Pada proyeksi di Soal 3, jika tampak sampingnya lingkaran, bangun ruang apa BAB 6 Bangun Ruang 4. Penjelasan Soal 3
yang disajikan oleh proyeksi tersebut?
Tujuannya adalah untuk membayangkan
(Height) berbagai bangun ruang dari gambar
│ proyeksi dengan operasi dalam pikiran. Buat
Temukan proyeksi yang digunakan di sekitarmu, seperti rancangan rumah, siswa memperhatikan pada bagaimana
furnitur, mobil dalam katalog, dan sebagainya. menempatkan bangun ruang (arah pandang).
Diinginkan juga mengadakan kegiatan di mana
Mari Mencoba disiapkan beberapa model bangun tiga dimensi
lalu memeriksa gambar proyeksi.
(Lebar) (Panjang)

Pekerjaan Terkait 5. Gambar dilihat dari samping
[Perancang, Arsitek]
Dialam proyeksi, selain tampak depan dan
BAB 6　Bangun Ruang 209 tampak samping, ada kalanya juga digambar
penampakan bangun dari samping (tampak
Jawaban (2) Piramida samping). Pada saat itu, gambar proyeksi silinder
akan menjadi seperti pada gambar di bawah.
Soal 2
Tampak depan Tampak samping kiri
(1) Tabung

Soal 3 Contoh b tabung Tampak atas
a balok
6. Penjelasan
c prisma segitiga Mari Mencoba
Proyeksi dapat menyatakan bangun
Soal 4
ruang secara analitik, oleh karena itu banyak
Silinder digunakan untuk membuat gambar sketsa
atau gambar jadi. Diharapkan siswa dapat
menangkap hal-hal yang biasa diihat tanpa
menimbulkan pemikiran apapun, dengan cara
pandang matematis.

Bab 6 Bangun Ruang 209

3 Jaring-Jaring Bangun Ruang 3 Jaring-Jaring Bangun Ruang

0,5 jam Tujuan Siswa dapat memahami berbagai jaring-jaring bangun ruang.

Tujuan Cobalah ingat kembali jaring-jaring prisma empat persegi panjang dan
tabung yang telah kita pelajari di sekolah dasar.
1. Dapat memahami jaring-jaring sebagai
cara menyatakan bangun ruang pada 1 Gambar di bawah ini merupakan sketsa prisma empat persegi panjang
bidang datar. dan jaring-jaringnya. Tuliskan titik-titik sudut prisma empat persegi
panjang pada .
2. Memahami jaring-jaring limas dan kerucut.
Ｄ Rusuk-rusuk manakah
Jawaban Ｃ yang sesuai?

Ｈ
Ａ

Ｇ
Ｂ
Ｅ
Ｆ

ＨＧ

(1) D C ＥＦ
DH GC
C

2 Pada gambar tabung di bawah ini, temukan panjang yang sesuai
kemudian gambarlah jaring-jaringnya.

2 cm

B AE FB 5 cm
A B
(2) Generatrix
2 cm
5 cm Jaring-jaring adalah gambar pada bidang yang menyajikan setiap permukaan
12.56 cm bangun ruang yang dipotong dan dibuka sepanjang rusuk-rusuknya dan
garis pelukisnya. Dalam jaring-jaring, kita menunjukkan panjang sebenarnya
setiap rusuk dan bagian bangun ruang.

210 Matematika untuk Sekolah Menengah Pertama Kelas VII

2. Penjelasan (2)

Penjelasan dan Hal yang Perlu Diingat Di kelas 5 sekolah dasar, siswa belajar
tentang jaring-jaring tabung dan prisma. Dari
1. Penjelasan (1) pengalaman hidup pun, dapat dipahami bahwa
permukaan samping tabung menjadi persegi
Di kelas 4 sekolah dasar, siswa belajar panjang bila dibentangkan. Pada saat ini,
menggambar jaring-jaring pbalok dan kubus pastikan panjang horizontal persegi panjang
melalui pengamatan, pembentukan, dan dalam tampilan jaring-jaring dari permukaan
pembongkaran. samping sesuai dengan keliling permukaan
alas.
Di sini dengan membandingkan jaring-
jaring bangun balok, membayangkan bangun Dengan membahas jaring-jaring (1) dan
ruang dengan menggunakan kemampuan jaring-jaring prisma segitiga, diharapkan siswa
berpikir spasial. Buat siswa memahami juga menyadari ciri-ciri jaring-jaring prisma.
mengenai bagaimana suatu bangun ruang
dibelah, dan apa yang terjadi dengah hubungan 3. Jaring-jaring
antara permukaan-permukaannya. Bisa juga
dicoba mewarnai sisi yang bertemu dengan Pada ilustrasi maupun proyeksi, ada kalanya
warna yang sama. Bergantung pada keadaan tidak menyatakan panjang sebenarnya bangun
siswa, bisa juga dilakukan kegiatan praktik ruang asalnya, namun sadarkan siswa bahwa
membuka sebuah balok (kotak kardus). pada jaring-jaring bangun, panjang tersebut
tetap terjaga.

210 Buku Panduan Guru Matematika untuk Sekolah Menengah Pertama Kelas VII

Jaring-Jaring Limas dan Kerucut 4. Jaring-karing limas dan kerucut

Gambar di bawah ini memperlihatkan limas persegi dan jaring-jaringnya. Karena ini merupakan pertama kalinya
Pada rusuk manakah limas tersebut dipotong kemudian dibuka? dilakukan pembahasan mengenai jaring-jaring
limas dan kerucut, maka lakukan kegiatan
Ｏ Ｏ seperti membongkar dan mengamati kotak
atau kemasan kue yang berbentuk limas,
4 cm ＤＣ atau membuat bagian-bagian dari jaring dan
Ｄ ＡＢ merekatkannya dengan selotip membentuk
bangun ruang, dan sebagainya , agar siswa
Ａ Ｃ dapat memahami melalui percobaan yang
3 cm mereka lakukan sendiri.

Ｂ

Soal 1 Seperti pada limas yang ditunjukkan di , gambarlah jaring-jaringnya jika
dipotong sepanjang rusuk OA, OB, dan OD, kemudian dibuka.

Jika kita memotong sepanjang garis pelukis, kemudian dibuka, maka 5. Penjelasan dan Soal 1
permukaan miring kerucut disebut sektor, seperti ditunjukkan pada gambar
berikut ini.

Ｏ ＯＢ Ｏ Garis pelukis Ｂ Ini adalah soal mengenai membuat jaring-
jaring piramida. Seperti halnya pada kubus,
Ｏ' Garis pelukis Ａ │BAB 6 Bangun Ruang dengan mengganti rusuk yang dibuka, maka
Ａ Ｏ' beragam jaring-jaring dapat dibuat. Bisa juga
Ａ meminta siswa untuk memikirkan berapa
(Ｂ) Ｏ' banyak jaring-jaring yang bisa terbentuk.

Soal 2 Berdasarkan jaring-jaring kerucut di atas,
jawablah pertanyaan-pertanyaan berikut
ini. Saya Bertanya Selain itu, dengan gambar jaring-jaring
piramida yang muncul pada [Q], dapat
1 Bagian mana dari kerucut mula-mula Dapatkah kita menggambar dibayangkan juga bentuk jaring-jaring bangun
mempunyai panjang yang sama pada kerucut.
dengan jari-jari sektor? jaring-jaring poligon Hlm.212
beraturan?
2 Bagian mana yang panjangnya sama
dengan panjang busur AB?

BAB 6　Bangun Ruang 211 6. Penjelasan untuk gambar jading kerucut
dan Soal 2
Jawaban
Dengan membongkar benda yang
Rusuk OA, AD, AB, BC berbentuk kerucut dan mengamatinya,
diharapkan siswa memahami berdasarkan
Soal 1 pengalaman bahwa sisi kerucut akan
membentuk juring. Ada baiknya jika siswa
O sudah dapat memperkirakan sebelum memulai
kegiatan ini.
DC
OO Pada [Soal 2], tegaskan bahwa jari-jari uring
pada jaring-jaring kerucut adalah sama dengan
AB panjang generatrix, selain itu panjang busur
AB adalah sama dengan panjang keliling alas.
O Akan lebih mudah dipahami jika bagian yang
memiliki panjang yang sama diwarnai dengan
Soal 2 warna yang sama.

(1) Panjang garis pelukis Dari hal yang dicari tahu pada [Soal 2],akan
(2) Panjang keliling alas (Lingkaran O’) dibutuhkan pada saat memikirkan cara untuk
mencari luas kerucut. (Buku pelajaran halaman
216-219)

Bab 6 Bangun Ruang 211

Mari Kita Periksa 0,5 jam Mari Kita Periksa 2
Berbagai Cara Mengamati Bangun Ruang
Jawaban
l
1
1 Gambarlah sketsa bangun ruang yang
Ilustrasi diperoleh dengan memutar trapesium pada
Benda Putar gambar di samping, sekali putaran. Sumbu
［Hlm.207］ S 2 simetrinya adalah garis l. Selanjutnya,
Proyeksi Bangun gambarlah hasil proyeksinya.
Ruang
［Hlm.208］ S 1 Gambar di samping ini merupakan jaring-
jaring suatu bangun ruang. Sebutkan
2 nama bangun tersebut.

Jaring-jaring Limas
dan Kerucut
［Hlm.211］

S1

Proyeksi Cermati

Jaring-Jaring Polihedron

Tampak depan Gambar di bawah ini adalah lima jenis poligon beraturan dan jaring-jaringnya.

Tetrahedron beraturan Heksahedron beraturan (kubus)

Tampak atas Oktahedron beraturan Dodekahedron beraturan
Ikosahedron beraturan
2 Ada 12 cara
menggambar
Limas segitiga beraturan (berikut ilustrasinya) jaring-jaring
ikosahedron
beraturan.

212 Matematika untuk Sekolah Menengah Pertama Kelas VII

Penjelasan dan Hal yang Perlu Diingat Referensi 11 jenis jaring-jaring
heksahedron beraturan
7. Jaring-jaring polihedron
(Mengacu pada bagian penjelasan dan data,
Dengan memikirkan dan membuat halaman 138)
jaring-jaring polihedron, bersamaan dengan
meningkatkan minat dan motivasi siswa
terhadap polihedron, diharapkan juga dapat
memperdalam cara pandang mereka terhadap
bangun ruang.

8. Merakit jaring-jaring bangun ruang

Buat kegiatan menggambar bangun
jaring di kertas karton, lalu merakitnya
menjadi bangun. Melalui kegiatan ini, selain
dapat memperdalam pemahaman mengenai
hubungan rusuk dan rusuk, bidang dan bidang
serta sifat polihedron beraturan, juga membuat
siswa dapat merasakan keindahan polihedron
beraturan. Selain itu, bisa juga dibahas bahwa
bentuk bola sepak adalah ikosahedron
beraturan yang dipotong di sekitar tiap-tiap
puncaknya.

212 Buku Panduan Guru Matematika untuk Sekolah Menengah Pertama Kelas VII

(2) Volume a adalah 1 volume c
3
3 Pengukuran Bangun Ruang
Volume b adalah 2 volume c
3

Maka, a : b : c = 1 : 2 : 3

Seorang matematikawan Yunani bernama

Archimedes (287 SM – 212 SM) menemukan
2
bahwa volume (isi) bola adalah 3 isi Penjelasan dan Hal yang Perlu Diingat

silinder yang tepat melingkupinya. Beliau 1. Penjelasan 1

memerintahkan untuk menggambarkan Karena mengenai luas permukaan bola di
(1) dijelaskan pada buku pelajaran halaman
temuannya pada batu nisannya. Gambarnya 224, cukup dipahami di sini bahwa ia adalah
sama dengan luas sisi silinder tempat bola
ditunjukkan di sebelah kanan ini. cocok dengan sempurna. Saat menghitung
luas sisi, diharapkan untuk mengingatkan siswa
Diberikan tiga bangun ruang seperti abc pembelajaran sejauh ini dan menggambar
jaring-jaring bangun dengan baik.
1 ditunjukkan pada gambar di samping
Selain itu, (2) adalah soal mengenai
kanan. memperkirakan bahwa rasio volume akan
menjadi 1: 2: 3 ketika kerucut atau bola cocok
a Kerucut dengan alas berjari-jari 5 cm, dengan sempurna dalam silinder (diameter
dan tinggi sama) seperti yang ditunjukkan
dan tinggi 10 cm. pada gambar. Di sini, diinginkan menghargai
pandangan intuitif dan cara berpikir siswa,
b Bola berjari-jari 5 cm. daripada mencari jawaban yang benar.

c Tabung dengan alas berjari-jari 5 cm BAB 6 Bangun Ruang Bergantung dengan kondisi siswa, ada
baiknya untuk menanyakan kepada siswa
dan tinggi 10 cm. bisakah untuk menentukan volumenya,
untuk membuat kesempatan bagi siswa
│ mencari gambaran tentang solusinya, seperti
memasukkan air ke dalam wadah dan
1 Luas seluruh permukaan b sama dengan luas permukaan selimut bola memeriksanya, atau menimbang bangun ruang
c . Tentukan luas permukaan b . itu sendiri.
Rasio keliling adalah 3,14.
2. Penjelasan untuk balon percakapan
2 Bangun ruang a dan b masuk ke dalam c seperti ditunjukkan pada
gambar di atas. Tentukan perbandingan dari volume masing-masing Ajukan kepada siswa pertanyaan-
benda pejal di atas. pertanyaan yang menuntun pada pembelajaran
luas permukaan dan volume bangun ruang
Ada 12 cara menggambar jaring- Hlm.214 Dapatkah kita Hlm.221 pada halaman-halaman berikut.
jaring ikosahedron beraturan. menghitung volume
kerucut dan bola? Dengan dipandangnya prisma sebagai
bangun ruang yang terbentuk dari pergerakan
BAB 6　Bangun Ruang 213 sejajar alas sebanyak tingginya, oleh karena
itu dapat diturunkan cara untuk mencari
3 Pengukuran Bangun Ruang volumenya. Tetapi, cara pikir seperti itu tidak
berlaku pada limas dan bola. Untuk mencegah
6 jam siswa tertahan di sini, diharapkan untuk
mengantisipasi hubungannya dengan volume
Tujuan tabung sehingga mereka dapat meningkatkan
minat mereka mengenai pengukuran.
Mampu menemukan hubungan antara luas
permukaan, luas sisi, terhadap volume pada
silinder yang tepat melingkupi silinder dan bola.

Jawaban

1

(1) Luas seluruh permukaan b
= luas permukaan sisi u
= 10 × (10 × 3,14)
= 314 (cm2)

5 cm

10 cm 31.4 cm

Bab 6 Bangun Ruang 213

1 Luas Permukaan Bangun Ruang 1 Luas Permukaan Bangun Ruang

3 jam Tujuan Siswa mampu menghitung luas permukaan bangun-bangun ruang.

Tujuan Luas Permukaan Prisma dan Tabung Ａ Ａ (Ａ)
3 cm 4 cm (Ａ) ＣＧ
1. Dapat mencari luas permukaan limas dan Gambar di samping kanan Ｂ 5 cmＣ ＨＢ
kerucut dengan berdasarkan jaring-jaring ini merupakan jaring- ＦＪ
bangun ruang. jaring prisma segitiga. Ｄ 6 cm (Ｄ)
Berdasarkan jaring-jaring
2. Memahami cara menghitung luas selimut tersebut, hitunglah luas Ｅ Ｆ ＩＥ
kerucut dengan berdasarkan sifat juring. permukaan seluruhnya. (Ｄ)
Ｄ
3. Dapat mencari luas permukaan limas dan
kerucut. Luas seluruh permukaan bangun ruang disebut luas permukaan. Luas dari alas
bangun ruang disebut luas alas dan luas seluruh permukaan selimut disebut
Jawaban luas selimut.

Soal 1 Pada prisma segitiga di , , sebutkan manakah yang merupakan alas dan
permukaan selimut.

Menghitung luas permukaan tabung dan prisma adalah
Luas permukaan sama dengan dua kali luas alas + luas selimut

Luas alas = 1 × 4 × 3 = 6 (cm2)
2
Soal 2 Pada tabung berikut ini, hitunglah luas alas, luas selimut, dan luas
permukaannya. Nilai pendekatan untuk π adalah 3,14.
Luas selimut = 6 × (3 + 4 + 5)
cm
= 72 (cm2) 3 cm cm Ulasan
7 cm cm
Luas permukaan = 72 + 6 × 2 = 84 (cm2) (Keliling) =π
(Diameter)

keliling

Soal 1 Diameter

Alas...permukaan ABC, DEF Kelas V - II Hlm. 42
Selimut...permukaan ADEB, BEFC, CFDA
214 Matematika untuk Sekolah Menengah Pertama Kelas VII

Soal 2

Luas alas = 3 × 3 × 3,14 = 28,26 (cm2) Salah satu sisi prisma adalah persegi
panjang, dan karena jumlah dari seluruh luas
Luas selimut = 7 × (3 × 2 × 3,14) persegi panjang tersebut adalah luas selimut,
maka jika semua persegi panjang tersebut
= 131,88 (cm2) dianggap sebagai satu persegi panjang, akan
dipahami bahwa luasnya bisa dipahami sebagai
Luas permukaan = 131,88 + 28,26 × 2 berikut: (luas selimut) = (panjang keliling alas) ×
(tinggi). Dengan ini, juga akan sekaligus dapat
= 188,4 (cm2) menuntuk ke cara mencari luas selimut pada
silinder.
Penjelasan dan Hal yang Perlu Diingat
Selain itu, di Sekolah Dasar kelas 5,
1. Perlakuan mengenai Luas Permukaan sudah dipelajari mengenai arti Pi dan nilai
Bangun Ruang pembulatannya yaitu 3,14, dan kelilingnya dapat
Luas permukaan bangun ruang pertama dicari dengan rumus keliling = diameter × 3,14.

kali dipelajari di kelas 1. Oleh karenanya, siswa Pada kelas 6 SD, sudah dipelajari mengenai
perlu paham mengenai arti dari istilah luas persamaan luas lingkaran yaitu Luas lingkaran
permukaan, luas alas, dan luas selimut. Selain = jari-jari × jari-jari × 3,14. Dengan mengulas
itu, alas dan permukaan pernah dipelajari di kembali mengenai hal-hal tersebut, ditanamkan
kelas 5 SD. kepada para siswa mengenai hubungannya
dengan pelajaran di halaman selanjutnya.
2. Penjelasan Soal 2
Buat siswa memahami bahwa mencari luas

permukaan akan lebih mudah jika dipikirkan
menggunakan jaring-jaring bangun.

214 Buku Panduan Guru Matematika untuk Sekolah Menengah Pertama Kelas VII

Rasio keliling terhadap garis tengah lingkaran menghasilkan satu nilai, yaitu 3. Pi π
3,14159265389793238462643383279…, bilangan ini berlanjut tak terhingga, Tegaskan kembali arti pi dan buat
dan dinyatakan dalam huruf Yunani π.
mereka memahami bahwa itu diekspresikan
Contoh 1 Pada lingkaran berjari-jari r cm, (Keliling) menggunakan huruf Yunani π karena itu
kelilingnya adalah K cm, dan K = (garis tengah) × π adalah bilangan yang tidak dapat diekspresikan
luasnya adalah L cm2. sebagai bilangan desimal atau pecahan. Harap
= (r × 2) × π dicatat bahwa ini adalah pertama kalinya
= 2πr bagi siswa untuk mengekspresikan konstanta
(Luas lingkaran) menggunakan huruf.
L = (jari-jari) × (jari-jari) × π
= r ×r ×π Ajari siswa ke depannya untuk meng-
=πr2 gunakan π untuk menyatakan pi, dan menulis
π setelah angka dan sebelum huruf lain, seperti
π berbeda dengan huruf dalam bentuk aljabar dan persamaan yang telah kita 2πr dalam rumus luas.
pelajari sebelumnya. π menyajikan bilangan tertentu. Oleh karena itu, dalam
perkalian kita tulis setelah bilangan dan sebelum huruf. 4. Penjelasan Contoh 1 dan Soal 3

Catatan Kita gunakan π untuk menyatakan rasio keliling terhadap garis tengah. Rumus untuk panjang keliling dan luas
dinyatakan menggunakan huruf. r, dan l, S
Secara umum, jika d menyatakan garis tengah, r masing-masing digunakan untuk menyatakan
jari-jari, keliling, dan luas.
menyatakan jari-jari, K adalah keliling, dan L adalah luas, r cm
S cm2 Jelaskan juga agar siswa mengerti bahwa
maka, hurif ini berasal dari inisial istilah bahasa
Inggrisnya (lihat di bagian perhatian) dan buat
　　K = 2πr L = πr2 siswa memahami mengapa huruf-huruf ini
umum digunakan.
l cm BAB 6 Bangun Ruang
Tegaskan bahwa jika π yang ada pada
Catatan r, K, dan L adalah huruf pertama dari radius (jari-jari), keliling, luas lingkaran. │ panjang keliling 14π cm dan luas 49π cm2 yang
ada pada [Soal 3] diganti dengan 3,14, maka
Soal 3 Hitunglah panjang keliling dan luas lingkaran yang berjari-jari 7 cm. nilai estimasinya dapat ditentukan.

Soal 4 Hitunglah luas permukaan bangun ruang berikut ini. 5. Penjelasan Soal 4 (2)

2 cm Ini adalah soal mencari luas permukaan
12 dengan menggunakan π. Diharapkan siswa
sudah memahami dengan baik untuk
8 cm 5 cm menghitung dengan menggunakan jarring-
jaring seperti yang dilakukan hingga saat
6 cm ini. Selain itu, bandingkan persamaan yang
menggunakan 3,14 dan π untuk membahas
BAB 6　Bangun Ruang 215 manfaat menggunakan π.

Jawaban

Soal 3

Jika panjang keliling adalah l cm, luas adalah S

cm2, maka

K = 2π × 7 L = π × 72
= 14π (cm) = 49π (cm2)

Soal 4

(1) Luas alas = 6 × 6 = 36 (cm2)

Luas selimut = (6 × 8) × 4

= 192 (cm2)

Luas permukaan = 192 + 36 × 2

= 264 (cm2)

(2) Luas alas = π × 22 = 4π (cm2)

Luas selimut = (2π × 2) × 5
= 20π (cm2)
Luas permukaan = 20π + 4π × 2
= 28π (cm2)

2 cm

(2∏*2)cm
5 cm

Bab 6 Bangun Ruang 215

Jawaban

Luas Permukaan Limas 4 cm

Soal 5 Contoh 2 Hitunglah luas permukaan limas persegi yang
ditunjukkan di samping kanan ini.
Luas alas = 10 × 10 = 100 (cm2) 6 cm
Luas selimut
§ 1 u10 u12 ¸·¹u4 Cara Hitung luas alas dan luas selimut, kemudian jumlahkan.
©¨ 2
=

Penyelesaian Bentuk alas adalah persegi dengan panjang 4 cm
rusuk 6 cm, 6 cm
= 240 (cm2) 6 × 6 = 36
Jadi, luas alas adalah 36 cm2. Agar penjelasanmu
Luas permukaan = 240 + 100 = 340 (cm2) Permukaan miring berupa segitiga sama kaki mudah dipahami,
dengan alas 6 cm, dan tinggi 4 cm, sehingga gambarlah secara akurat.
12 cm luas selimut adalah

1 × 6 × 4 × 4 = 48
2
10 cm
Jadi, luas selimut adalah 48 cm2.
36 + 48 = 84

Jawab: 84 cm2

Soal 5 Hitunglah luas alas, luas selimut, dan luas 12 cm
permukaan limas di samping ini.

Yang perlu diketahui hanyalah luas juring Luas Permukaan Kerucut 10 cm
selimutnya. Oleh karena itu, perlu dicari panjang
busur dan besar sudut pusatnya. Apa yang perlu kita ketahui agar dapat menghitung luas permukaan kerucut
berikut ini?
Penjelasan dan Hal yang Perlu Diingat
Ｏ
6. Penjelasan Contoh 2
Soal mengenai mencari luas permukaan 12 cm Ａ Ｏ 12 cm

limas. Seerti halnya pada prisma, gambarlah 5 cm Ｂ
jaring-jaring dengan hati-hati, kemudian Ｏ'
dengan menyatakan alas dan selimut, Ａ Ｏ'
akan dipahami bahwa dapat dicari dengan (Ｂ)
menggunaka persamaan (luas limas) = (Luas
selimut) + (Luas alas). Selain itu, ingin ditekankan 5 cm
melalui jaring-jaring bangun bahwa persamaan
(luas selimut) = (panjang keliling alas) × (tinggi) 216 Matematika untuk Sekolah Menengah Pertama Kelas VII
yang digunakan pada prisma, tidak berlaku
pada prisma. Dengan memperlihatkan gambar jaring
bangun kerucut yang sudah dipelajari,
7. Penjelasan ditegaskan bahwa luas alasnya adalah juga luas
Pertanyaan siswa mengenai, kita bisa permukaan lingkaran, dan arahkan perhatian
siswa pada luas permukaan juring yang juga
mencari luas permukaan limas, maka luas menjadi luas selimut.
permukaan silinder juga tentu akan bisa dicari
dengan cara yang serupa, merupakan hal yang Selain itu, dengan mempertanyakan apa
penting. yang diperlukan untuk mencari luas juring,
maka siswa akan memahami bahwa diperlukan
untuk mencari tahu panjang busur dan besar
sudut pusat, dan bisa disambungkan pada
pelajaran di halaman berikut.

216 Buku Panduan Guru Matematika untuk Sekolah Menengah Pertama Kelas VII

Marilah kita cermati luas juring untuk menghitung luas permukaan kerucut. L = π × 42 × 135
360

Contoh 3 Seperti ditunjukkan di bawah ini, tanpa mengubah jari-jari juring, ketika kita = 6π (cm2)

menggandakan sudut pusat juring dua kali, tiga kali, dan seterusnya, maka

panjang tali busur dan luas juring juga akan berlipat dua kali, tiga kali, dan 8. Penjelasan Contoh 3

seterusnya. Memahami secara intuitif bahwa sudut
pusat dan tali busur, sudut pusat dan luas pada
a bＡ c juring masing-masingnya memiliki hubungan
Ａ berbanding lurus.
Ａ

45° Ｂ 90° Ｂ 135° Ｂ
Ｏ Ｏ Ｏ

Berdasarkan Contoh 3, kita dapat menyimpulkan berikut ini. 9. Penjelasan Soal 6

Pada lingkaran, panjang tali busur juring berbanding lurus dengan Dengan berdasarkan [contoh 3], mema-
ukuran sudut dalam. Luas juring berbanding lurus dengan ukuran sudut hami bahwa panjang tali busur dan luas
dalam. permukaan juring juga berada dalam hubungan
berbanding lurus. Hal ini terhubung dengan
Soal 6 Pada lingkaran, apakah kita dapat menyimpulkan bahwa luas juring cara mecari permukaan selimut kerucut (Buku
Soal 7 berbanding lurus dengan panjang tali busur juring tersebut?
pelajaran halaman 219 ”Pemikiran Tuti”).
Untuk juring dengan jari-jari 6 cm dan sudut dalam 120º, jawablah

pertanyaan berikut ini.

1 Jika juring dan lingkaran mempunyai jari-jari

yang sama, berapa kali luas juring lingkaran 6 cm BAB 6 Bangun Ruang

sama dengan luas lingkaran? 120º │
2 Hitung luas juring. Ｏ
3 Hitung panjang tali busur.

PENTING Panjang Tali Busur dan Luas Juring 10. Penjelasan Soal 7

Diberikan juring dengan jari-jari r cm dan sudut Jika dipikirkan dengan lingkaran sebagai
dasarnya, maka sudut pusat juring adalah 120
dalam aº. Panjang tali busur adalah l cm dan luas r cm Ｏ
aº 360
juring adalah Lj cm2, kalinya sudut pusat lingkaran. Oleh karenanya,
Lj cm2 panjang tali busur dan luas permukan juring
l = 2πr × a , Lj = πr2 × a yang juga berbanding lurus dengan sudut
360 360 l cm pusatnya pun, masing-masing didapat dengan
mengalikan panjang lingkar lingaran dan
Soal 8 Hitunglah panjang tali busur dan luas juring dengan jari-jari 4 cm dan sudut luas lingkaran dengan perbandungan yang
dalam 135º. sama yaitu 120 . Ini adalah pertanyaan untuk

BAB 6　Bangun Ruang 217 360
memahami mengenai hal tersebut.
Jawaban

Soal 6 11. Persamaan panjang dan luas permukaan
juring
Jika panjang tali busur menjasi 2 kali lipat, 3
kali lipat…dst, maka luas pun akan menjadi Menyusun persamaan panjang tali busur
2 kali lipat, 3 kali lipat…dst. oleh karenanya, dan luas permukaan juring dengan berdasarkan
dapat dikatakan bahwa luas permukaan juring pembelajaran pada [contoh 3] dan [soal 7].
berbanding lurus dengan panjang tali busurnya. Persamaan bisa diturunkan dari pola pikir yang
diperlihatkan [soal7] pada nomor 10 , namun
Soal 7 menurunkan persamaan yang menggunakan
perbandingan seperti di bawah ini juga bisa
(1) 120 = 1 , maka 1 kali lipat
360 3 3

(2) π × 62 × 1 = 12π (cm2) dilakukan.
3
Sudut pusat lingkaran adalah 360°, jika
(3) 2π ×6× 1 = 4π (cm)
3 dipikirkan bentuk juring dengan panjang tali
busur 2πr, karena sudut pusat juring a dan panjang
Soal 8 tali busur l adalah berbanding lurus, maka

Jika panjang tali busur juring adalah l cm, dan a : 360 = l : 2πr
luas adalah S cm2, maka
360 = 2πr × a
135
l = 2π × 4 × 360 l = 2πr × a
360

= 3π (cm) Adalah juga sama halnya dengan persamaan

luas permukaan juring.

Bab 6 Bangun Ruang 217

Jawaban Menemukan ［ Kegiatan Matematika ］

Karena selimut kerucut adalah juring, maka untuk Seperti diperlihatkan pada gambar di samping Ｏ
menentukan luasnya, dicari tahu sudut pusatnya. kanan, sebuah kerucut dengan jari-jari alas 5 12 cm
cm dan panjang garis pelukis 12 cm. Berapakah
1 luas selimut kerucut dalam cm2? Diskusikan Ａ Ｏ'
berdasarkan yang telah dipelajari sejauh ini. 5 cm
1 Karena panjang busur AB adalah sama
dengan panjang keliling lingkaran O’ 1 Pada , Adi menggambar jaring-jaring kerucut dan memikirkan sudut dalam
sektor untuk menghitung luas selimut kerucut. Bacalah ide Adi, dan jawablah
2 Karena besar sudut pusat dan panjang tali
busur juring adalah berbanding lurus. pertanyaan berikut ini.

3 Contoh Ide Adi
Untuk mencari sudut pusat juring, 360°
dikalikan dengan perbandingan jari-jari Panjang tali busur AB dari sektor OAB adalah (2π × 5 ) cm … a
dua lingkaran O dan O’ Panjang keliling lingkaran O adalah (2π × 12 ) cm
Jika saya misalkan sudut dalam juring adalah xº, maka
Penjelasan dan Hal yang Perlu Diingat
x = 360 × 2π × 5 …b
12. Aktivitas matematis pada jam ini 2π × 12 …c
Pada jam ini, sebagai kesempatan
x= 360 × 5
untuk melaksanan kegiatan matematis yang 12
menyatakan isi kurikulum, dibahas mengenai
”kegiatan mencari cara untuk menghitung = 150
luas permukaan kerucut dengan berdasarkan
jaring-jaring bangun dan cara mencari luas Ｏ Ａ Ｏ
permukaan juring”. Pada [Q] melalui kegiatan 5 cm 12 cm
diskusi, dibuat agar dapat fokus pada hal-hal 12 cm
yang diperlukan untuk mencari luas selimut. xº
Ｂ
13. Penjelasan untuk halaman ini
Pada halaman ini, membahas dua contoh Ａ Ｏ' Ｏ'
(Ｂ)
sebagai cara mencari luas selimut kerucut.
Pemikiran Adi pada [1] adalah cara di mana 5 cm
memanfaatkan sifat bahwa sudut pusat dan
panjang tali busur juring berbanding lurus 1 Jelaskan alasan a . 5 menyajikan apa?
untuk mencai sudut ousat, dan meruoakan 2 Jelaskan mengapa kita dapat menghitung 12
cara yang menggunakan persamaan luas,
sementara “pemikiran Tuti pada [3] adalah cara sudut dalam x dengan persamaan b .
yang memanfaatkan bahwa panjang tali busur 3 Bagaimana kita maknai bagian c ?
juring dan luas permukaannya berbanding
lurus. 218 Matematika untuk Sekolah Menengah Pertama Kelas VII

Di dalam pelajaran, susun pemikiran 14. Penjelasan 1
siswa seperti “Pemikiran Adi”, ”Pemikiran Tuti”,
”Pemikiran Yuni”dan sebagainya, lalu periksalah Hal yang penting dalam memikirkan soal
pemikiran tersebut satu persatu bersama siswa. ini adalah, berpikir setelah membuat jaring
bangun. Pertama, yakinkan mengenai hal
tersebut. Selanjutnya, baca ”Pemikiran Takumi”,
lalu jelaskanlah mengenai hal yang menjadi
dasar pemikiran tersebut.

Persamaan a, pada awalnya buatlah
persamaan perbandingan lurus x : 3 60 = (2π
× 5) : ( 2π × 12), kemudian dari situ didapatkan
nilai x.

Dari persamaan c, jika 360° dikalikan pada
nilai perbandungan jari-jari dua lingkaran O
dan O’ 5 , maka sudut pusat juring akan dapat

12
ditemukan.

218 Buku Panduan Guru Matematika untuk Sekolah Menengah Pertama Kelas VII

5

2 Hitunglah luas juring OAB jika sudut dalamnya adalah 150º. Luas alas = π × 52 = 25 (cm2)

3 Tuti mengatakan bahwa ia dapat menghitung luas tanpa mengetahui berapa Luas permukaan = 60π + 25π = 85π (cm2)
sudut dalamnya.
6

Ide Tuti

Luas lingkaran O adalah (2π × 122 ) cm2. Luas alas = π × 62 = 36 (cm2)

Jadi, jika luas juring adalah Lj cm2, maka 2Su6
2Su8
Lj = (π × 122) × 2π × 5 Luas selimut = (π × 82) ×
2π × 12
Ｏ 12 cm
= (π × 122) 5 Ａ
× 12 5 cm Luas permukaan = 48π + 36π = 84π (cm2)
S cm2 Ｂ
= 12 × 5 × π

= 60 π

Jawab: 60π cm2 Ｏ' 15. Penjelasan 3 dan pola pikir matematis 3

Marilah kita cermati bagaimana Tuti menemukan Berpikir Matematis “Pemikiran Tuti” adalah cara mencari
luas juring berdasarkan apa yang telah kita luas permukaan dengan memanfaarkan
pelajari. Jelaskan cara yang gunakan Tuti. Berdasarkan sifat-sifat lingkaran perbandingan lurus tali busur juring dan
dan juring, kita dapat menjelaskan luasnya, tanpa mencari sudut dalamnya. Tujuan
bagaimana menghitung luas sektor. bagian ini adalah siswa dapat menangkap
membaca hal tersebut, menerangkan alasannya
4 Diskusikan hasil pengamatanmu tentang cara menghitung luas juring BAB 6 Bangun Ruang dan menjelaskannya.
berdasarkan ide Adi dan Tuti.
│

5 Hitunglah luas alas dan luas permukaan kerucut Ｏ

yang diberikan di di halaman sebelumnya. 8 cm

6 Hitunglah luas alas, luas selimut, dan luas Ｏ'
permukaan kerucut di samping kanan ini 6 cm

menggunakan ide Adi dan Tuti. 16. Penjelasan 4

Sekarang kita paham Dari pemikiran Adi dan pemikiran Tuti,
bagaimana menghitung
luas permukaan kerucut. Dapatkan kita menghitung luas dapat dibaca bahwa perbandingan jari-jari
permukaan bola dengan cara serupa?

Hlm.224

BAB 6　Bangun Ruang 219 dua lingkatan O dan O’ yaitu 5 menjadi
12
perbandingan lingkaran O dan sudut pusat

Jawaban juring OAB, dengan kata lain menjadi

perbandingan luas. Selain itu, daroi “Pemikiran

2 Yui”diketahui bahwa S = 12 × 5 × π, dengan kata

lain,dapat digunakan cara menghitung (Luas

Jika luas juring OAB adalah S cm2, maka kerucut) = (Panjang generatrix) × (jari-jari alas)
× (pi).
S = (π × 122) × 150
360 Hal ini bisa diingat sebagai pengetahuan,
=60π (cm2)
namun yang diinginkan untuk diajarkan kepada

3 Contoh para siswa adalah bahwa pada saat mencari

luas selimut kerucut, kita akan selalu bisa

Karena luas permukaan juring berbanding lurus membangun kembali rumus dengan mengingat
dengan panjang tali busurnya, untuk mencari
luas juring AOB, kalikan luas lingkaran O dengan kembali cara berpikir yang memanfaatkan sifat
perbandingan antara panjang keliling lingkaran
O dan panjang busur AB. berbanding lurus yang dimiliki sudut pusat dan

permukaan, atau panjang tali busur dan luas

permukaan.

4 Contoh 17. Penjelasan untuk balon ucapan

Kalikan luas lingkaran O dengan perban- Dari hal yang sudah dipelajari hingga saat
dingan jari-jari dua lingkaran O dan O’ ini, pancinglah pertanyaan mengenai luas
Kalikan perbandingan jari-jari dua lingkaran permukaan bola yang sudah dipelajari hingga
O dan O’ dengan Pi π saat ini dari para siswa, untuk memberikan
motivasi mempelajari buku pelajaran halaman
224.

Bab 6 Bangun Ruang 219

Jawaban Cermati

Cermati Panjang Tali Busur dan Luas Juring

1 Diberikan sektor dengan jari-jari r cm dan Berpikir matematis
panjang tali busur l cm. Luas juring adalah Lj
cm2 Kita pikirkan bahwa menghitung
luas sektor serupa dengan lingkaran

Jari-jari 1 Seperti tampak pada gambar di bawah ini, bangun dipandang sebagai hasil
pengubinan potongan-potongan juring. Juring dipotong-potong kecil sama
besarnya berbentuk empat persegi panjang. Hasil bentukannya berupa empat
persegi panjang. Bagian juring mana yang ukurannya sama dengan panjang dan
lebar empat persegi panjang?
r cm

Panjang tali b÷us2ur : 2 l cm Dipotong kecil-kecil
dengan ukuran sama,
kemudian diubinkan

Jika jari-jari juring adalah r cm, panjang tali 2 Seperti ditunjukkan gambar di bawah ini, bangun dipandang sebagai hasil
pengubinan potongan-potongan juring. Potongan tersebut berbentuk
busur adalah l cm, dan luas adalah S cm2, maka segitiga sama besarnya. Bagian mana dari juring yang ukurannya sama
dengan panjang dan lebar empat persegi panjang?
S=r× 1l= 1 lr
2 2 r cm

2 l cm

Jari-jari

Berdasarkan 1 dan 2 , dapat disimpulkan berikut ini. Mirip dengan
rumus luas
Panjang tali busur Jika jari-jari juring r cm, r cm segitiga.
panjang tali busur l cm, L cm
dan luas adalah L cm2,

Jika jari-jari juring adalah r cm, panjang tali 1 l cm
L= 2 lr
busur adalah l cm, dan luas adalah S cm2, maka
3 Hitunglah luas juring yang berjari-jari 4 cm dan panjang tali busur 6π cm.

S= 1 ×l×r= 1 lr
2 2
3 220 Matematika untuk Sekolah Menengah Pertama Kelas VII

S = 1 × 6π × 4 Dari hal-hal ini, buat agar siswa dapat
2
menemukan bahwa luas permukaan juring
= 12π (cm2)
1 × (panjang tali
Penjelasan dan Hal yang Perlu Diingat dapat ditemukan dengan 2
busur) × ( jari-jari)

18. Penjelasan untuk panjang tali busur dan 19. Penjelasan 3 1
luas juring, cara pikir matematis 1 2
Jika menggunakan persamaan S = lr,
Pada [1] dari hal yang pernah dipelajari
di kelas 6 SD mengenai membagi lingkaran maka tanpa mencari sudut pusat juring pun,
menjadi 16, 32, 64…bagian sama rata lalu
menyusun ulang secara berderetan, maka akan luas juring dapat dicari dari panjang tali busur
terbentuk bangun yang mendekati persegi
panjangseperti halnya hal ini mengantarkan dan jari-jari, oleh karenanya praktis digunakan
pada persamaan luas lingkaran, pikirkan
mengenai luas juring. (cara berpikir analogi) saat mencari luas selimut kerucut.

Pada [2], karena merupakan bagian dari Pada buku pelajaran halaman 216-219,
lingkaran konsentrus, maka jika dibayangkan dibahas mengenai kegiatan memikirkan
bahwa semuanya diluruskan maka akan cara mencari luas selimut kerucut dengan
membentuk bangun yang mendekati segitiga, berdasarkan jaring-jaring bangun, namun di
dan dari situ, dipikirkan mengenai luas situ tidak digambarkan mengenai cara pikir
permukaan juring. yang menggunakan persamaan S = 1 lr. Pada

2
saat melakukan pembelajaran mengenai ”Luas
uring dan panjang tali busur”, tentunya ada juga
siswa yang berpikiran untuk menggunakan
persamaan ini.

220 Buku Panduan Guru Matematika untuk Sekolah Menengah Pertama Kelas VII

2 Volume Bangun Ruang (2) Jika pertama-tama dicari luas alas, maka

Tujuan Siswa dapat menghitung volume bangun ruang. (π × 22) : 2 = 2π (cm2)
Karenanya, volumenya adalah
Hitunglah volume prisma segi empat dan tabung berikut ini.
1 2 6 cm 2π × 4 = 8π (cm3)

Pertanyaan Serupa

3 cm 10 cm Carilah volume bangun ruang berikut ini
7 cm
4 cm 3 cm
4 cm

Sebagaimana telah dipelajari di 5 cm 5 cm
Sekolah Dasar, volume prisma
dan tabung adalah 15 cm
　(Luas alas) × (Tinggi)
7 cm

(300 cm3)

PENTING Volume Prisma dan Tabung Penjelasan dan Hal yang Perlu Diingat

Jika luas alas prisma atau tabung adalah L cm2, h BAB 6 Bangun Ruang│ 1. Penjelasan
tinggi t cm, maka volumenya adalah V cm3, S
h Di sekolah dasar, kita belajar bagaimana
V = Lt S mencari volume sebuah balok atau kubus di
kelas 5, dan volume sebuah prisma atau silinder
Catatan t dan V merupakan huruf pertama dari tinggi dan volume. di kelas 6 dengan (luas alas) × (tinggi). Ini
merupakan soal untuk mengulas kembali hal-
Soal 1 Hitunglah volume bangun ruang berikut ini. hal itu.

1 3 cm 2 2. Menangkap persamaan volume dengan
6 cm pergerakan alas

4 cm Mengulas kembali mengenai hal yang
dipelajari di buku pelajaran halaman 206,
7 cm 10 cm 4 cm dengan melihat prisma dan silinder sebagai
alas berbentuk poligon atau lingkaran yang
BAB 6　Bangun Ruang 221 digerakkan sejajar secara tegak lurus sepanjang
tingginya, buat siswa memahami makna dari
2 Volume Bangun Ruang (luas alas) × (tinggi).

1 jam 3. Volume prisma dan tabung

Tujuan Menyusun persamaan volume prisma
dan silinder dengan berdasarkan hal yang
1. Memahami cara menentukan volume telah dipelajari hingga saat ini. Dengan
prisma dan kerucut berdasarkan menggunakan [perhatian] jelaskan pada siswa
pengamatan dan eksperimen. mengenai alasan penggunaan huruf h, dan V
(S dapat mengacu pada [perhatian] di buku
2. Mampu mencari volume tabung dan kerucut. pelajaran halaman 215).

Jawaban 4. Penjelasan Soal 1 (1)

(1) 4 × 7 × 3 = 84 (cm3) Jika ada siswa yang mencari luasnya
(2) (π × 62) × 10 = 360π (cm3) dengan membaginya ke dua prisma segitiga,
bahas kemudian bandingkan dengan cara
Soal 1 menghitung menggunakan (luas alas) × (tinggi).

(1) Jika pertama-tama dicari luas alas, maka
1 × 10 × 6 + 1 × 10 × 3 = 84 (cm2)
22
Karenanya, volumenya adalah
45 × 7 = 315 (cm3)

Bab 6 Bangun Ruang 221

Jawaban

Volume air dalam wadah limas atau kerucut Volume Limas dan Kerucut
dianggap sepertiga dari volume prisma atau
tabung, karena terdapat tiga gelas air dalam Bandingkan volume prisma, limas, tabung, dan
wadah prisma atau tabung dengan luas alas kerucut yang mempunyai luas alas dan tinggi yang
dan tinggi yang sama. sama dengan menggunakan wadah.

Berapa banyak cairan yang
dapat dimasukkan ke
dalam?

Soal 2 Berdasarkan hasil di , kita dapat melihat Berpikir Matematis

1 bahwa volume limas dan kerucut sama dengan Berdasarkan percobaan kita dapat
3 1 menentukan hubungan antara
(1) × 82 × 6 = 128 (cm3) 3 volume prisma dan tabung dengan luas alas volume limas dan kerucut dan
antara volume prisma dan tabung.
dan tinggi yang sama.

(2) 1 × (π × 62) × 9 = 108π (cm3) PENTING Volume Limas dan Kerucut
3
Jika luas alas limas atau kerucut adalah L cm2,
tingginya adalah t cm, maka volumenya adalah h h
V cm3 S
Pertanyaan Serupa
1 S
3
　　V= Lt

Carilah volumen kerucut a dan b di bawah ini, Soal 2 Hitunglah volume bangun ruang berikut ini.
kemudian carilah perbandingannya.
a Kerucut dengan jari-jari alas 3cm, tinggi 6 cm 1 2 9 cm
b Kerucut dengan jari-jari alas 6 cm,tinggi 3 cm 6 cm (tinggi)
(tinggi)

8 cm 12 cm

a …18π cm3 b …36π cm3 Volume limas dan kerucut Dapatkah kita menemukan
dapat ditemukan berdasarkan rumus volume bola dengan cara
Perbandingan volumenya 1 : 2 percobaan. serupa? Hlm.224

222 Matematika untuk Sekolah Menengah Pertama Kelas VII

Penjelasan dan Hal yang Perlu Diingat

5. Penjelasan dan cara pikir matematis 2 memikirkan tentang cara mencari volume limas
segi empat menggunakan model,maka bisa
Untuk mendapatkan rumus volume V = juga melakukan aktivitas tersebut di sini.

1 Lt dari piramida secara logis, perlu untuk 6. Volume limas dan kerucut
3
Berdasarkan pembelajaran selama ini,
memahami integral. Oleh karena itu, di sekolah rumus volume piramida dan kerucut dirangkum
menggunakan huruf.
menengah pertama, rumus secara intuitif
7. Volume limas dan kerucut
diturunkan dengan metode seperti eksperimen
Seperti halnya balon ucapan pada uku
(berpikir induktif ). pelajaran halaman 219, diharapkan untuk
memancing pertanyaan mengenai volume bola
Di sini, dengan melakukan percobaan di dari para siswa. Jika muncul pertanyaan seperti,
mana air atau pasir dimasukkan ke dalam wadah jika persamaan volume limas dan kerucut
dan memperhatikan hasilnya, hubungan antara dapat dicari dengan percobaan, tidakkah bisa
volume kolom dan kerucut dengan permukaan juga dicari dengan percobaan?, maka akan
dasar yang kongruen dan ketinggian yang sama lebih mudah untuk menyambungkannya ke
akan ditemukan dan dijelaskan. pelajaran di halaman 224.

Selain itu, pada "Memikirkan Volume
Piramida dengan Model" di halaman
selanjutnya, memperkenalkan aktivitas untuk

222 Buku Panduan Guru Matematika untuk Sekolah Menengah Pertama Kelas VII

Cermati adalah 1 dari volume prisma segi empat yang
3
Volume Limas Menggunakan Miniatur
luas alas dan tingginya sama satu sama lain.
1 Marilah kita membuat tiga limas persegi menggunakan jaring-jaring yang
disediakan di akhir buku 2 , kemudian bentuklah menjadi sebuah kubus. 8. Volume Limas Dipikirkan Menggunakan
Miniatur
Berdasarkan 1 , kita dapat melihat bahwa volume masing-masing limas persegi sama
Merupakan tugas untuk mengkonirmasi
dengan 1 volume kubus. Alas limas menjadi salah satu permukaan kubus. melalui pembuatan model bahwa volume
3 limas segi empat adalah 1 dari volume prisma

2 Marilah kita membuat enam limas persegi dengan jaring-jaring yang 3
tersedia di akhir buku 2 , kemudian kita susun menjadi kubus. segi empat yang luas alas dan tingginya sama.
Pemahaman ini dapat diperdalam dengan
BAB 6 Bangun Ruang melakukannya bersama dengan percobaan
menempatkan air atau pasir dalam wadah
seperti yang dibahas pada halaman sebelumnya
dan membandingkannya.

│

Dari gambar di atas, tampak bahwa volume limas persegi di atas adalah 1 volume Bangun ruang yang dapat dibentuk dari
6 jaring-jaring [1] adalah limas miring yang tidak
dibahas dalam teks buku pelajaran, tetapi
kubus. Permukaan-permukaan kubus merupakan alas-alas limas, sehingga tinggi harus dipahami secara intuitif bahwa jika posisi
kubus sama dengan dua kali tinggi limas. puncak digeser, itu menjadi limas persegi biasa
volume yang sama.
3 Berdasarkan 1 dan 2 , di atas, jelaskan mengapa volume limas persegi
sama dengan 1 volume prisma persegi yang mempunyai luas alas dan Juga, di 2, didapati bahwa volume limas

3 segi empat beraturan dengan luas alas yang
tinggi yang sama.
sama dan setengah tingginya dari kubus adalah
BAB 6　Bangun Ruang 223
1 dari volume kubus, sehingga volume limas
Jawaban 1
6
Cermati
segi empat adalah 3 dari limas segi empat
1
Dari [1], model limas segi empat memiliki luas dengan tinggi yang sama.
alas dan tinggi yang sama dengan kubus.
Volume limas segi empat adalah sepertiga dari Bisa juga berpikir
volume prisma segi empat yang luas alas dan menggunakan balok dengan
tingginya sama, karena kubus dibentuk dengan tinggi setengah dari kubus
mengumpulkan ketiganya. sejak awal. Ketika dipotong
seperti yang ditunjukkan pada
2 gambar di sebelah kanan,balok
Dari [2], model limas segi empat memiliki luas menghasilkan empat limas
alas yang sama dengan kubus dan tingginya segiempat beraturan yang
setengah. Volume limas segi empat setengah ada di buku pelajaran, dan
tingginya adalah 1/6 volume prisma segi empat empat limas segi empat hasil
dengan luas alas dan tinggi yang sama, karena memotongnya menjadi dua.
kubus dibentuk dengan mengumpulkan enam Oleh karenanya, volume limas
buah. Oleh karena itu, volume limas segi empat
1
segiempat dapat dijelaskan sebagai 3 volume
prisma segi empat yang luas alas dan tingginya
sama.

Bab 6 Bangun Ruang 223

3 Luas Permukaan dan Volume Bola 3 Luas Permukaan dan Volume Bola

1,5 jam Tujuan Siswa dapat menghitung luas permukaan dan volume bola

Tujuan Luas Permukaan Bola

1. Memahami cara menentukan luas Seutas tali dililitkan pada bola dengan jari-
permukaan dan volume bola berdasarkan jari 5 cm. Kemudian dibuka lilitan dan disusun
pengamatan dan eksperimen. melingkar menjadi sebuah lingkaran dengan
jari-jari 10 cm, seperti ditunjukkan gambar di
2. Dapat menghitung luas permukaan dan samping ini.
volume bola menggunakan persamaan. 1 Berapakah luas lingkaran dalam cm2?
2 Hitunglah luas permukaan bola dengan
Jawaban
menggunakan hubungan antara jari-jari
(1) π × 102 = 100π (cm2) bola dan jari-jari lingkaran.
(2) Karena luas permukaan bola berjari-jari 5
Secara umum, percobaan di atas menunjukkan bahwa permukaan bola dengan
cm sama dengan luas lingkaran berjari- jari-jari r cm sama dengan luas lingkaran dengan jari-jari 2r cm.
jari 10 cm, dapat dicari dengan (luas Jadi, jika jari-jari bola adalah r, maka luas permukaan bola adalah
permukaan bola) = π × (dua kali lipat jari-
jari bola-bola)2 　π × (2r)2 　π × 2r × 2r
= π × 2r × 2r =2× 2× π× r× r
Soal 1 = 4 π r2 = 4πr2

4π × 42 = 64π (cm2) PENTING Luas Permukaan Bola

Soal 2 Luas permukaan bola berjari-jari r adalah L cm2, dengan rumus

Karena bangun ini adalah setengah lingkaran L = 4 π r2
dengan jari-jari 3 cm, maka
l
(4π × 32) × 1 + π × 32
2 Soal 1 Hitunglah luas permukaan bola berjari-jari 4 cm.

= 27π (cm2) Soal 2 Hitung luas permukaan bangun ruang yang diperoleh
dengan memutar juring dengan jari-jari 3 cm dan sudut
Penjelasan dan Hal yang Perlu Diingat pusat 90°. Sekali putar dengan sumbu putar garis l, seperti 3 cm
ditunjukkan pada gambar di samping kanan.
1. Penjelasan
Serupa dengan rumus volume piramida 224 Matematika untuk Sekolah Menengah Pertama Kelas VII

dan kerucut, rumus untuk menghitung 2. Luas permukaan bola
luas permukaan dan volume bola dipahami
secara intuitif di sekolah menengah pertama Berdasarkan [Q], kita menggeneralisasi
berdasarkan observasi dan eksperimen. menjadi L = π × (2r)2 × 4 × πr2 dan menurunkan
rumusnya. Di [Pertanyaan 1], rumus tersebut
Di sini, kita membahas eksperimen untuk dapat diterapkan pada contoh konkret. Luas
menyelidiki hubungan antara jari-jari bola permukaan bola sama dengan luas sisi silinder
dan jari-jari lingkaran yang digulung ulang tempatnya. Ini tercakup dalam [Percobaan]
saat tali dilepas pada seluruh permukaan bola pada [Buku pelajaran] H.213
dan digulung kembali untuk membentuk dan [Buku pelajaran] H.226,
lingkaran. Karena jari-jari lingkaran yang diarapkan untuk dipelajari
diputar ulang adalah dua kali jari-jari bola, maka sambil menghubungkan antara
dimungkinkan untuk secara intuitif memahami keduanya.
bahwa luas permukaan bola = π × (dua kali jari-
jari bola)2. Dalam pembelajaran

tahun ini, perkalian dengan

persamaan huruf termasuk

eksponen belum dipelajari, sehingga perlu

dijelaskan secara cermat proses perhitungan

untuk menurunkan rumus berdasarkan fakta

tersebut.

224 Buku Panduan Guru Matematika untuk Sekolah Menengah Pertama Kelas VII

Pertanyaan Serupa

Volume Bola Carilah luas permukaan dan
volume bangun ruang yang
Sebuah wadah A berbentuk setengah bola dengan jari-jari 5 cm. Wadah B dibentuk dengan membagi bola O
berbentuk tabung dengan jari-jari alas 5 cm dan tinggi 10 cm. Ketika kita berjari-jari 6 cm menjadi empat
menuangkan air ke dalam wadah B menggunakan wadah A, tiga wadah bagian yang sama pada dua
A mengisi wadah B. Hitunglah volume setengah bola berdasarkan hasil bidang yang melewati pusat O,
percobaan ini. seperti yang ditunjukkan pada
gambar berikut.
B1 23
A

Pada , kita dapat melihat bahwa volume setengah Luas permukaan 72π cm2
1
bola A adalah 3 volume silinder B. Berdasarkan

fakta tersebut, jika setengah bola memiliki jari-jari r 2r cm 72π cm3

cm, dan volume V cm3, maka kita dapat menghitung r cm Volume
r2 × r
volumenya berdasarkan volume tabung berjari-jari r = r×r×r
= r3
dan tinggi 2r,

V= (π × r2 × 2r × 1 )×2 3. Penjelasan Soal 2
3
Melihat kembali pembelajaran tentang
= 1 × 2 × 2 × π × r2 × r BAB 6 Bangun Ruang benda putar di halaman 207 buku pelajaran, dan
3 buatlah sketsa untuk mencari luas permukaan
│ setengah bola.

= 4 πr3
3

PENTING Volume Bola

Volume bola berjari-jari r adalah V cm3, dengan rumus 4. Penjelasan
V = 4 πr3
3 Dengan melakukan percobaan di mana
air atau pasir dimasukkan ke dalam wadah
Soal 3 Hitunglah volume bola berjari-jari 4 cm. dan memperhatikan hasilnya, hubungan
Soal 4 Hitunglah volume bangun ruang di Soal 2 di halaman sebelumnya. antara volume belahan dan volume silinder
secara intuitif ditemukan, dan volume belahan
BAB 6　Bangun Ruang 225 diperoleh berdasarkan volume silinder. Ada
baiknya untuk melihat kembali eksperimen
Jawaban volumetrik piramida dan kerucut yang dilakukan
di [Q] pada halaman 222 buku pelajaran.
Volume tabung B adalah π × 52 × 10 = 250 π (cm3).
5. Volume bola
Volume setengah bola A adalah sepertiganya

karena wadah ini hanya dapat diisi dengan tiga Dari [Q], secara intuitif siswa diberi

cangkir. pemahaman bahwa volume setengah bola

Oleh karena itu, volume setengah bola A adalah adalah 1 dari volume silinder. Artinya, volume
3
250π × 1 = 250 π (cm3)
3 3 2
bola adalah 3 dari volume silinder πr2 × 2r, dan

Soal 3 rumus volume bola diturunkan berdasarkan ini.

4 π× 43 = 256 π (cm3) Juga, karena volume bola
3 3

Soal 4 adalah 2 dari volume tabung
3
tempatnya, dan volume kerucut
§ 4 Su 33 · × 1 = 18π (cm3)
¨© 3 ¸¹ 2 1
adalah 3 dari tabung yang

sama, rasio volume kerucut, bola,

dan tabung adalah 1 : 2 : 3. Ini secara singkat

disebutkan di halaman 213, tetapi Anda dapat

memeriksanya di [Coba] di halaman berikutnya.

Bab 6 Bangun Ruang 225

Jawaban

Mari Mencoba Berdasarkan gambar 1 di halaman 213, perhatikan pernyataan berikut ini
dan kaitkan dengan yang telah kita pelajari sejauh ini.
Mari Mencoba
a Kerucut dengan jari-jari alas 5 cm a b c
(1) Volume a dan tinggi 10 cm.

1 × (π × 52) × 10 = 250 π (cm3) b Bola dengan jari-jari 5 cm.
3 3 c Tabung dengan jari-jari alas 5 cm,

Volume b tinggi 10 cm.

1 Jika volume a adalah 1, berapakah
volume b dan c ?

2 Bandingkanlah luas permukaan b dan
luas selimut c .

1 ×π × 53 = 500 π (cm3) 3
3 3 Pengukuran Bangun Ruang
Mari Kita Periksa
Volume c

π × 52 × 10 = 250π (cm3) 1 Hitunglah panjang tali busur juring
dengan jari-jari 12 cm dan sudut
Dari penjelasan di atas, volume b dan Luas Permukaan pusat 240°. Hitung luas juring Ｏ 12 cm
Kerucut tersebut. 240°

［Hlm.217］ S 8

c masing-masing dua kali dan tiga kali

volume a. Oleh karena itu, jika volume a Hitung luas selimut, luas alas, dan luas Ｏ
permukaan kerucut di samping ini.
adalah 1, volume b adalah 2 dan volume c 2 4 cm

adalah 3. Luas Permukaan Ｏ'
Kerucut
(2) Luas permukaan a adalah ［Hlm.219］ 6 2 cm
Hitunglah volume bangun ruang berikut
4π × 52 = 100π (cm2) 3 ini.

Luas permukaan b adalah Volume Bangun 1 Tabung dengan jari-jari alas 10 cm dan tinggi 15 cm
Ruang
［Hlm.221］ S 1 2 Limas segi lima dengan luas alas 60 cm2 dan tinggi 8 cm
［Hlm.222］ S 2

10π × 10 = 100π (cm2) Hitung luas permukaan dan volume bola dengan jari-jari 6 cm.

karenanya, luas permukaan b dan luas 4

selimut c adalah sama Luas Permukaan
dan Volume Bola

［Hlm.224］ S 1
［Hlm.225］ S 3

Mari Kita Periksa 226 Matematika untuk Sekolah Menengah Pertama Kelas VII

0,5 jam 4

Jawaban Luas permukaan = 4π × 32 = 36π (cm2)

1 Volume = 4 π × 33 = 36π (cm3)
3
(Panjang tali busur)

= 2π × 12 × 240 = 16π (cm) Penjelasan dan Hal yang Perlu Diingat
360

Luas permukaan 6. Penjelasan
Mari Mencoba
= π × 122 × 240 = 96π (cm2)
360 Seperti yang ditunjukkan di buku teks,
ketika kerucut dan bola masuk ke dalam tabung
2 = π × 42 × 2Su2 = 16π (cm) (diameter dan tinggi sama), rasio volumenya 1:
2Su4 2: 3. (1) adalah masalah untuk memahaminya
Luas selimut secara intuitif. Pada tahun pertama (kelas 7), jari-
jari disetel ke 5 cm bukan r karena perhitungan
= 8π (cm2) persamaan huruf termasuk pangkat belum
= π × 22 = 4π (cm2) dipelajari.
Luas alas
Selain itu, luas permukaan bola sama
Luas permukaan = 8π + 4π = 12π (cm2) dengan luas sisi tabung yang pas. (2) adalah
masalah untuk memahami itu.
3

(1) π × 102 × 15 = 1.500π (cm3)

(2) 1 × 60 × 80 = 160 (cm3)
3

226 Buku Panduan Guru Matematika untuk Sekolah Menengah Pertama Kelas VII

3

Proyeksi

6 Ba章b 6の Soal Ringkasan Jawaban di hlm..289 Tampak depan

Gagasan Utama

1 Isilah dengan bilangan atau kata-kata yang tepat.

1 Bangun ruang yang tersusun atas bidang-bidang disebut . Tampak atas

2 Jika garis-garis tidak berpotongan pada ruang, dan mereka berada dalam satu

bidang, maka mereka . Jika mereka tidak berada dalam satu bidang,

maka mereka .

3 Rasio keliling dinyatakan dalam huruf Yunani . 4

4 Panjang keliling lingkaran berjari-jari r cm adalah cm, dan luasnya

adalah cm2. (1) Luas permukaan = (2π × 2) × 7 + (π × 22) × 2

2 Berdasarkan gambar prisma di samping ini, tentukan: = 28π + 4π × 2
Ａ Ｄ = 36π (cm2)
1 Rusuk yang sejajar dengan sisi AD
Ｅ
2 Rusuk yang bersilangan dengan garis AD Ｆ Volume = (π × 22) × 7

3 Permukaan yang sejajar dengan permukaan

ABC Ｂ = 28π (cm3)

4 Permukaan yang tegak lurus permukaan ABC Ｃ

3 Proyeksi bangun ruang ditunjukkan di Proyeksi (2) Luas permukaan = ©¨§ 1 u 6u5 ·¸¹ × 4 + 62
2
samping ini. Atas Tampak BAB 6 Bangun Ruang
depan
Lengkapilah proyeksi │
Tampak
dengan menambahkan atas = 60 + 36

garis-garis yang sesuai.

= 96 (cm2)

Depan 1
3
4 Tentukan luas permukaan dan volume bangun ruang di bawah ini. Volume = × 62 × 4

1 2 cm 2

5 cm = 48 (cm3)

4 cm

7 cm Pertanyaan Serupa

6 cm 6 cm

BAB 6　Bangun Ruang 227 Apakah garis lurus AE dan

garis lurus QG berpotongan D Q
untuk pilar persegi pada
BAB 6 Soal Ringkasan G
gambar di sebelah kanan? A P F
2 jam Juga, tolong jawab alasan

Jawaban dari penilaian tersebut. H

Gagasan Pokok E

1 Tidak berpotongan.
<Alasan>
(1) Polihedron Karena AEFP permukaan termasuk
(2) Berpotongan, bersilangan AE garis lurus dan DHGQ permukaan
(3) π, 2πr, 2r2 termasuk QG garis lurus berada dalam
hubungan paralel, maka garis lurus yang
2 termasuk di dalamnya tidak berpotongan.

(1) rusuk BC, EF
(2) rusuk BC, EF
(3) Bidang DEF
(4) Bidang ABED, BCFE, ACFD

Bab 6 Bangun Ruang 227

Jawaban w

5 BAB 6 Soal Ringkasan

(1) 5 Sebuah bangun ruang dibentuk dengan memutar Ａ
ΔABC sekali putar dengan sumbu putar garis AC,

seperti ditunjukkan pada gambar di samping. 10 cm
Jawablah pertanyaan berikut ini.
8 cm

1 Gambarlah sketsa bangun ruang tersebut.

2 Hitunglah volumenya.

3 Hitunglah luas selimut. Ｂ 6 cm Ｃ

(2) 1 × (π × 62) × 8= 96π (cm3) 6 Gambar di samping kanan ini menunjukkan jaring-jaring kubus. Sebuah kubus
3 dibentuk dari jaring-jaring tersebut. Tentukan:

(3) π × 102 × 2Su6 = 60π (cm2) 1 Permukaan yang sejajar dengan Ｐ Ｕ
2Su10 permukaan P. ＡＢ
ＳＱＴ
2 Permukaan yang sejajar dengan sisi A.
3 Permukaan yang tegak lurus dengan Ｒ

rusuk AB.

6 7 Tentukan luas permukaan da a
volume bangun ruang berikut.
(1) permukaan (bidang) atau sisi R b
r
(2) permukaan (bidang) atau sisi R, U

(3) permukaan (bidang) atau sisi S, T

7 2 + b + 1 a) Penerapan Ｏ
3r 3 6 cm
πr2( 1 Sebuah bangun ruang dibentuk oleh jaring-
jaring gambar di sebelah kanan ini. 120°
Penerapan 1 Gambarlah sketsa bangun ruang yang 4 cm
dibentuk.
1 2 Hitunglah jari-jari lingkaran O. Ｏ'

(1) 2 Sebuah wadah menampung 1,8 liter cairan. Jika kita tuangkan air dari wadah
tersebut ke wadah yang lain yang sebentuk, seperti ditunjukkan pada a dan b
berapa banyak air dalam wadah tersebut? Jelaskan caramu.

ab

228 Matematika untuk Sekolah Menengah Pertama Kelas VII

(2) Panjang busur juring adalah b 0,3 L
(Contoh alasan)
2π × 6 × 120 = 4π (cm) Bagian yang mengandung air dapat dilihat
360 sebagai piramida segitiga. Saat ini, karena
luas dasar dan tinggi sama dengan prisma
Karena panjang busur juring dan panjang segitiga a, jumlah air dalam wadah adalah
1
keliling lingkaran O adalah sama, jika jari- 3 dari a, yaitu 0,3 L.

jari lingkaran O adalah r cm, maka

2πr = 4π

r=2

Jawaban 2 cm

2

a 0,9 L

(Contoh alasan)

Bagian yang mengandung air dapat dilihat

sebagai prisma segitiga. Pada saat ini,

luas alas adalah 1 dari persegi asal dan
2

tingginya sama dengan salah satu sisi

kubus. Oleh karena itu, jumlah air dalam

wadah adalah setengah dari jumlah air

dalam kubus, atau 0,9 L.

228 Buku Panduan Guru Matematika untuk Sekolah Menengah Pertama Kelas VII

1 × (π × 162) × 30 – 320π
3

Penerapan Praktis = 2.240π

1 Olahan nasi yang disajikan dalam bentuk karenanya, 2240π cm3
kerucut disertai lauk pauk disebut nasi Dengan demikian, dari 2.240π ÷ 64π = 35,
dapat dibagikan kepada 35 orang lagi.
tumpeng. Pada zaman dahulu, nasi tumpeng

disajikan sebagai wujud syukur kepada Tuhan

Yang Maha Kuasa. Sekarang, nasi tumpeng

disajikan dalam pesta atau acara-acara Sumber: jogja.co
tertentu.

1 Kita ingin menutup permukaan tumpeng Penjelasan dan Hal yang Perlu Diingat
dengan perkedel berbentuk bola-bola
kecil. Hitunglah luas permukaan yang 34 cm 1. Penjelasan terhadap 1
akan ditutup perkedel.
Berkenaan dengan penyajian nasi tumpeng
30 cm pada sebuah acara yang berbentuk kerucut,
adalah tugas untuk memanfaatkan metode
16 cm menemukan luas sisi dan volume kerucut yang
telah kita pelajari selama ini untuk kejadian di
2 Kita potong tumpeng menjadi dua sehingga tingginya sama. Bagian atas sekitar kita. Seperti yang dapat kita lihat dari
diberikan pada lima orang secara merata. Jika sisanya kita-potong-potong gambar, tumpeng sebenarnya tidak datar,
secara merata, berapa orang yang mendapat bagian? tetapi diinginkan agar siswa memahami bahwa
"menganggap" penting dalam memecahkan
BAB 6 Bangun Ruang│ masalah di sekitar kita dalam matematika.

15 cm

8 cm

15 cm

16 cm Selain itu, saya ingin tidak hanya
menerapkan rumus yang telah dipelajari, tetapi
Pekerjaan Terkait juga merasakan sendiri jumlahnya.
［Chef kue］

BAB 6　Bangun Ruang 229

Jawaban 2. Penjelasan terhadap 1 (2)

Penerapan Jika volume kerucut atas dipotong menjadi
dua, akan menjadi perbandingan volume sisa
bangun ruang.

1 Hal ini mengarah pada hubungan antara

(1) Karena luas bagian yang dilapisi perkedel rasio kesamaan dan rasio volume yang dipelajari

adalah luas selimut kerucut, maka pada kelas 3. Di sini, tidak perlu secara khusus

π × 342 × 2Su16 = 544π berurusan dengan fakta bahwa rasio volume
2Su34
bangun dengan rasio kemiripan a : b adalah a3 :

sehingga, 544π cm2 b3, tetapi dengan membandingkan jumlah yang
(2) Jumlah yang telah dibagi adalah didistribusikan 320π cm3 dengan jumlah sisa

1 × (π × × 320π 2240 Π cm3, menghasilkan perbandingan 1 : 7
3
82) 15 = sdiinginkan siswa menyadari dengan merasakan

karenanya, 320π cm3 bahwa kerucut atas, yang merupakan potongan

Karena dibagi ke 5 orang, maka bagian 1 kerucut dengan setengah tingginya, hanya 1
8
orang adalah dari volume seluruh kerucut.

320π : 5 = 64π
karenanya 64π cm3

Jumlah yang tersisa adalah total kerucut

dikurangi kerucut yang dibagikan, maka

Bab 6 Bangun Ruang 229

Membandingkan Volume dan PenMdaaltaemri an
Luas Permukaan
Membandingkan Volume dan
Tujuan Luas Permukaan

Siswa dapat menggunakan rumus volume dan 1 Piramida terbesar di Mesir adalah piramida Khufu. Piramida merupakan salah
luas permukaan benda padat untuk mengetahui satu contoh limas. Ketika dibangun, bentuknya adalah piramida persegi dengan
volume dan luas permukaan benda di sekitar.
panjang rusuk alas 230 m dan tinggi 146 m. Empat permukaan miringnya
Jawaban
tepat menghadap Timur, Barat, Utara, dan Selatan. Hitunglah volume piramida

tersebut. Bandingkan dengan Tokyo Dome yang volumenya 55.000 m3.

1

Volume piramida adalah Piramida Tokyo Dome
1 Sumber: inet.detik.com Sumber: www.WorldStadiums.com
3
× 2302 × 164 = 2.574.466,6…

Oleh karena itu, didapat sekitar 2.570.000 m3. 2 Buah melon pada gambar di samping
Ini kira-kira dua kali volume Tokyo Dome yang ini tingginya 12 cm dan 16 cm. Rasio

tingginya adalah 3 : 4. Bagaimana rasio

luas permukaan dan rasio volumenya?

1.240.000 m3. Anggaplah bahwa bentuk melon adalah

bola. Selidikilah rasio-rasio tersebut. Melon
Sumber: Dokumen Puskurbuk

2 Marilah kita gunakan rumus dan metode
yang telah kita pelajari untuk menyelidiki
Jika satu melon dianggap sebagai bola dan volume dan luas permukaan benda-
dihitung luas permukaan dan volume masing- benda di sekeliling kita.
masing, melon yang lebih kecil dihitung sebagai
230 Matematika untuk Sekolah Menengah Pertama Kelas VII
berikut
menyajikan perbandingannnya dengan
Luas permukaan = 4π × 62 = 144π (cm2) bangunan-bangunan yang dikenal oleh siswa
4 sehingga siswa dapat merasakan besarnya
Volume = 3 π × 63 = 288π (cm3) ukuran tersebut.

Melon yang besar dihitung sebagai berikut 2. Penjelasan terhadap 2
Di sini, luas permukaan dan volume dapat
Luas permukaan = 4π × 82 = 256π (cm2)
4 2.048 dihitung menggunakan rumus yang sudah
Volume = 3 π × 83 = 3 π (cm3) dipelajari, kemudian rasionya dapat dihitung.
Dengan membandingkan kedua buah melon
Karenanya, perbandingan luas permukaannya tersebut, terlihat perbandingan diameter
sekitar 1,33 kali lipat, sedangkan perbandingan
adalah luas permukaan sekitar 1,78 kali lipat dan
perbandingan volume sekitar 2,37 kali lipat.
144π : 256π = 144 : 256
= 9 : 16 Kemudian, sebagai penanganan lanjutan,
disarankan untuk membuat siswa memikirkan
Sementara, perbandingan volumenya adalah hubungan antara rasio luas permukaan dan
rasio volume dengan membandingkannya
288π : 2.048 π = 288 : 2.048 dengan rasio diameter (rasio kesamaan).
3 3
3. Penjelasan
= 864 : 2.048 Terapkan formula ke hal-hal di sekitar Anda

= 27 : 64 untuk merasakan sendiri mengenai volumenya.
Bola tenis meja berdiameter 4 cm, dan bola voli
Penjelasan dan Hal yang Perlu Diingat (bola nomor 4 untuk siswa SMP) berdiameter 20
cm.
1. Penjelasan terhadap 1
Piramida Raja Khufu diperkirakan telah

dibangun sekitar 2600 SM dan merupakan
bangunan tertinggi di dunia hingga Menara
Eifel di Paris dibangun pada tahun 1889. Di
sini,volumenya dibandingkan dengan volume
Tokyo Dome. Dalam hal ini, guru juga dapat

230 Buku Panduan Guru Matematika untuk Sekolah Menengah Pertama Kelas VII

Ulasan dengan mudah dibandingkan dengan tabel
tempat nilai numerik disusun.
~ Dari Sekolah Dasar ke Sekolah Menengah Pertama ~
Histogram (dipelajari dengan nama "graik
Dalam situasi bagaimana graik-graik kolom" di sekolah dasar) juga merupakan salah
berikut ini gunakan? satu diagram batang, yaitu graik yang membagi
rentang data nilai kontinu. bisa dipakai untuk
Emisi karbon dioksida per kapita membaca dimanakah adanya puncak data.

(Orang) (2010) (10.000) Panen jeruk dan apel
400 Jeruk
20 350
300 Apel
15 250 80 85 90 95 2000 Diagram garis seperti b cocok untuk
200
10 150 membaca perubahan dan transisi dari waktu ke
100
5 50 waktu. Juga mudah untuk mengungkapkannya

0 Polandia 0 05 10 12 (Tahun)
Jepangg 1975
Jerman jika perlu untuk menampilkan dan
Rusia
Korea Emisi karbon dioksida rumah tangga (2011)
Kanada
Saudi Arabia
Australia
Amerika

Pendingin ruangan 2,3% suplai air 2,1% membandingkan beberapa data secara
Limbah 3%
Populasi berdasarkan kelompok umur
Dapur 4,6%
5% bersamaan. Seperti
yang ditunjukkan Suhu dan curah hujan rata-rata bulanan di prefektur
1950 35% 60% 84,11 Suplai air Lampu, peralatan Kagoshima
juta orang panas elektronik, dsb
35%
13,7% Suhu (oCelcius) Curah hujan (mm)

2000 15% 68% 17% 126,93 Pemanas ruangan pada gambar di
juta orang 13,8%

Kendaraan Suhu rata-rata 18,6oC
25,5%
Ketika meneliti 0 5.000 10.000 15.000
data, maka kita sebelah kanan,
gunakan graik. (10.000 orang)

14 tahun atau kurang

dari 15 sampai 64 tahun

65 tahun atau lebih diagram batang

(orang) Lemparan kasti (Kelas 1) dan diagram garis
10

dapat digunakan

5 bersamaan.
0 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 (ｍ)
Graik pita Curah hujan rata-rata 2265,7mm)

Bab 7 atau diagram (Bulan)
Data batang bersusun
Rata-rata tahun 1981-2010
231
c dan diagram lingkaran d memudahkan

untuk membaca rasio setiap data terhadap

Ulasan keseluruhan.

~ Dari Sekolah Dasar ke Sekolah Menengah Pertama ~ 2. Graik di sekitar kita

Tujuan Selain graik yang ditampilkan di sini, kita
dapat menemukan berbagai graik dengan
dapat mengulas kembali berbagai graik mencari di koran, buku tahunan, majalah, dll.
yang Anda pelajari di sekolah dasar dan cara Plot kotak dan plot pencar di halaman 164–165
menggunakannya. [Penjelasan/Bahan] dan diagram radar di bawah
adalah salah satunya. Dimungkinkan juga untuk
Penjelasan dan Hal yang Perlu Diingat mengembangkan pelajaran di mana siswa diminta
untuk menemukan graik yang digunakan di
1. Beragam Graik atau Diagram sekitar mereka sebelumnya dan mengumumkan
Halaman ini menunjukkan contoh graik bagaimana menggunakan setiap graik dan
baiknya graik tersebut.
umum (diagram batang, diagram garis, diagram
lingkaran, graik kolom) yang dipelajari di sekolah Perbandingan mobil A dan B
dasar.
Mobil A
Jika Anda membuat graik batang seperti Mobil B
a, Anda dapat melihat perbedaan nilai setiap
negara secara sekilas dan membandingkannya Keselamatan Konsumsi bahan
bakar

Kecepatan Desain

Bab 6 Bangun Ruang 231

KEMENTERIAN PENDIDIKAN, KEBUDAYAAN, RISET, DAN TEKNOLOGI BAB KEMENTERIAN PENDIDIKAN, KEBUDAYAAN, RISET, DAN TEKNOLOGI
REPUBLIK INDONESIA, 2021 REPUBLIK INDONESIA, 2021
Buku Panduan Guru Matematika 7 Matematika
untuk Sekolah Menengah Pertama Kelas VII untuk Sekolah Menengah Pertama Kelas VII
Penulis: Tim Gakko Tosho Penulis: Tim Gakko Tosho
Penyadur: Sugiman & Achmad Dany Fachrudin Penyadur: Sugiman, Achmad Dany Fachrudin
ISBN: 978-602-244-517-3 (jil.1) ISBN: 978-602-244-515-9 (jil.1)

BAB Menggunakan Data

7 Menggunakan Data 1 Bagaimana Menyelidiki Kecenderungan Data

(Pembukaan Bab 1 jam) 2 Menggunakan Data

Tujuan Siapa yang dapat menangkap
dengan jarak terpendek?
Dengan "tangkap pengaris", murid dapat ter-
tarik untuk menyelidiki kecenderungan data Yuni sedang berpikir, seberapa cepat dia dapat bereaksi menangkap
dan menjelaskan serta mengkomunikasikan penggaris yang jatuh dari meja. Untuk menentukan waktu reaksi, dia
cara memeriksanya melalui eksperimen untuk melakukan percobaan yang disebut “tangkap penggaris” untuk menyelidiki
memeriksa apakah satu hasil tangkapan lebih posisi tangkapannya pendek atau panjang.
panjang atau lebih pendek dalam data.
Tangkap Penggaris Lakukan berpasangan
Penjelasan dan Hal yang Perlu Diingat
Seorang siswa yang akan Anak yang lain
menangkap penggaris memegang
meletakkan tangannya penggaris 50 cm
di bawah tangan siswa di antara jari-jari
lain yang memegang anak pertama. Posisi
penggaris. Telapak jempol bagian atas
tangan siswa pertama (anak pertama)
dalam keadaan terbuka. sejajar dengan titik 0
Sudut antara jari jempol penggaris.
dan telunjuk 900.

1. Penjelasan pada halaman ini Setelah mengatakan
“mulai”, jatuhkan
Melalui kegiatan di halaman ini, diharapkan penggaris dalam waktu 10
murid tertarik untuk menyelidiki kecenderungan detik.
data dan memiliki perspektif tentang apa yang
akan saya pelajari ke depannya. Catat posisi jempol menangkap penggaris.

Alangkah baiknya jika eksperimen me- 232 Matematika untuk Sekolah Menengah Pertama Kelas VII
nangkap penggaris dapat dilakukan di kelas.
Menggunakan catatan yang diukur sendiri 3. Penjelasan terhadap percobaan
sebagai upaya tidak hanya memotivasi murid, Saat melakukan eksperimen menangkap
tetapi tentu saja diharapkan untuk menimbulkan
pertanyaan bagaimana mengetahui apakah penggaris, semua orang diharapkan
posisi yang kita pegang itu panjang atau untuk bereksperimen untuk menentukan
pendek, yang merupakan tugas halaman ini. kecenderungan kelas. Dalam buku pelajaran
misalnya, pelajaran dikembangkan berdasarkan
2. Mengukur tangkapan catatan kelompok A seperti yang ditunjukkan
pada halaman berikutnya, namun dengan
Ketika percobaan menangkap penggaris melakukan eksperimen oleh semua anggota
dilakukan dan posisi tangkap diukur, bagian atas kelas, pelajaran dapat dikembangkan
ibu jari jarang berada secara persis pada garis di berdasarkan catatan mereka sendiri, dan akan
penggaris. Misalnya, pada gambar berikut, bagian lebih mudah diarahkan untuk memotivasi murid.
atas ibu jari lebih dekat ke 10,7 cm daripada 10,6
cm, jadi catatannya adalah 10,7 cm. Dengan Sekalipun percobaan tangkap penggaris
mengalami pengalaman seperti ini, pertanyaan tidak dapat dilakukan di kelas, seperti yang
“Apakah catatan 10,7 cm disebutkan di atas, karena dikembangkan
adalah tepat 10,7 cm?” akan berdasarkan catatan kelompok A, sehingga
muncul secara alami, seperti tidak ada masalah dalam melanjutkan dengan
yang ditunjukkan pada pembelajaran, dan akan lebih baik jika dapat
balon di halaman berikutnya, dikembangkan sesuai dengan situasi siswa dan
dan siswa dapat menyadari kelasnya.
pentingnya pembelajaran di
halaman 243.

232 Buku Panduan Guru Matematika untuk Sekolah Menengah Pertama Kelas VII

1 Kelas A, yaitu kelasnya Yuni, melakukan percobaan tangkap penggaris dan yang tercakup dalam halaman 231, atau
hasilnya dicatat dan menghasilkan data sebagai berikut mengingatkan mereka tentang cara berpikir
mereka saat mempelajari data di sekolah
(Satuan : cm) dasar. Dengan begitu, diharapkan mereka bisa
memikirkannya secara konkret.
10,3 9,7 10,6 12,8 11,5 8,2 9,3 9,0 14,4 15,5 9,2
10,3 14,1 12,3 10,0 10,9 8,0 13,9 12,7 10,5 8,1 Selain itu, dengan memikirkan tentang
11,3 10,5 13,2 11,5 10,7 9,9 11,1 9,3 10,3 9,9 cara memeriksa catatan Yuni, diharapkan murid
mengajukan pertanyaan baru seperti apakah
Data Yuni adalah 10,7 cm. Apa yang harus kita lakukan untuk mengetahui apakah data dapat membandingkan catatan kelas kita
Yuni termasuk yang pendek atau yang panjang di kelasnya? dengan catatan Grup A.

Jika data disajikan Melalui kegiatan dalam kelompok kecil,
dalam tabel, apakah diinginkan agar semua siswa berpikir dengan
memudahkan bebas, menjelaskan pemikirannya, dan
kita dalam berkomunikasi satu sama lain.
memahaminya?
5. Penjelasan terhadap balon percakapan
Bagaimana
dengan kelas Dengan mempertimbangkan cara mencari
yang lain? tahu data, diharapkan dapat menumbuhkan
pertanyaan dalam diri siswa seperti metode
Haruskah kita hitung Kira-kira berapa cm penelitian seperti apa yang sesuai, agar siswa
rata-rata kelas? kebanyakan posisi memiliki bayangan mengenai apa yang
tangkapan yang dipelajari ke depannya. Diinginkan juga untuk
tercatat? menciptakan kebutuhan akan pembelajaran
dalam bab ini di antara siswa sehingga mereka
BAB 7 Penggunaan Data│ memiliki motivasi untuk mempelajarinya.

Bagaimana caranya jika kita ingin mengetahui apakah Apakah 10,7 cm artinya tepat Terhadap pertanyaan "apakah ini lebih
10,7 cm? panjang atau lebih pendek dari keseluruhan?,"
10,7 cm termasuk panjang atau pendek dibandingkan buat murid mempertimbangkan keuntungan
Hlm.243 dan masalah dari masing-masing metode
data lainnya? berdasarkan aktivitas di [1]. Dari sini, diharapkan
untuk menyambungkan ke pembelajaran di
Hlm.234 halaman berikutnya sambil meningkatkan
kesadaran murid untuk mencoba menyelidiki
Bab 7　Menggunakan Data 233 setiap metode secara lebih rinci.

4. Penjelasan 1 Juga, untuk pertanyaan "Apakah 10,7
Berdasarkan apa yang murid sudah pelajari cm tepat 10,7 cm?", diharapkan agar murid
menyadari bahwa mungkin ada kesalahan
di sekolah dasar dan apa yang mereka pelajari dalam pengukuran dengan cara benar-benar
dalam kehidupan sehari-hari, mereka akan mengukurnya. Jika muncul pertanyaan baru,
memikirkan bagaimana cara mengetahui seperti bagaimana cara untuk mengetahui
apakah rekor Yuni panjang atau pendek di nilai yang tepat, maka seperti yang telah
kelas. Sebagaimana disebutkan di halaman disebutkan di atas, untuk memotivasi siswa ada
sebelumnya, catatan sebenarnya siswa dapat pembelajaran H.243, diharapkan untuk dapat
digunakan untuk bahan pembelajaran. menarik pendapat dari para siswa.

Di sini, selain menghitung rata-rata dan
menampilkannya dalam graik, kemungkinan
akan muncul juga pendapat seperti
meringkasnya dalam tabel, mengurutkan
catatan dalam urutan menaik, dan mengambil
perbedaan antara catatan terpanjang dan
catatan terpendek.

Bagi siswa yang tidak dapat menemukan
cara untuk mencarinya, dapat diperlihatkan
graik yang dipelajari di sekolah dasar, seperti

Bab 7 Menggunakan Data 233

1 Bagaimana Menyelidiki 6 jam 1 Bagaimana Menyelidiki Kecenderungan Data
Kecenderungan Data 1 jam
1 Nilai Representatif
1 Nilai Representatif

Tujuan Siswa memahami apakah data seseorang termasuk panjang atau pendek di
antara data-data lainnya.

Tujuan Tabel 1 menunjukkan data posisi tangkapan Tabel 1：Data tangkap penggaris
penggaris siswa Kelas A di halaman 233. siswa Kelas A (cm)
1. Memahami bahwa dengan menggunakan Diskusi Data disusun dari yang terpendek ke yang
nilai representatif, dapat memperlihatkan terpanjang. Jika data Yuni adalah 10,7, maka No. Posisi tangkap penggaris
kecenderungan seluruh data dengan diskusikan informasi apa yang diperlukan
ringkas dalam satu nilai. agar mengetahui posisinya di Kelas A. 1 8,0
2 8,1
2. Mampu memahami arti dan karakteristik Dengan acuan apa 3 8,2
mean, median, dan modus, dan memikirkan kita menilainya? 4 9,0
tentang nilai representatif mana yang harus 5 9,2
digunakan tergantung situasinya. Rata-Rata Jika satu nilai dipakai untuk mewakili 6 9,3
karakteristik keseluruhan data, maka nilai ini 7 9,3
Jawaban disebut nilai representatif atau kecenderungan 8 9,7
pusat. Rata-rata adalah nilai representatif 9 9,9
(Contoh) yang paling sering digunakan. 10 9,9
Nilai rata-rata catatan rekor 11 10,0
Nilai tengah catatan rekor Catatan Rata-rata memiliki arti yang sama dengan rerata 12 10,3
Catatan rekor terpanjang dan terpendek 13 10,3
14 10,3
Soal 1 15 10,5
16 10,5
Dari 339 ÷ 31 = 10,9354…, maka nilai rata-rata 17 10,6
10,9 cm. Karenanya catatan Yuni yang 10,7 cm 18 10,7
lebih pendek dari nilai rata-rata. 19 10,9
20 11,1
Penjelasan dan Hal yang Perlu Diingat 21 11,3
22 11,5
1. Penjelasan 23 11,5
24 12,3
Memikirkan ciri data secara keseluruhan 25 12,7
merupakan kegiatan untuk menyadarkan murid 26 12,8
bahwa nilai representatif dapat dimanfaatkan. 27 13,2
28 13,9
Karena mereka belajar tentang rata-rata di 29 14,1
kelas lima sekolah dasar, banyak siswa mungkin 30 14,4
berpikir bahwa cukup dengan menghitung rata- 31 15,5
rata. Namun demikian, diharapkan nilai-nilai
representatif lainnya akan keluar melalui diskusi. Soal 1 Berdasarkan Tabel 1, hitunglah rata-rata data
Manfaatkan ide-ide siswa yang disajikan di sini,
untuk melanjutkan pembelajaran dari masing- posisi tangkapan penggaris siswa Kelas A. Ulasan
masing nilai representatif.
Selidiki apakah data Yuni 10, 7 termasuk yang Rata-rata = Jumlah semua nilai data
2. Nilai representatif banyaknya data
Nilai representatif dapat dengan mudah panjang atau pendek dibandingkan rata-rata

mewakili karakteristik seluruh data dengan kelas. SD Kelas V

23 4 Matematika untuk Sekolah Menengah Pertama Kelas VII

satu nilai numerik, dan terdapat berbagai nilai
selain nilai rata-rata yang umum digunakan.
Namun, karena beberapa informasi tidak dapat
dibaca dari sana, penting untuk memilih nilai
representatif yang sesuai dengan karakteristik
seluruh data dan tujuan penggunaan.
Diharapkan murid dapat memikirkan tidak
hanya tentang arti dari nilai representatif
tetapi juga nilai representatif mana yang harus
digunakan tergantung pada situasinya.

3. Rata-rata

Nilai rata-rata paling sering digunakan
sebagai nilai representatif dan familiar bagi
siswa. Ini karena data umumnya dianggap
didistribusikan di sekitar nilai rata-rata. Namun,
jika distribusinya asimetris atau jika terdapat
pencilan (nilai yang berjauhan), nilai rata-
rata mudah terpengaruh olehnya, sehingga
mungkin tidak cocok sebagai nilai representatif.
Ini akan dibahas pada halaman 246, tetapi
mungkin disebutkan secara singkat di sini.

234 Buku Panduan Guru Matematika untuk Sekolah Menengah Pertama Kelas VII

Median Jika data disortir dalam urutan menaik,
4, 6, 6, 6, 7, 9, 9, 12, 12, 18
Ketika data diurutkan berdasarkan besarnya, nilai yang ditengah data disebut Karena nilai ke-5 adalah 7 dan nilai ke-6 adalah
Median. 9, mediannya adalah 8 dari (7 + 9) ÷ 2 = 8.
Nilai yang banyak muncul adalah 6.
Contoh 1 Seperti ditunjukkan pada Tabel 1 di Oleh karena itu, modusnya adalah 6
halaman 234, kita menyusun data
31 tangkapan penggaris siswa Kelas No. 1 8,0 cm
A berdasarkan panjangnya. Nilai ke
16 adalah 10, 5 cm yang berada di No.14 10,3 cm 4. Median
tengah-tengah. Inilah mediannya. No.15 10,5 cm
No.16 10,5 cm median Jika data disusun berdasarkan urutan
No.17 10,6 cm
No.18 10,7 cm ukurannya, nilai median yang terletak di tengah

Catatan Jika banyaknya data genap, maka median adalah No.31 15,5 cm n+ 1
rata-rata dua nilai di tengah. 2

adalah nilai ke bila jumlah n adalah ganjil.

Soal 2 Berdasarkan Tabel 1 di halaman 234 dan Contoh 1, selidiki apakah data Sebaliknya, jika n adalah bilangan genap, maka
Diskusi Yuni 10, 7 cm termasuk panjang atau pendek dibandingkan median.
Bandingkan hasilnya dengan jawaban di Soal 1 pada halaman 234. median menjadi nilai rata-rata dari nilai ke n
Soal 3 Diskusikan hasil temuanmu tersebut. 2
n
Jika terdapat 63 nilai data, di manakah letak median jika data terurut dan 2 + 1.
berdasarkan besarnya?

Modus BAB 7 Penggunaan Data│ Ketika mempertimbangkan nilai represen-
tatif dari keseluruhan data, nilai rata-rata mudah
Nilai yang paling sering muncul pada data disebut modus. dipengaruhi oleh pencilan, tetapi nilai median
Berdasarkan Tabel 1 di halaman 234, nilai 10, 3 muncul paling sering. Jadi, tidak mudah dipengaruhi oleh pencilan. Ini
modus data Kelas A adalah 10, 3 cm. karena tidak peduli seberapa besar nilai tepi,
median tidak berubah selama urutannya tidak
Soal 4 Ada 10 Sekolah Menengah Pertama di suatu kota. Banyaknya kelas di masing- berubah. Oleh karena itu, jika terdapat pencilan,
masing sekolah ditunjukkan di bawah ini. Hitunglah rata-rata, median, dan mungkin lebih baik menggunakan nilai median
modusnya. sebagai nilai representatif daripada nilai rata-
rata.
6 12 9 7 6 18 4 9 6 12 Saya Bertanya
Adakah nilai representatif lainnya?

Hlm.236

Bab 7　Menggunakan Data 235

Jawaban 5. Penjelasan Soal 2

Soal 2 Banyak siswa berpikir bahwa mean
dan median selalu sama, tetapi ini adalah
Karena median 10,5 cm, rekor Yuni 10,7 cm masalah untuk disadari bahwa keduanya
lebih panjang dari median. tidak selalu cocok. Perlu diketahui bahwa
perlu dipertimbangkan mana yang layak
(Contoh hal yang disadari) digunakan, berdasarkan tujuan penggunaan
Rekor Yuni lebih pendek dari rata-rata, dan karakteristik data.
tetapi lebih panjang dari median.
Kesimpulan yang berbeda dapat diambil 6. Modus
tergantung pada nilai perwakilan
(representatif ) yang digunakan untuk Seperti median, modus tidak terlalu
menentukan apakah catatan Yui lebih terpengaruh oleh pencilan. Disini nilai yang
panjang atau lebih pendek di kelas. paling sering muncul adalah modus. Jika ada
beberapa nilai yang paling sering muncul,
Soal 3 semuanya ditetapkan sebagai modus.

Nilai ke-32 Selain itu, dalam situasi aktual, seperti
yang dipelajari pada halaman 238, nilai kelas
Soal 4 dari kelas dengan frekuensi tertinggi dalam
tabel distribusi frekuensi sering kali ditetapkan
Karena jumlah data adalah 89, maka nilai rata- sebagai nilai modus.
89
rata adalah 8,9 dari 10 = 8,9.

Bab 7 Menggunakan Data 235

Jawaban

Yuni ingin meneliti data posisi tangkapan penggaris kelas lain. Ketika dia

menyelidiki data Kelas B dengan cara yang sama seperti di Kelas A, data

(Contoh) yang dikumpulkan adalah sebagai berikut.

Tabel di sebelah kanan (Satuan : cm)
menunjukkan catatan
Grup B yang disusun dalam Catatan rekor 10,0 8,0 12,8 13,2 8,5 8,1 9,0 14,5 9,1 13,8 9,4
urutan menaik. Dari tabel tangkappenggaris 12,4 12,0 10,3 12,7 8,6 11,2 9,2 11,8 15,3 13,1 11,4
ini, mean, median, dan
modus dapat dihitung. kelas B 8,2 12,6 8,3 8,0 13,8 9,1 14,0 9,6 11,2
cm
<Nilai rata-rata> Hitunglah rata-rata, median, dan modus. Bandingkan dengan nilai
339,1 ÷ 31 = 10,938… representatif Kelas A.
maka rata-rata 10,9 cm
Nomor Rekor Soal 5 Diskusikan apakah data Yuni 10,7 cm termasuk panjang atau pendek di
<Median> 1 8,0 Diskusi antara data Kelas B.
Karena ini adalah nilai ke- 2 8,0
16, jadi 11,2 cm. 3 8,1 Jika kita bandingkan nilai representatif Untuk menyelidiki kecenderungan dua
4 8,2 Kelas A dan B, rata-ratanya sama, namun kumpulan data, apalagi yang perlu kita
<Modus> 5 8,3 mediannya berbeda. teliti selain nilai representatif?
Nilai paling umum adalah 6 8,5
9,1 cm 7 8,6 Hlm.237
8 9,0
<Perbandingan dengan 9 9,1 Cermati
Grup A> 10 9,1
11 9,1 Nilai Representatif Lain
Nilai rata-rata sama. 12 9,4
Nilai median Grup A 13 9,6 Selain rata-rata, median, dan modus, ada nilai representatif lain, seperti
lebih pendek 0,7 cm. 14 10,0 ditunjukkan di bawah ini.
Modusnya lebih pen- 15 10,3
dek 1,2 cm di Grup B. 16 11,2 Rata-rata Setelah data diurutkan berdasarkan
17 11,2 disesuaikan
18 11,4 besarnya, hapus nilai-nilai a dari sisi
19 11,8
20 12,0 terkecil dan sisi terbesar. Rata-rata
21 12,4
22 12,6 dari nilai-nilai sisanya disebut rata-
23 12,7
24 12,8 rata disesuaikan. Ketika terdapat
25 13,1
25 13,2 pengecilan pada data, maka kita Sumber: sport.detik.com
27 13,8
28 13,8 dapat menghilangkan pengaruhnya dengan rata-rata disesuaikan.
29 14,0
30 14,5 Rata-rata disesuaikan biasa digunakan dalam menentukan skor dalam
31 15,3
pertandingan senam pada Olimpiade Olahraga.

Contoh rata-rata bilangan ini rata-rata disesuaikan

hapus 2, 2, 5, 6, ..., 15, 18, 19, 24 hapus

Soal 5 Contoh 236 Matematika untuk Sekolah Menengah Pertama Kelas VII

Karena rekor Yuni memahami kecenderungan data hanya dengan
nilai representatif.
lebih pendek dari
Melihat hanya fakta bahwa nilai rata-rata
rata-rata dan nilai adalah sama, maka dapat dianggap bahwa
kelompok A dan B memiliki kecenderungan
median Grup B, maka yang sama, tetapi median dan modus berbeda.
untuk memahami kecenderungan data, ingin
dapat dikatakan menghindari penilaian bahwa nilai rata-rata
baik atau nilai median baik dengan alasan
lebih pendek dalam semata-mata hanya karena ini adalah nilai
representatif. Diharapkan ini dapat dijadikan
kelompok B. kesempatan untuk memikirkan tentang nilai
representatif apa yang tepat.
Rekor Yuni hampir
8. Penjelasan terhadap balon ucapan
sama dengan nilai
Melalui [Q] dan [Soal 5], ditegaskan
rata-rata Grup B, jadi sulit untuk memahami kecenderungan data
hanya dengan nilai yang representatif. Di sini,
tidak bisa dikatakan diharapkan murid mengajukan pertanyaan
tentang apa lagi yang harus dicari, bukan hanya
panjang atau pendek. nilai-nilai yang representatif. Diinginkan agar
motivasi siswa untuk mempelajari halaman
Penjelasan dan Hal yang Perlu Diingat berikutnya tumbuh sambil mengingat kembali
apa yang telah mereka pelajari di sekolah dasar.
7. Penjelasan dan Soal 5

Melalui kegiatan membandingkan dua data
Kelompok A dan Kelompok B menggunakan
nilai representatif, merupakan soal untuk
menyadarkan murid bahwa sulit untuk

236 Buku Panduan Guru Matematika untuk Sekolah Menengah Pertama Kelas VII

Soal 1

2 Mengorganisasikan Data Kelas A Nilai Tebesar Nilai Terkecil Jangkauan
Kelas B 15,5 cm 8,0 cm 7,5 cm
Tujuan Siswa memahami perbedaan kecenderungan dua kumpulan data. 15,3 cm 8,0 cm 7,3 cm

Jangkauan Tabel 2 : Data posisi tangkapan Nilai minimum dari dua kelas adalah sama,
penggaris (cm) namun nilai maksimum dan jangkauan kelas A
Pada Tabel 2, data posisi tangkapan penggaris 0,2 cm lebih panjang.
siswa Kelas A dan Kelas B disusun berdasarkan No. Kelas A Kelas B
panjangnya. Tentukan perbedaan antara data
terkecil dan terbesar dalam setiap kelas. 1 8,0 8,0
Berdasarkan Tabel 2, nilai terbesar data Kelas A
adalah 15, 5 cm dan nilai terkecilnya adalah 8,0 2 8,1 8,0
cm.
3 8,2 8,1
Kita dapat menggunakan perbedaan nilai terbesar
dan terkecil untuk menyatakan penyebaran 4 9,0 8,2
(dispersi) data. Nilai ini disebut jangkauan data.
Jangkauan data Kelas A adalah 7, 5 cm, karena 5 9,2 8,3

15, 5 – 8, 0 = 7, 5 6 9,3 8,5

7 9,3 8,6

8 9,7 9,0 Penjelasan dan Hal yang Perlu Diingat

9 9,9 9,1

10 9,9 9,1

11 10,0 9,2

12 10,3 9,4

13 10,3 9,6 1. Penjelasan

14 10,3 10,0 Soal untuk memusatkan perhatian murid
pada jangkauan data.
15 10,5 10,3
Jika Anda menggunakan software
16 10,5 11,2 spreadsheet, Anda dapat dengan mudah
mengurutkan data dalam urutan naik (urutan
17 10,6 11,2 terkecil) dan urutan turun (urutan terbesar)
(H.255). Pengurutan semacam ini sangat praktis
18 10,7 11,4 saat membuat tabel distribusi frekuensi.

19 10,9 11,8 2. Tingkat sebaran data

20 11,1 12,0 Varians dan deviasi standar sering diguna-
kan sebagai statistik untuk memperkirakan
Soal 1 Berdasarkan Tabel 2, temukan nilai terbesar 21 11,3 12,4 tingkat sebaran data, tetapi itu bukan isi
dan terkecil, serta jangkauan data Kelas B. pengajaran di sekolah menengah pertama. Di
Selanjutnya, bagaimana jika dibandingkan 22 11,5 12,6 sini, tingkat sebaran data diperkirakan dengan
dengan jangkauan data Kelas A? mencari perbedaan antara nilai maksimum dan
23 11,5 12,7 minimum data, yaitu jangkauan data.

24 12,3 12,8 3. Penjelasan terhadap balon ucapan

25 12,7 13,1 Pada kedua data ni, tidak ada perbedaan
selain pada jangkauan, nilai terbesar dan nilai
26 12,8 13,2 BAB 7 Penggunaan Data terkecil, namun dengan memancing pertanyaan
dari murid seperti bahwa pada Sekolah
27 13,2 13,8 Dasar mencari sebaran data dapat dilakukan
menggunakan tabel dan diagram batang,
28 13,9 13,8 │ diharapkan dapat memunculkan motivasi murid
untuk mempelajari halaman selanjutnya.
29 14,1 14,0

Penyebaran data seperti di atas disebut distribusi. 30 14,4 14,5

31 15,5 15,3

Apakah ada perbedaan antara Di Sekolah Dasar, kita menggunakan tabel
dua kumpulan data selain
jangkauan, nilai terbesar, dan nilai dan graik untuk meneliti penyebaran data.
terkecil?
Dapatkah kita meneliti dengan cara yang

sama?

Hlm.238

Bab 7　Menggunakan Data 237 Referensi Sebaran Data

2 Mengorganisasikan Data Deviasi, varians, dan deviasi standar dari
data dapat dihitung dengan rumus berikut.
2 jam Deviasi = (nilai numerik dalam data) - (nilai rata-
rata)
Tujuan Varians = {total dari (deviasi kuadrat)} ÷ (jumlah
data)
1. Memahami jangkauan data dan nilai Deviasi standar = akar kuadrat dari varians
terbesar dan terkecil.

2. Dapat menyusun data ke dalam tabel
distribusi frekuensi dan memeriksa
distribusinya.

3. Kecenderungan data dapat dibaca dengan
menggambar histogram atau garis frekuensi
berdasarkan tabel distribusi frekuensi.

Jawaban

Kelas A: 7,5 cm dari 15,5 - 8,0 = 7,5
Kelas B: 7,3 cm dari 15,3 - 8,0 = 7,3

Bab 7 Menggunakan Data 237

Jawaban Tujuan Siswa dapat menyatakan distribusi data sehingga mudah dipahami.

Soal 2 Tabel Distribusi Frekuensi

(1) Dari atas tabel secara berurutan, Perhatikan Tabel 2 di halaman 237. Kita kelompokkan nilai-nilai data di Kelas
7, 6, 2, 4, 5, 4, 2, 1
Total 31 A ke dalam interval-interval yang panjangnya 1 cm, kemudian kita hitung

(2) Kelas A banyaknya siswa pada setiap kelompok seperti yang telah kita lakukan di
Kelas 10 cm atau lebih dan kurang dari 11 cm
Nilai kelas 10,5 cm Sekolah Dasar, sehingga diperoleh Tabel 3.
Kelas B
Kelas 8 cm atau lebih dan kurang dari 9 cm Sebuah interval seperti “paling kecil 8 dan kurang Tabel 3 :
Nilai kelas 8,5 cm dari 9” disebut kelas. Panjang setiap interval Data posisi tangkapan penggaris
disebut interval kelas. Nilai tengah interval kelas
(3) Kelas A...10 orang, kelas B...13 orang disebut nilai kelas. Sebagai contoh, nilai kelas Kelas (cm) Frekuensi (Orang)
(4) ..... untuk interval kelas “paling kecil 8 dan kurang dari Kelas A Kelas B

Distribusi di grup B lebih banyak pada Paling Kurang 3
kurang dari 10 cm Kecil Dari
Distribusi di atas 14 cm adalah sama
8~ 9
Soal 3
9” adalah 8,5 cm. Banyaknya data dalam setiap 9 ~ 10 7
Karena kelas dengan frekuensi tertinggi adalah
lebih dari 8 cm dan kurang dari 9 cm maka nilai kelas disebut frekuensi kelas. 10 ~ 11 9
modusnya adalah 8,5 cm yang merupakan nilai Tabel 3 menunjukkan penyebaran data 11 ~ 12 4
kelas. menggunakan kelas dan frekuensi, dan disebut 12 ~ 13 3
sebagai tabel distribusi frekuensi. 13 ~ 14 2
Penjelasan dan Hal yang Perlu Diingat 14 ~ 15 2

4. Cara mengambil kelas 15 ~ 16 1
Jumlah kelas bervariasi tergantung pada
Total 31
frekuensi total data, tetapi biasanya sekitar 6
sampai 10. Lebar kelas dapat ditentukan dari Soal 2 Jawablah pertanyaan berikut ini dengan menggunakan Tabel 3.
ragam data dan banyak kelas. Selain itu, banyak Diskusi
kelas tersebut harus berupa bilangan bulat 1 Berdasarkan Tabel 2 di halaman 237, selidiki frekuensi setiap kelas untuk
agar pemrosesan selanjutnya dapat dilakukan data siswa Kelas B, kemudian tuliskan pada Tabel 3.
dengan mudah.
2 Untuk setiap data Kelas A dan kelas B, kelas manakah yang memiliki
5. Cara menghitung frekuensi frekuensi tertinggi? Berapakah nilainya?
Seperti yang ditunjukkan pada Tabel 2 di
3 Hitunglah banyaknya siswa di setiap kelas yang posisi tangkapannya
halaman sebelumnya, lebih mudah menghitung kurang dari 10 cm.
frekuensi jika data dalam urutan menaik. Selain
itu, jika menghitung frekuensi langsung dari 4 Apa yang kamu simpulkan ketika membandingkan frekuensi data dua
catatan di halaman 233 dan 236 buku pelajaran, kelas?
cukup dihitung menggunakan turus seperti
yang dipelajari di sekolah dasar. Pada tabel distribusi frekuensi, nilai kelas yang memiliki frekuensi tertinggi
disebut modus. Pada umumnya, ketika menggunakan modus sebagai nilai
6. Penjelasan Soal 2 representatif, maka nilai kelas yang mempunyai frekuensi tertinggi yang
Di (4), yang ingin dilakukan adalah kegiatan digunakan, bukan nilai yang paling sering muncul pada kumpulan data.
Sebagai contoh, berdasarkan Tabel 3, modus data Kelas A adalah 10, 5 cm karena
membaca tabel distribusi frekuensi, menjelaskan kelas yang memiliki frekuensi tertinggi adalah “paling kecil 10 cm dan kurang
dari 11 cm.”

Soal 3 Berdasarkan Tabel 3, tentukan modus untuk data Kelas B.

238 Matematika untuk Sekolah Menengah Pertama Kelas VII

hasil perbandingan kedua data, dan melakukan
kegiatan untuk saling berdiskusi. Meskipun
nilai rata-rata dari kedua data tersebut sama,
jika membandingkan frekuensi masing-masing
kelas, maka akan tampak adanya perbedaan
dalam distribusinya.

7. Modus dalam tabel distribusi frekuensi

Sebagaimana disebutkan pada halaman
235 buku ini, modus umumnya mengacu pada
nilai kelas dari kelas dengan frekuensi tertinggi
dalam tabel distribusi frekuensi. Modus dalam
hal ini tergantung pada bagaimana kelas
tersebut diambil. Dengan kata lain, selain data
terpisah dengan sedikit nilai yang didapatkan,
seringkali tidak ada artinya menemukan modus
dari data individual. Jika nilai masing-masing
data berbeda (dalam kasus frekuensi 1), modus
tidak dapat dideinisikan.

238 Buku Panduan Guru Matematika untuk Sekolah Menengah Pertama Kelas VII

Histogram 8. Histogram
Histogram adalah jenis graik batang.
Kita dapat menggunakan tabel distribusi frekuensi untuk menggambar graik
dengan persegi panjang yang lebarnya menunjukkan interval kelas, dan Dalam hal perbandingan antara hal yang
tingginya menunjukkan frekuensi. Graik seperti ini disebut histogram atau bersifat nominal, batang-batang tersebut
diagram batang. sering kali terpisah satu sama lain, tetapi ketika
menyatakan tabel distribusi frekuensi kuantitas
Jika kita menggunakan histogram untuk menyajikan data posisi tangkapan kontinu dalam graik batang, persegi panjang
penggaris siswa Kelas A seperti ditunjukkan pada Tabel 3, maka diperoleh disusun membentuk sebuah histogram seperti
Gambar 1. Jika kita menggunakan tabel distribusi frekuensi untuk menggambar yang ditunjukkan gambar di atas. Di kala
diagram batang, maka data akan mudah dipahami. lebar kelas adalah 1, Histogram menunjukkan
frekuensi sebagai luas persegi panjang.
(Interval kelas 1 cm)
Menggunakan histogram membuat
(Orang) (Orang) lebih mudah untuk secara intuitif memahami
10 10 keseluruhan bentuk data, rentang penyebaran
horizontal, dan simetri.
88
Selain itu, saat membuat dan memeriksa
66 sejumlah histogram dari kelas yang berbeda,
dimungkinkan untuk menghemat waktu
44 dengan cara tidak hanya meggunakan kerja
manual tetapi juga dengan menggunakan
22 komputer.

0 0 6. Penjelasan Soal 5 dan Soal 6
8 9 10 11 12 13 14 15 16 (cm) 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (cm)
Bahkan jika histogram dibuat dari data yang
Gambar 1 : Data Posisi Tangkap Gambar 2 : Data Posisi Tangkap sama, kesan keseluruhan dan kecenderungan
Penggaris Siswa Kelas A Penggaris Siswa Kelas B yang dapat dibaca mungkin berbeda tergantung
pada bagaimana kelas tersebut diambil.
Soal 4 Berdasarkan Tabel 3 di halaman 238, gambarlah histogram untuk data
Soal 5 “Gambar 2: Data posisi tangkap penggaris siswa Kelas B. Di sini, lebar kelas diubah dari 1 cm
menjadi 2 cm, sehingga tidak ada perbedaan
Gambar 3 di bawah ini adalah histogram untuk data posisi tangkap penggaris besar pada garis bentuk histogram. Namun,
siswa Kelas A dengan interval kelas 2 cm. Gambarlah histogram untuk data karena bertambahnya lebar kelas, karakteristik
posisi tangkap penggaris siswa Kelas B dengan interval kelas 2 cm pada distribusi tetap tidak dapat dibaca dari Gambar
Gambar 4. 3 dan Gambar 4.

(Interval Kelas 2 cm) BAB 7 Penggunaan Data Garis besar histogram dan kecenderungan
untuk membacanya dapat berubah bergantung
(Orang) (Orang) │ pada bagaimana data diklasiikasikan. Oleh
14 14 karena itu, untuk membaca kecenderungan
data dari histogram secara akurat, diharapkan
12 12 untuk membandingkan histogram dengan
lebar kelas yang berbeda sehingga dapat
10 10 menemukan lebar kelas yang sesuai.

88

66

44

22

0 10 12 14 16 (cm) 0 10 12 14 16 (cm)
8 8

Gambar 3 : Data Posisi Tangkap Gambar 4 : Data Posisi Tangkap
Penggaris Siswa Kelas B
Penggaris Siswa Kelas A

Bab 7　Menggunakan Data 239

Jawaban

Soal 4

(Orang)

Gambar 2: Data Posisi Tangkap
Penggaris Siswa Kelas B

Soal 5

(Orang)

Gambar 4: Data Posisi Tangkap
Penggaris Siswa Kelas B

Bab 7 Menggunakan Data 239

Jawaban Soal 6 Apa perbedaan antara informasi yang dapat kita baca dari histogram di
Gambar 1 dan Gambar 3 di halaman sebelumnya? Selanjutnya, bagaimana
Soal 6 dengan Gambar 2 dan Gambar 4?

Dari Gambar 1 terlihat bahwa jumlah orang 10 Meskipun kita menggunakan data yang sama, jika kita gambar histogram
cm atau lebih dan kurang dari 11 cm adalah 9, dengan interval kelas berbeda, maka sifat data yang dapat kita amati dapat
yaitu sekitar 30% dari seluruh kelas, tetapi tidak berubah. Ketika menyelidiki distribusi data, maka penting untuk diperhatikan
dapat dibaca dari Gambar 3. beberapa histogram dengan interval kelas berbeda.
Gambar 2 dan Gambar 4 (contoh)
Pada histogram Gambar 1 pada (Orang)
Dapat dilihat dari Gambar 2 bahwa jumlah halaman 239, jika kita ambil 10
orang antara 10 cm sampai kurang dari nilai tengah di setiap ujung atas 8
11 cm adalah kecil dengan hanya 2 orang, empat persegi panjang kemudian 6
tetapi tidak dapat dibaca dari Gambar 4. dihubungkan, maka kita peroleh 4
Dapat dilihat dari Gambar 2 bahwa jumlah graik pada Gambar 5. 2
orang antara 8 cm sampai 9 cm adalah
yang terbesar, namun tidak dapat dilihat 0
dari Gambar 4. 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (cm)

Soal 7 Gambar 5 : Data Posisi Tangkap Penggaris
Siswa Kelas A
(Orang)
Soal 7 Berdasarkan histogram pada Soal 4 di halaman sebelumnya, gambarlah
Diskusi graik frekuensi garis pada Gambar 2 di halaman sebelumnya. Bandingkanlah
Gambar 5 dengan graik frekuensi garis di Gambar 2 dan diskusikan hasil
pengamatanmu.

Soal 8 Gambar 6 menunjukkan suhu (Hari)
Diskusi 14

maksimum harian di Tokyo pada 12 2013
bulan Agustus 1963 dan 2013. 10 1963
8

Bandingkanlah dua graik tersebut 6

dan diskusikan apa yang dapat kamu 4
baca dan simpulkan dari graik-graik 2
tersebut. 0

24 26 28 30 32 34 36 38 40 (0)

Gambar 6 : Suhu maksimum harian di

Tokyo bulan Agustus

Jika kita menggunakan tabel Marilah kita pikirkan bagaimana
distribusi frekuensi atau histogram, menyelidiki kecenderungan distribusi
maka lebih mudah memahami data ketika banyaknya data berbeda.
perbedaan kecenderungan dua
kumpulan data. Hlm.241

240 Matematika untuk Sekolah Menengah Pertama Kelas VII

Gambar 5: Data Posisi Tangkap Penggaris dan graik distribusi frekuensi. Di sini, bisa juga
Siswa Kelas B membiarkan murid memikirkan hubungan
dengan mean dan median.
Kelas A memiliki satu puncak gunung, Kelas
B memiliki dua 11. Penjelasan Soal 8
Pada kelas 10 cm atau lebih dan kurang
dari 11 cm, kelompok A memiliki frekuensi Dengan menyatakan distribusi sebagai
paling tinggi, tetapi kelompok B memiliki garis frekuensi, beberapa graik dapat
frekuensi paling rendah. digabungkan menjadi satu gambar, sehingga
lebih mudah untuk membandingkan distribusi.
Soal 8 (Contoh)
Selain perbandingan graik secara
Karena graik tahun 2013 bergeser ke kanan keseluruhan, disarankan untuk melakukan
secara keseluruhan dibandingkan graik tahun aktivitas untuk mendiskusikan apa yang dapat
1963, terlihat bahwa suhu tahun 2013 secara dibaca tentang suhu maksimum harian pada
umum lebih tinggi dibandingkan tahun 1963.

Penjelasan dan Hal yang Perlu Diingat bulan Agustus di Tokyo.
12. Penjelasan untuk balon ucapan

10. Penjelasan Soal 7 Sejauh ini, telah dibahas mengenai
menangani data dengan jumlah data yang
Melalui kegiatan membandingkan sama. Dengan mengajukan pertanyaan apakah
garis frekuensi dari kedua data dan meng- kecenderungan distribusi data dapat diselidiki
komunikasikan apa yang telah diperhatikan, dengan cara yang sama meskipun jumlah data
murid akan dapat menyadari bahwa akan berbeda, saya ingin menyadarkan murid akan
lebih mudah untuk membandingkan kedua perlunya frekuensi relatif dan menggunakannya
data tersebut dengan menggunakan tabel untuk pembelajaran selanjutnya pada halaman
241.

240 Buku Panduan Guru Matematika untuk Sekolah Menengah Pertama Kelas VII

Penjelasan dan Hal yang Perlu Diingat

3 Frekuensi Relatif 1. Penjelasan

Tujuan Siswa mampu membandingkan kumpulan-kumpulan data yang banyaknya Merupakan masalah untuk membuat murid
data berbeda. menyadari bahwa tidak ada artinya hanya
membandingkan besaran frekuensi dalam data
Tabel di sebelah kanan menunjukkan Kelas VIIA Siswa Kelas VII dengan frekuensi total yang berbeda.
banyaknya siswa yang posisi tangkap 3 7
penggarisnya paling sedikit 8 cm dan kurang Ide tentang proporsi sudah dipelajari di
dari 9 cm di antara 31 siswa Kelas VIIA dan Bagaimana kelas V sekolah dasar, namun karena tidak bisa
di antara 124 siswa kelas VII. Dapatkah kita cara kita dikatakan banyak siswa yang mengetahui ide
menyimpulkan bahwa banyak siswa kelas VIIA membandingkannya? tersebut di sini, alangkah baiknya jika pendapat
datanya lebih pendek dibandingkan seluruh
siswa kelas VII? seperti itu dapat diungkapkan dalam diskusi.

Pada Tabel 4, data posisi tangkap penggaris Tabel 4 : Data posisi tangkapan 2. Frekuensi relatif
siswa Kelas VIIA dan siswa kelas VII secara
keseluruhan disusun dalam tabel distribusi penggaris Frekuensi relatif adalah nilai yang
frekuensi. Berdasarkan Tabel 4, terdapat 3 menunjukkan rasio frekuensi tiap kelas terhadap
siswa Kelas VIIA dan 7 siswa dari seluruh Frekuensi (orang) keseluruhan data, dan dapat dikatakan sebagai
siswa kelas VII yang masuk dalam interval Kelas (cm) Kelas VIIA Kelas VII frekuensi tiap kelas. Ketika membicarakan
kelas “paling sedikit 8 cm dan kurang dari 9 perbandingan, persentase muncul di pikiran,
cm.” Banyaknya siswa kelas VIIA adalah 31 paling kurang 3 7 dan banyak murid yang mungkin berpikir
orang, dan banyaknya seluruh siswa Kelas kecil dari bahwa banyak seluruh data adalah 100, tetapi
VII adalah 124 orang. Tidak masuk akal jika perhatikan bahwa frekuensi relatif dianggap 1
kita membandingkan frekuensinya. Jadi, kita 8~ 9 untuk keseluruhan materi.
bandingkan rasionya terhadap banyaknya
siswa Kelas VIIA, 3 : 31 = 0,096…. Adapun 9 ~ 10 7 12 Selain itu, frekuensi relatif tidak hanya
untuk seluruh siswa kelas VII, rasionya adalah berguna untuk membandingkan data dengan
10 ~ 11 9 38 frekuensi total yang berbeda. Penggunaan
frekuensi relatif memudahkan untuk memahami
11 ~ 12 4 43 rasio keseluruhan di kelas tertentu dan rasio
keseluruhan di kelas tertentu atau lebih tinggi.
12 ~ 13 3 14
Di sini, saya ingin dibahas kembali cara
13 ~ 14 2 4 menghitung rasio dan cara memproses
pecahan dengan pembulatan.
14 ~ 15 2 3

15 ~ 16 1 3

Total 31 124 BAB 7 Penggunaan Data

7 : 124 = 0,065… Artinya, rasio banyaknya siswa dalam interval kelas “paling │

sedikit 8 cm dan kurang dari 9 cm”, maka siswa Kelas VIIA mempunyai rasio lebih

besar dibandingkan dengan rasio siswa kelas VII secara keseluruhan. Hasil bagi

frekuensi kelas dibandingkan frekueansi total disebut frekuensi relatif kelas.

Frekuensi relatif adalah frekuensi kelas dibagi frekuensi total

Bab 7　Menggunakan Data 241

3 Frekuensi Relatif 1 jam

Tujuan Referensi Hubungan antara frekuensi
relatif dan probabilitas
Pahami frekuensi relatif dan gunakan frekuensi
relatif untuk menangkap kecenderungan kedua Frekuensi relatif adalah nilai yang menunjukkan
data. rasio frekuensi tiap kelas terhadap keseluruhan
data, dan dianggap sebagai frekuensi tiap kelas.
Jawaban Probabilitas yang dipelajari di kelas 2 adalah
hal yang memnunjukkan kerentanan terjadinya
Perbandingan untuk 8 cm atau lebih dan kurang suatu hal, oleh karena itu frekuensi relatif adalah
dari 9 cm adalah dasar untuk mempelajari probabilitas.

Kelas VII A...3 : 31 = 0,096 Misalnya, gulirkan dadu beberapa kali dan
Murid kelas VII ...7 : 124 = 0,056 pikirkan kemungkinan muncul angka 1. Rasio
Oleh karena itu, dapat dikatakan bahwa banyak ini adalah frekuensi relatif. Ketika dadu dilempar
orang yang rekornya pendek pada kelompok berkali-kali, frekuensi relatif, munculnya angka
1 akan mendekati nilai tertentu. Frekuensi
kelas VII A. relatif ini disebut probabilitas.

Probabilitas yang dipikirkan di sini adalah
probabilitas matematis, tetapi untuk memahami
arti probabilitas dengan benar, metode untuk
memperoleh probabilitas statistik, dengan kata lain
gagasan tentang frekuensi relatif adalah dasarnya.

Bab 7 Menggunakan Data 241

Jawaban Frekuensi relatif untuk setiap kelas VIIA pada Tabel 5 : Data posisi tangkapan
Tabel 4 dihitung dan dibulatkan dua angka di pengggaris
Soal 1 belakang koma, maka diperoleh Tabel 5. Tabel
seperti ini disebut tabel distribusi frekuensi Kelas (cm) Frekuensi Relatif
Secara berurutan dari atas tabel, 0,06, 0,10, 0,31, relatif. Kelas VIIA Kelas VII
0,35, 0,11, 0,03, 0,02, 0,02, total 1,00
Lebih Kurang
Soal 2 kecil Dari

Kelas VIIA...0,29 Murid kelas VII...0,31 8~ 9 0,10
Maka, murid kelas VII lebih banyak
Kelas VII A...0,10 + 0,23 = 0,33 9 ~ 10 0,23
Murid kelas VII...0,06 + 0,10 = 0,16
Maka, Kelas VII A lebih banyak 10 ~ 11 0,29

Soal 3 Catatan Jumlah frekuensi relatif sama dengan 1. Dalam 11 ~ 12 0,13
pembulatan sampai 2 desimal, ketika desimal kedua
Kelas A adalah 0 , maka ditulis 0. 12 ~ 13 0,10
Kelas 1
13 ~ 14 0,06
Gambar 7: Data Posisi Tangkap Penggaris
14 ~ 15 0,06

15 ~ 16 0,03

Total 1,00

Soal 1 Berdasarkan Tabel 4 di halaman 241, hitunglah frekuensi relatif setiap kelas
untuk keseluruhan siswa kelas VII, bulatkan sampai dua angka. Tuliskan pada
Tabel 5 di kolom terakhir.

Soal 2 Jawablah 1 dan 2 berdasarkan tabel 5.

1 Untuk siswa Kelas VIIA dan untuk keseluruhan siswa Kelas VII, manakah

rasio yang lebih besar untuk kelas “paling sedikit 10 cm dan kurang dari

11 cm"?

2 Untuk siswa Kelas VIIA dan untuk keseluruhan siswa Kelas VII, manakah

rasio yang lebih besar untuk posisi tangkap penggaris kurang dari 10

cm? Soal 3

0,40 Distribusi frekuensi relatif data siswa Kelas
0,35 VIIA pada Tabel 5 disajikan dalam graik
0,30 Kelas A frekuensi garis pada Gambar 7. Nyatakanlah
0,25 distribusi frekuensi relatif data seluruh siswa
0,20 kelas VII menggunakan graik frekuensi
0,15 garis, gambarlah pada Gambar 7.
0,10
0,05

0
8 9 10 11 12 13 14 15 16 (ｃｍ)

Gambar 7 Data Posisi Tangkap Penggaris

Dari penyelidikan kita sejauh ini, frekuensi relatif sering digunakan untuk
membandingkan data yang sama namun memiliki frekuensi total yang
berbeda.

Soal 4 Berdasarkan Tabel 5 dan Gambar 7, bandingkanlah distribusi data Kelas VIIA
Diskusi dengan data seluruh siswa Kelas VII. Identiikasi persamaan dan perbedaannya.

Soal 4 Berdasarkan metode penyelidikan kecenderungan data yang telah kita pelajari, Hlm.246
marilah kita terapkan untuk membaca kecenderungan data yang ada di sekitar
Kesamaan (contoh) kita.
Jangkauan data hampir sama.
Ada satu puncak. 242 Matematika untuk Sekolah Menengah Pertama Kelas VII

Perbedaan (contoh) sebagai angka signiikan. Angka signiikan
Puncak distribusi adalah 10 cm atau lebih akan dipelajari pada H.244, tetapi bisa juga
dan kurang dari 11 cm pada kelompok menyentuhnya secara singkat di sini.
kelas 1 A, dan 11 cm atau lebih dan kurang
dari 12 cm pada kelompok kelas 1. 4. Penjelasan Soal 4
Distribusi siswa kelas 1 lebih terkonsentrasi
di sekitar modus daripada distribusi Di sini, diharapkan agar murid memban-
kelompok kelas 1 A. dingkan dan mendiskusikan distribusi dari kedua
data tersebut. Berikan juga berbagai sudut
Penjelasan dan Hal yang Perlu Diingat pandang seperti membandingkan jangkauan
dan modus, memperhatikan bentuk keseluruhan
3. Hal yang perlu diperhatikan saat meng- distribusi, posisi puncak, dan simetrinya.
hitung frekuensi relatif
Saat membulatkan untuk mendapatkan 5. Penjelasan untuk balon ucapan

frekuensi relatif, ada kalanya jumlah frekuensi Sejauh ini, murid telah belajar
relatif bukanlah 1. Dalam hal ini, sesuaikan nilai menggunakan nilai-nilai representatif dan
maksimum frekuensi relatif sehingga jumlahnya untuk merepresentasikan distribusi dalam
menjadi 1. tabel distribusi frekuensi dan histogram untuk
menyelidiki kecenderungan data. Sambil
Juga, saat menghitung frekuensi relatif mengulas kembali hal ini, diharapkan untuk
hingga tempat desimal kedua, bahkan jika memotivasi siswa agar mempelajari buku
posisi desimal kedua adalah 0, bisa ditulis pelajaran H.246 dengan mengajak mereka
sebagaimana adanya karena hingga posisi untuk melihat apakah mereka benar-benar
desimal kedua masih dapat diandalkan dapat membaca kecenderungan berbagai data
di sekitar mereka.

242 Buku Panduan Guru Matematika untuk Sekolah Menengah Pertama Kelas VII